Sequence

1

ลําดับ (Sequence) 1.1 ความหมายของลําดับ ลําดับ คือจํานวน ที่เรียงตอกันภายใตเงื่อนไข หรือกฎเกณฑ อยางใดอยางหนึ่ง เชน (1) 5 , 10 , 15 , 20 , 25 (2) 2 , 4 , 8 , 16 , 32 เมื่อพิจารณา ในรูปฟงกชันโดยให ลําดับที่ เปนโดเมน และจํานวนในแตละลําดับ เปนเรนจ จะได ลําดับในขอ (1) ลําดับที่ 1 2 3 4 5 (โดเมน) จํานวน 5 10 15 20 25 (เรนจ ) โดเมน 1 2 3 4 5 ลําดับในขอ (2) ลําดับที่ 1 2 จํานวน 2 4

เรนจ 5 10 15 20 25

3 4 5 8 16 32

. . . (โดเมน) . . . (เรนจ)

โดเมน

เรนจ

1 2 3 4 5

5 10 15 20 25

ในทางคณิตศาสตร มองวา ลําดับเปนฟงกชนั อยางหนึ่ง ใหนิยามของลําดับไวดังนี้

2 บทนิยาม ลําดับคือฟงกชันที่มีโดเมน เปนเซต { 1, 2, 3, . . . , n } หรือมีโดเมนเปนเซตของ จํานวนเต็มบวก เรียกลําดับที่มีโดเมนเปนเซต { 1, 2, 3, . . . , n } วา ลําดับจํากัด (finite sequence) และ เรียกลําดับที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวกวา ลําดับอนันต (infinite sequence) การเขียนลําดับ (ฟงกชัน) จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจเรียงกัน ถา a เปนลําดับ(ฟงกชัน) โดยมี a(1) = a1 , a(2) = a2 , a(3) = a3 , . . . , a(n) = an , . . . ถา a ลําดับจํากัด จะเขียนแทนดวย a1 , a2 , a3 , . . . , a(n) ถา a ลําดับอนันต จะเขียนแทนดวย a1 , a2 , a3 , . . . , a(n) , . . . เรียก a1 วา พจนที่ 1 ของลําดับ เรียก a2 วา พจนที่ 2 ของลําดับ เรียก a3 วา พจนที่ 3 ของลําดับ เรียก an วา พจนที่ n หรือพจนทวั่ ไปของลําดับ

1.2 รูปแบบของการกําหนดลําดับ เราสามารถเขียนแสดงลําดับไดหลายแบบดังตอไปนี้ 1.2.1 การกําหนดลําดับโดยเขียนแจงพจนทั้งหมด ใชในกรณีที่มี จํานวนพจนไมมากนัก เชน (1) 5 , 10 , 15 , 20 , 25 (2) 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 (3)

1,

1 2 3 4 , , , 2 3 4 5

(4) (0.5) , (0.5)2 , (0.5)3 , (0.5)4 1.2.2 การกําหนดลําดับโดยเขียนพจนเริ่มตน จํานวนหนึ่ง พรอมบอกสูตร พจนทั่วไปของลําดับ วิธีนี้ใชกบั ลําดับที่มีพจนจํานวนมากและลําดับอนันต เชน (1) 5 , 10 , 15 , . . . , 5n , . . . , 100 (2) 2 , 4 , 8 , 16 , . . . , 2n , . . . , 1,024 (3)

1,

1 2 n , ,…, ,… 2 3 n+1

(4) 2 , 6 , 12 , 20 , . . . , n(n+1) , . . .

3 ขอสังเกต การเขียนพจนที่ n เปนสิ่งที่มีความสําคัญเพราะถาไมเขียนพจนที่ n กํากับไวอาจเปนคน ละลําดับกัน เชน ลําดับ 2 , 6 , 12 , . . . อาจมีพจนทวั่ ไปเปน a n = n(n+1) หรือมีพจนทวั่ ไปเปน a n = n 3 − 5n 2 + 12n − 6 เพื่อความสะดวกเราสามารถเขียนลําดับโดยเขียนสูตรพจนที่ n เชน ลําดับใน ขอ (1) จะเขียนเปน a n = 5n (2) จะเขียนเปน a n = 2n (3) จะเขียนเปน a n = ............ (4) จะเขียนเปน a n = ............ 1.2.3 การกําหนดลําดับโดยการบอกเงื่อนไขหรือพจนเริ่มตนจํานวนหนึ่งพรอม ทั้งบอกสูตรหาพจนทั่วไป การกําหนดแบบนี้เรียกวากําหนดโดยใช ความสัมพันธเวียนเกิด ( recurrence relation ) เชน (1) กําหนดลําดับ a1 = 1 , a n = a n-1 + 2 เมื่อ n ≥ 2 จะได a1 = 1 a 2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3 a3 = a 2 + 2 = 3 + 2 = 5 a 4 = a3 + 2 = 5 + 2 = 7

(2) กําหนดลําดับ

a n = a n − 2 + a n −1 , a1 = 1, a 2 = 1

เมื่อ n ≥ 3 จะได

a1 = 1 a2 = 1 a 3 = a1 + a 2 = 1 + 1 = 2 a 4 = a 2 + a3 = 1 + 2 = 3 a 5 = a 3 + a 4 = ................ a 6 = ........... = ................

1.2.4 การกําหนดลําดับโดยการบอกเงื่อนไขหรือสมบัติของพจนทั่วไป ใชในกรณีไมทราบพจนทั่วไปและไมทราบความสัมพันธเวียนเกิดของลําดับ เชน (1) ลําดับ a n เมื่อ a n เปนจํานวนเฉพาะตัวที่ n จะไดวาลําดับคือ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , . . . (2) ลําดับ b n เมื่อ b n เปนทศนิยมตําแหนงที่ n ของ π เนื่องจาก π = 3.1415926535 . . . ดังนั้นลําดับคือ 1 , 4 , 1 , 5 , 9 , 2 , 6 , 5 , 3 , 5 . . .

4

แบบฝกหัด 1.1 1. จงหา 5 พจนแรกของลําดับ a n ที่กําหนดโดยใชความสัมพันธเวียนเกิดตอไปนี้ (1) a1 = 0 และ a n = 2a n −1 + 3 เมื่อ n ≥ 2 (2) a1 = 1 , a 2 = 1 และ a n = a n −2 + a n −1 เมื่อ n ≥ 3 (3) a1 = 1 , a 2 = 2 และ a n = a n −2 + 2a n −1 เมื่อ n ≥ 3 (4) a1 = 0 และ a n = 2(a n −1 − 2)2 เมื่อ n ≥ 2 2. จงหา 5 พจนแรกของลําดับที่มีพจนที่ n ตอไปนี้ (1) a n = 2n + 3 (2)

an =

2n-1 2n

(3)

an =

n (n + 1)(n + 2)

(4)

a n = 2 ⋅ 3n-1