Review Sa.docx

THE REVIEW ASSIGNMENT OF ABSTRACT ALGEBRA Made By : GROUP 4 The members of group 4 : 1. Lialy Sarti 2. Rezky Nanda Syahnur 3. Yahdi Yani 4. Agnesa Hanravia 5. Ataya Aufa Saleh

17029064 17029074 17029079 17029081 17029084

BAB 2 GRUP “Ketika sebuah grup memperkenalkan dirinya atau diperkenalkan , grup dapat menggeneralisasi berbagai kekacauan yang komperatif’ Artinya : ketika grup memperkenalkan dirinya atau diperkenalkan , maka permasalahan – permasalahan yang rumit dapat disederhanakan. Untuk mempelajari tentang grup / kelompok, kita harus mengetahui : 1. Operasi biner Operasi biner adalah sebuah operasi tang tertutup di dalam suatu himpunan dan terdefinisi. Sebuah operasi biner dapat dilakukan jika ada grup/kelompoknya. Operasi biner bisa dituliskan dalam bentuk fungsi. Definisi operasi Biner : Misalkan S adalah sebuah himpunan. Operasi biner pada S adalah pemetaan *:S×SS yang biasanya akan ditunjukkan oleh * (a,b) = a * b Pertama-tama, "biner" hanya menunjukkan bahwa operasi mengambil dua elemen S dan mengeluarkan elemen baru. Juga, kami telah menulis sebagai fungsi dari S × S ke S, yang berarti dua hal khususnya: 1. Operasi * terdefinisi. Diketahui a * b ∈ S, ada tepat satu c ∈ S sedemikian rupa sehingga a * b = c. Dengan kata lain operasi terdefinisi untuk semua pasangan terurut, dan tidak ada ambiguitas dalam arti a * b. 2. S tertutup dibawah *: untuk semua a,b ∈ S, a * b juga terdapat pada S.

Ini memberi tahu kita dua hal yang perlu kita perhatikan ketika memeriksa bahwa ada sesuatu yang merupakan operasi biner. Atau : Definisi operasi biner Misalkan H adalah sebuah himpunan. Sebuah operasi biner pada H adalah sebuah fungsi yang menetapakan / memasangkan setiap pasangan terurut pada anggota H ke anggota H. * adalah sebuah operasi biner pada H . Jika * adalah sebuah fungsi yang menetapakan / memasangkan setiap pasangan terurut pada anggota H ke anggota H. *:H×HH * (a,b) ∈ H × H harus dapat dipetakan ke satu anggota dari H (terdefinisi). Pada operasi : -

a * b = c , c ∈ H dan c harus ‘unik’ (terdefinisi) 3 

1+2= 2



-

1 0

 ini tidak terdefinisi

= 𝑡𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢

a * b = c , c ∈ H kami mengatakannya sebagai ‘tertutup’. 

1 - 2 = -1 Dalam bilangan bulat positif karena -1 ∉ ℕ Ini tidak tertutup



√−1 ∉ ℝ Jadi, akar kuadrat tidak bisa mendefinisikan sebuah operasi biner pada ℝ.

Berikut adalah beberapa contoh operasi biner: 1. Penjumlahan dan perkalian pada ℤ adalah operasi biner. 2. Penjumlahan dan perkalian pada ℤn adalah operasi biner. 3. Penjumlahan dan perkalian pada Mn(ℝ)adalah operasi biner.

Berikut adalah contoh yang tidak termasuk operasi biner: 1. Mendefinisikan * pada ℝ dengan a * b = a/b. Ini bukan operasi biner, karena tidak terdefinisi dimanapun. Secara khusus, b tidak terdefinisi apabila b = 0. 2. Mendefinisikan * pada ℝ dengan a * b = c, di mana c adalah angka yang lebih besar dari a + b. Ini tidak terdefinisi dengan baik, karena tidak jelas apa yang seharusnya a * b. Operasi semacam ini cukup konyol, dan kita jarang akan menghadapi hal-hal seperti itu. Kemungkinan besar himpunan yang diberikan tidak tertutup dalam operasi. 3. Mendefinisikan * pada ℤ dengan a * b = a/b. Maka * bukan operasi biner. karena rasio dua bilangan bulat tidak harus berupa bilangan bulat. 4. Mendefinisikan * pada ℝn dengan v * w = v · w merupakan perkalian titik biasa.Ini bukan operasi biner, karena v · w ∉ ℝn. Definisi Grup Misalkan G adalah sebuah himpunan tak kosong dengan sebuah operasi biner (umumnya disebut operasi *(bintang)) yang di definisikan untuk setiap pasangan terurut (a,b) dengan a, b  G suatu element G yang dinotasikan dengan a*b. G dapat dikatakan sebuah grup dibawah operasi tersebut jika memenuhi 3 sifat berikut: 1. Asosiatif. Operasinya bersifat asosiatif; yaitu, (a * b) * c  a * (b * c) berlaku untuk a, b, c  G 2. Identitas. Terdapat elemen e (elemen identitas)  G sedemikian rupa sehingga a * e  e * a  a, a  G 3. Invers.

a  G , b G (disebut invers dari a) sedemikian rupa sehingga ab  ba  e Grup

G dikatakan Abelian (memiliki sifat komutatif pada operasinya) jika ab  ba berlaku untuk

a, b  G . Jika ada pasangan (a,b) dengan ab  ba maka kita katakan grup G adalah non-Abelian