Series

S. Jaubert - CFAI-CENTRE

Séries 1/ Séries à termes réels ou complexes. Soit u n  n∈N une suite à termes réels ou complexes. Etudier la série de terme général u n , c’est étudier la suite des sommes partielles : n

Sn 

∑ uk k0

Si la suite S n  converge et a pour limite S, on dit que la série converge (ou est convergente) et a pour somme S. Sinon on dit que la série diverge. On notera la série u 0  u 1    u n  , ou 

∑ uk k0

lorsqu’elle converge le même symbole désignera aussi la somme de la série. Exemple : 1) Si u n  1 pour tout n, S n  n  1, la série diverge. 2) Si u n  −1 n , S 2n  1 et S 2n1  0, la série diverge. Condition nécessaire de convergence : Théorème : Si la série de terme général u n converge, alors u n → 0. Preuve : S n et S n−1 tendent tous deux vers S, donc u n  S n − S n−1 tend vers 0. Cette condition nécessaire de convergence u n → 0 est, nous le verrons, loin d’être suffisante. Série Géométrique. Soit u n  q n q ∈ C. Si |q| ≥ 1, il y a divergence ; si |q|  1, n1 1 1 tend vers 1−q : la série converge et a donc pour somme 1−q . S n  1−q 1−q 

La série

∑ q n est la série géométrique, de raison q k0



Application du critère de Cauchy. Théorème : Pour que la série ∑ k0 q n converge, il faut et il suffit qu’elle satisfasse au critère de Cauchy, c’est-à-dire que, pour tout   0, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N et tout p ≥ 0, on ait |S np − S n |  |u np  u np−1    u n1 | ≤ . (on a appliqué le critère de Cauchy à la suite

S n  

Exemple : La série ∑ n1 1n diverge, comme cela a été établi dans le chapitre sur les 1 1 1 n suites : |S 2n − S n |  2n  2n−2    n1 ≥ 2n  12 ; cette série est dite harmonique, 2 1 parceque trois termes consécutifs satisfont à la relation : u n1  u1n  u n2 . La condition nécessaire de convergence u n → 0 montre dans cette exemple qu’elle n’est pas suffisante. 

Convergence absolue. La série ∑ n0 u n est dite absolument convergente si la série  ∑ n0 |u n | converge. comme on a |u n1  u n2    u np | ≤ |u n1 |  |u n2 |    |u np | le critère de Cauchy montre que : Théorème : Toute série absolument convergenten est convergente. , n ≥ 0. La réciproque n’est pas vraie. Exemple : u n  −1 n1 2/ Séries à termes réels positifs ou nuls. 

Soit ∑ n0 u n , chaque u n étant ≥ 0. La suite (S n  ∑ p0 u p  est croissante : donc ou bien la suite S n  est majorée et a une limite finie, ou bien S n → . Une série à termes ≥ 0 ne peut donc diverger que si S n → . n





Lemme fondamental de comparaison : Soient deux séries ∑ n0 u n , ∑ n0 v n , à termes  ≥ 0, telles que, pour tout n, u n ≤ v n . Si la série ∑ n0 v n converge, il en est de même de la    série ∑ n0 u n . Et réciproquement si la série ∑ n0 u n diverge, la série ∑ n0 v n diverge. Définition : On dit que deux suites u n  et v n  sont équivalentes (sous-entendu pour n → , si lim n→ uv nn  1 et on note u n  v n . Corrolaire : Si u n  v n , les deux séries sont de même nature. 

Exemple très important : Série de Riemann. Soit   0. La série ∑ n1 u n , avec u n  n1 − 1  , converge et à pour somme 1. Or n1

un  

1 n  1

1 1 n



−1



 n 1

,

quand n → 

1 Donc la série ∑ n1 n 1 converge. Posant 1    , on voit que la série de Riemann  1 ∑ n1 n  converge si   0 ; on a vu qu’elle diverge si   1 ; elle diverge a fortiori si   1, puisqu’alors n1 ≥ 1n .

Formation de critères de convergence. On obtient des critères de convergence en  utilisant une série ∑ n0 v n dont la nature est connue, et en appliquant le lemme fondamental de comparaison. Règle de Cauchy. On utilise comme série de comparaison la série géométrique.  Soit une série ∑ n0 u n à termes ≥ 0. s’il existe k ∈ 0, 1 tel que, à partir d’un certain rang, n u n ≤ k, la série converge ; si, pour une infinité de n, on a n u n ≥ 1, la série diverge.  Dans le premier cas on a en effet u n ≤ k n et la série ∑ n0 k n converge ; dans le deuxième c’est évident. On peut faire intervenir l  n→ lim sup n u n - Si l  1, la série converge k ∈ l, 1 - Si l  1, la série diverge - Si l  1, il n’y a pas de conclusion en général Exemple : si u n 

1 n

,

n

u n → 1 : Or il y a convergence si   1, divergence sinon. 

Règle n  u n . La série de comparaison est la série de Riemann, ∑ n0 u n est toujours une série à termes ≥ 0. S’il existe A  0 et   1 tels que, à partir d’un certain rang, u n ≤ nA ou n  u n ≤ A, la série converge ; s’il existe A  0 tel que, à partir d’un certain rang, u n ≥ An , la série diverge. Critères déduits de l’étude de la suite  uun1 Soient u n  et v n  deux suites de n . nombres  0 vérifiant pour n assez grand, l’inégalité u n1 ≤ v n1 un vn 



- Si la série ∑ n0 v n converge, la série ∑ n0 u n converge aussi.   - Si la série ∑ n0 u n diverge, la série ∑ n0 v n diverge aussi. Preuve : Supposons que, pour n ≥ p, on ait uun1 ≤ vvn1 . En multipliant membre à n n membre les inégalités correspondant aux valeurs p, p  1, …, p  k − 1 k ≥ 1 on trouve : u pk v pk up u p ≤ v p  u n ≤ v p v n n  p en posant k 

up vp

, on a donc u n ≤ kv n n  p

d’où le résultat. On en déduit :

Règle de d’Alembert. On utilise comme série de comparaison la série géométrique. Si les u n sont  0, et s’il existe k ∈ 0, 1 tel que à partir d’un certain rang uun1 ≤ k, la n u n1 série converge ; si, à partir d’un certain rang, u n ≥ 1, la série diverge. On peut aussi énoncer :  1 la série converge − Si n→ lim sup uun1 n − Si n→ lim inf uun1  1 la série diverge n → l, finie ou non : Dans le cas particulier où uun1 n - Si l  1, convergence. - Si l  1, divergence. - Si l  1, pas de conclusion en générale (comme le montre l’exemple de la série de Riemann) Règle de Raabe et Duhamel. Si on pose v n 

1 n

, on a

v n1  1  1  −  1 −   O 1  vn n n n2 (on utilise ici le développement de 1  u − au voisinage de u  0 On en déduit facilement : Proposition : Soit u n  une suite de nombres positifs satisfaisant à : u n1  1 −   o 1  un n n - Si   1 la série ∑ u n est convergente. - Si   1 la série ∑ u n est divergente. preuve : Soit   0 quelconque ; posons v n 

1 n

  Cste

, on a :

v n1 − u n1   −   o 1  vn un n n − uun1 est du signe de  − . si  ≠ , on en déduit que pour n assez grand, vvn1 n n - Si   1, nous pouvons choisir  tel que     1 : la série ∑ v n est alors convergente, et l’inégalité u n1 v n1 u n ≤ v n (valable pour n assez grand) montre que ∑ u n converge. - Si   1, nous pouvons choisir  tel que     1 : la série ∑ v n est alors divergente, et l’inégalité u n1 v n1 u n ≥ v n (valable pour n assez grand) montre que ∑ u n diverge. 

3/ Comparaison d’une série à termes ≥ 0 et d’une intégrale.

Théorème : Soit f une fonction réelle ≥ 0, définie et décroissante sur 0; . La   série ∑ n0 fn et l’intégrale  fxdx sont de même nature (convergente ou divergente). 0 preuve : on a en effet, pour x ∈ n ; n  1 , fn  1 ≤ fx ≤ fn, donc fn  1 ≤

n1

n

fxdx ≤ fn

par addition, si m  n : fn  1  fn  2    fm ≤

m

 n fxdx ≤ fn    fm

prenons n  0, et m variable : si la série converge, le troisième membre est majoré, donc m aussi  fxdx, ce qui entraîne que l’intégral converge. Inversement si l’intégrale 0 converge, le deuxième membre est majoré donc le premier aussi, et la série converge.  Exemples : 1) Sur l’intervalle 1 ;  , la fonction x  fx  x1   0 ; on sait que l’intégrale   1 fxdx converge pour   1, diverge pour  ≤ 1. Il en est de même de la série de  Riemann ∑ n1 n1 .  2) l’intrégrale  xlndxx    0 converge pour   1, diverge pour  ≤ 1, puisque 2 1 xln x 



1−

x une primitive de est ln1− si  ≠ 1, lnln x si   1. La série ∑ n2 converge donc pour   1 et diverge pour  ≤ 1. 3) Plus généralement posons :

1 nln n 

ln 2 x  lnln x, ln 3 x  lnln 2 x, … ln 2 est définie pour ln x  0 ou x  1, et ln 2 x est  0 pour ln x  1 ou x  e ; ln 3 est définie pour ln 2 x  0 ou x  e, et ln 3 x est  0 pour ln 2 x  1, ou ln x  e, ou x  e e ; ainsi de suite. Soit p ≥ 2. Considérons, pour x assez grand pour que ln p x  0, la fonction : 1   0 x ln x  ln 2 x ln p−1 x  ln p x  une primitive est ln p x 1− si  ≠ 1 et ln p1 x si   1 1− on en conclut que la série de terme général : un 

1 n ln n ln 2 n ln p−1 nln p n 

n étant assez grand pour que ln p n  0

est convergente pour   1, divergente pour  ≤ 1. Les séries ainsi obtenues sont les séries de Bertrand. Remarque :

La fonction décroissante positive f a une limite l ≥ 0 quand x → . Pour que l’intégrale et la série convergent, il est nécessaire que l  0. Cela n’est pas suffisant (exemple fx  1x sur 1 ; . Mais sous la seule hypothèse l  0, on obtient des résultats intéressants. de l’inégalité vue plus haut : fn  1  fn  2    fm ≤

m

 n fxdx ≤ fn    fm − 1

m  n

il résulte : m

m

n

n

fn  fn  1    fm ≤ fn   fxdx  fn  fn  1  fn  2    fm −  fxdx ≤ fn et aussi m

m

 n fxdx  fm ≤ fn    fm − 1  fm  fm ≤ fn    fm − 1  fm −  n fxdx d’où m

fm ≤ fn  fn  1    fm −  fxdx ≤ fn n

Si l  0 quel que soit le choix de m  n, le deuxième membre tend vers 0 quand n → . Exemple : fx 

1 x

, m  2n, on voit que : 1 ≤ 1  1    1 −  2n dx ≤ 1 x n m n 2n n1 n 1 ≤ 1  1    1 − ln2 ≤ 1 n n 2n n1 2n

d’où 1  1    1 → ln 2 n n1 2n fixons n (par exemple n  1 et considérons la suite  m  définie par : m

 m  f1  f2    fm −  fxdx 1

f étant décroissante, on voit, même si l n’est pas égal à 0, que la suite  m  est décroissante : en effet  m1 −  m  fm  1 − 

m1 m

fxdx ≤ 0

comme d’autre part on a  m ≥ fm ≥ 0, la suite  m  converge. Prenant fx  trouve que

1 x

, on

1 1  1 n − ln n 2 a une limite quand n → . Cette limite est appelée constante d’Euler ; sa valeur est 0, 5772... ; on la note souvent .

4/ Séries à termes quelconques. On suppose ici que le terme général u n est réel quelconque, ou un nombre complexe.  On peut, comme on l’a vue au paragraphe1, étudier d’abord la série à termes ≥ 0 ∑ n0 |u n |. Par exemple s’il existe k ∈ 0, 1 tel que pour n assez grand , on ait n |u n | ≤ k la série  u n converge absolument ; si pour une infinité de n, n |u n | ≥ 1, la série diverge, son ∑ n0 terme général ne tendant pas vers 0. S’il existe A  0 et   1 tel que, pour n assez grand, |u n | ≤ nA , la série converge absolument. Voici maintenant des résultats concernant certains types particuliers de séries. Séries Alternées. une série alternée est une série dont les termes sont réels et  alternativement ≥ 0 et ≤ 0. On l’écrira, quitte à changer tous les signes, ∑ n0 −1 n−1 u n avec u n ≥ 0 pour tout n. Théorème : Une série alternée dont le terme général décroît en valeur absolue et tend vers 0 est convergente. Preuve : En effet S 2n  u 1 − u 2   u 3 − u 4     u 2n−1 − u 2n  croît ; S 2n1  u 1 − u 2 − u 3  −  − u 2n − u 2n1  décroît ; d’autre part S 2n1  S 2n  u 2n1 ≥ S 2n . On a donc S 2 ≤ S 2n ≤ S 2n1 ≤ S 1 La suite S 2n , croîssante et majorée, a une limite S ; comme S 2n1 − S 2n  u 2n1 , qui tend vers 0, la suite S 2n1  tend aussi vers S ; donc la série converge et a pour somme S. On voit de plus que S 2n ≤ S ≤ S 2n1 , donc si on pose 

Rn 

∑ un pn1

on a 0 ≤ R 2n ≤ u 2n1 et −u 2n2 ≤ R 2n1 ≤ 0 : le reste a, au sens large, le signe du premier terme négligé, et est, en valeur absolue, inférieur ou égal à ce terme.  Exemples :  1) La série harmonique alternée ∑ n1 

n−1

2) La série ∑ n1  −1n 

et ∑ n1

1 n



vers . Pourtant

1 n



−1 n−1 n

, la série ∑ n1 

 diverge, puisque ∑ n1 n−1

−1 n



1 n



n−1

−1 n

n−1

−1 n

−1 n n

convergent.

tend vers une limite finie

quand n tend vers . On a ainsi deux

séries à termes équivalents et de nature différente, mais les termes ne restent pas de même signe à partir d’un certain rang.



Règle d’Abel. Théorème : Soit ∑ n0 u n une série dont le terme général s’écrit u n   n v n  n ∈ C, v n ∈ C et satisfait aux hypothèses suivantes : il existe A tel que, pour  tout n ≥ 0 et tout p ≥ 0, on ait |v n  v n1    v np | ≤ A ; la série ∑ n0 | n −  n1 |  converge et lim n→  n  0. Alors la série ∑ n0 u n converge. Preuve : On applique le critère de Cauchy, et on évalue pour cela u n  u n1    u np   n v n     np v np Notons V n,p la somme v n  v n1    v np , et faisons apparaître les V n,p : u n  u n1    u np   n V n,0   n1 V n,1 − V n,0      np V n,p − V n,p−1  ou encore u n  u n1    u np   n −  n1 V n,0     np−1 −  np V n,p−1   np V n,p pour p  0, seul existe au second membre le dernier terme. Les hypothèses faites sur la suite v n  entraînent : |u n  u n1    u np | ≤ A| n −  n1 |    | np−1 −  np |  | np | Soit   0. Il existe N tel que, pour tout n ≥ N, on ait | n | ≤ , et que, pour tout n ≥ N et tout p ≥ 1, on ait | n −  n1 |    | np−1 −  np | ≤  Cela résulte des hypothèses sur la suite  n . Dans ces conditions on a, pour n ≥ N et p ≥ 0, |u n  u n1    u np | ≤ 2A donc la série converge. En faisant tendre p vers , on a une majoration du module du reste.  Remarques : 1) L’introduction dans u n  u n1    u np des sommes partielles V n,p est ce qu’on appelle la transformation d’Abel. 2) Si  n  est une suite de nombres ≥ 0, décroissante et tendant vers 0, les hypothèses relatives aux  n sont vérifiées ; de plus comme | n −  n1 |   n −  n1 , | np |   np , on a | n −  n1 |    | np−1 −  np |  | np |   n voici deux exemples de suites v n  ayant les propriétés voulues. a) v n  −1 n , en prenant des  n ≥ 0 et tendant vers 0 en décroissant, on retrouve le théorème relatif aux séries alternées. b) v n  e in  réel ≠ 2k on a alors v n  v n1    v np 

e in 1 − e ip1  1 − e i

et |v n  v n1    v np | ≤

2  |1 − e i |

1 sin 2 

par exemple la série 

∑

e in n

n1 

converge pour tout  non multiple de 2, donc aussi les séries ∑ n1  sinn ; la dernière converge en fait pour tout . ∑ n1 n

cosn n

et

3) Notons que les hypothèses faites dans le théorème d’Abel, comme dans le théorème des séries alternées, ne fournissent que des conditons suffisantes pour la convergence.

5/ Modification de l’ordre des termes. Séries partielles. Associativité. 

Soit une série ∑ n0 u n , à termes réels ou complexes. I étant une partie finie non vide quelconque de N, on pose S I  ∑ n∈I u n ; on notera toujours S n la somme partielle qui correspond à I  0, 1, , n. Séries à termes positifs ou nuls. On établit facilement les propriétés suivantes : 1) Pour que la série converge, il faut et il suffit que l’ensemble de toutes les sommes S I soit majoré dans R : en effet toute somme S I est majorée par S n pour n assez grand. 2) Si la série converge, sa somme S est la borne supérieure de l’ensemble des S I .  3) Considérons les séries obtenues à partir de ∑ n0 u n par modification de l’ordre des 

termes : ce sont les séries ∑ n0 v n avec v n  u fn , f étant une permutation de N ; toutes ces séries sont de même nature, et dans le cas de convergence, ont la même somme. Cela résulte de 1) et 2) 

Série absolument convergente. Soit maintenant ∑ n0 u n une série à termes réels ou complexes, absolument convergente, de somme S. Il est facile de ramener à celle de séries convergentes à termes ≥ 0. Si les u n sont réels, on pose vn  on a donc

|u n |  u n |u | − u n ; wn  n 2 2

0 ≤ v n ≤ u n , 0 ≤ w n ≤ |u n |, u n  v n − w n , |u n |  v n  w n 



Les séries à termes ≥ 0 ∑ n0 v n et ∑ n0 w n convergent ; si leurs sommes sont S ′ et S ′′  respectivement, on a S  S ′ − S ′′ ; on a aussi ∑ n0 |u n |  S ′  S ′′ Si les u n sont complexes, on écrira u n  a n  ib n a n et b n réels), puis un 

|b |  b n |b | − b n |a n |  a n |a | − a n − n i n −i n 2 2 2 2

Les séries de termes généraux |a n 2|a n , |a n 2|−a n , |b n 2|b n , |b n 2|−b n sont à termes ≥ 0 et   convergentes (en effet les ∑ n0 a n et ∑ n0 b n convergent absolument). Si leurs sommes sont respectivement S ′ , S ′′ , T ′ , T ′′ , on a : S  S ′ − S ′′  iT ′ − T ′′  

Il est clair, puisque la série ∑ n0 u n est absolument convergente, qu’il en est de même de toute série formée avec des u n . En résumé : Pour une série absolument convergente (et en particulier pour une série convergente à termes ≥ 0 on peut modifier comme on veut l’ordre des termes ; la convergence absolue subsiste et la somme n’est pas changée. Cette propriété ne subsiste pas pour les séries qui ne sont que semi-convergentes. Séries semi-convergentes. Considérons par exemple la série harmonique alternée . On a ∑  −1 n−1 n n0

1  1  1    1  1 1  1    1 u 1  u 3    u 2n−1  1  1    n 3 2n − 1 2 4 2n 2 2 donc la série des termes d’indice impair diverge ; de même pour la série des termes d’indice pair. Ceci se généralise comme suit. 

Séries semi-convergente à termes réels. ∑ n0 u n étant une telle série, soient n n S n  ∑ p0 u p ,  n  ∑ p0 |u p | ; notons y n la somme de u p ≥ 0 d’indice ≤ n et −z n la somme des u p  0 d’indice ≤ n. On a : 

S n  y n − z n ,  n  y n  z n et y n − z n → S 

∑ un n0

les suites y n  et z n  sont croissantes et tendent toutes les deux vers , car, si y n  par exemple avait une limite finie, il en serait de même de z n  puisque y n − z n → S, et la série  u n serait absolument convergente, ce que nous avons exclu. On a ainsi obtenu deux ∑ n0 séries formées avec des u n et qui divergent : la série des termes ≥ 0, et la série des termes  0 ; il ne peut être question de calculer S en répartissant les termes en ces deux séries. De plus par modification de l’ordre des termes, on peut obtenir une série convergente ayant une somme donnée V ; on peut également obtenir une série divergente.



Soit en effet un réel V. Formons une série ∑ n0 v n comme suit : on prend pour  v 0 , v 1 , … les u n ≥ 0, dans l’ordre où ils figurent dans ∑ n0 u n , en nombre juste suffisant  pour que la somme partielle correspondante de la série ∑ n0 v n soit ≥ V (c’est possible puisque y n →  ; on prend alors des u n  0, dans l’ordre où ils figurent dans la série   u n , jusqu’à ce que la somme partielle de la série ∑ n0 v n devienne  V, puis des ∑ n0  u n ≥ 0 jusqu’à ce qu’elle redevienne ≥ V et ainsi de suite. Comme ∑ n0 u n converge, le m terme général u n → 0 ; ∑ p0 v p − V est majoré pour m assez grand, par la valeur absolue  d’un terme de la série ∑ n0 u n dont l’indice tend vers  avec m.  Donc ∑ n0 v n converge et à pour somme V. 

De même on peut former une série ∑ n0 v n dont les sommes partielles tendent par exemple vers  : on prend les u n ≥ 0 jusqu’à dépasser 1, puis le premier u n  0, puis des u n ≥ 0 jusqu’à dépasser 2, puis le second u n  0, … etc. 

Exemple : La série ∑ n0 u n  1 − On a d’ailleurs

1 2



−1 n−1 n

  converge et a pour somme S.

1 − 1   − 1  1  1  1    1 − 2 1  1    1  2 2n 2 3 2n 2 4 2n ou S 2n  1  1  1    1 − 1  1  1   1 n 2 3 2n 2 3 comme 1  12  13    1n  ln n     n  constante d’Euler ;  n → 0, on voit que S  ln 2. Considérons la série formée en prenant, dans l’ordre ou ils apparaissent, un terme 0, deux termes 0, un terme 0, deux termes 0,... Groupons les termes par paquets de trois ; on obtient : 1 1 − 1 − 1      1 − − 1  2 4 2n − 1 4n − 2 4n (le n − ième nombre impair est en effet 2n − 1, le n − ième nombre pair 2n. Or 1 1 1 − − 1  − 1  1 1 − 1  2n − 1 4n − 2 4n 4n − 2 4n 2 2n − 1 2n donc 1 − − 1   1 1 − 1      1 − 1  1 − 1 − 1      1 4 2n − 1 4n − 2 4n 2 2 2n − 1 2n 2 qui tend vers

ln 2 2

.