Programa De Mejoram Academ Guía No. 13 Identidades Trigonométricas

PROYECTO DE MEJORAMIENTO ACADÉMICO

GUIA No. 13: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS,

ÁNGULOS DE REFERENCIA y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS MATEMÁTICAS BÁSICAS 2008-II

ESTIMADO ESTUDIANTE: El Proyecto de Mejoramiento Académico busca que usted comparta un espacio con compañeros y profesores en donde se vivencien experiencias y métodos de estudio efectivos que orienten la utilización de su trabajo independiente para que éste se convierta en una disciplina y una actitud interior. En ese sentido, estas guías se constituyen en un APOYO a dicho trabajo. Competencia: Identificar y utilizar adecuadamente las expresiones trigonométricas, sus operaciones y propiedades básicas, como modelos para resolver situaciones problema en distintos contextos. Resuelve expresiones trigonométricas, utilizando las propiedades y operaciones trigonométricas.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Todas las razones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en términos de un círculo unitario con centro en el origen de coordenadas.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Las identidades trigonométricas son igualdades que contienen funciones trigonométricas.

Las identidades deben ser verificables para cualquier valor válido de la variable o variables que se tengan (valores que pueden tomar los ángulos sobre los que se usan las funciones). Son ventajosas siempre que se deban simplificar expresiones que incluyan funciones trigonométricas. Igualmente son útiles en el cálculo diferencial e integral. Veamos las más básicas: 2 2 Sen x + Cos x = 1

 I

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de la (I) por cos², se tiene:

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

y análogamente con las restantes funciones . Para ángulos opuestos:

Ejemplos resueltos: Verificar las siguientes identidades:

a)

sen α - tg α .cos α = 0

Solución sen α - (sen α/cos α).cos α = 0 sen α - sen α = 0

b)

sec ² α .(cosec ² α - 1) = cosec ² α

Solución

c)

tg α.tg β.(cotg α + cotg β) = (sen α.cos β + sen β.cos α)/cos α.cos β

Solución

d)

sen ² α - sen ² α .cos ² β = sen ² β - sen ² β .cos ² α

Solución sen ² α - sen ² α .(1 - sen ² β) = sen ² β - sen ² β .cos ² α sen ² α - sen ² α + sen ² α .sen ² β = sen ² β - sen ² β .cos ² α sen ² α .sen ² β = sen ² β - sen ² β .cos ² α (1 - sen ² α).sen ² β = sen ² β - sen ² β .cos ² α sen ² β - sen ² α .sen ² β = sen ² β - sen ² β .cos ² α e) (1 + tg α).(1 - tg α) = 2 - sec ² α Solución

Ejercicios propuestos de identidades:

1. La expresión

es. Equivalente a :

senθ cosθ + cosθ 1 + senφ

( a ) cscθ ( b ) secθ ( c ) senθ ( d ) cosθ 2.

es igual a:

( senx + cos x )

2

( a) 1 ( b ) 2 (1 + senxcos x ) ( c ) 1 + 2 senx + cos x ( d ) 1 − 2 sen2 x ÁNGULOS DE REFERENCIA Para calcular los valores de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo, es suficiente conocer las relacionadas con las del intervalo o sea las de los ángulos agudos.

 o,π/2  Para realizar este proceso se utiliza el concepto de “ángulo de referencia”. Un ángulo de referencia

es el ángulo agudo que forman el lado terminal de

θR

y el eje X.

θ

Para calcular los valores de las funciones de cualquier ángulo positivo o negativo, se hallan las que corresponden al ángulo de referencia y se hace la relación teniendo en cuenta el signo de la misma según el cuadrante al cual pertenece el ángulo dado.

Ejemplo 1:

Si

θ = 135o

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo 2.

Si

θ=

7π 6

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo 3:

Si

,

Ejercicios propuestos: Calcular, usando los ángulos de referencia apropiados:

7π = 4 2π 2) sen = 3 3) tan 210 0 =

1) cos

4) sec − 240 0 =

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Def. Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que existen términos con una o más funciones trigonométricas, por lo tanto la incógnita en ellas es el ángulo, el cual es común. Una forma efectiva para solucionar la mayor parte de éstas consiste en transformar, mediante las identidades básicas o fundamentales trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función. Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál(es) es(son) el(los) ángulos que cumplen en un intervalo dado. Es posible que resulten valores inconsistentes, por ejemplo, puede resultar un Sen x = 2, el cual debemos eliminar, de las respuestas, pues el elSeno está entre – 1 y 1. Por esta razón, debemos confirmar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original. Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:

Ejemplo 1: El seno es nulo en el eje de abscisas y tiene de período 360º. Por lo tanto

Léase “ángulo(s) cuyo seno es uno”

Ejemplo 2:

Ejercicios propuestos: 1. Del comportamiento de la función Sen θ, en el intervalo:

, hallar las 0  θ  2π

soluciones de la ecuación trigonométrica Sen θ = 1 . 2. Hallar las soluciones de la ecuación: , en el intervalo

4 cos2 x − 1 = 0 3. Resolver para x la ecuación

en

2 cos2 x − 7 cos x + 3 = 0

[ 0,2π )

[ 0, 2π )

Bibliografía STEWART, James, REDLIN, Lothar y WATSON, Saleem. Precálculo. Quinta edición. Bogotá: Thompson editores, 2006. SWOKOWSKI, EarlW. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Undécima edición. Bogotá: Thompson, 2001. URIBE CALAD, Julio Alberto. Matemáticas básicas y operativas. Medellín: Susaeta, 1986. Direcciones Electrónicas: www.vadenumeros.es/primero/formulas-trigonometricas.htm http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_4.html http://www.sectormatematica.cl/proyectos/ecuaciones.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas

http://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtml Nota: Todas las guías de Matemáticas han sido elaboradas por el DTC Carlos Villa para uso interno en la Institución y hacen parte de su producción académica escrita para una de sus publicaciones.