Riassunto Propagazione Ls (aggiornato)

Propagazione e Pianificazione nei Sistemi d’Area Riccardo Crociani, Ing. Pazzo 11 luglio 2009

2 Si consiglia di affiancare il materiale presente in questo riassunto agli appunti presi a lezione. Questo perché (ovviamente!) non si vuole avere alcuna presunzione di esaustività, né di assoluta correttezza: nonostante le revisioni fin’ora effettuate, potrebbero infatti essere ancora presenti molti errori e imprecisioni.

2

Indice 1

Introduzione 1.1 Attenuazione in spazio libero e non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 In sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Propagazione in mezzi lentamente variabili 2.1 Effetti dei gas atmosferici . . . . . . . . . . . . . 2.2 Attenuazione supplementare da pioggia . . . . 2.3 Effetto della ionosfera . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Ottica Geometrica classica . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Esempio: atmosfera omogenea . . . . . . 2.4.2 Esempio: mezzo a stratificazione sferica 2.4.3 Esempio: mezzo a stratificazione piana . 2.5 Il principio di Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 La propagazione troposferica . . . . . . . . . . . 2.7 Il raggio terrestre equivalente . . . . . . . . . . . 2.8 Effetto di Condotto . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 6

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7 7 8 8 9 10 10 10 12 12 14 16

Propagazione in presenza di discontinuità 3.1 Coefficienti di riflessione e rifrazione . . . . . . . . . 3.2 Ricerca dei coefficienti di Fresnel . . . . . . . . . . . 3.3 Effetti del terreno sulla propagazione: la riflessione 3.4 Il principio di Huygens-Fresnel . . . . . . . . . . . . 3.5 Il teorema di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Diffrazione da Knife-Edge . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Zone di Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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17 17 19 21 26 27 29 32

Modelli empirico-statistici 4.1 Tipologie di modelli . . . . . . 4.2 Il fading . . . . . . . . . . . . . . 4.3 I modelli Hata-like . . . . . . . . 4.4 Il modello di Epstein-Peterson 4.5 Il modello di Berg . . . . . . . . 4.6 Il modello multi-wall indoor . . 4.7 In sintesi . . . . . . . . . . . . .

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35 35 36 39 39 41 42 43

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45 45 46 47 47 50 50 51 52

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Teoria Geometrica della Propagazione 5.1 Richiami: onda sferica . . . . . . . 5.2 Il fattore di divergenza . . . . . . . 5.3 Principi Base . . . . . . . . . . . . . 5.4 Diffrazione . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Esempio Riflessione . . . . . . . . . 5.6 Esempio Diffrazione . . . . . . . . 5.7 Esempio Doppia Interazione . . . 5.8 In sintesi . . . . . . . . . . . . . . .

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INDICE

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Modelli deterministici a raggi 6.1 Ray Tracing method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Ray Tracing semplificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 In sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 55 59 60

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Il Canale Radiomobile 7.1 Caso statico . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Caso dinamico . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Le 4 funzioni del canale radiomobile . 7.4 Parametri di dispersione . . . . . . . . 7.5 Caratterizzazione multidimensionale 7.6 Tecniche di diversità e MIMO . . . . . 7.7 In sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . .

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63 64 66 68 68 70 71 74

Tecniche di trasmissione Spread Spectrum 8.1 Direct-Sequence Spread-Spectrum . . . . . . . . 8.2 Frequency-Hopping Spread Spectrum . . . . 8.3 Spreading e Scrambling . . . . . . . . . . . . . 8.4 Power control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Controllo di potenza ad anello aperto 8.4.2 Controllo di potenza ad anello chiuso 8.5 Rake receiver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 In sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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77 77 80 80 81 82 83 83 83

Sistemi d’area cellulari 9.1 Reticoli simmetrici, relazioni geometriche e settorizzazione 9.2 Accesso multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Miglioramenti nei sistemi CDMA . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Soft handover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Macrodiversità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Parametri di bontà di un sistema d’area . . . . . . . . . . . . 9.5 In sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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87 88 89 91 91 91 92 92

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95 . 95 . 97 . 98 . 99 . 101

10 Pianificazione di sistemi radiomobili 10.1 Pianificazione in base alla copertura 10.2 Pianificazione in base al C/I . . . . 10.3 Efficienza spettrale . . . . . . . . . . 10.4 Pianificazione assistita . . . . . . . . 10.5 In sintesi . . . . . . . . . . . . . . . .

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4

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Capitolo 1

Introduzione 1.1

Attenuazione in spazio libero e non

Consideriamo un mezzo omogeneo e assolutamente ideale, e ipotizziamo di essere in condizione di spazio libero: in questo caso la potenza ricevuta a distanza R è descritta dalla formula di Friis (ne riportiamo qui la versione incoerente, cioè che tralascia problematiche di fase e polarizzazione):  α  α λ R0 Pr = Pt · Gt · Gr = PR ( R0 ) · 4πR R Nella relazione soprascritta R0 è una distanza di riferimento, Pt è la potenza trasmessa, Gt il guadagno del trasmettitore, Gr il guadagno del ricevitore e quello tra parentesi il termine di attenuazione1 dove α = 2 è l’esponente con cui decade la potenza all’aumentare della distanza. La scelta α = 2 non è causale: per la conservazione dell’energia, la potenza trasportata dall’onda deve essere sempre costante mentre la sfera che rappresenta il fronte d’onda2 aumenta la sua superficie quadraticamente con la distanza. Questo significa che, perché il bilancio rimanga invariato, la densità di potenza deve decadere col quadrato della distanza. Si può inoltre definire l’attenuazione L come il rapporto  α Pt R L( R) = con R0 distanza di riferimento (1.1) = L ( R0 ) · Pr R0 Esprimendo tutto in dB e graficando l’attenuazione in un grafico log-log risulta quindi una retta di pendenza α = 2 (figura 1.1): LdB = LdB ( R0 ) − 10 · αlogR0 + 10 · αlogR Per descrivere la propagazione in ambiente reale, si può utilizzare un modello semplificato (empirico e statistico) che non fa altro che assumere un coefficiente α 6= 2; per misurare questo coefficiente in una situazione un minimo più attinente al reale il metodo usato è quello di effettuare molte prove sul campo e di traccia la cosiddetta linea di regressione (figura 1.2) una volta riportati i valori su un grafico. Così facendo si scopre che α, solitamente, sta tra 2 e 4: ciò significa che, nella realtà, il segnale decade molto più velocemente rispetto che nel caso ideale. Questo è dovuto a fenomeni come il multicammino (multipath), la riflessione e rifrazione di ostacoli. Il parametro α dà quindi l’attenuazione media e gli scostamenti da questa sono dovuti al fading (lento o rapido) (vedi par. 4.2), che può essere descritto statisticamente. In molti casi non cambia solo il parametro α ma l’intera dipendenza dei parametri in gioco; un esempio è riportato in figura 1.3: essa rappresenta l’andamento della potenza per una generica onda che attraversa più muri in un ambiente indoor. Risulta inoltre necessario dotarsi di modelli che tengano conto non solo della potenza, ma che siano coerenti (cioè che tengano conto anche della polarizzazione e dell’adattamento in potenza) e che prendano in considerazione tutte le interazione con tutti gli ostacoli che possono essere presenti, sia statisticamente, sia in maniera deterministica (Multidimensional Propagation Prediction). 1 Sottile distinzione fra l’attenuazione qui riportata e il termine L che compare nella formula 1.1: mentre il primo è un termine che ha le dimensioni di un guadagno < 1 (e solo in questo senso è un’attenuazione), il secondo è un’attenuazione tout-court ed è tanto più grande quanto minore è la potenza ricevuta in rapporto a quella trasmessa. 2 In spazio libero e in un mezzo del genere l’onda è da considerarsi sferica.

5

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

6

Figura 1.1:

Figura 1.2:

In spazio libero la potenza decade con α = 2

Differenza tra propagazione in spazio libero e in ambiente reale

Figura 1.3:

1.2

In questo caso non solo α varia.

In sintesi

In spazio libero e in condizioni ideali vale la formula di Friis:  Pr = Pt · Gt · Gr

λ 4πR

α



= PR ( R0 ) ·

R0 R

α

L'esponente α è tuttavia pari a 2 solamente in condizioni assolutamente ideali: tale parametro, nella realtà, è infatti maggiore di 2 e può assumere valori che comportano un'attenuazione ben più consistente di quella in spazio libero! Per la sua misurazione si fa ricorso a prove sperimentali, interpolando i dati raccolti mediante linea di regressione su graco log-log, oppure ci si appella a particolari modelli ad-hoc.

6

Capitolo 2

Propagazione in mezzi lentamente variabili 2.1

Effetti dei gas atmosferici

Alcuni gas che compongono l’atmosfera (vapore acqueo H2 O, ossigeno O2 , etc...) provocano attenuazione in quanto le loro molecole, non bilanciate elettricamente, risuonano a certe frequenze disperdendo energia in calore; com’è prevedibile, questa attenuazione dipende dalla concentrazione di tali gas1 . In figura 2.1 si possono notare, per alcuni gas nell’atmosfera standard, le righe di assorbimento situate in prossimità delle frequenze alle quali le molecole risuonano; si noti, in particolare, che non si hanno effetti rilevanti sotto i 10 GHz. L’attenuazione dipende anche dalla quota del collegamento in quanto le concentrazioni dei gas variano al variare di essa.

Figura 2.1:

Righe di assorbimento al variare della frequenza

Date le attenuazioni specifiche dovute all’ossigeno (α0 ) e al vapore d’acqua (αw ), entrambe espresse in 1 La

concentrazione di H2 O, in particolare, è molto variabile.

7

CAPITOLO 2. PROPAGAZIONE IN MEZZI LENTAMENTE VARIABILI

8

[dB/Km], per un collegamento tra quote h e hmax , con angolo di elevazione θ (piccolo), si ha: Ls =

hZmax h

 ϕ = arccos

α0 ( H ) + α w ( H ) dH sin( ϕ)

(d + h) · n(h) · cos θ (d + H ) · n( H )



Quando però il collegamento è praticamente parallelo al terreno si può semplificare la formula come riportato di seguito: L s = [ α0 + α w ] · d Questa attenuazione andrà poi sommata a quella di spazio libero.

2.2

Attenuazione supplementare da pioggia

La diffusione e l’assorbimento dell’onda da parte delle gocce d’acqua è un’altra causa di attenuazione: l’entità di quest’ultima dipenderà dalla loro forma e dalla loro distribuzione, nonché dall’intensità di precipitazione. In apposite tabelle è possibile trovare l’attenuazione specifica αr in funzione della frequenza, ma ai fini pratici si può far uso di una relazione del tipo: αr = K · R a dove K e a dipendono da frequenza, polarizzazione e angolo di elevazione, mentre R è l’intensità di precipitazione (variabile aleatoria di cui sono note le statistiche). Se Ps è la probabilità di servizio, si può calcolare il Ps-esimo percentile R x e quindi l’attenuazione supplementare totale Asx : Asx = KR ax D

2.3

Effetto della ionosfera

La ionosfera è lo strato di atmosfera che sta tra 50 e 400 Km di quota; lì le radiazioni solari ionizzano le molecole e i gas si separano in ioni ed elettroni liberi generando un plasma con densità di ionizzazione Np [elettroni/m3 ]. In questo caso ciò che accade dipende dall’entità della cosiddetta pulsazione di taglio ω p , ricavabile tramite le equazioni di Maxwell2 ; se ω < ω p allora la costante di fase risulterà immaginaria: in un mezzo senza perdite questo significa che l’onda viene riflessa al suolo (mentre oltre la ionosfera si propaga solo un’onda evanescente, la quale decade quasi immediatamente). Con i valori in gioco si trova che subiscono 2 Se

u è la velocità dell’elettrone ed e la sua carica si ha: Jt = eNp u(t)

Deve sempre valere le legge della meccanica F = ma, che si scrive: m

du(t) = eE dt

in regime armonico

mjωu = eE

Sostituendo quest’ultima nella prima equazione di Maxwell si ottiene:

∇ × H = jωε 0 E + J = jωε 0

1−

e2 Np mε 0 ω 2

! E

Otteniamo così una nuova permittività elettrica reale (non ci sono perdite) pari a: s ! e2 Np e2 Np ε p = ε0 1 − con ω p = pulsazione di plasma 2 mε 0 mε 0 ω La nuova costante di fase dell’onda sarà ora:

√ ω β = ωn p µ0 ε 0 = c

8

r 1−

 ω 2 p

ω

CAPITOLO 2. PROPAGAZIONE IN MEZZI LENTAMENTE VARIABILI

9

questa riflessione le onde aventi frequenza ≤ a 10 MHz: le onde lunghe, quindi, possono sfruttare la riflessione nella ionosfera per raggiungere zone anche molto distanti nel globo terrestre. A frequenze molto maggiori (GHz) le disomogeneità della troposfera possono invece causare retrodiffusione di un onda incidente in tutte le direzioni (troposcatter).

2.4

Ottica Geometrica classica

Nella troposfera3 , l’indice di rifrazione diminuisce lentamente con la quota. La propagazione avviene quindi in un mezzo con indice di rifrazione lentamente variabile e ciò fa sì che la traiettoria del segnale non sia rettilinea: per prevedere l’esatto percorso del segnale si deve perciò ricorrere alla teoria dell’ottica geometrica classica. In assenza di ostacoli, in un mezzo non omogeneo con indice di rifrazione lentamente variabile si può ipotizzare una soluzione simile ad un’onda sferica, ma con ampiezza e fase variabili con la posizione: E(r) = E0 (r) · e− jβ0 Ψ(r)

con

Ψ(r): funzione iconale

Questa è una soluzione ammissibile delle equazioni di Maxwell (in figura 2.2 sono riportati i calcoli). Arriviamo così alle equazioni fondamentali dell’ottica geometrica: L’EQUAZIONE DELL’ICONALE:

|∇Ψ|2 = n2 L’EQUAZIONE DEL TRASPORTO: 2

E0 ∇ Ψ + 2∇Ψ [ E0 · ∇ ln (n)] + 2 (∇Ψ · ∇) E0 = 0 Risolvendo l’equazione dell’iconale si può calcolare ψ(r ); le superfici per cui ψ(r ) = costante sono i fronti d’onda, i quali definiscono la traiettoria del segnale in quanto permettono di individuare i raggi: si definisce infatti raggio ottico ogni linea dello spazio perpendicolare in ogni punto alla superficie d’onda. Detto inoltre s il versore che individua la direzione di propagazione del raggio si ha4 : b s= b s=

dr(s) ds

∇Ψ ∇Ψ = |∇Ψ| n

dove r(s) è la parametrizzazione del raggio

Semplicemente sostituendo otteniamo l’equazione dei raggi: n

dr(s) = ∇Ψ ds

Questa si può nuovamente derivare rispetto ad s per ottenere così l’equazione differenziale dei raggi che ha il grande vantaggio di poter descrivere la traiettoria dei raggi sapendo solo l’andamento di n(r).     d d dr (s) d n = ψ = ∇ (∇ψ · sˆ) = ∇ (n · sˆ · sˆ) = ∇n (∇ψ) = ∇ ds ds ds ds   d dr n = ∇n ds ds Ora si possono definire il vettore5 di curvatura c e il raggio di curvatura R (si veda la figura 2.3): c=

db s ds

c=

1 cb R

Dall’equazione differenziale dei raggi, e dalle definizioni date di s e di c otteniamo:   d dr d dn dˆs dn ∇n = n = sˆ + n = sˆ + cn (nsˆ) = ds ds ds ds ds ds 3 La

troposfera è la fascia dell’atmosfera a diretto contatto con la superficie terrestre. coordinata s è di tipo curvilineo. 5 Attenzione: la derivata di un versore è un vettore!

4 La

9

CAPITOLO 2. PROPAGAZIONE IN MEZZI LENTAMENTE VARIABILI

10

Moltiplicando scalarmente per cb si ha6 :

∇ncˆ =

dn sˆ · cˆ + nc · cˆ = n |c| ds

1 ∇n = · cb R n Poiché il primo membro è positivo, per forza l’angolo tra c e ∇n dev’essere sempre minore di π2 : il raggio tende sempre a curvare verso la regione ad indice di rifrazione più alto7 e quindi, nel caso terrestre, i raggi ’curvano’ verso il suolo.

|c| =

2.4.1

Esempio: atmosfera omogenea

Se l’atmosfera è omogenea n(r) è costante, per cui:   d dr n = ∇n = 0 ds ds   d2 r   = 0 ⇒ r = as + b ds2    1 = ∇n cˆ ⇒ R → ∞ R n La traiettoria è perciò rettilinea.

Figura 2.3:

Raggio di curvatura

2.4.2 Esempio: mezzo a stratificazione sferica Si veda anche la figura 2.4. L’andamento dell’indice di rifrazione è funzione del solo raggio (simmetria sferica):

∇n = n

dn rˆ dr

dipende solo da r

Applicando l’equazione differenziale dei raggi e moltiplicando vettorialmente per r si ha d nsˆ = ∇n ds d dn rˆ = 0 (r × nsˆ) = r × ∇n = r × ds dr Questo significa che r × nsˆ è costante e che quindi è costante anche l’angolo compreso fra essi.

2.4.3

Esempio: mezzo a stratificazione piana

In tal caso i raggi si mantengono su dei piani (omettiamo la dimostrazione).

6 Si

ricordi che i versori sˆ e hatc sono ortogonali e il loro prodotto scalare è nullo. caso discreto l’equivalente è la legge di Snell.

7 Nel

10

CAPITOLO 2. PROPAGAZIONE IN MEZZI LENTAMENTE VARIABILI

(a) .

(b) .

(c) . Figura 2.2:

Calcoli per le equazioni fondamentali dell’ottica geometrica

11

11

CAPITOLO 2. PROPAGAZIONE IN MEZZI LENTAMENTE VARIABILI

12

2.5

Il principio di Fermat

Il principio di Fermat afferma che il cammino ottico8 è stazionario per raggi effettivi. Ne consegue che la traiettoria del raggio minimizza il cammino ottico9 . Per dirlo in parole non povere, bensì poverissime: • a parità di lunghezza ’fisica’ maggiore è n e maggiore sarà il cammino ottico; • il raggio, molto pigramente, cerca di prendere il cammino ottico più breve e prediligendo la permanenza nelle zone a n basso. Questo non significa che il raggio non finirà mai nelle zone a n maggiore: semplicemente, sapendo che il raggio andrà dal punto P1 al punto P2 , l’integrale ZP2

L=

n(s)ds

P1

calcolato lungo il cammino del raggio risulterà essere sempre quello a risultato (cioè a cammino ottico) minore rispetto a tutte le traiettorie possibili.

2.6

La propagazione troposferica

Nella troposfera l’indice di rifrazione cala esponenzialmente con la quota, quindi il segnale subisce deviazioni prevedibili grazie all’ottica geometrica classica. L’insieme Terra + atmosfera può essere considerato un mezzo non omogeneo a simmetria quasi-sferica con: • n = n (r ); • r = R0 + h; • R0 = 6370 Km, raggio terrestre; • h = quota. In figura 2.4 è riportata la legge di Snell nel caso di simmetria sferica. Quindi nel caso in esame deve essere n(r ) · r · sin Ψ = k n(h) · ( R0 + h) · sin Ψ = k   R0 k · sin Ψ = n(h) · 1 + =K h R0   h h sin Ψ = K dato che è molto piccolo n(h) + R0 R0 Queste relazioni sono il punto di partenza per risolvere il problema di stratificazione piana per via numerica. Dato che però ci interessa soprattutto conoscere curvatura del percorso del segnale, si fa uso dell’equazione 1 ∇n 1 dn cˆ = rˆ · cˆ (2.1) |c| = = R n n dr dopodiché si introduce il gradente verticale di rifrattività G= 8 Dati

dN (h) dh

due punti P1 e P2 ed un percorso che li colleghi, si definisce cammino ottico L=

ZP2

n(s)ds

P1 9 Infatti

se n(s) è costante il raggio risulta essere la retta congiungente.

12

CAPITOLO 2. PROPAGAZIONE IN MEZZI LENTAMENTE VARIABILI

Figura 2.4:

13

Legge di Snell per simmetria sferica

tale che si abbia

dn dN (h) = 10−6 = 10−6 G dr dh In questo modo, sostituendo in 2.1, si ha

|c| =

1 1 G · rˆ · cˆ = G · (− sin ψ) n n

e, per collegamenti terrestri10 , 1 = −10−6 G R Nel caso di atmosfera standard e per quote basse esso vale: Gst = −40 N/Km Inserendo nell’equazione precedente tale parametro otteniamo il raggio standard (che è circa quattro volte quello terrestre): Rs = 25.500 Km Non sempre però ci si trova a lavorare in atmosfera standard, si fa allora riferimento all’indice troposferico definito come: R 157 4 K= = Kst = R − R0 157 + G 3 Si possono allora distinguere 3 zone di lavoro (figura 2.7), l’atmosfera può essere : • G > −40, K < Ks substandard; • G = −40, K = Ks standard; • G < −40, K > Ks superstandard; • G = 0, K = 1 omogenea. Se fra i due terminali non c’è ostruzione si dice che esiste visibilità radio: essa è solitamente maggiore di quella geometrica in quanto le situazioni più probabili sono quelle vicino ai valori standard. Accade a volte che rapide variazioni di pressione e temperatura portino a forti variazioni di n(h), si può allora avere il fenomeno della super-rifrazione con ritorno a terra di un raggio: si generano così cammini multipli con conseguenti attenuazione e distorsione (vedi fig. 2.6). 10 Quindi

con ψ =

π 2

13

CAPITOLO 2. PROPAGAZIONE IN MEZZI LENTAMENTE VARIABILI

14

Figura 2.5:

Andamento di K in funzione di G

Figura 2.6:

Cammini multipli e atmosfera

Figura 2.7:

2.7

Tipi di atmosfera

Il raggio terrestre equivalente

In un collegamento radio si devono considerare due curvature: quella del raggio e quella terrestre (figura 2.8.a). Risulta tuttavia utile eliminare una delle due curvature e ricondursi ad una sola: quella terra-equivalente o quella raggio-equivalente (figura 2.8.b). In entrambi i casi comunque quello che conta è la differenza E( x ), fra il profilo del raggio e il profilo della Terra E( x ) = yc ( x ) − yt ( x ) = profilo dei raggi - profilo terrestre la quale deve sempre essere maggiore dell’altezza degli ostacoli. Quest’ultima può essere ricavata in forma grafica (figura 2.8.c): Sia quindi: • h1 : altezza dell’antenna trasmittente; • h2 : altezza dell’antenna ricevente; 14

CAPITOLO 2. PROPAGAZIONE IN MEZZI LENTAMENTE VARIABILI

15

• d: distanza di collegamento; • yc : funzione del raggio; • yt : funzione profilo terrestre.

(a) .

(b) .

(c) . Figura 2.8

La curvatura delle due funzioni si può approssimare con la derivata seconda11 00

yc = −

1 R

00

yt = −

1 R0

per poi risalire alle funzioni integrando due volte. Sapendo che per yc le condizioni iniziali sono yc (0) = h1 e yc (d) = h2 si ha: h2 − h1 1 y c ( x ) = h1 + x− x ( x − d) (2.2) d 2R 11 Con

segno negativo perché rivolte verso l’alto.

15

CAPITOLO 2. PROPAGAZIONE IN MEZZI LENTAMENTE VARIABILI

16

Per yt , invece, le condizioni iniziali sono yt (0) = 0 e yt (d) = 0, quindi: yt ( x ) = −

x ( x − d) 2R0

(2.3)

Quindi E( x ) = yc ( x ) − yt ( x ) risulta essere: x ( x − d) h2 − h1 E ( x ) = h1 + x− d 2



1 1 − R R0

 (2.4)

Osservando tale equazione e confrontandola con la 2.2 si può considerare il raggio piatto attribuendo alle terra la curvatura 1/Req . Si definisce allora il raggio equivalente: R − R0 1 1 1 1 = − = = Req R0 R R · R0 K · R0

Req = K · R0

(2.5)

Supponendo che h1 = h2 = h, si può calcolare l’orizzonte radio (figura 2.9) dor ponendo E( d2or ) = 0, e ricavando: p dor = 2 2hKR0

Figura 2.9:

2.8

Rispetto al caso K = 1 l’orizzonte radio è maggiore

Effetto di Condotto

Se si hanno strati di aria con differenti temperature, si può avere una forte variazione di dn/dh e quindi di G rispetto al valore standard, si possono allora verificare due fenomeni: • effetto di condotto al suolo: quando G < −157. Si hanno multiple riflessioni al suolo di un cammino con curvatura maggiore della terra; • effetto di condotto in quota: quando si ha un’inversione di G, un raggio rimane intrappolato in una sorta di guida planare.

16

Capitolo 3

Propagazione in presenza di discontinuità 3.1

Coefficienti di riflessione e rifrazione

Le ipotesi su cui si basa l’ottica geometrica cadono in difetto quando si è in presenza di superfici in cui le caratteristiche dei due mezzi variano bruscamente (discontinuità di prima specie): è questo il caso della presenza di ostacoli o pareti che si frappongono tra il trasmettitore ed il ricevitore. Per semplificare la trattazione di queste situazioni si fa la seguente ipotesi: si ammette che ciascun raggio incidente abbia in tutti i punti un comportamento analogo a quello di un onda piana TEM1 : • ~Ei (r ) = ~Ei0 e−σi r

~ i (r ) = H ~ i0 e−σi r • H • σi = (αi + jβ i )b si

con si direzione di incidenza

Si dimostra che ogni raggio incidente dà luogo ad un raggio trasmesso ed uno riflesso. Il mezzo in cui si propaga l’onda è descritto dai parametri µ, ε, σ. In alternativa si possono definire i parametri ’composti’: σ • ε c = ε + jω q µε • n = µ εc0 0

• η=

q

µ εc

permettività complessa indice di rifrazione impedenza intrinseca

Nel caso di mezzo privo di perdite (µ = µ0 ) e inoltre definita η0 (impedenza intrinseca di spazio libero): r √ η0 µ0 η= η0 = n = εr n ε0 In un radiocollegamento2 , in assenza di ostacoli e senza tener conto degli effetti dell’atmosfera, si hanno due contributi principali: il raggio diretto e quello riflesso (vedi fig. 3.1). In uno scenario più complesso come quello urbano, invece, l’onda subisce diverse interazioni (riflessione, trasmissione, diffrazione e scattering) (vedi fig. 3.2). Vediamo ora come poter calcolare l’onda riflessa e trasmessa nel caso ideale, ovvero quando l’onda incidente è (localmente) piana e la superficie di separazione è un piano illimitato3 . Nostro scopo è ricavare4 il coefficiente di riflessione Γ e il coefficiente di trasmissione τ, indicanti rispettivamente ’quanta parte 1 Qualunque

onda a grande distanza può essere approssimata come onda piana. 2 essere in campo lontano bisogna che siano verificate: d >> λ, d >> D, d >> 2D λ . In queste condizioni ciascun cammino corrisponde ad un onda piana uniforme. 3 Le sue dimensioni molto piccole rispetto a λ. 4 La teoria che si svilupperà nel seguito sarebbe valida, a rigore, solo per mezzi puramente dielettrici, tuttavia la si può estendere anche a mezzi debolmente conduttori a patto di tener conto delle perdite tramite l’uso di una permittività elettrica complessa. 2 Per

17

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

18

Figura 3.1:

Ci sono due contributi principali, il cammino diretto e il raggio riflesso dal terreno.

Figura 3.2:

In uno scenario complesso ci sono diverse interazioni.

dell’onda’ (e con quale segno) subisce riflessione e quanta invece viene trasmessa; imponiamo la continuità delle componenti tangenti dei campi (elettrico e magnetico) incidente, riflesso e trasmesso (si faccia riferimento alla figura 3.3), supponendo che non vi siano correnti superficiali né impresse né indotte.

~Etτ = ~Eiτ + ~Erτ

Figura 3.3:

;

~ tτ ∼ ~ iτ + H ~ rτ H =H

Riferimenti scelti per la trattazione dell’onda incidente.

Ricordando che i tre vettori (si , sr , st ) sono complanari e appartenenti al piano di equazione z = ky, si giunge alle leggi della riflessione e della rifrazione5 : • θi = θr

Legge di Snell della Riflessone

• n1 sin θi = n2 sin θt

Legge di Snell della Rifrazione

5 Queste due leggi sono in realtà una sola: facile è infatti convincersi che la legge della riflessione non è che un caso particolare della legge della rifrazione in cui n1 = n2 .

18

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

19

Dalla seconda equazione si può notare che, se n1 > n2 , aumentando θi si può arrivare ad avere θt = π2 (la direzione del raggio rifratto coincide con l’asse in figura 3.3): si ha in questo caso il fenomeno della riflessione totale. L’angolo di incidenza θc per cui avviene questo fenomeno è detto angolo critico6 .

3.2

Ricerca dei coefficienti di Fresnel

Imponiamo nuovamente l’uguaglianza delle componenti tangenti: τ τ τ ~Et0 = ~Ei0 + ~Er0

;

τ τ τ ~ t0 ~ i0 ~ r0 H =H +H

e scomponiamo i campi rispetto a tre nuovi sistemi di riferimento, ognuno avente un asse solidale con ~ si scompongono lungo le due la direzione del raggio come mostrato in figura 3.4. I campi ~E ed H

Figura 3.4:

Scomponiamo i campi in tre nuovi sistemi di riferimento.

componenti7 ~ξ e ~iy , descrivendo due soluzioni indipendenti tra loro e mutuamente esclusive ma sufficienti, una volta composte, a descrivere un campo qualsiasi. Risulta comunque sempre possibile scomporre il campo in due polarizzazioni lineari e ortogonali: • per ~Ei //~iy si ha polarizzazione TE (o polarizzazione perpendicolare8 ; • per ~Ei //~ξ si ha polarizzazione TM (o polarizzazione parallela). Dopo svariati calcoli, che qui ometteremo, giungiamo così ai coefficienti di Fresnel: Γ TE =

τTE =

Er0y Ei0y Et0y Ei0y

=

Componente del campo elettrico (onda riflessa) n cos θi − n2 cos θt = 1 Componente del campo elettrico (onda incidente) n1 cos θi + n2 cos θt

=

Componente del campo elettrico (onda trasmessa) 2n1 cos θi = Componente del campo elettrico (onda incidente) n1 cos θi + n2 cos θt

per i quali vale la seguente proprietà9 : τTE = 1 + Γ TE 6 In realtà anche in questo caso è presente, nel mezzo 2, una certa componente di campo elettromagnetico in quanto l’onda si propaga sulla superficie (asse z), mentre si attenua in maniera esponenziale nella direzione normale (onda evanescente lungo la parte negativa dell’asse x). 7 Campo elettrico, magnetico e direzione di propagazione dell’onda formano una terna cartesiana ortogonale: i campi elettrico e magnetico oscilleranno quindi fra loro perpendicolarmente nonché su piani ortogonali alle direzioni sˆi , sˆt , sˆr . 8 Rispetto al piano di incidenza. 9 Conservazione dell’energia.

19

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

20

Applicando la legge si Snell10 ed esprimendo il tutto utilizzando l’angolo di radenza (θ = usato in radiotecnica, otteniamo i coefficienti di riflessione Γ e i coefficienti di trasmissione τ: POLARIZZAZIONE TE r  n2 2 sin θ − − cos2 θ n1 r  Γ TE = n2 n1

sin θ +

τTE = sin θ +

2

2 sin θ r  2 n2 n1

π 2

− θi ), spesso

− cos2 θ

− cos2 θ

POLARIZZAZIONE TM  Γ TM = 

τTM = 

n2 n1 n2 n1

n2 n1

2 2

2

r

sin θ −

r

sin θ +

n2 n1

2

n2 n1

2

2 nn2 sin θ 1 r  n2 n1

sin θ +

2

− cos2 θ − cos2 θ

− cos2 θ

Imponendo la condizione Γ TE = 0 (riflessione nulla), tutta la potenza passa dal mezzo 1 al mezzo 2; la legge di Snell deve tuttavia essere ancora valida e si deve cioè avere: n2 cos θt sin θt = = n1 cos θi sin θi

n2 cos θi = n1 cos θt ⇒

(3.1)

L’ultima uguaglianza è verificata solo se: θi + θ t =

π 2

Ne consegue che: cos θt = cos

π

 − θi = sin θi

2 Sostituendo quest’ultima uguaglianza nella 3.1 si ricava l’angolo di Brewster (o angolo di rifrazione totale): tan θi =

n2 n1

Riassumendo (vedere figure 3.611 e 3.7) possiamo catalogare i punti principali: • ~si ,~sr ,~st

complanari;

• θi = θr

(legge della riflessione);

• n1 sin θi = n2 sin θr

(legge della rifrazione);

• Er = ΓEi ; • Et = τEi . 10 Andiamo

a sostituire: sin θt =

n1 sin θi ⇒ cosθt = n2

s

 1−

n1 sin θi n2

2

=

n1 n2

s



n2 n1

2

− sin2 θi

11 Ad un primo esame si potrebbe rimanere ’stupiti’ dalla presenza di un termine s0 al numeratore. Per convincersi si tenga presente che: 0 e− jβs E ( Q R ) = E0 0 s 0 − jβ(s+s0 ) − jβs0 − jβ(s+s0 ) 0 − jβs e e e s e s0 s0 − jβs E0 (s) = E0 = E0 0 = E (QR ) e 0 − jβs0 s + s0 s0 e− jβs0 s s + s s + s0 e | {z } E( Q R )

20

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

Figura 3.5:

Andamento dei coefficienti di riflessione e di rifrazione. Angolo di Brewster.

Figura 3.6:

3.3

21

Onda incidente, riflessa e rifratta.

Effetti del terreno sulla propagazione: la riflessione

Vediamo ora l’effetto della riflessione al suolo di un’onda trasmessa. Riprendiamo le espressioni riportate nel paragrafo 3.1 e manipoliamo facendo le seguenti ipotesi:

• µ = µ0 (come nel vuoto), che implica n =

r

√ µε c = εr; µ0 ε 0

• mezzo 1 privo di perdite, quindi con permittività reale; • il mezzo 1 solitamente è l’aria: ε r1 = 1. 21

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

22

Figura 3.7:

Polarizzazione TE e TM.

Otteniamo allora altre due espressioni per i coefficienti di riflessione:

Γ TE =

cos θi − cos θi +

Γ TM

q

ε r2 − sin2 θi

q

ε r2 − sin2 θi

q √ cos θi ε r2 − 1 − q = √ cos θi ε r2 + 1 −

1 ε r2

sin2 θi

1 ε r2

sin2 θi

ora si possono notare, con semplici limiti matematici che se: • θi =

π 2

→ Γ TE , Γ TM = −1 incidenza radente;

• il mezzo su cui incide l’onda è conduttore elettrico perfetto (σ2 , ε r2 → ∞) → Γ TE = −1, Γ TM = 1. In molti casi pratici l’onda incidente è sferica e la superficie piana: questo permette di dire che anche l’onda riflessa sarà sferica e con uguale raggio di curvatura (è come avere un’antenna ’immagine’ nel mezzo 2)12 . ~ ~Er (s) = Γ E0 e− jβ(rr1 +rr2 ) rr1 + rr2 La riflessione di un’onda sul terreno può essere schematizzata come in figura 3.8. Ricordando che l’onda incide nel punto esatto in cui transiterebbe l’onda generata da un’ipotetica antenna (immagine) trasmet12 Per

arrivare alla formula:  rr1 − jβrr2 ~    Er (s) = Γ Ei ( Qr ) rr2 + rr1 e ~E0 ⇒ ~Er (s) = Γ e− jβ(rr1 +rr2 ) ~  r E r1 + rr2  ~E ( Q ) = 0 e− jβrr1  r i rr1

22

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

23

tente posta nel mezzo 2 con stesse caratteristiche, è facile calcolare13 il percorso del raggio diretto (rd ) e di quello riflesso (rr ): q q rd =

d2 + (h TX − h RX )2

;

rr =

d2 + (h TX + h RX )2

Detta ∆r la differenza tra i due cammini ottici, essa vale:

Figura 3.8:

Schema di riferimento per la riflessione al suolo

q

q

+ (h TX + h RX ) − d2 + (h TX − h RX )2 = s (h TX + h RX )2 (h TX − h RX )2 = d 1+ − d 1 + d2 d2

∆r = rr − r d = s

2

d2

Sotto l’ipotesi (1) che d >> h TX , h RX (distanza del collegamento molto maggiore rispetto all’altezza delle antenne dal suolo) si può sviluppare in serie14 e scrivere semplicemente: ! h h h h (h TX + h RX )2 (h TX − h RX )2 ∆r = d + − d+ = 4 TX RX = 2 TX RX 2d 2d 2d d (3.2) (Rimane soltanto il doppio prodotto) Al ricevitore giungono quindi due contributi di campo, uno diretto ed uno riflesso15 :
E0d θd , φd • Ed = · e− jβrd rd • Er = Γ ·

E0r (θr ,φr ) rr

· e− jβrr = Γ ·

E0r (θr , φr ) − jβ(rd +∆r ) ·e r d + ∆r

Aggiungiamo ora l’ipotesi 2: antenne omnidirezionali nel piano verticale (il campo emesso ha stessa ampiezza in ogni direzione del piano verticale). Grazie all’ipotesi 1 possiamo anche dire che rd ∼ = rr ∼ =d (attenzione: ciò è vero solo per le ampiezze, non per le fasi: per le seconde, infatti, piccole differenze di percorso possono comportare grandi scostamenti16 ). Come già più volte sottolineato, il campo totale sarà la somma del campo elettrico del cammino diretto (Ed ) e di quello del cammino riflesso (Er ):  E0 − jβr  ·e · 1 + Γ · e− jβ∆r (3.3) E = E d + Er = d 13 Basta

utilizzare il teorema di Pitagora: il primo triangolo, quello utile al calcolo di rd , è facile da trovare; per il secondo triangolo bisogna invece prolungare rr1 fino alla retta perpendicolare al terreno e passante per l’antenna ricevente: si ottiene un triangolo rettangolo √ con rr1 + rr2 come diagonale e altezza pari alla somma dell’altezza delle antenne. 14 Si ha: 1 + x2 ≈ 1 + 21 x2 per x → 0. 15 E ( ϑ , ϑ ) è il campo emesso nella direzione del cammino diretto, E ( ϑ , ϑ ) è il campo emesso nella direzione del cammino r r 0r 0d d d riflesso. 16 β può essere molto grande!

23

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

24

L’effetto del terreno viene quindi usualmente quantificato tramite il rapporto:

|E| = |1 + Γ · e− jβ∆r | |Ed | posto Γ = |Γ| · e− j arg(Γ) , ricordando la 3.2 e che β =

|E| = |Ed |

2π λ ,

s 1 + |Γ|2 + 2 · |Γ| · cos

lo si può riscrivere come segue: 

4π h TX h RX − arg (Γ) λ d

 (3.4)

Nelle ipotesi fatte, indicato con gRV il guadagno dell’antenna ricevente nel piano verticale e supponendo perfetto adattamento in ricezione, la potenza ricevuta è, secondo la formula di Friis  Pr =

λ2 · gRV 4π



·

| E |2 2η

(3.5)

nella quale si può sostituire il modulo del campo totale ricavandolo dall’equazione 3.4. Spesso è comodo esprimere il tutto17 tramite il Path Gain PG (inverso dell’attenuazione di tratta): P PG = R = ( gRV · gTV ) · PA



λ 4πd

2    4π h TX h RX 2 · 1 + |Γ| + 2 · |Γ| · cos − arg (Γ) λ d

(3.6)

In figura 3.9 è rappresentato l’andamento del Path Gain per un terreno approssimato come conduttore elettrico perfetto (Γ = −1) e polarizzazione TE18 . In figura si noti come per distanze superiori ad un certo valore, detto distanza di break-point (d BP ), la potenza smetta di oscillare e cali più velocemente. Oltre il break-point, infatti, la potenza decade come19 d14 , e quindi molto più rapidamente di come accade in spazio libero (vedere 1.1): dunque la presenza del terreno è sufficiente ad alterare, in maniera anche significativa, le condizioni di propagazione rispetto al caso ideale (i contributi interferiscono sempre distruttivamente). Al contrario, prima di questo valore si hanno grandi oscillazioni della potenza per piccole variazioni della distanza: esse sono dovute all’interferenza tra i due contributi che a volte si sommano costruttivamente (in alcuni punti si ha un comportamento migliore che in spazio libero, visto che si ’supera’ la retta α = 2) e a volte distruttivamente. In figura 3.10 è mostrato un altro modello detto modello a 6 raggi, utilizzato in particolare nelle situazioni di canyon urbano: in esso non si prendono in considerazione solamente due raggi bensì sei (3 riflessioni20 ) contemporaneamente.

17 Per arrivare a tale formulazione è necessario che sia P che P siano entrambe espresse nella forma prevista dalla formula di R A Friis, in modo che si possano semplificare molti termini. 18 In tal caso sfruttando la trigonometria e il fatto che l’argomento di Γ vale − π, in quanto Γ quantità negativa, è possibile arrivare a scrivere:        2π h TX h RX λ 2 2π h TX h RX | E| = 2 sin ⇒ PG = gRV gTV 4 sin2 λ d 4πd λ d | Ed | 19 Lo si può dimostrare effettuando lunghe e noiose sostituzioni (che non riportiamo) e notando che l’argomento del seno può essere confuso con il seno stesso per distanze superiori a quella di break-point. 20 Una contro gli edifici a destra, una contro gli edifici a sinistra e una con il manto stradale.

24

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

Figura 3.9:

Esempio del PG per un terreno con Γ = −1.

Figura 3.10:

Figura 3.11:

Modello a 6 raggi.

Andamento del path gain con la distanza

25

25

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

26

3.4

Il principio di Huygens-Fresnel

Lo spazio libero rappresenta l’ambiente propagativo21 ideale e viene descritto semplicemente dalla formula di Friis  2 λ PR = PA · gT · gR · · τ · ρT 4πR ma nella quasi totalità dei collegamenti reali TX e RX sono circondati da ostacoli che rendono lo scenario propagativo assai diverso (figura 3.12).

Figura 3.12:

Quando al ricevitore giungono differenti cammini generati dall’interazione dell’onda con gli oggetti si dice che la propagazione avviene per Cammini Multipli (Multipath).

Il fenomeno della diffrazione può essere descritto a partire dal principio di Huygens (o delle sorgenti secondarie): esso afferma che, noto il fronte d’onda F all’istante t, è possibile ricostruire il successivo fronte d’onda F 0 all’istante t + dt supponendo che gli elementi di superficie dΣ di F siano eccitati ad emettere contemporaneamente onde sferiche con velocità v dell’onda; l’inviluppo di tali onde secondarie all’istante t + dt costituisce il fronte d’onda F 0 allo stesso istante (vedi figura 3.13). Detta dΨ( R) la componente

Figura 3.13:

Principio di Huygens-Fresnel e sorgenti secondarie

21 Quando cariche elettriche vengono sollecitate a muoversi di moto accelerato si genera un’onda EM che si propaga nello spazio circostante. Nella cosiddetta regione di campo lontano dalla sorgente, il campo elettrico e il campo magnetico sono in ogni punto perpendicolari sia tra loro che rispetto alla direzione di propagazione.

26

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

27

Figura 3.14

infinitesima del campo nel punto R (cioè ’al destinatario’) generata dall’infinitesima parte di superficie dΣ del fronte d’onda (cioè generata da una sorgente secondaria infinitesima, vedi fig. 3.14), possiamo scrivere: e− jβ0 r0 e− jβ0 s dΨ( R) = K (χ) · A · · dΣ · r0 s ed esprimere quindi il campo come somma infinita (integrale22 ) di tali componenti: Z

Ψ( R) =

K (χ) · A ·

Sfera

e− jβ0 r0 e− jβ0 s · · dΣ r0 s

Per ora non viene specificato il parametro K (χ) (ci penserà Kirchhoff), ma si dice solo che esso dipende dalla posizione del punto R rispetto alla porzione del fronte d’onda dΣ.

3.5

Il teorema di Kirchhoff

Rispetto ad Huygens-Fresnel (paragrafo 3.4), Kirchhoff fornisce una definizione più rigorosa del campo generato, specificando meglio le caratteristiche del parametro K (χ). Prima di tutto si fanno le seguenti ipotesi: 1 • ipotesi 1: lim r · |Ψ| = lim r · | ∂Ψ ∂n | = 0 (il campo va a 0 prima di r ); r →∞

r →∞

−σρ

1 e • ipotesi 2: funzione di Green di spazio libero sia G (ρ) = − 4π ρ ;

• ipotesi 3: ρ >> λ, ovvero la distanza tra sorgente e sorgente secondaria è molto maggiore della lunghezza d’onda; • ipotesi 4: d >> λ, ovvero la distanza tra sorgente secondaria e punto potenziato è molto maggiore della lunghezza d’onda; • ipotesi 5: mezzo senza perdite. Con riferimento alla figura 3.15, partiamo dall’equazione di Helmoltz

∇ Ψ2 − σ 2 Ψ = 0

con

σ2 = −ω 2 µε c

che ha soluzione Ψ( P) = −

Z

S+Sinf 22 L’integrale

Ψ

∂G ∂Ψ −G ds ∂n ∂n

(Metodo di Green)

serve a considerare gli effetti di tutte le infinitamente non numerabili sorgenti secondarie.

27

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

28

Figura 3.15:

Riferimenti per la dimostrazione del teorema di Kirchhoff.

e che necessita, come condizioni al contorno, dei valori di Ψ sul bordo. Grazie all’ipotesi 1 si può trascurare il contributo su Sin f 23 e ridurre l’integrale alla sola superficie S: Ψ( P) =

Z

G

S

Data l’ipotesi 2 possiamo sviluppare il termine

∂G ∂n

∂Ψ ∂G − Ψ ds ∂n ∂n

(3.7)

come segue:

∂G ∂G = ∇ G · nˆ = (−ρˆ ) · nˆ = ∂n ∂ρ   −σe−σρ e−σρ 1 − 2 =− (−1) cos (χ) = 4π ρ ρ   1 e−σρ 1 =− σ+ cos (χ) 4π ρ ρ   Introduciamo ora l’ipotesi 3, che ci permette di scrivere σ + 1ρ = j 2π λ e ottenere: jβ e−σρ ∂G '− cos χ ∂n 4π ρ

(3.8)

Sostituiamo ora la 3.8 nella 3.7. Si ha: Ψ( P) =

Z S

Ψ( P) =

−

  1 e−σρ ∂Ψ jβ e−σρ −Ψ − cos χ ds 4π ρ ∂n 4π ρ

1 4π

Z S

e−σρ ρ

 jβΨ( Q) cos χ −

∂Ψ ∂n

 ds

(3.9)

L’onda nel punto Q è ancora un’onda sferica ed è quindi possibile descriverla come segue (introducendo F (θ 0 , φ0 ) che tiene conto della direttività): Ψ( Q) =

e−σd F (θ 0 , ϕ0 ) d

Come fatto in precedenza sviluppiamo ora il termine

∂Ψ ∂n :

!   ∂Ψ ∂Ψ e−σd e−σd e−σd 1 = =F − 2 = −F σ+ ∂n d d d d ∂dˆ     1 2π Ora grazie all’ipotesi 4 si può scrivere σ + 1d = j 2π λ + d = j λ e riscrivere la formula precedente: ∂Ψ e−σd ' − F (θ 0 , ϕ0 ) · jβ ∂n d 23 Che

è una superficie all’infinito.

28

(3.10)

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

29

Ora non resta che inserire la 3.10 nella 3.9 per ottenere l’espressione finale: Ψ( P) =

jβ 4π

Z S

e−σρ e−σd F (1 + cos χ) ds ρ d

Se ora confrontiamo quest’ultima espressione con quella di Huygens-Fresnel, possiamo facilmente ricavare il valore del parametro K (χ): K (χ) =

jβ (1 + cosχ) 4π

Il teorema di Kirchhoff è assai utile quando si vuole calcolare il campo ricevuto in presenza di ostacoli. L’integrale deve però essere limitato alla porzione di fronte d’onda non intercettato come mostrato in figura 3.16.

Figura 3.16:

3.6

L’integrale deve essere limitato alla porzione di fronte d’onda non intercettato

Diffrazione da Knife-Edge

Il termine Diffrazione indica una particolare categoria di fenomeni propagativi generati dalla presenza di ostacoli sul cammino. La figura 3.17 mostra due tipi differenti di diffrazione: quella da apertura e quella da Knife-Edge. La diffrazione provoca due effetti principali:

Figura 3.17:

Esempi di diffrazione.

• la presenza di campo anche in zone non direttamente illuminate dalla sorgente; • valori di campo diversi da quelli in spazio libero nelle zone direttamente illuminate. La diffrazione è tanto più rilevante quanto più sono piccole, rispetto a λ, le dimensioni in gioco (a frequenze molto alte fenomeni del genere tendono a scomparire). Teoricamente, per ottenere l’espressione del campo, occorrerebbe volta per volta determinare la superficie S A per applicare il teorema di Kirchhoff (paragrafo 3.5). Vediamo ora di studiare il caso della diffrazione da Knife-Edge (’lama di coltello’). Questa situazione è rappresentata in figura 3.18: abbiamo un semipiano (posto fino alla quota h) che si frappone tra TX e RX, posti alla stessa altezza. Applicando Kirchhoff, il contributo infinitesimo del campo dE( R) 29

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

30

Figura 3.18:

Esempio di diffrazione da KE

dovuto alla superficie infinitesima dΣ si esprime come: dE( R) =

e−σρ e−σd jβ ·F· · · (1 + cos χ) dΣ 4π ρ d

Come sempre, per semplificare la trattazione, facciamo uso di (non troppo limitanti) ipotesi semplificative: • ipotesi 1: sorgente tanto lontana da poter approssimare il fronte d’onda col piano XY; • ipotesi 2: h  a e h  b; • ipotesi 3: le sorgenti secondarie dΣ che danno contributo rilevante sono quelle raccolte attorno alla direzione di collegamento24 , quelle ovvero per le quali si ha x << ρ, d y << ρ, d Le ipotesi 2 e 3 ci permettono di assumere: F (Θ, Φ) = A = costante;

χ ' 0;

d ' a;

ρ'b

Il campo totale nel punto R al di là dell’ostacolo risulta perciò essere (si notino gli estremi degli integrali): jβ e− jβ(a+b) ·A· E( R) = 2π ab

+∞ Z +∞ Z

a+b

e− jβ 2ab ( x

2 + y2 )

dxdy

−∞ h

Ciò che però più ci interessa non è tanto il campo effettivo al di là dell’ostacolo, ma l’attenuazione supplementare che l’ostacolo provoca. Detto E( R0 ) il campo che si avrebbe senza il Knife-Edge +∞ Z +∞ Z

e− jβ(a+b) jβ E ( R0 ) = ·A· 4π ab

a+b

e− jβ 2ab ( x

−∞ −∞

si definisce attenuazione supplementare AS il rapporto:

AS =

E0 = E

2·

+ R∞

0 + R∞

a+b 2

e− jβ 2ab x dx a+b 2

e− jβ 2ab x dx

h

posto ora r ν=x 24 Scopriremo

2 a+b λ ab

poi che appartengono alla prima zona di Fresnel.

30

2 + y2 )

dxdy

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

31

e r ν0 = ν(h) = h

2 a+b λ ab

Parametro di Fresnel

si ottiene l’espressione definitiva dell’attenuazione supplementare da Knife-Edge: AS =

E0 = E

1 1+ j 2

+ R∞

π 2

e− j 2 ν dν

ν0 25 In figura 3.19 √ viene riportato l’andamento dell’attenuazione supplementare in funzione del parametro ν0 : per ν0 < − 2 l’attenuazione AS √ è inferiore ad 1 dB, dunque l’ostacolo risulta praticamente trascurabile. Si noti che la condizione ν0 < − 2 corrisponde alla condizione h < −ρ1 , ovvero alla condizione di non intersezione tra l’ostacolo ed il primo ellissoide di Fresnel.

Figura 3.19:

Andamento dell’attenuazione supplementare in funzione del parametro ν0 .

Una volta che si ha a disposizione il parametro di Fresnel, è possibile calcolare l’attenuazione L(ν) attraverso formule semplificate che permettono di aggirare il (non facile) integrale di Fresnel26 (formule di Lee):  per − 0, 8 < ν < 0 ⇒ − 20 log (0, 5 − 0, 62ν)    h i     per 0 < ν < 1 ⇒ − 20 log 0, 5e−0,95ν     n o  L (ν) = 2 0,5 per 1 < ν < 2, 4 ⇒ 20 log 0, 4 − 0, 1184 − 0, 38 − 0, 1ν ( )          0, 225    per ν > 2, 4 ⇒ − 20 log ν 25 Si

faccia attenzione a come sono orientati gli assi.

26 Ovvero:

+∞ Z

e

−j

π 2 ν 2 dν

0

31

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

32

3.7

Zone di Fresnel

In alcuni casi è possibile valutare gli effetti della diffrazione senza fare ricorso al teorema di Kirchhoff (l’integrale da risolvere può essere anche molto complicato) bensì valutando le cosiddette zone di Fresnel: esse sono porzioni di fronte d’onda delimitate dall’intersezione fra il medesimo e le superfici sferiche di raggio rk (figura 3.20). Per definizione si deve avere che r k = R2 + k ·

λ 2

dove R2 è la distanza fra il ricevitore e il punto in cui si erge l’ostacolo. Da considerazioni geometriche

Figura 3.20:

Zone di Fresnel.

e supponendo che R1 , R2 >> ρk , si può scoprire che il punto Pk si trova in posizione tale che la somma delle distanze da tale punto a R e T è costante. Il punto Pk appartiene quindi ad un’ellisse27 di fuochi T e R. Ciò significa che al variare di R1 , la circonferenza di raggio ρk si sposta, ma appartiene sempre ad un ellissoide di fuochi T e R detto kmo ellissoide di Fresnel (figura 3.21).

Figura 3.21:

Esempio di un ellissoide di Fresnel.

Visto il modo col quale abbiamo definito gli ellissoidi (i raggi rk sono sfasati di mezze lunghezze d’onda), e facendo l’ipotesi di prendere in considerazione aperture circolari, si ha che i contributi portati dalla (k + 1)ma zona sono sfasati esattamente di π rispetto a quelli portati dalla kma ; quindi se la prima zona di Fresnel passa attraverso l’apertura allora verranno annullati (cioè bilanciati) i contributi della 27 L’ellisse è definita come il luogo dei punti, in un piano, la cui somma delle distanze da due punti fissi dati (detti fuochi) è costante.

32

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

33

seconda. Generalizzando possiamo dire che, se passano un numero pari di zone di Fresnel, si avrà un minimo del campo, mentre si avrà un massimo se questo numero è dispari (vedi fig. 3.22).

Figura 3.22:

Diffrazione da apertura circolare e zone di Fresnel.

33

34

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE IN PRESENZA DI DISCONTINUITÀ

34

Capitolo 4

Modelli empirico-statistici 4.1

Tipologie di modelli

I modelli che vengono usati per il calcolo del campo dipendono fortemente dall’ambiente in cui si vogliono fare le misure e dall’accuratezza che si vuole ottenere. Modelli deterministici (come quello di Ray Tracing, che vedremo successivamente) comportano una notevole complessità di calcolo e un numero molto elevato di informazioni necessarie a priori. Per contro, modelli statistici potrebbero non adattarsi perfettamente all’ambiente e restituire espressioni non molto precise, col vantaggio - però - di una complessità molto minore. Possiamo dividere gli ambienti in due fondamentali categorie: • ambiente rurale caratterizzato da: – propagazione in spazio libero (capitolo 1.1); – riflessione al suolo (capitolo 3.3); – diffrazione da knife-edge (capitolo 3.6); • ambiente urbano che può essere esaminato con diversi modelli: – Over-Roof-Top Propagation ORT (sopra gli edifici); – Lateral Propagation (ai lati degli edifici); – Indoor Propagation (all’interno degli edifici); Quando la stazione radio base si trova al di sopra delle costruzioni (Over-Roof-Top) la maggior parte della propagazione avviene in spazio libero, e le interazioni avvengono solo nell’ultimo tratto di percorso (figura 4.1.a: si tenga presente che collegamento può essere di diversi Km). Per semplificare la trattazione si possono omettere gran parte delle discontinuità e considerare solamente l’attenuazione principale più il fading: questa procedura caratterizza i modelli di tipo Hata-like con 2 < α < 4. Se al contrario la stazione base si trova ad un’altezza inferiore all’altezza degli edifici circostanti (figura 4.1.b), la propagazione avviene tra questi ultimi (Lateral Propagation). In questo caso non si può utilizzare un modello puramente statistico, ma serve ora una componente deterministica che prenda in considerazione tutte le interazioni (riflessione, rifrazione, diffrazione e lo scattering). Quando i terminali si trovano all’interno di edifici (figura 4.1.c), la propagazione dipende fortemente dalla struttura dell’edificio (Indoor Propagation) ma sorprendentemente si avvicina più al modello in spazio libero che alla propagazione laterale. Comunque per una rigorosa valutazione è ancora necessario prendere in considerazione tutti i possibili fenomeni dovuti alla presenza di ostacoli. I vari modelli di possono essere definiti come: • euristici: se hanno bisogno di misure per essere validati (prima si fanno i calcoli col modello, poi se le misure lo smentiscono allora significa che c’è qualcosa da aggiustare); • empirici: se hanno bisogno di misure per essere derivati (prima si fanno le misure, dopodiché i risultati vengono manipolati per estrarre il modello); 35

CAPITOLO 4. MODELLI EMPIRICO-STATISTICI

36

(a) Over-Roof-Top Propagation.

(b) Lateral Propagation.

(c) Indoor Propagation. Figura 4.1:

Tipi di propagazione.

• fisici: se derivano da leggi fisiche. Inoltre, possono essere classificati come: • statistici: se i parametri principali sono forniti statisticamente per un generico ambiente; • deterministici: se i parametri principali sono forniti specificatamente (in maniera precisa e oggettiva) per un determinato ambiente. Spesso i modelli empirici sono anche statistici e prendono perciò il nome di modelli empirico-statistici1 (ES): tali modelli sono generalmente più semplici e veloci degli altri e vengono utilizzati soprattutto in fase di progettazione. La differenza principale tra i modelli ES e quelli ORT è che questi ultimi sono maggiormente deterministici in quanto necessitano di un profilo del radio collegamento come mostrato in figura 4.2. Da sottolineare che entrambi questi modelli sono incoerenti, cioè forniscono solo informazioni sulla potenza media, mentre le deviazioni rispetto a questa media costituiscono il fading (descrivibile solo statisticamente).

4.2

Il fading

Come noto, in ambiente reale l’andamento della potenza si discosta significativamente da quello previsto dalla formula di Friis. Si possono individuare 3 componenti principali (mostrati in figura 4.3): 1 Il connubio empirici + statistici è abbastanza naturale: le misure vengono generalmente fatte in un unico ambiente (in posizioni e istanti diversi) ma poi, per poter utilizzare i risultati anche in altre situazioni o in altri momenti, è necessario introdurre una certa componente statistica.

36

CAPITOLO 4. MODELLI EMPIRICO-STATISTICI

Figura 4.2:

37

il modello ORT necessita di un profilo del radio collegamento.

• termine dominante, funzione della distanza; • fading lento (oscillazioni lente); • fading rapido (oscillazioni rapide).

Figura 4.3:

Andamento della potenza in ambiente reale.

Il termine dominante è funzione della distanza, e si può rappresentare come  PR = P( R0 )

R0 R

α

dove α è la pendenza della retta di figura 4.4.a ed è un parametro compreso tra 2 e 4. Gli ostacoli presenti sul cammino di propagazione (ad esempio le montagne) causano perdite per diffrazione in quanto sono la causa dello shadowing (ovvero dello slow fading) mostrato in figura 4.4.b. Tale fenomeno può essere descritto tramite un andamento lognormale del tipo f (l ) = √

1 2πσl

·e

−

(ln l −µ)2 2σ2

Di conseguenza LdB avrà un andamento gaussiano il cui valore medio sarà il termine dominante. Abbiamo infine il fast fading, dovuto ai vari cammini multipli generati dall’interazione del segnale con i vari ostacoli presenti: tali cammini giungono al ricevitore dopo aver percorso distanze differenti e quindi con fasi differenti (a seconda delle quali possono comportare un contributo positivo, cioè costruttivo, o negativo, cioè distruttivo). Le oscillazioni rapide possono essere descritte tramite una variabile di Rayleigh: f r (r ) =

2r − r22 ·e l l2

con

l 2 = Er2

Solitamente, data L la componente dominante (e F ( L) la sua cumulativa) e Ps la probabilità di servizio, si vuole calcolare il Psimo percentile: L F tale che F ( L F ) = Ps 37

CAPITOLO 4. MODELLI EMPIRICO-STATISTICI

38

(a) Termine dominante dell’attenuazione.

(b) Fading lento. Figura 4.4:

Componenti dell’attenuazione in ambiente reale.

In presenza di fading si deve infatti tenere conto di una maggiore attenuazione L F (figura 4.5): per questo motivo si decide di fissare un certo margine (margine di fading MF ) in grado di includere nelle nostre formule l’effetto peggiorativo di tutti gli effetti sopra descritti. Si ha: MF = L F − L

Figura 4.5:

Margine di fading

In definitiva possiamo riscrivere la formula di Friis modificata, introducendo ulteriori le perdite Lc e supponendo di desiderare una determinata probabilità di servizio: PR = PT + GT + GR − L TOT L TOT = L(modello ) + MF + LC 38

CAPITOLO 4. MODELLI EMPIRICO-STATISTICI

4.3

39

I modelli Hata-like

I modelli Hata-like sono modelli statistici, derivati dalla formula originale di Hata del 1980 (che è stata ricavata sulla base delle misure di Okumura a Tokyo nel 1968): L = 69.55 + 26.16 log f − 13.82 log h BS − a(h BS ) + (44.9 − 6.55 log h BS ) log Rn Essa è applicabile solo se: R > 1Km

h BS > 30m

Le formule derivate da questa sono tutte del tipo L = K + 10α log(d) e misurano l’attenuazione media in funzione della distanza. In un grafico log-log come in figura 4.6 si può notare che l’attenuazione cresce linearmente con la distanza, con α inclinazione della retta2 . Questi

Figura 4.6:

Esempio di modello Hata.

modelli risultano particolarmente semplici e veloci ma presentano diversi svantaggi: • forniscono solo l’attenuazione; • sono validi solo per macro-celle; • sono validi solo a grandi distanze (Km); • hanno bassa accuratezza; • per ogni nuovo ambiente serve una nuova caratterizzazione; • servono descrizioni statistiche del fading.

4.4

Il modello di Epstein-Peterson

I modelli ORT sono modelli ibridi perché necessitano di informazioni deterministiche dell’ambiente ovvero necessitano del link profile, rappresentazione semplificata dello scenario reale in cui avviene la propagazione. Ogni edificio interposto tra trasmettitore e ricevitore è in questo caso schematizzato come un knife-edge dell’altezza corrispondente; un esempio è riportato in figura 4.7. 2 In

un grafico log-lineare si avrebbe una dipendenza esponenziale.

39

CAPITOLO 4. MODELLI EMPIRICO-STATISTICI

40

Figura 4.7:

Esempio di caratterizzazione tramite knife-edge

Come calcolare esattamente l’attenuazione supplementare3 da knife-edge viene descritto nel paragrafo 3.6. Qui vedremo invece un veloce esempio di calcolo per un singolo knife-edge (figura 4.8) riportando unicamente le formule principali4 : r 2 a+b ν= λ ab 1+j E = E0 2

Figura 4.8:

Z∞

2

e− j(π \2) x dx

ν

Esempio di un solo knife-edge

Benché per un solo knife-edge sia possibile ricondursi ad una formulazione in forma chiusa, ciò non è possibile per knife-edge multipli, per cui si sono sviluppati metodi euristici che si basano su considerazioni geometriche e su molteplici calcoli di singoli knife-edge. Il modello di Epstein-Peterson5 o della corda tesa, consiste nell’immaginare una corda tesa che collega trasmettitore e ricevitore, tale per cui solo i knife-edge toccati da tale corda saranno presi in considerazione, mentre gli altri verranno scartati (figura 4.9). Questa tecnica non risulta essere molto accurata se il numero di knife-edge supera i 4 o 5. Il modello si basa sulla scomposizione del cammino di propagazione in sottocammini parziali aventi due ostacoli come estremi. L’attenuazione supplementare totale è valutata come prodotto delle singole attenuazioni sui cammini parziali (figura 4.10). 3 Da

sommare poi a quella di spazio libero. il calcolo dell’attenuazione supplementare esistono anche diverse formule semplificate che approssimano quelle esatte. 5 Che, per le ragioni descritte in seguito, potremmo definire euristico-deterministico. 4 Per

40

CAPITOLO 4. MODELLI EMPIRICO-STATISTICI

Figura 4.9:

Figura 4.10:

4.5

41

Esempio modello di Epstein-Peterson.

L’attenuazione supplementare totale è valutata come prodotto delle singole attenuazioni sui cammini parziali.

Il modello di Berg

Il modello di Berg, a differenza del modello Epstein-Peterson che esamina la propagazione sul piano verticale, prende in considerazione la propagazione laterale (LP). Anche questo metodo è parzialmente deterministico in quanto è necessario fornire una caratterizzazione dell’ambiente con le strade e gli incroci fra esse. In figura 4.11 viene mostrato un esempio di ambiente in cui gli incroci sono rappresentati da nodi, e in cui: • s j è la distanza fisica del percorso j-esimo; • d j è la distanza effettiva del percorso j-esimo; • q j è il fattore di attenuazione.

Figura 4.11:

Esempio di modello di Berg.

41

CAPITOLO 4. MODELLI EMPIRICO-STATISTICI

42

L’attenuazione totale può allora essere calcolata come segue 

(n)

LdB = 20 · log

4πdn λ



dove i parametri sono così calcolabili (ricorsivamente): (

k j = k j −1 + d j −1 · q j −1 d j = k j · s j −1 + d j −1

con k1 = 1,

d0 = 0

I parametri q j devono essere caratterizzati per i diversi ambienti, infatti l’attenuazione per un incrocio è tanto maggiore quanto è maggiore θ j : in particolare, se θ j = 0 allora non c’è angolo e (ovviamente) non c’è perdita. Una semplice formula euristica per tali parametri è  q90 ν qi ( θ j ) = θ j · 90 dove q90 = 0.5

ν = 1.5

Anche per questo modello, vista la sua semplicità, ci si devono aspettare diverse limitazioni: • considera solo l’attenuazione; • considera solo il piano laterale; • è valido per piccole distanze; • necessita della caratterizzazione dell’ambiente.

4.6

Il modello multi-wall indoor

Il modello multi-wall si basa sul fatto che esiste sempre un cammino dominante (vedi fig. 4.12): l’attenuazione lungo tale cammino è calcolabile sommando le attenuazione dei cammini multipli a quella di spazio libero   Ntype 4πR + Lc + ∑ Nwi · Lwi + N f · L f LdB = 20 log λ i =1 dove • Lc = perdita costante; • Nwi = numero di muri di tipo i attraversati; • Lwi = attenuazione del muro di tipo i; • N f = numero di soffitti attraversati; • L f = attenuazione del soffitto; • Ntype = numero di tipi di muro attraversati.

42

CAPITOLO 4. MODELLI EMPIRICO-STATISTICI

Figura 4.12:

4.7

43

Esempio modello Multi-Wall.

In sintesi

I modelli empirico statistici non saranno precisi e puntuali come quelli deterministici, ma sono più semplici e immediati. In ambiente rurale viene considerata la propagazione in spazio libero, la dirazione da knife-edge e la riessione del suolo; in un ambiente urbano, costellato da edici, si usano invece i modelli over roof-top (trasmettitori in alto rispetto alle costruzioni: la propagazione avviene per gran parte del tempo in spazio libero, poi le interazioni avvengono presso gli edici fra i quali si trova ricevitore), di propagazione laterale (trasmettitore al livello degli edici: questi algoritmi hanno anche una componente deterministica) o indoor all'interno degli edici. I modelli possono essere: • euristici : devono essere validati dalle misure; • empirici : devono essere ricavati dalle misure; • sici : derivano da leggi siche; • statistici : i parametri principali sono forniti statisticamente; • deterministici : i parametri sono forniti specicatamente.

La distinzione è tuttavia sempre molto sfumata. In ambiente reale tre sono i contributi principali all'attenuazione di cui tenere conto: • il termine dominante, ovvero quello che compare anche nella formula di Friis, con un esponente α che

dipenderà dalle caratteristiche complessive dell'ambiente e sarà generalmente compreso fra 2 e 4;

• un termine di slow fading (shadowing ) dovuto alla presenza di ostacoli e statisticamente descritto mediante

andamento log-normale;

• un termine di fast fading dovuto al multipath, descritto mediante variabile di Rayleigh.

Per considerare tutti questi contributi si aggiunge alla formula di Friis un termine di attenuazione chiamato margine di fading : esso consiste semplicemente un'attenuazione aggiuntiva (calcolata in termini di probabilità di servizio) in grado di rendere la stima sucientemente peggiorativa da considerare tutte le eventualità di cui sopra. Alcuni modelli: • Hata-like : sono i più marcatamente empirici. Derivano dalla formula di Hokomura-Hata e descrivono

l'attenuazione come

L = K + 10α log d

Sono validi solo per macrocelle, per grandi distanze e forniscono solamente l'attenuazione. Poco accurati. • Epstein-Peterson: per il calcolo di dirazione da multipli knife-edge. Si immagina di tendere una corda

fra ricevitore e trasmettitore, in modo da individuare quali kinfe-edge eliminare (ovvero quelli che non lambiscono la corda). Dopodiché si calcola l'attenuazione di ogni percorso parziale, cioè generata da ogni dirazione. 43

CAPITOLO 4. MODELLI EMPIRICO-STATISTICI

44

• Berg : ottimi per la lateral-propagation. Si fa uso della planimetria della rete viaria e si specicano le

distanze fra ogni nodo (incrocio) oltre alla distanza eettiva (in linea d'aria) e agli 'angoli' fra le strade. Questi parametri vengono calcolati ricorsivamente e forniscono la distanza 'virtuale' da inserire nella formula d'attenuazione in spazio libero (tale distanza sarà chiaramente molto più grande di quella eettiva fra RX e TX).

• Multi-wall indoor : si usa all'interno degli edici. Si considera un'attenuazione specica per muri e sotti.

44

Capitolo 5

Teoria Geometrica della Propagazione

Figura 5.1:

Le teorie in gioco.

Questa teoria viene utilizzata quando la propagazione avviene in regioni con elevata concentrazione di ostacoli come muri piani e spigoli rettilinei. La teoria geometrica della propagazione, in particolare, è un’estensione dell’ottica geometrica (capitolo 2.4) ma non si assume più che λ → 0 cosicché ∆n → 0 su λ. Ciò non toglie tuttavia che si debba comunque avere che λ << delle grandezze in gioco (gli ostacoli). Si noti che l’ottica geometrica (GO) non prendeva in considerazione la diffrazione che ora viene invece inserita tramite la teoria geometrica della diffrazione (GDT).

5.1

Richiami: onda sferica

Il campo elettrico prodotto da una sorgente puntiforme si propaga nello spazio libero come onda sferica, ed in ogni punto può essere calcolato sia usando un sistema di riferimento centrato sulla sorgente sia facendo uso di una distanza di riferimento (figura 5.2). Se il campo alla distanza di riferimento R0 è E( R0 ) = E0

e− jβR0 R0

(5.1)

e− jβR R

(5.2)

ad una generica distanza R risulta essere 0

E( R) = E0 0

Dato che E0 = E0 = k pˆ si può riscrivere la 5.2 in relazione alla 5.1 e ottenere che     R0 R0 e− jβ( R− R0 ) = E · · e− jβs E( R) = E0 · R s + R0 45

(5.3)

CAPITOLO 5. TEORIA GEOMETRICA DELLA PROPAGAZIONE

46 Nella 5.3 si può definire

R0 s + R0

fattore di divergenza

Figura 5.2

5.2

Il fattore di divergenza

In generale le onde, a grande distanza dal trasmettitore, si possono considerare, almeno localmente, piane. Mentre il fattore di divergenza di tale onda non cambia se esse vanno in contro a riflessione, in caso di diffrazione la forma dell’onda si modifica e con essa anche il fattore di divergenza. In figura 5.3 è riportata un’onda cosiddetta astigmatica per cui il generico fattore di divergenza, in mezzo omogeneo, vale: r r ρ1 · ρ2 dA0 A ( ρ1 , ρ2 , s ) = = (5.4) dA ( ρ1 + s ) ( ρ2 + s ) Per come viene definito, tale parametro: • è intrinsecamente legato al principio di conservazione della potenza1 ; • sarà sempre compreso fra 0 e 1; • tanto più si avvicina ad 1 e minore sarà la divergenza del tubo di flusso; • viceversa, tanto più si avvicina a 0 e maggiore sarà l’’apertura’ suscitata della divergenza. Si noti che l’onda astigmatica rappresenta un caso largamente generale che ’contiene’ tutti gli altri: ρ0 ρ0 + s

• ρ1 = ρ2 = ρ0 : onda sferica → A =

• ρ1 = ∞, ρ2 = ρ0 : onda cilindrica → A =

q

ρ0 ρ0 + s

• ρ1 = ρ2 = ∞: onda piana → A = 1 Il fattore di divergenza fornisce la legge di attenuazione del campo (e quindi anche della potenza) lungo il raggio; a distanza s per una generica onda in spazio libero si può infatti scrivere: r ρ1 ρ2 E ( s ) = E (0) · · e− jβs (5.5) ( ρ1 + s ) ( ρ2 + s ) 1 Infatti:

r A=

v r u u | E |2 dA0 1 =t = dA L | E0 |2

Dove L è il termine d’attenuazione.

46

CAPITOLO 5. TEORIA GEOMETRICA DELLA PROPAGAZIONE

Figura 5.3:

47

Onda astigmatica generica.

Dato che il campo elettrico è un campo vettoriale si deve tenere presente anche il vettore di polarizzazione ˆ esso è un versore avente la stessa polarizzazione del campo, ed è definito come p: pˆ ,

5.3

E(s) · e jχ |E(s)|

Principi Base

La teoria geometrica della propagazione trattata di seguito si basa sui seguenti principi: • il principio del campo locale – l’onda può essere assunta localmente piana (per il coefficiente di interazione); – la parete si può localmente considerare infinita (il campo dipende solo dal raggio incidente e dalle caratteristiche elettromagnetiche e geometriche dell’ostacolo); • il principio di Fermat – la traiettoria del raggio è tale da minimizzare il cammino ottico. Quindi la seguente teoria non è più valida se ci si trova vicino al trasmettitore (le condizioni di campo lontano non sono rispettate), o se la parete ha dimensioni paragonabili alla lunghezza d’onda.

5.4

Diffrazione

L’estensione al caso della diffrazione nella GO fu introdotta da Keller nel 1961 e si basa sulle due seguenti assunzioni: • un raggio diffratto si genera quando un raggio incide su uno spigolo (o su un vertice); • per ogni raggio diffratto vale il principio di Fermat. La legge della diffrazione afferma che l’angolo tra raggio incidente/rifratto e spigolo2 soddisfa la legge di Snell. Quindi con riferimento alla figura 5.4 deve valere: ni · sin θi = nd · sin θd 2 In

ambiente urbano solo gli spigoli rettilinei sono di interesse.

47

CAPITOLO 5. TEORIA GEOMETRICA DELLA PROPAGAZIONE

48

Se si considerano raggi nello stesso materiale (ni = nd ) la legge si riduce semplicemente a: θi = θ d Tutti i raggi diffratti devono perciò appartenere al cosiddetto cono di Keller (vedi figura 5.4). L’onda

Figura 5.4:

Tutti i raggi difratti appartengono al cono di Keller

diffratta è tale che una delle due caustiche coincide con lo spigolo, quindi il fattore di divergenza di tale onda sarà differente da quello dell’onda incidente. Il campo elettrico diffratto può essere calcolato risolvendo le equazioni di Maxwell, sottraendo in qualche modo il campo incidente e il campo riflesso, e infine sviluppando in serie di Luneberg-Kline; troncando al primo ordine tale serie si ricava il coefficiente di diffrazione. Come detto il campo deve rispettare la legge 5.5, ma sappiamo che una caustica coincide con lo spigolo. 0 Con riferimento alla figura 5.5 è quindi utile scegliere come punto di riferimento (O ) proprio il punto di incidenza (Q D ): si ottiene così ρ2d = 0

Figura 5.5

Introducendo D, matrice di diffrazione che contiene i coefficienti di diffrazione, possiamo scrivere: Ed (s) = Ei ( Q D ) · D · A(ρd , s) · e− jβs 48

CAPITOLO 5. TEORIA GEOMETRICA DELLA PROPAGAZIONE

49

Come per i coefficienti di riflessione, anche in questo caso possiamo scindere il campo in due polarizzazioni (hard, TE, e soft, TM); così facendo la matrice D diventa una 2 × 2 (figura 5.6)

Figura 5.6

Assunto che ρ2d = 0, l’espressione generale del fattore di divergenza per un onda sferica incidente risulta essere, dopo l’interazione: s ρd A(ρd , s) = s · (ρd + s) Il calcolo dei coefficienti di diffrazione (matrice D) può risultare spesso molto complesso e di seguito non si tratterà tale sviluppo: diremo unicamente che in caso di diffrazione lo spazio si può dividere in 3 differenti regioni, divise da discontinuità (vedi figura 5.7).

Figura 5.7

49

CAPITOLO 5. TEORIA GEOMETRICA DELLA PROPAGAZIONE

50

5.5

Esempio Riflessione

Utilizzando la GTP rivediamo ora come è possibile ricalcolare il campo dopo una riflessione di un’onda sferica, ricordando che in caso di riflessione non si modifica il fattore di divergenza (paragrafo 5.2). Introduciamo inoltre il diadico dei coefficienti di riflessione R: esso è una matrice che, se moltiplicata per il campo incidente, lo scompone nelle sue polarizzazioni e moltiplica ognuna di esse per il rispettivo coefficiente di riflessione. Con riferimento alla figura 5.8, il campo ad una qualunque distanza s risulta essere: e− jβ(s+s Er ( s ) = E0 · R · 0 s+s

0

)

Esso equivale dunque a:  Er ( s ) =

Γ TE 0

Figura 5.8:

5.6

v   0  − jβs0 u u ( s 0 )2 e 0 E TM t · ·e− jβs · 0 0
2 Γ TM E0TE s s+s

Esempio di riflessione di un’onda sferica.

Esempio Diffrazione

Quando invece che une riflessione abbiamo una diffrazione il fattore di divergenza si modifica come visto in precedenza. Con riferimento alla figura 5.9 e introducendo questa volta il dadico dei coefficienti di diffrazione D, si ottiene: 0 1 E d = E0 · D · q · e− jβ(s+s ) 0 0 s · s · (s + s) Sviluppando l’espressione del diadico possiamo scrivere: d

E (s) =



Ds 0

0 Dh



·

E0β0 E0ϕ0

!

·q

50

1 0

0

0

s · s · (s + s)

· e− jβ(s+s )

CAPITOLO 5. TEORIA GEOMETRICA DELLA PROPAGAZIONE

51

Figura 5.9

5.7

Esempio Doppia Interazione

Combinando i due casi precedenti possiamo ora calcolare il campo dopo due interazioni, una riflessione e una diffrazione come in figura 5.10.

Figura 5.10:

Doppia interazione.

51

CAPITOLO 5. TEORIA GEOMETRICA DELLA PROPAGAZIONE

52

Il campo nel primo punto di interazione è ovviamente ancora un’onda sferica: e− jβs E( Q R ) = E0 00 s

00

La prima interazione è una riflessione che quindi non modifica il fattore di divergenza (l’onda risulta essere ancora sferica): s 00

0

0 e− jβ(s +s (s00 )2 − jβs = E0 · R · 0 00 2 · e 00 (s + s ) s0 + s

e− jβs E( Q D ) = E0 00 · R · s

00

)

La seconda interazione è invece una diffrazione di un’onda sferica: il fattore di divergenza, dunque, si modifica3 e quindi l’onda non è più sferica: s (s00 + s0 ) − jβs  E( Rx ) = E( Q D ) · D · 00 0  ·e s s + (s + s ) Inserendo ora, nell’ultima espressione, lo sviluppo del campo nel punto D trovato precedentemente si ottiene: s 0 00 1 (s00 + s0 ) − jβ(s+s +s )  E( Rx ) = E0 · R · D · 00 = 0 · 00 0  ·e s +s s s + (s + s )

= E0 · R · D · q

1 0

0

00

0

00

· e− jβ(s+s +s

00

)

s(s + s )(s + s + s )

Come previsto, il risultato non rappresenta un’onda sferica.

5.8

In sintesi

Se uniamo l'ottica geometrica (alte frequenze, mezzi lentamente variabili) con la teoria geometrica della dirazione (considera la dirazione e brusche variazioni dell'indice di rifrazione) otteniamo la teoria geometrica della propagazione (che unisce le peculiarità e permette lo studio dei raggi). Ogni onda è dotata di un suo proprio fattore di divergenza: quello più generico di tutti appartiene all'onda astigmatica (denita da due caustiche e da due raggi di curvatura ρ1 e ρ2 ) e ha forma: r A ( ρ1 , ρ2 , s ) =

ρ1 ρ2 = ρ + ( 1 s ) ( ρ2 + s )

r

dA0 dA

Il fattore di divergenza non si modica nelle riessioni, ma sbarella nelle dirazioni! La teoria geometrica della propagazione si regge su due principi: quello del campo locale (onda considerata localmente piana e la parete contro la quale incide è considerata innitamente estesa) e quello di Fermat (i raggi minimizzano il cammino ottico). In particolare, quando un raggio incide su un vertice o su uno spigolo: • la legge di Fermat dice che ogni raggio diratto minimizza il cammino ottico; • la legge di Snell suggerisce che l'angolo diratto dovrà avere inclinazione rispetto allo spigolo di incidenza

pari a quella del raggio incidente.

Soddisfano questi requisiti tutti i raggi posizionati sul cono di Keller (che ha l'asse coincidente con lo spigolo). Chiaramente il fattore di divergenza dell'onda diratta sarà diverso da quello dell'onda incidente: in particolare, una delle due caustiche dell'onda diratta sarà locata sullo spigolo. Se D è la matrice contenente i coecienti di dirazione si avrà:   Ed (s) = Ei ( Q D ) · D · A ρd , s e− jβs

dove A è il fattore di divergenza e sarà pari a: s 



A ρd , 0, s = 3 Il

fattore di divergenza diventa A(s0 , s) =

q

s0 s·(s0 +s)

52

ρd
ρd + s s

CAPITOLO 5. TEORIA GEOMETRICA DELLA PROPAGAZIONE

53

Il ρ2 presente nella formula data precedentemente è pari a zero ma il fattore di divergenza è diverso da zero perché si presuppone il campo elettrico innito nel punto di incidenza. Eventualmente possiamo scindere il campo elettrico nelle sue polarizzazioni (lineari e ortogonali) TE e TM; inne, si dimostra che esistono tre zone attorno allo spigolo: quella in cui vi è solo il raggio diratto, quella in cui vi è il raggio diratto più quello diretto e un'ultima in cui sono presenti il raggio diratto, diretto e riesso. Volendo possiamo utilizzare i diadici, ovvero particolari matrici che - se moltiplicate per il campo incidente scompongono quest'ultimo nelle sue polarizzazioni e moltiplicano ognuna di esse per il rispettivo coeciente di riessione; si cita anche il fatto che i diadici possono essere ricavati anche per la riessione. Inne, è possibile tenere conto di interazioni multiple con la moltiplicazione successiva di più matrici (o diadici) di dirazione/riessione.

53

54

CAPITOLO 5. TEORIA GEOMETRICA DELLA PROPAGAZIONE

54

Capitolo 6

Modelli deterministici a raggi I modelli deterministici a raggi sono simulazioni numeriche della propagazione multi-cammino in accordo alla Teoria Geometrica della Propagazione (GTP). Essi comportano il calcolo i raggi che collegano i due terminali attraverso lo spazio libero e attraverso le interazioni con l’ambiente; a tal proposito, riflessione, rifrazione e scattering vengono anche detti eventi: solitamente si fissa un certo numero Nev (prediction order) di eventi da considerare. Questi modelli esistono sia in 3D che in 2D e possono fornire il campo al ricevitore oppure, se i parametri del ricevitore vengono inclusi nel modello, il segnale in uscita. Slow fading e fast fading vengono inclusi. I modelli a raggi possono fare riferimento ai rays o ai beams1 : si parla allora rispettivamente di Ray Tracing (RT) o Ray Launching2 (RL). In ogni caso si rende comunque necessario un environment database, cioè una mappa ambientale. I vantaggi di questi modelli sono, prevedibilmente: • grande accuratezza; • grande versatilità. Per contro gli svantaggi sono: • la necessità di un grande database; • l’alto costo computazionale3 . Con riferimento alla figura 6.1 si può filtrare il fast fading ricorrendo ad una sorta di media spaziale; si definiscono dunque l’errore medio e la deviazione standard dell’errore: e¯ =

1 N

v u u1 std(e) = t N

N

∑ ei

i =1 N

∑ (ei − e¯)2

i =1

Un grande problema di questi modelli è la necessità, come detto, di avere grandi database, costosi, difficili da maneggiare e spesso non molto accurati. Non essendo fattibile il prendere in considerazione tutte le caratteristiche elettromagnetiche di ogni superficie, si utilizzano valori standard4 . Questi database vengono creati in vari modi: tramite rilevazioni aeree, basandosi su mappe catastali o mappe cittadine.

6.1

Ray Tracing method

Per prima cosa si devono considerare tutte le possibili riflessioni e rifrazioni. La regione di visibilità dopo una o più riflessioni è costruita tramite un processo iterativo che sfrutta le immagini virtuali dei terminali; in figura 6.2, ad esempio, Tx è il trasmettitore reale, Tx 0 è la sua immagine rispetto al muro 1 mentre Tx 00 è l’immagine di Tx 0 rispetto al muro 2. 1A

differenza dei primi questi hanno una sezione trasversale non nulla perché si adotta una discretizzazione spaziale. tiene conto della diffrazione. 3 Il tempo di simulazione cresce più che linearmente con N , per cui solitamente si fissa N = 3 − 4. ev ev 4 Per i muri, e a 2 GHz, in Europa si utilizzano e = 5 e σ = 10−2 . r 2 Non

55

CAPITOLO 6. MODELLI DETERMINISTICI A RAGGI

56

Figura 6.1

Figura 6.2:

Esempio di costruzione delle regioni di visibilità per due riflessioni.

Per le diffrazioni invece la regione di visibilità è tutto il piano esterno allo spigolo in accordo col cono di Keller (vedere capitolo 5). Ora si deve costruire il cosiddetto view tree, ovvero un albero che racchiude tutti i possibili percorsi tra trasmettitore e ricevitore considerando Nev eventi; a tal proposito due punti si dicono in visibilità se esiste un cammino che li collega. La figura 6.3 mostra un esempio di albero: si parte dal trasmettitore e lo si collega con gli ostacoli (i nodi) in vista; da ogni nodo si continua poi allo stesso modo finché non si raggiunge il ricevitore, considerando al massimo Nev + 1 livelli. La compilazione dell’albero è la parte dell’algoritmo computazionalmente più pesante in quanto, se NV è il numero medio di ostacoli, l’albero sarà composto da ben M rami, con M uguale a: ( Nev +1)

M ≈ NV

Con il procedimento appena illustrato sorgono diversi problemi: • i punti di diffrazione sullo spigolo in 3D possono essere determinati esattamente solo dopo la visibilità; • se il raggio considerato subisce diffrazione, allora anche il punto di riflessione può essere calcolato solamente dopo la visibilità; • le informazioni contenute nell’albero non sono ancora quelle ’geometriche’ per il calcolo del campo (field computation). 56

CAPITOLO 6. MODELLI DETERMINISTICI A RAGGI

Figura 6.3:

57

Esempio di view tree.

Si rende necessaria quindi un’ulteriore fase, detta di backtracking: si parte dal ricevitore e si procede a ritroso fino al trasmettitore per scoprire, con un metodo geometrico, tali punti di interazione. Per le diffrazioni ad esempio, come mostrato in figura 6.4, il punto P di interazione può essere determinato dispiegando il piano di incisione e quello di diffrazione in un singolo piano verticale. Una volta che tutti i piani vengono ricondotti sullo stesso piano si può quindi tracciare un diagramma come quello di figura 6.5 tramite il quale si scopre se alcuni spigoli sono da non considerare (nell’esempio in figura si nota che lo spigolo centrale non viene in realtà colpito dal raggio, come invece si poteva dedurre dal view tree: il raggio prodotto da quella diffrazione dovrà quindi essere scartato).

Figura 6.4:

Per determinare P si devono dispiegare i due piani.

Eseguito anche il backtracking giunge infine il momento di calcolare il campo effettivo al ricevitore: per fare questo ricordiamo prima l’espressione del campo emesso in un generico punto P(r, θ, φ) da 57

CAPITOLO 6. MODELLI DETERMINISTICI A RAGGI

58

Figura 6.5:

Esempio di backtracking.

un’antenna in perfetto adattamento di impedenza5 : r ET (r, θ T , ϕ T ) = IT

ZT · η · gT (θ T , ϕ T ) e− jβr e− jβr · · pˆ T (θ T , ϕ T ) = ET0 (r, θ T , ϕ T ) 16π r r

(6.1)

Per il k-esimo raggio dobbiamo considerare tutte le interazioni subite nel suo percorso; a tal proposito, una formula generale può essere la seguente   EkT

=

k Nev

Ak (skl ) · 

∏

k Dl  · ET0 (θ Tk , ϕkT ) · e− jβs

k

(6.2)

k } l =min{1,Nev

k è il numero di rimbalzi del k-esimo raggio, A il fattore di divergenza complessivo, sk la dove Nev k l lunghezza dell’l-esimo segmento e sk la lunghezza totale del percorso dispiegato. Una volta calcolato il campo per ogni raggio, si devono prendere in considerazione le caratteristiche dell’antenna ricevente: ogni raggio darà infatti il suo contributo (costruttivo o distruttivo) al segnale ricevuto imprimendo sull’antenna RX una certa corrente. Dato in figura 6.6 il circuito equivalente dell’antenna ricevente il k-esimo raggio sarà foriero di un contributo pari a:

s Ik = − jλ

Re{YR } · gR (θ R , ϕ R ) · { pˆ R (θ R , ϕ R ) · EkT } πη

(6.3)

Se si suppone perfetto adattamento in potenza anche in ricezione6 si può scrivere (formulazione coerente)

Figura 6.6:

Circuito equivalente d’antenna.

la potenza come contributo di tutti i raggi:

PR = 5 Quindi

PT =

6 Quindi

PR =

 2  s k k N ∑ − jλ Re{YR } · gR (θ R , φR ) · { pˆ R (θ k , φk ) · Ek } R R T πη k =1 8 · Re{YR }

ZT IT2 8 . | IRTOT |2 . 8·Re{YR }

58

(6.4)

CAPITOLO 6. MODELLI DETERMINISTICI A RAGGI

59

Sviluppando quest’ultima e assumendo perfetto adattamento di polarizzazione, giungiamo alla seguente espressione della potenza (formulazione non coerente): PR =

N λ2 · ∑ gR (θ Rk , ϕkR ) · | ETk |2 8πη k=1

(6.5)

Si noti che riscrivendo quest’ultima espressione nel caso di un solo raggio si riottiene esattamente la formula di Friis. Diamo ora uno sguardo all’indoor ray tracing riportandone di seguito le principali caratteristiche: • è necessario un approccio 3D (quindi complicato); • è necessario considerare trasmissioni multiple; • è richiesta una mappa molto dettagliata dell’edificio; • il mobilio può avere un impatto rilevante me non è descritto nella mappa, quindi potrebbe esservi un non prevedibile scattering; • possono esserci anche cammini esterni all’edificio. Per questi ed altri motivi, il ray tracing va modificato per poter essere utilizzato indoor: nella sua formulazione standard, infatti, esso risulta essere meno conveniente di un più semplice schema multiwall, che permette il calcolo dell’attenuazione una volta che si ha a disposizione il numero di muri, il numero di soffitti e un’attenuazione specifica per ciascuno di essi. In figura 6.7 si vede che aumentare a dismisura il numero di eventi considerati non produce miglioramenti rilevanti: è quindi inutile assumere un Nev esageratamente alto.

Figura 6.7:

6.2

Dopo qualche interazione l’errore medio si stabilizza.

Ray Tracing semplificato

I modelli a raggi semplificati derivano concettualmente dal modello a raggi deterministico, con la differenza che l’insieme dei percorsi viene semplificato, prendendo in considerazione solo i raggi principali, per alleggerire il carico computazionale. Solitamente il modello viene ’sfrondato’ determinando i piani in cui la maggior parte dei raggi giace, ed utilizzando per tali piani un modello 2D (computazionalmente molto più leggero di uno 3D); tale approccio non è tuttavia molto rigoroso in quanto la propagazione avviene sempre in 3 dimensioni. Le scelte spesso utilizzate prendono perciò in considerazione: • modello 2D + 2D; • modello quasi-3D (VPL). 59

CAPITOLO 6. MODELLI DETERMINISTICI A RAGGI

60

In figura 6.8 è mostrato un esempio di utilizzo del modello 2D+2D; la propagazione viene scomposta in due piani: quello verticale (VP) e quello laterale7 (LP). Per ognuno di essi si utilizza poi il modello appropriato di propagazione (vedere paragrafo 4.1).

Figura 6.8:

Esempio di uso del modello 2D+2D

Per concludere diciamo che, se in un modello a raggi coerente si vuole considerare anche lo scattering diffuso, si deve allora ricorrere ad un modello ibrido8 : i raggi coerenti (quelli che non hanno subito interazioni diverse dalla semplice riflessione) vengono trattati con le formule che tengono in considerazione la polarizzazione; i raggi che invece hanno subito almeno un’interazione di scattering vengono trattati in maniera non coerente.

6.3

In sintesi

I modelli deterministici sono il non-plus-ultra dell'accuratezza e della versatilità (considerano persino lo slow fading e abbiamo pure modo di ltrare il fast fading ) ma a che prezzo! Computazionalmente sono un disastro: servono dettagliati database per fornire i dati al calcolatore, grandi memorie per conservare i risultati e il tempo

di calcolo cresce più che linearmente col numero di eventi e di ostacoli considerati. Siccome non abbiamo tutto questo tempo, si limita il numero di iterazioni (eventi) e si cerca di semplicare dov'è possibile. Il metodo denominato ray tracing cerca di ricostruire l'albero di visibilità (view tree ), ovvero la sequenza 'strutturata' (e in qualche modo cronologica) di oggetti visti dai raggi, sfruttando il teorema delle immagini e fermandosi a un numero di eventi predenito. Purtroppo i punti di dirazione sullo spigolo possono essere determinati solamente solo dopo la visibilità e non conosciamo precisamente il punto di incidenza dei vari raggi (addirittura alcuni eventi potrebbero essere da scartare perché l'interazione non è mai geometricamente avvenuta!), cosicché si necessita di una fase di backtracking per individuare i punti precisi e scartare eventuali rami prima di 7 La 8 In

propagazione sul piano laterale avrebbe rigorosamente luogo solo se i terminali avessero stessa altezza dal suolo. generale, tutti i modelli in cui sono presenti sia elementi statistici che deterministici sono chiamati modelli ibridi.

60

CAPITOLO 6. MODELLI DETERMINISTICI A RAGGI

61

eettuare la vera e propria eld computation. Possiamo scrivere, per il k-simo raggio: r ET (r, θ T , ϕ T ) = IT

ZT · η · gT (θ T , ϕ T ) e− jβr e− jβr · · pˆ T (θ T , ϕ T ) = ET0 (r, θ T , ϕ T ) 16π r r

La produttoria fa sì che si moltiplichi per una matrice di dirazione/riessione ad ogni evento. Supponendo perfetto adattamento in polarizzazione e in potenza, all'antenna ricevente arriverà: PR =

N λ2 · ∑ gR (θ Rk , ϕkR ) · | ETk |2 8πη k=1

In ambiente indoor il ray tracing è comunque possibile, ma è richiesta una mappa molto dettagliata dell'edicio, è necessario considerare trasmissioni multiple e considerare anche cammini esterni, quindi il gioco probabilmente non vale la candela ed è meglio ripiegare per un metodo empirico-statistico (multiwall, ad esempio). Per semplicare il ray tracing è possibile utilizzare modelli 2D+2D (piano orizzontale + piano verticale) oppure 3D semplicati (prima facciamo i calcoli sul piano orizzontale e poi immaginiamo di trasformare i raggi in piani e di passare il 3D). Se si vuole considerare anche lo scattering, invece, servirà un modello ibrido. Alternativamente esiste anche il ray launching, che è come il ray tracing solo che lo spazio viene discretizzato e ad ogni parte viene associato un singolo raggio. Il ray launching è pertanto meno preciso del ray tracing e non tiene conto della dirazione.

61

62

CAPITOLO 6. MODELLI DETERMINISTICI A RAGGI

62

Capitolo 7

Il Canale Radiomobile Abbiamo visto, nei capitoli precedenti, quanto la presenza di ostacoli lungo il cammino tra trasmettitore e ricevitore possa influire sulla reale propagazione: in generale, visto che la propagazione difficilmente avviene in condizioni assimilabili a quelle ideali, si avranno sempre fenomeni quali cammini multipli, riflessioni, rifrazioni e scattering. Vogliamo in questo capitolo dare una descrizione della funzione di trasferimento del canale radiomobile: com’è naturale aspettarsi, essa sarà in funzione di due parametri (più le loro trasformate) ovvero il tempo e la frequenza. Questo significa che il canale non si comporterà sempre allo stesso modo per due diverse frequenze (a parità di istante temporale) o nel tempo (prendendo in considerazione una singola frequenza). Quando siamo in presenza di cammini multipli, infatti, il segnale giunge al ricevitore attraverso percorsi diversi e quindi con ritardi differenti: questo fenomeno aggrava nelle trasmissioni numeriche l’interferenza intersimbolica (ISI), ovvero il processo tale per cui - al ricevitore - i vari simboli si sovrappongono1 in quanto arrivano con ritardi diversi. Il ricevitore e/o il trasmettitore, inoltre, potrebbero muoversi durante la trasmissione e in tal caso la velocità dei loro spostamenti sarà da tenere in considerazione. Questi due aspetti congiunti danno una funzione di trasferimento come quella di figura 7.1 in cui si ha selettività in frequenza e selettività nel tempo.

Figura 7.1:

Funzione di trasferimento del canale radiomobile.

Se immaginiamo di sezionare la funzione con un piano a t = costante vediamo che l’ampiezza della funzione varia al variare della frequenza: si dice allora che il canale è affetto da fading in frequenza; viceversa, se sezioniamo la funzione con un piano a f = costante si nota che, per la stessa frequenza, si hanno differenti valori: si parla allora di fading nel tempo. Da sottolineare il fatto che, se si considera una piccola 1 Sia

all’interno dello stesso simbolo, sia tra simboli adiacenti. Che disastro!

63

CAPITOLO 7. IL CANALE RADIOMOBILE

64

area della superficie, la funzione di trasferimento si può approssimativamente considerare costante sia nel tempo sia in frequenza. Nel capitolo 6 abbiamo visto che il fasore della corrente complessiva impressa sull’antenna ricevente si può scrivere come: i

IRi = | IRi | · e jArg( IR ) = ρi · e jθi

(7.1)

Possiamo tuttavia scrivere tale fasore complessivo come contributo di tutti gli Nr cammini: Nr

IR =

∑ ρi · e jθi

(7.2)

i =1

dove ρi e θi sono ampiezza e fase dell’i-esimo cammino. Nel dominio del tempo ciò significa che abbiamo una sovrapposizione di Nr sinusoidi.

7.1

Caso statico

Quanto detto fino ad ora è valido solo nel caso in cui si trasmettano sinusoidi pure, con frequenza costante e ampiezza periodica; ma sappiamo bene che con tali segnali non si trasporta alcuna informazione e che, invece, i segnali reali hanno sempre un’ampiezza ed una frequenza che variano nel tempo (modulazione di ampiezza o di frequenza). Per poter lavorare coi fasori dobbiamo allora fare riferimento all’equivalente passa basso (figura 7.2) e agli inviluppi complessi rappresentativi2 .

Figura 7.2:

Equivalente passa basso.

Immaginando di inviare un unico segnale attraverso un’antenna trasmittente dislocata in modo che si abbia propagazione multicammino, il segnale y(t) all’uscita dal canale sarà quindi una somma di repliche dello stesso segnale (una per cammino): • ritardate di ti , • moltiplicate per ρi (e quindi attenuate, perché salvo fenomeni particolari di interferenza costruttiva ρi è sempre  1), • sfasate di θi . Possiamo quindi buttare giù tutto quanto in formule: Nr

y(t) = x (t) ∗ h(t) =

∑ Re{ρi · u (t − ti ) · e j{2π f0 (t−ti )+θi } }

(7.3)

i =1

Anche se ora sembra un’operazione superflua, scriviamo y(t) come anti-trasformata di Steinmetz del suo equivalente passa-basso v(t) (fare riferimento allo schema 7.2): y(t) = Re{v(t) · e j2π f0 t } 2 Sono

fasori con ampiezza e frequenza varianti nel tempo del tipo u(t) = A(t) · e jα(t) tali che x (t) = Re{u(t) · e j2π f0 t }

64

(7.4)

CAPITOLO 7. IL CANALE RADIOMOBILE

65

In quanto uscita di un sistema definito dalla risposta impulsiva h0 (t) (versione passa-basso della risposta impulsiva originaria h(t)), v(t), equivalente passa basso di y(t), può essere scritto come la convoluzione tra u(t) e h0 (t):   y(t) = Re{

Z∞

h0 (ε) · u(t − ε)dε · e j2π f0 t }

(7.5)

−∞

Dunque h0 (t), equivalente passa basso della risposta impulsiva, sarà quella funzione che, se inserita nella 7.5, darà la 7.3. Coma fare a trovarla? Osserviamo la 7.3 e la 7.5: in comune hanno il termine esponenziale e j2π f0 t e la funzione u(t) (equivalente passa-basso di x (t)), calcolata da una parte in t − ti e dell’altra in t − e: per fare sì che la 7.3 e la 7.5 coincidano, quindi: • dobbiamo sfruttare la proprietà di vaglio della Delta di Dirac3 in modo che u(t) sia calcolata nel punto giusto; • dobbiamo includere in h0 (t) i rimanenti termini esponenziali: e j(−2π f0 ti +θi ) e il termine di ampiezza ρi . Otteniamo dunque: Nr

h0 ( t ) =

∑ ρi · δ [t − ti ] · e j{−2π f0 ti +θi }

i =1

Ora che abbiamo la risposta impulsiva nella sua versione passa-basso, possiamo trasformare secondo Fourier per ottenere l’equivalente passa basso della funzione di trasferimento: Nr

H( f ) =

∑ ρi · e j{−2π( f + f0 )ti +θi }

i =1

Facendo riferimento ai moduli dei segnali, l’uscita si può rappresentare come in figura 7.3; i ritardi dei cammini possono provocare interferenza inter-simbolo: perché essa non sia presente il tempo di simbolo TS (cioè quanto tempo intercorre fra la trasmissione di due simboli) deve essere sufficientemente maggiore dei ritardi con cui arrivano le copie di ogni simbolo (cosicché esse non si sovrappongano alle copie del simbolo successivo): Ts >> timax − timin = ∆t (7.6) Il segnale in ingresso non deve cioè variare troppo velocemente rispetto al ritardo massimo.

Figura 7.3:

Risposta impulsiva del canale.

Quanto detto comporta distorsione in frequenza: ovvero la H ( f ) non ha modulo costante in frequenza (vedi fig. 7.4). Per non avere tale fenomeno è necessario che il segnale abbia una banda B sufficientemente piccola rispetto alla banda di coerenza Bc in maniera tale da non percepire le variazioni in frequenza della funzione di trasferimento. Se B << Bc allora si ha perciò fading piatto; in caso contrario si ha fading selettivo in frequenza (figura 7.5). La banda di coerenza è quindi quella frazione di banda entro la 3 δ(t − t

i) ∗

x (t) =

R∞ −∞

δ(ε − ti ) · x (t − ε)dε = x (t − ti )

65

CAPITOLO 7. IL CANALE RADIOMOBILE

66

Figura 7.4:

Propagazione multicammino: la H ( f ) non ha modulo costante in frequenza

quale possiamo considerare la funzione di trasferimento (approssimativamente) invariante. In prima approssimazione si può dire che: 1 1 (7.7) Bc ≈ = max ∆t ti − tmin i Quindi le due condizioni di distorsione, nel tempo e nella frequenza, coincidono.

Figura 7.5:

7.2

Fading piatto e selettivo.

Caso dinamico

Vediamo ora cosa succede se il ricevitore si muove4 : in tal caso si ha effetto Doppler5 , dunque dovremo considerare, per il nostro segnale, una frequenza Doppler; la questione, quindi, si complica dato che ora ampiezze e ritardi sono dipendenti dal tempo. Si assume un tempo ξ dei segnali detto tempo relativo (o tempo in eccesso), differente dal tempo di canale t: il tempo t è quello in cui cambia il canale (cioè la sua funzione di trasferimento), mentre ξ è una piccola variazione intorno a t entro la quale varia il segnale. L’uscita ha ora un’espressione del tipo: Nr

y(t, ξ ) =

∑ Re{ρi (t) · u (ξ − ti (t)) · e j{2π f0 [ξ −ti (t)]+θi (t)} }

(7.8)

i =1

Come si nota, ora tutte le grandezze dipendono anche dal tempo (di canale). Con riferimento alla figura 7.6 associamo ad ogni cammino una frequenza Doppler pari a fi =

− f0 − f0 ˆ v · ki = v cos(α) c c

in cui versore kˆ i punta nella direzione di propagazione del cammino, f 0 è la frequenza di centro-banda del nostro segnale, c è la velocità della luce e v la velocità del ricevitore. Dalla formula si nota che se 4 Per

semplicità, nei seguenti esempi considereremo il trasmettitore immobile. Doppler è un cambiamento apparente della frequenza o della lunghezza d’onda di un’onda percepita da un osservatore che si trova in movimento rispetto alla sorgente delle onde. Per quelle onde che si trasmettono in un mezzo, come le onde sonore, la velocità dell’osservatore e dell’emettitore vanno considerate in relazione a quella del mezzo in cui sono trasmesse le onde. L’effetto Doppler totale può quindi derivare dal moto di entrambi, ed ognuno di essi è analizzato separatamente. 5 L’effetto

66

CAPITOLO 7. IL CANALE RADIOMOBILE

67

il ricevitore si sta allontanando dalla sorgente allora il coseno di α (che avrà valori fra −π/2eπ/2) è compreso tra 0 e 1 e dunque la frequenza Doppler associata a quel cammino è inferiore a quella del segnale originario. Viceversa se l’angolo α è compreso fra π/2e3π/2 significherà che il ricevitore si sta avvicinando alla sorgente quindi la frequenza Doppler sarà maggiore a quella originaria6 . Facendo le

Figura 7.6:

Mobilità del terminale ricevente.

seguenti approssimazioni: • ρi e θi lentamente varianti (trascuriamo la dipendenza dal tempo), • inviluppo complesso del segnale con durata limitata, • dipendenza dei ritardi dal tempo linearizzabile7 , possiamo riscrivere la 7.8 come: Nr

y(t, ξ ) =

∑ Re{ρi · u [ξ − ti ] · e j{2π f0 ξ +2π fi t−2π f0 ti +θi } }

(7.9)

i =1

Effettuando un procedimento analogo al caso statico (paragrafo 7.1) si ottengono le espressioni per la risposta impulsiva e la funzione di trasferimento (notiamo ora che ora entrambe sono funzioni di due variabili, tra cui il tempo!): Nr

h0 (t, ξ ) =

∑ ρi · δ [ξ − ti ] · e j{2π fi t−2π f0 ti +θi }

i =1

Nr

H (t, f ) =

∑ ρi · e j{2π fi t−2π( f0 + f )ti +θi }

i =1

La frequenza f nella seconda equazione la trasformata di Fourier8 del tempo in eccesso (ξ) nella prima. Si ha quindi una simmetria: a causa dei ritardi (temporali) dei cammini si ha una selettività in frequenza, mentre a causa dell’effetto Doppler (in frequenza) si ha una selettività nel tempo. Analogamente a prima si ha fading piatto nel tempo se: Td << Tc (7.10) dove Td è la durata del segnale, e Tc il cosiddetto tempo di coerenza del canale (analogo alla banda di coerenza, ma nel caso duale). Questo significa che il segnale deve essere contenuto all’interno di quella 6 In

questo caso è come se il ricevitore ’andasse incontro’ ai fronti d’onda, recependoli più velocemente rispetto ad un analogo caso statico (da qui l’aumento di frequenza dovuto all’effetto Doppler). 7 Si ha: f − 0 v cos α fi v cos α c ti ∼ t − = t − = ti + = i i f0 f0 c 8 X ( t, λ )

= F(s) [ x (t, s)] =

R∞ −∞

x (t, s) · e− j2πsλ dλ

67

CAPITOLO 7. IL CANALE RADIOMOBILE

68

fascia temporale (il tempo di coerenza) durante la quale il canale può essere considerato invariante rispetto alle variazioni dovute all’effetto Doppler. In maniera sempre approssimativa si può dire che: Tc ≈

1 1 = ∆v | f i |max

(7.11)

Spesso, invece che ricorrere a formule approssimate come quelle illustrate per Tc e Bc , si utilizzano i parametri di dispersione nel tempo e nelle frequenze Doppler: Delay Spread e Doppler Spread (vedere paragrafo 7.4) che tengono conto anche dei profili di potenza.

7.3

Le 4 funzioni del canale radiomobile

Abbiamo visto nei paragrafi precedenti che la funzione di trasferimento del canale radiomobile (H ( f )) dipende fondamentalmente dal tempo t e dalla frequenza f , ma possiamo per ognuna di esse calcolare la trasformata di Fourier e trovare così altri due parametri: ξ (tempo in eccesso) e ν (frequenza Doppler). Quindi abbiamo in totale 4 funzioni che descrivono il canale (vedi figura 7.7).

Figura 7.7:

Le 4 funzioni del canale radiomobile

Le 4 variabili si possono dividere in tue tipologie, quelle ’di tipo δ’ e quelle ’di tipo e’: le prime sono funzioni a impulsi, mentre le seconde sono funzioni continue. Abbiamo perciò: • ξ: tempo in eccesso di tipo δ; • t: tempo assoluto di tipo e; • ν: frequenza Doppler di tipo δ; • f : frequenza assoluta di tipo e.

7.4

Parametri di dispersione

Se consideriamo un determinato istante di sondaggio t = 0 si ha che h(t, ξ ) = h(0, ξ ) = h(ξ ) Dunque la risposta impulsiva del canale è funzione del solo tempo in eccesso. L’idea, ora, potrebbe essere quella di trovare un legame9 tra la risposta impulsiva del canale e la ricezione, lato destinatario, della potenza del segnale trasmesso. L’assunto che si fa è il seguente; una certa antenna trasmittente invia un segnale e, quindi, invia una certa potenza: tale potenza si frammenterà in molti cammini e giungerà al ricevitore ’alla spicciolata’. L’attitudine multipath del canale è d’altronde facilmente rilevabile nell’espressione della sua risposta impulsiva, che è un pettine di impulsi di Dirac posizionati, sull’asse 9 In

realtà, per come lo troveremo, sembrerà più che altro una forzatura. . .

68

CAPITOLO 7. IL CANALE RADIOMOBILE

69

temporale, ai generici ti (= ritardo del cammino i-esimo e quindi della potenza associata al cammino iesimo). Immaginando di prendere la nostra risposta impulsiva al quadrato e di normalizzarla (di dividerla R cioè per |h (ξ )|2 dξ) otterremo una quantità il cui integrale è esattamente 1, proprio come si avrebbe per una densità di probabilità. In essa sarà graficato il ’ritardo della potenza’ (power delay) ovvero il suo ’ordine di arrivo’ al ricevitore: integrare tale parametro (normalizzato!) fino a un certo tempo (in eccesso) ξ¯ equivarrà a calcolare la percentuale di potenza appartenente al segnale originario giunta al ricevitore ¯ Si definisce però il power-delay profile normalizzato10 : dal primissimo istante di arrivo (0) fino a ξ. p(ξ ) = R

|h(ξ )|2 |h(ξ )|2 dξ

(7.12)

Dualmente, se ci fissiamo ad una determinata frequenza f = 0, utilizzando la funzione F (ν) si definisce il power-Doppler profile normalizzato: pν (ν) = R

| Fν)|2 | F (ν)|2 dν

(7.13)

I power-profile vengono definiti solo per quei domini di tipo δ (cioè ad energia limitata), quindi solamente per ξ e ν. Possiamo infine interpretare p e pν come densità di probabilità e calcolarne come la deviazione standard (possiamo farlo in quanto abbiamo normalizzato la funzione, la quale avrà perciò tutte le caratteristiche di una probability density function); in questo modo arriviamo alla formulazione dei cosiddetti parametri di dispersione: qR R • delay spread:DS = p(ξ )(ξ − TM0 )2 dξ TM0 = ξ · (ξ )dξ • Doppler spread: W =

qR

pν (ν)(ν − W0 )2 dν

W0 =

R

ν · p(ν)dν

Ora possiamo fornire una più accurata espressione per la banda di coerenza ed il tempo di coerenza11 : Bc =

1 DS

Tc =

1 W

Nel caso discreto12 possiamo riscrivere tali espressioni semplificate per il power-deley profile e il delayspread: N

∑ ρ2i δ(ξ − ti )

p(ξ ) =

i =1

N

∑ ρ2i

i =1 N

TM0 =

∑ ξ i pi

i =1

v uN u DS = t ∑ (ξ i − TM0 )2 · pi i =1

E per power-Doppler profile e Doppler spread: N

∑ ρ2i δ(ν − f i )

pν (ν) =

i =1

N

∑ ρ2i

i =1 10 Tale

R che p(ξ )dξ = 1 questo motivo sono stati ’inventati’ i parametri di dispersione. 12 Quantità numerabile di raggi. 11 Per

69

CAPITOLO 7. IL CANALE RADIOMOBILE

70 N

W0 =

∑ f i pi

i =1

v uN u DS = t ∑ ( f i − W0 )2 · pi i =1

Dove: pi =

ρ2i

=

ρ TOT

ρ2i N

∑

i =1

7.5

(7.14)

ρ2i

Caratterizzazione multidimensionale

Per il canale radiomobile esistono diverse caratterizzazioni a seconda delle funzioni prese in esame: • narrowband characterization: si esamina la potenza ricevuta, il guadagno di tratta, la copertura, etc. . . • wideband characterization: si esaminano delay-spread, Doppler-spread, DS, W, Tc , Bc , etc. . . • multidimensional characterization: si prendono in considerazione tutti i parametri visti ma anche i parametri spaziali come l’angolo di arrivo, il power-angle profile, l’angle spread, etc. . . In pratica si tratta della caratterizzazione del canale rispetto a tutte le dimensioni in gioco: ampiezza, tempo, frequenza, frequenza Doppler e spazio. Questa trattazione porta alla nascita dei sistemi MIMO (Multiple Input Multiple Output). Prendiamo brevemente in considerazione l’estensione al dominio angolare: ogni raggio che arriva avrà un suo angolo (discreto) chiamato azimut13 φi quindi la h(t, ξ ) diventa ora: Nr

h0 (t, ξ, φ) =

∑ ρi · δ [ξ − ti ] · δ [φ − φi ] · e j{2π fi t−2π f0 ti +θi }

(7.15)

i =1

Esattamente come fatto in precedenza si può definire un power-azimuth profile: pφ (φ) = R

| H (φ)|2 | H (φ)|2 dφ

(7.16)

Nel caso ideale questo diventa semplicemente: N

pφ (φ) =

∑ pi δ(φ − φi )

(7.17)

i =1

L’angolo medio di arrivo è dato da14 φ¯ =

Z2π

φ · pφ (φ)dφ

(7.18)

0

Infine, in maniera conforme a DS e W l’angle spread nel caso discreto è dato da: v uN u AS = t ∑ pi (φi − φ¯ )2

(7.19)

i =1

Come ξ e ν, anche φ è un dominio di ’tipo δ’, ed ha come trasformata di Fourier la dipendenza spaziale r (che invece è un dominio di ’tipo e’15 ): se si guarda l’andamento della funzione di trasferimento rispetto ad r, nel caso ci siano diversi cammini, si ritroverà il tipico andamento alla Rayleigh del fast-fading. 13 Per

capirci, un angolo su un piano parallelo al terreno. questa formulazione viene ereditata dalla teoria della probabilità e, precisamente, dalla definizione di valore medio statistico. 15 La trasformata di una variabile di tipo δ è sempre una variabile di tipo e e viceversa. 14 Anche

70

CAPITOLO 7. IL CANALE RADIOMOBILE

7.6

71

Tecniche di diversità e MIMO

Il canale radiomobile è sempre soggetto quindi a fading nel tempo, nelle frequenze e nello spazio: questi fenomeni distorcono il segnale ricevuto, diminuendo così la capacità di canale, ovvero la massima bit-rate ammissibile ad una determinata BER16 . Quando il fading è piatto si può aumentare la potenza per diminuire la BER, ma quando il fading è selettivo la distorsione del segnale è ineludibile. Nei sistemi moderni non c’è più una chiara distinzione fra il fading piatto e quello selettivo, semmai si cerca di considerare il fading e la propagazione multicammino non più come un problema bensì come una risorsa. Per cercare di diminuire i problemi dovuti al multipath si utilizzano diverse tecniche: • Coding; • Diversity; • Equalization; tutte queste tecniche sono implementate nei sistemi MIMO (Multiple Input, Multiple Output). Le tecniche di diversità puntano in particolare sulla trasmissione di copie del segnale nel tempo, nella frequenza e nello spazio. Sfruttando la bassa correlazione del canale radio dopo una certa distanza si cerca di ricomporre tutte la copie dello stesso segnale per ottenere un cosiddetto diversity gain (più o meno alla stregua di quanto accadeva con il rake receiver). Esistono tre principali tipi di diversità sui tre domini di ’tipo e’: • time diversity: si cerca di replicare il segnale nel tempo con tecniche di interleaving; se il tempo tra un simbolo e la sua copia (inviata successivamente) sarà maggiore del tempo di coerenza del canale allora avremo una copia del segnale quasi indipendente dall’originale17 ; • frequency diversity: si replica il segnale su diverse portanti tali che la loro differenza sia maggiore della banda di coerenza del canale; • space diversity (o antenna diversity): è la tecnica più comune e consiste nel replicare il segnale tramite l’uso di più antenne collocate ad una distanza superiore della distanza di coerenza. Esistono due sottocategorie di diversità di spazio: – diversità d’angolo: l’antenna ricevente è formata da più antenne puntate in direzioni differenti, in modo da ricevere copie scorrelate del segnale; – diversità di polarizzazione: segnali che hanno polarizzazioni ortogonali vengono trasmessi da più antenne con polarizzazioni differenti e vengono ricevuti separatamente, e con le rispettive polarizzazioni, dai più antenne riceventi. Sfruttato soprattutto in ambiente urbano questo modus operandi garantisce una bassa correlazione tra i vari segnali. Nel seguito assumiamo fading piatto in frequenza, cosicché tutti i ritardi t1 . . . t N possano essere rimpiazzati da un ritardo medio t0 18 . Il generico segnale in arrivo al ricevitore da un determinato raggio, una volta sommato il rumore n, si può esprimere come: ν(t, ξ, r ) = u(ξ − t) · r (r) · e jθ (r) + n(ξ, r)

(7.20)

Per ottenere il segnale trasmesso si ricombinano linearmente i vari segnali ricevuti come mostrato in figura 7.8. Ogni ramo viene moltiplicato per un fasore αi tale da annullare la fase del segnale su quel ramo: αi = ai e− jθi

(7.21)

Il segnale finale risulta quindi essere semplicemente la somma di tutti i segnali rifasati e pesati secondo un certo criterio: M

aΣ =

∑ ai · ri

(7.22)

i =1

Le tecniche di combinazione di questi segnali possono essere molteplici: 16 Bit

Error Rate, ovvero probabilità d’errore per bit. cioè tempo al canale di ’scordarsi’ il segnale inviato. Si noti che comunque il tempo di trasmissione del singolo simbolo deve invece essere minore del tempo di coerenza! 18 B << B , ovvero T >> ∆t e possiamo prendere un ritardo medio per tutti i raggi. c s 17 Dobbiamo

71

CAPITOLO 7. IL CANALE RADIOMOBILE

72

Figura 7.8:

Combinazione lineare dei segnali ricevuti. Si noti che la formula in fondo alla figura è un rapporto segnale-rumore.

• Selection Combining: si seleziona solo il ramo che presenta il maggiore SNR e si scartano gli altri; • Equal Gain Combining: ogni segnale viene rifasato e pesato con lo stesso peso αi = e− jθi ; in tal caso si ottiene un SNR pari a !2 M 1 γΣ = ri (7.23) N0 M i∑ =1 • Maximum Ratio Combining: si pesa ogni ramo in proporzione all’SNR che presenta. Maggiore √ sarà l’SNR (e, quindi, più pulito sarà il segnale) e maggiore sarà il peso. Impostando ai = ri / N0 si ottiene un SNR equivalente alla somma di tutti gli SNR: M

∑ ri2

γΣ =

i =1

N0

M

=

∑ γi

(7.24)

i =1

La figura 7.9 mostra tutte le possibili degenerazioni del concetto di Multiple Input Multiple Output19 Come mostra la figura 7.10 per studiare tali sistemi viene naturale passare attraverso l’uso delle matrici, infatti si possono definire: • il vettore u¯ (ξ ) di NT elementi (segnali trasmessi); 19 Si noti che anche un classico collegamento ad un trasmettitore e ad un ricevitore si può comunque vedere come caso particolare di sistema MIMO.

72

CAPITOLO 7. IL CANALE RADIOMOBILE

Figura 7.9:

73

Esempi si sistemi MIMO.

• il vettore ν¯ (t, ξ, r) di NR elementi (segnali ricevuti); • il vettore n¯ (ξ, r) di NR elementi (rumore); • la matrice di canale H(t, ξ, r) di NT × NR elementi.

Figura 7.10:

Schematizzazione a matrice del canale MIMO.



 u1 ( ξ )   u¯ (ξ ) =  ...  u NT (ξ )   v1 (t, ξ, r)   .. v¯ (t, ξ, r) =   . v NR (t, ξ, r) 73

CAPITOLO 7. IL CANALE RADIOMOBILE

74



 n1 (ξ, r)   .. n¯ (ξ, r) =   . n NR (ξ, r)   h(t, ξ, r11 ) . . . h(t, ξ, r1NT )   .. .. .. H(t, ξ, r) =   . . . h(t, ξ, r NR 1 ) . . . h(t, ξ, r NR NT ) In questo modo è possibile formulare una relazione generica del canale MIMO: ν¯ (t, ξ ) = H(t, ξ ) ∗ u¯ (ξ ) + n¯ (ξ ) ,

Z

H(t, τ ) · u¯ (ξ − τ )dτ + n¯ (ξ )

τ

Se il canale è tempo-invariante e piatto in frequenza possiamo dimenticarci la dipendenza dal tempo in eccesso ξ: la relazione si riduce a ν¯ (t) ∼ (7.25) = H(t) · u¯ (t) + n¯ (t) Concludiamo elencando i principali vantaggi dei sistemi MIMO: • array gain: gli array di antenne presentano un guadagno maggiore delle singole antenne in quanto possono sfruttare la diversità per ’raggranellare’ maggiori quantità di potenza; • diversity gain: si migliora l’SNR (magari facendo uso di una tecnica di combinazione Maximum Ratio Combining); • multiplexing gain: possibilità di multiplare più segnali e quindi di aumentare la capacità del canale.

7.7

In sintesi

La funzione di trasferimento del canale radiomobile varia col tempo e nelle frequenze: si parla infatti di selettività (o fading ) nel tempo, dovuto allo spostamento del terminale mobile, e di selettività (o fading ) in frequenza, dovuto all'interferenza intersimbolica generata dal fenomeno del multicammino. Poniamoci nel caso statico: il trasmettitore e il ricevitore sono in due punti ssi. Sia: • x (t) (e il suo equivalente passa-basso u(t)) il segnale in ingresso; • h(t) (e il suo equivalente passa-basso h0 (t)) la risposta impulsiva del sistema, la cui trasformata è la funzione di trasferimento H ( f ); • y(t) (e il suo equivalente passa-basso v(t)) il segnale in uscita.

Possiamo scrivere l'uscita come somma di segnali attenuati, ritardati e sfasati (ognuno in base al cammino percorso), Nr

y(t) = x (t) ∗ h(t) =

n o − j(2π f 0 (t−ti )+ϑi ) Re ρ .u t − t e ( ) i i ∑

i =1

e come antitrasformata di Steinmetz del segnale passa-basso equivalente: n o y(t) = Re v (t) e j2π f0 t

Sfruttando la convoluzione y(t) = Re

  Z∞

h0 (ε) u (t − ε) dε·e j2π f0 t



  

−∞

e confrontando con l'espressione originaria otteniamo: h0 ( t ) =

Nr

Nr

i =1

i =1

∑ ρi δ (t − ti ) e j(−2π f0 ti +ϑi ) ⇒ H ( f ) = ∑ ρi e j(−2π( f0 + f )ti +ϑi ) 74

CAPITOLO 7. IL CANALE RADIOMOBILE

75

Tale funzione di trasferimento non è costante in sequenza, per cui il fenomeno del multicammino determina selettività in frequenza. Se la banda del segnale è tuttavia sucientemente piccola, ovvero minore della banda di coerenza, il fading può essere considerato piatto perché signica che la distanza temporale fra i simboli è maggiore del cammino con ritardo massimo. Mettiamoci nel caso dinamico: in questo caso si ha eetto Doppler, ovvero una variazione apparente della frequenza pari a fi = −

f0 f0 v · kˆ i = − v cos α c c

Ampiezze, sfasamenti, ritardi: nel caso dinamico tutto dipenderebbe dal tempo, ma noi sceglieremo di immaginare ρi e ϑi lentamente varianti. Nr

y(t, ξ ) =

∑ Re{ρi · u [ξ − ti ] · e j{2π f0 ξ +2π fi t−2π f0 ti +θi } }

(7.26)

i =1

Applicando un procedimento analogo a quello precedente otteniamo: Nr

h0 (t, ξ ) =

∑ ρi · δ [ξ − ti ] · e j{2π fi t−2π f0 ti +θi }

i =1

L'eetto Doppler provoca selettività in tempo: se tuttavia il segnale ha durata minore del tempo di coerenza, il relativo fading potrà anche questa volta essere considerato piatto. Possiamo sfruttare l'espressione della risposta impulsiva in funzione del tempo in eccesso ξ (tempo di variazione del segnale) e l'espressione della funzione di trasferimento in funzione della frequenza Doppler per denire due parametri importanti, i quali hanno le caratteristiche di una densità di probabilità e permettono di determinare in maniera più accurata la banda di coerenza e il tempo di coerenza. Considerando l'azimut (angolo rispetto al piano parallelo al terreno) come variabile aleatoria rispetto alla quale rappresentare la funzione di trasferimento possiamo, analogamente a quanto fatto nei casi precedenti, denire un power-azimut prole. Le tecniche di diversità sono un modo astuto per sfruttare: • il fatto che un unico segnale in trasmissione genera propagazione multicammino ed arrivi a destinazione in

tante copie fra loro sfasate;

• la replicazione del segnale su più portanti a diverse frequenze; • la presenza repliche di un segnale, giunte da antenne dislocate in punti diversi o aventi polarizzazione diversa.

Si parla quindi di diversità in tempo, in frequenza, in spazio, angolo e polarizzazione. Supponendo di non considerare selettivo il fading, i segnali giunti al ricevitore possono essere adeguatamente ricombinati per migliorare la qualità complessiva di ricezione. Fra le varie tecniche di combinazione: • selection combining : ci si ada al ramo di ricezione che percepisce il cammino a maggiore SNR; • equal gain: caso duale al precedente, si dà lo stesso peso a tutti i rami; • maximum ratio combining : si combinano le copie in modo ottimo, sfruttando un opportuno algoritmo e

pesando maggiormente i segnali a SNR maggiore.

Le tecniche di diversità sono alla base dei sistemi MIMO (Multiple Input Multiple Output ).

75

CAPITOLO 7. IL CANALE RADIOMOBILE

76

76

Capitolo 8

Tecniche di trasmissione Spread Spectrum Le tecniche Spread Spectrum (SS) sono diffuse in moltissimi sistemi (cellulari CDMA, UMTS, Wi-Fi, GPS, etc. . . ) e, al costo di una relativamente alta complessità e occupazione di banda, permettono di: • diminuire l’interferenza verso altri sistemi esistenti (in virtù della bassa densità spettrale di potenza); • fornire una protezione anti-jamming e anti-multipath per la soppressione di tutti i segnali indesiderati (compresi i cammini multipli), nonché anti-intercettazione per l’intrinseca codifica del segnale tramite un codice solo noto al destinatario; • effettuare accesso multiplo a divisione di codice (CDMA). Il principio che sta alla base di queste tecniche prevede che la banda B del segnale venga allargata artificialmente imprimendo al segnale utile un codice pseudo-noise ad elevata velocità di cifra. In ricezione, noto il codice di spreading, esso viene eliminato e il segnale risultante filtrato per ricostruire il segnale originale a banda stretta.

8.1

Direct-Sequence Spread-Spectrum

Figura 8.1:

Schema generale della codifica spread spectrum

Si parla di sequenza diretta in quanto la sequenza pseudo-noise (PN) viene direttamente moltiplicata1 al segnale da trasmettere: siccome si presuppone che la sequenza PN abbia un’elevata velocità di cifra rispetto al segnale, l’effetto netto di tale moltiplicazione sarà quello di aver allargato la banda del segnale da B a B0 , con B0  B. Chiameremo: 1 Si presuppone che l’operazione di moltiplicazione sia involutoria: se così non fosse, sarebbe impossibile per il destinatario effettuare il de-spreading e ottenere l’informazione utile.

77

CAPITOLO 8. TECNICHE DI TRASMISSIONE SPREAD SPECTRUM

78

• tempo di chip TC la durata di un bit della sequenza PN; • tempo di simbolo TS la durata di un simbolo della sequenza utile da trasmettere (per ipotesi si deve avere che TS  TC , visto che la frequenza della sequenza PN è molto elevata); • guadagno di processo la quantità Gp =

T B0 = S 1 B TC

Detto anche spreading factor, tale parametro indica il numero di chip con cui viene rappresentato ogni bit di informazione2 ; • a(t) il segnale dati; • s(t) il segnale allargato in virtù della moltiplicazione con la sequenza PN; • p(t) la sequenza PN (nota sia dal ricevitore che dal trasmettitore).

Figura 8.2:

Lo spreading nel caso antipodale

Al trasmettitore il segnale dati a(t) viene moltiplicato per la sequenza p(n): il risultato è il segnale s(t) allargato con banda B0  B. Al ricevitore il segnale a(t) viene recuperato sfruttando l’involutorietà della moltiplicazione: una volta effettuata l’operazione di sincronizzazione per poter agganciare la sequenza ricevuta alla copia locale della sequenza PN, il segnale ricevuto viene moltiplicato per p(t) e come risultato si ottiene la sequenza utile a(t). Il problema della sincronizzazione è molto delicato, non solo perché la sequenza PN è ad elevatissima frequenza di cifra, ma anche perché è assolutamente fondamentale che la sequenza p(t) per la quale viene moltiplicato il segnale sia molto poco (o per nulla) sfasata rispetto al segnale, pena l’attenuazione dello stesso e la sua definitiva perdita. Per una corretta sincronizzazione viene sfruttata la misura dell’autocorrelazione fra il segnale ricevuto e la sequenza PN localmente memorizzata nel ricevitore. 1 Autocorrelazione del segnale p(t) ⇒ R (τ ) = h p (t) ⊗ p (t + τ )i = NTC

ZTC

p (t) ⊗ p (t + τ ) dt

0

Proprietà delle sequenze PN è infatti quella di restituire un’autocorrelazione3 : 2 Al fine di ottenere la stessa chip rate del segnale in aria indipendentemente dalla bit rate di sorgente occorre utilizzare una famiglia di codici a spreading factor variabile. 3 In particolare, ogni codice deve avere funzione di autocorrelazione con bassi picchi secondari, per questioni di aggancio del sincronismo e per garantire buona auto-immunità all’interferenza da multipath.

78

CAPITOLO 8. TECNICHE DI TRASMISSIONE SPREAD SPECTRUM

Figura 8.3:

79

Il despreading

• elevata (prossima a 1) nel caso τ (cioè lo sfasamento della sequenza) tenda a 0. Ciò significa che possiamo imputare un’elevata autocorrelazione R(τ ) ad una buona sincronizzazione; • assolutamente trascurabile (−1/N, con N enorme) nelle zone lontane da τ → 0. Una sequenza PN e la stessa sequenza sfasata sono quindi molto incorrelate.

Figura 8.4:

Funzione di autocorrelazione della sequenza PN

Per i motivi testé illustrati il ricevitore possiede un filtro di de-spreading in grado di effettuare il calcolo dell’autocorrelazione R(τ ): se scopre che essa è molto vicina ad 1 allora avrà modo di agganciare correttamente il segnale ricevuto alla sequenza PN (e quindi di ’decodificare’); in caso contrario il risultato potrebbe essere anche catastrofico (segnale completamente bagattato e irriconoscibile). Correlando infatti il segnale ricevuto e la sequenza otteniamo:

hs (t) ⊗ p (t + τ )i = h[ a (t) ⊗ p (t)] ⊗ p (t + τ )i = = a (t)

1 NTC

ZTC

p (t) ⊗ p (t + τ ) dt = a (t) R (τ )

0

Come si nota, si ottiene il segnale utile a(t) solo quando τ = 0, altrimenti si ha un segnale tanto più attenuato quanto è consistente lo sfasamento. L’effetto collaterale benefico di tutto ciò è che pure altri segnali non correlati (compresi quelli interferenti) vengono attenutati. Dopo aver illustrato il principio, ecco come viene fatta - in pratica - la sincronizzazione; il processo per ottenerla è diviso in due fasi principali: • coarse synchronization: il segnale ricevuto viene correlato con un certo numero di versioni sfasate della nostra sequenza4 : fra queste viene scelta quella col valore di correlazione maggiore, ovvero quella più vicina alla sincronizzazione; 4 Scegliendo

un passo pari ad α = TC /2 esistono

NTC α

possibili sfasamenti da provare.

79

CAPITOLO 8. TECNICHE DI TRASMISSIONE SPREAD SPECTRUM

80

• fine synchronization: la sincronizzazione trovata all’acquisizione viene raffinata per mezzo di un circuito ad anello ad aggancio di fase (Delay-Locked Loop). Ma non è finita! Osserviamo la figura 8.5: come si nota, la densità spettrale di potenza del segnale originario, inizialmente raccolta tra − B e B, viene grazie allo spreading ben ben spalmata in una fascia decisamente più vasta di frequenze (tra − B0 e B0 ). Se a questo punto un jammer tentasse di disturbarci, magari sparando una grande quantità di potenza intorno alla banda originaria B, rimarrebbe a bocca asciutta in quanto il despreading avrebbe l’effetto congiunto di ’ricompattare’ il segnale utile nella banda originaria e di ’disperdere’ in frequenza il segnale interferente (che verrebbe riconosciuto come incorrelato dal filtro di despreading del ricevitore). A quel punto sarebbe sufficiente filtrare il tutto per ritagliare il segnale che ci interessa ed eliminare tutto il rumore.

Figura 8.5:

8.2

Effetto dello spreading e del de-spreading

Frequency-Hopping Spread Spectrum

Con questa tecnica alternativa il codice, invece che essere impresso direttamente sul segnale (ad esempio tramite una moltiplicazione), va a pilotare l’oscillatore della portante, facendo saltare quest’ultima (hopping) ad una frequenza diversa ad ogni TC (tempo di chip). Anche nel FH-SS il segnale può essere rappresentato a prodotto e il de-spreading come correlazione: in tutto e per tutto, infatti, le proprietà sono simili al caso DS-SS.

8.3

Spreading e Scrambling

Per permettere l’accesso multiplo al canale di trasmissione, ogni comunicazione viene distinta dalle altre tramite l’assegnazione di un codice (tecniche CDMA). Oltre a produrre l’allargamento di banda (spreading) i codici devono quindi permettere di distinguere tra loro: • le differenti sorgenti trasmissive (stazioni base nella tratta di downlink e terminali mobili nella tratta di uplink) → scrambling; • le differenti trasmissioni di una singola sorgente (differenti canali di una stessa stazione base nella tratta di downlink, differenti canali di uno stesso terminale mobile nella tratta di uplink)→ spreading. Tutto questo è ottenibile tramite la moltiplicazione del segnale di sorgente non con un solo codice (come visto fino ad ora) ma con 2 codici: 80

CAPITOLO 8. TECNICHE DI TRASMISSIONE SPREAD SPECTRUM

Figura 8.6:

81

Spreading e scrambling

• i codici di scrambling distinguono tra loro le differenti sorgenti. Ovviamente, a causa dei differenti ritardi di propagazione (le sorgenti sono dislocate in differenti luoghi), fra i segnali ricevuti da differenti sorgenti non ci può essere sincronismo, quindi possiamo sfruttare le proprietà di tali codici per distinguere, fra tutte le possibili sorgenti, quella sincronizzata. I codici di scrambling sono rappresentabili tramite un diagramma ad albero in cui ogni parola è associata ad un ramo. Essi non cambiano la banda del segnale ma servono soltanto a distinguere sorgenti tra loro non sincrone per cui non si usa una famiglia di codici ortogonali; • codici di spreading, già visti. Essi separano i segnali di una singola sorgente e allargano lo spettro del segnale. Fortunatamente i segnali ricevuti dalla stessa sorgente subiscono lo stesso ritardo, quindi i codici di scrambling possono agire in maniera ’indipendente’ rispetto a quelli di spreading.

Figura 8.7:

8.4

Codici di spreading e scrambling

Power control

Il guadagno di processo (vedi par. 8.1) protegge la comunicazione utile, poiché solo una frazione 1/G p della potenza trasmessa da un utente interferente risulta effettivamente tale. Tuttavia può accadere che l’utente ’utile’ si trovi in condizioni di propagazione molto più penalizzanti rispetto all’utente interferente; in tal caso, nonostante il process gain, la potenza interferente può risultare eccessivamente alta a scapito della buona qualità del collegamento (problema del near-far). Tale problematica deve essere opportunamente arginata per mezzo di opportune politiche di controllo di potenza (i trasmettitori aggiustano la potenza irradiata al variare delle condizioni di propagazione). Il controllo di potenza: • aumenta la capacità del sistema; • evita che qualcuno ’urli’5 ; 5 AAAAAAAAAAAAAHHHH!!!

81

CAPITOLO 8. TECNICHE DI TRASMISSIONE SPREAD SPECTRUM

82

• elimina l’effetto near-far in uplink (in downlink invece tutti i segnali arrivano al mobile percorrendo lo stesso cammino). Chiaramente, il terminale mobile deve essere in grado di modificare la potenza trasmessa in modo da mantenere il rapporto segnale/rumore ricevuto dalla stazione base pari ad una soglia assegnata. Il principio generale cui si deve ispirare qualunque algoritmo di Power Control è alquanto semplice: chi si trova più vicino alla stazione radio base deve trasmettere con potenze inferiori rispetto a chi si trova più lontano. Il criterio più semplice (tratta di up-link6 ) corrisponde ad ipotizzare che tutti i terminali trasmettano potenze tali da essere tutti ricevuti con la stessa potenza: in tal caso, è semplice valutare la capacità del sistema, cioè il numero massimo di utenti contemporaneamente attivi in un settore isolato e nel caso di singolo servizio. Indichiamo con: • PV la potenza del segnale utile; • R la banda del segnale utile prima dello spreading; • PI la potenza del segnale interferente; • W la banda del segnale utile dopo lo spreading; • G p il guadagno di processo; • Eb l’energia per bit; • N0 la densità spettrale del rumore; • NS il numero di utenti contemporaneamente attivi all’interno di uno stesso settore isolato. Si ha:

IW W T PI = = = bit = G p I IR R Tchip C E R E 1 = b = b I N0 W N0 G p

Ma anche

C C = I ( NS − 1) C

in quanto, su un totale di NS utenti, NS − 1 sono potenziali disturbatori. Mettendo a sistema otteniamo:   Gp Eb 1 Gp = ⇒ NS = 1 + Eb N0 ( NS − 1) N0 Tenendo conto del fatto che l’interferenza e in realtà minore visto che gli interferenti trasmettono in maniera discontinua (Activity Factor A f < 1) e che l’interferenza dovuta alle celle adiacenti riduce di un fattore F < 1 il numero di utenti servibili, il numero N di utenti per cella può essere stimato come:   N=

8.4.1

G G  3F 3F  1 + p  ' 3F p N = Eb  Af S Af  A f Eb N0 N0

Controllo di potenza ad anello aperto

Il controllo di potenza ad anello aperto viene utilizzato in uplink in fase di messa in piedi della chiamata: la stazione base trasmette un segnale predefinito tramite cui il mobile effettua una stima dell’attenuazione in downlink e, in base a questa stima, viene determinato il valore della potenza con cui trasmettere. Così facendo, si suppone l’attenuazione in uplink uguale a quella in downlink: in realtà ciò non è esatto perché la distanza in frequenza tra le bande usate per le 2 tratte è tale da rendere poco correlati i fenomeni di propagazione in uplink e in downlink. 6 Considereremo

tratta di up-link quella da terminale mobile a BS e tratta di down-link quella da BS a terminale mobile.

82

CAPITOLO 8. TECNICHE DI TRASMISSIONE SPREAD SPECTRUM

8.4.2

83

Controllo di potenza ad anello chiuso

La comunicazione viene ricevuta in uplink dalla stazione base con un certo rapporto segnale rumore. Tale valore viene messo a confronto con una soglia (inner loop): • se è minore della soglia, si invia un segnale di comando per dire al terminale mobile di aumentare la potenza; • se è maggiore della soglia, si invia un segnale di comando per dire al terminale mobile di diminuire la potenza; • altrimenti, la potenza non viene modificata. Il mobile, in base al comando ricevuto, modificherà la sua potenza in trasmissione. Periodicamente (outer loop) si verifica che il valore della soglia che si sta utilizzando per il confronto garantisca la qualità del servizio fissata in termini di Bit Error Rate: se questo non è più attuale è necessario determinare un nuovo valore con cui fare il confronto.

8.5

Rake receiver

La trasmissione SS permette di realizzare uno schema di equalizzatore che non solo rende la trasmissione insensibile ai cammini multipli, ma addirittura permette di sfruttarli. Il rake receiver (ricevitore ’a rastrello’), utilizzato nel sistema UMTS, è proprio uno di questi: lo schema di realizzazione viene illustrato in figura 8.8.

Figura 8.8:

Il rake receiver

Condizione per la quale il rake receiver funziona è che sia stato impresso un certo codice al segnale: vengono infatti utilizzate tecniche simili a quelle viste nei paragrafi 8.1 e 8.2, le quali presuppongono l’utilizzazione di un certo codice (che in quel caso era una sequenza PN). Al ricevitore sono in arrivo N repliche ritardate: il rake receiver si aggancia al cammino più forte (presumibilmente il primo), dopodiché effettua il de-spreading e fa partire il secondo correlatore, il quale effettua operazioni simili e fa partire il terzo correlatore, etc. . . Ogni correlatore si aggancia quindi ad un solo cammino, sfruttando la presenza di un codice per poter effettuare il calcolo di correlazione. Una volta delineatisi gli N cammini, essi vengono messi in fase e sommati: in questo modo abbiamo sfruttato la presenza di cammini multipli per ’rastrellare’ da essi potenza e compattare quest’ultima in un unico segnale! Il rake receiver implementa implicitamente una tecnica di diversità: volendo possiamo infatti sfruttare quanto detto nel paragrafo 7.6 e affidare un certo peso ai cammini.

8.6

In sintesi

Le tecniche di trasmissione spread-spectrum hanno l'utilità di: 83

84

CAPITOLO 8. TECNICHE DI TRASMISSIONE SPREAD SPECTRUM • fornire una protezione anti-jamming e anti-multipath; • aiutano a diminuire l'interferenza prodotta da altri utenti trasmittenti nelle vicinanze; • sono lo strumento con il quale implementare sistemi ad accesso multiplo.

Abbiamo due principali tecniche di spread-spectrum: • Direct sequence : il segnale (tempo di simbolo TS ) viene moltiplicato per una sequenza pseudo-noise PN (tempo di chip TC  TS ). Questo fa sì che il segnale utile si 'spalmi nelle frequenze' andando ad occupare T una banda G p = S volte maggiore di quella originaria (G p = guadagno di processo o spreading factor ). Il TC

codice PN quasi-ortogonale col quale è stato moltiplicato il segnale ha l'importante proprietà di possedere un'autocorrelazione massima in caso di perfetta sincronia e estremamente bassa per sfasamenti sostenuti; al ricevitore il segnale viene confrontato con tante copie sfasate della sequenza PN, una delle quali sarà sicuramente più correlata di altre in virtù del maggiore sincronismo: dopo aver anato il rifasamento, questa sequenza verrà passata a un ltro di de-spreading che sfrutterà l'involutorietà della moltiplicazione per la sequenza al ne di riottenere il segnale originale. Ogni altra copia sfasata o ogni altro segnale risulterà completamente scorrelato e verrà invece attenuato. Inoltre, un eventuale interferente (jammer ) che avesse provato a emettere una certa potenza di disturbo Pˆ vedrebbe quest'ultima abbattuta di un fattore pari a GP . Il DS-SS sfrutta implicitamente una tecnica di diversità.

• Frequency Hopping : il codice PN pilota la frequenza della portante. Saltelliamo in frequenza!

In realtà esistono due fondamentali sequenze (ad alta frequenza di cifra rispetto al segnale utile) in grado di garantire la condivisione del canale ovvero il corretto accesso multiplo: • Codici di spreading : sono codici ortogonali e sono i primi ad essere moltiplicati per il dato. Lo spalmano in

frequenza e in virtù delle proprietà dell'autocorrelazione permettono di distinguere i diversi tipi di traco emessi da un unico terminale (stesso terminale mobile → stesso ritardo di propagazione → i codici ortogonali vanno benissimo perché il sincronismo è garantito).

• Codici di scrambling : sono codici PN (pseudo-noise ) in grado di permettere la separazione del traco dei

dierenti terminali mobili. Non alterano la banda del segnale perché a quello ci hanno già pensato quelli di spreading.

Altro escamotage astuto è quello del power-control ; il principio è semplice: chi trasmette lontano dalla stazione base deve trasmettere 'più forte', chi è più vicino invece non deve urlare. Questo perché: • chi è più vicino può risparmiare in batteria ed evitare di disturbare altri; • chi è lontano deve sopperire alla maggiore distanza e a un numero spesso maggiore di interferenti.

Supponendo di avere un certo parametro Eb /N0 , un guadagno di processo pari a G p e un numero di utenti attivi NS all'interno di un settore isolato possiamo scrivere  C Eb 1    I = N G 0 p  C C   = I ( NS − 1) C

⇒ NS = 1 +

Gp Eb/ N0

in quanto se uno è il terminale 'utile' avremo NS − 1 terminali interferenti. Si noti che si è fatta l'ipotesi che alla stazione base arrivino potenze tutte uguali da tutti i trasmettitori, ovunque essi siano (l'algoritmo è precisissimo e tara la potenza di ciascun mobile anché alla stazione base arrivino segnali tutti ugualmente intensi e con potenza pari a C). L'algoritmo eettua continuamente tre fasi: • Controllo di potenza ad anello aperto: avviene quando parte la comunicazione. La stazione base trasmette

ad una potenza predenita e il mobile capisce quant'è l'attenuazione in downlink (ovvero nel percorso: stazione base - ricevitore mobile).

• Controllo di potenza ad anello chiuso, inner loop : in uplink (ovvero nel percorso: ricevitore mobile - stazione

base) la BS confronta la potenza ricevuta con una soglia e poi suggerisce al mobile cosa deve fare. 84

CAPITOLO 8. TECNICHE DI TRASMISSIONE SPREAD SPECTRUM

85

• Controllo di potenza ad anello chiuso, outer loop : periodicamente si verica che la soglia rispetti la voluta

BER.

Inne, abbiamo il rake reciever, prodigio della scienza e della tecnica: esso approtta della propagazione multicammino (che a rigore è solo una seccatura) e delle tecniche di spread-spectrum per sfruttare le solite proprietà dell'autocorrelazione e poter agganciare ogni cammino (sfasato) di uno stesso segnale con la sua fase corretta. Questo permetterà di sommare ogni contributo in maniera costruttiva con tutti gli altri, rastrellando (rake = rastrello) tutta la potenza da tutti i paths.

85

86

CAPITOLO 8. TECNICHE DI TRASMISSIONE SPREAD SPECTRUM

86

Capitolo 9

Sistemi d’area cellulari I sistemi d’area si prefiggono di realizzare collegamenti tra terminali di cui (almeno) uno posizionato arbitrariamente all’interno dell’area di servizio. A causa dell’attenuazione, ad una certa distanza fra le antenne il rapporto segnale/rumore C/N (carrier to noise power ratio) scende al di sotto della soglia minima per un’accettabile qualità di collegamento. L’area di servizio deve pertanto essere divisa in celle di raggio1 R, ciascuna dotata di stazione base. In ogni cella si utilizzano determinati canali (risorse) per la comunicazione, ma deve poter essere possibile, senza che vi sia interruzione del servizio, il passaggio di un terminale mobile da una cella all’altra (handover). Essendo i canali limitati, occorre riutilizzarli a una certa distanza (riuso spaziale) sfruttando l’attenuazione del segnale (filtraggio spaziale) per minimizzare l’interferenza.

Figura 9.1:

Problematiche interferenziali e filtraggio spaziale

Collegamenti differenti che utilizzano contemporaneamente lo stesso canale/risorsa interferiscono fra loro, a discapito della qualità del collegamento. Per evitare che il rapporto segnale-rumore scenda al di sotto della soglia minima di qualità occorre operare in modo che celle che utilizzano le stesse risorse siano opportunamente distanziate (distanza di riuso D). Nei sistemi a più canali ortogonali, questi devono essere distribuiti sul territorio in maniera opportuna, in modo da realizzare un sistema ad interferenza controllata. Esaminiamo la figura 9.1: in essa viene graficata la potenza emessa da due stazioni radio-base e messa in evidenza una zona, detta area di perturbazione, in cui le potenze emesse sono paragonabili e quindi fra loro interferenti (diventa difficile distinguere fra un segnale e l’altro2 ). Viene inoltre chiamata distanza utile 1 Nei sistemi bidirezionali occorre dimensionare le celle anche in base al traffico offerto. Chiaramente a Manhattan saranno necessarie celle molto piccole, vista la densità di utenti, mentre in mezzo al deserto potremo prendere celle grandi e utilizzare un numero molto minore di stazioni radio-base. 2 Quando si è nella vicinanza dell’area di perturbazione, possono esservi oscillazioni della potenza tali da rendere molto difficilmente distinguibile il segnale ’più potente’ rispetto all’altro (o agli altri): sarebbe tuttavia da stupidi cercare di agganciarsi ad esso, in quanto saremmo costretti (viste le oscillazioni) ad effettuare l’handover un gran numero di volte nell’unità di tempo. Per evitare

87

CAPITOLO 9. SISTEMI D’AREA CELLULARI

88

la distanza entro la quale una stazione radio-base riesce a trasmettere senza che vi sia interferenza da parte di segnali delle stazioni vicine. Se i canali sono virtualmente illimitati si tratta semplicemente di distribuirli in numero sufficiente in ciascuna cella per far fronte alle necessità. Si definisce perciò cluster un gruppo di celle all’interno delle quali sono stati distribuiti tutti i canali disponibili. A parità di canali e all’aumentare del cluster-size (aumentando quindi il numero di celle), diminuiscono le risorse a disposizione di ogni singola cella (le celle sono di più mentre i canali, cioè le risorse, sono sempre quelli!), ma si allontanano gli interferenti in quanto uno stesso canale viene utilizzato in celle fra loro più distanti rispetto al caso precedente.

Figura 9.2:

9.1

Un cluster

Reticoli simmetrici, relazioni geometriche e settorizzazione

Consideriamo un reticolo simmetrico a ricoprimento continuo (senza ’buchi’): si dimostra che è possibile ottenere tale strutturazione solo con un numero m di celle pari a m = i2 + j2 + ij con i e j numeri interi entrambi non nulli3 . Le grandezze che descrivono la suddivisione cellulare del territorio (D = distanza di riuso4 , R = raggio delle celle, m = cluster size) sono evidentemente legate da relazioni di reciproca dipendenza5 . Possiamo esprimere la distanza di riuso nel seguente modo: √ √ √ √ D = m · R 3 Oppure D = m in unità R 3 Da qui si deriva immediatamente che:

√ D = 3m R Possiamo verificare questa relazione calcolando il cluster size; facendo riferimento alla figura e tenendo presente che l’area del cluster è uguale a quella del parallelogramma6 : √ 2 √3 π U U sin 3mR · D 1 2 U1 =U2 = D Areacluster 2 =m = = √ 3! 3 2√ Areacella 1 R R 3 R 3 · ·12 2 2 |{z} 2 2 2 | {z } base altezza (apotema)

tali ’palleggiamenti’ si adottano quindi alcuni dB di isteresi, cioè di tolleranza, prima di decidere di cambiare stazione radio-base di riferimento. 3 Ad essere precisi, il soddisfacimento di tale relazione è il requisito per il solo ricoprimento continuo: la simmetria è cosa a sé. 4 Celle isocanale sono distribuite in una circonferenza di raggio D. √ 5 Se R è il raggio della cella, R 3 è l’apotema dell’esagono scelto per il ricoprimento. Una scelta può essere quella di utilizzare il 2 doppio di tale apotema come unità di misura, visto che essa è la distanza tra i centri di due esagoni adiacenti. 6 . . . e che l’area del parallelogramma può essere trovata tramite un prodotto vettoriale.

88

CAPITOLO 9. SISTEMI D’AREA CELLULARI

89

Spesso, anziché montare le stazioni a centro cella si usa spesso montarle in un angolo (cioè nelle intersezioni fra più celle) e dotare la stazione di tre antenne direttive, puntanti ciascuna nella propria area di servizio: in questo modo si servono 3 celle con un solo sito al modesto prezzo di una minore uniformità di copertura. In tal caso si parla di settorizzazione (vedi figura 9.3).

Figura 9.3:

La settorizzazione

In questo modo possiamo godere del maggiore guadagno garantito dalle antenne direttive (lobo principale di circa 120◦ ) e riduciamo di circa un terzo l’interferenza fra celle isocanale.

9.2

Accesso multiplo

All’interno di ogni cluster vengono utilizzate tutte le risorse assegnate al servizio, opportunamente suddivise fra le celle. Tali risorse possono in generale essere descritte come un set di funzioni ortonormali7 ψ1 (t) , ψ2 (t) , . . . , ψNc (t). Ogni volta si attiva un canale di comunicazione, una (o più) fra le Nc funzioni ortonormali viene assegnata in maniera esclusiva alla comunicazione. Le forme d’onda trasmesse dall’i-mo trasmettitore sono quindi del tipo si (t) = ui (t) ⊗ ψi (t) 7A

tal proposito ricordiamo che un insieme funzioni si dice ortonormale se

( Z∞ 1 se i = j  ψi (t) , ψj (t) = ψi (t) ψ∗j (t) dt = 0 se i 6= j −∞

89

CAPITOLO 9. SISTEMI D’AREA CELLULARI

90

dove u(t) è la forma d’onda con la quale sono stati ’codificati’ i simboli trasmessi. Poiché il canale radio è per sua natura condiviso, il ricevitore i-mo riceve tutti i segnali trasmessi; tuttavia, per recuperare l’informazione desiderata, sarà necessario (previa sincronizzazione!) eseguire la correlazione del segnale complessivo ricevuto con tutte le funzioni ortonormali assegnate al canale utile. Solo alcune fra queste funzioni, tuttavia, restituiranno in seguito alla moltiplicazione del segnale ricevuto per loro stesse (operazione che supponiamo a priori essere involutoria) il segnale originario (vedi fig. 9.4): tutte le altre, in virtù dell’ortogonalità, non riconosceranno alcuna correlazione nel segnale ricevuto (ed è giusto che sia così, perché quelle funzioni saranno state associate ad altri!). Il ricevitore riuscirà perciò capire quale fra le componenti del segnale è destinata a lui, ma non subirà interferenze dagli altri canali. Come si vede,

Figura 9.4:

Funzioni ortonormali e correlazione in sede di ricezione

questa operazione è simile in tutto e per tutto a quella vista per le tecniche di spread-spectrum (vedi par. 8.1 per maggiori delucidazioni). In base alla natura del set di funzioni ψ1 (t) , ψ2 (t) , . . . , ψNc (t) si distingue fra: • Frequency Division Multiple Access (FDMA): si hanno funzioni ortogonali in frequenza, ovvero di lunghezza temporale pari all’intero periodo T e con bande praticamente disgiunte; la separazione dei canali può essere quindi ottenuta mediante filtri passa-banda. Saranno tuttavia necessarie ’bande di guardia’ per limitare l’interferenza da canali adiacenti; • Time Division Multiple Access (TDMA): si hanno funzioni ortogonali in tempo, ovvero non nulle su intervalli temporali disgiunti ed aventi banda pari a tutta la banda disponibile; la separazione dei canali può essere quindi ottenuta mediante opportuna divisione temporale in slot. Saranno necessari ’tempi di guardia’ per limitare l’interferenza da canale adiacente; • una scelta ibrida fra le due precedenti (usata nel GSM); • Code Division Multiple Access (CDMA): ogni utente ha assegnato un codice il quale, per costruire il segnale trasmesso, può essere utilizzato in 2 modi diversi: – CDMA-DS (Direct Sequence): il codice va a moltiplicare il segnale informativo secondo l’opportuno operatore (involutorio); – CDMA-FH (Frequency Hopping): il codice determina i salti in frequenza della portante di modulazione. Il caso CDMA è vantaggioso perché i codici non sono limitati come la banda. Di conseguenza non c’è motivo di dividere la copertura cellulare in cluster: si fissa quindi m = 1, il che significa che tutte le celle sono uguali (dispongono delle stesse risorse) e che l’interferenza può venire sia dalla cella corrente (interferenza intra-cella) sia dalle altre (interferenza inter-cella). 90

CAPITOLO 9. SISTEMI D’AREA CELLULARI

9.3

91

Miglioramenti nei sistemi CDMA

In un sistema CDMA tutte le celle operano sulla stessa portante (riuso frequenziale = 1) per cui il terminale mobile può essere connesso in parallelo a più stazioni base contemporaneamente. Questo permette di implementare due strategie migliorative quali il soft handover (per ottenere il minimo rischio di interruzione della chiamata nel passaggio da una cella ad un’altra) e la macrodiversità, per migliorare la qualità della chiamata.

9.3.1

Soft handover

Figura 9.5:

Soft handover vs. hard handover

Il terminale mobile può coinvolgere nella chiamata tutte le stazioni base da cui riceve un segnale di riferimento (pilota) sufficientemente buono. Si individuano quindi zone differenti (vedi fig. 9.6): se addirittura il terminale è connesso a 2 settori della stessa stazione base (copertura settoriale) si parla di softer handover.

Figura 9.6:

9.3.2

Active sets

Macrodiversità

Figura 9.7:

Macrodiversità

91

CAPITOLO 9. SISTEMI D’AREA CELLULARI

92

Se il numero di active set è maggiore di 1, allora si dice che stiamo operando in macrodiversità. In tal caso: • downlink: il terminale mobile riceve la stessa informazione utile da più di una stazione base contemporaneamente. In più, ogni link verso una delle stazioni base dell’active set utilizza una differente coppia di codici (spreading + scrambling). Il terminale può quindi migliorare la qualità della comunicazione combinando i segnali che riceve dalle stazioni base a cui è contemporaneamente connesso (rake receiver). • uplink: il segnale trasmesso dal mobile viene decodificato da tutte le stazioni base appartenenti all’active set. I segnali decodificati dalle differenti stazioni base dell’active set vengono ricombinati dalla rete a livello superiore. L’effetto netto è quello di ottenere un miglioramento della qualità della comunicazione.

9.4

Parametri di bontà di un sistema d’area

I parametri che indicano la bontà di un sistema d’area sono: • l’estensione dell’area di servizio; • il numero di utenti serviti detto anche capacita del sistema; • la bit-rate a disposizione di ciascun utente/collegamento; • la probabilità di blocking al set-up della comunicazione; • la probabilità di dropping durante la comunicazione; • l’occupazione spettrale del sistema; • il costo degli apparati e dell’installazione (deployment). La qualità del collegamento aumenta al crescere di m, cioè del cluster size (le celle interferenti si allontanano). Tuttavia, se il traffico e elevato, conviene m non troppo elevato, affinché ogni cella abbia a disposizione un numero di risorse sufficiente per far fronte alle richieste di accesso al sistema, mantenendo la probabilità di blocco (blocking) entro la specifica assegnata; il valore di m deve perciò essere ricercato nel compromesso (trade-off ) fra tali esigenze. In alternativa, le esigenze di traffico possono essere soddisfatte riducendo, a parità di m, la dimensione delle celle (non troppo, per non rendere critica la gestione dell’handover), diminuendo le potenze in trasmissione o, più usualmente, aumentando il filtraggio spaziale, ovvero portando le base stations sotto il livello dei tetti. Dato il traffico offerto da ciascun utente e [Erlang], il numero di utenti nu , il traffico offerto totale A = e · nu , il numero di canali disponibili nc , e assumendo di avere code di lunghezza nulla, si può ottenere la probabilità di blocco tramite la formula di Erlang: Anc nc ! B (nc , A) = nc Ai ∑ i =0 i!

9.5

In sintesi

I sistemi ad area cellulari nascono per via del fatto che risulta impossibile servire aree grandi con un'unica stazione radio-base: oltre ad essere poco pratico (dovremmo usare potenze enormi e non è che possiamo arrostire tutti i volatili che passano vicino all'antenna!) dobbiamo fare i conti con risorse limitate (ad es. in frequenza). Per questo si sceglie di dividere il territorio in cluster, ognuno dei quali contiene m celle: ogni cella userà quindi una quantità di risorse pari a quella totale riservata al cluster diviso m. Per evitare che il rapporto segnale-rumore scenda al di sotto della soglia minima di qualità occorre operare in modo che le celle che utilizzano le stesse risorse (potenzialmente interferenti) stiano ad un opportuna distanza D. Detto R il raggio delle celle, si ha che: √ D = 3m R 92

CAPITOLO 9. SISTEMI D’AREA CELLULARI

93

Inoltre si può dimostrare che si ha riempimento continuo solo se ogni cluster contiene m = i2 + ij + j2

celle, dove i e j sono numeri interi non entrambi nulli. Spesso, anziché montare le stazioni base (questi giganteschi e antiestetici pali) al centro delle celle, si agisce con più furbizia e si paga il prezzo di una copertura meno uniforme scegliendo di piazzare tre antenne nel medesimo sito (settorizzazione ), ognuna facente riferimento ad uno 'spicchio' di piano avente angolo pari 120◦ (queste antenne saranno chiaramente direttive nel loro spazio e molto poco trasmittenti altrove). Quel che otteniamo è un maggiore guadagno e una robusta riduzione dell'interferenza iso-canale. Le risorse di cui parlavamo poco sopra possono essere schematizzate come un set di funzioni ortonormali: l'ortonormalità sarà: • in frequenza, nei sistemi FDMA; • nel tempo, nei sistemi TDMA; • nel codice, per i sistemi CDMA: possiamo qui distinguere, come nello SS, fra direct sequence e frequency

hopping. Si noti che il CDMA è vantaggioso in quanto abbiamo un numero esorbitante di possibili codici: non ha quindi senso parlare di cluster e si ssa m = 1. I sistemi CDMA possono essere poi migliorati implementando il soft handover (che minimizza la probabilità di caduta di linea nell'handover ) e la ma-

crodiversità, che consiste nel collegare simultaneamente un unico terminale mobile a più stazioni base per sfruttare al meglio la diversità.

A distinguere fra i vari segnali (e a permettere quindi l'accesso multiplo) ci penserà quindi il ricevitore, che sarà dotato di un opportuno numero di ltri in grado di calcolare la correlazione e ltrare (cioè attenuare) tutti i segnali ortogonali a quello utile. La bontà dei sistemi ad area si misura valutando: • l'estensione dell'area di servizio; • il numero di utenti serviti (detto anche capacita del sistema) e l'occupazione spettrale del sistema; • la bit-rate a disposizione di ciascun utente/collegamento; • la probabilità di blocking e dropping, valutate tramite opportune formule statistiche (v. Erlang); • i costi.

93

CAPITOLO 9. SISTEMI D’AREA CELLULARI

94

94

Capitolo 10

Pianificazione di sistemi radiomobili Generalmente la pianificazione di sistemi radiomobili a canali limitati (FDMA, TDMA e ibridi) in un’area omogenea consiste in due fasi: 1. pianificazione in base alla copertura (C/N); 2. pianificazione in base al C/I (segnale utile / interferente). Di seguito supporremo l’ambiente omogeneo e ideale, con propagazione che segue una legge Hata-like con fattore α.

10.1

Pianificazione in base alla copertura

In base alla tecnologia degli apparati Tx/Rx esiste una soglia di sensibilità del ricevitore (Psens ) consistente nella minima potenza ricevuta compatibile con una sufficiente qualità in termini di Bit Error Rate. Generalmente, essendo la potenza trasmessa maggiore presso la base station, il collegamento più critico e quello fra terminale mobile e base (uplink): per questo bisognerà considerare un consistente margine di fading M f entro il quale includere tutti i possibili inconvenienti (fenomeni di multicammino, scattering, canale radiomobile selettivo, etc. . . ). In tal caso la potenza ricevuta presenta un andamento aleatorio secondo statistiche note1 . Di solito si considera il solo fading lento log-normale perché il fading rapido viene parzialmente arginato dalla diversità e dalle tecniche di codifica (di esso si tiene conto tramite un margine fisso pari a circa 2-3 dB). A bordo cella (r = R, dove R è il raggio della cella) si avrà dunque: • potenza ricevuta2 : PR = Psens = PT + GT + GR − L TOT ; • attenuazione L TOT = L¯ + MF (più, eventualmente, le perdite LC dovute ai cavi). In questa relazione MF è il margine di fading; • termine di attenuazione di tratta L¯ = L¯ ( R) = L0 + 10α log R (calcolata con Okumura-Hata, ma potevamo utilizzare un qualsiasi modello empirico). L è una variabile aleatoria gaussiana con valor medio L¯ e deviazione standard σ: avremo quindi la seguente (classica!) funzione di densità di probabilità

p L ( L) = √ Mentre la cumulativa sarà:

1 2πσ2

2 ( L − L¯ ) 2σ2 e

−

1 1 FL ( L) = + erf 2 2

1 La



L − L¯ √ 2σ



copertura radio di una cella viene ad essere definita in termini probabilistici. la potenza ricevuta pari alla soglia di sensibilità del ricevitore non tanto perché vogliamo essere taccagni e sparagnini fino all’osso, bensì per evitare interferenze alle altre celle. 2 Porremo

95

CAPITOLO 10. PIANIFICAZIONE DI SISTEMI RADIOMOBILI

96

Se ora calcoliamo la cumulativa in L F , ovvero nel PC -esimo percentile della variabile aleatoria L (PC è la probabilità di copertura/servizio richiesta a distanza R), si ha: 1 1 FL ( L F ) = + erf 2 2



L F − L¯ √ 2σ





1 1 = + erf 2 2

M √F 2σ



¯ Quest’ultima probabilità di copertura, In quanto il margine di fading è definito come MF = L F − L. formulata una volta fissata la distanza, viene chiamata location probability (LP). Il calcolo effettuato corrisponde al caso peggiore. Infatti se si ha probabilità di copertura PC a bordo cella, su tutta la cella si avrà una probabilità di copertura maggiore essendo minore l’attenuazione. Integrando la location probability (cioè calcolando la probabilità in ogni punto della cella3 e mediando) è possibile ottenere la probabilità di copertura su tutta la cella:

PC =

1

Z

Acella

LP (r ) ds =

Acella

=

2 R2

ZR

1 πR2

Z2πZR 0 0

1 1 + erf 2 2

0

LP (r ) rdrdφ = L f − L¯ (r ) √ 2σ

2π πR2

ZR

LP (r ) rdr =

0

!! rdr

Sostituiamo ora l’espressione L F = L¯ + MF : 

 LF r    z }| { ZR  ZR    + M 10α log ¯ ¯ F 2 2 1 1 1 1  L ( R ) + M F − L (r )    rdr √ √R PC = 2  + erf   rdr = 2  + erf  2 2 2 2    R R 2σ 2σ 

0

0

Si noti che nell’ultimo passaggio si è usata la relazione L¯ = L¯ ( R) = L0 + 10α log R. Osserviamo poi, a titolo d’esempio, che per MF = 0 dB si ottiene LP = 0, 5; ciò significa che il 50% delle locazioni a bordo cella si trova sotto soglia per il 50% del tempo.

Figura 10.1:

3 Questo

Andamento di PC in funzione di σ/α

è il senso del ds nella formulazione dell’integrale.

96

CAPITOLO 10. PIANIFICAZIONE DI SISTEMI RADIOMOBILI

10.2

97

Pianificazione in base al C/I

Si tratta di determinare il cluster size che garantisce il C/I per una corretta ricezione4 , cioè per una BER sufficientemente bassa. Siccome la relazione tra m e D/R in una copertura a reticolo esagonale uniforme è già stata ricavata (vedi paragrafo 9.1) occorre mettere ora in relazione D/R e C/I; sia C che I sono variabili aleatorie: tuttavia, per la legge dei grandi numeri, se gli interferenti sono molti si potrebbe approssimare I con il suo valor medio5 . L’unico parametro ancora da trovare rimarrebbe quindi C. Facciamo ora qualche ipotesi di lavoro (vedi fig. 10.2): • mobile utile a bordo cella (distanza utile = R): in questo modo consideriamo il caso peggiore; • consideriamo solo gli interferenti della prima cerchia (cioè locati nelle sei celle interferenti più vicine a quella in cui ci troviamo6 ): distanza degli interferenti da noi = D; • ogni mobile trasmette la stessa potenza PMS ; • territorio con legge di attenuazione con la distanza Hata-like.

Figura 10.2:

Il caso in esame

In questo caso, l’attenuazione sarà semplicemente:  L (r ) = L (r0 )

r r0

α

La potenza del segnale utile (trasmessa dall’unico terminale mobile utile) sarà pari a:  r α P P 0 C = PU = MS = MS L ( R) L (r0 ) R I sei interferenti invece romperanno le scatole con: I = PI =

6PMS 6PMS  r0 α = L (D) L (r0 ) D

Calcolando il rapporto C/I si ha quindi:    r  α L (r )  D  α C P P 1 D α 0 0 = U = MS · = I PI L (r0 ) R 6PMS r0 6 R Ricordando ora che si ha: Otteniamo:

√ D = 3m R C 1 = (3m)0,5α I 6

4 Tale

parametro è detto anche SIRth . Si ricorda inoltre che C/I è un rapporto segnale-rumore. seguito, per semplicità, considereremo valori medi e si trascureremo il fading. 6 Il ricoprimento è stato effettuato con celle esagonali. 5 Nel

97

CAPITOLO 10. PIANIFICAZIONE DI SISTEMI RADIOMOBILI

98

Figura 10.3:

10.3

Relazione fra C/I, m e α

Efficienza spettrale

L’efficienza spettrale è un rapporto fra costi (gli operatori sborsano fior fior di quattrini per comprarsi le frequenze, quindi bisogna spremerle all’osso!) e benefici (cioè bit-rate) di un sistema radiomobile. Nel caso ideale e disponendo di numero Nc di canali si può fare la seguente formulazione:   M = numero di utenti MBr  η, Br = bit - rate per utente B   B = banda totale allocata al sistema Si può inoltre definire la banda equivalente per canale: B0 =

B NC

Data una certa probabilità di blocco, con Nc canali si possono servire (formula Erlang-B per code a lunghezza nulla, vedi paragrafo 9.4) M0 utenti all’interno di uno stesso cluster. Si possono allora definire 3 efficienze spettrali parziali: • efficienza nel tempo: ηt ,

M0 Numero di utenti per cluster = NC Numero di canali

Tale efficienza è maggiore quando il traffico offerto da ciascun utente e basso (gli utenti usano il servizio in una bassa percentuale di tempo): per sfruttare meglio il canale, che altrimenti sarebbe sottoutilizzato, si possono perciò multiplexare più utenti sugli stessi canali; • efficienza in frequenza: ηf ,

Bit-rate per utente Br = B0 Banda per canale

Si tratta della la classica efficienza frequenziale e dipende dal codice utilizzato, nonché dalla tecnica di modulazione, demodulazione. Tecniche ad alta efficienza richiedono un alto SIRth (cioè di un alto C/I per una corretta ricezione). • efficienza nello spazio: ηs ,

M Numero di utenti = = Ncluster M0 Utenti in un cluster

Indica il grado di riuso spaziale dei canali. 98

CAPITOLO 10. PIANIFICAZIONE DI SISTEMI RADIOMOBILI

99

Moltiplicando queste tre definizioni otteniamo l’efficienza propriamente detta: ηt η f ηs =

M0 Br M M Br MBr = = =η NC B0 M0 NC B0 B

Ricordando tuttavia che m è il cluster size, possiamo anche scrivere: η = ηf

M0 Ncelle M0 Ncluster = η f | {z } NC NC m |{z} ηs ηt

Si vede che l’efficienza spettrale dipende dal numero di celle. Se si desidera una figura di merito indipendente da questo parametro, e quindi più indicativo della bontà del progetto, si può utilizzare l’efficienza spettrale per cella: η M 1 ηc = = ηf 0 Ncelle NC m M0 ) dipendono da tecniche di modulazione e da problematiche di traffico7 : il NC terzo termine, m è invece dipendente dal rapporto C/I. A prima vista si potrebbe pensare di aumentare l’efficienza aumentando η f , ma modulazioni efficienti in banda richiedono anche un C/I maggiore e quindi un m maggiore. Proviamo ora a sostituire i risultati ottenuti in precedenza, ovvero

I primi due fattori (η f e

C 1 1 = (3m)0,5α ⇒ I 6 3



6C I

2/α

=m

per vedere che forma assuma l’espressione della potenza: ηc = η f

Applicando il logaritmo: "

M0 1 1 1 1 = η f k   = η f k  2/α = η f k C NC m 3 1 6C |{z} m I costante 3 I



6C I

−2/α

−2/α #

 −2/α 1 2 C = log + log k − log 6 + log η f + log = 3 α I | {z } k0       2 C 2 C 1 C 0 0 0 = k + log η f − log = k + log η f − 10 log = k + log η f − α I 10α I 5α I dB | {z! } C I dB 1 η k log ηc = log 3 f

Quindi si ha:



6C I

  C = −5α log ηc + 5α log η f + |{z} 5αk0 = −5α log ηc + 5α log η f + k00 I dB 00 k

Quindi in un diagramma logaritmico C/I in funzione di log η f è una retta di coefficiente angolare proporzionale ad α e intercetta che cala con ηc . Sullo stesso diagramma, assimilando l’interferenza a rumore AWGN si potrebbe rappresentare la curva del teorema di Shannon e vedere come il sistema si comporta rispetto al caso ideale (vedi fig. 10.4).

10.4

Pianificazione assistita

Per la pianificazione di sistemi in ambiente urbano in cui la propagazione interagisce fortemente con gli ostacoli, possiamo farci aiutare dal computer e sfruttare così opportuni modelli di propagazione. Si 7 In

particolare,

M0 tende ad essere una costante nei sistemi con molti canali. NC

99

CAPITOLO 10. PIANIFICAZIONE DI SISTEMI RADIOMOBILI

100

Figura 10.4:

Analisi dell’efficienza spettrale per cella

tratterebbe questa di una pianificazione deterministica8 in cui è possibile anche la scelta e la pianificazione dei siti (attività dalla quale spesso si parte in quanto la disponibilità di siti è esigua e occorre quindi mettere subito l’accento su tale aspetto). Dopo una pianificazione di massima fatta con i metodi visti, sulla base del database urbano e della localizzazione dei siti viene effettuata la verifica di copertura e di interferenza al computer. Se la verifica non è soddisfacente si modificano i parametri o la localizzazione delle BS in maniera mirata e si ripete la verifica fino ad esito positivo. Alla fine della procedura si può effettuare una simulazione di sistema per verificare la qualità complessiva del servizio. Per l’assegnazione delle frequenze si tiene conto solitamente di un salto di due frequenze (per celle non isocanale appartenenti allo stesso settore) o di una frequenza (se le celle sono di settori diversi): l’algoritmo può essere molto complesso e dipende dalle strategie dell’operatore.

Figura 10.5:

Pianificazione assistita al calcolatore

8 Non è necessario il calcolo di margini di fading (fatta eccezione per il fading rapido) se si usano modelli di propagazione deterministici, in cui tali aspetti sono già tenuti in conto.

100

CAPITOLO 10. PIANIFICAZIONE DI SISTEMI RADIOMOBILI

10.5

101

In sintesi

Sono possibili due tipi di pianicazioni: • In base alla copertura (C/N ): si ssa la sensibilità del ricevitore e si cerca di fare in modo che la potenza

ricevuta sia sempre maggiore di tale soglia. Per farlo si tiene in conto non solo l'attenuazione di spazio libero, ma anche varie attenuazioni aggiuntive e un margine di fading MF calcolato statisticamente mediante distribuzione lognormale: p L ( L) = √

1 2πσ

e

−

M2f 2σ2

1 1 ⇒ cumulativa: FL ( L) = + erf 2 2

M2f √ 2σ

!

Una stima del genere è già fatta tenendo conto del caso peggiore: se vogliamo fare un calcolo più preciso possiamo integrare la cumulativa su tutta l'area della cella, assegnando ad ogni punto l'attenuazione precisa dipendente dalla sua posizione. In ogni caso, quel che otteniamo è una probabilità di copertura detta location probability. • In base all'interferenza (C/I ): si ssa il cluster size m in grado di garantire una corretta ricezione. Suppo-

nendo di avere celle esagonali (considereremo i sei interferenti appartenenti alle più vicine celle isocanale, tutti distanti D), distanza dell'utile dalla BS pari a R (= raggio celle), potenza trasmessa dai terminali pari a PMS e attenuazione Hata-like si ha:  PMS  r0 α     C =  L ( R) R C 1 D α ⇒ = 6PMS  r0 α  I 6 R  I = L (D) D

D/R=√3m ⇒

1 C = (3m)0,5α I 6

L'ecienza spettrale è un rapporto costi-beneci riferito a un certo sistema radiomobile: η=

Numero utenti · Bit-rate per utente NBr = Banda totale allocata B

Se dividiamo η per NC (numero di canali) otteniamo la banda equivalente per canale. Possiamo tuttavia denire altri tre tipi di ecienze: •

ecienza nel tempo:

ηt , •

ecienza in frequenza: ηf ,

•

ecienza nello spazio: ηs ,

Utenti in un cluster M0 = NC Numero di canali Br Bit-rate per utente = B0 Banda per canale

M Numero di utenti = = Ncluster M0 Utenti in un cluster

Moltiplicando tutte queste particolari espressioni di ecienza otteniamo la η vera e propria. Ehi! La pianicazione è dura da fare a mano: serve il calcolatore!

101

102

CAPITOLO 10. PIANIFICAZIONE DI SISTEMI RADIOMOBILI

102

Elenco delle figure 1.1 1.2 1.3

In spazio libero la potenza decade con α = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenza tra propagazione in spazio libero e in ambiente reale . . . . . . . . . . . . . . . . . In questo caso non solo α varia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 2.3 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Righe di assorbimento al variare della frequenza . . . . . . . Raggio di curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcoli per le equazioni fondamentali dell’ottica geometrica Legge di Snell per simmetria sferica . . . . . . . . . . . . . . Andamento di K in funzione di G . . . . . . . . . . . . . . . Cammini multipli e atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . Tipi di atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rispetto al caso K = 1 l’orizzonte radio è maggiore . . . . .

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12

. . . . . . . . .

7 10 11 13 14 14 14 15 16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 18 18 19 21 21 22 23 25 25 25

3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22

Ci sono due contributi principali, il cammino diretto e il raggio riflesso dal terreno. . . In uno scenario complesso ci sono diverse interazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riferimenti scelti per la trattazione dell’onda incidente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Scomponiamo i campi in tre nuovi sistemi di riferimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . Andamento dei coefficienti di riflessione e di rifrazione. Angolo di Brewster. . . . . . . Onda incidente, riflessa e rifratta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polarizzazione TE e TM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schema di riferimento per la riflessione al suolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio del PG per un terreno con Γ = −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modello a 6 raggi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andamento del path gain con la distanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quando al ricevitore giungono differenti cammini generati dall’interazione dell’onda gli oggetti si dice che la propagazione avviene per Cammini Multipli (Multipath). . . . . Principio di Huygens-Fresnel e sorgenti secondarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riferimenti per la dimostrazione del teorema di Kirchhoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . L’integrale deve essere limitato alla porzione di fronte d’onda non intercettato . . . . . Esempi di diffrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio di diffrazione da KE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andamento dell’attenuazione supplementare in funzione del parametro ν0 . . . . . . . . Zone di Fresnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio di un ellissoide di Fresnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffrazione da apertura circolare e zone di Fresnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 26 27 28 29 29 30 31 32 32 33

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Tipi di propagazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . il modello ORT necessita di un profilo del radio collegamento. Andamento della potenza in ambiente reale. . . . . . . . . . . . Componenti dell’attenuazione in ambiente reale. . . . . . . . . Margine di fading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio di modello Hata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio di caratterizzazione tramite knife-edge . . . . . . . . .

. . . . . . .

36 37 37 38 38 39 40

103

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6 6 6

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ELENCO DELLE FIGURE

104

4.8 Esempio di un solo knife-edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Esempio modello di Epstein-Peterson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 L’attenuazione supplementare totale è valutata come prodotto delle singole attenuazioni sui cammini parziali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Esempio di modello di Berg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12 Esempio modello Multi-Wall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 43

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10

Le teorie in gioco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onda astigmatica generica. . . . . . . . . . . . . . . Tutti i raggi difratti appartengono al cono di Keller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio di riflessione di un’onda sferica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Doppia interazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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45 46 47 48 48 49 49 50 51 51

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio di costruzione delle regioni di visibilità per due riflessioni. Esempio di view tree. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Per determinare P si devono dispiegare i due piani. . . . . . . . . . . Esempio di backtracking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuito equivalente d’antenna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dopo qualche interazione l’errore medio si stabilizza. . . . . . . . . . Esempio di uso del modello 2D+2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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56 56 57 57 58 58 59 60

Funzione di trasferimento del canale radiomobile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equivalente passa basso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Risposta impulsiva del canale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propagazione multicammino: la H ( f ) non ha modulo costante in frequenza . . . . . . . . . Fading piatto e selettivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mobilità del terminale ricevente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le 4 funzioni del canale radiomobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Combinazione lineare dei segnali ricevuti. Si noti che la formula in fondo alla figura è un rapporto segnale-rumore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Esempi si sistemi MIMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 Schematizzazione a matrice del canale MIMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 64 65 66 66 67 68

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7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

40 41

72 73 73

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

Schema generale della codifica spread spectrum . Lo spreading nel caso antipodale . . . . . . . . . Il despreading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funzione di autocorrelazione della sequenza PN Effetto dello spreading e del de-spreading . . . . . Spreading e scrambling . . . . . . . . . . . . . . . . Codici di spreading e scrambling . . . . . . . . . . Il rake receiver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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77 78 79 79 80 81 81 83

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

Problematiche interferenziali e filtraggio spaziale . . . . Un cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La settorizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funzioni ortonormali e correlazione in sede di ricezione Soft handover vs. hard handover . . . . . . . . . . . . . . . . Active sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Macrodiversità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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87 88 89 90 91 91 91

10.1 Andamento di PC in funzione di σ/α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

104

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ELENCO DELLE FIGURE 10.2 10.3 10.4 10.5

Il caso in esame . . . . . . . . . . . . . . Relazione fra C/I, m e α . . . . . . . . . Analisi dell’efficienza spettrale per cella Pianificazione assistita al calcolatore . .

105 . . . .

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105

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