Teorija Meri

IIOHJlTIIJI II pe3YJIbTaTbI

TeopHII MepbI, rrpHMeHJleMbIe B

u

TeOpHH BepOJlTHOCTeu: npoeKT

pH~epa

2

Co .u;ep)l(aHHe

1. Cl1ICTeMhI

II. 3a,!J;aHHe

4

MHO)KeCTB MepbJ Ha nOJIYKOJIbu;e MHO)KeCTB H npO,1J;OJI)KeHHe

8

MepbJ C nOJIYKOJIbu;a Ha MHHHMMbHoe KOJIhU;O

III.

JIe6eroBo npo,ll;OJI)KeHHe MepbJ

11

IV.

H3MepHMbIe lPYHK:qUH

12

V.

14

HHTerpM JIe6era

COOTBeTCTBBe nOHBTHH TeopHH Mephl H TeopHH BepoBTHo-

18

CTeH

BBe,n:eHHe

Bo

BBO,!J;HOM Kypce TeopHH BepoRTHocTeH rOBopHTCR 0 upocTpaacTBe

3JIeMeBTapHhIX C06bITHH

P(A)

n0,ll;MH02KeCTB

A

r!,

KaK 0 HeKoTopoM MHmKecTBe, B 0 BepOJlTHOCTJIX

c r!.

3TH no,n:MHO:>KeCTBa H3.3bIBaIOTCJl C06bITIDIMB.

BepOJlTHOCTHbIM npocTpaHCTBOM Ha3bIBaeTCJI napa

(n, P).

IIPH

3TOM,

ok

HaKO, OCTaIOTC;I HeKoTopble BonpocbI.

Bonpoc.N!l.

ECJIH MHO:>KeCTBO

r!

orrpe,n:e..mTb .n;.1IJ1 .1110601'0 no,n:MHmKeCTBa TOM CJIy"lae, eCJIH MHO:>KeCTBO HanpHMep,

n C"ieTHO.

KOHe'lHO, TO BepOJITHOCTb M02KHO

A

c

Ho

Q. To :>Ke MOlKHO c,n;e.rraTb eCJIH MH02KeCT:BO

I!I B

n HeC"'IeTHO,

n = [0,1], TO CYIIJ;eCTByIOT npHMepbI, rrOKa3bIBaIOmHe, "'ITO onpe­

,n;eJIHTb BepOJlTHOCTb.n;M JII06oro nO,1I.MHO)l(eCTBa

A

c n, TaK, "'ITo6bI BbIDOJI­

HJlJIaCb, HarrpHMep, TeopeMa 0 CJIO:>KeHHH BepO.llTHOCTeH, H ,n:pyrHe 06bI"'IHhIe 1 CBoHcTBa BepOJlTBOCTeH, HeB03MO:>KHO.

ITaK~ CRTyaD:WI OUHCaHa, HanpUMep, B KHH[,,~ fM6ayM TpnpHMepbl B amum3e", M., "MHp", 1967, c.120 - 123.

B.,

OJIMCT~

A:lK. "Koa:­

3

IIo3TOMY npHXO,n;JiITCR: orrpe,n;eJIJlTh BepO.R:TBOCTh TOJIhKO HeKOTOphIX :0:3 nOAMBO)KeCTB MBO)KeCTBa

n.

)l;a)Ke TIpH O~HOM H TOM )Ke MH02KeCTBe

0"

B

OAHOM CJIyq:ae 3TO M02KeT 6hI.Th O,n;Ha CHCTeMa nO,1l;MHO)KeCTB, B ApyrOM CJIy­

~ae - ,n;pyran CHCTeMa nOAMH02KeCTB. IlOJTOMY B npO,1l;Bl-myToM Kypce Te­ OPHII BepOJITHOCTeH UOA Bep0.R:THOCTHhIM DpOCTpaHCTBOM nOHIIMaIOT TpOHKy

(n,~, P), I',n;e ~ - HeKOTopM CllCTeMa nO,ll.MHD.:lIWCTB MHO)KeCTBa

A

Ka2K,ll.oro

MHO)KeCTBa

E ~ onpe,n;eJIeHa BepOJlTHOCTh

f!,

peA).

0"

II ,ll;JUI

TOJIhKO Te rrOAMBO)KeCTBa

KOTophIe BXO,n;JlT B BhI6paHHylO cHcTeMy DO)I.MH02KeCTB ~,

I, II, III pH,n;epa nOCBJI:m;eHhI TOMy, KaKOM ,ll;OJI)KHa 6bITh CHCTeMa n0.u:MH02KeCTB :7, II KaK Onpe,lt.eJIJlTh BepOJITHOCTH ,ll;JUI A E g:'. Bonpoc .N~2. HanOMHHM, "ITO CJIY'IaHHM BeJIH'IIIHa - :)TO
Ha3hIBalOT C06hITHJlMH. Pa3,ll;eJIhI

X:n-+R, r,l(e

R -

MHO)KeCTBO ,n;eHCTBHTeJIhHhIX 'IHCeJI.

R

Heo6xo,ll;HMO, 'ITo6hI ,n;M JII06oI'o X E

A MBO:>KeCTBa

= {w E 0,

KpaHHe )KeJIaTeJIhBO, .n:a)Ke

nOAMHO:>KeCTBO

TaKHX, "ITO

X (w) :s; X}

0, 6hIJIO co6hITHeM, T.e. BXO,n;HJIO B cHcTeMy

6hIJIa onpe,ll.eJIeHa BepOJlTHOCTh

:7,

T.e.

AM

Hero

peA).

dTOH np06JIeMhI He cyrn;ecTByeT, ecm MBO)KeCTBO

0, KOHe'IHO HJIH C"IeTHO,

H BepOJlTHOCTh onpe,n;eJIeHa ,n;JIJI BCex no,n;MHO)KeCTB ;;ITOI'O MHO)KeCTBa. BeC"IeTBhIe MBO)KeCTBa

0, HI'paroT B TeOpJiIH BepOJiTHOCTeH, no KpaHHeB Mepe,

Be MeHee Ba)KHYIO pOJl1>, 'IeM KOHe'IHhIe H c-qeTHhIe MHO)KeCTBa Pa3,ll;eJI

IV

Ho

n.

pH,n;epa co.n:ep)KHT Onp€,ll;eJIeHHe cooTBeTcTBYIOru;ero KJIacca


Bonpoc .N!.3.

ECD
X

npHBHMaeT He 60JIee "'IeM C'IeTBOe '1Hao

3Ha'ieHHK Xl, X2, ... , X n , ... , H

An

= {w En

TaKHX, "ITO

TO O)KH,1l;aHHe CJIy~aHHoH BeJIH'iRHhI

X

X(w)

= x n},

onpe,n;eJIJIeTCR: KaK

00

L

E(X) =

XnP(A n)

n=l np:u yCJIOBHR, "'ITO .n:aHH:WI pJI,l( a6COJIIOTBO CXO,ll.HTCJI.

Pa3,ll.e.JI V pH,n;epa

CO,n;ep)K}lT Onpe,ll.eJIeBHe O)K}l,ll.aHKf{ B 06ru;eM BH,ll.e. ,.lJ:oKa3aTeJIhCTBa BCex TeOpeM, CKHO HaHTH B KBHre KOJIMOI'OpOB

A.H.,


IJ.HE: :H
M.,

C.B.

"dJIeMeHThI TeOpHI1
"HayKa",

1976.

4

I.

C:ucTeMbI MHO>KeCTB

CucmeMOU M,'N,O'JICeCm6 Ha.3bIBaeTCH BCJlKOe MHO:>KeCTBO, 3JIeMeHTaMH Ko­ Toporo HBJIjllOTCH HeKOTOphIe .a.pYrlle MH02KeCTBa.

Onpe~eJleHBe 1. HenyCTM CBCTeMa MH02KeCTB

R Ha.3hIBaeTCH noJtb1fOM.,

AER TaK:>Ke MHO}KeCTBa An B H

eCJIB OHa 06JIa.a.aeT TeM CBOHCTBOM, 'iTO ,IJ;JUI JI106hIX ,ll,BYX MBO:>KeCTB

BER A6.B. 2

M

3TOH CBCTeMe MHO:>KeCTB npHHa,1I.JIe:>KaT

TaK KaK ,Il.JIJI JI106hIX MHO)J(eCTB

AU B

A A \ B.

TO H3

E

R, B

A

H

B

CrrpaBe,1I.JIHBhI COOTHorneHIDI

= (A6.B)6.(A n B), E

A \ B = A6.(A n B),

R B.hITeKaeT TaK:>Ke nplma,1I.JIe:>KHOCTh K R MHO>KeCTB AuB 1

dTO Ha3hIBaeTCJI 3aMKHyToCTblO KOJIhIJ;a OTHOCHTeJIhHO onepaJJ;HH

06'he,1I.HHeHIUI B Pa3HOCTB. O"'IeBM,ll;HO, ~TO KOJIbIJ;O 3aMKByTo no OTHomeHMIO K 06Pa30BaJIMlO JII06bIX KOHe'iHhIX 06'be,n;Jl:HeHBH H rrepeCe'ieHHM BJl:,n;a

n

n

C

= U Ak ,

= n AI;;­

D

k=l

k=1

JII060e KOJIbIJ;O co,n;ep:>KJl:T rryCToe MBO:>KeCTBO, TaK KaK

(/) =

n

MHO:>KeCTBO

nE eCTh

S

Ha3hIBaeTCH

II ,ll;JIJI JIlO6oI'o

A

E

S

A \ A.

eaU1f,u1feu

CJl:CTeM:hI

BhIJIOJIRJleTCJI COOTHorneHHe

Ann

n - 3TO MaKCHMaJIbBOe MBO)J(eCTBO B CHCTeMe MH02KeCTB S.

KOJIhIJ;O MHO}KeCTB C e,n;HHHIJ;eii Ha.3hIBaeTCJI

IIpHMepbI. 1.

,.ll;JIJI JII06oI'o MHO>KeCTBa

)!{eCTB JIBJIJIeTCJI aJIre6pOH C e,1I.BHMu;eM

c

MHO:>KeCTB

n=

2. ,U.JIJI JII06oro HenycToro MHO:>KeCTBa A e,n;HHHIJ;eii: n = A. 20603Ha~Iem'Ie

R

A

aJtu6pou

S,

eCJIH

= A.

To

MHO)!{eCTB.

CHCTeMa BCex ero nO,1I.MHO­

A. CliCTeMa

npOHcxo,n;UT OT 8JlI'JrnRCKOI'O Cn:oBa ring.

0, A HBJIJIeTCH aJII'e6pOH

5 3.

,l..lIDl JII06oro MHO>KeCTBa

A

Cl1CTeMa BCex ero KOHe'fHhIX nO~MFIO­

2KeCTB npe,n:cTaB.JI.R:eT C060R KOJIhD;O. 3TO KOJIbD;O JlBJIJleTCH a.rrre6poH Tor,n:a

A

H TOJIbKO Tor,n:a, Kor,n:a MBO>KeCTBO

KOne'lHO.

A - HenycToe MHO:>KeCTBO, B C A II B =P A. Tor,n:a CRCTeMa MHO>KeCTB {0, B, A} He JIBJIJleTCH KOJrbD;OM. ECJIH 6bI 3Ta CHCTeMa 6bIJ[a KOJIh­ :u.OM, TO BMeCTe C MHO>KeCTBaMH A H B OHa .n;OJI>KHa 6bIJ[a 6hI co.n;ep>KaTb MHO:>KeCTBO A \ B, a 3TO MHo:lKeCTBO B ~aHHYIO cHcTeMy He BXO,n;HT. 4.

IIycTb

Henocpe,n;CTBeHHO H3 orrpe,n;eJIemm KQJ[b:u.a BbITeKaeT

TeopeMa 1.

IIepece'lemle

JIlo6oro MHO>KeCTBa KOJre:u. eCTb KOJrbD;O. HMelOT MeCTO npe~cTaBJreHIIJI

3aMe"laHHe.

AUB=AnB,

= An B, n \ A, B = n \ B

AnB=AUB,

A\ B

3.n;ecb

A=

A.6B

=

(A \ B) U (B \ A).

H T ..n;.

II03TOMY ~.JI.R: a.rrre6phI MO:>KHO ~aTb ,n;Ba ,n:PY!'HX onpe.n;eJIeHHJI, 3KBHBa­ JIeHTHhIX npHBe.n;eHHOMY.

Onpe,ll;eJ.leHUe 2.

HenycTM CHCTeMa lVlHO:>KeCTB

S

C e,n:HHHueH Ha3hIBa­

eTCH a.rrre6poH) eCJIH OHa o6Jra,n;aeT TeM CBORCTBOM, 'iTO H3

A E S, B E S CJIe.n;yeT, "ITO A n B E S. Onpe,ll;eJ.leHBe 3. HenycTM CHCTeMa MH02KeCTB S C

"'ITO

A E S,

:If E S,

H H3

TeopeMa 2.

A E 5, B E 5

R,

CJIe.n;yeT, "ITO

co,n:ep2Karu;eM

R(S),

A

E

S

CJIe,n:yeT,

AU B E S.

,l..lJIJl JII060rr nenycToH CHCTeMbI MHO>KeCTB

O,n;HO H TOJIbKO O~HO KOJIb:u.O KOJrbn;e

CJIe.n;yeT,

e.n;HBHD;err Ha3hIBa­

eTCJI aJIre6pOH, eCJIH OBa o6JIa.n;aeT TeM CBOHCTBOM, 'ITO 1013 "'ITO

A E S

11 H3

co,n;ep:>Kar:u.ee

SH

S

cyrn;ecTByeT

co.n;ep>Karu;eeCH B JII060M

S.

.LJ:oKa3aTeJlbCTBO He npHBO,n;HTCJl. TaKoe KOJIbll,O Ha3bIBaeTCK .MU~u.M;aJ!;b~b!M KOJrb:u.OM, co,u:ep:>KaW;HM

Onpe,ll;eJIeHHe 4.

CHcTeMa MH02KeCTB

OHa co.n;ep>KHT rrycToe MHO.>KeCTBO

0,

S Ha3bIBaeTCJI

S.

nOJf,Y1CoJtb'40M, eCJUI

3aMKHyTa no OTHomeHHIO K 06pa30Ba­

HRIO nepece-qeHJifH H o6JIa.n;aeT TeM CBOHCTBOM, 'ITO H3 npHHa,n;JIe:>KlIOCTH K MHO:>KeCTB

A

H

A1 C A

BbITeKaeT B03MO>KHOCTb npe~CTaBJIeHHJl A B BH,n:e

S

6

r,n;e

Ak

- rrbnapHO He nepeCeKaIOIII.Heca: MHO:>KeCTBa H3

nepBoe H3 KOTOphIX

AI'

eCTb Ja,n;aHHOe MHO:>KeCTBO

B

S,

,n;aJIbHefu:neM, BCJIKHH Ha60p IIonapBO He nepeCeKalOIlJ;HXCJI MHO:>KeCTB

06':be,n;HHemle KOTOpbIX eCTb 3ap;aHHOe :MHO:>KeCTBO Ue'l{UblM. pa3J/,O'JICeUUeM MHO:>KeCTBa

BCJlKoe KOJlhIJ,O MHO:>KeCTB

R

A,

6yp;eM Ha3hIBaTh r;;o­

A.

eCTb IIOJIYKOJIbII.O.

MO:>KHO BJJlTb

n = 2,

A 2 = A \ At. TeopeMa 3.

EC.Jul

S-

IIOJIyKOJIbIJ;O, TO MHHHMaJIbHOe KOJIb:IJ;O

Brrap;aeT C cBcTeMoH MHO:>KeCTB

Ha MHO:>KeCTBa

A}y

E

A,

R(S)

co­

,n;onycKaIOnJ;HX KOHe'tIBbIe pa3.JI02KemUI

S.

,l);oKa3aTeJIbCTBO He rrpHBo,n;HTCJI.

Onpe~eJIeH:l1Ie

5.

KOJIbIl,O MHO:>KeCTB

S

Ha3hIBaeTCJI (T-r;;o.ab~OM, ec.Jm

OHO BMeCTe C Ka:>Kp;OH IIoae,n;oBaTeJIbHOCTblO MHO:>KeCTB

AI, A 2 , ••• ,An, . ..

co.n;ep2KHT MX 06':be,D;JmeHHe 00

A=

U An· n=t

Onpe,n:eJIeHHe 6.

S

KOJlhII.o MHOlKeCTB

Ha3bInaeTCJI t5-r;;o.ab~OM., eClIl1

OBO BMeCTe C Ka:>Kp;OH nOCJIe,n:OBaTe.JIbHOCTblO MHO:>KeCTB All

A 2l ... , An, ...

co,n;ep~THX rrepece~eHHe

00

A=

Il An· n=t

a-a.azc6pou

Ha3hInaeTCH (T-KOJIhII.O c e.n:HHMII.eH,

<5-KO.JIhII.O c e.n:HHMII.en.

H0

o-aJl,ze6pou

Ba3bInaeTCJI

3TH .n:Ba nOHJI.TJiIJI COBua.a;aIOT, Ka:>K.n;M

a-aJIre opa

JlBlliIeTCJI <5-aJIre6po:ii, H Ka:>K,n;M <5-aJIre6pa .lIB.JIJIeTCJI a-aJIre6poH. 3TO C.JIe­ ,n:yeT M3 Toro, "iTO 00

00

n=l

n=:l

U An=n\ n(Q\An), IIpuMep

n An = n \ U(0 \ An)· 00

00

n=l

n=t

aJIre6pbI, KOTOpM He J1BlliIeTca: a-aJIre6poH.

:>KeCTB, KOTOpaJI co,n;ep:>Kl1T nyCToe MHOlKeCTBO

0,

CHCTeMa MHO­

BceB03MO:>KHbIe KOHe"9:HbIe

7 no,n;MHO:lKeCTBa MHO)KeCTBa ,n;eHCTBHTMbHhIX '<J.HCeJI, BCeB03MO)J(HhIe rrO..tl;MHo­ )KeCTBa MHO)KeCTBa .n;eHCTBHTeJIbHbIX '9:HCeJI BH,n;a calvlO :MJIO)KeCTBO .a;e:H.CTBHTeJIbHbIX '9:HCM a-aJIre6pa Ha3bIBaeTCJI MHO)KeCTB

8,

R \ A,

r,n;e

A

KOHe'9:HO, H

R.

uenpu60aUMOU no OTHOmeH:BlO K ,n;aHBOB CHCTeMe

eCJm ee e,lI.JZIHH:u;a

n= U A. AES

TeopeMa 4.

,LJ;JIJI JI1060H HenyCToH CHCTeMbI MHO)KeCTB

nerrpHBo.n;HMaJI no OTHomeHHlO K

F(S),

co.a;ep)Kam;aJI

S

8

cym;ecTByeT

,1I.aHHOH CHCTeMe MBO)KeCTB a-aJIre6pa

H co.zx:ep)KaIIJ;aJICH B mo60H a-aJIre6pe, co.n;ep)KaIIJ;eil:

8. 3 ,ZJ;OKa3aTeJlhCTBO He npHBo.n;HTCJL a-aJIre6pa

F(S)

Ha3bIBaeTCJ!

MunUMUJtbUOU a-a.rrre6poB Ha.zx: CHCTeMOH S.

MHHHMMhHaJI a-aJIre6pa, co,n;ep)Kan:(aJI Bce OTpe3KH

[a, b]

MHO:lKeCTBa

R,

Ha3hIBaeTCJ! a-a.JII'e6pOH 60peJ1,e6C~UX MHO)KeCTB. COBceM HeO'IeBH,n:HO, '
A

c R,

He JIBJIJIIOTCH 6 OpeJIeBCKHMH.

Ho

KOTophIe He BXO,1l;JIT B

:3TY a-aJ.Ire6py, T.e.

MO)KHO ,lI.OKa3aTh, '
cy:rn;eCTBylOT.

306o:.ma'Iea0.e

F np00.CXO~HT

OT ,UU'Jl0.0:CKOf'O cJroBa

DOAHTCJI Ha aHf'JlIDicIOIH JObIK CJlOBO "aJJre6pa".

field,

Tax D AaHHOM CJly'Iae nepe­

8

II.

3aAaHHe Mephl Ha IIOJIYKOJIhn;e MHO)l{eCTB

H IIPOAOJDKeHHe MepbI C IIOJIYKOJIbn;a Ha MHHHMaJIhHOe KOJIbIJ;O

IIycTb

S-

HeKOTopaa ClilCTeMa MH02KeCTB, IiI epYHKIJ;HJI

f.J,: S-+R,

AES

T.e. Ka:>K.n;OMy MBO)KeCTBy

CTallliTCJI B COOTBeTCTBlle HeKOTopoe .n;eii­

CTBlilTeJIbHO e 'UICJIO.

Onpe,D;eJ.IeHHe 1.
f.J,

Ha3hIBaeTCJI

Mepoii, eCJIH BbIIlO.JIHeHbI CJIe­

.n;YIOIIJ;He yC.JIOBflJI:

1) S

2) 3)

JiB.JIJIeTCJI IIO.JIYKO.JIbD;OMj

3Ha'ieHHJI epyBKI:UlR QlYHKIJ;HJI

MBO)KeCTBa

J.i

f.J, HeoTplm;aTeJrhBhIj

a,Il.,ll;lITHBHa, T.e . .n;.JIJI JII06oro KOHe'IHoro pa3JIO:>KeHlHI

A E S

Ba rronapBO He rrepeceKaJOUl:l'IeCJI MHO)KeCTBa

Ak E S

BbIrrOJIHeHO paBeHCTBO

n

Jl{A) = L:jJ(Ak ). k=l

S,

Cn:cTeMa MHO)KeCTB

Sp.­ 3 aMe'laHHe. Ih

Ha KOTOpOH OIIpe~eJIeHa Mepa

J.i,

"iaCTO o603Ha­

"9:aeTCJI

pa3JIO)KeHHJI

B03MO)J{HO TO.JIbKO npH

B

Sm

C

Sp,),

'
J.i(0) = 2jt(0),

'
jJ(0) = O.

CHCTeMa MHO)KeCTB eTCJI

0 = 0 U 0 CJle.n;yeT,

8m

CO)I.ep:>KlilTCJI B CHCTeMe MHO)KeCTB

eCJIH Ka)J{~oe MHO)KeCTBO

A,

Bxo.n;HJJ:(ee B

Sp,

(o603Ha"9:a­

3m BXO.n;HT TaK)Ke

Sw Onpe,D;eJ.IeHHe 2. Mepa IJ Ha3bIBaeTCJI npOaOJ1,"JICeuue.M MephI m, eCJm

Mepa m

8m C SIl-'

3a.n;aHa Ba ITOJIYKOJIbn;e H )I.M JII06oro

A,

Sm,

Mepa

npHHa~JIe)Kam;e~o

f.J,(A)

= m(A).

J.i

3a.n;aBa Ha IlOJIYKOJIbII;e

Sm,

Sp"

HMeeT MeCTO paBeHCTBO

9

.ll:.JIJI

TeopeMa 1.

Sm,

KOJIh:o;e

Ka)K~OB MephI

m,

3a)(aIIHOH Ha HeKoTopoM rroJIy­

cym;ecTByeT O)I;HO H TOJIJ"KO O,LJ.:HO rrpO,Il;OJDKeHHe

OIIpe~eJIeHWIKO.JIhIJ;O

cBoeH 05JIaCThIO

R(Sm)

m',

HMeIOJJ.J;ee

(MHHHMMhHoe KOJIhIJ;O

Ha~

Sm)'

,lloKa3aTeJIbCTBO Be TIpHBO,n;HTCH.

Onpe~eJIeH:ue MHO)KeCTB

3.

ecml .D;.1UI.JII06bIX ,An, ..., npIfHa,n;JIe2KamHX nOJIyKOJIbD,y Sm H Y)(OBJIe­

Mepa m Ha3hIBaeTCJl a-a,n;.u;IfTHBHOH,

A, At, A 2 , •••

TBOpJIIOIUIIX YCJlOBHJlM

Ai n A j =

0

rrpn

i

f. j

HMeeT MeCTO paBeHCTBO 00

L

m(A) =

m(An ).

n=l

IIpBMep

a-a,n;,n;HTHBHOH MepbI. IIycTb

rrpOH3BOJIbHOe c~eTBoe MHO}l{eCTBO H 'UICJIa

Pn

> 0 TaKOB.hI,

'iTO

00

LPn = 1. n=l

IlOJIYKOJIbIJ;O

A

c

Q

Sm

COCTOHT H3 BCex nO,lJ,MHO)KeCTB MHO)l(eCTBa

D:.

.ll:JIJI Ka:>K,LJ.:OrO

nOJIO)l(HM

m(A) = LPn. wnEA JIerKo npOBepHTb, ~TO m - a-a,n;,n;HTHBHaJI Mepa.

IIpHMep

Be a-a,lJ,,lJ,HTHBHOH MepbI.

IIycTb

D: -

MHO)KeCTBO BCex paIJ;HD­

[0, 1], a Sm COCTOHT H3 nepeCe'leHlZIH D: C npOJZl3BOJIb­ (a, b), OTpe3KaMlZI [a, b], nOJIy:HHTepBaJIaMH [a, b), (a, b] BH,n;eTb, ~TO Sm - IIOJIyKOJIb:U;O. )..(JIJI Ka2K,n;oro MHO)l(eCTBa

Ha.JIbHhIX TO'leK OTpe3Ka HhIMlZI HHTepBaJIaMH H3

[0,1].

A ab

E

8m

JIerKo

nOJIO:>KHM

m(Aab ) TOI',lJ,a

m(Q) = 1,

HO

Q-

= b-

a.

:?lTO 06'h~HHeHHe C"IeTHOI'O 'lHCJIa TO"leK, KroK)I;aJ(

H3 KOTOpbIX HMeeT Mepy HyJIb.

TeopeMa 2.

Sm,

ECJIH

Mepa

m,

a-a)I;,ll;HTMBBa, TO H Mepa

KOJrhIJ;O

R(Sm),

Ollpe,n;e.n:eHHaJI Ha HeKOTopOM IIOJIyKOJrhIW

m',

TaK)Ke a-a,n:,n;HTHBHa.

nOJIY'larornaJIcJI ee rrpo.n;OJI)KeBHeM Ha

10 .Ll:oKa3aTeJIbCTBO He npMBO,lI,:lITCH. Ba2KHbIM npl1lMepOM HBJIJleTCH rrOJIYKoJIbno, COCTOJlIIJ;ee H3 rrpJlMoyrOJIb­ BHKOB. PacCMOTpBM :MHO:>KeCTBa Ha TIJIOCKOCTH (X,

y),

Ka:>K,ll;oe H3 KOTOp:hIX

onpe,ll;eJLlIeTCH O,ll;HBM Jil3 HepaBeBCTB BH.n;a

a

~

x

~

b,

a

~

x < b,

a<x

~

b,

a<x


~

d,

c

< b,

H O,n;HHM H3 HepaBeHCTB BH,n;a

c ~ y::; d, r,n;e

c::::; y

< d,

c

< Y < d,

a, h, c, d - npOH3BOJIbHbIe 'IHCJIa. ,UJUI Ka:>K.a;oro TaKoro npHMoyrOJIhHHKa onpe,n;eJIHM ero Mepy

CJIe,n;yIOIIJ;RM

06Pa30M: a) Mepa nycToro MBO)KeCTBa paBHa HyJIIO. 6) Mepa BenycToro npJlMoyrOJIhHHKa, onpe,n;eJIJIeMOTO 'IMCJIaMB

a, b, C, d,

paBHa

(b - a)(d - c). ,UJUI rrOJIyKOJIhlI,a,

COCTOJlIIJ;ero il3 npJlMoyrOJIbHBKOB, TaK orrpe,n;eJIeHHaJI Mepa

COBna.u;aeT C 06LI'9HOB TIJIOIIJ;a,ll;hIO. 0603Ha'IHM nOJIyKOJIhU;D npJlMoyrOJIhHHKOB 'gepe3 MaJIhHOe KOJIbll.0 Ha,n;

S.

MepbI m C n0JrYKOJIb:u;a

Qepe3

S

m', KaK M paHhme,

Ha KO.1lhnO

R(S).

S,

'gepe3

R(S) -

MHHH­

ooo:ma'IUM npo.n;OJOKeHUe

MO)KHO ,ll;OKa3aTb, 'ITO MepbI m

U m' JlBJIJlIOTCJI a-a,n;,n;HTHBHbIMB. B

COOTBeTCTBHH C TeopeMoB

3

pa.3.u;eJla

I

KOJIblI,O

R{S)

COCTOHT H3

MH02KeCTB, Ka:>K,n;oe 113 KOTOpLIX JlBJIJIeTCH 06'be,n;HHeHHeM KOHe'IHOrO "IHCJIa HenepeceKarom;:IIXCH npJlMoyrOJIbHUKOB. Mepa

m',

.LI:JIJI TaKMX MHO)KeCTB onpe,n;eJIeHa

eCTeCTBeHHO, COBna,n;aroru;M C D.JIOIIJ;a,D:.bIO.

Ho Mepa OCTaeTCJI He

orrpe,n;eJIeHHOH ,n;JIJI KpyroB, napaJIJIeJIOrpaMMOB :II MHorBX APyrHx MHO)KeCTB. IIo3TOMY CJIeAyeT Orrpe,ll;eJIHTh HeKoTopyIO cHcTeMy MH02KeCTB 3Ha'IHTeJIbHO 60JIee nrnpoxy10, "IeM

R{S),

H .a;aTh onpe,n;e.JIeHRe MepbI ,n;JIJI 3THX MHO)KeCTB.

11

III. JIe6eroBo

IIpO~OJI)KeHHe MepbI

ITYCTb Ha HeKOTopOM IIOJIyKOJIhlJ,e MHO)KeCTB a-a,n;,n;WTHBHM Mepa m. CTBa

0,

IIycTb

A -

8m

C e,n;HHHIJ;eH

He 05.H3aTeJIbHO rrpHHa,LJ;JIe)Karu;ee IIO;ryKOJIbU;Y

Onpe~eJIeHHe 1.

Buelliueit ...f,epOU MBO)KeCTBa A Ji*(A) =

0

3a,n:aHa

npOH3BOJIbHOe no,n;MHO)KeCTBO MH02Ke­

Sm.

c n Ha.3hIBaeTC.H '"IHCJIO

in(E m(En ), n

r,n;e HH)KHJIJI rpaHb 6epeTC.H no BceM rrOKphITHJIM MHO)KeCTBa HJIH C'1eTHhIMH CHCTeMaMH :MHO)J{eCTB

Onpe.n;eJIeHHe

6e2y,

2.

MHO)KeCTBO

eCJIH ,LJ;JIJI JIlo6oro E

>0

En

KOHe~HhIMH

Sm'

E

A c 11

A

Ha3h1BaeTC.H U3.t.tepU.t.tbtM no JIe­

E E R(Sm)

cyrn;ecTByeT MHOlK:eCTBO

TaKoe,

~TO

Ji*(A6B) 3,n;ecb

R(Sm) -

< E.

:M:HHIIMaJIbHOe KOJIbIJ;O, co,n;ep>Kam,ee

Sm'

I13MepIIMhIe DO JIe6ery MHO>KeCTBa "laCTO Hll.3b1BaIQT npOCTO H3MepH­ MhIMH.


.n,e6e206oit M,epOu H 0603Ha"iaeTC.H J-t. JIcHo, Sm H 113 R(Sm) H3MepIIMbI. TeopeMa 1. CHCTeMa M R3MepHMhIX TIO JIe6ery

3hIBaeTC.li 113

a-a.JIre6pOH

C e,rr;HHHIJ;e:il:

"'ITO BCe MBO)KeCTBa

MHO)KeCTB .HBJI.HeTC.li

f!.

.uOKa3aTe.JIbCTBO He IlpHBo,n;nTC.H.

TeopeMa 2.

Mepa

Ji,

onpeAeJIeHHM Ha CHCTeMe

M

IDMepHMbIX no

JIe6ery MHO>KeCTB, .liBMeTC.H a-a,n;,n;nTl'IBHOH. .uOKa3aTeJIbCTBO He rrpHBo,n;HTC.H.

TeopeMa 3.

ECJIH A l :J A 2 :J ... -

IIOC.JIe,LJ;OBaTeJIbHOCTb BJ[O)KeHHbIX

,l:(pyr B ,lI.pyra H3MepHMbIX MHO)KeCTB H 00

A=

nAn, n=l

TO

12 ).J;oKa3aTeJIbCTBO He npBBOAHTCJI.

ECJW Al C A 2 C ... -

TeopeMa 4.

HOCTb H3MepHMhlX MHO)KeCTB

pacnm:pRIOD.l;MCJI nOCJIe,IJ;OBaTeJIh­

:a 00

A=

U An, n==1

TO

IIycTb

n - MHO)KeCTBO, Ba a-a.n:re6pe nOAMH02KeCTB KOToporo ~ 3a.n:aHa

a-aAAHTIilBHaJI Mepa j.,L.

Onpe~eJIeHl;Ie

1.

cPYBKD;HJI

j:o'-+R Ha3hIBaeTCJI CTBa

u:J.M.epu.Mou no JIe6ezy,

eCJIH ,IJ;JIJI JII06oro 60peJIeBCKOro MHo:m::e­

A C R

lbMepHMbIe no JIe6ery
B

CJIy'9ae, eCJllI

n = R,

a ~ -

MepHMM
a-aJII'e6pa 60pe.rIeBCKHX MH01KeCTB, 113­

60pMe6nwu.

MO)KHO AOKa3aTb, "-ITO JIIOGaJI

HenpepbIBHaJI
TeopeMa 1.

):(JIR Toro, '9To6bI
f:o'-+R 6bIJIa JiI3MepBMOH Heo6xo,n;IilMO H ,Ll;OCTaTO'iHO, "
{x 6bLJIO H3MepHMhIM.

E it

TaKHX, "'lTO

:f(x) < c}

c E R

13 [(oKa3aTe.n.bCTBO He UPl2lBO,Il,B,TCfI.

3aMe-qaHHe.

TeopeMa

1

OCTaJIaCb

6:bI

ee

BepHoH, eCJIH 6M B


JIHpOBKe BMeCTO MHO)KeCTB

En

{x

TaI
f{x) < c}

TaKB,X, '"ITO

j(x)

y"'IaCTBOBaJIB 6hI MHO)KeCTBa

{x TeopeMa 2.

En

~

c}.

CYMMa, Pa3HOCTh H npOH3Be,n;eHHe H3MepH:MhIX epYHKIJ;:J2di

H3MepHMbI. qacTHoe .lI.BYx H3MepHMhIX
TeopeMa 3.

ECJm
f:n--+R g:R--+R 60pe.JIeBCKM, TO CJIO)KHaJI epyHKIJ,IDI

g(f(x))

IDMepHMaJI.

Onpe~eJIeHHe 2. TIOCJIe,Il,OBaTeJIhHOCTb

{fn(x)}

epyBKn;HH, orrpe,Il,MeH­

n C 3a.a;3JIHOH Ha HeM MepOH tt, ml.3:bIBaeTCfl cxoaJtuWt'J,CJ£ no"tmu acway K epyHKU,HH f(x), eCJIH cym;ecTByeT MHO)KeCTBO A c n, J.t(A) = 0 TaKOe, "ITO AM JIIo6oro x E n \ A

HhIX Ha HexoTopoM MHO)KeCTBe

lim fn(x) = f(x).

n-l'OO

TeopeMa 4.

ECJIJiI nOC.JIeAOBaTeJIhHOCTh H3Mepl2lMhIX

CXO,Il,BTCJI K
f(x)

nO'"ITH BCIO,II,Y Ba

n,


TO epYBKD;B.lI

j(x)

{fn(x)} TaK)Ke

H3MepHMa. ,l!;oKa3aTeJIbCTBO He rrpHBOAHTCJI.

Onpe.n;e.TIeHUe 3.

TIOCJIeAOBaTMbHocTh

onpe,ll.eJIeHHhIX Ha BeKoTopoM MHO)KeCTBe Ha3:bIBaeTCJI JII06oro

cxoJ,It'w,euCJ£ no ..uepe

n

{fn(x)}

H3MepHMhIX epYBKU,HH,

C 3a,ll.aHHOB: Ha HeM MepOM

K H3MepHMOH eJ?yHKU,HH

f(x),

6>0 lim J1{x

n-l'OO

En

TaxHx, ~TO

Ifn(x) - j(x)1 > 6} = O.

J.t,

eCJm .JJ;JI.lI

14 TeopeMa 5.

ECJIliI nOCJIe,JJ;oBaTeJIbHOCTh liI3MepHMbIX

CXO,JJ;liITCJI K
~YHKlJ;liIH 1(x)

1(x)

nO'iTliI BCIOAV' Ha

no Mepe.

n,

~YHKIJ,liIR

{In(x)}

TO OHa CXO,JJ;liITCJI K TOR )l{e

.

.uOKa3aTeJIhCTBO He npHBo,n;liITCJI. 06paTHoe yTBep::lK,n;eHliIe K TeopeMe

5,

KaK nOKa3blBaeT CJIe,JJ;YIOIII;HM IIplil­

Mep, HeBepHO.

IIpuMep

nOCJIe,n;OBaTeJ[hBOCTH
,lJ;JIII(eHCJI IIO~TH BClO,IJ;Y. HHTepBaJIe

(0,1]

,z:J:JIJl

k

Ka::lK,n:oro HaTypaJIhHOrO

onpe.n;e.rrHM Ha IIOJIY­


11(k) ,/2(k) , ... , I k(k) , CJIe,n;YlOIIJ;HM 06pa30M:

i-I

i

--<x<­

IIpH

k

- k

nplil OCTaJIhHI:JX

x

3aHYMepOBClB BCe 3TH
TeopeMa 6.

DYCTL IIOCJle.n;oBaTeJIhHOCTb liI3MepHMbIX
CXO,ll;HTCJI K H3MepHMoH ¢YHKD;liIH

f (x)

{fn (x) }

no Mepe, H rrycTh H HenpepbIBHaJI

¢YHKIJ,HH

g: R -7 R. Tor,n:a nOCJIe,II.OBaTeJILBOCTh

g(J(x»

{gUn(x»)}

CXO,n:HTCJI

K

cpyHKD:HH

no Mepe.

v. OnpeAeJ1eHXe 1. CTBe

epYHK~:0:

MHTerpaJI JIeoera


f (x),

orrpe,n:eJIeHBaJI lIa HeKoTopoM MHO)l{e­

n C 3a,n;aHHoH Ha HeM MepOH, Ha3bIBaeTC,lI npocmou, eCJlH OHa IDMepHMa

H npHHHMaeT Be 6oJIee, ~eM C'ieTBOe '{HCJIO: 3Ha"'IemrH.

15 TeopeMa 1.


f (x),

npHBlJMaro:W;M He 60JIee I 'leM C'ieTHOe

'IRCJIO 3Ha'leHE:H

Yt, Y2,· .. ,Yn, ... , H3MepRMa B TOM H TOJIl:,KO B TOM CJIY'1ae, eCJIH Bce :MH02KeCTBa

en = {x

n

E

f(x)

TaKHX, 'iTO

= Yn}

H3MepBMbI. )l:oKa3aTeJIhCTBO He npHBO)l}ITCH. TIYCTh

A -

HeKoTopoe H3Mep:HMOe rr0,lJ;MH02KeCTBO MHo}J{ecTBa'o. 110JI0­

)JG1IM

An = {x E A Onpe/I:eJleHue 2. Mepe

f-L Ha

f(x)

TaKHX, "ITO

= Un}

IlpoCTM ct>yHKIJ;:HH Ra3J:JBaeTCH

A,

MH02KeCTBe

uumezpupye.uoiJ,

no

eCJIR pH,rr;

n a6COJIIOTHO C:X:O ,ll)ii TCH. ECJIR rrpOCTaJI epYHKIJ;HJI 3J:JBaeTCH

unmeZpa.ILOM

OT

f

f

E:HTerpHpyeMa, TO cyMMa ,n;aHHoro pH,rr;a Ha­

no MB02KeCTBY

A

H 0603Ha-qaeTCH

Jj(x)df-L A

TeopeMa 2. TOpOM MHO}J{eCTBe

,l(JUI

Toro, 'lTo6hI ct>yHKII,HJI

f(x),

n C 3a,rr;aJIHoH Ha HeM MepOH,

onpe.n;eJIeHHaJI Ha HeK0­

6bIJ1a 1'I3MepRMOB, Heo6xo­

,ll;I'IMO E: ,rr;OCTaTO"IHO, 'lTo6bI OHa MOrJIa 6bITh npe..u;CTaBJIeHa B BI'I,ll;e npep;e.JIa paBHOMepHO cXO,JJ;JIru;eHcH nOCJIe,n;OBaTe.JIbHOCTR npOCThIX H3Mep1'IMbIX:
Onpe,lJ;e.JIeHUe 3.

IlycTl> ct>YHKlII'IH

f : n -+ R H A - HeKOTopoe R3MepH­ f unmeepupye.MOU Ha

Moe IIO,ll;MH02KeCTBO MHO>KeCTBa'o. Ha30BeM
A

A,

eCJIR cyru;eCTByeT IIOCJIe,n;OBaTeJIbHOCTb npOCThIX E:HTerpRpy­


{fn(x)},

CXO.n;.a::w;aJlCH K

J~~

Jfn(x)df-L A

f

paBHOMepHO Ha

A.

Ilpe,rr;eJI

16 0603Ha'iaeTCJI

f f(x)djl A

R Htl3bIBaeTCJI

unmeZpalW.M, JIe6eza


f

IIO MH02KeCTBY

A.

3TO onpe,n;eJIeHRe KOppeKTHO, eCJIlII B:blnOJIHeHbI eJre,n;ylOIIJ;He yCJIOBHJI: a) IIpe,ll.e.JI RHTerpa.rrOB ,n;JIJI JI1060H paBHOMepBO cxo,n;JIrn;eHCJI IIOCJIe,n;OBa­ TeJ!hHOCTH npOCThIX HHTerpHpyeMhIX Ha

6)

A

3TOT npe,n;e.rr IIpR 3a,n;aHHoH
,n;OBaTeJIhHOCTH


f

He 3aBHCHT OT BhI50pa rrOCJIe-­

fn.

B) .aJIJI npOCThIX
it = R, A -

OTpe30K ,n;eHCTBHTeJIh­

HOM npJIMOH, TO JI106aJ1 HHTerpHpyeMaJI no PRMaHY
06paTHoe HeBepHO, cym:eCTBYJOT

cpYHKIl,HH HBTerpHpyeMhIe DO JIe6ery H He HHTerpHpyeMhIe no PHMaHy. 3TOMy ,n;a2Ke DpH paCCMOTpeHHH TOJIhKO c.rry"'IaJI

n ==

R

ITo­

HHTerpaJI JIe6era

JIBJUleTCJI 60JIee CHJIhHhIM HBCTpyMeHTOM, -qeM HHTerpaJI PHMaHa. TaKOD: 2Ke OCTaeTCJI cHTya:O;HJI H IIpH paccMoTpeHHH KpaTHhIX HHTerpaJIOB PHMaHa. IIpHBe,n;eM 6e3 p;OKa3aTeJIhCTBa OCHOBHhle CBoHcTBa IilHTerpaJIa JIe6era.

1.

11

= fl(A).

dj.1,

A

2.

.D:JIJI JIJ()6oro c

ER

! cf(x)dj.1, ! j(x)dj.t. =

A

3.

c

A

A,n;,n;MTHBHOCTh

! (f(x) + g(x))dfl = ! f(x)dJ], + ! g(x)dlJ, A

A

A

rrpH"'leM H3 cym;ecTBOBaJIHH HHTerpaJIOB B npaBOH -qaCTH CJIe,n;yeT cyrn;ecTBo­ BaJIHe HHTerpa.rra B JIeBOH "'IacTIi.

17

4.

OrpaHlrqeHHM Ha MHO)KeCTBe

eMa Ha

5.

A

IDMepHMM cj)YHKIJ;HJI

f

HHTerpHpy­

A.

MOHOTOHHOCTb. ECJIIiI

j(x) ~ 0 Ha A,

TO

Jf(x)dj1, ~ O. A

j1,(A) = 0,

6.

ECJm

7.

ECJIH ¢>YHKIJ,JIJlI(J HHTerpHpyeMa Ha

TO

f j(x)dj1, = O.

A

A, f(x)

H3MepHMM Ha

A

epYHKIJ;l-IJI,

H nO"'ITJI BCIO,n;y

TO

f 8.

TaK)Ke

If(x)1 ~
MHTerpa..n:bI

Jj(x)dj1" f If(x)1 dj1, A

A

cym;ecTByIOT HJIH He CYIIIeCTByroT O,ll;HOBpeMeHHO.

TeopeMa 3.

ECJIH 00

A=

U An, n=l

TO

f f(x)dj1, f f f(x)dp" =

A

n=l An

rrpH"'IeM H3 CYIIIeCTBOBaHHH HHTerpaJIa B JIeBOH "'IacTH BbITeKaeT cynr,eCTBO­ BaHHe HHTerpaJIOB H a6COJIIOTHM CXO,ll;HMOCTb pJl,n;a B rrpaBOH "'IaCTH. )loKa3aTeJIbCTBO He npHBO,D;JilTCJI.

TeopeMa 4.

ECJIH

/ If(x)1 dp. = 0, A TO

f (x)

= 0

nO"'ITH BCIO,n;y Ha

A.

)loKa3aTeJIbCTBO He npHBO,ll;HTCJI.

TeopeMa 5.

ECJIIII nOCJIe.Lt.0BaTeJIbHOCTb

IJ;HH CXO,n;HTCJI K epYHKIJ;HH

&~xEA

f (x)

{fn(x)}

IIO"'ITH BCIOAY Ha

:

Ifn(x)1 ::; rp(x),

A

H3MepHMhIX Ba

H rrpH BCex

A

epyHK­

n Ii rrpl1 nO"9:TH

18 r,u;e

!

fn(X)dj.t

f

HHTerpHpyeMa Ha

n ->-

npH

A

H

00.

A

COOTBeTCTBHe IIOHJITHH TeOpHH MepbI II u

TeOpHIi BepOJlTHOCTeH

TeopWl BepOHTHOCTeB KaK HayKa B03HHKJIa B

XVII

BeKe, HO B

6e3­

ynpe'tJHO CTporHH pa3,u;e.n: MaTeMaTHKH TeOpRJI BepOHTHOCTeH 6hIJIa npeBpa­

XX

IIJ,eHa TOJIhKO B

BeKe, KOI',n;a 6hI.JIO upe,ll;JIO)KeRO C'iHTaTh C06hITHJIMH 113­

Mepln"rue rro,n;MHO}KeCTBa HeKOTOpOro MBO}KeCTBa, a CJIY'iallHhIMH BeJI::H"9H­ HaMH - H3Mepl1MhIe epYHKI!.HI1 , onpe,n;e.rreHHhIe Ha 3TOM :MHO}KeCTBe.

B THH,

CJIe,n;YlOmeH Ta6JUm;e npHBe.rr,eHO COOTBeTCTB:He Ha3BaJIHH Tex IIOHj{­ KOTophIe B TeopHH MephI 1'1 B TeOp:H11 BepOHTHOCTen: Ha3hIBaIOTCJI

no-pa3HoMy. MHO)KeCTBO

n

I1pocTpaHCTBO ::meMeHTapHhIX

M3MepHMoe MBO}KeCTBO

A

cn

Mepa H3MepHMoro MHO)KeCTBa

C06hITJlIH

n

Co6hITI1e

A

cn

BepoHTHoCTh C06hITJ.lH

P(A)

J.t(A) (J-aJIre6pa H3MepHMhIX MHQ:>IWCTB

a-aJIre6pa C06hITHll

3='

3='

M3MepHM8JI
f : n ->- R

I1BTerpaJI JIe6era I13MepHMoll
CJIY'iaJIHaJI BeJUpnma O}KHAaBHe

f

X : n ->- R

E(X)

CJIy'tlaHHOH BMH"lHHhI

X

CXO,u;HMOCTh H3MepHMhIX

CXO.rr,HMOCTb CJIY"9allBhIX


BeJIH"9HH no BepOHTHOCTH