Signos De Relación.docx

Signos de Relación Existen muchos signos de relación entre los más conocidos están los siguientes: < Menor que > Mayor que = Igual

⩽ Menor o igual ⩾ Mayor o igual ≠ Diferente de ≈ Aproximadamente Estos signos sirven para expresar la relación entre dos cantidades, ejemplos: 5<12, 2–√<3, π<4, −27<4, −3<−2, 0<5 3>2, 2–√>1, π>3, 0>−3, −3>−5, 3=3, 5=2+3, −9=2−11 5⩽12, 12⩽12, −4⩽−4, −12⩽−4 5⩾3, 5⩾5, −4⩾−4, −3⩾−12 7≠3, 2–√≠3–√, 8≠3 π≈3.1416, e≈2.71 Indica si son ciertas o falsas las siguientes relaciones:

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−2<0 −3>−5 π=3.1416 −2=2 Signo igual: representado por el signo matemático igual (=) sirve para indicar que entre dos entidades abstractas existe una relación de igualdad, bien por la cantidad que representa o por el valor que se les asigna. Su expresión o uso será dado por la forma (a=b) y su lectura responderá a la forma “a es igual a b”. Signo de diferencia: por el contrario, si se quiere expresar la diferencia entre dos términos algebraicos, se deberá hacer uso entonces del signo diferente de (≠) el cual será usado en la forma (a ≠ b) y respondiendo a la lectura “a diferente de”. Signo mayor que: así mismo, entre dos términos algebraicos puede encontrarse establecida una relación en donde un término se establezca como mayor que otro, bien por la cantidad que representa o el valor que se le asigna. En caso de querer expresar esta relación se usará entonces el signo mayor que (>) el cual será usado de la siguiente forma (a > b) y se leerá como “a mayor que b”. Signo menor que: de forma contraria, si se quiere expresar que un término es menor que otro, se deberá hacer uso del signo menor que (<) el cual se empleará respondiendo a la forma (a < b) y se leerá como “a es menor que”. Signo mayor que o igual: no obstante, entre dos elementos puede existir también una relación que apunte a que entre ellos pueda existir una relación que puede ser tanto de “mayor que” o de igualdad. A fin de expresar dicha relación, se empleará entonces el signo ( ≥ ) el cual será usado igualmente de forma ( a ≥ b) y se leerá como “a mayor o igual a b”.

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Signo menor o igual: también puede suceder que los dos elementos involucrados establezcan entre ellos una relación en donde uno de ellos sea menor o incluso igual a otro. Para este tipo de relaciones se usará el signo menor que o igual ( ≤ ) el cual podrá usarse como (a ≤ b) y se leerá como “a menor que o igual a b”. Signos de operación

Este grupo de signos está constituido por los mismos signos matemáticos que se utilizan para señalar operaciones aritméticas como la suma, la resta, la multiplicación o la división, así también como símbolos para expresar la potenciación de un número, o la extracción de raíces. No obstante, y pese a que dentro del Álgebra estos signos de operación tienen igual sentido y valor que en la Aritmética, no está de más repasar cómo son entendidos y usados dentro de esta rama matemática: Ejemplos de raíces cuadradas perfectas de números decimalesAntes de exponer algunos ejercicios que pueden servir de ejemplo a la forma correcta en que debe ser...

Las medianas de un triánguloQuizás lo más conveniente, previo a abordar una explicación sobre las Medianas de un triángulo, sea ...

Números decimales ilimitados periódicosPrevio a abordar una explicación sobre los Números decimales ilimitados periódicos, quizás lo mejor ...  

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Suma: para establecer operaciones de suma, se usará el signo más ( + ) el cual planteada una operación (a + b), contará con la lectura “a más b”. Resta: en el caso de operaciones de sustracción, en el álgebra también se emplea el signo menos (-) el cual al participar en operaciones tipo (a-b), contará con la lectura “a menos b”. Multiplicación: por su parte las operaciones de multiplicación pueden ser expresadas con el signo por (x). No obstante, en el álgebra también se estila usar un punto (.) para indicar que dos elementos deben multiplicarse. Así también basta con colocar dos elementos abstractos juntos, sin ningún signo, para que se sobreentienda, dentro del ámbito algebraico que se está indicando que entre ambos existe una operación de multiplicación, teniendo entonces distintas opciones como por ejemplo: (a x b); (a.b); (a)(b) ó (ab); las cuales se leerán indistintamente “a multiplicado por b”. División: en cuanto a la división, el Álgebra también contempla tres posibles signos: dos puntos (:), el signo entre (÷) y el slash (/), dando entonces como resultado operaciones expresadas de la siguiente forma: (a:b); (a ÷ b) ó (a/b); y que se leerán siempre como “a dividido entre b”. Potenciación: la potenciación es otra de las operaciones que tienen lugar generalmente dentro del Álgebra. Para expresarla, bastará con tener un elemento llamado base, y otro usado en forma de superíndice, el cual se ubica en la esquina

superior derecha del elemento base, y que recibiendo el nombre de exponente, indicará cuántas veces se multiplica por sí misma la base. De esta forma, la potenciación se expresará con la forma (a ; a ; a ; a …) y se leerá generalmente como “a elevado a la (cantidad expresada con el exponente)”. Sin embargo, hay casos especiales como el dos (2) o el tres (3) que cuando son usados como exponentes, cobran una lectura particular, donde el dos pasa a ser nombrado como “cuadrado” y el tres como “cubo”. En caso de que un elemento, involucrado en una operación algebraica no presente un exponente, se asume que el exponente es uno. Radicación: así mismo, en el Álgebra existe la operación destinada a extraer raíces de un número. Para esto se usará igualmente el signo radical dentro del cual se coloca el elemento abstracto sobre el cual se desea conocer la raíz cuadrada: √ , la cual será leída siempre como “raíz cuadrada de a”. 2

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Signos de agrupación

Finalmente, el tercer tipo de signo algebraico serán los signos de agrupación, los cuales simplemente señalarán el orden en que deberán ser resueltas las distintas operaciones, involucradas en una operación algebraica y que básicamente están conformados por los signos que se mencionan a continuación: Paréntesis ( ) Corchetes [ ] Llaves { } Barras ││ Los signos de agrupación definen el orden en el que se realizará la operación un ejemplo es, las operaciones que están entre paréntesis son las que se realizaran primero, posteriormente las que se encuentran entre corchetes y por ultimo las que se encuentran entre llaves. Ejemplo: {2*2[2+2(4+2)]} Primeramente realizaremos la operación entre paréntesis, en este caso sería 4+2=6 {2*2[2+2(6)]} posteriormente la que se encuentra entre los corchetes en este caso es una suma con multiplicación 2+2=4*6 {2*2[24]} como ves el paréntesis ha desaparecido ahora vamos con la que se encuentra entre llaves2*2=4*24 {96} han desaparecido los corchetes por tanto el resultado es 96.

Conjunto de números reales (positivos, negativos, enteros, fraccionarios, racionales e irracionales.

Los números reales son el conjunto de números sobre los que estudian las matemáticas, ya que son todos los números que pueden ser representados

en una recta numérica. Como conjunto, los números reales contiene a los siguientes subconjuntos: Los números enteros (Z), que a su vez está compuesto por: Los números naturales (N): Son todos los números enteros positivos. Los números negativos. El cero. Los números racionales (Q), que son todos los que se representan por un cociente o fracción, o por números decimales exactos o periódicos. Se dividen en: Las fracciones, que expresan el cociente entre dos cantidades. Los decimales, que expresan el resultado de un cociente fraccionario. Los números irracionales (I), son los que expresan resultados numéricos cuyo resultado decimal no es periódico y se extiende al infinito. Los números Trascendentes (T), son un subconjunto de los números irracionales y algunos racionales, que expresan relaciones matemáticas muy importantes, como la relación entre la circunferencia y el radio, el número pi (π). Generalmente el conjunto de los números reales es representado por la letra “R”, y se les aplican las operaciones y las diferentes propiedades de operación estudiadas en aritmética y en álgebra:           

Suma. Resta. Multiplicación. División. Potenciación. Raíz. Propiedad Asociativa. Propiedad Conmutativa. Propiedad Distributiva. Propiedad de Cerradura. Elemento neutro.

Números fraccionarios. Se encuentran dentro del conjunto de los números racionales(Q) y se expresan de las forma a/b o como una expresión decimal periódica.

Surgen por la necesidad de dar solución a la división en el conjunto de los números naturales. Diferentes números expresando la misma cantidad. A partir de las diferentes operaciones de cálculo que podemos realizar con los números, han ido surgiendo los conjuntos numéricos y dentro de ellos los el de los números fraccionarios.

Definición Los números fraccionarios o fracciones comunes se forman al plantear una división entre dos números naturales, teniendo en cuenta que siempre el divisor debe ser diferente de cero. En un número fraccionario o fracción, el denominador indica las partes en que se divide la unidad y el numerador indica las partes que se toman.

Formas de expresión Una fracción puede considerarse como el cociente exacto de dividir el numerador entre el denominador, de ahí que se pueda escribir también como el cociente a : b. Operaciones combinadas con números enteros adición y sustracción multiplicación división Relación entre las operaciones adición y sustracción Es importante saber que cuando se resuelve un problema a través de una adición es posible comprobar los cálculos a través de una sustracción. Del mismo modo, cuando se resuelve un problema a través de una sustracción, es posible comprobar los resultados mediante una adición. Por ejemplo, podemos comprobar el resultado de la adición 55 + 21 = 76, a través de la sustracción 76 - 55 =21 ó 76 - 21 = 55. Esto ocurre porque la adición es la operación inversa de la sustracción. 2- Cómo resolver operaciones combinadas de adición y sustracción Si un ejercicio presenta adición y sustracción, debemos resolver las operaciones en el orden que se presentan, comenzando desde la izquierda. Ejemplo:

Como la sustracción va primero, obtenemos la resta, que en este caso es 1 430. Luego , la anotamos debajo y, después, le sumamos los 6 235. El resultado final es 7 665. En el caso que la adición estuviera en primer lugar, resolvemos la adición , y a la suma obtenida le restamos el numero que sigue. 2.1- ¿Qué hacer en el caso que aparezcan paréntesis? Hay un signo muy utilizado que nos señala las operaciones que se deben hacer primero; lo conocemos como paréntesis ( ) . Cuando hay paréntesis, los debemos resolver en primer lugar.  MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros se siguen estos pasos. 1. Se multiplican sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí). 2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo −si son de signos diferentes.

 DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para dividir dos números enteros se siguen estos pasos. 1. Se dividen sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí y siempre que la división sea exacta). 2. Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo −si son de signos diferentes. Para agilizar las operaciones de multiplicación y división de números enteros se utiliza la regla de los signos: Multiplicación División (+) ⋅(+) = + (+) : (+) = + (−) ⋅(−) = + (−) : (−) = + (+) ⋅(−) = − (+) : (−) = − (−) ⋅(+) = − (−) : (+) = −

Adición y sustracción de fracciones Sumar y restar fracciones puede tomar algo de tiempo, ya que es necesario aplicar otras operaciones. En todo caso, es una herramienta muy importante y se usa con bastante frecuencia; así que manos a la obra. Tenemos

.

Hay un total de 4 cuartos azules, que combinados hacen un todo, así que

.

Aquí tenemos

.

Ahora hay un total de 7 quintos azules, que combinados hacen un todo y dos quintos, entonces

.

Nunca olvides que al sumar o restar fracciones el denominador tiene que ser común obligatoriamente. Cuando los denominadores son iguales, todo lo que hay que hacer es sumar o restar los numeradores y dejar igual el denominador.

Ejemplos con denominador común Ejemplo 1 Suma los numeradores. Nos queda una fracción impropia. Simplifica Cambia a número mixto. Ejemplo 2 Resta los numeradores. Reduce la fracción.

Multiplicación y división de números fraccionarios Método 1 de división de fracciones: Multiplicar en cruz Este método consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y el resultado colocarlo en el

numerador de la fracción final. Por otro lado, tenemos que multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el resultado lo escribimos en el denominador de la fracción final. Se llama método de la cruz por el siguiente esquema:

En amarillo: Se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda. El resultado se escribe en el numerador. En verde: Se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda. El resultado de escribe en el denominador.

Método 2 de división de fracciones: Invertir y multiplicar Este método consiste en invertir la SEGUNDA FRACCIÓN, es decir, cambiar el denominador por el numerador y cambiar el numerador por el denominador. Después, se multiplican las dos fracciones. Recuerda que para multiplicar fracciones se hace en línea: Nu merador por numerador y denominador por denominador.

Siguiendo con el ejemplo anterior, tenemos que invertir la segunda fracción, por lo tanto cambiamos el 7 por el 5 y el 5 por el 7. Ahora cambiamos la división por una multiplicación.

Para multiplicar las dos fracciones tenemos que multiplicar el línea: numerador por numerador y denominador por denominador.

Potenciación La p ot e nc i ac i ón e s u n a f o r ma ab r e vi ad a d e e sc ri bi r u n p r od uc to f o r ma do p o r v ari os f a ct or es i gu a l e s . 7 · 7 · 7 · 7 = 74

Base

La b a s e d e u n a p ot en c i a e s el nú me r o qu e m ul ti p li c am o s p o r sí m i smo , en e st e ca s o el 7 .

Exponente

El ex p on e nt e d e u n a pot e nc i a i n di ca el n ú me r o d e v ec e s qu e m u lt i p li c am o s l a b a se , en el ej em pl o e s el 4.

Potencias de exponente natural 1. U n nú m er o e l ev a do a 0 e s i g u al a 1.

la

la

el

el

a0 = 1 60 = 1 2. U n nú m er o e l ev a do a 1 e s i g u al a s í m i sm o. a1 = a 61 = 6 3. P ro du ct o d e p o te nc i a s co n l a m i s m a b a se : E s o tr a p ot en ci a c o n l a m is m a b a s e y cu y o ex p o ne nt e es s um a de l os ex p on e nt es . am · a n = am+n 35 · 32 = 35+2 = 37 4. D iv i s ió n d e p ot en c i as co n l a m is m a b a se : E s o tr a p ot en ci a c o n l a m i s m a b a se y cu y o ex p o ne nt e es d if e re nc i a de lo s ex p on e nt es . am : a n = am - n 35 : 32 = 35 - 2 = 33 5. Po te nc i a de u n a p ot e nc i a : E s o tr a p ot en ci a c o n l a m i s m a b a se y cu y o e xp on en t e es p r od uc to de l os ex p o ne nt e s . (am)n = am · n (35)3 = 315 6. P ro du ct o d e p o te nc i a s co n el m is mo ex p o ne nt e : E s o tr a p ot en ci a c o n el m i sm o ex po n e nt e y cu ya b as e e s p r od uc to de l a s b as e s . an · b n = (a · b) n 25 · 45 = 85 7. C oc ie nt e de po t en c i as co n e l m i s mo ex p o ne nt e :

Es otra potencia con el mismo ex ponente y cu ya base es el c oc i en te de l a s b as e s .

Números decimales a fracciones Imagina que tienes que realizar la siguiente suma de números decimales y fracciones:

No es fácil sumar una fracción con un número decimal, ¿verdad? Es mucho más fácil sumar fracciones o sumar números decimales. Por tanto tenemos dos posibilidades:  

Pasar el número decimal a fracción Pasar la fracción a número decimal Hoy vamos a aprender la primera posibilidad: pasar decimales a fracciones. Para ello lo primero que necesitarás es saber hallar fracciones equivalentes. Lo puedes aprender con nuestro tutorial sobre fracciones equivalentes y después practicar en nuestros recursos didácticos de fracciones equivalentes. De todas maneras, vamos a hacer aquí un repaso rápido de cómo hallar una fracción equivalente: Ejemplo para hallar una fracción equivalente

Tenemos la fracción: y queremos conseguir que su denominador sea el número 6, es decir:

Tienes que pensar por qué número se ha multiplicado el 3 (el denominador) para obtener el número 6… ¡Eso es! Se ha multiplicado por 2.

Por tanto, el numerador también habrá que multiplicarlos por

2 si multiplicamos el número 2 por 2 obtenemos 4.

y ahora que ya sabemos hallar una fracción equivalente, vamos a pasar un número decimal a fracción. Pasar un número decimal a fracción Ahora, tenemos el número ¿cómo podemos pasarlo a número decimal? Vamos a seguir la misma estrategia, pero primero tenemos que pensar qué denominador tiene… ¿qué número pueden llevar todos los números como denominador sin que varíen?… ¡Eso es! El número 1

Ahora tenemos que pensar qué número ponemos en el denominador de la fracción equivalente… El truco es usar el 1 seguido de ceros. Así que lo primero que vamos a probar es con un cero, el 10

Como para pasar del 1 al 10 (el denominador) hay que multiplicar por 10, multiplicamos también 0.25 (el numerador) por 10

Y nos queda….

No hemos quitado todos los decimales aún, ¿verdad? ¡Pues seguimos añadiendo ceros!

Si multiplicamos por 100 nos queda

Por último, recuerda que las fracciones se pueden simplificar. Si simplificamos esta fracción nos queda

Entonces, ¡Ya está! Hemos convertido un número decimal en fracción gracias a las fracciones equivalentes. Fíjate en una cosa, ¿cuántos ceros hemos tenido que añadir detrás del 1 para que el 0.25 pierda todos los decimales? Tenía dos decimales y le hemos añadido dos ceros, o lo que es lo mismo, un cero por cada número decimal que tiene. Es decir, ¡cada cero quita un decimal al número! Raíces y potencias de números reales La multiplicación de factores racionales iguales se expresa como una potencia. Expresemos como potencia el producto ; que es el racional que se repite como factor es la base, 4 es ele xponente e indica las veces que se repite la base como factor. son formas de expresar la potencia. Cuando el exponente es impar y la base negativa, la potencia es negativa. La potenciación cumple las siguientes propiedades:

Propiedades de la Potenciación Hallar la potencia de un racional, equivale a encontrar la potencia de cada uno de sus términos (numerador y denominador). El producto de potencias de racionales de igual base tiene la misma base de las potencias factores, y su exponente corresponde a la suma de los exponentes de las potencias factores.

La potencia de la potencia de un racional tiene como base el racional dado y como exponente el producto de los exponentes. Si el racional es diferente de cero, su recíproco se denota como Todo racional distinto de cero que tenga exponente negativo, es equivalente a tomar el recíproco del número y el mismo exponente con signo contrario. Cualquier racional, diferente de cero, con exponente cero, es igual a 1. El producto de un racional distinto de cero, y su recíproco es 1. Raíces enésimas de números racionales La raíz enésima del racional Hallemos

es el racional

tal que

.

:

Hallemos

Los términos de la radicación son: NOTA:  

Si el índice del radical es impar, se puede hallar la raíz de un racional negativo. Si el índice es pár, sólo es posible hallar las raíces de racionales positivos, las cuales son positivas.

Propiedad de la radicación: 1) Hallar la raíz enésima de un racional equivale a hallar la raíz enésima de cada uno de sus términos (numerador y denominador).

Radicación de números reales Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias a partir de las cuales se pueden deducir las siguientes propiedades de raíces: Multiplicación de raíces de igual índice: Se multiplican las bases y se conserva el índice. 1. Multiplicación de raíces de igual índice Según una propiedad de los radicales: Esto significa que si dos números están multiplicándose dentro de una raíz, se puede extraer la raíz de cada uno de ellos en forma separada y luego multiplicarlos; o también que si hay dos raíces de igual grado multiplicándose se pueden multiplicar los números y obtener la raíz después. Ejemplo 1: Dentro de la raíz cuadrada tenemos una multiplicación (9x4), sacamos la raíz cuadrada a cada uno de los números para finalmente multiplicarlos. 4. EJEMPLO. 5. 2. DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE: Se dividen las bases y se conserva el índice. EJEMPLO 1. 6. 3. RAÍZ DE RAÍZ: Para obtener raíz de raíz se multiplican los índices y se conserva la base. EJEMPL O 7. 4. RAÍZ DE UNA POTENCIA CUYO EXPONENTE ES IGUAL AL ÍNDICE: 5. PROPIEDAD DE AMPLIFICACIÓN. Tanto el índice como el exponente de la potencia pueden amplificarse por un mismo valor. 8. 6. INGRESO DE UN FACTOR DENTRO DE UNA RAÍZ: Para introducir un factor dentro de una raíz se coloca el factor dentro del radical como potencia con exponente igual al índice y multiplicando a los demás factores. Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de que las raíces estén definidas en los números reales. 1. 1. La raíz enésima de un número real a es un número real b, si y sólo si la enésima potencia de b es a. es decir: 2. 2. Cuando en una raíz no aparece indicado el índice se debe entender que dicho índice es 2, y por tanto corresponde a una raíz cuadrada. 3. 3. Situaciones que se pueden presentar en la radicación 4. 4. Ejemplos 5. 5. El subradical Se escribe como producto de potencias con exp. 2 Índice par y cantidad subradical un número real positivo 6. 6. Propiedades de los radicales de los números reales 6 57 =× 66 57 × 7. 7. =4 7 5 4 4 7 5 3 6 7 = 63 7x 18 7= 8. 8. =6 12 4 6 12 4 2 4= 16= =6 6 4 4 9. 9. =7 7 4 4

Simplificando Expresiones Radicales Objetivo de Aprendizaje  Simplificar expresiones radicales numéricas y algebraicas. Las expresiones radicales son expresiones que incluyen un radical, el cual es el símbolo de calcular una raíz. Existen muchas formas de expresiones radicales, desde simples y familiares, como , hasta complicadas, como . En cualquier caso, podemos usar lo que sabemos de losexponentes para entender dichas expresiones.

Empecemos por explorar los radicales; después nos preocuparemos por cómo resolverlos. El Radical Un radical es un símbolo matemático usado para representar la raíz de un número. Veamos un ejemplo rápido: La frase "la raíz cuadrada de 81" está representada por la expresión radical

. (En el caso de las raíces cuadradas, la expresión es

comúnmente acortada a encontramos cual es 9.

— nota la ausencia del pequeño "2.") Cuando

estamos encontrando el número no negativo r tal que

, el

Mientras que las raíces cuadradas son probablemente el radical mas común, también podemos encontrar raíces cúbicas, raíces quintas, o cualquier otra raíz enésima de un número. La raíz enésima de un número puede ser representada por la expresión radical . Los radicales y los exponentes son operaciones inversas. Por ejemplo, sabemos que 92 = 81 y = 9. Esta propiedad puede ser generalizada a todos los radicales y exponentes: para cualquier número, x, elevado al exponente n para producir el número y, la raíz enésima de y es x. Podemos representar esta propiedad como: . Aunque hay que tener en cuenta: es siempre válida si x ≥ 0, y si n es impar. Pero es inválida cuando x < 0 y n es par. ¿Por qué sucede esto? Es porque elevar cualquier número, positivo o negativo, a una potencia par tiene el efecto de hacer el nuevo número positivo. Este no es el caso con los exponentes impares. Por ejemplo, piensa en sustituir x = -3 y n = 2 en la fórmula de arriba. El radical se escribiría como , que resulta , o 3. Pero nuestro valor inicial de x era -3, por lo que nos resulta la declaración 3 = -3. ¡Esto es falso!

Operaciones con radicales