Series

Cap. 6 Series

MOISES VILLENA

6

1.1 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

SERIES NUMÉRICAS INFINITAS SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS SERIES ALTERNANTES SERIES DE POTENCIAS

Objetivo: Se pretende que el estudiante: • Determine convergencia o divergencia de series. • Emplee series para resolver problemas numéricos.

105

Cap. 6 Series

MOISES VILLENA

6. 1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.1.1 DEFINICIÓN

Sea {a n } una sucesión infinita. Y sea S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n .

La sucesión de suma parciales

{S n } = {S1 , S 2 , S3 ,L} = {a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3,L },

denotada como

∞

∑a

n

, se llama Serie Infinita.

n =1

Ejemplo ⎧ 1 ⎫ Sea la sucesión {a n } = ⎨ ⎬ ⎩2n ⎭ ⎧1 1 1 ⎫ Algunos términos de la sucesión serían ⎨ , , , L⎬ 2 4 8 ⎩ ⎭

La sucesión de sumas parciales sería

{S1 , S 2 , S 3 , L} = ⎧⎨ 1 , 1 + 1 , 1 + 1 + 1 , L⎫⎬ = ⎧⎨ 1 , 3 , 7 , L⎫⎬ ⎩2 2

4 2

4

8

⎭

⎩2 4 8

⎭

6.1.2 CONVERGENCIA DE SERIES

Una serie S n = ∑ an , es convergente si y sólo si lim S n n →∞

existe. Caso contrario; es decir, si lim S n no existe, se n →∞

dice que la sucesión es divergente. En caso de que la serie sea convergente se dice que tiene suma S , es decir ocurrirá que lim S n = S . n →∞

Si tuviésemos S n o pudiéramos calcularlo, determinar la convergencia sería muy sencillo. Estudiaremos en primer lugar las series geométricas y las series

106

Cap. 6 Series

MOISES VILLENA

telescópica que si se les puede determinar S n , y luego mencionaremos criterios para determinar convergencia y divergencia de series cuando ya no tenemos S n

6.1.3

LA SERIE GEOMÉTRICA.

Una serie geométrica es de la forma

a + ar + ar 2 + ar 3 + L + ar n −1 La suma parcial de los n términos está dada por

Sn =

a (1 − r n ) . ¡Demuéstrela! 1− r

Para determinar su convergencia, deberíamos obtener

a (1 − r n ) . n →∞ 1− r

lím S n = lím n →∞

a(1 − r n ) = ∞ (¿POR QUÉ?) y por tanto la Observe que si r ≥ 1 entonces lím n →∞ 1− r serie geométrica es divergente

a(1 − r n ) a = Si r < 1 , entonces lím la serie es convergente. n →∞ 1− r 1− r Ejemplo Determinar si la serie

1 1 1 + + + es convergente o no. 2 4 8

SOLUCIÓN: Observe que la secuencia dada es una serie geométrica con a = ∞

serie de la forma

∑ n =1

1 1 y r = es decir una 2 2

1

1 y por tanto converge a S = 2 = 1 2n 1 − 12

107

Cap. 6 Series

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6.1.4 SERIES TELESCÓPICA Para este tipo de serie también es posible obtener S n , se lo hace empleando fracciones parciales. Ejemplo ∞

Sea la serie

∑

1

(n +1)(n + 2 ) . Obtener S n .

n =1

SOLUCIÓN: Empleando fracciones parciales, tenemos: 1

A B + n +1 n + 2 = A(n + 2 ) + B(n + 1)

(n + 1)(n + 2) 1

=

Si n = −1 entonces: 1 = A(−1 + 2) + B(−1 + 1) 1= A

Si n = −2 entonces: 1 = A(−2 + 2) + B(−2 + 1) 1 = −B B = −1

Por tanto: ∞

∑ n =1

∞

1 = (n + 1)(n + 2)

∑ n =1

1 ⎞ ⎛ 1 − ⎜ ⎟ ⎝ n +1 n + 2 ⎠

Obteniendo algunos términos de su desarrollo ∞

∑ n =1

1 ⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 − − ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ +L+ ⎜ ⎟ ⎝ n +1 n + 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 4 5 ⎠ ⎝ n +1 n + 2 ⎠

Note que al realizar la suma, los términos centrales se suprimen quedando el primer y el último término. Entonces S n = 1 −

1 1 ⎞ ⎛ , por tanto lím S n = lím ⎜1 − ⎟ =1 n →∞ n →∞⎝ n+2 n+2⎠

La serie es convergente

108

Cap. 6 Series

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Ejercicios Propuestos 6.1 1.Encuentre la serie infinita que es la secuencia indicada de suma parcial. Si la serie es convergente, encuentre su suma. (SUGERENCIA: Hallar a n , sabiendo que S n = S n −1 + a n )

⎧1 ⎫ a) {S n } = ⎨ n ⎬ ⎩2 ⎭

{S n } = {ln(2n + 1)}

b)

2.Encuentre S n y determine si las series son convergentes o divergentes. Si es convergente determine su suma: +∞

+∞

a)

∑ n =1

1 n(n + 1)

b)

n =1

+∞

c)

∑ n =1

∑ +∞

1 (3n − 1)(3n + 2)

d)

∑ n =1

n

⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

4⎞ ⎛ 1 ⎜ n + n⎟ 3 ⎠ ⎝2

+∞

e)

∑ n =1

1 (n + 2)(n + 3)

6.1.5 CRITERIO GENERAL PARA LA DIVERGENCIA TEOREMA

Si la serie

∑ a converge entonces lim a = 0 n

Es decir si lim an ≠ 0 entonces la serie n →∞

n →∞

∑a

n

n

diverge

Ejemplo ∞

La serie

∑ n =1

n n =1 es divergente debido a que lím n→∞ n + 1 n +1

Verifique que los ejemplos anteriores de series convergentes se cumple el teorema. No olvide que lim an = 0 es una condición necesaria pero no n →∞

suficiente.

109

Cap. 6 Series

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Ejemplo. ∞

La serie

∑ n =1

1 , llamada Serie Armónica, es divergente (lo demostraremos más adelante), n

1 =0 n →∞ n

sin embargo lím

6.1.6 PROPIEDADES DE LAS SERIES CONVERGENTES.

Si

∑a y ∑b n

convergen y si C es una constante,

n

entonces también convergen además

∑Ca y ∑ (a ± b ) y n

n

n

∑ Ca = C∑ a 2. ∑ (a ± b ) = ∑ a ± ∑ b 1.

n

n

n

n

n

n

6.1.7 TEOREMA DE LA SERIE DIVERGENTE

∑ a diverge y C es una constate diferente de cero, entonces la serie C ∑ a también diverge. Si

n

n

110

Cap. 6 Series

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6. 2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS TEOREMA

Una serie

∑a

n

de términos no negativos converge si y

sólo si, sus sumas parciales están acotadas por arriba.

6.2.1 CRITERIOS PARA ESTABLECER LA CONVERGENCIA DE SERIES DE TERMINOS POSITIVOS. 6.2.1.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL

Sea f una función continua positiva, no creciente, definida en el intervalo [1, ∞ ) y suponga que a n = f (n ) ∞

∑a

para todo entero positivo n . Entonces la seria

n

n =1

converge si y sólo si la integral impropia

∞

∫ f ( x)dx 1

converge. Ejemplo 1 ∞

Determine si la SERIE ARMÓNICA

∑ n =1

1 converge o diverge n

SOLUCIÓN: Aplicando el criterio de la integral, debido a que es una serie de términos positivos decrecientes. ∞

∫ 1

N

1 = lím x n →∞

∫ x = lím [ln x] 1

n→∞

N 1

= lím ln N = ∞ n →∞

1

Por tanto la serie diverge.

111

Cap. 6 Series

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Ejemplo 2. ∞

∑

Sea la serie “p”

n =1

1

, determine para qué valores de “ p ” converge y para que

nP

valores diverge. SOLUCIÓN: Analizando la integral

∫

∞

1

= lím

P

∫

N

1

P n →∞ x 1 x Si P = 1 , tenemos la serie armónica, que es divergente Si p ≠ 1 , la integración es diferente 1

lím

n→∞

∫

N

1

1 xP

N

⎡ x − P +1 ⎤ ⎡ N − P +1 1− P +1 ⎤ = lím ⎢ − ⎥ = lím ⎢ ⎥ n →∞ ⎢ − p + 1 ⎥ n →∞ ⎢ − p + 1 − p + 1 ⎥⎦ ⎣ ⎦1 ⎣

⎡ N 1− P 1 ⎤ + lím ⎢ ⎥ n→∞ ⎢ 1 − P P − 1 ⎦⎥ ⎣ ⎡ ⎤ ⎢ ∞ 1− P 1 ⎥ 1 + Ahora, si P > 1 , ⎢ ⎥ = p − 1 , la integral converge 1 − P P − 1 ⎢ 123 ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ∞1− P 1 ⎥ Si P < 1 , ⎢ + = ∞ la integral diverge −3 12 P P − 1 ⎥⎥ ⎢1 ⎣ ∞ ⎦ ∞

En conclusión, la serie

∑ n =1

1 nP

1 ⎧ ⎪Si P > 1 converge a p −1 =⎨ ⎪Si P ≤ 1 diverge ⎩

Ejemplo 3 ∞

Determine si la serie

∑ n =2

1 converge o diverge. n ln n

SOLUCIÖN: Aplicando el criterio de la integral

∫

∞

2

1 = lím [ln(ln N ) − ln(ln 2)] = ∞ x ln x x→∞

Por tanto diverge

Ejercicios propuestos 6.2 Usando el criterio de la Integral, determine la convergencia o divergencia de la siguiente serie numérica +∞

1)

∑( n =2

112

+∞

1

n ln n )

2

2)

∑ n =1

+∞

ne − n

3)

∑( n =1

1

n + 1) ln(n + 1)

Cap. 6 Series

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6.2.1.2 CRITERIO DE COMPARACIÓN ORDINARIA

Suponga que 0 ≤ a n ≤ bn para n ≥ N

∑ b converge, entonces ∑ a converge. Si ∑ a diverge, entonces ∑ b diverge Si

n

n

n

n

Ejemplo. ∞

∑

Determine si la serie

n

converge o diverge.

2n 2 − 1

n =1

SOLUCIÓN: Empleando el criterio de comparación. Busquemos una serie empleando los primeros términos del numerador y del denominador: ∞

∑ n =1

∞

n

=

2n 2

∑ n =1

∞

1 1 = 2n 2

∑ n =1

1 n

Resulta una serie divergente ¿por qué? Los términos de la serie dada deben ser mayores que los de esta serie, para que la serie dada sea divergente. (Si esto no ocurriese habrá que cambiar de serie o de criterio). Se observa que

n 2n − 1 2

>

n 2n 2

para ∀n ≥ 1 .

Por tanto se concluye que la serie dada es divergente. Note que también se puede aplicar el criterio de la integral.

Ejemplo 2 ∞

Determine si la serie

∑ n=1

n

3n (n + 1)

converge o diverge.

SOLUCIÓN: Utilicemos la serie ∞

∑ n =1

∞

n n

3 n

=

∑ n =1

1 3n

.

Esta serie es geométrica convergente ¿por qué? Los términos de la serie dada deben ser menores que los de esta serie, para que la serie dada sea convergente. Observamos que:

n

3 (n + 1) n

<

n n

3 n

.

Por tanto la serie dada es convergente.

113

Cap. 6 Series

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6.2.1.3 CRITERIO DE COMPARACIÓN DE LÍMITE.

Suponga que a ≥ 0 , bn > 0 y que lim n →∞

∑a

Si 0 < L < ∞ entonces divergen juntas. Si L = 0 y

∑b

∑b

y

n

convergen o

n

∑ a converge.

converge entonces

n

an =L bn

n

Ejemplo 1 ∞

Determine si la serie

∑ n =1

3n − 2

converge o diverge.

n − 2n 2 + 11 3

Solución: Igual que el criterio anterior busquemos una serie de trabajo. ∞

∑ n =1

∞

3n n

3

∑

=3

n =1

1 n2

tenemos una serie convergente ¿por qué? Obtenemos ahora

3n − 2 2 3n 3 − 2n 2 lim n − 2n + 11 = lim 3 =1 3 n→∞ n→∞ 3n − 6n 2 + 11 n2 3

Por tanto la serie dada es también convergente.

Ejemplo 2 ∞

Determine si la serie

∑ n=1

1 n +n 2

converge o diverge.

Solución: ∞

Nuestra serie de trabajo seria

∑ n =1

∞

1 n

2

=

∑ n =1

1 La serie armónica (divergente) n

Entonces:

1 n n +1 = lim =1 1 n→∞ n2 + n n 2

lim

n →∞

Por tanto serie dada también es divergente.

114

Cap. 6 Series

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6.2.1.4 CRITERIO DEL COCIENTE

Sea

∑ a una serie de términos positivos y suponga que n

an+1 =L n →∞ an

lím

Si L < 1 la serie converge. Si L > 1 la serie Diverge. Si L = 1 no se puede concluir.

Ejemplo 1 ∞

Determine si la serie

∑ n =1

2n converge o diverge. n!

SOLUCIÓN: En este caso a n =

( )

2n 2 n +1 2 2n = entonces a n +1 = n! (n + 1)! (n + 1)n!

Luego

( )

a lím n+1 = lím n→∞ a n n →∞

2 2n (n + 1)n! n

2 n!

2 =0 n →∞ n + 1

= lím

El resultado es un número menor que 1, por tanto la serie es convergente.

Ejemplo 2 ∞

Determine si la serie

∑ n =1

3n n 30

converge o diverge.

SOLUCIÓN: En este caso a n =

3n n

30

entonces a n+1 =

3 n+1

(n + 1)

30

=

( )

3 3n

(n + 1)30

Ahora

115

Cap. 6 Series

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( )

3 3n

a n+1 (n + 1)30 = lím 3n 30 = 3 lím ⎛ n ⎞ = lím ⎟ ⎜ n →∞ a n n →∞ n→∞ (n + 1)30 n →∞ ⎝ n + 1 ⎠ 3n

30

=3

lím

n 30

El resultado es un número mayor que, por tanto la serie es divergente.

Ejemplo 3 ∞

∑

Determine si la serie

n =1

n! nn

converge o diverge.

SOLUCIÓN:

En este caso a n =

n! n

n

(n + 1)! = (n + 1)n! = n! (n + 1)n+1 (n + 1)(n + 1)n (n + 1)n

entonces a n+1 =

Ahora n!

a n +1 (n + 1) = lím n! → ∞ n an nn

n

lím

n →∞

⎛ n ⎜ ⎛ n ⎞ = lím ⎜ ⎟ = lím ⎜ n 1 n →∞ ⎝ n + 1 ⎠ n →∞ ⎜ n ⎜ + ⎝n n n

n

⎞ ⎟ 1 1 ⎟ = lím = n n → ∞ ⎟ e ⎛ 1⎞ ⎟ ⎜1 + ⎟ ⎠ ⎝ n⎠

El resultado es un número menor que 1, por tanto la serie es convergente.

Ejercicios propuestos 6.3 Determine la convergencia o divergencia de las series: +∞

a)

∑( n =1

+∞

d)

∑ n =1 +∞

h)

∑ n =1

116

+∞

1

n + 1)

2

b)

∑ n =1

+∞

1 n +1 2

c)

n =1

+∞

⎛ π ⎞ cos⎜ ⎟ ⎝ n + 1⎠

e)

nn n!

i)

∑ n =1 +∞

∑ n =1

∑ +∞

n n +1

(n + 1)2 (n + 2)!

f)

∑ n =1 +∞

j)

∑ n =1

1 + senn n2 20 n n!

n 2 n! (n + 3)!

Cap. 6 Series

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6. 3. SERIES ALTERNANTES Ahora se estudiará series que presenten sus términos con signos ∞

∑ (− 1)

alternados, es decir series de la forma

n +1

an o también

n =1

∞

∑ (− 1) a n

n

n =1

TEOREMA DE CONVERGENCIA PARA LAS SERIES ALTERNANTES

an = 0 Una serie alternante con a n ≥ a n+1 > 0 . Si lím n →∞

entonces la serie converge. Ejemplo 1 ∞

Sea la serie

∑ (−1)

n +1

n =1

1 1 1 1 = 1 − + − + L Determine si es convergente o n 2 3 4

divergente. SOLUCIÓN. Primero, veamos si los términos, en valor absoluto, son no crecientes. Comparamos a n =

1 1 con a n+1 = . Se observa que: n n +1 1 1 < n +1 n

los términos son decrecientes. Segundo, veamos si lím a n = 0 n →∞

1 =0 n →∞ n

Se observa que: lím

Por tanto la serie armónica alternante es convergente.

Ejemplo 2 ∞

Sea la serie

∑ (− 1)

n +1

1 2n

n =1

Determine si es convergente o divergente.

SOLUCIÓN. Primero. En este caso a n = Se observa que

1

( )

22

n

<

1 2n

1 2n

y a n+1 =

1 2 n +1

los términos son decrecientes.

117

Cap. 6 Series

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Segundo. lím

1

n →∞

=0

2n

Por tanto la serie es convergente.

A continuación analicemos el teorema TEOREMA

Si

∑a

n

converge, entonces

∑a

n

también converge.

Esto quiere decir que si la serie de términos positivos converge entonces la serie alternante también converge, mientras que si la serie alternante converge no necesariamente la serie de términos positivos converge. 6.3.1 CONVERGENCIA ABSOLUTA. DEFINICIÓN.

Una serie converge

∑a

converge absolutamente si

n

∑a

n

Ejemplo ∞

La serie

∑

(− 1)n +1

n =1

∞

1

es absolutamente convergente, debido a que

2n

∑ 21

n

es

n =1

convergente

DEFINICIÓN.

Una serie

∑a

n

∑a

es condicionalmente convergente si

n

converge y

∑a

n

diverge.

Ejemplo ∞

La serie

∑ (−1) n =1

n +1

1 n

∞

es condicionalmente convergente, debido a que

divergente, mientras que ella es convergente.

118

∑ 1n n =1

es

Cap. 6 Series

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Las series de términos positivos convergentes son absolutamente convergentes Los criterios que mencionaremos a continuación ayudan a concluir rápidamente en situaciones cuando el término general de la serie presenta formas especiales. 6.3.2 CRITERIO DEL COCIENTE ABSOLUTO.

Sea

∑a

que lím n →∞

n

una serie de términos no nulos y suponga

an+1 = L. an

Si L < 1 la serie converge absolutamente. Si L > 1 la serie diverge. Si

L = 1 no se concluye. Ejemplo ∞

Muestre que la serie

∑

(− 1)n+1 3

n

n!

n =1

es absolutamente convergente.

SOLUCIÓN: Aplicando el criterio del cociente tenemos:

lím

n→∞

a n+1 an

= lím

n→∞

3 n+1 (n + 1)! 3n n!

⎛ 3 n 3 ⎞⎛ n! ⎞ ⎟⎜ ⎟ = lím ⎛⎜ 3 ⎞⎟ = 0 = lím ⎜⎜ n→∞ (n + 1)n! ⎟⎝ 3 n ⎠ n→∞⎝ n + 1 ⎠ ⎝ ⎠

Como el resultado es un número menor que 1 por tanto la serie es absolutamente convergente.

6.3.3 CRITERIO DE LA RAÍZ.

Sea

∑a

n

n a una serie infinita y suponga que lím = L. n n →∞

Si L < 1 la serie converge absolutamente. Si L > 1 o L = ∞ la serie diverge. Si L = 1 no se concluye.

119

Cap. 6 Series

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Ejemplo 1 ∞

Analice la serie

∑

(− 1)n

n =1

3 2 n +1

.

n 2n

SOLUCIÓN: Debido a la forma de la serie, se aplica el criterio de la raíz.

lím

n

n →∞

a n = lím

n

3 2 n +1 n 2n

n →∞

= lím

n →∞

3

2 n +1 n

2n nn

2+

= lím

n →∞

3

1 n

n2

=0

Como el resultado es un número menor que 1 por tanto la serie es absolutamente convergente.

Ejemplo 2 ∞

Analice la serie

∑ [ln(1 1+ n)]

n

.

n =1

Debido a la forma de la serie, se aplica el criterio de la raíz. lím

n

n→∞

a n = lím

n →∞

n

1

[ln(1 + n )]

n

= lím

n →∞

1

[ln(1 + n )]

n n

= lím

n →∞

1 1 = =0 [ln(1 + n )] ∞

Como el resultado es un número menor que 1 por tanto la serie es absolutamente convergente.

Ejercicios Propuestos 6.4 Determine la convergencia absoluta, convergencia condicional o divergencia de las siguientes series numérica: +∞

a.

∑ (− 1)

n −1

n =1

+∞

c.

∑

(− 1)

n

n =1

+∞

1

(n + 1)

3

b. 4

n =1 +∞

5 2 n +1 (2n + 1)!

d.

∑ (− 1) ln 1n n

n =1

120

∑ n =1

+∞

e.

∑ (− 1)

f.

n

n! n 3n

(− 1)n −1 2 n n

1 1 1 1 + + + +L 1• 2 3 • 4 5 • 6 7 • 8

Cap. 6 Series

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6. 4. SERIES DE POTENCIAS Ahora estudiaremos series cuyos términos ya no son numéricos. 6.4.1 DEFINICIÓN.

Una serie de potencia en “ x ” tiene la forma: ∞

∑a x

n

n

n =0

= a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + L

Una serie de potencia en “ x − x0 ” tiene la forma: ∞

∑ a (x − x )

n

n

0

= a0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) + a3 ( x − x0 ) + L 2

3

n =0

Algo importante aquí es determinar los valores de “ x ”, para los cuales la serie numérica correspondiente sea convergente. 6.4.2 INTERVALO DE CONVERGENCIA. ∞

Empleando el criterio del cociente absoluto para que la serie

∑a x

n

n

n =0

sea convergente tenemos:

a n +1 x n +1 <1 lim n →∞ an x n a n +1 x n x <1 lim n →∞ an x n ⎡a ⎤ lim ⎢ n +1 x ⎥ < 1 n →∞ ⎣ an ⎦ x lim n →∞ Ahora, suponga que lim n →∞

a n +1 <1 an

a n +1 = L entonces tenemos: an

121

Cap. 6 Series

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x L <1 x< −

1 L

1 1 <x< L L

1 se lo llama Radio de Convergencia. L 1 1 Si L = 0 entonces R = = = ∞ (el radio de convergencia es infinito), L 0 A R=

es decir la serie converge para todo número real. Si L = ∞ entonces R =

1 = 0 (el radio de convergencia es cero) ∞

Ejemplo 1 ∞

Determine el intervalo de convergencia para

∑ ax

n

.

n =0

SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente para que sea convergente: lim

a n+1 x n+1 an x n

n →∞

lim

n →∞

ax n+1 ax n

<1

<1

lim x < 1

n →∞

x <1 −1 < x < 1

Se requiere además determinar la convergencia o divergencia en los puntos extremos. En este caso: ∞

Si x = −1 , tenemos

∑ a(− 1)

n

una serie no convergente ¿porqué?

n =0

∞

Si x = 1 , tenemos

∑ a(1)

n

una serie no convergente. ¿porqué?

n =0

Finalmente el intervalo de convergencia para la serie dada es: −1 < x < 1 Observe que se la puede observar como una serie geométrica de razón x .

122

Cap. 6 Series

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Ejemplo 2 ∞

Determine el intervalo de convergencia para

∑ (n + 1)2 xn

n

.

n =0

SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente

lim

a n+1 x n+1 an x n

n→∞

lim

n→∞

<1

x n+1

•

(n + 2)2 n+1

(n + 1)2 n xn

<1

n +1 <1 2(n + 2 )

lim x

n→∞

1 <1 2 −2< x < 2 x

En los puntos extremos: ∞

Si

∑

x = −2 , tenemos

n =0

(− 2)n (n + 1)2 n

∞

=

2 n (− 1)n

∞

∑ (n + 1)2 = ∑ (− 1) (n 1+ 1) n

n

n =0

una serie

n =0

alternante convergente ¿Por qué?. ∞

Si x = 2 , tenemos

∑ n =0

∞

(2)n (n + 1)2 n

=

∑ (n 1+ 1) una serie divergente ¿Porqué? n =0

Finalmente, el intervalo de convergencia sería −2 ≤ x < 2

Ejemplo 3 ∞

Determine el intervalo de convergencia para

∑ n =0

xn . n!

SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente lim

a n+1 x n+1

n →∞

an x n

<1

x n+1 n! • <1 n→∞ (n + 1)! x n lim

n!

<1

n →∞

lim x

(n + 1)n!

x lim

1 <1 n +1

n →∞

x0 <1

123

Cap. 6 Series

MOISES VILLENA Entonces, la serie es convergente para x ∈ R (para todo x )

Ejemplo 4 ∞

Determine el intervalo de convergencia para

∑ n! x

n

.

n =0

SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente lim

a n+1 x n+1 an x n

n →∞

<1

(n + 1)! x n+1 < 1 n →∞ (n )! x n (n + 1)n! < 1 lim x lim

n →∞

n!

x lim n + 1 < 1 n →∞

x∞ <1 ∞

Veamos para x = 0 ,

∑ n! 0

n

= 0 , tenemos una serie convergente.

n =0

Finalmente la serie dado converge sólo para x = 0 .

Ejemplo 5 ∞

Determine el intervalo de convergencia para

∑ n (x −1) n =0

SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente lim

n →∞

a n +1 x n +1 an x n

<1

(n + 1)(x − 1)n +1 < 1 n →∞ n(x − 1)n (n + 1) < 1 lim x − 1 lim

n →∞

n

x − 1 lim

n →∞

n +1 <1 n

x −1 < 1 −1 < x −1 < 1 0< x<2

124

n

.

Cap. 6 Series

MOISES VILLENA ∞

Ahora, en x = 0 ,

∑ n (0 −1) tenemos una serie no convergente. n

n =0

∞

En x = 2 ,

∞

∑ n (2 −1) = ∑ n (1) n

n =0

n

, una serie no convergente.

n =0

Por tanto la serie converge para x ∈ (0,2)

Ejercicios propuestos 6.5 Determine el intervalo de convergencia para: +∞

a)

∑

(1)n−1

n =1

+∞

x 2n −1 (2n − 1)!

b)

∑ n =1

(x − 1)n n! n

+∞

c)

∑ n =1

+∞

n! x n

d)

nn

∑ n =2

xn ln(n )

+∞

e)

∑ n =∞

⎛x ⎞ ⎜ − 3⎟ ⎝2 ⎠ n(ln (n ))

6.4.3 SERIE DE TAYLOR Una serie de potencia particular es la serie de Taylor. Suponga que: ∞

f ( x) =

∑ a (x − x )

n

n

0

= a0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) + a3 ( x − x0 ) + L 2

3

n=0

Los coeficientes pueden ser determinados en términos de la función f Evaluando en x = x0 f ( x0 ) = a 0 + a1 [x0 − x0 ] + a 2 [x0 − x0 ]2 + a3 [x0 − x0 ]3 + L + a n [x0 − x0 ]n Obtenemos: a 0 = f ( x0 ) Para encontrar el segundo coeficiente, derivamos y evaluamos en x = x0 f ´(x) = a1 + 2a 2 [x − x0 ] + 3a3 [x − x0 ]2 + L + na n [x − x0 ]n −1

f ´(x0 ) = a1 + 2a 2 [x0 − x0 ] + 3a3 [x0 − x0 ]2 + L + na n [x0 − x0 ]n−1 Entonces: a1 = f ´(x0 ) Obteniendo la segunda derivada y evaluando en x = x0

125

Cap. 6 Series

MOISES VILLENA

f ´´(x) = 2a 2 + (3)(2)a3 [x − x0 ] + L + (n )(n − 1)a n [x − x0 ]n −2

f ´´(x0 ) = 2a 2 + (3)(2 )a3 [x0 − x0 ] + L + (n )(n − 1)a n [x0 − x0 ]

n−2

f ´´(x0 ) = 2a 2 De la última expresión, se tiene a 2 =

f ´´(x0 ) 2

Ahora, obteniendo la tercera derivada y evaluando en x = x0 f ´´´(x) = (3)(2)a3 + L + (n )(n − 1)(n − 2 )a n [x − x0 ]n −3 f ´´´(x0 ) = (3)(2)a3 + L + (n )(n − 1)(n − 2 )a n [x0 − x0 ]

n −3

f ´´´(x0 ) = (3)(2)a3

De la última expresión, se tiene a3 =

f ´´´(x0 ) 3!

Por lo tanto:

f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )[x − x0 ] + ∞

f ( x) =

∑

´´´ f ´´ ( x0 ) [x − x0 ]2 + f ( x0 ) [x − x0 ]3 + L 2! 3!

f n ( x0 ) [x − x0 ]n n!

n =0

Si x0 = 0 se llama Serie de Maclaurin, es decir: ∞

f ( x) =

∑ n =0

′′ ′′′ f n (0) n [x] = f (0) + f ′(0) x + f (0) x 2 + f (0) x 3 + L 2 6 n!

Ejemplo 1 Hallar la serie de Taylor para f ( x) = e x , alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN:

f ( x) = e x Obtenemos primero

f ′( x) = e

x

f ′′( x) = e x f ′′′( x) = e x

⇒

f ( 0) = 1 f ′(0) = 1 f ′′(0) = 1 f ′′′(0) = 1

Luego, reemplazando en: f ( x) = f (0) + f ′(0) x +

Resulta e = 1 + x + x

126

1 2 1 3 1 4 x + x + x +L = 2 3! 4!

f ′′(0) 2 f ′′′(0) 3 x + x +L 2 6 ∞

∑ n =0

xn n!

Cap. 6 Series

MOISES VILLENA ¡DEDUZCA SU INTERVALO DE CONVERGENCIA!

Observe que podemos tener una buena aproximación de e 0.1 utilizando la serie:

e 0.1 ≈ 1 + 0.1 +

1 1 (0.1) 2 + (0.1) 3 2 6

e 0.1 ≈ 1.10517

Ejemplo 2 Hallar la serie de Taylor para f ( x) = e − x alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN: Empleando la serie anteriormente encontrada: ∞

ex =

∑ n =0

xn n!

Sería cuestión de reemplazar − x por x , es decir: ∞

e

−x

=

∑ n =0

e −x

(− x )n n!

∞

=

∑

(− 1)n

n =0

1 1 1 xn =1 + (− x) + (− x) 2 + (− x) 3 + (− x) 4 + L 4! 3! 2 n!

1 1 1 = 1− x + x 2 − x3 + x4 +L 2 3! 4!

Ejemplo 3 2

Hallar la serie de Taylor para f ( x) = e x alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN: Ahora, es cuestión de reemplazar x 2 por x , es decir: ∞

2

ex =

∑ n=0

ex

2

(x )

2 n

n!

∞

=

∑ n =0

x 2n 1 1 1 = 1+ x 2 + (x 2 ) 2 + (x 2 )3 + (x 2 ) 4 +L n! 4! 3! 2

1 1 1 = 1+ x 2 + x 4 + x6 + x8 +L 2 3! 4!

127

Cap. 6 Series

MOISES VILLENA

Ejemplo 4 Hallar la serie de Taylor para f ( x) = sen x alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN:

f ( x) = sen x f ′( x) = cos x f ′′( x) = − sen x Obtenemos primero f ′′′( x) = − cos x /

f

IV

f

V

⇒

( x) = sen x

( x) = cos x

Luego, reemplazando en: f ( x) = f (0) + f ′(0) x +

f (0) = 0 f ′(0) = 1 f ′′(0) = 0 f ′′′(0) = −1 f

IV

f

V

(0) = 0

(0) = 1

f ′′(0) 2 f ′′′(0) 3 x + x +L 2 6

Se obtiene: senx = 0 + x + 0 −

1 3 1 x + 0 + x5 + L 3! 5! ∞

1 1 1 senx = x − x3 + x5 − x 7 + L = 3! 5! 7!

∑ n =0

(− 1)n x 2n +1 (2n + 1)!

¡DEDUZCA SU INTERVALO DE CONVERGENCIA!

Ejemplo 5 Hallar la serie de Taylor para f ( x) = cos x alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN:

f ( x) = cos x f ′( x ) = − sen x

f ( 0) = 1 f ′(0) = 0

f/ ′′′( x ) = sen x

f ′′(0) = −1 f ′′′(0) = 0

f IV ( x) = cos x

f IV (0) = 1

Obtenemos primero f ′′( x ) = − cos x

⇒

Luego, reemplazando en: f ( x) = f (0) + f ′(0) x +

f ′′(0) 2 f ′′′(0) 3 x + x +L 2 6

Se obtiene:

cos x = 1 + 0 x + cos x = 1 −

(−1) 2 0 3 1 4 x + x + x +L 2! 3! 4!

1 2 1 4 1 6 x + x − x +L = 2 4! 6!

¡DEDUZCA SU INTERVALO DE CONVERGENCIA!

128

∞

∑ n=0

(− 1)n x 2n (2n )!

Cap. 6 Series

MOISES VILLENA

Ejemplo 6 Hallar la serie de de Taylor para f ( x) = e ix alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN: Sería cuestión de reemplazar ix por x , en la serie de f ( x) = e es decir: x

∞

eix =

(ix )n

∑

n!

n =0

∞

=

∑ (i)n!x

n n

= 1 + (ix) +

n =0

1 1 1 1 (ix) 2 + (ix)3 + (ix) 4 + (ix )5 + L 2 3! 4! 5!

1 1 1 1 = 1 + ix + i 2 x 2 + i 3 x 3 + i 4 x 4 + i 5 x 5 + L 2 3! 4! 5! 1 1 1 1 = 1 + ix − x 2 − ix 3 + x 4 + ix 5 + L 2 3! 4! 5! 1 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜1 − x 2 + x 4 + L ⎟ + i ⎜ x − x 3 + x 5 + L ⎟ 4! 3! 5! ⎝14244 ⎠ ⎝ 424444 3 1444 424444 3⎠ cos x

senx

i = −1 2

Recuerde que:

i 3 = i 2 i = (− 1)i = −i i 4 = i 2 i 2 = (− 1)(− 1) = 1

Por lo tanto, se concluye que e = cos x + i sen Esta última expresión es la llamada IDENTIDAD DE EULER ix

x

6.4.4 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS. Una serie de potencia se puede derivar o integrar término a término de tal manera que se tendrá otra serie de potencia con el mismo radio de convergencia, aunque no necesariamente el mismo intervalo de convergencia. Ejemplo 1 Obtener la serie de f ( x) = cos x a partir de la serie del seno. SOLUCIÓN: La serie del seno es: ∞

senx =

∑ n =0

(− 1)n x 2n +1 (2n + 1)!

Derivándola se tiene:

⎡ ∞ (− 1)n x 2 n +1 ⎤ ⎥= cos x = D x (senx ) = D x ⎢ ⎢ ( 2n + 1)! ⎥ ⎣ n =0 ⎦

∑

∞

∑ n =0

(− 1)n (2n + 1)x 2n+1−1 (2n + 1)(2n!)

∞

=

∑ n =0

(− 1)n x 2n (2n )!

129

Cap. 6 Series

MOISES VILLENA

Ejemplo 2. a) Encuentre una serie de potencia para f ( x) =

1 1+ x

La expresión anterior puede ser observada como la suma de un serie geométrica infinita con primer término igual a 1 y razón r = − x entonces: ∞

1 f ( x) = = 1+ x

∞

∑(

− x) = n

n=0

∑(

− 1)n x n

n =0

b) Emplee la serie anterior para obtener la serie de f ( x ) = ln (x + 1) Integrando f ( x) = ln(x + 1) =

∫

1 dx = 1+ x

∞ ⎡ ∞ ⎤ n +1 ⎢ n n⎥ x ( ) (− 1)n x − 1 = ⎢ ⎥ n +1 ⎢ ⎥ ⎣ n=0 ⎦ n =0

∫∑

∑

c) Determine su intervalo de convergencia. Aplicando el criterio lim

n→∞

xn+ 2 n + 1 <1 n + 2 x n +1

lim x

n→∞

n +1 <1 n+2

x <1 −1 < x < 1 ∞

Si x = −1 , tenemos

∑

(− 1)n (− 1)

n +1

n +1

n=0

∞

∑

(− 1)2n +1

− 1)n

1 una serie alternante convergente. n +1

=

n =0

n +1

= −1−

1 1 1 − − − L una serie 2 3 4

divergente. ¿por qué? ∞

Si x = 1 tenemos

∑ n =0

(− 1)n (1)

n +1

n +1

∞

∑(

=

n=0

Por tanto su intervalo de convergencia es x ∈ (−1,1]

Ejercicios Propuestos. 6.6 1. a) Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para f ( x) = tan( x) alrededor de x 0 = 0 . b) Emplee el resultado obtenido en a) y la diferenciación término a término con la finalidad de encontrar los primeros tres términos diferentes de cero de la serie de Taylor para g ( x) = sec 2 ( x) . c) Utilice el resultado obtenido en a) y la integración término a término para encontrar los primeros tres términos que no sean cero de la serie de Taylor para h( x ) = ln(cos( x)) .

2. a) Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para f ( x) = ln x alrededor de x0 = 1 . b) Determine su intervalo de convergencia.

3. Encuentre el desarrollo en series de potencias de x y analice su convergencia:

130

Cap. 6 Series

MOISES VILLENA a.

f ( x) = ln( x + 1)

b.

f ( x) =

∫e

− x2

∫

f ( x) =

g.

f ( x) =

h.

f ( x) = x 3 cos x 2

i.

f ( x) =

dx

c.

f ( x) = x 2 ln( x + 1)

d.

f ( x) = arctgx

e.

f ( x) = xarctgx

senx dx x

f.

x 1+ x2

e x + e−x 2

4. Calcular usando series de potencias: 1

1

∫

a.

e

−x 2

dx

d.

0

π

b.

c.

∫ e senxdx x

∫

∫ sen

x dx

0 1 2

2

0 1

2

e.

∫ arctgx dx 2

0 1

⎛ cosh x − 1 ⎞ ⎟ |dx ⎜ x ⎠ ⎝

f.

0

∫ xsenh

x dx

0

5. Considere la función f ( x) = arctan( x) a. Determine una representación para f en series de potencias de x y especifique su intervalo de convergencia. b. A partir de la serie obtenida aproxime el valor de π . Utilice los cincos primeros términos de la serie.

6. Considere la función f ( x) = xe − x

2

a. Determine una representación para f en series de potencia de x . b. Diferencie término a término la serie ontenida y a partir de este resultado demuestre que +∞

∑ (−1) n =1

n +1

2n + 1 2 n n!

=1.

⎛ p⎞ ⎛ p⎞ ⎛ p⎞ 7. Utilice la Serie Binomial (1 + x ) p = 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ x + ⎜⎜ ⎟⎟ x 2 + ⎜⎜ ⎟⎟ x 3 + L 1 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝3 ⎠ para calcular la serie de

1+ x4

131