Integral Skript

Integralzauber fur ¨ Physiker ¨ Christian Kohler

1 Fouriertransformation 1.1 Anschauliche Herleitung 1.1.1 Fourierreihe Die Fourier-Reihe wird motiviert durch die Idee eine periodische Funktion f (t) mit der Periodendauer ¨ ¨ T durch harmonische Funktionen mit der zugehorigen Kreisfrequenz ω = 2π T und den hoheren harmonischen (also mit Kreisfrequenzen nω (n ∈ Z)) darzustellen: f (t) =

X

einωt fˆn

n∈Z

¨ Die dabei auftretenden Koeffizienten fˆn konnen wir wegen 1 T

Z

T 2

− T2

dt ei(m−n)ωt = δnm

(d.h. die harmonischen Funktionen sind orthonormal bzgl. des hier auftretenden Skalarprodukts) folgendermaßen berechnen: fˆn =

X

m∈Z

1 δnm fˆm = T

Z

T 2

dt e

−inωt

− T2

1 e fˆm = T m∈Z | {z } X

imωt

Z

T 2

dt e−inωt f (t)

− T2

=f (t)

1.1.2 Fourier-(Integral-)Transformation ¨ Um auch nicht periodische Funktionen behandeln zu konnen, fuhren ¨ wir den Limes T → ∞ aus und ω schreiben dabei den Faktor T1 = 2π der Reihenentwicklung statt der Berechnung der Koeffizienten zu. Dabei wird aus den diskreten Frequenzen nω die Frequenz ω als kontinuierliche Variable und aus dem Frequenzabstand ω das Differential dω. Wir beginnen mit der Darstellung der Funktion f (t) uber ¨ die Fourierkoeffizienten fˆn f (t) =

X

n∈Z

einωt

1 T |

Z

T 2

− T2

0

dt0 e−inωt f (t0 ) {z

=fˆn

}

=

Z T2 0 1 X dt0 e−inωt f (t0 ) ω einωt T 2π −2 n∈Z

T →∞

→

1 2π

Z

dω eiωt

Z

0

dt0 e−iωt f (t0 ) | {z } ˆ =:f(ω)

wobei mit fˆ(ω) die Fouriertransformierte von f (t) bezeichnet wird. Es ist bei der Definiton willkurlich, ¨ 1 ¨ oder Foriertransformierte und Fourier-Darstellung erhalt ob die Fourier-Darstellung den Faktor 2π (Rucktransformation) ¨ jeweils den Faktor √12π erhalten. 1

1.1.3

Interpretation

• Es ist t als Zeit und somit f (t) als ein zeitliches Signal aufzufassen. fˆ(ω) beschreibt dann aus welchen harmonischen Frequenzen ω sich das Signal zusammensetzt. ¨ • Die analoge Interpretation im Raum mit der Koordiante x lautet: Wir betrachten ein raumliches ¨ Profil f (x). Geht man wieder vom periodischen Fall aus, so hat man die Wellenlange λ vorliegen ˆ und definiert analog die Wellenzahl oder auch Raumfrequenz k := 2π λ . Dann beschreibt f (k) die Zusammensetzung des Profils aus harmonischen Raumfrequenzen. ¨ Im Folgenden orientieren wir uns in der Notation an der raumlichen Interpretation.

1.2 Rechnerische Herleitung 1.2.1

Vollst¨ andigkeit

¨ der harmonischen Funktionen ausBei der Fourierreihe konnten wir die Orthogonalitat ¨ nutzen, um die Koeffizienten der Reihe zu bestimmen. Eine ahnliche Eigenschaft finden wir auch bei der Integraltransformation. Dazu betrachten wir das Integral Z

k

−k

0

dk 0 eik x =

2 eikx − e−ikx = sin(kx) = 2ksinc(kx) ix x

(*) Integrationsweg: =

Um herauszufinden, was die Eigenschaften dieses Ergebnisses ¨ fur ¨ k → ∞ sind, berechnen wir zunachst das Integral Z Z 1 eix (∗) 1 dx sinc(x) = = (2πi − πi) = π dx i x i Damit erhalten wir das Verhalten des Ergebnisses unter einem Integral: ( Z kb Z b Z k Z b 2π falls 0 ∈ [a, b] k→∞ 0 ik0 x dx sinc(x) → dx sinc(kx) = 2 dk e = 2k dx 0 sonst ka a −k a

0

2πi

iπ

<

¨ Im Sinne von Distributionen konnen wir dies ausdrucken ¨ durch Z dk eikx = 2πδ(x) ¨ Dies ermoglicht es die Fourier-Hin- und Rucktransformation ¨ direkt nachzurechnen: Z Z Z Z 0 0 1 1 dk eikx dx0 e−ikx f (x0 ) = dx0 dk ei(x−x ) f (x0 ) = f (x) 2π 2π {z } {z } | | =δ(x−x0 )

=fˆ(k)

1.3 Beziehung zur linearen Algebra ¨ Eine Integraltransformation wie die Fouriertransformation konnen wir allgemein als Z fˆ(x) = dx0 A(x, x0 )f (x0 ) ⇔ fˆ = Af ¨ notieren. Im Falle A(k, x) = e−ikx erhalten wir die Fouriertransformation. Es ist eine formale Ahnlichkeit zur Matrix-Vektor-Multiplikation X Aij xj ⇔ b = Ax bi = j

in folgender Weise gegeben: 2

• Statt Vektoren x, b mit diskreten Indizes j, i liegen Funktionen f , fˆ in den kontinuierlichen Variablen x0 , x vor. • Im Gegensatz zur Matrix A, welche doppelt mit diskreten Indizes ij indiziert ist, haben wir eine Funktion A in zwei kontinuierlichen Variablen x, x0 . ¨ • Wahrend bei der Matrizenmultiplikation uber ¨ j summiert wird, integrieren wir bei der Integraltransformation uber ¨ x0 . P ¨ wir im Fall der In Anlehnung an den Begriff einer inversen Matrix A−1 mit k A−1 ik Akj = δij konnen 1 ikx ¨ e schreiben, denn nach dem Abschnitt uber ¨ die Vollstandigkeit Fouriertransformation A−1 (x, k) = 2π der harmonischen Funktionen gilt Z Z 0 1 −1 0 dk A (x, k)A(k, x ) = dk eik(x−x ) = δ(x − x0 ) 2π Die δ-Distribution ubernimmt ¨ also die Rolle der Einheitsmatrix 1 mit 1(x, x0 ) = δ(x − x0 ): Z Z (1f )(x) = dx0 1(x, x0 )f (x0 ) = dx0 δ(x − x0 )f (x0 ) = f (x)

1.4 Mehrdimensionale Fouriertransformation ¨ ¨ Im Fall einer Funktion f (~x) mehrerer Veranderlicher x1 , . . . , xN konnen wir die Fouriertransformation fur ¨ jede Komponente einzeln durchfuhren: ¨ Z fˆ(~k) = fˆ(k1 , . . . , kN ) = dx1 e−ik1 x1 f (x1 , k2 , . . . , kN ) Z Z Z ~ −ikN xN −ik1 x1 f (x1 , . . . , xN ) = dN x e−ik·~x f (~x) ···e = ... = dx1 · · · dxN e

1.5 S¨ atze 1.5.1 Ableitungen Eine nutzliche ¨ Eigenschaft der Fouriertransformation ist der Zusammenhang zwischen der Fouriertransformierten fˆ(k) einer Funktion f (x) und der ihrer n-ten Ableitung:   n Z Z Z d e−ikx f (x) = (ik)n dx e−ikx f (x) = (ik)n fˆ(x) (f (n) )ˆ(k) = dx e−ikx f (n) (x) = (−1)n dx dx ¨ Im Falle einer Funktion mehrerer Veranderlicher gilt die Regel fur ¨ die Fouriertransformation einer Ableitung entsprechend, z.B. fur ¨ den Gradienten: Z Z Z ~ (~x) = − dN x (∇e ~ −i~k·~x )f (~x) = i~k dN x e−i~k·~x f (~x) = i~k fˆ(~x) ~ (~x))ˆ(~k) = dN x e−i~k·~x ∇f (∇f 1.5.2 Parseval’sche Gleichung ¨ Wir setzen die Analogie zur linearen Algebra fort und definieren ein unitares Skalarprodukt hf, gi zwischen zwei Funktionen f (x) und g(x) folgendermaßen Z hf, gi = dx f (x)g(x) Das Skalarprodukt der Fouriertransformierten fˆ, gˆ ist dann Z Z Z Z Z Z 0 0 hfˆ, gˆi := dk dx e−ikx f (x) dx0 e−ikx g(x0 ) = dx f (x) dx0 dk eik(x−x ) g(x0 ) = 2πhf, gi {z } | =2πδ(x−x0 )

|

3

{z

=2πg(x)

}

Dies ist die Parseval’sche Gleichung. Wir definieren die Funktion A† : †

hf, A gi := hAf, gi =

Z

dx

Z

dx0

A(x, x0 )f (x0 )g(x)

=

Z

0

dx

f (x0 )

Z

dx0 A(x, x0 )g(x0 )

¨ die Fouriertransformation erhalten wir A−1 = Es ist also A† (x, x0 ) = A(x0 , x). Speziell fur erhalten wir die Parseval’sche Gleichung durch

1 † 2π A .

Damit

hfˆ, gˆi = hAf, Agi = hf, A† Agi = 2πhf, A−1 Agi = 2πhf, gi ¨ Operatoren das Skalarprodukt invariant lassen. also analog zur Aussage, dass unitare

1.5.3

Faltung

Im Hinblick auf die Anwendung der δ-Distribution definieren wie die Faltung aus zwei Funktionen f und g: Z (f ∗ g)(x) := dx0 f (x − x0 )g(x0 ) Das neutrale Element der Faltung ist die δ-Distribution: Z (δ ∗ f )(x) = dx0 δ(x − x0 )f (x0 ) = f (x) ¨ (In Anlehnung an die obigen Definitionen konnten wir formal δ∗ = 1 schreiben.) Es ist Z Z 00 0 0 0 0 x :=x−x (g ∗ f )(x) = dx g(x − x )f (x ) = dx00 f (x − x00 )g(x00 ) = (f ∗ g)(x) Die Faltung ist also kommutativ. f (x − x0 ) g(x0 )

x0

x

Abbildung 1: Berechnung der Faltung: Da die Rechteck-Funktion g die H¨ohe 1 hat, entspricht der Wert der Faltung an der Stelle x der Fl¨ ache unter der Gauß-Kurve f , welche innerhalb des Rechtecks liegt.

(f ∗ g)(x)

x Abbildung 2: Ergebnis der obigen Faltung: Wegen der Kommutativit¨ at k¨onnen wir sie als Aufweichung der Rechteckfunktion g durch die Gauß-Kurve f oder als Verschiebung und Streckung von f durch g auffassen.

4

1.5.4 Faltungsidentit¨ aten Hilfreich sind die Beziehungen zwischen Fouriertransformation und Faltung: Z Z Z Z 0 0 −ikx 0 0 0 0 (f ∗ g)ˆ(k) = dx e dx f (x − x )g(x ) = dx dx e−ik(x−x ) f (x − x0 )e−ikx g(x0 ) Z Z 00 x00 :=x−x0 = dx00 e−ikx f (x00 ) dx e−ikx g(x) = fˆ(k)ˆ g (k) (fˆ ∗ gˆ)(k) =

Z

dk

0

Z

dx e

−i(k−k0 )x

f (x)

Z

0 −ik0 x0

dx e

0

g(x ) =

Z

dx e

−ikx

f (x)

Z

0

dx

Z

0

0

dk 0 eik (x−x ) g(x0 ) {z } | =2πδ(x−x0 )

=

|

2π(f g)ˆ(k)

{z

=2πg(x)

}

1.6 Beispielfunktionen 1.6.1 Dirac-Kamm Der Dirac-Kamm comb∆x ist die Summe aus δ-Distributionen mit Peaks im Abstand ∆x: X comb∆x (x) = δ(x − i∆x) i∈Z

¨ Da es sich um eine periodische Funktion handelt, berechnen wir zunachst die Fourierkoeffizienten: ˆ ∆xn = 1 comb ∆x

Z

∆x 2

− ∆x 2

2π

dx e−in ∆x x comb∆x (x) =

Damit lautet die Fourierreihe comb∆x (x) =

1 ∆x

1 X in 2π x e ∆x ∆x i∈Z

¨ Wir konnen im Sinne von Distributionen auch die Fouriertransformierte berechnen: Z Z X 2π 1 X 2π 1 2π x −ikx in ∆x ˆ 2π (k) = comb∆x (k) = comb ∆x dx e dx e−i(x−n ∆x )x = e ∆x ∆x ∆x i∈Z | i∈Z {z } 2π −x) =2πδ (n ∆x

Die Fourierkonstante eines Dirac-Kamms mit dem Peak-Abstand ∆x ist also wieder ein Dirac-Kamm 2π mit dem Peak-Abstand ∆x 1.6.2 Gauß-Kurve Fur ¨ die Gauß-Kurve gauss∆x mit der Breite ∆x gauss∆x (x) = √

x2 1 e− 2∆x2 2π∆x

¨ kann die Fouriertransformierte direkt mit der quadratischen Erganzung berechnet werden: √ Z Z 2 2 2 2 x2 1 1 2π 1 − 2∆x −ikx − 2∆x − k ∆x 2 2 (x+ik∆x ) 2 √ √ 1 (k) = = dx e e dx e gauss ∆x e gauss ˆ ∆x (k) = ∆x 2π∆x 2π∆x | {z } √ = 2π∆x

Die Breite der Fouriertransformierten Gauß-Kurve ist also der Kehrwert der Breite der ursprunglichen ¨ Gauß-Kurve. 5

(comb∆x1 ∗ gauss∆x2 )(x)

∆x1

x ∆x2 ˆ ∆x (k)gauss ˆ ∆x2 (k) comb 1

2π ∆x1

k

1 ∆x2

1.7 Fouriertransformation periodischer Funktionen ¨ Um auch periodische Funktionen f (x) mit Periodenlange ∆x, fur ¨ die das Integral fur ¨ die Fouriertransfor¨ mation a priori nicht existiert, im Rahmen der Integraltransformation behandeln zu konnen bedienen wir uns der comb∆x -Funktion und schreiben f = comb∆x ∗ g wobei g(x) =

(

f (x) 0

  ∆x fur ¨ x ∈ − ∆x 2 ; 2 sonst

¨ (f ∗ g)ˆ= fˆgˆ erhalten wir die Fouriertransformierte Mit der Faltungsidentitat X 1 2π 2π g ˆ = k 7→ 2π fˆ = comb ∆x ∆x ∆x n∈Z |

Z

∆x 2

− ∆x 2

  2π 2π dx e−in ∆x x f (x) δ k − n ∆x {z } =fˆn

Auch Anschreiben der Fourierreihe fur ¨ f und anschließende Fouriertransformation liefert dieses Ergebnis, so sind wir bei der Fouriertransformation des Dirac-Kamms vorgegangen.

6

2 Green’sche Funktion 2.1 Prinzip Wir betrachten eine lineare inhomogene Differentialgleichung mit einem linearen Differentialoperator ¨ g: D, der gesuchten Funktion f und der Inhomogenitat Df = g Beispiele fur ¨ eine solche Differentialgleichung sind 2

∂ ∂ ¨ ¨ der Differentialoperator fur ¨ einen harmonischen gedampften Os• D = m ∂t 2 + R ∂t + D ware ¨ zillator mit trager Masse m, Reibungskonstante R und Federkonstante D. Dann beschreibt f (t) ¨ den zeitlichen Verlauf der Auslenkung des Oszillators. Dieser konnte z.B. mit der harmonischen Schwingung g(t) = eiωt angetrieben werden.

• Wir betrachten ein elektrisches Potential φ, welches von der elektrischen Ladungsdichte ρ erx) zeugt werde. Mit D = ∆~x , f (~x) = φ(~x) und g(~x) = ρ(~ 0 ist die Differentialgleichung dann die Poisson-Gleichung. Angenommen wir haben eine Funktion G vorliegen mit DG = δ ¨ welche also die Antwort des beschriebenen Systems auf eine δ-formige Anregung beschreibt. Dann ¨ ¨ konnen wir eine Losung der Differentialgleichung ausrechnen mit f =G∗g D.h. wir setzen die Gesamtantwort f des Systems aus den Einzelantworten auf jede Stelle von g zu¨ sammen. Wir rechnen nach, dass es sich um eine Losung der Differentialgleichung handelt: Df = |{z} DG ∗f = f =δ

2.2 Beziehung zur Fouriertransformation Die Regel fur ¨ die Fouriertransformierte einer Ableitung kann verwendet werden, um eine Green’sche Funktion G zu finden. Dazu transformieren wir die obige Differentialgleichung ˆG ˆ = δˆ = 1 D ˆ ˆ entstandenen Ausdruck mit D. und bezeichnen dabei den aus dem Differentialoperator D vor G ¨ Da dieser nun kein Differentialoperator mehr ist, konnen wir ihn auf die andere Seite der Gleichung bringen ˆ=D ˆ −1 G und durch Fourierrucktransformation ¨ die Green’sche Funktion Z 1 ˆ −1 G(x) = dk eikx D 2π ¨ Bemerkung: Mit der Losung der Differentialgleichung durch Fouriertransformation ergibt sich die Methode der Green’schen Funktion in naturlicher ¨ Weise folgendermaßen:   Z 1 ikx ˆ −1 −1 ˆ ˆ ˆ ˆ dk e D (k) ∗g Df = g ⇒ Df = gˆ ⇒ f = D gˆ ⇒ f = k 7→ 2π {z } | =G

7

2.3 Beziehung zur linearen Algebra Wir schreiben G(x, x0 ) = G(x − x0 ) fur ¨ die Green’sche Funktion, so dass wir sie analog zur obigen ¨ ¨ ¨ Definition 1(x, x0 ) = δ(x − x0 ) als linearen Operator auffassen konnen. Dann konnen wir das Losen der ¨ linearen Differentialgleichung analog zum Losen eines linearen Gleichungssystems betrachten: gegeben: finde: ¨ Losung: Probe:

lineares Gleichungsssystem P = bi j Aij xjP A−1 mit k Aik A−1 kj = δij P −1 bj xi = j Aij P P P −1 j δij bj = bi j,k Aik Akj bj = k Aik xk =

In diesem Sinne ist G also invers zu D.

lineare Differentialgleichung Df = g G mit DG = δ R f (x) = dx0 G(x, x0 )g(x0 ) R Df (x) = dx0 DG(x − x0 ) g(x0 ) = g(x) | {z } =δ(x−x0 )

2.4 Beispiele 2.4.1

harmonischer Oszillator

Berechnen der Green’schen Funktion Wir betrachten den Differentialoperator D fur ¨ den harmonischen Oszillator  2  ∂ ∂ 2 + 2β + ω0 G(t) = δ(t) ∂t2 ∂t {z } | =D

(mit den ublichen ¨ Ersetzungen 2β =

R m

und ω02 =

D m)

und erhalten durch Fouriertransformation

ˆ (−ω 2 + 2iβω + ω02 )G(ω) =1 Wir erhalten damit aus ˆ G(ω) =

1 −ω 2 + 2iβω + ω02

durch Fourierrucktransformation ¨ die Green’sche Funktion Z Z 1 eiωt 1 ˆ dω eiωt G(ω) = dω G(t) = 2 2π 2π −ω + 2iβω + ω02 Z 1 eiωt      = − dω  p p 2π ω − iβ + ω02 − β 2 ω − iβ − ω02 − β 2       √ √ i iβ+ ω02 −β 2 t i iβ− ω02 −β 2 t 1 e e     +     Θ(t) = −  2πi p p p p   2π iβ + ω02 − β 2 − iβ − ω02 − β 2 iβ − ω02 − β 2 − iβ + ω02 − β 2 q  √ 2 2 1  i√ω02 −β 2 t 1 1 −βt 2 − β 2 t Θ(t) e sin e e−βt − e−i ω0 −β t Θ(t) = 2 ω = p 2 0 2i ω0 − β 2 ω0 − β 2

¨ ¨ Die Antwort auf einen δ-formigen Kraftstoß bei t = 0 ist also eine mit p der Dampfungskonstante β ¨ exponentiell abklingende sin-formige Schwingung mit der Kreisfrequenz ω02 − β 2 .

8

δ(t − t0 ) G(t − t0 )

t

Abbildung 3: Die Green’sche Funktion des ged¨ ampften harmonischen Oszillators: Bei t = t0 befindet sich eine δ-f¨ormige Anregung. Die Reaktion wird durch die Green’sche Funktion G beschrieben und stellt eine exponentiell ged¨ ampfte harmonische Schwingung dar. Anwendung der Green’schen Funktion Wir verwenden die Green’sche Funktion um die Antwort des harmonischen Oszillators auf die Anregung ( a0 eiωt fur ¨ t≥0 g(t) = = a0 eiωt Θ(t) 0 fur ¨ t<0 zu bestimmen. Diese Anregung stellt einen Antrieb mit der Kreisfrequenz ω und der Amplitude a0 dar, welcher zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltet wird.  q Z Z 0 a0 0 −β(t−t0 ) 2 − β 2 (t − t0 ) Θ(t − t0 )eiωt Θ(t0 ) ω dt e sin f (t) = dt0 G(t − t0 )g(t0 ) = 2 0 2 ω0 − β Z t   √ 2 2 √ 2 2 0 0 0 0 a0 1 −βt = p 2 e dt0 eβt ei ω0 −β (t−t ) − e−i ω0 −β (t−t ) eiωt Θ(t) 2 2i ω0 − β 0    t t    √   √ β−i ω02 −β 2 +iω t0 β+i ω02 −β 2 +iω t0 √ 2 2 a0 1 −βt  i√ω02 −β 2 t  e e  − e−i ω0 −β t    Θ(t) p p e = p 2 e ω0 − β 2 2i β − i ω02 − β 2 + iω β + i ω02 − β 2 + iω 0 0   √     √ i ω02 −β 2 −β t −i ω02 −β 2 −β t iωt iωt a0 e −e 1 e − e  Θ(t) p p = p 2 − 2 2 2 ω0 − β 2i β − i ω0 − β + iω β + i ω02 − β 2 + iω  q 1 a0 1 ω02 − β 2 eiωt 2i = p 2 2 + ω2 − β2 2 2i (β + iω) ω0 − β 0   √ 2 2  √ 2 2  q   √ √ i ω0 −β t −βt i ω0 −β t −i ω02 −β 2 t −i ω02 −β 2 t 2 2 (β + iω) e −e + i ω0 − β e Θ(t) −e +e !!  q  q β + iω a0 iωt −βt 2 2 2 2 p ω0 − β t + cos ω0 − β t Θ(t) e −e = sin ω02 − ω 2 + 2iβω ω02 − β 2

In diesem Ergebnis sehen wir zum einen eine Schwingung mit der vorgegebenen Frequenz ω und eine p ¨ ¨ Uberlagerung von Schwingungen mit der gedampften Eigenfrequenz ω02 − β 2 , welche jedoch ex¨ ponentiell mit der Dampfungskonstante β abklingt, was als Einschwingvorgang beobachtet werden kann. Die Amplitude der Schwingung ist proportional zur Amplitude a0 der Anregung. Sie ist weiterhin vom p −1 2 2 2 2 2 Betrage mit dem (Resonanzkurve) und mit der Phasenverschiebung  Faktor (ω0 − ω ) + 4β ω − arctan

2βω ω02 −ω 2

¨ von der Frequenz ω der Anregung abhangig.

9

g(t) f (t)

t

Abbildung 4: Erzwungene harmonische Schwingung des ged¨ ampften harmonischen Oszillators: Nach dem Einschalten der Anregung g geht die Bewegung des Oszillators f von der ruhenden in die oszillierende Bewegung uber. ¨ 2.4.2

Laplace-Operator

Berechnen der Green’schen Funtkion Fur ¨ den Differential-Operator ∆=

∂2 ∂2 ∂2 + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z

berechnen wir die Green’sche Funktion: ∆G(~x) = δ(~x) ˆ ~k) = 1 ⇒ −~k 2 G( ¨ Bei der Rucktransformation ¨ in mehreren Dimensionen ist zusatzlich zu berucksichtigen, ¨ dass pro Dimension ein Faktor 2π entsteht: Z Z Z ∞ Z π i~ k·~ x 1 1 1 3 i~ k·~ x ˆ ~ 3 e G(~x) = d k e G( k) = − d k dk dθ sin θ eik|~x| cos θ = − ~k 2 (2π)3 (2π)3 (2π)2 0 0  ik|~x| cos θ π Z ∞ Z ∞ 1 sin(k|~x|) 1 e 1 = − dk dk = =− 2 (2π)2 0 ik|~x| 2π k|~ x | 4π|~ x| 0 |0 {z } =π 2

1 |~ x|

Anwendung der Green’schen Funktion Die Poisson-Gleichung ∆φ(~x) = − ¨ durch wird also gelost 1 φ(~x) = 4π0

Z

ρ(~x) 0

d3 x0

ρ(~x0 ) |~x − ~x0 |

Dies ist das Coulomb’sche Gesetz. Die Green’sche Funktion selbst ergibt gerade das Feld einer Punktladung im Ursprung mit ρ(~x) = Qδ(~x).

10