Geometric Sequence

10

1.3 ลําดับเรขาคณิต (Geometric sequence) 1.3.1 ลําดับเรขาคณิต พิจารณาลําดับตอไปนี้ ผลตางของพจนที่อยูติดกัน

2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , . . . a2 4 = = 2 a1 2 a3 8 = = 2 a2 4 a4 16 = = 2 a3 8

จะพบวาผลหารของพจนที่อยูติดกัน มีคาคงตัวและเทากันเรียกลําดับนีว้ าลําดับเรขาคณิต บทนิยาม ลําดับเรขาคณิต คือลําดับซึ่งอัตราสวนของพจนที่ n +1 ตอพจนที่ n มีคาคงตัวที่เทากันสําหรับ จํานวนเต็มบวก n และเรียกคาคงตัวที่เปนอัตราสวนนี้วา อัตราสวนรวม (common ratio) ให r เปนอัตราสวนรวม จากบทนิยามดังนั้น เมื่อ n ≥ 1 จะได

a2 =

a n +1 = r an

หรือ a n +1

= an r

a1r

a 3 = a 2 r = (a1r)r

= a1r 2

a 4 = a 3r = (a1r 2 )r = a1r3 a 5 = a 2 r = (a1r 3 )r = a1r 4 a n = a1r n −1

ดังนั้นลําดับเรขาคณิต a n คือ พจนทวั่ ไป และ

a1 , a1r, a1r 2 , a1r 3 , … , a1r n −1 , . . .

an =

a1r n −1

a n +1 = r an

ตัวอยาง 1.12 ลําดับตอไปนี้เปนลําดับเรขาคณิตหรือไม (1) a n = 2n ⋅ 32n

วิธีทํา

(1) a n = 2n ⋅ 32n

(2) a n = (3n)2

11

เนื่องจาก จะได

a n = 2n ⋅ 32n a n +1 = 2n+1 ⋅ 32(n +1)

= 2n+1 ⋅ 32n + 2 2n +1 ⋅ 32n + 2 = 2n ⋅ 32n

a n +1 an

ดังนั้น

เปนคาคงตัว 2n ⋅ 32n เปนลําดับเรขาคณิต = 2 ⋅ 32 = 18

แสดงวา

an =

1.3.2 พจนกลางระหวาง 2 พจนในลําดับเรขาคณิต ให

a , G , b เปนลําดับเลขคณิต จะได G b = G a ดังนั้น G = ± ab

ในกรณีที่ c1 ,c2 ,c3 , . . . , ck เปนพจนกลาง k พจน ระหวาง a และ b จะได a , c1 ,c2 ,c3 , . . . , c k , b เปนลําดับเรขาคณิต มี a เปนพจนที่ 1 และมี b เปนพจนที่ k + 2 จากสูตรพจนทั่วไปจะได a k + 2 = ar k −1

= ar k −1 b r k +1 = a c1 = ar , c2 = ar 2 , c3 = ar 3 , … , ck = ar k b

ดังนั้น ตัวอยาง 1.13 จงหาพจนทั่วไปของลําดับเรขาคณิตตอไปนี้

2 10 50 ,,... 3 3 3

(2) − ,

(1) 3 , 6 , 12 , 24 , . . .

วิธีทํา

(1) 3 , 6 , 12 , 24 , . . . a1 = 3

และ

r =

a2 a1

=

6 = 2 3

a n = a1r n −1 เนื่องจาก a n = 3 ⋅ 2n −1 จะได ดังนั้นพจนทวั่ ไปคือ a n = 3 ⋅ 2n −1 2 10 50 (2) − , ,3 3 3 a 2 a1 = − และ r = 2 a1 3

เนื่องจาก

a n = a1r n −1

=

10 3 × (− ) = − 5 3 2

12

…………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. ตัวอยาง 1.14 จํานวนสองที่กําหนดใหตอไปนี้ เปนสองพจนในลําดับเรขาคณิตจงหาอีก 2 พจนที่เรียงอยู ระหวางพจนทั้งสอง (1)

วิธีทํา

-5, -625

(2)

5 2 , 4 25

(2) -5 ,-625

ให

เปนพจนกลางที่เรียงอยูร ะหวาง -5 , -625 ดังนั้น -5, c1 ,c2 , -625 เปนลําดับเรขาคณิต มี a1 = เนื่องจาก -625 = − 5r 3

c1 ,c 2

−625 −5 3 r = 125

จะได

r3 =

ดังนั้น (2)

5 4

ให

c1 ,c 2

,

ดังนั้น

และ

a 4 = -625

= 125 = 5

c1 = − 5 ⋅ 5 = − 25

และ

c2 = − 5 ⋅ 52 = − 125

2 25

เปนพจนกลางที่เรียงอยูร ะหวาง 5 4

เนื่องจาก จะได

-5

5 2 , 4 25

2 เปนลําดับเรขาคณิต มี a1 = 5 25 4 2 5 3 = ⋅r 25 4 2 4 r3 = ⋅ 25 5

, c1 , c2 ,

และ

a4 =

2 25

…………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………….

13

แบบฝกหัด 1.3 1.

ลําดับตอไปนี้เปนลําดับเรขาคณิตหรือไม ถาเปนจงหาอัตราสวนรวม (1) a n = 4 ⋅ 3n

(3) a n = 3 − 2n 2. จงหาพจนทั่วไปของลําดับเรขาคณิตตอไปนี้ (1) -4 , 2 , 8 , . . . (3) 3.

3,

5 25 , , ... 4 48

จงหาพจนที่ 20 ของลําดับเรขาคณิต

n n +n a n = 2n ⋅ 32n

(2) a n =

4, 3,

(4)

2

(2)

1 1 1 , , ,... 625 125 5 125

(4)

1, − 2, 4, −8, . . .

9 , ... 4

ถา -3 , A , -27 , . . . เปนลําดับเรขคณิต จงหาพจนที่ 12 5. ถานําจํานวนจํานวนหนึง่ ไปลบออกจาก 20 , 35 และ 65 ตามลําดับ แลวผลลบของแตละจํานวนที่ได จะ เปนพจนสามพจนทเี่ รียงกันในลําดับเรขาคณิต จงหาจํานวนทีน่ ําไปลบนั้น 4.