Taylor.docx

3.5 Incertidumbres independientes en una suma Las reglas presentadas hasta ahora pueden resumirse rápidamente: cuando se miden cantidades se suman o restan, las incertidumbres se agregan, cuando las cantidades medidas son Multiplicado o dividido, las incertidumbres fraccionarias suman. En esta y en la siguiente sección, Discuto cómo, bajo ciertas condiciones, las incertidumbres calculadas usando estos Las reglas pueden ser innecesariamente grandes. Específicamente, verá que si el uncer original las manchas son independientes y aleatorias, una estimación más realista (y más pequeña) de la La incertidumbre final viene dada por reglas similares en las que las incertidumbres (o fracciones incertidumbres) se agregan en cuadratura (un procedimiento definido en breve). Consideremos primero el cálculo de la suma, q x + y, de dos números x y y que han sido medidos en la forma estándar (valor medido de x) = Xbest ± ÕX,

Para ver por qué es probable que esta fórmula sobreestime Õq. consideremos cómo el el valor real de q podría cqual el extremo más alto (3.12). Obviamente, esto ocurre si hemos subestimado x por la cantidad total y e subestimado por la cantidad total Y, obviamente, un evento bastante inoportuno. Si xey son medidos independientemente y nuestra los errores son de naturaleza aleatoria, tenemos un 50% de probabilidad de que una subestimación de x sea Acompañado por una sobrestimación de, o viceversa. Claramente, entonces, la probabilidad subestimaremos tanto x como y por las cantidades completas r y 6y es bastante pequeño. Antes, el valor öq & + sobrestima nuestro error probable. ¿Qué constituye un belic estilliate de & j? El aiiswei depende de lo que entendemos por incertidumbres (es decir, qué entendemos por la afirmación de que q es "probable bly "snmewhere entre - tSq y q + & i). También depende de la estadística. Leyes que rigen nuestros errores en la medida. El capítulo 5 discute lo normal, o Gauss, distribución, que describe medidas sujetas a incertidumbres aleatorias. Muestra que si las mediciones de x e y se realizan de forma independiente y son ambas gobernado por la distribución normal, entonces la incertidumbre en q = x + y está dada por

uando combinamos dos números al cuadrarlos, agregando los cuadrados, y tomando la raíz cuadrada, como en (3.13), se dice que los números se agregan jn en cuadratura. Por lo tanto, la regla incorporada en (3.13) se puede establecer como sigue: Si las mediciones de X e Y son independientes y están sujetas solo a incertidumbres aleatorias, entonces el inconsciente La precisión de 6q en el valor calculado de q = X + y es la suma en cuadratura o cuadrática suma de las incertidumbres y y (5V. Compaie the new expiessioii (3.13) fui hic uliucitainty ill q - + y con oui antigua expresión óq Sq = Sx + Sy (3.14) Primero, la nueva expresión (3.13) siempre es más pequeña que la antigua (3.14), como podemos ver de un simpleargento geométrico: para dos números positivos a y b, el los números a, b, y Ja2 + b2 son los tres lados de un triángulo rectángulo (Figura

3.2). Debido a que la longitud de cualquier lado de un triángulo es siempre menor que la suma de los

Figura 3.2. Porque cualquier lado de un Iriangie es menor que la suma del otro En ambos lados, la desigualdad tite ga2 + b2 a + h siempre es verdadera. otros dos lados, se deduce que + b2 <. a + b y por lo tanto thai (3.13) siempre es menos de (3.14). Porque la expresión (3.13) para la incertidumbre en q = x + y es siempre menor

(3.14), siempre debe usar usc (3.13) cuando sea aplicable. Lis, sin embargo, 1101 siempre aplicable. Expresión (3.13) rcflccts la posibilidad de que una sobreestimación de x puede ser compensado por una subestimación de y o viceversa, pero hay mediciones Por lo que esta cancelación no es posible. Supongamos, por ejemplo, que q q = X + y es la suma de dos Longitudes x y y mea Surcd con la misma cinta de acero. Supongamos además que la fuente principal de incertidumbre Es nuestro temor que la cinta haya sido diseñada para usarse a una temperatura diferente de la temperatura actual Si no sabemos esta temperatura (y no tenemos un confiable cinta para comparar), debemos reconocer que nuestra cinta puede ser más larga o más corta de su longitud calibrada y, por lo tanto, puede dar lecturas por debajo o por encima de la correcta longitud. Esta incertidumbre puede ser fácilmente admitida.4 El punto, sin embargo, es que si la cinta es demasiado larga, entonces subestimamos tanto x como y; y si la cinta es muy corta, sobrestimamos los forúnculos xey. Por lo tanto, no hay posibilidad de que los cánceres que justificado utilizando la suma en cuadratura para calcular la incertidumbre en q = x + y. Más adelante (en el Capítulo 9) demostraré que nuestros errores son independientes o no. y aleatorio, (la incertidumbre en q = X + y ciertamente no es mayor que la suma simple Y. Yo 6y: Fig Fix + tSy. (315) Esa es nuestra antigua expresión (3.14) para & j en realidad es un límite superior que se mantiene en todos casos. Si tenemos alguna razón para sospechar que los errores en x y y no son independientes y al azar (como en el ejemplo de la cinta métrica de acero), no estamos justificados en usando la suma cuadrática (3.13) para óq. Por otro lado, el límite (3.15) garantiza que i5q no es peor que x + Fiy, y nuestro curso más seguro es utilizar el antigua regla

A menudo, si las incertidumbres se agregan en cuadratura o directamente hacen poco diferencia. Por ejemplo, supongamos que x e y son longitudes medidas con uncer manchas y = 2 mm. Si estamos seguros de que estas incertidumbres son independientes y iaiidoiii, estimaríamos hie eizui en x + y tu be be (mentir sutIL en quadi ature,

+ (Sy) 2 g4 + 4 mm - 2.8 mm 3 mm,

pero lo sospechamos (las incertidumbres pueden no ser independientes, tendríamos que usamos la suma total, & + 8y (2 + 2) mm 4 mm. En muchos experimentos, la estimación de las incertidumbres es tan cruda que la diferencia Entre estas dos respuestas (3 mm y 4 mm) no es importante. Por otra parte, a veces la suma en cuadratura es significativamente menor que la suma ordinaria. Además, sorprendentemente, la suma en cuadratura es a veces más fácil de calcular que la suma ordinaria En la siguiente sección se dan ejemplos de estos efectos.

CAPITULO 3.6 Pag60 3.6 Más sobre incertidumbres independientes En la sección anterior, ¡discutimos cómo las incertidumbres aleatorias independientes en dos las cantidades x y y se propagan para causar una incertidumbre en la suma x ÷ y. Vimos eso Para este tipo de incertidumbre, los dos errores se deben agregar en cuadratura. Podemos ntLIrIlile considerar el prohlcm correspondiente para diferencias, productos y quo pacientes Como veremos en la Sección 5.6, en todos los casos nuestras reglas anteriores (3.4) y (3.8) se modifican solo porque las sumas de errores (o errores fraccionales) se reemplazan por Sumas cuadráticas. Además, las expresiones antiguas (3.4) y (3.8) se probarán como límites superiores que siempre sostienen si las incertidumbres son o no independientes y aleatorio. Así, las versiones finales de nuestras dos reglas principales son las siguientes: Incertidumbre en sumas y diferencias Supongamos que x ,. .., w se miden con incertidumbres r, ..., .w y los valores medidos utilizados para conip1i1e qx + ”+ z— (u-I” ”+ w). Si las incertidumbres en x,. .., se sabe que son independientes d.nt y al azar, entonces la incertidumbre en q es la cuadrática suma + ... + (&) + (& g) 2 ... t (fr) 2 (3.16) De las incertidumbres originales. En cualquier caso, ¿5q es nunca más grande que su suma ordinaria, (3.17) Pag 61

Incertidumbres en productos y cocientes. Supongamos que x, ..., w se miden con irnccrtainties Sr ,. .., 8w, y los valores medidos se utilizan para calcular xX ”Xz 1f las incertidumbres en x, .. ,, w independet # y corrió dom, entonces la incertidumbre fraccionaria en q es la suma en cuadratura de las incertidumbres fraccionarias originales, = + ... + + + ... + l .x / \ z / \ u / 'sW, (118) En cualquier caso, nunca es más grande que su suma ordinaria, Sq Sr Sz Su 8w . (3.19) Iqi 1x1 Izi lui IwI; Fíjese que aún no he justificado el hecho de la suma en cuadratura para ser independiente. Derrotar las incertidumbres aleatorias. He argumentado una vez que cuando las diversas incertidumbres Comió de forma independiente y aleatoria, hay una buena posibilidad de cancelaciones parciales de errores y que la incertidumbre resultante (o incertidumbre fraccionaria) debe ser menor que la suma simple de las incertidumbres originales (o incertidumbres fraccionarias); la suma en La cuadratura tiene esta propiedad. Doy una justificación adecuada de

su uso en el Capítulo. 5. Los límites (3.17) y (3.19) se prueban en el Capítulo 9. Ejemplo: Adición recta vs Adición en cuadratura Como se discutió, a veces no hay diferencia significativa entre las incertidumbres computados por suma en cuadratura y los calculados por suma recta. A menudo, sin embargo, hay una diferencia significativa y, por supuesto, la suma en La cuadratura es a menudo mucho más simple de calcular. Para ver cómo puede surgir esta situación, Considera el siguiente ejemplo. Supongamos que queremos encontrar la eficiencia de un motor eléctrico de C.C. usándolo para Levantar una masa a través de una altura h. El trabajo realizado es mg / i, y el eléctrico. energía suministrada Lo que el motor es Vit, donde V es el voltaje aplicado, I la corriente, y t el tiempo durante el cual funciona el motor. La eficiencia es entonces. . trabajo realizado por motor rngh eficiencia e. = -. energía entregada al motor Vit Supongamos que m, h y yo pueden medirse con una precisión del 1%, (incertidumbre fraccional para m, h, 1 ’y J) = 1%, Pag62 y que el tiempo t tiene una incertidumbre del 5%, (incertidumbre fraccional para t) = 5%. (Por supuesto, g se conoce con una incertidumbre insignificante.) 1f ahora calculamos el ehh e, luego, de acuerdo con nuestra regla anterior ("errores fraccionales agregados"), tenemos una diferencia sucio & Sin 5h 5V 51 & ---+-+-+-+e en h V ¡r = (I + 1 + I + I + 5)% = 9%. Por otro lado, si estamos seguros de que las diversas incertidumbres son independientes y al azar, entonces podemos calcular Se / e por la suma cuadrática para dar 8e _ 18m2 6112 6V2 612 612 - ì (-) + (i-) + () + &) + (-) = J (1%) 2 + (1%) 2 + (j%) 2 + (j9) 2 + (5%) 2 = 5%. Claramente, la suma cuadrática conduce a una estimación significativamente menor para 6e. Promover más, para una cifra significativa, las incertidumbres en, h, V y ¡no hacen ninguna contribución En absoluto a la incertidumbre calculada de esta manera; Es decir, a onc significativo. figura, hemos encontrado (en este ejemplo) 6e = bt e¡ Esta sorprendente simplificación es fácil de entender. Cuando los números se agregan en quad En este caso, primero se cuadran y luego se suman. El proceso de cuadrar grandemente. exagera la importancia de los números más grandes. Por lo tanto, si un número es 5 limas cualquiera de los otros (como en nuestro ejemplo), su cuadrado es 25 veces mayor que el de los otros, y Por lo general, podemos descuidar a los demás por completo. Este ejemplo ilustra cómo combinar errores en cuadratura suele ser mejor y, a menudo, más fácil que calcularlos por adición directa. El ejemplo también es ilitis. Trata el tipo de problema en el cual los errores son independientes y para los cuales La justificación en cuadratura. (Por el moulento que llevo, me he dado cuenta de que los eors aie aleatorio y analizaremos este punto más difícil en el Capítulo 1). Las cinco cantidades medido (en, h. V. 1. y Õ son cantidades físicamente distintas con unidades dilfereni y Se miden por procesos completamente diferentes. Para las fuentes de error en cualquier cantidad. correlacionarse con los de cualquier otro es casi inconcebible. por lo tanto, el Los errores pueden tratarse razonablemente como independientes y combinados en cuadratura. Revisión rápida 3.6. Supongamos que mides tres números de la siguiente manera: x = 200 ± 2, y = 50 ± 2, z = 20 ± 1, Donde las tres incertidumbres son independientes y aleatorias. Qué haría usted ¿Desea los valores de q x + y - z y r = xv / z con sus incertidumbres?

CAPITULO 3.7

PAG 63 3.7 Funciones arbitrarias de una variable Ya has visto cómo se propagan las incertidumbres, tanto independientes como de otro tipo. A través de sumas, diferencias, productos y cocientes. Sin embargo, muchos cálculos re requieren operaciones más complicadas, como el cálculo de un seno, coseno o cuadrado root, y necesitarás saber cómo se propagan las incertidumbres en estos casos Como ejemplo, imagine que encuentra el índice de refracción n del vidrio midiendo el ángulo crítico O. Sabemos por la óptica elemental que n = 1 / sin 9. Thcrcforc, si podemos medir el ángulo O, podemos calcular fácilmente el índice de refracción n, pero nosotros luego debe decidir qué incertidumbre bn en n = 1 / sin O resulta de la incertidumbre ¿50 En nuestra medida de O. De manera más general, supongamos que hemos medido una cantidad x en la forma estándar Xbc, ± y desea calcular alguna de las funciones conocidas q (x), como q (x) ilsinx o q (x) = .J. Una forma sencilla de conocer este cálculo es dibujar una gráfica de qx) como en la figura 3.3. La mejor estimación para q (x) es, por supuesto. q = q (x1), y los valores Xb y q se muestran conectados por las líneas gruesas en la Figura 33. Para decidir sobre la incertidumbre q, empleamos el argumento habitual. El más largo el valor probable de x es Xbest & v; Usando la gráfica, podemos encontrar inmediatamente la el mayor valor probable de q, que se muestra de forma similar, podemos dibujar en el menor valor probable, q111, como se muestra. Si la incertidumbre es pequeña (como siempre Supongamos que es), entonces la sección del gráfico involucrado en esta construcción es aproximada Mately rectas, y max yq se ven fácilmente espaciadas igualmente en cualquiera side ot q, .. La incertidumbre öq puede entonces tomarse de la gráfica como cualquiera de los leiigtlis showit, atid hemos encontrado (valor de mentira de q iii (mentira estándar foiiii 9hest Ocasionalmente, las incertidumbres se calculan a partir de una gráfica como se acaba de describir. (Ver Problemas 3.26 y 3.30 para ejemplos.) Generalmente, sin embargo, la función qx) es conocida

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Figura 3.4. Si la pendiente 01 qx) es negativa, el valor máximo probable de q corresponde a el valor mínimo de xy viceversa. explícitamente q (x) sinx o q (x) por ejemplo y la incertidumbre c5q puede ser calculado analíticamente. De la Figura 31, podemos ver que = Xx + & r) - q (x). (3.20) Ahora, una aproximación fundamental del cálculo afirma que, para cualquier función q (x) y cualquier incremento suficientemente pequeño u, dq q (x + u) - q (x) = u. Por lo tanto, siempre y cuando la incertidumbre sea pequeña (como siempre suponemos que es). podemos reescribe la diferencia en (3.20) para dar = &. (3.21) Por lo tanto, para encontrar la incertidumbre ôq, solo calculamos la derivada dq / dx y multiplicamos por la incertidumbre y. La regla (3.21) no está del todo en su forma final. Fue derivado para una función, como la de la figura 3.3, cuya pendiente es positiva. La figura 3.4 muestra una función con nega. pendiente tiva. Aquí, el valor máximo probable rnax obviamente corresponde a la valor mínimo de x, para que óq = - &. (3.22) Dado que dq / dx es negativo, podemos escribir dqldx como dq / dxI, y tenemos el siguiente regla general. PAG. 65 ncertidumbre en cualquier función de una variable Si x se mide con incertidumbre y se usa para Calcule la función q (x), entonces la incertidumbre ôq es = (3.23) "La regla de Ibis generalmente nos permite encontrar òq de forma rápida y sencilla. Ocasionalmente, ii q (x) Es muy complicado, evaluando su derivada, ser un doncella y volviendo atrás.

(3.20) a veces es más fácil, como lo analizamos en el Problema 3.32. Particularmente si tienes programó su calculadora o computadora para encontrar qx), luego encontrando q (x + 6x) y y su diferencia puede ser más fácil que diferenciar qx) explícitamente. Ejemplo: Incertidumbre en un coseno. Como una aplicación simple de la regla (3.23), supongamos que hemos medido un ángulo O como Ñ = 20 + 10 y que deseamos encontrar cosO. Oui best eslilLiate de cosO es, por supuesto, cos 20 ° = 0,94, y según (3.23), la incertidumbre es ô (cos0) = dcos080 = Pecado O I ôO (en rad). (3.24) Hemos indicado que 80 deben expresarse en radianes, porque la derivada de cos O is - sen O solo it (Jis expresado en radianes. Más tarde, reescribimos ¿iO = 3U como 80 0.05 rad; (en lugar de (3.24) da ¿3 (cos 0) = (sin 20 °) X 0.05 = 0.34 X 0.05 = 0.02. Por lo tanto, nuestra respuesta final es cos O = 0.94 ± 0.02

PAG 64 potencia q (x) = x ”, donde n es cualquier número conocido, fijo, positivo o negativo. C.A según (3.23), la incertidumbre resultante en q es óq = & fr’I &. Si dividimos ambos lados de esta ecuación por II = 4 encontramos que (3.25) II H es decir, la incertidumbre fraccional en q = f es nl veces que en x. Este resultado (3.25) es solo la regla (3.10) encontré carlicr, excepto que el resultado aquí es más general, porque Ahora puede ser cualquier número. Por ejemplo, si n 1/2, entonces q =, y ôqIôx ll 2j ’ es decir, la incertidumbre fraccional es la mitad que en x sí mismo. Del mismo modo, el fraccional. la incertidumbre en 1 / x = x ’es la misma que en x sí mismo. El resultado (3.25) es solo un caso especial de la regla (3.23). Es suficientemente im importante, sin embargo, a dcscrvc, por separado, como la siguiente regla general. Incertidumbre en un poder Si x se mide con incertidumbre ôx y se usa para calcular la potencia q "(donde n es un fijo, número conocido), entonces la incertidumbre fraccionaria en q Es ini veces que en x, = In1. (3.26) II Revisión rápida 3.8. Si mide x como loo ± 6, ¿para qué debe informar? con su incertidumbre? CAPITULO 3.8 Propagación paso a paso Ahora tenemos suficientes herramientas para manejar casi cualquier problema en la propagación de errores Cualquier cálculo puede ser brukeii en una secuencia de pasos, cada ilivulvilig solo uno de los siguientes tipos de operación: (1) sumas y diferencias; (2) productos y cocientes; y () el cálculo de una función de una variable, como? ', sen r, PG 67 Ex, o en x Por ejemplo, podríamos calcular q = xcy - z sin u) (3.27) a partir de las cantidades medidas x, y, z y u en los siguientes pasos: Calcular la función sin u, luego el producto de z y sini, a continuación la diferencia de y y z sin u, y finalmente (mentira producto de x y (y - z sin u). Sabemos cómo se propagan las incertidumbres a través de

cada una de estas óperas separadas. las Por lo tanto, siempre que las cantidades de variones involucradas sean independientes, podemos calcular A finales de la incertidumbre en la respuesta final se procede a pasos de las incertidumbres. En la medida original. Por ejemplo, si las cantidades x, y, z y u en (3.27) Se han medido con las correspondientes incertidumbres & r,. . . , y yo, podríamos calcu tarde la incertidumbre en q de la siguiente manera. Primero, encuentra la incertidumbre en la función sin u; sabiendo esto, encuentre la incertidumbre en el producto z sin u, y luego en la diferencia ence ’- z sinu; Finalmente, encuentra la incertidumbre en el producto completo (3.27). Revisión rápida 3.9. Supongamos que mides tres números de la siguiente manera: x = 200 ± 2, y = 50 ± 2, z = 41) ± 2, Donde las tres incertidumbres son independientes y aleatorias. Utilice paso a paso propagación para encontrar la cantidad q = x / (y - z) con su incertidumbre. [Primer hallazgo la incertidumbre en la diferencia y - z y luego el cociente x / (y - z) .I Antes de discutir algunos ejemplos de este cálculo paso a paso de los errores, vamos a Me enfatizo tres puntos generales. Primero, porque las incertidumbres en sumas o diferencias. Las confinaciones implican incertidumbres absolutas (como &) mientras que las de productos o quo Los pacientes implican incertidumbres fraccionarias (como & / x?), los cálculos requerirán alguna facilidad para pasar de incertidumbres absolutas a fraccionarias y viceversa, como demostrado a continuación En segundo lugar, una importante característica de simplificación de todos estos cálculos es que (como enfatizado repetidamente) las incertidumbres rara vez son necesarias para más de una significativa figura. Por lo tanto, gran parte del cálculo se puede hacer rápidamente en su cabeza, y muchos Las incertidumbres más pequeñas pueden ser ignoradas por completo. En un experimento típico que involucra varios ensayos, puede que necesite (o haga un cálculo cuidadoso en papei de todos los pwpa cr101 Gaciones para la primera prueba. Después de eso, a menudo encontrará que todos los ensayos son suficientemente similar que no se necesita ningún cálculo adicional o, en el peor de los casos, que para ensayos posteriores Los cálculos del primer ensayo pueden ser modificados en su cabeza. Finalmente, debes estar atento (a veces encontrarás funciones q (x) cuya incertidumbre no puede ser encontrada de manera confiable por el método afirmado aquí, Estas funciones siempre involucran al menos una variable que aparece más de una vez. Supongamos, por ejemplo, que en lugar de la función (3.27), tuvimos que evaluar q = y - xsiny.

PAG 68 Esta función es la diferencia de dos términos, y y x sin y, pero estos dos términos son Definitivamente no es independiente porque ambos dependen de y. Así, para estimar el interés. Teníamos que tratar los términos como dependientes (es decir, agregar sus incertidumbres). directamente. no en cuadratura). En algunas circunstancias. este tratamiento puede seriamente sobrestimar la calidad de vida. Enfrentados a un estilo de meictiuzi (males, debemos darnos cuenta que un cálculo por pasos puede dar una incertidumbre que es innecesariamente grande, y El único procedimiento satisfactorio es utilizar la fórmula general que desarrolló. en la Sección 3.11. 3.9 ejemplos En esta y en la siguiente sección, doy tres ejemplos del tipo de cálculo que se encuentra Se introducen en laboratorios introductorios. Ninguno de estos ejemplos es especialmente complicado; de hecho, pocos problemas reales son mucho más complicados que los descritos aquí.

Ejemplo: Medida de g con un péndulo simple. Como primer ejemplo, supongamos que medimos g, la aceleración de la gravedad, utilizando_a péndulo simple. Se sabe que el período de dicho péndulo es T = 2irJl / g, donde ¡es la longitud del péndulo. Por lo tanto, si ¡y T se miden, podemos encontrar gas g - 4rt’1 / T ’. (3.28) Este resultado da g como el producto o cociente de tres factores, 4iz2, 1 y T2. Si Las diversas incertidumbres son independientes y aleatorias, la incertidumbre fraccional en OUI dIISWCI es solo el sufijo cuadrático de las ujiceitiities fiactiuiiales en estas factois. El factor no tiene incertidumbre, y la incertidumbre fraccionaria en T2 es el doble que monte

6 (T2) 2 T2 T Por lo tanto, la incertidumbre fraccional en nuestra respuesta para g será él 6g 1612 612 - v &) + (2 -i). (3.29) Supongamos que medimos el período T para un valor de la longitud ¡y obtenemos la resultados ¡= 92.95 ± 0.1 cm, T = 1.936 ± 0.004 s. 5Alihotigh ar a primera vista una incertidumbre ¿T 0.004 s puede parecer unrc; distalmente pequeño, puede lograrlo fácilmente? Es por temporización varias oscilaciones. Si puede medir con una precisión de 0,1 s, como es posible con una cronómetro, el cual, al cronometrar 25 o5cilaciones, encontrará T en 0.004 s PAG 69 Nuestra mejor estimación para g se encuentra fácilmente en (3.28) como 42 X (92,95 cm) 2 g1 = (1.936) 2 = 979 cm / s. Para encontrar nuestra incertidumbre en g usando (3.29), necesitamos las incertidumbres fraccionarias en ¡ y L 'Ihese se calculan fácilmente (en la cabeza) como 6! - 0.1% y - 0.2%. Sustituyendo en (3.29), encontramos =. \ ((0) 2 + (2 X 0.2) 2% 0.4%; a partir del cual 6 g - 0,004 x 979 cm / s2 - 4 cm / s2. Así, en base a estas medidas, nuestra respuesta final es g = 979 ± 4 cm / s2. Teniendo Rund el valor medido de g y su incertidumbre, naturalmente com coteja estos valores con el valor aceptado de g. Si este último tiene su valor habitual de 981 cm / s2, el valor presente es completamente satisfactorio. Si este experimento se repite (como la mayoría de tales experimentos debería ser) difiere Los valores de los parámetros, por lo general los cálculos de incertidumbre no necesitan ser Se repite con todo detalle. A menudo podemos convencernos fácilmente de que todos los que las manchas (en las respuestas para g) están lo suficientemente cerca como para que no haya más cálculos necesario; A veces se puede calcular la incertidumbre en unos pocos valores representativos de g. a largo plazo y el resto estimado por inspección. En cualquier caso, el mejor procedimiento es casi siempre para registrar los diversos valores de!, T yg y los correspondientes Incertidumbres en una sola tabla. (Vea el problema 3.40.) Ejemplo: Índice de refracción usando la ley de Snell Si un rayo de luz pasa del aire al vidrio, los ángulos de incidencia y refracción r se definen como en la Figura 3.5 y están relacionados por la ley de Snell, smi = n sinr, donde n es el índice de refracción del vidrio. Por lo tanto, si mides los ángulos ¡yr, tu Figura 3.5. Los ángulos de incidencia j y refracción r. Cuando un rayo de luz pasa del aire al vidrio. Aire Vaso