Taller Comunicaciones

Problema 1:

En la figura se tiene que: a) El mensaje x(t) es una señal de audio cuyo máximo voltaje es 1v, tiene una potencia de 0.5w y un ancho de banda igual a 10 KHz; b) Este mensaje se modula en FM sobre una portadora de fc = 20MHz, y el ancho de banda resultante es de 200 KHz. c) La señal FM se atenúa y se contamina con ruido blanco gausseano de media cero. Determine la mínima relación señal a ruido detectada que se podría obtener (a la salida de todo el sistema), tomando en cuenta el efecto umbral que exige 10 dB a la entrada del Detector FM Respuesta: La relación señal a ruido (S/N)r en la entrada del detector es de por lo menos 10 dB, tomando antilogaritmo a ambos lados y despejando se obtiene γ.

SR B W =γ = 10 ⇒ γ = 10 T = 200 NR BT W A partir del ancho de banda práctico del mensaje se obtiene ∆.

B T = 2 . ( ∆ + 2) . W ⇒ ∆ =

BT -2=8 2.W

Sabemos que el ruido a la salida tiene una DEP parabólica. Se integra la DEP en el ancho de banda del mensaje para tener la potencia del ruido. SD = f∆ 2 . S x

W

∧ ND = 2 . ∫ 0

⇒

ηf 2 η W3 = . 2 . SR SR 3

2

SD f∆ . S x = . 3 SR = 3.∆ 2 .S x .ϒ 3 ND Wη

Como la salida del detector de FM es fc + f∆.x(t), la potencia de la señal detectada (luego de filtrar el DC) es SD = f∆2.Sx. De allí se obtiene la relación señal a ruido de la salida. Luego se sustituyen los valores obtenidos, sabiendo que la potencia del mensaje es Sx = 0,5.

SD = 3∆2S x γ = 3.(64).(0.5).(200) = 19200 ND

Problema 2.-El receptor superheterodino mostrado se encuentra dentro de un vehículo y se diseña para recibir una señal FM de 10MHz. El ancho de banda del filtro RF es de 4.1 MHz y el del filtro IF es de 200KHz. Las ganancias de los filtros son unitarias y a la entrada del detector se consigue una relación señal a ruido de 30 dB. A medida que el vehículo se aleja de la antena transmisora, la señal llega a la antena cada vez más débil (se pierde 1 db por cada Km.). El vehículo se aleja 20 Km (Suponga que el ruido es independiente de la zona geográfica). Determine el producto de las ganancias de voltaje que debieran tener filtros para compensar la pérdida de potencia ocasionada por la distancia Se está recibiendo interferencia de otra emisora. Cuál podría ser la frecuencia de portadora de ella? Señal de entrada

RF

IF fIF=1 MHz

DETECTOR FM ideal

AF BW=15 KHZ

2Cos2πfLOt

Sabemos que a la entrada del detector tenemos una señal con una relación señal a ruido de 30dB, por lo tanto sabemos que estamos por encima de umbral También sabemos que la señal pierde 1dB por cada kilómetro recorrido por lo tanto, en total, se pierden 20dB, por lo tanto la ganancia que deben tener los filtros servirá para compensar esta pérdida suponemos que:

Para el primer filtro su potencia será proporcional al cuadrado de la Amplitud de la señal FM

P1=(KA)2 , siendo A la amplitud de la señal y K2=1/2. Luego para el segundo filtro

suponemos que tiene una ganancia G1xG2 (multiplicación de la ganancia en voltaje de ambos filtros):

P2=(G1xG2)2x(KA)2 Sabemos que: 10log(P2/P1)=20db Por lo tanto: P2=100P1 (G1xG2)2x(KA)2 = 100 (KA)2 (G1xG2)2=100

Por otra parte, sabemos que el motivo por el cual se encuentra el filtro RF en el receptor superheterodino es para tratar de no dejar pasar la frecuencia imagen de una señal. Por teoría sabemos que la señal imagen de una señal se encontrara en la frecuencia portador Fc mas dos veces la frecuencia del filtro IF, si existe interferencia eso quiere decir que el filtro RF esta dejando pasar esta frecuencia. La Frecuencia portadora de esta señal es 12MHZ por que es la frecuencia portadora de la señal (10MHz) mas 2 veces Fif, la frecuencia Fif=1MHz.

Problema 3.- Un tono x(t) de amplitud unitaria es modulado en FM banda estrecha. La desviación de frecuencia alrededor de la portadora es igual a 0.25 veces el ancho de banda del mensaje. El receptor tiene un filtro pasabanda con ganancia apropiada, seguido del demodulador FM ideal que a su salida ofrece: f∆x(t) + ruido con DEP parabólica x (t) es el mensaje La DEP del ruido a la salida del demodulador FM tiene la siguiente expresión: Gn(f)=ηf2/2S4 Donde S4 es la potencia de señal en el punto 4 Todos los filtros tienen ganancia unitaria

a)

Dibuje el espectro de señal en el punto 4 y la DEP de ruido en el mismo punto

f 1 1 2 f∆ = . fm ⇒ ∆ = fm 8 4 f .A 1 β= ∆ m = fm 8 De aquí que la señal modulada en FM sea de la forma:

1 ⎛ ⎞ x FM = 100. cos⎜ 2π .10 6.t + sin(2πf m .t ) ⎟ 8 ⎝ ⎠ Si el filtro que escogemos es ideal esta será la misma componente de señal a la salida del punto 4. El ruido es pasabanda debido al efecto del filtro pasabanda con fc=1M:

b)

Dibuje la DEP del ruido en el punto 5 y el espectro de la señal en el mismo punto.

S4 =

η 100 2 f = 5000 ⇒ Gn = 10000 2

2

Además la señal habrá sido demodulada y como no hubo pérdidas de canal, y el demodulador es ideal se tiene la señal idéntica al tono de entrada pero afectado en amplitud por f ∆ .

c) Si la relación señal a ruido en el punto 4 es de 20 dB. ¿Qué relación señal a ruido puede obtenerse en el punto 5? Hint: Determine primero S4, N4, S5, N5

S 4 = 5000

⎛ S4 ⎝ N4

⎞ ⎟⎟ = 20dB ⎠

S η N 4 = 2. .2 f m = 2ηf m = 4 ⇒ 2 100

ηf m =

⎛S⎞ ⎜ ⎟ = 20dB ⎝ N ⎠4

S5 =

⇒

S4 200

f2 f2 f ∆2 = m = m 2 2.64 128 fm

N 5 = 2. ∫ 0

N5 =

⇒ 10 log⎜⎜

ηf 2 2S 4

df =

ηf m3 3S 4

S4 = 100 (1) N4 (2)

(3)

=

ηf m f m2 3S 4

de (2) se tiene,

f2 S 4 f m2 . = m 200 3S 4 600

(4)

S5 f 2 600 600 = m . 2 = = 4,6875 N 5 128 f m 128 ⎛S⎞ ⎟ = 10. log(4,6875) = 6,71dB ⎝ N ⎠5

Finalmente ⎜

Problema 4.-Suponga que una señal FM (mensaje: W=10KHz, maximo voltaje 1v, potencia =0.5w; fc=20MHz, BT=200KHz) es transmitida por el aire (no se atenúa y se contamina con ruido) y recibida por el superheterodino mostrado.

a) Determine los anchos de banda de los filtros RF e IF (Explique en detalle) b) Determine fLO y esboce el espectro de señal a la entrada del filtro IF. (Para esto suponga que el ancho de banda del filtro RF es exactamente el de la señal modulada en FM y que dicho filtro está centrado en fc). c) ¿Valdría la pena cambiar el ancho de banda del filtro AF (Filtro de audio)? Explique Solución: a) La señal FM tiene las siguientes características: .-El mensaje x(t) es una señal de audio cuyo máximo voltaje es 1v, tiene una potencia de 0.5w y un ancho de banda igual a 10 KHz; .-Este mensaje se modula en FM sobre una portadora de fc=20MHz, y el ancho de banda resultante es de 200 KHz. El filtro RF debe ser un pasa banda, con un ancho de banda que debe ser suficientemente grande como para dejar pasar el mensaje modulado completo, es decir: mayor a 200KHz, y no debe dejar pasar frecuencias que puedan interferir al mensaje en el receptor superheterodino, es decir, su ancho de banda no puede ser mayor a 2fif, debido a que una frecuencia que esté separada de la portadora esta cantidad entrará al filtro RF y será vista como si estuviese en fc.

El filtro IF, se sabe que está centrado en la frecuencia fif, y su función es dejar pasar sólo el mensaje modulado en FM, por lo que su ancho de banda debe ser igual a 200KHz. b) flo viene dada por la fórmula: flo= fc + fif. Por lo que es igual a flo = 20MHz + 1Mhz= 21MHz El espectro a la entrada del filtro IF viene dado por:

c) El filtro AF de audio tiene un ancho de banda de 15KHz, pero se sabe que a la salida del detector FM ideal, se tiene precisamente el mensaje (f∇x(t)) más el ruido. El ancho de banda del mensaje es sólo de 10KHz de ancho de banda, así que se está introduciendo más ruido innecesariamente, por lo que si se reduce el ancho de banda del filtro, justo al ancho de banda del mensaje, se va a mejorar la relación señal/ruido a la salida sin perder información del mensaje. PROBLEMA 5

El siguiente sistema de comunicaciones pretende enviar dos mensajes z(t) y y(t) por un mismo canal, donde:

1 z (t ) = cos(2000π t ) + sin(4000π t ) 2 1 y (t ) = cos(1000π t ) + cos(3800π t ) 2 Para esto sigue el esquema de FM estéreo (z(t) en banda base y y(t) en DSB y luego ambos modulados en FM). El modulador FM usa una portadora de 1 MHz y tiene una sensitividad de 75000Hz/v. El canal atenúa 40 dB y agrega ruido blanco gausseano

El receptor tiene un filtro pasabanda centrado en 1MHz y de ancho de banda de 500KHz seguido del demodulador FM ideal que a su salida ofrece f∆x1(t) + ruido con DEP parabólica x1(t) es la señal en el punto 1 La DEP del ruido tiene la siguiente expresión: Gn(f)=ηf2/2S4 Donde S4 es la potencia de señal en el punto 4 Finalmente se tiene un demodulador síncrono para DSB (ojo no usa 2Cos) para obtener k1y(t) y por la rama de abajo se obtiene k2z(t). Todos los filtros tienen ganancia unitaria

3,9KHz

6

z(t)

η/2 x1(t) 1

MOD FM f∆=75kHz/V

fc=4KHz

Cos(80 500KHz

2

y(t)

40db

DEMOD

4 FM IDEAL

3

5

fc=1MHz LPF IDEAL

Cos(8000π t)

100Cos(2π 106 t)

8 fc=2,05KHz

1) Espectro de x1 (t ) Para calcular el espectro de x1 (t ) se debe sumar el espectro de z (t ) con el espectro de

y (t ) cos(8000π t ) El espectro de z (t ) es el siguiente:

1/2

1/4 1/8

-2KHz

-1KHz

1KHz

2KHz

π π/2

−π/2 π

el espectro de y (t ) es:

1/2

1/4 1/8

-1,9KHz

-500Hz

500Hz

1,9KHz

y cuando se multiplica por el coseno, se obtiene que el espectro de y (t ) cos(8000π t ) es:

1/2

1/4 1/8

-5,9KHz

-4,5KHz

-3,5KHz

-2,1KHz

2,1KHz

3,5KHz

4,5KHz

5,9KHz

Al sumar el espectro de z (t ) con el espectro de y (t ) cos(8000π t ) se obtiene:

1/2

1/4 1/8

-5,9KHz -4,5KHz -3,5KHz -2,1KHz

-2KHz

-1KHz

1KHz

2KHz

2,1KHz 3,5KHz 4,5KHz 5,9KHz

π π/2

−π/2 π

2) Potencia de x1 (t ) La potencia de la señal x1 (t ) es la siguiente: Elevando al cuadrado cada delta del espectro (integral en de la DEP) se obtiene

⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ S x1 = 2 ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ = 0.9375 ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎥⎦ 3) Ancho de banda práctico de la señal FM El ancho de banda práctico viene dado por la relación:

B = 2( f ∆ x(t ) max + 2W ) donde W es el ancho de banda del mensaje, f ∆ = 75 KHz Al calcular el ancho de banda del mensaje se puede ver que es W = 5,9 KHz debido a que fuera de este valor no existen lineas espectrales, y el valor maximo de la señal se puede calcular suponiendo que todos los cosenos llegan al máximo o al minimo en el mismo tiempo, de esta manera podemos sumar sus amplitudes y obtener que x(t ) max = 3 , haciendo los cálculos obtenemos que:

B = 473,6 KHz 4) Potencia de la señal en el pto 4 En el punto 4, la señal se ha atenuado 40db y ha pasado por un filtro, pero para poder calcular la potencia en este punto necesitamos saber la potencia en el pto 2, el filtro no afecta en nada, porque lo que hace este es eliminar ruido y otras posibles interferencias, asi que la señal en el punto 4 es la misma que en el pto 3, para calcular la potencia en el punto 2, elevamos al cuadrado la señal y le sacamos el promedio temporal:

X FM PX FM PX FM

t ⎛ ⎞ = Ac cos ⎜ 2π f ct + 2π f ∆ ∫ x(τ )dτ ⎟ o ⎝ ⎠ t ⎛ ⎞ 2 2 2 = ( X FM ) = Ac cos ⎜ 2π f ct + 2π f ∆ ∫ x(τ )dτ ⎟ o ⎝ ⎠ 2 Ac = 2

De esta manera podemos, esto quiere decir que en el punto 2 la potencia de la señal es:

S2 =

1002 = 5000 2

S2 = 104 ⇒ S3 = S 2 ⋅ 10−4 S3 S 4 = S3 = 0,5 5) Calcular η sabiendo que la relacion señal a ruido en el pto 4 es de 30db Sabemos que el ruido al pasar por el filtro tiene una potencia de:

N 4 = 2 (η / 2 ) ⋅ 500 KHz

Entonces se tiene que:

10log

S4 = 30db N4

S4 = 103 N4 N 4 = S 4 ⋅10−3 ⇒ η ⋅ 500 KHz = 0,5 ⋅10−3

η = 10−9 6) Determine la potencia del ruido en el punto 5 Sabemos que el ruido tiene una DEP como la mostrada, al pasar por el filtro del demodulador ideal se tiene:

integrando la DEP se tiene que: 5900 ηf 2 ηf 2 η(5900) 3 N4= 2 ∫ df = ∫ df = = 136,91 3S4 0 2S 4 0 S4 W

7) Explique si la relación señal a ruido en el punto 6 es mayor o igual que en el punto 8 La señal sin ruido en el punto 6 es: x6 (t ) = f ∆ y (t ) cos(8000π t ) Por lo tanto la potencia de la señal es: S6 =

f∆2S y

2 La señal sin ruido en el punto 8 es: x8 (t ) = f ∆ z (t ) y su potencia es: S8 = f ∆ 2 S z Como S z = S y entonces, nos damos cuenta que la potencia en el punto 6 es la mitad de la potencia en el punto 8 Ahora, la potencia del ruido en el punto 6 se consigue integrando la DEP del ruido en el intervalo que deja pasar el filtro, igualmente en el punto 8, de esto podemos ver en la grafica que la potencia del ruido en el punto 6 es mucho mayor que en el punto 8, y por lo tanto la relación señal a ruido en el punto 6 es mucho menor que en el punto 8

2ηf2/S4

8 2,05k

6 5,9k

8) Determine la expresión de la señal en el punto 7 La señal en el punto 6 es la siguiente:

f∆/4 f∆/8

-5,9KHz -4,5KHz -3,5KHz -2,1KHz

Al multiplicarla por el coseno, se obtiene:

2,1KHz 3,5KHz 4,5KHz 5,9KHz

f∆/4

f∆/8 f∆/16

-9,9K

-8,5K

-7,5K

-6,1K

-1,9K

-500

500

1,9K

6,1K

7,5K

8,5K

9,9K

Y al pasarla por el filtro pasabajo se obtiene la señal: f∆/4

f∆/8 f∆/16

-1,9K

-500

500

1,9K

que si vemos s la misma señal y (t ) pero multiplicada por el factor de esta manera podemos ver que x7 (t ) =

f∆ 2

f∆ y (t ) , también se puede ver sabiendo que la rama de 2

arriba es un demodulador sincrono, pero el coseno no tiene amplitud 2, por lo tanto no obtendrá la señal en su máxima amplitud sino la mitad de esta. 9) Dibuje la DEP del ruido en el Pto 7 En el punto 6 se tiene que la DEP del ruido es la siguiente:

luego al ser multiplicada por el coseno se modula y se divide entre 4, debido a que estamos hablando de una DEP, y quedaria de la siguiente forma:

-5,9k -9,9k

-1,95k

-2.05k -6.05k

1,95k

2,05k 6,05k

9,9k 5,9k

Al pasar por el filtro obtenemos la forma de la DEP que nos piden, la cual es la siguiente:

-1,95k

1,95k

es una densidad espectral de forma cuadrática sumada a una constante. Problema 6