Temel Istatistik

Temel İstatistik Terimleri ve Dağılımlar

Temel Tanımlar  Her bilim kolunda olduğu gibi istatistik de

kendine ait terimler üretmiştir. Bunlardan belli başlılarını ilerideki konuların anlaşılmasını sağlamak üzere tanımlayalım.  Yığın (Population): N gözlemden oluşan geniş veri seti Örnek: Yüksek Lisans Öğrencileri Örneklem: Topluktan alınan n tane gözlemden oluşmuş grup Örnek: GYTE’deki Yüksek Lisans Öğrencileri  Rasgele değişken: deneydeki bir sonraki gözlemin değeri.

Temel tanımlar  Yığını tanımlayan bir nicelikle örneklemi tanımlayan bir nicelik birbirinden farklıdır.  İstatistik: Yığını temsil ettiği düşünülen verileri kullanarak hesaplanmış nicelikler  Parametre: Yığınla özdeşleştirilen idealize edilmiş nicelik. Parametreler direkt olarak ölçülemezler ve bu nedenle istatistikle tahmin edilirler. Parametreler Yunan harfleriyle istatistikler ise Roma harfleriyle gösterilir.

Yığın ve Örneklem

Yığın N: gözlem sayısı Ortalama: µ Varyans: σ 2 Standard Sapma: σ

Örneklem

n: gözlem sayısı Ortalama: y Varyans: s2 Standard Sapma: s

Yığın ve Örneklem Yığın

Ortalama

Σyi µ= N

Örneklem

yi: gözlem

Σy i y= n

Varyans: belli bir gözlemin yığın ortalamasından ne kadar farklı olduğunun ölçüsüdür.

Standard sapma

σ2 =

Σ ( yi − µ ) N

σ=

Σ ( yi − µ ) N

2

2

Deneyi yapan, yığın parametrelerini örneklem istatistiği ile elde edebilir.

2 Σ ( y − y ) i s2 = n −1

Σ ( yi − y ) 2 s= n −1

Yığın ve Örneklem varyans

Standard sapma

Σ ( yi − y ) 2 s = n −1 2

Σ ( yi − y ) 2 s= n −1

Bağımsızlık derecesi: ν = n-1 varyansı hesaplarken ortalamanın kullanılmasıyla bağımsızlık derecesi v = n-1 olur. Bağımsızlık derecesi: bir parametrenin hesaplanmasında kullanılan her bir bağımsız bilgi girdisi

Bağımsız bilgi girdisinin azalmasıyla, hesaplanan s toplam gözlem sayısının bir eksiğine bölündüğü için örneklemdeki sapma daha büyük olacaktır.

Ortalama ve Standard Sapma  Verilen değerlerin ortalaması en az bir daha fazla anlamlı basamakla gösterilmelidir. Standard sapma ise en az üç anlamlı basamağa kadar hesaplanmalıdır.  Örnek: NO3 ölçümleri = 6.9, 7.8, 7.9,7.1  Ortalama = 7.42 mg/l  s = 0.499

Hassasiyet, Yanlılık ve Doğruluk Verideki saçılmanın derecesi A

Gerçek Değer

B C D 7.5

Yanlılık ve hassaslığın bir fonksiyonu

Sistematik Hatalar

8.00

8.5

9

Y

H

D

A B

Büyük

İyi

Az

Küçük

Kötü

Az

C D

Büyük

Kötü

Az

Yok

İyi

Çok

Yanlış ölçümler kötü hassasiyet ya da yanlılığa, veya bunların her ikisine de sahip olan ölçümlerdir.

Yanlılık  Yanlılık = y-µ

Yığın ortalamasının (µ ) 8 mg/l olduğunu biliyorsak, yanlılık ölçüm sonuçlarının ortalaması (y) ile 8 mg/l arasındaki farktır. Yanlılık sistematik hataya işaret eder. Eğer kaynağı tespit edilirse ortadan kaldırılabilir. Soru: Daha fazla sayıda ölçüm yapmak yanlılığı ortadan kaldırır mı?

Hassasiyet  Hassasiyet: Tekrar edilen ölçümler arasındaki farklara göre belirlenir. Ölçümler arası farklardan kaynaklanan bu saçılmalar deneydeki rasgele (deneysel) hatalar ile ilgilidir. Eğer hassas bir ölçüm söz konusuysa bu hatalar küçüktür. Hata büyüklüğü daha fazla sayıda ölçüm yapıp ortalaması alınarak sağlanabilir.  Soru: Deneysel hatalar tamamen ortadan kaldırılabilir mi?

Deneysel Hatalar (gürültü)   

Gerçek değer µ ve ölçülen değer yi ise Yi = µ + ei ei: hata payı, gözlemlerdeki dalgalanma ya da bir deneyden diğerine değişen fark. Bir yanlışlık, yanlılık, bir gaf değil, istatistiksel ölçmenin kaçınılamaz bir sonucudur.    

Aletin durumu Kullananın becerisi Numune alma sırasındaki hatalar Ortam şartlarındaki farklılıklar

Deneysel hatanın kaynakları

Normallik,Rastsallık ve Bağımsızlık  Birçok istatistiksel işlemin dayandığı üç önemli özellik   

Normallik Rastsallık Bağımsızlık

 Normallik: ölçümdeki hatalar normal olasılık

dağılımından gelir. Bu da hatanın bir çok nedeni olduğu ama hiçbirinin diğerine baskın olmadığı varsayımına dayanır. Her zaman olmamakla birlikte çoğunlukla bu varsayım geçerlidir.

Rastsallık  Rastsal, bir yığına ait gözlemlerden rasgele birinin çekilmesi durumunda, yığındaki her bir elementin eşit çekilme şansı olması demektir.  Rastsallık terimi aksi söylenmediği takdirde, genellikle yanlılık veya bir korelasyonun olmadığı anlamına gelir.

Ölçüm No

NO3 Kons 1

6.9

2

7.8

3

8.9

4

5.2

5

7.7

6

9.6

7

8.7

8

6.7

9

4.8

10

8

11

10.1

12

8.5

13

6.5

14

9.2

15

7.4

16

6.3

17

5.6

18

7.3

19

8.3

20

7.2

21

7.5

22

6.1

23

9.4

24

5.4

25

7.6

26

8.1

27

7.9

Örnek Bir laboratuarın nitrat ölçüm işlemleri 8.0 mg/L lik olduğu bilinen 27 numuneyi laboratuara gönderip ölçtürerek değerlendiriliyor. Sürekli ve çok sayıda ölçümün yapıldığı laboratuarda teknik elemanlar bunun bir değerlendirme olduğunu bilmiyorlar. 27 numunede bulunan NO3 değerleri yandaki tabloda sıralanmıştır. Yığın: 8.0 mg/L lik konsantrasyona sahip olduğu bilinen tüm örnekler Örneklem: Yığından alınan 27 tane numune ölçümü Örneklem Büyüklüğü: n = 27 Bu laboratuarda nitrat ölçümlerindeki hata rastsal mıdır?

NO3 Kons

Fark

1

6.9

1.1

2

7.8

0.2

3

8.9

-0.9

4

5.2

2.8

5

7.7

0.3

6

9.6

-1.6

7

8.7

-0.7

8

6.7

1.3

9

4.8

3.2

10

8

0

11

10.1

-2.1

12

8.5

-0.5

13

6.5

1.5

14

9.2

-1.2

15

7.4

0.6

16

6.3

1.7

17

5.6

2.4

18

7.3

0.7

19

8.3

-0.3

20

7.2

0.8

21

7.5

0.5

22

6.1

1.9

23

9.4

-1.4

24

5.4

2.6

25

7.6

0.4

26

8.1

-0.1

27

7.9

0.1

Örnek,Devam NO3 Kons

Fark (mg/l)

Ölçüm No

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 0

10

20 Ölçüm No

Şekilde görüldüğü gibi nitrat ölçümlerindeki hatalar için rastsal diyebiliriz.

30

Örnek  Ancak rastsallığın Teknisyen B 2

kr a F

kontrolünde deneye etki eden tüm faktörler göz önüne alınmalıdır. Örneğin nitrat örneklerinde deneyi yapan kişilere göre veri çizildiğinde şekildeki gibi bir durum çıktığında verilerin rastsallığından söz edemeyiz.

0

-2 Teknisyen A

Bağımsızlık  Bir dizi gözlemden bilinmeyen nedenlerden

deneysel hataların bir süre etkin olarak kaldığını varsayalım. Öyle ki birinci gözlem y1 yüksekse ikinci gözlem y2 de yüksek oluyor. Bu durumda y1 ve y2 istatistiksel olarak bağımsız değildir. Bir veri setinin bağımsız olmaması hesaplanan varyans değerini ciddi şekilde bozar ve normal ya da t dağılımına bağlı olarak yapılan çıkarımlar hatalı olabilir.

Bağımsızlık, Örnek  Verilen nitrat verilerinin bağımsız olup olmadığı hakkında ne diyebilirsiniz?

nitrat kons(i-1)

12

Bu örnekte ölçümler birbirinden bağımsız görünüyor.

10 8 6 4 2 0 0

2

4

6

8

nitrat kons (i)

10

12

Bağımsızlık  Çevresel veriler söz konusu olduğunda, arıtma tesisi giriş çıkış konsantrasyonları , ırmaktaki su kalitesi değerleri, bunların bir önceki ölçüm değerinden etkilenmemesi mümkün değildir. Çıkış kalitesi çok kötü ise bu bir süre devam edecektir. O nedenle bu tip verileri değerlendirirken otomatik olarak bağımsızdır varsayımını yapamayız. Veri setinde bağımsızlıktan söz edilemiyorsa, bu durumda özel yöntemler kullanılmalıdır.

Normal Dağılım Deneysel hatalar yüzünden tekrar edilen ölçümler arasındaki fark genellikle merkezi bir değerin çevresinde çan eğrisi şeklinde simetrik ve küçük sapmaların büyük sapmalardan daha çok olduğu bir şekilde dağılır. Bu şekilde sürekli yığın frekans dağılımına Gaussian ya da normal dağılım denir.

N(ortalama,varyans) N(µ ,σ 2): N(52,144)

Standartlaştırılmış Normal Dağılım Standartlaştırılmış normal sapmalarla çalışmak daha kolaylık sağlar. (veri Standard sapma cinsinde yazılarak orijinal ölçüm birimlerinden bağımsız hale gelir.)

z = (y-µ )/σ Ν ( 0,1)

1 . σ ortalama değerden büküm noktasına olan uzaklık 2. Ortalama değerden bir standartlık sapmayı geçen pozitif bir sapmanın olasılığı 0.1587 (0.00135+0.0214+0.1359) ya da 1/6, 2 σ ’yı geçme olasılığı 0.0228 (0.0135+0.0214) (1/40), 3 σ ’yı geçme olasılığı 0.0013 (1/750)

Örnek Standartlaştırılmış sapmanın 1.57’den büyük olma olasılığı kaçtır? (z değerleri tablosunu kullanın)

z = 1.57 α = 0.0582 = % 5.82 (Excel’de, = 1-Normsdağ(z)) Verinin %10’nun üzerinde olacağı z değeri kaçtır? Eğrinin altındaki yeşille gösterilmiş alana karşılık gelen z değerine bakılır. z = 1.28 (Excel’de, = normsters(1-olasılık) = normsters(0.90)

t dağılımı (Student’s t)  Herhangi bir normal değişkeni standartlaştırmak için µ ve σ ’yı bilmemiz gerekir. Ancak yığına ait s genellikle bilinmediğinden σ yerine s kullanılması artıdan bir hata devreye  z = (y-µ )/σ sokacak ve dağılım da buna göre farklı olacaktır. İşte bu farklı dağılım 1906’da William S. Gossett tarafından bulundu ve 1908’de yayımlandı. İngiliz σ =s kimyacı Dublin’de bir bira fabrikasında

 t = (y-n)/s

çalışıyordu. Ticari sırları ortaya çıkarmamak için takma isim “Student” ile yayımlandı. O nedenle Student’s T test olarak biliniyor.

t dağılımı  Eğer örneklem büyüklüğü sonsuz ise (N  ∞ ) t dağılımı normal dağılıma eşittir.  Eğer örneklem büyüklüğü küçük ise kuyruklar daha yayılmış hale gelir ve t değerleri kullanılır.  t tablosunu kullanırken serbestlik derecesi(sd) gerekir. Sd (Tabloda df, degree of freedom = N-1)

df\p

0.40

0.25

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

0.0005

1

0.324920

1.000000

3.077684

6.313752

12.70620

31.82052

63.65674

636.6192

2

0.288675

0.816497

1.885618

2.919986

4.30265

6.96456

9.92484

31.5991

3

0.276671

0.764892

1.637744

2.353363

3.18245

4.54070

5.84091

12.9240

4

0.270722

0.740697

1.533206

2.131847

2.77645

3.74695

4.60409

8.6103

5

0.267181

0.726687

1.475884

2.015048

2.57058

3.36493

4.03214

6.8688

6

0.264835

0.717558

1.439756

1.943180

2.44691

3.14267

3.70743

5.9588

7

0.263167

0.711142

1.414924

1.894579

2.36462

2.99795

3.49948

5.4079

8

0.261921

0.706387

1.396815

1.859548

2.30600

2.89646

3.35539

5.0413

9

0.260955

0.702722

1.383029

1.833113

2.26216

2.82144

3.24984

4.7809

10

0.260185

0.699812

1.372184

1.812461

2.22814

2.76377

3.16927

4.5869

11

0.259556

0.697445

1.363430

1.795885

2.20099

2.71808

3.10581

4.4370

12

0.259033

0.695483

1.356217

1.782288

2.17881

2.68100

3.05454

4.3178

13

0.258591

0.693829

1.350171

1.770933

2.16037

2.65031

3.01228

4.2208

14

0.258213

0.692417

1.345030

1.761310

2.14479

2.62449

2.97684

4.1405

15

0.257885

0.691197

1.340606

1.753050

2.13145

2.60248

2.94671

4.0728

16

0.257599

0.690132

1.336757

1.745884

2.11991

2.58349

2.92078

4.0150

17

0.257347

0.689195

1.333379

1.739607

2.10982

2.56693

2.89823

3.9651

18

0.257123

0.688364

1.330391

1.734064

2.10092

2.55238

2.87844

3.9216

19

0.256923

0.687621

1.327728

1.729133

2.09302

2.53948

2.86093

3.8834

20

0.256743

0.686954

1.325341

1.724718

2.08596

2.52798

2.84534

3.8495

21

0.256580

0.686352

1.323188

1.720743

2.07961

2.51765

2.83136

3.8193

22

0.256432

0.685805

1.321237

1.717144

2.07387

2.50832

2.81876

3.7921

23

0.256297

0.685306

1.319460

1.713872

2.06866

2.49987

2.80734

3.7676

24

0.256173

0.684850

1.317836

1.710882

2.06390

2.49216

2.79694

3.7454

25

0.256060

0.684430

1.316345

1.708141

2.05954

2.48511

2.78744

3.7251

inf

0.253347

0.674490

1.281552

1.644854

1.95996

2.32635

2.57583

3.2905

Örnek  20 birimli bir örneklem için verinin %5’nin büyük    

olacağı t değeri kaçtır? Normal dağılımda karşılık gelen z değeri kaçtır? t = 1.724 (Tablodan). Excel’de =tters (2*olasılık;Serbestlik derecesi) = tters(0.1;19) z = tablodan = 1.64 Excel’de =normsters (1-olasılık) = normsters(0.95)

Ortalama ve Varyansın Dağılımı  Tüm istatistikler rastsal değişkenlerdir ve ortalama ve bir

varyansı olan bir olasılık dağılımı ile tanımlanabilirler.  Ortalamanın örnekleme dağılımını incelemek için n birimli rastsal örneklemleri aldığımızı varsayalım ve her birinin ortalamasını hesaplayalım. Bir çok farklı ortalama y değeri elde ederiz ve olasılık dağılımı şeklinde y dağılımını çizebiliriz. Bu ortalamanın örneklem dağılımını verir. Eğer gözlemlerin (y) ortalama civarındaki sapmaları rastsal ve bağımsızsa o zaman y¯’nin dağılımını ortalaması µ ve varyans σ 2/n olacaktır.(σ 2/n ortalamanın varyansı. )

Ortalamanın Varyansı Yığın N

µ ,σ n y¯3

n y¯1

n

σ y örneklem ortalamasının (y¯) yığın ortalaması (µ ) civarındaki yayılımını verir. σ ise örneklemdeki gözlemlerin (y) µ civarındaki yayılımını verir.

2

n

Ortalamanın varyansı: σ 2/n

y¯4

Ortalamanın standart hatası: σ /√n ≈ s/√n

y¯2

Eğer ana dağılım normalse y¯’nin dağılımı da normal olacak, normal değilse y¯ dağılımı daha normal gibi olacaktır. Ortalamanın hesaplanmasında kullanılan birim sayısı (n) arttıkça y¯nin dağılımı normal dağılıma daha çok yaklaşır. Ortalaması µ ve varyansı σ 2/n olan dağılımı referans dağılım gibi alıp y¯ hakkında istatistiksel çıkarımlar yapmamızı sağlar. Örneğin y¯’nin belli bir sayıdan büyük ya da küçük olma ya da iki sayı arasında olma olasılığının değerlendirilmesinde.

Örnek  27 adet nitrat numune ölçümünün ortalaması 7.51 mg/l. s = 1.383.  Ortalamanın standart hatası kaçtır? sy = s/ √n=0.266 mg/l Örneklemin ortalamasının değişkenliği, örneklemdeki gözlemlerin değişkenliğinden daha azdır.

Karşılaştırmalar  Eğer yığın varyansı bilinmiyorsa, ki çoğunlukla böyledir, normal dağılımı karşılaştıracağımız referans dağılım olarak kullanamayız. Bunun yerine σ y yerine sy’yi yerleştirip t dağılımını kullanırız.  Örnek: Nitrat verisi (n=27) için y¯= 7.51 mg/l µ = 8 mg/l. Eğer gerçek ortalama 8 mg/l ise 7.51 gibi düşük bir ölçüm ortalaması çıkma olasılığı nedir?

Örnek, devam y−µ t= s/ n

7.51 − 8 t= = −1.842 1.383 / 27 ν = 27 − 1 = 26

Serbestlik derecesi 26, t değeri -1.842 için α değeri (yüzde) bulunabilir. α = 0.05 t = -1.706 α = 0.025 t = -2.056 α = 0.01 t = -2.479 Bu değerlerin ara-değerlemesi (interpolasyon) ile t = -1.842’e karşılık gelen α değeri 0.04 veya %4 bulunur. (Excel’de = TDAĞ(1.842;26;1) Yani 8 mg/l lik bir çözeltiden yollanan 27 ölçümün ortalamasının şans eseri 7.51 çıkma olasılığı %4 gibi küçük bir olasılıktır.

α =%4 -3

-2

t dağılımı µ =8 -1.842

-1

0

1

2

3

Örnek α =%4 -3

-2

t dağılımı µ =8 -1.842

-1

0

1

2

3

Nitrat ölçümlerin göz önüne alırsak ölçüm işleminin gerçek değeri altında değerler verecek şekilde sistemli bir hataya, yanlılığa sahip olduğu söylenebilir. Ya da yanlılık değil de tamamen şans eseri öyle olduğunu kabul edebiliriz.

 t referans dağılımı bir olayın sırf şans eseri olma olasılığını verir. Dağılımın kuyruk bölgesine düşen bir olay sıradışı olarak düşünülebilir. Eğer olay sıradışı bulunmuyorsa buna “istatistiksel olarak anlamlı” denir.

Anlamlılık Testleri ve Güvenlik Aralığı  İstatistiksel tümevarım: Bilinmeyen yığın parametreleri hakkında deneysel veriye dayanarak değerlendirme yapmak  Diyelim ki gerçek yığın ortalamasının değerini bilmiyoruz. Eğer nitrat numunesi ölçümlerinin ortalamasını 7.51 bulduysak, yığının gerçek ortalamasının 8.00 mg/l olma olasılığı nedir? Bu değerlendirme için anlamlılık testleri ve güvenlik aralığı kullanılan en yaygın iki metottur.

Anlamlılık Testleri  1. Hipotez testi şeklinde olur:  Hipotez testi için bir “sıfır hipotezi”, bir “alternatif

hipotez” ve bir de testin sonucunun belirleneceği anlamlılık düzeyi değeri (α ) ‘ya ihtiyaç vardır. Test edilecek hipotez: Ho : µ = 8 mg/l Ho “sıfır hipotezi” veya “geçersizlik” hipotezi diye adlandırılır. Ha :m<8 veya m>8 (tek yönlü) veya Ha: m≠8 (çift yönlü) H: “alternatif hipotez” Anlamlılık düzeyi: 0.05 (sıfır hipotezinin yanlışlıkla reddedilme riski)

1. Hipotez Testleri, Örnek

 Nitrat ölçüm sonuçları için ortalamanın 8.0 mg/l olduğunu α =0.05 düzeyinde test edin.  Çözüm:   

Ho=µ =8 mg/l Ha=µ < 8 mg/l (tek yönlü test) α =0.05 t=

7.51 − 8 = −1.842 1.383 / 27

 Hesaplanan t, α =0.05 yani %5 olma olasılığı olan t istatistiğinden küçükse, Sıfır hipotezi reddedilecektir. Serbestlik derecesi 26 için bu kritik t değeri tablodan bulunur.  tk=t(26,0.05)=-1.706  t
Hipotez Testleri, Örnek  t
-2

tk-1.706

-1

0

Hesaplanan t=-1.842

1

2

3

Çift Yönlü Test  Ho : µ = 8 mg/l  Ha : µ ≠ 8 mg/l (çift yönlü test)  α =0.05. Bu durumda t referans dağılımının hem negatif hem de pozitif kuyruk alanları dikkate alınır. Simetriden dolayı bu kuyruk alanları birbirine eşittir. 0.05/2 = 0.025. Serbestlik derecesi 26 için kritik t değeri tablodan bulunur.  tk=t(26,0.025)=±2.056 (excel’de =tters(0.05;26))  t = ±1.842  t>tk (-1.842>-2.056).  Sıfır hipotezini reddetmek için yeterli kanıt yok.

Tek Yönlü

Çift Yönlü t dağılımı µ =8

t dağılımı µ =8 α =%5 -3

-2

α =%2.5

tk-1.706

-1

α =%2.5

tk-2.056

0

1

2

3

-3

-2

-1

0

1

2

3

Tek ve çift yönlü hipotez testleri sonuçları farklı çıkarımlar doğurdu, aynı ortalama, aynı veri, aynı anlamlılık düzeyi ve aynı sıfır hipotezi kullanılmasına rağmen. Tek fark alternatif hipotezdi, Ha. İstatistiksel olarak sıfır hipotezini reddetmek için için yile µ arasındaki sapma çift yönlü testte tek yönlü teste göre daha fazla olmalıdır. SORU: HANGİ TESTİ KULLANMALIYIZ?

Hangi Test?  Genel olarak bir yanıtı yok. Problemin içeriği hangi testin

kullanılması gerektiğini belirler. Örneğin eğer pozitif sapma bir sorun ama negatif sapma sorun değilse tek yönlü test kullanılır.  Örneğin yüksek değerler kanuna uygunluğu ihlal etmek demek olduğu bir durumda uygunluğunu değerlendirmek ya da verimliliği artırılması bir bir A maddesi eklediğinizdeki durumu değerlendirmek için tek yönlü test diğer taraftan örneğin A maddesinin verimliliği değiştirip değiştirmediğine bakmak isterseniz çift yönlü testi kullanabilirsiniz.

2. Güvenlik Aralığı  Genellikle parametre değerinin hangi değerler arasında kalacağını belirtmek daha bilgilendiricidir.

y − tα / 2 s y < µ < y + tα / 2 s y α = 0.05 ise, yukarıdaki ifade bize gerçek değerin %95 ihtimalle güvenilirlik aralığı içinde olduğunu gösterir.

Örnek

 Nitrat ölçümleri için %95’lik güvenlik aralığını hesaplayın.

µ =8 mg/l α =0.05 n=27 v=26 t(26,0.025)=-2.056

y = 7.51

y − tα / 2 s y < µ < y + tα / 2 s y

s y = 0.266 t dağılımı α = %2.5

6.96 < µ < 8.05

α = %2.5 7.0 7.25 7.5 7.75 8.0 tk-2.056

8 mg/l bu aralığın içinde.

Özet

Yığın: µ ,σ ,σ 2 Örneklem, y¯,s Yığının parametreleri örneklemden elde edilen istatistikler yardımıyla hesaplanır. İstatistikler rastsal değişkenlerdir ve ortalaması ve varyansı olan bir olasılık dağılımına sahiptirler.  Tüm deneyler ölçüm hatasına sahiptirler. Doğruluk hem yanlılığın hem de hassaslığın bir fonksiyonudur. Bilimsel araştırmalarda istatistiğin görevi hatayı nicelendirmek ve karar vermek üzere veri kullanıldığında hatayı göz önüne almaktır.

  

Özet  Eğer normal ana dağılımın ortalaması m,

varyansı σ 2 ise örneklem ortalaması y¯, ortalaması µ ve varyansı σ 2 /n olan normal bir dağılıma sahiptir. σ 2 bilinmiyorsa s2 ile tahmin edilir ve t dağılımı kullanılır.  Hipotez testleri istatistiksel tümevarım için kullanılan bir yöntem olmakla birlikte basit bir karşılaştırmayı bile gereksiz yere karmaşıklaştırırlar. Güvenilirlik aralığı istatistiksel olarak hipotez testlerinin karşılığı olup daha basit ve anlaşılırdır. Yığın parametresinin düşmesi gereken aralığı verir.