Tema2

2. Postulados del Electromagnetismo 1. Breve rese˜ na hist´ orica: Fen´ omenos el´ectricos y za sobre distribuciones. Transformaci´ on galileana de los magn´eticos. Importancia del Electromagnetismo. La des- campos. cripci´on mediante campos. 6. Forma integral de las Ecuaciones de Maxwell: Ley 2. La carga el´ ectrica: Naturaleza. Propiedades. Distri- de Gauss. Ley de inexistencia de monopolos. Ley de Farabuciones de carga. Densidades superficiales y lineales. day. Ley de Amp`ere-Maxwell. 3. Corriente el´ ectrica: Concepto de intensidad. Con- 7. Discontinuidades de los campos: Discontinuidad del cepto de densidad de corriente. Corrientes superficiales y campo el´ectrico al atravesar una distribuci´ on superficial de filiformes. Ley de conservaci´ on de la carga. carga. Discontinuidad del campo magn´etico al atravesar una distribuci´ on superficial de corriente. Balance de carga 4. Ecuaciones de Maxwell en el vac´ıo: Campos en una superficie. El´ectrico y Magn´etico. Formulaci´ on local. Compatibilidad de las ecuaciones. 8. Conservaci´ on de la energ´ıa: Trabajo de las fuerzas electromagn´eticas. Teorema de Poynting. Energ´ıas el´ectrica 5. Fuerza de Lorentz: Fuerza general sobre cargas. Fuery magn´etica. Vector de Poynting.

donde intervienen las dos cargas q y q
, la distancia entre ambas y una constante universal k, para dar la fuerza medida F . Comprob´ o que dicha fuerza es atractiva o repulsiva • Fen´ omenos el´ ectricos y magn´ eticos dependiendo del tipo de electrificaci´ on de las esferas, y que Las primeras noticias de lo que hoy conocemos como su direcci´ on era seg´ un la recta que las un´ıa. fen´ omenos electromagn´eticos provienen del mundo griego. La invenci´ on de la pila el´ectrica por Volta (1800), permiHacia el a˜ no 600 a.C. los fil´ osofos helenos hab´ıan ya obo generar corrientes el´ectricas permanentes, lo cual llevo servado que al frotar trozos de a´mbar estos adquir´ıan la ti´ omenos. En particular, en capacidad de atraer peque˜ nos fragmentos de papiro y paja. al descubrimiento de nuevos fen´ o la primera relaci´on experimental en(La palabra electr´ on proviene de la voz griega para a´mbar) 1820 Oersted descubri´ Asimismo, observaron que ciertas piedras provenientes de tre electricidad y magnetismo, al observar que una corrienla isla de Magnesia (la magnetita) eran capaces de atraer te el´ectrica era capaz de desviar una aguja imantada (una br´ ujula). En 1831, el f´ısico ingl´es Michael Faraday realiz´o el trozos de hierro. descubrimiento inverso, un im´ an en movimiento era capaz Sin embargo, estos fen´omenos no comenzaron a estudiarde producir una corriente el´ectrica transitoria. Las ideas de se intensivamente hasta el principio de la edad moderna Faraday sobre electricidad y magnetismo fueron ampliadas (aunque hay que se˜ nalar el descubrimiento de la br´ ujula, y formuladas matem´aticamente por James Clerk Maxwell, fen´ omeno puramente magn´etico, de importancia capital en qui´en en 1872 present´o sus famosas ecuaciones, donde se la historia de la Humanidad). En su obra De magnete muestra que la electricidad y el magnetismo, junto con los (1600), William Gilbert establece por primera vez la disfen´ omenos de la ´optica, obedecen un conjunto u ´ nico de letinci´ on entre los dos fen´ omenos, electricidad y magnetismo. yes. A partir de este momento, todos estos fen´omenos se A partir de este momento las investigaciones se intensifican, engloban bajo el t´ermino electromagnetismo. pero es sobre todo a partir de la segunda mitad del siglo XVII cuando se empiezan a establecer las bases de lo que • Importancia del electromagnetismo hoy denominamos electromagnetismo cl´asico. En la actualidad se considera que s´ olo existen cuatro inHay que destacar los trabajos experimentales de Caven- teracciones fundamentales en la Naturaleza: gravitatoria, dish y Coulomb, que establecieron la ley de atracci´ on entre electromagn´etica, fuerza fuerte y fuerza d´ebil. Las dos ´ ltimas s´olo se dejan sentir dentro de los n´ ucleos at´omicos cargas el´ectricas. En particular las experiencias de Coulomb u consistieron en la medida de la fuerza, mediante una balan- (distancias del orden de 10−15 m) y son responsables de la ucleos (la fuerza fuerte) y de los fen´ omenos za de torsi´on, que sufre una esferilla conductora cargada cohesi´on de los n´ cuando se le acerca otra esferilla tambi´en cargada. El resul- radioactivos (la fuerza d´ebil). tado de sus observaciones se resumieron en la f´ormula bien La fuerza gravitatoria y la electromagn´etica son fuerzas conocida an´aloga a la ley de atracci´on de masas de Newton: de largo alcance, es decir, sus efectos se dejan sentir entre cuerpos separados por distancias muy grandes. La primera qq
F =k 2, r

2.1

Breve rese˜ na hist´ orica

17

es u ´ nicamente atractiva, mientras que la segunda puede ser atractiva o repulsiva. De las dos, la m´ as intensa es la electromagn´etica. As´ı, entre dos electrones en reposo la fuerza el´ectrica es aproximadamente 1036 veces m´as intensa que la fuerza gravitatoria. La raz´ on de que la interacci´ on gravitatoria sea dominante a escala astron´omica es la casi perfecta neutralidad de los cuerpos macrosc´ opicos.

recer un artificio destinado a facilitar los c´ alculos, y as´ı se trat´ o durante alg´ un tiempo por gran parte de la comunidad cient´ıfica. Sin embargo, posteriormente se comprendi´ o que el campo electromagn´etico posee realidad f´ısica en s´ı mismo, entendi´endose como tal que es capaz de almacenar y transportar energ´ıa y momento lineal y cin´etico.

En nuestra vida corriente la interacci´on electromagn´etica es de largo la m´as importante. De hecho, puede decirse que salvo los fen´ omenos relacionados con el peso, todo lo que nos rodea es electromagnetismo. La estructura de la materia esta formada por part´ıculas (protones, electrones, neutrones) que interaccionan por medio de la electricidad y el magnetismo, produciendo distintos estados de agregaci´on (s´olidos, l´ıquidos, gases). En u ´ ltima instancia, la impenetrabilidad de los s´ olidos, poder pisar suelo firme se debe a esta interacci´on. Todos los procesos qu´ımicos, desde el motor de combusti´on hasta los procesos biol´ ogicos se basan en el electromagnetismo. Y toda la energ´ıa que recibimos del Sol, gracias a la cual existe la vida sobre la Tierra, llega en forma de ondas electromagn´eticas.

2.2

La carga el´ ectrica

La carga el´ectrica es una cualidad de la materia responsable de la interacci´on electromagn´etica entre distintas part´ıculas. La carga el´ectrica posee las siguientes propiedades: 1. La carga es dual: existen dos tipos que se denominan positivo y negativo, discernible por el comportamiento que part´ıculas cargadas con cada tipo muestran en su interacci´on con otras dadas, y por la propiedad de neutralizar en cierta medida su efecto cuando se combinan.

2. La carga est´a cuantizada: del conocimiento actual de las part´ıculas elementales se admite que existe una carga m´ınima, que es la del electr´ on para el tipo negativo y la Hablando ya en un nivel ligado a nuestra propia civilidel prot´on para el positivo, ambas iguales en valor absoluzaci´on, podemos argumentar que todo lo relativo a telecoto. Cualquier estado de agregaci´on de la materia posee una municaciones, radio y televisi´on se apoya en la existencia de carga m´ ultiplo de dicho valor. ondas electromagn´eticas. Las instalaciones el´ectricas de una casa o de una f´ abrica, o los circuitos integrados que permi- 3. La carga se conserva localmente: nunca se ha obseromeno del cual resulte la creaci´ on neta de carga ten la construcci´on de ordenadores se basan en el fen´ omeno vado un fen´ en un punto del espacio. Siempre que aparece (o se desde la corriente el´ectrica. El tipo de energ´ıa m´as utilizado en truye) una carga en un punto, aparece (o se destruye) una la vida cotidiana es la el´ectrica. carga opuesta en el mismo punto. • Descripci´ on mediante campos 4. La carga es un invariante relativista: su medida da Los fen´omenos electromagn´eticos se manifiestan como el mismo resultado en cualquier sistema de referencia, sea fuerzas que act´ uan entre part´ıculas o cuerpos materiales cual sea su velocidad. (cargas el´ectricas, imanes, corrientes, etc). En principio se La carga se simboliza habitualmente por la letra q. Su intent´ o explicar estas interacciones bas´ andose en el princion de la unidad debe posponerse hasta pio de acci´ on a distancia: una part´ıcula ejerce una fuerza medida y la adopci´ sobre otra situada a una cierta distancia, y la informaci´ on que se describan la interacci´on electromagn´etica y las condise transmite instant´ aneamente. As´ı es como Newton trata ciones experimentales adecuadas para ello. Baste adelantar que la unidad en el Sistema Internacional es el Coulombio la interacci´on gravitatoria en los Principia (1687). (C) y que la carga del electr´on es qe = −1.6 · 10−19 C. Sin embargo, esta visi´on plantea algunos problemas conDado que la materia es discreta y la carga es una cualiceptuales. En la vida real la informaci´ on sobre un acontedad suya, la distribuci´ on de la carga en el universo es cimiento tarda un cierto tiempo en llegar desde el lugar en discreta. Sin embargo en la mayor´ıa de las situaciones que que se produce (ya sean los cotilleos en un bloque de venos interesan el n´ u mero de part´ıculas constituyentes es tan cinos o la publicaci´ on de las notas de un examen). Este y grande que es conveniente adoptar la hip´ otesis de medio otros problemas indujeron a Michael Faraday a introducir continuo. Seg´ u n ´ e sta, en cada punto  r del espacio podela idea de que la interacci´on entre dos cuerpos cargados o mos definir una densidad volum´ e trica de carga mediante magnetizados no ocurre directamente, sino que se produce la expresi´ o n a trav´es de un agente mediador, que es el campo electroN magn´etico. As´ı, al colocar una carga el´ectrica en un punto, 1
qi , ρ( r , t) = esta crea una perturbaci´on en el medio que la rodea (que ∆τ i=1 hoy llamamos campo el´ectrico). Si otra part´ıcula cargada se coloca en ese espacio, el campo en ese punto ejerce una siendo N el n´ umero de part´ıculas cargadas encerradas en fuerza sobre ella. Si se modifica el valor de la primera car- un volumen ∆τ que contiene al punto r. El volumen elega, esta modificaci´ on se traslada al campo, que a su vez la gido debe ser peque˜ no en relaci´on con las dimensiones catraslada a la segunda part´ıcula, variando la fuerza ejercida racter´ısticas del sistema considerado, pero suficientemente sobre ella. grande para que las fluctuaciones en el valor de N sean peque˜ nas en comparaci´on con N . En la mayor´ıa de las situaEn un principio la introducci´ on de este campo puede paciones que estudiaremos es posible encontrar un volumen ∆τ 18

que cumpla ambas condiciones. Por tanto podremos considerar la carga asignada a un volumen elemental dτ en el Ejemplo: esfera de radio R posee una distribuci´ on volum´etrica de carga con punto r por dq = ρ(r)dτ y aplicar el formalismo del c´alculo Una simetr´ıa radial, descrita por la funci´ on diferencial e integral desarrollado en el tema 1.  0 si 0 < r < R − d ρ(r) = Si tenemos una sola especie cargada, con carga q y n´ umero ρ0 si R − d < r < R. de part´ıculas por unidad de volumen igual a n(r), la densidad resultar´a ser ρ(r) = qn(r). Si son s especies con cargas Se trata pues de una corteza uniformemente cargada de espesor d adyacente a la superficie de la esfera. Si el espesor d es peque˜ no en qi y densidades ni tendremos en general ρ(r, t) =

s


comparaci´ on con R puede ser u ´til definir una densidad superficial de carga que sustituya a la distribuci´ on en volumen. ¿Qu´e relaci´ on existe con la densidad volum´etrica?

qi ni (r, t).

i=1

Ejemplo: Teniendo en cuenta que la densidad m´ asica del cobre es ρm = 8.95 g/cm3 , que cada ´ atomo posee un electr´ on de conducci´ on y que el peso at´ omico del cobre es Pa = 63.55 g/mol, h´ allese el n´ umero de portadores de carga libres (electrones) para 1 mm3 de este material.

Para responder a esta cuesti´ on debemos asignar a cada elemento de superficie dS una carga elemental dq. La densidad superficial ser´ a en subtiende un ´ tonces ρS = dq/dS. Si la superficie dS angulo s´ olido dΩ desde el centro de la esfera, podemos escribir dS = R2 dΩ y dq queda definida como la carga asociada a dicho ´ angulo s´ olido:



R

dq =

 ρ0 r 2 dr

R−d

senθdθdφ = dΩ(θ,φ)

 ρ0  3 R − (R − d)3 dΩ. 3

6.022 · 1023

atomos de cobre, que ocupan un ´ Si un mol posee NA = volumen τmol , la densidad de portadores (pasando todo a unidades del sistema internacional) es n=

r(r)

espesor cargado

NA NA ρm NA 6.022 · 1023 · 8950 = = = = 8.48·1028 m−3 . τmol Pa /ρm Pa 63.55 · 10−3

donde hemos usado que la masa de cobre correspondiente a un mol es Pa y por tanto ρm = Pa /τmol . En 1 mm3 de cobre se incluyen entonces

dS

r0

R-d dW

N = nτ = 8.48 · 1028 · 10−9 = 8.48 · 1019 electrones.

R

Si el volumen considerado es de una micra c´ ubica los electrones de conducci´ on incluidos son todav´ıa del orden de 1011 , un n´ umero suficientemente elevado para justificar una aproximaci´ on de medio continuo.

R-d R

r

Extrayendo un factor R3 del corchete y teniendo en cuenta la relaci´ on entre dS y dΩ escribimos

En otras muchas ocasiones tendremos que tratar con distribuciones superficiales de carga (como en el caso de con  ρ0 R  ρ0 R3  1 − (1 − d/R)3 dΩ = 1 − (1 − d/R)3 dS, dq = ductores en equilibrio electrost´atico, o el bombardeo de ma3 3 teriales aislantes con part´ıculas cargadas que quedan depositadas en su superficie). Entonces se define an´alogamente y por tanto una densidad superficial de carga como  ρ0 R   dq ρ0 R3  3 3 dS

N 1
qi , ρS (r ) = ∆S i=1

=

3

1 − (1 − d/R)

=

3

1 − (1 − d/R)

.

Si, como se nos dice, d << R podemos simplificar el resultado desarrollando hasta el segundo t´ermino el par´entesis: 1 − (1 − d/R)3  1 − [1 − 3(d/R)] = 3d/R. Sustituyendo obtenemos

con N las cargas encerradas en una porci´on de a´rea ∆S, ρS = ρ0 d. de una capa muy delgada definida en un punto r de la superficie. La carga definida en una superficie elemental es Es interesante notar que para que ρS tenga un valor apreciable desdq = ρS (r)dS. de el punto de vista macrosc´ opico ρ0 debe ser muy grande, dado que Tambi´en es u ´ til, aunque de menor inter´es conceptual, la d, el espesor de la distribuci´on, se dice que es muy peque˜no. Si por ejemplo en una esfera met´ alica de 1 cm de radio la carga se distribudefinici´ on de una densidad lineal de carga λ(r), de tal forma ye en una capa de 10−8 m y la carga total es de 10−7 C, tendremos que la carga asociada a un elemento dl de una l´ınea cargada ρS = q/(4πR2 ) ∼ 10−4 C/m2 , y ρ0 resulta ρ0 = ρS /d ∼ 104 C/m3 . es dq = λ(r )dl. Podemos extrapolar este resultado a situaciones en las que ya no El concepto de densidad volum´etrica de carga permite representar distribuciones discretas usando la funci´on δ de Dirac. Un conjunto de n cargas qi localizadas en los puntos ri se describe con la funci´ on ρ(r) =

n


hay simetr´ıa radial. En general si tenemos una densidad volum´etrica ρ( r ) restringida a una capa de espesor e( rS ) adyacente a un punto  rS de una superficie S, el elemento de carga asociado a un dS definido en un punto de la superficie es

qi δ(r − ri ).

i=1

19

dq = ρdτ = ρedS = ρS dS

→ ρS = ρe.

2.3

Corriente el´ ectrica

Se define intensidad de corriente el´ ectrica que atraviesa una superficie S dada como la carga total que pasa por unidad de tiempo. Teniendo en cuenta la naturaleza discreta de los portadores de carga, para calcular la intensidad habr´ıa que hacer un recuento estad´ıstico de portadores que en un intervalo ∆t atraviesan la superficie en uno y otro sentido, multiplicar por la carga de cada uno y dividir por el intervalo temporal elegido.

q1

Dt

corriente que se simboliza con el vector S . Esta magnitud es u ´ til cuando existe una regi´on del espacio de espesor e peque˜ no comparado las dimensiones t´ıpicas de nuestro sistema, en la cual est´ a definida una corriente medible macrosc´opicamente. En tal caso tiene sentido interesarse por la intensidad de corriente que fluye a trav´es de una l´ınea γ contenida en la superficie S que soporta la corriente, puesto que dicha l´ınea y el espesor e constituyen una delgada secci´on a trav´es de la cual pasa la carga (ver figura).

S

v1

e

DS

g dl jS

dl

vDt El caso m´ as simple e ideal es el de un s´olo tipo de portaLa intensidad se relaciona con la densidad superficial de dor con carga q1 , con n´ umero de part´ıculas por unidad de corriente mediante la f´ormula volumen n1 , todas movi´endose con velocidad v1 ; la carga   que pasar´ıa a trav´es de una superficie elemental ∆S y la I = S · dl⊥ , intensidad ser´ıan (ver figura) γ

 ∆q = q1 n1 (v1 ∆t) · ∆S

⇒

 ∆I = q1 n1v1 · ∆S,

siendo dl⊥ un vector de m´odulo igual al segmento dl definido en γ y direcci´on contenida en la superficie de corriente y perpendicular al segmento. N´ otese que edl⊥ forma un elemento de superficie adecuado para describir la delgada secci´on por la que fluye carga. Por tanto si queremos relacionar la distribuci´ on superficial con una densidad volum´etrica de corriente llegamos a la conclusi´on de que existe una  para la s
no, la corriente vocual S = e. Si el espesor es muy peque˜  ∆I = qi nivi · ∆S. lum´etrica debe ser muy grande para que el producto d´e una i=1 cantidad apreciable desde el punto de vista macrosc´ opico, y Observamos que podemos definir en cada punto del espapor ello se la considera como singularidad. Esta discusi´ on es cio un vector que denominaremos densidad de corriente, en todo an´aloga a la que se hizo en el ejemplo del apartado dado por 2.2 para relacionar las densidades de carga superficial y de volumen. s
 = qi nivi .

puesto que s´ olo debemos considerar las cargas encerradas en un volumen cil´ındrico contiguo a la superficie, con direcon general triz dada por el segmento v1 ∆t. Si en una situaci´ tenemos s especies distintas, cada una con una carga qi y consideramos la velocidad media vi de cada especie, podremos obtener la intensidad mediante la f´ormula

i=1

La intensidad que atraviesa una superficie S queda finalmente expresada como   I=  · dS.

Ejercicio: Un cilindro de radio R posee una distribuci´ on volum´etrica de corriente uφ para r − d < r < R, siendo d < R, descrita por la funci´ on  = 0  y nula para cualquier otro valor de la coordenada radial. ¿Qu´e valor tendr´ıa una corriente superficial que sustituyera a la distribuci´ on volum´ etrica? Anal´ıcese el caso d << R.

S

La unidad de intensidad de corriente en el S.I. es el Finalmente se introduce las distribuciones filiformes amperio, simbolizado por ”A”, cuya definici´ on operativa de corriente cuando por una secci´on muy peque˜ na pasa se ver´a en el pr´ oximo cap´ıtulo, y que se corresponde con el una intensidad apreciable macrosc´ opicamente. Es el caso paso a trav´es de una superficie dada de un coulombio en un habitual de hilos met´ alicos usados en la confecci´ on de cirsegundo. cuitos el´ectricos. Para ellos la propia intensidad I, con un Al igual que con las densidades de carga, en la pr´ actica sentido determinado por su signo, basta para caracterizar se utiliza tambi´en el concepto de densidad superficial de la distribuci´ on de corriente. 20

Ejemplo: Un hilo de cobre de 1 mm2 de secci´ on puede soportar sin fundirse una corriente de 18 A de intensidad. H´ allese la velocidad media de los electrones de conducci´ on para dicha intensidad. Si se admite que la corriente se distribuye uniformemente en toda la secci´ on del hilo podemos calcular la densidad de corriente de manera muy sencilla:



I=



 =j  · dS

dS = jS

→

j = I/S.

Por otra parte s´ olo hay un tipo de part´ıcula cargada con velocidad no nula, que es el electr´ on de conducci´ on cedido por cada ´ atomo de cobre. El ion positivo restante est´ a en reposo, formando parte de la red propia del enlace met´ alico, y no interviene en la conducci´ on. Se tiene pues que j = qnv, siendo q = −1.9 · 10−19 C, n el n´ umero de portadores por unidad de volumen y v la velocidad media que se nos pide. El valor de n fue calculado en un ejemplo anterior (n = 8.48 · 1028 m−3 ). La velocidad media de los electrones de conducci´ on en el hilo es v=

j I 18 (m/s) = 1.33 mm/s. = = qn qnS 1.6 · 10−19 · 8.48 · 1027 · 10−6

El resultado puede sorprender si por ejemplo pensamos en el tiempo que transcurre entre accionar un interruptor y encenderse una bombilla; tiempo muy inferior al que necesitar´ıa un electr´ on de la corriente establecida en recorrer algunos metros de cable. La resoluci´ on de esta paradoja es simple si tenemos en cuenta que al establecer la corriente ponemos casi instant´ aneamente en movimiento a todos los electrones de conducci´ on del circuito a la vez. Lo que se propaga muy r´ apidamente es la informaci´ on de que en un punto del circuito los electrones est´ an en movimiento. Esta ”informaci´ on” no es otra cosa que el campo electromagn´etico, que introduciremos en los siguientes apartados. Otro comentario importante que podemos hacer aprovechando este ejemplo es que la intensidad se suele relacionar con la carga que atraviesa una secci´ on del hilo escribiendo I = dq/dt. Debemos tener cuidado en la interpretaci´ on de esta expresi´ on, puesto que el diferencial de carga hace referencia a la carga que est´ a fluyendo en el intervalo dt, pero no se debe relacionar con una variaci´ on de la carga existente en una porci´ on del hilo. De hecho el hilo es neutro en la mayor´ıa de las aplicaciones (ρ = 0); la carga est´ a en tr´ ansito y no hay carga que se acumule. Esto se discute de forma general en el siguiente ep´ıgrafe, dedicado a la ecuaci´ on de continuidad.

∂ρ  + ∇ ·  = 0, ∂t que es la ecuaci´ on de continuidad y representa la formulaci´on matem´atica de la conservaci´ on local de la carga neta. Si las distribuciones no var´ıan con el tiempo se verificar´ a  ·  = 0. ∇ Ejemplo: En una regi´ on del espacio con forma esf´erica se tiene una densidad de carga uniforme que var´ıa en el tiempo, ρ0 (t). Esto implica necesariamente un flujo de carga en cada punto de dicha regi´ on. Admitiendo que el flujo tiene lugar en direcci´ on radial, h´ allese la densidad de corriente en cada punto y la intensidad que atraviesa los l´ımites de la regi´ on considerada. De la ecuaci´ on de continuidad en forma diferencial obtenemos  ·  = − ∂ρ = − dρ0 . ∇ ∂t dt Si la densidad de corriente es radial se puede expresar como  = j(r, t) ur . Su divergencia es 2  ·  = 1 ∂(r j) . ∇ r 2 ∂r Sustituyendo en la expresi´ on anterior se obtiene una ecuaci´ on en la variable r para la densidad pedida. Multiplicando toda la ecuaci´ on por r 2 e integrando se llega a

dρ0 r j(r, t) = − dt

r

r 2 dr = −

0

dρ0 r 3 dt 3

⇒ j(r, t) = −

dρ0 r . dt 3

La segunda cuesti´ on se obtiene, bien integrando esta densidad de corriente a trav´es de la superficie esf´erica que limita la regi´ on donde est´ a definida la densidad de carga, bien aplicando la ecuaci´ on de continuidad en forma integral. Seg´ un lo u ´ltimo, I =−

dq d =− dt dt



Puede comprobarse que I =

2.4



ρ0 (t)dV



esf S(R)

4 dρ0 = − πR3 . 3 dt

 da el mismo resultado.  · dS

Las Ecuaciones de Maxwell

El Electromagnetismo postula que la presencia de cargas en una regi´ on del espacio da lugar en general a la existencia de  r ) y un campo magn´  r) un campo el´ ectrico E( etico B( que satisfacen las siguientes ecuaciones:

• Ecuaci´ on de continuidad La conservaci´on de la carga implica que la variaci´ on de la carga encerrada en un volumen τ en la unidad de tiempo es debida exclusivamente a la que abandona dicho volumen a trav´es de su frontera Sτ . Dado que un flujo positivo (saliente del volumen seg´ un nuestro convenio) implica una disminuci´ on de la carga en el interior, se tendr´ a  dq  =  · dS, − dt Sτ o bien, usando el concepto de densidad y el teorema de la divergencia,   ∂ρ  ·  dτ, dτ = ∇ − τ ∂t τ y como el volumen considerado es arbitrario, se debe cumplir



2

 ·E  = ρ, ∇ 0   ×E  = − ∂B , ∇ ∂t  ·B  = 0, ∇  ×B  = µ0 ∇



 ∂E  + 0 ∂t

 ,

donde ρ es la densidad volum´etrica de carga,  la densidad de corriente y 0 y µ0 son la permitividad y la permeabilidad del vac´ıo respectivamente, es decir, dos constantes

21

universales cuyos valores en el Sistema Internacional son

suma de los campos producidos por cada conjunto de fuentes. Esto se suele denominar principio de superposici´ on. 0 = 8.85 · 10−12 C2 s2 /(kg · m3 ); Un ejemplo simple: el campo el´ectrico que producen dos cargas puntuales es la suma vectorial en cada punto de los µ0 = 4π · 10−7 kg · m/C2 . campos producidos por cada carga. Hay que prevenir sin embargo de que, desgraciadamente, en muchas aplicaciones Las ecuaciones de Maxwell que acabamos de escribir pr´ acticas la presencia de una fuente modifica la otra, con lo en forma local permiten determinar de manera un´ıvoca los que el principio anterior no puede ser aplicado. campos el´ectrico y magn´etico en todo punto del espacio, Dado que en las ecuaciones de Maxwell aparecen las dissiempre que conozcamos las densidades de carga y de cotribuciones de carga y de corriente, es necesario comprobar rriente. Esto es as´ı puesto que sabemos por el teorema de que son compatibles con la ecuaci´ on de conservaci´ on local Helmholtz que un campo vectorial puede ser reconstruido de la carga. Si tomamos la divergencia de la cuarta ecuaci´ on a partir de su divergencia y su rotacional, que son los dase tiene tos que nos aportan estas ecuaciones. El problema desde

  el punto de vista matem´atico no tiene soluci´ on inmediata  ∂ E  ·  + 0 ∇  ·  · (∇  × B)  = µ0 ∇ mediante la aplicaci´on de dicho teorema, puesto que en las . ∇ ∂t  yB  aparecen acoplados (uno interviene en las ecuaciones E fuentes vectoriales del otro). No obstante encontraremos en El primer miembro se anula, y si en el u ´ltimo t´ermino del seel cap´ıtulo 4 la soluci´ on general. gundo miembro permutamos las operaciones de derivaci´ on temporal y divergencia, y utilizamos la primera ecuaci´ o n, Ejemplo: resulta Las ecuaciones de Maxwell permiten, de manera inversa, obtener las fuentes (cargas y corrientes) a partir del conocimiento de los campos.  ·  + ∂ρ , 0=∇ Dadas las expresiones ∂t  r , t) = E0 cos(ky − ωt) E( uz , es decir, la ecuaci´on de continuidad est´ a impl´ıcitamente con tenida en las ecuaciones de Maxwell. No hay pues que B( r , t) = B0 cos(ky − ωt) ux , a˜ n adirla como un postulado m´ a s. con E , B , k y ω constantes, comprobemos que efectivamente pue0

0

den ser campos el´ectrico y magn´etico respectivamente y hallemos sus fuentes.

2.5

 ·E  = ρ/!0 , obtenemos la denDe la primera ecuaci´ on de Maxwell, ∇  ·E  = ∂Ez /∂z = 0. sidad de carga, que en este caso es nula: ρ = !0 ∇

Fuerza de Lorentz

Para completar la descripci´ on de la interacci´on electromagn´etica es necesario establecer la fuerza sobre las ´ Para ver si se verifica la segunda ecuaci´ on evaluamos cada miembro part´ıculas cargadas. Esta viene dada por la fuerza de Lopor separado: rentz:  ·B  = ∂Bx /∂x = 0. La tercera ecuaci´ on se verifica trivialmente: ∇

 ×E  = ∂Ez u ∇ ux ,  x = −E0 k sen(ky − ωt) ∂y  ∂B − = −B0 ω sen(ky − ωt) ux , ∂t

 + v × B).  F = q(E

e igualando obtenemos la condici´ on B0 ω = E0 k que debe cumplirse entre estos par´ ametros para que las expresiones propuestas sean campos electromagn´eticos. La cuarta ecuaci´ on tambi´en debe verificarse, pero esto simplemente determina el valor que debe tener la densidad de corriente  en cada punto del espacio:  1   − !0 ∂ B =  = ∇×B µ0 ∂t



Si se trata de una distribuci´ on volum´etrica de cargas y corrientes debemos sumar las fuerzas ejercidas sobre cada una de las part´ıculas encerradas en un volumen dτ , lo cual, usando un recuento estad´ıstico sobre cada una de las s especies, se expresa

dF =

B0 k − !0 E0 ω sen(ky − ωt) uz . µ0

s
i=1

Si los valores de los par´ ametros son tales que el primer par´entesis es nulo, la densidad de corriente ser´ıa a su vez nula en todo el espacio. En tal caso el ejemplo que estamos manejando corresponder´ıa a una onda electromagn´etica monocrom´ atica plana propag´ andose en el vac´ıo. Esto ya se ver´ a en el tema 4.

+ qi ni dτ E

s


 qi ni dτvi × B.

i=1

Esta es la fuerza ejercida sobre el elemento de volumen con yB  son siderado. Hemos tenido en cuenta que los campos E pr´ acticamente los mismos para todas las part´ıculas encerradas. Ahora usando los conceptos de densidad volum´etrica de carga y de corriente podemos escribir

 +  × B)dτ.  Una propiedad fundamental de las ecuaciones de Maxwell dF = (ρE es que son lineales. Esto implica que si consideramos los campos producidos por ciertas fuentes (cargas y corrientes) En el caso de distribuciones superficiales de carga y de que denominaremos por “1”, y, por otro lado, los campos corriente la expresi´on anterior se transforma en producidos por otras fuentes “2”, entonces el problema conjunto de encontrar los campos producidos por la combina + S × B)dS.  dF = (ρS E ci´on de ambos conjuntos de fuentes tiene como soluci´ on la 22

Finalmente, para distribuciones en forma de hilo, la inte- el´ectricos y magn´eticos conocidos. graci´ on de la fuerza elemental sobre un volumen dτ = S dl, siendo S la secci´on del hilo, se realiza del siguiente modo: Ejemplo: Descr´ıbase el movimiento de una part´ıcula cargada en una regi´ on en la que existe: (a) un campo el´ectrico constante y uniforme; (b)un campo magn´etico constante y uniforme.

 +  × B)S  dl = λEdl  + Idl × B,  dF = (ρE

siendo dl un segmento elemental de la l´ınea de corriente, (a) Supongamos que la part´ıcula posee masa m, carga q y velocidad  orientado seg´ un el flujo positivo de carga. N´ otese que se ha inicial v0 , y que el campo el´ectrico establecido E0 no es colineal con esta velocidad. La ecuaci´ on de movimiento es definido λ = ρS, I = jS, y en el segundo t´ermino se ha d v  0. m = qE aprovechado que  y dl son colineales. Las f´ormulas anteriores permiten establecer las unidades  y B.  Para el campo el´ectrico la en el S.I. de los campos E unidad, que no tiene nombre espec´ıfico, es el newton dividido por coulombio (N/C), mientras que para el campo magn´etico la unidad se denomina tesla (T), y equivale a un newton dividido amperio y por metro. La fuerza de Lorentz es el u ´ ltimo postulado necesario para establecer las bases del Electromagnetismo: las ecuaciones de Maxwell permiten conocer los campos el´ectrico y magn´etico a partir de sus fuentes (cargas y corrientes) y la fuerza de Lorentz nos dice c´omo act´ uan estos campos sobre actica la situaci´ on en exla materia1 . Sin embargo en la pr´ tremadamente compleja, puesto que las part´ıculas cargadas son a la vez agentes productores de los campos y receptores de su acci´on. En muchas ocasiones no podemos caracterizar ρ y  antes de conocer los campos que act´ uan sobre los portadores de carga, y por otra parte es claro que no podemos conocer los campos sin conocer sus fuentes; hablamos entonces de un problema acoplado. El ejemplo m´ as claro lo tenemos en un conductor en equilibrio electrost´atico (que se estudiar´ a en el tema 5): las cargas producen un campo el´ectrico que act´ ua sobre ellas mismas hasta alcanzar una distribuci´ on tal que la fuerza total ejercida sobre cada parte de la distribuci´ on sea nula. Otro ejemplo es una antena emisora de radiocomunicaci´on: los electrones se mueven por el metal y producen ondas electromagn´eticas, pero estas ondas act´ uan a su vez sobre la propia antena, de manera que no sabemos a priori cu´ al es la corriente que la alimenta. Por este motivo, la organizaci´ on de este curso introductorio tiene dos partes bien diferenciadas. Hasta el tema 4, inclusive, desarrollamos una teor´ıa del Electromagnetismo desde un punto de vista idealizado, en el que las fuentes son conocidas y llegamos a soluciones de validez general. A partir del tema 5 nos enfrentamos con la materia desde un punto de vista pr´ actico, tratando de caracterizar su comportamiento en cuanto a distribuci´ on de fuentes y campos se refiere. Veremos que se consiguen resultados valiosos pero restringidos a ciertos tipos de materiales de comportamiento sencillo (conductores ´ohmicos, diel´ectricos simples, etc.). Para ello habremos de a˜ nadir a los postulados ciertas leyes emp´ıricas o basadas en un tratamiento estad´ıstico de los constituyentes de la materia.

dt Esta ecuaci´ on vectorial se integra directamente para dar  v (t) = v0 +  0 t/m. Integrando de nuevo con la condici´ qE on inicial  r (0) =  r0 se lle 0 t2 /(2m). La trayectoria v0 t + q E ga a las ecuaci´ on horaria  r (t) =  r0 +  0 y  v0 . es un movimiento parab´ olico en el plano que forman E (b) Para el caso de un campo magn´etico uniforme y constante elegimos un sistema de referencia con el eje Z en la direcci´ on del campo. La velocidad inicial tendr´ a en general dos componentes: una paralela  y otra perpendicular, que denotaremos v y  aB v⊥ respectivamente. Podemos tratar convenientemente la ecuaci´ on de movimiento con esta descomposici´ on:

 d    v +  v⊥ = q( v + v⊥ ) × B. dt En el segundo miembro podemos eliminar el producto de  v por el campo magn´etico por ser colineales. La ecuaci´ on vectorial resultante tiene a su vez componentes paralelas y perpendiculares al campo: m

d v

d v⊥  = 0; m = q v⊥ × B dt dt (es conveniente convencerse de que los vectores que aparecen en la segunda ecuaci´ on son realmente perpendiculares al campo). m

La primera de las dos nos dice que en la direcci´ on del campo el movimiento es uniforme, con  v (t) =  v0 . La segunda ecuaci´ on gobierna la proyecci´ on del movimiento en el plano XY , perpendicular al campo. Si multiplicamos escalarmente por v⊥ el segundo miembro ser´ a nulo y por tanto m v⊥ ·

d v⊥ = 0. dt

Pero  v⊥ · d v⊥ /dt = d( v⊥ · v⊥ )/dt = d(| v⊥ |2 )/dt, por lo cual | v⊥ | es constante en el movimiento. Tambi´en el m´ odulo de la fuerza de Lorentz  | = q|  es constante: |F v⊥ ||B|sen(π/2) = qv⊥0 B. La fuerza es perpendicular a esa componente de la velocidad y constante en m´ odulo. Se trata pues de un movimiento circular uniforme. El radio de la proyecci´ on de la trayectoria en el plano XY , R, se obtiene como es habitual igualando en m´ odulo la fuerza de Lorentz a la masa por el m´ odulo de la aceleraci´ on centr´ıpeta propia de este tipo de movimiento, es decir, 2 /R, con lo cual qv⊥ B = mv⊥ R=

mv⊥0 . qB

La velocidad angular del movimiento ser´ a ω = v⊥0 /R = qB/m, y se denomina frecuencia de ciclotr´ on. La combinaci´ on de los dos movimientos estudiados (traslaci´ on uniforme y rotaci´ on uniforme en el plano transversal) produce un movimiento helicoidal, cuyas ecuaciones horarias se dejan como ejercicio.

• Transformaci´ on galileana de los campos

Los campos no son iguales medidos en sistemas de refeA continuaci´ on vemos algunos ejemplos sencillos de moon vimiento de part´ıculas cargadas en el seno de campos rencia en movimiento relativo. Para encontrar una relaci´ 1 La situaci´ on es m´ as complicada en realidad ya que existen part´ıculas que, independientemente de si tienen carga o no, poseen un momento magn´etico asociado con un momento angular intr´ınseco o esp´ın, sobre el cual un campo magn´etico ejerce una acci´ on no incluida en la fuerza de Lorentz. No obstante el conjunto de postulados que proponemos es capaz de englobar este tipo de fen´ omenos si equiparamos el momento magn´etico intr´ınseco al momento asociado a espiras de corriente. Estos conceptos, a´ un no definidos, se introducen en el siguiente tema.

23

entre ellos usaremos el principio de relatividad galilea- Desarrollando el producto vectorial triple y usando la condici´on de na, seg´ un el cual la fuerza debe ser la misma en cualquier perpendicularidad impuesta se llega a sistema de referencia inercial.  ×B  E Supongamos que en cierta regi´ on del espacio existen campos el´ectrico y magn´etico. Consideremos dos sistemas inerciales, Σ y Σ
, el segundo con velocidad v0 respecto del primero. Una carga de prueba q se mueve con velocidad v en Σ y con velocidad v
en Σ
. Ambas velocidades se relacionan mediante v
= v − v0 . Las fuerzas medidas en cada referencia son

  
+ v
× B 
) = q E 
+ (v − v0 ) × B 
. F
= q(E

.

En el sistema de referencia que se mueve a esa velocidad no hay campo el´ ectrico y el campo magn´etico es el mismo que en el sistema laboratorio. Por tanto el problema se ha reducido al de una part´ıcula que se mueve en un campo magn´etico uniforme, con velocidad inicial perpendicular al campo. El movimiento, como vimos en el ejemplo anterior, es circular, con radio y velocidad angular conocidos, que en este caso resultan ser mv⊥0 qB mE R= ; ω= = . qB qB 2 m

Hemos distinguido con primas los campos medidos seg´ un Σ
 (pero no la carga, que es invariante). Igualando F a F
y teniendo en cuenta que el resultado se debe cumplir para cualquier carga de prueba (q y v arbitrarias) necesariamen =E 
− v0 × B 
, o,  =B 
y que E te debemos exigir que B equivalentemente, 
= E  + v0 × B,  E

B2

Visto desde el sistema laboratorio el movimiento es la composici´ on de un movimiento de traslaci´ on a velocidad constante va y otro de giro a velocidad angular uniforme ω y radio R. La relaci´ on entre estas tres magnitudes son propias de una curva plana especial llamada cicloide, que por cierto tambi´en describe el movimiento de un punto de una circunferencia que rueda sin deslizar por una superficie plana.

 + v × B)  F = q(E y

 va =

z E x


= B,  B

que son conocidas como la ley de transformaci´ on de los campos. En su deducci´ on est´ a impl´ıcita la hip´ otesis de que la velocidad v puede ser arbitrariamente grande. Si se impone que la m´ axima velocidad alcanzable es la de la luz c (relatividad einsteniana) la ley de transformaci´ on se modifica, aunque la diferencia entre ambas s´ olo es apreciable para velocidades relativas comparables con c.

2.6

y

B

Forma integral de las ecuaciones de Maxwell

Hemos presentado ya las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial (puesto que intervienen operadores diferenciales Ejemplo: on) o tambi´en llamada en forma local (aluDescr´ıbase el movimiento de una part´ıcula cargada en una regi´ on en la en su expresi´  y un campo magn´etico B  constan- diendo a que se trata de relaciones entre magnitudes que que existen un campo el´ectrico E tes, uniformes y perpendiculares entre s´ı, suponiendo que se parte del se cumplen en cada punto del espacio). En muchos casos reposo en el sistema de referencia del laboratorio, en el que los campos nos ser´a de utilidad otra forma de expresar estas mismas han sido medidos. ecuaciones, que denominaremos en forma integral. Veamos Este problema puede plantearse de dos formas diferentes: mediante cada una por separado y de paso aprenderemos el nombre integraci´ on de las ecuaciones del movimiento en el sistema de referencia que se nos da, o bien tomando un sistema de referencia auxiliar particular que recibe cada ley.

para el cual el campo el´ectrico no existe. Optamos por lo segundo para ejemplificar el uso de las f´ ormulas de transformaci´ on de los campos ante un cambio de sistema de referencia.

• Ley de Gauss

  es nulo Podemos encontrar un sistema de referencia para el cual E  y B  son perpendiculares entre s´ı. Si llamamos va a debido a que E la velocidad del sistema auxiliar respecto del sistema laboratorio, la ecuaci´ on que la determina ser´ a  = E  +  = 0. E va × B Esta condici´ on no determina completamente el  va (recordemos la analog´ıa algebraica del teorema de Helmholtz vista en el tema anterior)  Esta puesto que necesitar´ıamos conocer tambi´en el valor de va · B. indeterminaci´ on equivale a poder elegir la direcci´ on de va con tal que  y que no sea colineal a est´ e contenida en el plano perpendicular a E  (puesto que entonces el producto vectorial ser´ıa autom´ B aticamente cero). La opci´ on m´ as simple es tomar  va perpendicular a los dos vecto = 0. Multiplicando res, es decir, imponer la condici´ on adicional va · B  escribimos vectorialmente por B  = 0.  ×E  +B  × ( B va × B)

La primera de las ecuaciones de Maxwell recibe el nombre de Ley de Gauss:  ·E  = ρ/0 . ∇ Su forma integral se obtiene integr´ andola sobre un volumen τ arbitrario.    ·E  dτ = 1 ∇ ρ dτ. 0 τ τ Usando el teorema de la divergencia en el primer miembro y reconociendo la carga encerrada en τ en la integral del segundo se llega a

24

 Sτ

 · dS  = q(τ ) , E 0

es decir, el flujo de campo el´ectrico que atraviesa una su- efecto, si la superficie sobre la que realizamos la integraci´on de la ley perficie cerrada es proporcional a la carga neta que encierra de Faraday es variable en el tiempo (circuito m´ovil y/o deformable) se tendr´ a dicha superficie.    ∂B  · dS, ∂t

 · d E r=−

• Ley de inexistencia de monopolos.

γS (t)

S(t)

donde ahora la derivada parcial respecto del tiempo no se puede permutar con la integraci´ on espacial puesto que la superficie var´ıa en el tiempo. De hecho puede verse la relaci´ on entre ambas:

Otra de las ecuaciones de Maxwell es  ·B  = 0, ∇

d dt

  · dS  = lim B

1 ∆t



  + ∆t) · dS − B(t

   . B(t) · dS

que establece que, al contrario de lo que ocurre con el cam∆t→0 S(t) S(t+∆t) S(t) po el´ectrico, no existen fuentes escalares para el campo magn´etico (monopolos).  · dS  dentro del corSi sumamos y restamos la cantidad B(t) S(t+∆t) chete, podremos agrupar de forma que la derivada se pueda escribir En forma integral se tiene como        · dS  = 0. ∂B 1 B      (t) · dS + lim B(t) · dS − B(t) · dS . Sτ

S(t)

Por ser un campo solenoidal se aplican todas las propiedades que se han estudiado en el tema 1; en particular la  · dS  para cualquier secci´ on de constancia del flujo Φ = S B un tubo de campo, o para cualquier superficie que se apoye en un mismo contorno.

∆t→0

∂t

∆t

S(t+∆t)

S(t)

El l´ımite no calculado a´ un es el t´ermino nuevo que hay que considerar. Vemos que se trata de la diferencia entre el flujo magn´etico evaluado en S(t) y el evaluado en S(t+∆t). Ambas superficies est´ an conectadas por una superficie elemental ∆SL construida con los desplazamientos  v ( r )∆t de cada elemento d r del contorno de S(t) (ver figura). Un elemento de esta superficie puede escribirse d r× v ( r )∆t.

La unidad de flujo magn´etico es el weber (Wb). Se tiene que 1Wb = 1T.m2 .

gS(t+Dt)

• Ley de Faraday

S(t)

La ecuaci´on que recibe el nombre de Ley de Faraday es   ×E  = − ∂B . ∇ ∂t

gS(t)

v(r)Dt r

dr

Si se integra sobre una superficie arbitraria S resulta  S

  ×E  · dS =− ∇

S

Por ser el campo magn´etico solenoidal el flujo a trav´es de S(t) es el mismo que el flujo a trav´es de ∆SL ∪ S(t + ∆t), puesto que ambas superficies tienen el mismo contorno. De aqu´ı se deduce que el l´ımite es  

 ∂B  · dS. ∂t

Aplicamos el teorema de Stokes al primer miembro e intercambiamos el orden de derivaci´on temporal e integraci´on en el segundo para obtener    · dr = − d  · dS,  E B dt S γS

−



 =− [d r × v] · B γS



 . d r·  v×B γS

Esta integral de l´ınea se puede pasar al primer miembro y agrupar con   para dar (E  +  · d la circulaci´ on de E v × B) r . Pero la expresi´ on entre   medido en sistemas par´ entesis no es otra cosa que el campo el´ectrico E de referencia ligados a cada elemento del contorno de integraci´ on. La conclusi´ on es que la ley tiene validez incluso para contornos m´ oviles.

que es la forma integral de dicha ley. Esta ecuaci´on pone de manifiesto de manera muy intuitiva c´ omo se genera el campo el´ectrico a partir de sus fuentes vectoriales: las variaciones de flujo magn´etico tienden a producir l´ıneas de campo el´ectrico en forma de circuitos contenidos en la direcci´on perpendicular. Se trata de una contribuci´ on que hay que a˜ nadir al campo generado por la existencia de fuentes escalares (cargas).

• Ley de Amp` ere-Maxwell. Corriente de desplazamiento.

Nota avanzada:

La u ´ ltima ecuaci´on se conoce como Ley de Amp` ereMaxwell, e indica cu´ ales son las fuentes vectoriales del campo magn´etico (las u ´ nicas que posee): 

 ∂ E  ×B  = µ0  + 0 . ∇ ∂t

Si el circuito de integraci´ on se mueve o se deforma la ley integral sigue siendo v´ alida, siempre y cuando interpretemos que el campo el´ ectrico que se integra es el medido localmente, es decir, en sistemas solidarios con cada elemento de corriente que compone el circuito. En

Junto a la corriente  existe un t´ermino relacionado con  la variaci´ on del campo el´ectrico, 0 ∂ E/∂t que se suele denominar corriente de desplazamiento. El apelativo de 25

corriente puede ser enga˜ noso, puesto que no se trata de un flujo real de cargas; est´a m´as bien motivado por sus dimensiones f´ısicas, que coinciden con las de .

es v´ alida. Si usamos la versi´ on integral de la ley de Amp`ere-Maxwell aplicada a un circuito circular definido por r = R, y teniendo en cuenta que no se nos habla de la existencia de un campo el´ectrico variable en el tiempo,



La forma integral de la Ley de Amp`ere-Maxwell se obtiene considerando una superficie S arbitraria 

 γS

 · dr = µ0 I(S) + 0 B

S

2π

0

γ(R)







 · d B r=

A Rdφ = 2πA = µ0 I. R

Esto relaciona la constante A con la intensidad de corriente que crea el campo. Como esto es cierto para cualquier valor de R elegido, la conclusi´ on es que la corriente es filiforme. El campo magn´etico creado por un hilo recto es pues

 ∂E  , · dS ∂t

µ0 I



B= uφ .  donde, como en el caso de la Ley de Faraday, se ha aplicado 2πr el teorema de Stokes en el primer miembro. En el segundo Lo visto en estos dos ejemplos se volver´ a a estudiar en el siguiente se ha identificado el flujo de corriente a trav´es de la super- tema, dedicado a las soluciones est´aticas de las ecuaciones de Maxwell. ficie con la intensidad I(S) que la atraviesa. Tambi´en esta presentaci´on integral, al igual que la regla del flujo para el campo el´ectrico, nos da una idea cualitativa de la configuraci´on de l´ıneas de campo magn´etico a partir de la de sus 2.7 Discontinuidades de los campos fuentes vectoriales.

Esta secci´on muestra de manera general que la existencia de singularidades en las fuentes da lugar a discontinuidades  = Si el campo el´ectrico medido en el espacio resulta ser E r, ectrico y magn´etico, en forma con A constante, ¿qu´e podemos decir de sus fuentes escalares y vecto- en el valor de los campos el´ an´ aloga a lo que sucede cuando una funci´on de una variariales? ble f (x) sufre un salto en x = x0 y esto da lugar a una Se trata de un campo central y su rotacional es nulo, seg´ un vimos
en un ejemplo del tema anterior. No existen pues fuentes vectoriales singularidad de su derivada f (x0 ). Ejemplo:

(A/r 2 ) u

(es decir, campos magn´eticos variables en el tiempo). En cuanto a las fuentes escalares usamos la ley de Gauss:



• Campo el´ ectrico:

Cuando existe una distribuci´on superficial de carga, ρS (r) definida en una superficie S el campo el´ectrico sufre un salLa conclusi´ on aparente es que no existe carga en ning´ un punto del es- to, entendido como la diferencia entre su valor a un lado y pacio. Sin embargo el sentido com´ un nos dice que si el campo el´ectrico a otro de S. Vamos a establecer las ecuaciones que determino es nulo, debe haber carga en alg´ un sitio. La u ´nica posibilidad es nan la discontinuidad a partir de dos de las ecuaciones de que est´ e situada en el origen, donde el campo se hace singular y la evaluaci´ on anterior de la divergencia no es aplicable. En efecto, la Maxwell en forma integral.  ·E  = !0 1 ∂ ρ = !0 ∇ r 2 ∂r

r2

A r2

= 0.

forma integral de la ley de Gauss nos permite confirmar esta sospecha. Tomando una superficie gaussiana esf´erica centrada en el origen y de radio R obtenemos





 · dS = E S(R)

1

A 2 R dΩ = 4πA, R2

DS

donde hemos expresado el elemento de superficie en funci´ on del ´ angulo s´ olido elemental. La ley integral implica que 4πA = q/!0 , y de aqu´ı obtenemos el valor de la carga que ha creado el campo. Como adem´ as el radio elegido puede ser tan peque˜ no como se quiera, llegamos a la conclusi´ on de que la carga es puntual.

2

S1

n

E2

S2

e rs

S

Recapitulando, por la importancia de la expresi´ on hallada, el campo creado por una carga puntual q es  = E

E1

q  ur . 4π!0 r 2

Aplicamos la ley de Gauss en forma integral utilizando un volumen de integraci´ on en forma de peque˜ na caja de pasEjemplo: tillas (cilindro aplastado) con generatriz perpendicular a la Si el campo magn´etico medido en todo el espacio resulta ser, en coor- superficie S en un punto dado (ver figura). Las dos bases  = (A/r) denadas cil´ındricas, B uφ , ¿qu´ e podemos decir de sus fuentes? del cilindro, de a´rea ∆S, son por tanto paralelas a la superEn primer lugar, el campo propuesto es admisible puesto que es so- ficie cargada y est´ an situadas de tal forma que el cilindro lenoidal. En efecto, la aplicaci´ on de la divergencia a esta expresi´ on contiene una porci´ o n de la distribuci´ on de carga. La altura nos da cero y se cumple la ley de ausencia de monopolos. e del cilindro puede tomarse tan peque˜ na como se quiera En cuanto a las fuentes vectoriales, la aplicaci´ on del rotacional nos sin que el requisito de contener parte de la distribuci´ on se da    ur  deje de verificar. Con estas condiciones el flujo a trav´ es de r u u  z φ   ×B  = 1  ∂/∂r ∂/∂φ ∂/∂z  = 0. ∇ la superficie gaussiana que encierra el volumen cil´ ındrico se r 0  r(A/r) 0 escribe Nuevamente se nos presenta el resultado parad´ ojico de un campo sin     fuentes, ni escalares ni vectoriales. Y nuevamente la clave est´ a en los  · dS =  · dS +  · dS +  · dS,  E E E E puntos singulares del campo. Para r = 0 la evaluaci´ on anterior no

26

SG

SL

S1

S2

siendo SL la superficie lateral y S1 y S2 las dos bases, situadas respectivamente en las regiones ”1” y ”2”, separadas por la superficie cargada. Si tomamos l´ımite e → 0 el flujo lateral tambi´en tiende a cero, puesto que el campo debe mantenerse finito y el recinto de integraci´on tiene a´rea cada vez m´as peque˜ na. Por otra parte los flujos a trav´es de las bases se pueden aproximar por los productos de campo por area si ´esta es suficientemente peque˜ ´ na para que el campo sea muy aproximadamente constante. Con todas estas consideraciones podemos escribir  1 + E  2 · ∆S 2 .  · dS E  1 · ∆S E SG

vector unitario perpendicular al rect´ angulo, que estar´ a por tanto contenido en la superficie S. Su sentido nos determina a su vez un sentido de circulaci´on del contorno rectangular. Una base local ortonormal del espacio se completa con el vector tb = n × ta , tambi´en tangente a la superficie cargada, y perpendicular a ta . La circulaci´on del campo el´ectrico se puede descomponer en circulaciones sobre cuatro tramos rectos:   · dr = ΓAB + ΓBC + ΓCD + ΓDA , Γ= E de las cuales ΓBC y ΓDA tienden a cero cuando e → 0. Nos queda, considerando los campos aproximadamente constantes en cada tramo por ser ´estos de peque˜ na longitud, ∆l,

Podemos expresar las superficies en funci´ on del vector nor 2 · tb ∆l.  1 · tb ∆l + E Γ  −E mal a la superficie cargada, n, que tomamos dirigido de la 1 = −∆S 2 = ∆Sn, mienregi´ on ”2” a la ”1”, escribiendo ∆S Para aplicar la ley de Faraday debemos evaluar el flujo tras que por otra parte la carga encerrada ser´ a ρS (r)∆S. La de ∂ B/∂t  a trav´es del rect´angulo. Es claro que tampoco ley de Gauss dar´ a como resultado son f´ısicamente aceptables variaciones temporales infinitas del campo magn´etico, y como el ´area sobre la cual eva 1 · n∆S − E  2 · n∆S = ρS ∆S/0 , E luamos el flujo tiende a cero cuando e → 0, tambi´en lo a el flujo. En consecuencia en la expresi´ on anterior es y cancelando el factor com´ un se llega a una condici´ on sobre har´ 1 − E  2 ) = 0, o bien, tb · (E Γ = 0 y podemos escribir −  

las componentes normales del campo el´ectrico:  = ta · n × [E]  . Como el vector tan0 = (ta × n) · E  = ρS /0 , n · [E] gente ta puede ser elegido arbitrariamente en la superficie, as que una proyecci´ on de una ecuaci´on que se cumple en cada punto de la superficie cargada. Los lo anterior no es m´ vectorial que se debe satisfacer:  2 evaluando ambos campos 1 −E corchetes denotan el salto E en las inmediaciones de la superficie. Es importante notar  = 0, n × [E] que la definici´ on del corchete y el sentido elegido para n est´an relacionados: podemos tomar el sentido opuesto paAunque esta forma de expresar el resultado es la m´as elera definir el vector normal a la superficie, pero en ese caso gante por involucrar vectores definidos en cada punto de una  como la demostraci´on anterior nos obligar´ıa a definir [E] superficie (y no vectores tangentes que pueden ser elegidos   on, la f´ ormula de infinitas maneras), la ecuaci´on establece simplemente que E2 − E1 . En definitiva , sea cual sea la elecci´ se lee ”la proyecci´on normal del campo evaluado en la re- la componente tangencial del campo el´ectrico es continua al gi´ on hacia donde apunta el vector normal a la superficie de atravesar la distribuci´ on, lo cual tambi´en se suele expresar separaci´on, menos la proyecci´ on normal del campo evaluado E1t = E2t . en la otra regi´ on, es igual a la densidad superficial de carga en ese punto dividido por 0 ”. Ejemplo:

1 rs

2

 = (A/r 2 ) Si el campo el´ectrico medido en todo el espacio es E ur para r > R y cero si r < R, obt´ enganse sus fuentes.

E1 tb

A

n

D

Dl S

La aplicaci´ on de la divergencia y el rotacional a estas expresiones dan cero (v´ease un ejemplo anterior). No hay pues fuentes distribuidas en volumen. Sin embargo el campo sufre una discontinuidad en r = R y por tanto en esa superficie esf´erica debe haber una distribuci´ on superficial de carga. Su valor se obtiene aplicando la condici´ on de salto  = ρS /!0 . Esto da A/R2 − 0 = ρS /!0 , o sea, ρS = A!0 /R2 .  n · [E]

ta B

E2

e

Adem´ as podemos observar que la continuidad de la componente tangencial se verifica, por ser nula a un lado y a otro de la superficie r = R.

C

Una segunda condici´ on da informaci´ on sobre las componentes tangenciales del campo el´ectrico y se obtiene a partir de la ley de Faraday en forma integral. Tomamos una superficie de integraci´ on rectangular, contenida en un plano perpendicular a la superficie S que contiene la distribuci´on de carga (ver la figura de arriba). El rect´ angulo se localiza de forma que corta la superficie cargada sea cual sea la longitud e de los lados perpendiculares. Denotamos por ta al

• Campo magn´ etico: Podemos realizar el mismo tipo de an´ alisis con las otras dos ecuaciones de Maxwell que restan por usar, lo cual nos dar´ a otro par de condiciones, ahora referidas a las componentes del campo magn´etico en la proximidad de una superficie sobre la que existe una distribuci´ on superficial de

27

corriente. La notaci´on tiene en lo que sigue el mismo signi- cil´ındricas, B = (A/r)uφ para r > R y cero si r < R, obt´enganse sus fuentes. ficado que anteriormente. La aplicaci´ on de la divergencia y el rotacional a estas expresiones dan Usando la condici´ on de ausencia de monopolos en forma tambi´ en cero en este caso y no hay fuentes distribuidas en volumen. La integral se deduce sin dificultad la condici´ on discontinuidad en la superficie cil´ındrica r = R evidencia la existencia  = µ0S da, de una corriente superficial. La condici´ on de salto  n × [B] teniendo en cuenta que  n= ur , S = A/(µ0 R) uz .

 = 0, n · [B]

 se verifica trivialLa continuidad de la componente normal de B

puesto que la u ´ nica diferencia con el caso el´ectrico es que no mente, por ser nula a un lado y a otro de la superficie r = R. existe algo an´ alogo a una densidad de carga, ni superficial ni volum´etrica.

B2

B2

n

B1

tb

ta

js Dl

tb

n

e e

• Balance de carga en una superficie.

B1

La conservaci´on de la carga tambi´en se debe verificar en cualquier superficie. De especial relevancia es el caso de una superficie S en la que tenemos definidas singularidades de carga y corriente dadas por la densidad ρS (r) y S (r) respectivamente. A un lado y a otro podemos tener definidas distribuciones volum´etricas de carga y corriente, ρi (r) y i (r), con i = 1, 2 (ver figura).

ta js

Dl

S1 Por el contrario una corriente superficial S (r) constituDS n j1 ye una fuente vectorial de campo magn´etico, y la ley de Amp`ere-Maxwell en forma integral debe analizarse con m´as gDS cuidado, siguiendo el mismo procedimiento que con la ley j2 de Faraday. Vamos a definir el vector ta como aqu´el que es S2 e paralelo a S en el punto r de la superficie considerado (ver  dibujo de la izquierda en la figura). La circulaci´ on de B es js an´ aloga a la que se vio para el campo el´ectrico. El flujo que rS atraviesa el rect´ angulo se debe exclusivamente a la corriente  superficial, puesto que el campo ∂ E/∂t se mantiene finito y el ´ area tiende a cero cuando e → 0. Podemos escribir A partir de la ecuaci´on de continuidad integrada para un 1 − B  2 ) = µ0 I(S) = µ0 ta · S ∆l. directamente −∆l tb · (B volumen elemental ya habitual con forma de caja de pastiCancelando el factor com´ un ∆l y usando la definici´ on de tb llas se tiene se llega a la ecuaci´on escalar     

 ·  + ∂ρ = + d ∇  · dS ρdτ. 0=  = µ0ta · S . ta · n × [B] ∂t dt τ τ Sτ La integral de superficie representa el flujo de carga que escapa por la frontera del volumen. En el l´ımite en que el grosor de la caja tiende a cero hay tres aportes: dos de ellos son an´ alogos a los encontrados en este tipo de an´alisis  y B;  otro es nuevo aplicado anteriormente a los campos E y surge de la presencia de una singularidad superficial de puesto que en tal caso la corriente no atraviesa el rect´angulo. corriente:    = ∆S(  La u ´ ltima igualdad, aunque cierta por tratarse de dos vec · dS 1 − 2 ) · n +  · dS. Sτ SL tores perpendiculares, parece caprichosa, pero es as´ı como mejor se pone de manifiesto que las dos ecuaciones encon- En el flujo lateral no intervienen las distribuciones votradas son proyecciones en una base del plano tangente a la lum´etricas puesto que el ´area lateral tiende a cero, pero superficie de la ecuaci´on vectorial en este l´ımite s´ı puede haber flujo de carga debido a la corriente superficial definida en una fina capa de espesor δ,  = µ0S ,  = δdr × n, siendo dr un n × [B] S = limδ→0 δ. Escribiendo dS vector elemental del contorno de S2 se tiene que establece una relaci´on entre la corriente superficial en   cada punto y el salto en la componente tangencial del campo   · dS = S · (dr × n). magn´etico. SL γS Si en lugar de un rect´ angulo perpendicular a la corriente superficial hubi´eramos tomado uno tangente a la misma (dibujo de la derecha) el resultado ser´ıa

 = 0 = µ0tb · S , tb · n × [B]

2

Ejemplo: Si el campo magn´etico medido en todo el espacio es, en coordenadas

Si dividimos esta expresi´on por ∆S y tomamos l´ımite ∆S → 0 encontramos una expresi´on que definimos, por analog´ıa 28

con el caso tridimensional, como la divergencia superficial tromagn´etica. Hemos definido ya la carga y la corriente del vector S (se trata del flujo que escapa lateralmente por el´ectrica, as´ı como sus posibles distribuciones; hemos deunidad de superficie): finido los campos el´ectrico y magn´etico; hemos establecido la relaci´on entre todos ellos (ecuaciones de Maxwell),  1 y hemos cerrado la descripci´ on de la interacci´on electro S · S = lim ∇ dr · (S × n). ∆S→0 ∆S γ magn´ e tica al definir la fuerza de Lorentz. Sin embargo, al S igual que en Mec´anica, es de la m´axima utilidad introducir magnitudes energ´eticas como herramientas para comRecordando la segunda definici´ on intr´ınseca de rotacional prender y analizar los fen´ omenos electromagn´eticos. Vere S · S = n · ∇  × (S × n). podemos escribir ∇ mos en breve que si en una regi´ on del espacio existen camPor otra parte la integral de volumen no es otra cosa que pos el´ectrico y magn´etico, tambi´en existen asociados a ellos la carga encerrada, que vale ρS ∆S. En conclusi´ on, la ecua- energ´ıas el´ectrica y magn´etica, respectivamente. ci´on que resulta es De cursos introductorios de F´ısica estamos acostumbrados a analizar, por ejemplo, la ca´ıda de objetos en la superficie  S · S + ∂ρS = 0 n · [] + ∇ terrestre mediante el c´alculo de energ´ıas cin´etica y potencial, ∂t entre las cuales pueden existir trasvases; tambi´en se tienen p´erdidas debidas a rozamiento con el aire, que pueden ser que es de validez general si la superficie no se deforma. interpretadas como transformaci´ on de energ´ıa mec´anica en energ´ıa de otro tipo (calor´ıfica). Todo esto puede servirnos, Ejemplo: a modo de analog´ıa, para entender los conceptos que ahora Si se bombardea la superficie plana de un material aislante con un haz de iones de intensidad I, y secci´ on S, con una inclinaci´ on α respecto siguen. de la normal, durante un tiempo T , h´ allese la densidad superficial de carga depositada.

• Trabajo de las fuerzas electromagn´ eticas.

Podemos distinguir dos medios: uno el material aislante, que no deja pasar a los portadores de carga y dentro del cual podemos tomar  = 0; otro su exterior, del que proviene el haz, en el cual la densidad de corriente en m´ odulo es I/S si es uniforme. Si el medio es aislante tampoco tendr´ a lugar migraci´ on superficial de la carga, por lo que admitimos que no hay corriente superficial. En un punto sobre el que incide el haz de iones se establece un balance de carga expresado por la f´ ormula encontrada anteriormente, con S = 0. Tomando el vector normal a la superficie apuntando hacia el exterior escribimos I ∂ρS − cos α + = 0, S ∂t El signo negativo proviene de que, al ser incidente, forma un ´ angulo mayor de π/2 con la normal a la superficie. Esta ecuaci´ on define la derivada de la densidad de carga como una constante. Integrando en el tiempo,  T ∂ρS I ρS = dt = T cos α. ∂t S 0

Consideremos una distribuci´ on volum´etrica de carga y de corriente. Sobre cada portador de carga, con carga q y velocidad v , la fuerza de Lorentz realiza un trabajo durante un intervalo dt dado por  + v × B)  · v dt, dWq = F · dr = q(E donde hemos tenido en cuenta que en ese intervalo de tiempo el desplazamiento sufrido por la carga es dr = v dt. El segundo t´ermino dentro del par´entesis desaparece por ser la fuerza de origen magn´etico perpendicular a la trayectoria del portador. S´ olo la fuerza de origen el´ectrico realiza trabajo, que sumado para todos los portadores encerrados en un elemento de volumen dτ conduce a

Como hemos dicho, si la superficie que consideramos se deforma, la f´ ormula anterior no es v´ alida. Sirva como ejemplo lo que sigue.

dW =

s


 dτ dt =  · E  dτ dt. qi nivi · E

i=1

En otras palabras, la potencia mec´ anica suministrada por unidad de volumen a la distribuci´on es

Ejemplo: H´ allese la densidad superficial de carga de un globo de radio R1 , con carga q, que se infla hasta alcanzar un radio R2 . Suponiendo que la distribuci´ on es uniforme en toda la superficie del globo, la densidad superficial inicial es ρS1 = q/S1 = q/(4πR21 ), y la final es ρS2 = q/S2 = q/(4πR22 ). Est´ a claro que durante el proceso ∂ρS /∂t = 0 y sin embargo la simetr´ıa del problema impide la existencia de una corriente superficial ni tampoco podemos considerar densidades de corriente a un lado y a otro de la superficie del globo. La ecuaci´ on de balance de carga no se cumple, y ello es debido a que la superficie var´ıa en el tiempo.

dP dW  = =  · E. dtdτ dτ • Teorema de Poynting

Acabamos de establecer que sobre una distribuci´ on de corriente el campo electromagn´etico realiza una fuerza que por unidad de volumen conduce a la ”inyecci´ on” de una  Si esta expresi´ potencia dada por  · E. on es positiva se trata efectivamente de un aporte de energ´ıa por unidad de 2.8 Energ´ıa almacenada en los campos tiempo al sistema de cargas en ese punto. Si es negativa es el sistema de cargas el que cede esa energ´ıa. La cuesti´on En este cap´ıtulo pretendemos introducir todos los concep- que se nos plantea es de qui´en se extrae o a qui´en se cede, tos b´ asicos que se deben manejar dentro de la teor´ıa elec- respectivamente. 29

Para contestar a esto vamos a presentar la potencia realizada por las fuerzas electromagn´eticas de otra forma. Usando la Ley de Amp`ere-Maxwell para expresar la corriente se tendr´ a 

  ∂ E 1  ×B  − 0  ·∇  ×B  − 0 E  · ∂E .  = 1 E  = ∇ ·E  · E µ0 ∂t µ0 ∂t

puede aumentar o disminuir; el flujo de energ´ıa a trav´es de la frontera puede ser saliente (positivo) o entrante (negativo); el trabajo realizado por la fuerza de Lorentz puede ser tambi´en positivo o negativo. Si este u ´ltimo es negativo significa, en muchos casos, que existen fuerzas de otro origen que est´ an actuando en contra del campo electromagn´etico. Dichas fuerzas son responsables de que se gane en energ´ıa electromagn´etica. Tal es el caso, por ejemplo, de una cenHaciendo uso de la identidad tral hidroel´ectrica, en la que la energ´ıa gravitatoria del agua  · (E  × B)  =B  ·∇  ×E  −E  ·∇  ×B  ∇ almacenada es responsable de la separaci´on de carga que  ×E  a partir de la Ley de Faraday queda produce la corriente el´ectrica. La energ´ ıa gravitatoria es y sustituyendo ∇  fuente de energ´ıa el´ectrica. Por tanto, si  · Edτ es negati  vo, debemos entender que hay otro tipo de energ´ıa (t´ermica, 1 ∂ E ∂ B 1  =− ∇  · (E  × B)  − 0 E · ·  · E B − . nuclear, qu´ımica, potencial, etc.) que est´a actuando como µ0 ∂t µ0 ∂t fuente de energ´ıa electromagn´etica. Bajo este nuevo punLos t´erminos con derivada temporal pueden relacionarse to de vista podemos reinterpretar el teorema de Poynting f´ acilmente con las derivadas de E 2 y B 2 , con lo cual lle- escribiendo gamos a la expresi´on final 

 = ∂ (uE + uB ) + ∇  · P,  − · E ∂t

 dτ = d −  · E dt τ

donde se definen las cantidades  = 1 E  × B,  P µ0

0 uE = E 2 , 2



 τ

(uE + uB ) dτ +

Sτ

 · dS,  P

que leemos ahora as´ı: la potencia cedida por el conjunto de cargas de una regi´ on τ al campo electromagn´etico se emplea en aumentar la energ´ıa almacenada en los campos en dicha regi´ on y el resto escapa por su frontera.

1 2 uB = B . 2µ0

La cantidad uE tiene dimensiones de energ´ıa por unidad de volumen, y es dependiente exclusivamente del campo el´ectrico en ese punto. Por este motivo se le denomina densidad volum´ etrica de energ´ıa el´ ectrica. An´ alogamente etrica de energ´ıa a uB se la denomina densidad volum´  se le conoce como vector de Poynting, magn´ etica. A P y su significado f´ısico es el de un flujo de energ´ıa por unidad de superficie transversal. Ya se ver´an en temas posteriores ejemplos de c´ alculo de energ´ıas y flujos de energ´ıas.

Hay que hacer ´enfasis en la realidad independiente de los campos y las part´ıculas. Estas u ´ ltimas constituyen un sistema mec´anico dotado de energ´ıa mec´anica (cin´etica y de interacci´on); por su parte se acaba de postular que los campos el´ectrico y magn´etico almacenan energ´ıa; el teorema de Poynting establece c´ omo se intercambia la energ´ıa entre ambos sistemas. Para clarificar m´ as el significado del teorema de Poynting, veamos dos ejemplos:

La ecuaci´on encontrada es el teorema de Poynting, que establece un balance local de energ´ıa en cada instante. En lo Ejemplos: que sigue vamos a tratar de interpretar el significado f´ısico 1. El Sol constituye un excelente ejemplo de sistema formado por de esta ecuaci´on. cargas. Su interior es lo que se denomina un plasma, es decir, un de part´ıculas cargadas positiva y negativamente. Las reacciones Quiz´ as la mejor forma de entender la ecuaci´on se consi- gas nucleares que tienen lugar en ´el constituyen la fuente de energ´ıa elecgue integr´ andola a un volumen arbitrario τ . Si hacemos tromagn´etica. Podemos suponer que posee una temperatura estable, al esto, aplicamos el teorema de la divergencia y reordenamos menos en la escala humana de tiempos, y que por tanto el sistema est´a en un estado estacionario. Por tanto la energ´ıa electromagn´etica almat´erminos resulta cenada es constante y la energ´ıa nuclear se transforma ´ıntegramente    en radiaci´ on electromagn´etica. De los tres t´erminos involucrados en el d  · dS,   dτ + teorema de Poynting, s´ olo dos son distintos de cero e iguales entre s´ı: P (uE + uB ) dτ =  · E − dt τ la energ´ıa nuclear trabaja en contra de los campos electromagn´eticos, τ Sτ que debe leerse: la disminuci´ on en la energ´ıa electromagn´etica almacenada en una regi´ on τ se emplea en trabajo realizado por los campos sobre las cargas y energ´ıa que escapa por su frontera. En otras palabras, parte se transforma en otro tipo de energ´ıa y parte se pierde. La transformaci´ on consiste en que el sistema de cargas incluido en la regi´on τ modifica su movimiento por efecto de la fuerza de Lorentz, lo cual revierte en una variaci´on de la energ´ıa mec´anica.

pero no produce un aumento de energ´ıa, sino un flujo hacia el exterior. 2. En un aparato de rayos X un haz de electrones es acelerado por campos el´ectricos muy intensos en cierta regi´ on, y luego se les hace chocar, con lo cual pierden su energ´ıa de manera brusca. En este proceso debemos considerar dos etapas. (i) En la primera los electrones adquieren velocidad por el campo el´ ectrico aplicado, sin emisi´ on apreciable de radiaci´ on, porque la aceleraci´ on de las cargas es relativamente lenta (en el tema 4 veremos que el fen´ omeno de radiaci´ on requiere aceleraci´ on de cargas). El teorema de Poynting queda en este caso

Hay que tener en cuenta que en un proceso cualquiera cada uno de los t´erminos del teorema puede tener signo positivo o negativo. En efecto, la energ´ıa electromagn´etica 30



 dτ = d −  · E dt τ

 (uE + uB ) dτ. τ

La energ´ıa potencial el´ectrica de las cargas disminuye (uB  0 y uE < 0) y se transforma ´ıntegramente en energ´ıa mec´ anica (poten > 0). cia mec´ anica positiva, porque  · E (ii) En la segunda etapa los electrones pierden su energ´ıa mec´ anica tras chocar, pero no ha habido variaci´ on de energ´ıa electromagn´etica almacenada; debemos por tanto decir que toda esa energ´ıa escapa en forma de radiaci´ on X. El teorema queda



−



 dτ =  · E τ

 · dS,  P Sτ

con ambos t´erminos positivos (n´ otese que el choque con un material muy masivo es una interacci´ on con un campo el´ectrico opuesto a la  < 0 en el proceso). corriente, y que por tanto  · E

j⋅E<0

-

+ e

que las interacciones entre portadores pueden conducir a su creaci´on o aniquilaci´ on. En el caso del teorema de Poynting la energ´ıa electromagn´etica surge de una conversi´on de la energ´ıa mec´anica de las part´ıculas englobadas. Insistiendo m´ as en el significado de este tipo de teoremas, pongamos un s´ımil basado en el sistema de calefacci´on de una casa. Los radiadores, estufas, o cualquier otro sistema empleado en el interior de la casa constituyen las fuentes de energ´ıa t´ermica. La temperatura de la casa es un indicador de la energ´ıa t´ermica almacenada en su interior. Por u ´ ltimo, el calor escapa en cierta medida por las paredes de la casa (dependiendo de su aislamiento), y en particular por las ventanas. Podemos establecer el siguiente balance: la potencia calor´ıfica suministrada por las fuentes es igual a la variaci´ on de energ´ıa calor´ıfica almacenada por unidad de tiempo m´as la potencia calor´ıfica que escapa por las paredes y ventanas. Puede demostrarse que los campos electromagn´eticos no s´olo son portadores de energ´ıa, sino tambi´en de momentos lineal y angular. Los teoremas de conservaci´ on de estas magnitudes mec´anicas deben contar con los campos como realidades f´ısicas del mismo rango que las propias part´ıculas.

j⋅E>0

Es instructivo comparar el teorema de Poynting con la ecuaci´on de continuidad. Ambos son teoremas de conservaci´ on: uno para la energ´ıa y otro para la carga. Estos teoremas siempre tienen una misma estructura, a saber, un ”t´ermino fuente”, que caracteriza la creaci´on o destrucci´ on de una magnitud (masa, carga, energ´ıa, cantidad de movimiento, etc.), que se iguala a un t´ermino de tasa de crecimiento temporal de dicha magnitud y otro de flujo de la magnitud a trav´es de la frontera. En el caso de la energ´ıa  mientras electromagn´etica existe un t´ermino fuente, − · E, que en el de la carga neta no lo hay, puesto que se postula que se conserva localmente. Si en lugar de la carga neta se analiza un balance de densidad de portadores de cada especie por separado s´ı hay en general un t´ermino fuente puesto

Como u ´ ltimo comentario, debemos tener en cuenta que si la descripci´on que nos interesa de cierto sistema no es como conjunto de portadores sometidos a fuerzas bien definidas (entre ellas la de Lorentz), sino como medios continuos sujetos a lo que se denominan ”leyes constitutivas”, el teorema de Poynting, tal como se ha enunciado, sigue siendo v´ alido pero deja de tener utilidad. Debe en tales casos redefinirse lo que se entiende por energ´ıas el´ectrica y/o magn´etica y vector de Poynting, y la interpretaci´ on de los distintos t´erminos que aparecen en la ecuaci´on de balance se hace m´as complicada. A partir del tema 5, cuando estudiemos el comportamiento electromagn´etico de los medios materiales, entraremos en descripciones de este u ´ ltimo tipo y veremos definiciones de energ´ıas alternativas a las dadas en este apartado.

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