Tareas Fisica

√ TAREA 1. Demostrar por métodos de energía que v = ±ω0 A2 −x2 En el sistema masa-resorte, se cumple que: 1 1 E = U + K = mv 2 + kx2 (♣) 2 2 Sabemos que el desplazamiento en el Movimiento Armónico Simple está dado por: x(t) = Asen(ω0 t + φ), derivando x˙ = ω0 Acos(ω0 t + φ) de la ecuación (♣) obtenemos: 1 1 E = mA2 ω02 cos2 (ω0 t + φ) + kA2 sen2 (ω0 t + φ) 2 2 sabemos que ω02 =

k , m

tal que

1 k 1 E = mA2 cos2 (ω0 t + φ) + kA2 sen2 (ω0 t + φ) 2 m 2 h i 1 E = kA2 cos2 (ωo t + φ) + sen2 (ωo t + φ) 2

Siendo cos2 (ωo t+φ)+sen2 (ωo t+φ) = 1 por identidades trigonométricas⇒ E = 21 kA2 Cte Igualando (♣) con la cte, nos queda: 1 2 1 2 1 2 mv + kx = kA 2 2 2 v2 =

k(A2 − x2 ) = ω02 (A − x2 ) m q

v = ± ω02 (A − x2 ) √ v = ±ω0 A2 − x2 Si se desea calcular la velocidad del cuerpo en un desplazamiento el signo ±indicará que para un valor de xdado, el cuerpo se puede mover en ambas direcciones. TAREA 2. Demostrar que en el sistema masa-resorte vertical, se cumple el M.A.S

1

Para un t = o; k4l − mg = 0 (♣) pero cuando t > 0 mg − k(4l + y) = m¨ y mg − k4l − ky = m¨ y De la ecuación (♣), obtenemos que: ¨ =0 my + ky

y¨ +

k y=0 m

k donde ω02 = m , por tanto en un sistema masa-resorte vertical sí se cumple el M.A.S El M.A.S vertical no tiene diferencia con el del horizontal, debido a que su único cambio es que la posición de equilibrio en x = 0no corresponde al punto donde el resorte no está estirado. TAREA 3. ¿Son las vibraciones de moléculas aplicaciones del M.A.S? Cuando los átomos se encuentran ligeramente apartados uno del otro se ejercen fuerzas de atracción, a diferencia que cuando los átomos se encuentran cercanos, ya que sus capas electrónicas se trasladan actuando como fuerzas de repulsión. Existe cierta separación de equilibrio entre estos dos limites, en el cual se forman moléculas, si los átomos se desplazan del equilibrio, éstos oscilarán, teniendo en cuenta las interacciones de Van Der Walls, éstas pueden ser consideradas un M.A.S, si la como x amplitud es pequeña en comparacion con el radio R0 es decir, Ro << 1

2

Si se toma como el origen el centro de un átomo, el otro átomo estará a una distancia r; r = Ro en la que experimentalmente se ha comprobado que dicha función se puede describir como la función de energía potencial, "

U = vo

Ro r

12

Ro −2 r 

6 #

(♣)

donde vo es una constante con unidades de energía. Si los átomos están muy separados v = 0 y si antes por el contrario están separados por la distancia de equilibrio: r = R0 y U = −Uo La fuerza sobre el segundo átomo es la derivada negativa de la ecuación (♣) dU 12Ro12 26Ro6 Fr = − = Uo − 7 dr r13 r "

12Uo Fr = Ro

"

Ro r

13

Ro − r 

#

7 #

Con la finalidad de estudiar oscilaciones de pequeñas amplitudes alrededor de la separación de equilibrio r = Ro , se representa el desplazamiento respecto al equilibrio: x = r − Ro r = Ro + x 12Uo Fr = Ro 12Uo Fr = Ro

"

"

Ro Ro + x

13

7 #

!

1 1 − 13 x (1 + ( /Ro ) ) (1 + (x/Ro )7 )

Usando el teorema binominal y considerando 1 (1 +

Ro − Ro + x 

(x/Ro )13 )

x Ro

!#

<< 1

= (1 + (x/Ro )−13 ) ≈ 1 + (−13)

x Ro

1 x x/Ro )−7 ) ≈ 1 + (−7) = (1 + ( 7 (1 + (x/Ro ) ) Ro

Fr =

12Uo x x = 1 − 13 −1+7 Ro Ro Ro 3

−72Uo 12Uo −6x = x Ro Ro Ro 

Fr =





72Uo Ro √ 2 2 F2o 2 2 2 ω b +m (ωo −ω )



Tomando la ley de Hooke como: k = TAREA 4. Demostrar que A =

2 y ωmax = ωo2 − 21

 2 b m

Como es conocida, la ecuación de un Oscilador Armónico Amortiguado es: x¨ +

b k Fo x˙ + x + sen(ωt) = 0 m m m

para solucionar dicha ecuación usamos el método de coeficientes indeterminados, considerando una ecuación de forma: ay 00 + by 0 + cy = f (x) Luego supóngase que es posible encontrar una función y = yo (x) que satisfaga el hecho de que, y0 sea solución particular de la ecuación diferencial. Para tal efecto es necesario considerar que y = Ayo , entonces obtenemos: a(Ayo )00 + b(Ayo )0 + c(Ayo ) = f (x) Si lo anterior se considera como una ecuación homogenea, se obtiene: ay 00 + by 0 + cy = 0 si y1 y y2 son soluciones de esta ecuación tenemos que Ay1 +By2 serán soluciones generales de la ecuación homogenea, nos quedará de la siguiente forma: xo (t) = C1 sen(ωt) + C2 cos(ωt) d2 [C1 sen(ωt) + dt2 Fo sen(ωt) = 0 m

k C2 cos(ωt)]+ mb dtd [C1 sen(ωt) + C2 cos(ωt)]+ m [C1 sen(ωt) + C2 cos(ωt)]+

A través de ciertos artificios matemáticos obtenemos: ωbC1 + (k − ω 2 m)C2 = F0 (♣) (k − ω 2 m)C1 − ωbC2 = 0 De (♣):

Fo −(k−ω 2 m)C2 , ωb

tenemos: (k − ω 2 m)

Fo − (k − ω 2 m)C2 − ωbC2 = 0 ωb

(k − ω 2 m)Fo (k − ω 2 m)2 C2 − − ωbC2 = 0 ωb ωb 4



2 (k−ω 2 m)2 = (k−ωωbm)Fo ωb (k−ω2 m)Fo 2 ω b2 +(k−ω 2 m)2



C2 ωb + → C2 =

→C2



2



ωbC1 − k − ω m



ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2 ωb



=

(k − ω 2 m) Fo ω 2 b2 + (k − ω 2 m)2

(k−ω 2 m)Fo ωb

!

= Fo

2

(k − ω 2 m) Fo ωbC1 = F0 + 2 2 ω b + (k − ω 2 m)2 h

ωbC1 =

2

2

F0 ω 2 b2 + (k − ω 2 m) + (k − ω 2 m)

i

ω 2 b2 + (k − ω 2 m)2

C1 =

ω 2 b2

F0 ωb + (k − ω 2 m)2

Como solución particular tenemos: F0 ωb (k − ω 2 m) Fo x(t) = 2 2 sen(ωt) + cos(ωt) ω b + (k − ω 2 m)2 ω 2 b2 + (k − ω 2 m)2 !

xo (t) =

h i Fo 2 ωbsen(ωt) + (k − ω m)cos(ωt) ω 2 b2 + (k − ω 2 m)2

sabemos que: φ = arctan

h

ωb (k−ω 2 m)

i

Fo cos(ωt + φ) xo (t) = q ω 2 b2 + (k − ω 2 m)2

x(t) = e−bt (Acosαt + Bsenαt) + q donde ωo2 =

Fo ω 2 b2 + (k − ω 2 m)2

k m

Fo x(t) = q ω 2 b2 + (mωo2 − ω 2 m)2

x(t) = q

Fo ω 2 b2 + m2 (ωo2 − ω 2 )2 5

=A

q

k Si b es muy pequeño y si ω = m (quiere decir que k − ω 2 m es muy pequeño) y la frecuencia angular de oscilación máxima está dada por:

s

ωmax =

ωo2 −

1 b2 4 m2

ωmax cuando b → 0 y ωmin cuando b > 0   ωb TAREA 5. Demostrar que δ = arctan k−ω 2m Conociendo que x(t) = Asen(ωt + φ)(♣) donde A =

q

C12 + C22 y φes el ángulo de fase definido por:

senφ =

C1 A

cosφ =

C2 A

tanφ =

C1 C2

Para probar, desarrollamos la ecuación (♣)aplicando la formula del seno de la suma Asenωtcosφ + Acosωtsenφ = (Asenφ)cos(ωt) + (Acosφ)sen(ωt) Si tenemos

senφ = √ A Como C1 = A=

q

cosφ = √

C1 C12 +C22

C2 C12 +C22

C! C2 cos(ωt) + A sen(ωt) → C1 cos(ωt) + C2 sen(ωt) = x(t) A A Fo (k−ω 2 m) ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2   1 arctan C C2

Fo ωb y ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2

C12 + C22 pero φ =

C2 =

φ = arctan

Fo ωb ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2 Fo (k−ω 2 m) ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2

6

= arctan

ωb k − ω2m

Referencias [1] Sears- Zemansky-Young-Freedman. Física Universitaria. Vol1. 11a edición Pearson Addison Wesley. [2] Simmons, George Finlay. Differential equatinos: Theory, Technique and Practice. Mac Graw Hill 2007 [3] Notas del profesor [4] Raymond A. Searway. Física Tomo I. 4a edicion. Mac Graw Hill 1996.

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