Suites

S. JAUBERT - CFAI-CENTRE

SUITES DE NOMBRES REELS I) Notations Une suite de nombres réels est définie par une application n  U n de N dans R. Elle sera notée U n  n∈N ou, en abrégé, U n . U n est le terme général, n est l’indice ou le rang de Un. On appelle sous-suite ou suite extraite d’une suite U n  une suite que nous noterons U n  où n est une suite strictement croissante d’indice. Par exemple, si n  2n la suite extraite est celle des termes d’indices pairs. Si n  2n  1, la suite extraite est celle des termes d’indices impairs. II) Limite d’une suite Définition : l étant un nombre réel, on dit que la suite U n  a pour limite l si, pour tout nombre   0, il existe un entier N ≥ 0 tel que, pour tout n ≥ N, on ait |U n − l|  . On dit aussi que U n  tend vers l, ou que U n tend vers l quand n tend vers   ; on écrit U n  l, ou : l  n→ lim U n On remarque immédiatement qu’il existe au plus un nombre l satisfaisant à cette condition, pour une suite U n  donnée : en effet si la suite U n  tendait à la fois vers l et vers l ′ , les inégalites |U n − l|   et |U n − l ′ |   seraient vérifiées pour n assez grand, et entraîneraient |l − l ′ |  2, quel que soit   0 : en ′ prenant   l−l4 on aboutit à une contradiction. Une suite admettant une limite est dite convergente, et comme on vient de le voir la limite est unique. Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Remarques : 1) On ne modifie pas la nature (convergence ou divergence) d’une suite en modifiant ou supprimant un nombre fini de termes de la suite. 2) Si une suite U n  converge, toute suite extraite converge et à la même limite. En effet, soit l la limite de U n , et U n  une suite extraite.  étant strictement croissante, on a, par récurrence, n ≥ n pour tout n.

∀   0, ∃ N, ∀ n  N, |U n − l|   comme n ≥ n, on a, a fortiori : ∀ n  N, |U n − l|   On se sert couramment de la contraposée pour montrer qu’une suite ne converge pas. On extrait deux sous-suites convergeant vers des limites différentes. Par exemple U n  −1 n . Théorème de Césaro (méthodes des moyennes arithmétiques) Soit une suite U n  n∈N ∗ associons lui la suite V n  n∈N ∗ définie par V n  U 1  U 2 n   U n On a le résultat suivant : Si la suite U n  n∈N ∗ converge, la suite V n  converge et a la même limite. Preuve :Supposons d’abord que U n → 0. Soit   0, il lui correspond N  0 tel que, pour tout n  N, on ait |U n |  . Prenons n  N. V n  U 1  nU N  U N1  n  U n et on a U N1    U n n

≤

|U N1 |    |U n | n − N ≤ ≤ n n

or on peut toujours prendre un entier N ′ 

|U 1 U N | 

U 1  U N n

, tel que pour n  N ′ on a



donc finalement pour n  SupN, N ′  on a |V n | ≤

U 1  U N n

 U N1  n  U n

≤ 2

Dans le cas où U n → l ≠ 0, il suffit de poser U n  l  U ′n ; où U ′n → 0 et V n  l  Donc V n → l. 

U ′1 U ′n n

La réciproque est fausse : Il peut arriver que la suite V n  converge et que la suite U n  diverge. Exemple : U n  −1 n est une suite bornée divergente mais qui converge au sens de Césaro. III) Opérations sur les limites

III-1 Somme - Théorème Si U n → l et V n → l ′ quand n → , alors U n  V n → l  l ′ En effet : |U n  V n − l  l ′ | ≤ |U n − l|  |V n − l ′ | d’où le résultat. III-2 Produit - Théorème Si U n → l et V n → l ′ quand n → , alors U n  V n → l  l ′ Lemme : Toute suite convergente est bornée (c’est-à-dire qu’il existe A  0 tel que, pour tout n, |U n | ≤ A) En effet : Soit U n  une suite convergente vers l, alors pour  0  0, il existe N 0  0 tel que |U n − l| ≤  0 donc |U n | ≤ |l|   0 . On peut prendre pour A le plus grand des nombres |U 1 |, |U 2 |, …, |U N 0 |, |l|   0 preuve du théorème : U n V n − ll ′  U n V n − l ′   l ′ U n − l, donc |U n V n − ll ′ | ≤ |U n ||V n − l ′ |  |l ′ ||U n − l| Si A est supérieur à tous les |U n | et à |l ′ |, on a |U n V n − ll ′ | ≤ A|U n − l|  |V n − l ′ | Soit   0, il existe N tel que pour tout n  N   , |V n − l ′ |  2A , donc |U n V n − ll ′ |   |U n − l|  2A Remarque : Si U n → 0, on voit facilement, si on suppose seulement la suite V n  bornée, que U n V n → 0 Exemple : On cherche la limite de la suite W n  où W n  n  sin n − n . On a sin n 1 Wn  ; si on pose U n  sin n et V n  ; nsin n  n

alors

|U n | ≤ 1 et 0 ≤ V n ≤

nsin n  n

1 n

; comme

1 n

→ 0 il en est de même de

V n et donc aussi de W n . III-3 Quotient - Théorème Si U n → l ≠ 0; U1n → 1l En effet : à  0  2l correspond N 0 tel que pour n ≥ N 0 , on ait |U n − l| ≤ 2l , donc |U n | ≥ 2l ; ceci signifie que même si pour certains indices n, U n soit nul, l étant non nul cela ne peut se produire que pour un nombre fini de valeurs de n, donc la suite ( U1n ) est bien définie à partir d’un certain rang. Toujours pour n ≥ N 0 , on a U1n − 1l  |U|lUn −l| ≤ 2|Ul 2n −l| n| Soit   0 et soit N 1 tel que n ≥ N 1 implique |U n − l| ≤ Pour n ≥ SupN 0 , N 1 , on a U1n − 1l ≤ 

 l2 2

Corollaire : Si U n → l et V n → l ′ ≠ 0,

Un Vn

→

l l′

III-4 Passage à la limite dans les inégalités - Théorème Soient U n  et V n  deux suites convergentes, de limites respectives l et l ′ . Si, à partir d’un certain rang, U n ≤ V n , on a l ≤ l ′ . En effet, si on avait l ′  l, on prendrait   0 tel que l ′    l − , c’est-à-dire l−l ′   2 et on aurait pour n assez grand, V n ≤ l ′    l −  ≤ U n , ce qui contredit l’hypothèse U n ≤ Vn. Remarque : Même si l’inégalité est stricte on peut seulement affirmer l ≤ l ′ . 1 , alors l  l ′  0. Par exemple si U n  0 et V n  n1 Les inégalités strictes ne ”passent pas à la limite”.

IV) Suites de Cauchy Soit une suite U n  convergente vers une limite l. Pour tout   0, il existe N tel que pour tout n ≥ N on a |U n − l| ≤ Si m et n sont deux entiers quelconques ≥ N, on a |U n − U m |  |U n − l  l − U m | ≤ |U n − l|  |l − U m | ≤ 

 2

La suite U n  a donc la propriété suivante : Pour tout   0, il existe un rang N tel que, pour tout n ≥ N et tout m ≥ N, on ait |U n − U m | ≤  On dit qu’une suite qui a cette propriété est une suite de Cauchy, ou encore qu’elle satisfait au critère de Cauchy. Et nous venons de voir que toute suite convergente est une suite de Cauchy. On démontre et on admettra que dans R la réciproque est vraie, ce qu’on énonce en disant que R est complet. Théorème Critère de Cauchy : Pour qu’une suite de nombres réels ait une limite dans R, il faut et il suffit que ce soit une suite de Cauchy. L’intérêt de ce critère est qu’il ne fait intervenir que les termes de la suite sans que l’on ait à connaître la limite.

Exemple : Pour n ∈ N ∗ , posons U n  1  12    1n . 1 1 1 On a U 2n − U n  n1  n2    2n ; le second membre comprend n termes 1 tous ≥ 2n , donc U 2n − U n ≥ 12 ; si on prend   12 , on ne peut satisfaire à la condition du critère de Cauchy donc la suite U n  est divergente. Applications : Borne supérieure. Borne inférieure. Du fait que R est complet on va déduire une autre propriété importante de R qui sera utilisée par la suite. Soit E une partie non vide de R. Un majorant b de E est un réel tel que, pour tout x ∈ E, x ≤ b. E peut ne pas admettre de majorant dans R (exemple : E  N). Si E en admet un, E est dite majorée ; L’ensemble des majorants de E contient alors une infinité d’éléments, puisque tout b ′  b est aussi un majorant. De même un minorant est un réel a tel que, pour tout x ∈ E, on ait a ≤ x; si E admet un minorant (et donc une infinité), E est dite minorée. Toute partie non vide à la fois majorée et minorée est dite bornée. Théorème : Soit E une partie non vide et majorée de R. L’ensemble des majorants de E dans R admet un plus petit élément, appelé borne supérieure de E, qu’on note sup E ou sup x x∈E

remarques : 1) Une démonstration est nécessaire, puisque l’ensemble des majorants est infini, et qu’un ensemble infini de nombres réels n’a pas nécessairement de plus petit élément (exemple E   1n / n ∈ N ∗  2) Soit M  sup E. M est caractérisé par les deux propriétés : i

c’est un majorant : ∀ x ∈ E, x ≤ M

ii quel que soit   0, M −  n ’est pas un majorant, donc il existe x ∈ E tel que x  M −  Preuve du théorème : Soit u 0 est élément de E, v 0 un majorant de E. On a u 0 ≤ v 0 . Considérons le nombre u 0 2v 0 . Si u 0 2v 0 est un majorant de E, on pose u 1  u 0 , v 1  u 0 2v 0 ; sinon par définition il existe u 1 ∈ E, vérifiant u 1  u 0 2v 0 , et bien entendu u 1 ≤ v 0 ; on pose alors v 1  v 0 . Dans les deux cas à partir du couple u 0 , v 0  on a obtenu un couple v −u u 1 , v 1  tel que u 1 ∈ E , v 1 est majorant de E, u 0 ≤ u 1 ≤ v 0 et v 1 − u 1 ≤ 0 2 0 . De la même façon on déduit du couple u 1 , v 1  un couple u 2 , v 2 , du couple u 2 , v 2  un couple u 3 , v 3 ... On aura finalement une suite d’intervalles emboîtés u n , v n  vérifiant : u n ∈ E, v n est un majorant de E, v n − u n ≤ v 02−un 0 . La suite u n  est une suite de Cauchy : en effet, pour m ≥ n, u m ∈ u n , v n , donc 0 ≤ u m − u n ≤ v 02−un 0 . La suite u n  à donc une limite M. Comme v n − u n → 0, v n → M. M est majorant de E, car pour tout x ∈ E, x ≤ v n , et en faisant tendre n vers , x ≤ M.

C’est le plus petit majorant, car si M ′ est un majorant, on a, pour tout n, u n ≤ M ′ , donc à la limite, M ≤ M ′ .  Corollaire : De façon analogue (ou en considérant l’ensemble −E formé des opposés des éléments de E on démontre : Toute partie non vide et minorée de R admet un plus grand élément, appelé borne inférieure de E, qu’on note inf E. Remarques : 1) La borne supérieure peut ou non appartenir à E : par exemple 0, 1 et 0, 1 admettent tous deux 1 pour borne supérieure. De même pour la borne inférieure. 2) Dans Q le théorème n’est plus vrai : par exemple si E est l’ensemble des rationnels strictement compris entre 0 et 2 , les bornes inf et sup de E dans R sont 0 et 2 respectivement ; la première est bien le plus grand minorant de E dans Q, mais l’ensemble des majorants de E dans Q, c’est-à-dire l’ensemble des rationnels  2 , n’a pas de plus petit élément.

V) Suites monotones Une suite u n  est dite croissante si, pour tout n, on a u n ≤ u n1 , décroissante si, pour tout n, u n ≥ u n1 , monotone si elle soit croissante, soit décroissante. Théorème : Une suite croissante et majorée converge et a pour limite la borne supérieure de l’ensemble des u n . Preuve : Soit l cette borne supérieure, qu’on notera sup u n . Pour tout n, on a u n ≤ l. Soit   0, il existe N tel que u N  l −  (par définition d’un borne sup !). Pour n ≥ N on a u n ≥ u N  l − , donc l −   u n  l. D’où le résultat. de même : Théorème : Une suite décroissante et minorée converge et a pour limite la borne inférieure de l’ensemble des u n . Ces théorèmes qui sont vrais dans R, ne le sont plus dans Q.

Exemple : 1) Considérons les deux suites définies par n

un 

∑ p0

1 ; vn  un  1 , n ∈ N∗ n  n! p!

La suite u n  est strictement croissante ; la suite v n  est strictement décroissante puisque 1 − 1 1 − n  n! n  1! n  1  n  1! 1 1  − 0 n  n  1! n  1  n  1!

v n − v n1 

De plus, pour tout n, u n  v n , donc u 0 ≤ u n  v n ≤ v 0 . La suite u n  est croissante et majorée, a une limite l ; comme v n − u n → 0, la suite v n a aussi pour limite l (cette limite est e, la base des logarithmes népériens). De façon générale, si on a deux suites u n  et v n  respectivement croissante et décroissante, telles que v n − u n → 0 et que, pour tout n, u n ≤ v n , ces deux suites convergent et ont la même limite. On dit que ce sont deux suites adjacentes. 2) Soit u n  la suite définie à partir de u 0  0, par la relation de récurrence u n1  2  u n . 2 Tous les u n sont 0 ; u n1 − u n  2  u n − u n  2u n −u n  2−u n 1u n  ; le numérateur à le signe de 2 − u n . D’autre part u n1 − 2  2  u n − 2 

2u n u n

u n −2 2u n 2

2u n −u n

.

Donc si u 0  2, tous les u n sont  2, la suite est strictement décroissante : comme elle est minorée par 2, elle a une limite l ≥ 2 ; en faisant tendre n vers  dans la relation de récurrence, on voit que l  2  l , donc l  2. Si u 0  2, tous les u n sont 2 : la suite est strictement croissante et majorée par 2, donc à une limite l ≤ 2 ; on voit comme ci-dessus, que l  2. Si u 0  2, tous les u n sont égaux à 2, la suite est constante. Dans tous les cas quel que soit u 0  0, la suite u n  a pour limite 2. 3) Soit a réel 0 donné. On considère la suite définie, à partir de u 0  0, par u n1  12 u n  uan . Tous les u n sont 0. u n1 − u n 

a − u 2n 2u n

et u n − a  u n1 − a  1 u n  uan − 2 a   2 2u n

2

si u 0 ≠ a , on a, pour n ≥ 1, u n  a ; la suite décroît strictement à partir de u 1 ; minorée par a , elle a une limite l qui satisfait à l   12 l  al , donc l  a . si u 0  a , tous les u n sont égaux à a .

VI) Suites particulières VI - 1 Suites arithmétiques Une suite arithmétique est donnée par son premier terme u 0 et sa raison r : ∀ n ∈ N, u n1  u n  r on a alors : u n  u 0  nr et n

Sn 

∑ up  p0

n  1u 0  u n  2

VI - 2 Suites géométriques Une suite géométrique est donnée par son premier terme u 0 et sa raison q (non nulle en générale) : ∀ n ∈ N, u n1  qu n on a alors : un  qnu0 et (si q ≠ 1 Sn  u0

1 − q n1 1−q

Cette somme converge si et seulement si |q|  1. La limite de la somme vaut alors

u0 1−q

VI - 3 Suites arithmético-géométriques Une telle suite est de la forme : ∀ n ∈ N, u n1  au n  b avec b ≠ 0 et a ≠ 1, sinon on retrouve les suites précédentes. Une solution particulière est obtenue pour la suite constante l telle que l  al  b. Cette valeur l est d’ailleurs la limite éventuelle de la suite si elle converge. Soit v n  la suite auxilliaire définie par : ∀ n ∈ N, v n  u n − l

On a alors : ∀ n ∈ N, v n1  av n autrement dit la suite v n  est la solution générale de l’équation homogène. On a v n  a n v 0 et u n  l  a n u 0 − l La suite converge donc si et seulement si |a|  1 ou u 0  l. VI - 4 Suites récurrentes linéaires Une telle suite est de la forme : ∀ n ∈ N, u n2  au n1  bu n avec b ≠ 0 Méthode 1 Les suites géométriques de la forme r n non nulles solution de cette récurrence vérifient : r 2  ar  b soit r solution (éventuellement complexe). Cherchons les autres solutions sous la forme : un  vnrn on obtient : v n2 r 2  arv n1  bv n  v n2 ar  b  arv n1  bv n  ar  bv n2 − v n1   −bv n1 − v n  b  − rb2  donc la suite v n2 − v n1 est une suite géométrique de raison − arb l’autre racine). On a donc :

r′ r

(si r ′ est

′ v n − v n−1  k rr  n , ou k est une constante.

on en déduit que : ′ ′ ′ v n  k rr  n  k rr  n−1    k rr   v 0

si r  r ′ , alors v n est de la forme n  , et u n est combinaison des suites r n et nr n ′ si r ≠ r ′ , alors v n est de la forme  rr  n  , et u n est combinaison de r n et de r ′n Méthode 2 (nécessite un minimum de connaissances sur les espaces vectoriels) Posons S  u n  / ∀ n ∈ N, u n2  au n1  bu n  S est sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des suites. Cet espace est de dimension 2.

En effet, considérons les deux suites particulières U et V élément de S, définies par U 0  1 et U 1  0, V 0  0 et V 1  1. On prouve facilement par récurrence que toute u de S s’écrit : u  u0U  u1V Cette décomposition est unique. Ceci prouve que U, V constitue une base de S. Cette base est malheureusement de peu d’utilité car elle ne permet pas de calculer le terme générale de la suite. Cherchons donc une autre base. Soit les éléments de S qui sont les suites géométriques r n . r doit alors vérifier : r 2  ar  b Cette équation s’appelle équation caractéristique associée à la suite. Plusieurs cas sont à considérer : - Sur C :  si le discriminant est non nul (deux racines distinctes r 1 et r 2 , il y a deux suites différentes de raison r 1 et r 2 . Il n’est pas difficile de montrer que ces deux suites forment un système libre et donc une base de S. Cette base permet de calculer le terme général de toute suite de S. 2  si le discriminant est nul, alors il y a une racine unique r, égale à a2 , et b  − a4 . Cherchons une autre suite sous la forme v n r n . On obtient alors : 2 v n2 r 2  av n1 r  bv n  v n2 a  a 2 v n1 − a 2 v n 4 2 4

 v n2  2v n1 − v n  v n2 − v n1  v n1 − v n ainsi v n1 − v n est constant. On peut prendre par exemple comme solution particulière v n1 − v n  1 ou v n  n. Les deux suites r n  et nr n  sont indépendantes elles forment une base de S. - Sur R :  si le discriminant est négatif (sinon cf ci-dessus), alors en tant que sous-espace vectoriel complexe, on peut prendre comme base les suites géométriques de raison complexe r 1 et r 2 , nécessairement conjuguées si a et b sont réels. Mais on peut également prendre Rer n1  et Imr n2  qui, étant combinaison linéaires de r n1 et r n2 sont bien éléments de S, sont réelles, et engendrent S. Proposition : Soit la relation de récurrence : ∀ n ∈ N, u n2  au n1  bu n . On associe à cette relation l’équation caractéristique r 2  ar  b. L’ensemble des suites solutions forme un espace vectoriel de dimension 2 dont la base est : - Si le discriminant est non nul : r n1  et r n2  où r 1 et r 2 sont solution de l’équation caractéristque. Dans le cas d’un discriminant négatif sur R on prend Rer n1  et Imr n2 . - Si le discriminant est nul : r n  et nr n  où r est racine double de l’équation caractéristique.

Exemple :  u n2  3u n1 − 2u n  u n2  u n1  u n (suites de Fibonacci)  u n2  4u n1 − 4u n VI - 5 Suites récurrentes On s’intéresse aux suites de la forme u n  fu n−1  où f est une fonction continue définie sur un intervalle I. De façon que la suite soit définie pour tout n, nous supposerons que fI est inclus dans I. a) limite éventuelle : Si l est une limite possible de la suite, alors en passant à la limite dans la relation de récurrence, l  fl. De tels points sont appelés des points fixe de f. Dans toutes les études qui suivent, un graphique est de la plus grand utilité. b) f croissante : Une fois qu’on a trouvé les limites éventuelles, on partage I en intervalles de la forme a, b, où a et b sont des limites éventuelles ou  ou −, ce qui est possible le plus souvent, sauf cas d’une fonction f pathologique. Commençons par supposer a, b borné. On a alors : fa  a a  x  b  fa ≤ fx ≤ fb  a ≤ fx ≤ b fb  b fx − x est de signe constant sur a, b.  Traitons d’abord le cas ou fx − x ≥ 0 sur a, b Soit u 0 élément de a, b. On a alors : i) ∀ n, u n ∈ a, b Cette propriété est vraie pour n  0. Si elle est vraie pour n − 1, alors on a : a ≤ u n−1 ≤ b  fa ≤ fu n−1  ≤ fb car f est croissante  a ≤ u n ≤ b car fa  a, fu n−1   u n et fb  b ii) u n  est croissante. En posant x  u n−1 , on a en effet fx ≥ x  u n ≥ u n−1 iii) u n  est croissante majorée par b, donc est convergente. Sa limite éventuelle est l, point fixe supérieur ou égal à u 0 et inférieur ou égal à b. Le seul qui convienne est b. Ainsi la suite converge vers b.  Dans le cas où fx − x ≤ 0 sur a, b, on montre de même que la suite est décroissante, converge vers a. Ainsi, le sens de variation de la suite n’est pas lié à celui de

f, mais seulement à la position de fx par rapport à x. On a le résultat suivant : fcroissante sur I u n monotone qui peut d’ailleurs se montrer directement par récurrence. Considérons maintenant le cas d’un intervalle partitionnant I non borné, par exemple a ;  et fx − x  0 sur a ; . On montre comme précédemment que la suite reste dans a ; , et est croissante. Si elle convergeait, ce serait vers un point fixe l supérieur à a, ce qui est contraire à notre hypothèse. On en conclut donc que la suite ne converge pas, et qu’elle tend donc vers . Si fx − x  0, la suite est décroissante et converge vers a. On traitera de même le cas −; b . Exemple 1 : fx 

2x  3 , le point fixe est 3. Toutes les suites convergent vers 3

3

2

1

0

0.5

1

1.5

2 x

2.5

3

3.5

Exemple 2 : fx  2e x−2 , il existe deux points fixes, l’un attractif, l’autre répulsif.

5 4 3 2 1

0

0.5

1

1.5 x

2

2.5

c) f décroissante : On peut distinguer le cas de la sous-suite de rang pair u 2n  et de rang impair u 2n1  car : u 2n  ffu 2n−2   gu 2n−2  u 2n1  ffu 2n−1   gu 2n−1  avec g  f ∘ f croissante. On peut donc appliquer à g l’étude précédente. Il se peut que u 2n  tende vers l et u 2n1  vers l ′ avec l  fl ′  et l ′  fl. On peut aussi essayer de majorer |u n − l| où l est une limite éventuelle. D’une manière générale, on montrera par récurrence que, si l est un point fixe de f, u n − l change de signe à chaque incrémentation de n. , on montre que la suite n’est définie que pour Exemple 1 : fx  4−3x 10 , 43 . Le point fixe est 12 . On a, en multipliant par la quantité conjuguée : u 0 ∈ − 124 27 u n1 − 1 2



 u n1 − 1 2 Donc la suite converge vers

1 2

.

3 10

1 − un 2 4−3u n  10

5

≤ 3 un − 1 5 2

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.4

-0.2

0 -0.2

0.2

0.4

0.6

x

0.8

1

1.2

-0.4

Exemple 2 : fx  2x 32 1 , le point fixe est 1. La méthode de l’exemple 1 ne donne pas grand chose. On étudie les suites de rang pair, et de rang impair. On pose g  f ∘ f. Le signe de gx − x est celui de : 32x 2  1 2 − 2x 2  1 2 x − 18x  x − 12x 2  2x  3−2x 2  6x − 1 g admet deux points fixes supplémentaires : 32 7 . On a alors l’une des deux sous-suites qui tend vers l’un des points fixes, et l’autre qui tend vers l’autre, sauf dans le cas particulier où u 0  1, auquel cas la suite est constante.

4

3

2

1

0

1

2

3

x

4

d) f quelconque : L’étude peut se révéler extrêmement complexe. On considérera par exemple le cas de la suite : u n1  4  u n  1 − u n  avec u 0 ∈ 0, 1,  ∈ 0, 1. On considérera particulièrement les valeurs du paramètre :  ∈ 0, 14  ∈ 14 , 34   0, 8   0, 88   0, 89   0, 9256   0, 9352   0, 940   0, 958

2 -0.2

0.2 0 -2 -4 -6 -8

4  0, 8  x1 − x

0.4

0.6

x 0.8

1

1.2

1.4

1.6

VI - 6 Suites homographiques Un cas particulier de suite récurrente est : u n1  au n  b  fu n  cu n  d On se place sur C. Afin d’éviter le cas de suite dont un terme est non défini à cause du dénominateur qui s’annule, on prolonge parfois la fonction à C   en posant f  et f− dc   . On cherche les points fixes de f, ce qui conduit à une équation du second degré. - s’il existe deux racines distinctes (éventuellement complexes)  et , on étudie la suite auxilliaire : vn  un −  un − 

a c

On vérfie que cette suite est géométrique, ce qui permet de trouver le terme général de la suite initiale. On remarquera que si les racines sont non réelles, la suite initiale ne peut pas converger, puisqu’il n’existe pas de points fixes dans R. - s’il existe une racine double , on considère la suite auxilliaire : v n  u n 1−  On vérifie que cette suite est arithmétique. On en déduit que v n tend vers  et donc que u n tend vers  dans tous les cas. On prendra comme exemple : un u n1  3−2u n u n1  uu nn 1 −1 n u n1  1u 1−u n n −2 u n1  3u 2u n −1