Tema 4

Tema 4. Distribuciones en el muestreo pág. 1

4.2.- OBSERVACIONES DICOTÓMICAS EJEMPLO 5.3. VISION SUPERIOR.( n = 10 ) En una cierta población humana, el 30 % de los individuos tienen una distancia de visión superior, en el sentido de puntuar 20/15 o más en un test de visión sin gafas standard. Si fueramos a examinar una muestra aleatoria de 10 personas, ¿Cuánta gente con visión superior podríamos esperar encontrar en la muestra?.

P( πˆ = 0.00 ) = P( 0 éxitos)

= 0.0282

P( πˆ = 0.10 ) = P( 1 éxito )

= 0.1211

P( πˆ = 0.20 ) = P( 2 éxitos ) = 0.2335 P( πˆ = 0.30 ) = P( 3 éxitos ) = 0.2668 P( πˆ = 0.40 ) = P( 4 éxitos ) = 0.2001 P( πˆ = 0.50 ) = P( 5 éxitos ) = 0.1029 P( πˆ = 0.60 ) = P( 6 éxitos ) = 0.0368 P( πˆ = 0.70 ) = P( 7 éxitos ) = 0.0090 P( πˆ = 0.80 ) = P( 8 éxitos ) = 0.0014 P( πˆ = 0.90 ) = P( 9 éxitos ) = 0.0001 P( πˆ = 1.00 ) = P( 10 éxitos ) = 0.0000

Tema 4. Distribuciones en el muestreo pág. 2

EJEMPLO 5.3. VISIÓN SUPERIOR.( n = 20). En una cierta población humana, el 30 % de los individuos tienen una distancia de visión superior, en el sentido de puntuar 20/15 o más en un test de visión sin gafas estándar. Si fuéramos a examinar una muestra aleatoria de 20 personas, ¿Cuánta gente con visión superior podríamos esperar encontrar en la muestra?. P( πˆ = 0.00 ) = P( 0 éxitos)

= 0.001

P( πˆ = 0.05 ) = P( 1 éxito )

= 0.007

P( πˆ = 0.10 ) = P( 2 éxitos ) = 0.028 P( πˆ = 0.15 ) = P( 3 éxitos ) = 0.072 P( πˆ = 0.20 ) = P( 4 éxitos ) = 0.130 P( πˆ = 0.25 ) = P( 5 éxitos ) = 0.179 P( πˆ = 0.30 ) = P( 6 éxitos ) = 0.192 P( πˆ = 0.35 ) = P( 7 éxitos ) = 0.164 P( πˆ = 0.40 ) = P( 8 éxitos ) = 0.114 P( πˆ = 0.45 ) = P( 9 éxitos ) = 0.065 P( πˆ = 0.50 ) = P( 10 éxitos ) = 0.031 P( πˆ = 0.55 ) = P( 11 éxitos ) = 0.012 P( πˆ = 0.60 ) = P( 12 éxitos ) = 0.004 P( πˆ = 0.65 ) = P( 13 éxitos ) = 0.001 P( πˆ = 0.70 ) = P( 14 éxitos ) = 0.000 P( πˆ = 0.75 ) = P( 15 éxitos ) = 0.000 P( πˆ = 0.80 ) = P( 16 éxitos ) = 0.000 P( πˆ = 0.85 ) = P( 17 éxitos ) = 0.000 P( πˆ = 0.90 ) = P( 18 éxitos ) = 0.000 P( πˆ = 0.95 ) = P( 19 éxitos ) = 0.000 P( πˆ = 1.00 ) = P( 20 éxitos ) = 0.000

Tema 4. Distribuciones en el muestreo pág. 3

Evolución de la distribución de πˆ al aumentar el tamaño muestral

Tema 4. Distribuciones en el muestreo pág. 4

4.3.- OBSERVACIONES CUANTITATIVAS

LA DISTRIBUCION EN EL MUESTREO DE Y. 1.- MEDIA

µ =µ Y Y 2.- DESVIACIÓN TÍPICA

σY =

σY n

3.- FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN a) Si la distribución poblacional de Y es normal, entonces la distribución en el muestreo de Y es normal. b) TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE. Si n es grande, entonces la distribución en el muestreo de Y es aproximadamente normal, cualquiera que sea la distribución poblacional de Y.

Tema 4. Distribuciones en el muestreo pág. 5

EJEMPLO 5.6.

PESOS DE SEMILLAS.

Se va a realizar un muestreo de una población muy grande de semillas de judías Phaseolus vulgaris. Los pesos de las semillas de la población siguen una distribución normal con media 500 mg. y desviación típica 120 mg. Supongamos ahora que se va a pesar una muestra aleatoria de 4 semillas y que Y representa el peso medio de las cuatro semillas. ¿Cuál será la distribución de Y ?.

Tema 4. Distribuciones en el muestreo pág. 6

EJEMPLO 5.8. PESOS DE SEMILLAS. Se ha extraído una muestra aleatoria de tamaño 25 de la población del ejemplo 5.6 y éstos son los datos obtenidos: 343 755 431 480 516 469 694 659 441 562 597 502 612 549 348 469 545 728 416 536 581 433 583 570 334

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EJEMPLO 5.9. PESOS DE SEMILLAS. Se han obtenido 8 muestras aleatorias de tamaño 25 de la población normal N(500,120) del ejemplo 5.6. A continuación aparecen los histogramas correspondientes a dichas muestras.

Tema 4. Distribuciones en el muestreo pág. 8

4.4.- TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE EJEMPLO 5.10. CARAS EN LOS OJOS. El número de caras en los ojos de la mosca de la fruta Drosophila melanogaster es de interés en estudios genéticos. La distribución de esta variable en una cierta población de Drosophilas puede ser aproximada por la función de densidad mostrada a continuación:

La distribución es moderadamente asimétrica, media 64 y desviación típica 22. A continuación se muestra la distribución en el muestreo de Y para varios tamaños muestrales.

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EJEMPLO 5.11. TIEMPO DE REACCION. Un psicólogo midió el tiempo que requiere una persona para, desde una posición fija, alcanzar y apretar un pulsador. La distribución de los tiempos (en milisegundos) para una persona está representada por la función de densidad siguiente:

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EJEMPLO 5.11. TIEMPO DE REACCION. A continuación se muestra la distribución en el muestreo de Y para varios tamaños muestrales.

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4.5.- APROXIMACION NORMAL A LA DISTRIBUCION BINOMIAL

a) Si n es grande, entonces la distribución binomial puede ser aproximada por una distribución normal con Media = nπ

y

Desviación típica =

nπ (1 − π )

b) Si n es grande, entonces la distribución en el muestreo de πˆ puede ser aproximada por una distribución normal con

Media = π

y

Desviación típica =

π (1 − π ) n

Tema 4. Distribuciones en el muestreo pág. 12

CORRECIÓN POR CONTINUIDAD