Statistica Completa

Statistica matematica probleme de dificultate redusa

T

1)

Dintr-o popula ie normal repartizat cu dispersia necunoscut se face o selec ie de volum n. Intervalul de încredere pentru media m a popula iei cu dispersia necunoscut este x

s ,x t n

t

s ? n

T

2)

Fie un parametru al colectivit ii generale i *(x1,x2, ,xn) o func ie de selec ie. Spunem c este o estima ie consistent a lui dac *(x1,x2, ,xn) converge în probabilitate c tre ?

T

3)

Momentele de selec ie sunt estima ii absolut corecte ale momentelor teoretice?

F

4)

Fie densitatea de reparti ie f(x, ), cu parametru necunoscut. Fie cazul ipotezei simple: H0: = ; H1: = 1. Probabilitatea de respingere a ipotezei H0 ca func ie de se nume te riscul furnizorului?

T

5)

Intervalul de incredere pentru parametrul mediei m din repartia normala N(m, cunoaste

F

6)

7)

este

0

) cand se

?

Intervalul de incredere pentru parametrul m al repartitiei normale N(m, dispersia

F

este

*

) cand nu se cunoaste

?

Intervalul de incredere pentru parametrul dispersiei

al repartiei normale N(m,

) este

?

T T

F

8)

Valoarea mometului de selec ie de ordinul r este

9)

Momentele de selec ie sunt estima ii absolut corecte ale momentelor teoretice?

10)

Urmatoarea estimatie:

?

este o estimatie nedeplasata pentru dispersia teoretica?

T

11)

Fie

T

12)

Testul Z se aplicã pentru verificarea ipotezei

si

doi estimatori nedeplasati pentru un parametru . Sa se precizeze daca estimatorul pastreaza proprietatea de a fi nedeplasat pentru parametrul dat ?

H0 : m

m0

H1 : m

m1

cu alternativa pentru distributia N m,

T

13)

2

2

cu

cunoscut?

Pentru compararea a doua proportii provenite din doua esantioane de volume

si

aceleasi populatii se foloseste statistica normal redusa:

?

ale

T

14)

Pentru compararea a 2 proportii testam ipoteze nula: contra ipotezei alternative: la un prag de semnificatie . Atunci spunem ca respingem ipoteza nula in cazul: , unde reprezinta cuantila de ordin ?

F

15)

Valorile d

1

1

, unde

2

este functia de repartie pentru o variabila normal redusa,

nu se cunosc?

T

16)

Dacã

*

x1 ,..., xn converge în probabilitate cãtre parametrul

consistentã a lui

T

17)

Dacã M

*

spunem cã

T

18)

O estimatie

F

19)

Dispersia de selectie este s teoretica?

, lim D

2

*

n

x1 ,..., xn

este o estimatie

0,

x1 ,..., xn este o estimatie corectã a parametrului *

*

?

x1 ,..., xn *

, spunem cã

este nedeplasatã dacã M

2

1 n

n

xi i 1

*

?

0?

2

x este o estimatie nedeplasata pentru dispersia

T

T

F

20)

21) 22)

Valoarea mediei de selectie este x

1 n

1

Valoarea dispersiei de selectie este s

1 n

2

n

xi ? i 1

n

2

xi

x ?

i 1

Dacã repartitia teoreticã are media m si dispersia

2

, atunci media de selectie are valoarea

2

medie

F

23)

si dispersia

n

?

Testul "t" (Student) se aplicã pentru verificarea ipotezei

H0 : m

m0

H1 : m

m1

cu alternativa pentru distributia N m,

T

24)

2

cu

2

cunoscut?

Pentru compararea dispersiei de sondaj cu dispersia populatiei originare consideratã N m, trebuie verificatã ipoteza

H0 :

2

2 0

H1 :

2

2 1

2

contra alternativei .

se face cu ajutorul unui esantion de volum n cu statistica U repartitie

T

25)

2

n 1~ s2 2

?

Dacã nx reprezintã numãrul observatiilor în care a apãrut o valoare a caracteristicii *

decât x atunci functia de repartitie de selectie este Fn x

*

care are o

2

*

mai micã

nx ? n

F

26)

O estimatie

T

27)

Problema regresiei const în a descrie legea de varia ie medie a unei variabile în func ie de una sau mai multe variabile cunoscute?

este nedeplasatã dacã D

0?

T

28)

Problema corela iei const în caracterizarea intensit ii leg turii cu ajutorul unui coeficient numeric coeficient de corela ie independent de unit ile de m sur ale variabilelor correlate?

F

29)

O condi ie necesar pentru un calcul statistic corect in problema de regresie si de corelatie este omogenitatea datelor i un num r mic de observa ii?

T

30)

Caracterul omogen sau neomogen al colectivit ii statistice poate fi sesizat examinând diagrama de dispersare a unit ilor observate în raport cu valorile variabilelor correlate?

T

31)

Intervalul de incredere pentru parametrul dispersiei

al repartiei normale N(m,

) este

?

T

32)

Fie

si n date, atunci cuantilele repartitiei

2 1,tab

:

2 1

2

;n 1

2 2 ,tab

,

2 2

;n 1

sunt

tabelete?

T

33)

Estimatorul verosimilitatii maxime pentru parametrul efficient?

F

34)

Douã estimatii eficiente ale parametrului

T

35)

Valoarea medie a momentului de selectie de ordin r ,

F

36)

Dispersia momentului de selectie de ordin r ,

T

37)

Media condi ionat teoretic a lui y în raport cu x este y x estima prin metoda celor mai mici p trate?

38)

Fie

al repartitiei Poisson este un estimator

nu sunt egale aproape sigur?

r

r

este

este

r

?

?

a

bx .Parametrii a i b se pot

un parametru necunoscut pentru o densitate de repartitie f x,

. Atunci pentru o

selectie de volum n obtinem douã statistici A x1 ,..., xn , B x1 ,..., xn astfel încât

B x1 ,..., xn probabilitatea P A x1 ,..., xn INTERVAL se numeste........................de incredere.

,unde

nu depinde de

. Atunci [A,B]

39)

Fie

este un parametru necunoscut pentru densitatea de repartitie f x,

.Atunci pentru o

selectie de volum n obtinem douã statistici, A x1 ,..., xn , B x1 ,..., xn astfel încât probabilitatea P A x1 ,..., xn

B x1 ,..., xn ,unde multimea punctelor de selectie x1 ,..., xn pentru care A acceptare pentru

40)

Fie

nu depinde de

. In acest caz

REGIUNE

B , se numeste ............ de

.

este un parametru necunoscut al densitatii de repartitie f x,

în care pentru o selectie

de volum n obtinem douã statistici, A x1 ,..., xn , B x1 ,..., xn astfel încât probabilitatea

P A x1 ,..., xn

B x1 ,..., xn ,unde PRAG numeste ....... de încredere al intervalului [A,B].

nu depinde de

.Atunci numãrul

se

41)

Dispersia de selec ie este o estima ie consistent pentru DISPERSIA ...................teoretic .

42)

Probabilitatea de respingere a ipotezei nule PUTERE a testului. functie de...............

43)

În luarea deciziei de admitere sau respingere a unei ipoteze se pot face o eroare de gradul întâi

ca functie de parametrul considerat

se numeste

RESPINGEM H desi ea este adevãratã. daca ..................... 0

44)

În luarea deciziei de admitere sau respingere a unei ipoteze se pot face o eroare de gradul doi daca ACCEPTAM ..................... H 0 desi ea este falsa.

45)

Fie x1 ,..., x n valorile observate ale variabilei x i y1 ,..., y m valorile observate ale variabilei y i fie f ij num rul unit ilor popula iei care au valoarea xi a variabilei x i y i pentru y. Atunci m

n

f

f ij i f i

j

j 1

i 1

46)

MARGINALE

f ij se numesc reparti ii ...............ale lui y, respectiv x.

MARGINALE Caracteristicile ...............ale lui x i y (medie i dispersie) sunt

x y

1 f 1 f

n 2

xi f i , D ( x ) i 1 m

yj f j 1

.j

2 , D ( y)

n

1 f

2

xi

x fi

i 1

1 f

2

m

yj j 1

y f

j

probleme de dificultate medie

1)

S-a constatat c cererea unui anumit articol într-o perioad a anului este o variabil aleatoare. Luându-se la întâmplare 100 de bonuri de comand s-au observat urm toarele 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cererea ( xi ) 20 18 10 19 3 1 Frecven a ( ni ) 4 5 12 8 Aflati cererea medie x . x = 5, 49

2)

Fie o selec ie de volum 25 repetat asupra unei caracteristici X a unei popula ii statistice care a condus la rezultatele urm toare: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 xk -2 0 1 2 1 2 0 4 -2 -1 -3 1 2 3 4 2 -2 -1 3 2 4 4 1 -3 2 determinati dispersia de selec ie.

3)

Se consider X o caracteristic a unei popula ii cu densitatea de reparti ie f x,

cu

x

2 e x!

parametru necunoscut, f x,

2

,x

N,

> 0, i fie xk

selec ii repetate de volum n efectuat asupra lui X. Determinati un estimator de maxim verosimilitate al parametrului

4)

Fie X o carateristic a unei popula ii, X (m, 2), cu conduce la o valoare medie x

k 1, n

θ∗ =

rezultatele unei

x 2

= 36, i fie o selec ie de volum n=9 care

195 .

Intervalul de încredere pentru parametrul m este 171,48;218,52 pentru ce coeficient de încredere? δ = 0,95

5)

Fie X o carateristic a unei popula ii, X (m, 2) i fie o selec ie de volum n=9 care conduce la o valoare medie i o dispersie modificat x

2

50, s = 1,752 .

Intervalul de încredere pentru parametrul m este 48,311; 51,689 încredere? δ = 0,98

T

pentru ce coeficient de

6)

Dintr-o popula ie normal se face o selec ie de volum 16 g sindu-se: xk: 2,8; 2,8; 2,8; 3; 3; 3; 3,4; 3,2; 3; 3; 2,9; 2,9; 2,8; 3,4; 3; 3. Aflati intervalul de încredere 98% corespunz tor dispersiei 2 [0, 0176;0,1033]

7)

Dintr-o selec ie ordonat de volum n=25 s-au ob inut urm toarele date: medie de selec ie x = 14,85, dispersie de selec ie modificat s* = 1,52. Se face urmatoarea ipoteza asupra valorii medii teoretice H0 : m = 15,15 . In aceste conditii, se accepta ipoteza H0 la un nivel de semnifica ie = 0,05? Yes

T

8)

Pe un e antion dintr-o popula ie N(m,

) de volum n=25 s-a ob inut x = 12,64; s

Se fac urmatoarele ipoteze asupra valorii medii teoretice : H0: m = 12, H1 : m 2, 262 se accepta H0? Yes La un nivel de semnifica ie = 0,05 , t

9)

T

2

6, 25 .

12 .

Dintr-o popula ie normal repartizat cu dispersia necunoscut se face o selec ie de 2 2 volum n 9 i se ob ine x 50 , s 1, 75 . S se scrie intervalul de încredere dac 2,37 . ( 48, 61;51,38) 0, 05 i t

10)

Precizati momentul centrat de selec ie de ordinul r

11)

Daca pentru o sectie de volum n se cunoaste dispersia de selectie valoarea dispersiei de selectie modificate

12)

S se arate c dac

True (Yes)

atunci sa se precizeze

.

este o variabil aleatoare normal

, atunci pentru o selectie de

volum n care este reparti ia mediei de selec ie ?

T 13) Spunem c

este o estima ie consistent a lui

probabilitate c tre parametrul

14)

daca

converge în

? Yes

Recunoasteti urmatoarea teorema: Dac este o estima ie absolut corect a parametrului

D2

*

1

x1 ,... xn

ln f x,

nM

2

.

15)

Dac

, atunci

Rao-Cramer

este o func ie de estima ie absolut corect , atunci cum se numeste raportul

1 nM en

F

16)

ln f x,

2

*

D2

*

Pentru compararea dispersiei de sondaj cu dispersia populatiei originare comsiderata normala trebuie verificata ipoteza nula de incredere

17)

eficienta lui

.Specificati: daca

contra alternativei aunci pentru

la un prag respigem

Determinarea regiunii critice se face cu ajutorul carei leme? Neyman-Pearson

? False (No)

18)

Precizati intervalul de incredere pentru parametrul mediei m din repartia normala N(m,

) cand

se cunoaste

19)

Sa se afle intervalul de incredere pentru parametrul m al repartitiei normale N(m, cunoaste dispersia

20)

21)

.

Sa se determine un interval de incredere pentru parametrul dispersiei N(m,

) cand nu se

al repartiei normale

)

Fie repartitia de tip continuu f x,

unde

poate lua orice valoare dintr-un interval I .

Valorile de selectie x1 ,..., xn obtinute în urma a n extractii independente din populatie sunt variabile aleatoare independente cu aceeasi densitate de probabilitate f x, numeste functia functie de verosimilitate

, P x1 ,..., xn ;

dx1 ...dxn μr =

. Atunci cum se

f x1 , ... f xn , dx1 ...dxn ? 1 n (xi − x )r ∑ n i =1

22)

Precizati momentul centrat de selectie de ordinul r

23)

Precizati momentul de selectie de ordinul r pentru o variabila aleatoare α r =

24)

Compararea mediei unui sondaj cu media cunoscuta a unei populatii originare se face cu ajutorul testului Z care se bazeaza pe statistica Z=...

25)

Compararea a douã proportii se realizeza cu ajutorul a douã esantioane de volum n1 respectiv

1 n r ∑ xi n i =1

n2 din populatii diferite sau din aceeasi populatie. Aceste esantioane ne dau proporþiile p1 respectiv p2 de elemente posedând o anumitã caracteristicã A . Vom testa ipoteza H 0 : p1 p2 contra alternativei

H1 : p1

p2 .

Z=

cu ajutorul carei statisticii?

T

*

*

p1 − p2 p1q1 p2 q2 + n1 n2

26)

Daca en

27)

S-a constatat c cererea unui anumit articol într-o perioad a anului este o variabil aleatoare. Luându-se la întâmplare 100 de bonuri de comand s-au observat urm toarele 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cererea ( xi ) 20 18 10 19 3 1 Frecven a ( ni ) 4 5 12 8

este eficienta lui

atunci

0 en

1?

Atunci calculati dispersia modificat de selec ie s 2 .

True

s% 2 = 4, 47

28)

Fie o selec ie de volum 25 repetat asupra unei caracteristici X a unei popula ii statistice care a condus la rezultatele urm toare: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 xk -2 0 1 2 1 2 0 4 -2 -1 -3 1 2 3 4 2 -2 -1 3 2 4 4 1 -3 2 Aflati x .

T

29)

x = 0,96

Fie o popula ie caracterizat simultan de dou variabile X i Y. Fie x1 , x2 ,..., xn valorile observate ale variabilei X i y1 , y2 ,..., ym valorile observate ale variabilei Y. Fie fij num rul unit ilor popula iei care au valoarea xi a variabilei X i yj pentru Y. Numerele f ij , i m

1, n, j 1, m , satisfac urmatoarele relatii fij

0, i 1, n, j 1, m,

n

f ij

1?

True

i 1 j 1

30)

Se considera o populatie avand doua caracteristici X si Y, variabilele aleatoare discrete, pentru care se cunosc reparti iile individuale i reparti ia comun date în tabloul X\Y -1 1 qj Determinati reparti ia variabilei 3X - 2Y

31)

0 1/12 1/4 1/3 ⎛ −3 3 X − 2Y : ⎜ 1 ⎜⎜ ⎝ 12

1 5/12 1/4 2/3 -1 1 4

1 1 4

pi 1/2 1/2

3 ⎞ ⎟ 5⎟ ⎟ 12 ⎠

Fie o popula ie caracterizat simultan de dou variabile X i Y pentru care calcul m media teoretica condi ionata a lui Y in raport cu X, y x . D Coeficientul de variatie a ajustarii se calculeaza cu ce formula? CV = y = 1 ⋅ y y unde y x = a + bx .

32)

33)

34)

∑ ( $y − y

La dou teste opt elevi au ob inut urm toarele rezultate: Test 1 45 40 X 35 55 40 35 50 60 Test 2 50 60 40 35 65 55 45 50 Y Calculati valorile medii x i y . x = 45 y = 50 La dou teste opt elevi au ob inut urm toarele rezultate: Test 1 45 40 X 35 55 40 35 50 60 Test 2 50 60 40 35 65 55 45 50 Y * Calculati coeficientul a al dreptei de regresie a lui y în raport cu x , y x a a = 0,75

n

bx

7,82 , y 7,86 , s x 4,86 , s y 5,50 i rxy 0,5273 , precizati dreapta de regresie a lui y în raport cu x . y = 0,5967 x + 3,17 Dac se dau x

x

)

35)

Dac se dau x

7,82 , y

a din ecua ia dreptei de regresie y x

36)

Dac se dau x

7,82 , y

38)

39)

4,86 , s y

16 26 36 46 56 fi

4

4

Sa se determine x i y x = 31.7 y = 35.6

0,5273 , coeficientul

5,50 i rxy

0,5273 , coeficientul

a bx are ce valoare? b = 3,17

Pentru datele din tabelul urm tor x 40 50 y 58 102 Cat sunt valorile medii x i y . x = 59 y = 140 Pentru datele din tabelul urm tor x 40 50 y 58 102 coeficientul a al dreptei de regresie y x a Pentru datele din tabelul urm tor x 20 y

5,50 i rxy

a bx are ce valoare? a = 0,5967

7,86 , s x

b din ecua ia dreptei de regresie y x

37)

4,86 , s y

7,86 , s x

25 6 8

14

60 142

70 188

75 210

60 70 75 142 188 210 bx are ce valoare? a = 4,256

30 10 32 4 46

35

3 12 1 16

40

f

9 6 5 20

10 18 44 22 6 100

j

probleme de dificultate ridicata 1.

Se fac cinci m sur tori cu un aparat asupra lungimii unei bare i se g sesc rezultatele în mm:

92 ; 94 ; 103 ; 105 ; 106 . S se determine valoarea medie a lungimii barei, dispersia de selec ie i dispersia de selec ie modificat .

2.

Reparti ia valorilor unei variabile observate pe baza a 50 de observa ii este dat de tabelul:

xi

0

1

2

3

4

5

6

7

ni

3

8

5

10

8

6

7

3

S se calculeze valoarea medie a m rimii observate .

3. Reparti ia valorilor unei variabile observate pe baza a 50 de observa ii este dat de tabelul:

xi

0

1

2

3

4

5

6

7

ni

3

8

5

10

8

6

7

3

S se calculeze valoarea dispersieie modificate

.

4. Pentru a cerceta prezenta studentilor la un anumit curs s-a ales un esantion de 100 studenti si s-a inregistrat numarul absentelor acestora la cinci cursuri consecutive: 40 de studenti nu au nici o absenta, 20 de studenti au 1 absenta, 15 studenti au 2 absente, 10 studenti au 3 absente, 8 studenti au 4 absente si ultimii 7 studenti au absentat la toate cele 5 cursuri. Sa se determine valoarea mediei de selectie. 1,47 5. O selectie aleatoare de volum n=10 dintr-o populatie normala a dat urmatoarele valori: -2, -2, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 Sa se scrie un interval de incredere pentru media populatiei normale la un prag de incredere de 95%. Se cunoaste ca ,26. 0,3<m<3,7 6. Se efectueaza 12 masuratori independente asupra unei variabile aleatoare

repartizate normal

, rezultatul masuratorilor fiind urmatorul :-0,5;-0,4;-0,4;-0,2;0;0,2;0,6;0,8;1;1,2;1,2;1,5. Sa se detrmine la un prag de incredere de 0,05 un interval de increder pentru media teoretica. Se cunoaste cuantila -0,04<m<0,8 7. Sa se gaseasca o

estimatie eficienta pentru parametrul

din repartitia Poisson

, k=0,1..., pe baza unei selec ii repetate de volum n.

8.

Sa se precizeze un estimator eficient pentru parametrul mediei m din repartitia normala cu

f x, m densitatea de probabilitate

1 e 2

x m2 2 2

.

media de selectie

9. O selectie de volum n=31 a dat o estimatie deplasata a dispersiei teoretice. Sa se determine o estimatie nedeplasata a dispersiei teoretice. 3,1 10. Durata de functionare a unui tip de tub florescent de 40 de w poate fi considerata o variabila aleatoare reprezentata de media m=1500h si . O selectie de 50 de tuburi dau o durata medie de functionare de ore. Sa se verifice ipoteza nula h fata de alternativa pentru . Se cunoaste cuantila deci respingem 11. Durata de functionare a unui tip de tub florescent de 40 de w poate fi considerata o variabila aleatoare reprezentata de media m=1500h si . O selectie de 50 de tuburi dau o durata medie de functionare de ore. Sa se determine puterea testului pentru 12. Salariul mediu lunar dintr-o unitate de productie este de 1.550.000 lei. Se face o cercetare selectiva pe un esantion de 25 de salariati si se obtine

. Stiind ca salariul este o

variabila aleatoare normala si ca abaterea medie patratica a salariatilor =30.000lei sa se decida daca salariul mediu este semnificativ mai mic decat cel anuntat la un prag de incredere de =0,01. Se stie ca . deci respingem Pe un esantion format din 10.000 de indivizi din totalul populaþiei unei zone de 700 .000 de indivizi, s-a constatat cã consumul mediu lunar pentru menaj este de 950 .000 lei ºi o abatere medie pãtraticã s 700 .000 . Sã se determine un interval de încredere pentru 1,96 . estimarea mediei de consum a întregii populaþii.Se cunoaste ca t

13.

936.000 ≤ m ≤ 964.000 14.

Sã se determine un interval de încredere pentru parametrul cu un prag de încredere de 98% stiind cã în urma a 25 de mãsurãtori independente s-a obþinut media x 18,2 si

s2 dispersia ~

1,63 . 0,88 ≤ σ ≤ 1,896

15. Sa se afle estimatorul de verosimilitate maxima pentru parametrul m din repartitia normala n N(m, ). m = 1 x

n

∑ i =1

i

T 16. Sa se estimeze parametrul

pentru repartitia normala N(m,

Yes

) k

17. Sa se estimeze parametrului

din repartia Poisson f k ;

k!

e , k

0,1,... pe baza

unei selectii repetate de volum n . 18. Se efectueazã o selectie de volum n

100 asupra unei variabile aleatoare care ne furnizeazã 10 30 15 45 0,3 , 0,15 , 0,1 , si 0,45 valorile 1 , 5 , 9 , 12 cu frecventele 100 100 100 100

atunci aflati valoarea functiei de repartitie empirice F(2). F(2)=0,3

19. Fie

o variabilã aleatoare normalã N m,

este o variabilã aleatoare normalã

2

, atunci sa se afle repartitia mediei de selectie.

20. Fie

21.

o variabilã aleatoare cu o repartitie Poisson de parametru mediei de selectie. este repartizat Cauchy

. Sã se determine repartitia

O masinã fabricã piese în serie. Ea a fost reglatã astfel ca diametrul pieselor sã fie de 12,60 mm. Pe un esantion de 100 de piese s-a obtinut valoarea medie a diametrelor x

12,65 mm.

2

0,16 se cere: Dacã Sã se decidã dacã diametrele sunt semnificativ mai mari decât diametrul anuntat pentru 0,01 . nu sunt semnificativ mai mari 10 , x 12,65 si 0,05 . 0,1584 sã se verifice dacã diametrele diferã semnificativ de cel anuntat.

22. O masinã fabricã piese în serie. Dacã volumul esantionului este n

s2

diametrele difera semnificativ 23. Într-un oras s-a efectuat un sondaj privind cheltuielile lunare pentru consumul alimentar. Sondajul a fost efectuat pe douã esantioane cuprinzând categorii sociale diferite. S-au obtinut rezultatele:

Volumul esantion

Media de consum (lei)

Abaterea mediei pãtraticã

Muncitori

n1

327

x1

612 .000

s1 104 .000

Functionar i

n2

286

x2

642.000

s2

118 .000

Sã se testeze dacã diferenta cheltuielilor medii lunare este semnificativã pentru cele douã categorii sociale da, diferenta este semnificatica 24. Reparti ia valorilor unei variabile observate pe baza a 50 de observa ii este dat de tabelul:

xi

0

1

2

3

4

5

6

7

ni

3

8

5

10

8

6

7

3

S se calculeze valoarea dispersiei. 25. Se consider o popula ie caracterizat simultan de variabilele aleatoare discrete X, Y si de urm torul tablou incomplet

unde

X\Y -1 1 qj este un parametru real strict pozitiv.

S se completeze tabloul dat astfel încât aleatoare X i Y. X\Y 0 1 -1 λ 1/2-λ 1 1/3- λ 1/6+λ qj 1/3 2/3

0

1

pi 1/2

2/3

acesta s furnizeze reparti ia comun a variabilelor pi 1/2 1/2

26. Se consider o popula ie caracterizat simultan de variabilele aleatoare discrete X, Y si de urm torul tablou incomplet X\Y -1 1 qj

0 1/6

1

pi 1/2

2/3 X\Y 0 1 Precizati reparti ia comun a variabilelor aleatoare X i Y . -1 1/6 1/3 1 1/6 1/3 qj 1/3 2/3 27. Doua caracteristici ale unei populatii sunt descrise de variabilele aleatoare discrete X, care se cunosc reparti iile individuale i reparti ia comun date în tabloul X\Y -1 1 qj

0 1/12 1/4 1/3

1 5/12 1/4 2/3

pi 1/2 1/2 Y, pentru

pi 1/2 1/2

In aceste conditii, care este legatura dintre X si Y . independente, dar corelate ? ?? NU

independente si deci corelate 28. Precizati care sunt proprietatile coeficientului de corelatie r asociat la doua variabile X si Y A.r este cuprins între –1 şi +1 B.Dacă r este strict pozitiv, ambele variabile variază în acelaşi sens. Dacă r este strict negative, variabilele variază în sensuri opuse. C.Dacă valoarea absolută a coeficientului de corelaţie este mică, poate exista o legatura intre variabilele X si Y, dar aceasta nu poate fi de formă liniară. D.Coeficientul de corelaţie este direct proporţional cu coeficientul de regresie.

T 29. Pentru testarea caracterului omogen al unei colectivit i statistice se utilizeaz coeficientul de varia ie. Cu cât nivelul acestui coeficient este mai apropiat de zero cu atât varia ia este mai mic iar colectivitatea mai omogen ? True (Yes) 30. Fie o popula ie caracterizat simultan de dou variabile X i Y. Se considera urmatoarele date xi 1 2 4 5 yj 3 10 12 15 Care este cea mai buna functie de ajustare liniara a datelor? y = 2 x + 3 31. Fie o popula ie caracterizat simultan de dou variabile X i Y. Se considera urmatoarele date xi yj

1 3

2 10

4 12

5 15

Se studiaza dependenta liniara a celor doua caracteristici si se determina functia de regresie

yx

ax b prin metoda celor mai mici patrate. 4

Detreminati eroarea de ajustare globala S

yi i 1

axi b si coeficientul de variatie CV? S = 10, 4, CV = 0,1612

32. Proprietarul unui magazine isi propune sa analizeze mosul in care valoarea incasarilor a fost uinfluentata de cheltuielile cu publicitatea. Pentru aceasta extrage din documentele de evidenta nivelul cheltuielilor cu publicitatea si valoarea vanzarilor din ultimile 5 luni. Cheltuieli publicitate (mii lei) xi

3

5

7

9

Nivelul vanzarilor (mil. lei) yi

5

25

70

45

Determinati functia de regresie liniara care descrie interdependenta dintre cele doua caracteristici

y = 8, 25 x − 13, 25 33. La dou teste opt elevi au ob inut urm toarele rezultate:

Test 1 X 35 55 Test 2 50 60 Y Aflati dreapta de regresie y n a bx

40 35 50 60 40 35 65 55 y x = 0,75 + 16 ,25 x

45 45

40 50

34. Pentru datele din tabelul urm tor

x

y 125 150 175 200 225 250 fx

18

23

1

1 2 3

1

28

33

5 2 1

6

38

12 8

8

43

7 3

20

3 1 4

10

48

fy

1 1

1 8 17 16 6 2 50

x = 33 y = 187

s se calculeza mediile x i y . 35. Pentru datele din tabelul urm tor

x

40 50 60 58 102 142 Care este ecua ia dreptei de regresie y x a bx

70 75 188 210 y x = 4,256 − 106 ,84 x

y

36. Pentru datele din tabelul urm tor

x

6 9 10 12 22 69 57 65 53 44 2 2 Care sunt valorile lui s x i s y2 s x = 119,25

26 40

y

28 37

32 34

35 32

?

s y2 = 210

37. Pentru o selectie de volum n=41 se cunoaste disperia de selectie dispersia de selectie modificata . 3,075

. Sa se determine

38. Reparti ia valorilor unei variabile observate pe baza a 50 de observa ii este dat de tabelul:

xi

0

1

2

3

4

5

6

7

ni

3

8

5

10

8

6

7

3

Sa se determine moda variabilei( valoarea caracteristicii careia ii corespunde cea mai mare frecventa). 3

F 39. Reparti ia valorilor unei variabile observate este dat de tabelul

Valorile m rimii -1 0 1 2 3 4 Frecven ele 2 5 6 9 10 8 Valoarea medie a m rimii observate este x

5 6 7 3 2, 7 4 ? False

T 40. S-a constatat c cererea unui anumit articol într-o perioad a anului este o variabil aleatoare. Luându-se la întâmplare 100 de bonuri de comand s-au observat urm toarele 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cererea ( xi ) 20 18 10 19 3 1 Frecven a ( ni ) 4 5 12 8 Cererea medie x i dispersia modificat de selec ie s 2 sunt egale cu x

s

2

4, 47 ?

5, 49 ,

True

F 41. Dintr-o popula ie normal repartizat cu dispersia necunoscut se face o selec ie de 2 2 0,95 i t 1,96 intervalul de volum 9 g sindu-se x 50 i s 1, 75 . Pentru încredere este 47,98;57, 01 ? False

F 42. Se consider X o caracteristic a unei popula ii cu densitatea de reparti ie f x,

cu

x

parametru necunoscut, f x,

2 e x!

2

,x

N,

> 0, i fie xk

selec ii repetate de volum n efectuat asupra lui X. Un estimator de maxim verosimilitate al parametrului este

*

k 1, n

x ? False

rezultatele unei

Statistica matematica probleme de dificultate redusa TRUE/FALSE

1)

Dintr-o populaţie normal repartizată cu dispersia necunoscută se face o selecţie de volum n. Intervalul de încredere pentru media m a populaţiei cu dispersia necunoscută s% s% ⎞ ⎛ este ⎜ x − tα , x + tα ⎟. n n⎠ ⎝

2)

Fie θ un parametru al colectivităţii generale şi θ*(x1,x2,…,xn) o funcţie de selecţie. Spunem că θ* este o estimaţie consistentă a lui θ dacă θ*(x1,x2,…,xn) converge în probabilitate către θ.

T

3)

Momentele de selecţie sunt estimaţii absolut corecte ale momentelor teoretice.

F

4)

Fie densitatea de repartiţie f(x,θ), cu θ parametru necunoscut. Fie cazul ipotezei simple: H0:θ=θ0 ; H1:θ=θ1. Probabilitatea de respingere a ipotezei H0 ca funcţie de θ se numeşte riscul furnizorului.

T

5)

Intervalul de incredere pentru parametrul mediei m din repartia normala N(m,

T

T

cunoaste

F

6)

7)

.

Intervalul de incredere pentru parametrul m al repartitiei normale N(m, dispersia

F

este

) cand nu se cunoaste

este:

Intervalul de incredere pentru parametrul dispersiei

al repartiei normale N(m,

.

T

) cand se

8) Valoarea mometului de selecţie de ordinul r este

.

) este

T

9) Momentele de selecţie sunt estimaţii absolut corecte ale momentelor teoretice.

F

10)

Urmatoarea estimatie:

T

11)

Fie

T

12)

si

este o estimatie nedeplasata pentru dispersia teoretica.

doi estimatori nedeplasati pentru un parametru . Sa se precizeze daca estimatorul pastreaza proprietatea de a fi nedeplasat pentru parametrul dat .

Testul Z se aplicã pentru verificarea ipotezei

H 0 : m = m0 cu alternativa

(

pentru distributia N m,σ

T

13)

2

) cu σ

H1 : m = m1 2

cunoscut.

Pentru compararea a doua proportii provenite din doua esantioane de volume

si

ale

aceleasi populatii se foloseste statistica normal redusa:

T

14)

Pentru compararea a 2 proportii testam ipoteze nula: contra ipotezei alternative: la un prag de semnificatie . Atunci spunem ca respingem ipoteza nula in cazul: , unde reprezinta cuantila de ordin .

F

15)

Valorile d α = Φ −1 ⎜

⎛1 − α ⎞ ⎟ , unde ⎝ 2 ⎠

este functia de repartie pentru o variabila normal redusa, nu

se cunosc.

T

16)

Dacã θ* ( x1 ,..., xn ) converge în probabilitate cãtre parametrul θ , spunem cã θ* este o estimatie consistentã a lui θ .

T

17)

T

(

)

(

)

Dacã M θ* ( x1 ,..., xn ) = θ , lim D 2 θ* ( x1 ,..., xn ) = 0 , n→∞

spunem cã θ* ( x1 ,..., xn ) este o estimatie corectã a parametrului θ .

T 18) O estimatie θ* este nedeplasatã pentru parametrul

F

( )

dacã M θ* = 0 .

19) Dispersia de selectie este s 2 =

1 n (xi − x )2 este o estimatie nedeplasata pentru dispersia ∑ n i =1

teoretica.

T

20) Valoarea mediei de selectie este x = α1 =

T

21) Valoarea dispersiei de selectie este s 2 =

F

1 n ∑ xi n i =1

1 n (xi − x )2 ∑ n i =1

22) Dacã repartitia teoreticã are media m si dispersia σ 2 , atunci media de selectie are valoarea medie

F

si dispersia

σ2 . n

23) Testul "t" (Student) se aplicã pentru verificarea ipotezei

H 0 : m = m0 cu alternativa

(

H1 : m = m1

)

pentru distributia N m,σ2 cu σ 2 cunoscut.

T

24) Pentru compararea dispersiei de sondaj cu dispersia populatiei originare consideratã N m,σ2 trebuie verificatã ipoteza

(

)

H 0 : σ 2 = σ02 contra alternativei

H1 : σ2 = σ12 .

se face cu ajutorul unui esantion de volum n cu statistica U =

(n − 1)~s 2 care are o σ2

repartitie χ 2

T

25)

Dacã nx reprezintã numãrul observatiilor în care a apãrut o valoare a caracteristicii ξ mai micã * decât x atunci functia de repartitie de selectie este Fn ( x ) =

F

26)

T

27)

nx . n

( )

2 * O estimatie θ* este nedeplasatã dacã D θ = 0 .

Problema regresiei constă în a descrie legea de variaţie medie a unei variabile în funcţie de una sau mai multe variabile cunoscute.

T

28) Problema corelaţiei constă în caracterizarea intensităţii legăturii cu ajutorul unui coeficient numeric – coeficient de corelaţie – independent de unităţile de măsură ale variabilelor corelate.

F

29) O condiţie necesară pentru un calcul statistic corect in problema de regresie si de corelatie este omogenitatea datelor şi un număr mic de observaţii.

T

30) Caracterul omogen sau neomogen al colectivităţii statistice poate fi sesizat examinând diagrama de dispersare a unităţilor observate în raport cu valorile variabilelor corelate.

T

31)

Histograma se obtine folosind observatiile distincte: populatii statistice si frecventele absolute asociate lor:

T

32)

Poligolul frecventelor relative este poligonul ce uneste punctele

pentru caracteristica X a unei .

unde

sunt observatii distincte pentru caracteristica X a unei populatii statistice si frecventele absolute asociate lor.

F

33)

Modulul este observatia de selectie cu frecventa cea mai mica.

T

34)

Amplitudinea A are urmatoarea proprietate:

.

F

35)

Amplitudinea A are urmatoarea proprietate:

.

YES/NO

Yes1) Intervalul de incredere pentru parametrul dispersiei

al repartiei normale N(m,

) este

?

Yes 2) Fie

si n date, atunci cuantilele repartitiei

: χ12,tab = χ 2

Yes 3) Estimatorul verosimilitatii maxime pentru parametrul

α 1− ;( n −1) 2

, χ 22,tab = χ 2α 2

;( n −1)

sunt tabelete?

al repartitiei Poisson este un estimator

eficient.

No

4)

Douã estimatii eficiente ale parametrului θ nu sunt egale aproape sigur.

Yes 5) Valoarea medie a momentului de selectie de ordin r , α r este α r ?

No 6) Dispersia momentului de selectie de ordin r , α r este

Yes 7)

?

Media condiţionată teoretică a lui y în raport cu x este y x = a + bx .Parametrii a şi b se pot estima prin metoda celor mai mici pătrate?

Yes8) Media de selectie, mediana si modulul sunt indicatori de pozitie?

Yes

9)

Amplitudinea, abaterea medie absoluta si dispersia de selectie sunt indicatori ai variatiei observatiilor?

Yes

10)

In cazul in care pentru observatiile avem frecventele absolute mediana se poate calcula folosind frecventele cumulate?

atunci

NUMERIC RESPONSE

0,35 1) Se face o cercetare selectiva a cheltuielilor lunare de consum la un produs. Se obtin urmatoarele date de selectie: 13,12 10,12,13, 14, 13, 14, 12, 11, 15, 14, 10, 14, 13, 11, 14, 15, 16, 13. Sa se calculeze valoarea functiei de repartie empirice in punctul 12,5.

1

2)

Se face o cercetare selectiva a cheltuielilor lunare de consum la un produs. Se obtin urmatoarele date de selectie: 13,12 10,12,13, 14, 13, 14, 12, 11, 15, 14, 10, 14, 13, 11, 14, 15, 16, 13. Sa se calculeze valoarea functiei de repartie empirice in punctul 16.

0

3)

Se face o cercetare selectiva a cheltuielilor lunare de consum la un produs. Se obtin urmatoarele date de selectie: 13,12 10,12,13, 14, 13, 14, 12, 11, 15, 14, 10, 14, 13, 11, 14, 15, 16, 13. Sa se calculeze valoarea functiei de repartie empirice in punctul 9.

0,5

4)

Se face o cercetare selectiva a cheltuielilor lunare de consum la un produs. Se obtin urmatoarele date de selectie: 13,12 10,12,13, 14, 13, 14, 12, 11, 15, 14, 10, 14, 13, 11, 14, 15, 16, 13. Sa se calculeze probabilitatea ca variabila aleatoare de selectie sa apartina intervalului (12; 14,5)

12,95

5)

Se face o cercetare selectiva a cheltuielilor lunare de consum la un produs. Se obtin urmatoarele date de selectie: 13,12 10,12,13, 14, 13, 14, 12, 11, 15, 14, 10, 14, 13, 11, 14, 15, 16, 13. Sa se calculeze valoarea mediei de selectie.

2,5475

6)

Se face o cercetare selectiva a cheltuielilor lunare de consum la un produs. Se obtin urmatoarele date de selectie: 13,12 10,12,13, 14, 13, 14, 12, 11, 15, 14, 10, 14, 13, 11, 14, 15, 16, 13. Sa se calculeze valoarea dispersiei de selectie.

COMPLETION

1)

Fie θ un parametru necunoscut pentru o densitate de repartitie f ( x, θ ) .Atunci pentru o selectie de volum n obtinem douã statistici A( x1 ,..., xn ) , B( x1 ,..., xn ) astfel încât probabilitatea

P( A( x1 ,..., xn ) ≤ θ ≤ B(x1 ,..., xn )) = δ ,unde δ nu depinde de θ . Atunci [A,B] se INTERVAL incredere. numeste........................de

2)

Fie θ este un parametru necunoscut pentru densitatea de repartitie f ( x, θ ) .Atunci pentru o selectie de volum n obtinem douã statistici, A( x1 ,..., xn ) , B( x1 ,..., xn ) astfel încât

probabilitatea P( A( x1 ,..., xn ) ≤ θ ≤ B( x1 ,..., xn )) = δ ,unde δ nu depinde de θ . In acest caz

REGIUNE

multimea punctelor de selectie ( x1 ,..., xn ) pentru care A ≤ θ ≤ B , se numeste ............ de acceptare pentru θ .

3)

Fie θ este un parametru necunoscut al densitatii de repartitie f ( x, θ ) în care pentru o selectie

de volum n obtinem douã statistici, A( x1 ,..., xn ) , B( x1 ,..., xn ) astfel încât probabilitatea

P( A( x1 ,..., xn ) ≤ θ ≤ B( x1 ,..., xn )) = δ ,unde δ nu depinde de θ .Atunci numãrul δ se numeste PRAG ....... de încredere al intervalului [A,B].

4)

Dispersia de selecţie este o estimaţie consistentă pentruDISPERSIA ...................teoretică.

5)

Probabilitatea de respingere a ipotezei nule PUTEREa testului. functie de...............

ca functie de parametrul considerat

se numeste

6) În luarea deciziei de admitere sau respingere a unei ipoteze se pot face o eroare de gradul întâi dacaRESPINGEM ..................... H 0 desi ea este adevãratã.

7) În luarea deciziei de admitere sau respingere a unei ipoteze se pot face o eroare de gradul doi dacaACCEPTAM ..................... H 0 desi ea este falsa.

8) Fie x1 ,..., x n valorile observate ale variabilei x şi y1 ,..., y m valorile observate ale variabilei y şi fie f ij numărul unităţilor populaţiei care au valoarea xi a variabilei x şi y i pentru y. Atunci f • j =

m

n

f ij şi f i• = ∑ f ij se numesc repartiţii ...............ale lui y, respectiv x. ∑ MARGINALE j =1 i =1

9)

MARGINALE

Caracteristicile ...............ale lui x şi y (medie şi dispersie) sunt

x=

1 f ••

n

∑x i =1

i

f i• , D 2 ( x) =

1 f ••

n

∑ (x i =1

− x ) f i• 2

i

1 y= f ••

m

∑y j =1

j

f •. j

1 , D ( y) = f •• 2

∑ (y

2

m

j =1

j

− y) f• j

Statistica matematica probleme de dificultate medie TRUE/FALSE

F

1)

Efectuand o statistica a salariului dintr-o firma am gasit ca valoarea medianei este de 1400 de RON. Atunci putem concluziona ca cai mai multi angajazi au un salariu de 1400 de RON?

F

2)

Efectuand o statistica a salariului dintr-o firma am gasit ca valoarea modulului este de 1400 de RON. Atunci putem concluziona ca jumatate din numarul angajatilor au un salariu mai mic de de 1400 de RONsi cealalta jumatate un salariu mai mare de 1400 de RON?

T

3)

Efectuand o statistica a salariului dintr-o firma am gasit ca valoarea mediei de selectie este de 1400 de RON. Atunci putem concluziona ca daca totalitatea salariilor platite s-ar repartiza in mod egal atunci fiecare angajat ar primi un salariu de 1400 de RON?

T

4)

Daca Me este valoarea medianei unei populatii statistice atunci avem urmatoarea relatie: .

T

5)

Daca

sunt valorile cuartilelor unei populatii statistice atunci avem urmatoarele relatii: ,

F

6)

Daca

7)

.

sunt valorile cuartilelor unei populatii statistice atunci avem urmatoarele relatii: ,

T

,

,

.

Pentru o repartitie simetrica valoarea medianei coincide cu valoarea mediei de selectie.

MULTIPLE CHOICE

1)

S-a constatat că cererea unui anumit articol într-o perioadă a anului este o variabilă aleatoare. Luându-se la întâmplare 100 de bonuri de comandă s-au observat următoarele

Cererea ( xi )

1

2

Frecvenţa ( ni ) 4 5 Cererea medie x este: 1 x = 7, 49 2 x = 4, 47 3 x = 5, 49 4 x = 14, 49

2)

3

4

5

6

7

8

9

10

12

8

20

18

10

19

3

1

Fie o selecţie de volum 25 repetată asupra unei caracteristici X a unei populaţii statistice care a condus la rezultatele următoare: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 xk -2 0 1 2 1 2 0 4 -2 -1 -3 1 2 3 4 2 -2 -1 3 2 4 4 1 -3 2 Fie s2 , dispersia de selecţie. Atunci 1 2 3 4 5

3)

Se consideră X o caracteristică a unei populaţii cu densitatea de repartiţie f ( x,θ ) cu θ

parametru necunoscut,

( 2θ ) f ( x, θ ) = x!

x

e−2θ , x ∈ N, θ > 0, şi fie { xk }k =1, n rezultatele unei

selecţii repetate de volum n efectuată asupra lui X. Un estimator de maximă verosimilitate al parametrului θ este 1

θ∗ = x

2

x 2 ∗ θ = ln x θ ∗ = ex θ ∗ = 2x

3 4 5

4)

θ∗ =

Fie X o carateristică a unei populaţii, X∈(m,σ2), cu σ = 36, şi fie o selecţie de volum n=9 care conduce la o valoare medie x = 195 . Intervalul de încredere pentru parametrul m este [171,48;218,52] pentru coeficientul de încredere 1 2 3

δ = 0,90 δ = 0,95 δ = 0,98

4

5)

δ = 0,99

. Fie X o carateristică a unei populaţii, X∈(m,σ2) şi fie o selecţie de volum n=9 care conduce la 2 o valoare medie şi o dispersie modificată x = 50, s% = 1,752 .

Intervalul de încredere pentru parametrul m este [ 48,311; 51,689]

pentru coeficientul de

încredere 1 2 3 4 5

6)

Dintr-o populaţie normală se face o selecţie de volum 16 găsindu-se: xk: 2,8; 2,8; 2,8; 3; 3; 3; 3,4; 3,2; 3; 3; 2,9; 2,9; 2,8; 3,4; 3; 3. Intervalul de încredere 98% corespunzător dispersiei σ2 este 1 2 3 4 5

7)

[0, 076;0,1033] [0, 0176;0,1033] [0, 0176;0, 0033] [0, 076;0, 0033] [0,1176;0, 0033]

Dintr-o selecţie ordonată de volum n=25 s-au obţinut următoarele date: medie de selecţie x = 14,85, dispersie de selecţie modificată s* = 1,52. Se face urmatoarea ipoteza asupra valorii medii teoretice H0 : m = 15,15 . In aceste conditii, 1 2 3 4

8)

δ = 0,90 δ = 0,99 δ = 0,98 δ = 0,95 δ = 0,975.

nu se acceptă ipoteza H0 la un nivel de semnificaţie α = 0,05. se accepta ipoteza H0 la un nivel de semnificaţie α = 0,5. se accepta ipoteza H0 la un nivel de semnificaţie α = 0,025. se accepta ipoteza H0 la un nivel de semnificaţie α = 0,05

Pe un eşantion dintr-o populaţie N(m, σ ) de volum n=25 s-a obţinut x = 12,64; s 2 = 6, 25 . Se fac urmatoarele ipoteze asupra valorii medii teoretice : H0: m = 12, H1 : m ≠ 12 . La un nivel de semnificaţie α = 0,05 , tα = 2, 262 1 2 3 4

se accepta alternativa H1 datele sunt insuficiente se accepta H0 nu se accepta nici una dintre cele doua ipoteze

9)

Dintr-o populaţie normal repartizată cu dispersia necunoscută se face o selecţie de volum n = 9 şi se obţine x = 50 , s% 2 = 1, 752 . Să se scrie intervalul de încredere dacă α = 0, 05 şi tα = 2, 37 . 1 2 3

( 47,98;50, 01) ( 48, 61;51,38) ( 37,98; 49,92 )

10) Momentul centrat de selecţie de ordinul r este 1

11)

2

Daca pentru o sectie de volum n se cunoaste dispersia de selectie valoarea dispersiei de selectie modificate 1

. 3 4

2

12)

atunci sa se precizeze

Să se arate că dacă

este o variabilă aleatoare normală

, atunci pentru o selectie de

volum n repartiţia mediei de selecţie este: 1

3

2

4

13) este o estimaţie consistentă a lui daca: converge în probabilitate către parametrul

1

Spunem că Dacă

2

Dacă

converge aproape sigur către parametrul

3

Dacă

converge in medie patratica către parametrul

14) Recunoasteti urmatoarea teorema: este o estimaţie absolut corectă a parametrului , atunci Dacă

(

)

D 2 θ* ( x1 ,... xn ) ≥

1 2

Cebisev Rao-Cramer

1 ⎛ ⎡ ∂ ln f ( x, θ) ⎤ 2 ⎞ ⎟ nM ⎜ ⎢ ⎥⎦ ⎟ ⎜⎣ ∂ θ ⎠. ⎝ 3 4

Markov Bernoulli

15) este

Dacă

o

funcţie

de

estimaţie

absolut

corectă,

atunci

raportul

1

( )

en θ * = 1 2

16)

⎛ ⎡ ∂ ln f ( x, θ) ⎤ 2 ⎞ ⎟ nM ⎜ ⎢ ⎥⎦ ⎟ ⎜⎣ ∂ θ ⎝ ⎠ 2 * D θ

( )

se numeşte:

eficienta lui mediana lui

3 4

asimetria lui excesul lui

Pentru compararea dispersiei de sondaj cu dispersia populatiei originare comsiderata normala trebuie verificata ipoteza nula de incredere 1 Daca 2

contra alternativei

.Specificati care din urmatoarele situatii este cea adevarata: aunci pentru respigem aunci pentru

Daca

respigem

17)

Determinarea regiunii critice se face cu ajutorul urmatoarei leme: 1 Rao-Cramer 2 Bernoulli 3 Neyman-Pearson

18)

Intervalul de incredere pentru parametrul mediei m din repartia normala N(m, cunoaste 1

) cand se

este 3

2

19)

la un prag

4

Sa se afle intervalul de incredere pentru parametrul m al repartitiei normale N(m, cunoaste dispersia 1

. 3

) cand nu se

4

2

20)

Sa se determine un interval de incredere pentru parametrul dispersiei N(m,

)

1

3

2

4

21)

al repartiei normale

Fie repartitia de tip continuu f ( x, θ ) unde θ poate lua orice valoare dintr-un interval I . Valorile de selectie x1 ,..., xn obtinute în urma a n extractii independente din populatie sunt variabile aleatoare independente cu aceeasi densitate de probabilitate f ( x, θ ) . Atunci functia 1 2

, P( x1 ,..., xn ; θ)dx1 ...dxn = f (x1 , θ)... f ( xn , θ)dx1 ...dxn se numeste functie de repartitie 3 functie de verosimilitate densitate de repartitie 4 variabila aleatoare

22) Momentul centrat de selectie de ordinul r este 1

μr =

1 n (xi − x )r ∑ n i =1

2

3

23) Momentul de selectie de ordinul r pentru o variabila aleatoare este 1

2 3

αr =

1 n r ∑ xi n i =1

24)

Compararea mediei unui sondaj cu media cunoscuta a unei populatii originare se face cu ajuorul testului Z care se bazeaza pe statistica Z=... 1 3 2

25)

4

Compararea a douã proportii se realizeza cu ajutorul a douã esantioane de volum n1 respectiv

n2 din populatii diferite sau din aceeasi populatie. Aceste esantioane ne dau proporþiile p1 respectiv p2 de elemente posedând o anumitã caracteristicã A . Vom testa ipoteza

H 0 : p1 = p2 contra alternativei

H 1 : p1 ≠ p2 . cu ajutorul statisticii: 1

26)

2

Z=

p1 − p2

3

p1q1 p2 q2 + n1 n2

( ) 0 ≤ e (θ ) ≤ 1 e (θ ) >1

* Daca en θ este eficienta lui θ atunci

1 2

27)

3

*

n

4

*

n

en (θ * ) <0 en (θ * )

S-a constatat că cererea unui anumit articol într-o perioadă a anului este o variabilă aleatoare. Luându-se la întâmplare 100 de bonuri de comandă s-au observat următoarele 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cererea ( xi ) Frecvenţa ( ni )

4

5

12

8

20

18

10

19

3

1

Atunci dispersia modificată de selecţie s% este: 2

1

28)

s% 2 = 4, 47

2

s% 2 = 7, 49

Fie o selecţie de volum 25 repetată asupra unei caracteristici X a unei populaţii statistice care a condus la rezultatele următoare: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 xk -2 0 1 2 1 2 0 4 -2 -1 -3 1 2 3 4 2 -2 -1 3 2 4 4 1 -3 2 Fie x , media de selecţie. Atunci

1 2 3

29)

x = 2,96 x = 1,96 x = 0,96

Fie o populaţie caracterizată simultan de două variabile X şi Y. Fie x1 , x2 ,..., xn valorile observate ale variabilei X şi y1 , y2 ,..., ym valorile observate ale variabilei Y. Fie fij numărul unităţilor populaţiei care au valoarea xi a variabilei X şi yj pentru Y. Numerele f ij , i = 1, n, j = 1, m , satisfac urmatoarele relatii: 1 2

30)

fij ≥ 1, i = 1, n, j = 1, m,

m

n

∑∑ i =1 j =1

3

fij = 1

m

n

∑∑ f i =1 j =1

fij ≥ 1, i = 1, n, j = 1, m,

4

ij

=1

fij ≥ 0, i = 1, n, j = 1, m,

m

n

∑∑ f i =1 j =1

ij

=1

Se considera o populatie avand doua caracteristici X si Y, variabilele aleatoare discrete, pentru care se cunosc repartiţiile individuale şi repartiţia comună date în tabloul X\Y -1 1 qj

0 1/12 1/4 1/3

1 5/12 1/4 2/3

pi 1/2 1/2

Repartiţia variabilei 3X - 2Y este 1 2 3 4

31)

⎛ −3 -1 3 X − 2Y : ⎜ 5 1 ⎜⎜ ⎝ 12 12 ⎛− 3 -1 ⎜ 3 X − 2Y : ⎜ 1 5 ⎜ ⎝ 12 12 ⎛− 3 -1 ⎜ 3 X − 2Y : ⎜ 1 5 ⎜ ⎝ 12 12 ⎛ −3 -1 3 X − 2Y : ⎜ 1 1 ⎜⎜ ⎝ 12 4

1

⎞ ⎟ 1⎟ ⎟ 4⎠ 3⎞ ⎟ 1⎟ ⎟ 4⎠ 3⎞ ⎟ 1⎟ ⎟ 4⎠ 3 ⎞ ⎟ 5⎟ ⎟ 12 ⎠ 3

1 4 1 1 4 1 1 4 1

1 4

Fie o populaţie caracterizată simultan de două variabile X şi Y pentru care calculăm media teoretica condiţionata a lui Y in raport cu X, $y x . Coeficientul de variatie a ajustarii se calculeaza cu formula: unde y x = a + bx .

1

Dy

1 CV = = ⋅ y y 2

CV = Dy = 3

x

)

n

∑ ( $y − y

x

)

n

1 CV = y

4

CV =

32)

∑ ( $y − y

Dy y

=

1 ⋅ y

∑( y − y ) x

n

La două teste opt elevi au obţinut următoarele rezultate: 35 55 40 35 50 Test 1 X 50 60 40 35 65 Test 2 Y Valorile medii x şi y sunt 2 x = 50 3 x = 45 1 x = 45 y = 55 y = 45 y = 50

60 55

45 45

40 50

4

x = 55 y = 50

33)

La două teste opt elevi au obţinut următoarele rezultate: 35 55 40 35 50 60 45 40 Test 1 X 50 60 40 35 65 55 45 50 Test 2 Y * Coeficientul a al dreptei de regresie a lui y în raport cu x , y x = a + bx este 1 a = 0,70 2 a = 0,75 3 a = 0,77 4 a = 0,80

34)

Dacă se dau x = 7,82 , y = 7,86 , s x = 4,86 , s y = 5,50 şi rxy = 0,5273 , dreapta de regresie a lui y în raport cu x este 1 y = 0,5967 x − 3,17 2 y = 0,5967 x + 3,17 3 y = −0,5967 x + 3,17 4 y = −0,5967 x − 3,17

35)

Dacă se dau x = 7,82 , y = 7,86 , s x = 4,86 , s y = 5,50 şi rxy = 0,5273 , coeficientul a din ecuaţia dreptei de regresie y x = a + bx are valoarea 1 a =1 2 a = 0,5967 3 a = −0,5967

36)

4

a = 0,3

Dacă se dau x = 7,82 , y = 7,86 , s x = 4,86 , s y = 5,50 şi rxy = 0,5273 , coeficientul b din ecuaţia dreptei de regresie y x = a + bx are valoarea

1

37)

38)

39)

b = 3,17

2

b = −3,17

b=4

3

Pentru datele din tabelul următor x 40 50 y 58 102 valorile medii x şi y sunt 1 x = 58 2 x = 59 y = 140 y = 140

60 142

70 188

b = 4,2

4

75 210 x = 58 y = 140 ,2

3

Pentru datele din tabelul următor x 40 50 60 70 75 y 58 102 142 188 210 coeficientul a al dreptei de regresie y x = a + bx are valoarea 1 a = 4,29 2 a = 4,256 3 a = 4,38

4

4,5

Pentru datele din tabelul următor x

y 16 26 36 46 56 f i⋅ Sa se determine x şi y 1 x = 30 2 y = 29 ,7

20

25

4

6 8

4 x = 31,7 y = 30

30 10 32 4

14

46 3

35

3 12 1 16 x = 31.7 y = 35.6

40

f⋅ j

9 6 5 20

10 18 44 22 6 100 4

x = 32 y = 31

NUMERIC RESPONSE

1,5

1)

O selectie de volum n=100 asupra unei caracteristici X conduce in urma ordonarii observatiilor la urmatoarele rezultate: -2 -1 0 1 2 3 4 5 5 9 15 25 20 16 7 3 Precizati valoarea medianei.

1

2)

O selectie de volum n=100 asupra unei caracteristici X conduce in urma ordonarii observatiilor la urmatoarele rezultate: -2 -1 0 1 2 3 4 5 5 9 15 25 20 16 7 3

Precizati valoarea modulului.

3)

7

O selectie de volum n=100 asupra unei caracteristici X conduce in urma ordonarii observatiilor la urmatoarele rezultate: -2 -1 0 1 2 3 4 5 5 9 15 25 20 16 7 3 Precizati valoarea amplitudinei.

1,37 4) O selectie de volum n=100 asupra unei caracteristici X conduce in urma ordonarii observatiilor la urmatoarele rezultate: -2 -1 0 5 9 15 Precizati valoarea mediei de selectie.

220

5)

1 25

2 20

3 16

4 7

5 3

O selectie de volum n=40 asupra unei caracteristici X conduce in urma ordonarii observatiilor la urmatoarele rezultate: 115 145 175 205 235 265 295 325 2 6 6 15 6 1 3 1 Precizati valoarea medianei.

1,52 6) Timpii de defectare pentru 225 de componente in multipli de 100 de ore sunt grupati in clase. Daca

=454 si

=426 sa se afle lungimea clasei de grupare.

14 7) Timpii de defectare pentru 225 de componente in multipli de 100 de ore sunt grupati in clase. =454 si =426 sa se afle numarul claselor atunci cand sunt de lungime egala. Daca sau 9 mai sigur 78

8)

Punctele realizate de studentii care au promovat examenul de statistica sunt: 64, 62, 76, 82, 56, 76, 84, 92, 86, 62, 58, 78, 82, 56, 58, 68, 82, 84, 78, 76, 94, 82, 64, 78, 84, 94, 88, 78, 92, 78. Precizati care este valoarea modulului.

56

9)

Punctele realizate de studentii care au promovat examenul de statistica sunt: 64, 62, 76, 82, 56, 76, 84, 92, 86, 62, 58, 78, 82, 56, 58, 68, 82, 84, 78, 76, 94, 82, 64, 78, 84, 94, 88, 78, 92, 78. . Precizati care este valoarea statisticii de ordine

10)

Punctele realizate de studentii care au promovat examenul de statistica sunt: 64, 62, 76, 82, 56, 76, 84, 92, 86, 62, 58, 78, 82, 56, 58, 68, 82, 84, 78, 76, 94, 82, 64, 78, 84, 94, 88, 78, 92, 78. . Precizati care este valoarea statisticii de ordine

94

64

11)

Punctele realizate de studentii care au promovat examenul de statistica sunt: 64, 62, 76, 82, 56, 76, 84, 92, 86, 62, 58, 78, 82, 56, 58, 68, 82, 84, 78, 76, 94, 82, 64, 78, 84, 94, 88, 78, 92, 78. Precizati care este valoarea quartilei .

84

12)

Punctele realizate de studentii care au promovat examenul de statistica sunt: 64, 62, 76, 82, 56, 76, 84, 92, 86, 62, 58, 78, 82, 56, 58, 68, 82, 84, 78, 76, 94, 82, 64, 78, 84, 94, 88, 78, 92, 78. . Precizati care este valoarea quartilei

78

13)

Punctele realizate de studentii care au promovat examenul de statistica sunt: 64, 62, 76, 82, 56, 76, 84, 92, 86, 62, 58, 78, 82, 56, 58, 68, 82, 84, 78, 76, 94, 82, 64, 78, 84, 94, 88, 78, 92, 78. . Precizati care este valoarea percentilei

3,7

14)

Sa se afle valoarea medianei pentru urmatorul sir de date: 2,5; 3,7; 1,4; 0,2; 5,4; 8,9; 4,2.

statistica matematica probleme de dificultate ridicata TRUE/FALSE

F 1. Repartiţia valorilor unei variabile observate este dată de tabelul Valorile mărimii -1 0 1 2 3 4 5 6 Frecvenţele 2 5 6 9 10 8 7 3 Valoarea medie a mărimii observate este x = 2, 7 4 .

T 2. S-a constatat că cererea unui anumit articol într-o perioadă a anului este o variabilă aleatoare. Luându-se la întâmplare 100 de bonuri de comandă s-au observat următoarele 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cererea ( xi ) 20 18 10 19 3 1 Frecvenţa ( ni ) 4 5 12 8 Cererea medie x şi dispersia modificată de selecţie s% 2 sunt egale cu x = 5, 49 , s% 2 = 4, 47 . F 3. Dintr-o populaţie normal repartizată cu dispersia necunoscută se face o selecţie de volum 9 găsindu-se x = 50 şi s% 2 = 1, 752 . Pentru α = 0,95 şi tα = 1, 96 intevalul de încredere este

( 47,98;57, 01) .

F 4. Se consideră X o caracteristică a unei populaţii cu densitatea de repartiţie f ( x,θ ) cu θ parametru necunoscut,

( 2θ ) f ( x,θ ) = x!

x

e−2θ , x ∈ N, θ > 0, şi fie { xk }k =1, n rezultatele unei selecţii repetate de

volum n efectuată asupra lui X. Un estimator de maximă verosimilitate al parametrului θ este θ * = x

F 5. Fie

o selectie asupra unei variabile aleatoare

Atunci estimatorul de maxima verosimilitate pentru

si

.

este un estimator nedeplasat pentru .

MULTIPLE CHOICE Se fac cinci măsurători cu un aparat asupra lungimii unei bare şi se găsesc rezultatele în mm: 92 ; 94 ; 103 ; 105 ; 106 . Să se determine valoarea medie a lungimii barei, dispersia de selecţie şi dispersia de selecţie modificată.

1.

a. b.

2.

c. d.

Repartiţia valorilor unei variabile observate pe baza a 50 de observaţii este dată de tabelul:

xi

0

1

2

3

4

5

6

7

ni

3

8

5

10

8

6

7

3

Să se calculeze valoarea medie a mărimii observate . c. d.

a. b.

3. Repartiţia valorilor unei variabile observate pe baza a 50 de observaţii este dată de tabelul:

xi

0

1

2

3

4

5

6

7

ni

3

8

5

10

8

6

7

3

Să se calculeze valoarea dispersieie modificate a. b.

.

c. d.

4. Pentru a cerceta prezenta studentilor la un anumit curs s-a ales un esantion de 100 studenti si s-a inregistrat numarul absentelor acestora la cinci cursuri consecutive: 40 de studenti nu au nici o absenta, 20 de studenti au 1 absenta, 15 studenti au 2 absente, 10 studenti au 3 absente, 8 studenti au 4 absente si ultimii 7 studenti au absentat la toate cele 5 cursuri. Sa se determine valoarea mediei de selectie. a. c. 1,47 2 b. d. 1 2,47 5. O selectie aleatoare de volum n=10 dintr-o populatie normala a dat urmatoarele valori: -2, -2, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 Sa se scrie un interval de incredere pentru media populatiei normale la un prag de ,26. incredere de 95%. Se cunoaste ca a. 1<m<5 c. 0,3<m<3,7 b. -1<m<2 d. 10,3<m<12,4 6. Se efectueaza 12 masuratori independente asupra unei variabile aleatoare repartizate normal , rezultatul masuratorilor fiind urmatorul :-0,5;-0,4;-0,4;-0,2;0;0,2;0,6;0,8;1;1,2;1,2;1,5. Sa se detrmine la un prag de incredere de 0,05 un interval de increder pentru media teoretica. Se cunoaste cuantila a. 1<m<5,8 c. 10<m<12 b. -0,04<m<0,8 d. 21<m<25,7

7. Sa se gaseasca o estimatie eficienta pentru parametrul k=0,1..., pe baza unei selecţii repetate de volum n.

a.

c.

din repartitia Poisson

,

d.

b.

Sa se precizeze un estimator eficient pentru parametrul mediei m din repartitia normala cu

8.

− 1 f ( x, m ) = e σ 2π densitatea de probabilitate

( x − m )2 2 σ2

.

a. dispersia de selectie b. media de selectie

9. O selectie de volum n=31 a dat o estimatie deplasata estimatie nedeplasata a dispersiei teoretice. a. 3 c. 3,1 b. 3,5 d. 4

a dispersiei teoretice. Sa se determine o

10. Durata de functionare a unui tip de tub florescent de 40 de w poate fi considerata o variabila aleatoare . O selectie de 50 de tuburi dau o durata medie de reprezentata de media m=1500h si ore.Sa se verifice ipoteza nula h fata de alternativa functionare de pentru . Se cunoaste cuantila a. deci acceptam b. deci respingem c. deci acceptam d. deci respingem 11. Durata de functionare a unui tip de tub florescent de 40 de w poate fi considerata o variabila aleatoare . O selectie de 50 de tuburi dau o durata medie de reprezentata de media m=1500h si ore. Sa se determine puterea testului pentru functionare de a. c. b.

d.

12. Salariul mediu lunar dintr-o unitate de productie este de 1.550.000 lei. Se face o cercetare selectiva pe un esantion de 25 de salariati si se obtine

. Stiind ca salariul este o variabila aleatoare

normala si ca abaterea medie patratica a salariatilor =30.000lei sa se decida daca salariul mediu este . semnificativ mai mic decat cel anuntat la un prag de incredere de =0,01. Se stie ca c. a. deci respingem deci respingem d. b. deci acceptam deci acceptam

13. 1. Pe un esantion format din 10.000 de indivizi din totalul populaþiei unei zone de 700 .000 de indivizi, s-a constatat cã consumul mediu lunar pentru menaj este de 950 .000 lei ºi o abatere medie pãtraticã s = 700.000 . Sã se determine un interval de încredere pentru estimarea mediei de consum a întregii populaþii.Se cunoaste ca t α = 1,96 . a. 136.000 m 200.000 b. 100.000 m 255.000

c. 550.000 m 935.000 d. 936.000 ≤ m ≤ 964.000

14. 1. Sã se determine un interval de încredere pentru parametrul σ cu un prag de încredere de 98% stiind cã în urma a 25 de mãsurãtori independente s-a obþinut media x = 18,2 si dispersia

~ s 2 = 1,63 . a. 1,23< <3,456 b. 0,23< <0,88

c. 0.88< <1,2 d. 0,88 ≤ σ ≤ 1,896

15. Sa se afle estimatorul de verosimilitate maxima pentru parametrul m din repartitia normala N(m, ). a. m= b.

m=

1 n ∑ xi n i =1

c.

16. Sa se estimeze parametrul

pentru repartitia normala N(m,

a.

c.

b.

d.

)

17. Sa se estimeze parametrului λ din repartia Poisson f ( k ; λ ) = selectii repetate de volum n . a. b.

λk k!

e− λ , k = 0,1,... pe baza unei

c.

18.

Se efectueazã o selectie de volum n = 100 asupra unei variabile aleatoare ξ care ne furnizeazã valorile 1 , 5 , 9 , 12 cu frecventele

10 30 15 45 = 0,3 , = 0,15 , = 0,1 , si = 0,45 atunci 100 100 100 100

a. F(2)=0,1 b. F(2)=0,3

c. F(2)=0,15 d. F(2)=0,45

(

)

19. Fie ξ o variabilã aleatoare normalã N m,σ2 , atunci sa se afle repartitia mediei de selectie. a. este o variabilã aleatoare normalã b.

este o variabilã aleatoare normalã

c.

este o variabilã aleatoare normalã

20. Fie ξ o variabilã aleatoare cu o repartitie Poisson de parametru λ . Sã se determine repartitia mediei de selectie. a. b. c.

este repartizat Poisson este repartizat Binomial este repartizat Cauchy

21. O masinã fabricã piese în serie. Ea a fost reglatã astfel ca diametrul pieselor sã fie de 12,60 mm. Pe un esantion de 100 de piese s-a obtinut valoarea medie a diametrelor x = 12,65 mm. Dacã

σ2 = 0,16 se cere: Sã se decidã dacã diametrele sunt semnificativ mai mari decât diametrul anuntat pentru α = 0,01 . a. nu sunt semnificativ mai mari b. sunt semnificativ mai mari 22.

O masinã fabricã piese în serie. Dacã volumul esantionului este n = 10 , x = 12,65 si

s = 0,1584 sã se verifice dacã diametrele diferã semnificativ de cel anuntat. α = 0,05 . 2

a. diametrele difera semnificativ

b. diametrele nu difera semnificativ

23. Într-un oras s-a efectuat un sondaj privind cheltuielile lunare pentru consumul alimentar. Sondajul a fost efectuat pe douã esantioane cuprinzând categorii sociale diferite. S-au obtinut rezultatele:

Volumul esantion

Media de consum (lei)

Abaterea mediei pãtraticã

Muncitori

n1 = 327

x1 = 612 .000

s1 = 104 .000

Functionar i

n2 = 286

x2 = 642 .000

s2 = 118 .000

Sã se testeze dacã diferenta cheltuielilor medii lunare este semnificativã pentru cele douã categorii sociale a. da, diferenta este semnificatica

b. nu, diferenta nu este semnificatica

24. Repartiţia valorilor unei variabile observate pe baza a 50 de observaţii este dată de tabelul:

xi

0

1

2

3

4

5

6

7

ni

3

8

5

10

8

6

7

3

Să se calculeze valoarea dispersiei. a. s 2 = 4 b.

c. d.

25. Se consideră o populaţie caracterizată simultan de variabilele aleatoare discrete X, Y si de următorul tablou incomplet X\Y -1 1 qj unde λ este un parametru real strict pozitiv.

0 λ

1

pi 1/2

2/3

Să se completeze tabloul dat astfel încât acesta să furnizeze repartiţia comună a variabilelor aleatoare X şi Y. a. X\Y -1 1 qj b. X\Y -1 1 qj c. X\Y -1 1 qj d. X\Y -1 1 qj

0 1 pi λ 1/6-λ 1/2 1/3-λ 1/2+λ 1/2 1/3 2/3 0 1 pi 1/3+λ 1/2-λ 1/2 -λ 1/6+λ 1/2 1/3 2/3 0 1 pi λ 1/2-λ 1/2 1/3-λ 1/6+λ 1/2 1/3 2/3 0 1 pi 1/6+λ 1/2-λ 1/2 1/3-λ λ 1/2 1/3 2/3

26. Se consideră o populaţie caracterizată simultan de variabilele aleatoare discrete X, Y si de următorul tablou incomplet X\Y -1 1 qj

0 1/6

1

pi 1/2

2/3

Repartiţia comună a variabilelor aleatoare X şi Y este dată de următorul tablou: a. X\Y -1 1 qj b. X\Y -1 1 qj c. X\Y -1 1 qj d. X\Y -1 1 qj

0 2/3 1/3 1/3 0 1/6 1/2 1/3 0 1/6 1/6 1/3 0 1/6 1/6 1/3

1 pi 1/6 1/2 1/2 1/2 2/3 1 pi 1/2 1/2 1/6 1/2 2/3 1 pi 1/3 1/2 1/3 1/2 2/3 1 pi 1/6 1/2 1/3 1/2 2/3

27. Doua caracteristici ale unei populatii sunt descrise de variabilele aleatoare discrete X, Y, pentru care se cunosc repartiţiile individuale şi repartiţia comună date în tabloul X\Y -1 1 qj

0 1/12 1/4 1/3

1 5/12 1/4 2/3

pi 1/2 1/2

In aceste conditii, X si Y sunt a. b. c. d.

independente, dar corelate independente şi deci necorelate independente şi deci corelate dependente şi corelate

28. Coeficientul de corelatie r asociat la doua variabile X si Y are urmatoarele proprietati: A.r este cuprins între –1 şi +1 B.Dacă r este strict pozitiv, ambele variabile variază în acelaşi sens. Dacă r este strict negative, variabilele variază în sensuri opuse. C.Dacă valoarea absolută a coeficientului de corelaţie este mică, poate exista o legatura intre variabilele X si Y, dar aceasta nu poate fi de formă liniară.

D.Coeficientul de corelaţie este direct proporţional cu coeficientul de regresie. a. b. c. d.

A A+B A+B+C A+B+C+D

29. Pentru testarea caracterului omogen al unei colectivităţi statistice se utilizează coeficientul de variaţie. Cu cât nivelul acestui coeficient este mai apropiat de zero cu atât: a. b. c. d.

variaţia este mai mare, iar colectivitatea mai omogenă. variaţia este mai mică iar colectivitatea mai omogenă. variaţia este mai mică iar colectivitatea mai neomogenă. variaţia este mai mare iar colectivitatea mai neomogenă.

30. Fie o populaţie caracterizată simultan de două variabile X şi Y. Se considera urmatoarele date 1 2 4 5 xi yj 3 10 12 15 Cea mai buna functie de ajustare liniara a datelor este: a. b. c. d.

y = 3x + 2 y = 2x + 3 8 26 y =− x− 5 5 26 8 y = − x− 5 5

31. Fie o populaţie caracterizată simultan de două variabile X şi Y. Se considera urmatoarele date xi yj

1 3

2 10

4 12

5 15

Se studiaza dependenta liniara a celor doua caracteristici si se determina functia de regresie

y x = ax + b prin metoda celor mai mici patrate. Eroarea de ajustare globala S =

4

∑ ( y − ax − b ) si coeficientul de variatie CV sunt: i =1

a. b. c. d.

S S S S

i

i

= 10, 4, CV = 1, 612 = 1, 04, CV = 0,1612 = 10, 4, CV = 0,1612 = 1, 04, CV = 1, 612

32. Proprietarul unui magazine isi propune sa analizeze mosul in care valoarea incasarilor a fost uinfluentata de cheltuielile cu publicitatea. Pentru aceasta extrage din documentele de evidenta nivelul cheltuielilor cu publicitatea si valoarea vanzarilor din ultimile 5 luni.

Cheltuieli publicitate (mii lei) xi Nivelul vanzarilor (mil. lei) yi

3

5

7

9

5

25

70

45

Functia de regresie liniara care descrie interdependenta dintre cele doua caracteristici este a. b. c. d.

y = 8, 25 x − 13, 25 y = −8, 25 x + 13, 25 y = 8, 25 x + 13, 25 y = −8, 25 x − 13, 25

33. La două teste opt elevi au obţinut următoarele rezultate:

Test 1 35 55 X 50 60 Test 2 Y Dreapta de regresie y n = a + bx este a. y x = 0,75 − 15 ,25 x b. y x = 0,75 + 16 ,25 x c. y x = −0,75 + 16 ,25 x d. y x = 0,75 − 16 ,25 x 34. Pentru datele din tabelul următor x

18 23 y 125 1 150 1 2 175 3 200 225 250 1 6 fx să se calculeza mediile x şi y . a. x = 32 b. x = 328 y = 188 y = 187

35. Pentru datele din tabelul următor x 40

40 40

28

33

5 2 1

8

45 45

3 1 4

10 x = 33 y = 187

60 142

60 55

43

7 3

20 c.

50 65

38

12 8

50 58 102 ecuaţia dreptei de regresie y x = a + bx este a. y x = 4,256 − 106 ,84 x b. y x = −4,256 + 106 ,84 x c. y x = 4,256 + 106 ,84 x

y

35 35

70 188

48

fy

1 1

1 8 17 16 6 2 50

d.

75 210

40 50

x = 328 y = 188

d.

y x = −4,256 − 106 ,84 x

36. Pentru datele din tabelul următor x 6 9

y

69

57

10 65

12 53

22 44

26 40

28 37

32 34

35 32

valorile lui s şi s sunt 2 x

a.

s x2 = 119,25 s y2 = 210

2 y

b.

s x2 = 119,25 s y2 = 220

c.

s x2 = 120

d.

s y2 = 210

s x2 = 120 s y2 = 220

37. Repartitia valorilor unei variabile observate este data in urmatoarea tabela pe baza a 500 de observatii: -1 0 1 2 3 4 5 6 2 5 6 9 10 8 7 3 Sa se calculeze dispersia. c. a. =3,38 =-1,12 b. d. =10,21 =24,23 38. Repartitia valorilor unei variabile observate este data in urmatoarea tabela pe baza a 500 de observatii: -1 0 1 2 3 4 5 6 2 5 6 9 10 8 7 3 Sa se calculeze vectorul frecventelor cumulate. a. b. c.

39. Repartitia valorilor unei variabile observate este data in urmatoarea tabela pe baza a 500 de observatii: -1 0 1 2 3 4 5 6 2 5 6 9 10 8 7 3 Sa se calculeze modulul. a. 3,5 c. 3 b. 2,74 d. -1 40. Repartitia valorilor unei variabile observate este data in urmatoarea tabela pe baza a 500 de observatii: -1 0 1 2 3 4 5 6 2 5 6 9 10 8 7 3 Sa se calculeze valoarea functiei de frecventa in punctul 5,2. a. 47/50 c. 40/50 b. 45/50 d. 42/50 41. Un grup de 100 de persoane se repartizeaza dupa inaltime astfel: 110-120 -130 -140 -150 -160 -170 2 3 3 6 10 20 Sa se calculeze inaltimea medie.

-180 26

-190 14

-200 16

a. 165,3 b. 171,1

c. 185,2 d. 169,9

42. Un grup de 100 de persoane se repartizeaza dupa inaltime astfel: 110-120 -130 -140 -150 -160 -170 2 3 3 6 10 20 Sa se calculeze abatearea media patratica. a. 16,2 c. 15,3 b. 19,4 d. 20,1

-180 26

-190 14

-200 16

valori observate asupra unei caracteristici X si fie media de selectia asociata. Atunci 43. Fie precizati care din urmatoarele afirmatii este adevarata. a.

b.

valori observate asupra unei caracteristici X si fie media de selectia asociata. Atunci 44. Fie pentru orice a numar real precizati care din urmatoarele afirmatii este adevarata. a.

b.

c.

nu C 45. Fie

o selectie asupra unei variabile aleatoare

si

.

si

.

Atunci functia de verosimilitate are urmatoarea forma: a. c.

b.

46. Fie

d.

o selectie asupra unei variabile aleatoare

Atunci estimatorul de maxima verosimilitate pentru .

a.

c.

b.

d.

?? 47. Fie

o selectie asupra unei variabile aleatoare

Atunci estimatorul de maxima verosimilitate a. b.

si

.

este in urmatoarea relatie cu estimatorul nedeplasat . c. d.

48. O cercetare selectiva a nivelului salariului la 18 salariati a unei firme a dat rezultatele din tabelul: 17,1 17,2 18,4 17 16,5 19,6 15,8 18,5 20,5 19,2 17,6 18,2 19 21,6 16,8 17,5 18,8 17,8 Consideram ca salariile au distributie de probabilitate normala cu , sa se determine intervalul de incredere pentru salariul mediu m, corespunzator coeficientului de incredere de 90%.Se cunoaste ca . a. (17,20; 19,14) b. (16,20; 20,14) c. (17,90; 19,59) 49. O cercetare selectiva a nivelului salariului la 18 salariati a unei firme a dat rezultatele din tabelul: 17,1 17,2 18,4 17 16,5 19,6 15,8 18,5 20,5 19,2 17,6 18,2 19 21,6 16,8 17,5 18,8 17,8 Consideram ca salariile au distributie de probabilitate normala cu , sa se determine intervalul de incredere pentru salariul mediu m, corespunzator coeficientului de incredere de 95%.Se cunoaste ca . a. (17,20; 19,14) b. (16,20; 20,14) c. (17,01; 19,32) 50. O cercetare selectiva a nivelului salariului la 18 salariati a unei firme a dat rezultatele din tabelul: 17,1 17,2 18,4 17 16,5 19,6 15,8 18,5 20,5 19,2 17,6 18,2 19 21,6 16,8 17,5 18,8 17,8 Sa se calculeze dispersia de selectie modificata. a. 1,2 c. 1,432 b. 1,71 d. 1,613 51. O cercetare selectiva a nivelului salariului la 18 salariati a unei firme a dat rezultatele din tabelul: 17,1 17,2 18,4 17 16,5 19,6 15,8 18,5 20,5 19,2 17,6 18,2 19 21,6 16,8 17,5 18,8 17,8 Sa se determine intervalul de incredere pentru salariul mediu m, corespunzator coeficientului de . incredere de 95%.Se cunoaste ca

a. (17,54; 18,8) b. (12,3; 17,54) c. (18,8; 21,9) 52. O cercetare selectiva a nivelului salariului la 18 salariati a unei firme a dat rezultatele din tabelul: 17,1 17,2 18,4 17 16,5 19,6 15,8 18,5 20,5 19,2 17,6 18,2 19 21,6 16,8 17,5 18,8 17,8 Sa se determine intervalul de incredere pentru salariul mediu m, corespunzator coeficientului de . incredere de 90%.Se cunoaste ca a. (17,65; 18,69) b. (12,3; 17,54) c. (18,8; 21,9) 53. O cercetare selectiva a nivelului salariului la 18 salariati a unei firme a dat rezultatele din tabelul: 17,1 17,2 18,4 17 16,5 19,6 15,8 18,5 20,5 19,2 17,6 18,2 19 21,6 16,8 17,5 18,8 17,8 Sa se determine intervalul de incredere pentru salariul mediu m, corespunzator coeficientului de . incredere de 98%.Se cunoaste ca a. (13,9; 32,9) b. (17,4; 18,94) c. (19,8; 22,8) 54. O cercetare selectiva a nivelului salariului la 18 salariati a unei firme a dat rezultatele din tabelul: 17,1 17,2 18,4 17 16,5 19,6 15,8 18,5 20,5 19,2 17,6 18,2 19 21,6 16,8 17,5 18,8 17,8 Sa se determine intervalul de incredere pentru salariul mediu m, corespunzator coeficientului de . incredere de 99%.Se cunoaste ca a. (13,9; 32,9) b. (16,5; 17,9) c. (17,3; 19,04)

NUMERIC RESPONSE . Sa se determine dispersia de

3,075 1. Pentru o selectie de volum n=41 se cunoaste disperis de sectie selectie modificata

3

.

2. Repartiţia valorilor unei variabile observate pe baza a 50 de observaţii este dată de tabelul:

xi

0

1

2

3

4

5

6

7

ni

3

8

5

10

8

6

7

3

Sa se determine moda variabilei( valoarea caracteristicii careia ii corespunde cea mai mare frecventa).