Tema 19
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Tema 19 as PDF for free.
More details
- Words: 3,562
- Pages: 22
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
TEMA 19. ESTRUCTURA ATÓMICA. 1.- Introducción. Hoy en día se conocen más de 100 elementos diferentes. Cada elemento viene representado por un átomo (αθοµοσ, indivisible) con un número de protones Z, igual al número de electrones, más un número N de neutrones. Se denomina número atómico del elemento a Z, mientras que la suma Z+N=A, representa su número másico. Rutherford, mediante un experimento en el que bombardeaba los núcleos con partículas α, demostró que los átomos estaban constituidos por un gran espacio vacío, con un núcleo muy masivo y denso, en el que se concentraba prácticamente toda la masa del átomo (donde se ubican los protones y neutrones), y una envoltura de electrones que están en un espacio 5 órdenes de magnitud el tamaño del 1 núcleo (imagen de la plaza de toros ). El núcleo tiene un tamaño del orden -15 del Fermi (1 fm = 10 m), mientras que el átomo (tamaño de la envoltura -10 de electrones) es del orden del Angstrom, (1 ⊕=10 m). En la física clásica, cuando estudiamos las partículas o los sistemas, ya sean libres o ligados, por ejemplo un planeta alrededor del Sol, no se ha encontrado ninguna restricción sobre los posibles valores de su energía, que puede tomar en general, un continuo de valores. Por el contrario, el estudio de la absorción y emisión de radiaciones por parte de los átomos, revela que los posibles valores de la energía para los sistemas atómicos están cuantizados, es decir, únicamente pueden tomar valores discretos, claramente definidos. Además, existen otras magnitudes cuantizadas, como por ejemplo el momento angular. Los principios de cuantización, juntamente con el principio de exclusión, nos van a permitir explicar muchas de las propiedades del mundo microscópico, como la estructura y la estabilidad de los átomos, e incluso estos principios tienen aplicaciones al nivel macroscópico, como en la explicación de la estructura de bandas de los metales. 2. Niveles de energía. La mecánica clásica es capaz de describir a la perfección sistemas ligados como un planeta alrededor del Sol, y parece natural que hagamos su extrapolación al mundo microscópico. Dado que un átomo, como por 1
13
Si hiciéramos 10 veces más grande un átomo, encontraríamos que es aproximadamente como una plaza de toros en la que el núcleo en el centro tendría el tamaño de una pelota de tenis y los electrones serían como las moscas que revolotean por las gradas.
1
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
4
ejemplo el de He se compone de un núcleo cargado muy pesado y dos electrones, cargados y muy ligeros, que constituyen su envoltura electrónica, es normal suponer que éstos orbiten alrededor del núcleo, de la misma manera que lo hacen los planetas en un sistema solar, con cualquier valor de su energía. Sin embargo, el estudio de los átomos mediante sus espectros de emisión y absorción, puso de manifiesto que los átomos y las moléculas solamente pueden tener determinados valores discretos de energía y momento angular. Se trata de sistemas cuantizados, que en general solo se presentan en la naturaleza en un estado determinado: así, los átomos de 56 Fe, en la naturaleza, son indistinguibles entre ellos, y tienen la misma energía (si se aplicara el modelo clásico, cabría esperar infinitos valores de energía, atendiendo a las infinitas órbitas clásicas posibles de los electrones, y los átomos serían distinguibles, no idénticos). Los diferentes valores discretos de la energía que pueden tener los átomos reciben el nombre de niveles de energía y su valor más bajo, que representa el estado en el que habitualmente se encuentra el sistema en la naturaleza, recibe el nombre de estado fundamental. 2
2.1 Espectros de emisión y de absorción : A temperatura ambiente los átomos y las moléculas se encuentran en su estado fundamental, y los fenómenos térmicos normales no tienen suficiente energía para permitir cambios en su estado de energía. Ahora bien, en el interior de un horno a elevada temperatura por ejemplo, los átomos pueden absorber radiaciones o realizar choques entre ellos, de manera que algunos átomos pueden pasar a estados de energía superior, es decir: ocupan los niveles de energía superior o niveles excitados.
Figura 33.2. Espectroscopio de Kirchoff.
Descomposición de la luz visible. Espectros del H, He, Ba, y Hg. Cada espectro es característico del átomo.
2
Al inicio del siglo XX se había recopilado un gran número de datos de emisión luminosa de átomos que habían sido excitados mediante descargas eléctricas. 2
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
Cuando los átomos excitados (inestables), vuelven a su estado fundamental, lo suelen hacer mediante la emisión de radiación (fotones), que al ser analizada resulta ser de frecuencias discretas, y que representan el espectro de emisión del átomo. El espectro de absorción es el fenómeno contrario: el átomo absorbe ciertas frecuencias discretas de la radiación a la que se le somete, y como resultado se excita. Los espectros de emisión y absorción coinciden y cada elemento atómico tiene su espectro característico, diferente de otro elemento. Los espectros de absorción y emisión atómicos (moleculares, nucleares, etc.) demuestran que los sistemas cuánticos solamente pueden tener determinados valores de energía y momento angular, es decir, sus valores están cuantizados (figura 33.2). Las radiaciones observadas, que suelen estar en el rango del visible y pueden llegar al rango de los rayos X, representan la diferencia de energía ∆E entre dos niveles energéticos del elemento, de manera que ∆E=hf es la energía absorbida o emitida en la transición atómica, energía que es transportada por el fotón. 2.2 Partícula confinada en una caja. Este es un ejemplo sencillo que ilustra los resultados de la cuantización de la energía para un sistema ligado y es una situación conceptualmente similar a la de un electrón confinado en el espacio restringido de un átomo, o un protón en el núcleo. Sea una partícula de masa m, confinada en una caja monodimensional de longitud L. Una partícula clásica rebotaría en las paredes y podría tener cualquier valor de energía y momento. Ahora bien, la propiedad ondulatoria de las partículas, con su función de onda ya introducida nos pone de manifiesto el resultado de cuantización, debido a que únicamente las ondas estacionarias son posibles en un espacio de confinamiento. Así, la función de onda deberá cumplir: ψ=0 para
x ≤0 y x ≥L
en particular, la función de onda se anula en x=0, y x=L, los puntos extremos de la caja tal y como lo hacía una onda estacionaria en una cuerda, fijada por sus extremos (figura 17.11). Las conclusiones son las mismas: solo ciertas longitudes de onda estarán permitidas: aquellas que cumplan la condición de resonancia de las ondas estacionarias, es decir:
3
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
(
p2
λ L= n
Estructura Atómica. Física General
n
2
→ En =
n
2m
2h/λ n
=
2m
)
2
=n
2
h
2=
8mL
2
n E1
donde hemos usado la relación de De Broglie, para las partículas: λ=h/p y n=1,2,3....
Figura 17.11. Un electrón confinado en una caja (de potencial) debe cumplir en su función de onda, la condición de las ondas estacionarias, tal y como lo hacen las ondas materiales sobre una cuerda, fijada por sus extremos.
Figura 17.12. Niveles energéticos permitidos para una partícula en una caja. Cuantización de la energía para sistemas confinados.
Obsérvese que la energía del estado fundamental es E1, y vale: E1 =
2
h 8m 2 L
Uno de los resultados interesantes de este ejercicio es el que se denomina la energía del punto cero: una partícula confinada en una región del espacio posee una energía mínima, necesariamente distinta de cero, que debe ser compatible con el principio de incertidumbre. Así, a medida que la región de confinamiento es más estrecha, mayor es la energía del 2 punto cero, o estado fundamental, que como se ve cumple: E1∝1/L . A pesar de la sencillez del ejemplo, este nos permitirá ejemplificar lo que pasa en los sistemas cuánticos confinados. La partícula se encuentra normalmente en su estado fundamental E1. Puede pasar a encontrarse en uno de los estados excitados absorbiendo energía; posteriormente se desexcitará emitiendo energía de nuevo (ver la flecha de la figura 17.12). El principio de conservación de la energía nos da las características
de la radiación emitida en la desexcitación: la frecuencia del cuanto de energía o fotón, vale: 4
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
hf = E
− E →λ = i
f
c
f
=
hc
∆E
Conclusiones y conceptos • Estado fundamental y niveles excitados. • Cuantización de la energía con sólo dos ingredientes: función de onda confinada y relación de De Broglie. 3 • Función de onda nula fuera de la caja y en los extremos. • Energía del punto cero, compatible con el principio de incertidumbre. • Explicación conceptual de los espectros de emisión y absorción. 2.3 Funciones de onda. Las funciones de onda de una partícula en una caja, se obtienen mediante la resolución de la ecuación fundamental de la mecánica cuántica, o la ecuación de Schrödinger (que se verá en el futuro). Sin embargo, por el paralelismo entre la cuerda fijada por los extremos y la partícula confinada en la caja, no es de extrañar que la forma matemática de las funciones coincida, hasta cierto punto. Así: nπx ψ n (x) = A n sin (k n x) = A n sin L donde k n = 2π/λ n → kn = nπ/L . Dado el sentido de densidad de probabilidad que conlleva el cuadrado de la función de onda, es evidente que si sabemos que la partícula está confinada en la caja, la probabilidad de encontrarla en el interior al hacer un experimento correcto será de la unidad (100%). Así, podremos escribir la denominada condición de normalización de la función de onda como: +∞
2
(=ψ ) dx
∫
−∞
L
nπx 2 2 A sin dx = 1 ∫ n L 0
Condición de normalización: probabilidad 1 Que la podemos usar para obtener el valor de las constantes An que acompañan a las funciones de onda. Así, se obtiene, integrando:
3
Obsérvese que la función de onda fuera de la caja ha de ser nula, dado que las paredes de potencial son
infinitas. Si en lugar de la caja, tratáramos con un pozo de potencial, de paredes finitas, debería existir función de ondas fuera del pozo, como lo exige el efecto túnel. 5
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
2
A = n
→ψ = n
L
2
sin
L
nπx L
que representa la escritura correcta de la función de onda de una partícula en una caja de potencial infinito. 4
3. El modelo de Bohr para el átomo de hidrogeno . N. Bohr en 1913, y mientras trabajaba con E. Rutherford, propuso un modelo de átomo de hidrógeno clásico con ingredientes cuánticos sencillos, que servía para predecir con éxito los espectros atómicos discontinuos observados. En este modelo, el electrón se mueve en órbitas circulares o elípticas, predichas por la mecánica clásica, alrededor del núcleo masivo, y la fuerza de atracción es la de Coulomb, tal y como lo hacen los planetas alrededor del Sol, pero sometidos a otra fuerza central: la fuerza de la gravedad. Figura 37.3. En el modelo de Bohr, un electrón realiza una órbita circular de radio r alrededor del núcleo, sometido a la fuerza central de Coulomb y atractiva:
F =
1 Ze2 2
4πε0 r
ésta es la fuerza centrípeta que mantiene al electrón en la órbita y ligado al núcleo.
La energía potencial del electrón, eligiendo como origen de potenciales r= ∞ , puede escribirse como: 1 q q U = 4πε0
1 (Ze)(− e) 1
2
r
= 4πε0
2
1 Ze
=−
r
4πε0 r
Aplicando la segunda ley de Newton F=ma: 2
1 Ze
2
4πε0 r
=m
v2
r
→ Ec
1
2
= mv = 2
1 1 Ze2
24πε0 r
relación que nos dice que la energía cinética, así como la potencial, decrecen (en valor absoluto) con el radio. De hecho: 4
El alumno debe recordar las propiedades de las fuerzas centrales, su definición y las conservaciones que se deducen, en particular la del momento angular. 6
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
U =− 2Ec que es un resultado general para todos los campos de fuerzas centrales del 2 tipo 1/r , como también el gravitatorio. La energía total, suma de la cinética y potencial, la escribiremos como: 1 1Ze2 Ze2 1 1 Ze2 ETot = Ec + U = − → ETot = − 4πε0 2 r
24πε0 r
r
El valor negativo de la energía total tiene el claro significado de la partícula ligada, al haber seleccionado el origen de potencial en el infinito (partícula libre). Es interesante calcular la relación entre el momento angular y el radio de las posibles órbitas, para el átomo de hidrógeno (Z=1): L = mvr = mre
1
Z
4πε0 mr
L2
→ r = 4πε0
2
me
Aunque se cumple la condición de la estabilidad mecánica en el modelo, el electromagnetismo clásico predice sin ambigüedad que las partículas sometidas a aceleración (como la centrípeta de Coulomb) necesariamente radian energía, por lo que la órbita del electrón iría reduciéndose hasta colapsar, cayendo sobre el núcleo: dificultad adicional grave del modelo. 3.1 Postulados de Bohr. 1
Bohr introdujo por primera vez para explicar un átomo (el de H), conceptos cuánticos, como: • Las órbitas circulares clásicas son reemplazadas por ciertas órbitas (estados) estacionarias, con energía fija y constante, sin radiación de energía, en contra de lo que ocurre en el electromagnetismo clásico. En consecuencia la energía está cuantizada. • Los valores de la energía de los estados estacionarios, se calcula para órbitas circulares imponiendo la condición de que el momento angular se encuentra cuantizado en unidades enteras de . L = n, con
n = 1,2,3....
La ecuación anterior representa la condición de cuantización de Bohr, y n es el número cuántico principal de la órbita. La condición de
7
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General 5
cuantización de Bohr del momento angular , conduce inexorablemente a la cuantización de la energía, como corresponde a un campo central, (y, claro está, también a la cuantización de los radios posibles): r = 4πε0 0
L2 2
→ rn = 4πε
me m e2 =− 2 4πε 2n
e2
En = − 8 rπε
0 n
0
(n )2 me
2
= n2a0
2
13.6eV =− n2
Ecuación que predice con gran exactitud los niveles de energía En de los estados estacionarios del átomo de hidrógeno.(Figura 37.4) En estas expresiones resaltamos: a) la definición de radio de Bohr, a0, que corresponde al radio de la órbita con n =1: a0 =
2
2
me /4πε0
= 0.5310
−10
m
que coincide en orden de magnitud con el tamaño del átomo de hidrógeno.
Figura 37.4 Diagrama de los niveles energéticos del átomo de hidrógeno, predicho por el modelo de Bohr. Pueden observarse diferentes series de transiciones de radiación, asociadas al número principal n. El estado fundamental corresponde a una energía del electrón de –13.6 eV. Los estados que se obtienen con n = 2, 3,...son los niveles excitados. Para energías positivas se obtiene el espectro continuo.
b) la predicción correcta del espectro de emisión de radiaciones para el átomo de hidrógeno, que se ve en la figura 37.4. 5
Este postulado es equivalente a imponer la condición de ondas estacionarias sobre la trayectoria circular del electrón. Para que la interferencia no sea destructiva, la circunferencia debe contener un número entero de longitudes de onda. Así, considerando la relación de De Broglie λ=h/p:
2πrn
= n→
rn p n
=
L
=
λn
n
8
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
Ejercicio: Calcular el valor del radio de Bohr y el valor de 13.6 eV de la fórmula de los niveles energéticos, usando los valores de las constantes (véase las tablas de datos. )
3.2 Rayas espectrales. La figura 37.4 muestra los niveles energéticos predichos por el modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno. La coincidencia con los datos experimentales es espectacular. Las flechas indican las posibles transiciones de desexcitación correspondientes al espectro de emisión: la energía transportada por los fotones es la diferencia de energía entre los dos niveles de la transición: hc c hf = Ei − Ef → λ = = ⇒ f Ei − Ef 1 R λ
=
Ei − Ef
=
−
Fórmula de Rydberg
1 1 ∞ 2 2 ni nf
hc
3.3 Fórmula de Rydberg La fórmula anterior, tomada directamente del modelo de Bohr, predice con total exactitud los espectros del átomo de hidrógeno, y ya había sido determinada empíricamente por Rydberg. La constante de Rydberg R∞ toma el valor: e2 2 m R∞ = = 1.0974x107 m −1 2hc 4πε0 A pesar de la espectacular coincidencia entre las predicciones de los niveles energéticos del hidrógeno, y en consecuencia de las rayas espectrales hechas por el modelo de Bohr, no había ningún tipo de justificación teórica para postular los estados estacionarios y la cuantización del momento angular. Además la aplicación del modelo a átomos un poco más complejos, resultó un fracaso. Todavía tenía que nacer la mecánica cuántica. Ejercicios de aplicación.
9
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
4. Descripción mecanocuántica del momento angular: el espectro verdadero del hidrógeno. El átomo de hidrógeno es un excelente laboratorio para poner a prueba una interacción básica de la naturaleza como la electromagnética, y más aún para probar también el formalismo teórico que debe aplicarse al mundo submicroscópico, es decir, la mecánica cuántica. El estudio de la formulación correcta de la M.C. cae fuera de este curso, y aquí nos contentaremos con hacer una somera descripción de ciertos resultados. A ello ha contribuido un grupo numeroso de físicos: Dirac, Heisemberg, Schroedinger, Pauli, etc. El principio de correspondencia, establecido por Bohr, afirma que los resultados obtenidos en la M.C. deben coincidir con los que se obtienen en el tratamiento clásico, cuando los números cuánticos toman valores muy grandes. Este principio fue seguido por Heisemberg para establecer la ecuación fundamental de la M.C., tal y como las ecuaciones de Newton lo son para la clásica. Cuando se aplica el tratamiento mecanocuántico al átomo de hidrógeno se obtienen las siguientes propiedades: 1) Un electrón, confinado en el átomo de hidrógeno viene descrito por una función de onda, cuyo cuadrado nos da la densidad de 6 probabilidad de encontrar al electrón en un punto . El electrón puede encontrarse en uno de los estados, caracterizados por su energía, su momento angular cuantizado, y otras magnitudes caracterizadas también por números cuánticos. Existe una correspondencia biunívoca entrenúmeros cuánticos y función de onda, de manera que, especificados estos, la función de onda queda totalmente definida. El concepto de órbita desaparece totalmente, como además lo exige el principio de indeterminación. 2) El momento angular del electrón en el átomo se encuentra cuantizado, y solo puede tener valores enteros de . L = , con = 0,1,2,3,..,(n −1) Además, si especificamos la dirección de un eje z, mediante un campo magnético por ejemplo, las proyecciones del momento angular L solamente pueden tener valores enteros de .(figura 37.6). L z = m, con m = −,−( − 1),..0..( − 1), y el cuadrado del módulo de L es también diferente (ver figura). La cuantización del momento angular fue descubierta en un célebre experimento que se conoce como de Stern y Gerlach (los nombres de los físicos)
6
Es más correcto hablar de un elemento diferencial de espacio, en lugar de un punto. 10
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
Lectura recomendada: El experimento de Stern y Gerlach, página 1232 de Fishbane.
3) En la descripción cuántica del átomo de hidrógeno, la energía viene dada como: En = −
13.6eV
(n r
+ +1)
2≡ −
13.6eV n2
donde se introduce un número cuántico radial nr, con nr=0,1,2, ... Obsérvese que el número cuántico principal n, continua siendo válido y se cumple que n ≥ − 1.
Figura 37.6. Posibles valores de la componente z del momento angular para una partícula con L=2 . El módulo cuadrado del momento angular vale 2
( +1) , resultado demostrable por la
mecánica cuántica.
Los niveles energéticos, predichos por la fórmula anterior, un poco más complejos que los dados por el modelo de Bohr, se ven en la figura 37.7.
Figura 37.7 Diagrama de niveles energéticos para el hidrógeno. Con las posibles transiciones con emisión y absorción de radiación, permitidas por la conservación de la energía y momento angular. Debe considerarse que el fotón transporta una unidad de momento angular ∆ = 1, lo que origina reglas de selección.
Reglas de selección: En la figura 37.7 se observa que no hay transiciones desde la onda D (con =2), a la onda S (con =0), ya que los estados de la transición no pueden diferir en más de una unidad de en su momento angular.
11
Estructura Atómica. Física General
TEMA 19. ESTRUCTURA ATÓMICA. 1.- Introducción. Hoy en día se conocen más de 100 elementos diferentes. Cada elemento viene representado por un átomo (αθοµοσ, indivisible) con un número de protones Z, igual al número de electrones, más un número N de neutrones. Se denomina número atómico del elemento a Z, mientras que la suma Z+N=A, representa su número másico. Rutherford, mediante un experimento en el que bombardeaba los núcleos con partículas α, demostró que los átomos estaban constituidos por un gran espacio vacío, con un núcleo muy masivo y denso, en el que se concentraba prácticamente toda la masa del átomo (donde se ubican los protones y neutrones), y una envoltura de electrones que están en un espacio 5 órdenes de magnitud el tamaño del 1 núcleo (imagen de la plaza de toros ). El núcleo tiene un tamaño del orden -15 del Fermi (1 fm = 10 m), mientras que el átomo (tamaño de la envoltura -10 de electrones) es del orden del Angstrom, (1 ⊕=10 m). En la física clásica, cuando estudiamos las partículas o los sistemas, ya sean libres o ligados, por ejemplo un planeta alrededor del Sol, no se ha encontrado ninguna restricción sobre los posibles valores de su energía, que puede tomar en general, un continuo de valores. Por el contrario, el estudio de la absorción y emisión de radiaciones por parte de los átomos, revela que los posibles valores de la energía para los sistemas atómicos están cuantizados, es decir, únicamente pueden tomar valores discretos, claramente definidos. Además, existen otras magnitudes cuantizadas, como por ejemplo el momento angular. Los principios de cuantización, juntamente con el principio de exclusión, nos van a permitir explicar muchas de las propiedades del mundo microscópico, como la estructura y la estabilidad de los átomos, e incluso estos principios tienen aplicaciones al nivel macroscópico, como en la explicación de la estructura de bandas de los metales. 2. Niveles de energía. La mecánica clásica es capaz de describir a la perfección sistemas ligados como un planeta alrededor del Sol, y parece natural que hagamos su extrapolación al mundo microscópico. Dado que un átomo, como por 1
13
Si hiciéramos 10 veces más grande un átomo, encontraríamos que es aproximadamente como una plaza de toros en la que el núcleo en el centro tendría el tamaño de una pelota de tenis y los electrones serían como las moscas que revolotean por las gradas.
1
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
4
ejemplo el de He se compone de un núcleo cargado muy pesado y dos electrones, cargados y muy ligeros, que constituyen su envoltura electrónica, es normal suponer que éstos orbiten alrededor del núcleo, de la misma manera que lo hacen los planetas en un sistema solar, con cualquier valor de su energía. Sin embargo, el estudio de los átomos mediante sus espectros de emisión y absorción, puso de manifiesto que los átomos y las moléculas solamente pueden tener determinados valores discretos de energía y momento angular. Se trata de sistemas cuantizados, que en general solo se presentan en la naturaleza en un estado determinado: así, los átomos de 56 Fe, en la naturaleza, son indistinguibles entre ellos, y tienen la misma energía (si se aplicara el modelo clásico, cabría esperar infinitos valores de energía, atendiendo a las infinitas órbitas clásicas posibles de los electrones, y los átomos serían distinguibles, no idénticos). Los diferentes valores discretos de la energía que pueden tener los átomos reciben el nombre de niveles de energía y su valor más bajo, que representa el estado en el que habitualmente se encuentra el sistema en la naturaleza, recibe el nombre de estado fundamental. 2
2.1 Espectros de emisión y de absorción : A temperatura ambiente los átomos y las moléculas se encuentran en su estado fundamental, y los fenómenos térmicos normales no tienen suficiente energía para permitir cambios en su estado de energía. Ahora bien, en el interior de un horno a elevada temperatura por ejemplo, los átomos pueden absorber radiaciones o realizar choques entre ellos, de manera que algunos átomos pueden pasar a estados de energía superior, es decir: ocupan los niveles de energía superior o niveles excitados.
Figura 33.2. Espectroscopio de Kirchoff.
Descomposición de la luz visible. Espectros del H, He, Ba, y Hg. Cada espectro es característico del átomo.
2
Al inicio del siglo XX se había recopilado un gran número de datos de emisión luminosa de átomos que habían sido excitados mediante descargas eléctricas. 2
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
Cuando los átomos excitados (inestables), vuelven a su estado fundamental, lo suelen hacer mediante la emisión de radiación (fotones), que al ser analizada resulta ser de frecuencias discretas, y que representan el espectro de emisión del átomo. El espectro de absorción es el fenómeno contrario: el átomo absorbe ciertas frecuencias discretas de la radiación a la que se le somete, y como resultado se excita. Los espectros de emisión y absorción coinciden y cada elemento atómico tiene su espectro característico, diferente de otro elemento. Los espectros de absorción y emisión atómicos (moleculares, nucleares, etc.) demuestran que los sistemas cuánticos solamente pueden tener determinados valores de energía y momento angular, es decir, sus valores están cuantizados (figura 33.2). Las radiaciones observadas, que suelen estar en el rango del visible y pueden llegar al rango de los rayos X, representan la diferencia de energía ∆E entre dos niveles energéticos del elemento, de manera que ∆E=hf es la energía absorbida o emitida en la transición atómica, energía que es transportada por el fotón. 2.2 Partícula confinada en una caja. Este es un ejemplo sencillo que ilustra los resultados de la cuantización de la energía para un sistema ligado y es una situación conceptualmente similar a la de un electrón confinado en el espacio restringido de un átomo, o un protón en el núcleo. Sea una partícula de masa m, confinada en una caja monodimensional de longitud L. Una partícula clásica rebotaría en las paredes y podría tener cualquier valor de energía y momento. Ahora bien, la propiedad ondulatoria de las partículas, con su función de onda ya introducida nos pone de manifiesto el resultado de cuantización, debido a que únicamente las ondas estacionarias son posibles en un espacio de confinamiento. Así, la función de onda deberá cumplir: ψ=0 para
x ≤0 y x ≥L
en particular, la función de onda se anula en x=0, y x=L, los puntos extremos de la caja tal y como lo hacía una onda estacionaria en una cuerda, fijada por sus extremos (figura 17.11). Las conclusiones son las mismas: solo ciertas longitudes de onda estarán permitidas: aquellas que cumplan la condición de resonancia de las ondas estacionarias, es decir:
3
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
(
p2
λ L= n
Estructura Atómica. Física General
n
2
→ En =
n
2m
2h/λ n
=
2m
)
2
=n
2
h
2=
8mL
2
n E1
donde hemos usado la relación de De Broglie, para las partículas: λ=h/p y n=1,2,3....
Figura 17.11. Un electrón confinado en una caja (de potencial) debe cumplir en su función de onda, la condición de las ondas estacionarias, tal y como lo hacen las ondas materiales sobre una cuerda, fijada por sus extremos.
Figura 17.12. Niveles energéticos permitidos para una partícula en una caja. Cuantización de la energía para sistemas confinados.
Obsérvese que la energía del estado fundamental es E1, y vale: E1 =
2
h 8m 2 L
Uno de los resultados interesantes de este ejercicio es el que se denomina la energía del punto cero: una partícula confinada en una región del espacio posee una energía mínima, necesariamente distinta de cero, que debe ser compatible con el principio de incertidumbre. Así, a medida que la región de confinamiento es más estrecha, mayor es la energía del 2 punto cero, o estado fundamental, que como se ve cumple: E1∝1/L . A pesar de la sencillez del ejemplo, este nos permitirá ejemplificar lo que pasa en los sistemas cuánticos confinados. La partícula se encuentra normalmente en su estado fundamental E1. Puede pasar a encontrarse en uno de los estados excitados absorbiendo energía; posteriormente se desexcitará emitiendo energía de nuevo (ver la flecha de la figura 17.12). El principio de conservación de la energía nos da las características
de la radiación emitida en la desexcitación: la frecuencia del cuanto de energía o fotón, vale: 4
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
hf = E
− E →λ = i
f
c
f
=
hc
∆E
Conclusiones y conceptos • Estado fundamental y niveles excitados. • Cuantización de la energía con sólo dos ingredientes: función de onda confinada y relación de De Broglie. 3 • Función de onda nula fuera de la caja y en los extremos. • Energía del punto cero, compatible con el principio de incertidumbre. • Explicación conceptual de los espectros de emisión y absorción. 2.3 Funciones de onda. Las funciones de onda de una partícula en una caja, se obtienen mediante la resolución de la ecuación fundamental de la mecánica cuántica, o la ecuación de Schrödinger (que se verá en el futuro). Sin embargo, por el paralelismo entre la cuerda fijada por los extremos y la partícula confinada en la caja, no es de extrañar que la forma matemática de las funciones coincida, hasta cierto punto. Así: nπx ψ n (x) = A n sin (k n x) = A n sin L donde k n = 2π/λ n → kn = nπ/L . Dado el sentido de densidad de probabilidad que conlleva el cuadrado de la función de onda, es evidente que si sabemos que la partícula está confinada en la caja, la probabilidad de encontrarla en el interior al hacer un experimento correcto será de la unidad (100%). Así, podremos escribir la denominada condición de normalización de la función de onda como: +∞
2
(=ψ ) dx
∫
−∞
L
nπx 2 2 A sin dx = 1 ∫ n L 0
Condición de normalización: probabilidad 1 Que la podemos usar para obtener el valor de las constantes An que acompañan a las funciones de onda. Así, se obtiene, integrando:
3
Obsérvese que la función de onda fuera de la caja ha de ser nula, dado que las paredes de potencial son
infinitas. Si en lugar de la caja, tratáramos con un pozo de potencial, de paredes finitas, debería existir función de ondas fuera del pozo, como lo exige el efecto túnel. 5
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
2
A = n
→ψ = n
L
2
sin
L
nπx L
que representa la escritura correcta de la función de onda de una partícula en una caja de potencial infinito. 4
3. El modelo de Bohr para el átomo de hidrogeno . N. Bohr en 1913, y mientras trabajaba con E. Rutherford, propuso un modelo de átomo de hidrógeno clásico con ingredientes cuánticos sencillos, que servía para predecir con éxito los espectros atómicos discontinuos observados. En este modelo, el electrón se mueve en órbitas circulares o elípticas, predichas por la mecánica clásica, alrededor del núcleo masivo, y la fuerza de atracción es la de Coulomb, tal y como lo hacen los planetas alrededor del Sol, pero sometidos a otra fuerza central: la fuerza de la gravedad. Figura 37.3. En el modelo de Bohr, un electrón realiza una órbita circular de radio r alrededor del núcleo, sometido a la fuerza central de Coulomb y atractiva:
F =
1 Ze2 2
4πε0 r
ésta es la fuerza centrípeta que mantiene al electrón en la órbita y ligado al núcleo.
La energía potencial del electrón, eligiendo como origen de potenciales r= ∞ , puede escribirse como: 1 q q U = 4πε0
1 (Ze)(− e) 1
2
r
= 4πε0
2
1 Ze
=−
r
4πε0 r
Aplicando la segunda ley de Newton F=ma: 2
1 Ze
2
4πε0 r
=m
v2
r
→ Ec
1
2
= mv = 2
1 1 Ze2
24πε0 r
relación que nos dice que la energía cinética, así como la potencial, decrecen (en valor absoluto) con el radio. De hecho: 4
El alumno debe recordar las propiedades de las fuerzas centrales, su definición y las conservaciones que se deducen, en particular la del momento angular. 6
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
U =− 2Ec que es un resultado general para todos los campos de fuerzas centrales del 2 tipo 1/r , como también el gravitatorio. La energía total, suma de la cinética y potencial, la escribiremos como: 1 1Ze2 Ze2 1 1 Ze2 ETot = Ec + U = − → ETot = − 4πε0 2 r
24πε0 r
r
El valor negativo de la energía total tiene el claro significado de la partícula ligada, al haber seleccionado el origen de potencial en el infinito (partícula libre). Es interesante calcular la relación entre el momento angular y el radio de las posibles órbitas, para el átomo de hidrógeno (Z=1): L = mvr = mre
1
Z
4πε0 mr
L2
→ r = 4πε0
2
me
Aunque se cumple la condición de la estabilidad mecánica en el modelo, el electromagnetismo clásico predice sin ambigüedad que las partículas sometidas a aceleración (como la centrípeta de Coulomb) necesariamente radian energía, por lo que la órbita del electrón iría reduciéndose hasta colapsar, cayendo sobre el núcleo: dificultad adicional grave del modelo. 3.1 Postulados de Bohr. 1
Bohr introdujo por primera vez para explicar un átomo (el de H), conceptos cuánticos, como: • Las órbitas circulares clásicas son reemplazadas por ciertas órbitas (estados) estacionarias, con energía fija y constante, sin radiación de energía, en contra de lo que ocurre en el electromagnetismo clásico. En consecuencia la energía está cuantizada. • Los valores de la energía de los estados estacionarios, se calcula para órbitas circulares imponiendo la condición de que el momento angular se encuentra cuantizado en unidades enteras de . L = n, con
n = 1,2,3....
La ecuación anterior representa la condición de cuantización de Bohr, y n es el número cuántico principal de la órbita. La condición de
7
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General 5
cuantización de Bohr del momento angular , conduce inexorablemente a la cuantización de la energía, como corresponde a un campo central, (y, claro está, también a la cuantización de los radios posibles): r = 4πε0 0
L2 2
→ rn = 4πε
me m e2 =− 2 4πε 2n
e2
En = − 8 rπε
0 n
0
(n )2 me
2
= n2a0
2
13.6eV =− n2
Ecuación que predice con gran exactitud los niveles de energía En de los estados estacionarios del átomo de hidrógeno.(Figura 37.4) En estas expresiones resaltamos: a) la definición de radio de Bohr, a0, que corresponde al radio de la órbita con n =1: a0 =
2
2
me /4πε0
= 0.5310
−10
m
que coincide en orden de magnitud con el tamaño del átomo de hidrógeno.
Figura 37.4 Diagrama de los niveles energéticos del átomo de hidrógeno, predicho por el modelo de Bohr. Pueden observarse diferentes series de transiciones de radiación, asociadas al número principal n. El estado fundamental corresponde a una energía del electrón de –13.6 eV. Los estados que se obtienen con n = 2, 3,...son los niveles excitados. Para energías positivas se obtiene el espectro continuo.
b) la predicción correcta del espectro de emisión de radiaciones para el átomo de hidrógeno, que se ve en la figura 37.4. 5
Este postulado es equivalente a imponer la condición de ondas estacionarias sobre la trayectoria circular del electrón. Para que la interferencia no sea destructiva, la circunferencia debe contener un número entero de longitudes de onda. Así, considerando la relación de De Broglie λ=h/p:
2πrn
= n→
rn p n
=
L
=
λn
n
8
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
Ejercicio: Calcular el valor del radio de Bohr y el valor de 13.6 eV de la fórmula de los niveles energéticos, usando los valores de las constantes (véase las tablas de datos. )
3.2 Rayas espectrales. La figura 37.4 muestra los niveles energéticos predichos por el modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno. La coincidencia con los datos experimentales es espectacular. Las flechas indican las posibles transiciones de desexcitación correspondientes al espectro de emisión: la energía transportada por los fotones es la diferencia de energía entre los dos niveles de la transición: hc c hf = Ei − Ef → λ = = ⇒ f Ei − Ef 1 R λ
=
Ei − Ef
=
−
Fórmula de Rydberg
1 1 ∞ 2 2 ni nf
hc
3.3 Fórmula de Rydberg La fórmula anterior, tomada directamente del modelo de Bohr, predice con total exactitud los espectros del átomo de hidrógeno, y ya había sido determinada empíricamente por Rydberg. La constante de Rydberg R∞ toma el valor: e2 2 m R∞ = = 1.0974x107 m −1 2hc 4πε0 A pesar de la espectacular coincidencia entre las predicciones de los niveles energéticos del hidrógeno, y en consecuencia de las rayas espectrales hechas por el modelo de Bohr, no había ningún tipo de justificación teórica para postular los estados estacionarios y la cuantización del momento angular. Además la aplicación del modelo a átomos un poco más complejos, resultó un fracaso. Todavía tenía que nacer la mecánica cuántica. Ejercicios de aplicación.
9
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
4. Descripción mecanocuántica del momento angular: el espectro verdadero del hidrógeno. El átomo de hidrógeno es un excelente laboratorio para poner a prueba una interacción básica de la naturaleza como la electromagnética, y más aún para probar también el formalismo teórico que debe aplicarse al mundo submicroscópico, es decir, la mecánica cuántica. El estudio de la formulación correcta de la M.C. cae fuera de este curso, y aquí nos contentaremos con hacer una somera descripción de ciertos resultados. A ello ha contribuido un grupo numeroso de físicos: Dirac, Heisemberg, Schroedinger, Pauli, etc. El principio de correspondencia, establecido por Bohr, afirma que los resultados obtenidos en la M.C. deben coincidir con los que se obtienen en el tratamiento clásico, cuando los números cuánticos toman valores muy grandes. Este principio fue seguido por Heisemberg para establecer la ecuación fundamental de la M.C., tal y como las ecuaciones de Newton lo son para la clásica. Cuando se aplica el tratamiento mecanocuántico al átomo de hidrógeno se obtienen las siguientes propiedades: 1) Un electrón, confinado en el átomo de hidrógeno viene descrito por una función de onda, cuyo cuadrado nos da la densidad de 6 probabilidad de encontrar al electrón en un punto . El electrón puede encontrarse en uno de los estados, caracterizados por su energía, su momento angular cuantizado, y otras magnitudes caracterizadas también por números cuánticos. Existe una correspondencia biunívoca entrenúmeros cuánticos y función de onda, de manera que, especificados estos, la función de onda queda totalmente definida. El concepto de órbita desaparece totalmente, como además lo exige el principio de indeterminación. 2) El momento angular del electrón en el átomo se encuentra cuantizado, y solo puede tener valores enteros de . L = , con = 0,1,2,3,..,(n −1) Además, si especificamos la dirección de un eje z, mediante un campo magnético por ejemplo, las proyecciones del momento angular L solamente pueden tener valores enteros de .(figura 37.6). L z = m, con m = −,−( − 1),..0..( − 1), y el cuadrado del módulo de L es también diferente (ver figura). La cuantización del momento angular fue descubierta en un célebre experimento que se conoce como de Stern y Gerlach (los nombres de los físicos)
6
Es más correcto hablar de un elemento diferencial de espacio, en lugar de un punto. 10
Tema 19. Segundo Cuatrimestre.
Estructura Atómica. Física General
Lectura recomendada: El experimento de Stern y Gerlach, página 1232 de Fishbane.
3) En la descripción cuántica del átomo de hidrógeno, la energía viene dada como: En = −
13.6eV
(n r
+ +1)
2≡ −
13.6eV n2
donde se introduce un número cuántico radial nr, con nr=0,1,2, ... Obsérvese que el número cuántico principal n, continua siendo válido y se cumple que n ≥ − 1.
Figura 37.6. Posibles valores de la componente z del momento angular para una partícula con L=2 . El módulo cuadrado del momento angular vale 2
( +1) , resultado demostrable por la
mecánica cuántica.
Los niveles energéticos, predichos por la fórmula anterior, un poco más complejos que los dados por el modelo de Bohr, se ven en la figura 37.7.
Figura 37.7 Diagrama de niveles energéticos para el hidrógeno. Con las posibles transiciones con emisión y absorción de radiación, permitidas por la conservación de la energía y momento angular. Debe considerarse que el fotón transporta una unidad de momento angular ∆ = 1, lo que origina reglas de selección.
Reglas de selección: En la figura 37.7 se observa que no hay transiciones desde la onda D (con =2), a la onda S (con =0), ya que los estados de la transición no pueden diferir en más de una unidad de en su momento angular.
11
