Taller+5+trinomios +factorizacion+por+evaluacion

Trinomio de la forma x2+bx+c

Las características de estos trinomios ( x2 + (a+b)x + c ) son las siguientes: 1. Uno de los términos es un cuadrado perfecto (x2) y su coeficiente es la unidad 1 2. Otro de los términos es la raíz cuadrada del término cuadrático (x) y su coeficiente es cualquier número entero. 3. El término restante del trinomio es independiente de los otros dos términos.

Ejemplos de trinomios x2+bx+c a) x2+5x-6 e) x4+3x2-18 f) (x-2y)2-12(xb) y2+7y-4 2y)+32 c) x2+5xy+6y2 g) y4-18x2y2+x4 d) (a+b)2+7(a+b) h) a2-5a-10 +4 Ejemplos: Factorizar ( si es posible ) los siguientes trinomios. a) x2+5x-6 indicamos los factores

Como los signos que acabamos de escribir son diferentes, entonces buscamos dos números que restados nos den 5 y multiplicados nos den 6. Los números son 6 y 1, entonces. x2+5x-6 = (x+6)(x-1)

"listo"

b) x2-18+7x Este trinomio no tiene la forma x2+bx+c, por lo que debemos escribirlo en forma ordenada. x2-18+7x = x2+7x-18 Indiquemos los factores y los signos

Como los signos son diferentes, debemos buscar dos números que restados den 7 y multiplicados den 18. Los números buscados son 9 y 2 ( pues restados dan 7 y multiplicados dan 18 ). Entonces: x2-18+7x = x2+7x-18 = (x+9)(x-2) c) x2-32y+256y2 Observa que este trinomio tiene dos términos cuadráticos, los cuales provienen de multiplicar factores que contengan ambas expresiones; es decir:

Como los signos son iguales debemos buscar dos números que sumados den 32 y multiplicados den 256. Esos números son: 16 y 16, entonces. x2-32xy+256y2 = (x-16y)(x-16y) d) y2-6xy-16x2 Nuevamente tenemos un trinomio con dos términos cuadráticos, pero sólo uno de ellos tiene coeficiente unitario. Sin embargo el otro término cuadrático deberá salir del producto, en los factores de su raíz cuadrada. Indicamos los factores y los signos. y2-6xy-16x2 = (y- x)(y+ x) Como los signos son diferentes, buscamos dos números que restados den 6 y multiplicados den 16. Los números buscados son 8 y 2 (pues restados dan 6 y multiplicados dan 16) entonces: y2-6xy-16x2 = (y-8x)(y+2x) e) 3y2+24y-60 Este trinomio no tiene coeficiente uno en su término cuadrático, pero si observas con detenimiento, en los tres términos del trinomio hay un factor

común numérico; el 3. entonces:

indicamos los factores y sus signos. 3(y2+8y-20) = 3(y+ )(y- ) buscamos dos números que restados den 8 y multiplicados den 20; esos números son 10 y 2. Entonces 3y2+8y-20 = 3(y+10)(y-2) "listo" f) x4-40x2+144 Este trinomio cumple con las características de los x2+bx+c Indiquemos los factores y sus signos.

Buscamos dos números que sumados den 40 y multiplicados den 144, esos números son: 36 y 4 Entonces: x4-40x2+144 = (x2-36)(x2-4) Aún no terminamos. Los factores que encontramos resultan ser diferentes de cuadrados (otra forma factorizable que ya estudiamos). Entonces:

g) (x-y)2-3(x-y)-10 Este trinomio tiene la forma x2+bx+c

pues cumple con las características

de estos trinomios. Indiquemos los factores y sus signos. (x-y)2-3(x-y)-10 = ( (x-y) - ) ( (x-y) + ) Buscamos dos números que restados den 3 y multiplicados den 10, esos números son: 5 y 2 Entonces: (x-y)2-3(x-y)- ((x-y)-5)((xfalta quitar los paréntesis 10 = y)+2) internos

=

(x-y-5) (xy+2)

"listo"

Trinomios de la forma ax2+bx+c Factorizar completamente los siguientes trinomios, si es posible. a)

5x2-8x-4 El arreglo consiste en multiplicar al trinomio por el coeficiente del término cuadrático (a) En este caso: 5x2= 8x-4 =

Este producto se realiza para que podamos arreglar el trinomio de la siguiente forma:

<> Fíjate bien:

5(5x (5x) =2 2 ) 5(8x 8(5x = ) ) 5(4) =20

Este procedimiento lo repetiremos en todos los casos ax2+bx+c, así que resumámoslo. 1. Multiplicamos al trinomio por el coeficiente del término cuadrático y luego lo dividimos entre ese mismo coeficiente. 2. El primer término del trinomio resultante debe arreglarse de la forma a.ax2 = (ax)2 3. El producto indicado en el segundo término del trinomio resultante debe "conmutarse"; es decir: a(bx) = b(ax) 4. El producto indicado en el tercer término del trinomio resultante debe realizarse. Analicemos lo que hicimos en el ejemplo anterior:

5x28x-4

=

=

= El trinomio (5x2)-8(5x)-20 si tiene la forma x2+bx+c, así que factoricémoslo:

Buscamos, dos números que restados den 8 y multiplicados den 20, esos números son: 10 y 2, entonces. (5x2)-8(5x)-20 = (5x-10)(5x+2) Ahora sólo nos falta reducir la división: (5x= 10)(5x+2) 5

5x2+8x = -4

debes observar cuál de los dos factores puede dividirse entre 5 (en este caso es el 1erfactor) = (5x- (5x+ =(x10) 2) 2)(5x+2) 5 b)

"Listo "

15x2+11x -12 1. Multiplicamos y dividimos al trinomio por 15 dejando indicado el producto. 15x2+11x = -12 = 2. Arreglamos los productos 3. Factoricemos el trinomio numerador 4. Buscamos dos números que restados den 11 y multiplicados 180, esos números son 20 y 9 5. 6. Dividimos a los factores del numerador entre el denominador. En este caso, ninguno de los dos factores puede dividirse entre 15, por lo que expresaremos el 15 en factores que si sean divisores de los factores del numerador.

7. Factoricemos el trinomio numerador 8. Buscamos dos números que restados den 11 y multiplicados 180, esos números son 20 y 9 9. 10.Dividimos a los factores del numerador entre el denominador. En este caso, ninguno de los dos factores puede dividirse entre 15, por lo que expresaremos el 15 en factores que si sean divisores de los factores del numerador. =

(15x+ )(15 x- ) 15

11.Buscamos dos números que restados den 11 y multiplicados 180, esos números son 20 y 9 12. 13.Dividimos a los factores del numerador entre el denominador. En este caso, ninguno de los dos factores puede dividirse entre 15, por lo que expresaremos el 15 en factores que si sean divisores de los factores del numerador. Entonce s;

=

(15x+20)(15 x-9) 15

14. 15.Dividimos a los factores del numerador entre el denominador. En este caso, ninguno de los dos factores puede dividirse entre 15, por lo que expresaremos el 15 en factores que si sean divisores de los factores del numerador.

=

(15x+120)(15 (15x+1 (15x= x-9) ( 20) ) ( 9) ) 5 3 5 3 15x2+11x-12 = (3x+4)(5x3) "Listo"

c)

20-xy12x2y2

Este trinomio no tiene la forma ax2+bx+c, pero podemos escribirlo así, si escribimos primero el término cuadrático(-12x2y2)

20-xy-12x2y2 = -12x2y2xy+20 En este caso, el coeficiente -12 es negativo, así que es conveniente factorizar ese signo -12x2 y2=-(12x2y2+xy-20) xy+2 0 Este trinomio ya podemos factorizarlo sin dificultades = = = (12xy+ )(12x = -[ y- ) ] = 12 - [ =

[

(12xy+16) (12xy-15) 4 3

=- (3xy+4)(4xy-5)

(12xy+16) (12xy-15) 12 ] =- [ (

]

(12xy+16) (12xy-15) ) ( ) ] 4 3

"Listo"

d 30m2+17 ) am-21a2 30m2+17 = am-21a2 = =

=

=

(30m+ a)(30m- a) 30 (30m+35a) (30m-18a) 5 6

= (6m+7a)(5m-3a)

=(

(30m+35a) (30m-18a) )( ) 5 6

"Listo"

e)

7x6-33x310 7x6-33x3= 10

= =

f)

=

(x3-5)(7x3 +2) "Listo"

6x3-3x29x

El término 6x3 del trinomio no tiene raíz cuadrada, pero si observas con más cuidado, los términos del trinomio tienen un factor común; "3x" 6x3-3x2=3x(2x2-x-3) 9x

(Factor común)

= = (2x(2x(2x+ 3 3 [ 3)(2x+ 2) ] = [ ( 3) ) ( 2) ) ] =x x 2 1 1 2 3x(2x-3)(x+1) =Listo"

g)

4(x-y)2-11(xy)-3 4(x-y)2-11(x= y)-3 = =

"

= = (x-y)- 4(x[ ][ = 3 y)+1

h)

(x-y-3)(4x-4y+1) ]= "Listo"

256x4288x2+81 256x4288x2+81

=

= = =

=(16x2-9)(16x2-9) = (16x2-9)2 Pero 16x2-9 se puede factorizar, pues es una diferencia de cuadrados (4x+3)(4 2 (4x+3)2(4x-3) ] =2 = x-3) "Listo" [

i)

4x4y-13x2y-75y Este trinomio no tiene ningún término cuadrático, pero si observas, tiene un factor común; "y" 4x4y-13x2y=y(4x4-13x2-75) (Factor común) 75y = =

= = y(4x2-25)(x2 +3) = y(2x+5)(2x= 5)(x2+3) "Listo"

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.Ejemplo: resolviendolo nos queda:

Aplicamos diferencia de cuadrados:

FACTORIZACIÓN POR EVALUACIÓN Descomponer por evaluación:

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id22.htm http://algebrabaldor.webcindario.com/index.htm http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/natalia/Latex/node9. html

http://cosmos.coseac.unam.mx/cursoAlgebra/unidad5/