Td1 Suites

S. Jaubert - CFAI-CENTRE

TD1 Suites Numériques 1. Suites arithmétiques a. Soit u n  n∈N une suite arithmétique, telle que : u 0  11, u n  433, u 0    u n  47064. Déterminer le nombre entier n et la raison de la suite. b. Soit u n  n∈N une suite arithmétique, telle que la raison soit égale à 4 et telle que u 0  u 1    u 99  18900. Déterminer u 0 et u 99 . c. Déterminer les termes réels u 0 , u 1 , u 2 , u 3 d’une suite arithmétique sachant que leur somme est 20 et la somme de leurs carrés 120. d. Soit u n  n∈N une suite arithmétique de raison r ≠ 0. i. Calculer S n  u 0    u n en fonction de u 0 , u n et n. ii. En partant de la formule donnant a  r 3 où l’on remplacera successivement a par u 0 , u 1 , …, u n , en déduire : S ′n  u 20    u 2n iii. Calculer la somme des n premiers entiers non nuls. iv. Calculer la somme des carrées des n premiers entiers non nuls. 2. Suites géométriques a. Soit u n  la suite définie par la donnée de u 0 et de la relation de récurrence : u n  12 u n−1  2 pour tout n ≠ 0. En posant u n  v n  h, déterminer h pour que la suite v n  soit une suite géométrique. En déduire le calcul de u n en fonction de n et de u 0 . b. On considère la suite u n  de nombres réels définie par : u 0  3 et 3u n  u n−1  2 pour n ≥ 1. Calculer u 1 , u 2 et u 3 . Pour tout n ∈ N, on pose u n  v n  1. Montrer que la suite v n  est suite géométrique. Calculer, en fonction de l’entier n, les termes v n et u n . On pose S n  u 0    u n . Calculer S n . i. u 1 et a sont des réels donnés. La suite de terme général u n est donnée par la relation u n1  12 u n  a n ≥ 1. Montrer qu’il existe une constante réelle b telle que si l’on pose v n  u n − b la suite v n  est suite géométrique. Calculer : s n  v 1    v n et en déduire : S n  u 1    u n en fonction de u 1 , a et n. ii. w 0 et w 1 sont des nombres réels donnés et la suite de terme général w n est donnée par la relation : 2w n1 − 3w n  w n−1  0 n ≥ 1 1 Montrer que w n1 − 2 w n est indépendant de n et donner sa valeur en fonction de w 0 et w 1 . En déduire la valeur de : S ′n  w 0    w n en fonction de n, w 0 et w 1 . c. Déterminer le premier terme u 0 et la raison q de la suite géométrique u n  vérifiant : u 3  12 , u 4  0, u 5  485 . 5 3. Limites de suites a. Soit la suite de terme général u n  3n 2 − 2n  1. Montrer que ∀ n ∈ N u n ≥ 2n 2 . En déduire lim n→ u n . b. Soit la suite de terme général u n  n − n  1 . Montrer que, pour n ≥ 1, |u n | ≤ 2 1n . En déduire sa limite. c. Etudier la limite de la suite de terme général u n  2n  −1 n n.

d. Soit la suite de terme général u n  3 n 2  1 − 5n. Montrer que, pour n ≥ 2, u n ≤ −n. En déduire la limite de u n . i. Soit u n  n∈N ∗ la suite défine par : u n  2n2  1 n 1 Montrer que u n  est une suite convergeant vers 0. ii. Soit v n  n∈N ∗ la suite définie par :  21  2 1 vn  2 1 n 1 n 2 n  2n  1 Montrer que v n ≤ u n en déduire la limite de v n e. Soit u n  la suite définie par u 0  2 et par la relation de récurrence u n1  uu nn −5 . −1 i. Calculer u n2 en fonction de u n ii. En déduire que la suite u n  est périodique. Est-elle convergente ? f. Soit u n  la suite définie par : u0  1 un 

2  u n−1 , n  0

i. Montrer par récurrence, que la suite est majorée par 2 et qu’elle strictement croissante. ii. Montrer que : |u n − 2| ≤ |u n−1 −2| , en déduire sa limite. 2 2

g. On empile l’un sur l’autre des cubes dont les arêtes ont pour longueurs respectives : a, a2 , a4 , a8 , … (la longueur d’une arête est la moitié de celle du cube précédent). i. Quelle est la hauteur maximale de la pile ? ii. Quelle est le volume maximale de tous les cubes ?