Telecom U1

TEORIA DE LAS TELECOMUNICACIONES CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS TELECOMUNICACIONES ....................... 1 1.1

Las telecomunicaciones y su importancia en la vida moderna............................. 1

1.2 Elementos de un sistema de comunicación............................................................. 4 1.2.1 Conceptos básicos de comunicaciones ............................................................... 4 1.2.2 Componentes de un sistema de comunicación de datos .................................... 6 1.2.3 Transmisión de ondas electromagnéticas ........................................................... 8 1.2.3.1 Concepto de onda ........................................................................................... 8 1.2.3.2 Características de una onda .......................................................................... 10 1.2.3.3 Resonancia.................................................................................................... 11 1.2.3.4 Ondas Electromagnéticas ............................................................................. 13 1.2.3.5 Espectro electromagnético............................................................................ 15 1.2.3.5.1 Frecuencia de la corriente eléctrica alterna ............................................ 17 1.2.3.5.2 Frecuencias audibles por el oído humano............................................... 17 1.2.3.5.3 Espectro Radioeléctrico.......................................................................... 17 1.2.3.5.4 Rayos infrarrojos (IR), luz visible y rayos ultravioleta (UV)................. 18 1.2.3.5.5 Rayos infrarrojos (IR)............................................................................. 18 1.2.3.5.6 Espectro de luz visible............................................................................ 20 1.2.3.5.7 Rayos ultravioleta (UV).......................................................................... 21 1.2.3.5.8 Rayos-X .................................................................................................. 21 1.2.3.5.9 Rayos gamma ......................................................................................... 22 1.2.3.5.10 Rayos cósmicos ...................................................................................... 23 1.2.3.6 Radiación de ondas electromagnéticas (Antenas) ........................................ 23 1.2.3.7 Inicio de las comunicaciones inalámbricas .................................................. 25 1.3 Unidades y medidas ................................................................................................ 28 1.3.1 Sistema Internacional de Unidades................................................................... 28 1.3.1.1 Prefijos binarios............................................................................................ 29 1.3.1.2 Uso convencional ......................................................................................... 30 1.3.1.3 Norma CEI.................................................................................................... 31 1.3.1.4 SI y CEI ........................................................................................................ 32 1.3.1.5 ISO y CEI ..................................................................................................... 32 1.3.1.6 Estándar IEEE............................................................................................... 33 1.3.2 El Decibel. Unidades de potencia y atenuación ............................................... 33 1.4 Las señales y sus clasificaciones ............................................................................ 37 1.4.1 Señales continuas y discretas............................................................................ 38 1.4.2 Señales análógicas y digitales........................................................................... 38 1.4.3 Señal periódicas y aperiódicas.......................................................................... 40 1.4.4 Señales determinísticas y aleatorias ................................................................. 41 1.4.5 Señales causales, anticausales y no causales .................................................... 42 1.4.6 Señales par e impar........................................................................................... 42 1.4.7 Señales hemisferio derecho y hemisferio izquierdo ......................................... 43 i

ii Teoría de las telecomunicaciones 1.4.8 La onda seno..................................................................................................... 43 1.4.8.1 Amplitud....................................................................................................... 44 1.4.8.2 Periodo y frecuencia ..................................................................................... 44 1.4.8.3 Más sobre la frecuencia ................................................................................ 47 1.4.8.4 Fase............................................................................................................... 47 1.5 Representación de las señales en el dominio del tiempo y la frecuencia ........... 49 1.5.1 Gráfica en el dominio del tiempo ..................................................................... 49 1.5.2 Gráfica en el dominio de la frecuencia............................................................. 50 1.5.3 Señales compuestas .......................................................................................... 50 1.6 El análisis de Fourier: Una herramienta matemática para el estudio de señales y sistemas. ............................................................................................................................ 52 1.6.1 Las Series de Fourier ........................................................................................ 54 1.6.2 Cálculo de los coeficientes ............................................................................... 59

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 1.1 Las telecomunicaciones y su importancia en la vida moderna A pesar del avance y penetración de las telecomunicaciones, aún falta mucho por hacer para que los beneficios de las telecomunicaciones lleguen a todos los rincones del mundo. Según estimaciones de la Unión Internacional de Telecomunicaciones, sólo de 20 a 25% de la población mundial goza de los beneficios de las telecomunicaciones, dada la digitalización en todos los campos del saber y de la vida diaria, el conocimiento limitado del uso y aplicaciones de los dispositivos actuales crea una brecha o abismo digital que debe ser reducido a través de la educación y la implantación de políticas que faciliten y proporcionen espacios y accesos a toda la población. La Unión Internacional de Telecomunicaciones, organismo dependiente de las Naciones Unidas, declaró el 17 de mayo como el Día Mundial de las Telecomunicaciones debido a la importancia que las telecomunicaciones tienen hoy día en nuestra sociedad, no sólo por el avance vertiginoso que esta disciplina ha tenido, sino también por la importancia que reviste en el contexto económico y social. La incorporación de la digitalización y la Internet a las telecomunicaciones crearon la disciplina conocida como Telemática en donde el concepto de Redes y Movilidad juegan un papel preponderante y están afectando los mercados, aplicaciones tecnológicas y los aspectos reguladores y normativos actuales. En este entorno el consumidor se convierte en un protagonista fundamental y principal impulsor del fenómeno de Convergencia Tecnológica que estamos atestiguando y donde el entretenimiento se convierte en la aplicación por excelencia dominante de los mercados. La infraestructura, como herramienta de la actividad económica, genera importantes condiciones para que se incremente la productividad, reduciendo tiempo y esfuerzo en la realización de actividades y procesos. La relación que existe entre la infraestructura de un país en telecomunicaciones, electricidad, carreteras pavimentadas y agua con su nivel de ingreso, resulta evidente cuando se observa la experiencia de un gran número de países. En los países de bajos ingresos, el aumento en la cantidad y calidad de la infraestructura reviste una gran importancia, ya que permite aumentar la productividad de los factores y también alcanzar tasas de crecimiento más elevadas. Estos aspectos colaboran en cierta medida a eliminar la pobreza en esos países. Aunque no es clara causalidad, se ha demostrado que el incremento en la infraestructura de los servicios va de la mano con el aumento en el ingreso per cápita de los países, lo que contribuye a que también se aumente la demanda por esos servicios. La disponibilidad de infraestructura ha aumentado el desarrollo económico de varios países y, en muchos casos, la falta de inversión ha implicado pérdida de oportunidades y desperdicio de recursos muy importantes. Si bien muchas personas concuerdan en que los incrementos en la inversión y en el acervo de capital físico de los países tienen un impacto positivo sobre el crecimiento, no es cualquier tipo de inversión en infraestructura la que promueve una mayor eficiencia, ya que 1

2 Teoría de las telecomunicaciones esto sucede sólo cuando tal inversión reduce los costos reales de producir un bien o servicio. Al mejorar la calidad de la infraestructura de las telecomunicaciones, las industrias de un país pueden reducir sus costos de transacción, realizar sus negocios y los procesos productivos con más rapidez y, en general, ahorrar tiempo y recursos que hubieran gastado con comunicaciones menos eficientes. Todo esto redunda en mejores y mayores salarios y más empleos en el sector. La inversión en telecomunicaciones ha probado ser efectiva en la reducción de los costos de producción de varias industrias, siendo el efecto mayor y más sensible en aquellos países en donde tal infraestructura no era suficiente. Por ejemplo, en un estudio realizado en 1994 en México, se encontró una importante relación entre el nivel de infraestructura en telecomunicaciones y los costos marginales (costos de producir una unidad adicional de un bien) de varias industrias de ese país. En efecto, se analizó la relación que hay entre el acervo real de infraestructura en telecomunicaciones y los costos de producción de quince sectores productivos. En el analisis se observó una reducción en los costos marginales de todos los sectores productivos mexicanos ante el aumento de la inversión en infraestructura de telecomunicaciones. Un resultado interesante consiste en que la incidencia es muy parecida en todos los sectores, tanto industriales como de servicios. En el caso de los servicios es interesante la reducción de costos en los servicios financieros y en el comercio y hoteles. Este resultado muestra la trascendental importancia del desarrollo de las telecomunicaciones para el crecimiento económico de un país subdesarrollado. Los países, tanto desarrollados como subdesarrollados, han empezado a darse cuenta del impacto que las telecomunicaciones tienen sobre el desempeño de sus sectores productivos. Así, se comprende hoy en día que un buen sector de telecomunicaciones genera efectos positivos a otros, tanto para las empresas como para los consumidores, pues los costos de producción y de transacción son más bajos en la medida en que las comunicaciones son más eficientes. De esta manera, no en vano para varios países, tales como Hong Kong, Corea, Singapur, Taiwán, México, Suecia, Irlanda, Chile, etc, la inversión y el uso de las telecomunicaciones forma parte de una estrategia global de competencia para construir una posición de gran competitividad en los campos de la industria, el comercio y los servicios. La reducción en los costos de producción, que se deriva de un aumento en la infraestructura, tendería a generar crecimiento en las actividades que la utilizan. Ciertamente existe una relación entre el crecimiento en la infraestructura y el crecimiento en algunos sectores de la economía; pero es razonable pensar que la relación causa-efecto no ocurre en una sola vía, sino que se refuerza en ambos sentidos: un aumento en la infraestructura genera mayor crecimiento en la actividad de un sector, y ese mayor dinamismo de la industria causa, a su vez, una mayor demanda por infraestructura. Para tratar de mostrar la relación que hay entre el crecimiento en la infraestructura de telecomunicaciones y el crecimiento en algunos sectores de la economía, el Centro de Investigaciones Económicas de México (CIEN) realizó un estudio con una muestra de treinta países de varias regiones del mundo. Allí, los autores compararon la tasa promedio de crecimiento anual en el número de líneas telefónicas por cada mil habitantes y la tasa

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 3 promedio de crecimiento anual de los sectores industria y servicios, durante este mismo período. Tanto el crecimiento del sector industrial como el del sector servicios están positivamente relacionados con el crecimiento en el número de líneas telefónicas. Se concluye de esto que, si la cobertura de líneas telefónicas por cada mil habitantes creciera un 10%, sector industrial lo haría en un 6.3% y el de servicios lo haría en un 6.9%. Los resultados obtenidos del estudio del CIEN, anteriormente citado, tienen mucho sentido pues tanto el sector servicios como el sector industrial utilizan, en muy alto grado, algún medio de comunicación, por lo que un incremento en la cobertura de líneas telefónicas generará un beneficio sumamente alto en la productividad de dichos sectores productivos. En resumen, de este análisis se desprenden algunas conclusiones importantes para la economía. Primero, aquellos países cuya mejoría en la infraestructura de telecomunicaciones sea relativamente baja, necesariamente padecerán tasas de crecimiento de sus sectores industrial y de servicios relativamente bajas. Segundo, si se desea un crecimiento y un mayor dinamismo en los negocios, es fundamental la implementación de facilidades en las telecomunicaciones, ya que de esta forma, se pueden transmitir los datos que se necesitan a velocidades mucho mayores. Tercero, el acceso a las telecomunicaciones mejora la estructura de las organizaciones y de las empresas, volviéndolas más dinámicas e incrementando su capacidad gerencial, tanto en los sistemas públicos como en los privados. Los agentes que hacen uso de una comunicación más efectiva responden con mayor facilidad y rapidez a los mercados, pudiendo extender el acceso a los bienes y servicios a nivel global. La condición actual del mundo, de desigualdad porque aún falta mucho por hacer para que los beneficios de las telecomunicaciones lleguen a todos los rincones del mundo, nos lleva a recordar y tener consciente la importancia de las telecomunicaciones y de su papel trascendental en el desarrollo sustentable Recientemente, el desarrollo de la microelectrónica, la digitalización y las redes de transmisión a altas velocidades están produciendo una revolución tecnológica de grandes proporciones a nivel mundial. Los conmutadores electrónicos y los sistema inteligentes han reducido su precio y, por tanto, han proliferado por todas partes. Hoy el negocio de las telecomunicaciones se ha transformado en una red de redes, un sistema nervioso entrelazado de medios inalámbricos, satélites, cable de cobre coaxial y fibra óptica, con múltiples operadores que se sobreponen y complementan, sin que exista ningún operador en particular centro que domine. Este dinamismo propio del sector se refleja en el crecimiento exponencial de Internet, lo que genera sustanciales innovaciones, muchas de las cuales eran inimaginables. En la actualidad, el crecimiento de los usuarios del servicio de Internet sobrepasa ampliamente el crecimiento de servicios tales como la telefonía celular y la telefonía básica. Las telecomunicaciones se han convertido en una de las actividades más dinámicas alrededor del mundo. Huber (1997) las denomina el telecosmos pues, en su opinión, las

4 Teoría de las telecomunicaciones mismas se están expandiendo más rápidamente que cualquier otro cosmos. Esto se debe a que, en la última década, los medios que se utilizaban para llevar a cabo las comunicaciones han aumentado la capacidad para enviar información por más de un millón de veces. Muchos autores, incluso, aseguran que las mismas seguirán expandiéndose otro millón, o probablemente billones de veces más, pero en la realidad, es que nadie sabe realmente cuánto y cuán rápido seguirán desarrollándose. Lo cierto es que la evolución tecnológica ha transformado la industria de las telecomunicaciones y, por tanto, será la regulación de este importante mercado en cada país la que marcará la velocidad de esta transformación en cada uno de ellos.

1.2 Elementos de un sistema de comunicación 1.2.1

Conceptos básicos de comunicaciones

Cuando dos o mas personas se comunican emplean un conjunto de recursos para hacer que la transferencia de información sea exitosa. Para empezar, estas personas están de acuerdo en la forma en que van a hacer llegar la información de uno al otro. Se puede usar el lenguaje hablado o escrito, puede ser mediante señas, mímica o alguna otra técnica que permita codificar el mensaje que queremos hacer llegar, por ejemplo puntos y rayas (como el morse), señales con banderas (como los scouts) o como los antepasados, mediante señales de humo, tambores o palomas mensajeras. Hoy en día, estas forma de comunicación han quedado superadas por la comunicación eléctrica. Esto se debe a que se pueden transmitir las señales eléctricas a distancias mayores (teóricamente a cualquier distancia en el universo) y con velocidad sumamente alta (300,000 kilómetros por segundo aproximadamente). En este libro se tratará solamente las comunicaciones mediante señales eléctricas y electromagnéticas, después de la introducción a los conceptos básicos de la comunicación que a continuación se mencionan. De todos los métodos de comunicación mencionados, los tres métodos básicos son: en papel, en persona y electrónico. Algunos tipos de comunicación son combinaciones de los tres métodos. Por ejemplo el Fax. El Fax es un equipo capaz de transmitir imágenes de documentos en papel sobre la línea telefónica y reproducirlas en un lugar distante. Primero, una persona debe imprimir o escribir la información relevante en papel, paso (a) de la figura 1.1. Después, debe alimentarlo al Fax que convierte la información a la forma electrónica (b). Enseguida, la red telefónica envía la información electrónica (c) hacia el Fax distante que recupera la información en papel (d) y el receptor la lee (e). El ejemplo que sea ha presentado comprende varias conversiones sucesivas, cambiando la forma de la información de personal a papel, luego a electrónico y luego a la inversa. Estas conversiones hacen que el proceso sea ineficiente. Actualmente, la mayor parte del proceso se puede hacer en forma electrónica al escribir directo a la computadora, transmitirlo y almacenarlo en otra computadora para ahí revisarlo directamente. La impresión viene a ser una paso opcional. La información se origina en una fuente y se hace llegar a su destinatario por medio de un mensaje a través de un canal de comunicación; el destinatario generalmente se encuentra en

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 5 un punto geográfico distante, o por lo menos, separado de la fuente. La distancia entre fuente y destinatario puede variar desde pocos centímetros (al hablar frente a frente a un volumen normal) hasta cientos y aun miles de kilómetros (como es el caso de transmisiones telefónicas intercontinentales o de transmisiones desde y hacia naves espaciales).

Persona (emisor)

(a)

Teclado de la Información

Proceso en papel

Proceso en papel

(b) Alimentación del papel a la máquina

Proceso electrónico

(c) Transferencia por teléfono

(e)

Persona (receptor) Lectura del documento

(d) Entrega del papel por la máquina Proceso electrónico

Figura 1.1 Proceso de envío de información por fax Esto constituye precisamente el problema central de las telecomunicaciones, ya que al haber una fuente que genera información en un punto y un destinatario en otro punto geográfico distante del primero Cualquiera que sea la forma de comunicación, los elementos que la conforman son casi los mismos. En la figura 1.2 se muestra un diagrama a bloques del modelo básico de un sistema de comunicaciones, en éste se muestran los principales componentes que permiten la comunicación.

Figura 1.2 Diagrama de bloque de un sistema de telecomunicaciones El diagrama contiene 1) una fuente de información, 2) un transmisor de información cuya función consiste en depositar la información proveniente de la fuente en un canal de comunicaciones, 3) un canal de comunicaciones, a través del cual se hace llegar la

6 Teoría de las telecomunicaciones información de la fuente al destino, 4) un receptor que realiza las funciones inversas del transmisor, es decir, extrae la información del canal y la entrega al destinatario, y 5) un destinatario. En la figura 1.3 se puede ver dos ejemplos de los componentes de un sistema de comunicaciones.

Figura 1.3 Ejemplo de sistemas de telecomunicaciones Un mensaje se usa para hacer llegar la información de la fuente al destino, y no es lo mismo un mensaje que la información que éste contiene. Considérese el siguiente ejemplo: Una persona (A) desea enviar cierta cantidad de dinero por medio de un giro telegráfico a otra persona (B). En este caso, A es la fuente, B el destinatario. La información es aquello necesario para conocer la cantidad de dinero y para originar la entrega del mismo a B, y el mensaje es el conjunto de palabras o símbolos telegráficos necesarios para que B conozca la intención de A y para que B pueda disponer del dinero que A le envía. 1.2.2

Componentes de un sistema de comunicación de datos

En la figura 1.4 se puede ver un poco mas de detalle de los componentes de un sistema de comunicación de datos. Los elementos adicionales en este diagrama son el Transductor de entrada que convierte la información de la forma original de la fuente a la forma que requiere el transmisor, por ejemplo una señal digital y el Transductor de salida convierte la señal recibida a la forma entendible por el destinatario. Cuando se trata de un sistema electrónico el transmisor pasa el mensaje al canal en forma de señal de acuerdo al tipo de medio. Para lograr una transmisión eficiente y efectiva, se deben desarrollar varias operaciones de procesamiento de la señal. La más común e importante es la modulación, un proceso que se distingue por el acoplamiento de la señal transmitida a las propiedades del canal, por medio de una onda portadora. En este caso el medio o canal de transmisión es el enlace eléctrico entre el transmisor y el receptor, siendo

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 7 el puente de unión entre la fuente y el destino. Este medio puede ser un par de alambres, un cable coaxial, el aire, etc. Pero sin importar el tipo, todos los medios de transmisión se caracterizan por la atenuación, la disminución progresiva de la potencia de la señal conforme aumenta la distancia.

Figura 1.4 Componentes de un sistema de comunicación de datos La función del receptor es extraer del canal la señal deseada y entregarla al transductor de salida. Como las señales son frecuentemente muy débiles, como resultado de la atenuación, el receptor debe tener varias etapas de amplificación. En todo caso, la operación clave que ejecuta el receptor es la demodulación, el caso inverso del proceso de modulación del transmisor, con lo cual vuelve la señal a su forma original. Un aspecto importante de la comunicación, que no forma parte del sistema pero que afecta considerablemente su comportamiento, son las dificultades que se presentan durante la transmisión. En la figura 1.4 se pueden observar tres de ellos: Ruido, Interferencia y Distorsión. El Ruido se puede entender como las señales aleatorias o impredecibles de tipo eléctrico que se originan en forma natural dentro o fuera del sistema de comunicación. Cuando el ruido se agrega a la señal portadora de la información, ésta puede quedar en gran parte oculta o eliminarse totalmente. El ruido no se puede eliminar por completo, por lo que representa uno de los problemas más importantes de las comunicaciones eléctricas. La Inteferencia de una señal se define como la contaminación producida por señales extrañas, generalmente artificiales y similares a la señal. Para poder eliminar la interferencia se requiere eliminar la señal interferente o su fuente.

8 Teoría de las telecomunicaciones La Distorsión es la alteración de la señal debida a la respuesta imperfecta del sistema de comunicación a ella misma. Si un componente de un sistema de comunicación modifica la forma de la señal, entonces le produce una distorsión. En los sistemas de comunicación es deseable que no se distorsionen los componentes de frecuencia que interesan A diferencia del ruido y de la interferencia, la distorsión desaparece cuando la señal se deja de transmitir. El diagrama de bloques de la figura 1.2 ilustra los elementos físicos de un sistema simple de telecomunicaciones de un solo sentido (Comunicación Simplex). Generalmente la comunicación se requiere en ambos sentidos o sea debe ser bidireccional (Comunicación Dúplex). En este caso, el sistema debe incluir un transmisor y un receptor en cada extremo de la conexión. 1.2.3

Transmisión de ondas electromagnéticas

1.2.3.1 Concepto de onda Imaginemos una cuerda que está fija en uno de sus extremos a una pared (Figura 1.5) y que la sostenemos con la mano en su otro extremo. En el instante inicial la cuerda está en reposo y en posición horizontal. Ahora subamos la mano; al hacerlo moveremos la parte AB de la cuerda. En un instante posterior la porción BC de la cuerda empezará a subir. Posteriormente, CD empezará a subir y después, DE también lo hará, y así sucesivamente. De hecho, cuando la parte AB sube arrastra hacia arriba la porción BC; al subir BC arrastra a su vez hacia arriba a CD, etc. Es decir, al moverse cada parte de la cuerda arrastra la porción que está a su lado. En todo esto hay que darse cuenta de que nuestra mano solamente movió la porción AB; nuestra mano NO movió las porciones BC, CD, DE, etc. De hecho, ni siquiera las ha tocado.

Figura 1.5 Propagación de una perturbación Podemos decir que nuestra mano sacó a la cuerda de su posición de equilibrio, que es la horizontal; o sea, nuestra mano perturbó la cuerda, y más específicamente, la parte AB. A su vez, la parte AB perturbó la sección BC; en seguida, la parte BC perturbó la porción CD, etc. Es decir, la perturbación que nuestra mano causó en una parte bien precisa de la cuerda se ha ido propagando al resto de ella. Esta propagación de la perturbación es una onda. La

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 9 perturbación que generó nuestra mano se propagó a lo largo de la cuerda. Se dice que la cuerda es el medio en el que se propaga la onda así generada. En general, una onda es una perturbación que se propaga en un medio. Otro ejemplo de creación de una onda ocurre cuando lanzamos una piedra a un estanque de agua. La piedra mueve el agua cuando toca su superficie. En instantes posteriores, partes adyacentes a la porción de agua en que cayó la piedra empiezan a moverse; nótese que estas partes no fueron tocadas por la piedra. Más tarde aún, otras partes del agua que tampoco fueron tocadas por la piedra empiezan también a moverse. La piedra causó una perturbación en el agua y esta perturbación se propagó. Es decir, se creó una onda. En este ejemplo la onda se propagó en el agua, o sea que el agua fue el medio. Otro tipo de onda es el siguiente: consideremos un recipiente con aire en su interior; supongamos que la parte superior del recipiente está cubierta con una membrana elástica que no deja pasar el aire hacia afuera. Ahora apretemos la membrana para comprimir el aire dentro del recipiente. Para empezar, el aire adyacente a la membrana se comprime. Al transcurrir el tiempo esta región deja de estar comprimida, pero el aire que ocupa la región adyacente, dentro del recipiente, se comprime a su vez. De esta forma la compresión se va propagando a lo largo de todas las regiones del aire dentro del recipiente. Es decir, la perturbación que aplicamos al apretar la membrana, que comprimió el aire en la región AB, se fue propagando al resto del aire. Por tanto se generó una onda. En este caso la onda es de compresión del aire y el medio en que se propaga es precisamente el aire. Otra posibilidad es que en lugar de apretar la membrana la estiremos hacia arriba. En este caso el aire que queda junto a la membrana ocupa un volumen mayor que el que tenía originalmente. Como las cantidades de aire son las mismas, ahora el aire queda diluido, es decir, rarificado. Este efecto es el opuesto al de compresión. Por lo tanto, al estirar la membrana la región adyacente a ella experimenta una rarefacción (Disminución de la densidad de un cuerpo gaseoso). En instantes posteriores las diversas regiones del gas se van rarificando. Es decir, la perturbación, que ahora es la rarefacción, se ha propagado en el aire. Es este caso, la onda así creada es de rarefacción. También se puede generar una onda en que se propague tanto una compresión como una rarefacción. En efecto, supóngase que primero empujamos y luego jalamos la membrana. Al empujar comprimimos el aire y al jalar lo rarificamos. Lo que ocurre es lo siguiente: en primer lugar, la región adyacente a la membrana se comprime. Posteriormente, la región adyacente a la anterior se comprime. Si ahora la membrana se jala, entonces la región adyacente a la membrana se rarifica. Estas compresiones y rarefacciones se van propagando en el gas. De esta manera se ha generado una onda de compresión y de rarefacción. El sonido es justamente este tipo de onda. Cuando hablamos emitimos sonidos. Nuestra garganta, a través de las cuerdas vocales perturba el aire que está a su alrededor comprimiéndolo y rarificándolo. Estas perturbaciones se propagan a través de la atmósfera que nos rodea, constituyendo una onda de sonido. Cuando se toca algún instrumento musical lo que se está haciendo efectivamente es hacerlo vibrar. Por ejemplo, al tocar un violín se hace vibrar la cuerda con el arco; ésta a

10 Teoría de las telecomunicaciones su vez hace vibrar el cuerpo de violín. Al vibrar la madera de que está hecho, el violín comprime y rarifica al aire que está junto a él. Estas perturbaciones se propagan y forman un sonido. Lo mismo ocurre con cualquier otro instrumento musical. Cuando un objeto se rompe o choca con algún cuerpo, perturba el aire que está a su alrededor y genera una onda sonora. Las ondas de compresión y rarefacción se propagan no solamente en el aire sino en cualquier otra sustancia. Es claro que para que esta onda se propague la sustancia debe poder comprimirse y rarificarse. Esto ocurre con cualquier sustancia, unas en mayor grado y otras en menor grado. Por tanto, una onda sonora se propaga en un medio, por ejemplo el agua, un sólido como el hierro, etc. Si no hay medio entonces una onda no se propaga; así, no puede propagarse en una región en que no haya nada, en el vacío. Por ejemplo, en la Luna no hay atmósfera, es decir, no hay aire y por tanto no se propaga el sonido. 1.2.3.2 Características de una onda Una característica de una onda es la longitud de onda, denotada por l (Figura 1.6). Esta cantidad es la distancia entre dos máximos sucesivos de la onda. La longitud de onda se mide en metros, centímetros, kilómetros, etcétera.

Figura 1.6 La longitud de onda es la distancia entre dos máximos sucesivos Otra característica de una onda es su frecuencia, denotada por f, que es el número de ciclos que se repite en un segundo. La unidad de la frecuencia es el ciclo/segundo que se llama hertz (abreviado Hz). Hay una relación entre la longitud y la frecuencia de una onda; en efecto, resulta que su producto es igual a la velocidad v con que se propaga la onda.

fλ=v En vista de que en un medio dado la velocidad v es una cantidad constante, si la frecuencia f aumenta, para que el producto (f λ) sea constante, necesariamente la longitud de onda λ debe disminuir, e inversamente.

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 11 Por lo tanto:

e inversamente:

La descripción matemática de la propagación de las ondas arriba descritas se hizo durante la segunda mitad del siglo XVIII y las dos primeras décadas del XIX. Para ello se utilizaron como punto de partida las ecuaciones de la mecánica que Isaac Newton desarrolló: •

• •

Se obtuvo en cada caso la ecuación que describe la variación de la correspondiente cantidad con respecto a su valor en equilibrio. Así, por ejemplo, en el caso de la cuerda (Figura 1.5) se obtuvo la ecuación que debe satisfacer el desplazamiento h de la cuerda con respecto a su posición de equilibrio, en cada instante y en cada posición a lo largo de la cuerda. Se encuentra una ecuación que contiene el valor de la velocidad con la que se propaga la onda: depende de la tensión de la cuerda y la densidad de masa. De la misma manera se encontraron las ecuaciones para la propagación de las ondas en el estanque de agua y del sonido, arriba mencionadas.

No escribiremos estas ecuaciones. En cada una el valor de la velocidad de propagación de la onda depende de las características mecánicas de los sistemas en cuestión. Resulta que todas las ecuaciones mencionadas tienen la misma estructura matemática. Por este motivo, a una ecuación de este tipo se le llama ecuación de onda. Por supuesto que también se estudió otro tipo de ondas, como por ejemplo las que se propagan en un tambor. En cada caso se encuentra el mismo tipo de ecuación de onda. La única variante entre caso y caso es el valor de la velocidad de propagación de la onda que depende de las propiedades mecánicas particulares del sistema en cuestión. A estas ondas se les llama ondas mecánicas. A principios del siglo XIX se inició también el estudio matemático para obtener las soluciones de las ecuaciones de onda. 1.2.3.3 Resonancia Supongamos que un niño se está meciendo en el columpio de un jardín. El columpio tarda determinado tiempo en ir y regresar, o sea en realizar un ciclo completo. Este tiempo se llama el período del columpio. También podemos hablar de la frecuencia de la oscilación,

12 Teoría de las telecomunicaciones es decir, del número de ciclos que realiza el columpio en un segundo. Hay una relación entre el período y la frecuencia; en efecto, si por ejemplo la frecuencia es de 5 ciclos en un segundo, esto significa que un ciclo tarda 1/5 de segundo en realizarse. Vemos que el período y la frecuencia son: uno el inverso del otro. Por lo tanto, el columpio tiene una frecuencia característica de oscilación. El ejemplo anterior ilustra un caso general. Cuando un sistema puede oscilar (o vibrar) entonces tiene una, o varias, frecuencias características. Estas frecuencias dependen de las propiedades del sistema. Por ejemplo, en el caso del columpio la frecuencia depende de la longitud del columpio. Hay muchos sistemas que pueden vibrar: un resorte, una placa delgada sujeta en uno de sus vértices, una construcción, etc. Cada uno de estos sistemas tiene sus frecuencias características de vibración. Regresemos al caso del columpio con el niño. Supongamos que ahora lo vamos a empujar para que siga oscilando. Para ello tenemos que impulsarlo en determinados instantes. Supongamos que la frecuencia del columpio fuera de 2 Hz, o sea, que realizara dos vueltas completas en un segundo; por lo tanto, su periodo sería (1/2) seg = 0.5 seg. Si empujamos el columpio cada 0.2 seg. (o sea, aplicamos una fuerza), la amplitud con la que oscila el columpio no será muy grande. Si alguna vez hemos empujado a un niño en un columpio sabemos que se puede lograr una amplitud bastante grande si lo impulsamos cada vez que termina un ciclo, que en nuestro caso sería cada 0.5 seg. Por tanto, si hacemos esto último estaremos aplicando sobre el columpio una fuerza también periódica con una frecuencia igual a 2 Hz, que es precisamente la frecuencia característica de oscilación del columpio. Si empezamos aplicando la fuerza en cada periodo de 0.2 seg., o sea, con una frecuencia de 1/0.2 = 5 Hz, entonces no logramos una amplitud grande, aun si la fuerza es grande. Lo anterior ilustra un hecho muy importante. Si a un sistema que oscila se le aplica una fuerza externa también periódica, entonces la amplitud de la oscilación del sistema dependerá de la frecuencia de la fuerza externa. Si la frecuencia de esta fuerza es distinta de las frecuencias características del sistema, entonces la amplitud de la oscilación resultante será relativamente pequeña. Si la frecuencia de la fuerza externa es igual a alguna de las frecuencias características del sistema, entonces la amplitud resultante será muy grande. En este caso se dice que la fuerza externa ha entrado en resonancia con el sistema. En la resonancia la amplitud de la oscilación es muy grande. Esto quiere decir que el sistema se aleja mucho de la posición de equilibrio. Por ejemplo, en el caso de un resorte, si se le aplica una fuerza periódica que tenga la misma frecuencia que la característica del resorte, éste se estirará tanto que llegará un momento en que se destruirá. Esta destrucción también puede ocurrir en cualquier sistema mecánico que pueda oscilar. Si el sistema entra en resonancia con una fuerza externa, su amplitud de oscilación aumenta tanto que el sistema se puede destruir. Un ejemplo impresionante de lo anterior ocurrió en el año de 1940 en un puente en Tacoma, EUA. Unos meses después de haber sido completado, un temporal azotó la región, y una de las componentes de la fuerza del viento fue de frecuencia justamente igual a una

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 13 de las frecuencias características del puente. El puente entró en resonancia con el viento y empezó a oscilar con una amplitud muy grande que lo destruyó. Cuando se diseñan estructuras es importante hacerlo de manera que sus frecuencias características sean tales que estén lo más lejanas posibles de las frecuencias de las perturbaciones a las que la estructura pueda estar sujeta, como por ejemplo vientos, terremotos, etcétera. Este hecho es general: si un sistema mecánico entra en resonancia puede ocurrir que se destruya. Cuando un pelotón de soldados está marchando y va a cruzar un puente, rompe la marcha. De no hacerlo, los golpes que dan al marchar podrían tener componentes con una frecuencia igual a alguna de las frecuencias características del puente. Al romper la marcha evitan que haya resonancia. Otro caso desafortunado fue el del terremoto que sacudió a la ciudad de México en 1985. Esta perturbación tenía una frecuencia de 0.5 Hz, y como un buen número de edificios de alrededor de seis pisos tenían entre sus frecuencias naturales una de valor de alrededor de 0.5 Hz, entraron en resonancia con el terremoto; sus amplitudes de oscilación crecieron a tal grado que se destruyeron. Por otro lado, existen otros fenómenos en los que la resonancia se utiliza de manera ventajosa. Por ejemplo, el sintonizador de un aparato de radio o de televisión es un circuito electrónico formado básicamente por un condensador y una bobina. Este tipo de circuito es oscilatorio y tiene una frecuencia característica que depende de los valores de la capacidad del condensador y de la inductancia de la bobina. Las ondas eléctricas que emiten las estaciones de radio o televisión son captadas por la antena del aparato receptor y son conducidas al sintonizador. Pero estas ondas tienen la frecuencia de la estación. Cuando presionamos la tecla “scan/buscar” o damos vuelta a la perilla del sintonizador lo que se está haciendo es cambiar el valor de la capacidad de su condensador y así modificar la frecuencia característica del circuito para que llegue a tener el mismo valor que la frecuencia de la onda que se desea recibir. Al ser iguales las frecuencias de la estación y la característica del circuito, éste entra en resonancia y su respuesta es muy grande. De esta forma se logra seleccionar una onda determinada de todas las que emiten las estaciones de la localidad. 1.2.3.4 Ondas Electromagnéticas Heinrich Hertz (1857-1894), profesor de la Escuela Politécnica de Karlsruhe, en Alemania, se interesó en la teoría electromagnética propuesta por Maxwell. La reformuló matemáticamente logrando que las ecuaciones fueran más sencillas, y simétricas. Desde 1884 Hertz pensó en la manera de generar y detectar en un laboratorio las ondas electromagnéticas que Maxwell había predicho. Después de mucho trabajo y de experiencias sin éxito, en 1887 construyó un dispositivo con el que logró su fin. El experimento que realizó fue a la vez genial y sencillo.

14 Teoría de las telecomunicaciones Utilizó un carrete o bobina de Ruhmkorff; que es un transformador que produce un voltaje muy alto. En seguida conectó el carrete a un dispositivo formado por dos varillas de cobre (Figura 1.7); en uno de los extremos de cada varilla añadió una esfera grande y en el otro una pequeña. Cada una de las esferas grandes servía como condensador para almacenar carga eléctrica. Una vez hecha la conexión, en cierto instante el voltaje entre las esferas chicas era lo suficientemente grande para que saltara una chispa entre ellas. Hertz razonó que al saltar estas chispas se produciría un campo eléctrico variable en la región vecina a las esferas chicas, que según Maxwell debería inducir un campo magnético, también variable. Estos campos serían una perturbación que se debería propagar, es decir, debería producirse una onda electromagnética. De esta forma, Hertz construyó un radiador de ondas electromagnéticas. Efectivamente, al conectar el carrete de Ruhmkorff a su dispositivo, Hertz observó que saltaban chispas entre las esferas chicas de manera intermitente. Así logró construir un generador de ondas electromagnéticas.

Figura 1.7. Aparato generador de ondas electromagnéticas construido por Hertz. El siguiente paso fue construir un detector de las ondas electromagnéticas que supuso eran emitidas por su dispositivo. Para este fin construyó varios detectores. Uno de ellos era simplemente otro dispositivo similar al radiador; otro tipo fue una espira metálica en forma circular que tenía en sus extremos dos esferas, también conductoras, separadas una pequeña distancia. El argumento de Hertz fue el siguiente: si en efecto existen ondas electromagnéticas, al ser emitidas por el circuito se propagarán en todo el espacio circundante. Al llegar las ondas al detector, se inducirá en él un campo eléctrico (además del magnético) y por tanto, en las varillas conductoras o en la espira se inducirá una corriente eléctrica. Esto hará que a través de sus extremos se induzca un voltaje, que si llega a tener un valor suficientemente grande, dará lugar a que salte una chispa entre las esferas. Mientras mayor sea el valor de la amplitud de la corriente eléctrica en el circuito emisor, mayor será la magnitud del campo eléctrico inducido y por lo tanto, mayor será la diferencia de potencial entre los extremos de la espira del receptor. Esto es precisamente lo que encontró Hertz en su experimento. Con su detector situado a una distancia de alrededor de 30 m del radiador, observó que saltaba una chispa entre las esferas del detector, con lo

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 15 que demostró que las ondas electromagnéticas efectivamente existen. Más tarde, el mismo Hertz pudo demostrar que estas ondas se reflejan, se refractan y se comportan como las ondas de luz, hecho considerado por la teoría de Maxwell. Así lo reportó Hertz en 1888: "Es fascinante que los procesos que investigué representan, en una escala un millón de veces más amplia, los mismos fenómenos que se producen en la vecindad de un espejo de Fresnel, o entre las delgadas láminas para exhibir los anillos de Newton." Con esto, Hertz se refería a que la longitud de onda de las ondas que su aparato produjo eran un millón de veces la longitud de onda de la luz visible. De los valores que utilizó para los elementos del circuito, Hertz estimó que la frecuencia (f) de la onda era de alrededor de 3 x 107 Hz. Además Hertz determinó que la longitud de la onda (l) era de 10 m. Con estos valores determinó que la velocidad (v) de la onda es: v = f l = (3 X 107 Hz) X (10 m) = 3 X 108 m/s = 300,000 km/s igual al valor predicho por Maxwell, o sea, la velocidad de la luz. De esta manera se realizó en forma brillante la primera demostración experimental de la existencia de ondas electromagnéticas, generadas para una frecuencia (y por tanto, longitud de onda) particular. Recordemos que como hay una relación entre la frecuencia y la longitud de onda dada por la ecuación antes mencionada, si se conoce una se puede obtener la otra. No había motivo por el cual no se pudiesen generar ondas con diferentes frecuencias, desde las más bajas hasta las más altas. Al conjunto de posibles valores de la frecuencia (o de la longitud de onda) se le llama el espectro electromagnético. Posteriormente, con diferentes tipos de técnicas electrónicas ha sido posible generar, detectar y analizar casi todo el dominio de valores de las ondas electromagnéticas. 1.2.3.5 Espectro electromagnético El espectro electromagnético se puede organizar de acuerdo con la frecuencia correspondiente de las ondas que lo integran, o de acuerdo con sus longitudes de onda. Hacia un extremo del espectro se agrupan las ondas de frecuencias mas bajas y longitudes de onda más largas, como las correspondientes a frecuencias de sonidos que puede percibir el oído humano, mientras que en el otro extremo se agrupan las ondas extremadamente más cortas, pero con mayor energía y mayor frecuencia en hertz, como las pertenecientes a las radiaciones gamma y los rayos cósmicos. La única diferencia existente entre un grupo de ondas y otras dentro del espectro electromagnético es su frecuencia en hertz (Hz), su longitud en metros (m) y el nivel de energía que transmiten en joules (J). A medida que la frecuencia se incrementa, la energía de la onda también aumenta. .

16 Teoría de las telecomunicaciones Dentro del espectro electromagnético hay una región, entre las longitudes de onda de 4 x 10-5 cm hasta 7 x 10-5 cm, que constituye la luz visible. La retina humana es sensible a ondas electromagnéticas dentro de este dominio. Al llegar ondas de estas longitudes de onda a nuestros ojos nos dan la sensación de luz. El ojo humano no ve las ondas electromagnéticas que están fuera de este dominio. A cada longitud de onda le corresponde un color particular. Si por ejemplo, su valor es de 5.7 x 10-5 cm, entonces nuestros ojos perciben esta onda de color amarillo. Hay muchas tonalidades de amarillo, cada una con su longitud de onda particular. De hecho, los amarillos quedan comprendidos entre longitudes de onda de 5.56 x 10-5 cm. Algo análogo ocurre con los demás colores. Nótese que las longitudes de onda de la radiación de la región visible son extremadamente pequeñas. Así, la de uno de los amarillos arriba mencionados es de 5.7 x 10-5 cm = 0.000057 cm. En el caso del experimento de Hertz, la longitud de onda fue de 10 m, que está fuera de la región visible, por lo que él no pudo verla con sus ojos. La pudo detectar con el receptor que ya describimos. En la siguiente ilustración se puede observar la distribución de las ondas dentro del espectro electromagnético.

Figura 1.8 Espectro elecromagnético En la figura 1.8 se pueden distinguir las principales divisiones del espectro electromagnético que se describen a continuación:: • • • • • • • • •

A.- Frecuencia de la corriente eléctrica alterna B.- Frecuencias audibles por el oído humano C.- Espectro radioeléctrico (incluye las microondas) D.- Rayos infrarrojos E.- Espectro de luz visible por el ojo humano F.- Rayos ultravioletas G.- Rayos-X H.- Rayos Gamma I.- Rayos cósmicos

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 17 1.2.3.5.1 Frecuencia de la corriente eléctrica alterna Lo que conocemos como corriente alterna (CA) corresponde a la frecuencia que normalmente generan los alternadores o generadores de las centrales termoeléctricas, hidroeléctricas y nucleoeléctricas que suministran la corriente para uso industrial, general y doméstico. Generalmente la frecuencia de esa corriente es de 50 Hz o ciclos por segundo en Europa y de 60 en América.

Figura 1.9 Frecuencias de la corriente eléctrica alterna y audibles La figura 1.9 Muestra la sección del espectro de frecuencias y longitudes de ondas correspondientes a la corriente alterna y las audibles por el oído humano. 1.2.3.5.2 Frecuencias audibles por el oído humano Son frecuencias inherentes a los sonidos que pueden detectar nuestro sentido del oído. Su espectro abarca desde los 20 Hz para los sonidos más agudos, hasta los 20 kHz de frecuencia para los sonidos más agudos. 1.2.3.5.3 Espectro Radioeléctrico El espectro radioeléctrico abarca una amplia gama de frecuencias de radio que cubren desde los 3 x 103 (3 KHz) a los 3 x 1011 Hz (300 GHz) aproximadamente. Dentro de ese espectro se incluyen las ondas que permiten la transmisión de señales de radio de amplitud modulada (AM) y frecuencia modulada (FM), incluyendo televisión, teléfono inalámbrico, teléfono móvil o celular, GPS (Global Positioning System – Sistema de Posicionamiento Global), controles para gobierno de equipos remotos, hornos microondas, radar, etc.

Figura 1.10 Sección de radio, televisión, telefonía inalámbrica, microondas, radar, etc.

18 Teoría de las telecomunicaciones

Las frecuencias utilizadas en radio y televisión abarcan desde los 30 KHz hasta 30 GHz. Estas se agrupan en bandas, y cada una de ellas recibe un nombre. Esto es lo que viene explicado más abajo en forma de tabla, (la banda VLF no pertenece a las emisiones radioeléctricas, pero las hemos incluido para que la tabla quede completa): Designación por su Frecuencia

Rango de Frecuencias

VLF Very Low Frequency 3 kHz a 30 kHz (Frecuencias muy bajas) LF Low Frequency 30 kHz a 300 (Frecuencias bajas) kHz MF Medium Frequency 300 kHz a 3.000 (Frecuencias medias) kHz HF High Frequency 3 MHz a 30 (Frecuencias altas) MHz VHF Very High Frequency 30 MHz a 300 (Frecuencias muy altas) MHz UHF Ultra High Frequency 300 MHz a (Frecuencias ultra altas) 3.000 MHz SHF Super High Frequency 3 GHz a 30 GHz (Frecuencias super altas) EMF Extremely High Frequency 30 GHz a 300 (Frecuencias extremadamente altas) GHz

Longitud de Onda

Designación por su Longitud de Onda

100 Km a 10 Km 10 Km a 1 Km

Miriamétricas

1 Km a 100 m

Hectométricas

100 m a 10 m

Decamétricas

10 m a 1 m

Métricas

1m a 10cm

Decimétricas

10 cm a 1 cm

Centimétricas

1cm a 1mm

Milimétricas

Kilométricas

Figura 1.11 Bandas del espectro electromagnético Algunos ejemplos de son: • Radio AM = 53 kHz – 160 kHz (LF) • TV Banda I (Canales 2 - 6) = 54 MHz – 88 MHz (VHF) • Radio FM Banda II = 88 MHz – 108 MHz (VHF) • TV Banda III (Canales 7 - 13) = 174 MHz – 216 MHz (VHF) • TV Bandas IV y V (Canales 14 - 69) = 512 MHz – 806 MHz (UHF) 1.2.3.5.4 Rayos infrarrojos (IR), luz visible y rayos ultravioleta (UV) Nuestros ojos son detectores que han ido evolucionando para detectar ondas de luz visible. La luz visible es uno de los pocos tipos de radiación que puede penetrar nuestra atmósfera y que es posible detectar desde la superficie de la Tierra. Existen otros tipos de luz (o radiación) que no podemos ver como los rayos infrarrojos y los rayos ultravioleta. De hecho, solamente podemos ver una parte muy pequeña de toda la gama de radiación. 1.2.3.5.5 Rayos infrarrojos (IR) Los rayos infrarrojos son un tipo de luz que no podemos ver con nuestros ojos. Nuestros ojos pueden solamente ver lo que llamamos luz visible. La luz infrarroja nos brinda información especial que no podemos obtener de la luz visible. Los rayos infrarrojos abarcan aproximadamente desde los 30 x 1011 Hz (300 GHz) hasta los 3.8 x 1014Hz (380 THz). Cualquier molécula cuya temperatura sea superior a 0º Kelvin (cero absoluto,

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 19 equivalente a –273º C), emite rayos infrarrojos. Esa emisión se incrementa a medida que las moléculas que integran un cuerpo cualquiera adquieren mayor temperatura.

Figura 1.12 Rayos infrarrojos (IR), los rayos de luz visible y rayos ultravioleta (UV). Por ejemplo, es posible que un trozo de carbón encendido no emita luz visible, pero que sí emita la radiación infrarroja que sentimos como calor. Mientras más caliente se encuentre un objeto, tanta más radiación infrarroja emitirá. A la temperatura normal del cuerpo, la mayoría de las personas irradian más intensamente en el infrarrojo, con una longitud de onda de 10 micrones (millonésima de metro). En la oscuridad los detectores de infrarrojos pueden ver objetos que no son posibles ver a luz visibles gracias a que dichos objetos irradian calor. En una foto de la Tierra tomada desde un satélite empleando para ello tecnología de rayos infrarrojos, se pueden diferenciar zonas de diferentes colores. Por medio de esos colores se puede conocer la temperatura ambiente existente en esos momentos en cada zona específica de una zona geográfica fotografiada.

Figura 1.13 Imagen Infrarroja de la tierra Los rayos infrarrojos de baja potencia se utilizan para accionar diferentes dispositivos de control remoto como, por ejemplo, el mando de los televisores, intercomunicación entre equipos y computadoras, visión nocturna, fotografía nocturna, etc., mientras que los de alta potencia se emplean para generar calor.

20 Teoría de las telecomunicaciones El descubrimiento de los rayos infrarrojos data del año 1800 y lo realizó el astrónomo de origen alemán William Herschel. 1.2.3.5.6 Espectro de luz visible La luz visible es una de las formas como se desplaza la energía. La luz visible es tan sólo uno de los muchos tipos de radiación electromagnética y ocupa un pequeño rango de la totalidad del espectro electromagnético. Sin embargo, podemos percibir la luz directamente con nuestros ojos, y por la gran importancia que tiene para nosotros, elevamos la importancia de esta pequeña ventana en el espectro. La radiación de la luz visible es la que nos permite ver los objetos del mundo material que nos rodea. Se localiza aproximadamente entre 4 x 1014 Hz (400 THz), correspondiente a la frecuencia del color rojo y los 7.5 x 1014 Hz (750 THz) pertenecientes a la frecuencia del color violeta. Esta es la única parte del espectro electromagnético visible para el ojo humano.

Figura 1.14 Espectro de Luz Visible Las ondas de luz tienen longitudes de onda entre 400 y 700 nanómetros. A medida que el arcoiris se llena de matices, nuestros ojos perciben diferentes longitudes de ondas de luz. La luz roja tiene longitudes de onda relativamente largas, aproximadamente 700 nm (109 metros) de largo. La luz azul y la luz morada tienen ondas cortas, aproximadamente 400 nm. Las ondas más cortas vibran a mayores frecuencias, y tienen energías más elevadas. Las luz roja tiene una frecuencia aproximada de 430 Terahertz, mientras que la frecuencia de la luz azul es de aproximadamente 750 Terahertz. Los fotones rojos tienen aproximadamente 1.8 electrón-Volt(eV) de energía, mientras que cada fotón azul transmite aproximadamente 3.1 eV. Los vecinos de la luz visible en el espectro EM son la radiación infrarroja de un lado, y luz ultravioleta del otro lado. La radiación infrarroja tiene longitudes de ondas más largas que la luz roja, es por esto que oscila a una frecuencia menor y lleva consigo menor energía. La radiación ultravioleta tiene longitudes de ondas más cortas que la luz azul o violeta, por lo que oscila más rápidamente, y porta mayor cantidad de energía que la luz visible.

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 21 De acuerdo con la Teoría de la Relatividad, descubierta por el físico alemán, naturalizado estadounidense, Albert Einstein, las ondas de luz se mueven en el vacío a una velocidad de 299,792,458 metros por segundo (±1m/s), aunque generalmente se toma el valor aproximado de 300,000,000 m/s. La letra "c" minúscula se usa en las ecuaciones para representar la velocidad de la luz, como es el caso de la famosa relación entre energía y materia de Einstein: "E = mc2". Todas las formas de ondas electromagnéticas, incluyendo los rayos X y las ondas de radio, y todas las demás frecuencias a lo largo del espectro también viajan a la velocidad de la luz. La luz viaja más rápidamente en el vacío, y se mueve más lentamente en materiales como agua o vidrio. El desarrollo de la teoría de las ondas electromagnéticas se debe al estudio realizado alrededor de los años 1860 por el físico inglés James Clerk Maxwell. Este científico realizó un análisis matemático de la teoría de los campos electromagnéticos y llegó a la conclusión que la luz visible estaba formada también por ondas electromagnéticas. 1.2.3.5.7 Rayos ultravioleta (UV) Los rayos ultravioleta se encuentran situados aproximadamente en la franja comprendida entre los 7.5 x 1014 Hz (750 THz) y los 3.0 x 1016 Hz (30 PHz) de frecuencia del espectro electromagnético. Entre los componentes de los rayos de luz blanca visible del Sol que llegan a la Tierra, se reciben también rayos UV-A (ultravioleta-A) y UV-B (ultravioleta-B). La mayor parte de los rayos de Sol que recibe la Tierra, así como los que proporcionan las lámparas que emiten esos rayos, son del tipo UV-A, por lo que tomarlos en exceso puede conllevar a la aparición de cáncer en la piel, mientras que por otro lado son esos propios rayos, tomados con moderación, los que favorecen la creación de vitamina “D” en la propia piel. No obstante la capa de ozono que cubre la Tierra actúa como filtro natural para amortiguar, en gran medida, esas radiaciones, con el fin de que nos lleguen más debilitadas.

Figura 1.15 Rayos X, Rayos Gamma ( ) y Rayos Cósmicos 1.2.3.5.8 Rayos-X Las radiaciones de rayos-X abarcan desde los 3.0 x 1016 (30 PHz), hasta los 3.0 x 1019 Hz (30 EHz) de frecuencia dentro del espectro electromagnético. Las radiaciones de esos rayos son invisibles para el ojo humano, pero pueden atravesar diferentes tipos objetos, incluyendo el cuerpo humano. Sin embargo, las planchas de plomo no son atravesadas por

22 Teoría de las telecomunicaciones los rayos X, por lo que se emplea normalmente ese metal para proteger al hombre cuando trabaja con aparatos que emiten este tipo de radiaciones. Los rayos X, descubiertos a finales del siglo XVIII por el físico alemán Wilhelm Röntgen, se emplean fundamentalmente para obtener radiografías de apoyo al diagnóstico médico, así como en investigaciones metalúrgicas, científicas y en el análisis de obras de arte.

Figura 1.16 Radiografía usando rayos x Espectro electromagnético Sonidos audibles Ondas de radio de amplitud modulada (AM): Muy baja frecuencia Onda larga (Long Wave) Onda media (Medium Wave) Onda corta (Short Wave) Ondas de radio de frecuencia modulada (FM) y de TV: VHF Muy alta frecuencia UHF Ultra alta frecuencia Microondas (Microwaves) Rayos infrarrojos (IR): Lejanos Medios Cercanos Luz visible Rayos ultravioleta (UV): Cercanos Extremos Rayos X Rayos Gamma Rayos cósmicos

Frecuencia en hertz (Hz) 2.0 x102 – 2.0 x103

Longitud de onda en metros (m) 1.0 x107 – 1.0 x105

Energía en Jules (J)

1.5 x103 – 3.0 x104 3.0 x104 – 6.5 x105 6.5 x105 – 1.7 x106 1.7 x106 – 3.0 x107

1.0 x105 – 1.0 x104 1.0 x104 – 6.5 x102 6.5 x102 – 1.8 x102 1.8 x102 – 1.0 x101

< 1.9 x10-29 > 1.9 x10-29 > 4.3 x10-28 > 1.1 x10-27

3.0 x107 – 3.0 x108 3.0 x108 – 3.0 x109 3.0 x109 – 3.0 x1011

1.0 x101 – 1.0 x100 1.0 x100 – 3.0 x10-2 3.0 x10-2 – 1.0 x10-3

> 2.0 x10-26 > 1.9 x10-25 > 1.9 x10-24

3.0 x1011 – 6.0 x1012 6.0 x1012 – 1.2 x1014 1.2 x1014 – 3.8 x1014 3.8 x1014 – 7.8 x1014

1.0 x10-3 – 5.0 x10-6 5.0 x10-6 – 2.5 x10-6 2.5 x10-6 – 7.8 x10-9 7.5 x10-9 – 3.8 x10-9

> 2.0 x10-22 > 3.9 x10-21 > 7.9 x10-20 > 2.5 x10-19

7.8 x1014 – 1.5 x1015 1.5 x1015 – 3.0 x1016 3.0 x1016 – 3.0 x1020 3.0 x1020 – 3.0 x1022 > 3.0 x1022

3.8 x10-9 – 2.0 x10-9 2.0 x10-9 – 1.0 x10-9 1.0 x10-9 – 1.0 x10-12 1.0 x10-12 – 1.0 x10-14 < 1.0 x10-14

> 5.0 x10-19 > 9.9 x10-19 > 1.9 x10-17 > 1.9 x10-14

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Figura 1.17 Resumen de valores aproximados del espectro electromagnético 1.2.3.5.9 Rayos gamma

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 23 Las radiaciones gamma se originan generalmente a partir del núcleo excitado de un átomo radioactivo y abarcan desde los 3.0 x 1019Hz (30 EHz) hasta los 3.0 x 1022 Hz (30 ZHz). En ciertas ocasiones, después que un núcleo radioactivo emite partículas alfa ( ), e incluso también beta ( ), conserva todavía energía, que libera en forma de ondas electromagnéticas conocidas como rayos gamma ( ). Esas radiaciones de frecuencias extremadamente elevadas, liberan una alta energía que puede resultar muy peligrosa y perjudicial para los seres vivos, aunque bien administradas sirven para aplicarlas en el tratamiento de algunos tipos de cáncer, así como para la esterilización del instrumental médico y los alimentos Las radiaciones gamma sólo se pueden detener utilizando gruesas paredes de hormigón, revestimiento de planchas de plomo, o empleando grandes cantidades de agua. 1.2.3.5.10 Rayos cósmicos Los rayos cósmicos proceden del espacio profundo y su frecuencia supera los 3.0 x 1022 Hz (30 ZHz). Esos rayos se componen de ondas cósmicas de la más elevada frecuencia y una alta carga de energía que llegan, incluso, hasta la superficie terrestre. Su efecto resulta mortal si alguien se expone directamente a las mismas en el espacio cósmico sin la debida protección de una escafandra, como las utilizadas por los cosmonautas. Sin embargo, a los habitantes de la Tierra no les llega a afectar de forma directa gracias a la protección natural que proporciona la capa de ozono. 1.2.3.6 Radiación de ondas electromagnéticas (Antenas) Una vez que Maxwell predijo la existencia de ondas electromagnéticas se presentó la importante cuestión de cómo generarlas. Hertz fue el primero que estudió este problema y lo resolvió. Para ello desarrolló un formalismo matemático con el cual pudo encontrar las características de estas ondas a partir de las ecuaciones de Maxwell. De este trabajo se desprendió la predicción de que si una partícula eléctricamente cargada se mueve en forma acelerada, entonces emite ondas electromagnéticas. Así, por ejemplo, en el experimento de Hertz la chispa que salta de una esfera a la otra (Figura 1.7) está compuesta de electrones acelerados que emiten ondas electromagnéticas. Cuando una corriente eléctrica se establece a lo largo de un cable se están moviendo partículas cargadas. Sin embargo, no siempre ocurre que estas partículas se aceleren; por ejemplo, si la corriente es de valor constante como la corriente directa que se establece cuando la fuente es una batería conectada a un foco de una linterna, entonces las partículas que dan lugar a la corriente eléctrica se mueven con velocidad constante y por tanto no se están acelerando. Una partícula experimenta una aceleración cuando su velocidad cambia al transcurrir el tiempo. En consecuencia, solamente en una corriente eléctrica que varía al transcurrir el tiempo, las partículas se aceleran. Esto sucede, por ejemplo, con la corriente alterna. Supóngase que una varilla metálica se conecta a una fuente de corriente alterna. Los electrones que circulan por la varilla llegarán a su extremo y se regresarán; por consiguiente, su velocidad cambia y hace que se aceleren, y en consecuencia emiten ondas electromagnéticas. Esta onda así emitida tendrá la misma frecuencia de los electrones que oscilan en la varilla. El elemento que produce las ondas se llama antena emisora. En el caso anterior la antena es la varilla.

24 Teoría de las telecomunicaciones

Además de varillas las antenas pueden tener otras configuraciones. Las características que tengan las ondas emitidas dependerán de la forma geométrica y de la longitud de la antena. Así, en el caso de una varilla, las ondas emitidas tienen la misma frecuencia que la corriente que las induce. A esta frecuencia (f) le corresponde un longitud de onda (l) dada por (v / f), siendo (v) la velocidad de la luz (ecuación antes mencionada). Por otro lado, la potencia de la onda emitida depende tanto de la longitud de onda (λ) como de la longitud L de la varilla. La potencia que emite adquiere un valor máximo cuando la longitud de la varilla es igual a la mitad de la longitud de onda. En consecuencia, conviene construir la antena con esta longitud. Este hecho es una manifestación del fenómeno de resonancia. La antena no emite la misma potencia en todas las direcciones; a lo largo de la antena (Figura 1.18) no hay emisión. En una dirección perpendicular a la varilla se alcanza la potencia máxima; de hecho, alrededor de la dirección perpendicular se forma un cono dentro del cual la emisión es apreciable; en direcciones fuera del cono prácticamente no hay radiación. A este tipo de antenas se les llama direccionales.

Figura 1.18 Antena de varilla Supongamos que, por ejemplo, se quiere emitir (o recibir) una onda de televisión que corresponde al canal 2 (54 a 60 Mhz). Ésta tiene una frecuencia promedio de 57 MHz y le corresponde, según la ecuación mencionada arriba, una longitud de onda de 5.26 m. Por tanto, la antena tiene que tener una longitud igual a la mitad de la longitud de onda o sea de 5.26 m / 2 = 2.63 m para obtener una potencia máxima de emisión. La anchura del cono es una medida del ancho del haz que se emite. Mientras más pequeño sea el haz, más direccional será la emisión de la antena. El ancho del haz depende de la frecuencia de la onda: mientras menor sea ésta, menor será el ancho del haz. Cuando a una varilla le llega una onda electromagnética, ésta induce en la varilla una corriente eléctrica que tiene la misma frecuencia que la de la onda incidente. Cualquier dispositivo, como la

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 25 varilla, que transforma una onda electromagnética en una corriente eléctrica se llama antena receptora. Las antenas, ya sean receptoras o emisoras, funcionan con las mismas características. Así, las propiedades direccionales de la recepción en una antena receptora son las mismas que si funcionara como emisora. Además, una antena receptora absorbe la máxima potencia cuando su longitud es igual a la mitad de la longitud de onda que tiene la onda incidente. El tipo de antena que se use, ya sea para emisión o recepción, depende de la aplicación que se quiera hacer. Por ejemplo, en el caso de una estación de radio o de televisión se requiere que pueda llegar a receptores situados en todas las direcciones con respecto a la antena; además, la señal emitida debe llegar lo más lejos posible. En consecuencia, una antena emisora de una estación debe poder manejar potencias altas y radiarlas en todas direcciones. En contraste, la antena receptora maneja potencias muy pequeñas, ya que está relativamente lejos de la emisión. Además, la antena receptora debe ser muy direccional, pues debe captar la señal de la emisión que viene de una dirección determinada. Por esto, las antenas emisoras tienen formas geométricas diferentes de las antenas receptoras. 1.2.3.7 Inicio de las comunicaciones inalámbricas Una vez que Hertz demostró que en la naturaleza existen realmente las ondas electromagnéticas que Maxwell había anticipado, se inició una serie de estudios teóricos y experimentales para encontrar sus diversas propiedades. En la parte teórica fue necesario desarrollar una serie de métodos matemáticos para poder extraer las propiedades de las ecuaciones de Maxwell. Las predicciones teóricas que se obtuvieron de esta manera fueron consistentemente verificadas en el laboratorio. En Estados Unidos Nikola Tesla logró hacer varias demostraciones usando descargas de alto voltaje y de alta frecuencia, para lo cual inventó una bobina, llamada bobina de Tesla, que posteriormente fue de utilidad para las comunicaciones inalámbricas. En 1892 William Crookes publicó un trabajo en la revista inglesa Fortnightly Review, en el que proponía las bases para utilizar ondas electromagnéticas como medio para transmitir señales telegráficas a través del espacio, es decir, telegrafía sin hilos o inalámbrica. Fue en 1894 cuando el físico inglés Oliver Lodge, basándose en el trabajo de Crookes, desarrolló el primer sistema de comunicación inalámbrica. Con los aparatos que construyó demostró la recepción de una señal a través de una distancia aproximada de 100 m, para lo cual usó un circuito sintonizador. Avances posteriores le permitieron ampliar la distancia a un kilómetro. En 1894 el ingeniero italiano Guglielmo Marconi (1874-1937) leyó la biografía de Hertz e inmediatamente empezó a trabajar en la idea de usar las ondas electromagnéticas para transmitir señales. Construyó los aparatos descritos por Hertz, a los cuales les añadió un cohesor, que es un tubo de vidrio que contiene limaduras de hierro, y conectó tanto el transmisor como el receptor a una antena. Una señal eléctrica que pase por el cohesor hace que las limaduras se unan durante el intervalo que dura la señal; de esta manera este

26 Teoría de las telecomunicaciones dispositivo detecta ondas electromagnéticas. En 1895 Marconi probó sus aparatos, con los cuales logró enviar señales hasta distancias de un par de kilómetros. Marconi ofreció sus inventos al gobierno italiano, pero como la respuesta tardó en llegar decidió ir a Inglaterra, donde en 1896 obtuvo la primera de sus muchas patentes. Marconi afirmaba que sería posible enviar señales a distancias de 150 km. Sin embargo, muchos científicos rechazaron su pretensión con el argumento de que, si las señales se propagaban en línea recta, entonces se perderían en el espacio antes de poder seguir la curvatura de la Tierra. Marconi realizó muchos experimentos, y fue aumentando poco a poco la distancia de la transmisión. Descubrió que si conectaba a tierra uno de los extremos del transmisor, y el otro extremo a una varilla larga, entonces las ondas parecían ser guiadas alrededor de la superficie terrestre; de esta manera logró transmisiones a través de distancias increíbles para su época. En 1898 transmitió señales a través del Canal de la Mancha y en 1901 logró una transmisión a través del Océano Atlántico: de Polhu en Cornualles, Inglaterra, hasta San Juan de Terranova, Canadá. El transmisor utilizado por Marconi fue muy sencillo, pues consistía en un transformador con un extremo de su secundario conectado a una varilla o antena y el otro a tierra. En la figura 1.19 vemos un esquema del circuito usado. El primario del transformador forma parte del circuito. Al cerrar el interruptor la corriente que circula por él varía con el tiempo, por lo que el primario del transformador induce en el secundario una corriente. La relación de vueltas en el transformador es tal que en el secundario se genera un alto voltaje, dando lugar a que la antena radie ondas electromagnéticas. Al llegar estas ondas al receptor (Figura 1.19) son captadas por la antena, por lo que circula una corriente variable por el primario del transformador del receptor, que a su vez induce una corriente en el secundario. Pero éste secundario forma parte de un circuito que contiene una bocina que transforma la corriente en una señal sonora. Así se pueden transmitir señales codificadas, por ejemplo por medio de la convención de Morse, que fue lo que hizo Marconi.

Figura 1.19 Esquema de los circuitos emisor y receptor utilizados por Marconi

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 27 Una vez que Marconi logró transmitir una señal trasatlántica, formó de inmediato una compañía con el fin de explotar su invento. El 2 de enero de 1909 se hundió el barco inglés Republic. Afortunadamente contaba con un aparato de Marconi, por lo que pudo solicitar auxilio, y se salvó casi toda la tripulación. En los años sucesivos los barcos, en particular los de guerra, fueron provistos de aparatos de radiotelegrafía. Así durante sus travesías los barcos podían recibir noticias de tierra, y en 1904, por ejemplo, los trasatlánticos imprimían periódicos a bordo con noticias recibidas de tierra firme. El éxito obtenido por Marconi en sus transmisiones a larga distancia hizo que varios investigadores se pusieran a pensar cuál era el motivo de que las ondas electromagnéticas siguieran la curvatura de la Tierra. Fueron A. E. Kenelly y nuestro conocido Heaviside quienes, en forma independiente, desarrollaron una teoría en la que proponían que en la atmósfera había una capa formada por partículas eléctricamente cargadas que reflejaba las ondas electromagnéticas. Al enviar una señal de A (Figura 1.20) la onda se reflejaba y regresaba a la superficie en el punto C; la Tierra reflejaba nuevamente esta señal a la ionósfera y se volvía a repetir esta sucesión hasta que la señal llegaba a su destino en B. En 1882 Balfour Stewart, en un contexto completamente distinto había propuesto la existencia de la ionósfera para poder explicar los cambios sistemáticos que ocurrían en el campo magnético terrestre. Fue hasta 1925 cuando se empezaron a medir directamente las características de la ionósfera. Se encontró que esta capa está situada entre 80 y 300 km de altura sobre la superficie terrestre y la componen electrones. La ionósfera controla las comunicaciones por medio de ondas electromagnéticas, y establece los límites, tanto superior como inferior, al valor de las frecuencias que se pueden usar; las ondas deben tener longitudes de onda relativamente pequeñas (entre 1 y 10 m). Estas comunicaciones ocurren en la llamada banda de onda corta.

Figura 1.20 Reflexión de ondas de radio en la ionósfera La ionósfera no es una capa estática, tiene variaciones debido a que la densidad de los electrones que hay en ella varía. Estas variaciones dependen de diversas circunstancias: del

28 Teoría de las telecomunicaciones lugar, el momento del día, la actividad solar, etc., lo que en ocasiones causa que haya malas comunicaciones. Marconi obtuvo el Premio Nobel de Física en 1909 y murió en 1937, después de haber recibido muchos honores. A pesar de lo maravilloso que resultó esta aplicación del electromagnetismo, lo único que se podía transmitir era una serie de zumbidos de duración variable; es decir, telegrafía. No era posible enviar palabras o música, o sea que no era todavía telefonía. Para lograr esto último hubo que esperar el desarrollo de la electrónica que se dio en siglo XX.

1.3 Unidades y medidas 1.3.1

Sistema Internacional de Unidades

El Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, también denominado sistema internacional de medidas, es el sistema de unidades más extensamente usado. Junto con el antiguo sistema métrico decimal, que es su antecedente y que ha mejorado, el SI también es conocido como sistema métrico, especialmente en las naciones en las que aún no se ha implantado para su uso cotidiano. Fue creado en 1960 por la Conferencia General de Pesas y Medidas, que inicialmente definió seis unidades físicas básicas o fundamentales. Los prefijos del SI son prefijos empleados para nombrar a los múltiplos y submúltiplos de cualquier unidad del Sistema Internacional (SI), ya sean unidades básicas o derivadas. Estos prefijos no pertenecen solamente al SI. Muchos de ellos, así como la propia idea de emplearlos, son anteriores al establecimiento del Sistema Internacional en 1960; por lo tanto, se emplean a menudo en unidades que no pertenecen al SI. Los prefijos pertenecientes al SI los fija oficialmente la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (Bureau International des Poids et Mesures). El prefijo kilo, por ejemplo, multiplica por mil, por lo tanto un kilómetro son 1,000 m, y un kilowatt son 1,000 W. El prefijo mili divide entre mil; por lo tanto, un milímetro es la milésima parte de un metro (se necesitan 1,000 milímetros para completar un metro), y un mililitro es la milésima parte de un litro. Otra de las ventajas del SI es el empleo de un mismo prefijo para cualquier unidad, lo que facilita el aprendizaje y el empleo de dicho sistema. Ejemplos: • •

5 cm = 5 × 10−2 m = 5 × 0.01 m = 0.05 m 3 MW = 3 × 106 W = 3 × 1,000,000 W = 3,000,000 W

No se pueden poner dos o más prefijos juntos: por ejemplo, 10−9 metros hay que escribirlos como 1 nm (nanómetro), no 1 mµm (milimicrómetro). Hay que tener en cuenta primero los prefijos y después las potencias; así, "km²" se lee kilómetro cuadrado, no kilo–metro cuadrado. Por ejemplo, 3 km² son 3,000,000 m², no 3,000 m² (ni tampoco 9,000,000 m²).

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 29 Es decir, los prefijos del SI en lugar de miles se convierten en multiplicadores de millón en el caso de las potencias de 2, de mil millones en el caso de las potencias de 3 y así sucesivamente. Por lo tanto, es probable que se requiera emplear números grandes, aunque se empleen todos los prefijos. En lugar de kilohertz (kHz) y megahertz (MHz), algunas veces se emplean los términos equivalentes de kilociclos y megaciclos. 1.3.1.1 Prefijos binarios Los prefijos binarios son usados frecuentemente para expresar grandes cantidades de octetos o bytes de ocho bits. Son derivados, aunque diferentes, de los prefijos del SI como kilo, mega, giga y otros. La práctica espontánea de los científicos de la computación fue utilizar los prefijos K, M y G para kilobyte, megabyte y gigabyte. Sin embargo, expresiones como "tres megabytes" han sido abreviados incorrectamente como "3M" y el prefijo deviene en sufijo. No obstante, el uso incorrecto de los prefijos del Sistema Internacional (con base 10) como si fueran prefijos binarios (con base 2) es causa de serias confusiones. Prefijo yotta zetta exa peta tera giga mega miria kilo hecto deca

Símbolo Y Z E P T G M Ma k h da o D

deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

d c m μ n p f a z y

Factor 10 (un cuatrillón) 1021 (mil trillones) 1018 (un trillón) 1015 (mil billones) 1012 (un billón) 109 (mil millones) 106 (un millón) 104 (diez mil) 103 (mil) 102 (cien) 101 (diez) 100 (uno) 10-1 (un décimo) 10-2 (un centésimo) 10-3 (un milésimo) 10-6 (un millonésimo) 10-9 (un milmillonésimo) 10-12 (un billonésimo) 10-15 (un milbillonésimo) 10-18 (un trillonésimo) 10-21 (un miltrillonésimo) 10-24 (un cuatrillonésimo) 24

30 Teoría de las telecomunicaciones Figura 1.21 Prefijos del sistema internacional de medidas

Hz (hertz) kHz (kilohertz) MHz (megahertz) GHz (gigahertz) THz (terahertz) PHz (petahertz) EHz (exahertz) ZHz (zettahertz) YHz (yottahertz)

103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024

Unidad de medida hertz = 1 000 hertz hertz = 1 000 000 hertz hertz = 1 000 000 000 hertz hertz = 1 000 000 000 000 hertz hertz = 1 000 000 000 000 000 hertz hertz = 1 000 000 000 000 000 000 hertz hertz = 1 000 000 000 000 000 000 000 hertz hertz = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 hertz

Figura 1.22 Múltiplos del Hz (hertz), en el Sistema Internacional de Medidas (S.I.) 1.3.1.2 Uso convencional En la práctica popular, los prefijos binarios corresponden a números similares de los factores indicados en el Sistema Internacional de Unidades (SI). Los primeros son potencias con base 2, mientras que los prefijos del SI son potencias con base 10. Los valores se listan a continuación: Nombre Símbolo Potencias binarias y valores decimales unidad 20 = 1 kilo K 210 = 1 024 mega M 220 = 1 048 576 giga G 230 = 1 073 741 824 rera T 240 = 1 099 511 627 776 peta P 250 = 1 125 899 906 842 624 exa E 260 = 1 152 921 504 606 846 976 zetta Z 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 yotta Y 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176

Hexa. 16 0 16 2.5 16 5 16 7.5 1610 1612.5 1615 1617.5 1620

Nombre un(o) mil millón millardo billón billardo trillón trillardo cuatrillón

Valores en el SI 10 0 = 1 10 3 = 1 000 10 6 = 1 000 000 10 9 = 1 000 000 000 1012 = 1 000 000 000 000 1015 = 1 000 000 000 000 000 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000

Dif 0% 2% 5% 7% 10 % 13 % 15 % 18 % 21 %

Figura 1.23 Prefijos usados normalmente en computación Estos son los mismos símbolos que los prefijos del SI, con la excepción de kilo, que corresponde al k, ya que K es el símbolo del kelvin en el SI. El uso convencional sembró confusión: 1,024 no es 1,000. Los fabricantes de dispositivos de almacenamiento habitualmente usan los factores SI, por lo que un disco duro de 30 GB tiene una capacidad aproximada de 28 x 230 bytes, lo que serían 28 GB reales. En telecomunicaciones también se usan: una conexión de 1 Mbps transfiere 106 bits por segundo. Sin embargo, los fabricantes de disquetes trabajan de otra forma: para ellos, el prefijo M no significa (1,000 × 1,000) como en el SI, ni (1,024 × 1,024) como en computación. El disquete común de "1.44 MB" tiene una capacidad de (1.44 × 1,000 × 1,024) bytes de 8 bits. En la época de las computadoras de 32K de memoria ROM esta confusión no era muy peligrosa, ya que la diferencia entre 210 y 103 es más o menos 2%. En cambio con el acelerado crecimiento de la capacidad de las memorias y de los periféricos de almacenamiento en la actualidad, las diferencias llevan a errores cada vez mayores. Existe

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 31 también confusión respecto de los símbolos de las unidades de medición de la información, ya que no son parte del SI. La práctica recomendada es bit para el bit y b para el byte u octeto (aunque en principio "byte" se refiere a la cantidad de bits necesarios para codificar un carácter). En la práctica, es común encontrar B por "byte" u octeto y b por "bit", lo cual es inaceptable en el SI porque B es el símbolo del belio. El uso de o para octeto (byte de ocho bits) también traería problemas porque podría confundirse con el cero. 1.3.1.3 Norma CEI En 1999 el comité técnico 25 (cantidades y unidades) de la Comisión Electrotécnica Internacional (CEI) publicó la Enmienda 2 de la norma CEI 60027-2: Letter symbols to be used in electrical technology - Part 2: Telecommunications and electronics (IEC 60027-2: Símbolos de letras para usarse en tecnología eléctrica - Parte 2: Telecomunicaciones y electrónica, en inglés); y en el 2005 la CEI publicó la tercera edición. Esta norma, publicada originalmente en 1998, introduce los prefijos kibi, mebi, gibi, tebi, pebi y exbi, nombres formados con la primera sílaba de cada prefijo del SI y el sufijo bi por "binario". La norma también estipula que los prefijos SI siempre tendrán los valores de potencias de 10 y nunca deberán ser usados como potencias de 2. Nombre kibi mebi gibi tebi pebi exbi

Símbolo Ki Mi Gi Ti Pi Ei

210 220 230 240 250 260

= = = = = =

Factor 1 024 1 048 576 1 073 741 824 1 099 511 627 776 1 125 899 906 842 624 1 152 921 504 606 846 976

Origen kilobinario: (210)1 megabinario: (210)2 gigabinario: (210)3 terabinario: (210)4 pentabinario: (210)5 exabinario: (210)6

Derivación SI kilo: (103)1 mega: (103)2 giga: (103)3 tera: (103)4 penta: (103)5 exa: (103)6

Figura 1.24 Prefijos CEI Nombre bit kibibit kilobit mebibit megabit gibibit gigabit tebibit terabit pebibit petabit exbibit exabit

Símbolo Bit Kibit Kbit Mibit Mbit Gibit Gbit Tibit Tbit Pibit Pbit Eibit Ebit

Sistema CEI SI CEI SI CEI SI CEI SI CEI SI CEI SI

Figura 1.25 Prefijos CEI y SI con bit

Significado 0ó1 1,024 bits 1,000 bits 1,024 kibibits 1,000 kilobits 1,024 mebibits 1,000 megabits 1,024 gibibits 1,000 gigabits 1,024 tebibits 1,000 terabits 1,024 pebibits 1,000 pentabits

32 Teoría de las telecomunicaciones

Nombre byte kibibyte kilobyte mebibyte megabyte gibibyte gigabyte tebibyte terabyte pebibyte petabyte exbibyte exabyte

Símbolo B KiB KB MiB MB GiB GB TiB TB PiB PB EiB EB

Sistema CEI SI CEI SI CEI SI CEI SI CEI SI CEI SI

Significado 8 bits 1,024 bytes 1,000 bytes 1,024 kibibytes 1,000 kilobytes 1,024 mebibytes 1,000 megabytes 1,024 gibibytes 1,000 gigabytes 1,024 tebibytes 1,000 terabytes 1,024 pebibytes 1,000 pentabytes

Figura 1.26 Prefijos CEI y SI con byte Desde 2006 esta convención de nombres ya es empleada por algunos sistemas operativos como GNU/Linux, donde ya existen distribuciones que la exhiben (como Ubuntu), aunque todavía no ha ganado amplia difusión en otros medios. Los nombres CEI están definidos hasta "exbi", correspondiente al prefijo SI "exa". Los otros prefijos, "zetta" (1021) y "yotta" (1024) no tienen correspondiente. Por extensión de lo establecido por la norma, se puede sugerir "zebi" (Zi) y "yobi" (Yi) como prefijos para 270 (1,180,591,620,717,411,303,424) y 280 (1,208,925,819,614,629,174,706,176). 1.3.1.4 SI y CEI En la octava edición del Sistema Internacional de Unidades publicada en el año 2006 se menciona en forma explicita que los prefijos del SI se refieren estrictamente a potencias de 10, e indica que los prefijos adoptados por la CEI para potencias binarias en el estándar internacional CEI 60027-2:2005, tercera edición, Símbolos de letras para usarse en tecnología eléctrica - Parte 2: Telecomunicaciones y electrónica (en ingles, IEC 600272:2005, third edition, Letter symbols to be used in electrical technology – Part 2: Telecommunications and electronics) deberían ser usados en el campo de la tecnología de la información para evitar el uso incorrecto de los prefijos del SI, aunque estos prefijos no sean parte del SI. 1.3.1.5 ISO y CEI Las normas ISO 31 y CEI 60027 están en el presente (2006) siendo revisadas por las dos organizaciones de estandarización en colaboración. El estándar revisado y armonizado se conocerán como ISO/CEI 80000, Cantidades y Unidades (en ingles, ISO/IEC 80000, Quantities and Units).

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 33 1.3.1.6 Estándar IEEE El IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers, Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos), ha aceptado el uso de los prefijos binarios bajo el estándar IEEE 1541 publicado en el año 2002 y elevado a estándar de uso completo en el año 2005. Las recomendaciones dadas en la norma IEEE 1541 son: •

•

•

Unidades usadas para hacer referencia a cantidades usadas en la electrónica digital y en la computación: o bit (símbolo b), un dígito binario. o byte (símbolo B), un grupo de bits adyacentes (usualmente, pero no necesariamente, de ocho bits) operados como un grupo. o octeto (símbolo o), un grupo de ocho bits. Nota: octeto es la traducción al término en ingles octet que es el usado por el estándar. Prefijos para indicar los múltiplos binarios de las unidades antedichas: 10 o kibi- (símbolo Ki), 2 = 1.024 20 o mebi- (símbolo Mi), 2 = 1.048.576 30 o gibi- (símbolo Gi), 2 = 1.073.741.824 40 o tebi- (símbolo Ti), 2 = 1.099.511.627.776 50 o pebi- (símbolo Pi), 2 = 1.125.899.906.842.624 60 o exbi- (símbolo Ei), 2 = 1.152.921.504.606.846.976 Los prefijos SI no se usan para indicar múltiplos binaros.

La parte bi del prefijo viene de la palabra binario, por ejemplo, kibibyte significa un kilobinario byte, que es 1024 bytes. Nótese la K en mayúscula para el símbolo "Kibi-": mientras que la letra para el prefijo análogo en el Sistema Internacional kilo- es una k en minúscula, la K en mayúscula ha sido seleccionada para dar consistencia con otros prefijos y con el uso extendido y erróneo del prefijo del SI (como en "KB"). La norma IEEE 1541 está estrechamente relacionado con la Enmienda 2 al Estándar IEC Internacional IEC 60027-2, pero con la diferencia que esta último usa el símbolo bit para el bit. 1.3.2

El Decibel. Unidades de potencia y atenuación

En telecomunicaciones es muy común tener que hablar de potencia de una señal (potencia transmitida o potencia recibida, por ejemplo) y de atenuación de una señal (por ejemplo, saber cuánto se atenúa una señal a lo largo de un enlace). Por lo tanto veamos qué unidades se utilizan en estos casos. Es posible utilizar submúltiplos del watt para medir potencia: miliwatt (mW), microwatt (µW), nanowatt (nW) o picowatt (pW). No hay que olvidarse que estas unidades también pueden expresarse como:

34 Teoría de las telecomunicaciones

Estas unidades pueden resultar un poco incómodas algunas veces ya que los rangos dinámicos que normalmente aparecen en telecomunicaciones suelen ser bastante extensos. Esto significa que dentro de un mismo sistema de comunicaciones puede aparecer una señal con una potencia del orden de los miliwatt en un determinado momento o en un determinado punto de medición, y en otro momento o en otro punto de medición puede aparecer una señal del orden de magnitud de los picowatt. Esto nos obliga, o bien a hablar de miliwatts en un momento y de pico watts en otro momento (es decir, se cambia de unidad), o bien, si se trabaja con watts, nos vemos obligados a usar un número tal como 0.001 watt en un momento y 0.000000000001 watt en otro momento, cosa que resulta engorrosa. Para que la escala no resulte tan extensa y evitar estos inconvenientes se recurre al uso de una escala logarítmica. En este caso, la nueva magnitud se llama decibel y se define como diez veces el logaritmo en base diez de una cierta magnitud:

El símbolo usado para representar la unidad decibel es el dB (incluso es común hablar de “de-be” unidades en lugar de decir decibeles). A partir de esta definición se definen las siguientes unidades:

El dB-watt de la (2) es entonces 10 veces el logaritmo de una potencia expresada en watts (referida a 1 watt de potencia). Esto significa que una señal que tiene una potencia de 1 watt es equivalente a una potencia de 0 dBW. Similarmente se define al dB-miliwatt:

De acuerdo a esta última definición, 0 dBm equivale a 1 miliwatt. O, por ejemplo, 1000 miliwatts equivalen a 30 dBm. Dicho de otro modo, 1 watt también equivale a 30 dBm. En cambio 0.001 watts equivalen a –30 dBW. Dicho de otro modo, 1 miliwatt también equivale a -30 dBW. Se ve entonces que con el uso de esta escala logarítmica las magnitudes tienden a quedar en un entorno más acotado. Si ahora tenemos un sistema de comunicaciones con potencias de 1 miliwatt y de 1 picowatt, entonces estaríamos hablando de potencias de 0 dBm y de -90

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 35 dBm respectivamente (ó –30 dBW y –120 dBW). Mucho menos complejo que escribir 0.001 Watt y 0.000000000001 Watt. La función lineal de transferencia alin de un circuito de dos puertos representa la relación entre la potencia de salida y la potencia de entrada.

La función de transferencia normalmente se especifica en dB:

Si la potencia de salida P2 de un circuito de dos puertos es mayor que la potencia de entrada P1, entonces la relación logarítmica entre P2 y P1 es positiva. Esto se conoce como amplificación o ganancia. Si la potencia de salida P2 de un circuito de dos puertos es menor que la potencia de entrada P1, entonces la relación logarítmica entre P2 y P1 es negativa. Esto se conoce como atenuación o pérdida (se omite el signo menos). Un punto de interés en telecomunicaciones es saber cuánto se atenúa una señal a lo largo de su trayectoria por un canal de comunicación o por un tramo del canal de comunicación. Por ejemplo, si un transmisor envía una señal de 1 mW de potencia y a lo largo del enlace se atenúa 1,000 veces, en el receptor se está recibiendo una señal de 1 µW. En forma general esto puede escribirse como:

Para el caso del párrafo anterior sería:

Como aquí también se presenta el problema del rango dinámico visto anteriormente, cabe aplicar de nuevo la escala logarítmica. Aplicando entonces la definición de decibel a la (4) tenemos:

36 Teoría de las telecomunicaciones Aplicando propiedades de los logaritmos en la (6) se obtiene:

Teniendo en cuenta que la potencia de entrada y la potencia de salida pueden expresarse, por ejemplo, en miliwatts, entonces la (7) se puede reescribir como:

Los dos términos del miembro derecho de la (8) son potencias expresadas en dBm, por lo tanto queda: Es decir que la atenuación expresada en decibeles, se calcula como la resta entre la potencia de entrada y la potencia de salida expresadas en dBm. Los denominadores de la (8) también podrían ser 1 W en lugar de 1 mW. En tal caso la atenuación en decibeles se expresa como la resta entre la potencia de entrada y la de salida expresadas en dBW. De la (9) se puede despejar Potencia de entrada o Potencia de salida, quedando entonces por ejemplo:

Si bien en la (9) ó en la (10) las potencias también pueden estar expresadas en dBW, no se puede mezclar dBm con dBW en la misma ecuación. Nótese además que una resta de magnitudes en dBm (o dBW) curiosamente no da como resultado una magnitud en la misma unidad sino que en decibeles. También se puede ver, según la (10), que es posible restar dB a una magnitud en dBm, obteniéndose como resultado dBm. Debe quedar en claro que las unidades dBm y dBW corresponden a valores absolutos de potencia. Es decir, representan el valor de potencia que existe en un determinado punto de medición de un sistema, como el que se podría obtener utilizando un instrumento para medir potencia. En cambio, la unidad decibel (dB) representa a un valor relativo de potencia. Por ejemplo, decir que la atenuación en un cable coaxil es de 3 dB significa que la potencia al final del cable es 3 dB menos que a la entrada del cable, aunque no se sabe nada de los valores absolutos de potencia en ambos extremos del cable. O sea, podría haber 0 dBm a la entrada y –3 dBm a la salida, o 10 dBW a la entrada y 7 dBW a la salida, etc. Obviamente, conociendo la atenuación y el valor de potencia en uno de los extremos, se puede hallar la potencia en el otro extremo, a partir de la (9) ó la (10). La ventaja que proporciona la escala logarítmica es que las multiplicaciones y divisiones se convierten en sumas y restas, respectivamente. Hay algunos valores típicos expresados en dB, dBm o dBW que se utilizan normalmente. Por ejemplo, una atenuación de 2 veces expresada en decibeles:

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 37

Se puede hablar también por ejemplo de una ganancia de 3 dB, que equivale a una ganancia de 2 veces. Si la expresión (11) se aplica para una ganancia de 10 veces se verá que se obtiene 10 dB. Es decir, 10 veces de ganancia en escala lineal equivale a 10 dB de ganancia en escala logarítmica. Este mismo razonamiento obviamente se aplica a magnitudes en dBm y dBW. Si quisiésemos saber por ejemplo, a cuántos miliwatts equivale una potencia de 13 dBm, sin recurrir a los cálculos matemáticos y en forma rápida, podemos razonar así: 13 dBm es igual a 10 más 3 (dBm). Una suma en escala logarítmica equivale a una multiplicación en la escala lineal. Diez dBm son 10 mW y 3 dBm son 2 mW. Es decir que 10 más 3 (en dBm) equivale a hacer 10 por 2 (en miliwatts), igual a 20 mW. Por lo tanto se concluye que 13 dBm equivale a 20 mW. Con un poco de práctica se puede hacer en forma bastante rápida un pasaje de unidades de este tipo.

1.4 Las señales y sus clasificaciones Una señal es una función de una variable en el tiempo, que conduce la información. Para cada instante de tiempo (variable independiente) existe un valor único de la función (variable dependiente). La función (o señal) puede ser real o compleja, sin embargo el tiempo siempre tendrá un valor real. Podemos encontrar variaciones, o sea señales, de presión, humedad, luz, calor, energía, velocidad, caudal, concentración, etc.. Toda señal lleva consigo (o transporta desde un emisor hasta un receptor) cierta cantidad de información. Para la electrónica una buena aproximación es la hecha por Proakis: "la señal se define como una cantidad física que varia con el tiempo, el espacio o cualquier variable o variables independientes". Así, desde el punto de vista matemático una función es una señal. Por ello, en términos generales, la descripción de una señal se da a través de una función; por ejemplo: f(x) = 4x f(x,y)= 4x + 3y

Habitualmente las señales se ilustran imprimiéndolas sobre un par de ejes perpendiculares. El eje vertical representa el valor, la fuerza o la potencia de la señal, que puede representar Volts, Watts o Amperes. El eje horizontal representa el paso del tiempo generalmente representado en segundos. El método a utilizar para representar la señal depende del tipo de señal. Por lo tanto, podemos distinguir diferentes clases de señales.

38 Teoría de las telecomunicaciones 1.4.1

Señales continuas y discretas

Esta clasificación se puede establecer, después de saber si el eje del tiempo (eje de las abscisas) es discreto o continuo (figura 1.28).

Figura 1.28 Eje del tiempo Las señales de tiempo contínuo son aquellas cuya variable independiente (x) es contínua y, por tanto, está definida para un conjunto continuo de valores de dicha variable. Dicho de otro modo, son aquellas cuya variable independiente pertenece al conjunto de los números reales. Las señales de tiempo discreto poseen solo definición para una sucesión discreta de valores; esto es, su variable independiente pertenece al conjunto de los números enteros y la señal nada mas tendrá valores en los espacios que tienen una separación igual y son creados en el eje del tiempo.

Figura 1.29 Señal continua y discreta 1.4.2

Señales análógicas y digitales

La diferencia entre lo análogo y lo digital es muy similar a la diferencia entre el tiempo continuo y el tiempo discreto. Sin embargo, en este caso, la diferencia es con respecto al valor de la función (eje de las ordenadas). Análogo corresponde al eje (y) continuo,

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 39 mientras lo digital corresponde al eje y discreto. Un ejemplo de una señal digital es una secuencia binaria, donde la función solo tiene valores de cero o uno.

Figura 1.30 Eje de la función Hablamos de una señal analógica en el caso de que los valores que pueda adoptar la señal pertenezca a un conjunto de valores contínuo (y que, en general, puede ser real o complejo). La mayoría de las señales producidas por sistemas puramente físicos son de este tipo. Si el conjunto de valores que adopta la señal pertenece a un conjunto discreto de valores, estaremos en el caso de una discreta o muestreada. La amplitud de la señal puede ser continua o discreta. Una señal discreta con amplitud discreta se llama digital. Este tipo de señales es el de uso más frecuente en los sistemas electrónicos, ya que son las únicas capaces de ser almacenadas en computadoras.

Analógica, Continua

Digital, Continua

40 Teoría de las telecomunicaciones

Digital, Discreta Analógica, Discreta Figura 1.31 Ejemplos de señales 1.4.3

Señal periódicas y aperiódicas

Una señal es periódica si completa un patrón dentro de un marco de tiempo medible, denominado periodo, y repite ese patrón en periodos idénticos subsecuentes. Cuando se completa un patrón completo, se dice que se ha completado un ciclo. El periodo se define como la cantidad de tiempo (expresado en segundos) necesarios para completar un ciclo completo. La duración de un periodo, representado por T, puede ser diferente para cada señal, pero es constante para una determinada señal periódica. Las señales reguladas por las funciones trigonométricas son de este tipo. En cada instante de tiempo se puede establecer el valor de la señal y su magnitud, la señal se repite cada 360 grados o cada 2π radianes. Tales señales tienen tres características básicas que son: Amplitud, Período y Fase. Tal como se muestra en la gráfica de la figura siguiente: La Amplitud es la máxima altura de la onda y por lo general se mide en voltios, aunque dependiendo de la magnitud también se puede medir en Ampers o Watts. La Fase es el atraso o adelanto de la señal y se mide en grados o radianes. El Período es la duración en segundos para que se ejecute un ciclo de la señal. Una onda seno (como la de la figura 1.32) es la señal periódica más sencilla.

Figura 1.32 Onda seno, señal periódica

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 41 Podemos definir una función periódica mediante la siguiente expresión matemática, donde t puede ser cualquier número y T es una constante positiva: f(t) =f(T+t) El periodo fundamental de esta función, f(t) , es el valor más pequeño de T que permita la validación de la ecuación anterior. Obviamente, se demuestra que si existe ese valor, la condición matemática también se verifica para 2T, 3T.

Figura 1.33 Una señal periódica con periodo T0 Una señal aperiódica, o no periódica, cambia constantemente sin exhibir ningún patrón o ciclo que se repita en el tiempo. Sin embargo, se ha demostrado mediante una técnica denominada transformada de Fourier, que cualquier señal aperiódica puede ser descompuesta en un número infinito de señales periódicas. Comprender las características de una señal periódica proporciona, además, conocimientos sobre las señales aperiódicas.

Figura 1.34 Una señal aperiódica 1.4.4

Señales determinísticas y aleatorias

Una señal determinística es una señal en la cual cada valor está fijo y puede ser determinado por una expresión matemática, regla, o tabla. Los valores futuros de esta señal pueden ser calculados usando sus valores anteriores teniendo una confianza completa en los resultados. Una señal aleatoria, tiene mucha fluctuación respecto a su comportamiento. Los valores futuros de una señal aleatoria no se pueden predecir con exactitud, solo se pueden basar en los promedios de conjuntos de señales con características similares.

42 Teoría de las telecomunicaciones

Figura 1.35 Señal determinística

Figura 1.36 Señal aleatoria 1.4.5

Señales causales, anticausales y no causales

Las señales causales son señales que tienen valor de cero en el tiempo negativo, y las señales anticausales tienen valor cero en el tiempo positivo. Las señales nocausales son señales con valor de cero en el tiempo positivo y negativo (figura 1.37).

Figura 1.37 Señal causal, anticausal y no causal 1.4.6

Señales par e impar

Una señal par es cualquier señal f(t) que satisface f(t) =f(−t) . Las señales pares se pueden detectar fácilmente por que son simétricas en el eje vertical. Una señal impar, es una señal f que qie su reflexión produce una señal invertida de la original y que satisface f(t) =−(f(−t) ) (figura 1.38).

Figura 1.38 Señal par e impar

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 43 Cualquier señal puede ser expresada como una suma de dos señales, una de las cuales es par y la otra impar: f(t) = fpar(t) + fimpar(t) donde fpar(t) = 0.5 {f (t) +f (-t)} fimpar(t) = 0.5 {f (t) - f (-t)} 1.4.7

Señales hemisferio derecho y hemisferio izquierdo

Este tipo de señales son aquellas cuyo valor es cero entre una variable definida y la infinidad positiva o negativa. Matemáticamente hablando, una señal de hemisferio-derecho es definida como cualquier señal donde f(t) = 0 para t < t1 < ∞. Una señal de hemisferio-izquierdo es definida como cualquier señal donde f(t) = 0 para t > t1 > −∞. Las siguientes figuras son un ejemplo de esto. Las dos figuras “empiezan” en t1 y luego se extienden a infinidad positiva o negativa con casi todos los valores siendo cero.

Figura 1.39 Señales Hemisfero-Derecho e Hemisferio-Izquierdo 1.4.8

La onda seno

La onda seno es la forma más fundamental de una señal continua, analógica y periódica. Visualizada como una única curva oscilante, su cambio a lo largo del curso de un ciclo es suave y consistente, un flujo continuo. La figura 1.40 muestra una onda seno. Cada ciclo está formado por un único arco sobre el eje del tiempo seguido por un único arco por debajo de él. Las ondas seno se pueden describir completamente mediante tres características: amplitud, periodo (o su inverso frecuencia) y fase.

44 Teoría de las telecomunicaciones

Figura 1.40 Una onda seno 1.4.8.1 Amplitud La amplitud de una señal en un gráfico es el valor de la señal en cualquier punto de la onda. Es igual a la distancia vertical desde cualquier punto de la onda hasta el eje horizontal. La máxima amplitud de una onda seno es igual al valor más alto que puede alcanzar sobre el eje vertical (véase la figura 1.31). La amplitud se mide en voltios, amperios o watts, dependiendo del tipo de señal. Los voltios indican el voltaje, los amperios indican la corriente eléctrica y los watts indican la potencia.

Figura 1.41 Amplitud de onda senosoidal 1.4.8.2 Periodo y frecuencia El periodo se refiere a la cantidad de tiempo, en segundos, que necesita una señal para completar un ciclo. La frecuencia indica el número de periodos en un segundo. La frecuencia de una señal es su número de ciclos por segundo. La figura 1.42 muestra los conceptos de periodo y frecuencia.

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 45

Figura 1.42 Período y frecuencia de una onda senoidal Unidad de período. El periodo se expresa en segundos. La industria de la comunicación usa cinco unidades para medir el periodo: segundo (s), milisegundo (ms = 10-3 s), microsegundo (μs= 10-6 s), nanosegundo (ns = 10-9 s) y picosegundo (ps = 10-12 s). Véase la figura 1.43. Unidad

Equivalente

Segundos Milisegundos (ms) Microsegundos (μs) Nanosegundos (ns)

1s 10-3 s 10-6 s 10-9 s

Picosegundos (ps)

10-12 s

Figura 1.43 Unidades de periodo Ejemplo 4.1 Muestre el valor de 100 milisegundos en segundos, microsegundos, nanosegundos y picosegundos. Solución Se usan las potencias de 10 para encontrar la unidad apropiada. Se sustituyen 10-3 segundos con milisegundos, 10-6 segundos con microsegundos, 10-9 segundos con nanosegundos y 10-12 segundos con picosegundos. 100 milisegundos = 100 x 10-3 segundos = 0.1 segundo 100 milisegundos = 100 x 10-3 segundos = 100 x 103 x 10-6 segundos = 105 μs 100 milisegundos = 100 x 10-3 segundos = 100 x 106 x 10-9 segundos = 108 ns 100 milisegundos = 100 x 10-3 segundos = 100 x 109 x 10-12 segundos = 1011 ps

46 Teoría de las telecomunicaciones Unidades de frecuencia. La frecuencia se expresa en hertz (Hz), en honor al físico alemán Heinrich Rudolf Hertz. La industria de la comunicación usa cinco unidades para medir la frecuencia: hertz (Hz), kilohertz (KHz = 103 Hz), megahertz (MHz = 106 Hz), gigahertz (GHz = 109 Hz) y terahertz (THz = 1012 Hz). Véase la figura 1.35. Unidad Hertz (Hz) Kilohertz (KHz) Megahertz (MHz) Gigahertz (GHz) Terahertz (THz)

Equivalente 1Hz 103Hz 106 Hz 109 Hz 1012 Hz

Figura 1.44 Unidades de frecuencia Ejemplo 4.2 Convertir 14 MHz a Hz, KHz, GHz y THz.

Solución Se usan las potencias de 10 para encontrar la unidad apropiada. Se reemplazan 103 Hz con KHz, 106 Hz con MHz, 109 Hz con GHz y 1012 Hz con THz. 14 MHz = 14x l0 6 Hz 14 MHz = 14 x 106 Hz = 14 x 103 x 103 Hz = 14 x 103 KHz 14 MHz = 14 x 106 Hz = 14 x 10 3 x 109 Hz = 14 x 10-3 GHz 14 MHz = 14 x 10 6 Hz=14x 1 0 6 x 10 1 2 Hz=14x 10-6THz Conversión de frecuencia a periodo y viceversa. Matemáticamente, la relación entre frecuencia y periodo es que cada una de ellas es la inversa multiplicativa de la otra. Si se da una, se puede derivar inmediatamente la otra. Frecuencia = 1 / Periodo Período = 1 / Frecuencia Ejemplo 4.3 Una onda seno tiene una frecuencia de 6 Hz. ¿Cuál es su periodo? Solución Supongamos que T es el periodo y f es la frecuencia. Entonces, T = 1 / f = 1/6 = 0.17 segundos Ejemplo 4.4 Una onda seno tiene una frecuencia de 8 KHz. ¿Cuál es su periodo? Solución Supongamos que T es el periodo y f es la frecuencia. Entonces, T = 1 / f = 1/8.000 = 0.000125 segundos = 125 x 106 segundos = 125 μs

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 47

Ejemplo 4.5 Una onda seno completa un ciclo en 4 segundos. ¿Cuál es su frecuencia? Solución Supongamos que T es el periodo y f la frecuencia. Entonces, f = 1/T= 1/4 = 0.25 Hz Ejemplo 4.6 Una onda seno completa un ciclo en 25 μs. ¿Cuál es su frecuencia? Solución Supongamos que T es el período y f es la frecuencia. Entonces, f = 1/T = 1/(25 x 10-6) = 40,000 Hz = 40 x 103 Hz = 40 KHz 1.4.8.3 Más sobre la frecuencia Ya se sabe que la frecuencia es la relación de una señal con el tiempo y que la frecuencia de una onda es el número de ciclos que completa por segundo. Pero otra forma de mirar la frecuencia es usarla como una medida de la velocidad de cambio. Las señales electromagnéticas son formas de onda oscilatoria; es decir, señales que fluctúan de forma continua y predecible por encima y por debajo de un nivel de energía medio. La velocidad a la que se mueve una onda seno desde su nivel más bajo a su nivel más alto es su frecuencia. Una señal de 40 Hz tiene la mitad de frecuencia que una señal de 80 Hz; es decir, completa un ciclo en el doble de tiempo que la señal de 80 Hz, por lo que cada ciclo tarda el doble de tiempo para ir de su nivel de voltaje mínimo al máximo. Por tanto, la frecuencia, aunque descrita en ciclos por segundo (Hz), es una medida general de la velocidad de cambio de una señal con respecto al tiempo. Dos extremos. ¿Qué ocurre si una señal no cambia en absoluto? ¿Qué pasa si mantiene un nivel de voltaje constante durante todo su tiempo de actividad? En ese caso, su frecuencia es 0. Conceptualmente, esta idea es sencilla. Si una señal no cambia en absoluto, nunca completa un ciclo, por tanto su frecuencia es 0 Hz. Pero ¿qué pasa si una señal cambia instantáneamente? ¿Qué pasa si salta de un nivel a otro instantáneamente? En ese caso, su frecuencia es infinita. En otras palabras, cuando una señal cambia instantáneamente, su periodo es 0; puesto que la frecuencia es el inverso del periodo, entonces, en este caso, la frecuencia es 1/0, o infinito. Si una señal no cambia en absoluto, su frecuencia es 0. Si una señal cambia instantáneamente, su frecuencia es infinita. 1.4.8.4 Fase El término fase describe la posición de la onda relativa al instante de tiempo 0. Si se piensa en la onda como algo que se puede desplazar hacia delante o hacia atrás a lo largo del eje

48 Teoría de las telecomunicaciones del tiempo, la fase describe la magnitud de ese desplazamiento. Indica el estado del primer ciclo. La fase se mide en grados o radianes (360 grados son 2 π radianes). Un desplazamiento de fase de 360 grados corresponde a un desplazamiento de un periodo completo; un desplazamiento de fase de 180 grados corresponde a un desplazamiento de la mitad del periodo; un desplazamiento de fase de 90 grados corresponde a un desplazamiento de un cuarto de periodo (véase la figura 1.36).

Figura 1.45 Relación entre distintas fases Ejemplo 4.7 Una onda seno está desplazada 1/6 de ciclo respecto al tiempo 0. ¿Cuál es su fase? Solución Sabemos que un ciclo completo son 360 grados. Por tanto, 1/6 de ciclo es 1/6 x 360 = 60 grados Una comparación visual de la amplitud, frecuencia y fase proporciona una referencia útil para comprender sus funciones. Se pueden introducir cambios en los tres atributos de la señal y controlarlos electrónicamente. Este control proporciona la base para todas las telecomunicaciones y se trata en el Capítulo 2 (véanse las figuras 1.46, 1.47 y 1.48).

Figura 1.46 Cambio de Amplitud

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 49

Figura 1.47 Cambio de Frecuencia

Figura 1.48 Cambio de Fase

1.5 Representación de las señales en el dominio del tiempo y la frecuencia 1.5.1

Gráfica en el dominio del tiempo

Una onda seno queda completamente definida mediante su amplitud, frecuencia y fase. Hasta ahora se ha estado mostrando la onda seno mediante lo que se llama una gráfica en el dominio del tiempo. La gráfica en el dominio del tiempo muestra los cambios de la amplitud de la señal con respecto al tiempo (es una gráfica de la amplitud en función del tiempo). La fase y la frecuencia no se miden explícitamente en una gráfica en el dominio del tiempo.

Figura 1.49 Dominio del tiempo y la frecuencia

50 Teoría de las telecomunicaciones 1.5.2

Gráfica en el dominio de la frecuencia

Para mostrar la relación entre amplitud y frecuencia, se puede usar lo que se denomina una gráfica en el dominio de la frecuencia. La figura 1.49 compara el dominio en el tiempo (amplitud instantánea con respecto al tiempo) y el dominio de la frecuencia (máxima amplitud con respecto a la frecuencia). La figura 1.49 muestra ejemplos de las gráficas en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia de tres señales con frecuencias y amplitudes variables. Compare los modelos en cada par para ver qué tipo de información se adapta mejor a cada gráfica. Una señal de baja frecuencia en el dominio de la frecuencia se corresponde a una señal con un periodo largo en el dominio del tiempo y viceversa. Una señal que cambia rápidamente en el dominio del tiempo se corresponde con frecuencias altas en el dominio de la frecuencia. 1.5.3

Señales compuestas

Hasta ahora, hemos centrado nuestra atención sobre señales periódicas simples (ondas seno). Pero ¿qué ocurre con las señales periódicas que no son ondas seno? Hay muchas formas de onda útiles que no cambian de forma suave en una única curva entre una amplitud máxima y mínima; en lugar de eso saltan, se desplazan, se bambolean, tienen picos y presentan depresiones. Pero siempre que las irregularidades sean consistentes para cada ciclo, una señal sigue siendo periódica y lógicamente debe ser describible en los mismos términos que los usados para las ondas seno. De hecho, se puede demostrar que cualquier señal periódica, sin importar su complejidad, se puede descomponer en una colección de ondas seno, cada una de las cuales tiene una amplitud, frecuencia y fase que se puede medir. Para descomponer una señal compuesta en sus componentes, hay que realizar un análisis de Fourier (tratado en el punto 1.6). Sin embargo, el concepto de esta descomposición se puede ver fácilmente con un ejemplo sencillo. La Figura 1.50 muestra una señal periódica descompuesta en dos ondas seno. La primera onda seno (gráfica central) tiene una frecuencia 6 mientras que la segunda onda seno tiene una frecuencia 0. Sumando ambas ondas punto por punto se obtiene como resultado la gráfica de la parte superior de la figura. Observe que la señal original se parece a una onda seno que tiene el eje de tiempo desplazado hacia abajo. La amplitud media de esta señal no es 0. Este factor indica la presencia de un componente de frecuencia 0, denominado componente de corriente continua (DC, Direct Current). Este componente DC es responsable del desplazamiento hacia arriba en diez unidades de la onda seno. En contraste con el gráfico del dominio del tiempo, que ilustra una señal compuesta con una única entidad, la gráfica de dominio de frecuencia muestra la señal compuesta como una serie de frecuencias compuestas. En lugar de mostrar el impacto de cada componente en los otros, muestra la señal como un conjunto de frecuencias independientes. Aunque la gráfica del dominio del tiempo es más útil para comprender el impacto de ambas señales entre sí, las barras verticales en una gráfica del dominio de frecuencia dan una visión más concisa de las frecuencias relativas y de las amplitudes de las ondas seno compuestas.

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 51

Figura 1.50 Señal con componente DC La Figura 1.51 muestra una señal compuesta descompuesta en cuatro componentes. Esta señal es muy parecida a una señal digital. Para una señal digital exacta, se necesita un número infinito de señales armónicas impares (f, 3f, 5f, 7f, 9f,...), cada una de las cuales tiene una amplitud distinta. También se muestran en la figura las gráficas en el dominio de la frecuencia.

Figura 1.51 Forma de onda compuesta

52 Teoría de las telecomunicaciones Cualquier onda períodica bien definida se puede representar como una serie de ondas seno o coseno, o ambas, cuyas frecuencias son múltiplos de su frecuencia fundamental mas (algunas veces) una componente directa (DC). A esta serie se le conoce como Serie de Fourier. Este hecho lo descubrió el Joseph Fourier, un matemático francés, mientras investigaba la conducción del calor. No todas las señales que se usan en comunicaciones son rigurosamente periódicas, pero son lo suficiente para cuestiones prácticas.

1.6 El análisis de Fourier: Una herramienta matemática para el estudio de señales y sistemas. Las transformadas son herramientas matemáticas que permiten mover información del dominio del tiempo a un dominio de la frecuencia y viceversa. Existen una gran cantidad de transformadas. Las transformadas pueden ser categorizadas basicamente en transformadas contínuas, transformadas de serie y transformadas discretas. El concepto de transformada no deja de ser un truco matemático como para hacernos más sencillas las operaciones. Lo que se busca es una analogía biyectiva (que a un elemento de un cojunto corresponde un solo elemento de un segundo conjunto y viceversa) entre nuestro problema y otro problema isomorfo (que tiene la misma forma) pero con operaciones más sencillas. Ej: si tenemos unas tablas de logaritmos, y sabemos que:

Se ha transformado una raíz cuadrada en una división, de la misma manera que por logaritmos podemos transformar productos en sumas, divisiones en restas, potencias en productos y raices en divisiones. El concepto de transformadas es similar. Gracias a una serie de Fourier podemos transformar cualquier función periódica es una serie finita de señales armónicas (mucho más fácilmente de tratar matemáticamente) y cualquier función, sea o no sea periódica, mediante la transformada de Fourier podemos convertirla en una serie infinita de funciones armónicas, con la facilidad que nos dan las matemáticas para tratar señales sinusoidales y exponenciales. De las transformadas de Fourier nacen precisamente las transformadas de Laplace o la transformada z, que por ejemplo nos permiten hacer la analogía entre una ecuación diferencial o una ecuación de diferencias por una ecuación algebraica mucho más sencilla de resolver. Resumiendo, la transformada de Fourier nos permite simplificar señales de la vida real que son complicadas en señales que podemos tratar matemáticamente Las transformadas contínuas son aplicables a señales contínuas en el tiempo y frecuencia. Si una señal contínua en el tiempo posee solo ciertos componentes frecuenciales, entonces puede decirse que la señal posee espectro discreto. En este caso, la transformada continua se reduce a una transformada en serie. Así las transformadas en serie son un caso especial de transformadas continuas en el tiempo, con componentes frecuenciales discretos.

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 53 Las transformadas discretas son aplicables a señales que son discretas en el tiempo y en las frecuencias, tal como son las que aparecen en los sistemas digitales. La transformada de Fourier es un caso especial de la transformada de Laplace. Es una operación matemática que mapea una función en el dominio del tiempo a una función del dominio de la frecuencia. La transformada inversa de Fourier mapea una función del dominio de la frecuencia a una función del dominio del tiempo. FFT se refiere a la transformada rápida de Fourier (Fast Fourier Transform) la cual consta de una colección de algoritmos que explotan la simetría y periodicidad de los coeficientes para acelerar el cálculo de la Transformación. ¿Por qué utilizar representaciones en frecuencia, cuando se puede representar cualquier señal como función del tiempo? Los métodos de respuesta en frecuencias describen como se representan las diferentes frecuencias que componen una señal o sea el espectro de la señal. En la imagen 1.52 tenemos el arco iris. En el arco iris, la luz blanca del sol (compuesta de diferentes colores o partes del espectro) se descompone mostrando partes de su espectro. En este caso, la atmósfera actúa como filtro que trata las diferentes partes del espectro de la luz (las diferentes frecuencias de la luz) de diferentes maneras. Para el arco iris, las diferentes partes del espectro de la luz (diferentes colores) se dispersan tan pronto ingresan en la atmósfera. En muchos circuitos y sistemas eléctricos, las diferentes pares del espectro de la señal se tratan en forma diferente.

1.52 El arcoiris Tratar diferente las diferentes partes de espectro electromagnético significa que se puede analizar por separado diferentes señales de radio, televisión y telefonía celular. Esta es razón suficiente para aprender métodos de representación de frecuencias. En un sistema lineal, los métodos de frecuencia pueden ser más fácil de usar, y proporcionan una mejor visión del interior que no se lograría con otros métodos.

54 Teoría de las telecomunicaciones 1.6.1

Las Series de Fourier

Hace algún tiempo, Fourier, demostró que cualquier señal periódica se puede representar como una composición de ondas seno. Veamos una onda periódica. Esta es la gráfica de una señal que se repite cada segundo.

Claramente se ve que esta señal no es senoidal y pareciera que no tiene ninguna relación con las señales seno. Sin embardo Fourer demostró que una señal periódica siempre se puede representar como una suma de senoidales (senos y cosenos, o senos desfasados). En su honor, a esta representación se le llama ahora Series de Fourier. Fourier no solo mostró que es posible representar una señal periódica mediante senoidales sino que además mostró el método para hacerlo. Asumiendo que la señal se repite cada T segundos, se puede describir como una suma de senoidales. Fourier proporcionó la manera explícita de obtener los coeficientes en una Serie de Fourier. Primero veamos como se puede construir una señal a partir de una suma de senoidales.

¿Es esta señal anterior una suma de senoides? Empezaremos a examinar la pregunta empezando con un señal seno simple. Esta es una señal seno simple.

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 55

La expresión para esta señal es: Sig(t) = 1 * sin(2πt/T) y T = 1 segundo. Ahora, le vamos a sumar otra senoidal a la señal seno original. La senoidal que le sumamos será el triple de la frecuencia original y será un tercio de la amplitud original. Sig(t) = 1 * sin(2πt/T) + (1/3) * sin(6πt/T)

Ahora se ve algo diferente. Si agregamos una nueva señal seno de 5 veces la frecuencia original y de un quinto de la amplitud orginal, se tenemos: Sig(t) = 1 * sin(2πt/T) + (1/3) * sin(6πt/T) + (1/5) * sin(10πt/T)

56 Teoría de las telecomunicaciones

Solo se está añadiendo los términos impares múltiplos de la frecuencia original Así se ve la señal después de anexar la décima primera componente.

Es señal está cerca de ser una onda cuadrada. Sigamos agregando términos y veamos lo que sucede. Esta es la señal después de anexar 49 componentes.

En este punto parece que el proceso nos dá una señal que es cada vez mas cercana a la señal de onda cuadrada. Sin embargo, parece que aún le falta un poco para ser una onda cuadrada perfecta. Agreguemos más términos para ver que sucede. Aquí tenemos la señal con los términos impares hasta la componente 79. Ahora vemos claramente una señal cuadrada con amplitud poco menor a 0.8. La forma en la que hemos construido esta señal es mediante el uso de los resultados de Fourier. Conocemos la fórmula para la serie que converge a una onda cuadrada.

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 57

Para una representación mas exacta se requiere que el número de términos aumente y tienda a infinito. Esta es la fórmula.

A continuación se presenta el uso de un simulador interactivo para experimentación. Permite controlar el número de términos de la sumatoria de la fórmula anterior. También se puede controlar la frecuencia de la primera componente. Para ejecutar, ir a la siguiente dirección: http://www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/eLessonsHTML/Freq/Freq4.html Ejercicio 1: En el simulador mencionado, hacer lo siguiente: • • • • •

Iniciar con un solo término (Input # Terms in Series) y graficar la respuesta haciendo click dos veces en el botón “Click to start”. Un solo término debe mostrar una onda seno con una amplitud de 1.0. Incrementar el número de términos para incluir el tercer armónico (dos términos), el quinto armónico (3 términos), etc. ¿Se incrementa o decrementa el valor pico conforme se incrementa el número de términos? Determinar si se puede llevar la serie a punto donde la aproximación sea casi el 5% de la onda cuadrada ideal. Cuando la serie parezca que ha convergido, determinar el valor de la amplitud de la onda cuadrada. Comparar con la onda senoidal inicial del primer paso.

58 Teoría de las telecomunicaciones

En este otro caso la función que se simula está dada por la suma siguiente:

Esta es una muestra del simulador. Para experimentar con él, ir nuevamente a la dirección: http://www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/eLessonsHTML/Freq/Freq4.html Ejercicio 2: En el simulador mencionado, hacer lo siguiente: • • •

Iniciar con un solo término y graficar la respuesta. Un solo término debe mostrar una onda seno con una amplitud de 1.0. Incrementar el número de términos para incluir el tercer armónico (dos términos), el quinto armónico (3 términos), etc. ¿Se aproxima la función a una onda cuadrada?

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 59

1.6.2

Cálculo de los coeficientes

La mayoría de las señales periódicas se pueden representar mediante series de senos y cosenos. Aún señales discontinuas (como la función de onda cuadrada o la de diente se sierra de las dos simulaciones previas) no son problemas insuperables. Considerando que las funciones se pueden imaginar como una composición de senos y cosenos a diferentes frecuencia, y considerando que algunos sistemas lineales procesan señales senoidales en forma dependiente de la frecuencia,.significa que la respuesta de un sistema con una entrada periódica se puede predecir utilizando métodos de respuesta en frecuencia. Muchos tipos de señales se analizan utilizando conceptos de componentes en frecuencia. Se ha desarollados técnicas computacionales especiales (en particular la FFT o Fast Fourier Transform) para calcular rápidamente las frecuencias componentes de varias señales. Las señales que se han analizado incluyen señales de sonidos en terremotos, vibraciones de puentes bajo cargas dinámicas (así como las vibraciones en diferentes estructuras desde edificios altos hasta vibraciones de aviones) y señales de comunicaciones (incluyendo las señales mismas así como el ruido que interfiere con las señales). Ahora veamos el cálculo de las frecuencias componentes. En general, una señal periódica se puede representar como una suma de sino y cosenos. También las señales periódicas que tienen una media diferente de cero pueden tener una señal componente constante. Al final

60 Teoría de las telecomunicaciones las series se convierten en algo como la siguiente. Estas series se pueden usar para representar muchas funciones periódicas. La función f(t) se asume que es periódica.

Para generar la señal se necesita saber los coeficientes, an y bn. Para calcular los coeficientes aprovechamos algunas de las propiedades de las señas senoidales. EL punto inicial es integrar un producto de f(t) con uno de los componentes senoidales como se muestran a continuación.

Ahora, si asumimos que la función f(t), se puede representar por la serie mencionada anteriormente, podemos sustituir f(t) con la serie en la integral.

Tomar en cuenta que: f = 1/T ωo = 2πf Entonces, cuando se efectúe la integral, se puede usar algunas de las propiedades de las funciones senoidales. En todos los casos, la integral se realiza para exactamente un período de la señal periódica f(t).

Así, al integrar la función f(t), multiplicado por cualquier función seno o coseno, casi todo resulta ser cero. Solamente no se vuelve cero cuando n y m son iguales.

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 61

Efectuando todo los mencionados, concluimos:

Los cual nos da la forma de calcular cualquier valor de b en la Serie de Fourier. En este punto tenemos la mitad del problema resuelto porque ya pudimos calcular los coeficientes b, pero todavía necesitamos calcular el coeficiente a. Sin embargo, para calcularlo hacemos lo mismo que hicimos para b, y al final obtenemos las siguientes expresiones para los coeficientes.

estas expresiones son válidas para valores de n > 0 y m > 0. El único coeficiente no cubierto es ao, el cual está dato por:

Así que ya tenemos una forma de encontrar los coeficientes en una Serie de Fourier. Ahora aplicaremos lo aprendido en un ejemplo: Ejercicio 3. Pulso repetitivo. Calcularemos la Serie de Fourier de un pulso general que se repite. La secuencia del pulso se muestra a continuación. La señal de pulso varía entre cero y un volt.

62 Teoría de las telecomunicaciones

Ahora, para evaluar los coeficientes, hacemos la integral mencionada previamente. Entonces tenemos lo siguiente:

ó an = 2Asin(nωoTp)/(nTωo) an = Asin(nωoTp)/(nπ)

igualmente

ó bn = 2A[-cos(nωoTp) + 1]/(nTωo) bn = A[-cos(nωoTp) + 1]/(nπ) y ao = (Tp/T) Ahora calculamos algunos de los coeficientes para un caso en particular. Examinaremos la situación cuando el pulso está en nivel alto para un cuarto del período, por ejemplo, cuando Tp = T/4. En estas condiciones tenemos: nωoTp = (n2π/T)Tp = nπ/2

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 63 Nótese que los coeficientes a (los cosenos) serán cero para valores de b pares, mientras que b (los senos) serán cero para cada cuarto valor de n. Los coeficientes calculados se muestran en la tabla siguiente. Para esta tabla, asumimos un período de 4 segundos. n

an

bn

0

.25

-

1

.31831

.31831

2

0

.31831

3

-.10610

.10610

4

0

0

5

.06366

.06366

6

0

.10610

7

-.04547

.04547

8

0

0

9

.03537

.03537

10

0

.06366

Ahora podemos verificar si estos coeficientes producen un pulso ejecutando el simulador en la dirección: http://www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/eLessonsHTML/Freq/Freq4.html. El simulador ha sido pre-cargado con los coeficientes calculados arriba para producir el pulso. Sin embargo, como sólo se está usando hasta la décima armónica, no se obtiene una representación exacta. Esta es una muestra del simulador.

64 Teoría de las telecomunicaciones

Ejecutar el simulador para verificar que tan cerca estamos y efectuar lo que sigue:

Problemas: Con base al simulador, efectúa lo siguiente: • •

Si a la forma de onda con 10 armónicas se le anexan más armónicos, ¿Se obtendrá el pulso del cual partimos? Determinar al valor promedio (La componente DC) de la señal.

Ejemplo 4 Ahora calculemos la Serie de Fourier para una onda triangular como la que se muestra a continuación.

Para calcular los coeficientes necesitamos hacer las integrales que se indicaron previamente. Sin embargo, sabemos algunos detalles acerca de esta función. •

La función triangular es par. En otras palabras, si T(f) es la señal triangular descrita previamente. T(t) = T(-t).

• •

Debido a que la función es par, no habrá componentes impares en el desarrollo de la serie de Fourier. En otras palabras, no hay términos senoidales dado que sin(x) = sin(x), porque la función seno es impar. La función triangular mencionada tiene simetría impar alrededor del cuarto período. En otras palabra, si se mira la onda como si estuviera centrada en t = T/4, se encontrará simetría impar. Las funciones coseno armónicas pares tienen simetría par alrededor de este punto. (Como la segunda armónica coseno, la cuarta armónica coseno, etc.). En esta figura, se puede ver la onda triangular, una segunda armónica

Capítulo 1 Introducción a las telecomunicaciones 65 de onda coseno y el producto de las dos. El producto de una señal armónica coseno par y esta señal triangular no tiene ningún área neta en un período, o par en medio período.

•

•

•

La conclusión a la que podemos llegar es que no tendrá términos coseno en las armónicas par. Como no hay términos seno, significa que la Serie de Fourier entera está compuesta de solo las armónicas impares cosenos. Así que sólo necesitamos calcular esos términos. Haciendo el cálculo, notamos que sólo necesitamos hacer el cálculo para la mitad de un período y duplicar el resultado.

El resultado es: bk = 8A/(π2k2) siempre que k sea impar bk = 0 para valores pares de k.

Puedes revisar un problema de ejemplo de estos cálculos en la dirección: http://www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/eLessonsHTML/Problems/Freq/Interactive/Freq 4P00Int.htm#TriangleSignal