Skript

1 Regelung – Grundprinzip in Natur und Technik

1

1-1

Regelung – Grundprinzip in Natur und Technik

1.1 Offener und geschlossener Wirkungsablauf Eine grundlegende Erfahrung des täglichen Lebens ist die Veränderung: Gegenstände und Lebewesen in unserer Umwelt verändern ihren Ort, ihre Lage, ihre Größe und ihre Gestalt. Sie treten mit uns und untereinander in Wechselwirkung, tauschen Masse, Energie und Information miteinander aus, entstehen, wachsen, verfallen und vergehen. Die Zeiträume, in denen diese Veränderungen ablaufen, können sehr unterschiedlich sein. Einige Vorgänge laufen so schnell ab, dass das Geschehen ohne technische Hilfsmittel nicht verfolgt werden kann und die Veränderungen als sprungartig empfunden werden. Andere Entwicklungen verlaufen dagegen so langsam, dass nicht als solche wahrgenommen werden. Erst langfristige Beobachtungen und Überlieferungen über Generationen zeigen, dass überhaupt eine Bewegung stattfindet. Neben diesem Wandel ist aber auch das Bestreben von Organismen zu beobachten, den Veränderungen entgegenzuwirken, zumindest über einen begrenzten Zeitraum, und die für das Überleben wichtigen physikalischen Größen wie Ort, Lage, Form, Körpertemperatur usw. konstant zu halten oder in zweckmäßiger Weise gezielt zu beeinflussen. So halten viele höhere Lebewesen ihre Körpertemperatur trotz wechselnder Außentemperatur innerhalb enger Grenzen konstant, um den störungsfreien Ablauf der Lebensvorgänge zu sichern. Oder sie verändern in gezielter Weise ihren Ort und ihre Lage bezüglich der Umwelt, um Gefahren aus dem Wege zu gehen, sich fortzupflanzen oder an Nahrung zu gelangen. Dazu verwenden sie ein immer gleiches Verfahren: Der momentane Wert der zu beeinflussenden Größe wird durch ein Sinnesorgan (Rezeptor, Sensor) erfasst und mit dem gewünschten Wert verglichen. Durch geeignete Maßnahmen, die das Zuführen von Energie erfordern, wird die Differenz zwischen gewünschtem und aktuellem Zustand zum Verschwinden gebracht. Dieses Grundprinzip der Regelung physikalischer Größen, bei dem als gemeinsames Merkmal der momentane Wert der zu beeinflussenden Größe zurückgemeldet wird, findet man in allen Lebewesen. Neben dieser Befähigung zu kurzfristig wirkenden Maßnahmen haben lebende Organismen in unterschiedlichem Maße die Fähigkeit entwickelt, sich geänderten Lebensbedingungen mittelfristig in weiten Grenzen anzupassen (Adaption) sowie Erfahrungen über zweckmäßige Verhaltensweisen zu speichern (Lernen), weiterzugeben und als Individuum oder als Gruppe in ähnlichen Situationen zu nutzen. Diese Fähigkeiten lebender Wesen • Beseitigen störender Einflüsse • Zielgerichtetes Verändern physikalischer Größen • Anpassen an geänderte Umweltbedingungen und • Ausnutzen eigener oder fremder Erfahrungen sind für Erhaltung, Verbreitung und Weiterentwicklung des Lebens von überragender Bedeutung. Ohne diese von der Natur durch Variation und Auslese entwickelten Begabungen ist ein höher entwickeltes Leben nicht vorstellbar.

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Die diesen Fertigkeiten von Lebewesen zugrunde liegenden Prinzipien wurden frühzeitig auch in technischen Geräten verwendet, ohne dass sie als solche erkannt und ihre Verwendung in Organismen bemerkt wurde. Erst als es in neuerer Zeit gelang, die grundlegenden Begriffe der Informationsübertragung und -verarbeitung sowie der Regelung mathematisch zu fassen, wurden die Gemeinsamkeiten technischer und biologischer Systeme erkannt. Die im Jahr 1948 von N. WIENER begründete Wissenschaft „Kybernetik“, die sich mit der Untersuchung derartiger Vorgänge in Lebewesen und technischen Prozessen befasst, hat in entscheidendem Maße zur Aufdeckung dieser Gemeinsamkeiten und damit zum Verständnis der Lebensvorgänge beigetragen. Das Prinzip der Regelung kann anhand des Satzes „Vertrauen ist gut, Kontrolle ist besser“ verdeutlicht werden, den man als Dogma der Regelungstechnik bezeichnen könnte. Der erste Halbsatz „Vertrauen ist gut ...“ kennzeichnet den Ablauf in einer offenen Wirkungskette. Wirkungsrichtung Störung

Befehl Befehlender

Aktion Ausführender

Wirkung Objekt

Strukturbild des offenen Wirkungsablaufs

Der von einem Befehlenden ausgegebene Befehl veranlasst den Ausführenden zu einer Aktion, die am Objekt eine Wirkung hervorruft. Die vom Befehlenden erhoffte Wirkung wird aber nur dann eintreten, wenn sich der Ausführende genau an den Befehl hält, das Objekt in vorhergesehener Weise reagiert und keine weiteren Aktionen (Störungen) von anderer Seite auf das Objekt einwirken. Diese Bedingungen sind im wirklichen Leben nur selten erfüllt, sodass meist die erzielte Wirkung von der angestrebten abweichen wird. Abhilfe wird durch den zweiten Halbsatz „ ... Kontrolle ist besser“ gekennzeichnet. Durch einen Beobachter wird die erzielte Wirkung am Objekt festgestellt und an den Befehlsgeber zurückgemeldet. Dieser kann dann aufgrund der Meldung seine Befehle entsprechend ändern und trotz einwirkender Störungen die erhoffte Wirkung möglicherweise doch erzielen. Durch den Beobachter entsteht eine geschlossene, kreisförmige Wirkungsstruktur (RückkoppStörung lungsstruktur).

Befehl Befehlender

Aktion Ausführender

Wirkung Objekt

beobachtete Wirkung Beobachter

Strukturbild des geschlossenen Wirkungsablaufs

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Gegenüber der offenen Wirkungskette weist die geschlossene völlig geänderte Eigenschaften auf: • Die Wirkungen von Störungen können teilweise oder völlig beseitigt werden. • Änderungen im Verhalten des Ausführenden und des Objekts können in gewissen Grenzen ausgeglichen werden. Die geschlossene Wirkungsstruktur hat aber auch Nachteile: • Der Einsatz eines Beobachters erhöht den Aufwand. Die erwünschte Kontrolle ist nur dann möglich, wenn der Beobachter die Wirkung genau wiedergibt (Messgenauigkeit). Exakte Beobachter sind meistens teurer als weniger exakte. • Von der Befehlsausgabe bis zur Rückmeldung der erzielten Wirkung vergeht immer eine gewisse Zeit. Der Befehlende kennt daher nur die Wirkung, wie sie vor einiger Zeit ausgesehen hat, und bis zum Wirksamwerden eines neuen Befehls vergeht wieder eine gewisse Zeit. Diese Verzögerungen können zu starken Schwankungen in der Wirkung, also einer Instabilität des Wirkungskreises führen, sodass die erhoffte Wirkung ausbleibt. Das Dogma des Regelungstechnikers muss daher abgeschwächt werden in „Vertrauen ist gut – Kontrolle ist meistens besser“. Dieser Satz ist allerdings noch zu vage für praktische Anwendungen. Für die in der offenen Wirkungskette ablaufenden Vorgänge wird der Begriff Steuerung und für die in der geschlossenen Wirkungsstruktur auftretenden Vorgänge der Begriff Regelung eingeführt. Diese Begriffe sind beispielsweise im Normblatt DIN 19226 festgelegt.1)

Kennzeichen der Steuerung ist demnach der offene Wirkungsablauf, bei dem eine Wirkung nur in einer Richtung – vom Eingang zum Ausgang – ausgeübt wird. Dagegen ist die Regelung durch einen geschlossenen Wirkungsablauf gekennzeichnet, bei dem die erzielte Wirkung (Istwert) fortlaufend oder doch hinreichend oft beobachtet und mit der gewünschten Wirkung (Sollwert) verglichen wird. Treten Abweichungen zwischen Soll- und Istwert auf, dann wird versucht, diese durch geeignete Maßnahmen zu beseitigen. Die möglichen Verhaltensweisen rückgekoppelter Systeme sind wesentlich vielfältiger und schwieriger zu durchschauen als die offener Steuerketten.

1)

Im anglo-amerikanischen Sprachraum wird als Oberbegriff das Wort control verwendet und zwischen open loop control (Steuerung) und closed loop control (Regelung) unterschieden.

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1.2 Einführungsbeispiel zur Erläuterung der Begriffe Regelung und Steuerung Aufgabe: Ein Werkstück ist in einem Ofen auf konstanter Temperatur zu halten.

el. Heizleistung pel = u · i

+ 10 V

elektrischer Ofen

Heizwicklung

Stellgröße UE = 0 ... 10 V

Thyristoroder Triacsteller

Tür Störung 2

- (gesteuerte Größe)

Störung 1 Versorgungsstörung

Veränderung der mittleren Heizspannung durch Veränderung des Phasenanschnitts

Störung 3 Änderung der Umgebungstemperatur

Steuerung: einmalige Aufnahme einer Kalibrierkurve (Kennlinie) - = f(UE) (bei konstanten Bedingungen); Einstellung der Temperatur nach dieser Kurve. Bei Störungen (Tür offen, Netzschwankungen) ergeben sich Abweichungen von der Solltemperatur.

Symbolische Darstellung des Signalflusses im Blockschaltbild

z1(t)

Störgrößen z2(t) z3(t)

Stellgröße y(t) Stelleinrichtung

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Strecke

gesteuerte Größe x(t)

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Handregelung: Durch Vergleich von -Soll und -Ist und Handabgleich wird trotz Störung -Soll = -Ist erreicht!

-Ist Anzeigegerät

-Soll

+ 10 V

Thyristoroder Triacsteller

Tür

P UE = 0 ... 10 V Steuerung des Energieflusses

Informationsfluss Energiefluss

Temperatursensor

Darstellung als Signalflussbild

Sollwert (Führungsgröße) w(t)

Störgrößen z(t)

Regeldifferenz e(t) Vergleich

Stellgröße y(t) Anlagenfahrer

gesteuerte Größe (Regelgröße) x(t)

Regelstrecke

Stellglied

xm(t)

Messeinrichtung

Ziel der Regelungstechnik: Automatisierung des Abgleichs durch selbsttätige Regelung!

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1.3 Regelungsarten und Beispiele

Regelungsarten selbsttätige Regelung

Festwertregelung w = konst.

Handregelung

w Führungsgröße bzw. Sollwert der Regelgröße

Folgeregelung w = f(t)

1.3.1 Festwertregelung

Entwurfsziel: Ausgangsgröße (Regelgröße) soll trotz Einfluss von Störungen in einem vorgegebenen Toleranzband um einen Sollwert gehalten werden. Ź Temperaturregelung – gefordert: konstante Temperatur eines Objektes im Ofen (= Sollwert) – Störungen: Öffnen der Tür, Änderung der Umgebungstemperatur, Schwankung der elektrischen Heizleistung (Netzspannung) Regelstrecke „Ofen“ Heizwicklung Heizleistung

Tür

pel = u · i

Temperatursensor Energiefluss

Regelgröße Temperatur

Stellglied

Regler Informationsfluss

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Messwandler

Regeldifferenz Soll-/IstwertDifferenz

–

+

Führungsgröße Sollwert

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Ź Temperaturregelung beim Spritzen von Kunststoffen – gefordert: konstantes Temperaturprofil, um Kunststoff gleichmäßig zu plastifizieren – Störungen: schwankende Umgebungsbedingungen Regelstrecke „Extruder“

Kunststoffgranulat

Heizzone 1 bis 4

Temperatursensor

Heizleistung

Messwandler

Sollwert Zone 1

– +

Regeldifferenz Soll-/IstwertDifferenz

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Regler

Stellglied

Regelkreise für jede Heizzone mit unterschiedlichen Sollwerten, um ein gefordertes Temperaturprofil zu erreichen

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Ź Drehzahlregelung –

gefordert: konstante Drehzahl, Einfluss von Störungen sollen so schnell wie möglich beseitigt werden. – Störung: schwankendes Lastmoment, schwankende Versorgungsspannung – Anwendung: Stabilisierung der Schnittgeschwindigkeit von Werkzeugmaschinen (Hauptspindelantrieb)

Regelstrecke „Gleichstromantrieb“

M

U

Stellglied

J

Ȧ

Regeldifferenz

TG

–

Regler

Drehzahlmesser

+

Drehzahlsollwert

Soll-/IstwertDifferenz

Ź Geregelte Spannungsversorgung – – –

gefordert: konstante Ausgangsspannung Störungen: Änderung des Laststromes, Schwankung der Versorgungsspannung Anwendung: Stromversorgung elektronischer Geräte Regelstrecke

+ UV

IA

Ri

L

Lastimpedanz

RL

CL

Messwert UA

Stellglied

Regler

– +

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Sollwert UA0 bzw. IA0

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Ź Füllstandregelung – –

gefordert: konstanter Füllstand Störung: schwankende Flüssigkeitsentnahme Stelleinrichtung

Füllstandssollwert Regler

+ –

Stellantrieb

Füllstandsmesswert Füllstandssensor

Stellglied

Regelstrecke h(t)

Abfluss

Ź Wärmetauscher – gefordert: konstante Temperatur des zu erwärmenden Mediums – Störung: Durchflussschwankung des erwärmenden und des zu erwärmenden Mediums Temperatursollwert

Stelleinrichtung Regler

Stellantrieb

+ –

Regelstrecke erwärmendes Medium

Stellglied

Temperatursensor

Temperaturmesswert

zu erwärmendes Medium BA Eisenach, 2004, Dr. Wede

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Ź Abstandsregelung für ein Laserschneidwerkzeug – gefordert: konstanter Abstand des Laserschneidkopfes vom Werkstück – Störung: Materialform

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1-11

1.3.2 Folge- oder Nachlaufregelung

Entwurfsziel: Die Ausgangsgröße (Regelgröße) soll trotz des Einflusses von Störungen einem vorgegebenen Führungsgrößenverlauf folgen. Beispiel: Führungsgrößenverlauf w(t)

(Übergang von einer Position zu einer anderen mit konstanter Geschwindigkeit)

w(t)

t

Ź Regelung des Drehwinkels (Drehachse) – gefordert: Winkelstellung entsprechend Führungsgröße – Störung: Lastmomentänderung, Schwankung der Versorgungsspannung – Anwendung: Positionierung eines Roboterarmes

Regelstrecke UV = konst. ij M Motor

n2 n1

ij(t), x(t)

Getriebe

U~ij

t Verlauf der Regelgröße

Regler + Stellglied

– w(t)

+ t Führungsgröße, zeitvariabler Sollwert

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Ź Lageregelung (Lineare Achse)

Position des Tisches

Sollwert (Führungsgröße)

x(t)

w(t)

t

t

Regeldifferenz Spannung e(t) + Regler u(t) Differenz (Verstärker)

–

Motor

0 Geschlossener Wirkungsweg = Regelkreis

x(t) inkrementelle Wegmesseinrichtung

y x z

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vY

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Ź Folgeregelung für x- und z-Achse einer Drehmaschine – gefordert: Bewegung der Werkzeugspitze entsprechend vorgegebener Bahn – Störung: schwankendes Lastmoment bez. der Motorwelle

Ź Spannungverstärker – gefordert: Ausgangsspannung soll er Eingangsspannung schnell mit geringem Überschwingen folgen – Störung: Änderung des Laststromes, Änderung der Versorgungsspannung – Anwendung: Gleichspannungs- bzw. Breitbandverstärker R0

R1 Ri

–

UE

IA

UD +

V = V(jȦ)

UA

Lastimpedanz

Umformung der Gleichungen des Operationsverstärkers führt auf Störgröße z = Ri · iA Eingangsspannung UE

R0 R1 + R 0

UD

V(jȦ)

Ausgangsspannung UA

R1 R1 + R 0

Der Operationsverstärker mit Rückführung kann als geschlossener Regelkreis betrachtet werden. BA Eisenach, 2004, Dr. Wede

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2 Grundstruktur und -verhalten einschleifiger Regelkreise

2

2-1

Grundstruktur und -verhalten einschleifiger Regelkreise

2.1 Grundstruktur Die angeführten Beispiele einschleifiger Regelkreise lassen sich in einheitlicher Weise mit einer einheitlichen Terminologie darstellen. Die Grundlage dazu bildet die Norm DIN 19226 Teil 4. Danach ergibt sich für den einschleifigen Regelkreis der folgende Signalflussplan (Wirkungsplan). Kennzeichen des Regelkreises ist die ständige informationelle Rückwirkung vom Ausgang der Regelstrecke über eine Messeinrichtung zum Eingang der Strecke mit dem Ziel die Ausgangsgröße der Strecke (Regelgröße) dem Sollwert anzugleichen.

FührungsRegelgröße Vergleichsdifferenz glied e(t) w(t) Regelglied Regler

Störgrößen z(t)

Stellgröße Steller

y(t)

Stellglied

Regelgröße x(t)

Regelstrecke

Stelleinrichtung

Regeleinrichtung

xm(t)

Messeinrichtung

Grundstruktur des vereinfachten einschleifigen Regelkreises (1)

Zur vereinfachten Darstellung werden Regelstrecke und Messeinrichtung sowie Regelglied und Steller jeweils zusammengefasst. Die Ausgangsgröße des Reglers wird somit als Stellgröße aufgefasst. Als Regelgröße wird deren gemessener Wert aufgefasst, wobei angenommen wird, dass die Messung sehr viel schneller erfolgt als eine Änderung der Regelgröße.

Führungsgröße w(t)

Stellgröße y(t) allg. Regelstrecke (Strecke+ Messglied) (Regelglied+Steller)

Regeldifferenz e(t) allg. Regler

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Regelgröße x(t) [xm(t)]

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2 Grundstruktur und -verhalten einschleifiger Regelkreise

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Die Störgrößen können an verschiedenen Orten der Strecke angreifen: am Streckeneingang, innerhalb der Regelstrecke und am Streckenausgang.

Führungsgröße w(t)

Störgröße z1(t) Regeldifferenz e(t)

Störgröße z2(t)

Störgröße z3(t)

Strecke

Stellgröße y(t)

Teilstrecke 1

Regler

Regelgröße x(t)

Teilstrecke 2

Strecke mit verschiedenen Angriffsorten Störgröße z1(t)

Störgröße z3(t) Regel-

Störgröße z2(t)

größe x(t)

Stellgröße y(t) Teilstrecke 1

Teilstrecke 2

Betrachtet wird die Reaktion von x(t) jeweils auf eine sprungförmige Änderung der Stellgröße y(t) bzw. sprungförmiger Störungen bei Normierung auf die jeweilige Sprunghöhe (Übergangsfunktion) Ź steuernder Eingang y(t) = İ(t) (İ(t) Einheitssprung), Strecken mit Ausgleich z1 = z 2 = z3 = 0 hxy(t) (Strecke höherer Ordnung) KSy

t Ź Eingangsstörung z1(t) = İ(t), y = z2 = z3 = 0 hxz1(t) KSz1

verzögerter Eingriff auf Regelgröße, Wirkung analog zum steuernden Eingang y

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2 Grundstruktur und -verhalten einschleifiger Regelkreise

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Ź Störung innerhalb der Regelstrecke z2(t) = İ(t), y = z1 = z3 = 0

hxz2(t) KSz2

Eingriff auf Regelgröße schneller als bei steuerndem Eingang oder Eingangsstörung

t Ź Störung am Regelstreckenausgang z3(t) = İ(t), y = z1 = z2 = 0

hxz3(t) KSz3

Eingriff auf die Regelgröße erfolgt direkt, also sprungförmig

t

Störung z(t) kann als Sprungantwort einer Störübertragungsfunktion (Stör-ÜF) dargestellt werden. Störungseingang z (t) Führungsgröße w(t)

Regeldifferenz e(t)

Regler

Stellgröße y(t)

Stör-ÜF

Regelstrecke

Störgröße xz(t)

Regelgröße x(t)

Die Übertragungsglieder Regelstrecke, Regler, Störübertragungsfunktion werden jeweils durch Übertragungsfunktionen beschrieben: ZS (s) Ź Regelstrecke G SY (s) o X(s) G SY (s) ˜ Y(s) NS (s) ZR (s) G R (s) o Y(s) G R (s) ˜ E(s) Ź Regler N R (s) ZZ (s) G SZ (s) o X Z (s) G SZ (s) ˜ Z(s) Ź Störübertragungsfunktion N Z (s)

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2 Grundstruktur und -verhalten einschleifiger Regelkreise

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Grundstruktur des vereinfachten einschleifigen Regelkreises (2)

Damit kann für den Grundregelkreis der folgende Signalflussplan im Bildbereich angegeben werden. Störungseingang Z (s) Führungsgröße W(s)

Regeldifferenz E(s)

GR(s)

Stellgröße Y(s)

GSZ(s)

Störgröße XZ(s)

– GSY(s)

Regelgröße X(s)

... Offene Kette, aufgeschnittener Kreis (Mischstelle nicht berücksichtigt)

Übertragungsfunktion G 0 (s)

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G R (s) ˜ G SY (s)

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2 Grundstruktur und -verhalten einschleifiger Regelkreise

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2.2 Geschlossener Regelkreis im Überblick 2.2.1 Grundsätzliches Regelkreisverhalten

Für die Blöcke des Signalflussplanes wird die folgende Wirkung angenommen: – Regler – Regelstrecke – Störung

eĹ ĺ yĹ yĹ ĺ xĹ z Ĺ ĺ xĻ z

ǻw w

eĹ

yĹ GR(s)

GSY(s)

–

x

(ǻw)

(z)

Ź Störverhalten (w = konst. bzw. w = 0) Störung z Ĺ ĺ x Ļ ĺ e = (w – x) Ĺ ĺ y Ĺ (Gegenreaktion des Reglers) ĺ x Ĺ ĺ e = (w – x) Ļ (Abweichung e wird verkleinert; Idealfall e = 0!) Der Regelkreis hat strukturell die Tendenz x an w anzugleichen! Ź Führungsverhalten (z = 0) w = w0 + ǻw Ĺ ĺ e = (w – x) Ĺ ĺ y Ĺ (Gegenreaktion des Reglers) ĺ x Ĺ ĺ e = (w – x) Ļ (Abweichung e wird verkleinert; Idealfall e = 0!) Fazit: Durch die Differenzbildung zwischen der Führungsgröße w(t) und der gemessenen Regelgröße x (t) und die daraus resultierende Gegenreaktion des Reglers ist der Regelkreis in der Lage (bei geeigneter Dimensionierung des Reglers):

Ź die Regelgröße der Führungsgröße möglichst schnell nachzuführen (Folgeregelung) und Ź den Einfluss von Störgrößen auf die Regelgröße möglichst schnell zu kompensieren (Festwert- und Folgeregelung).

2.2.2 Das Verhalten des Regelkreises im Bildbereich

Bei geschlossenem Regelkreis ergibt sich im Bildbereich die Regelgröße X(s)

G R (s)G SY (s) G SZ (s) W(s)  Z(s) 1  G R (s)G SY (s) 1  G R (s)G SY (s)

als Reaktion auf die Führungsgröße W(s) und die Störung Z (s). Auf eine Änderung der Führungsgröße oder der Störungsgröße erhält man bei festgelegtem Regler mit der Übertragungsfunktion GR(s) aus der vorstehenden Übertragungsgleichung im Bildbereich nach Einsetzen der Bildfunktionen für w(t) und z(t) und anschließender Rücktransformation in den Zeitbereich die Regelgröße x(t) L-1 ^X(s)` . BA Eisenach, 2004, Dr. Wede

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Für die Führungsgröße und die Störgröße können damit Übertragungsfunktionen angegeben werden X

Führungsübertragungsfunktion G W (s)

G R (s)G SY (s) 1  G R (s)G SY (s)

(1)

X

Störübertragungsfunktion

G SZ (s) 1  G R (s)G SY (s)

(2)

G Z (s)

und damit folgt für die Regelgröße

X(s) G W (s)W(s)  G Z (s)Z(s) .

Die Entwurfsaufgabe für den Regelkreis besteht also darin, die Übertragungsfunktionen GW(s) und GZ(s) durch geeignete Wahl der Reglerübertragungsfunktion GR(s) so festzulegen, dass die Anforderungen an den Regelkreis gewährleistet werden. Prinzipiell gilt: GW(s) ĺ Tiefpass; GZ(s) ĺ Hochpass Bei gegebener Führungsübertragungsfunktion GW(s) ergibt sich gemäß (1) ein Regler mit der Übertragungsfunktion

G R (s)

1 § G W (s) · ¨ ¸ G SY (s) © 1  G W (s) ¹

§ · ¨ ¸ 1 ¨ 1 ¸ G SY (s) ¨ 1 ¸ ¨ G (s)  1 ¸ © W ¹

(3)

und für die gegebene Störübertragungsfunktion GZ(s) gemäß (2) der Regler G R (s)

§ G SZ (s) ·  1¸ ¨ G SY (s) © G Z (s) ¹ 1

(4)

(Aufgabe 2.1) Da die beiden Reglerübertragungsfunktionen in einem Regelkreis gleich sein müssen, bedeutet das, dass zwischen den beiden Übertragungsfunktionen ein Zusammenhang besteht. Gleichsetzen beider Funktionen führt auf G Z (s) G SZ (s) >1  G W (s) @ .

Durch Vorgabe der Reglerübertragungsfunktion GR(s) können Führungs- und Störübertragungsverhalten nicht unabhängig voneinander festgelegt werden. Führungs- und Störverhalten können nicht gleichzeitig optimiert werden. Beiden Übertragungsfunktionen ist der Nenner 1 + G 0 (s) gemeinsam, mit der Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises (Kette) G 0 (s)

G R (s) ˜ G SY (s) .

Die Nennerfunktion ist ein wesentliches Kriterium für den Reglerentwurf. Sie legt die Polstellen der Übertragungsfunktionen GW(s) und GZ(s) fest.

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2.2.3 Reglergrundtypen

Die Berechnung der Reglerübertragungsfunktion für ein gewünschtes Führungs- oder Störungsverhalten führt auf aufwendig zu realisierende Übertragungsfunktionen GR(s). Aus diesem Grund werden einfachere Standard-Regler eingesetzt, deren Parameter beim Reglerentwurf festzulegen sind. Das klassische Regelungskonzept zur Lösung der Regelungsaufgaben (Führungs-, Störverhalten), geht von folgenden Ansätzen zur Erzeugung der Stellgröße aus: Ź Je größer die Regeldifferenz e zwischen Führungsgröße w und Regelgröße x, e = w – x, desto größer ist die Gegenreaktion durch die Stellgröße yP yP

e

yP2 Zeit

e

yP1 Zeit Zeit

Gegenreaktion yP ~ Regeldifferenz

Die Stellgröße yP ist der Regeldifferenz e proportional, d. h. ĺ proportional wirkender oder P-Regler, Parameter KR

yP = KR e Im Bildbereich gilt: YI (s)

ĺ Reglerübertragungsfunktion

K R ˜ E(s)

G R (s)

YP (s) E(s)

KR

Ź Je größer die Zeitdauer der Regeldifferenz e, desto größer ist die Gegenreaktion yI

t1

yI2

Zeit

yI1

e Zeit Zeit

Gegenreaktion yI ~ Fläche der Regeldifferenz

t

y I (t)

1 e(W) dW TI ³0

Im Bildbereich gilt: 1 YI (s) ˜ E(s) s ˜ TI BA Eisenach, 2004, Dr. Wede

ĺ integral wirkender oder I-Regler, Reglerparameter TI

ĺ Reglerübertragungsfunktion G R (s)

YI (s)

1

E(s)

s ˜ TI 28.09.2006

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Ź Je größer die Änderungsgeschwindigkeit der Regeldifferenz e, desto größer die Gegenreaktion y e yD yD2

Zeit

yD1

e Zeit Zeit

y D (t) TD

d e(t) dt

Gegenreaktion yD ~ Anstieg der Regeldifferenz

ĺ differenzierend wirkender oder D-Anteil eines Reglers,

Reglerparameter TD

Im Bildbereich gilt: YI (s)

s ˜ TD ˜ E(s)

ĺ Reglerübertragungsfunktion G R (s)

YI (s) E(s)

s ˜ TD

Achtung: Der D-Anteil liefert nur eine Stellgröße yD, wenn sich die Regeldifferenz ändert. Im stationären Fall mit e = konst. liefert der D-Anteil keine Stellgröße. Als alleinige Reglerkomponente ist der D-Anteil nicht einsetzbar!

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2 Grundstruktur und -verhalten einschleifiger Regelkreise

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2.2.4 Kombinationen der Grundregler

Die drei Reglergrundkomponenten P-, I- und D-Anteil werden in geeigneter Weise für den vollständigen Reglerentwurf im Sinne einer Parallelschaltung kombiniert, z.B. als PI-, PDoder als PID-Regler. Beispiel PID-Regler

Systemgleichung des Reglers t

y(t)

y P (t)  y I (t)  y D (t)

1 d e(t) K R e(t)  ³ e(W) dW  TD TI 0 dt

§ · 1 Y(s) ¨ K R   sTD ¸ ˜ E(s) sTI © ¹

G R (s)

Signalflussplan KR t

1 e(W) dW TI ³0

Regeldifferenz e(t)

TD

KR 

1  sTD sTI

yP(t)

yI(t)

d e(t) dt

Stellgröße y(t)

yD(t)

Die Systemgleichung des PID-Reglers kann auch in der folgenden Form angegeben werden:

y(t) y(t)

t ª 1 TD d e(t) º K R «e(t)  e( W ) d W  » K R TI ³0 K R dt ¼ ¬ t ª 1 d e(t) º W W  K R «e(t)  e( ) d T » V TN ³0 dt ¼ ¬

e(t)

§ · 1  sTV ¸ ˜ E(s) K R ¨1  © sTN ¹ 1 G R (s) 1   sTV sTN Y(s)

t

1 e(W) dW TN ³0 TV

KR

y(t)

d e(t) dt

Durch Weglassen der entsprechenden Terme entstehen aus diesem allgemeinen PID-Regler der P-, der PI- und der PD-Regler. Durch Anwendung der Laplace-Transformation ergeben sich aus den Systemgleichungen der Regler die zugehörigen Übertragungsfunktionen. In den folgenden Tabellen sind die linearen Grundtypen von Reglern zusammengefasst.

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2 Grundstruktur und -verhalten einschleifiger Regelkreise

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P-Regler (propotionalwirkender Regler, Verstärker) Übergangsfunktion e(t) = İ(t)

Reglergleichung

Bode-Diagramm

Zeitbereich y(t)

K R e(t)

LAF

h(t)

20 lg KR

KR t

Übertragungsfunktion

lg Ȧ

ij(Ȧ)

GR(s) = KR

lg Ȧ

Um das erforderliche Stellsignal zu erzeugen, muss am Eingang des Reglers ein (wenn auch kleines) Signal (e(t)) anliegen. Das bedeutet, es besteht immer eine Differenz zwischen w und x (bleibende Regeldifferenz eB) I-Regler (integralwirkender Regler, Integrator) Übergangsfunktion e(t) = İ(t)

Reglergleichung

Bode-Diagramm

Zeitbereich y(t)

1 e(t) dt TI ³

y(t)

KR ˜

h(t)

1 e(t) dt TN ³

LAF 0

1

G R (s) G R (s)

KR sTN

TI

lg Ȧ

1/TI

TI

Übertragungsfunktion 1 sTI

– 20dB/dek

ij(Ȧ)

t

lg Ȧ - 90°

Das Stellsignal steigt, solange e(t)  0 ist. Bei e(t) = 0 bleibt y = konst. Vorteil: Die bleibende Regelabweichung wird Null, die Stellgröße wird mit der erforderlichen Höhe erzeugt. Nachteil: lange Zeit erforderlich, bis y(t) = konst. bzw. e(t) = 0, d. h. langsames Regelverhalten. PI-Regler (proportional und integrierend wirkender Regler) Übergangsfunktion e(t) = İ(t)

Reglergleichung

Bode-Diagramm

Zeitbereich y(t)

– 20dB/dek

§ · 1 K R ˜ ¨ e(t)  e(t) dt ¸ ³ T N © ¹

LAF

h(t)

KR

Übertragungsfunktion G R (s) G R (s)

§ 1 K R ¨1  sT N © § 1  sTN KR ¨ © sTN

· ¸ ¹ · ¸ ¹

KR

0 1/TN

– TN

0

lg Ȧ

t ij(Ȧ)

- 45°

lg Ȧ

- 90°

Beschleunigter I-Regler, die Sprungantwort ist um TN (Nachstellzeit) verkürzt. Vorteil: Schnelleres Verhalten als I-Regler BA Eisenach, 2004, Dr. Wede

28.09.2006

2 Grundstruktur und -verhalten einschleifiger Regelkreise

2-11

PD-Regler (proportional und differenzierend wirkender Regler) Reglergleichung

Übergangsfunktion e(t) = İ(t)

Bode-Diagramm

Zeitbereich (ideal) y(t)

de(t) · § K R ˜ ¨ e(t)  TV ¸ dt ¹ ©

h(t)

20dB/dek

KRTVį(t)

LAF 0dB/dek

Übertragungsfunktion (ideal) G R (s)

20 lg KR

0

1/TV

lg Ȧ

ij(Ȧ)

K R 1  sTV

KR

90° 45°

t

0

lg Ȧ

Übertragungsfunktion (real) G R (s)

KR

1  sTV 1  sT1

0dB/dek 20dB/dek

LAF

h(t)

0dB/dek

KRTV/T1 0

1/TV 20 lg KR

lg Ȧ

1/T1

ij(Ȧ) 90° 45°

KR t

0

lg Ȧ

Durch die Vorhaltzeit TV ist eine Beschleunigung der Stellgröße möglich. Vorteil: Schnelleres Verhalten als PI-Regler. PID-Regler (proportional-, integral- und differenzierend wirkender Regler) Reglergleichung

Übergangsfunktion e(t) = İ(t)

Bode-Diagramm

Zeitbereich (ideal) y(t)

§ 1 de(t) · K R ˜ ¨ e(t)  e(t) dt  TV ¸ ³ T dt ¹ N ©

h(t)

LAF 0dB/dek 0

ij(Ȧ)

Übertragungsfunktion (ideal) G R (s) G R (s)

§ · 1 K R ¨1   sTV ¸ © sTN ¹ § (1  sT' )(1  sT' ) · N V ¸ K 'R ¨ ' ¨ ¸ sTN © ¹

G R (s)

1/TV´

1/TN´

KR 0

– TN

45° t

lg Ȧ

- 45° - 90°

– 20dB/dek

h(t)

§ sTV · 1 K R ¨1   ¸ © sTN 1  sT1 ¹ § (1  sT' )(1  sT' ) · N V ¸ K 'R ¨ ¨ sT' 1  sT ¸ N 1 © ¹

20dB/dek

0dB/dek

KRTV/T1 0

ij(Ȧ)

1/TN´

1/TV´

lg Ȧ

90°

KR – TN

0

45° t

lg Ȧ

- 45° - 90°

Durch die Vorhaltzeit TV ist eine weitere Beschleunigung der Stellgröße möglich. Da der IAnteil erhalten bleibt, keine bleibende Regeldifferenz, d. h. eB = 0. Vorteil: Schnelleres Verhalten als PI-Regler.

BA Eisenach, 2004, Dr. Wede

lg Ȧ

90°

Übertragungsfunktion (real) G R (s)

20dB/dek

– 20dB/dek

KRTVį(t)

28.09.2006

2 Grundstruktur und -verhalten einschleifiger Regelkreise

2-12

2.2.5 Typisches Verhalten des Regelkreises im Zeitbereich

Regelgröße

ĺ

Das typische Führungs- und Störverhalten eines Regelkreises wird mit den folgenden Abbildungen demonstriert. Regelstrecke. Die Regelstrecke soll das folgende dynamische Verhalten bei einer sprungförmigen Änderung der Stellgröße und einer Störgröße aufweisen.

Antwort auf Störgrößensprung

Antwort auf Stellgrößensprung

xz0

Eingriff der sprungförmigen Störgröße

Zeit

ĺ

Beim Schließen des Regelkreises wird zunächst der Sollwert w (Arbeitspunkt) angefahren, gefolgt vom stabilen Betrieb am Arbeitspunkt. Eine angreifende Störung führt zu einer vorübergehenden Abweichung (em) vom Sollwert. Je nach eingesetztem Reglertyp wird die Auswirkung der Störung abgebaut oder es bleibt eine Abweichung bestehen (bleibende Regeldifferenz eB). Nach der Änderung der Führungsgröße um w0 nähert sich die Regelgröße nach einem Überschwingen (xm) dem neuen Sollwert w1, wobei je nach Reglertyp auch hier eine bleibende Abweichung bestehen bleiben kann (P-Regler).

BA Eisenach, 2004, Dr. Wede

28.09.2006

2 Grundstruktur und -verhalten einschleifiger Regelkreise

2-13

ĺ

Die folgende Abbildung zeigt nochmals die Reaktion des geschlossenen Regelkreises auf eine sprungförmige Änderung der Führungsgröße von 0 auf 1 bei t = 0 (bezogen auf den Arbeitspunkt) und eine sprungförmige Änderung der Störung bei t = 20. Eingesetzt werden ein Pund ein PI-Regler.

Regelgröße

Überschwingweite ǻh Toleranzband ± 2 %

PI-Regler

em P-Regler

bleibende Regeldifferenz eB

Tm

Zeit

ĺ

Ź Führungsverhalten Als Antwort auf den Führungsgrößensprung nähert sich die Regelgröße nach dem maximalen Überschwingen 'h (prozentual bez. auf Endwert) einem stationären Endwert. Ein Maß für die Schnelligkeit des Kreises ist die Zeit bis zum Erreichen des ersten Maximums Tm. Abhängig vom Verhalten der Strecke und der Wahl des Reglers kann sich eine von Null verschiedene bleibende Regeldifferenz eB als Differenz zwischen Sollwert und Regelgröße ergeben. Dies ist z. B. beim P-Regler an einer Strecke mit Ausgleich (P-Strecke) der Fall. Weitere Zeitkennwerte zur Beurteilung des dynamischen Verhaltens des Regelkreises: • Anregelzeit Tan, bei der die Regelgröße erstmalig nach dem Stelleingriff den Sollwert (im Beispiel 1,0) überschreitet • Ausregelzeit Taus oder T2%, nach der die Regelgröße endgültig in ein definiertes Toleranzband um den Sollwert (z. B. ± 2 %) eintaucht.

Ź Störverhalten Die bei t = 20 eingreifende sprungförmige Störung wird durch die Regelung abgebaut (vgl. dazu Einfluss der Störung auf ungeregelte Strecke, oben). Auch hierbei kann eine bleibende Abweichung gegenüber dem Ausgangswert der Regelgröße auftreten (s. P-Regler). Der maximale Einbruch der Regelgröße um em ist abhängig von der Schnelligkeit des Regelkreises.

BA Eisenach, 2004, Dr. Wede

28.09.2006

3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3

3-1

Entwurf einschleifiger Regelkreise

3.1 Anforderungen an den Regelkreis (Entwurfsspezifikationen) ► Stabilität → Betrachtung des Nenners der Regelkreisübertragungsfunktionen; Stabilität fordert: Pole von 1 + G0(s) = 0 liegen in der linken Halbebene ► Statische Genauigkeit (Verhalten nach langer Einwirkungsdauer von Führungsoder Störgröße; theoretisch t → ∞) Bleibende Regeldifferenz eB zulässig oder nicht? Wie groß ist sie? ► Dynamische Genauigkeit Vorgabe dynamischer Kennwerte für das Regelkreisverhalten (∆h, TM, Tan, Taus) ► Robustheit Toleranz des Regelkreisverhaltens gegenüber Veränderungen der Regelstrecke (Änderung der Streckenübertragungsfunktion/Zeitkonstanten, Verstärkung)

3.2

Statische Genauigkeit/Statische Spezifikation

Gesucht ist das Verhalten der Regeldifferenz e(t) für t → ∞ (bleibende Regeldifferenz eB) Z(s)

W(s)

E(s) GR(s)

Y(s)

GSZ(s) X(s) GSY(s)

Im Bildbereich ergibt sich für die Regeldifferenz die Übertragungsgleichung: E(s) =

− G SZ (s) 1 W(s) + Z(s) 1 + G 0 (s) 1 + G 0 (s)

Bleibende Regeldifferenz eB bei einem Führungssprung (Störung z = 0) – Positionsfehler

E(s) =

1 W(s) 1 + G 0 (s)

E(s) =

w0 1 1 + G 0 (s) s

W(s) =

w0 s

Führungsgröße

3.2.1

w(t) w0 t

BA-Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

02.11.2006

3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-2

Berechnung von eB mit dem Endwertsatz der Laplace-Transformation eB = lim e(t) = lim s E(s) = lim s t →∞

s →0

s →0

w0 1 1 + G 0 (s) s

→

eB 1 = lim w 0 s→0 1 + G 0 (s)

Zwei Fälle von G0(s) sind zu unterscheiden

Führungssprung

P-Kette

G 0 (s) = G R (s)GS (s) =

I-Kette

K R K S (1 + sT1 ')⋯ (1 + sT1 )⋯

G 0 (s) =

K R K IS (1 + sT1 ')⋯ s(1 + sT1 )⋯

eB 1 1 eB 1 1 = lim = lim = lim = lim w 0 s→0 1 + G 0 (s) s→0 1 + K R K S (1 + sT1 ')⋯ w 0 s→0 1 + G 0 (s) s→0 1 + K R K IS (1 + sT1 ')⋯ s(1 + sT1 )⋯ (1 + sT1 )⋯ eB s = lim =0 w 0 s→0 K R K IS

eB 1 = w 0 1 + K R KS

3.2.2

Bleibende Regeldifferenz eB bei einem Störungssprung (Führungsgröße w = 0)

E(s) =

− G Sz (s) Z(s) 1 + G 0 (s)

E(s) =

−GSz (s) z 0 1 + G 0 (s) s

z0 s

z(t)

Störgröße

Z(s) =

z0 t

Endwertsatz eB = lim e(t) = lim s E(s) = lim s t →∞

s →0

s →0

− GSz (s) z 0 ; 1 + G 0 (s) s

P-Glied GSz (s) =

Störungssprung

P-Kette

G 0 (s) = G R (s)GS (s) =

K R K S (1 + sT1 ')⋯ (1 + sT1 )⋯

KSz

(1 + sT1 )⋯ I-Kette

G 0 (s) =

K R K S (1 + sT1 ')⋯ s(1 + sT1 )⋯

− GSz (s)z 0 − G Sz (s)z 0 − GSz (s)z 0 − G Sz (s)z 0 = lim eB = lim = lim K K (1 + sT1 ')⋯ K K (1 + sT1 ')⋯ s→0 1 + G 0 (s) s →0 s→0 1 + G 0 (s) s →0 1+ R S 1+ R S (1 + sT1 )⋯ s(1 + sT1 )⋯ x z0 =K Sz ⋅ z0 x z0 =K Sz ⋅ z0 eB 1 eB s = = lim =0 x z0 1 + K R K S x z0 s→0 K R KS

eB = lim

Fazit: Ein Regelkreis mit I-Kette führt bei sprungförmiger Änderung der Führungs- oder der Störgröße zu einer verschwindenden bleibenden Regeldifferenz eB. BA-Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

02.11.2006

3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

Bleibende Regeldifferenz eB bei einer Führungsanstiegsfunktion (Störung z = 0)

1 W(s) 1 + G 0 (s) ɺ0 w 1 E(s) = 1 + G 0 (s) s 2 E(s) =

W(s) =

ɺ0 w s2

ɺ 0 ⋅t w(t) = w

Führungsgröße

3.2.3

3-3

konst. Anstiegsgeschwind. w ɺ 0

t Endwertsatz eB = lim e(t) = lim s E(s) = lim s t →∞

s →0

s →0

ɺ0 w 1 ; 1 + G 0 (s) s 2

eB 1s = lim ɺ 0 s→0 1 + G 0 (s) w

P-Kette

Führungsanstiegsfunktion

G 0 (s) = G R (s)GS (s) =

K R K S (1 + sT1 ')⋯ (1 + sT1 )⋯

eB 1s = lim = lim ɺ 0 s→0 1 + G 0 (s) s→0 w eB →∞ ɺ0 w w(t), x(t)

I-Kette

w(t)

G 0 (s) =

K R K IS (1 + sT1 ')⋯ s(1 + sT1 )⋯

eB 1s 1s 1s = lim = lim K K (1 + sT1 ')⋯ K K (1 + sT1 ')⋯ w ɺ 0 s →0 1 + G 0 (s) s → 0 1 + R IS 1+ R S s(1 + sT1 )⋯ (1 + sT1 )⋯ eB 1 = ɺ 0 K R K IS w

e(t)↑

w(t), x(t)

e(t) → eB = konst.

w(t)

x(t)

x(t) t

t

Fazit: Bei einer Führungsgröße mit konstanter Anstiegsgeschwindigkeit ergibt sich – bei einer P-Kette eine zeitlich zunehmende Regeldifferenz e(t) (→ ∞ für t → ∞) – bei einer I-Kette eine konstante bleibende Regeldifferenz eB (Schleppfehler).

BA-Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

02.11.2006

3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-4

3.3 Dynamische Spezifikation/Dynamische Genauigkeit (Reglereinstellung anhand des Frequenzganges des aufgeschnittenen Kreises G0(jω)) 3.3.1

Überschwingweite ∆h

Das Überschwingen ist ein dynamischer Fehler, der die maximale Abweichung vom Sollwert kennzeichnet. Ein direkter Zusammenhang zwischen den dynamischen Kennwerten des geschlossenen Regelkreises (∆h und Tm) und den Parametern des Reglers (KR, TN, TV) kann bei bekannten Parametern der Regelstrecke i. Allg. nicht direkt angegeben werden. Ein Zusammenhang lässt sich aber angeben zwischen ● den Zeitbereichskennwerten ∆h und Tm des geschlossenen Kreises und ● der Übertragungsfunktion G 0 (s) = G R (s) ⋅ GS (s) bzw. dem Frequenzgang G 0 ( jω) = G R ( jω) ⋅ G S ( jω) des aufgeschnittenen Regelkreises. W(s)

E(s)

X(s)

G0(s)

Im Bode-Diagramm ergeben sich der logarithmisch dargestellte Amplitudengang (20 log|G0(jω)|) und der Phasengang ϕ0(ω) des aufgeschnittenen Kreises durch die Addition der Amplituden- bzw. Phasengänge von Regler und Strecke. Beispielhaft wird als G0(jω) eine Kettenschaltung aus einem I-Glied und einem Verzögerungsglied 1. Ordnung betrachtet werden.

IT1-Kette K 1 1 1 = = = ; → TI′ = TI / K TI′ = a ⋅ T1 sTI (1 + sT1 ) s TI 1 + sT s aT 1 + sT ′ ( ) sTI (1 + sT1 ) 1 1 ( 1) 1 K ω1 = ; K = K R ⋅ KS I-Glied T1-Glied 2 T1

20lg|G0(jω)|

G 0 (s) =

1 K>1 3 K=1

– 40db/Dek.

– 20db/Dek.

Das Bode-Diagramm ergibt sich für s = jω.

ω1 = 1 T1

K<1

ωs2 ωs3

ωs1

lg ω

φ(ω) lg ω -90° φR3

φR1

φR2

-180° BA-Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

02.11.2006

3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-5

Führungsübertragungsfunktion GW(s) des geschlossenen Regelkreises: 1 G0 (s ) sT1a (1 + sT1 ) X(s) 1 = = = G w (s) = 1 W(s) 1 + G 0 ( s ) 1 + sT1a (1 + sT1 ) + 1 sT1a (1 + sT1 ) G w (s) =

1 1 = 2 2 1 + sT1a + s T1 a 1 + s2DT0 + s 2T02

Koeffizientenvergleich:

→

Schwingungsglied, T2*-Glied

2DT0 = aT1; T0 2 = T12a → a = 4 D2

Übergangsfunktion h(t) (als Funktion von D bzw.a) h(t) = 1 −

−D

1 1 − D2

mit Ψ = arcsin

e

t T0

−  t  1 sin  1 − D2 + Ψ  = 1 − e 1 − ( a / 4)  T0 

( 1 − D ) = arcsin ( 1 − (a / 4) ) .

a t 4 T0

 t  sin  1 − ( a / 4) + Ψ   T0 

2

h(t) →

D = 0,25; a = 0,25

D = 0,5; a = 1,0 D = 0,75; a = 2,25

D = 1,0; a = 4,0 D = 1,5; a = 9,0 D = 2,0; a = 16,0

t/T0 → Überschwingweite ∆h des Schwingungsgliedes als Funktion der Dämpfung D bzw. des Faktors a:

  π  a  ∆h = exp  − = exp  −π  . 2 4−a    1 − D 

( exp( ....) = e(...))

Überschwingweite ∆h als Funktion des Phasenrands φR:  ∆h = exp  − π 

 − 1 (1 cos ϕR ) − cos ϕR 

BA-Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

4

02.11.2006

3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-6

Überschwingweite ∆h als Funktion des Phasenrands φR 80 70

Phasenrand

60

Näherung φR= 30...70°

50 40 30 20

Näherung ∆h = 2...40%

10 0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Überschw ingw eite ∆ h

∆h in %

0

4,3

5

8,5

10

20

30

40

50

φR in °

76,3

65,5

64,6

60,3

58,6

48,1

39,1

31,2

24,3

D

1

1/√2

0,69

0,61

0,59

0,46

0,36

0,28

0,22

a

4,0

2,0

1,9

1,49

1,39

0,85

0,52

0,31

0,19

Im Bereich des Phasenrands von 30° < φR < 70° bzw. bei Überschwingweiten 2% < ∆h < 40% kann der Zusammenhang angenähert durch

ϕR + ∆h = 70, ϕR in °, ∆h in %

Bsp. φR = 45° → ∆h = 25 %

Satz 1: Bei der IT1-Kette (aufgeschnittener Kreis) kann eine vorgegebene Überschwingweite ∆h durch Wahl des Phasenrandes φR eingestellt werden. Der Zusammenhang zwischen Phasenrand und Überschwingweite kann weitgehend auf allgemeine offene Ketten übertragen werden. Der Zusammenhang gilt u. a. näherungsweise für

► I1Tn-Ketten mit der Abweichung |∆∆h| = | ∆h − ∆hˆ | < 5 % ► I1TnTDm-Ketten mit der Abweichung |∆∆h| = |< 12 %. ► Systeme mit Totzeit. Für die Durchtrittsfrequenz ωS gilt |G0(jωS)| = 1, woraus die Durchtrittsfrequenz ωS als Funktion von a berechnet werden kann:

ωS = f 2 (a) =

 1 1 4  1 + 2 − 1 . T1 2  a 

Beim Reglerentwurf wird ein Frequenzgang des aufgeschnittenen Kreises G0(jω) (Produkt von Regler- und Streckenfrequenzgang) in Form einer IT1-Kette angestrebt, wobei die Schnittfrequenz ωS i. Allg. in einem Bereich mit einem Abfall von 20 dB/dek liegt . Der eingestellte Phasenrand φR bestimmt die Überschwingweite ∆h bei einem Führungsgrößensprung. BA-Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

02.11.2006

3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3.3.2

3-7

Schnelligkeit des geschlossenen Kreises (ohne Ableitung)

Die Durchtrittsfrequenz ωS des aufgeschnittenen Kreises ist ein Maß für die Schnelligkeit des geschlossenen Kreises. Näherungsweise gilt: Tm ≈

π 1 = . ωS 2 ⋅ fS

Als obere Fehlerschranke lässt sich für diese Näherung angeben:

Tm − π ωS < 20 % Tm

Bei gegebenem Bode-Diagramm der Regelstrecke können damit die Reglerparameter so festgelegt werden, dass ein vorgegebenes Überschwingen ∆h eingehalten wird.

Satz 2: Durch die Wahl der Reglerstruktur kann mit der Durchtrittsfrequenz ωS die Schnelligkeit des Regelkreises (Tm) eingestellt werden. 3.3.3

Maximale Regeldifferenz em bei Störeingriff

Bei einem Störeingriff, der die Ausgangsgröße der ungeregelten Strecke um xz0 ändert, ergibt sich die maximale Regeldifferenz em (Definition s. Abschn.2). Die maximale Regeldifferenz em hängt ab von • der Schnelligkeit des Regelkreises, charakterisiert durch die Durchtrittsfrequenz ωS • der Verzögerung, mit der die Störung auf die Ausgangsgröße (der ungeregelten Strecke) einwirkt, charakterisiert durch die Summenzeitkonstante TΣz des Störeingriffes (Schnelligkeit des Störeingriffs). x(t) A1 xZ0 A1 = A2 !

A2

TΣz t

z(t)

Regelgröße unter Störeinfluss ohne Regelung

Sprungstörung t

Das Verhältnis von maximaler Regeldifferenz em und Größe der Störung xz0 wird bestimmt durch das Produkt der Durchtrittsfrequenz ωS und der Summenzeitkonstante TΣz der Störung. Der näherungsweise Zusammenhang ergibt sich aus der Gleichung: em 1 ≈ x z0 1 + ωS ⋅ TΣ z ωS·TΣz

0

0,5

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

8,0

10,0

em/ xz0

100 %

70 %

55 %

35 %

25 %

20 %

16 %

13 %

9%

7%

Satz 3: Durch die Wahl der Reglerstruktur kann mit der Durchtrittsfrequenz ωS der maximale, durch eine Störung verursachte Einbruch in der Regelgröße reduziert werden. BA-Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

02.11.2006

3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-8

3.4 Entwurfsbeispiel (ausgeführt mit WinFact-Boris) Gezeigt wird die Vorgehensweise beim Entwurf eines P-, I-, PI-, PID-Reglers im Frequenzbereich. Das mit den verschiedenen Reglertypen erzielte Regelverhalten wird verglichen. 3.4.1

Aufgabenstellung

► Gegeben ist eine Regelstrecke mit den folgenden Übertragungsfunktionen Z(s)

Y(s)

GSZ(s) X(s) GSY(s)

GSY (s) =

2 (1 + s ⋅ 15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s )

GSZ (s) =

1 → TΣz = 15 s (1 + s ⋅ 15s )

• Sprungantworten der Regelgröße bei Stellgrößen- und Störungssprung (ohne Regler)

Antwort auf Stellgrößensprung

xz0

Antwort auf Störungssprung

• Bode-Diagramm für GSY(s)

6 dB

LAF Strecke

Phase Strecke

► Gefordert wird für das Führungsverhalten eine Überschwingweite ∆h = 8,5 % (woraus ein Phasenrand φR = 60° folgt) sowie eine verschwindende bleibende Regeldifferenz eB = 0. BA-Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

02.11.2006

3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3.4.2

3-9

P-Regler

Z(s)

W(s)

E(s) KR

Y(s) G0(s)

1 (1 + s ⋅15s )

2

(1 + s ⋅ 15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s )

X(s)

2 (1 + s ⋅ 15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s ) Das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Kreises G0(jω) wird zunächst für KR = 1 dargestellt. Der Phasenrand von φR = 60° ergibt sich bei der Frequenz ωS = 0,24 s-1. Am logarithmischen Amplitudenfrequenzgang zeigt sich, dass die Verstärkung um 7 dB (Verstärkungsfaktor KR = 2,2) erhöht werden muss, damit die Durchtrittsfrequenz bei ωS liegt. G 0 (s) = G R (s) ⋅ GSY (s) = K R ⋅

7 dB

φR = 60°

Die Simulation im Zeitbereich (w0 = 10; xZ0 = 10) zeigt ein größeres Überschwingen als erwartet (22 %, eine typische Erscheinung bei P-Strecken mit P-Reglern bei kleinen Kreisverstärkungen KRKS). Aus der Simulation folgt Tm = 11, 0 s; aus der Durchtrittsfrequenz ωS = 0,24 s-1 ergibt sich π Tm ≈ = 13s . ωs Übereinstimmend ergibt sich bei Simulation und Rechnung die bleibende Regeldifferenz 1 eB 1 = = 0,186 eB = w 0 = 1,86 bzw. 1 + K R KS w 0 1 + K R KS Auch beim Störungseingriff ergibt sich eine bleibende Regeldifferenz gegenüber dem zuvor eingestellten stationären Endwert. BA-Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

02.11.2006

3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-10

Simulationsergebnis Regelgröße x(t)

Störungssprung Sollwertsprunghöhe w0 = 10

Führungs-ÜF des geschlossenen Kreises

G 0 (s) = G R (s) ⋅ GSY (s) = K R ⋅

2 (1 + s ⋅ 15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s )

4, 4 G 0 (s) (1 + s ⋅ 15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅1,5s ) = 4, 4 G W (s) = = 4, 4 1 + G 0 (s) 1 + (1 + s ⋅15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s ) + 4, 4 (1 + s ⋅ 15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅1,5s ) 4, 4 4, 4 5, 4 G W (s) = 3 = 3 3 2 2 3 2 s ⋅ 45s + s ⋅ 55,5s + s ⋅ 18,5s + 1 + 4, 4 s ⋅ 8,33s + s ⋅ 10, 28s 2 + s ⋅ 3, 43s + 1 0,815 (System 3. Ordnung) G W (s) = 3 3 2 s ⋅ 8,33s + s ⋅ 10, 28s 2 + s ⋅ 3, 43s + 1

Bode-Diagramm des geschlossenen Kreises (Führungsverhalten)

GW(j0) = – 1,86 dB = 0,807; Resonanzüberhöhung 0,989 dB = 1,27 bei ωmax = 0,295 s-1 BA-Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

02.11.2006

3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3.4.3

3-11

W(s)

1

Z(s)

I-Regler

E(s) KR

1 s TI

Y(s)

(1 + s ⋅15s ) 2

(1 + s ⋅15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅1,5s )

X(s)

1 2 sTI (1 + s ⋅ 15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s ) Das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Kreises G0(jω) wird zunächst für KR = 1 und TI = 15 s dargestellt (gestrichelt). Die Verstärkung muss um 12,6 dB abgesenkt werden, um bei ωS = 0,03 s-1 den Phasenrand von 60° zu erreichen. Mit der entsprechenden Verstärkung von KR = 0,234 ergibt sich die durchgehende LAF-Linie. G 0 (s) = G R (s) ⋅ GSY (s) = K R ⋅

Die Simulation im Zeitbereich (w0 = 10; xZ0 = 10) zeigt ein etwas kleineres Überschwingen als erwartet von 7 %. Aus der Simulation folgt Tm ≈ 95 s; aus der Durchtrittsfrequenz ωS = 0,03 s-1 ergibt sich Tm ≈ π ωs = 105s . Deutlich zu erkennen ist, dass die bleibende Regeldifferenz verschwindet. Auch beim Störungseingriff wird die bleibende Regeldifferenz abgebaut. Der maximale Störeinbruch liegt bei em/xz0 = 69,6 % [theoretisch em/xz0 = 1/(1+0,03s-1·15s) = 69 %].

Simulationsergebnis

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-12

Führungs-ÜF des geschlossenen Kreises 0, 234 2 G 0 (s) = G R (s) ⋅ GSY (s) = ⋅ s ⋅ 15s (1 + s ⋅ 15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s )

G 0 (s) =

1 s ⋅ 32,1s (1 + s ⋅ 15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s )

1 s ⋅ 32,1s (1 + s ⋅ 15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s ) G 0 (s) = G W (s) = 1 1 + G 0 (s) 1 + s ⋅ 32,1s (1 + s ⋅ 15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s ) 1 G W (s) = s ⋅ 32,1s (1 + s ⋅ 15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s ) + 1 1 G W (s) = 4 4 3 3 s ⋅ 1444,5s + s ⋅ 1781,6s + s 2 ⋅ 593,9s 2 + s ⋅ 32,1s + 1

(System 4. Ordnung)

Bode-Diagramm des geschlossenen Kreises (Führungsverhalten)

GW(j0) = 0 dB = 1,0; Grenzfrequenz ω-3dB = 0,048 s-1

Fazit: Die bleibende Regeldifferenz wird durch das I-Glied eliminiert. Der Regelkreis (die Regelschleife) wird allerdings wesentlich langsamer. → Die Regelschleife muss beschleunigt werden!

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-13

W(s)

1

Z(s)

3.4.4 PI-Regler E(s) KR

1+ s ⋅15s (s15s)

Y(s)

(1 + s ⋅15s ) 2

X(s)

(1 + s ⋅15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅1,5s )

Eine sinnvolle Annahme für die Nachstellzeit des Reglers ist TN = T1 = 15 s. G 0 (s) = G R (s) ⋅ GSY (s) = 1, 22 ⋅

(1 + s ⋅ 15s )

2

s ⋅ 15s

(1 + s ⋅ 15s ) (1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s )

=

2, 44 s ⋅ 15s (1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s )

Das Bild zeigt die logarithmischen Amplituden- und die Phasenfrequenzgänge für die Strecke und die Reglereinstellung. Die Verstärkung des Reglers KR ist dabei noch unberücksichtigt (KR = 1).

LAF Regler LAF Strecke

LAF Regler

Phase Regler

LAF Strecke

Phase Strecke

Verstärkung erhöhen auf 0 dB

Phasenrand φR = 60°

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-14

Aus dem Phasengang des aufgeschnittenen Kreises ergibt sich für den Phasenrand von 60° die Durchtrittsfrequenz ωS = 0,153 s-1. Der dargestellte Amplitudenfrequenzgang (KR = 1) zeigt, dass der Amplitudenfrequenzgang um 1,9 dB angehoben werden muss, damit bei ωS die 0db-Achse durchstoßen wird → KR = 1,22.

LAF aufgeschnittener Kreis 0 dB Phase aufgeschnittener Kreis φR = 60°

Die Reglereinstellung (KR = 1,22, TN = T1 = 15 s) führt auf folgende Simulationsergebnisse im Zeitbereich: ∆h = 7,5 s %, em/xz0 = 30 %. Diese Werte zeigen eine sehr gute Übereinstimmung mit e 1 den theoretischen (vgl. ∆h = f(φR) und m = = 0,301 mit ωS = 0,153 s-1 und TΣz = 15 s.) x z0 1 + ωSTΣz Die Berechnung von Tm ergibt 20,5 s, die Simulation führt auf 17,3 s. Mit der theoretischen Aussage liegt man also auf der sicheren Seite.

∆h = 7,5 %

Tm = 17,3 s

em = 0,3 xz0

Regelgröße x(t) T2% = 50 s

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-15

Für das Führungsverhalten des geschlossenen Kreises ergibt sich folgende Übertragungsfunktion 2, 44 s ⋅ 15s (1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s ) G 0 (s) 2, 44 G W (s) = = = 2, 44 1 + G 0 (s) 1 + s ⋅ 15s (1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s ) + 2, 44 s ⋅ 15s (1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅ 1,5s )

G W (s) =

2, 44 s ⋅ 45s + s ⋅ 52,5s + s ⋅ 15s + 2, 44 3

3

2

2

=

1 s ⋅ 18, 4s + s ⋅ 21,5s 2 + s ⋅ 6,15s + 1 3

3

2

Bode-Diagramm des geschlossenen Kreises (Führungsverhalten)

Grenzfrequenz ω-3dB = 0,27 s-1 ;

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keine Resonanzüberhöhung erkennbar!

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-16

Bei einer Verdopplung von KR auf 2,44 verringert sich der Phasenrand (φR = 40°) bei gleichzeitiger Erhöhung der Durchtrittsfrequenz (hier ωS = 0,265 s-1). Daraus folgt theoretisch: ∆h ≈ 30 % und em/xz0 = 19,9 %. Die Simulation zeigt eine gute Übereinstimmung mit den theoretisch am BodeDiagramm vorhergesagten Werten. Aufgrund der höheren Durchtrittsfrequenz ergibt sich ein um 30 % verringerter Einbruch durch die Störung.

∆h = 30 %

±2%

T2% = 33 s

em = 0,23 xz0 Tm = 11 s

Für das Führungsverhalten des geschlossenen Kreises ergibt sich folgende Übertragungsfunktion 4,88 1 G W (s) = 3 = 3 3 2 2 3 2 s ⋅ 45s + s ⋅ 52,5s + s ⋅ 15s + 4,88 s ⋅ 9, 22s + s ⋅ 10,8s 2 + s ⋅ 3,07s + 1

Bode-Diagramm des geschlossenen Kreises (Führungsverhalten)

Grenzfrequenz ω-3dB = 0,37 s-1; Resonanzüberhöhung bei ωmax = 0,3 s-1 ≈ 3,5 db!

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3.4.5

3-17

PID-Regler

Die vorangegangene Darstellung des PI-Reglers verdeutlichte, dass eine schnellere Reaktion des Reglers nur dann sinnvoll zu erreichen ist, wenn neben der Erhöhung der Durchtrittsfrequenz der Phasenrand beibehalten wird. Das heißt, der relativ steile Abfall des Phasengangs (vgl. Darstellung unter Abschn. 4.2.2) muss durch ein phasenvordrehendes Glied im Regelkreis aufgehalten werden. Der Regler wird dazu ergänzt um das Vorhaltglied 1 + sTv ; mit a ≪ 1 1 + saTv 1 Z(s)

W(s)

E(s) KR

1+s⋅15s 1+s⋅ 2s ( s15s) 1+s⋅ 0,2s

Y(s)

(1 + s ⋅15s )

2

(1 + s ⋅15s )(1 + s ⋅ 2s )(1 + s ⋅1,5s )

X(s)

Eine sinnvolle Annahme für die Vorhaltzeit des Reglers ist TV = T2 = 2 s. Die kleinere Verzögerungszeitkonstante aTv = 0,2 s wurde aus Gründen der Realisierbarkeit der Übertragungsfunktion GR(s) eingefügt. Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises reduziert sich damit zu G 0 (s) = K R

1 + s ⋅ 15s 1 + s ⋅ 2s 2 2K R = ( s 15s ) 1 + s ⋅ 0, 2s (1 + s ⋅ 15s ) (1 + s ⋅ 2s ) (1 + s ⋅ 1,5s ) s 15s (1 + s ⋅ 1,5s )(1 + s ⋅ 0,2s )

Dabei handelt es sich in erster Näherung um eine I-Kette mit Verzögerung erster Ordnung. Das folgende Bild zeigt die logarithmischen Amplituden- und die Phasenfrequenzgänge für die Strecke und die genannte Reglereinstellung. Das Vorhaltglied erzeugt eine Phasenvordrehung, die mit wachsender Frequenz von 0 bis 90° verläuft. Bei den höheren Frequenzen wird die kleine Verzögerungszeitkonstante aTv wirksam, die die Phase (aufgund ihrer max. Phasendrehung von -90°) auf 0° zurückdreht.

LAF PID-Regler

Phase PID-Regler

LAF Strecke

Phase Strecke

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3-18

Die Überlagerung der Amplituden- und Phasengänge von Strecke und Regler (KR = 1) führt dann zu den folgenden Verläufen. Es zeigt sich, dass die Phasendrehung oberhalb einer bestimmten Frequenz stets kleiner ist als die Phasendrehung der Strecke. Damit ergibt sich der Phasenrand φR = 60° bei der höheren Durchtrittsfrequenz ωS = 0,324 s-1, womit ein Tm von 9,70 s zu erwarten ist. Die Verstärkung ist um 8,88 dB (KR = 2,78) anzuheben.

– 8,88 dB

LAF Strecke

Phase aufgeschnittener Kreis

LAF aufgeschnittener Kreis

φR = 60°

ωS = 0,324 s-1

Phase Strecke

Die simulierten Antworten auf Führungsgrößen- und Störsprünge zeigen eine gute Übereinstimmung mit den geforderten Werten.

8,3 % em/xz0 = 16,9 % Tm = 8,25 s T2% = 32 s

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3-19

3.5 Stellgröße und Schnelligkeit Das vorstehende Beispiel hat gezeigt, dass der PID-Regler schneller als die zuvor entworfenen Regler ist. Da die Regelstrecke unverändert geblieben ist, bedeutet das, dass die Stellgröße sehr große Werte annehmen muss, um diese Schnelligkeit zu erzielen (s. Bild zu vorhergehendem Beispiel).

Regelgröße

Stellgröße

Diese Beschleunigung wird durch den D-Anteil des Reglers erreicht. Stellt man sich im Zeitbereich vor, dass ein Führungssprung angelegt wird, so entsteht als Regeldifferenz ein Sprung, da die Regelstrecke aufgrund ihrer Systemeigenschaften nur verzögert antworten kann. Dieser Sprung wird durch den idealen D-Anteil (vgl. Summenschreibweise) differenziert; es entsteht also ein DiracImpuls mit unendlich hoher Amplitude. In den realen, entworfenen Regler wurde ein Verzögerungsanteil eingebaut, der zunächst die Amplitude reduziert. Mit Hilfe des Anfangswertsatzes der Laplace-Transformation kann diese Amplitude der Stellgröße berechnet werden: Y(s) = Y(s) =

G R (s) W(s) 1 + G 0 (s)

W(s) =

w0 s

w0

w(t)

G R (s) w 0 1 + G 0 (s) s

Anfangswertsatz G (s) ⋅ w 0 G R (s) w 0 y 0 = lim y(t) = lim s Y(s) = lim s = lim R t →0 s→∞ s→∞ s →∞ 1 + G 0 (s) 1 + G 0 (s) s

t

1 + s ⋅15s 1 + s ⋅ 2s w0  ×1/ s 2  s ⋅15s ) 1 + s ⋅ 0, 2s 3, 4 (1 + s ⋅15s )(1 + s ⋅ 2s ) w 0 ( y 0 = lim = lim  2   2 ⋅ 3, 4 2 ⋅ 3, 4 s→∞ s→∞ × 1/ s   1+ ( s ⋅15s )(1 + s ⋅ 0, 2s ) + s ⋅15s(1 + s ⋅1,5s)(1 + s ⋅ 0, 2s) (1 + s ⋅1, 5s) 1  1  3, 4  + 15s  + 2s  w 0 3, 4 (15s )( 2s ) w 0 s  s  y 0 = lim = = 3, 4 ⋅10 ⋅ w 0 = 34 ⋅ w 0 s→∞ 2 ⋅ 3, 4 15s )( 0, 2s ) 1  ( (15s )  + 0, 2s  + 2 s  s ⋅ (1 + s ⋅1, 5s) 3, 4

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-20

Dieser Wert liegt oberhalb der Stellgrößenwerte, die einerseits zum dauerhaften Abgleich von Führungs- und Regelgröße erforderlich sind und andererseits zum schnellen Ausregeln der Störung benötigt werden. Das Stellglied ist i. Allg. nicht in der Lage, dieses Signal zu liefern. Das Stellsignal wird begrenzt und das Führungsverhalten entsprechend langsamer. Es ist deshalb zweckmäßig, die schnelle Änderung der Führungsgröße von vornherein durch ein angemessenes Führungsgrößenvorfilter (Verzögerungsglied/Tiefpass) zu begrenzen. Der Grundregelkreis erhält damit die folgende Gestalt: Z (s)

GSZ(s)

FührungsgrößenVorfilter W(s)

W′(s)

E(s) GR(s)

GVW(s)

X(s) =

Y(s)

GS(s)

X(s)

G R (s)GS (s) GSZ (s) G VW (s)W(s) − Z(s) . 1 + G R (s)GS (s) 1 + G R (s)GS (s)

Nur das Führungsverhalten wird durch das Filter beeinflusst, das Störverhalten wird nicht beeinträchtigt. Geeignete Vorfilter sind PT1-Glieder, wobei die Durchtrittsfrequenz ωS des aufgeschnittenen Kreises als Bezugswert für die Zeitkonstante gewählt werden kann: 1 G VW (s) = mit T1 = 1/ωS. 1 + s ⋅ T1 Für das Beispiel des PID-Reglers im Abschn. 3.4.5 ergeben sich mit T1 = 3s die folgenden Verläufe der Regel- und der Stellgröße.

Regelgröße Regelgröße bei Störsprung Führungsverhalten der Regelgröße mit Vorfilter

Stelllgröße bei Führungssprung mit Vorfilter

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Stellgröße bei Störsprung

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3-21

Mit diesem Vorfilter kann der Regelkreis noch schneller eingestellt werden [KR = 8 (vorher 2,78) → ωS ↑]. Der Einbruch der Regelgröße bei einer Störung wird damit weiter verringert (im Beispiel em/xz0 ≈ 5 %).

Allerdings ist zu beachten, dass im praktischen Fall Störungen, die zusätzlich über das Messglied auf den Kreis einwirken, ungedämpft wirksam sind und den Regelkreis stark anregen.

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3-22

3.6 Reglerentwurf im Bode-Diagramm mit WinFact Start

Vorgaben für den Regelkreisentwurf 1. Amplituden- und Phasengang (Übertragungsfunktion) der Strecke gegeben 2. Geforderte Schnelligkeit des Kreises Tm → Durchtrittsfrequenz ωS ≈ π ⁄ Tm 3. Geforderte dynamische Genauigkeit Überschwingweite ∆h → Phasenrand φRsoll 4. Geforderte statische Genauigkeit eBsoll

– Grundregelkreis simulieren mit P-Regler KR = 1; – Amplituden- und Phasengang von |G0(jω)| darstellen – KR variieren bis φR = φRSoll – → ωS’

eB =

1 1 + KRKS

ja

w 0 ≤ eBsoll

– Simulation im Zeitbereich Reglerparameter: KR

nein – Simulation mit PI-Regler

GR (s) = K R

1 + sTN

; KR = 1

sTN

im Frequenzbereich – TN so wählen, dass bei ω = 1/TN der Abfall der Strecken-ÜF |GS(jω)| 3 dB gegenüber |GS(j0)| beträgt (entspricht Kompensation der größten Zeitkonstante) – Amplituden- und Phasengang von |G0(jω)| darstellen – KR variieren bis φR = φRSoll – → ωS’ (→ Tm’)

– Simulation im Zeitbereich

Tm ' ≤ Tm

ja

– Simulation im Zeitbereich Reglerparameter: TN, KR

nein – Regler um Vorhaltglied erweitern

1+ sTV

, a << 1;

1 + saTV (bei ω = 1/TV beträgt die Phasenvordrehung ≈ 45°); z. B. Kompensation der zweitgrößten Zeitkonstante der Strecke durch TV – Simulation im Frequenzbereich – TV so einstellen, dass φR = φRsoll bei ωS – KR variieren bis ωS erreicht ist

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Achtung: TM und ωS können nicht beliebig gewählt werden. Bei der Simulation im Zeitbereich sind immer die Stellgrößen zu beachten.

– Simulation im Zeitbereich Reglerparameter: TN, KR, TV

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3-23

3.7 Verhalten des geschlossenen Regelkreises im Frequenzbereich Betrachtet wird der Regelkreis im Frequenzbereich, d. h. s = jω. Alle Signale werden als sinusförmig betrachtet. Z (jω)

W(jω) = 0

E(jω)

GSZ(jω)

XZ(jω)

X(jω)

Y(jω) GS(jω)

GR(jω)

3.7.1 Führungsverhalten

G R (s)G SY (s) G 0 (s) = 1 + G R (s)G SY (s) 1 + G 0 (s) G 0 ( jω) ergibt sich mit s = jω der Führungsfrequenzgang G W ( jω) = . 1 + G 0 ( jω) Die Darstellung im Bode-Diagramm führt auf drei deutlich unterscheidbare Frequenzbereiche: ► Bereich I: |G0(jω)| ≫ 1, daraus folgt |GW(jω)| ≈ 1 bzw. 0 dB Aus der Führungsübertragungsfunktion G W (s) =

► Bereich III: ► Bereich II:

|G0(jω)| ≪ 1, daraus folgt |GW(jω)| ≈ |G0(jω)|

G W ( jω) =

G 0 ( jω)

; in Abhängigkeit vom Phasenrand φR kommt 1 + G 0 ( jω) es zu einer Resonanzüberhöhung des Führungsfrequenzganges, d. h. |GW(jω0)| > 1 (>0 dB). Die Resonanzfrequenz liegt in der Nähe der Durchtrittsfrequenz ωS.

Die Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Kreises besitzt Tiefpass-Charakter.

|G0(jω)|

Phase GW(jω)

|GW(jω)|

Phase G0(jω)

Bereich I

Bereich II

Bereich III

eigentlicher Wirkungsbereich der Regelung

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3-24

3.7.2 Störverhalten

Als Ausgangsgröße der gestörten Regelstrecke ohne Regelung ergibt sich Xungeregelt(jω) = XZ(jω) = GSZ(jω) Z (jω). Mit der Regelung erhält man

X geregelt ( jω) =

GSZ ( jω) Z( jω) . 1 + G 0 ( jω)

Setzt man nun die geregelte Ausgangsgröße Xgeregelt(jω) ins Verhältnis zu Xungeregelt(jω), so ergibt sich unabhängig vom Angriffsort der Störung (Streckeneingang, Streckenausgang, innerhalb der Strecke) bzw. von der Störübertragungsfunktion der komplexe Regelfaktor GSZ (jω) X geregelt (jω) 1+G 0 (jω) R(jω)= = X ungeregelt (jω) GSZ (jω)

→

R(jω)=

X geregelt (jω) X ungeregelt (jω)

=

1 1+G 0 (jω)

Das folgende Bild zeigt den typischen logarithmischen Amplitudengang von R(jω) und den Amplitudengang des aufgeschnittenen Kreises G0(jω) am Entwurfsbeispiel (PI-Regler).

aufgeschnittener Kreis 20 lg G 0 ( jω)

Regelfaktor 20 lg

Bereich I

Bereich II

1 1 + G 0 ( jω)

Bereich III

1 Regelfaktor ≈ 20 lg = −20 lg G 0 ( jω) G 0 ( jω) Spiegelung des aufgeschnittenen Kreises!

Die Darstellung des Regelfaktors kann in drei Bereiche unterteilt werden: ► Bereich I (unterhalb der Durchtrittsfrequenz ωS): Gegenüber der ungeregelten Strecke werden Störfrequenzen unterdrückt (Amplitudengang unterhalb 0 dB). Dieser Frequenzbereich ist der eigentliche Wirkungsbereich der Regelung. ► Bereich II: Im Bereich um die bzw. oberhalb der Durchtrittsfrequenz tritt eine Anhebung von Störfrequenzen auf. Diese Resonanzüberhöhung korrespondiert mit der Überschwingweite ∆h. Große Resonanzüberhöhung bedeutet starkes Überschwingen. Beim Reglerentwurf ist darauf zu achten, dass in diesem Frequenzbereich keine Störungsanteile auftreten, da sie nicht ausgeregelt, sondern verstärkt werden. Bei sinusförmigen Störungen sollte die Durchtrittsfrequenz oberhalb der dominierenden Störfrequenz liegen. ► Bereich III: In diesem Bereich hat der Amplitudengang von R(jω) etwa den Wert 0 dB oder 1, d. h., die geregelte und die ungeregelte Strecke liefern den gleichen Wert der Ausgangsgröße. Das bedeutet, die Regelung ist in diesem Bereich wirkungslos. Die Störungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises besitzt Hochpasscharakter. BA-Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

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3-25

3.8 Einstellung von Regelkreisen nach Betrags- und symmetrischem Optimum In der Antriebstechnik werden häufig Regler eingesetzt, die nach zwei speziellen Optimierungskriterien eingestellt sind. Bei den Kriterien handelt es sich um das Betrags- und das symmetrische Optimum. 3.8.1 Einstellung nach dem Betragsoptimum

Das Betragsoptimum geht im Frequenzbereich davon aus, dass der Führungsfrequenzgang Gw(jω) über einen weiten Bereich den Wert 1 (0 dB) annimmt und keine Resonanzüberhöhung aufweist. Für eine IT1-Kette ergibt sich dieser Fall für a = 2 (entspricht Schwingungsglied mit D = 1/√2 = 0,707); s Abschn. 3.3.1. Das bedeutet, der Phasenrand muss auf 65,5° eingestellt sein. Die Bemessung der Reglerparameter ist in diesem Fall ohne Bode-Diagramm anhand der Übertragungsfunktion möglich.

KS KS ≈ ; TΣ = T2 + T3 + ··· (1 + sT1 )(1 + sT2 ) (1 + sT3 )⋯ (1 + sT1 )(1 + sTΣ ) Zusammenfassung kleiner Zeitkonstanten K (1 + sTN ) PI-Regler G R (s) = R s TN Strecke GS (s) =

IT1-Kette G 0 (s) =

K R (1 + sTN )

(1 + sT1 ) (1 + sTΣ )

sTN

Nachstellzeit TN = T1 ;

Reglerparameter: 20lg|G0(jω)|

KS

=

K R KS TN 1 = ; aTΣ = ;a =2 sTN (1 + sTΣ ) saTΣ (1 + sTΣ ) K R KS

Verstärkung

KR =

TN 2TΣ KS

PI-Regler – 20db/Dek.

Strecke ωS

ωΣ = 1 TΣ lg ω

ω1 = 1 T1

– 40db/Dek.

φ( ω ) lg ω -90° 65,5° -180°

Die Überschwingweite beträgt bei dieser Einstellung 4,3 %, die Anregelzeit Tan = 4,7 TΣ und die Ausregelzeit T2% = 8,4 TΣ. BA-Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

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3-26

3.8.2 Symmetrisches Optimum

Bei der Reglereinstellung nach dem Betragsoptimum ergeben sich einige Nachteile. Im Fall einer IT1-Strecke (Lage- oder Positionsregelungen) ergibt sich bei einer Führungsrampe (Schleppfehler) und bei einer Störung am Streckeneingang (Lastmomentstörung) trotz I-Glied bleibende Regeldifferenzen. Diese können nur verschwinden bei einem Regler mit I-Anteil. Mit einem reinen I-Regler wäre der offene Kreis aber ein zweifaches I-Glied, dessen Phasengang konstant bei – 180° liegen würde. Der geschlossene Kreis wäre immer instabil. Instabilität wird vermieden, wenn ein PI-Regler so eingesetzt wird, dass G0(jω) in einem Bereich mit –20 dB/Dek durch die 0-dB-Achse stößt (ωS). Die Knickfrequenzen des PI-Reglers und der Strecke liegen symmetrisch zur Durchtrittsfrequenz mir den Relationen ωS = a ⋅ 1 TN ; ω1 = a ⋅ ωS und a = 2. Im Phasengang ergibt sich bei dieser Einstellung ein Phasenrand von etwa 37°. Auch hier ist der Reglerentwurf ohne Zeichnen des BodeDiagramms möglich. K IS 1 + sTN Strecke GS (s) = Regler G R (s) = K R sTN s (1 + sT1 ) Reglerparameter: Nachstellzeit TN = 4 T1; Verstärkung

KR =

1 K IS ⋅ 2 ⋅ T1

LAF

-40db/Dek.

offener Kreis G0(jω)

-20db/Dek.

PI-Regler

ωS -20db/Dek.

ω1

-20db/Dek. 0db

lg ω 1/TN

φ(ω) Strecke

-40db/Dek.

- 142,6° -40db/Dek.

φR = 37,4° - 180°

lg ω

Überschwingweite/Führung: ∆h = 43,4 %; Störungseinbruch: em/z0 = 1,62 KIS·TΣ Anregelzeit: Tan = 3,1 TΣ; Ausregelzeit: T2% = 16,5 TΣ

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-27

Z(s) W(s)

E(s)

KR

1 + sTN Y(s) sTN

K IS s (1 + sTΣ )

X(s)

Beispiel: KIS = 1 s-1; TΣ = 0,1 s → TN = 4 TΣ = 0,4 s; KR = 1/(KIS2TΣ) = 5 Sprungförmige Führungsgrößenänderung und Störung

∆h = 43 %

em/z0 = 0,162

Bode-Diagramm des offenen Kreises ωS = 5 s

|G0(jω)|

-1

φ( ω )

φR = 37°

ω

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-28

Rampenförmige Führungsgrößenänderung (ohne Schleppfehler)

Die Überschwingweite bei sprungförmiger Führungsgrößenänderung kann durch ein vorgeschaltetes Tiefpassfilter reduziert werden. Z(s) GF(s) W(s)

E(s)

1 1 + s 4TΣ

KR

1 + sTN Y(s) sTN

K IS s (1 + sTΣ )

X(s)

1 1 + s 4TΣ Überschwingweite ∆h = 8,1 % Vorfilter G F (s) =

Anregelzeit Tan = 7,6 TΣ Ausregelzeit T2% = 16,5 TΣ

∆h = 8,1 %

unveränderter Störeinbruch

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-29

3.9 Verbesserung des Regelkreisverhaltens anhand des Bode-Diagramms 3.9.1

Verbesserung des statischen Verhaltens, verringern der bleibenden Regeldifferenz

Schnelligkeit unverändert, d. h. ωS unverändert, eB verringert KS (1 + s ⋅ T1 )(1 + s ⋅ T2 )

LAF 0 dB/dek.

w(t)

e(t)

x(t)

KR

– 20 dB/dek. 20lg KRKS ωS 1/T2 1/T1

lg ω

G 0 (s) =

K R KS (1 + s ⋅ T1 )(1 + s ⋅ T2 )

E(s) = W(s)

1 K R KS 1+ (1 + s ⋅ T1 )(1 + s ⋅ T2 )

– 40 dB/dek.

LAF – 20 dB/dek.

s = 0 bei sprungförmiger Änderung von w(t)

0 dB/dek. 1/TN

lg ω

→

eB 1 = w 0 1 + K R KS

eB → 0 erfordert KS → ∞ (Achtung Stabilität!) mit

G R (s) =

G 0′ (s) =

3.9.2

1 + s ⋅ TN ; s ⋅ TN

1 + s ⋅ TN s ⋅ TN

TN = T1

K R KS

(1 + s ⋅ T1 ) (1 + s ⋅ T2 )

geht die Verstärkung für ω = 0 gegen ∞

=

K R KS s ⋅ T1 (1 + s ⋅ T2 )

Verbesserung des dynamischen Verhalten, ∆h verringern → φR vergrößern

LAF

G 0 (s) = – 20 dB/dek.

ωS 1/T1

Korrektur durch Vorhaltglied (PD-Regler)

1/T2 lg ω

LAF

1 ; ωS ≈ 1 TI sTI (1 + s ⋅ T1 )(1 + s ⋅ T2 )

– 40 dB/dek.

+20 dB/dek.

G R (s) = 1 + sTV G 0′ (s) =

→ TV = T1

1 sTI (1 + s ⋅ T2 )

– 40 dB/dek.

– 20 dB/dek.

lg ω

1/TV

Erste Knickfrequenz nach rechts verschoben, ∆h sinkt, ωS bleibt unverändert.

– 60 dB/dek. BA-Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3.9.3

3-30

Verbesserung des dynamischen Verhalten, Tm verringern bei unverändertem ∆h

– 20 dB/dek.

LAF

ωS’

ωS

– 20 dB/dek.

1 ; ωS ≈ 1 TI sTI (1 + s ⋅ T1 )(1 + s ⋅ T2 )

G 0 (s) =

KR

Korrektur durch PD-Regler 1/T1

1/T2 lg ω +20 dB/dek.

LAF

– 40 dB/dek.

G R (s) = K R (1 + sTV ) → TV = T1 KR sTI (1 + s ⋅ T2 )

G 0′ (s) =

– 40 dB/dek.

T → ωS′ ≈ I KR

K R > 1 → ωS nach rechts → Tm sin kt 0 dB/dek. KR

ω1 / ωS = ω2 / ωS

– 60 dB/dek. lg ω

1/TV

3.9.4

Verbesserung des statischen und dynamischen Verhalten

– 20

LAF

G 0 (s) =

KR – 20

ωS’

ωS 1/T2

KS (1 + s ⋅ T1 )(1 + s ⋅ T2 ) (1 + s ⋅ T3 )

G R (s) = K R ′

1/T3

1/T1

(1 + sT ′ )(1 + sT ′ ) N

+20 – 40

0 dB/dek.

– 40

G 0′ (s) =

– 60

KR 1/TV

G 0′ (s) = K R ′

V

sTN′

lg ω

LAF

1/TN

→ ∆h = konst.

(1 + sT ′ ) (1 + sT ′ ) N

sTN′ K R′KS

sTN′ (1 + s ⋅ T3 )

V

KS

(1 + s ⋅ T1 ) (1 + s ⋅ T2 ) (1 + s ⋅ T3 ) mit TN′ = T1 und TV′ = T2

lg ω

Die dominierenden Zeitkonstanten T1, T2 wurden kompensiert, die bleibende Regelabweichung unterdrückt. Bei KR = 1 (0 dB) wird der Abstand ωS folgende Kickfrequenz (1/T3) vergrößert → ∆h wird verringert. Bei KR > 1 wird ωS nach rechts verschoben → Tm wird kleiner, d. h. Regelkreis wird schneller. Achtung! Der Entwurf im Bode-Diagramm führt auf die Regler-ÜF in Produktschreibweise.

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3-31

Aufgaben zum Kapitel 3 Aufgabe 3.1

Entwerfen Sie im Bode-Diagramm für eine Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion

GS (s) =

158 (1 + s 333ms )(1 + s 20ms )(1 + s1, 43ms )

einen Regler, der bei einem Führungsgrößensprung eine Überschwingweite von ∆h = 10 % und eine Zeit bis zum ersten Maximum von Tm = 10 ms realisiert. Wie groß ist die bleibende Regelabweichung? Aufgabe 3.2 Gegeben ist eine Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion

e −s 0,5s . GS (s) = (1 + s15s )(1 + s 2s )(1 + s1,5s )(1 + s 0,5s ) Simulieren Sie die Übergangsfunktion dieses Systems. Entwerfen Sie im Bode-Diagramm für ∆h = 10 % und ∆h = 50 % je einen P-, I-, PI- und PIDRegler. Ermitteln Sie die Reglerparameter. Vergleichen Sie die durch Simulation ermittelten Kennwerte eB, em, Tm und Taus (±2%) für die verschiedenen Regler. Aufgabe 3.2 Anwendung des Betragsoptimums

Für den im Signalflussbild dargestellten Regelkreis sind die Reglerparameter von I-, PI- und PIDReglern nach dem Betragoptimum zu ermitteln. Simulieren Sie das Führungsverhalten sowie die Frequenzgänge des aufgeschnittenen und des geschlossenen Kreises mit Hilfe von WinFact-Boris. Z(s)

W(s)

E(s)

GR(s)

Y(s)

1

1

1

(1 + sT1 )

(1 + sT2 )

(1 + sT3 )

KS

X(s)

(1 + sT4 )

T1 = 0,5 s; T2 = 0,045 s; T3 = 0,004 s; T4 = 0,001 s; KS = 2

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3-32

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-33

► I-Regler Gesucht: Optimale Nachstellzeit TN Alle Zeitkonstanten der PT1-Elemente werden zur Ersatzzeitkonstante TE zusammengefasst: TE = T1 + T2 + T3 + T4 = 0,55 s;

TN = 2 KS TE = 2,2 s;

tanr = 4,7 TE = 2,59 s

Führungsübergangsfunktion

Überschwingen ∆h = 4,3 %; TM = 3,36 s; tanr = 2,52 s

Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Kreises

Durchtrittsfrequenz ωS = 0,855 s-1 ; Phasenrand φR = 64,2 °

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-34

Bode-Diagramm des geschlossenen Kreises

Grenzfrequenz ω-3dB = 1,39 s-1 ;

keine Resonanzüberhöhung!

► PI-Regler Gesucht: Optimale Nachstellzeit TN und KR Nachstellzeit TN = T1 = 0,5s Zusammenfassen der weiteren Zeitkonstanten: TE = T2 + T3 + T4 = 0,05 s;

KR =

TN = 2,5 ; 2K STE

tanr = 4,7 TE = 0,235 s

Führungsübergangsfunktion

Überschwingen ∆h = 4,3 %; TM = 0,304 s; tanr = 0,23 s

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3-35

Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Kreises

Durchtrittsfrequenz ωS = 9,63 s-1 ; Phasenrand φR = 64,1° Bode-Diagramm des geschlossenen Kreises

Grenzfrequenz ω-3dB = 15,1 s-1 ;

keine Resonanzüberhöhung!

► PID-Regler Gesucht: Optimale Nachstellzeit TN, Vorhaltzeit TV und KR Nachstellzeit TN = T1 = 0,5 s; TV = T2 = 0,045 s Zusammenfassen der weiteren Zeitkonstanten: TE = T3 + T4 = 0,005 s;

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KR =

TN = 25 ; 2K STE

tanr = 4,7 TE = 0,0235 s

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

3-36

Führungsübergangsfunktion

Überschwingen ∆h = 6,8 %; TM = 0,0279 s; tanr = 0,021 s Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Kreises

Durchtrittsfrequenz ωS = 97,2 s-1 ; Phasenrand φR = 58,9° Bode-Diagramm des geschlossenen Kreises

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3 Entwurf einschleifiger Regelkreise

Grenzfrequenz ω-3dB = 169,7 s-1 ;

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3-37

keine Resonanzüberhöhung!

02.11.2006

4 Ermittlung der Kennwerte von Regelstrecken

4

4-1

Ermittlung der Kennwerte von Regelstrecken

Der Entwurf von Regelkreisen setzt die Kenntnis eines Modells der Regelstrecke voraus. Dieses Modell muss das dynamische und statische Verhalten der Strecke beschreiben. Grundsätzlich sind zwei Wege zur Ermittlung eines Modells möglich: – die experimentelle Ermittlung an der realen Strecke (Messungen) – die theoretische Modellbildung, d. h., aufgrund physikalischer Gesetze wird die Differentialgleichung oder die Übertragungsfunktion ermittelt, die das Verhalten der Strecke beschreibt. Die reale Strecke ist in diesem Fall nicht erforderlich. Diese Methode ist also besonders in der Planungsphase einer Anlage geeignet. Im Weiteren wird eine Auswahl experimenteller Methoden vorgestellt, die auf der Auswertung der Sprungantwort und des Frequenzganges der Regelstrecke basieren. 4.1 Auswertung der Sprungantwort Grundprinzip: Es wird versucht, durch die Auswertung der Sprungantwort Kennwerte zu gewinnen, die das Streckenverhalten hinreichend beschreiben. Neben der Anwendung von einfachen Zeitkennwerten (Summenzeitkonstante, Verzugs- und Ausgleichszeit bei P-Gliedern) und der Verstärkung KS (bei P-Gliedern) bzw. der Anstiegsgeschwindigkeit KIS der Übergangsfunktion (bei I-Gliedern) wird versucht eine Modellübertragungsfunktion mit der gemessenen Sprungantwort zur Deckung zu bringen. Aus mehreren Modellansätzen wird diejenige ausgewählt, die die gemessene Sprungantwort am besten approximiert. Erfassung der Sprungantwort Arbeitpunkteinstellung

Auswertung Speicheroszilloskop

Stellgröße Sprunggenerator

Regelstrecke

xe(t)

Daten

Regelgröße Xa(t)

PC

Endwert erreicht Xa(t) ǻxa(t)

Arbeitspunkt der Regelgröße Xa0

Schritt 1: Datenaufbereitung ǻxa(t) = Xa(t) – Xa0

Xa(t)

Nur die von der Eingangsgröße verursachten Abweichungen vom Arbeitspunkt werden berücksichtigt .

t xe(t) ǻxe0

z.B. 2ǻxe0

t Richtungswechsel

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30.10.2006

4 Ermittlung der Kennwerte von Regelstrecken

4-2

4.2

Einfachmodelle für Regelstrecken

4.2.1

Beschreibung der Strecke durch Summenzeitkonstante T6 und Verstärkung KS

Die Summenzeitkonstante TȈ erfasst die dominierenden Zeitkonstanten in der Übertragungsfunktion der Strecke. Wird die Strecke als Verzögerungsglied n-ter Ordnung mit n verschiedenen Zeitkonstanten T1 ... Tn, mit Vorhalt TD1 und mit der Totzeit Tt angenommen. Das Ausmultiplizieren des Modellansatzes *) sowie eine Taylorreihenentwicklung führen auf die ÜF**). Die dominierenden Zeitkonstanten werden als Summenzeitkonstante TȈ zusammengefasst. G (s )

KS ˜

(1  s T D 1 ) n

–

e  sT t * ) |

(1  s T i )

**) KS 1  s ( T1  T 2  ...  T D 1  T t )  ...

i 1

T6

Diese Summenzeitkonstante T6 kann anschaulich gedeutet werden. Die Gleichheit der Flächen A1 und A2 ergibt sich für t = T6. h(t) = 'xa(t)/'xe0 A1

A 1 = A2

KS

A2 t T6

Das Abschätzen der Summenzeitkonstante auf diesem Wege ist häufig ausreichend, um einen Überblick über das dynamische Verhalten zu erlangen. Mit der Summenzeitkonstante T6 und der Regelstreckenverstärkung KS ist bereits eine brauchbare Einstellung von P-, PI- und PIDReglern möglich. Genauere Bestimmung des Summenzeitkonstanten-Modells Gegeben:

Wertetabelle für xa(t) als Antwort auf einen Sprung der Höhe 'xe0

Rechengang:

'x a (t) ermitteln 'x e0 (Sprungantwort 'xa(t) normiert auf Sprunghöhe 'xe0 = Antwort auf Einheitssprung H(t)) 'x af Als Endwert der Übergangsfunktion ist KS ablesbar ( K S , statischer Übertra'x e0 gungsfaktor, Verstärkung der Regelstrecke).

1. Übergangsfunktion h(t)

h(t) = 'xa(t)/'xe0

A

KS

tm BA-Eisenach,2006, Prof. Dr. Wede

t 30.10.2006

4 Ermittlung der Kennwerte von Regelstrecken

4-3

2. Berechnen der Fläche A durch Integration und Bestimmung von T6 tm

A

³  KS  h(t) dt

K S ˜ T6

0

o

T6

A K S

Die Integrationszeit tm ist so zu wählen, dass die Übergangsfunktion annähernd ihren Endwert erreicht hat. Ausführung der Integration z. B. mit WinFact-Boris. Beispiel: Bestimmung von T6mitWinFact-Boris Die in einem File gespeicherte, gemessene Übergangsfunktion wird von KS subtrahiert und die Differenz wird integriert. h(t)

KS

h(t) KS = 2

A = 18 s

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TȈ =

18s 2

= 9s

30.10.2006

4 Ermittlung der Kennwerte von Regelstrecken

4.2.2

4-4

Verzugs- und Ausgleichszeit einer P-Regelstrecke

Die Verzugszeit Tu und die Ausgleichszeit Tg charakterisieren ebenfalls das grundsätzliche Verhalten einer Regelstrecke höherer Ordnung mit Ausgleich. Zur Ermittlung der Größen wird an die Übergangsfunktion im Wendepunkt eine Tangente angelegt. Die entsprechenden Zeitabschnitte Tu und Tg werden abgelesen. h(t) = 'xa(t)/'xe0

KS

t

Tg

Tu

Das Verhältnis Ausgleichszeit/Verzugszeit lässt einen Rückschluss auf die Regelbarkeit einer Strecke und auf den einzusetzenden Reglertyp zu: Ź Tg Tu t 10 gut regelbar Ź

Tg Tu

Ź

Tg Tu  3

10!3 noch regelbar schwer regelbar Verhältnis Tg/Tu (P-Strecke)

Reglertyp

Tg Tu ! 10

Tg Tu 10! 3

Tg Tu  3

I-Regler

+

–

–

P-Regler

+

–

–

PI-Regler

+

+

(+)

PD-Regler

(+)

–

–

PID-Regler

(+)

+

–

Es existieren Einstellregeln, die bei der Bemessung der Reglerparameter vom Verhältnis Tg /Tu ausgehen (z. B. Chien, Hrones, Reswick und Oppelt). Beispiel: Verzögerungsglied 3. Ordnung mit gleichen Zeitkonstanten T = 2 s

gemessene Übergangsfunktion Tu = 1,6 s Tg = 7,3 s Tg /Tu = 4,56 Regelstrecke ist regelbar.

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30.10.2006

4 Ermittlung der Kennwerte von Regelstrecken

4-5

4.3 Streckenmodelle zur Beschreibung von Strecken mit Ausgleich (P-Strecken) Das Verhalten eines Systems mit einer Übertragungsfunktion G(s) wird durch die Antwort des Systems auf eine Sprungfunktion mit der Sprunghöhe ǻxE0 charakterisiert. Zweckmäßigerweise wird die Systemantwort auf die Sprunghöhe der Eingangsgröße normiert, womit man die Übergangsfunktion h(t) erhält. Aus der Sprungantwort bzw. der Übergangsfunktion können die Kennwerte der Strecke ermittelt werden. 4.3.1 Verzögerungsglied erster Ordnung

Für ein Verzögerungsglied erster Ordnung T1-Glied; Parameter KS, T

c

KS 1  sT

ergibt sich die folgende Sprungantwort xA(t) bei einer Sprunghöhe xE0 des Eingangssignals. xA(t)

0,632 xA’ xA’ T

T

t

4.3.2 Modelle für aperiodische Verzögerungsglieder (höherer Ordnung) Mit der Zeitprozentkennwert-Methode werden anhand der gemessenen Sprungantwort (Oszilloskop oder Darstellung der Messwerte z. B. unter WinFact-Boris) die Kennwerte der Übertragungsfunktion des Systems ermittelt. Die Sprungantwort dieses Modells kann mit WinFact-Boris simuliert werden. Der Vergleich mit der gemessenen Sprungantwort zeigt die Modellgüte. Bei Abweichungen ist ein Handabgleich möglich. Die Kennwerte der folgenden Übertragungsglieder sollen ermittelt werden (links): T1-Glied; Parameter KS, T

c d

KS 1  sT

T2-Glied; Parameter KS, T1, T2 bzw. T2 = b T1 KS

1  s T1 1  s T2

Ersatzmodelle KS

Tk-Glied; Parameter KS, T1,...,Tk

e

KS

1  s T1 " 1  s Tk

Tn-Glied; Parameter KS, T1, n

f

1  s T1 n

KS

n



KS

– 1 s

i 1

T i



1  s T1 n

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30.10.2006

4 Ermittlung der Kennwerte von Regelstrecken

4-6

Für die Systeme 1, 2, 4 können mit Hilfe der Zeitkennwert-Methode anhand der Übergangsfunktion die Modellstruktur sowie die Parameter ermittelt werden. Für das System 3 werden Ersatzmodelle mit gleichen oder gestaffelten Zeitkonstanten eingesetzt. Zeitkonstanten Für die Verzögerungsglieder hängt das Verhältnis der Zeitwerte t90 und t10 (t90/t10), bei denen 90 % bzw. 10 % des Endwertes erreicht wird (s. Bild), nicht von den absoluten Werten der Systemparameter Ti und Ks, sondern von der Systemstruktur ab.

xA(t) ǻxA’ 0,9·ǻxA’

Ź Für das System 1.Ordnung ergibt sich der konstante Wert t90/t10 = 21,9. Ź Für das Verzögerungsglied 2. Ordnung ist t90/t10 > 7,3 und hängt vom Verhältnis der Zeitkonstanten b = T2/T1 ab. Ź Für das Verzögerungsglied n-ter Ordnung mit gleichen Zeitkonstanten hängt das Verhältnis ausschließlich von der Ordnung n ab. Es gilt t90/t10 < 7,3. Ź Für das Verzögerungsglied k verschiedenen Zeitkonstanten gilt ebenfalls t90/t10 < 7,3.

0,5·ǻxA’

ǻxA’

0,1·ǻxA’ 0

t10

t50

t90

t

Anhand des messtechnisch ermittelten Verhältnisses t90/t10 kann entschieden werden, welcher Systemtyp vorliegt. Für das jeweilige Verhältnis t90/t10 werden b oder n bestimmt.

Ansatz mit zwei verschiedenen Zeitkonstanten t90/t10

b

G S (s)

KS 1  s T 1  s bT

t90/T

t50/T

t10/T

7,31

1

3,89

1,68

0,53

7,48

1,5

4,89

2,08

0,65

7,81

2

5,94

2,46

0,76

8,19

2,5

7,02

2,82

0,86

8,57

3

8,12

3,17

0,95

8,95

3,5

9,24

3,52

1,03

9,31

4

10,36

3,87

1,11

9,98

5

12,63

4,56

1,27

10,58

6

14,91

5,24

1,41

11,13

7

17,20

5,92

1,55

11,62

8

19,49

6,61

1,68

12,07

9

21,78

7,30

1,81

12,48

10

24,08

7,98

1,93

12,86

11

26,38

8,67

2,05

13,21

12

28,68

9,36

2,17

13,53

13

30,97

10,05

2,29

13,84

14

33,27

10,74

2,40

14,12

15

35,57

11,43

2,52

14,38

16

37,87

12,12

2,63

14,63

17

40,17

12,81

2,75

14,86

18

42,48

13,50

2,86

15,08

19

44,78

14,20

2,97

15,29

20

47,08

14,89

3,08

BA-Eisenach,2006, Prof. Dr. Wede

Ablesebeispiel: gemessen: t10 = 1,55s; t50 = 4,4 s; t90 = 10,93s t90/t10 = 7,1 ĺ b = 1 ĺ t90/T = 3,89; t50/T = 1,68; t10/T = 0,53

T

1 ª10, 93 4, 4 1, 55 º   3 «¬ 3,89 1, 68 0, 53 »¼

G S (s)

2, 78 s

KS

1  s 2, 78 s 1  s 2, 78 s

Entscheidung zum Modelltyp:

Ź t90/t10 § 22 System 1. Ordnung Ź t90/t10 > 7,3 Verzögerungsglied 2. Ordnung unterschiedliche Zeitkonstanten Ź t90/t10 < 7,3 Verzögerungsglied n-ter Ordnung mit gleichen oder gestaffelten Zeitkonstanten

30.10.2006

4 Ermittlung der Kennwerte von Regelstrecken

4-7

Ansatz mit n gleiche Zeitkonstanten t90/t10 21,93 7,31 4,83 3,83 3,29 2,94 2,70 2,53 2,39 2,28

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t90/T 2,30 3,89 5,32 6,68 7,99 9,27 10,53 11,77 13,00 14,21

KS

GS (s) t50/T 0,693 1,678 2,674 3,672 4,671 5,670 6,670 7,670 8,670 9,670

Ansatz mit gestaffelten Zeitkonstanten (Radtke)

1  sT n t10/T 0,105 0,532 1,102 1,745 2,433 3,152 3,895 4,656 5,433 6,221

GS (s)

n

– 1 s

i 1

t90/t10 21,93 7,81 5,39 4,41 3,88 3,55 3,31 3,13 2,99 2,88

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t90/T 2,30 2,97 3,36 3,65 3,86 4,05 4,20 4,33 4,45 4,56

t50/T 0,693 1,227 1,577 1,838 2,043 2,22 2,36 2,49 2,60 2,70



KS T i



t10/T 0,105 0,380 0,624 0,828 0,997 1,14 1,27 1,39 1,49 1,58

Die Zeitkennwerte t10, t50 und t90 hängen selbst von den Zeitkonstanten und den Parametern b und n ab, d. h. für den ermittelten Wert von b oder n ergeben sich Zahlenwerte für die Verhältnisse t10/T, t50/T und t90/T. Mit diesen Zahlenwerten und den gemessenen Werten t10, t50 und t90 erhält man Werte für die gesuchte Zeitkonstante T:

T

t10 t10 T

; T

t 50 t 50 T

; T

t 90 t 90 T

.

Da die Messwerte der Sprungantwort fehlerbehaftet sind, wird der Mittelwert dieser drei Werte gebildet und als Zeitkonstante T weiter verwendet:

T

t t º 1 ª t10  50  90 » « 3 ¬ t10 / T t 50 / T t 90 / T ¼

Damit ergibt sich der allgemeine Ablauf zur Bestimmung der Übertragungsfunktion: t90/t10 = 21,9 ĺ Verzögerungsglied 1. Ordn.

Messung von t10, t50, t90 ĺ Bestimmung von t90/t10 ĺ Entscheidung

t90/t10 • 7,3 ĺ Verzögerungsglied 2. Ordn.

t90/t10 = 21,9 ĺ n = 1

t90/t10 ” 7,3 ĺ Verzögerungsglied n. Ordn. gleiche Zeitkonstante oder gestaffelt

t90/t10 • 7,3 ĺ b

t t º 1 ª t10  50  90 » « 3 ¬ t10 / T t 50 / T t 90 / T ¼ Die Entscheidung zwischen gleichen oder gestaffelten Zeitkonstanten erfolgt nach der besseren Anpassung von t90/t10 an n. t90/t10 ” 7,3 ĺ n

ĺ t10/T, t50/T und t90/T ĺ

T

Verstärkung KS

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30.10.2006

4 Ermittlung der Kennwerte von Regelstrecken

4-8

Der Wert für die Verstärkung ergibt aus dem Verhältnis von Endwert der Sprungantwort ǻxA’ (t ĺ ’)

'x Af . 'x E0

und Sprunghöhe des Eingangssignals ǻxE0: K S

4.3.3 Schwingungsglied T2*-Glied; Parameter KS, T0, D KS 1  s 2DT0  sT0 2

Für das Schwingungsglied

ergibt sich die folgende Übergangsfunktion: h(t)





§ · 1 KS ¨1  e Dt / T0 sin ª 1  D2 t / T0  < º ¸ für t t 0; < ¬« ¼» ¹ 1  D2 ©

e  Dt / T0

arcsin 1  D2

Toleranzband ± 2 %

ǻh´

Zeit bis zum ersten Maximum abgeleitet werden Daraus kannTdie m

Tm

S T0 1  D2

.

Zu diesem Zeitpunkt ergibt sich die Überschwingweite 'hc 'h K S

^

`

exp S D

1  D2 ,

wobei KS der Endwert von h(t) ist. Aus den gemessenen Werten von Tm und ǻh´ können die Systemparameter T0 und D berechnet werden:

D

ln  'hc S2  ª¬ln  'h c º¼

2

und

T0

Tm 1  D 2 . S

Im Frequenzbereich ergibt sich bei der Resonanzfrequenz Zm

Z0 1  2D 2 , Z0

die Resonanzüberhöhung G( jZm )

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1 T0

1 2D 1  D 2

(ab D • 1/¥2 keine Überhöhung).

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4 Ermittlung der Kennwerte von Regelstrecken

4-9

4.3.4 Modelle zur Beschreibung von Strecken ohne Ausgleich (I-Strecken)

Zur Modellierung werden die beiden folgenden Ansätze genutzt Ansatz I K IS

G S (p)

n

T · § s ˜ – ¨1  s ˜ 1 ¸ i ¹ i 1©

K IS T · § T · § s ˜ 1  s ˜ T1 ˜ ¨ 1  s ˜ 1 ¸ ˜ ¨ 1  s ˜ 1 ¸ ˜ ... 2 3¹ © ¹ ©

Ansatz II G S (s)

K IS

s ˜ 1  s ˜ T1

n

Gegeben: Wertetabelle für xa(t) als Antwort auf einen Sprung der Höhe 'xe0 (Sprungantwort)

Rechengang:

tan D und T6 'x e0 x(T6 ) 2. Bestimmung der Ordnung n aus und der Tabelle K I T6 'x e0

1. Bestimmung von K I

n Modell I

x(T6 ) T6 K I 'x e0 DI(n)

Modell II

x(T6 ) T6 K I 'x e0 DI(n)

1

2

3

0,368

0,271

0,224

1,000

0,500

0,368 1,000

4

5

6

0,195

0,174

0,161

0,333

0,250

0,200

0,167

0,281

0,241

0,218

0,202

0,190

0,666

0,545

0,480

0,438

0,408

3. Berechnung von T1

T1 = DI(n) ˜ T6 (Berechnung der weiteren Zeitkonstanten für Modell I mit Ti = T1/i) 4. Überprüfen des Modells durch Simulation der Sprungantwort und Vergleich mit den gegebenen Daten!

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4 Ermittlung der Kennwerte von Regelstrecken

4-10

4.4 Störungsabschätzung

Wenn die Reaktion der Regelgröße auf eine sprungförmige Störgröße an der realen Regelstrecke messbar ist, dann können mit den gleichen, bereits angeführten Methoden Modelle für das Störverhalten (Störfilter GSZ(s)) ermittelt werden. 4.5 Berücksichtigung von Totzeiten in Modellen

Zeigt die Sprungantwort der Strecke zunächst keine Reaktion auf die Sprunganregung, so kann das Modell als Reihenschaltung eines Totzeitgliedes mit einer gebrochen rationalen Übertragungsfunktion betrachtet werden: G S (s) G Sc (s) ˜ e sTt . Die Daten aus dem Totzeitabschnitt werden aus dem Datensatz entfernt und für den verbleibenden Teil wird mit den bekannten Methoden das Modell GS´(s) ermittelt. h(t) = xa(t)/xe0 Modell GS´(s)

KS

t

xe(t)

Tt

xe0 t

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4 Ermittlung der Kennwerte von Regelstrecken

4-11

4.9 Kennwertermittlung im Frequenzbereich

Arbeitpunkteinstellung

Auswertung Speicheroszilloskop

Stellgröße Sinusgenerator

Regelstrecke xe(t)

Regelgröße Xa(t)

Daten

PC Xa(t) ǻxa0

Arbeitspunkt der Regelgröße Xa0

ǻxa(t) Xa(t)

ij(Ȧ)

t

xe(t)

Xe(t)

ǻxe0

1. Frequenz durchstimmen: Für jede Frequenz Ȧi Amplitudenverhältnis ǻxa0(Ȧi)/ǻxe0 und ij(Ȧi)bestimmen 2. Werte doppelt logarithmisch auftragen (Bode-Diagramm) Bei Resonanzüberhöhungen bei Systemanteilen 2. Ordnung (asympt. Abfall – 40 dB/Dek) Bestimmung von D aus der Resonanzüberhöhung (vgl. Mechatronische Systeme, Kap. 4 Systembeschreibung im Frquenzbereich) 3. Einzeichnen der Asymptoten (Steigungen ± n 20 dB/Dek !) 4. Aufstellen der Übertragungsfunktion aus den Knickfrequenzen 5. Vergleich zwischen dem gemessenen und dem aus der Übertragungsfunktion berechneten Phasengang Ein mit der Frequenz zunehmender Phasenwinkel kann evtl. durch ein Totzeitglied approxximiert werden. G t ( jZ) e  jZTt 1 Mt (Z) ZTt Mt (

1 ) Tt

57,3q

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5 Realisierung von kontinuierlichen Reglern

5

5-1

Realisierung von kontinuierlichen Reglern

5.1 Reglergrundtypen Im Fall zeitkontinuierlicher Regelungen werden folgende analoge, zeitkontinuierliche Reglergrundtypen eingesetzt: P-, I-, PD-, PI-, PID-Regler (s. Tabelle). Die Summendarstellung der Reglerübertragungsfunktion GR(p) ist in der Verfahrens- und Prozesstechnik üblich. Für die Darstellung und Interpretation im Bode-Diagramm ist die Produktform von GR(p) geeigneter. Nur für TN >> TV gilt beim PID-Regler TN‘ = TN und TV‘ = TV. Erst für TN t 4 TV existiert eine zur Summenschreibweise äquivalente Produktdarstellung der Reglerübertragungsfunktion. Reglergrundtypen Beschreibung Reglertyp

Zeitbereich

Übertragungsfunktion GR(s) = Y(s)/E(s) Summenform

Übertragungsfunktion GR(s) = Y(s)/E(s) Produktform2)

P

y(t)

K R e(t)

KR

KR

y(t)

KR ˜

y(t)

1 e(t) dt TI ³

y(t)

de(t) · § K R ˜ ¨ e(t)  TV ¸ dt ¹ ©

I

PD

PD-T1

PI

PID

PID, verz. D-Anteil

y(t)  TVerz

1 e(t) dt TN ³

KR sTN

1 sTI

KR sTN

K R (1  sTV )

K R (1  sTV )

1  sTV de(t) · § K R ˜ ¨ e(t)  TV ¸ K R 1  sT dt ¹ © Verz

dy(t) dt

1 sTI

KR

1  sTV 1  sTVerz

y(t)

§ · 1 K R ˜ ¨ e(t)  e(t) dt ¸ ³ T N © ¹

§ 1 · K R ¨1  ¸ © sTN ¹

§ 1  sTN · KR ¨ ¸ © sTN ¹

y(t)

§ 1 de(t) · K R ˜ ¨ e(t)  e(t) dt  TV ¸ ³ T dt ¹ N ©

§ · 1 K R ¨1   sTV ¸ sT N © ¹

§ (1  sT' )(1  sT' ) · N V ¸ K 'R ¨ ' ¨ ¸ sT N © ¹

§ 1 dv(t) · y(t) K R ˜ ¨ e(t)  e(t) dt  TV ¸ ³ TN dt ¹ ©

e(t)

v(t)  TVerz

3)

1)

§ 1 sTV · K R ¨1   ¸ sT 1  sTVerz ¹ N ©

dv(t) dt

§ (1  sT' )(1  sT' ) · N V ¸ K 'R ¨ ¨ sT ' (1  sTc ) ¸ N Verz © ¹

3)

1)

TV >> TVerz geeignete Beschreibungsform für Darstellung im Bode-Diagramm 3) TV‘ z TV, TN‘ z TN, KR‘ z KR ; TV >> TVerz 2)

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5 Realisierung von kontinuierlichen Reglern

5-2

Umformung der Produkt- in die Summenschreibweise der Regler Der Reglerentwurf im Bode-Diagramm führt auf eine Produktschreibweise der Reglerübertragungsfunktion (s. nachfolgende Gl. (I)). Der Begriff PID-Regler bezeichnet aber einen Regler, bei dem proportional wirkender (P), integrierend (I) und differenzierend (D) wirkender Anteil parallel wirksam sind (s. nachfolgende Gl. (II)). Da industrielle Regler zumeist von der Summenschreibweise ausgehen, ist eine Umformung der Produkt- in die Summenschreibweise erforderlich, die nachfolgend durchgeführt wird.

G R (s)

G R (s)

G R (s)

G R (s)

KR

1  sT c 1  sT c K c N

R

V

sTNc

K Rc





1  s TNc  TVc  s 2TNcTVc sTNc

(I)





§ · TNc  TVc 1 ¨ K Rc ¨   sTVc ¸¸ TNc ¨ sTNc ¸ © ¹ T c  T c §  ¨1  K c N

R

V

TNc

¨ ¨ ©

· ¸ s ¸ s TNc  TVc TNc  TVc ¸ ¹



1



TNcTVc



§ · 1 K R ¨1   sTV ¸ (II) © sTN ¹

K Rc

T c  T c ; N

V

TNc

TN

TNc  TVc ; TV

TNcTVc

T c  T c N

V

Für TNc  TVc gilt KR = KR´; TN = TN´; TV = TV´

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5 Realisierung von kontinuierlichen Reglern

5-3

5.2 Reglerrealisierung mit Operationsverstärkern

Die vorstehenden Reglerübertragungsfunktionen können mit invertierenden oder nicht invertierenden Operationsverstärkern durch geeignete Wahl der Rückführimpedanzen realisiert werden. 5.2.1 Grundprinzip bei der Reglerrealisierung

E(s)

Y(s) V

GRück(s)

G R (s)

Y(s) E(s)

G R (s)

Y(s) E(s)

V 1  V ˜ G Rück (s)

1

1  G Rück (s) V Geht die Verstärkung im Vorwärtspfad gegen f (vgl. Verstärkung des OV), so ergibt sich die Übertragungsfunktion

1 G Rück (s)

.

Für die Operationsverstärkerschaltungen ergeben sich die Übertragungsfunktionen durch Einsetzen der Impedanzen in die OV-Gleichungen Z0 (s) (invertierender Verstärker) Z1 (s)

Ź

U A (s) U E (s)



Ź

U A (s) U E (s)

1

Z0 (s) (nicht invertierender Verstärker). Z1 (s)

In den folgenden Abschnitten sind einige Operationsverstärkerschaltungen zur Realisierung von Übertragungsfunktionen und zur Signalverknüpfung zusammengefasst. Bei den invertierenden Schaltungen ist zu berücksichtigen, dass durch die Vorzeichenumkehr eine zusätzliche Phasendrehung von -180° zustande kommt.

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5 Realisierung von kontinuierlichen Reglern

5-4

5.2.2 Schaltungen mit invertierendem Verstärker Realer Verstärker : endliche, frequenzabhängige Verstärkung V(s), endlicher Widerstand R d zwischen r Eingängen U a (s)

 Z 0 (s) Z1 (s)

G(s)

U e (s)

1

Z0 (s) V(s) ˜ R d

Z0 (s)  Z1 (s)



V(s) ˜ Z1 (s)

Idealer Verstärker : V o f, U a (s)

G(s)

U e (s)



Rd o f

Z0 (s) Z1 (s)

Impedanzen der Grundschaltungen Schaltung

Impedanzfunktion

R1

C1

1

Z1 (s)

 R1

sC1

1  sR 1C1 sC1

R1

1

Z1 (s)

1 R1  sC1

C1

R1 1  sR 1C1

Impedanzen und Übertragungsfunktionen mit invertierenden Verstärkern Bezeichnung

Z1

P-Glied

R1

U a (s)

Z0

U e (s)

= G(s) = -

R0

–

R1 C0

D-Glied

C1

KR

– C0

R 0 R1

1  sT – sTD

TD = R0 · C1

sTD

TD = R0 · C1; T = R0 · C0

R0

C1

KR

K R R 0 R1 T R 0 ˜ C0

R0

D–T1-Glied

Parameter

Z1 (s)

– KR

R0

P–T1-Glied

Z 0 (s)

1  sT

R1

PD-Glied, P–TD1-Glied PD–T1-Glied Lead/Lag-Glied

R0

 K R 1  sTV

KR TV

1  sTV K R 1  sT

K R R 0 R1; TV R 1 ˜ C1 ; T R 0 ˜ C0

C1 R1

R0

C1

C0

I-Glied

R1

PI-Glied

R1



C0

C0

R0

C0

PID-Glied C1

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R0

K R

sTI

TI = R1 · C0

1  sTN

KR

R 0 R1;

sTN

TN

R 0 ˜ C0

1  sTN 1  sTV

KR TV TN

R 0 R1; R 1 ˜ C1 ; R 0 ˜ C0

K R

R1

1

R 0 R1; R 1 ˜ C1

sTV

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5 Realisierung von kontinuierlichen Reglern

Bezeichnung

5-5

U a (s)

Schaltung

U e (s)

= G(s) = -

Zr

Parameter

Ze

PID-Glied

| K R

TV

 R a  R b R1 ;  R a || R b ˜ C

KR TN TV

 R a  R b R1 ;  R a  R b ˜ Ca ;  R a || R b ˜ Cb

KR

-K R 1  sTV

PD-Glied

1  sTN 1  sTV sTN

5.2.3 Schaltungen mit nicht invertierendem Verstärker

U a (s) U e (s)

G(s)

1

Z0 (s) Z1 (s)

Impedanzen und Übertragungsfunktionen mit nicht invertierenden Verstärkern Bezeichnung

PI-Glied

Z1

R1

U a (s)

Z0

U e (s) C0

= G(s) = 1 +

1  sTN

Z 0 (s)

Parameter

Z1 (s)

TN

R1 ˜ C0

TV

R 0 ˜ C1

sTN

PD-Glied

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C1

R0

1  sTV

30.10.2006

5 Realisierung von kontinuierlichen Reglern

5-6

5.2.4 Schaltungen zur Signalverknüpfung

Summierer (Addierer)

Ua

§ R0

¨

© R1

U1 

· U 2  I1c  I 2c ¸

R0

¹

R2

Subtrahierer (Differenzbildung)

Ua

 U 2  U1

R0 R1

Bedingung : R1

R 1c ;

R0

R 0c

Der Abgleich der Widerstände muss mit hoher Genauigkeit erfolgen (‰-Bereich), andernfalls kommt es zu einer Verringerung der Gleichtaktunterdrückung.

Instrumentierungsverstärker (mit hochohmigen Eingängen)

R4

R 5 ; R1

R2

Ua

R1 · § ¨ 1  2 ˜ R ¸  U 2  U1 © 3 ¹

Verstärkungseinstellung mit R3

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30.10.2006

6 Reglerbemessung mit Einstellreglern

6

6-1

Reglerbemessung mit Einstellregeln

6.1 T-Summen-Einstellregel (T6-Regel) Eine Einstellregel für Strecken mit Ausgleich und ohne bzw. mit geringem Überschwingen (KUHN 1995, atp 5/1995) ergibt sich auf der Grundlage der Summenzeitkonstante T6 und Streckenverstärkung KS. Die Reglerparameter sind der Tabelle zu entnehmen. Unterschieden werden: normale (vorsichtige) und schnelle Einstellungen. Die Regel orientiert auf ein Überschwingen 'h von etwa 5 % bei Führungsgrößensprung. Da die Regel von einem sehr groben Modell ausgeht, treten in Abhängigkeit von der Strecke Abweichungen vom Entwurfsziel auf. Die Regel bildet aber einen geeigneten Ausgangspunkt für den Reglerfeinabgleich an der realen Strecke oder am Simulationsmodell. Reglerparameter nach der T6-Regel Reglertyp

Reglerparameter KR KS

Normale Einstellung

Schnelle Einstellung

TN

TV

P

1

–

–

PI

0,5

0,5 T6

–

PID

1

0,66 T6

0,167 T6

PI

1

0,7 T6

–

PID

2

0,8 T6

0,194 T6

Beispiel: Gegebene Sprungantwort der Strecke, KS = 2, Ermittlung der Summenzeitkonstante

TȈ § 19,2 s (geschätzt)

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30.10.2006

6 Reglerbemessung mit Einstellreglern

6-2

ǻh § 4 %

Reglereinstellung nach der TȈ-Regel TȈ § 19,2 s PI-Regler, schnelle Einstellung TN = 0,7 TȈ = 13,4 s KR = 1/KS = 0,5

Tm = 32,8 s

6.2 Reglerbemessung nach LATZEL (at 4/1993) Für die Regelstrecke wird eine Modellübertragungsfunktion n-ter Ordnung mit gleichen Zeitkonstanten mit den Kennwerten KS, TM, n als gegeben vorausgesetzt (s. Abschn. 4).

G S (s)

KS

1  sTM

n

Die Reglerparameter von kontinuierlichen PI- und PID-Reglern (KR; TN; TV) werden in Abhängigkeit von der Modellordnung n für die Überschwingweiten ǻh = 10 % und 20 % nach folgender Tabelle eingestellt. (Der D-Anteil des Reglers wird verzögert; hier wird

angenommen, dass die Verzögerungszeitkonstante TVerz = TV/5 beträgt; vgl. Abschn 4.1 Reglergrundtypen.)

n 2 2,5 3 3,5 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

PI-Regler ¨h = 0,1 ¨h = 0,2 TN/TM K RK S 1,55 1,650 2,603 1,77 1,202 1,683 1,96 0,884 1,153 – – – 2,30 0,656 0,812 2,59 0,540 0,654 2,86 0,468 0,561 3,10 0,417 0,497 3,32 0,379 0,451 3,53 0,349 0,413 3,73 0,325 0,384 3,92 0,305 0,360 4,10 0,287 0,340 4,27 0,272 0,322 4,44 0,260 0,307 4,60 0,248 0,293 4,75 0,238 0,281 4,90 0,229 0,271 5,05 0,220 0,261 5,19 0,213 0,252 5,33 0,206 0,244

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TN/TM – – 2,47 2,71 2,92 3,31 3,66 3,97 4,27 4,54 4,80 5,04 5,28 5,50 5,72 5,92 6,12 6,32 6,51 6,69 6,87

PID-Regler ¨h = 0,1 ¨h = 0,2 TV/TM K RK S – – – – – – 0,66 2,543 3,510 0,76 1,832 2,522 0,84 1,461 1,830 0,99 1,109 1,337 1,13 0,914 1,082 1,25 0,782 0,922 1,36 0,689 0,812 1,47 0,617 0,727 1,57 0,559 0,660 1,66 0,513 0,606 1,74 0,474 0,562 1,83 0,441 0,525 1,91 0,413 0,493 1,98 0,389 0,464 2,06 0,368 0,440 2,13 0,350 0,420 2,20 0,334 0,400 2,26 0,320 0,384 2,33 0,307 0,368 30.10.2006

6 Reglerbemessung mit Einstellreglern

6-3

Aus der Modellordnung n ergeben sich zunächst die Verhältnisse TN/TM (und TV/TM) und und damit mit der Modellzeitkonstante TM die Nachstellzeit TN (und die Vorhaltzeit TV) des Reglers. Aus n folgt entsprechend der gewählten Überschwingweite ǻh der Wert für KRKS und damit die Reglerverstärkung KR bei bekannter Streckenverstärkung KS. Gebrochene Werte für die Modellordnung n sind möglich; die Zahlenwerte sind dann durch Interpolation zu ermitteln. Ablesebeispiel PI-Regler Durch Kennwertermittlung wurden die Modellordnung n = 3, die Modellzeitkonstante TM = 2,7 s und Streckenverstärkung KS = 4,2 bestimmt. Daraus folgt für die Nachstellzeit TN = 1,96 TM = 5,3 s. Für eine Überschwingweite von ǻh = 10 % ergibt sich die Verstärkung KR = 0,884/KS = 0,21.

Entwurfsbeispiel Gegeben ist die Sprungantwort einer Strecke (Original). Es sind die Parameter eines PIReglers zu ermitteln, wenn die Überschwingweite bei einem Führungsgrößensprung 20 % nicht überschreiten soll. Mit der Zeitprozent-Kennwertmethode wird zunächst ein Modell mit n gleichen Verzögerungszeitkonstanten ermittelt (vgl. Kapitel 3). Sprungantwort Modell

90 %

Sprungantwort Original µ = t10/t90 =0,186 o n = 2,7 TM = 6,6 s

KS = 2

50 %

10 % t10 = 6,22 s t50 = 15,5 s

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t90 = 33,48 s

30.10.2006

6 Reglerbemessung mit Einstellreglern

6-4

Vergleicht man die Bode-Diagramme von Modell und Original (letzteres ist hier natürlich nur zur Demonstration dargestellt), so zeigt sich bis zu einer Phase von – 200° eine sehr gute Übereinstimmung. Dieser Bereich ist für den Entwurf ausreichend (vgl. Abschn. 3)

Für das ermittelte Modell ergibt sich die Reglereinstellung TN § 1,8˜TM = 12,2 s; KR KS = 1,4 o KR = 0,7. Die Überschwingweite der Regelgröße bei Führungsgrößensprung erfüllt das Entwurfsziel ǻh < 20 %.

ǻh = 19,2 %

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30.10.2006

7 Beurteilung der Güte und Optimierung von Reglereinstellungen mit Integralkriterien

7

7-1

Beurteilung der Güte und Optimierung von Reglereinstellungen mit Integralkriterien

Als Maß zur Beurteilung des Führungs- oder des Störverhaltens bei verschiedenen Reglereinstellungen werden unterschiedliche Integrale der Regelabweichung e(t) herangezogen (z. B. bei sprungförmigen Führungs- oder Störgrößenänderungen). Regelabweichung e(t) Voraussetzung für die Bestimmung des Integrals ist das Verschwinden der Regeldifferenz, d. h. e’ = 0

Regeldifferenz e(t) aperiodisch

Regeldifferenz e(t) bei Überschwingen ǻh

Funktionen der Regelabweichung e(t) 2

Funktion e (t) der Regeldifferenz

Funktion t · |e(t)| der Regeldifferenz

Integrale dieser Funktion stellen die Fläche dar, die zwischen der Funktion von e(t) und der Zeitachse gebildet werden. Die Integrale gestatten die Bewertung und den Vergleich von Reglereinstellungen. Voraussetzung für die Bildung der bestimmten Integrale ist das Verschwinden der Regeldifferenz e(t) für t ĺ ’. Nur dann nimmt das Integral einen endlichen Wert an. Folgende Integrale kommen zum Einsatz: f

1.

Lineare Regelfläche

o

Ilin.

³

e(t)dt

0

Die Bildung der linearen Regelfläche ist nur im aperiodischen Fall sinnvoll (s. Bild oben), da sich beim Überschwingen positiv und negativ bewertete Flächenanteile aufheben. f

2.

Absolute Regelfläche

o

Iabs.

³

e(t) dt

0

Die Flächenanteile gehen bei Überschwingen ohne Vorzeichenwechsel in das Integral ein.

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30.10.2006

7 Beurteilung der Güte und Optimierung von Reglereinstellungen mit Integralkriterien

7-2

f

3.

o

Quadratische Regelfläche

Iquadr.

³

e 2 (t) dt

0

Durch das Quadrieren gehen größere Werte der Regeldifferenz stärker in den Integralwert ein, gleichzeitig treten auch bei Überschwingen nur noch positive Werte unter dem Integral auf. f

4. Integral of time multiplied absolute error

o

ITAE

³

t ˜ e(t) dt

0

Durch die Einführung einer Zeitwichtung in die absolute Regelfläche entsteht das ITAEKriterium. Dadurch erhalten Werte der Regeldifferenz mit zunehmender Zeit ein stärkeres Gewicht. Neben der Regeldifferenz kann auch die zum Ausregeln erforderliche Stellgröße in das Integral einbezogen werden. 5.

f

Quadratisch Regelfläche mit quadratischer Bewertung der Stellgröße

ĺ Iquadr./ Stell

³



e 2 (t)  O  y(t)  y f dt 2

0

y’ ist der zum Ausgleich der Regeldifferenz (e’ = 0) erforderliche Endwert der Stellgröße. Ȝ ist ein frei wählbarer Wichtungsfaktor, mit dem der Einfluss der Stellgröße auf den Integralwert festgelegt wird. Ź Anwendung der Integralkriterien Integralkriterien werden als Kriterien zur Optimierung der Parameter eines fest vorgegebenen Reglers (Struktur: PI-, PID-Regler usw./Führungs- oder Störoptimierung) eingesetzt. Die Reglerparameter werden so eingestellt, dass das entsprechende Integralkriterium minimal wird. Ź Berechnung des Integralwertes durch Simulation z w

y

e

x GS

GR

Die Simualationszeit tsim ist so zu wählen, dass das Integral einen konstanten Endwert annimmt!

t

t sim

³

f(e)

f (e) dt

Zahlenwertanzeige

0

z.B. (...)2, |...| oder t · |...|

Für die Störoptimierung ist w = 0 zu setzen, für die Führungsoptimierung z = 0.

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30.10.2006

7 Beurteilung der Güte und Optimierung von Reglereinstellungen mit Integralkriterien

7-3

Ź Optimierung der Reglerparameter am Beispiel eines PI-Reglers Es wird angenommen, dass sich durch Variation der Parameter KR und TN Linien mit gleichem Integralwert erzeugen lassen. Die Linien bilden ein „Gebirge“ mit einem Minimum im „Talpunkt“. Die Optimierungsaufgabe besteht darin, diesen Punkt, d. h. die zugehörige Reglereinstellung KR, TN, zu finden. Durch aufeinander folgende Minimumsuche bei Veränderung eines Parameters kann das Minimum ermittelt werden (Gauß-Seidel-Verfahren). Startpunkt KR0, TN0

KR

ǻKR

minimaler Integralwert Imin ǻTN

Minimum in KR-Richtung

ǻKR

Minimum in TN-Richtung

Linie mit konstantem Integralwert (Höhenlinien) I4

I3 I2 I1

I1 > I2 > I3 > I4 > ... > Imin

TN WinFact-Boris bietet einen Optimierungsmodul, der das Minimum des Gütekriterium auf der Grundlage eines anderen Optimierungsalgorithmus selbstständig bestimmt. Die optimale Reglereinstellung bezieht sich natürlich immer auf das gewählte Integralkriterium. Beispiel 1 1  s10s 1  s 3s 1  s1s wurde mit der TȈ-Regel der folgende normale PID-Regler ermittelt:

Für eine Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion

TȈ = 14s, TVerz = 0,2s

ĺ

G S (s)

§ 1 s 2,34s · G R (s) 1¨1   ¸. © s9, 24s 1  s 0, 2s ¹

Diese Reglereinstellung ist für eine sprungförmige Führungsgröße und eine am Eingang der Strecke wirksame sprungförmige Störung mit dem ITAE-Kriterium zu optimieren.

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7 Beurteilung der Güte und Optimierung von Reglereinstellungen mit Integralkriterien

7-4

Das Ergebnis der Regelung (Führungs- und Störsprung jeweils Höhe 1) mit dieser Starteinstellung ist im Folgenden dargestellt:

Regelgröße x(t)

Regeldifferenz e(t)

Zur Optimierung wird das nachstehende Blockschaltbild genutzt. Die Regeldifferenz wird zunächst der Funktion |e(t)|·t unterworfen und anschließend integriert. Der Wert des Integrals (über die Simulationsdauer) wird vom Optimierungsbaustein ausgewertet und die korrigierten Reglerparameter für die folgenden Durchläufe an den Regler übertragen.

Führung

Strecke

Regler

Zeitgenerator (Register Quellen)

Funktion abs(e(t))*t

Integrator Optimierungsbaustein

Unter dem Register Optimierung ĺ Optimierungsparameter werden die Startbedingungen für die Optimierung eingestellt.

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7 Beurteilung der Güte und Optimierung von Reglereinstellungen mit Integralkriterien

7-5

Über Register Optimierung ĺ Start der Optimierung wird die Optimierung ausgelöst.

Mit der optimierten Reglereinstellung für Führung ergeben sich die folgenden Verläufe

Regelgröße

KR = 7,8 TN = 13,5 s TV = 2,6 s TV’ = 0,2 s

Regeldifferenz

Überschwingweite ǻh § 11 %, TM = 4,5 s Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Kreises – Phasenrand rund 57,5°

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7 Beurteilung der Güte und Optimierung von Reglereinstellungen mit Integralkriterien

7-6

Bode-Diagramm des geschlossenen Kreises – Grenzfrequenz Ȧg0 § 1 s-1

Störungsverhalten em/xz0 § 0,025

Regelgröße bei Störeinfluss mit Regler

Regelgröße bei Störeinfluss ohne Regler

Regelgröße bei Störoptimierung des Reglers

Regelgröße bei Führungsoptimierung des Reglers

Die letzte Abbildung zeigt deutlich den Unterschied zwischen einem stör- und einem führungsoptimalen Regler. BA-Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

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7 Beurteilung der Güte und Optimierung von Reglereinstellungen mit Integralkriterien

7-7

Der Frequenzgang des aufgeschnittenen Kreises zeigt in diesem Fall eine höhere Durchtrittsfrequenz ȦS § 1,3 s-1 und einen Phasenrand von ijR § 17°. Im Führungsfrequenzgang (Bild unten) ergibt sich dementsprechend eine Resonanzüberhöhung von etwa 10 dB.

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8 Verbesserung des Regelverhaltens durch Erweiterung der Regelungsstruktur

8

8-1

Verbesserung des Regelverhaltens durch Erweiterung der Regelungsstruktur (mehrschleifige Regelkreise)

Durch Nutzung von weiteren Signalen aus der Regelstrecke zur Regelung kann das Regelverhalten gegenüber dem einfachen einschleifigen Regelkreis verbessert werden. Es entsteht eine mehrschleifige Regekreisstruktur. Der Aufwand für die Regelung wird durch zusätzliche Messeinrichtungen und einen komplexeren Regler erhöht. Z(s) E(s)

W(s)

Y(s)

Regler

Strecke

X(s)

Ausgangsrückführung

8.1 Störgrößenaufschaltung Vorausgesetzt wird die Messbarkeit der (oder einer) Störgröße (Beispiel: Raumtemperaturregelung/Störung durch Außentemperatur o messbar) zusätzliche Messstelle

Z(s) Erweiterung des Reglers

W(s)

GSZ(s) GRZ(s)

Y(s)

E(s) GSU(s)

GR(s)

X(s)

Auswirkung der Störung auf die Regelstrecke: X(s)

G SZ (s)  G RZ (s)GSU (s) G R (s)GS (s) Z(s)  W(s) 1  G R (s)G S (s) 1  G R (s)G S (s)

Kompensation der Störung allgemein G SZ (s)  G RZ (s)GSU (s)

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0 o G RZ (s)

G SZ (s) G SU (s)

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8 Verbesserung des Regelverhaltens durch Erweiterung der Regelungsstruktur

8-2

a) vollständige Kompensation Beispiel: G SZ (s)

0, 25 1  s ˜ 0, 25

G RZ (s)

G SZ (s) G SU (s)

G SU (s)

0, 25 1  s ˜ 0,5 1  s ˜ 0,1

0, 25 1  s ˜ 0,5 1  s ˜ 0,1 1  s ˜ 0, 25 0, 25

1  s ˜ 0,5 1  s ˜ 0,1 1  s ˜ 0, 25 nicht realisierbar Zählerordnung > Nennerordnung

b) statische Kompensation s = 0 (niedrige Frequenzen!) GRZ(s) = KRZ = 1 c) dynamische Kompensation: Annäherung von GRZ(s) G RZ (s)

G SZ (s) G SU (s)

1  s ˜ 0,5 1  s ˜ 0,1

1  s ˜ 0,5

1  s ˜ 0, 25

1  s ˜ 0, 25

dyn. Kompensation statische Kompensation Regelung, P-Regler

Strecke ohne Regelung

Die Störgrößenaufschaltung (auch von Teilstörungen) reduziert die Auswirkungen von Störungen.

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8 Verbesserung des Regelverhaltens durch Erweiterung der Regelungsstruktur

8-3

8.2 Kaskadenregelung Vorausgesetzt die Zugänglichkeit einer Hilfsregelgröße (zusätzliche Messgröße).

Z(s)

Erweiterter Regler

W(s)

E(s)

GSZ(s)

zusätzliche Messstelle Hilfsregelgröße

XH(s)

WH(s) GRH(s)

GR(s)

GS1(s)

GS2(s)

X(s)

Unterlagerter Folgeregelkreis für Hilfsregelgröße

Durch den schnell eingestellten unterlagerten Hilfsregelkreis wird die Störung z bereits anbzw. ausgeregelt. Der Wirkungsweg der Störung wird verkürzt. Als Übertragungsfunktion GWH(s) für den unterlagerten Folgeregelkreis ergibt sich G WH (s)

G RH (s)G S1 (s) 1  G RH (s)G S1 (s)

und als Störübertragungsfunktion G Z (s)

Z(s)

W(s)

E(s)

GR(s)

WH(s)

G SZ (s) 1  G RH (s)G S1 (s)

GZ(s) XH(s) GWH(s)

GS2(s)

X(s)

X(s) G Z (s)Z(s)  G W (s)W(s) X

G S2 G SZ G R G WH G S Z W 1  G R G WH GS 1  G RH GS1 1  G R G WH GS

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8 Verbesserung des Regelverhaltens durch Erweiterung der Regelungsstruktur

8-4

Entwurf mehrschleifiger Regelkreise: 1.

Auslegung des inneren Folgeregelkreises Da die vollständige Ausregelung der Störung nicht erforderlich ist, reicht oft ein PRegler aus. Nach der Festlegung von GWH(s) erfolgt die Auslegung des äußeren Kreises als Führungsregelkreis, da die Störung schon weit reduziert wurde.

2.

Entwurfsbeispiel Regelstrecke Z(s) Y(s)

XH(s)

1 1  s ˜ 0, 25

X(s)

2 1  s ˜1

Regelkreisstruktur Der innere Regelkreis wird durch einen P-Regler geregelt, der äußere durch einen PI-Regler. Der innere Kreis soll so bemessen werden, dass die Störwirkung stationär auf die Hälfte reduziert wird. Z(s)

PI-Regler W(s)

X H (s) Z(s)

X H (s) WH (s)

E(s)

KR

P-Regler WH(s)

1  s ˜ TN

KRH

s ˜ TN

1 K RH 1 1  s ˜ 0, 25 1 1  s ˜ 0, 25 1 1 1  s ˜ 0, 25

1  s ˜ 0, 25

1  s ˜ 0, 25 o stat. Fall 1  s ˜ 0, 25  K RH

1 1  s ˜ 0, 25  1

1 2  s ˜ 0, 25 Z(s)

XH(s)

1

XH Z

s 0

X(s)

2 1  s ˜1

1 1  K RH

1 2

o KRH = 1

XH(s)

2

1/ 2 1  s ˜ 0,125

0, 5 ˜ 1  s ˜ 0, 25 1  s ˜ 0,125

PI-Regler W(s)

E(s)

KR

1  s ˜ TN s ˜ TN

WH(s)

1/ 2

X(s)

1  s ˜1

1  s ˜ 0,125

Teilstrecke ist schneller! BA Eisenach, 2006, Prof. Dr. Wede

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8 Verbesserung des Regelverhaltens durch Erweiterung der Regelungsstruktur

8-5

äußerer Kreis geforderte Überschwingweite ǻh = 5% o D = 0,69; zweckmäßige Wahl der Nachstellzeit: TN = 1 s, d. h. Kompensation der größten Zeitkonstante

KR G W (s)

G W (s)

T0 2

2DT0

1  sTN sTN 1

1 1  s ˜1 1  s ˜ 0,125

KR sTN 1  s ˜ 0,125  K R

KR sTN 1  s ˜ 0,125

1 T 0,125 T ˜ s2 N  s N 1 KR KR

1 0,125 1 s2 s 1 KR KR N N 2DT0 T0 2

0,125 KR 1 o T0 KR

§ · 1 ¨ ¸ © 2D ˜ K R ¹

2

0,125 KR

1 2D ˜ K R 1 2

4D K R

2

o KR

1 0,5 ˜ D

2 2

D2

4, 2

Reglerparameter TN = 1 s; KR = 4,2 Ergebnis

Regelung ohne Kaskade

Regelung mit Kaskade

Regelung mit Kaskade Regelung ohne Kaskade ĸ Führungsverhalten Störverhalten o

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Strecke ohne Regelung

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