Sim
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- Words: 564
- Pages: 1
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Mathématiques
Similitudes
A MÉRIQUE DU S UD N OVEMBRE 2004 Soit A0 et B0 deux points du plan orienté tels que A0 B0 = 8. On prendra le centimètre pour unité. 1 3π Soit S la similitude de centre A0 , de rapport et d’angle . 2 4 On définit une suite de points ( Bn ) : pour tout entier naturel n, Bn+1 = S( Bn ). 1. Construire B1 , B2 , B3 et B4 . 2. Montrer que, pour tout entier naturel n, les triangles A0 Bn Bn+1 et A0 Bn+1 Bn+2 sont semblables. 3. On définit la suite (ln ) par : pour tout entier naturel n, ln = Bn Bn+1 . a. Montrer que la suite (ln ) est une suite géométrique et préciser sa raison. b. Exprimer ln en fonction de n et de l0 . c. On pose Σn = l0 + l1 + · · · + ln . Déterminer la limite de Σn lorsque n tend vers +∞. 4.
a. Résoudre l’équation 3x − 4y = 2 où x et y sont deux entiers relatifs. b. Soit ∆ la droite perpendiculaire en A0 à la droite (A0 B0 ). Pour quelles valeurs de l’entier naturel n, Bn appartient-il à ∆ ?
France Septembre 2004 A et C sont deux points distincts du plan ; on note Γ le cercle de diamètre [AC] et O le centre de Γ ; B est un point du cercle Γ distinct des points A et C. −→ −−→ π [2π ]. Le point D est construit tel que le triangle BCD soit équilatéral direct : BC , BD = 3 Le point G est le centre de gravité du triangle BCD. Les droites (AB) et (CG) se coupent en un point M. Partie A 1. Placer les points D, G et M sur la figure de la feuille annexe. 2. Montrer que les points O, D et G appartiennent à la médiatrice du segment [BC] et que le point G est le milieu du segment [CM]. 3. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe s de centre C transformant B en M. Partie B → Dans cette question, le plan est muni d’un repère orthonormé direct O ; − u, sorte que les points A et C aient pour affixes respectives −1 et 1. −→ Soit E le point construit pour que le triangle ACE soit équilatéral direct : AC,
− → v choisi de telle
−→ π AE = 3
[2π ].
1. Calculer l’affixe du point E et construire le point E.
√ √ 3+i 3 1−i 3 2. Soit σ la similitude directe d’expression complexe = z+ . 4 4 Déterminer les éléments caractéristiques de σ et en déduire que σ est la similitude réciproque de s. √ 1 3 0 3. Montrer que l’image E du point E par σ a pour affixe − + i et montrer que le point E0 2 2 appartient au cercle Γ. z0
4. On note C le lieu des points M lorsque le point B décrit le cercle Γ privé des points A et C. Montrer que le point E appartient à C . Soit O0 l’image du point O par la similitude s. Démontrer que le point O0 est le centre de gravité du triangle ACE. En déduire une construction de C .
Mathématiques
Similitudes
A MÉRIQUE DU S UD N OVEMBRE 2004 Soit A0 et B0 deux points du plan orienté tels que A0 B0 = 8. On prendra le centimètre pour unité. 1 3π Soit S la similitude de centre A0 , de rapport et d’angle . 2 4 On définit une suite de points ( Bn ) : pour tout entier naturel n, Bn+1 = S( Bn ). 1. Construire B1 , B2 , B3 et B4 . 2. Montrer que, pour tout entier naturel n, les triangles A0 Bn Bn+1 et A0 Bn+1 Bn+2 sont semblables. 3. On définit la suite (ln ) par : pour tout entier naturel n, ln = Bn Bn+1 . a. Montrer que la suite (ln ) est une suite géométrique et préciser sa raison. b. Exprimer ln en fonction de n et de l0 . c. On pose Σn = l0 + l1 + · · · + ln . Déterminer la limite de Σn lorsque n tend vers +∞. 4.
a. Résoudre l’équation 3x − 4y = 2 où x et y sont deux entiers relatifs. b. Soit ∆ la droite perpendiculaire en A0 à la droite (A0 B0 ). Pour quelles valeurs de l’entier naturel n, Bn appartient-il à ∆ ?
France Septembre 2004 A et C sont deux points distincts du plan ; on note Γ le cercle de diamètre [AC] et O le centre de Γ ; B est un point du cercle Γ distinct des points A et C. −→ −−→ π [2π ]. Le point D est construit tel que le triangle BCD soit équilatéral direct : BC , BD = 3 Le point G est le centre de gravité du triangle BCD. Les droites (AB) et (CG) se coupent en un point M. Partie A 1. Placer les points D, G et M sur la figure de la feuille annexe. 2. Montrer que les points O, D et G appartiennent à la médiatrice du segment [BC] et que le point G est le milieu du segment [CM]. 3. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe s de centre C transformant B en M. Partie B → Dans cette question, le plan est muni d’un repère orthonormé direct O ; − u, sorte que les points A et C aient pour affixes respectives −1 et 1. −→ Soit E le point construit pour que le triangle ACE soit équilatéral direct : AC,
− → v choisi de telle
−→ π AE = 3
[2π ].
1. Calculer l’affixe du point E et construire le point E.
√ √ 3+i 3 1−i 3 2. Soit σ la similitude directe d’expression complexe = z+ . 4 4 Déterminer les éléments caractéristiques de σ et en déduire que σ est la similitude réciproque de s. √ 1 3 0 3. Montrer que l’image E du point E par σ a pour affixe − + i et montrer que le point E0 2 2 appartient au cercle Γ. z0
4. On note C le lieu des points M lorsque le point B décrit le cercle Γ privé des points A et C. Montrer que le point E appartient à C . Soit O0 l’image du point O par la similitude s. Démontrer que le point O0 est le centre de gravité du triangle ACE. En déduire une construction de C .
