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Módulo de Resolución de Problemas

Manual para el docente 1er. Grado de Educación Secundaria Z_Modulo de Matemática Cuaderno 1.indd 1

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Módulo de Resolución de Problemas - Resolvamos 1 Manual para el docente 1er. Grado de Educación Secundaria Elaboración David Ernesto Palomino Alva Colaboración en la elaboración Jenny Rios Poma Revisión académica Luis Enrique Eyzaguirre Espino (Coordinador) Carlos Alberto Calderón Arévalo Daniel Giovanni Proleón Patricio Fernando Del Castillo Oyarce Luis Alberto Díaz Nunja Luis Daniel Chumpitaz Malpartida Marco Antonio Tello Mena Terry Revisión pedagógica Pedro David Collanqui Díaz Roger Justiniano Saavedra Salas Corrección de estilo Raquel Socorro Tinoco Casallo Diseño, diagramación e ilustraciones Freddy José Salazar Cubillas

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Ministerio de Educación Calle El Comercio No 193 - San Borja Lima 41 - Perú Teléfono: 615-5800 www.minedu.gob.pe Primera edición: 2012 Tiraje: 36 306 ejemplares Impreso en el Perú / Printed in Peru Impreso en Empresa Editora El Comercio S.A. Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318 Chacra Ríos Sur, Lima 01 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: N.o 2012 - 08528 ©Ministerio de Educación Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso del editor.

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Presentación

La actividad de resolver problemas es una de las principales y más importantes en la educación matemática, desarrollarla es un proceso de construcción personal que se enriquece día a día y se nutre del intercambio de experiencias que orienta al estudiante a construir mejores estrategias para resolver diversos tipos de problemas. Por ello, como parte de la Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes, el Ministerio de Educación, a través de la Dirección de Educación Secundaria, ha diseñado el Módulo de Resolución de Problemas para que acompañe y se integre en el desarrollo del Área de Matemática, el cual está compuesto por un Cuaderno de trabajo para el estudiante y un Manual para el docente. El enfoque que encontrarás en el cuaderno Resolvamos 1 se fundamenta en los siguientes principios: •

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•

• •

Existen consensos en la psicología cognitiva y sus investigadores (Piaget, Bruner y otros) respecto al desarrollo cognitivo conforme crecen los estudiantes. Se desprende de esta teorías que las edades de 10 a 14 años son cruciales en el desarrollo de formas de razonamiento formal. Si las personas aprenden métodos adecuados de razonar durante estos años, esos buenos hábitos serán de ayuda permanente por el resto de sus vidas; por el contrario, adquirir métodos inadecuados a esa edad ocasiona que su capacidad para resolver problemas se verá mermada en el futuro. Resolver problemas adecuadamente es posible, pero este aprendizaje no se desarrolla espontáneamente, requiere de condiciones pedagógicas, recursos didácticos y una orientación mediadora eficiente. Si bien la mayoría de las investigaciones se han focalizado en trabajos individuales, existe evidencia de mejoras de las capacidades en resolución de problemas al trabajar en equipo. Aprender a resolver problemas requiere de interacción con alguien. Pocos individuos son hábiles para criticar su propio razonamiento y esto es especialmente cierto en los estudiantes. Además, necesitan oportunidades para probar y corregir sus estrategias, argumentos y formas de razonar, confrontándolos con los de otros. Aprender relativamente unas pocas técnicas habilita al individuo a trabajar efectivamente con la mayoría de tipos de problemas. Estas técnicas son valiosas no solo en matemática, sino en otras áreas y en la vida cotidiana. Las mayores barreras para mejorar la resolución de problemas son sicológicas más que intelectuales. Muchos estudiantes están acostumbrados a tener a alguien cerca para que les resuelva sus problemas, así que ellos simplemente no tratan de resolverlos por sus propios medios.

Estos principios se cristalizan en el Cuaderno de trabajo Resolvamos 1. Uno de los objetivos subyacentes de esta propuesta es lograr que los estudiantes pierdan el temor a enfrentarse a situaciones problemáticas planteadas en diversos contextos y que desarrollen diversas estrategias de resolución, se motiven a afrontar retos de la vida cotidiana y tomen decisiones adecuadas para lograr sus propósitos. El cuaderno se divide en 28 actividades que constan de cuatro tareas cada una, las cuales presentan situaciones problemáticas en los más diversos contextos, desde lo cotidiano, escolar o laboral hasta el ámbito lúdico o fantástico. Al seleccionar los problemas, hemos tenido en cuenta el enfoque del área expresada en el DCN, resaltando el valor social que conlleva el aprendizaje de la matemática; esto sin dejar de lado el disfrute y el placer que se experimenta al resolver un enigma, una paradoja o un

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acertijo, actividades sumamente motivadoras que, si bien no son utilitarias, permiten desarrollar capacidades de abstracción. La primera tarea presenta una situación donde el estudiante puede explorar, mediante interrogantes, las diversas relaciones que se dan entre los objetos matemáticos. Aunque se priorizan preguntas directas o de identificación de información, se proponen otras que apelan a la reflexión de las tareas realizadas. En algunas ocasiones, las preguntas tienen un nivel mayor de complejidad con el fin de que el estudiante asuma un reto nuevo a lo aprendido. Se recomienda como metodología de trabajo que el estudiante realice de manera individual la tarea y que el docente monitoree su realización, apoyando cualquier duda de manera personal. Cuando las dificultades son recurrentes, su tratamiento dará lugar a una plenaria. Las segunda y tercera tareas propuestas en las actividades desarrollan un método y estrategias teniendo en cuenta un plan de resolución de problemas, que consta de cuatro pasos. Con este método, se pretende que los estudiantes afronten los problemas de manera sistemática. Se propone desarrollar estas tareas en parejas, donde los estudiantes tienen la oportunidad de discutir en cada paso del proceso sobre lo que comprenden y acerca de cómo van a enfocar la solución del problema. Asimismo, las preguntas formuladas en el cuaderno promueven la discusión, la comunicación y la argumentación de la pareja. La cuarta tarea es una situación de exploración compleja, rica en relaciones y en algunos casos de respuesta abierta, cuyo nivel dependerá del grado de profundidad que el estudiante pueda demostrar al resolver las preguntas planteadas. El docente debe considerar que esta actividad da para mucho más y que puede hacer que el estudiante trate de realizar investigaciones más profundas a partir de ella. Se recomienda que esta tarea se desarrolle en grupos de tres a cuatro estudiantes, pues al tener diversos niveles de exploración se requiere de mayor interacción y de la contrastación de diferentes puntos de vista. Sugerimos que usted, al usar este manual, lea los problemas sin observar las soluciones. Trate de resolverlos utilizando sus propias técnicas, de dos o tres maneras distintas. Reflexione, luego, sobre las estrategias que le fueron útiles. Finalmente, pregúntese cómo la solución hallada le puede servir para otros casos. Un buen ejercicio es buscar libros de texto del área e identificar problemas que pueden solucionarse con las estrategias empleadas. Usted no debe trabajar con los estudiantes sin antes haber enfrentado todos los posibles bloqueos y dificultades que un problema puede acarrear. Los estudiantes deben acostumbrarse a resolver problemas, pero no como una tarea de cantidad, sino de calidad. No es necesario formular un gran número de problemas; es mucho mejor resolver pocos, pero en profundidad, como lo pretendemos hacer en las actividades presentadas en el cuaderno. Sin más preámbulo, invocamos su espíritu de innovación para conducir a los estudiantes en este apasionante mundo creativo de la resolución de problemas mediante métodos matemáticos.

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Conoce tu Manual Antes de empezar a desarrollar las actividades: Recomendamos leer la sección titulada Aspectos teóricos de la heurística en la que se promueve la reflexión sobre qué es un problema, así como los aspectos que afectan su solución.

No menos importante, para comprender el marco teórico de esta propuesta, es El plan de cuatro pasos que describe el modelo para orientar a los estudiantes a enfrentar situaciones novedosas.

Como complemento se propone la sección Algunas estrategias comentadas que los estudiantes podrán aplicar para desarrollar su capacidad de resolver un problema por diversos métodos.

Finalmente, bajo el título El trabajo en equipo hallarás orientaciones para promover la participación y la colaboración de los estudiantes para resolver problemas.

Antes de empezar a desarrollar las actividades: El Manual está compuesto por orientaciones metodológicas para cada actividad y el solucionario correspondiente. En las Orientaciones metodológicas de cada actividad se describe la capacidad que deberá ser desarrollada y los conocimientos que deberán ser utilizados; se proponen estrategias heurísticas y se indican posibles dificultades que encontrarán los estudiantes al resolver los problemas.

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Estructura de cada actividad: El cuaderno está compuesto por 28 actividades. Cada una propone cuatro tareas o situaciones problema que el estudiante debe desarrollar de manera personal o colectiva. A continuación, se describe la estructura de una actividad.

La Tarea 1 presenta una situación de la vida cotidiana de menor complejidad con preguntas que conducirán al estudiante a la resolución del problema planteado.

Se recomienda que esta tarea se realice de manera individual.

La Tarea 4 presenta una situación problema de mayor complejidad, en la cual el estudiante debe poner en práctica los conocimientos y habilidades aprendidos. Asimismo, plantea preguntas orientadoras que ayudarán a los estudiantes a tener éxito en su solución.

Las Tareas2 y 3 presentan situaciones algo más complejas que la de la Tarea 1 y propone una metodología de cuatro pasos, con preguntas y orientaciones para conducir a los estudiantes en la resolución del problema.

Se sugiere que estas tareas se desarrollen en grupo de dos estudiantes.

Se propone que esta tarea se ejecute en grupo de tres o cuatro estudiantes.

La sección ¿Qué aprendí? detalla los aprendizajes que debe haber desarrollado el estudiante al concluir la actividad y relaciona su importancia con situaciones cotidianas.

La sección Autoevaluación plantea una pregunta referida a la actuación del estudiante en el desarrollo de la actividad, por lo cual deberá marcar el nivel que considere haber alcanzado.

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Índice

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1. Aspectos teóricos de la heurística

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2. El plan de cuatro fases

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3. Algunas estrategias comentadas

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4. El trabajo en equipo

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Actividad 1

Los números ordenan tu mundo

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Actividad 2

Los números ayudan a pensar mejor

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Actividad 3

No dividas y vencerás

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Actividad 4

Las proporciones nos brindan información

40

Actividad 5

Ojos que no Venn

46

Actividad 6

Proporcionalmente

52

Actividad 7

Fracciones de realidad

58

Actividad 8

Porcentajes que ponen y quitan

64

Actividad 9

El lenguaje de los números

70

Actividad 10

Pensar lógicamente

76

Actividad 11

Incógnitas a nuestro alrededor

82

Actividad 12

Las ecuaciones al rescate

88

Actividad 13

El mundo está lleno de incógnitas

94

Actividad 14

Textos que esconden números

100

Actividad 15

La función de las funciones

106

Actividad 16

Números en todas partes

112

Actividad 17

Funciones que muestran cambios

118

Actividad 18

La geometría es más que cálculos

124

Actividad 19

Medidas en nuestras vidas

130

Actividad 20

Decisiones bien medidas

136

Actividad 21

La geometría de los mínimos

142

Actividad 22

Medir para decidir

148

Actividad 23

Medimos las regiones y sus contornos

154

Actividad 24

Estadísticas que nos hacen pensar

160

Actividad 25

Los promedios de por medio

166

Actividad 26

La matemática sí cuenta

172

Actividad 27

Un mundo de incertidumbres

178

Actividad 28

Jugando con el azar

184

Bibliografía comentada

190

Enlaces web

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importante notar que el tiempo que se dedica a la resolución de un problema no puede preverse de antemano y que la inversión de energía y afectividad es importante en esta tarea (IREM, 1973).

1. Aspectos teóricos de la heurística La heurística se preocupa del estudio del proceso de solución de problemas en forma general, tratando de desarrollar estrategias descriptivas, nunca prescriptivas, que puedan servir a una persona en su camino a convertirse en un hábil resolutor de problemas. En las páginas siguientes, cuando nos refiramos a problemas lo haremos dentro del campo matemático, aunque el sistema heurístico es fácilmente aplicable a otras áreas del conocimiento.

1.1. ¿Qué es un problema? Hemos usado hasta aquí la palabra problema sin habernos preocupado de definirla en el sentido en el que queremos utilizarla en el presente texto. Este vocablo se ha empleado en el aula, de manera indiscriminada, para referirnos, muchas veces, a sencillos ejercicios de repetición. En la didáctica de la matemática, la definición de problema ha pasado por diversas discusiones y ha ido evolucionando hacia otros conceptos que implican aspectos psicológicos y sociales. Hagamos un breve recorrido por algunas de las definiciones del término que se han manejado a lo largo de la historia:

• Tarea de contenido matemático, cuyo enunciado es

significativo para el estudiante (…) que este (lo) desea abordar, y para el cual no ha producido sentido (Puig, 1996). • En general, es una situación que parte de un estado inicial

indeseado y debe llegar a un estado final deseado. Entre ambos existe al menos una “barrera” que bloquea el paso del uno al otro (K. Duncker). Como hemos visto, un rasgo común a las definiciones anteriores radica en que no existen caminos visibles e inmediatos para poder afrontar la situación. Otro ingrediente es la actitud del individuo, el interés que muestra al enfrentarse al problema. En este texto, utilizaremos la siguiente definición que creemos resume las anteriores y nos da un espectro amplio que permita desarrollar un sistema heurístico útil para las aulas de Secundaria.

• Planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida

debe obtenerse a través de métodos científicos (Real Academia Española, 2001). • Proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un

resultado cuando ciertos datos son conocidos (Espasa Calpe, 2001). • Situación significativa a laqueuna persona quiere dedicarse,

pero para la que no dispone de un modelo conceptual estable (Lesh, 1982). • Situación que difiere de un ejercicio, donde la persona que

pretende resolver no tiene un proceso algorítmico que le conducirá, con certeza, a la solución (Kantowki, 1981). • Situación que supone una meta para ser alcanzada, donde

existen obstáculos para lograr el objetivo y en la que se requieren deliberación y desconocimiento del algoritmo útil para resolverla. Es usualmente cuantitativa o demanda técnicas matemáticas para su solución. Debe ser aceptada como problema por alguien, antes de que pueda ser llamada problema (House, Wallace y Johnson, 1983). • Situación que, individualmente o en grupo, se acepta para

desarrollar una tarea para la que el camino que determina la solución no es obvio inmediatamente. Puede ser enfocado de muchas maneras (Brannan y Schaaf, 1983).

Esta definición difiere, en gran medida, de lo que comúnmente se observa en las instituciones educativas, donde se suele confundir el concepto de ejercicio con el de problema. En general, se puede observar cuatro connotaciones que tradicionalmente se le da a esta palabra: Problema es el caso en el que la regla por aplicar salta a la vista, debido a que acaba de ser presentada y estudiada en clase.

Problemaes unasituación en la que se debe elegir la regla que se debe aplicar y que se trabajó en clase recientemente.

Problema es el caso para cuya solución hay que elegir una combinación de reglas previamente estudiadas.

• Situación en la que se plantea una tarea o una interrogante

para las cuales un individuo o grupo no tiene previamente un procedimiento de solución (Tapia, 1996). • Actividad en la que el estudiante debe buscar enfrentarse

a situaciones nuevas, establecer relaciones, y en la que el profesor trata de suscitar la curiosidad y de motivar al estudiante para que persevere en la investigación. Es

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En este punto, conviene plantear algunas diferencias entre lo que llamamos ejercicio (resolución rutinaria) y problema (resolución no rutinaria). Para ello, consideraremos los siguientes aspectos:

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a. El comportamiento que debe seguir el estudiante En un ejercicio, basta que aplique en forma algorítmica los conocimientos ya adquiridos; en cambio, en un problema es necesario que se familiarice con la situación, que experimente, particularice y busque caminos de solución, hasta llegar a ella. b. El objetivo que persigue el profesor En un ejercicio, se busca que el estudiante aplique conocimientos en forma rutinaria; en un problema, se requiere que investigue.

Ana

Estela

c. El tiempo a emplear En un ejercicio, el profesor puede prever el tiempo necesario para resolverlo; es más, en algunas instituciones educativas se plantea como meta resolver una cantidad determinada de ejercicios en la sesión prevista. En el caso de un problema, su solución puede llevar mucho más tiempo, debido a que moviliza la comprensión, el planteamiento y la reflexión de una situación. d. La dimensión afectiva La resolución de ejercicios no suele generar emociones importantes, su proceso reproductivo genera pasividad y es frecuente confundir “carga motivadora” con “cantidad de ejercicios” que el estudiante realiza; mientras que la solución del problema supone una gran carga motivadora en todo su proceso y predispone a asumir, de forma desafiante, tanto el cuestionamiento como las formas de resolver y enfrentarse a un problema. Estas distinciones y consideraciones las hemos dado desde un punto de vista objetivo, suponiendo un sujeto ideal; sin embargo, debemos considerar otros parámetros inherentes a él. Lo que para uno es un problema para otro puede ser un simple ejercicio. Esto depende básicamente de lo siguiente: • Conocimientos previos, experiencias y habilidades • Diversidad de pensamiento Ilustraremos el tema con un ejemplo tomado de la realidad referido a la base de conocimiento, habilidades y experiencias. Otro parámetro en esta aproximación, desde el punto de vista del sujeto, es la diversidad del pensamiento. Así, pese a tener la misma base de conocimientos, habilidades y experiencias, las personas poseen ciertas redes conceptuales y patrones mentales que permitirán a unas simplificar una situación, mientras que otras no verán la solución. Ilustraremos lo dicho utilizando una forma planteamiento de un examen de admisión.

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de

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solución. Finalmente, vencida por la dificultad, se quedará mirando el plato, frustrada por no haber logrado su objetivo.

Si hacemos el mismo experimento con un perro, este intentará acercarse al plato de comida, primero, enfrentando la malla; pero luego advertirá que puede retroceder, evitar el obstáculo y encontrar el plato de comida al otro lado.

La acción que realiza la gallina es un ejemplo de cómo funciona el pensamiento lineal. A ella le cuesta mucho trabajo retroceder y abandonar su meta, aunque sea momentáneamente, por lo que solo intenta resolver su problema atacándolo directamente. Por otro lado, el comportamiento del perro ejemplifica el pensamiento lateral, que es más evolucionado. A él no le importa dejar de ver el plato un momento, porque sabe que luego su recompensa será conseguirlo.

1.2. Aspectos que afectan la solución de problemas Aspecto cognitivo

Observar un mismo problema desde varios puntos de vista, contextos y perspectivas da lugar a diversas estrategias que son entrenadas revisando ejercicios de pensamiento lateral. Esta expresión fue acuñada por Edward de Bono para poner de manifiesto un modo de pensar distinto del lineal, que es como la mayoría de nosotros dirigimos nuestro pensamiento. Supongamos que, separados por una malla metálica, colocamos a una gallina hambrienta frente a un plato de maíz. La malla permite ver el plato, pero el pico de la gallina no llega a alcanzar el maíz, por lo que arremete contra el obstáculo, sin darse cuenta de que podría buscar otra

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Habíamos visto que los conocimientos previos pueden afectar una adecuada resolución de un problema. A ella le agregamos el plano de los metaconocimientos; plano no observado hasta 1976 y constituido por los conocimientos acerca de nuestros procesos mentales. En este campo, precisamente, se centran los trabajos para la correcta confección de un retrato heurístico del sujeto y su posterior mejora. En un plano metacognitivo, podemos considerar dos aspectos relacionados entre sí, propuestos por J. Garófalo y F. Lester, en 1985: • Las creencias acerca de los conocimientos. • La regulación y control de la propia cognición.

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El primer aspecto se refiere a conocer las capacidades y tener conciencia de cuáles son las aptitudes reales. También se refiere a aquellas situaciones construidas por la experiencia del individuo que le crean inseguridad o ansiedad, de acuerdo con lo que él “cree” de su manejo cognitivo. Aquí se inscriben aquellas personas que manifiestan a priori resolver mejor los problemas algebraicos que los problemas geométricos. El segundo aspecto se refiere a una situación reflexiva y de interiorización del conocimiento. Es como nuestra conciencia que nos señala caminos, actitud y grado de perseverancia en tal o cual estrategia resolutiva.

y a la actividad de resolver problemas, con la consiguiente secuela de desnivelación que esto producirá. Una de las consideraciones más importantes en una clase es la que se brinda a la motivación y predisposición que despertemos en nuestros estudiantes. Sin una buena actitud hacia la matemática, poco podremos conseguir con nuestras lecciones. Para motivarlos, presentemos curiosidades, algunas paradojas, un juego lógico, un truco de magia o cualquiera de las múltiples posibilidades que la matemática recreativa nos puede aportar.

Como señala Alan Schoenfeld, la diferencia entre un novato y un hábil en resolución de problemas suele situarse en el plano metacognitivo; por esta razón, muchos investigadores trabajan en esta área, a fin de mejorar la habilidad para resolver problemas.

Influencia del contexto

Aspecto afectivo La dimensión afectiva es vital en la resolución de problemas matemáticos. La carga emotiva puede llevarnos a importantes satisfacciones, pero también nos puede sumir en una peligrosa frustración. Por eso, es importante que el profesor seleccione, adecuadamente, los problemas que trabajará con sus estudiantes, con el fin de proponer investigaciones que les sea posible abordar. Uno de los componentes de la dimensión afectiva, que la escuela ha impregnado en nuestros estudiantes, es retratado perfectamente por M. Callejo:

Es casi un dogma social que la matemática es el filtro en las universidades y el área con mayor cantidad de desaprobados en nuestras instituciones educativas. Diversos factores que comprometen a los agentes sociales han condicionado un contexto con una presión cultural y una tradición no matemática. Nuestros estudiantes no la valoran y solo buscan estudiarla con un objetivo definido: pasar las evaluaciones. La resolución de problemas se desarrolla en la vida cotidiana. Es necesaria para comprender, analizar y tomar decisiones frente a la abundante información que recibimos de diversos medios. Por ello, estamos convencidos de que el desarrollo de la competencia en resolución de problemas en matemática puede ayudar a mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje.

Las actividades matemáticas se resuelven casi siempre en pocos minutos. Si te quedas bloqueado, tendrás la impresión de perder el tiempo. Se trabaja en una dirección. Si no sale ese camino, se abandona la tarea. El problema termina cuando se halla la solución. Si esta no es correcta, el trabajo y el tiempo invertido fueron en vano. Los estudiantes con estas creencias van a observar, a la hora del trabajo personal, comportamientos y sentimientos de frustración cuando: • se demoren al resolver un problema. • el problema no salga por el método enseñado en clase. • consulten la respuesta y no sea la correcta.

Estos sentimientos se transforman en rechazo a las tareas MD

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2. El plan de cuatro fases En la solución de problemas, existen varios esquemas que nos presentan el orden más adecuado para empezar a enfrentarse con situaciones novedosas. A continuación, citaremos algunos de los que se han desarrollado hasta la fecha, indicando el nombre de su creador y el año en que fue publicado. Esquema de George Pólya, 1945 • Comprender el problema • Diseñar una estrategia • Ejecutar el plan • Visión retrospectiva Esquema de Wallas, 1971 • Familiarización • Incubación • Inspiración • Ejecución • Verificación Esquema de Mason-Burton-Stacey, 1982 • Abordaje • Ataque • Revisión Método ideal (Bransford y Stein, 1984) • Identificación del problema • Definición y representación del problema • Exploración de posibles estrategias • Actuación fundada en una estrategia • Logros. Observación y evaluación de los efectos de las actividades Esquema de Alan Schoenfeld, 1985 • Analizar y comprender un problema • Diseñar y planificar una solución • Explorar soluciones • Verificar la solución El esquema que hemos utilizado y que nos ha brindado buenos resultados con los estudiantes consta de cuatro fases. Bajo este marco se desarrollan las tareas 2 y 3 de cada actividad del Cuaderno de trabajo para estudiantes. A la nomenclatura formal de cada fase se ha propuesto un nombre coloquial de modo que facilite su comprensión:

2.1. Familiarización y comprensión En esta fase el estudiante debe identificar la incógnita, reconocer los datos, identificar las condiciones, si son suficientes, si son necesarios o si son complementarios. Para ello, debe leer atentamente el problema. Si es posible, debe ser capaz de expresarlo con sus propias palabras, así no sea tan riguroso su lenguaje. Una buena estrategia es hacer que le explique a otro compañero lo que se está solicitando en el problema. Es importante respetar aquí el ritmo de aprendizaje de cada uno.

El docente debe indicar a los estudiantes que lean el problema con tranquilidad, sin presión ni apresuramiento, que jueguen con la situación, que le pierdan el temor inicial. Además, debe asegurarse de que entiendan el problema, ya que podría ocurrir que algunos de los términos no sean conocidos por todos. Por ejemplo, si introducimos la expresión cuadrado perfecto y no conocen lo que significa, el problema no va a ser comprendido. Es necesario, pues, identificar aquellos términos que pueden causar dificultades y definirlos, explicarlos, hasta que todos hayan entendido su significado. Algunas veces, cuando hemos concluido un problema o una demostración, los estudiantes nos preguntan: “¿Allí termina?”. Esto indica que no comprendieron al inicio la naturaleza de la solución. En algunos problemas, la respuesta es un número; en otros, una expresión algebraica, un gráfico o una expresión argumentativa de toma de decisión, entre otros. En las demostraciones, se da a conocer un conjunto de pasos debidamente fundamentados. Por esta razón, es importante que hagamos explícita la naturaleza de la solución, que los estudiantes puedan reconocerla antes de iniciar el proceso de búsqueda de la estrategia, con lo que sabrán de antemano lo que se busca y cuándo el problema puede decirse que está terminado.

Familiarización y comprensión

Antes de hacer, vamos a entender

Búsqueda de estrategias y elaboración de un plan

Elabora un plan de acción

Durante la familiarización, se suele experimentar una tensión por la búsqueda de un plan de resolución, lo que, en algunos casos, puede desembocar en interés y, en otros, en ansiedad. Cuando se produce la familiarización, se experimentan sentimientos positivos que cobran más o menos intensidad, según las expectativas que se tengan sobre el éxito de dicho plan.

Ejecución del plan y control

Desarrolla tu plan

Algunas preguntas que pueden ayudar a familiarizarse con el problema y comprenderlo pueden ser:

Visión retrospectiva y prospectiva

Sácale el jugo a tu experiencia

• ¿Entienden el significado de los términos del problema?

Modelo teórico

Para los estudiantes

• ¿Pueden indicar la naturaleza de la solución?

En las siguientes líneas, explicaremos con detalle cada una de las fases, las cuales se subdividen en interrogantes o consejos que permiten ordenar nuestro pensamiento y plantearemos algunas preguntas que el profesor puede formular en ellas para ayudar al estudiante. Resolvamos 1

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• ¿Tienen en cuenta toda la información relevante? • ¿Pueden expresar el problema con sus propias palabras? • ¿Pueden explicarlo en términos de un esquema?

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• ¿Cuál es la incógnita? • ¿Cuáles son los datos? • ¿Cuál es la condición? • ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? • ¿Es insuficiente? ¿Es contradictoria? ¿Es redundante?

2.2. Búsqueda de estrategias y elaboración de un plan En la segunda fase, el estudiante comienza a explorar la situación, experimenta, particulariza. Empezar por lo fácil hace fácil lo difícil. El plan es un conjunto de estrategias heurísticas que se seleccionan con la esperanza de que el problema llegue a ser resuelto. Podrá elegir la más adecuada, dependiendo de las características del problema. Esta es una de las fases más importantes en el proceso de solución, pues depende tanto de la base de conocimientos como de la calidad del pensamiento. En general, debemos ayudar a los estudiantes a diseñar un plan, lo que se logra haciendo preguntas como las aquí presentadas. También es posible que identifiquemos la información relevante subrayando en el texto lo importante o preguntando: “¿Este dato, a qué conclusiones me puede hacer llegar?”. Luego podemos enumerar todas sus posibles respuestas a esta interrogante, de las cuales elegiremos, conjuntamente con ellos, aquella o aquellas que nos sean útiles para la solución.

Una estrategia que podemos utilizar es resolver un problema análogo al que les estamos presentando. Los estudiantes deben identificar las analogías, sean de contenido o de método, y aplicarlas a la situación que intentan resolver. El docente debe estar atento a la motivación de los estudiantes e intervenir cuando esta decaiga. Si están desanimados porque el camino elegido no los conduce a la solución, ayúdelos a ver el problema desde otra perspectiva. Pida que supongan el problema resuelto, genere una atmósfera propicia para la investigación y promueva la experimentación, el ensayo, la comunicación. De ser necesario, brinde sugerencias e incentive a que formulen y evalúen sus propias conjeturas. Algunas veces, será necesario reconocer la dificultad del problema para que ellos sientan que están trabajando en algo difícil y que requiere perseverancia y dedicación. Algunas sugerencias y preguntas que el profesor puede hacer en esta fase son: • ¿Te has encontrado con un problema semejante?

¿O has visto el mismo problema planteado de forma ligeramente diferente? ¿Conoces un problema relacionado con este? ¿Conoces algún teorema que te pueda ser útil? • ¿Has encontrado un problema relacionado con el tuyo

y que has resuelto ya? ¿Puedes utilizar su método? ¿Puedes usar su resultado? • ¿Puedes enunciar el problema en forma distinta?

¿Podrías plantearlo de otra manera? Cambia la terminología, regresa a las definiciones. • Si no puedes hallar la solución del problema propuesto,

trata de resolver primero algún problema similar. Encuentra ejemplos de la situación. Experimenta, particulariza, recuerda que empezar por lo fácil hace fácil lo difícil. Imagínate un problema análogo, pero más sencillo. ¿Puedes resolver una parte del problema? Considera solo un fragmento de la condición, descarta la otra parte. Realiza un esquema, una figura, un diagrama. Supón el problema resuelto. Empieza al revés, usa el razonamiento regresivo. • ¿Has utilizado todos los datos? ¿Has empleado toda

la condición?

2.3. Ejecución del plan y control Cuando el estudiante decide qué estrategias utilizar, viene la fase de la ejecución del plan, que debe realizarse siempre en forma controlada, evaluando cada paso de su realización, a fin de saber si el plan lo está acercando a la respuesta o lo está conduciendo a una situación compleja. Si lo lleva a la solución, pasará a la siguiente fase; de lo contrario, deberá repetir la fase dos. La actitud juega aquí un rol protagónico, conviene no desanimarse. Es importante no abandonar una estrategia antes de revisar los diversos aspectos de esta, sin perder de vista que existen otras que eventualmente podríamos utilizar. En esta fase entran a tallar los mecanismos de regulación mental y la habilidad para salir de bloqueos. Aconseje

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al estudiante que, al ejecutar su plan de solución, compruebe cada uno de los pasos. “¿Puedes ver claramente que el paso es correcto?”. Que actúe con flexibilidad, si las cosas se complican demasiado, que intente otro camino. Esto es lo que se llama un adecuado manejo de dos principios complementarios: el de perseverancia y el de variedad, es decir, si por una parte no se debe abandonar un aspecto que nos haya sugerido algo útil, por otra parte es necesario examinar tantos aspectos como sea posible; que intente ver siempre algo nuevo. Cuando el problema haya sido resuelto, pregúntele: “¿Estás seguro?”. “¿Cómo lo compruebas?”.

2.4. Visión retrospectiva y prospectiva

• ¿Podrías hacer un diagrama procedimental que sirva

para resolver problemas de este tipo? • Reflexiona sobre tus emociones, tus estrategias de

pensamiento y tus preferencias. Gana experiencia para el futuro. • Recuerda que cada vez que resuelves un problema estás

desarrollando tus habilidades de solución y de trabajo con la matemática. Esta es una fase esencial para el mejoramiento de la habilidad del estudiante al enfrentarse con problemas. Los psicólogos e investigadores la señalan como la fase principal para el conocimiento de la persona, de sus procesos mentales, sus preferencias y sensaciones durante el proceso de solución. Al contrario de lo que se suele pensar, solucionar un problema entraña diversas emociones y sentimientos que pueden ser el motor que impulse a buscar resultados o, por el contrario, que bloqueedichoproceso, encasodeocurriremocionesnegativas.

Cuando se ha obtenido una solución (no una respuesta, podrían haber varias o ninguna), se ingresa a la cuarta fase, donde se efectúa una reflexión acerca del proceso ejecutado. Asimismo, se realiza una verificación de la solución, pudiendo modificarse el problema o generalizar los resultados.

• Una estrategia interesante es el uso del problema

Esta última fase ha tomado gran fuerza en investigaciones recientes y es considerada como la más importante en el proceso heurístico. Estudios actuales afirman que es posible mejorar las habilidades para resolver problemas si se mejora el aspecto metacognitivo. Para ello, la herramienta más poderosa es la metarreflexión consciente, que nos permite observar nuestros bloqueos, emociones, etc., al resolver un problema.

• Para educar la flexibilidad del pensamiento, el

Promover la reflexión sobre el proceso de solución como fichero mental para resolver nuevos problemas. Los estudiantes deben incorporar la idea de que cada vez que encuentran una solución, el procedimiento y su resultado pasan aformar parte de nuestras redes mentales de conocimientos, que podemos activarlos en otras situaciones. docente puede incentivar a que busquen y presenten otros caminos de solución al problema. Visualizar soluciones desde otras perspectivas ayuda a incorporar heurísticas útiles que pueden ser usadas luego,enforma deliberada,cuandosean necesarias. • Realizar variaciones y presentar preguntas

o generalizaciones del problema dado van a desarrollar la capacidad de investigación de nuestros estudiantes. Promover líneas de investigación, así no sean abordadas en el momento, ayudará a entender cómo es que los matemáticos generan nuevos conocimientos.

Algunas indicaciones y preguntas que el profesor puede hacerle al estudiante para promover esta etapa son: • Examina a fondo el proceso seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? ¿Puedes verificar cada paso?

Por lo general, esta última fase del proceso de solución de un problema es descuidada en las aulas; sin embargo, en esta reflexión sobre lo actuado es precisamente cuando el estudiantetomaconcienciade sus potencialidades e identifica sus debilidades, convirtiéndose en un ser responsable y crítico de su propio proceso ante tareas matemáticas.

• Trata de entender cómo funcionaron las cosas. ¿Por qué ese camino te llevó a la solución? • ¿En qué momentos te quedaste bloqueado? • ¿Cómo lograste salir del bloqueo? • ¿Qué te dio la pista para decidir la estrategia a usar? ¿Algún dato? ¿Algún problema semejante? ¿Algún modelo? • Trata de aislarte del problema en sí y verifica los procesos generales de tu solución. Resolvamos 1

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3. Algunas estrategias comentadas Un buen resolutor de problemas debe llegar a desarrollar la capacidad de resolver un problema por diversos métodos, además debe estar en capacidad de combinar estrategias creativamente En cada etapa de desarrollo de la solución debemos definir qué estrategia se utilizará en la siguiente fase.

3.1. Estrategias de comprensión Lectura analítica Leer analíticamente un texto es dividirlo en unidades que proporcionen algún tipo de información y establecer, luego, cómo estas partes del texto se interrelacionan y muestran el panorama de lo que se quiere decir. Al leer un problema de manera analítica uno puede preguntarse: ¿quiénes participan en la historia?, ¿qué es lo no varía a lo largo de la historia?, ¿cuántos estados se perciben en el texto?, ¿cuáles son los datos que nos proporcionan?, ¿qué datos son relevantes para resolver el problema?, ¿qué es lo que debemos encontrar?, ¿qué condiciones se imponen a lo que buscamos?, entre otras preguntas, que ayudarán a que el estudiante se familiarice y le pierda temor a la situación. La lectura analítica ayuda mucho en la comprensión lectora del texto que da origen a un problema, pero no garantiza el camino a su solución. Leer analíticamente no es identificar las palabras claves ni buscar tips para encontrar la variable (estos son procesos mecánicos que no ayudan a comprender cabalmente un problema). En la vida real los problemas matemáticos pueden no contener esas palabras claves que aparecen en problemas diseñados para libros de texto y el estudiante enfocará erradamente un problema si hace uso de este mecanismo. La lectura analítica es importante en la comprensión de problemas pues estos textos contienen elementos matemáticos como números, diagramas, relaciones dentro de una historia o un contexto real complejo que no es lo mismo que leer un cuento o un ensayo. De hecho hay personas que comprenden perfectamente textos humanísticos, pero no textos que contienen elementos matemáticos.

Parafrasear Parafrasear es decir algo de otro modo para conseguir clarificar y comprender un texto. Explicar un problema de texto en sus propias palabras ayuda mucho en el proceso de comprensión. Hay que decir que parafrasear no implica aprenderse de memoria un texto y repetirlo; es señalar lo más importante de una historia y expresarlo con palabras, evitando en lo posible particularidades con números, fechas, nombres, locaciones, etc.

Problema

Parafraseo

Jaime es el organizador de la fiesta de fin de año de su colegio. Él ha proyectado ganar S/.4800, para lo cual reparte 200 tarjetas, pero, lamentablemente, solo se vendieron 130 tarjetas lo cual le causó una pérdida de S/. 150. ¿Cuánto invirtió en la fiesta?

Una persona organiza una fiesta; para ganar necesita vender una cantidad de tarjetas, pero vendió menos y perdió. Nos piden saber cuánto invirtió en la fiesta.

Se sugiere que el docente tome todos los problemas del cuaderno y realice una lectura analítica de los mismos, que produzca sus propios esquemas de comprensión y que realice al menos dos parafraseos por cada problema presentado. Esos ejercicios lo ayudarán a mejorar su desempeño en la conducción de las tareas en aula.

Hacer esquemas La capacidad de representar una situación compleja mediante esquemas es algo que se va aprendiendo desde los primeros años de escolaridad y continúa en proceso de construcción toda la vida. Hacer e interpretar esquemas son algunas de las capacidades más necesarias en nuestra vida laboral adulta. En diversas situaciones cotidianas se requiere de la esquematización de los sistemas, las situaciones, los procesos, con el fin de comprenderlos mejor. Un esquema apunta a encontrar una estrategia de solución; no existe una relación directa entre hacer un esquema y dar solución a un problema, pero ayuda mucho en este proceso.

3.2. Estrategias de resolución Una estrategia importante en la búsqueda de soluciones es representar el problema mediante algún organizador visual. Aquí presentamos algunos organizadores de información que se utilizan frecuentemente en el proceso de resolver problemas matemáticos.

Veamos un ejemplo para aclarar este enfoque:

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Diagramas de tiras Se utilizan mayormente cuando la cantidad que interviene en el problema varía en el tiempo o es dividida en partes que se relacionan entre sí. Ejemplo: La tercera parte de las entradas para el estreno de una película se vendió días antes de la función y el día del estreno se vendió 1/3 del resto. Finalmente, quedaron 48 entradas sin vender. ¿Cuál era el número total de entradas previsto para la función de estreno? Solución: Cantidad: Número total de entradas. Elabora un diagrama de tiras.

Diagramas de flujo Se emplean cuando una cantidad varía a lo largo de la historia o cuando tenemos la situación final de esta cantidad. También cuando se dan secuencias de pasos para encontrar objetos matemáticos, entre otras aplicaciones. Ejemplo: Un número se duplica, luego se le resta 8, después se invierten las cifras de este número. Finalmente, se divide por 6 y se obtiene 8. ¿Cuál era el número? Solución: Haremos un diagrama que indique las fases por las que pasó el número.

48

x2

-8

Invertir

÷6

8

Diagramas tabulares (tablas)

Diagramas conjuntistas

Se emplean cuando se brinda información sobre características que relacionan dos grupos. También en problemas sobre edades o de proporcionalidad, en los que hay que buscar algún patrón o regla de formación.

Se suele recurrir aestos cuando se trata de información acerca de dos omásgrupos, cuyos elementos pueden pertenecer amás de un conjunto. También cuando se deben realizar clasificaciones. Los más conocidos son los diagramas de Venn y los de Carroll.

Ejemplo:

Ejemplo:

Dos amigos tienen lápices, borradores y tajadores en sus cartucheras. Hay 8 borradores en total. Mónica tiene el doble de lápices que Felipe, quien tiene 5 tajadores más que lápices. Mónica tiene tantos tajadores como lápices tiene Felipe. Mónica tiene 18 útiles y no tiene borradores. ¿Cuántos lápices, tajadores y borradores tiene cada uno?

De los 35 estudiantes de un aula, 23 usan lentes y 20 usan reloj. ¿Cuántos usan ambas cosas? Solución: Grupo 1: Estudiantes que usan lentes. Grupo 2: Estudiantes que usan reloj. U

Solución: Grupo 1: Mónica, Felipe. Grupo 2: Lápices, borradores, tajadores. Lápices

Borradores

Mónica

2x

Felipe

x

TOTAL

Tajadores

TOTAL

0

x

18

8

x+5

Diagramas cartesianos

8

Diagramas analógicos Se suelen utilizar en problemas geométricos. Son dibujos que representan la realidad de manera similar, pero esquemática, sin considerar los elementos irrelevantes al problema. Mediante esta representación es posible visualizar las relaciones entre los datos y las incógnitas. Ejemplo: Un hombre de 1,8 m de estatura camina hacia un edificio a razón de 1,5 m/s. Si hay una lámpara sobre el suelo a 15 m del edificio, ¿cuánto mide la sombra del hombre sobre el edificio cuando se encuentra a 9 m de él?

Son de gran utilidad cuando se requiere representar funciones o cuando tenemos pares ordenados o relaciones entre dos variables. Ejemplo: El crecimiento de un grupo de bacterias se da con el paso de los días de manera constante. Al inicio, había 3 bacterias: después de 8 días hay 20. ¿Cuántos días transcurrirán desde el inicio para que la colonia tenga 400 bacterias? Solución: Cantidad: Organizaremos los datos en un gráfico cartesiano. Pares ordenados: (0;3) (8;20)

Solución: Hagamos un diagrama que represente la situación narrada.

Resolvamos 1

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Ejemplo: El arreglo mostrado se conoce como el triángulo de Pascal.

1 1

Diagramas lineales Se usan cuando se cuenta con información acerca de una característica de un solo grupo. Generalmente se emplean para ordenar los elementos del grupo con respecto a esa característica. Ejemplo: Si tanto Roberto como Alfredo están más alegres que Tomás, mientras que Alberto estás menos alegre que Roberto, pero más alegre que Alfredo, ¿quién está menos alegre? Solución: Alfredo, Alberto, Roberto, Tomás. Roberto Alberto Alfredo Tomás +

Diagramas de árbol

1 5

1 4

1 3

1 2 6

1 3

10 10

1 4

1

1

5

1

Escribe las tres filas siguientes de este arreglo. Como observas, cada fila empieza por uno, ¿qué número sigue al 1 en la fila 75?, ¿cuál es la suma de los números que ocupan la fila número veinte?, ¿puedes encontrar un patrón en las diagonales del triángulo de Pascal?

Haz una lista sistemática En los casos en que se requiere la enumeración de objetos matemáticos es conveniente realizar un conteo o listado organizado, con el fin de no dejar de lado ninguna posibilidad. Esta estrategia es muy útil al buscar soluciones en una ecuación polinómica, para encontrar espacios muestrales o resolver problemas de permutaciones o combinaciones. Ejemplo:

Se suelen utilizar en conteos de casos posibles o para hacer listas sistemáticas. Es la representación gráfica de los principios de adición y multiplicación.

¿Cuántos triángulos hay en Pongamos una etiqueta la siguiente figura? a cada uno de los cuatro triángulos en que se ha dividido el triángulo mayor.

Ejemplo: Un productor de cumbia, quiere armar un dúo mixto (varón y mujer). El productor puede elegir entre 3 cantantes mujeres y 2 cantantes varones. ¿Cuántos dúos mixtos diferentes puede formar? A

José

b c d

Rosa Solución:

Raúl

• Contemos ahora los triángulos identificándolos por el

José

número de letras: Triángulos con una letra: a-b-c-d Triángulos con dos letras: ab – bc – cd Triángulos con tres letras: abc –bcd Triángulos con cuatro letras: abcd • En total tenemos: 4+3+2+1 = 10 triángulos en total.

Ana Raúl José Nancy

Generaliza

Raúl

En algunos problemas puede ser muy útil simbolizar las expresiones o averiguar si lo que piden se refiere a un caso particular de alguna propiedad general; a esto se le conoce como la paradoja del inventor. A veces es conveniente investigar más de lo que piden.

3.3. Otras estrategias Busca patrones En algunos problemas es necesario experimentar con varios casos con el fin de encontrar pautas o regularidades que después se podrán emplear para llegar a la solución.

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Ejemplo: Hallar el valor de (234756474)2 – (234756473)2. 17

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Solución:

Razona lógicamente

Se observa que elevar al cuadrado cada número y luego realizar la resta sería demasiado laborioso, así que se trata de ver en la estructura del problema alguna particularidad. Lo primero que se observa es que se trata de una diferencia de cuadrados, lo que nos hace recordar las fórmulas algebraicas pertinentes, además se aprecia que los números son consecutivos.

El razonamiento lógico es muy importante al resolver problemas, pues gracias a él podemos engarzar los pasos y comprender las secuencias y cadenas de razonamientos que se producen en el desarrollo de su solución. Un ejemplo clásico es el siguiente acertijo:

• Al generalizar el problema se observa que se solicita:

José, Jaime, Tito y Rosa son guardias en un museo. José, Jaime, Tito y Rosa hacen guardia cuatro días a la semana. Dos personas solamente hacen guardia cada día. Nadie hace tres días de guardia seguidos.

( n + 1 )2 – n2, cuando n vale 234756474. • Factorizando por diferencia de cuadrados, se tiene: ( n + 1 + n ) ( n +1 - n ) = ( n + 1 ) + n • Luego, podemos afirmar que, para cualquier n entero positivo, se cumple: ( n +1 )2 –n2 = ( n +1 ) + n = 2n + 1. • Ahora el problema se ha simplificado bastante; para hallar la respuesta, solo basta duplicar el número dado y aumentarle 1. • Entonces: (234756474)2 – (234756473)2 = 469512949

Ejemplo:

¿Cuál de los tres hombres no hace guardia con Rosa? Solución: • Veamos una lista parcial que muestra los días de la semana

en los que cada uno hace de guardia:

Particulariza

Dom

Lun

Mar

Miér

Juev

José

Tito

Rosa

José

Jaime Tito

Conviene siempre utilizar casos particulares para familiarizarse con el problema, de este modo es posible observar algún método que guíe hacia la solución de un problema genérico.

Jaime

Ejemplo: En una tienda de remates te ofrecen un descuento del 12 %, pero al mismo tiempo debes pagar el impuesto general a las ventas (18 %). ¿Qué preferirías que calculasen primero, el descuento o el impuesto?

Vier

Sáb Rosa

Empieza por el final La estrategia de utilizar el pensamiento regresivo se utiliza mayormente en problemas en los cuales tenemos información de una situación final; también para demostrar desigualdades. La combinación de métodos progresivos y regresivos es una potente técnica para demostrar teoremas. La utilización del razonamiento regresivo nos evitará tener que trabajar con ecuaciones complicadas. Ejemplo: Ejemplo: El nivel del agua de un pozo desciende 2 centímetros por debajo de su mitad en cada hora, hasta quedar vacío luego de 4 horas. ¿Qué profundidad tenía el agua inicialmente? Solución: • “3 cm debajo de su mitad” se interpreta como: ÷ 2, –3. • Esto ocurre en cada hora y se repite 4 veces, ya que todo

el suceso ocurre en 4 horas; de modo que al final el nivel es cero (0). • Las operaciones directas serían así: x → (÷ 2, –3, ÷ 2, –3, ÷ 2, –3, ÷ 2, –3) → 0 • Ahora, operando al revés obtenemos: x = 90

Solución: • Particularicemos para algunos casos: Si el artículo vale

S/.100 y elijo el descuento primero, termino pagando S/.106. Pero si elijo pagar el impuesto primero, entonces termino pagando la misma cantidad. • Podemos probar con otros precios y obtener un resultado análogo. Esta experimentación me da pie para inferir que da lo mismo elegir el descuento o el impuesto primero. • Ahora deberé evaluar mi conjetura. Resolvamos 1

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Plantea una ecuación Una de las técnicas de modelación por excelencia a nivel elemental lo constituye el planteo de ecuaciones. Lo primordial para poderla aplicar con éxito es el entrenamiento que se tenga en la traducción del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico. Es conveniente ponerse de acuerdo en cuanto a convenciones generales de redacción para no crear 18

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ambigüedades.

Utiliza el ensayo y error

Ejemplo:

Solución:

Tantear es una estrategia muy útil cuando se realiza de forma organizada y evaluando cada vez los ensayos que se realizan. En realidad, algunos métodos específicos de solución como el de regulación o el de aproximaciones sucesivas se basan en el uso sistemático de numerosos ensayos y sus respectivas correcciones. La idea es que cada rectificación conduzca a un ensayo que se acerque más a la respuesta.

• La primera vela se consume en la cuarta parte cada hora. La

Ejemplo:

Dos velas de la misma longitud se encienden al mismo tiempo. La primera se consume en 4 horas y la segunda en 3. ¿Cuánto tiempo pasa, después de haberse encendido, hasta que la primera vela tiene doble longitud que la segunda?

segunda se consume en la tercera parte cada hora. Tiene que verificarse, por tanto: L - (1/4)Lx = 2 [L - (1/3)Lx]; simplificando: 1 - (1/4) x = 2 - (2/3)x de donde x = 2,4 horas.

Un libro se abre al azar. El producto de las dos páginas observadas en ese momento es 3192. ¿Cuál es el número de las páginas en las que se abrió el libro?

• Es decir 2 horas 24 minutos.

Solución:

Establece submetas

• Primero se observa que: 50 x 50 = 2500, no llega; y

Muchas veces, para llegar a la solución de un problema se debe resolver problemas más pequeños. Es como escalar una gran montaña, se sabe que se debe llegar a alturas menores para conquistar la cima. De igual manera, para resolver un problema original se necesita de un problema auxiliar que sirva de medio. Ejemplos:

•

• •

60 x 60 = 3600, se pasa. Con esto observamos que los números están en el rango entre 50 y 60. 55 x 56 no pueden ser, pues el producto termina en 0. Se quiere que termine en 2 y que los números sean consecutivos. Al probar 53 x 54 = 2862, el resultado no corresponde. Pero al hacer la prueba con 56 x 57= 3192, se observa que cumple con el resultado que plantea el problema. Entonces las páginas que se observaron fueron la 56 y la 57.

Ejemplo:

•

Supongamos que la población actual del Perú es de 22 millones de habitantes y se sabe que la tasa de crecimiento es de un 5 % anual, ¿en cuánto tiempo se duplicará la población?

Supón el problema resuelto Ejemplo: Usando solo regla y compás construye una tangente a una circunferencia dada, desde un punto exterior a ella. Solución: Para resolver este problema se supone que se debe hallar la tangente a una circunferencia, trazada desde un punto exterior a ella. T O

P • El punto T es de tangencia. Entonces, ¿qué relación existe

Solución: • La primera meta es hallar una fórmula que modele

el comportamiento de la población y solo después de formada se igualará a 44 millones. Si bien aquí la incógnita es el tiempo, se busca en su lugar la relación entre el tiempo y el número de habitantes.

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entre la tangente y algún elemento de la circunferencia?, ¿existe algún teorema que los relacione? • Existe un teorema que nos dice que el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. • Por tanto, si unimos O con T tendremos que OT es perpendicular a PT. • Además, como tenemos tres puntos involucrados P, T y O, es posible hacer un triángulo uniendo el punto P con el punto O. Se observa que el triángulo es rectángulo. 19

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• En nuestro problema F = 572, entonces C = 300. • Debemos poner el horno a 300 ° C.

T O

Resuelve un problema más simple

P El problema puede ser ahora convertido en el siguiente: “Construir un triángulo rectángulo, recto en T teniendo la medida de OP”. Se puede pensar que este triángulo está inscrito en una semicircunferencia de diámetro PO. De hecho, si se construye una circunferencia con ese diámetro, esta cortará a la antigua en un punto T, tal que PTO es rectángulo y T pertenece a la circunferencia inicial. El problema ha sido resuelto. Procedimiento: a. Se unen los puntos P y O mediante una recta y se determina el punto medio (A) de la recta PO. b. Haciendo centro en A y radio igual a AP o AO se traza un arco que corta a la circunferencia en el punto T (punto de tangencia). c. Uniendo P y T se obtiene una de las rectas tangentes.

Algunas veces, utilizar un método que nos dio resultado con un problema más simple relacionado nos lleva a la solución del problema original. Veamos un ejemplo de la geometría del espacio que hace uso de una propiedad similar, pero en el plano. Ejemplo 01: Encontrar la medida de la diagonal principal de un prisma recto cuyos lados miden 2 m, 6 m, 3 m. Solución: • Primero, hallaremos la diagonal de una cara del

paralelepípedo, esto lo haremos usando el teorema de Pitágoras. • Aplicando nuevamente el teorema de Pitágoras obtendremos la diagonal pedida. Ejemplo 02: 1 + 2 =7 x+1 y-2

T

2 _ 1 =4 x+1 y-2

O

El problema parece complicado, por los radicales que aparecen, pero tratemos de buscar otra situación más favorable, como un problema semejante, por ejemplo: P

s + 2t =7

Usa una fórmula

2s - t = 4

Las fórmulas son muy útiles en la resolución de problemas. Muchas veces, al tener un conjunto de datos y buscar una relación entre los mismos recurrimos a fórmulas aprendidas con anterioridad. Es por esto que el buen resolutor de problemas debe tener a mano las fórmulas más importantes de la geometría, álgebra o trigonometría, con el fin de utilizarlas en el momento que crea necesario. Ejemplo:

Esto es un sistema de ecuaciones lineales con los mismos coeficientes de los que nos dan, pero mucho más simple de resolver. Podemos razonar de este modo, si resolvemos este segundo problema, habremos resuelto el primero, pues los valores de s y t pueden ser igualados a los radicales correspondientes y así obtener x e y. Solución: • Resolviendo el problema más simple, obtenemos que:

En una receta se lee que para hacer un budín necesitamos colocarlo 30 minutos en un horno a 572° F. Nuestro horno tiene la escala de temperatura medida en grados Celsius. ¿A cuántos grados centígrados deberemos poner el budín? Solución:

s = 3 y t = 2. • Ahora, igualamos esto a los radicales:

1 =3 x+1

y

1 =2 y-2

• Resolviendo para x e y, tenemos que:

x = -8/9 e y = 9/4.

• Debemos recordar la fórmula que da la conversión

entre grados Celsius y Fahrenheit. La fórmula es: C = 5 ( F - 32) 9 Resolvamos 1

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4. El trabajo en equipo

Recuerda que para que el equipo funcione:

El trabajo en equipo tiene muchas ventajas tanto para el profesor como para los estudiantes. Desde la perspectiva del docente, al trabajar con grupos de cuatro integrantes, una clase de 32 estudiantes se reduce a 8, siempre y cuando los roles al interior del equipo estén funcionando. Asimismo, mejora la calidad de las preguntas que se hagan, pues han pasado por el filtro del grupo, y cuando estas llegan al docente, hay cuatro personas atentas a su explicación. Además, los estudiantes mejoran sus capacidades de comunicación y de argumentación. Sin embargo, no es fácil trabajar en equipo. Algunas veces, al hacerlo, habrás sentido que haces todo el trabajo, que no te escuchan, que es mejor que cada uno se esfuerce individualmente, etc. Pero bien llevado, el trabajo en equipo es muy rico y aporta no solo al aprendizaje de la matemática, sino también a comprender las relaciones que se dan entre las personas, a comunicarnos mejor, a saber tolerar y ser pacientes. Por otro lado, trabajar agrupados no significa necesariamente hacerlo en equipo. Seis personas juntas solo hacen media docena; pero si ellas juegan vóley y cada una tiene roles y responsabilidades claras durante un juego, entonces estas seis hacen un equipo de vóley. Por esta razón, te recomendamos que, al conformar un equipo, además de tener un líder y tal vez un secretario, consideres que deben presentarse, a lo largo del trabajo, algunos roles típicos que detallamos a continuación: Rol

• Es preferible que los estudiantes se organicen en

parejas o en grupos de 3 o 4. Más personas en el grupo pueden causar desorden. • Se debe tener en cuenta los cuatro roles, que deben

aparecer durante todo el proceso de solución de problemas. No se pide que cada estudiante asuma un rol, sino que estos roles pueden ser asumidos por distintas personas a lo largo del proceso. • Los estudiantes deben tener responsabilidad

individual y también compartida. Si no hacen bien su trabajo, perjudicarán al equipo. • Los estudiantes deben depender positivamente

de los otros miembros del equipo, reconocer sus características y valorarlas. Tal vez uno redacte o dibuje mejor, o sea más hábil para geometría, otro para aritmética, etc. • Los estudiantes deben interactuar cara a cara

con los miembros de su equipo. Se sugiere que se sienten de modo que cada uno pueda ver a los otros. • Se debe motivar los esfuerzos y éxitos personales

y grupales de los estudiantes.

Este rol genera preguntas y comentarios como:

¿Qué talsi probamoscasos particulares? ¿Qué tal si hacemos una tabla? Experimentador ¿Qué pasa si usamos esta variable? Probemos con este número, etc. Cuestionador

¿ Qué es lo que nos piden? ¿Saldrá por medio de una fórmula? ¿Es correcta nuestra respuesta?, etc.

Organizador

Mientras tú llenas la tabla, yo calcularé el costo; traeré la calculadora; usemos papel milimetrado; cada uno que llene su tabla y luego comparemos; etc.

Sumarizador

Solo nos quedan 10 minutos, debemos escribirlo en limpio; pasemos a otra pregunta; ¿a qué conclusiones hemos llegado?; ¿con cuál método empezamos?; etc.

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Actividad

1

Los números ordenan tu mundo

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes si se imaginan un mundo sin números. Pídales que recuerden sus actividades del día, desde que se levantan hasta llegar al colegio, y que escriban aquellas en las que tienen que utilizar números. Haga leer a algunos las actividades que anotaron. Luego, converse con ellos sobre la utilidad y presencia de los números y cómo estos nos ayudan a organizar nuestras labores diarias. CAPACIDAD

Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con números naturales, enteros o racionales. Patrones numéricos CONOCIMIENTOS CONOCIMIENTOS Números naturales Expresiones numéricas PRINCIPALES RELACIONADOS Operaciones con números naturales

T1

Adopta un animal

Descripción de la actividad

La tarea presenta un sistema de ayuda a un zoológico local, en la que se indica el tarifario con los costos de adopción de un animal por un año.

Intención pedagógica

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen extraer información de las tablas, con el fin de utilizarla en la resolución de situaciones numéricas, así como para realizar operaciones combinadas, pero con números en contexto.

¿A qué poner énfasis?

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la correcta selección y jerarquización de las operaciones numéricas.

Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, la tarea es directa y no requiere mayor interpretación; sin embargo, la pregunta 5 es de tipo abierto y es posible obtener varias respuestas. Una estrategia para responderla es organizar los costos de los animales en una tabla y probar con diversas combinaciones.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades para escribir las operaciones y expresiones numéricas, por lo que se les debe ayudar a que las escriban correctamente.

T2

Los canarios

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

La tarea presenta dos escenarios hipotéticos. En el primero, se colocan tres canarios en cada jaula y en el segundo, cinco. En cada caso, el resultado es distinto. Con esta información, se debe encontrar la cantidad de canarios. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen solucionar situaciones aritméticas mediante tablas simultáneas o gráficos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en reconocer lo que no varía en el problema planteado. En este caso, en los dos escenarios el número de canarios que tiene Yolanda no varía, solo se modifica la disposición que hace de ellos. Reconocer magnitudes invariables es muy útil al momento de plantear problemas o seleccionar tablas que permitan resolverlos. En este caso, se propone hacer una tabla que se llena teniendo en cuenta cantidades arbitrarias de jaulas. Es un tanteo organizado que termina cuando el número de canarios es igual en las dos columnas de la tabla: N.°de canarios (1.a condición) y N.° de canarios (2.a condición). Los estudiantes pueden tener dificultades al modelar la situación en una representación tabular y para entender en qué momento el problema se encuentra resuelto. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y luego explorar diversas vías de solución al mismo problema. Asimismo, es posible plantear una ecuación, tomando como incógnita el número de jaulas. Para ayudar a fijar la estructura del problema, es posible modificar los datos; por ejemplo, el número de canarios que sobran inicialmente o el número de jaulas que sobran al final.

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T3

Matemática futbolística

Descripción de la actividad

Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

El caso se refiere a dos categorías que están vinculadas mediante un conjunto de relaciones numéricas. Las categorías son: a) Los jugadores b) La cantidad de goles La situación presenta información parcial relativa a la cantidad de goles que anotaron tres jugadores. En función de relaciones entre el número de anotaciones de cada uno, se busca determinar la cantidad de goles que metieron los tres en un año específico. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que, a partir de información parcial, impliquen tanto extraer conclusiones como integrarlas para obtener un resultado completo. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la identificación, lectura e interpretación de las relaciones numéricas, ya que el proceso de traducir el texto a una situación numérica puede encarar dificultades. En este caso, se propone organizar los datos en una tabla numérica que permita visualizar las relaciones numéricas entre las dos categorías. Es un buen soporte gráfico para establecer las relaciones y descubrir qué cantidad de goles hizo cada jugador. Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar cada una de las pistas numéricas, ya que estas se encuentran en un gran texto. De allí la importancia de hacer preguntas que dividan la lectura en segmentos que brinden información parcial. Nunca se deben usar para este análisis las palabras claves, sino promover la comprensión del significado de cada expresión verbal. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada (la tabla) y por qué fue la mejor forma de organizar la información. La tabla se utiliza siempre que haya un número de categorías relacionadas entre sí. Las tablas pueden ser lógicas (filotramas) o numéricas, como en este caso.

El pequeño gran Gauss

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades Más allá del problema

La tarea presenta una famosa anécdota histórica que se le atribuye a Gauss. Es una situación para explorar patrones y razonamientos indirectos. Como se ve, Gauss no realizó directamente la operación, sino que buscó un atajo. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen optimizar un cálculo mediante el reconocimiento de patrones. De este modo, se busca que valoren la potencia de la matemática para, mediante un razonamiento adecuado, ahorrar tiempo en un cálculo. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en nuevas estrategias; no se debe pensar directamente y empezar a sumar. Los estudiantes deben entender que en estos casos puede ser útil cambiar de enfoque y buscar relaciones escondidas en la estructura del problema. Se propone hacer uso del reconocimiento de patrones y emplear un problema análogo, pero de menor envergadura. En lugar de sumar hasta 100, primero resolver el problema de sumar hasta 10; de allí extrapolar el método a una cantidad más grande. Los estudiantes pueden experimentar dificultades al tratar de razonar de otra manera, por eso las preguntas formuladas tienen la finalidad de guiar su razonamiento. El docente debe monitorear las respuestas. Finalmente, se exploran diversas vías de solución; por ejemplo, el método gráfico, que ayuda a visualizar las relaciones entre los números. Los estudiantes más avanzados pueden generalizar el método a progresiones aritméticas crecientes o decrecientes.

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Manual para el docente

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1 Adopta un animal El Parque de las Leyendas tiene más de 3500 animales, cuyo costo de alimentación sobrepasa los S/.2 000 000 mensuales. Hace un año, la administración lanzó el programa “Adopta un animal”, mediante el cual personas caritativas pueden ayudar a mantener a los animales de este tradicional zoológico limeño. La tabla muestra los costos anuales de adopción de varios de ellos.

Animal

Costo (S/.)

ocelote

2000

oso de anteojos

3000

búho

500

cóndor

850

alpaca

1800

mono tití

300

lobo marino

1400

majaz

900

1) ¿Cuánto costaría adoptar 2 búhos, 3 cóndores y 4 alpacas? COSTARÍA S/.10 750.

2) Una fundación protectora del cóndor nacional quiere invertir S/.14 000 en este programa, ¿cuántos cóndores podría adoptar? PODRÍA

ADOPTAR

16 cóndores.

¿Cuánto dinero quedará? QUEDARÁ S/.400.

3) ¿Cuántos ocelotes puedo adoptar con S/.13 500 si, además, deseo adoptar 3 monos tití? Puedo

ADOPTAR

6 ocelotes.

¿Cuánto dinero quedará? QUEDARÁ S/.600.

4) Reflexiona sobre las operaciones que realizaste para responder cada pregunta. Luego escribe las expresiones matemáticas que te ayudaron a encontrar cada respuesta. 2 x 500 + 3 x 850 + 4 x 1800 14 000 850 (13 500 - 900) 2000

5) ¿Cuántos búhos y monos tití podrías adoptar con, exactamente, S/.25 000? LAS rESPUESTAS pueden

14

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 24

VARIAR,

por ejemplo: 38 búhos y 20 monos tití.

MD

24

7/19/12 12:39 PM

Los canarios Yolanda está poniendo sus canarios en jaulas. Ella observa que si coloca tres canarios en cada jaula, le sobra un canario; pero si coloca cinco canarios en cada jaula, le sobran tres jaulas. ¿Cuántos canarios tiene Yolanda?

1) ¿Qué es lo que guarda Yolanda? Sus

Si Yolanda tuviese 4 jaulas:

CANARios.

1) ¿Cuántos canarios debería tener si cumple con la primera condición? 4 x 3 + 1 = 13 CANARios.

2) ¿Cuáles son las condiciones del problema? › Primera condición: COLOCAR 3

CANARios

en

CADA JAULA; SOBRA

1

2) ¿Cuántos canarios debería tener si cumple con la segunda condición? 5 x (4 - 3) = 5 CANARios.

CANARio.

Y si tuviese 5 jaulas:

› Segunda condición: COLOCAR 5

CANARios

en

CADA JAULA; SOBRAN

3

JAULAS.

3) ¿Cuántos canarios debería tener si cumple con la primera condición? 5 x 3 + 1 = 16 CANARios.

3) ¿Qué es lo que debes encontrar? El número de

CANARios

que tiene YOLANDA.

4) ¿Cuántos canarios debería tener si cumple con la segunda condición? 5 x (5 - 3) = 10CANARios. 5) ¿Cómo podríamos organizar mejor esta información? a) En una tabla de doble entrada de información. b) En un diagrama de Venn. c) Haciendo un gráfico cartesiano.

1) Completa las casillas faltantes.

Luego de haber completado las casillas:

N.° de jaulas

N.° de canarios (1.a condición)

4

4 x 3 + 1 = 13

5 x(4 -3 )= 5

5

5 x 3 + 1 = 16

5 x ( 5 - 3 ) = 10

6

6 x 3 + 1 = 19

5 x ( 6 - 3 ) = 15

7

7 x 3 + 1 = 22

5 x ( 7 - 3 ) = 20

8

8 x 3 + 1 = 25

5 x ( 8 - 3 ) = 25

9

9 x 3 + 1 = 28

5 x ( 9 - 3 ) = 30

10

10 x 3 + 1 = 31 5 x ( 10 - 3 )=35

1) ¿Qué fue lo que nos dio la pista?

N.° de canarios (2.a condición)

El número de

2) ¿Cómo organizamos la información?

MEDIANTE

2) ¿Cuál crees que debe ser el número de canarios? 25

CANARios

CANARios.

3) ¿Por qué eliges este número?

El número de CANARios es IGUAL en LAS dos COLUMNAS, es decir, cumple LAS dos condiciones del PROBLEMA.

no puede

UNA TABLA

de doble

VARIAR. ENTRADA.

3) ¿Qué otra pregunta te pudieron haber hecho? LAS rESPUESTAS pueden VARIAR, por ejemplo: ¿CUÁNTAS JAULAS tiene YOLANDA? 4) Si en la primera condición sobraran tres canarios en vez de uno, ¿cuál sería la respuesta correspondiente? HABRÍA 30

CANARios.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 25

25

Manual para el docente

15

7/19/12 12:39 PM

Matemática futbolística Un grupo de amigos participaron en campeonatos escolares. Roberto metió 6 goles durante el campeonato interescolar de fútbol del 2008 y 6 goles en el del 2011. En los años 2009 y 2010 no le fue tan bien, de modo que durante los 4 años, que van del 2008 al 2011, hizo un total de 15 goles. Daniel hizo 14 goles el 2009 y la mitad el 2011. Su total, para los 4 años, fue de 21 goles. Julio metió tantos goles el 2010 como Daniel en los 4 años; pero, en las otras temporadas, no le fue mejor que a Daniel en el 2008. Entre los tres, el 2010 metieron 22 goles. ¿Cuántos goles hicieron el 2009 entre los tres?

1) ¿Acerca de cuántos estudiantes te da información el texto? Nómbralos. ACERCA de 3 perSONAS: Roberto, DANIEL y Julio.

goles;

2) ¿Qué es lo que ellos hacen? PARTICIPAN en

CAMPEONATOS ESCOLARes

HASTA

el 2011.

¿Por qué?

LA CANTIDAD de goles que, en el 2009, hicieron entre los 3.

IDENTIFICAR

CADA

1) Organiza la información en la tabla y contesta las preguntas:

UNA TABLA

lo que

de doble

CASILLA CRUZA

un

AÑO

2010

2011

TOTAL

Roberto

6

2

1

6

15

como DANIEL en los 4

Daniel

0

14

0

7

21

TEMPORADAS,

Julio

0

0

21

0

21

TOTAL

6

16

22

13

57

de goles que Roberto ANOTÓ en los AÑOS

2008 y 2011; DANIEL, en 2009 y 2011, y Julio, en el 2010. Tengo el TOTAL de goles del AÑO 2010 y de Roberto y DANIEL.

y por

AÑO,

y

CADA CASILLA

de

inforMACIÓN.

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 26

A

DANIEL en 2008.

2) ¿A qué se refiere la historia cuando dice: “Julio metió tantos goles el 2010 como Daniel en los 4 años”? Que en el 2010 LA CANTIDAD de goles de Julio es AL TOTAL de goles de DANIEL. Es decir, 21.

IGUAL

3) ¿A qué nos referimos cuando se dice: “pero, en las otras Que en ese

AÑO

DANIEL no

ANOTÓ,

es decir, los

AÑOS

inforMACIÓN esté orGANIZADA.

3) ¿En qué otros problemas puedes utilizar esta estrategia?

2) ¿Cuáles son las pistas más difíciles de entender? ¿Por qué?

16

no le fue mejor que

LAS OTRAS

“(…) pero, en LAS OTRAS TEMPORADAS, no le fue mejor que A DANIEL en el 2008”. Porque exige que LA

1) ¿Crees que una tabla es la mejor forma de organizar la información? Sí. ¿Por qué? Porque se DESEA AMIGO

pero, en

correspondientes son ceros.

c. ¿Hay ceros en la tabla? Sí.

los goles por

AÑOS;

temporadas, no le fue mejor que a Daniel en el 2008”?

b. ¿De qué año o de quiénes tienes el total de goles?

LA TABLA INDEPENDIZA ESTA

se puede en CADA AÑO. con un AMIGO. ENTRADA

e. ¿Cuántos goles metieron, entre los tres, el 2009? 16

a. ¿De quiénes se sabe, exactamente, cuántos goles anotaron y en qué años? De los tres AMIGOS, se conoce

SABER

AÑO.

d.¿Hay alguna información que relacione a dos jugadores? Sí. ¿Qué dice? Julio metió TANTOS goles el 2010

2009

LA CANTIDAD

ese

CADA JUGADOR ANOTÓ

2008

Amigos

MARCARON

a) En un diagrama de Venn. b) En una tabla de doble entrada. c) Elaborando una lista por año o por amigo. Porque en

4) ¿Qué es lo que debes encontrar?

Años

que DANIEL y Julio no

MIENTRAS

2) ¿Cómo consideras que se debería organizar la información de los amigos en todos los años?

de fútbol.

3) ¿Desde qué año te da información sobre los goles? ¿Y hasta qué año? Desde el 2008

1) El texto te da información de los goles hechos en cada temporada. Toma como ejemplo un año e indica los goles realizados por los amigos. En el 2008, Roberto ANOTÓ 6

MD

En PROBLEMAS donde se deben rELACIONAR de dos conjuntos o CATEGORÍAS.

VARios DATOS ACERCA

26 7/19/12 12:40 PM

El pequeño gran Gauss Carl Friedrich Gauss fue sin lugar a dudas el más grande matemático de la historia. Desde niño mostró talento para los números. Cuentan que, a los 6 años, corrigió una de las cuentas que hacía su padre, sorprendiéndole tanto que, desde ese momento, consideró que Gauss sería un gran matemático. En la escuela, una tarde el profesor, deseando descansar un poco, ordenó a sus estudiantes que hallaran la suma de todos los números naturales desde 1 hasta 100. Escribió la consigna en la pizarra, dejó la tiza y ya se aprestaba a acomodarse en su pupitre cuando, de pronto, el pequeño Gauss levantó la mano diciendo que tenía la respuesta. El profesor no le creyó, pero igual fue a ver el resultado del niño. Grande sería su sorpresa al ver no solo que el resultado era el correcto, sino también que el método encontrado por el niño era todo un gran ejemplo del buen pensar. ¿Cómo hizo el pequeño Gauss para hallar 1 + 2 + 3 + 4 +… + 98 + 99 + 100 tan rápido? Con tus compañeros, busquen un problema más simple; por ejemplo, la suma de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10. 1) ¿Cuánto es la suma del primer y el último término? 11 ¿Y del segundo y el penúltimo? 11 ¿Y del tercero y el antepenúltimo? 11

6) ¿Cómo pueden utilizar este resultado para hallar la suma solicitada?Como HAY 5 PAREJAS que SUMAN 11,

2) ¿Qué observan acerca de estas sumas? Son IGUALES.

Ahora generalicen la suma desde 1 hasta el 100.

3) ¿Es así para todas estas parejas? Sí. 4) ¿Qué tienen en común estas parejas? LA términos es IGUAL

A LA SUMA

SUMA

SUMA

del 1

AL

de sus

de los extremos.

10

LA SUMA SERÁ

11 x 5 = 55.

7) ¿Cuánto es la suma de los términos que equidistan de los extremos de la suma? LAS PAREJAS SUMAN 101. 8) ¿Cuántas parejas de este tipo hay de 1 a 100? HAY 50

5) Completen con lo que han descubierto: La adición de dos números que equidistan de extremos de la

entonces

los

PAREJAS.

9) ¿Cuál es la suma de los cien primeros números? Luego

es siempre la misma.

LA SUMA

es 101 x 50 = 5050.

Observen este otro método para sumar los números del 1 al 10. La figura representa esos números. Completen el gráfico, de manera que se forme un rectángulo, y coloreen de rojo la parte agregada. 10) ¿Cómo son la figuras? Son IGUALES. 11) ¿Cuál es la longitud del rectángulo? Es 11.

10

1 2

12) ¿Cuál es la altura del rectángulo? Es 10.

9 8

3

13) ¿Cómo pueden usar este gráfico para hallar la suma de los números del 1 al 10?

7

4

6

5

El

5

6 7

del 1

3 2

9 10

reprESENTA el doble de

longitud 11, entonces el

4 8

GRÁFICO AL

10. Por lo

GRÁFico

LA SUMA

del 1

AL

10. Como son 10

FILAS

es 11 x 10 = 110. Esto es el doble de

TANTO, LA SUMA

del 1

AL

de

LA SUMA

10 es 110 / 2 = 55.

14) Empleen este método para hallar la suma de los números del 1 a 100. 1

LA SUMA de CADA FILA SERÁ 101 y HABRÁ 100 FILAS. Luego el rECTÁNGULO SERÁ 100 x 101 = 10 100; pero eso es el doble de del 1

AL

100. Entonces

LA SUMA

del 1

AL

LA SUMA

100 es 5050.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números naturales; ellos me ayudan a representar, ordenar y cuantificar una amplia variedad de situaciones en la vida cotidiana.

Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?

Estuve sobresaliente.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 27

He participado de forma significativa.

27

Fue aceptable.

Debo mejorar.

Manual para el docente

17

7/19/12 12:40 PM

Actividad

2

Los números ayudan a pensar mejor

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes acerca de la presencia de los números en los medios de comunicación y cómo se organizan mediante tablas o gráficos, de manera que permiten visualizar las relaciones numéricas entre grandes cantidades de datos con mayor detalle. Explique que la Matemática es un medio de comunicación que sistematiza y organiza la información, por ejemplo, en un formato compacto, como el de una tabla, o por medio de un gráfico cartesiano. Este último puede condensar muchos datos o contar la evolución de un fenómeno, como el cambio en la población de Lima, el alza de la gasolina en los últimos años, etc. CAPACIDAD

Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con números naturales, enteros o racionales. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES

T1

Unidades de medida de masa, longitud, sistema monetario nacional, representación de datos estadísticos en tablas

Mezclas de café

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Representación, orden y operaciones con números naturales

La tarea presenta una situación comercial en la que se deben realizar diferentes combinaciones de dos tipos de café en diferentes proporciones para la obtención de mezclas de diversas calidades. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran del uso de razones y proporciones en situaciones problemáticas de contexto comercial; específicamente, en la mezcla de productos de diferente calidad que impliquen operaciones de adición, sustracción y multiplicación de números naturales. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los productos comerciales resultantes de mezclas difieren en su calidad, según las diferentes proporciones de sus componentes, de manera que se pueda asociar el precio con la calidad del producto, como, por ejemplo, en el caso del café. En esta oportunidad, se propone la descomposición del problema en partes, en cuyo desarrollo se ha asociado el concepto de calidad con el precio de café. Asimismo, se ha utilizado la tabla para la organización de la información. El estudiante puede tener dificultades al comprender los enunciados; por ello, es importante que se reformule o parafrasee el problema con preguntas sencillas. Asimismo, la dificultad de los estudiantes se puede asociar con el uso de las jerarquías para realizar operaciones combinadas.

Los pastores

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

La tarea presenta una situación problemática en la que se debe hallar la cantidad de ovejas que tiene cada pastor. Para ello, se empleará la información sobre el total de ovejas y las relaciones de proporcionalidad. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver situaciones problemáticas de relación parte-todo en un contexto real, mediante el uso de diagramas de tiras. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en reconocer que el problema comprende relaciones del tipo parte-todo y, por tanto, puede representarse mediante diagramas de tiras. En este caso, se propone la representación gráfica del problema del reparto. Con este tipo de representación, es fácil visualizar los datos y las condiciones del problema. Los estudiantes pueden tener dificultades al representar gráficamente la información a partir de las relaciones indicadas; por ello, es conveniente reconocer, independientemente, cada relación y representarla con orden.

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 28

MD

28

7/19/12 12:40 PM

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T3

Densidad poblacional

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. Es posible cambiar los datos (por ejemplo, el número de ovejas en total), variar alguna relación entre las cantidades de lo que posen un par de pastores o considerar un pastor más con alguna relación numérica nueva, entre otras modificaciones. Se pueden plantear otras estrategias de solución del problema a partir de un dato supuesto: simplemente asumimos que Pedro tiene 1 oveja, entonces Juan tiene 3 y Raúl, 2; en total tendrían 6 ovejas. Pero como en el problema el total es 288 (es decir, 288:6 = 48 veces 6), entonces cada uno tendrá 48 veces lo supuesto (Pedro: 1 x 48 ovejas; Juan: 3 x 48 = 144 ovejas, y Raúl: 2 x 48 = 96 ovejas).

La tarea consiste en identificar una población trujillana con densidad poblacional cercana a 30 personas por km2, a partir de datos estadísticos de extensión y población de algunos distritos de la ciudad de Trujillo. En el problema se solicita realizar la estimación de un indicador muy útil para autoridades municipales y empresarios: densidad poblacional. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen la estimación del resultado de operaciones con números naturales, sin necesidad de realizar el cálculo de operaciones exactas. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los estudiantes redondeen la cifra y asuman riesgos al estimar. Se debe tener claro que una estimación es un cálculo aproximado que ayuda a comprender una situación rápidamente para tomar decisiones. En esta ocasión, se propone elegir una notación adecuada, por la cual se debe decodificar la definición de densidad poblacional y estimar su valor haciendo uso de cálculos aproximados para los diversos casos presentados. Los estudiantes pueden tener dificultades al pretender calcular de manera exacta; por ello, es necesario desarrollar la estimación, una de las habilidades más funcionales en la vida cotidiana. Así, les será posible estimar, por ejemplo, densidades poblacionales, áreas de regiones, costos y pesos, entre otras magnitudes, a partir de la realización de cálculos aproximados de operaciones con números. Los estudiantes tendrán la oportunidad de reconocer la estrategia utilizada y comprobar sus estimaciones mediante el cálculo exacto. Asimismo, se exploran otras posibles preguntas que se pueden formular a partir del cuadro presentado.

El caso de la moneda desaparecida

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades Más allá del problema

La tarea presenta una situación paradójica, acerca de la aparente desaparición de un dinero. La situación presenta un razonamiento falso, pero que tiene aparente fundamento matemático. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren tanto criticar razonamientos como analizar y probar la veracidad de afirmaciones y argumentos con hechos matemáticos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el análisis de razonamientos expresados en el enunciado para contrastarlos con argumentos matemáticos que permitan desentrañar la veracidad o falsedad de afirmaciones y enunciados. En este caso, se propone hacer una tabla para organizar la información, representar la situación y resolver el problema de relación parte-todo. Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar que en realidad se pagó una cuenta de S/.27, incluida la propina (que no debe ser considerada como monto adicional). En esta actividad, los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. El docente puede explicar la paradoja desde otra óptica (por ejemplo, analizando el flujo del dinero). Para ello, hay que asignar un signo a los números en cada etapa del problema.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 29

29

Manual para el docente

7/19/12 12:40 PM

2

a pensar mejor

Mezclas de café Una tienda especializada en café dispone de 75 kg de café tipo A y 120 kg de café tipo B, los cuales se mezclarán en sacos de 16 kg cada uno, de la manera siguiente: una mezcla económica, de 4 kg de café tipo A y 12 kg de café tipo B, y una mezcla superior, de 8 kg de café tipo A y 8 kg de café tipo B.

1) ¿Qué tipo de mezclas habrá de realizar la tienda? UNA

MEZCLA ECONÓMICA

y

UNA

6) ¿Qué cantidad de café tipo A se requiere para envasar 3 sacos de café superior y 4 sacos de café económico?

superior.

En

2) ¿Qué tipo de café es el de mejor calidad: el tipo A o el tipo B? ¿Por qué? Como los SACOS PESAN IGUAL, el CAFé tipo A es de mejor

CALIDAD,

MAYOR CANTIDAD

pues en

LA MEZCLA

superior

HAY

SACOS

de

MEZCLA ECONÓMICA,

necesito 3 x 4 kilos

de tipo A y 3 x 12 kilos de tipo B. PARA 4

SACOS

de

MEZCLA

tipo A; en 3 económico,

de

MEZCLA ECONÓMICA,

SACOS

de

MEZCLA

superior, necesito 10 x 8 =

80 kilos de tipo A y 10 x 8 = 80 kilos de tipo B. En

TOTAL,

del tipo A

NECESITARÍA

suficiente

PARA OBTENER LAS

dos

CAFé

CAFé

CADA SACO

tipo A; en 4

de

CAFÉ

SACOS, HAY

se requieren 40 kilos de tipo A.

Tipo A (kg)

Tipo B (kg)

Económica

4

12

Superior

8

8

Costo de

SACO

tipo económico:

20 x 4 + 12 x 12 = S/.224. LA

108 kilos y solo tengo

75 kilos del tipo A. No se dispone de

8 kilos de

24 kilos. En

4 kilos de

TOTAL

HAY

8) El kilo de café tipo A cuesta S/.20 y el kilo de café tipo B cuesta S/.12. ¿Cuál es la ganancia que se obtiene por la venta de un saco de tipo económico?

necesito 7 x 4 =

28 kilos de tipo A y 7 x 12 = 84 kilos de tipo B. PARA 10

superior,

SACOS, HAY

superior, necesito 4 x 8 kilos

4) ¿Es posible obtener 7 sacos de mezcla económica y 10 sacos de mezcla superior? SACOS

CAFé

7) Reflexiona y responde. Al resolver este problema, habrás notado la necesidad de organizar la información y visualizarla para poder usarla luego. El uso de la tabla es propicio para este fin. Emplea la información del problema anterior para completar la tabla que te mostramos.

de tipo A y 4 x 8 kilos de tipo B.

PARA 7

de

HAY

16 kilos. En

de ese tipo.

3) ¿Cuántos kilos de cada tipo se necesitan para envasar 3 sacos con mezcla económica y 4 sacos con mezcla superior? PARA 3

CADA SACO

ECONÓMICA

LA CANTIDAD

MEZCLAS A LA VEZ.

GANANCIA

es = 300-224 = S/.76.

en

LA MEZCLA

¿Y por la venta de un saco de tipo superior?

5) Si cada saco de mezcla económica se vende a S/.300 y cada saco de mezcla superior, a S/.500, ¿cuánto es el ingreso al vender 3 sacos económicos y 5 de superior?

Costo de SACO superior = 20 x 8 + 12 x 8 = S/.256. GANANCIA de LA MEZCLA superior es = 500 - 256 = S/.244.

El ingreso es 3 x 300 + 5 x 500 = S/.3400.

18

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 30

MD

30

7/19/12 12:40 PM

Tres pastores viven en la misma comunidad. En total tienen 288 ovejas, aun cuando cada cual posee su propio rebaño. Juan tiene el triple de ovejas que Pedro y este cuenta con la mitad de las que pertenecen a Raúl. ¿Cuántas ovejas tiene cada uno?

1) ¿De quiénes te hablan en el problema? De tres

1) ¿Si Pedro tuviera 20 ovejas, cuántas tendría Juan? 60

PASTORes.

OVEJAS.

2) ¿Cuántas ovejas tienen en total? 288 OVEJAS.

2) ¿Y cuántas tendría Raúl? 40

3) ¿Quién tiene más ovejas, Juan o Pedro? JUAN.

3) ¿Cómo se relaciona lo que tiene Pedro con lo que tiene Raúl? RAÚL tiene el doble que Pedro.

4) ¿Qué es lo que te piden averiguar? El número de

OVEJAS

que tiene

CADA

OVEJAS.

4) ¿Puedes representar lo que tiene cada uno mediante un

uno.

Sí. ¿Cómo? MEDIANTE

gráfico?

BARRAS

horIZONTALES.

2) Observa el gráfico que has construido y responde: ¿a cuántos bloques equivalen las 288 ovejas? A seis bloques.

1) Si lo que tiene Pedro se representa con un bloque así: Pedro: ¿Con cuántos bloques representarás lo que tienen Raúl y Juan? Completa el gráfico:

3

3) Entonces, ¿un bloque, a cuántas ovejas equivale? EQUIVALE

A

288 / 6 = 48

OVEJAS.

4

4) ¿Cuántas ovejas tiene cada pastor? Juan:

Juan:

3 x 48 = 144

Pedro:

Pedro:

48

Raúl:

Raúl:

2 x 48 = 96

OVEJAS.

OVEJAS. OVEJAS.

2) O bserva el gráfico que h as construido y responde: ¿a cuántos 1) Comprueba si lo obtenido responde al problema. En

TOTAL, HAY

144 + 48 + 96 = 288

el triple que Pedro y este tiene

OVEJAS.

LA MITAD

de

JUAN tiene LAS

que

A JUAN le

posee RAÚL.

HABRÍA

2) Describe la estrategia empleada para resolver el problema. Es

UNA ESTRATEGIA GRÁFICA,

reprESENTAR

LA CANTIDAD

donde

de

UTILIZAMOS BARRAS PARA

OVEJAS

con respecto

A CADA

PASTOR.

3) ¿La estrategia que has reconocido se puede aplicar en otros problemas?, ¿de qué tipo? Plantea un problema como ejemplo. Es posible

APLICARla A PROBLEMAS

TODAS LAS VARIABLES

en los que se tienen

rELACIONADAS con

UNA

de

4) Si Juan hubiese tenido cinco veces lo que tiene Pedro y las condiciones de Raúl se mantienen, ¿cómo cambiaría la respuesta?

Entonces, JUAN: 180 72

Pedro: 36

A MANUEL le corrESPONDERÍA, en el TOTAL SERÍAN

OVEJAS

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 31

TOTAL

288 / 8 = 36. OVEJAS

y RAÚL:

OVEJAS.

31

GRÁFico,

6 bloques.

12 bloques. Dividimos 288 / 12 = 24.

Entonces, JUAN: 72

MD

OVEJAS,

5 bloques. En

VALDRÍA

5) Supón que hay un cuarto pastor llamado Manuel, quien tiene el triple de lo que posee Raúl, manteniendo las condiciones iniciales, ¿cuántas ovejas tendría entonces cada uno? En

ELLAS.

HUBIERA CORrespondido

8 bloques. CADA bloque

OVEJAS,

y MANUEL: 144

Pedro: 24

OVEJAS,

RAÚL: 48

OVEJAS.

Manual para el docente

19

7/19/12 12:40 PM

Felipe y su grupo están haciendo una investigación acerca de la población, en varios distritos de la ciudad de Trujillo. Ellos han obtenido del INEI una tabla con el número de habitantes y el área de algunos distritos, medida en km2. Su tarea es identificar el distrito que tiene una densidad poblacional de cerca de 30 personas por km2. ¿Cómo se ayudarán para identificarlo?

Distrito

Extensión (km2)

Población (hab.)

Trujillo

39,36

294 899

La Esperanza

18,64

151 845

El Porvenir

36,70

140 507

Víctor Larco Herrera

18,02

55 781

Huanchaco

333,90

44 806

Florencia de Mora

Nota: Estimen la información redondeando a la segunda cifra decimal.

1,99

40 014

335,44

32 825

Moche

25,25

29 727

Salaverry

390,55

13 892

1 199,85

804 296

Laredo

Total

Fuente: Instituto Nacional de Estadística e Informática INEI (2007).

1) ¿Qué significa la frase: densidad poblacional de cerca de 30 personas por km2? Que

30 perSONAS,

HAY

APROXIMADAMENTE,

en 1 km2.

Dividiendo el número de HABITANTES entre el ÁREA del distrito.

2) ¿Qué necesita saber el equipo de Felipe? Conociendo ENCONTRAR

LA POBLACIÓN

un

y el

ÁREA

VALOR CERCANO A

1) La densidad poblacional de un distrito es el número promedio de personas por kilómetro cuadrado. ¿Cómo crees que se puede calcular la densidad poblacional?

del distrito, se debe

30 perSONAS por km . 2

2) ¿Crees que es posible resolver este problema sin hacer los cálculos con exactitud? ¿Por qué? Sí,

BASTA

rEDONDEAR los números que intervienen en

división, con el fin de simplifICAR este

1) ¿Cuál es la densidad poblacional de La Esperanza? (Redondea al entero más cercano).

Descomponer el

3) ¿Qué distrito, de los mencionados, tiene la mayor densidad poblacional? ¿Qué distrito tiene la menor densidad poblacional? Comprueba tus resultados haciendo las operaciones necesarias. HAB./KM

tiene

SALAVERry con tiene

LA

menor

20 107,54

LA MAYOR DENSIDAD.

APROXIMADAMENTE

35,57

HAB./KM2

4) ¿Qué distrito tiene una densidad poblacional de alrededor de 30 personas por km2? APROXIMADAMENTE,

PAR tes

y

UTILIZAR LA

A DENSIDAD POBLACIONAL.

HAY que dividir el número de

HABITANTES

entre

LA

extensión.

3) Haz una estimación para ubicar los distritos que tienen una densidad poblacional de alrededor de 100 habitantes por km2. ¿Cuáles son? LARedo y HuANCHACO.

4) Estima cuál es el segundo distrito más poblado de Trujillo y cuáles son los menos poblados.

DENSIDAD.

SALAVERry, con 36 perSONAS,

en

2) Comprueba tus resultados haciendo el cálculo con exactitud.

3829 perSONAS en 1 km2.

CON APROXIMADAMENTE

PROBLEMA

fórMULA que corresponde

2) ¿Cuál es la densidad poblacional de El Porvenir? (Redondea al entero más cercano).

2

CÁLCULO.

1) ¿Qué estrategia fue la que más te sirvió para resolver este problema?

8146 perSONAS en 1 km2.

FlorENCIA de MORA

LA

LA ESPERANZA es el son los menos

MÁS POBLADO;

Moche y SALAVERry

POBLADOS.

en

1 km . 2

20

Resolvamos 1

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MD

32

7/19/12 12:40 PM

El hecho sucedió hace dos semanas cuando tres amigos fueron a almorzar a un restaurante. Como siempre, al momento de pagar, dividieron la cuenta en partes iguales. Esta ascendía a S/.30, por lo que cada uno dio un billete de S/.10 al mozo para que se cobre. Cuando este llegó a la caja, el dueño le comunicó que se había equivocado y que la cuenta era solo de S/.25. El mozo fue con las cinco monedas hacia la mesa, pero en el trayecto pensó: "¿Cómo divido estos cinco entre tres? No sale exacto, de repente se pelean. Creo que solo les devolveré tres soles; los otros dos me los quedaré a modo de propina". Así lo hizo y cada uno de los compañeros se fue contento con la moneda de un sol que recibió de vuelto. Pero he aquí el enigma: cada amigo pagó solo S/.9, o sea que en total pagaron S/.27; el mozo se quedó con S/.2, con lo cual sumamos S/.29; sin embargo, los amigos entregaron inicialmente S/.30. Entonces, ¿dónde está el sol que falta? ¿Se esfumó? ¿Alguien lo tomó?

Con tus compañeros, realicen las siguientes preguntas y resuelvan el problema: 1) ¿Es lógico que desaparezca una moneda de un sol? No es lógico.

8) ¿Cuánto pagaron realmente los amigos entre cuenta y propina? S/.27

S/.30

2) ¿Cuánto entregaron los amigos inicialmente?

Sí.

7) ¿Siguen los S/.30?

3) Sin contar la propina, ¿cuánto pagaron al final por el almuerzo?

9) ¿Cuánto les devolvieron? S/.3 10) ¿En total, cuánto suman estas cantidades?

S/.27

4) ¿Creen que un organizador gráfico puede ayudarles a entender la situación? Sí puede

AYUDAR A ORGANIZAR LA

11) ¿Cómo lograron “ver” lo que pasaba? IDENTIFICANDO en un

inforMACIÓN.

PROPINA

5) La barra mostrada representa la cantidad que dieron los amigos al inicio: esto es S/.30. Completen los casilleros faltantes. Dinero entregado Cuenta real

S/.25

S/.5

S/.25

Propina

Vuelto efectivo

S/.2

S/.3

los

PAGOS

rEALIZADOS,

y vuelto.

12) ¿Pueden inventar un relato parecido, pero en el que aparenten desaparecer S/.2? VARIAR.

Por ejemplo, sobre el

mismo rELATO, se puede modifICAR

6) ¿Siguen existiendo los S/.30? Sí. Completen los casilleros faltantes. Cuenta real

GRÁFICO

LAS rESPUESTAS pueden

S/.30 Vuelto

S/.30

S/.26; el mozo lo que

CADA

IGUAL

devuelve S/.1

uno de ellos

PROPINA

rEAL

A

A CADA CLIENTE,

HABRÍA PAGADO

x 3 = 27 + 1 nuevo sol de S/.2

LA CUENTA

S/.9. En

con

TOTAL

9

= S/.28. ¿Y los

FALTANTES?

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números naturales y sus operaciones, que son útiles en actividades comerciales, al estimar, medir y organizar cantidades.

Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?

He colaborado de forma significativa.

Realicé aportes muy relevantes.

MD

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33

Mi colaboración fue aceptable.

Debo mejorar.

Manual para el docente

21

7/19/12 12:40 PM

Actividad

3

No dividas y vencerás

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que es posible saber de antemano cuándo un número es divisible entre 2, 3 o 5, utilizando algunos criterios. Los matemáticos del siglo XIX estuvieron muy interesados en trabajar, principalmente, los teoremas de divisibilidad; tal vez por los problemas que originó el cambio del calendario juliano al gregoriano y por establecer un método para fijar el día de Pascua en el mundo católico. Explíqueles, por ejemplo, que si bien las fechas de Jueves y Viernes Santo cambian cada año, en realidad responden a fórmulas basadas en la teoría de la divisibilidad. Puede usar como recurso complementario los almanaques de diversos años. CAPACIDAD

Resuelve problemas que requieran de los criterios de divisibilidad de los números. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES

T1

Operaciones aritméticas básicas Potenciación

Prever para cumplir

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Múltiplos. Divisores Máximo común divisor Mínimo común múltiplo Criterios de divisibilidad

La tarea presenta tres sucesos que ocurren en distintos periodos. El problema exige encontrar aquellos días en que los tres acontecimientos coinciden. Es un caso típico de aplicación del mínimo común múltiplo. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran identificar y desarrollar planteamientos relacionados con el mínimo común múltiplo en una situación de contexto real. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en los patrones que se forman para cada coincidencia. Así se puede observar cuándo coinciden solo dos de los proveedores y cuándo los tres vendedores. En este caso, se ha utilizado la lectura analítica y luego la organización de información mediante una tabla. Los estudiantes pueden tener dificultades al encontrar los patrones cuando se quiere descubrir con qué frecuencia se producen los encuentros de los tres proveedores. El uso de la recta numérica puede ser aquí de mucha utilidad.

Tiro al blanco

La tarea presenta un juego que involucra puntajes que, en este caso, deben ser múltiplos de 15 (puntaje máximo). Descripción de Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que la actividad requieren aplicar los criterios de divisibilidad a una situación contextualizada. Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que, al no disponer de un criterio de divisibilidad para 15, se deben aplicar los teoremas de divisibilidad para números compuestos. En este caso, se observa que 15 es el producto de dos números primos entre sí: 3 y 5. Por tanto, se debe verificar la divisibilidad entre 15, comprobando la divisibilidad entre 3 y entre 5.

Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, se propone desarrollar el procedimiento deductivo, para lo cual se ha buscado un teorema que ayude a resolver la pregunta. El teorema en cuestión dice: siendo a y b números primos entre sí, si un número es divisible entre ab, entonces el número también será divisible entre a y entre b. Sin embargo, los estudiantes pueden también desarrollar como estrategia el procedimiento empírico de forma inductiva, que los lleve a reconocer si un número cumple con ser divisible por a y luego por b.

Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

Los estudiantes pueden tener dificultades no solo para comprender el problema y su relación con la figura dada, sino también para determinar qué teorema puede servirles de ayuda. Por eso, las preguntas los guían hacia el descubrimiento del teorema que corresponde. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y después aplicarla; sin embargo, adquiere un nivel de complejidad debido a que su desarrollo involucra hacer igualdades con respecto a un puntaje total.

Resolvamos 1

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MD

34

7/19/12 12:40 PM

T3

Prohibido calcular

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

La tarea presenta un número elevado a una potencia muy grande. El problema solicita que se determine la última cifra del resultado de la potenciación. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar condiciones de divisibilidad. Esto conlleva a reflexionar antes de realizar operaciones. En este caso, es posible la existencia de un patrón. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que no es necesario hacer la potenciación exactamente. A partir de esta certeza, se hipotetiza acerca de la existencia de algún patrón para determinar la última cifra del resultado. El docente debe guiar a los estudiantes para que exploren casos particulares, con la idea de que estos resultados les permitan visualizar una regla de formación para resolver rápidamente el problema. En este caso, se propone desarrollar el procedimiento perceptual sobre las implicancias de esfuerzo y tiempo a partir de la comprensión del problema, así como identificar un patrón y utilizarlo mediante un razonamiento inductivo, y emplear un organizador de información (una tabla). Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender el problema y el significado que le atribuyen a la operación de potencia. Abordar el problema entre pares va a permitirles apoyarse en sus formas de comprensión. La estrategia de organizar la información y encontrar el patrón orienta a una mejor visualización de la secuencia que se produce con las últimas cifras de las potencias de tres. Como se observa, en este caso se produce una secuencia: 3, 9, 7, 1, 3, 0, 7, 1, 3, 9, 7, 1… Los estudiantes deberán reconocer las dificultades para resolver el problema y la estrategia utilizada. Después podrán explorar algunas variantes. Además, se les puede proponer que creen problemas y que entre ellos se planteen retos matemáticos.

El calendario perpetuo

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

Más allá del problema

La tarea consiste en encontrar el día de la semana de cualquier fecha de nuestro interés. Para ello, nos brindan una serie de condiciones que constituyen un procedimiento algorítmico. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran la lectura adecuada de un instructivo. Ello implica seguir las indicaciones, integrar la información literal con la proporcionada mediante tablas y realizar, de forma correcta, los procedimientos matemáticos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la secuencia de pasos. Esta constituye un algoritmo que debe utilizarse con eficiencia. Es decir, los estudiantes deben llegar a darse cuenta de que en cualquier etapa del cálculo pueden “quitar sietes” y reducir el número a residuos del 7. En este caso, se propone el procedimiento de lectura analítica, así como el desarrollo indicativo y simbólico del proceso algorítmico, a fin de entender cada fase del cálculo. Los estudiantes pueden tener dificultades al organizar la secuencia de pasos y hacerla operativa. Por ello, es importante que al inicio comparen sus resultados con los otros miembros de su equipo. De existir algunas dudas o incoherencias en el procedimiento, deben consultar con el profesor. Es posible investigar otras fechas históricas o familiares. Se puede proponer también que investiguen acerca del algoritmo de Gauss, que permite calcular la fecha de Pascua de Resurrección.

MD

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35

Manual para el docente

7/19/12 12:40 PM

3 Prever para cumplir Alicia tiene una bodega en la ciudad de Molinopampa. Ella ha observado que las provisiones llegan con diferente frecuencia. Cada tres días, llega el camión de fruta; cada cuatro días, el camión con productos lácteos; y cada seis días, el camión con las gaseosas. Alicia está organizando el calendario, a fin de que no vuelva a ocurrir lo que pasó el primero de octubre, cuando los tres proveedores llegaron juntos y no se había reunido el dinero necesario. Octubre L

M

M

J

V

S

D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

1) ¿En qué fechas del mes de octubre llega el camión de fruta a Molinopampa?

9) ¿En qué otras fechas, hasta el final de año, Alicia debe esperar a los tres proveedores juntos? 6, 18 y 30 de noviembre; 12 y 24 de diciembre.

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31 de octubre.

10) Reflexiona y responde: ¿Qué concepto has utilizado en el desarrollo de los problemas? Explica el método empleado.

2) ¿En qué fechas del mes de octubre llega el camión de lácteos? 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 de octubre.

El concepto de mínimo común múltiplo, que

3) ¿En qué fechas del mes de octubre llega el camión de gaseosas?

ser

frECUENCIA

LA

PAR tir

1, 7, 13, 19, 25 y 31 de octubre.

de

LA

4) ¿En qué fechas no llega ningún proveedor?

BASA

2, 3, 6, 8, 11, 12, 14, 15, 18, 20, 23, 24, 26, 27

en este tipo de

prIMERA fECHA en que

proveedores, ocurrIRÁ,

COMÚN

CALCULO

USANDO LA

en el uso de

los

DÍAS

PROBLEMAS.

LLEGAN

A

juntos los

siguientes en que esto

frECUENCIA. El método

LA TABLA O

PASA A

en un

EMPLEADO

se

DIAGRAMA.

11) Un nuevo proveedor ha llegado para abastecer de golosinas al pueblo, él viene cada 9 días. La primera vez coincidió con la llegada de los tres. ¿Cada cuántos días llegarán juntos los cuatro proveedores?

y 30 de octubre.

5) ¿En qué fechas llegan los tres proveedores juntos? 1, 13 y 25 de octubre.

Debo

6) ¿Cada cuántos días llegan los tres proveedores juntos a Molinopampa? CADA 12 DÍAS.

HALLAR

el mínimo común múltiplo de los

CUATRO

números, que es 36. CADA 36

7) La frecuencia con la que llegan los tres proveedores a Molinopampa, ¿tiene alguna relación con los siguientes tres números: 3, 4 y 6?

DÍAS COINCIDIRÁN

los

CUATRO

proveedores.

Sí, es el mínimo común múltiplo de esos números.

8) ¿Hubieses podido hallar la frecuencia con la que llegan los tres juntos sin marcar los días en el calendario? Identifícalos en este segmento y explica oralmente cómo te ayuda.

2

Leyenda: 22

4

6

8

10

Llegada del camión de fruta.

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 36

12

14

16

18

20

Llegada del camión de lácteos. MD

22

24

26

28

30

Llegada del camión de gaseosas.

36

7/19/12 12:40 PM

Tiro al blanco En la feria del pueblo, hay un juego de tirar dardos a un tablero circular. Julio ha lanzado algunos dardos. Todos los que lanzó dieron en el blanco. ¿Cuáles de los siguientes puntajes: 173, 283,160, 195, 345 pudo haber obtenido Julio?

1) ¿Es posible que su resultado sea 32? No. Explica por qué.

1) ¿Qué ha estado haciendo Julio? HA

ESTADO LANZANDO DARDOS.

Porque el rESULTADO debe ser un número por 15.

2) ¿Cuántos dardos ha lanzado? No se conoce

LA CANTIDAD.

2) ¿Y es posible que sea 40? TAMPOCO.

3) ¿Qué significa que todos los dardos dieron en el blanco? Que ninguno

3) ¿Qué relación hay entre los posibles totales y el número 15? Los TOTALES deben ser múltiplos de 15.

en 12 o 5 o fUERA del disco.

CAYÓ

4) Explica el procedimiento que realizarás. OrGANIZO

4) ¿Qué condiciones te informan acerca de su juego? Todos los

DARDOS

que

LANZÓ

MULTIPLICADO

dieron en el

BLANCO.

LA

imforMACION e identifico los múltiplos de 15.

1) Identifica, entre los números dados, aquellos que pueden ser los totales. 173

Puntajes Múltiplos de 15 2) ¿Qué puntajes pudo haber obtenido Julio?

1) ¿Necesitaste dividir para saberlo?

195

x

TOTAL

Sí.

debe ser múltiplo de 5, eso

173 y 283; DESCARTA A

ADEMÁS,

DESCARTA A

debe ser múltiplo de 3, lo que

160.

NECESARio

rELACIONAR

LA fRASE

con el 15 y el hecho de

“dieron en el

LA DIVISIBILIDAD

del

BLANCO”

PUNTAJE

que

se obtiene.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 37

x

345

4) ¿Qué estrategias te fueron útiles para resolver el problema?

3) ¿Qué pistas fueron las más difíciles de entender? ¿Por qué? Es

283

x

195 o 345.

2) Si tu respuesta fue afirmativa a la pregunta anterior, ¿crees que se puede saber qué puntaje sacó sin necesidad de dividir? Si el

160

ANALIZAR los posibles rESULTADOS no

ERAN

PARA DESCARTAR

los que

divisibles por 3 o por 5.

5) Supón que un jugador ha lanzado 24 dardos y ha obtenido un puntaje de 345. Si sus dardos solo cayeron en el blanco (15) y en la franja amarilla (12), ¿es posible saber cuántos dieron en el blanco? Justifica tu respuesta. Sí es posible, lo PLANTEARemos Dieron en 15: x

A CONTINUACIÓN .

Dieron en 12: 24 - x PUNTAJE

37

TOTAL:

345 = 15x + 12(24-x), de donde x = 19

Manual para el docente

23

7/19/12 12:40 PM

Prohibido calcular Luciana está jugando con su calculadora. Ella ha estado explorando la tecla XY para hallar 54, 57 y otras potencias. Su tío Edgar la desafía a encontrar en qué cifra termina 32012. Luciana quiere usar su máquina, pero esta le da error. Ayúdala a encontrar la respuesta. Recuerda que no hay calculadora de mano que te ayude a encontrar el resultado.

1) ¿Qué está haciendo Luciana? JUGANDO con

1) ¿Puedes formular un problema parecido, pero más fácil?

LA CALCULADORA.

Sí, por ejemplo, 34 que terMINA en 1.

2) ¿Qué significa 54? Exprésalo como una operación extendida. 5 x 5 x 5 x 5.

2) ¿Si te hubiesen pedido la última cifra de 5 2011, hubiese sido más fácil? ¿Por qué? Sí, pues

3) ¿Qué calcula la tecla XY en la calculadora? CALCULA

UNA OPERACIÓN EXPONENCIAL.

4) ¿Qué significa 3

2012

FACTOR

En este

2012 veces.

LA CIFRA

de que su

CALCULADORA

DA CUENTA

AYUDA.

2

1) Calcula las seis primeras potencias de tres y observa sus últimas cifras. Organiza la información en una tabla. Potencia de 3

Resultado

Última cifra

31

3

3

32

9

9

33

27

7

34

81

1

5

3

243

3

36

729

9

en 9; si es múltiplo de 4

MÁS

1, terMINA en

deterMINAR el 2012

3, terMINA en 7, y si es

6) ¿En qué cifra termina 3

24

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 38

?

CASO

PATRÓN.

1) ¿En qué momento has tenido dificultad para resolver el problema? PATRÓN

o rEGLA de forMACIÓN. el procedimiento

DETALLADAMENTE

LA

ESTRATEGIA

un

que hemos

PATRÓN PAR tiendo

de

hemos orGANIZADO los

INDICADO.

USADO

es

LA IDENTIFICACIÓN

de

CASOS PARTICULARes; ASIMISMO,

DATOS

en

UNA TABLA.

4) ¿En qué otras situaciones podrías aplicar la estrategia? En

CUALQUIERA

números

2, terMINA

5) ¿Te sirve esta regla para resolver el problema? ¿Cómo la utilizarías? Sí. Debo dividir 2012 entre 4 y ver el PARA

un

3) Describe la estrategia que has desarrollado para resolver el problema.

multiplo de 4, terMINA en 1.

residuo

PATRÓN.

4) ¿Cómo podrías plantear la estrategia para resolver el problema? ELABORANDO UNA TABLA CON DATOS y

Obser VANDO

4) ¿Existe alguna relación entre los exponentes y la última cifra del resultado? Si es así, explícala. MÁS

un

2) ¿Cómo has afrontado la dificultad?

3) ¿Cada cuántos pasos se repite la última cifra? CADA 4 PASOS.

3; si el exponente es múltiplo de 4

8 prIMERAS:

4

ADVER tir

Al identifICAR el

2) ¿Puedes ver alguna regla de formación? Sí.

MÁS

LISTAR LAS

3

Así podemos

BUSCANDO

Si el exponente es múltiplo de 4

mejor

3 = 3; 3 = 9; 3 = 27; 3 = 81; 35 = 243; 36 = 729

en que terMINA 32012 y se no le

CASO, SERÍA

1

5) ¿Cuál es el reto que enfrenta Luciana? ENCONTRAR

de 5 terMINA en 5.

3) ¿Crees que te ayude hacer una lista de las primeras potencias de 3 y luego buscar algún patrón? Explica.

? Exprésalo en tus palabras.

El 3 se repite como

CUALQUIER POTENCIA

donde

GRANDES

LAS OPERACIONES SEAN

y se

PUEDA

con

deterMINAR un

PATRÓN.

5) ¿Cómo podríamos saber en qué cifra termina el resultado de 232012? Como

LA BASE

terMINA en 3, sigue

LA MISMA

rEGLA

deterMINADA. Entonces, el rESULTADO terMINA en 1.

correspondiente.

TerMINA en 1.

MD

38

7/19/12 12:40 PM

Tal vez, uno de los trucos más sorprendentes de los calculadores prodigio sea decir rápidamente qué día de la semana cayó una fecha dada. Uno de esos calculadores es el profesor piurano Arturo Mendoza, nuestro record Guiness de cálculo mental. Dado que las fechas funcionan periódicamente, es posible elaborar un método de cálculo rápido para conseguirlas. Aquí les mostramos el método creado por Gauss para hacer este cálculo. Para saber qué día de la semana cayó una fecha determinada del siglo XX, necesitas tres datos: el día, la clave del mes y la clave del año. • El número del día nos lo dan al señalarnos la fecha. • La clave del mes pueden buscarla en la siguiente tabla: • Para hallar el año, deberán: 0

3

3

6

1

4

ENE.

FEB.

MAR.

ABR.

MAY.

JUN.

6

2

JUL.

5

AGO.

0

SET.

OCT.

3

5

NOV.

DIC.

1. Tomar el número formado por los dos últimos dígitos del año. 2. Dividir este número por 4 y tomar el cociente entero. 3. La clave es igual al número más el cociente. Finalmente, para hallar el día de la semana, sumarán: la fecha, la clave del mes y la clave del año. Buscamos su residuo al ser dividido por 7. Este número indicará el día, de acuerdo con la tabla mostrada. Al resultado final, para el siglo XIX (1800-1899) se añadirá 2 y para el siglo XXI (2001-2099) se restará 2. 0

1

2

3

4

5

6

7

DOM.

LUN.

MAR.

MIÉ.

JUE.

VIE.

SÁB.

DOM.

En años bisiestos, a fechas posteriores a febrero se agrega 1 día. Al año bisiesto se le reconoce porque sus 2 últimos dígitos son 00 o múltiplo de cuatro; por ejemplo, 1924, 2000, 2012, etc.

1) Con tus compañeros, investiguen en qué días cayeron las siguientes fechas importantes para nuestra historia: LA CLAVE

21 + 5

= 26; luego 28 + 6 + 26 = 60. Al dividir 60 entre 7 DA

4 de residuo. Como es

AÑADE

UNA fECHA

2, por lo que fue un

del siglo XIX, se

• Nacimiento del matemático Federico Villarreal: 3 de agosto de 1850. LA CLAVE

50 +

12 = 62; luego 3 + 2 + 62 = 67. Al dividir 67 entre 7

DA

4 de residuo. Como es

AÑADE

2, entonces

SALE

UNA fECHA

del siglo XIX, se

6, por lo que el

DÍA

fue

SUMAR

DA

residuo 1.

1+2=3, por lo

que fue miércoles.

• Nacimiento del sabio Julio C. Tello: 11 de abril de 1880. 11 + 6 + 100 = 117; luego 117 entre 7 DA COMO residuo 5. Como es UNA fECHA del s. XIX y fue AÑO

SÁBADO.

50 / 4 tiene un cociente entero de 12,

8 + 0 + 98 = 106; luego 106 entre 7 Como es del siglo XIX, se debe

• Día de la Independencia: 28 de julio de 1821. 21 / 4 tiene un cociente entero de 5,

• Combate de Angamos: 8 de octubre de 1879.

SÁBADO.

bisiesto, entonces

CAYÓ domingo.

• Nacimiento de José María Arguedas: 18 de enero de 1911. 18 + 0 + 13 = 31; residuo 3, fue miércoles.

• Nacimiento de Julio Ramón Ribeyro: 31 de agosto de 1929. 31 + 2 + 36 = 69; residuo 6, fue un

SÁBADO.

2) Encuentren los días en que nacieron cada uno de los miembros del grupo de trabajo. LAS rESPUESTAS

VARIARÁN

según los

DATOS.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la divisibilidad, la cual se utiliza en los códigos de barras, en el número de RUC y para calcular fechas como las de Semana Santa, entre otros.

Autoevaluación ¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?

Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.

Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.

MD

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39

En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.

Se debieron generar espacios de participación.

Manual para el docente

25

7/19/12 12:40 PM

Actividad

4

Las proporciones nos brindan información

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que en muchas situaciones cotidianas debemos realizar cálculos utilizando nociones de proporcionalidad. Un ejemplo de ello son los mapas, herramientas de uso diario que nos permiten no solo orientarnos y llegar a destinos que no conocemos como si los hubiésemos visitado antes, sino también ubicarnos geográficamente y estimar las distancias reales entre dos ciudades. Para esto, se relacionan proporcionalmente las dimensiones del mapa con las reales a partir de la lectura detallada de sus elementos. Otro ejemplo de estas nociones en la vida cotidiana es la relación de los precios de compra y venta al por mayor y al por menor. También hacemos uso de ellas cuando tenemos que repartir las ganancias de manera justa. CAPACIDAD

Resuelve problemas de traducción simple y compleja de proporcionalidad directa e inversa. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES

T1

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Razones y proporciones

Los turistas matemáticos

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

Relación de proporcionalidad directa Relación de proporcionalidad inversa

La tarea trata de un paseo, cuya ruta se proyecta en una escala mediante un mapa que representa la distancia que hay entre las ciudades a visitar. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen el uso de conocimientos de proporcionalidad a partir de la lectura de un mapa a escala, con el fin de estimar la distancia real de las ciudades que serán visitadas. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la escala que se está utilizando para la representación de la realidad. En este caso, se propone tratar de encontrar un patrón para identificar una invariante, que en ambas situaciones es la constante de proporcionalidad. Mediante esta constante se pueden plantear proporciones para hallar incógnitas. Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar esta invariante e intentar utilizar esquemas mnemotécnicos como la regla de tres. En estos casos, es preferible que traten de comprender por qué se mantiene invariante la razón entre la distancia en la realidad y la distancia en el mapa.

Jugosa venta

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

La tarea presenta una típica situación de proyección de recursos. La persona debe proyectar con antelación la cantidad de ingredientes que necesita para satisfacer una necesidad, pero debe hacerlo de manera óptima y basada sobre algún argumento matemático. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas que involucren la modelación de situaciones de contexto real y el uso de nociones matemáticas para tomar decisiones. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los estudiantes verifiquen que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el aumento de una de ellas en un factor, implica el aumento proporcional en la otra magnitud en el mismo factor. Para ello, los estudiantes deben probar que a más kilos de naranja, se obtendrán más litros de naranjada. Asimismo, el incremento de una de las magnitudes como producto de un factor implica el incremento de la otra como resultado de su producto por el mismo factor. En este caso, se ha utilizado la estrategia de reducción del problema a casos particulares para probar la relación de proporcionalidad, organizar los datos en una tabla y, a partir de ella, encontrar la constante de dicha relación. Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar las magnitudes que están relacionadas de manera directamente proporcional. Algunos creen que este tipo de relación se da cuando al crecer una de las dos magnitudes, la otra también aumenta. Recuerde que el crecimiento debe darse en el mismo factor; de lo contrario, no será directamente proporcional.

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 40

MD

40

7/19/12 12:40 PM

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T3

La alfombra

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y explorar diversas rutas de solución. Otra forma de resolver la situación es por medio de una proporción o mediante una fórmula de relación directa. Por ejemplo: K = a L, donde a es la proporcionalidad constante.

La Latarea tareapresenta presentauna unasituación situaciónde detoma tomade dedecisiones decisionespara paralalacompra comprade deuna unaalfombra, alfombra,aapartir partirde delala relación según los los requerimientos requerimientos de de Rosaura. Rosaura. relaciónde delas lascondiciones condicionesde deprecio preciopor porm2 m2 y tamaño, según Sepretende pretendeque quelos losestudiantes estudiantesdesarrollen desarrollensussus habilidades para resolver problemas involucren Se habilidades para resolver problemas que que involucren el el establecimiento de de conexiones entre nociones dede geometría, establecimiento nocionesde deproporcionalidad proporcionalidadaritmética aritméticay ynociones nociones geometría, fin de verificar aa fin verificar que que los elementos homólogos de figuras figuras geométricas geométricas semejantes están relacionados medianteproporcionalidad proporcionalidad directa. mediante directa. Aldesarrollar desarrollarlalatarea, tarea,se setiene tieneque queponer ponerénfasis énfasisen enlalalectura lecturade delas lascondiciones condicionesyyrestricciones restriccionesimpuestas impuestas Al por Rosaura; asimismo, se debe tener cuidado en la interpretación de los datos de la tabla. por Rosaura; asimismo, se debe tener cuidado en la interpretación de los datos de la tabla. En este caso, se propone la descomposición del problema en partes mediante preguntas y el análisis de los En este caso, se propone la descomposición del problema en partes mediante preguntas y el análisis de los datos de la tabla. datos de la tabla. Los estudiantes pueden tener dificultades en vincular las condiciones del problema con las restricciones impuestas por pueden Rosauratener paradificultades tomar la decisión adecuada. Los estudiantes en vincular las condiciones del problema con las restricciones impuestas por Rosaura tomarlalaestrategia decisión utilizada adecuada. Los estudiantes deberánpara reconocer y explorar diversas vías de solución. También se presenta un ejercicio de reflexión para que distingan datos de condiciones. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y explorar diversas vías de solución. También se presenta un ejercicio de reflexión para que distingan datos de condiciones.

Un tremendo ajedrez

Descripción de la actividad ¿AIntención qué poner pedagógica énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

Más allá del problema

La tarea presenta la construcción de un ajedrez gigante a partir de un modelo a escala. En estos casos, se tiene que diseñar un ajedrez de tamaño natural. Las personas harán las veces de fichas. Se debe proyectar de qué tamaño serán el tablero y las casillas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren realizar modelos a escala, partiendo de otros modelos de menores dimensiones. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la escala en la que se está trabajando y en cómo se llegará a estimar la escala real, es decir, la del ajedrez gigante. En este caso, se ha utilizado la estrategia de hacer una tabla para organizar la información, así como la identificación de una invariante que es la constante de proporcionalidad.

Los estudiantes pueden tener dificultades al proyectar el juego gigante, ya que deben hacer ciertos supuestos. Muchos de ellos esperan que todos los datos estén en el enunciado; pero, en este caso, se exige que propongan ciertas medidas reales y, a partir de allí, proyecten sus resultados. Asumir supuestos es una acción que se realiza con frecuencia cuando hay que resolver problemas en la realidad. En la actividad, los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y luego explorar diversas vías de solución. Para los más avanzados, puede proponer tareas de investigación más allá del problema; por ejemplo, diseñar un juego de ajedrez gigante con piezas como las reales, que no tengan la misma altura.

MD

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41

Manual para el docente

7/21/12 2:08 PM

4 Los turistas matemáticos Luisa y Pedro están de paseo por Chiclayo. Un guía del pueblo les ha entregado un plano como el que se muestra. Ellos quieren averiguar cuáles son las distancias para llegar de Chiclayo a una ciudad A y de allí a una ciudad B. Luisa mide, con una cuerda en el mapa, las distancias en carretera desde Chiclayo hasta la ciudad A y luego desde A hasta la ciudad B: obtiene 14 y 28 cm, respectivamente.

Ciudad B

Océano Pacífico

Ciudad A

Chiclayo

Escala: 14:1 200 000

1) ¿Qué información puedes extraer del mapa? LAS

DISTANCIAS A ESCALA

entre

LAS CIUDADES MENCIONADAS.

14:1 200 000

2) ¿Qué escala señala el mapa? (según

Luisa se tomó una foto al lado de una de las pirámides de Túcume. Si ella tiene una estatura de 1,48 m, ¿cuánto tiene de altura la pirámide que se observa en la imagen?

medición de LUISA).

LA

x

3) Según Luisa, ¿cuál es la distancia, en el mapa, desde Chiclayo hasta la ciudad A? Según el MAPA de LUISA, 14 cm.

x

4) ¿Y la distancia de la ciudad A hasta la ciudad B? Según el

MAPA

EQUIVALE A

x

de LUISA, 28 cm. SignifICA que 14 cm

1 200 000 cm en

LA

rEALIDAD.

x

5) Reflexiona y responde. Una escala de 1:100 significa que una unidad del mapa equivale a cien unidades en la realidad. ¿Qué significa la escala dada en el mapa? 14 cm del

MAPA CORresponden A

9) ¿Cuánto mide la pirámide en la imagen? Mide 3,2 cm.

12 km rEALES.

10) Completa la siguiente expresión:

6) Completa la tabla mostrada: Recorrido

Distancia en el mapa (cm)

Distancia en la realidad (km)

Chiclayo - Ciudad A

14

12

Ciudad A - Ciudad B

28

24

Ciudad B - Chiclayo

42

36

Tramo

La altura de Luisa en la imagen y su tamaño real están en la misma relación que LA PIRÁMIDE en LA IMAGEN y en LA

DISTANCIA TOTAL

rEALIDAD.

11) Completa la siguiente proporción: Luisa en la imagen

7) ¿Cuál es la distancia total del paseo en la realidad? LA

8) ¿Cuánto mide Luisa en la imagen? Mide 0,4 cm.

es de 36 km.

LUISA en LA rEALIDAD

=

PIRÁMIDE de Túcume en LA IMAGEN

Pirámide de Túcume en la realidad

12) Resuelve la proporción establecida antes. ¿Cuál es la altura de la pirámide de Túcume? LA ALTURA de LA pIRÁMIDE de Túcume es 11,84 m.

26

Resolvamos 1

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7/19/12 12:40 PM

Jugosa venta Doña Petra prepara naranjada, todos los días, para llevar al mercado. Ella sabe que 4 kilos de naranjas le sirven para 2,5 litros de naranjada. Un kilo suele tener de 4 a 5 naranjas, dependiendo del tamaño. Este fin de semana, que habrá mucho público por la fiesta de San Juan, ella quiere llevar 40 litros de naranjada. ¿Cuántos kilos de naranja deberá comprar?

1) ¿De qué trata el problema? De

UNA VENDEDORA

su

DESEA COMPRAR NARANJAS PARA

que

1) ¿Hay una relación entre el litro de naranjada y el kilo de naranjas? Sí. 4 kilos de NARANJA sirven PARA 2,5 litros

TRABAJO.

2) ¿Qué datos te dan? Que “4 kilos sirven PARA 2,5 litros de NARANJADA”

y “un kilo suele tener de 4

A

5

NARANJADA.

dirECTAMENTE

4) El dato: “un kilo suele tener de 4 a 5 naranjas”, ¿te sirve para la solución? PARA lo SOLICITADO, no sirve; serVIRÍA si NECESITÁRAMOS SABER CUÁNTAS NARANJAS

mínimo y como

MÁXIMO.

5) ¿Qué desea saber Petra? LA que debe

requerimos como

CANTIDAD

de kilos de

Litros de naranjada

4

8

2,5

5

12 7,5

16 10

COMPRA

20 12,5

24

28

32

15 17,5 20

36 22,5

40

que intervienen en el

PROBLEMA.

2) ¿Cómo reorientaste el planteamiento para encaminarte a la respuesta? COMPLETANDO LA CANTIDAD de litros de NARANJADA, según LAS diferentes CANTIDADES de kilos de NARANJA INDICADAS

en

LA

prIMERA TABLA.

3) ¿Qué concepto matemático has empleado para resolver este problema? RELACIÓN de PROPORCIONALIDAD dirECTA.

en

NARANJADA.

LA MISMA

proporción.

Litros de naranjada

4

8

12

...

64

2,5

5

7,5

...

40

2,5 x 16

5) ¿Cuántos kilos debe comprar para satisfacer el pedido? Debe

COMPRAR

64 kilos de

NARANJA.

4) Lee la información que se encuentra en cada columna de la primera tabla, como si cada una fuera una fracción. Divide el numerador entre el denominador de cada columna y compara los resultados. ¿Qué observas? El cociente es

CONSTANTE

MD

e

IGUAL A

1,6.

5) ¿Es correcto escribir la siguiente relación de proporcionalidad?, ¿esta relación te permite resolver el problema? 64 kg de naranja 4 kg de naranja = 2,5 l de naranjada 40 l de naranjada Sí, es correcto, es

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menos

QUINTUPLICARÁ.

1) ¿En qué momento has tenido dificultad para hallar la solución? Al ESTABLECER LA rELACIÓN entre LAS dos MAGNITUDES

podemos decir que si

4 x 16 Kilos de naranja

25 27,5

3) Al pasar de 4 a 20 kilos, el número de kilos se quintuplicó. ¿Qué ocurrirá con el número de litros de naranjada? se

AUMENTA

44

Son múltiplos de 4.

TAMBIÉN

NARANJAS, HARÁ

4) Completa la tabla:

2) ¿Qué tipos de números hay en la fila “Kilos de naranja”?

El número de litros

PROPORCIONALES; ADEMÁS,

menos kilos de

3) Experimenta: Si compra 4 kilos, ¿cuántos litros de naranjada podrá hacer? 2,5 litros ¿Y si compra 8 kilos? 5 litros ¿Y si compra 12 kilos? 7,5 litros ¿Qué relación guardan estos datos entre sí? Al AUMENTAR uno en UNA proporción, el otro

COMPRAR.

1) Completa la tabla que se muestra a continuación: Kilos de naranja

NARANJADA.

2) El hijo de Petra dice que si compra más kilos de naranjas, hará más naranjada. ¿Tiene razón? ¿Cómo completaría su razonamiento? Tiene RAZÓN porque son MAGNITUDES

NARANJAS”.

3) ¿Cuál es la condición? NECESITA prEPARAR 40 litros de

NARANJA

de

43

UNA

rELACIón

PROPORCIONAL.

Manual para el docente

27

7/19/12 12:40 PM

La alfombra Rosaura quiere comprar una alfombra con motivos peruanos para su dormitorio, que mide 3 m x 4 m. Ella ha averiguado el precio de unas alfombras en diferentes tiendas de artesanía. Este depende del número de metros cuadrados y del lugar de origen.

Alfombras Cusqueña Tamaño

Rosaura no desea gastar más de S/.360. Además, Costo de la alfombra quiere que al menos 3 m2 de su dormitorio queden sin Entrega e instalación alfombrar.

Puneña

Ayacuchana

3mx3m

2mx5m

2mx4m

S/.38 el m2

S/.35 el m2

S/.36 el m2

S/.40

Sin cargo

S/.18

¿Cuál de estas alfombras le recomendarías que compre?

Tiene inforMACIÓN de 3 tipos de

1) ¿De cuántos tipos de alfombras tiene información Rosaura? 2) ¿Cuáles son las dimensiones de su dormitorio?

ALFOMBRA.

LAS dimensiones de su dormitorio son 3 m x 4 m.

3) ¿Qué significa la fila: “Entrega e instalación”? Es el costo por

LLEVAR LA ALFOMBRA A LA CASA

y

DEJARLA INSTALADA.

4) ¿De qué depende el precio de cada alfombra? El precio de CADA UNA depende del número de m2 y del LUGAR de origen. 5) ¿Cuánto es lo máximo que desea gastar Rosaura? DESEA 6) ¿Qué área desea dejar libre? DESEA

DEJAR

GASTAR

2) ¿Cómo calcularías el costo total? costo del m2 por el SUMAMOS

ÁREA

de

y

COMPRAR UNA ALFOMBRA CON

el costo de entrEGA e

Cusqueña

Costo de la alfombra

MULTIPLICAMOS el

Entrega e instalación

Al producto le

Costo total

INSTALACIÓN.

Puneña

9 m2

Área

3) ¿Cómo puedes visualizar los datos de las tres alfombras? Se puede construir

motivos perUANOS.

1) Completa la tabla mostrada con los cálculos adecuados:

COMPARANDO

LA ALFOMBRA.

S/.360.

libre por lo menos 3 m .

1) ¿Cómo puedes saber si la alfombra no cubre al menos 3 m2 del dormitorio de Rosaura? ALFOMBRA

MÁXimo

2

7) ¿Qué es lo que quiere hacer Rosaura? ROSAURA quiere

CALCULANDO el ÁREA de CADA con LA de su dormitorio.

como

Ayacuchana

10 m2

S/.38 el m S/.35 el m 2

2

S/.40

sin CARgo

S/.382

S/.350

8 m2 S/.36 el m2 S/.18 S/.306

2) ¿Cuál de las tres alfombras debe comprar Rosaura? LA

UNA TABLA.

"CUSQUEÑA"

ALFOMBRA

SUPERA

el presupuesto de

ROSAURA; LA ALFOMBRA "PUNEÑA" DEJARÍA solo 2 m2; entonces ROSAURA debe se

COMPRAR LA ALFOMBRA

presupuesto y

AJUSTA AL

A

"AYACUCHANA", que

su requerimiento de

ESPACIO.

1) ¿Qué estrategia te sirvió más para tomar la decisión? ORDENAR

LA

inforMACIÓN en

LA TABLA

permite

HACER

mejor

LA COMPARACIÓN

de

ALTERNATIVAS.

2) ¿Crees que es útil organizar los datos para comprar? Sí es muy útil. 3) ¿Qué otra forma de organizar los datos puedes utilizar? Se puede orGANIZAR

LA

inforMACIÓN en fILAS, en vez de

COLUMNAS.

4) ¿Crees que se deben considerar otros factores, además de los matemáticos? Menciona algunos. Un

FACTOR

impor TANTE es el presupuesto que ROSAURA

PLANEÓ.

5) Todo problema brinda datos y condiciones. En este caso, ¿cuáles son los dato y cuáles las condiciones? DATOS son LAS ÁREAS del dormitorio y de LAS ALFOMBRAS, ASÍ como los costos presupuesto y el requerimiento de ESPACIO de ROSAURA.

28

Resolvamos 1

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ASOCIADOS A CADA UNA.

LAS condiciones son el

44

7/19/12 12:40 PM

Un tremendo ajedrez Para una feria de ciencias, los escolares de la IE Micaela Bastidas están planificando construir un juego de ajedrez en el patio del colegio. Las piezas de un ajedrez común tienen diferentes alturas, según sea un rey, un peón, una torre. Vamos a suponer que las piezas miden 10 cm. También asumiremos que los niños de primer grado serán los peones.

Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades: 1) Elaboren una tabla donde registren las alturas de cada uno de los integrantes del grupo. Nombre

Altura (m)

6) Esta máquina puede servir para calcular con exactitud cuánto debe medir cada casilla del tablero de ajedrez. Utilícenla para calcular la casilla del tablero grande. Altura pieza grande

Lado casilla estándar

Altura pieza estándar

Lado casilla grande

166 cm

5 cm

10 cm

83 cm

7) Expliquen cómo se ha construido esta máquina de calcular. USANDO proporciones.

2) Discutan y pónganse de acuerdo en una altura que represente a tu equipo. A resolver por los ESTUDIANTES. 3) Las casillas de los tableros de ajedrez más comunes miden 5 cm de lado y el tablero del juego tiene filas de 8 casillas. ¿Cuánto mide el lado del tablero? Mide 40 cm de LADO.

8) ¿De qué concepto matemático han partido para construirla? RELACIÓN dirECTAMENTE

9) Si desean hacer un tablero de ajedrez para que jueguen los adultos, ¿qué datos necesitarán? LA ALTURA promedio del grupo de ADULTOS.

4) ¿Cuánto es, en centímetros, la altura que eligieron? A resolver por los ESTUDIANTES. PARA LA exPLICACIÓN, ASUMIRemos 166 cm.

5) Completen la siguiente tabla para calcular cuál debe ser la medida del tablero de ajedrez que permita jugar a los estudiantes.

Tablero estándar

Altura pieza

Lado de la casilla

10 cm

5 cm

Tablero grande 166 cm 83 cm

Lado del tablero 40 cm 664 cm

Perímetro del tablero

Superficie del tablero

160 cm

1600 cm2

2656 cm

PROPORCIONAL.

10) Tres trabajadores pueden hacer el tablero y las piezas gigantes en 14 días; sin embargo, la fecha de inicio de la feria es dentro de once días. ¿Cuántos trabajadores más, como mínimo, necesitarán contratar para terminar el trabajo en un máximo de 10 días?

440 896 cm2

APLICANDO LA rEGLA de tres inverSA PARA resolver el PROBLEMA, tenemos 14 x 3 / 10 = 4,2. PARA ASEGURAR el TRABAJO DEBERÁN CONTRATAR 5 TRABAJADORes.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la proporcionalidad y he establecido relaciones entre cantidades y magnitudes. Podemos reconocer tales situaciones en actividades productivas, científicas, comerciales y lúdicas.

Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?

Muy interesantes.

Interesantes.

MD

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45

Poco interesantes.

Nada interesantes.

Manual para el docente

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7/19/12 12:40 PM

Actividad

5

Ojos que no Venn

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que en la vida cotidiana tenemos necesidad de trabajar con grupos de objetos. Algunas veces estos tienen elementos en común y otras veces no. A ellos se denominan conjuntos y son también utilizados para la representación gráfica de encuestas de opinión. Otra de las aplicaciones de estas figuras es la clasificación de categorías en medicina, biología, sociología y en ramas de la matemática, como la geometría o la topología. CAPACIDAD

Resuelve problemas de contexto real y matemático que implican la organización de datos utilizando conjuntos. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

Relaciones lógicas Operaciones aritméticas Ecuaciones

Programas favoritos

Descripción de la actividad

Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Conjuntos

La tarea presenta los resultados de una encuesta entre estudiantes acerca de los programas que ven en televisión. Es posible que ellos vean dos o más programas, así como puede que existan algunos que no gusten de ninguno. En este caso, estamos ante la presencia de una clasificación entre grupos con posibles intersecciones. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran identificar e interpretar información cuantitativa en grupos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el estudiante establezca una adecuada comprensión entre los datos expresados en las viñetas y el organizador de datos (diagrama de Venn). En este caso, se propone utilizar la estrategia de hacer un diagrama de Venn general para tres conjuntos. Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar cada grupo. Los conectores “o”, “y” y “solo” deben comprenderse en cada caso. Las preguntas tienen esa intención. Por ejemplo, si se dice que 34 ven A y B, se está diciendo que hay 34 estudiantes que ven tanto A como B; sin embargo, en el lenguaje cotidiano, a veces se toma como 34 escolares ven A o B, lo que constituye un uso incorrecto de los conectores. Un error típico es considerar a los miembros que pertenecen a un grupo como si solo pertenecieran a él, sin suponer que pueden ser elementos de dos o más grupos a la vez. Asimismo, es frecuente graficar los tres círculos sin el recuadro que los contiene, error que debe evitarse en esta forma de representación.

El torneo de damas

Descripción de la actividad

La tarea presenta un problema de información en el que se solicita identificar a las parejas de jugadores que se enfrentaron en un torneo de damas, ejercicio del cual se pueden extraer conclusiones interesantes.

Intención pedagógica

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas referidos a conjuntos.

¿A qué poner énfasis?

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la identificación de qué parejas han podido enfrentarse ese día. Eso se logra reflexionando sobre lo que cada uno de los profesores manifiesta. Dos jugadores que se enfrentan entre sí no pueden aparecer juntos entre los favoritos del mismo docente.

Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, se propone desarrollar un procedimiento para organizar la información en un diagrama para representar los datos y las relaciones entre ellos.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al inicio del problema, sobre todo al elegir la forma de afrontarlo. Las preguntas de la primera fase están diseñadas para ayudarlos a la comprensión del problema y a guiar su razonamiento hacia una estrategia de solución.

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y explorar algunas variantes de la situación, con el fin de fijar la estructura subyacente al problema.

Resolvamos 1

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7/19/12 12:40 PM

T3

Con sumo cuidado

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

La situación presenta una metodología de investigación de mercado, conocida como el método del panel. En ella los consumidores son entrevistados varias veces en un determinado periodo, con el fin de observar su lealtad a una marca o producto. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar los resultados de encuestas, mediante el uso de diagramas de Venn. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en identificar la información relevante. El texto es largo, por lo que los estudiantes deben estar habituados a leerlo de manera analítica y así dividirlo en partes que les den información. Esto implica reorganizar la información en una tabla de datos y en el organizador visual (diagrama de Venn). En este caso, se propone realizar la lectura analítica, la organización de datos en una tabla y en un diagrama de Venn para tres conjuntos. El diagrama será muy apropiado, pues hay involucrados varios conjuntos de elementos con posibles intersecciones. Los estudiantes pueden tener dificultades al leer un texto largo. Por ello, se les debe guiar con preguntas similares a las que se presentan en la sección Antes de hacer, vamos a entender. Es conveniente que los estudiantes revisen los pasos dados en la solución del problema y que reflexionen sobre el porqué de cada paso. Asimismo, se les puede indicar que resuelvan el problema de otra manera. En otra situación, se puede proponer a los estudiantes que realicen un tipo de encuesta similar, pero real. Hay que decidir sobre el tema y el público al cual se le aplicará el panel.

La descendencia de Lechuga

Descripción de la actividad

Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

Más allá del problema

La tarea presenta un relato acerca de unos personajes y sus preferencias. El texto presenta múltiples relaciones de pertenencia entre los personajes y sus gustos. Es importante notar que la información se da negativamente; por ejemplo, no nos informan cuántos comen zanahorias, sino cuántos no la comen. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas complejos sobre conjuntos que requieran interpretar e inferir información a partir de un texto. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la interpretación de cada una de las pistas que se dan a lo largo del problema. Hay que estar consciente de que se está trabajando con datos de no pertenencia. En este caso, se propone la lectura analítica, así como la representación y organización de la información mediante un diagrama de Venn para tres conjuntos. Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender los datos proporcionados y trasladar la información cuantitativa del texto al gráfico. Las preguntas de las fases o secciones 1 y 2 pretenden orientar el razonamiento. Es importante que los estudiantes reflexionen sobre lo actuado e identifiquen la diferencia entre un problema con datos negativos y otro con datos directos. Es posible intentar resolver el problema mediante conjuntos de pertenencia, es decir, A: hijos que comen zanahoria, B: hijos que comen espinacas, C: hijos que comen rábanos.

MD

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Manual para el docente

7/19/12 12:40 PM

5

Ojos que no Venn

En una encuesta sobre los programas de TV favoritos de 60 estudiantes de 1.° de Secundaria de Lima, se obtuvieron los siguientes resultados: • • • •

32 ven “Héroes urbanos”. 39 ven “Rutas del Perú”. 47 ven “Matemanía”. 15 ven “Héroes urbanos” y “Rutas del Perú”. • 28 ven “Rutas del Perú” y “Matemanía”. • 25 ven “Matemanía” y “Héroes urbanos”. • 10 ven los tres programas. • Todos ven al menos un programa.

Héroes urbanos

Rutas del Perú 10 15

18

Matemanía

1) Sombrea en color amarillo la región del diagrama en la que están los estudiantes que solo ven “Héroes urbanos”. 2) Sombrea en celeste la región de aquellos que ven solo dos programas. 3) ¿Cuántas regiones distintas identificas en el diagrama?

4) De acuerdo con los datos y el diagrama, ¿cuántos estudiantes ven los tres programas? ESTUDIANTES

que ven los tres

PROGRAMAS

6) ¿Cuántos estudiantes entrevistados miran “Rutas del Perú”, pero no “Héroes urbanos”? 24 ESTUDIANTES. 7) ¿Cuántos comparten la preferencia por mirar “Rutas del Perú” y “Héroes urbanos”, pero no “Matemanía”?

30

ESTUDIANTES.

Resolvamos 1

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13

ESTUDIANTES.

9) ¿Cuántos miran únicamente “Matemanía”? 4

ESTUDIANTES.

Porque no permite tres grupos.

MOSTRAR LA

intersección entre los

11) El diagrama que te presentamos, ¿puede utilizarse para organizar los datos? Explica por qué.

son 10.

5) ¿Cuántos estudiantes entrevistados miran “Héroes urbanos”, pero no “Rutas del Perú”? 17 ESTUDIANTES.

5

8) ¿Cuántos exactamente no miran “Matemanía”?

10) Reflexiona y explica: ¿Por qué una tabla no es un buen modo de organizar estos datos?

Tengo 8 regiones, CONSIDERANDO que el número de ESTUDIANTES que no ven ningún PROGRAMA es cero.

Los

U

MD

Sí, porque en el DIAGRAMA podemos reprESENTAR A los ESTUDIANTES que ven un solo PROGRAMA y A quienes ven dos o tres PROGRAMAS.

12) Si tuvieras que colocar un comercial en dos de estos programas, ¿cuáles elegirías? ¿Por qué? "RUTAS del Perú" y "MATEMAnía" porque entre los dos cubren el universo.

48

7/19/12 12:40 PM

En la IE N.° 6024 se está realizando la semifinal del torneo de damas “John Venn”. En esta fecha se enfrentan ocho jugadores en cuatro partidas. Los profesores tienen sus favoritos para cada partida: • Profesora Lupe: Ángela, Kevin, Germán, Gloria. • Profesor Miguel: Ángela, Doris, César, Germán. • Profesor Benito: Gloria, Ángela, Pilar, César. Ningún profesor escogió al pequeño Cotito como posible ganador. ¿Quiénes se enfrentaron en cada partida?

1) ¿Qué es lo que está ocurriendo en la IE N.° 6024? Un torneo de

1) Con lo que dicen los profesores, ¿se puede saber quiénes jugaron en esa fecha? Escribe la lista.

DAMAS.

2) ¿Qué es lo que informan los profesores Lupe, Miguel y Benito? DAN

A CONOCER

sus fAVORitos

PARA GANAR CADA PARTIDA.

3) ¿Cuántos jugadores se enfrentan en esta fecha? Se enfrENTAN ocho

PIENSAN

que

2) ¿Pueden enfrentarse en una partida Ángela y Gloria? No, pues

JUGADORes.

LA

profESORA Lupe los seleccionó como

PERDERÁ

por ser pequeñito.

5) ¿Qué es lo que te solicitan en el problema? DeterMINAR quiénes se enfrENTARÁn en

CADA PARTIDA.

Es posible.

4) ¿Cómo organizarás los datos para visualizar el problema? a) En una tabla de doble entrada b) Con un diagrama de Venn c) En un plano cartesiano

No, porque ESTÁN juntos en dos opiniones: LA de Lupe y LA de Benito.

1) Coloca los nombres de los jugadores en el diagrama de Venn mostrado, considerando los favoritos de cada profesor:

4) ¿Con qué otros jugadores no pudo jugar Gloria? Con ÁNGELA, GerMÁN, Kevin,

A: Jugadores favoritos de Lupe.

CÉSAR, PILAR y Cotito.

B: Jugadores favoritos de Miguel.

5) ¿Con quién jugó Gloria? Con Doris.

C: Jugadores favoritos de Benito.

6) Completa la siguiente tabla con los jugadores que se enfrentaron ese día:

2) ¿Con quién se enfrentó Ángela? Explica. Con Cotito, pues

ELLA ESTÁ

en

LA

intersección de tres opiniones y eso DESCARTA AL

resto de

JUGADORes.

3) ¿Puede Gloria haber jugado con Kevin o Pilar? Explica.

U

1) ¿En qué parte del proceso de solución tuviste mayor dificultad? Depende del ESTUDIANTE. 2) ¿Qué estrategias te fueron útiles para resolver el problema? UTILIZAR un

DIAGRAMA

de Venn y

ANALIZAR

los

CASOS

posibles.

3) Si no te hubiesen dicho nada acerca de Cotito, ¿se habría Es posible, pero no podido resolver el problema? TENDRÍAMOS

GANADORes.

3) ¿Pueden enfrentarse en una partida Germán y Pilar?

4) ¿Qué jugador no fue escogido como favorito por ningún profesor? ¿Por qué? Cotito, porque

ÁNGELA, Kevin, GerMÁN, Doris, GlorIA, CÉSAR, PILAR y Cotito.

Ángela

Cotito

Gloria

Doris

GerMÁN

PILAR

CÉSAR

Kevin

4) ¿El contrincante de qué jugador fue másfácil de hallar? ¿Por qué? De ÁNGELA, pues no PODÍA JUGAR con todos los otros que ESTABAN en los conjuntos de los tres profesores por ESTAR en LA intersección de los tres.

5) ¿Se puede saber quiénes ganaron cada partida? No se puede

SABER.

el nombre del contrINCANTE de ÁNGELA.

MD

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49

Manual para el docente

31

7/19/12 12:40 PM

Con sumo cuidado Para estudiar el consumo de la goma Pega Pega entre los estudiantes, un grupo de 2000 de ellos fue entrevistado. A cada estudiante se le preguntó si utilizaba dicha goma para sus manualidades. Seis meses después, se entrevistó a los mismos estudiantes y se les preguntó si continuaban utilizándola. Luego, al año de haber hecho la primera encuesta, se procedió de igual modo. Los siguientes son los resultados del trabajo de campo: contestaron afirmativamente 836 estudiantes la primera vez, 827 la segunda vez y 808 la tercera vez. La primera y segunda vez, 542. La primera y tercera vez, 474. La segunda y tercera, 498. Las tres veces, 317. ¿Cuántos estudiantes contestaron negativamente la primera vez? ¿Cuántos la segunda vez? ¿Y la tercera vez? ¿Cuántos estudiantes contestaron negativamente las tres veces?

1) ¿Cuántos estudiantes fueron entrevistados? 2000

3 veces.

de

LA GOMA

157

317

181

153

3.a

Sí, el primer

"PEGA PEGA".

U

El

O NEGATIVAMENTE.

que respondieron

NEGATIVAMENTE

en

ENCUESTA

Solo B

104

Solo C

153

Solo A y B

225

Solo A y C

157

Solo B y C

181

AyB

542

ByC

498

AyC

474

A, B y C

317

lección.

DIAGRAMA

de Venn.

LAS

3) En el diagrama inicial representa los elementos en cada región. 4) ¿Puedes colocar el número 836 en una de esas regiones de tu diagrama? No . ¿Por qué? Porque dicho número corresponde

Número de estudiantes 137

ESTA

Sí, se puede MODELAR LA inforMACIÓN y responder prEGUNTAS por diferENCIA CON respecto AL TOTAL.

LAS

1) Completa los espacios con la definición de los conjuntos que representarás:

Solo A

de

4) ¿Crees que el mismo tipo de diagrama te puede ayudar aquí? Explica.

ENCUESTAS.

A: 1.ª ENCUESTA B: 2.ª ENCUESTA C: 3.ª 2) Completa la tabla según corresponda:

PROBLEMA

3) ¿Qué tipo de diagrama te ayudó a resolverlo?

5) ¿Qué es lo que tienes que averiguar? LA CANTIDAD de ESTUDIANTES

225

2) ¿Has resuelto algún problema parecido en otra oportunidad?

4) ¿Cómo pueden responder los estudiantes? AfirMATIVA

137

Intervienen 3 conjuntos, los que respondieron AFIRMATIVAMENTE en LAS diferentes ENCUESTAS.

3) ¿Qué es lo que preguntaron a los estudiantes? LA UTILIZACIÓN

2.a

1) ¿Cuántos conjuntos intervienen en este problema?

ESTUDIANTES.

2) ¿Cuántas veces fueron entrevistados? Sobre

1.a

A

3 de

ESAS

regiones.

5) ¿Puedes colocar el número 317 en una de esas regiones de tu diagrama? Sí. ¿Por qué? Porque dicho número reprESENTA UNA SOLA región que corresponde A los que respondieron AFirMATIVAMENTE en LAS 3 ENCUESTAS.

6) ¿Cuántos estudiantes contestaron negativamente la primera vez? LA prIMERA VEZ, 1164 ESTUDIANTES CONTESTARON NEGATIVAMENTE.

7) ¿Cuántos la segunda vez? 1173. ¿Y la tercera vez?1192. 8) ¿Cuántos estudiantes contestaron negativamente las tres veces? Fueron 726 ESTUDIANTES.

1) ¿Crees que hubiese sido útil definir los conjuntos A, B y C como el número de estudiantes que contestaron negativamente la primera, segunda y tercera vez, respectivamente? ¿Por qué? Explica. No, pues se difícil.

32

DEBERÍA TRANSFORMAR LA

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 50

inforMACIÓN

PROPORCIONADA

MD

después

PARA COMPLETAR

el

CUADRO.

Esto lo

HACE MÁS

50

7/19/12 12:40 PM

La descendencia de Lechuga El Sr. Joaquín Lechuga y su esposa Zoila fueron bendecidos con muchos hijos. Todos los días los Lechuga salen a trabajar al campo. Ellos viven en la localidad de Bambamarca y se dedican al cultivo de hortalizas, que luego venden a los proveedores de la zona. El alimento predilecto de los señores Lechuga son las ensaladas, de las cuales conocen muchas recetas. Lamentablemente, y pese a su apellido, a sus hijos no les gustan varias verduras; así, por ejemplo, siete no comen zanahorias, seis no comen espinacas y cinco no comen rábanos. Cuatro de ellos no comen ni espinacas ni zanahorias, tres no comen espinacas ni rábanos y dos no comen zanahorias ni rábanos. Uno de los hijos no come espinacas, zanahorias ni rábanos. Y ninguno de ellos come las tres verduras. Al menos, ¿cuántos hijos tiene la familia Lechuga?

Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades y resuelvan el problema: 1) ¿Qué dato es el que más información puede darles? El

DATO

AQUEL

prINCIPAL

que

ZANAHORia

INDICA

ni

PARA

poder

EMPEZAR

el

TRABAJO

3) En el diagrama que acaban de construir, determinen cuántos hijos de la familia lechuga están en cada región.

es

el número de hijos que no comen ni

ESPINACA

ni

RÁBANOS.

2) Hagan un diagrama que muestre la relación entre los conjuntos, tomando en cuenta los que: "no consumen zanahorias" (NZ), "no consumen espinacas" (NE) y "no consumen rábanos" (NR).

4) ¿Cuál es la región de los que no comen zanahorias? ¿Cuántos hijos deben estar en esta región? El conjunto “No de los que no

ZANAHORia”

LA COMEN.

del

GRÁFICO

es

LA

región

Son 7 hijos los que se

UBICAN ALLÍ.

5) Hagan un razonamiento similar con las otras dos verduras. SIMILAR

AL ANTERior.

6) ¿Cuántos hijos tiene la familia? LA

FAMILIA

tiene 10 hijos.

7) ¿Cuál o cuáles fueron los datos más útiles en este problema? SABER y

CUÁNTOS

CUÁNTOS

no comen

comen

LAS

NINGUNA

de

LAS

tres

VERDURAS

tres.

U ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas en los cuales he tenido que organizar y clasificar información acerca de grupos con determinadas características. La capacidad de clasificar y organizar datos se presenta en diversas actividades de la vida, como diseñar horarios, hacer encuestas, organizar libros en la biblioteca o asignar tareas a personas.

Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?

Estuve sobresaliente.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 51

He participado de forma significativa.

51

Fue aceptable.

Debo mejorar.

Manual para el docente

33

7/19/12 12:40 PM

Actividad

6

Proporcionalmente

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes la presencia cotidiana de la noción de proporcionalidad en la información que difunden los medios de comunicación. Puede llevar al aula algunos titulares y noticias que en su redacción incluyan porcentajes, fracciones y proporciones. Explique que en estas tres formas se pueden presentar datos equivalentes, en cuyo caso las relaciones matemáticas que expresan son las mismas. Así, se les puede pedir que una información dada en porcentaje la conviertan a un titular formulado en proporciones, de manera que sea posible percibir que, por ejemplo, 25 % es ¼ o 1 de cada 4. CAPACIDAD

Resuelve problemas de traducción simple y compleja de proporcionalidad directa. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES

T1

Porcentajes. Fracciones Operaciones aritméticas Función lineal

DNI para todos

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa

La tarea presenta un titular periodístico en el que se da información comparando dos cantidades por cociente, es decir, en forma de una razón aritmética. Con esta actividad, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen utilizar con fluidez conceptos referidos a fracciones, proporciones y porcentajes, así como la capacidad de establecer relaciones entre ellos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el significado de la proporcionalidad dada y en cómo a partir de ella se puede explorar mejor la noticia presentada. Preguntar a los estudiantes por qué utilizar razones para comunicar una información y no, por ejemplo, decimales. En este caso, se propone descomponer la situación en partes mediante la formulación de preguntas para facilitar la comprensión del problema y su resolución. Los estudiantes pueden tener dificultades al resolver preguntas de búsqueda de relación entre problemas o en la resolución de otros problemas con datos supuestos, como es el caso de las preguntas 4 y 5, por lo que deberá orientarlos en la solución.

La calidad del buen café

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

La tarea presenta el uso de información organizada en una tabla con varias entradas de datos. En dicha tabla relaciona el peso del café con el producto en diferentes estados: natural, procesado, café desechado o merma. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades de resolución de problemas vinculados a procesos de producción, a partir de la interpretación y organización de la información presentada en tabla. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la comprensión de que la merma es la diferencia de pesos entre café natural y café procesado, así como en la relación proporcional que hay entre estos pesos y en la vinculación de esta relación con el rendimiento de café. En este caso, se ha utilizado la estrategia de reorganizar la información de los datos presentados en la tabla y un gráfico cartesiano para visualizar tendencias que permitan responder al requerimiento del problema. Los estudiantes pueden tener dificultades en la interpretación de los datos de la tabla o para comprender los encabezados o el tipo de indicador a utilizarse para comparar. Por eso, las preguntas presentadas orientarán su razonamiento. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y reflexionar sobre sus resultados. Adicionalmente, se presentan algunas variantes de la situación.

Resolvamos 1

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MD

52

7/19/12 12:40 PM

T3

El pequeño gran Hilario

Descripción de la actividad

La tarea presenta un relato de contexto fantástico: es un matematicuento en el que participa el personaje de Hilario, a quien le ocurren modificaciones en su estatura, producidas por la ingesta de unos dulces que encuentra misteriosamente escondidos en su mochila. El relato da pie para formular varias preguntas de carácter matemático.

Intención pedagógica

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas que involucren la identificación y discriminación de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa en situaciones de contexto hipotético, a partir de la lectura comprensiva de un texto narrativo que contiene datos que representan estas relaciones.

¿A qué poner énfasis?

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que no todas las magnitudes involucradas en el problema se comportan de manera directamente proporcional.

Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, se propone la lectura comprensiva del texto mediante preguntas que deben responder los estudiantes. Asimismo, se sugiere la organización de la información en una tabla que le permita identificar el patrón de las relaciones entre datos.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades para reconocer el par de magnitudes que crecen de manera directamente proporcional. Un error típico es considerar que la distancia de la cabeza de Hilario al techo disminuye proporcionalmente con el tiempo transcurrido. En este caso, las magnitudes en cuestión tienen un comportamiento lineal decreciente, pero no directamente proporcional.

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

Para aquellos estudiantes más avanzados, puede proponer tareas de investigación más allá del problema. Por ejemplo, crear un relato similar al presentado o buscar en los cuentos infantiles algunas relaciones de proporcionalidad. Particularmente interesantes son los relatos de Alicia en el país de las maravillas de Lewis Carroll y Los viajes de Gulliver de Jonathan Swift. Puede encontrar actividades matemáticas referidas a estos relatos en: www.planetalibro.net/ebooks/eam/ebook_view.php

MD

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53

Manual para el docente

7/19/12 12:40 PM

6

Proporcionalmente

DNI para todos Fuente: Diario La República. Viernes, 7 de octubre de 2011.

Tres de cada veinte peruanos menores de 16 años no cuentan con el Documento Nacional de Identidad Así lo estimó el jefe del Reniec, Jorge Yribarren, al suscribir un convenio con Unicef para evitar indocumentados en el país.

1) Según el titular, en un grupo de 120 peruanos menores de 16 años, ¿cuántos no tendrán DNI? 3 /20 x 120 = 18 perSONAS

2) ¿Qué porcentaje de peruanos menores de 16 años no tiene DNI? 3/20 x 100 = 15 %

3) ¿Qué fracción de los peruanos menores de 16 años no tiene DNI? 3/20

4) Reflexiona y responde: ¿Hay alguna relación entre los tres problemas planteados? Sí, son diferentes forMAS de escribir

LA

proporción de ciertos elementos de un grupo que cumplen deterMINADA

CARACTERÍSTICA.

5) ¿Cuántos peruanos menores de 16 años no tienen DNI? Asume que la población de estas características es, aproximadamente, de 11 millones de personas. ¿Puedes expresar este número en unidades de millar? 3/20 x 11 millones = 1,65 millones perSONAS, es decir, 1650

UNIDADES

de

MILLAR.

6) Escribe el titular en términos de los que sí poseen DNI.

17 de cada

34

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 54

peruanos menores de 16 años cuentan con DNI

MD

54

7/19/12 12:40 PM

José está produciendo diversas variedades de café. Para cada tipo, hay una diferente merma o pérdida cuyo porcentaje se mantiene constante entre el café natural y el procesado. El cuadro muestra algunos de los hechos que ha observado José.

CAFÉ MUKI

CAFÉ MISKY

CAFÉ SANDIA

Peso

Peso

Peso

Peso

Peso

Peso

de café

de café

Merma

Merma

de café

de café

Merma

Merma

de café

de café

Merma

Merma

natural

procesado

(g)

(%)

natural

procesado

(g)

(%)

natural

procesado

(g)

(%)

(kg)

(kg)

(kg)

(kg)

(kg)

(kg)

2000

1600

400

20

1000

900

100

10

3000

2400

600

20

3000

2400

600

20

2000

1800

200

10

4000

3200

800

20

4000

3200

800

20

3000

2700

300

10

5000

4000

1000

20

5000

4000

1000

20

4000

3600

400

10

6000

4800

1200

20

6000

4800

1200

20

5000

4500

500

10

7000

5600

1400

20

José quiere clasificar los tipos de café del menos al más rendidor. ¿Cómo lo puede hacer?

1) ¿De cuántos tipos de café te dan información? De tres tipos de

1) Con la información que tienes, ¿es posible completar los datos faltantes en la tabla y resolver el problema? Explica.

CAFÉ.

2) ¿Qué significa la palabra merma en este problema? LA

CANTIDAD

de

CAFÉ PROCESADO,

CAFé NATURAL

que no se convierte en

es decir, se pierde.

MAGNITUDES:

PROCESADO

y

LA

peso

CAFÉ NATURAL;

Peso

CAFÉ NATURAL

peso

magnitudes

y peso

se

relacionan

CAFÉ PROCESADO.

(Peso

CAFé

x 100. El peso del

se obtiene rESTANDO

LA

merMA

AL

CAFé

peso de

El café menos rendidor es el que tiene mayor merma por kilo de café NATURAL y el más rendidor es el que tiene menos merma por kilo de café natural.

a) Diagrama de Venn b) Diagrama de árbol

rendidor.

c) Gráfico cartesiano O

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 55

OPERACIÓN:

se obtiene

3) Hay que buscar cuál es la merma por kilo de café para cada variedad. ¿Mediante qué tipo de gráfico puedes organizar los datos para responder?

6) ¿Qué te solicita el problema? CAFÉ MÁS

PORCENTAJE

2) Completa, según corresponda:

PROPORCIONAL.

DeterMINAR el tipo de

siguiente

LA

merMA en

CAFÉ NATURAL.

CAFÉ

5) ¿Qué tipo de relación es? Es dirECTAMENTE

rEALIZANDO PROCESADO

merMA.

4) ¿Cuáles de estas proporcionalmente?

LA

PROCESADO/Peso CAFÉ NATURAL)

3) ¿Qué magnitudes intervienen en esta situación? Tres

Sí es posible;

55

Manual para el docente

35

7/19/12 12:40 PM

1) Grafica los datos tabulados en un plano cartesiano. Usa como eje x el peso del café natural y como eje y la merma en gramos. Une los puntos para cada tipo de café. Café Muki

Café Sandia

1400

Merma (g)

1600

Merma (g)

1200

1400

100

1200

800

1000

600

800

400

600

200

400 0

2000

4000

6000

8000

200

Café natural (kg)

0

Café Misky

2000

4000 6000 8000 Café natural (kg)

600

Merma (g)

500 400 300 200 100 0

1000

2000 3000

4000 5000

6000

Café natural (kg)

2) ¿Qué observas con relación a las líneas de los gráficos que hiciste? CADA

UNA

tiene

UNA

pendiente

CONSTANTE

que reprESENTA

LA

proporción de merMA.

3) ¿Cuál de las líneas de los tres gráficos es la más empinada? LAS

LÍNEAS

de Muki y SANDIA tienen

LA MISMA INCLINACIÓN

y son

LAS MÁS EMPINADAS.

4) ¿Cuál de los tipos de café tiene mayor merma? ¿Por qué? Muki y SANDIA, debido

A

que tienen

UNA

pendiente

MÁS EMPINADA.

5) ¿Cuál de los tipos de café dirías que es el más rendidor?

El

CAFé

Misky, debido

A

que tiene menos merMA.

1) Menciona las estrategias que te fueron útiles para resolver este problema. CAMBIAR

LA

reprESENTACIÓN de los

DATOS, BUSCAR

rEGULARIDARes,

HACER

uso de

TABLAS

y

GRÁFICOS.

2) ¿En qué otros tipos de problemas puedes utilizar como estrategia un gráfico cartesiano? En

PROBLEMAS

donde se presente

ALGUNA

rELACIÓN entre dos

MAGNITUDES

diferentes.

3) José quiere hacer un envío de 450 kg de café Misky. ¿Cuántos kilos de café natural requerirá?

10/9 x 450 = 500 kg

4) En la cosecha del 2012, ha recogido 29 000 kg de café Muki. ¿Cuántos kilos de café procesado logrará obtener? 0,8 x 29 000 = 23 200 kg

36

Resolvamos 1

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MD

56

7/19/12 12:40 PM

El pequeño gran Hilario Aquella mañana, Hilario llegó al colegio a las 7:50 a. m. y, como todos los días, abrió su mochila para seleccionar las cosas que usaría en las primeras horas de clase; en ese instante, vio la bolsa de dulces. Era extraño, él no había comprado esas golosinas ni nadie se las había regalado; sin embargo, los dulces lucían tan apetitosos que abrió la bolsa y comió un caramelo amarillo. El sabor era muy parecido al del limón y a Hilario le gustó. Todo estaba bien hasta que de pronto, a los 4 minutos de haber comido el dulce, comenzó a crecer. Se asustó y corrió al baño a esconderse para que no lo vieran sus amigos. Había aumentado 28 cm. Seguía creciendo y creciendo a la misma velocidad y ya estaba temiendo que en unos minutos más llegara a tocar el techo del baño con su cabeza. Debía detener el crecimiento de algún modo, pero no sabía cómo. A las 8:20 a. m., Hilario ya tenía la altura del baño. Afortunadamente, se le ocurrió comer un dulce azul y entonces paró de crecer, pero comenzó a achicarse. Después de 4 minutos ya tenía 280 cm, y se fue achicando poco a poco. Ahora, el problema era otro: debía detenerse justo en su estatura original de 1,60 m. Buscó dentro de la bolsa de caramelos y halló un papel con unas extrañas instrucciones: “Si quieres detener el efecto de los dulces, debes gritar ¡checherebruka! en el momento que quieras detenerlo”. Felizmente, Hilario sabía resolver problemas matemáticos y pudo calcular la hora en la cual gritaría ¡checherebruka! Así lo hizo y se salvó. Ahora, cada vez que ve una bolsa de dulces, desaparece en el instante. Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades: 1) ¿Cómo creen que se relacionan las magnitudes tiempo y altura de Hilario, después de comer el caramelo amarillo? ¿son directa o inversamente proporcionales? Son dirECTAMENTE

PROPORCIONALES.

2) Después de 20 minutos de comer el dulce amarillo, ¿cuánto había crecido Hilario? 28 cm/4min = 7 cm/min, entonces

HABRÍA CRecido

5) Las magnitudes tiempo y altura de Hilario, después de comer el caramelo azul, ¿son directa o inversamente proporcionales o no tienen ninguna relación? Expliquen su razonamiento. En este

CASO,

AL

AUMENTAR

HILARio disminuye; sin

el tiempo,

EMBARgo,

lo

HACE

por lo que no podemos decir que

LA

ALTURA

en forMA

SEAN

de

LINEAL,

inverSAMENTE

PROPORCIONALES.

20 x 7 = 140 cm.

3) Completen la tabla para visualizar lo que ocurre con la altura de Hilario después de las 8:20 a. m.

6) ¿Cuántos centímetros por minuto disminuye Hilario, luego de comer el dulce azul? Disminuye 20 cm en 4 minutos, entonces

Tiempo desde que come el caramelo azul (min)

4

Altura de Hilario (cm) 28

8

12 16 20

24

28

56 84 112 140 168 196

disminuye 5 cm/min.

7) ¿Después de cuántos minutos de haber comido el caramelo azul debe gritar ¡checherebruka!?

4) Hilario mide 1,60 m de alto. Si comió el dulce amarillo a las 8:00 a. m., ¿cuál es la altura del baño? LA

ALTURA

del

BAÑO

Debe grITAR

DICHA PALABRA

después de 28 minutos.

es de 160 + 140 cm = 300 cm o 3 m.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con magnitudes que son proporcionales. Existen varios tipos de proporcionalidad, las más usuales son la directa y la inversa. La proporcionalidad tiene múltiples aplicaciones: reparto de ganancias y herencias, estimación de poblaciones, diseño de espacios, estimación de tiempo de trabajo, entre otros.

Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?

He colaborado de forma significativa.

Realicé aportes muy relevantes.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 57

57

Mi colaboración fue aceptable.

Debo mejorar.

Manual para el docente

37

7/19/12 12:40 PM

Actividad

7

Fracciones de realidad

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Presente a sus estudiantes diversas situaciones que requieran el uso de fracciones, como la distribución de un pastel, las relaciones entre dos unidades, la proporcionalidad, etc. CAPACIDAD

Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con números naturales, enteros o racionales. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

Porcentaje Proporcionalidad directa Gráficos estadísticos

Organizando el presupuesto

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Fracciones

La tarea presenta un caso particular, en el que se observa la distribución del sueldo mensual de una persona en diversos rubros. Esto se representa mediante un diagrama circular. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran hacer cálculos en expresiones numéricas con racionales. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las diversas representaciones de las fracciones que resultan al dividir el presupuesto. En este caso, dado que las preguntas son directas, se propone realizar una lectura comprensiva y la elección de la operación aritmética correspondiente. Los estudiantes pueden tener dificultades al resolver las preguntas comparativas y aquellas en las que la cantidad se transforma en etapas. Una representación gráfica puede ayudar a comprender mejor las preguntas 4 y 11.

Vayamos por partes

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis?

Aquí se presenta una situación cotidiana en la que una cantidad de dinero sufre cambios durante el desarrollo del problema. La cantidad inicial es el sueldo de Arturo. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran cálculos en expresiones numéricas con números racionales. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la identificación del proceso de cambio de una magnitud. Tal identificación lleva a la representación de los cambios sufridos por esta cantidad mediante un diagrama de tiras. En este caso, se propone hacer un diagrama de tiras que represente el sueldo de Arturo.

Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

Se sugiere proponer tareas de investigación más allá del problema, relacionadas, por ejemplo, con otras fórmulas de la antropometría, rama que estudia las longitudes en el cuerpo humano. Por otro lado, analizar datos de nuestro gigante Margarito Machaguay, en función de las ecuaciones dadas, permitiría comprender que estas son solo una aproximación y que no son exactas cuando se habla de un caso particular. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia empleada y transferir lo aprendido a una situación de estructura similar. Además, deberán identificar las características de un problema que puede resolverse mediante la estrategia aquí utilizada.

Resolvamos 1

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MD

58

7/19/12 12:40 PM

T3

Una aventura espacial

Descripción de la actividad Intención pedagógica

La tarea presenta un problema de móviles que involucra el uso de fracciones. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran modelar situaciones dinámicas en las que se emplean fracciones.

¿A qué poner énfasis?

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la posibilidad de representar la situación gráficamente para resolverla.

Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, se propone hacer un diagrama lineal que también es analógico, pues representa los hechos y los personajes del contexto del problema en forma semejante a la situación planteada.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades para entender el problema, pues el texto es complejo. Las preguntas de la primera fase pueden ayudarlo en su comprensión.

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y explorar diversas vías de solución.

Unas productivas vacaciones

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades Más allá del problema

La tarea presenta a tres personajes que realizan una actividad económica y que deben repartirse las ganancias de manera justa. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran utilizar argumentos matemáticos para tomar decisiones. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el reparto debe realizarse de una manera justa y objetiva. Para ello, los estudiantes deben identificar cuál es la magnitud que debe estar en relación directa con el pago de las ganancias de cada uno. En este caso, se propone la lectura analítica y elaborar una tabla para organizar y visualizar mejor la información. Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender qué es lo que se quiere decir con "justo". Para ayudarlos, el docente puede proveer de problemas auxiliares en los que ellos perciban la lógica de un reparto proporcional a la ganancia que producen para el negocio. Se les puede proponer tareas de investigación, como, por ejemplo, resolver el problema mediante una hoja de cálculo Excel.

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Manual para el docente

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7 Organizando el presupuesto Fernando lleva las cuentas de manera muy organizada, por ello gusta de usar tablas y gráficos matemáticos para poder tomar decisiones claras y con fundamento. Él ha dividido su sueldo en 5 rubros y ha elaborado el diagrama circular que se muestra a continuación:

Alimentación

S/.300

S/.350

Servicios Transporte

S/.200

Salud

S/.250

Entretenimiento

S/.100

1) ¿Cuánto gasta en entretenimiento? GASTA S/.300. 2) ¿Cuánto gasta en alimentación? GASTA S/.350. 3) ¿Cuánto gasta en total? GASTA S/.1200. 4) ¿Cuánto, más que en transporte, gasta en servicios? GASTA S/.150 5) ¿Qué fracción de su sueldo gasta en alimentación? LA

FRACCIÓN

MÁS

en servicios que en

TRANSPORte.

es 350/1200 = 7/24

6) Con respeto a esta fracción, completa el siguiente cuadro:

7) Por cada S/.100 de sueldo, ¿cuánto gasta en salud? 8) ¿Qué porcentaje de su sueldo gasta en salud?

Por

Gasto en alimentación

Presupuesto

Fracción

350

1200

350/1200

175

600

175/600

35

120

35/120

CADA

GASTA un

S/.100

PORCENTAJE

GASTA

S/.16,67 en

SALUD.

de 16,67 %.

9) Si Fernando desea gastar las 3/8 partes de su sueldo en salud, ¿cuánto deberá gastar en ello? DEBERÁ 10) ¿Qué fracción de su sueldo gasta entre servicios y alimentación? LA

MITAD

GASTAR

S/.450.

de su sueldo.

11) ¿Qué fracción gasta en otros rubros? GASTA 1/2 en otros rubros. 12) Reflexiona y explica, ¿qué relación hay entre las regiones del gráfico y su representación como fracción? L A fRACCIÓN reprESENTA UNA PAR te del todo que ESTÁ exprESADA en el grÁfico.

13) Fernando ha recibido un aumento de S/.300. Él quiere dedicar las 2/5 partes de su aumento a entretenimiento y el resto a servicios. ¿Qué fracción de su sueldo será ahora dedicada a cada uno de estos rubros? Servicios = 430/1500 = 43/150 Entretenimiento = 120/1500 = 2/25

38

Resolvamos 1

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60

7/19/12 12:40 PM

El Sr. Arturo Cárdenas trabaja para una empresa agrícola. Después de cobrar su sueldo mensual, fue a su casa y le dio 2/5 de su sueldo a su esposa; luego salió en la tarde y gastó la mitad del resto en ocho libros de relatos para sus hijos. Ahora le quedan S/. 300. ¿Cuánto es el sueldo mensual del Sr. Cárdenas?

Entregó los 2/5 de su sueldo

1) ¿Qué ha hecho el señor Cárdenas con su sueldo? rELATOS

PARA

sus hijos,

GASTÓ LA MITAD

A

su

ESPOSA

y, en 8 libros de

de lo que le quedó.

2) ¿Qué es lo que varía en el tiempo? Lo que le 3) ¿Qué es lo que te piden? CALCULAR el sueldo

QUEDA

de su sueldo.

MENSUAL

del Sr. CÁRDENAS.

4) ¿Todos los datos numéricos sirven para resolver este problema? Sí, todos los

DATOS

sirven

PARA

resolver el

PROBLEMA.

1) ¿Con qué tipo de diagrama puedes representar los repartos del Sr. Cárdenas? b) Diagrama de tiras O

a) Diagrama de Venn

c) Tabla de doble entrada

1) Si esta tira representa el sueldo del Sr. Cárdenas, sombrea lo que él le dio a su esposa.

2) Dibuja una tira debajo de lo que falta por repartir. ¿Qué parte dedicó Cárdenas a los libros de relatos? Sombrea esa parte.

3) La parte no sombreada corresponde a la cantidad que le quedó al Sr. Cárdenas. ¿Cuántos nuevos soles representa la parte no sombreada? LA

PAR te

1) ¿Cómo puedes comprobar que tu resultado es correcto? En el GRÁFICO puedo en el ENUNCIADO.

COMPROBAR LAS fRACCIONES MENCIONADAS

2) Aquí se ha utilizado un diagrama de tiras, con el cual se representaron los dos estados del problema: primero, el reparto a la esposa, y luego, el gasto en los libros. Este método es muy útil para resolver problemas aritméticos. A continuación, completa la solución de un problema similar al estudiado. Problema: La Srta. Micaela Huamán ingresó a un restaurante, gastó la mitad de lo que tenía y dejó S/.3 de propina. Luego visitó una heladería, allí gastó la mitad de lo que le quedaba y dejó S/.2 de propina. Al salir, contó lo que le sobraba: S/.20. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente? Solución:

no sombrEADA reprESENTA S/.300.

47

4) Completa el diagrama con los números adecuados. 200

200

200 300

200

44

3 22

200 MICAELA HUAMÁN

300

TENÍA

S/.94,

2

20

INICIALMENTE.

5) ¿Cuánto es el sueldo mensual del Sr. Cárdenas? El sueldo

MENSUAL

es S/.1000.

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Manual para el docente

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7/19/12 12:40 PM

La nave azul sale del planeta Azul con rumbo al planeta Rojo. Al mismo tiempo, la nave roja, un poco más lenta que la azul, sale del planeta Rojo con rumbo al planeta Azul. Cuando se cruzan en el camino, la nave azul ha recorrido 1/5 más de la distancia entre los dos planetas que la nave roja. Después de este punto, la nave azul tarda 8 días en llegar a su destino. ¿Cuánto tiempo duró el viaje de la nave azul?

1) ¿Quiénes participan en esta historia?

LA

NAVE AZUL

2) ¿Cuál es el estado inicial de los participantes? 3) ¿Cuál es el estado final de los participantes?

LA

y

LA NAVE ROJA.

en el

NAVE AZUL ESTÁ

NAVE AZUL ESTÁ

en el

PLANETA

PLANETA

Azul y

Rojo y

LA NAVE ROJA,

LA NAVE ROJA,

en el

en el

Rojo. LA

PLANETA

PLANETA

Azul.

4) ¿En qué sentido viajan las naves? VAN en sentido opuesto. 5) ¿Qué es lo que te piden averiguar?

CUÁNTO tiempo duró el

VIAJE

de

CADA NAVE.

1) Un dibujo de la situación puede resultar muy útil. Recuerda que las naves viajan una al encuentro de la otra. ¿Cómo podrías representar el viaje? MEDIANTE un DIAGRAMA LINEAL.

1) Haz un diagrama lineal que represente el planeta azul, el planeta rojo y la distancia en línea recta entre ellos. Ahora divide esta distancia en 5 partes iguales. ¿Cómo llamarías a cada una de esas partes?

3) ¿Cuántos quintos del camino total recorrió la nave azul hasta el momento que se cruzó con la nave roja? Recorrió 3/5 del

CAMINO TOTAL.

4) ¿Cuántos le faltan por recorrer? Le fALTA recorrer los 2/5.

5) Si en lo que le falta por recorrer tarda ocho días, ¿en cuántos días recorre 1/5 del camino? Como en 2/5 LAS

LLAMARÍA

1/5 de

LA DISTANCIA

entre los dos

TARDA

8

DÍAS,

en 1/5

DEMORARÁ

4

DÍAS.

6) Entonces, ya puedes contestar cuánto tiempo tarda en recorrer el camino total, es decir, los 5/5.

PLANETAS.

2) Señala, en tu diagrama, el punto en el que se encuentran las naves. Recuerda que la nave azul ha recorrido 1/5 más del camino que la roja.

TARDA 20

1) ¿Cómo puedes comprobar que tus resultados son correctos? Se puede

DÍAS.

COMPROBAR HACIENDO

un

DIAGRAMA.

2) ¿Cuál sería el resultado si, al encontrarse las naves, la azul hubiera recorrido 3/7 más de la distancia entre los dos planetas que la nave roja? Si

DÍAS.

40

recorrido 5/7 de LA DISTANCIA SERÍAN 7 x 4 DÍAS = 28 DÍAS.

LA NAVE AZUL HUBIERA

Luego, en

TOTAL

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 62

TOTAL,

MD

le

FALTARÍAN

8

DÍAS PARA

recorrer 2/7, por lo que en 1/7

SERÍAN

4

62

7/19/12 12:40 PM

Unas productivas vacaciones Cuatro amigos trabajaron durante las vacaciones del verano pasado: por las mañanas, vendiendo raspadillas de cuatro sabores, y por las tardes, empanadas de cinco sabores. Antes de empezar el verano, se pusieron de acuerdo para repartirse las ganancias en partes iguales. Así, designaron a Julia como contadora del grupo y convinieron en que ella debía llenar el formato que se muestra. Al final de cada semana, juntaban las ganancias de los cuatro y las repartían equitativamente. Con los datos que aparecen en el cuadro siguiente, ¿puedes decir si el reparto fue justo para cada uno de ellos? Ventas de raspadilla y empanadas Amigo

Primera semana

Segunda semana

Tercera semana

Cuarta semana

Total

Ganancia producida (S/.)

Le tocó

Ganancia producida (S/.)

Le tocó

Ganancia producida (S/.)

Le tocó

Ganancia producida (S/.)

Le tocó

Ganancia producida (S/.)

Le tocó

Carlos

27

90/4

30

99/4

25

81/4

22

75/4

104

345/4

Julia

18

90/4

28

99/4

16

81/4

18

75/4

80

345/4

Diego

20

90/4

17

99/4

25

81/4

15

75/4

77

345/4

Rosa

25

90/4

24

99/4

15

81/4

20

75/4

84

345/4

TOTAL

90

90/4

99

99/4

81

81/4

75

75/4

345

345/4

Reparto

99/4

90/4

81/4

75/4

345/4

Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades y resuelvan el problema: 1) En el cuadro, cada columna indica las ganancias de la semana. Calculen la ganancia total en cada una de las semanas que trabajaron los cuatro amigos. 2) Para que el reparto sea equitativo, ¿en cuántas partes iguales se deben dividir las ganancias de cada semana? ¿Qué fracción de la ganancia le tocó a cada amigo? Escriban sus respuestas en el renglón de reparto del cuadro, como se muestra en la primera columna. Se debe rEPAR tir en 4 PAR tes IGUALES, con lo que AMIGO le corresponde ¼ de LA GANANCIA.

A CADA

3) Lo que le tocó a cada amigo está escrito en forma de fracción y debemos compararlo con lo que realmente ganó cada uno en la semana. ¿Se les ocurre cómo realizar la comparación? Al exprESAR DENOMINADOR

LAS GANANCIAS

4, podemos

rEALES en fRACCIONES con los NUMERADORes.

COMPARAR

4) En la primera semana, a cada amigo le tocó 90/4, es decir, la ganancia total de la semana dividida entre cuatro. En la segunda parte de cada casilla del cuadro, escriban el reparto correspondiente y compárenlo con la ganancia real de cada amigo. En la primera semana, ¿quiénes recibieron más de lo que en realidad ganaron? ¿Quiénes recibieron menos? JULIA y Diego recibieron MÁS de lo que en rEALIDAD GANARON. CARlos y ROSA recibieron menos de lo rEALMENTE GANADO.

5) Sumando las ganancias y los repartos de las cuatro semanas, ¿quiénes recibieron más de lo que ganaron? ¿Quiénes recibieron menos? JULIA, Diego y ROSA recibieron MÁS de lo que en rEALIDAD GANARON. CARlos fue el único que perdió, pues recibió menos de lo que GANÓ.

6) ¿Fue justo el reparto?El rEPARto no fue justo PARA ninguno y perJUDICIAL PARA CARlos. Hubiese sido justo HACER un rEPARto PROPORCIONAL A LAS GANANCIAS OBTENIDAS.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con las fracciones y sus operaciones. Estos números y sus propiedades son útiles en actividades comerciales como: repartir ganancias, medir tiempos de trabajo, hacer presupuestos, entre otras.

Autoevaluación ¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?

Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.

Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.

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63

En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.

Se debieron generar espacios de participación.

Manual para el docente

41

7/19/12 12:40 PM

Actividad

8

Porcentajes que ponen y quitan

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes la gran utilidad y ubicuidad de los porcentajes en las actividades cotidianas. Para demostrarlo, tome, por ejemplo, un periódico donde haya avisos que contengan porcentajes. Casi todas las ofertas utilizan el tanto por ciento y, en algunos casos, se aprovechan del escaso manejo que el consumidor tiene de este tipo de información para plantear ofertas que, al analizarlas, no cumplen plenamente con el beneficio esperado. CAPACIDAD

Resuelve problemas de traducción simple y compleja de proporcionalidad directa e inversa (porcentaje). CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

Proporcionalidad directa Razones y proporciones Operaciones con decimales

Las ofertas del día

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Porcentaje

La tarea presenta un tarifario con precios en nuevos soles. A partir de él, se solicitan varios precios con distintos tipos de descuento. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren estimar porcentajes y calcular descuentos de varias maneras. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el porcentaje es solo una forma de escribir un número decimal o una fracción. También hay que hacer reflexionar sobre las muchas maneras de calcular un por centaje y un descuento directamente, a partir del monto base. En este caso, se propone el uso de procedimientos de modelación directos, pues la situación así lo amerita. Los estudiantes pueden tener dificultades al resolver la pregunta 9. El docente puede ayudar a la comprensión del problema, formulando interrogantes más directas y estableciendo submetas en cada una de las partes de la situación planteada. Para contestar esta pregunta, se le puede sugerir al estudiante que organice los cálculos en dos etapas: con la oferta anterior y con la nueva. En ambos casos, deberá obtener los precios finales para poder decidir cuál de las ofertas es la más ventajosa.

La pequeña vendedora

Descripción de la actividad Intención pedagógica

La tarea muestra una situación de contexto comercial que involucra el cálculo del porcentaje y conceptos como el precio de costo y el precio de venta. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren el cálculo de porcentajes, en los cuales hay que realizar aumentos o descuentos sucesivos y, además, utilizar diagramas de flujo.

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el estudiante se dé cuenta de que solo hay una cantidad que cambia a lo largo de la historia: el precio del poncho. Este sufre transformaciones debido a los incrementos por ganancia y descuento final pactados en la ¿A qué poner venta. Asimismo, se debe asegurar que el estudiante comprenda la diferencia existente entre énfasis? el precio de costo, precio de lista (oficial) y precio de venta (real). Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, se propone particularizar la situación dando un precio base ficticio, al que se le han aplicado las trasformaciones narradas en el texto. Para organizar este proceso, se plantea emplear un diagrama de flujo, con el fin de visualizar la situación en cualquiera de los momentos y reconstruir los hechos, si lo que se tiene es solo el precio final.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al elegir un precio ficticio para trabajar el problema. Asimismo, muchos de ellos piensan que la respuesta dependerá de ese precio inicial. Para eliminar esta creencia, el docente puede hacer que experimenten con distintos precios base, a fin de verificar que el resultado final es único.

Resolvamos 1

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7/19/12 12:40 PM

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T3

Los estudiantes reflexionarán sobre la estructura del problema y buscarán darle solución a una versión de este, en el que se han realizado varias modificaciones. Esto es bueno, pues ayuda a fijar el tipo de estructura del problema que puede resolverse mediante esta estrategia.

¡Qué gran descuento!

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

La tarea muestra un típico ejemplo de publicidad engañosa. Se presenta un tipo de descuento sucesivo, pero la forma de presentarlo hace que el consumidor piense que el descuento es mayor. Con esta tarea, se espera que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas de traducción simple que implican el análisis de descuentos con porcentajes sucesivos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las razones por las que se elige un número base para realizar los experimentos. Los estudiantes deben notar que, al margen de cuál sea el precio inicial, el porcentaje será el mismo; por ello, tomamos el precio base más sencillo de trabajar que es 100. En este caso, se propone particularizar la situación y realizar un experimento numérico. Para ello, se asume un valor inicial y se le aplica el proceso señalado en el texto. Luego, se analizan los resultados para tomar decisiones. Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender por qué deben elegir un ejemplo. Algunos de ellos pueden pensar que al problema le faltan datos, pues no indica el precio inicial. Otros creerán que la respuesta varía dependiendo del precio del producto. Es bueno que el docente haga que estos estudiantes experimenten con varios números base para que se convenzan de que el porcentaje al final es el mismo.

Los estudiantes deberán reflexionar sobre la elección de la cantidad inicial. Además, pueden extrapolar sus métodos a otros problemas que contengan, por ejemplo, dos aumentos sucesivos En la sección (inflación mensual), un aumento y un descuento (pago con descuento e impuesto a la vez) o Sácale el jugo a tu experiencia situaciones con tres descuentos consecutivos. Existe una fórmula para hallar el equivalente a dos descuentos sucesivos: De = D1 + D2 - D1.D2/100, estando De, D1 y D2 en porcentaje. Puede usted demostrar la fórmula.

T4

Comprar y vender sin perder

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades Más allá del problema

La tarea muestra una actividad de contexto comercial que demanda el cálculo de porcentajes y el uso de conceptos como ganancia y pérdida. Adicionalmente, demanda suponer la cantidad de polos y el precio de venta de cada uno de ellos. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren desarrollar un manejo fluido del cálculo de porcentajes y que, de ser necesario, puedan ser capaces de asumir cantidades o precios. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la necesidad de asumir ciertos datos para este problema, como la cantidad de polos y el precio de venta de cada polo. Ello con el objetivo de responder a la pregunta planteada. En este caso, se propone descomponer el problema en partes para identificar la información relevante. Además, se plantea hacer uso de tablas, a partir de las cuales se establecen las relaciones necesarias entre las variables que intervienen. Los estudiantes pueden encontrar dificultades al enfrentarse a una situación problemática donde no conocen toda la información, referida a la cantidad de polos o al precio de cada polo. Es importante que el docente reflexione con sus estudiantes sobre lo indiferente que resultan los valores que se asuman para la cantidad y el precio de los polos, pues en cualquier caso se determinaría siempre la misma respuesta.

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65

Manual para el docente

7/19/12 12:40 PM

8 Las ofertas del día Los comerciantes de la “Feria Escolar 28 de Julio” acordaron realizar algunas ofertas para atraer a más clientes. El tarifario de descuentos acordado se muestra aquí.

Artículo

Precio (S/.)

Descuento

Camisa

45

20 %

Pantalón

75

30 %

Chompa

52

20 %

Zapatos

85

12 %

Casaca

80

40 %

Pares de medias

12

15 %

Mochila

48

10 %

1) ¿Cuántos nuevos soles se descuentan por cada camisa? Se

DESCUENTAN

7) Un vendedor, para conocer el precio descontado de la casaca, en lugar de calcular el descuento en nuevos soles y luego restar, solo calcula el 60 % del precio inicial. ¿Estará haciendo bien? Explica. Sí, es correcto, pues AL CALCULAR el 60 %

S/.9.

2) ¿Cuál es el precio final de una camisa? El precio fINAL de

UNA CAMISA

HA

es S/.36.

3) ¿En qué artículo se obtiene el mayor descuento en nuevos soles: en la camisa o en la chompa? En LA CHOMPA se obtiene el soles (S/.10,40).

MAYOR

PORCENTUAL.

AR tículos

Artículos

de un

PAR

de

ZAPATOS

3 pantalones

157,50

6 pares de medias

61,20 149,60

El precio FINAL es S/.440,30.

es de

9) La tienda ha cambiado la oferta de la casaca por otra promoción, que te da la segunda casaca a mitad de precio. ¿Cuál de las dos promociones es más ventajosa?

6) Reflexiona y responde, los problemas presentados están relacionados con porcentajes. ¿Qué fracción del precio original de la casaca equivale al porcentaje del descuento? FRACCIÓN

72,00

2 pares de zapatos

12 %.

LA

Precio (S/.)

2 camisas

se obtiene el mismo descuento

PORCENTUAL

100 % el 40 %.

descuento en nuevos

5) ¿Cuál es el descuento porcentual de un par de zapatos? El descuento

A

8) Halla el precio final de la siguiente compra:

4) ¿En qué artículo se obtiene el mayor descuento porcentual: en la camisa o en la chompa? En los dos

rESTADO

es 40/100 = 2/5.

INICIALMENTE se PAGA S/.96. Con LA NUEVA promoción se PAGARÁ S/.120. Entonces, LA promoción orIGINAL es LA que MÁS conviene.

10) Con lo que ahorres en la compra de media docena de chompas, ¿cuántas camisas puedes comprar? Ahorro MEDIA DOCENA de CHOMPAS: S/.62,40. Precio de 1 CAMISA: S/.45. Con descuento: S/.36. Entonces

42

Resolvamos 1

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ALCANZA PARA COMPRAR

1

CAMISA

y

SOBRA

S/.26.40.

66

7/19/12 12:40 PM

La pequeña vendedora Isabel ayuda a su tía los fines de semana, en una feria de artesanías. El último sábado, Isabel observó que el precio de venta de un poncho es un 30 % más que su precio de costo. Sin embargo, al venderlo, ella tuvo que rebajar el precio de venta en un 10 %. ¿Qué porcentaje del costo se ganó?

1) ¿Qué se dice del poncho?

1) ¿Qué cambia a lo largo de la historia?

Se inforMA sobre el precio de MÁS que su precio de costo.

VENTA,

que es un 30 %

El precio de

VENTA.

2) Completa con las palabras adecuadas:

2) ¿Qué hace Isabel al venderlo? HACE un descuento del 10 % sobre el precio de

Podemos seguir la pista al precio del poncho. Como no tenemos el precio de costo , podemos suponer un precio de costo inicial de S/.100.

VENTA.

3) Si el precio de costo fuese de 100, ¿cuál sería el precio de venta? S/.130.

3) ¿Qué solicita el problema? HALLAR el

4) ¿El 10 % de rebaja se hace sobre el precio de costo o sobre el precio de venta? Sobre el precio de VENTA.

PORCENTAJE

del costo que

GANÓ.

1) Imagina que el poncho tiene un precio de costo de S/.100 y completa el siguiente diagrama: Precio de costo 100

Precio de lista + 30 %

130

Precio de venta - 10 %

117

2) ¿De cuánto es el porcentaje del precio de costo que se ganó? 117 PC - 100 PC = 17 % PC

1) ¿Qué te ayudó a resolver este problema? OrGANIZAR LA inforMACIÓN en un GRÁFico. 2) ¿Cambiará la respuesta si, en lugar de suponer inicialmente un precio de S/.100, presumes S/.20? ¿Y si supones S/.40? ¿Qué conclusiones obtienes a partir de estas observaciones? Se puede suponer CUALQUIER precio, pero AL UTILIZAR 100 obtenemos dirECTAMENTE los

PORCENTAJES fINALES.

3) ¿Cómo cambiaría el problema si, en lugar de rebajar 10 %, se hubiera rebajado 20 %?

El precio FINAL hubiese sido S/.104.

4) Redacta el problema inicial, pero sin usar porcentajes; en su lugar, utiliza fracciones. ISABEL AYUDA A su TÍA en UNA ferIA de ARTESANÍAS los fines de SEMANA. Este lunes ISABEL observó que el precio de VENTA de un poncho es un 3/10 MÁS que su precio de costo. Sin EMBARgo, AL venderlo, ELLA tuvo que rEBAJAR en 1/10 el precio de VENTA. ¿Qué PORCENTAJE del costo se GANÓ?

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67

Manual para el docente

43

7/19/12 12:41 PM

¡Qué gran descuento! El dueño de la bodega del barrio, el cajamarquino Carlos Meneses, ha ideado un plan para atraer a los clientes. Con una tarjeta de 20 % + 20 % de descuento, los clientes asisten pensando que la rebaja es de 40 %. ¿Qué piensan ustedes? ¿Están en lo cierto?

1) ¿Qué desea conseguir Carlos Meneses? ATRAER clientes. 2) ¿Por qué crees que elige escribir el descuento de esa manera y no con un solo valor? PARA que

PAREZCA

que el descuento

TOTAL

es 40 %.

1) Plantea algunos ejemplos que te permitan describir casos de a % + a %. Ejemplos A CARgo del ESTUDIANTE.

2) ¿Crees que dar ejemplos es una buena opción para estudiar este caso?

3) ¿Qué significa un descuento de 20 % + 20 %? DESCONTAR 20 % del precio y luego el 20% de lo que QUEDA.

Sí, es UNA

BUENA OPCIÓN PARA COMPRender

el PROBLEMA.

4) ¿Qué te solicita el problema? SABER qué

PIENSAN

los clientes de

LA

rEBAJA.

1) Completa el diagrama mostrado, con tres ejemplos de precios: Precio luego del 1.er descuento

Precio supuesto Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

200

-20 %

100

-20 %

50

-20 %

Ejemplo 3:

160

Precio luego del 2.° descuento -20 %

-20 %

80

40

-20 %

2) En los casos observados, ¿qué porcentaje del precio inicial es el descuento? 3) ¿Tenían razón los compradores? No

Descuento total

128

72

64

Descuento total

32

Descuento total

36

18

Es 36 % del precio

INICIAL.

TENÍAN RAZÓN.

4) ¿El descuento fue de 40 % o es menor? El descuento fue menor.

1) ¿Cuál es la estrategia empleada? LA

ESTRATEGIA EMPLEADA

es el uso del

DIAGRAMA PARA

reprESENTAR los descuentos sucesivos en

2) ¿Cuál crees que es la mejor cantidad para tomarla de ejemplo inicial? LA mejor

CANTIDAD

LA BÚSQUEDA

de un

PATRÓN.

es 100.

3) Si la tarjeta hubiese sido de 20 % + 10 %, ¿cuál habría sido el descuento? HABRÍA sido 28 %. 4) Y si hubiese sido de 10 % + 20 %, ¿cuál habría sido el descuento? 44

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 68

MD

TAMBIÉN hubiese sido 28 %.

68

7/19/12 12:41 PM

Comprar y vender sin perder Hay épocas del año en que las ventas de un comerciante están sujetas a cambios e imprevistos que le obligan a vender perdiendo algunas veces para ganar en otras; pero lo importante al final es que al menos recupere lo que invirtió en su mercadería. Lean con atención este caso: Samuel Regalado compró un lote de polos de verano. Primero vendió el 20 % de su mercancía con una rebaja del 30 % respecto al costo, luego vendió el 40 % de la mercadería con una rebaja del 10 % y otro 10 % del mismo lote con una rebaja del 20 %. Hasta aquí solo ha vendido con pérdidas, pero debe recuperar al menos lo que ha invertido en la compra de los polos y para esto decide vender el resto del lote ganando. ¿Qué porcentaje debe ganar al vender el resto para que al final recupere sus costos? Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades y resuelvan el problema: 1) En el enunciado del problema, ¿se indican cantidades para el Cantidad número de polos y para el costo de cada uno? a 1. venta 20 No. Como 100 %.

3) Asumiendo que se compró N polos a p soles cada uno, podemos resolver el caso; si se asignan valores a estas variables y se sigue el proceso indicado, el resultado no cambia. Entonces, asignen estos valores: N = 100. Completen: 20 % N = 20

2.a venta

40 % N = 40

3.a venta

10 % N = 10

4.a venta

30 % N = 30

7

140

40

9

360

3. venta

10

8

80

4.a venta

30

q

W

7) Expliquen cómo calcularían q y W. Primero se CALCULA el dinero invertido: 100 x 10 = 1000 soles. Luego, lo que fALTA: 1000 – (140 + 360 + 80) = 420 = W Como W es el producto de 30 por q, se deduce que:

Cantidad de polos 1.a venta

q = 420/30 = 14.

8) ¿Qué porcentaje debe ganar al vender el resto para que al final recupere su inversión? Como debe vender A 14 lo que le costó 10, debe GANAR 4 por CADA 10 de inversión, es decir, 40 %

4) ¿Qué porcentaje de la mercancía falta vender? Expliquen cómo complementaron la cantidad de la 4.a venta. Como

YA

fALTABA

se

HABÍA VENDIDO

VENDER

Ingreso

2.a venta a

2) ¿Cómo se representa un total en porcentajes?

Precio unitario

20 % + 40 % + 10 % = 70 %,

30 %.

del precio de costo.

El problema se ha resuelto asignando ciertos valores a N y p. ¿Qué ocurre si se eligen otros valores? Explica. No

5) Para determinar el precio de cada polo en cada venta, consideren p = 10.

MÁS

9) Reflexionen sobre el proceso:

VARÍA

VENTA

el rESULTADO

debe vender

FINAL, IGUAL

GANANDO

se

OBTENDRÍA

que en

LA 4.ª

el 40 %.

10) ¿Cuál es la respuesta al problema?

Al 70 %p = 70 %(10) = 7

6) Completen el cuadro, excepto el precio unitario de la 4.a venta y el ingreso correspondiente.

Debe vender el 30 % del lote en 40 %

MÁS

del precio del

costo.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el porcentaje. El cálculo porcentual se aplica en numerosas actividades comerciales, como: los intereses, la publicidad y los avisos de ofertas, así como en actividades cotidianas de compra y venta.

Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?

Muy interesantes.

Interesantes.

MD

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69

Poco interesantes.

Nada interesantes.

Manual para el docente

45

7/19/12 12:41 PM

Actividad

9

El lenguaje de los números

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que cuando nos comunicamos en la vida cotidiana hacemos uso de expresiones matemáticas que relacionan números, como: “Tengo el doble de dinero que tú”, “tres artículos por el precio de uno”, entre otras. Lo mismo se presenta cuando en los noticieros escuchamos decir, por ejemplo; “La inflación se reducirá a la mitad este año”, “habrá más días de lluvia en febrero”, “el candidato obtuvo la quinta parte de todos los votos”, etc. Todas estas expresiones se refieren a valores numéricos, algunos conocidos y otros desconocidos. El lenguaje que utilizamos para relacionar los números es sumamente importante, pues es aceptado por todos con un mismo significado: si compras una revista de S/.8 y pagas con un billete de S/.10, todos saben que deben darte S/.2 de vuelto. Si este lenguaje no fuera universal, no se podría desarrollar el comercio y todo sería muy confuso. El lenguaje de los números es tan universal que algunos científicos suponen que si algún día alguna inteligencia exterior intenta comunicarse con nosotros, lo hará mediante números. CAPACIDAD

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran números naturales y sus operaciones básicas. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES

T1

Patrones numéricos Ecuaciones lineales Descomposición en factores primos

Adivina adivinador

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Números naturales Números racionales Expresiones numéricas

La tarea presenta un inventario de las pertenencias de cinco personas. Para brindar la información, se emplea una tabla de doble entrada, que es una de las formas convencionales de presentar un inventario. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de traducción simple que involucran ecuaciones lineales, así como la modelación de expresiones numéricas de forma particular y, en forma general, con símbolos algebraicos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la precisión del lenguaje utilizado y en sus grandes diferencias si existieran incluso pequeños cambios gramaticales. No es lo mismo decir “tiene el doble de bolitas amarillas” que “tiene dos veces más bolitas amarillas”, pues en esta última expresión se está hablando del triple. Tampoco es lo mismo “el doble de mis bolitas amarillas disminuido en 5” (donde primero se duplica y luego se resta 5) que “el doble de mis bolitas amarillas disminuidas en 5” (donde primero se resta 5 a las bolitas amarillas y luego se duplica). En este caso, se propone descomponer el problema en subproblemas mediante preguntas que deberán ser respondidas en función de la información proporcionada en la tabla. Los estudiantes pueden tener dificultades al realizar las simbolizaciones de las expresiones solicitadas. Un error típico es traducir mal algunos enunciados porque no se tiene en cuenta la precisión de los términos que conforman las diferentes proposiciones.

Ahorro es progreso

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

La tarea presenta un problema de traducción compleja que requiere la modelación mediante ecuaciones lineales o, en su defecto, un tratamiento intuitivo por medio de tablas numéricas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas de traducción compleja que implican cálculos con números, para lo cual los estudiantes deben utilizar la tabla numérica. Al desarrollar la tarea, se debe enfatizar que un mismo problema puede ser resuelto empleando diversas estrategias. En este caso, se propone el ensayo-error mediante la puesta a prueba de diversas combinaciones de mañanas soleadas con mañanas frías durante 20 días. El cálculo del presupuesto y la identificación de la combinación con los respectivos precios deben dar como resultado el monto ahorrado de S/. 244.

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 70

MD

70

7/19/12 12:41 PM

Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T3

Edades enigmáticas

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

Los estudiantes pueden tener dificultades en comprender adecuadamente el texto; esto se puede contrarestar mediante la experimentación con casos particulares. Las preguntas de la primera y segunda fases tienen este propósito. Los estudiantes deberán resolver el mismo problema utilizando otra modelación. Asimismo, se solicita la solución utilizando una ecuación lineal con una incógnita. De hecho, se puede resolver también con un sistema de ecuaciones, pero no es tema del grado.

La tarea presenta un enigma del tipo recreativo en forma de relato. En él participan dos personas que hablan de las edades de las hijas de uno de ellos. La motivación en este problema es intrínseca debido a su aparente imposibilidad de ser resuelto. Con esta tarea , se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas no rutinarios que impliquen conexiones entre conceptos numéricos (en este caso, la descomposición de números primos y las operaciones básicas de la aritmética) así como el razonamiento lógico. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en cómo se da la información. El dato aparentemente innecesario de que “la mayor se llama Alicia” no es interesante por el hecho del nombre, sino porque nos informa que hay una hija mayor, no hay dos mayores ni se trata de trillizas. En este caso, se propone el uso de diversas combinaciones de números, las cuales se organizan en una tabla que cumpla con la condición del problema. Los estudiantes pueden tener dificultades al comprender el texto y diseñar una estrategia de solución. Las preguntas de las fases uno y dos pretenden guiar y organizar su pensamiento. Errores típicos son no tomar en cuenta el hecho de que haya una sola hija mayor o no pensar en el caso posible de que dos hermanas sean mellizas. Los estudiantes deberán repasar críticamente todo el proceso de solución. Para los más avanzados, se puede solicitar que inventen problemas similares. Esto ayuda a fijar las estructuras, así como al dominio de las estrategias que se utilizaron para resolver el problema.

Hacer un presupuesto

Descripción de la actividad

Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades Más allá del problema

La tarea presenta, en un contexto comercial, el precio de ciertos productos de un establecimiento en cuatro rubros. En la actividad se debe responder a un conjunto de preguntas atendiendo a las restricciones planteadas en cada caso. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen analizar un caso a partir de las condiciones planteadas y la información extraída de la tabla. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las restricciones de cada una de las situaciones planteadas, así como en lo que implican, en el contexto del azar, casos favorables y casos desfavorables. En esta ocasión, se propone descomponer el problema en partes para responder a las situaciones problemáticas planteadas en la actividad. Los estudiantes pueden tener dificultades al analizar las situaciones favorables y desfavorables cuando los productos son elegidos al azar dentro de cada rubro. Es importante que el docente guíe a los estudiantes en este momento, a fin de evitar vacíos. El docente puede aprovechar estas preguntas para reforzar el concepto de azar y monitorear el proceso. De este modo, podrá detectar las dificultades desde el inicio y no recién al haber dado por concluido el problema.

MD

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71

Manual para el docente

7/19/12 12:41 PM

9 Adivina adivinador Jesús, Pablo, Consuelo, Irene y Tomás están jugando a las adivinanzas. Primero mezclaron una cantidad de bolitas de color rojo, azul, amarillo y verde. Luego, cada uno colocó en una bolsa una cantidad de ellas. Los resultados se muestran en la tabla adjunta. El juego consiste en decir una expresión y el compañero debe averiguar cuántas bolitas de determinado color tiene el que planteó la pregunta. Nombre

N.° rojas

N.° verdes

N.° amarillas

N.° azules

Jesús

8

11

9

12

Pablo

10

6

12

9

Consuelo

9

14

10

8

Irene

4

15

6

12

Tomás

15

8

13

8

1) ¿Quién puede decir: “El doble de mis bolitas amarillas disminuidas en 5 es igual a 7”? Irene. 2) Escribe, en forma algebraica, lo expresado por esa persona. Resuelve la ecuación, considerando lo que tiene como x. 2x - 5 = 7; x = 6

3) ¿Quién puede decir: “El triple de mis bolitas verdes aumentado en 11 es igual a 53”? Consuelo. 4) Escribe, en forma algebraica, lo expresado por esa segunda persona. Resuelve la ecuación, representando lo que tiene como y. 3y + 11 = 53; y =14

5) ¿Quién puede decir: “El cuádruple de mis bolitas azules es igual al doble de mis bolitas azules aumentado en 18”? PABLO. 6) Del planteamiento anterior, escribe en forma algebraica lo expresado por la tercera persona. Resuelve la ecuación, considerando lo que tiene como z. 4z = 2z + 18;

z =9

7) ¿Quién puede decir: “La mitad de mis bolitas verdes más el triple de ellas es igual a 28”? TOMÁS. 8) Escribe, en forma algebraica, lo expresado por esa cuarta persona. Recuerda: debes resolver la ecuación, considerando lo que tiene como t. t/2 + 3t = 28; t = 8 9) Reflexiona: ¿Qué se utiliza en común en los problemas antes planteados? Se EMPLEAN ECUACIONES LINEALES con UNA INCÓGNITA. 10) Inventa preguntas similares a las aquí formuladas y dáselas a un compañero para que las resuelva. RESPUESTA según lo

46

DESARROLLADO.

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 72

MD

72

7/19/12 12:41 PM

Ahorro es progreso Ramón reflexiona acerca de sus ahorros y sus gastos cotidianos. Él podría ahorrar S/.20 diarios, pero cada mañana soleada gasta S/.9 en helados y cada mañana fría gasta S/.6 en café. Ha ahorrado durante veinte días, reuniendo S/.244. ¿Cuántos días tomó café? (Solo hay mañanas frías o soleadas).

1) ¿Cuánto puede ahorrar diariamente si no gasta en nada? Puede

AHORRAR

S/.20

1) ¿Cuánto ahorraría en los veinte días si todas las mañanas fueran frías? AhorRARÍA 14 x 20 = S/.280.

DIARios.

2) ¿En cuánto disminuye este ahorro por cada mañana soleada? Disminuye en S/.3 DIARios.

2) ¿Cuánto ahorra en las mañanas soleadas? AhorRA 20 - 9 = S/.11.

3) ¿Cuánto ahorró realmente? Ahorró rEALMENTE S/. 244.

3) ¿Cuánto ahorra en las mañanas frías? AhorRA 20 - 6 = S/.14.

4) Entonces, ¿puedes suponer que todas las mañanas fueron frías y luego corregir? Sí se puede.

4) ¿Durante cuántos días ha ahorrado? HA

AHORRADO DURANTE

veinte

DÍAS.

5) ¿Cómo se organizará este cálculo? MEDIANTE UNATABLA.

5) ¿Qué es lo que te piden averiguar? El número de

DÍAS

que tomó

6) ¿Qué estrategia emplearías para hallar la solución al problema?EMPLEARÍA LA BÚSQUEDA de un PATRÓN A PARtir de

CAFÉ.

CASOS PARTICULARes.

1) Completa la tabla mostrada, hasta que descubras algún patrón. N.o de mañanas soleadas N. de mañanas frías o

Ahorro (S/.)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

280

277

274

271

268

265

262

259

256

253

250

247

244

2) Describe el patrón que has descubierto. El

AHORro

12

disminuye S/.3 en forMA CONSTANTE.

3) ¿Cuándo el ahorro es de S/.244? El AHORro es S/.244 CUANDO HAY 12 DÍAS SOLEADOS y 8 DÍAS fríos.

1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver este problema.

Construir UNA

TABLA, HACER

un TANTEO orGANIZADO e identifICAR

un PATRÓN.

2) ¿Se hubiese podido resolver el problema partiendo de que todas las mañanas eran soleadas? Explica. CANTIDAD AHORRADA,

si TODAS

LAS MAÑANAS

hubiesen sido SOLEADAS y SABIENDO que por

3) Resuelve el problema suponiendo que las 20 mañanas son soleadas. Completa la siguiente tabla:

o N. de mañanas frías Mañanas frías

Ahorro Ahorro

20 20

19 19

18

17

16

15

00

11

2

3

4

5

220 220 223 226 229 232 235

PLANTEO

SOLEADA:

x

MAÑANAS

LA ECUACIÓN:

FRÍAS:

20 - x

Ahorro: 244

11x +14(20 - x) = 244

Entonces x = 12 AHORro

DÍAS

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 73

el AHORro AUMENTA S/.3.

Ahorro: 11x + 14(20 - x)

El

MD

CONSIDERANDO LA

4) ¿Se pudo haber resuelto este problema mediante una ecuación? Sí. ¿Cómo? MAÑANA

o N. de mañanas soleadas Mañanas soleadas

CADA MAÑANA fRÍA

Sí,

73

es S/.244

CUANDO HAY

12

DÍAS SOLEADOS

y8

fríos.

Manual para el docente

47

7/19/12 12:41 PM

Edades enigmáticas Dos amigos de la infancia se encuentran en una céntrica calle y tienen la siguiente conversación: —¡Hola, Roberto!, a los años que te dejas ver, yo ya me casé y hasta tengo tres hijas. —¡Hola, Andrés! ¿Tres hijas? ¿Y qué edades tienen? —preguntó Roberto. —Esa respuesta, te la voy a plantear como un reto. Fíjate que el producto de sus edades es 36 y la suma es un número primo mayor que 11. Roberto pensó un momento y luego dijo: — Andrés, no puedo saber sus edades, me faltan datos. —¡Ah!, me olvidaba —contestó Andrés— la mayor se llama Alicia.

1) ¿Acerca de quiénes conversan Andrés y Roberto? ConverSAN

ACERCA

de

LAS HIJAS

1) ¿Las edades podrían ser 6 - 6 - 1? ¿Por qué?

de Andrés.

No, porque no cumple con LLAMA

2) ¿Qué se sabe de ellas? El producto de

LAS EDADES

número primo

MAYOR

MAYOR

se

LLAMA

es 36 y

que 11;

LA SUMA

ADEMÁS,

se

SABE

que

LA

ALICIA.

DATO

EDADES

de

LAS HIJAS

FACTORes.

3) ¿Cuáles son las edades de las hijas de Andrés? Fundamenta tu respuesta.

POSIBILIDADES: DESCARtó

es un número primo

MAYOR

6 - 6 - 1 y 9 - 2 -2. Al

que 11 y entonces

SABER

que solo

dos

HAY UNA MAYOR,

1) ¿En qué parte de las actividades de resolución del problema has tenido dificultad? LA rELEVANCIA

de LA inforMACIÓN

PROPORCIONADA.

2) ¿Cómo procediste para superar aquella dificultad? DeterMINANDO

LAS

posibles soluciones y

que no cumple con

LAS

condiciones del

DESCARTANDO AQUELLA PROBLEMA.

se

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 74

MD

Edades posibles

Suma de las edades

36 - 1 - 1

38

18 - 2 - 1

21

6 -6 -1

13

9 -4 -1

14

12 - 3 - 1

16

9 -2 -2

13

6 -3 -2

11

4 -3 -3

10

4) Utiliza esta estrategia para resolver el siguiente problema: Martín, José y Noelia, que son mayores de edad, no quieren revelar las edades de cada uno y prefieren que las deduzcas. Ellos señalan que el producto de sus años es 10 350. ¿Puedes determinar sus edades si Martín es el menor y José es el mayor? USANDO ESTA ESTRATEGIA y SABIENDO que son MAYORes

3) Describe las estrategias que has empleado para resolver el problema. Construir UNA LISTASISTEMÁTICA y UNATABLA. 48

TENÍA

6 - 6 - 1.

En deterMINAR

es

4) ¿Cómo organizarías esta información? a) Mediante un diagrama de Venn. b) Mediante un gráfico cartesiano. c) Mediante una tabla.

2) Organiza los factores en la tabla que se encuentra a la derecha.

LA SUMA

ELLAS

Sí es posible. Debo descomponer 36 en tres fACTORes.

de Andrés.

Como un producto de tres

Porque

de

se

2) ¿Qué otras edades podrían ser? Da dos ejemplos.

1) ¿Como producto de cuántos factores debes escribir 36?

Son 9-2-2.

UNA

LA MAYOR.

MAYOR

3) ¿Puedes hacer una lista de las posibles edades?

es irrELEVANTE.

4) ¿Qué desea averiguar Roberto? LAS

“LA

PUDIERAN ser 9 - 4 - 1. TAMBIÉN 12 - 3 - 1.

3) ¿Qué dato planteado en el problema es irrelevante? Ningún

ALICIA” que nos inforMA que solo

prECISAMENTE

es un

LA CONDICIÓN

de

LAS EDADES

José = 25.

EDAD,

es decir, que tienen 18

AÑOS

o

MÁS,

rESPECTIVAS son: MAR tín = 18, NOELIA = 23 y

74

7/19/12 12:41 PM

Hacer un presupuesto La señora Victoria va de compras. En el establecimiento donde suele comprar, los productos se venden empaquetados y los precios por paquete figuran en esta lista. Frutas

Pan y cereales

Fresas

S/.8,20 Pan

Manzanas

S/.4,20

S/.11,50 Quinua

Peras

S/.12,50

S/.5,00 Cereal Lácteos

S/.6,60 Embutidos

Leche

S/.7,50 Jamón ahumado

S/.9,90

Queso

S/.9,60 Jamón inglés

S/.9,90

Yogur

S/.2,80 Queso mozzarella

S/.4,40

Ella dispone de S/.30.

Con tus compañeros, realicen las actividades siguientes y recomienden a la señora Victoria qué comprar en cada una de las posibles situaciones que se presentan. 1) ¿Cuánto es lo máximo que puede gastar en cada grupo de alimentos si gasta lo mismo en cada uno? 30 / 4 = 7,50. Lo

MÁXimo.

es S/.7,50.

2) Si compra un paquete de manzanas y otro de quinua, ¿qué tipo de lácteos podría comprar con el saldo? Solo yogur.

3) La señora Victoria recuerda que tiene fruta en casa, ¿cuánto podría gastar en cada uno de los otros grupos si gasta lo mismo en cada uno? PODRÍA

GASTAR

30 / 3 = 10,00.

PAN,

leche y

ATÚN.

5) Si lleva jamón ahumado, cereal y leche, el dinero restante ¿le alcanza para comprar fruta? ¿Qué podría comprar en ese grupo? Sí, le

SOBRA

30 – 24 = 6. PODRÍA

HABRÍA

GASTADO

COMPRAR: PERAS

y

PAN

Siendo los productos

o

PERAS

y queso

PODRÍA

MOZZARELLA.

MÁS BARATOS,

SOBRARÍA

el

GASTO SERÍA

S/.13,60.

8) Completen esta situación. La señora Victoria elige un producto al azar de cada grupo y se acerca a pagar, ¿podría faltarle dinero? De ser así, expliquen lo peor que le puede ocurrir. Sí,

PODRÍA fALTARle

INCLUYERA

dinero. Lo peor

los productos

TOTAL SUMARÍA

COMPRAR PERAS.

S/.19,90; y con los S/.10,10 rESTANTES

7) Reflexionen sobre este caso. La señora Victoria elige un producto al azar de cada grupo y se acerca a pagar, ¿tendrá el dinero suficiente? Si tuviera un saldo favorable, ¿cuánto dinero le podría sobrar? S/.16,40 y le

4) Muestren una posible lista de compras que incluya al menos un producto de cada grupo. FrESAS,

6) Si decide comprar primero cada uno de los productos del grupo lácteos, ¿podría comprar dos productos más de cualquiera de los otros grupos? Indiquen alguna opción.

MÁS CAROS

S/.43,50,

FALTÁNDOLE

SERÍA

de

que su elección

CADA

grupo, cuyo

S/.13,50.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números. Estos están presentes, en el día a día, de diversas formas: enteros, decimales, fracciones. Los números me sirven para comunicarme y, además, me ayudan a tomar las mejores decisiones.

Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?

Estuve sobresaliente.

MD

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He participado de forma significativa.

75

Fue aceptable.

Debo mejorar.

Manual para el docente

49

7/19/12 12:41 PM

Actividad

10

Pensar lógicamente

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes lo valioso que es razonar con lógica. Explíqueles que los detectives muchas veces utilizan elementos de información para reconstruir una escena del crimen. Al hacerlo, emplean diversas relaciones lógicas. También un abogado, cuando construye un argumento para plantear una defensa o establecer una demanda, tiene que emplear el razonamiento lógico a su favor, pero teniendo en cuenta las leyes, las normas y los elementos particulares de cada caso. CAPACIDAD

Resuelve problemas de contexto real y matemático que implican relaciones lógicas. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

Enunciados y proposiciones Tablas de verdad Conectores lógicos Números y operaciones Porcentaje

Instantáneas enigmáticas

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Razonamiento lógico

La tarea presenta tres figuras en las que hay que identificar a determinados personajes, partiendo de algunas pistas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas que involucren realizar inferencias a partir de enunciados que relacionan datos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la comprensión de cada una de las pistas dadas y en el método que se seguirá para ir estableciendo las correspondencias. En este caso, se propone la búsqueda de una meta menor, para lo cual es necesario eliminar casos posibles y razonar lógicamente. Los estudiantes pueden tener dificultades al interpretar las pistas. Por eso, es conveniente hacer preguntas referidas a la comprensión de cada una de ellas, con el fin de que interpreten claramente lo que la pista quiere decir. Se sugiere leer en voz alta cada pista y discutirla en plenaria. Esto ayudará a centrar la atención y desarrollar niveles de reflexión sobre lo escrito.

Los comerciantes

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

La tarea presenta las relaciones entre tres categorías: los comerciantes, los montos de préstamo y los porcentajes de las tasas de interés. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren, a partir de la información parcial recibida, realizar inferencias y relacionar datos. También se espera que desarrollen la capacidad de integrar este conocimiento para describir completamente una situación. Se debe poner énfasis en la comprensión de cada pista y en cómo esta ayuda a asignar una pareja de datos y a descartar otras parejas. En este caso, se propone utilizar una tabla, con la cual se organice la información, y razonar lógicamente para poder realizar las inferencias correspondientes. Los estudiantes pueden tener dificultades al interpretar las pistas. Por ello, las preguntas presentadas favorecen la comprensión de cada una. Estas no son exhaustivas y, dependiendo de los casos, el docente puede realizar más preguntas con el fin de que los estudiantes comprendan lo que cada una de las pistas les está informando.

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 76

MD

76

7/19/12 12:41 PM

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T3

El premio mayor

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

Los estudiantes deberán comprobar sus resultados para que se acostumbren a verificar, por sí mismos, lo que han realizado. Así desarrollarán cada vez más autonomía al resolver problemas. También se representará lo actuado por medio de una tabla resumen, a modo de sumarizar la descripción de lo ocurrido con los comerciantes.

La tarea muestra un acertijo lógico en el que intervienen valores de verdad y cuantificadores. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren realizar inferencias a partir de proposiciones, enumerar casos posibles e identificar aquellos que verifican determinada situación, considerando las hipótesis formuladas. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la organización de los datos, la enumeración sistemática de los posibles casos y su análisis a la luz de la situación planteada. En este caso, se propone razonar lógicamente, enumerar casos posibles, hacer una tabla y formular hipótesis. Los estudiantes pueden tener dificultades al interpretar cada uno de los letreros presentados en los cofres. Para que comprenda, se les puede pedir que parafraseen lo escrito. Asimismo, se les solicita que supongan situaciones para encontrar los valores de verdad. Un error típico es creer que si el letrero es falso, entonces en ese cofre no puede estar el premio. Esto no es así. Los estudiantes deberán reconocer las características del problema planteado para que su estrategia pueda ser utilizada en otros casos. También se les solicita algunas modificaciones al problema inicial, como, por ejemplo, cambiar los textos de los letreros. Los estudiantes más avanzados pueden inventar problemas similares, variando los textos de los letreros o incrementando el número de cofres.

Las bolilógicas

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

Más allá del problema

La tarea muestra dos categorías: unas bolitas de colores y unos vasos numerados. Como parte de la actividad, se presenta un conjunto de condiciones para esconder las bolas debajo de los vasos. Partiendo de este sistema lógico, los estudiantes deberán decidir cuáles de las situaciones son posibles, contrastando lo que les piden con el conjunto de condiciones señaladas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren analizar sistemas de condiciones y establecer relaciones complejas en diferentes niveles. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que las respuestas pueden no ser únicas y que es necesario comprender lo que cada condición está señalando. Se propone buscar una meta menor, razonar con lógica y eliminar los casos no posibles o hacer un descarte de casos. Los estudiantes pueden tener dificultades al comprender las proposiciones tipo: Si… entonces…; por tanto, se debe explicar que esta es una proposición condicional p → q, la cual nos dice que la condición p es necesaria para que se cumpla la proposición q, y no necesariamente si se cumple q tiene que cumplirse p. A partir de las condiciones dadas, los estudiantes pueden inventar más problemas relacionados o, en su defecto, modificar las condiciones para realizar otro conjunto de preguntas similares a las formuladas.

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Manual para el docente

7/19/12 12:41 PM

10 Instantáneas enigmáticas 1) En la escena, hay una persona a la que estamos buscando. Lee con atención las pistas para que la puedas encontrar. • No lleva nada en la cabeza. • No tiene lentes. • No tiene bolso. • No es calva ni tiene el pelo rizado. • No lleva en su indumentaria ninguna prenda negra ni de cuadros ni de rayas. Encierra con un círculo a esta persona.

2) En una peregrinación, han pasado cinco simpáticos frailes. Tenemos sus dibujos, pero desconocemos sus respectivos nombres: • Los frailes Abel y Ciro son más altos que sus compañeros. Abel : • El bastón de Daniel es más alto que los bastones de Abel y de Ciro. Ciro: • Los bastones de Abel y de Hugo son del mismo tamaño.

Daniel:

• Los bastones de Abel y de Benito son menos altos que sus dueños.

Hugo:

¿Sabes quién es quién? Escribe en el círculo el número correspondiente.

1

2

3

4

Benito:

5

3) Seis estudiantes van con sus bolsos al aniversario del colegio. Victoria, Julia, Ana y Luisa llevan sus bolsos en la mano izquierda. Juana y Rocío lo llevan en su mano derecha. • Las que están de espaldas son Ana, Victoria y Rocío. • Ana y Luisa no tienen a nadie a su izquierda. ¿Cómo se llama cada personaje y qué número le corresponde en el dibujo? Escribe los datos que te dan en el enunciado. • VictorIA, ANA, JULIA y LUISA • JUANA y Rocío

LLEVAN

LLEVAN

el bolso en su

• ANA, VictorIA y Rocío

ESTÁN

• ANA y LUISA no tienen

A NADIE A

el bolso en su MANO

MANO IZQUIERDA.

derECHA.

de ESPALDAS. su

IZQUIERDA.

Indica el número que corresponde a cada estudiante:

50

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 78

Victoria:

5

Ana:

1

Julia:

2

Luisa:

3

Juana:

4

Rocío:

6

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7/19/12 12:41 PM

Luisa y otras tres comerciantes obtuvieron préstamos de diversos bancos para una campaña de ventas. Ellas solicitaron diferentes cantidades y a diferentes tasas de interés. Las cuatro pidieron el dinero por un año. A partir de las pistas dadas debajo, ¿puedes calcular la cantidad de dinero que cada comerciante recibió prestado y la tasa de interés? Los montos fueron S/.5000, S/.4500, S/.2000 y S/.1500. Las tasas de interés fueron 10 %, 8 %, 6 % y 5 %. Pista 1: Sonia recibió el préstamo de menor cantidad y pagó la más alta tasa de interés. Pista 2: Luisa pagó el doble de interés que Sonia, a una tasa del 6 %. Pista 3: Sandra recibió S/.2500 más que María. Pista 4: María pagó un total de S/.160 en interés al finalizar el año.

1) ¿De quiénes te hablan en la historia? De

CUATRO COMERCIANTES:

3) ¿Qué diferencia hay entre interés y tasa de interés?

Interés es LA GANANCIA O beneficio que se GENERA CUANDO se prESTA UNA CANTIDAD de dinero. TASA de interés es un

LUISA, SONIA, SANDRA y MARÍA.

2) ¿Para qué te dan las pistas? PARA

SABER CUÁNTO

rESPECTIVA

TASA

dinero se prestó

CADA UNA

PORCENTAJE

y su

del primero.

4) ¿Qué es lo que te piden encontrar? El dinero prESTADO

de interés.

CADA COMERCIANTE

y su rESPECTIVA

TASA

A

de interés.

1) ¿Cuáles son las características principales del problema? ESTABLECE rELACIONES entre perSONAS, CANTIDADES y TASAS de interés. DA inforMACIÓN

PARA CALCULAR LAS GANANCIAS

de

LAS

perSONAS. INDICA que

ALGO CAMBIA

en el tiempo.

2) Completa, según corresponda: Hay que sacar conclusiones a partir de las PISTAS que dan en el texto. Una forma de organizar los una TABLA. 3) ¿Qué debe relacionar la tabla? Debe rELACIONAR montos con interés y con perSONAS.

1) ¿Qué conclusión obtienes de la pista 1? SONIA se prestó S/.1500

de interés de 10 %.

A UNA TASA

2) ¿Qué conclusión obtienes de la pista 2? LUISA se prestó el dinero

A UNA TASA

de interés de 6 %.

es mediante

5) A continuación, ubica en la tabla a las comerciantes, según las características de su préstamo o tasa de interés. Recuerda que una vez ubicada cada comerciante, ninguna de ellas podrá tener otro monto de préstamo ni otra tasa de interés. 5000

3) ¿Qué conclusión obtienes de la pista 3?

4500

2000

1500

10 %

8%

6%

5%

Luisa

Que SANDRA se prestó S/.4500 y MARÍA S/.2000.

Sandra

4) ¿Qué conclusión obtienes de la pista 4? Divido 160/2000 = 0,08 = 8 % que es PRÉSTAMO de MARÍA.

DATOS

Sonia LA TASA

del

María

6) Halla la cantidad de dinero que cada comerciante recibió prestado y la tasa de interés. LUISA: S/.5,000 (6 %); SANDRA: S/.4,500 (5 %); SONIA: S/.1,500 (10 %); y MARÍA: S/.2,000 (8 %).

1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver el problema. UTILIZAR UNA TABLA PARA ORDENAR LA inforMACIÓN y

A rEALIZAR por el

ANALIZAR LAS PISTAS PARA inferir LAS rESPUESTAS.

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2) Comprueba que tus respuestas corresponden con lo relatado en el enunciado.

79

ESTUDIANTE.

Manual para el docente

51

7/19/12 12:41 PM

En la feria escolar de Matemática, el profesor Alfonso Meza ha puesto un juego enigma para probar las habilidades de sus estudiantes. El premio mayor es 10 minutos diarios más de recreo por lo que resta del año. Él ha escondido el sobre con el premio en una de tres cajas; las otras dos están vacías. A los concursantes, les dan la oportunidad de descubrir dónde se encuentra escondido el premio. Para ayudarlos, el profesor ha colocado tres letreros sobre cada una de las cajas. Sin embargo, le dice a un concursante que no se fíe de los letreros, pues solo uno de ellos dice la verdad.

á

¿Puedes descubrir en qué caja está el premio?

1) ¿De qué te hablan en la historia?

Sobre un juego ENIGMA que el profesor MEZA HA propuesto A sus ESTUDIANTES. Él HA escondido un sobre prEMIADO en UNA CAJA, MEZCLADA CON OTRAS dos CAJAS VACÍAS. LAS CAJAS tienen sus respectivos letreros, de los CUALES solo uno dice LA VERDAD.

3) ¿Cuántos posibles casos existen? Existen 3 posibles

4) Si un letrero dice la verdad, entonces los otros dos

AYUDAR A

dicen

ALGO fALSO.

5) ¿Qué es lo que te piden averiguar? En qué

2) ¿Para qué se han puesto los letreros? PARA

CASOS.

CAJA ESTÁ

el premio.

los concurSANTES.

1) ¿Sabemos cuál de los letreros dice la verdad?

No.

2) ¿Cuántas situaciones serán posibles para que se muestre la verdad? ¿Qué pasa con los otros letreros? SERÁN posibles 3

SITUACIONES.

Los otros letreros

Completa los valores de verdad en la tabla (V o F) y contesta: ¿cumple con la condición del problema? 1) Hipótesis 1: El premio está en la caja I. I

El premio está en esta caja

V

II

El premio no está en esta caja

V

III

El premio no está en la caja I

F

No cumple con LA condición, pues solo uno debe ser VERDADERO.

El premio está en esta caja

F

II

El premio no está en esta caja

F

III

El premio no está en la caja I

V

Sí cumple con condición.

I

El premio está en esta caja

F

II

El premio no está en esta caja

v

III

El premio no está en la caja I

V

No cumple con LA condición, pues solo uno puede ser VERDADERO.

4) ¿En qué caja está el premio? ESTÁ

en

LA CAJA

II.

LA

1) ¿En qué momento has tenido dificultad para resolver el problema? Al deterMINAR el PLAN de ACCIÓN. 2) ¿Cómo superaste la dificultad? Al

LA VERDAD.

3) Hipótesis 3: El premio está en la caja III.

El premio

2) Hipótesis 2: El premio está en la caja II. I

no dicen

DEFINITIVAMENTE

4) Si quisieras aplicar esta estrategia, ¿cuáles tendrían que ser las características del problema? Deben prESENTARse diferentes opciones de solución, SUJETAS A UNA O VARIAS

VISUALIZAR DISTINTAS SITUACIONES.

condiciones.

3) ¿Qué estrategia te permitió continuar con la solución del problema? Proponer hipótesis y PROBAR ESTAS con los letreros de CADA CAJA, BUSCANDO que CUMPLAN con LA condición del PROBLEMA.

52

Resolvamos 1

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80

7/19/12 12:41 PM

En un juego, hay exactamente seis vasos invertidos que están uno al costado del otro en fila. Los vasos están numerados del 1 al 6 y en cada uno hay una bolita escondida. Cada bolita es de un color diferente: verde, azul, naranja, morado, rojo y amarillo, las cuales están escondidas de manera que: * La bolita morada debe estar debajo del vaso cuyo número sea menor que el del vaso donde está la bolita naranja. * La bolita roja debe estar debajo del vaso que está junto al vaso que contiene la bolita azul. * La bolita verde debe estar escondida debajo del vaso 5.

Con tus compañeros, respondan las siguientes incógnitas y resuelvan el problema: 1) ¿Cuál de las siguientes combinaciones del 1 al 6 puede ser el orden de las bolitas con su respectivo color?

DEBAJO del

a) Verde, amarilla, azul, roja, morada, naranja. c) Roja, naranja, azul, amarilla, verde, morada.

6.

a) Verde y azul

d) Azul, verde, morada, roja, naranja, amarilla.

b) Verde y morada

e) Azul, roja, morada, amarilla, verde, naranja. 2) ¿Existe un único orden en el que pueden estar las bolitas bajo los vasos? PLANTEAR

VASO

6) Si la bolita naranja está debajo del vaso número 2, las bolitas que pueden estar juntas entre sí son:

b) Naranja, amarilla, roja, azul, verde, morada.

No, se pueden

5) Si la bolita morada está debajo del vaso número 4, ¿debajo de qué vaso puede estar la bolita naranja?

otros órdenes.

c) Naranja y amarilla d) Morada y roja e) Roja y amarilla

3) Si la bolita de color azul está en el vaso 4, la bolita roja puede estar debajo del vaso número 3. 4) ¿Cuál de los colores puede ser el de la bolita que está debajo del vaso con el número 6? a) Verde b) Azul c) Morada d) Roja e) Amarilla

7) Si la bolita azul está debajo del vaso número 1, las bolitas que siempre deben de estar juntas son: a) Verde y naranja b) Verde y amarilla c) Morada y roja d) Morada y amarilla e) Roja y amarilla

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas referidos al razonamiento lógico, que en la cotidianeidad se utiliza para formular hipótesis y extraer conclusiones a partir de pistas. Los detectives y fiscales lo utilizan con frecuencia para hacer sus investigaciones.

Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?

He colaborado de forma significativa.

Realicé aportes muy relevantes.

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81

Mi colaboración fue aceptable.

Debo mejorar.

Manual para el docente

53

7/19/12 12:41 PM

Actividad

11 Incógnitas a nuestro alrededor

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes sobre la importancia de establecer incógnitas para absolver situaciones de incertidumbre en la vida cotidiana. Por ejemplo, si deseamos ir de paseo a un lugar y sabemos su distancia, podremos predecir cuándo llegaremos, siempre y cuando conozcamos la velocidad a la que nos desplazaremos. En este caso, la incógnita es el tiempo y la ecuación que se puede plantear es lineal. Asimismo, las incógnitas se presentan al trabajar situaciones inciertas, como las posibles ventas de un determinado producto, la cantidad de personas que verán un comercial en TV, el flujo de automóviles en un determinado peaje, las personas que viajan a una hora determinada en el tren eléctrico, entre otras. CAPACIDAD

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran ecuaciones lineales con una incógnita. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

Ecuaciones lineales con una incógnita

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Expresiones algebraicas Números decimales Operaciones con racionales

Los tangramistas

Descripción de la actividad

Aquí se presenta una situación lúdica, donde una tabla muy singular no contiene ningún dato numérico exacto, por lo que puede parecer que no da ninguna información acerca de un torneo de tangram. Sin embargo, a medida que respondemos las preguntas, vamos descubriendo que es posible extraer conclusiones a pesar de no tener con exactitud los puntajes de cada jugador.

Intención pedagógica

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para identificar y resolver problemas de traducción simple con expresiones algebraicas lineales, que las comparen y las operen para poder extraer información de ellas.

¿A qué poner énfasis?

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que es posible trabajar con variables como si fueran cantidades generalizadas y que, teniendo en cuenta sus relaciones, podremos extraer conclusiones acerca de las expresiones formadas.

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

En este caso, se propone realizar cálculos con expresiones. Los estudiantes pueden tener dificultades al tratar de trabajar con expresiones en lugar de números. Muchos no pueden establecer relaciones si estas no son numéricas, lo que constituye un estadio en la construcción del concepto de variable. La presente actividad les ayudará a ampliar esta noción.

Bicimates

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

La tarea presenta un típico problema de móviles. En este caso, se trata del encuentro de bicicletas que avanzan en la misma dirección, pero en sentidos opuestos. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran matematizar situaciones con móviles, mediante diversos tipos de ecuaciones lineales. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la selección de la incógnita para el planteamiento, así como en la decisión de un soporte gráfico que ayude a esta modelación. El gráfico es un diagrama analógico que representa la situación real con elementos similares, cuyos puntos son las ciclistas, la línea horizontal y la distancia entre ellas al inicio. Es importante que los estudiantes representen tanto la situación inicial como la final (siendo esta la del encuentro de las ciclistas). Los estudiantes pueden tener dificultades para establecer relaciones entre las magnitudes que contiene el caso (km, m/min), para ubicar los datos relevantes en el diagrama analógico elaborado y al seleccionar la incógnita. Las fases de solución, de la 1 a la 3, ayudarán a clarificar esta situación. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y tratar de resolver el problema de otra manera, como la que se presenta en la sección, donde se considera como incógnita el tiempo de encuentro.

Resolvamos 1

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7/19/12 12:41 PM

T3

Sueños de un avaro

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

La tarea presenta un acertijo en el que se tiene que descubrir el número de monedas que guarda un avaro en cada una de las bolsas de su tesoro. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de traducción simple que requieran el planteamiento de ecuaciones lineales con una incógnita. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los estudiantes identifiquen lo que no cambia al aplicarle un conjunto de transformaciones. En este caso, es el número de monedas en una bolsa. A esta cantidad, se le aplican modificaciones según lo que el avaro dice, las cuales generan las condiciones del problema que servirán para la construcción de la ecuación. En este caso, se propone identificar una magnitud invariable para usarla de incógnita e identificar las condiciones para establecer una ecuación. Los estudiantes pueden tener dificultades al traducir la expresión del avaro, por lo que hay que dividirla en dos partes, pues es una composición de dos estados. Estado uno: si en mi bolsa agrego tres monedas. Estado dos: si a dos bolsas iguales les quito 7 monedas. Hay que reconocer que estos dos estados son iguales. Siempre es bueno que los estudiantes comprueben que su solución responde a las condiciones del problema. Otra forma de resolver la situación es mediante un tanteo sistemático. Esto ayuda a los estudiantes a apropiarse de las relaciones numéricas presentes en el caso. De esta manera, si alguno de ellos resolvió inicialmente el problema por tanteo, debe realizar luego una ecuación o una tabla para comprobar su respuesta, lo cual contribuye a flexibilizar su pensamiento.

A matematizar el esqueleto

La tarea presenta una aplicación de las ecuaciones lineales a la medicina, ciencia en la que existen muchas más fórmulas similares a la planteada. Es una buena oportunidad para señalar que no solo los matemáticos Descripción de e ingenieros utilizan ecuaciones. la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

Más allá del problema

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran utilizar una función lineal. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis primero en que las relaciones establecidas son funciones lineales. En cada caso, tanto para varones como para mujeres, la altura se expresa en función de la longitud de ciertos huesos. La construcción de estas fórmulas se consigue analizando una gran cantidad de casos reales y ajustando los datos para que sean representados por una función lineal. Cuando se establece una pregunta sobre cómo hallar la altura de una persona que tiene una determinada longitud del fémur, uno utiliza las relaciones funcionales. En este caso, se propone vincular el todo con las partes al establecer la relación que existe entre el tamaño de los huesos y la estatura de la persona. Los estudiantes pueden tener dificultades al resolver los problemas 7 y 8 que combinan dos fórmulas. Hay que ayudarlos a modelar precisamente estas situaciones. Se sugiere proponer tareas de investigación más allá del problema, relacionadas, por ejemplo, con otras fórmulas de la antropometría, rama que estudia las longitudes en el cuerpo humano. Por otro lado, analizar datos de nuestro gigante Margarito Machaguay, en función de las ecuaciones dadas, permitiría comprender que estas son solo una aproximación y que no son exactas cuando se habla de un caso particular.

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Manual para el docente

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11 Los tangramistas La IE Nuestra Señora del Rosario de Chachapoyas realiza, cada año, un festival abierto de juegos matemáticos. Uno de los que cuenta con más seguidores es el campeonato de tangram, que consiste en armar la mayor cantidad de figuras en 4 minutos. En esta última edición del festival, se inscribieron 60 personas, que compitieron en 10 equipos de 6 participantes cada uno. En la final, la profesora de Matemática, Elizabeth Sánchez, decidió registrar los resultados usando variables, con el fin de que solo ella pudiera saber el puntaje de cada jugador, pues solo ella conocería los valores de las variables x, y, z. La tabla que presentó la profesora Elizabeth de un equipo en las tres temporadas fue la siguiente: Cantidad de figuras

Jugador

Primera temporada

Segunda temporada

Tercera temporada

María

x

y

z

Juan

x-2

y-2

z-3

Rocío

x+3

y+2

z+1

Rodrigo

x-4

y-4

z+2

Paola

x+5

y+1

z-4

Claudio

x-6

y-5

z -3

1) ¿Quién armó 3 figuras más que María en la primera temporada? Rocío

ARmó

3

FIGURAS MÁS

que MARÍA en

LA

7) Reflexiona y responde. Para resolver los problemas anteriores, ¿cuál es el procedimiento común que has realizado? COMPARAR LAS expresiones ALGEBRAICAS con LA

prIMERA

MISMA VARIABLE.

TEMPORADA.

8) ¿Es posible sacar conclusiones de una tabla así?

2) ¿Quién armó 4 figuras más que Paola en la tercera temporada? MARÍA

ARmó

4

FIGURAS MÁS

que PAOLA en

Sí; por ejemplo, se puede concluir que PAOLA en

LA TERCERA

TEMPORADA.

ARmó

prIMERA

5

FIGURAS

menos que MARÍA en

LA

4) ¿Quiénes armaron la misma cantidad de figuras en la tercera temporada?

32 puntos en

y

LA SEGUNDA TEMPORADA.

6) Considerando las tres temporadas, ¿quién armó la mayor cantidad de figuras? ¿Por qué? ANOTÓ LA MAYOR CANTIDAD

CONSIDERANDO LAS

54

LA TERCERA TEMPORADA.

x

5) ¿Quién armó más figuras en la segunda temporada?

Rocío porque

HA GANADO LA SEGUNDA

19

JUAN y CLAUDIO.

ANOTÓ MÁS

Rocío

9) La profesora Elizabeth dice que z = 10 y la suma de las dos variables restantes, donde x es mayor que y, es igual a 32, mientras que su diferencia es igual a 6. ¿Cuál es el valor de cada variable? Utiliza este gráfico para que respondas.

SEGUNDA TEMPORADA.

Rocío

TEMPORADA,

y Rodrigo,

TEMPORADA

3) ¿Quién armó 5 figuras menos que María en la segunda temporada? CLAUDIO

LA

HA GANADO

tres

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 84

de puntos,

Si se

QUITA

seis

6 A LA SUMA

(32), se obtiene el doble

del número menor (26); luego, el número menor es 13 y el

MAYOR

es 13 + 6 = 19.

TEMPORADAS.

MD

84

7/19/12 12:41 PM

Bicimates Gloria y Cristina viven a 20 km de distancia una de otra. Como parte de sus ejercicios, ellas salen los domingos a montar bicicleta, una hacia la casa de la otra al mismo tiempo. Gloria va a una velocidad constante de 30 m/min, mientras que Cristina va a razón de 70 m/min. ¿A cuántos kilómetros de la casa de Gloria se encontrarán?

1) ¿Qué actividad realizan las amigas? MONTAR

1) ¿Cuál de las dos avanza más rápido? ¿Por qué? CrISTINA AVANZA MÁS RÁPIDO porque tiene LA MAYOR

BICICLETA.

VELOCIDAD.

2) Al momento de partir, ¿a qué distancia está una de la otra? ESTÁN

A

20 km de

DISTANCIA.

2) ¿Tener diferentes unidades te permite solucionar el problema? ¿Por qué? No, pues no es posible OPERAR dirECTAMENTE metros con kilómetros.

3) ¿Cuál es la incógnita? Represéntala en un gráfico lineal.

3) ¿Qué magnitudes reconoces en el problema? ¿En qué unidades están?

LA

4) ¿Qué es lo que te piden en este problema? se

DISTANCIA

entre LA

CASA

de GlorIA y el

LUGAR

LUGAR

donde se

produce el encuentro.

DISTANCIA en km y VELOCIDAD en m/min. LA

de GlorIA desde el

DISTANCIA A LA CASA

donde AMBAS

ENCONTRARÁN.

x

20 km - x

Gloria

Cristina

20 km

4) ¿El tiempo en el que se encuentran es igual para ambas? Explica. Si PARten en el mismo momento, el tiempo SERÁ IGUAL PARA AMBAS.

1) Representa la incógnita en un gráfico lineal. x

Casa de Gloria

20 000 - x

4) ¿Cómo se relacionan estos dos tiempos? Son IGUALES.

Casa de Cristina

5) Resuelve la ecuación planteada.

20 km = 20 000 m

70x = 30 (20- x), entonces

2) ¿Cuántos minutos demora Gloria en recorrer x km?

100x = 30 (20), x = 6

DEMORA x/30 m/min.

6) ¿A cuántos kilómetros de la casa de Gloria se encontrarán?

3) ¿Cuántos minutos demora Cristina en recorrer (20 000 - x) m? DEMORA (20 000 - x)/70 min .

1) ¿A cuántos kilómetros de la casa de Cristina se encontrarán? Se ENCONTRARÁN

A

20 - 6 = 14 km de LA

CASA

ENCONTRABA

lo

SOLICITADO

Casa de Gloria

de CrISTINA.

por diferENCIA.

6 km de

LA CASA

de GlorIA.

30

30t

70t

Casa de Cristina

20 000 m

4) Planteamos la ecuación: 30t + 70t

3) Observa este esquema de solución. Completa donde haga falta. Sea t el tiempo en el que se encuentran las dos amigas: Cristina avanza en t minutos: 70 , Gloria avanza en t minutos:

A

Colocamos estos datos en el siguiente gráfico:

2) ¿Pudo haberse elegido como incógnita la distancia hacia la casa de Cristina? Sí, y luego se

Se ENCONTRARÁN

= 20 000 m

t = 200 minutos 5) Resuelve para t. 6) ¿A qué distancia de la casa de Gloria se encontrarán? Se ENCONTRARÁN

A

6 km de

LA CASA

de GlorIA.

55 MD Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 85

85

Manual para el docente

7/19/12 12:41 PM

Sueños de un avaro Un enigmático avaro guarda un tesoro en 49 bolsas, cada una con la misma cantidad de monedas. El avaro dice: “Si en mi bolsa agrego tres monedas, tendré lo mismo que si a dos bolsas iguales les quito 7 monedas”. ¿Cuántas monedas tiene en cada bolsa?

1) ¿Cuál es la condición con respecto a las bolsas de monedas? Que tienen BOLSA

les

LA MISMA CANTIDAD

y que si

AGRego

en

UNA

tres MONEDAS, TENDRÍA lo mismo que si A dos BOLSAS

QUITARA

7 MONEDAS.

2) ¿Cuántas bolsas tiene el avaro? 49 ¿Es importante conocer este dato para resolver el problema? No. ¿Por qué? Explica. Esto el número

TOTAL

de

útil si se

SERÍA

MONEDAS

NECESITARA CALCULAR

que tiene el

AVARO.

MONEDAS

en

CAMBIOS.

2) Si le das el valor de x a la cantidad de monedas que hay en una bolsa, ¿puedes escribir en términos de x lo que se dice en cada cambio? Primer

CAMBIO:

Son expresiones

x + 3. Segundo

CAMBIO:

En mi bolsa

agrego

3 monedas

x

+

3

Si a dos bolsas

les quito

7 monedas

IGUALES.

-

2) ¿Cómo son estas dos expresiones de acuerdo con lo que dice el avaro? Plantea una igualdad. Son

IGUALES.

x + 3 = 2x -7

3) Resuelve la ecuación y responde: ¿Cuántas monedas hay en cada bolsa?

7

x + 3 = 2x - 7; x = 10. HAY 10

Con 16

1) ¿En qué parte del desarrollo has tenido dificultad para resolver? Depende de los ESTUDIANTES.

reduce

ESTUDIANTES.

LA INCÓGNITA

IDENTIFICAR

del

lo que no

PROBLEMA MEDIANTE

VARÍA

y

CAMBIO:

Segundo

un símbolo,

PLANTEAR UNA ECUACIÓN.

56

20 + 3 = 23.

CAMBIO:

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 86

CAMBIO:

MD

en

CADA BOLSA.

16 + 3 = 19.

2 x 16 - 7 = 25. LA CANTIDAD

diferENCIA entre los dos

del

CAMBIOS

TANTEO

se

sugeridos,

LA CANTIDAD

de

MONEDAS.

5) ¿Por qué no conviene seguir tanteando con un número mayor que 20? Porque

AUMENTA LA

diferENCIA de los

CAMBIOS

sugeridos.

6) ¿Es más fácil resolver el problema tanteando o por medio de una ecuación? Explica. Depende del criterio del

2 x 20 - 7 = 33.

Resolvamos 1

LA

MONEDAS

entonces conviene seguir reduciendo

4) Trata de resolver este problema, pero utilizando el tanteo. Empieza a tantear suponiendo que las bolsas contienen 20 monedas. ¿Con qué números seguirás tanteando? Primer

CAMBIO:

Primer

Se obser VA que reduciendo

3) Describe la estrategia empleada. Definir

MONEDAS:

Segundo

2) ¿Cómo superaste esta dificultad? Depende de los

2x - 7.

CADA BOLSA.

1) Plantea una ecuación. Completa con expresiones de x.

2 x

HABLA de 2 posibles

3) ¿Cómo están relacionadas las expresiones en los cambios?

3) ¿Qué es lo que necesitas encontrar? El número de

1) El avaro habla acerca de cambios en las bolsas. ¿Cuántos posibles cambios menciona?

ESTUDIANTE.

86

7/19/12 12:41 PM

A matematizar el esqueleto Los científicos forenses pueden estimar la altura de una persona midiendo la longitud de ciertos huesos como el fémur, la tibia, el húmero y el radio. La tabla dada más abajo muestra las ecuaciones que relacionan la longitud de cada hueso y la altura de la persona, tanto para varones como para mujeres. Estas relaciones han sido encontradas por los científicos después de muchas investigaciones y de recolecciones de datos.

Radio Húmero Fémur Tibia Leyenda:

Hueso En la tabla: Fémur Tibia

Notación Longitud de...

Varones

Mujeres

A = 69,089 + 2,238 F

A = 61,412 + 2,317 F

A = 81,688 + 2,392 T

A = 72,572 + 2,533 T

T:

Tibia Húmero

F:

Fémur

Húmero

A = 73,570 + 2,970 H

A = 64,977 + 3,144 H

H:

Radio

A = 80,405 + 3,650 R

A = 73,502 + 3,876 R

R:

Radio

A:

Persona

Nota: Todas las medidas están en centímetros.

Usando las ecuaciones dadas en la tabla anterior y una calculadora, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema: A = 168,92 cm

1) ¿Cuál es la altura aproximada de una mujer si su fémur tiene 46,4 centímetros de longitud? 2) ¿Cuál es la altura aproximada de un varón si su tibia tiene 50,2 centímetros de longitud?

A= 201,77 cm 8,18 cm

3) Si una mujer tiene una altura de 164 centímetros, ¿cuántos centímetros más tiene su fémur que su tibia? 4) Si un varón tiene una altura de 1,8 m, ¿cuántos centímetros menos mide su radio que su fémur?

MÁS.

22,27 cm menos.

5) Si el radio de un varón mide 21,80 centímetros, aproximadamente, ¿cuánto tendrá que medir su húmero?

29,09 cm

6) ¿Para qué longitud del húmero un varón tendrá la misma altura que una mujer? ¿Cuál es esa altura? H = 49,39 cm; A = 220,26 cm.

7) ¿Para qué altura común del varón y la mujer un hombre tendrá la misma longitud del radio? R = 30,54 cm; A = 191,88 cm 8) Diseñen tres preguntas más que combinen las dimensiones de los huesos del varón y la mujer. Intercambien con otros grupos las preguntas formuladas por el equipo. LAS rESPUESTAS pueden

VARIAR,

¿PARA qué longitud del fémur

por ejemplo: LA ALTURA

¿PARA qué longitud del húmero

del

LA ALTURA

VARÓN SERÁ

de un

Si el húmero de un hombre mide 45 cm,

VARÓN

CALCULA LA

4 cm

MÁS

que

LA

de

es 1 cm menos que

longitud de su

UNA LA

de

mujer? UNA

mujer?

RADIO.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas en los que se necesitó plantear ecuaciones lineales con una incógnita. En la cotidianeidad, estas ecuaciones se utilizan para estimar costos, calcular dosis de medicamentos, estimar tiempos de viaje y metrados de pisos, hacer presupuestos, etc

Autoevaluación ¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?

Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.

Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 87

87

En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.

Se debieron generar espacios de participación.

Manual para el docente

57

7/19/12 12:41 PM

Actividad

12

Las ecuaciones al rescate

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que las ecuaciones también las utilizan los magos para diseñar trucos interesantes, como los de carácter numérico que aprenderán en esta lección. Se pueden investigar, además, otros trucos con barajas, cartas especiales y juegos de mentalismo con objetos. Los estudiantes pueden hallarlos en Internet, donde también se encuentran programados varios juegos interactivos. A continuación, usted debe realizar los trucos de la primera actividad. Hágalo con algunos estudiantes para motivar la investigación del juego mágico. CAPACIDAD

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran ecuaciones lineales con una incógnita. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Ecuaciones lineales con una incógnita

Expresiones algebraicas Patrones numéricos Fracciones numéricas

Algecadabra

Descripción de la actividad

La tarea presenta dos juegos matemágicos de lectura del pensamiento. En el primer caso, se llega indefectiblemente al mismo resultado, sin importar con qué número se empiece; en el segundo, la solución está en función del número pensado. Ambos pueden modelarse mediante una ecuación lineal para explorar su secreto, donde la incógnita es el número pensado que será descubierto.

Intención pedagógica

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen analizar una situación supuestamente mágica, así como modelar algebraicamente ciertas situaciones lúdicas expresadas de manera verbal.

¿A qué poner énfasis?

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la traducción del enunciado verbal al lenguaje algebraico. Procurar que las traducciones y los cálculos sean realizados mentalmente por los estudiantes, para que efectivamente se motiven.

Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, se propone traducir el lenguaje verbal de cada indicación del truco al lenguaje algebraico y organizar esta información en una tabla.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al traducir las instrucciones en términos de las incógnitas. Las preguntas formuladas les ayudarán a investigar estos dos hechos de matemagia.

T2

Los papanaderitos

Descripción de la actividad

Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

La tarea presenta una situación laboral en la que un grupo de estudiantes realiza un proceso productivo, donde hay que embolsar papapanes (panes de harina de papa). Para ello, deben encontrar algunas incógnitas para tomar decisiones acerca del número de bolsas necesarias. Se presentan dos posibilidades de agrupación: en la primera, reúnen ocho papapanes por bolsa, y en la segunda, las bolsas contendrán cinco papapanes. El último caso, implica utilizar 120 bolsas más. Estas condiciones servirán para responder a la incógnita del problema. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades de resolución de problemas de traducción simple, que se pueden modelar mediante una ecuación lineal de una incógnita. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la identificación de la magnitud invariable, que, en este caso, es la cantidad de papapanes producidos. Se propone traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas y organizar la información en tablas para identificar invariantes en la situación problemática para plantear una ecuación lineal. Los estudiantes pueden tener dificultades al reconocer la invariante en las condiciones del problema. Por ello, las preguntas de las fases uno y dos ayudarán a que el estudiante se familiarice con la situación y comprenda las relaciones existentes entre el número de bolsas y la cantidad de papapanes.

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 88

MD

88

7/19/12 12:41 PM

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T3

El agua es vida

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y comprobar numéricamente que su solución tiene sentido en el contexto del problema. Esto ayudará a fijar la comprensión de las relaciones establecidas. Asimismo, se les puede solicitar que resuelvan el problema trabajando con otra incógnita o mediante un gráfico.

La tarea presenta una situación referida a la optimización del tiempo que toma llenar un reservorio con dos grifos que tienen diferente velocidad de llenado. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para la resolución de problemas de situaciones de contexto real que pueden ser modelados mediante ecuaciones lineales de una incógnita. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la suposición de que el problema está resuelto; es decir, asignarle una variable y representar la fracción del reservorio que deberá ser llenado en una hora con cada uno de los grifos. En este caso, se propone la descomposición del problema en problemas sencillos, mediante preguntas que deberán responder los estudiantes, así como la modelación de la situación, por medio de una ecuación lineal. Los estudiantes pueden tener dificultades al trabajar con las fracciones. Además, el hecho de que el tanque a ser llenado no está vacío puede generar dificultades para representar con una fracción el volumen que falta por llenar. Los estudiantes deberán reflexionar sobre la utilidad de la estrategia y aplicarla cambiando las condiciones del problema. Los más avanzados pueden crear otros problemas similares que tengan la misma estructura; por ejemplo; el tiempo de trabajo de los obreros, el tiempo para hacer las tareas, el llenado de las piscinas, entre otros.

Los montones enigmáticos

Descripción de la actividad

Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

Más allá del problema

La tarea presenta un texto que describe un juego de magia que consiste en adivinar el número de fósforos que hay en el montón del medio, luego de haberlos distribuido en tres grupos. La limitación es que no se da información acerca del secreto del juego. En la exploración, los estudiantes tendrán oportunidad de descubrir ese secreto, haciendo uso de las ecuaciones. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas de traducción simple de situaciones de juego utilizando lenguaje algebraico. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la traducción del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico para modelar la situación, ya que el enunciado puede resultar complejo. En este caso, se propone probar la situación con material concreto cambiando los datos del problema, organizar la información en una tabla y generalizar la solución para cualquier valor. Los estudiantes pueden tener dificultades en la traducción del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico para la generalización de la situación problemática. Un error típico es olvidar que al inicio del problema se indica que el número de fósforos en cada montón era igual. A los estudiantes más avanzados se les puede proponer que inventen sus propios juegos de magia a partir del presentado en esta tarea. Por ejemplo, incrementando el número de montones o modificando las relaciones que se establecen en cada pasada. En los libros de Yakov Perelman y Martin Gardner, que se encuentran en Internet, puede investigar más trucos de este tipo.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 89

89

Manual para el docente

7/19/12 12:41 PM

12 Alejandra encontró, en un viejo libro de Matemática recreativa, un capítulo titulado “Trucos numéricos”, donde halló estas dos páginas con instrucciones para realizar un par de juegos de lectura del pensamiento.

1) ¿Por qué funcionan estos trucos? El rESULTADO

ESTÁ

en función de

5) ¿Cómo obtienes el secreto para hallar el número pensado? Debo proceder

LAS OPERACIONES

CADA

PLANTEADAS.

x

Súmale 5.

x+5

Multiplícalo por 2.

2(x + 5)

Réstale 4.

2(x + 5) - 4

Divídelo entre 2.

[2(x + 5) - 4] / 2

Réstale el número pensado.

[2(x + 5) - 4] / 2 - x

El resultado es:

3

número SERÁ

AL SIMPLIFICAR LA

PENSADO

(x) se

fINALMENTE

SUMAMOS

x - 1,

1 y obtenemos x.

explicación es similar a la dada en el secreto? x = (2R + 3) / 3 = 2R / 3 + 1, MISMA

LA EXPLICACIÓN

en términos de R.

es

LA

8) Has aprendido cómo inventar trucos algebraicos. Inventa un par de juegos y aplícalos a tus compañeros de la clase. Primer juego

y el rESULTADO siempre

Segundo juego

PIENSA un número.

PIENSA un número.

MULTIPLÍCALO por 4.

SÚMALE 2.

RÉSTALE 5.

MULTIPLÍCALO por 2.

Piensa un número

x

Divídelo entre 2.

Multiplícalo por 3.

3x

FINALMENTE

Súmale 5.

3x + 5

¿CUÁL es el rESULTADO?

Divídelo entre 2.

(3x + 5) / 2

Réstale 4.

[(3x + 5) / 2] - 4

El resultado es:

(3x - 3) / 2

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 90

QUEDA

LA

7) Reflexiona y explica cómo harías para despejar x. ¿Tu

tres.

Resolvamos 1

división entre 2, debo

(3x - 3) / 2 = R

4) Completa la expresión, pero en términos de x.

58

HAY UNA

x en

6) Si el resultado es R, plantea una ecuación para el resultado en términos de x.

expresión constrUIDA, el

ELIMINA

rESULTADO. Como

OPERACIONES PARA DESPEJAR

expresión rESULTANTE y dividimos entre 3 y

3) ¿Puedes ver por qué funciona este truco? Sí, porque

rEALIZAR

multipLICAR por 2, luego obserVAMOS los coeficientes de

2) Llama x al número pensado en cada truco. Completa la expresión, pero en términos de x. Piensa un número

A

RÉSTALE

RÉSTALE 2. 3.

Secreto

Divídelo entre 2. RÉSTALE el número que El rESULTADO

SERÁ

PENSASTE.

1.

Al rESULTADO lo MULTIPLICAMOS SUMAS

por 2, le

11, lo divides entre

4 y obtienes el número.

MD

90

7/19/12 12:41 PM

Los papanaderitos Una empresa ha donado a la IE Miguel Grau algunos kilos de papas y varios sacos de harina y de azúcar con los cuales los estudiantes del primer grado han decidido elaborar papapanes dulces, para venderlos en la feria escolar del fin de semana. Los estudiantes pensaron, inicialmente, hacer bolsas con 8 papapanes cada una; pero observaron que les sobraban demasiadas bolsas, así que decidieron hacer bolsas de solo 5 papapanes. De este modo, los papanaderitos utilizaron 120 bolsas más. Finalmente, ¿cuántas bolsas emplearon?

1) ¿Qué es lo que van a hacer los niños de primer grado? VAN

2) ¿Cuántos papapanes por bolsa se iban a empaquetar inicialmente? 3) ¿Qué ocurría si se hacían esos paquetes? 4) ¿Qué se decidió hacer? HACER

PAQUETES

5) ¿Cuántas bolsas más se utilizaron? Se

HUBIERAN de 5

8

PAPAPANES

por

PARA LA

ferIA

ESCOLAR.

BOLSA.

SOBRADO DEMASIADAS BOLSAS.

PAPAPANES.

UTILIZARON

6) ¿Qué es lo que te piden en el problema?

dulces

A ELABORAR PAPAPANES

120

BOLSAS MÁS.

El número de

BOLSAS

que

UTILIZARON fINALMENTE.

1) El problema tiene dos estados: la propuesta inicial y la decisión final. ¿Qué cantidad no varía en ambos estados? El número de

PAPAPANES

no

VARÍA.

2) Completa, según corresponda: Como piden encontrar cuántas bolsas emplearon finalmente, entonces podemos denotar a y plantear una igualdad entre los estados. esta cantidad con la letra x dos

1) Llamemos x al número de

BOLSAS

utilizadas finalmente.

2) Escribe, en términos de x, el número de bolsas que se iba a usar. x - 120 3) ¿Cuántos papapanes iba a contener cada bolsa? 8 PAPAPANES. 4) Utiliza las expresiones anteriores para escribir el número total de papapanes. 8(x - 120) 5) Escribe, en términos de x, el número de bolsas utilizadas realmente. x 6) ¿Cuántos papapanes se colocó en cada bolsa? 5 PAPAPANES. 7) Utiliza las expresiones anteriores para escribir el número total de papapanes. 5x 8) Como el número total de papapanes no varía, ¿qué se puede hacer con las expresiones halladas en las preguntas 4 y 7? Se

1) Comprueba que tu solución cumpla con las condiciones del problema. Si rEEMPLAZAMOS en AMBAS expresiones, se obtiene 1600 PAPAPANES.

2) ¿Qué estrategia fue la que te ayudó a resolver el problema? El

PLANTEO

de

LA ECUACIÓN

condiciones del

de

ACUERDO

3) Resuelve el problema en forma gráfica. Completa el siguiente esquema y utilízalo para resolver. Propuesta 8 8 8 8 8 inicial

8 8

Decisión final

5 ... 5

5 5 5 5 5

5 ...

... 5 5

120

HAY 120 x 5 = 600

9) Resuelve la ecuación que has planteado. x = 320

que se

10) ¿Cuántas bolsas utilizaron los papanaderitos?

quitó

BOLSAS.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 91

LAS

PROBLEMA.

IGUALAN AMBAS expresiones.

UTILIZARON 320

con

91

QUITARON

A

3

PAPAPANES

PAPAPANES

600/3 = 200

BOLSAS.

de Se

que

SALEN

CADA UNA, USARON

de

BOLSAS A LAS

entonces se le

320

BOLSAS.

Manual para el docente

59

7/19/12 12:41 PM

El agua es vida Para abastecerse mejor de agua potable, la junta vecinal del centro poblado de Ahuac ha construido un reservorio que tiene la forma de un cilindro recto. El reservorio se puede llenar mediante dos grifos: el grifo A lo llena en 2 horas, mientras que el grifo B lo llena en el doble de tiempo. Por problemas externos, ayer el reservorio solo se ha llenado hasta las dos quintas partes. Hoy la junta quiere que termine de llenarse lo más rápido posible, por lo que se han abierto los dos grifos a la vez. ¿Cuánto tiempo demorarán los grifos en terminar de llenar el reservorio?

1) ¿Qué fracción del reservorio falta por llenar? Los 3/5.

1) ¿De qué te hablan en la historia? De un reservorio de

AGUA

que se debe

LLENAR.

2) Completa según corresponda: Supongamos que el problema está resuelto, es decir, que el tiempo necesario para grifos llenar las 3/5 partes del reservorio con los 2 abiertos es “x”.

2) ¿Cómo se llena el reservorio? MEDIANTE dos grifos.

3) ¿En cuánto tiempo llena cada grifo el reservorio? El primero lo

LLENA

en 2

HORAS;

el segundo, en 4

3) ¿Qué fracción del reservorio se llena con el primer grifo en una hora? Se LLENA x/2 . ¿Cuánto se llena en x horas?

HORAS.

4) ¿Cuánto se ha llenado ya?

Se

Los 2/5 del reservorio.

5) ¿Qué te piden averiguar? En

tiempo se terMINARÁ de ABRen los dos grifos A LA VEZ. CUÁNTO

LLENAR

LLENA

1/2 del reservorio.

4) ¿Qué fracción del reservorio se llena con el segundo grifo en una hora? Se LLENA 1/4. ¿Cuánto se llena en x horas? Se LLENA x/4 del reservorio.

si se

5) ¿Cuánto es lo que se debe llenar en x horas? 3/5 del reservorio.

6) ¿Qué puedes formar con todo lo descubierto? UNA

ECUACIÓN.

1) Plantea la ecuación. x/2 + x/4 = 3/5 2) Resuelve la ecuación. x = 4/5 3) ¿Cuánto tiempo se necesita para llenar el reservorio si se tienen abiertos los dos grifos? Se

NECESITA

4/5 de

HORA,

es decir, 48 minutos.

1) ¿Qué estrategia te fue más útil para resolver el problema? Suponer que YA TENÍA el VALOR pedido; pero, en forMA GENERAL, USARlo PARA PLANTEAR UNA ECUACIÓN.

2) ¿En cuánto tiempo llenan el reservorio desde cero si se abren los dos grifos? En 4/3 de

60

HORA,

es decir, 1

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 92

HORA

20 minutos.

3) ¿Cuánto se demorará si se sabe que hay una fuga que vaciaría el tanque lleno en 6 horas? Se

12/7 de

HORA.

4) Si no hay fuga pero se coloca otro grifo que llenaría el reservorio solo en 3 horas, ¿cuánto tiempo será necesario ahora para llenar el reservorio si tengo los tres grifos abiertos? Se

MD

DEMORARÁ

DEMORARÁ

12/13 de

HORA.

92

7/19/12 12:41 PM

Los montones enigmáticos Camila ha encontrado una página de un antiguo libro de matemagia con la siguiente descripción:

Juego de los montones Efecto Entrega una caja de fósforos a un amigo y tú vuélvete de espaldas. Mándale hacer, sobre la mesa, tres montones iguales de fósforos. Pueden constar de un número cualquiera de palitos de fósforo, con tal de que sea superior a 3. Ahora, el amigo debe tomar tres fósforos de cada uno de los dos montones ubicados en los extremos y añadirlos al montón central. Luego, debe contar el número de fósforos en algún montón extremo y sacar esa cantidad del montón del centro.

Estos fósforos retirados debe colocarlos en alguno de los montones de los extremos. En este momento, el amigo debe nombrar libremente un número entre 1 y 12. A pesar de que ignoras el número de fósforos de los montones, con tu mágico poder lograrás que en el montón del centro quede un número de fósforos igual al número libremente nombrado por tu amigo. Secreto

Lamentablemente, la parte donde estaba descrito el secreto se ha roto. ¿Será posible descubrir cómo se hace este truco? Con tus compañeros, respondan las siguientes actividades y descubran el truco: 1) Utilicen fichas o semillas en lugar de fósforos. ¿Esto afecta el resultado del truco? Expliquen. No, porque interESAN LAS CANTIDADES

los montones de fósforos.

y no el tipo de elementos.

2) ¿Qué característica debe tener el número de semillas para poder hacer los montones? Deben ser de MÁS de doce SEMILLAS.

8) Planteen una generalización del problema, es decir, empiecen con un caso general. GENERALIZARemos MEDIANTE VARIABLES.

3) Si el número de semillas fuera 18, 21, 24 o 27, ¿qué observan? En el montón

7) ¿Cómo pueden demostrarlo sin necesidad de probar con muchas cantidades distintas? USANDO UNA VARIABLE PARA

CENTRAL

siempre

QUEDAN

9 fósforos.

4) Hagan un registro de lo que ocurre. Pueden usar un formato similar al que aquí se presenta. Cantidad total de semillas: 15

SEA x

LA CANTIDAD INICIAL

de

CADA

montón.

9) Llenen un formato como el anterior, pero utilizando el caso general. Montón 1

Montón 2

Montón 3

x

x x-3

x

Paso 1 Paso 2

x-3

x+ 6

Paso 3

x-3

9

2x - 6

Montón 1

Montón 2

Montón 3

Paso 1

5

5

5

Paso 2

2

11

2

10) ¿Llegaron a demostrarlo?

Paso 3

4

9

2

11) Redacten las instrucciones que faltan en el texto.

5) Definan qué es lo que se va a hacer en cada paso, para esto, lean el “Efecto” y dividan las instrucciones en tres pasos. 6) ¿Este patrón se cumplirá siempre? Sí, se cumple siempre.

Sí se demostró.

“SABIENDO que tengo 9 fósforos en el montón se le dice

AL AMIGO

los montones que MENCIONADO

que

AGRegue

CENTRAL,

o retire los fósforos de

SEAN NECESARios PARA DEJAR

el número

por él”.

12) Realicen el juego con tus compañeros de aula. ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con las ecuaciones lineales con una incógnita. He visto que puede aplicarse a la vida cotidiana, así como a situaciones curiosas; por ejemplo, trucos de magia y entretenidos rompecabezas. Siempre cuidaré de escribir bien la ecuación en términos de la incógnita elegida.

Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?

Muy interesantes.

Interesantes.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 93

93

Poco interesantes.

Nada interesantes.

Manual para el docente

61

7/19/12 12:41 PM

Actividad

13 El mundo está lleno de

incógnitas

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que en muchas actividades se tiene que trabajar con cantidades desconocidas. Así, por ejemplo, uno no sabe de antemano cuántos boletos de una rifa se van a vender, cuántas personas consumirán un menú en un día determinado, cuánta gente adquirirá determinado producto, entre otras situaciones. Estas implican una incógnita, algunos de cuyos valores se verifican por medio de las ecuaciones, que son igualdades relativas entre expresiones algebraicas. CAPACIDAD

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran ecuaciones lineales con una incógnita. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Transformaciones de equivalencia Expresiones algebraicas Operaciones aritméticas Patrones numéricos Razones y proporciones Porcentaje

Crea tu propia copa de helado

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

Ecuaciones lineales con una incógnita

En esta tarea, se presenta a los estudiantes una situación comercial, cuya información la deberán extraer de una tabla, además de efectuar operaciones aritméticas, calcular costos y compararlos entre sí, según la variedad del pedido de cada amigo. La información se presenta a través de un formato de tabla de doble entrada. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren extraer información de una tabla de doble entrada. Asimismo, que efectúen las operaciones aritméticas necesarias para resolver las situaciones problemáticas planteadas. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el reconocimiento de las condiciones particulares de cada caso, que nos plantean una operación aritmética diferente para la determinación del costo respectivo y las comparaciones correspondientes. En esta ocasión, se propone descomponer el problema en partes para el desarrollo sistemático de cada situación. Los estudiantes pueden tener dificultades al traducir el enunciado de la tabla de doble entrada a la operación aritmética que se encuentra directamente relacionada. Por ello se recomienda, como estrategia adicional, reformular las preguntas o parafrasear lo que se manifiesta en el texto.

La edad de David

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas

La tarea presenta un típico problema de edades. Generalmente, en este tipo de situaciones, se relacionan las edades de los participantes en el pasado, presente y/o futuro. En este caso, hay dos personajes: David y Anabel, así como dos momentos de trabajo: hace 15 años y hoy. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen la traducción de expresiones verbales complejas a expresiones algebraicas. Luego de ello, se espera que establezcan las ecuaciones necesarias para resolver la situación problemática. A los estudiantes más avanzados se les puede proponer que inventen sus propios juegos de magia, a partir de este. Por ejemplo, incrementando el número de montones o modificando las relaciones que se establecen en cada pasada. En los libros de Yakov Perelman y Martin Gardner, que se encuentran en Internet, puede investigar más trucos de este tipo. Para comprender algunas relaciones, se propone particularizar. Así, se pregunta, por ejemplo: “Si Anabel tuviera hoy 18 años, ¿cuántos años tendría David?”. Este paso es previo para que el estudiante logre establecer la relación general entre las edades de ambos en el presente. En este caso, se propone reconocer la incógnita identificando las ecuaciones, modelar cada condición y realizar el registro en una tabla.

Resolvamos 1

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MD

94

7/19/12 12:41 PM

Posibles dificultades

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T3

El terreno del agricultor

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

Los estudiantes pueden tener dificultades al interpretar el acertijo de David; en cuyo caso, deberán dividirlo para facilitar su comprensión y trabajarlo por partes. Los errores típicos son no considerar los estados del tiempo y trabajar como si los datos solo correspondieran al presente. Por eso, es conveniente dar un plazo mayor a la lectura de la primera fase hasta que comprendan bien el enunciado. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. Adicionalmente, se pide que comprueben sus resultados. Esto es bueno, pues les ayuda a visualizar concretamente las relaciones que leyeron al inicio del problema y, en todo caso, a identificar errores en la obtención de la respuesta la correcta. También es importante que reconozcan la posibilidad de haber utilizado otra incógnita. Los estudiantes más avanzados pueden resolver el problema empleando como incógnita la edad de David.

La tarea presenta el caso de un agricultor que desea conocer la medida del cerco de un terreno cuadrado que ha dividido en 5 parcelas rectangulares, sabiendo cuánto mide el cerco de cada una de las parcelas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen representar gráficamente una situación a partir de un enunciado verbal, así como relacionar sus dimensiones para plantear un sistema de ecuaciones. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en cada condición que señala el problema; asimismo, en la identificación y definición de las incógnitas. Es bueno que los estudiantes reflexionen sobre el significado que, en el contexto del problema, debe tener cada letra que vayan a utilizar. En este caso, se proponen dos estrategias: la representación gráfica y el planteamiento de un sistema de ecuaciones. También se propone la lectura analítica, al dividir el enunciado en partes, para así poder simbolizar cada una de las condiciones. Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar las incógnitas que utilizarán y al traducir el enunciado que implica el concepto de perímetro. La primera pregunta de la tercera fase está diseñada para ayudar en este aspecto. Los estudiantes deberán describir la estrategia utilizada. Es posible modificar los datos, pero manteniendo su organización. Esto ayuda a reconocer el tipo de estructura del problema trabajado.

Los enigmas del calendario

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades Más allá del problema

La tarea presenta una actividad de investigación de patrones numéricos en una hoja de calendario. Por su estructura, el calendario es una fuente de relaciones y patrones numéricos que son posibles de explorar. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen la identificación de patrones numéricos, su verbalización y simbolización. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la búsqueda de regularidades en la distribución de los números del calendario. Asimismo, se debe orientar a los estudiantes para que, a partir de la experiencia, encuentren nuevas regularidades y creen nuevos trucos matemáticos. En este caso, se propone experimentar con valores particulares para identificar un patrón que será generalizado mediante símbolos. Los estudiantes pueden tener dificultades al verbalizar y generalizar los patrones, por lo que el docente deberá monitorear cuidadosamente este proceso. En el calendario, es posible explorar otras disposiciones; por ejemplo: una matriz de 5 x 5, una columna de 4 números o una disposición triangular, en cruz o en forma de T. Los estudiantes más avanzados pueden explorar algunas de estas disposiciones.

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Manual para el docente

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13

ia

Crea tu propia copa de helado En la heladería Sabor a fruta se exhibe esta lista de precios, la que informa al cliente sobre diversas opciones:

Sabor a fruta Copa básica Bola extra Dos bolas extra Agregados varios: Nueces Cerezas Chispas Salsa de chocolate Salsa de caramelo Crema batida Trocitos de chocolate Utiliza esta información para calcular los costos sobre los pedidos que un grupo de amigos podría realizar.

1) Paola elige para su copa una bola extra, nueces, salsa de chocolate, crema batida y chispas, ¿cuánto debe pagar? 4 + 2,50 + 1 + 1 + 1+1 = 10,50 Debe

PAGAR

S/.10,50.

Le

10,50 – 3,50 + 1 = 8 PAGAR

Tiene 40 + 40 = 80. CUESTA

Después de

PAGAR

QUEDA

5) Compara los costos del primer pedido de Paola con el de Carmen y calcula la diferencia entre el mayor y el menor costo. 12 – 10,5 = 1,5,

6) ¿Con cuántos cupones similares al que tiene Paola se podría pagar un pedido que incluya dos bolas extra, nueces, cerezas, chispas, crema batida y trocitos de chocolate? El pedido

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 96

CUESTA

NECESITARÍAN

80 – 12 = 68.

Sí, le

62

S/.56.

4 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 14 y se

14 ÷ 3,5 = 4 cupones.

7) Reflexiona y responde: Con el dinero de Javier, ¿se podrán cubrir los gastos en helados de Paola, Carmen y de él mismo? ¿Cuánto le sobraría?

4 + 5 + 1 + 1 + 1 = 12. le

QUEDA

LA diferENCIA es S/.1,5.

S/.8.

3) Javier tiene 4 billetes de S/.10 y dos de S/.20. Pide una copa de helado con dos bolas extra, salsa de chocolate, crema batida y trocitos de chocolate. Después de pagar, ¿cuánto dinero le queda? Su pedido

4) Si Javier le invita una copa de helado a Carmen, igual a la suya, ¿cuánto dinero le queda ahora? 68 – 12 = 56,

2) Paola tiene un cupón que le rebaja S/.3,50 en el costo de cualquier copa de helado. Lo usó para pagar su pedido indicado en la pregunta 1 y le añadió cereza. ¿Cuánto debe pagar ahora? Debe

S/.4,00 S/.2,50 S/.5,00 S/.1,00 cada uno

MD

SOBRARÍA

S/.45,5.

96

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La edad de David A David no le gusta que descubran cuántos años tiene. Como es profesor de Matemática, cuando alguien le pregunta acerca de su edad, él responde muy suelto de huesos con un acertijo. Por ejemplo, ayer, cuando Anabel le preguntó su edad, David contestó: “Mi edad es el doble de la tuya; pero, hace 15 años, era el triple”. ¿Con estos datos, será posible que Anabel pueda calcular la edad de David? Si es así, ¿cómo lo hará?

1) ¿Quiénes intervienen en la historia? DAVID y ANABEL. ACERCA de

2) ¿Acerca de qué hablan los personajes?

LA EDAD

de DAVID.

3) ¿Se expresa alguna relación matemática entre las personas que intervienen? Sí,

CUANDO

DAVID dice: “Mi

EDAD

es el doble de

4) ¿Qué es lo que se desea averiguar? LA

EDAD

LA TUYA;

pero,

HACE

15

2) ¿De cuántos momentos en el tiempo se hablan? ¿Cuáles son? Se HABLA del presente y el PASADO.

1) Completa la tabla que representa esta situación. ¿Qué significa la x mostrada? Hace 15 años David

3) Si Anabel tuviera hoy 18 años, ¿cuántos años tendría David? Explica. Como dice DAVID “Mi EDAD es el doble de LA TUYA”, TENDRÍA

36

el triple”.

de DAVID.

1) ¿Cuántos personajes hay? HAY dos perSONAJES.

entonces DAVID

AÑOS, ERA

AÑOS.

4) Si hace 15 años Anabel hubiera tenido 6 años, ¿cuántos años habría tenido David? Explica. Como dice DAVID “HACE 15 AÑOS, ERA el triple”, entonces HUBIERA tenido 18 AÑOS.

5) ¿Cómo organizarías las edades en distintas épocas?

Anabel

Hoy

2x - 15

2x

x - 15

x

2) ¿Qué relación hay entre las edades de David y Anabel hace 15 años? HACE 15 AÑOS, LA EDAD de DAVID ERA el triple que

LA

de ANABEL.

3) Escribe una ecuación que represente esta relación. 2x - 15 = 3(x - 15); x = 30

a) Con un diagrama lineal

4) Resuelve la ecuación y vuelve a completar la tabla.

b) Con un diagrama cartesiano

Hace 15 años

c) Con una tabla de doble entrada O

Hoy

David

45

60

Anabel

15

30

5) ¿Cuántos años tiene David? DAVID tiene 60 AÑOS.

1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver este problema. ESTABLECER LAS rELACIONES en el presente y el PASADO MEDIANTE

expresiones

orGANIZADAS en y resolverLA.

ALGEBRAICAS

UNA TABLA, PLANTEAR UNA ECUACIÓN

5) Resuelve el problema utilizando una tabla de doble entrada: Hace 5 años, la edad de Papo era tres veces la edad de Pipo. Dentro de 5 años, será el doble. ¿Qué edades tienen Papo y Pipo?

2) ¿Cómo puedes comprobar tus resultados? VerifICANDO

LAS

condiciones del

PROBLEMA.

3) ¿Pudo tomarse como incógnita la edad de David? Sí, pero se

HUBIERA TRABAJADO

Hace 5 años

Hoy

Dentro de 5 años

PAPO

3x

3x + 5

3x + 5 + 5

Pipo

x

x+ 5

x+ 5 + 5

con fRACCIONES.

4) Resuelve el problema, pero tomando como incógnita la edad de David. Hace 15 años Hoy DAVID

Anabel

x - 15

x

x/2 - 15

x/2

3x + 10 = 2(x + 10); x = 10 LAS EDADES de PAPO y Pipo son 35 y 15 rESPECTIVAMENTE.

AÑOS,

x-15=3(x/2 - 15); x = 60

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Manual para el docente

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El terreno del agricultor Un agricultor es propietario de un terreno cuadrado que ha sido dividido en 5 parcelas rectangulares. Para cercarlas, ha calculado un cerco de 300 metros para cada parcela. Si deseara hacer solo un cerco alrededor de todo el terreno, ¿cuál sería su longitud?

1) Dentro del terreno cuadrado, ¿qué otra figura geométrica reconoces?

1) ¿De qué trata el problema? De

el terreno.

CERCAR

Reconozco

2) ¿Qué datos identificas en el problema? El perímetro de

CADA PARCELA

300 m.

3) ¿Qué procedimiento realizarías para hallar la solución al problema?

CUADRADO.

4) ¿Qué te solicita el problema? LA longitud

PARA

Uso de los perímetros del

un cerco único.

1) Representa una de las parcelas y sus respectivas dimensiones.

SEAN x e y x

LADO

LAS

= menor e y =

Si

JUNTAMOS

el

LADO

CADA PARCELA,

2x + 2y = P;

CASO

menores de

CUADRADO;

LAS

5

PARCELAS,

se tiene

luego 5x = y.

x x x

x

5) Utiliza las dos ecuaciones anteriores para determinar los valores de x e y. x + y = 150; 5x = y

luego:

Resolviendo, x = 25 m, y = 125 m.

x + y = P/2

3) Para nuestro caso, el perímetro de la parcela rectangular es 300 m, ¿cómo se expresa la relación? PARA el

LADOS

donde:

Sí es posible. LA PARCELA,

y del rECTÁNGULO.

y

2) ¿Es posible relacionar estas dimensiones con el perímetro de la parcela (P)? Determina la relación. P: perímetro de

los

del terreno

x

LADO MAYOR.

CUADRADO

4) Plantea la relación entre los lados del terreno.

y

x dimensiones de

de forMA rECTANGULAR.

2) ¿Cuál es el perímetro de estos sectores dentro del terreno?

rECTANGULAR es 300 m.

3) ¿Qué forma geométrica tiene el terreno? ForMA de

UNA fIGURA

6) ¿Cuál es tu respuesta? El perímetro del terreno es 500 m.

P = 300, tenemos x + y = 150.

1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver el problema. HACER el

DIAGRAMA

de

UNA

de

LAS PARCELAS

y reprESENTAR sus

MEDIDAS.

2) Resuelve lo mismo, pero considera ahora que el agricultor divide el terreno en cuatro parcelas iguales y el perímetro de cada una es de 300 m. El perímetro del terreno es 480 m.

64

Resolvamos 1

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Los enigmas del calendario NOVIEMBRE 2012

Una hoja de calendario esconde muchas cosas curiosas. Domingo

En esta actividad, tendrás la oportunidad de explorar estos enigmas, que luego podrás utilizar en tus sesiones de matemagia.

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

1

2

Sábado 3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Con tus compañeros, respondan las siguientes incógnitas y resuelvan el problema: 1) Elijan cuatro números, en un cuadrado de 2 x 2, sumen los 7) ¿Cómo aplicarían esto para saber el resultado de la suma de números de una diagonal y los números de la otra diagonal. estos números rápidamente? MULTIPLICANDO el número ¿Qué observan? CENTRAL

LAS

2

3

9

10

son

SUMAS

de

dos

LAS

IGUALES.

DIAGONALES

14

20

21

LAS

SUMAS

TAMBIÉN

de

son

LAS DIAGONALES

UNA HOJA

de un

de

CUADRADO

CALENDARio, LAS SUMAS

de 2 x 2 son

IGUALES.

de

LAS DIAGONALES

4) ¿Pueden demostrar el hecho descrito, es decir, garantizar que se cumple para cualquier cuadrado de 2 x 2? El

CUADRO,

en

GENERAL,

es:

x

x+1

DIAGONAL 1: x + x + 8

x+7

x+8

DIAGONAL 2: x + 7 + x + 1

MANTIENE LA MISMA COLUMNA

y

FILA.

rELACIÓN de los

6) Tomen ahora un cuadrado de 3 x 3 y sumen los nueve números que lo conforman. ¿Tiene esta suma alguna relación con los números sumados? 5

6

7

12

13

14

19

20

21

voy

CALCULANDO

los

6 + 13 + 20 = 39

7 + 14 + 21 = 42

10) Escriban aquí lo que han descubierto. Si se TOMA el número del centro y se MULTIPLICA por tres, se tendrÁ LA SUMA de dichos números.

11) ¿Pueden probar que este hecho se cumple siempre? Sí, pues los números ESTÁN en RAZÓN ARITMÉTICA de RAZÓN 7, y si se SUMAN los dos extremos y se dividen entre dos, obtienen el del centro. TAMBIÉN se puede HACER escribiendo los números como (x - 7), (x) y (x + 7).

12) ¿Cómo pueden crear un truco matemágico a partir de esta curiosidad matemática?

5) ¿Ocurrirá lo mismo con un cuadrado de 3 x 3? ¿Por qué? Sí, porque se números por

CENTRAL

9) Prueben con varios tríos. ¿Observan alguna relación entre la suma y el trío de números? Si no la observan, prueben con varios grupos hasta que logren descubrirla.

IGUALES.

3) Pueden escribir un texto que informe lo que han observado, ¿qué ocurre con las sumas? En

Sí, es posible, con el número números vecinos.

8) Elijan tres números seguidos que estén en la misma columna y súmenlos. 5 + 12 + 19 = 36

2) Prueben con otros cuadrados. ¿Ocurre lo mismo? 13

por 9.

¿Es posible saber cuáles fueron los sumandos?

SUMA 117. Si TOMAMOS el número CENTRAL y lo MULTIPLICAMOS por 9, obtenemos LA SUMA.

Se puede pedir que sumen tres números en COLUMNA y DIGAN LA SUMA. USAMOS nuestros poderes MENTALES y descubrimos de qué números se TRATA.

13) Si les dieran la suma de cinco números en columna, ¿cómo descubrirían los sumandos? LA SUMA se divide entre 5 y se obtiene el número CENTRAL. Se rESTA 7 y luego 14. A CONTINUACIÓN, se SUMA 7 y después 14. Así se obtienen los otros

CUATRO.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con las ecuaciones lineales con una incógnita, que me sirven para calcular con cantidades desconocidas. Se aplican en el comercio y la industria para planificar y estimar la producción, entre otras operaciones.

Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?

Estuve sobresaliente.

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He participado de forma significativa.

99

Fue aceptable.

Debo mejorar.

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Actividad

14

Textos que esconden números

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que en la vida cotidiana muchas veces es necesario trabajar con cantidades desconocidas. Por ejemplo, no sabemos con anticipación el número de asistentes al festival del colegio ni cuántos libros se sacarán el fin de semana de la biblioteca escolar. Sin embargo, aunque no conocemos sus valores, se necesita trabajar con estas cantidades para proyectar recursos, costos, ganancias, etc. CAPACIDAD

Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran ecuaciones lineales con una incógnita. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

Ecuaciones lineales con una incógnita

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Costos fijos y variables Operaciones con decimales Fracciones Razones y proporciones

Costos fijos, costos variables

Descripción de la actividad

El caso presenta una situación típica en la producción de bienes. Se trata de proponer el número de productos que debe vender una empresa para que sus costos de producción se igualen al ingreso obtenido. A esto se conoce como estado de equilibrio. Es importante conocer la cantidad que da lugar al estado de equilibrio, ya que la empresa obtiene ganancias a partir de ventas mayores a esa cantidad.

Intención pedagógica

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran modelar situaciones de producción en las que se demanda conocer el punto de equilibrio.

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en diferenciar lo que se quiere decir con costo fijo y costo variable. En este caso, se propone desarrollar el razonamiento inductivo que oriente al estudiante a reconocer procedimientos de modelación para ingresos y egresos en la producción de bienes. Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender y establecer la correspondencia entre las expresiones literal y matemática de cada una de las relaciones de costo, ingreso, utilidad. Por ello, la actividad guía esta construcción, paso a paso.

Dulces ecuaciones

Descripción de la actividad

Se presenta una situación para modelarla mediante una ecuación lineal. Es un caso referido al costo combinado de tres objetos: un bizcocho, una caja y una bolsa.

Intención pedagógica

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran plantear ecuaciones lineales a partir de la información verbal explícita.

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la identificación de las partes del texto que dan información para modelar la ecuación. También se debe reflexionar con los estudiantes, en relación con la importancia de una lectura atenta. En este caso, se propone subrayar los datos relevantes, así como elaborar un organizador de información que asocie la expresión literal y la simbólica, para el posterior planteo de una ecuación. Los estudiantes pueden tener dificultades al traducir una expresión verbal a un enunciado simbólico. Por ello, las preguntas particularizan la situación consiguiendo que el estudiante logre comprenderla. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. Además, se proponen otras posibles vías de solución que apelan a modelos gráficos, muy útiles sobre todo para aquellos estudiantes que tienen dificultades con los símbolos algebraicos.

Resolvamos 1

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T3

Calcular para crecer

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

La tarea presenta una actividad típica en la gestión de la pequeña empresa: la proyección de los recursos para cumplir con determinados pedidos. En este caso, mediante una ecuación, doña Francisca debe proyectar los kilos de café que necesita comprar para abastecer su negocio. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran el planteamiento y la solución de ecuaciones lineales con una incógnita. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en establecer relaciones proporcionales, asignando incógnitas a datos desconocidos. Esto implica formular ecuaciones para poder proyectar, de una manera objetiva, el número de kilos de café que necesita doña Francisca. En este caso, se propone organizar la información en una tabla que permita establecer las relaciones y las incógnitas. También, plantear y resolver una ecuación, así como aplicar la reducción a la unidad. Los estudiantes pueden tener dificultades al formular la relación de proporcionalidad que da origen a la ecuación que soluciona el problema. Por eso, en la fase tres, se plantean preguntas para guiar el razonamiento de los estudiantes, de manera que logren formular la igualdad. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. Luego explorarán diversas vías de solución para fijar el concepto de reducción a la unidad, que permite resolver muchos problemas de proporcionalidad directa.

Detectives matemáticos

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

La tarea comprende una actividad lúdica que combina elementos de lógica con la solución de ecuaciones lineales, aunque la forma de presentarlas puede parecer compleja. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran identificar ecuaciones lineales, presentadas en formas distintas de la canónica ax + b = 0, a ≠ 0. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las relaciones lógicas entre los cajones donde se guardan los materiales de las áreas, así como en las formas de presentación de las ecuaciones, que pueden ser reducidas a otras más convencionales. En este caso, se propone razonar con lógica y resolver una ecuación. Los estudiantes pueden tener dificultades al inferir conclusiones a partir de las relaciones lógicas que se dan. Deben identificar la ecuación de inicio, es decir, aquella que da la primera información para poder avanzar en la solución del problema. Esta ecuación de inicio debe relacionar una cantidad desconocida con alguna que conozcamos. Los estudiantes pueden inventar problemas similares a los aquí planteados.

Más allá del problema

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14 Costos fijos, costos variables El grupo de cumbia La Miel ha decidido producir sus propios discos compactos. Los integrantes saben que los gastos fijos ascenderán a S/.2000 por mes y que producir cada disco cuesta S/.2. Ellos desean vender la unidad a S/.7.

Lee con atención y contesta: 1) Costo fijo: El costo fijo de un producto o servicio generalmente considera el alquiler del local, consumo de luz, pago de teléfono, etc., es decir, los gastos que de todas maneras deberemos hacer. Estos costos no dependen del número de unidades producidas. ¿Cuánto es el costo fijo? S/.2000 por mes. 2) Costo variable unitario: Es lo que cuesta producir una unidad del producto. Es decir, es lo que cuesta producir un disco compacto, donde el costo de producción unitario es S/.2. 3) Precio unitario de venta: Es el precio al cual vamos a vender cada unidad de nuestro producto. ¿Cuál es el precio unitario? S/.7. 4) Costo total: Es la suma de los costos fijos y variables, que depende de la cantidad producida. Imagina que La Miel produce x discos, en cuyo caso la función costo total será: C(x) = 2000 + 2x 5) Función ingreso: Es el dinero que ingresa como producto de la venta de los artículos. No considera la inversión, por lo que es mejor llamarlo ingreso bruto. En nuestro caso, es I(x) =

7x

6) Función utilidad: Es la diferencia existente entre el ingreso bruto y el costo total. En nuestro caso, es U(x) =

5x - 2000

7) Cantidad de equilibrio: Es la cantidad de un producto que se debe fabricar y vender para no ganar ni perder. Se calcula igualando el costo total con el ingreso bruto; es decir: C(x) = I(x). Resolviendo esta ecuación, la cantidad de equilibrio es igual a

400 discos.

8) Reflexiona y responde: ¿Cómo representarías la utilidad en relación con el ingreso bruto y el costo total? U (x) = I (x) - C (x)

9) En las preguntas anteriores has representado algebraicamente. Expresa las funciones planteadas. C (x) = 2000 + 2x U (x) = 5x - 2000 I (x) = 7x

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Resolvamos 1

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Un bizcocho, envuelto en bolsa de plástico y en caja de cartón, cuesta S/.21. El bizcocho sin bolsa de plástico, pero con caja, cuesta S/.20. Si el bizcocho cuesta 3 veces lo que cuesta la caja, ¿cuánto costará un bizcocho envuelto en bolsa únicamente?

1) ¿Con qué está envuelto el bizcocho? En

BOLSA

de

PLÁSTICO

y en

CAJA

de

4) ¿Qué relación hay entre el costo del bizcocho y el costo de la caja?

CARtón.

2) ¿Cuál es el precio del bizcocho con caja y bolsa?

El bizcocho

S/.21

CUESTA

3 veces

LA CAJA.

5) ¿Qué es lo que te piden averiguar?

3) ¿Cuál es el precio del bizcocho con caja y sin bolsa?

El precio del bizcocho envuelto solo en

S/.20

1) Si la caja costara S/.4, ¿cuánto costaría el bizcocho?

BOLSA.

1) Si la caja cuesta x, ¿cuánto cuesta el bizcocho?

3x

2) Expresa con símbolos lo que se afirma en el problema.

COSTARÍA S/.16.

2) Te dan información de varios precios de objetos que están relacionados. ¿Cómo puedes representar estas relaciones?

El bizcocho

con caja

cuesta

S/.20

3x

+ x

=

20 soles

3) ¿Cuánto cuesta la bolsa?

a) Mediante tanteo.

S/.1

4) ¿Cuánto cuesta el bizcocho? S/.15

b) Mediante una fórmula.

5) ¿Cuánto cuesta el bizcocho envuelto solo con una bolsa?

c) Mediante una ecuación. O

S/.16

1) ¿Cómo puedes comprobar tus resultados?

Se puede

COMPROBAR

verifICANDO

LAS

condiciones del

PROBLEMA.

2) Observa el siguiente gráfico, teniendo en cuenta que el precio del bizcocho es tres veces el precio de la caja: Precio del bizcocho

Precio de la caja

20 3) ¿Qué opinas de esta estrategia gráfica? Es UNA BUENA ESTRATEGIA, pues permite VISUALIZAR LA SITUACIÓN. 4) Ahora resuelve el problema mediante una ecuación y por medio de la estrategia gráfica, pero imagina que el bizcocho cuesta 4 veces lo que cuesta la caja. Precio del bizcocho

Precio de la caja

20 20 - x = 4x; x = 4, entonces

LA CAJA CUESTA

S/. 4 y el bizcocho, S/. 16. El bizcocho con

MD

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103

BOLSA COSTARÍA

S/. 17.

Manual para el docente

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Calcular para crecer Doña Francisca sabe que ¼ de un kilo de café molido le rinde para 42 tazas de café pasado. Ella compra café cada quincena para que no se pierda el aroma. Por experiencia, sabe que al día vende un promedio de 60 tazas de café. ¿Para tener abastecido su negocio, cuántos kilos de café debe ella comprar quincenalmente, como mínimo?

1) ¿Qué es lo que hace el personaje del problema? Vende

5) ¿Cuántos kilos de café necesita para preparar 42 tazas?

CAFé PASADO.

NECESITA ¼ de kilo

2) ¿Cuántos días tiene una quincena? 15 DÍAS. 3) Del enunciado, ¿cuántas tazas de café vende al día? 60 TAZAS de CAFÉ AL DÍA. 4) ¿Qué quiere decir la oración: “la compra quincenal y la venta promedio de 60 tazas de café al día”? Quiere decir que si

conocemos el número de TAZAS VENDIDAS en UNA QUINCENA y LA dividimos entre 15, el rESULTADO SERÁ 60 TAZAS, que es lo que USUALMENTE ELLA VENDE en el negocio.

1) ¿Con ¼ de kg de café, cuántas tazas puede preparar? 42

de

DUPLICA LA CANTIDAD

TAZAS

y

SERÁN

84

TAZAS.

NECESITA 5/14 kilos

rELACIÓN dirECTAMENTE

PROPORCIONAL.

dirECTAMENTE

PROPORCIONALES.

VENTAS.

7) ¿Qué es lo que quieres averiguar? LA

CANTIDAD

de

CAFé A COMPRAR QUINCENALMENTE.

1) Si en 15 días vende 15 x 60

PROBLEMA

números enteros

A

FRACCIONES EQUIVALENTES.

UTILIZANDO

2) ¿Puedes resolver el problema con otra estrategia? Explica. Sí, se puede CALCULAR el requerimiento DIARio en kilos y MULTIPLICAR por 15.

3) Una tabla también hubiese resultado útil. Observa: kg 42 tazas

Resolvamos 1

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x

kg

1 taza

1día 60 tazas

tazas de café, entonces tendrá 15 días 900

TAZAS

NOTA: ** = 900

TAZAS.

X **

APROXIMADAMENTE.

4) Aproxima al entero superior más próximo y responde. ¿Cuántos kilos de café necesita comprar para mantener abastecido el COMPRAR

6 kilos de

CAFé.

En la columna central, se indica cuántos kilos de café se necesitan por taza. Completa: Para un día (60 tazas) necesita 5/14 kg de café. Luego, para 15 días necesitará 75/14 kilos. 4) El método que has utilizado se conoce como "reducción a la unidad". Discute con tus compañeros por qué creen que lleva ese nombre. Se conoce ASÍ porque reducimos requerimiento de CAFé A 1 DÍA.

kg

¼ = 42

que necesitas para preparar 900 tazas.

negocio? NECESITA

1) Para evitar utilizar fracciones, ¿qué hubieras podido hacer?

68

sus

3) Resuelve la ecuación. x = 5,36 kilos,

4) La razón: “kilos de café por taza”, ¿se mantiene constante? ¿Por qué? Sí se MANTIENE CONSTANTE, debido A que son

LLEVAR el

PARA CUBRir

2) Plantea la proporción que te permita conocer los kilos de café

3) ¿Qué relación hay entre la cantidad de café y el número de tazas que puede preparar? UNA

TAZAS.

900 tazas de café.

TAZAS.

HAY

42

6) ¿Al día, cuánto de café necesita, aproximadamente, para cubrir las ventas?

2) Si se duplica la cantidad de café, ¿qué ocurrirá con la cantidad de tazas que puede preparar? Se

PARA HACER

LA

inforMACIÓN del

60 tazas

MD

104

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Detectives matemáticos Miguel es muy minucioso y ordenado, por eso archiva todos los materiales de las clases que se dan en su escuela. En cada cajón de su archivador, él guarda lo que corresponde a cada una de las siguientes seis áreas: Arte; Inglés; Matemática; Comunicación; Historia, Geografía y Economía; y Ciencia, Tecnología y Ambiente. El archivador se muestra en el dibujo:

CTA HGE

MATEMÁTICA Arte

Inglés COMUNICACIÓN

Como se observa, los letreros que identifican a los cajones no están escritos. Para ello, Miguel ha diseñado 5 pistas. Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades y descubran a qué cajón pertenece cada área. Escriban este dato en el rótulo correspondiente. Pistas diseñadas por Miguel: 1) Los materiales de Comunicación están en el cajón cuyo número cumple con la siguiente condición: el número restado de su triple, dividido entre seis, es igual a la suma de 24 y el doble del número, dividido entre 18. ¿Cuál es el número? El número es 6. 2) Los materiales de Arte están en el cajón cuyo número es la solución de la ecuación:

60

3x - 3 La solución es:

=

150

7x - 5

x = 5.

3) Los materiales de Inglés están en la misma columna que los materiales de Comunicación. 4) Los materiales de Matemática están en la primera fila. 5) Los materiales de CTA no están en el cajón cuyo número es la solución de la ecuación

25 = x+1

50 ¿Cuál es el valor de x? 3x - 2

x =4

Los materiales de CTA tampoco están en el cajón cuyo número resulta de reemplazar el valor de x hallado en la expresión (x + 6) (x + 1)

Formulen un problema similar, utilizando cinco pistas lógico-matemáticas. Las dos primeras deben ser dos ecuaciones. Cambien sus pistas con las de otros grupos y vean si ellos pueden resolver su problema. A resolver por los ESTUDIANTES.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran ecuaciones de una incógnita. Ellas nos sirven para poder tomar decisiones acertadas, por lo que se emplean en diversas situaciones comerciales, productivas, científicas, entre otras.

Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?

He colaborado de forma significativa.

Realicé aportes muy relevantes.

MD

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105

Mi colaboración fue aceptable.

Debo mejorar.

Manual para el docente

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Actividad

15

La función de las funciones

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que las funciones se encuentran en muchos aspectos de la vida diaria. Por ejemplo, a cada persona le corresponde un único DNI, el precio de una sandía depende de su peso, el tiempo para llegar a un destino depende de la velocidad del transporte, entre otros. En la vida cotidiana, las funciones se suelen representar mediante gráficos, tablas o en forma verbal, tanto en los periódicos como en otros medios de comunicación. Muchas veces, estas representaciones complementan noticias de interés nacional que debemos saber interpretar para estar correctamente informados. CAPACIDAD

Representa de diversas formas la dependencia funcional entre variables: verbal, tablas, gráficos, etc. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Representación de funciones

Operaciones con racionales Relación de orden en R Plano de coordenadas

Francisco el encuestador

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

La tarea presenta información referida a un conjunto de personas, cuyas características proporcionadas son dos: edad y altura. El caso muestra los datos mediante un gráfico en el plano de coordenadas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar representaciones discretas de relaciones funcionales. Al desarrollar la tarea, se debe enfatizar que el gráfico representa una relación existente entre las edades y las alturas de los participantes. Es también importante que los estudiantes relacionen la edad con el eje x, así como con la primera coordenada en un punto de la relación. Del mismo modo, la altura está relacionada con la ordenada, es decir, con la segunda coordenada del punto de la relación.

Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, se propone la lectura analítica para interpretar cada pregunta y poder responder.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al establecer la relación entre la edad y la altura. Resulta a veces complejo para ellos establecer esta relación en un par ordenado.

T2

Crecimiento de dos pequeños osos

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

La tarea presenta un estudio de nutrición en dos osos con pocas semanas de nacidos, según el cual se relaciona la cantidad de alimentos por día con el crecimiento mensual de cada uno de ellos. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran, a partir de la información dada, representar de forma tabular o gráfica el crecimiento de estos animales. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el reconocimiento de la relación establecida entre el número de veces que a los dos osos se les alimenta al día y el incremento mensual de la altura de ambos. A partir de ello, los estudiantes podrán lograr diversas representaciones del crecimiento de los osos. En este caso, se proponen la representación tabular y la gráfica, a partir de las cuales se podrán responder los cuestionamientos formulados. Los estudiantes pueden tener dificultades para evaluar la forma más conveniente de registrar los datos del crecimiento mensual de los osos. Para ello, es posible organizar la información en una tabla o en un gráfico. Los estudiantes identificarán las estrategias utilizadas para resolver la situación problemática. También se plantea un nuevo caso de alimentación, a fin de que puedan ampliar lo aprendido. Además, los estudiantes pueden inventar situaciones similares a la presentada en esta actividad.

Resolvamos 1

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T3

Los depósitos de agua

Descripción de la actividad

La tarea presenta la forma como dos depósitos A y B funcionan: a medida que A se llena, B se vacía, lo que se representa en la gráfica. En este caso, hay que determinar las velocidades de entrada y salida, así como el momento en que ambos recipientes tienen igual cantidad de agua.

Intención pedagógica

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar los datos proporcionados por un gráfico, así como la capacidad de utilizar esta información para responder a las preguntas formuladas.

¿A qué poner énfasis?

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la interpretación de la pendiente de las rectas mostradas que representan la forma como se llenan o vacían los dos recipientes. También es importante que el estudiante entienda lo que representa el punto de corte de las dos rectas.

Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, se propone analizar la gráfica. Es importante indicar a los estudiantes que no basta con determinar la velocidad de entrada y salida, sino que también se debe analizar cada caso planteado, a fin de que se cumpla con la intencionalidad de la actividad.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al realizar los cálculos para determinar la velocidad de entrada y salida del agua en los depósitos, así como al desarrollar su interpretación posterior.

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

Los estudiantes deberán reflexionar acerca del uso de la estrategia utilizada en este problema para poder aplicarla en situaciones similares.

Bicicleteadas funcionales

Descripción de la actividad

La tarea presenta las representaciones verbales de cuatro funciones que describen el recorrido de cuatro corredoras de bicicleta.

Intención pedagógica

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar, a partir de un texto continuo, elementos relevantes para establecer un gráfico funcional que representa la situación.

¿A qué poner énfasis?

Al desarrollar la tarea, enfatizar la lectura analítica de los enunciados y explicar cómo, al separar porciones de texto, podemos trabajar por tramos para graficar cada una de las funciones.

Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, se propone la lectura analítica y la división en subproblemas.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al extraer información de los textos y traducirla a un gráfico cartesiano. Es conveniente que, luego de que se haya trabajado con toda la clase, se repasen estos gráficos a la luz de los enunciados y se recalquen los puntos críticos.

Más allá del problema

Es posible realizar expresiones similares acerca de diversas situaciones cotidianas. El docente, como parte de la investigación, puede encargar a los estudiantes que inventen una situación similar a la mostrada y que la traigan para trabajarla en clase.

MD

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Manual para el docente

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15 Francisco el encuestador Francisco ha aplicado una encuesta a sus primos, con el fin de saber sus respectivas estaturas y edades. Con los datos recogidos, construye la gráfica mostrada.

Altura José Luis

Laura

Lucas Rosa Edad

1) ¿Quién es el más alto?

El

2) ¿Quién es el más bajo?

ROSA es

MÁS ALTO

es José.

LA MÁS BAJA.

3) ¿Quiénes tienen la misma estatura? LAURA y Luis. 4) ¿Quién es el mayor? El

MAYOR

es LUCAS.

5) ¿Quién es el menor? LAS menores son ROSA y LAURA. 6) ¿Quiénes tienen la misma edad? ROSA y LAURA. 7) Ordénalos de menor a mayor, según su estatura. ROSA, LUCAS, Luis o LAURA y José. 8) Ordénalos de menor a mayor, según su edad. ROSA

O

LAURA, José, Luis y LUCAS.

9) Reflexiona y responde: ¿Te fue necesario conocer exactamente la estatura y la edad de cada uno de los primos de Francisco? Si tengo el

GRÁFico,

no es

NECESARio.

10) El primo Julián no fue entrevistado el día que Francisco hizo el gráfico; pero se sabe que es más alto que Lucas y más bajo que Laura. Además, tiene la misma edad que Rosa. ¿En qué lugar colocarías el punto que representa a Julián? ¿Es el único lugar?

Altura José Laura

El punto que reprESENTA

Luis

mover en

LA

rECTA

AL

INDICADA

primo JULIÁN se puede por

LA fLECHA.

Lucas Rosa Edad

70

Resolvamos 1

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7/19/12 12:42 PM

Crecimiento de dos pequeños osos Ciertos estudios de nutrición en osos con pocas semanas de nacidos concluyen que: (i) si el pequeño oso come 3 veces al día, crecerá 5 cm al mes; (ii) si come 2 veces al día, crecerá 3 cm al mes; y (iii) si come solo una vez al día, crecerá apenas 1,5 cm al mes. Supón que al inicio del mes de enero, dos pequeños osos, Antojo y Bolita, miden 48 y 52 cm, respectivamente, y se les alimentó de esta manera: Antojo: 2 veces al día en enero y febrero, 3 veces al día en marzo y abril. Bolita: 3 veces al día en enero, 2 veces al día en febrero y 1 vez al día en marzo y abril. ¿Cuánto medirán a fines de abril? ¿En qué mes, en algún momento, alcanzarán la misma altura?

1) ¿De qué trata el problema? Del crecimiento de los osos pequeños, en rELACIÓN con el tipo de 2) ¿Qué datos identificas en el problema? LAS 3) ¿Qué te solicita el problema? LA

ESTATURA

MEDIDAS INICIALES

ALIMENTACIÓN

que reciben.

y el número de centímetros que crecen por mes.

de dos pequeños osos

AL fINAL

del mes de

ABRil.

1) Necesitas especificar lo que crece cada oso en cada mes, ¿qué estrategia te conviene aplicar? Conviene HACER

UNA TABLA.

2) Respecto al crecimiento de los osos, completa la siguiente tabla, indicando los datos en centímetros: Osos

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Antojo

3 cm

3 cm

5 cm

5 cm

Bolita

5 cm

3 cm

1,5 cm

1,5 cm

1) Elabora un gráfico en la cuadrícula de la derecha, donde registrarás lo que mide cada oso en los meses indicados, considerando en el eje horizontal los meses y en el vertical la medida (cm) de los osos.

Altura 70 (cm)

2) En la tabla, se quiere indicar lo que mide cada oso al final de cada mes. Completa

50

Osos

Inicio

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Antojo

48 cm

51 cm

54 cm

59 cm

64 cm

Bolita

52 cm

57 cm

60 cm

61,5 cm

63 cm

60

40

0 Ini

3) ¿Cuánto medirán Antojo y Bolita a fines de abril? MEDIRÁN 64 y 63 cm, rESPECTIVAMENTE.

Ene

Feb

Mar

Abr

Meses

4) ¿En qué mes, en algún momento, han alcanzado la misma altura? En el mes de ABRil.

1) ¿Qué estrategias te han sido útiles para resolver las preguntas propuestas? HACER

UNA TABLA

y GRAFICAR.

2) ¿Cuánto hubiera medido el oso más pequeño si se le hubiera alimentado 3 veces al día, de inicios de enero a fines de abril? El

MÁS

pequeño, Antojo,

MEDIRÍA

48 + 5 + 5 + 5 + 5 = 68 cm.

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Manual para el docente

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Los depósitos de agua Dos depósitos de agua A y B funcionan de la siguiente forma: a medida que A se va llenando, B se va vaciando, lo cual se muestra en la gráfica. a) ¿Cuál es la velocidad de entrada y salida del agua? b) ¿En qué momento A y B tienen la misma cantidad de agua?

Volumen 175 (l) 150 125 100 75 50 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tiempo (min)

1) ¿Qué cantidades se representan en los ejes de coordenadas?

1) ¿Qué estrategia eliges para resolver el problema?

En el eje horizontal se representa el tiempo en minutos.

a) Buscar regularidades.

En el eje vertical se representa el volumen en litros.

b) Calcular directamente.

2) ¿Cuál de las gráficas corresponde al recipiente que se va llenando? LA LÍNEA de color rojo, porque EMPIEZA en el origen y reprESENTA un incremento del volumen 3) ¿Qué deduces al observar la gráfica del otro recipiente? Al inicio,

conforme GRÁFICA

es

CUANDO PASA

t = 0, contiene 150 litros, y

el tiempo, el contenido disminuye. Su

LA LÍNEA AZUL.

LA VELOCIDAD

de

de

ENTRADA

y

SALIDA

del

AGUA.

AGUA.

50 litros; luego

LA VELOCIDAD

es 50 / 5 = 10 litros por minuto.

4) ¿En qué momento A y B tienen igual cantidad de agua? LÍNEAS

es el

INSTANTE

se crUZAN, lo que sucede

INSTANTE, AMBOS

LAS GRÁFICAS LINEALES.

3) ¿Cómo calcularías las velocidades de entrada o salida del agua en los recipientes? AGUA

BASTA CON

A

tienen 50 litros.

en el que

LAS

dividir el volumen

que ingresó entre el tiempo SIMILAR PARA

dividir el volumen de

dos

los 5 minutos. En ese

TRANSCURrido;

el recipiente B,

AGUA

que

SALIÓ

BASTA CON

entre el tiempo

1) ¿Qué hiciste para determinar el instante en el cual ambos recipientes tienen igual cantidad? su posición en el eje referido

3) Calcula la velocidad de entrada del agua al recipiente A.

GRÁFICO,

de

de modo uniforme y en

de modo uniforme, lo que es

UBICAR el punto en que se crUZAN

150 / 7,5 = 20 litros por minuto.

Obser VANDO el

CARACTERÍSTICO

AUMENTA

TAMBIÉN

TRANSCURrido.

2) Calcula la velocidad de salida del agua del recipiente B.

LLENAN

B disminuye

de modo LA

1) Comienza por lo más fácil, ¿a los cuántos minutos termina el proceso de vaciado de B? A los 7,5 minutos.

A los 5 minutos, se

En A el contenido

de

TAMBIEN el momento en el que los depósitos tienen MISMA CANTIDAD

2) Describe de qué manera varía el contenido en cada recipiente.

PARA el recipiente A

4) ¿Qué te solicita el problema? HALLAR

c) Utilizar la gráfica.

AL

AMBAS GRÁFICAS

tiempo.

y ver

2) En el instante en que B queda vacío, ¿qué cantidad de agua tiene A? A los 7,5 minutos, A tiene 75 litros.

3) ¿Al cabo de qué tiempo B contiene la mitad de su capacidad inicial? A los 3,75 minutos.

5) ¿Qué cantidad de agua contiene cada recipiente a los 5 minutos? En A, AL TRANSCURrir 5 minutos HAY 10(5) = 50 litros. En B, AL TRANSCURrir 5 minutos HAY 150 – 20(5) = 50 litros.

72

Resolvamos 1

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Bicicleteadas funcionales El locutor de la comunidad de Tambopata está narrando la competencia entre cuatro participantes por el premio al mejor ciclista ecológico, en una carrera de 6 km. Al finalizar la contienda, el locutor comenta: • Aurora salió rápidamente situándose primera; pero, a medida que iba pasando el tiempo, su velocidad fue disminuyendo y llegó tercera a la meta. • Maite siempre mantuvo una velocidad constante, lo que le permitió llegar segunda. • Raisa no empezó muy bien; pero, poco a poco, aumentó su velocidad, de tal forma que se adelantó a todas sus contrincantes. • Sonia fue rápida en la salida; pero cuando intentaba ponerse primera, tropezó y se cayó. Después de levantarse, continuó, aunque con dificultad. A mitad de la carrera, el dolor le impidió seguir y se retiró. Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades y hagan una gráfica que represente las carreras de las cuatro ciclistas. 1) ¿Cuántas gráficas lineales tendrán que hacer? 4

8) Realicen la gráfica para cada una de las competidoras, en el siguiente plano de coordenadas.

GRÁFICAS LINEALES.

2) ¿Qué va a relacionar cada gráfica? CADA

GRÁFICA VA A

rELACIONAR

Distancia recorrida (km)

DISTANCIA/TIEMPO.

3) ¿Al inicio, cuánto es lo que ha recorrido cada ciclista? Al inicio no

HAN

Maite

hecho ningún recorrido.

Raisa

4) ¿Al final, cuánto habrá recorrido cada una? CADA

UNA HABRÁ

Aurora 6

3

Sonia se retiró

recorrido 6 km.

5) ¿Creen que es una buena estrategia dividir la carrera en tramos? Expliquen. Sí, porque permite GRAFICAR CADA UNA PAR te de LA inforMACIÓN.

TRAMO A PAR tir

Tiempo (min)

de

9) ¿Cómo se presentan estas posiciones en el gráfico? Los puntos FINALES del extremo derecho de CADA

6) ¿En cuántos tramos dividirías la carrera? Fundamenten su respuesta. RESPUESTA

A CRiterio

del

ESTUDIANTE.

IBA

en primer

posición fINAL de CADA

COMPETIDORA.

10) ¿Cuáles fueron las posiciones finales? 1.A RAISA, 2.A MAITE y 3.A AURORA. SONIA se retiró.

7) En el primer tramo, ¿quién iba primero? AURORA

MUESTRAN LA

GRÁFICO

11)¿Esta es la única respuesta posible? ¿Por qué? Expliquen. No, porque se pueden

LUGAR.

(diferentes CAMBIO

de

UTILIZAR

INCLINACIONES);

VELOCIDAD.

diferentes

diferentes

VELOCIDADES

TRAMOS PARA

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la dependencia funcional. Esta es útil para estudiar situaciones de cambio; por ejemplo: la población del Perú cambia con el tiempo, la ganancia de un comerciante varía dependiendo de sus ventas en el día, mis notas suben o bajan según el esfuerzo que ponga en mis estudios, entre otras circunstancias.

Autoevaluación ¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?

Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.

Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.

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En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.

Se debieron generar espacios de participación.

Manual para el docente

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Actividad

16

Números en todas partes

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con los estudiantes que a la matemática se le conoce como la ciencia de los patrones. Los matemáticos profesionales tratan de encontrar estos patrones tanto en la naturaleza como en el comportamiento social y en la actividad económica. Los médicos, al observar a un paciente, recurren a patrones de síntomas para hacer el diagnóstico; los agentes de seguros, al investigar un robo, emplean patrones de comportamiento para detectar a los mentirosos; etc. Es posible, entonces, realizar predicciones sobre la base de patrones numéricos, pues tiene estructuras sólidas que garantizan la validez de la predicción. CAPACIDAD

Resuelve problemas que requieren el uso de patrones. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES

T1

Operaciones aritméticas Patrones numéricos Propiedades geométricas

Planeando las vacaciones

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Principio aditivo Principio multiplicativo

La tarea presenta un problema en el que se requiere analizar la forma como padre e hijo planifican los gastos que van a efectuar durante el periodo de vacaciones. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades de resolución que involucren analizar situaciones problemáticas, reconociendo similitudes o diferencias. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los estudiantes logren comprender la diferencia entre magnitudes directamente proporcionales e inversamente proporcionales. Al elaborar sus respuestas, el estudiante debe estar atento a la relación existente entre las cantidades de la primera y segunda fila de cada caso. En este caso, se propone organizar la distribución de los gastos diarios en una tabla e identificar un patrón que permita la generalización de los gastos por día. Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar la regularidad entre los elementos de las tablas en cada caso. Hay que ayudarlos a hacerlo correctamente.

Ponte pilas con las pilas

Descripción de la actividad

Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

La situación presenta un problema de disposición de huairuros mediante ciertas reglas. Es claro que, al dividir utilizando repetidamente un conjunto de reglas, las disposiciones finales se pueden hallar por medio de un patrón general. La tarea será encontrarlo. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren tanto la identificación de patrones como su verbalización y generalización, que permitan responder a una situación más compleja, pero relacionada con la situación inicial. Al desarrollar la tarea, se debe enfatizar la comprensión de las reglas según las cuales se movilizan los huairuros. Hay que hacer los experimentos con algunos casos particulares. En esta ocasión, se propone particularizar (estrategia muy útil para comprender el problema), ya que así uno puede experimentar concretamente lo que se nos dice en forma general. Así, es posible extrapolar el conocimiento particular a la situación general dada. En otras palabras, para familiarizarse con la estructura de una situación problemática, se recomienda experimentar con ella mediante casos particulares. Es una Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar la regla general de disposición final de los huairuros. El docente debe desarrollar las preguntas de la tercera fase con cuidado, monitoreando este proceso. Los estudiantes deberán reflexionar acerca de la experimentación inicial y sobre cómo se registran los datos para poder identificar el patrón. Los estudiantes más avanzados pueden simbolizar la regla, haciendo uso del álgebra.

Resolvamos 1

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T3

Dulces amigos

Descripción de la actividad

La tarea presenta un caso del ámbito comercial que involucra operaciones aritméticas, el cual puede ser resuelto mediante patrones numéricos.

Intención pedagógica

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren cálculos aritméticos no rutinarios, mediante patrones.

¿A qué poner énfasis?

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que la relación que se construye, a partir del enunciado, es entre dos variables, donde no se conoce la cantidad que representa ninguna de ellas. Por eso, se asignarán valores a una para calcular el valor de la otra. Debe recalcarse que los pares de valores que dan solución a la relación deben ser enteros.

Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, se propone elaborar una tabla con todas las posibilidades de compra que cumplan con las condiciones del problema y que permitan identificar un patrón.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al hallar por tanteo el primer par de soluciones. Este primer tanteo lo deben hacer de manera reflexiva, pues, de lo contrario, pasarán demasiado tiempo buscando una solución. También suele ser difícil comprender que las soluciones formen una secuencia numérica. Observándolas se descubre el patrón de formación de cada una de ellas.

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y, luego, explorar diversas vías de solución. Para los más avanzados, se pueden proponer tareas, como investigar el modo en que se resuelven ecuaciones con soluciones enteras del tipo ax + by = c. La situación presentada puede ser modelada mediante una de ellas, a las cuales se les conoce con el nombre de "ecuaciones diofánticas", en honor al gran matemático Diofanto de Alejandría.

T4

La matemática de los rumores

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas

La tarea presenta un modelo matemático con el que se propagan los rumores. Es una situación relacionada con los patrones multiplicativos y con las progresiones geométricas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver situaciones mediante patrones numéricos aditivos y multiplicativos. Al desarrollar la tarea, se debe resaltar el crecimiento del número de personas que conocen el rumor. También es importante visualizar que este número se incrementa en una razón que tiene que ver con el tiempo transcurrido. Es decir, se puede afirmar que el número de personas que conocen un rumor está en función del tiempo. Encontrar esta relación de manera explícita es parte de la tarea de exploración. En este caso, se propone elaborar una tabla para organizar la información y, con los datos que ella proporciona, identificar el patrón numérico.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar el patrón porque realizan directamente los cálculos en los primeros niveles y no dejan indicadas las operaciones. Si los estudiantes operan, pierden la pista de lo que está ocurriendo y no pueden relacionar el número de personas que conocen el rumor con el tiempo transcurrido. También les es difícil generalizar el patrón a un tiempo t.

Más allá del problema

Este modelo puede ser explorado desde múltiples perspectivas. Los estudiantes más avanzados pueden investigar situaciones sociales en las que se presenta este crecimiento geométrico. En algunas estafas financieras se ha utilizado este patrón, al que se le conoce como "la estafa piramidal".

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Manual para el docente

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16 Planeando las vacaciones La familia de Federico planea su viaje de vacaciones. Él observa cómo sus padres hacen cuentas, consultan precios y calculan cuántos días pueden disfrutar del paseo. A Federico sus abuelos le regalaron dinero que guarda para este momento. Como siempre ha sido un chico muy organizado, considera que va a gastar cada día la misma cantidad de dinero; pero esta depende de los días que van a durar las vacaciones. En la tabla siguiente se ven algunos cálculos que hizo Federico, considerando distintas posibilidades.

Cantidad de días

10

5

20

8

16

Gasto diario posible en S/.

4

8

2

5

2,5

1) ¿Observas alguna regularidad? Explícala. Sí, el producto de

CANTIDAD

de

4) Puedes decir ¿cuánto piensa gastar Jorge por día?

por

DÍAS

GASTO DIARio

es

el mismo.

PIENSA

GASTAR

S/.60

5) ¿Observas alguna regularidad? Descríbela.

2) Con estos datos, ¿podrías decir cuánto dinero le regalaron? Sí, S/.40.

Sí, el cociente del

Cantidad de días

10

5

20

8

16

40

4

Gasto posible diario S/.

4

8

2

5

2,5

1

10

Resolvamos 1

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LA CANTIDAD

de

DÍAS

es

5

7

14

10

12

300

420

840

600

720

5 300

7 420

14 840

12

20

30

720

1200

1800

10 600

7) Reflexiona sobre los cálculos de Federico y su padre. ¿Observas similitudes entre ambas tablas?

Jorge, el papá de Federico, también hace cuentas. Él considera que la familia debe gastar cada día una suma fija. Algunas de sus cuentas se ven en la tabla.

74

y

el mismo.

Gasto total Cantidad de días

Gasto total

GASTO TOTAL

6) ¿Puedes añadir otros valores a la tabla?

3) Agrega algunos valores más a la tabla, que mantengan la regularidad que observaste.

Cantidad de días

DIARios.

En

LA

prIMERA el producto es

SEGUNDA

el cociente es

y en

LA

CONSTANTE.

8) En Matemática se estudia la proporcionalidad, ¿a qué tipo pertenecen las regularidades analizadas? A

LA PROPORCIONALIDAD

rESPECTIVAMENTE.

MD

CONSTANTE

inverSA y dirECTA,

114

7/19/12 12:42 PM

Ponte pilas con las pilas Imagina que tienes una pila de huairuros frente a ti. La divides en mitades y colocas cada mitad en dos montoncitos, uno a la derecha y otro a la izquierda. Si hay un número impar en la pila original, deja un huairuro en el medio. El proceso de división se repite en cada una de las nuevas pilas. Por ejemplo, con 5 huairuros se tiene: Observa que, en el paso 2, los tres huairuros se dividieron en la misma forma que los cinco huairuros iniciales. Después de tres pasos, has logrado tener cinco pilas con un huairuro en cada una y ya no puedes seguir dividiendo. ¿Cuántos pasos se necesitan para llegar a un final similar empezando con 30 huairuros?

1) ¿Cómo se dividen los huairuros cuando su número es par? Se divide

en

LA PILA

UNA PILA A LA

MITADES

derECHA y

y se pone

UNA MITAD

en

Se LLAMA un PASO

OTRA A LA IZQUIERDA.

2) ¿Cómo se dividen los huairuros cuando su número es impar? Se procede

IGUAL

SOBRANTE

COLOCA AL

se

que en el

CASO ANTERior

centro.

y el

4) ¿A que se llama un “paso”? de división de los HUAIRuros.

5) ¿Por qué hay 3 huairuros en el grupo central en el paso 2? Explica cómo obtienes tres huairuros. Porque del

HUAIRuro

A CADA ETAPA

extremo se

PASO

1

PASA

un

AGREGA

el

HUAIRuro CENTRAL

HUAIRuro,

en

TOTAL

y de

CADA

tres.

6) ¿Qué es lo que te piden en el problema?

3) ¿Por qué el juego termina en el paso 3? Porque todos los números son menores que 2 y pueden dividir.

YA

no se

1) ¿Es conveniente hacer todo el proceso empezando desde 30? No es conveniente, el proceso SERÍA muy extenso. 2) ¿Cómo se desarrollaría el proceso si utilizáramos 6, 7, 8, 9 o 10 huairuros? Se rEALIZARÍAN 7, 7, 12, 12 o 18 PASOS,

DeterMINAR el número de

PASOS EMPEZANDO

HUAIRuros.

con 30

3) ¿Crees que existe alguna relación entre el número de huairuros iniciales y el número de pasos? Es posible, pues el juego tiene

UNA

estrUCTURA.

rESPECTIVAMENTE.

Consigue 10 semillas y utiliza un tablero cuadriculado para experimentar.

4) Registra tus hallazgos en una tabla.

1) Experimenta con 2 huairuros. Con 2

HUAIRuros

se obtiene 1

PASO.

HUAIRuros

se obtiene,

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

1

3

3

7

7

11

11

15

15

TAMBIÉN,

1

PASO.

Descríbelo.

6) ¿Cuántos pasos demoras en llegar a una “fila de unos” si empiezas con 30 huairuros? Se DEMORA 55 PASOS.

ESTUDIANTES.

1) ¿Fue más conveniente experimentar con problemas más sencillos? ¿Por qué? 2) ¿Cómo organizaste los datos encontrados?

Sí.

CADA dos números consecutivos los PASOS AUMENTAN en UNA RAZÓN IGUAL A 4, A PAR tir de 4 y 5 HUAIRuros.

3) Experimenta con otras cantidades de huairuros. A rEALIZAR por los

2

N.° pasos

5) ¿Puedes visualizar algún patrón?

2) Experimenta con 3 huairuros. Con 3

N.° huairuros

Se orGANIZARON en

Sí, porque se pudo

UNA TABLA PARA

poder

ANALIZAR

ESTABLECER

mejor

LA

un

PATRÓN.

inforMACIÓN.

3) ¿Puedes hallar una regla general para saber en cuántos pasos terminarás si conoces el número de pilas? Exprésalo. n

4; si el número es

PAR:

4 (n/2) - 5 = 2n - 5; si el número es

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 115

IMPAR:

115

4(n-1)/2 - 5 = 2n - 7

Manual para el docente

75

7/19/12 12:42 PM

Dulces amigos Mario está jugando con cuatro amigos y deciden comprar chocolates. Entre todos reúnen S/.8 y acuerdan que él vaya a comprar los chocolates a la bodega del barrio. Para repartirlos fácilmente se le pide que el número de chocolates que compre sea múltiplo de 5. Además, debe gastar todo el dinero reunido. El niño acepta el encargo, pero en la bodega encuentra que solo hay chocolates de 50 y 30 céntimos. ¿Cuál es el número de chocolates que debe comprar Mario?

1) ¿Quiénes participan en la historia? MARio y sus

3) ¿Qué otra condición debe cumplir Mario al comprar?

CUATRO AMIGOS.

Debe

2) ¿Qué cantidades de chocolates podría comprar Mario?

El número de

no Las cantidades de compra se conocen, pero podemos asumir que las conocemos. Para ello, reemplazaremos a cada cantidad mediante una LETRA ; por ejemplo, x e y.

2) Define las incógnitas. CHOCOLATES

de 50 céntimos

CHOCOLATES

de 30 céntimos

N.° chocolates de S/. 0,30 (y) ¿Es posible esta compra? Total de chocolates

1

2

3

4

26,6

25

23,3

21,6

20

No

Sí

No

No

Sí

26

que MARio

COMPRARÁ.

50x + 30y = 800 o 5x + 3y = 8

4) ¿Cuántas incógnitas tiene esta ecuación? Tiene dos

INCÓGNITAS.

5) ¿Si le das un valor a una de las incógnitas, se puede hallar la otra? Explica. Si doy un VALOR A UNA de LAS INCÓGNITAS, QUEDA UNA ECUACIÓN

posible

1) Haremos una lista organizada de todas las posibilidades. Para ello, completa la tabla según corresponda: 0

CHOCOLATES

3) Escribe la ecuación que relacione las incógnitas.

1) Completa según corresponda:

N.° chocolates de S/. 0,50 (x)

los S/.8 reunidos.

4) ¿Qué es lo que se desea averiguar?

5, 10, 15, 20, …

x: Número de y: Número de

GASTAR

5

6

No

24

de primer

GRADO

solución.

con 1

VARIABLE

y es

3) Llena la tabla de soluciones usando el patrón encontrado.

7 15

No

HALLAR LA

Sí 22

2) ¿Observas algún patrón para organizar la búsqueda de soluciones? LAS soluciones PARA x AUMENTAN de tres en tres

N.° chocolates de S/. 0.50 (x)

1

4

7

10

13

16

N.° chocolates de S/. 0.30 (y)

25

20

15

10

5

0

Total de chocolates

26

24

22

20

18

16

4) ¿Cuántos chocolates debe comprar Mario? Como el número debe ser múltiplo de cinco, debe 20 CHOCOLATES, 10 de 30 céntimos y 10 de 50 céntimos. COMPRAR

desde 1. LAS soluciones PARA y BAJAN de 5 en 5, desde 25.

1) Si no le hubiesen pedido a Mario un número de chocolates múltiplo de cinco, ¿habría una sola respuesta? HABRÍA

VARIAS

rESPUESTAS. Por ejemplo, 4

céntimos y 20

CHOCOLATES

CHOCOLATES

de 50

de 30 céntimos.

2) Describe la estrategia empleada que te permitió llegar a la respuesta. A resolver por el ESTUDIANTE. 76

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 116

MD

3) ¿Es posible comprar exactamente 25 chocolates y gastar todo el dinero? No es posible. 4) ¿Las razones de cada secuencia de soluciones están relacionadas con algunos números de la ecuación? Sí. ¿Con cuáles? LAS RAZONES son 3 y 5, que son los coeficientes de

LA ECUACIÓN.

116

7/19/12 12:42 PM

La matemática de los rumores ¿Se han puesto a pensar cómo se difunden tan rápido los rumores? Hoy en día, gracias a la Internet, un rumor puede ser conocido por muchas personas en breves minutos. Antiguamente, no era así; pero igual la velocidad con la que un rumor se propaga de boca en boca es algo digno de estudiarse. Imaginen que un forastero llega a la población de Quirubamba que tiene 3 450 000 habitantes. Este forastero trae una noticia impactante para el pueblo. En la posada, él se la dice a tres lugareños, quienes se van y la cuentan a otros tres pobladores cada uno. A su vez, las nuevas personas que conocen el rumor lo cuentan cada cual a otras tres nuevas personas y así, sucesivamente. ¿Después de cuánto tiempo todo el pueblo sabrá la noticia? Consideren que se demoran 8 minutos en contársela a las nuevas personas y que ninguno cuenta la noticia dos veces. Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema: 1) Hagan un diagrama de árbol para representar cómo se 3) ¿Cuántas personas, en total, conocen la noticia después de extiende la noticia: 24 minutos? 40 perSONAS conocen

1 1

1

4) ¿Cuántas personas conocen la noticia en 1 hora?

1

29 524 perSONAS conocen

1 1

1

LA NOTICIA.

5) ¿Cuánto tiempo demorarán en conocer la noticia todos los habitantes del pueblo?

1 1

DEMORARÁN un poco MÁS de 104 minutos, pero menos de 112 minutos (no se CALCULA CON exACTITUD porque se requiere conocer LOGARitmos, solo nos BASAMOS en UNA extensión).

1 1

LA NOTICIA.

1

1

2) Completen la tabla adjunta.

6) ¿Qué opinan de este tipo de crecimiento? ¿Es rápido o lento?

Vez que se cuenta la noticia

Tiempo transcurrido (minutos)

N.° de nuevas personas que conocen la noticia

N.° total de personas que conocen la noticia

0

0

1

1

1

8

3

4

2

16

9

13

3

24

27

40

4

32

81

121

5

40

243

364

6

48

729

1093

7

52

2187

3280

8

56

6561

9841

9

60

19 683

29 524

10

64

59 049

88 573

Este crecimiento es muy

RÁPIDO.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con patrones. Estos se aplican para descubrir leyes y fórmulas, así como para crear modelos y realizar conteos sin necesidad de ponerse a contar.

Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?

Muy interesantes.

Interesantes.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 117

117

Poco interesantes.

Nada interesantes.

Manual para el docente

77

7/19/12 12:42 PM

Actividad

17

Funciones que muestran cambios

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que a su alrededor existen muchas funciones, pero que no las visualizamos. Se les puede solicitar que propongan algunos ejemplos en los que dos magnitudes estén relacionadas. Por ejemplo, el precio del galón de gasolina y el año de su medición, la velocidad de un ciclista y la distancia que recorre, las calorías que ingiere diariamente una persona y su peso, las ganancias de la panadería y el número de panes que vende, entre otras. Estas relaciones se pueden presentar de varias maneras: a través de un gráfico cartesiano, una tabla de valores, en forma verbal o con una fórmula. En esta actividad, se estudian las diversas representaciones de las funciones y cómo ellas nos ayudan a comprender mejor el mundo en que vivimos. CAPACIDAD

Representa de diversas formas la dependencia funcional entre variables: esquemas, tablas, gráficos, etc. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Funciones

Plano de coordenadas Pendiente Cálculo con decimales Proporcionalidad directa

El bebecrece bebecrece

Descripción de la actividad

La tarea presenta una función en forma gráfica que modela el peso de un recién nacido, dependiendo del tiempo de vida del bebé.

Intención pedagógica

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas en los que se requiere la lectura de gráficos de funciones que modelan un fenómeno de la realidad y su interpretación crítica.

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

T2

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las escalas utilizadas, así como en las medidas elegidas para cada eje. Es importante reconocer que cada par ordenado nos da una información respecto del bebé. En este caso, la abscisa representa el número de días desde el nacimiento y la ordenada representa la variación del peso en kg. Se propone descomponer el problema en partes mediante el análisis y la interpretación crítica del gráfico de la función, a partir de las preguntas que deberán ser respondidas por los estudiantes. Los estudiantes pueden tener dificultades al interpretar la ordenada del gráfico, pues para muchos de ellos estos datos representan el peso del bebé y no la variación de su peso. Para hacerles comprender, se puede preguntar sobre lo que significa una variación de 4 kg en el peso de un bebé (por ejemplo: ¿significa esto que pesa 4 kg?). También se pueden dar los pesos inicial y final, con el fin de que los estudiantes identifiquen la variación en el peso.

El tamaño ideal

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas

La tarea presenta la modelación de un fenómeno antropométrico. En este caso, representa una función en forma de símbolos que relacionan la altura de una persona con su peso ideal. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas en los que se requiere analizar un fenómeno real, a partir de la representación simbólica de la función que lo modela. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que la fórmula brindada es una que se ha generado a partir del cálculo con muchas personas, es decir, no es exacta. Si bien la mayoría se inscribe en ella, existen algunos individuos que se salen de esta regla. También es oportuno señalar que resulta innecesario hacer el cálculo con medidas extremas, las de un gigante o un enano, por ejemplo, pues no son representativas. En este caso, se propone elaborar una recta en la que se ubiquen las alturas mínima y máxima, dividir el intervalo en una cantidad discreta de tramos y aplicar la fórmula para el cálculo de los pesos correspondientes con estos datos.

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 118

MD

118

7/19/12 12:42 PM

Posibles dificultades

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T3

Los estudiantes pueden tener dificultades al calcular con decimales y al despejar la variable necesaria para cada caso. La expresión presentada no solo sirve para hallar el peso en términos de la altura, sino también para dar la altura en función del peso. Para hacerlo, solo se debe despejar E de la fórmula. Matemáticamente, estas dos funciones están relacionadas, pues una es la inversa de la otra. Errores típicos se refieren a no saber cuál de las variables está representada por x y cuál por y. Esto se debe a que, en la mayoría de casos, se trabajan con esas dos letras, que casi nunca se utilizan en los modelos reales. Por ello, es recomendable que el docente trabaje con grafías que se asocien a lo que representan rápidamente. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. También se exploran otras representaciones de la función, como la recta que se genera en el gráfico cartesiano. Cabe explicar aquí las relaciones existentes entre la recta dibujada y la función, donde la primera es la gráfica de la segunda. Por otro lado, la expresión P = 90E - 86 es la regla de correspondencia, el número 90 es coeficiente de variación, pero también a es la pendiente de la recta que es la gráfica de la función. Es incorrecto decir que 90 es su pendiente, pues una función lineal no tiene medida de inclinación, sino coeficiente de variación.

La pista de carreras

Descripción de la actividad

El caso refiere la representación gráfica de una carrera de autos, donde las variables que se presentan no son las convencionales. Sin embargo, el gráfico puede ser utilizado para extraer ciertas conclusiones acerca de la mencionada carrera.

Intención pedagógica

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para la resolución de situaciones problemáticas, realizando inferencias a partir del gráfico cartesiano de una función que modela una actividad real.

¿A qué poner énfasis?

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las variables que están involucradas, a saber: la velocidad del auto en la segunda vuelta y la distancia recorrida en metros. Hay que estimular a que el estudiante se imagine la carrera y se pregunte por qué baja la velocidad en algún punto, ¿lo hace en un tramo recto o lo hace cuando gira?

Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, se propone descomponer la situación en subproblemas con las preguntas planteadas, a fin de que los estudiantes al responder comprendan el enunciado del problema y se facilite la interpretación del gráfico.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar los tramos o dónde comienza la carrera. El hecho de que la información esté referida a la segunda vuelta, ¿influye en algo? A algunos estudiantes se les hace difícil la interpretación del problema. Otra dificultad es que las variables no son las típicas que relacionan velocidad con tiempo. Un error generalizado es considerar que la pista de carrera tiene la forma del gráfico. Esto ocurre al no interpretar correctamente las variables que intervienen.

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. Para los más avanzados, se pueden proponer tareas de investigación como, por ejemplo, realizar un gráfico a partir de datos reales.

Declarando los impuestos

Descripción de la actividad

Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

Más allá del problema

Se presenta el caso de dos trabajadores independientes que desean calcular el impuesto a la renta que les corresponde pagar este año, lo que se debe efectuar según las normas establecidas en la tarea. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen interpretar correctamente la información del enunciado, así como de resolver situaciones problemáticas de tipo comercial. Asimismo, se espera que puedan representar gráficamente un conjunto de datos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en identificar la información relevante del enunciado y en los cálculos numéricos que son demandados en la actividad. En este caso, se propone descomponer el problema en partes y elaborar una tabla para responder a cada uno de los cuestionamientos presentados. Los estudiantes pueden tener dificultades al completar la tabla y al reconocer lo que se debe hacer según la cantidad de ingresos sea menor o mayor a 156 000. En otro momento, pueden encontrar dificultades en la elaboración de la gráfica. Los estudiantes deberán efectuar un razonamiento regresivo, con el fin de establecer, a partir del impuesto, el monto respectivo. Para aquellos estudiantes más avanzados, se les puede pedir que creen casos semejantes.

MD

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119

Manual para el docente

7/19/12 12:42 PM

17 El bebecrece Aunque pueda parecerte extraño, los médicos también utilizan la matemática. Las historias clínicas, muchas veces, contienen gráficos, tablas, números y fórmulas que brindan información al especialista acerca de nuestros indicadores vitales. Aquí te mostramos la gráfica correspondiente a un bebé que tiene un crecimiento normal en un periodo de 30 días y que al nacer pesó 3300 g.

Peso (g)

+100

P 10

-100

20

30

Tiempo (días)

1) ¿Qué magnitudes se relacionan en el gráfico? LAS

MAGNITUDES

peso (en

son tiempo (en

GRAMOS).

DÍAS)

y

6) ¿Cuántos días pesó el bebé menos de 3300 g?

VARIACIÓN

de

El bebé peso menos de 3300 g

AL NACIMIENTO

el peso es de 3300 g.

del bebé,

VIDA,

un bebé pierde peso.

4) ¿En cuánto se ha incrementado el peso del bebé del segundo al sexto día? DÍA 2: 3300 - 300 = 3000 g AUMENTÓ

300 g

NACER,

78

TENÍA AL

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 120

LA TERCERA,

Si los

MD

700g.

DATOS SOLICITADOS ESTUVIERAN SOLICITAN

otro

VALOR,

de

DÍAS

el

en

GRÁFICO

LA TABLA, SERÍA fÁCIL;

es

UNA

mejor

9) Indica el máximo y mínimo peso que tuvo el bebé durante el mes y en qué día. El menor peso fue 3000 g en el peso fue 4000 g en el

es decir, 3300 g.

Resolvamos 1

GRÁFICO, LA SEGUNDA DECENA

500 g y

ALTERNATIVA.

5) Explica qué ocurrió en el punto “P”. ¿Cuánto pesa en este punto? En el punto P, el bebé recuperó el peso que

DÍAS.

8) Reflexiona y responde: En los problemas planteados, has interpretado los datos en el gráfico; si estos hubieran sido presentados en una tabla, ¿habrías podido responder con facilidad las preguntas? pero si

DÍA 6: 3300 g Entonces:

Obser VANDO el AUMENTÓ

3) ¿Qué ocurre en los primeros días de vida? En los primeros de

seis

7) Indica el aumento de peso durante la segunda y tercera decena de días.

2) ¿Cuánto pesa el bebé en el punto (0;0)? En este punto que corresponde

DURANTE

DÍA

30.

DÍA

2 y el

MÁXIMO

120

7/19/12 12:42 PM

El tamaño ideal Las proporciones en los seres humanos tienen que ver con una rama de la medicina llamada antropometría. En ella se utilizan muchas fórmulas que nos permiten saber si estamos en el promedio de una persona común o tenemos algunas diferencias. Una fórmula muy utilizada es la que expresa la altura ideal de una persona adulta, en función de su peso: P = 90E - 86, donde P es el peso en kilos y E es la estatura en metros. Haz una tabla que le permita a una persona que no sabe usar fórmulas encontrar su peso midiendo su estatura. Nota: Considerar como altura mínima 1,45 m y como altura máxima 1,75 m.

1) ¿Qué información de la lectura es relevante para el problema planteado? LA rELACIÓN del peso con

LA ESTATURA.

No, pues

LA ESTATURA

No, porque 3,5 m es

Explica las variables que la conforman. P = 90E - 86, donde P es el peso en kilos y E es

HACER UNA

UNA TABLA USANDO LA

perSONA

fórMULA

PUEDA IDENTIFICAR

con su peso.

su

ANTERior PARA

ALTURA

LA

ALTURA MÍNIMA

30 cm o

de

LA PROBABILIDAD

NULA.

de que

ALGUIEN MIDA

3mo

ALTURA

promedio de un perUANO es de 1,6 m.

4) ¿Cómo organizarías los datos para que puedas estudiar las variaciones de altura y peso? a) En un diagrama de árbol b) En un diagrama de Venn c) En un tabla

que

ACUERDO

1) ¿Cuál es la altura mínima promedio de un peruano? LA

ALGUIEN MIDA

3) ¿Cuál podría ser la altura promedio de un peruano?

LA

en metros.

4) ¿Qué solicita el problema?

de que

CASI NULA.

2) ¿Y para alturas como 3 o 3,5 m?

en metros.

3) ¿Cuál es la fórmula que relaciona estas magnitudes?

ESTATURA

LA PROBABILIDAD

50 cm es

2) ¿Qué magnitudes están relacionadas? El peso en kilos y

1) ¿Vale la pena hacer el cálculo para alturas como 30 o 50 cm? Explica.

2) ¿Cuál es la altura máxima promedio de un peruano?

promedio es de 1,45 m.

LA

ALTURA MÁXIMA

promedio es de 1,75 m.

3) Dibuja una recta numérica. Coloca en ella la altura máxima y la mínima y divide el intervalo en una cantidad de tramos. 1,45 1,48 1,51 1,54 1,57 1,60 1,63 1,66 1,69 1,72 1,75

4) Finalmente, coloca los puntos desde la altura mínima a la máxima en esta tabla y calcula, mediante la fórmula, los pesos para cada caso. Altura (m) 1,45

1,48

1,51

1,54

1,57

1,60

1,63

1,66

1,69

1,72

1,75

44,5

47,2

49,9

52,6

55,3

58

60,7

63,4

66,1

68,8

71,5

Peso (kg)

1) ¿Qué necesitaste para poder construir la tabla?

2) Utiliza los datos de la tabla para hacer un gráfico de la relación.

Necesité definir límites, mínimo y MÁXimo, y luego elegir cierTA

CANTIDAD

de

VALORes

entre

Peso (kg) 80

DICHAS

70 60 50 40 30 20 10 0

CANTIDADES.

3) Robert L. Wladow, el hombre más alto del mundo, murió a los 22 años y llegó a medir 2,72 m. En el momento de su muerte, pesaba 199 kg. ¿Cumplía Wladow con el modelo matemático? No

CUMPLÍA CON

DEBÍA

el modelo. Según

ser 166 kilos.

ESTA

fórMULA, su peso

1,4 1,45 1,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 Altura (m)

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 121

121

Manual para el docente

79

7/19/12 12:42 PM

La pista de carreras*

Velocidad de un auto de carrera a lo largo de una pista de 3 km (Segunda vuelta)

Velocidad (km/h)

Este gráfico muestra cómo varía la velocidad de un auto de carrera durante su segunda vuelta a lo largo de una pista plana de 3 km. ¿Cuál es la distancia aproximada desde la línea de partida hasta el comienzo del tramo recto más largo de la pista? ¿Dónde se registró la velocidad más baja durante la segunda vuelta?

1

180

5

160 140 120 100 80 60 40 20 0

4

2

3 0,5

0

1,5

Línea de partida

1) ¿Qué variables se relacionan en este gráfico? Se rELACIONAN LA recorrIDA (km).

VELOCIDAD

en km/h y

TRAMO

LA

LA DISTANCIA

recto

TRAMOS

VELOCIDAD INICIAL

LA VELOCIDAD

es

CONSTANTE.

LA

VELOCIDAD

LA

rectos.

DISTANCIA

SEMEJANTE A PROBLEMAS

funciones.

de

ANÁLISIS

de

GRÁFicos

KM/HORA

del

GRÁFICO.

CUANDO el

AUTO GIRA, LA VELOCIDAD

se reduce.

es de 1,3 km.

4) ¿Cuántos puntos hay donde la velocidad se reduce? HAY tres puntos en los

MÁS LARgo

y el

el

LUGAR

donde

de

PARTIDA.

CUALES LA VELOCIDAD

disminuye.

GRÁFICO.

5) ¿Cuál es la velocidad en cada uno de ellos? Organiza estos datos en una tabla.

3) ¿Cuál es la distancia aproximada desde la línea de partida hasta el comienzo del tramo recto más largo de la pista? DISTANCIA APROXIMADA

recto

PARTIDA HASTA

LA VELOCIDAD MÁS BAJA.

InterprETAR el

AUTO.

2) ¿Cuál es el tramo más largo? Del punto 3 AL punto 4.

LA

TRAMO

de

4) ¿Qué estrategias emplearías para solucionar el problema?

1) Marca en el gráfico los puntos donde el auto gira. Explica. Ver

LA LÍNEA

ReprESENTA LA DISTANCIA que recorre el AUTO desde LA

de

2) ¿Qué es lo que representa el eje vertical? en

160 km/h.

3) ¿Qué es lo que representa el eje horizontal? LÍNEA

LA VELOCIDAD

LA MISMA:

desde

comienzo del

1) ¿Es semejante el problema a otros que ya conoces?

ReprESENTA

es

6) ¿Qué es lo que tienes que averiguar?

se registró

SÍ, es

es 160 km/h.

5) ¿Y cuál es la velocidad cuando ha recorrido 2,0 km?

3) ¿Cuántos tramos rectos tiene la pista? Tiene tres

Distancia recorrida en la pista (km)

4) ¿Cuál es la velocidad inicial?

2) ¿Qué ocurre con la velocidad del auto en un tramo recto? En un

2,5

0,2 0,4 0,6 0,8 1.0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

Punto

Velocidad (km/h)

2

90

3

60

4

110

6) ¿Cuál de estas velocidades fue la menor durante la segunda vuelta? LA menor VELOCIDAD DURANTE LA SEGUNDA VUELTA fue de 60 km/h.

1) ¿Qué estrategia te fue más útil para resolver este problema? IdentifICAR

LAS VARIABLES

del

GRÁFico

e interprETARLAS.

2) Aquí hay cinco pistas dibujadas. ¿Sobre cuál de ellas se desplazó el auto para producir el gráfico de velocidad mostrado P anteriormente? Se

DESPLAZÓ

sobre

LA PISTA

B.

*Este problema pertenece a la evaluación PISA 2000 - Alfabetización Matemática.

80

Resolvamos 1

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122

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Declarando los impuestos Todo trabajador independiente expide comprobantes de pago por la labor desempeñada. A esto se le llama renta de cuarta categoría. Cada año debe reportar sus ingresos y, según el monto total y previo cálculo, debe abonar el impuesto a la renta. Supón que la determinación del impuesto se aplica según estas normas: a) Para ingresos que no excedan los S/.156 000, el impuesto a la renta será el 15 % de dichos ingresos. b) Para ingresos mayores a S/.156 000, se pagará el 15 % de S/.156 000 más el 30 % del exceso de S/.156 000. Utiliza tus conocimientos de matemática para ayudar a dos contribuyentes: Juan Mendoza y Pedro Gonzales, quienes desean saber cuánto les toca pagar. Ellos han calculado sus ingresos anuales y presentan estas cuentas: Ingresos anuales de Juan Mendoza: S/.100 000. Ingresos anuales de Pedro Gonzales: S/.200 000. Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades e identifiquen: ¿Cuánto le corresponde pagar a cada uno? 1) ¿Cuál de las normas corresponde a la situación de Juan?

7) Hagan una gráfica con los valores que han obtenido en la tabla.

Como 100 000 es menor que 156 000, le corresponde

Impuestos (S/.)

LA OPCIÓN (A).

40 000

2) ¿Cuál de las normas corresponde a la situación de Pedro? Como 200 000 es corresponde

MAYOR

LA OPCIÓN

(b).

que 156 000, le

35 000 30 000 25 000 20 000

3) Calculen el impuesto que debe pagar Juan. 15 % de 100 000 = 15 000

15 000 10 000

4) ¿En cuánto exceden a S/. 156 000 los ingresos de Pedro? 200 000 – 156 000 = 44 000

5000

Exceden en S/.44 000.

0 0

50 000

100 000

150 000

200 000

15 % de 156 000 = 23 400

8) ¿Para qué monto de ingresos los impuestos son de S/.24 900? Indiquen el proceso.

30 % de 44 000 = 13 200

23 400 + 13 200 = 36 600

a) Cálculo directo:

Pedro debe

24 900 – 23 400 = 1500

PAGAR

250 000

Ingresos (S/.)

5) Calculen el impuesto que debe pagar Pedro.

S/.36 600 de impuestos.

6) Completen la tabla que contiene el impuesto ya calculado para ingresos que van de 100 000 a 200 000 y en intervalos de 20 000 en 20 000. Ingresos

Norma

Impuesto

100 000

a

15 000

120 000

A

18 000

140 000

A

21 000

160 000

b

24 600

180 000

b

30 600

200 000

b

36 600

1500 es el 30 % del exceso, de

AQUÍ,

el exceso es 5000.

Los ingresos son de 156 000 + 5000 = 161 000

b) Por gráfica: Se puede

APRECIAR

ser 160 000. LA no

DA

solo,

APROXIMADAMENTE,

GRÁFICA

un rESULTADO

solo

EXACTO.

que puede

MUESTRA TENDENCIAS,

pero

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con funciones, las cuales están presentes en el deporte, así como en la medicina, la economía y otras ciencias.

Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?

Estuve sobresaliente.

MD

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He participado de forma significativa.

123

Fue aceptable.

Debo mejorar.

Manual para el docente

81

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Actividad

18

La geometría es más que cálculos

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que el mundo está lleno de diversas formas geométricas, ángulos, escalas, etc. Muchas veces, no requerimos fórmulas para trabajar estos elementos geométricos, sino conocer sus propiedades y características para sacar provecho de ellas. ¿Por qué se utiliza con frecuencia el triángulo para elaborar estructuras resistentes? ¿Por qué las tapas de los buzones son circulares? ¿Por qué el DNI tiene forma rectangular y no cuadrada? ¿Qué ventajas tiene el tamaño A4 sobre el tamaño carta de una hoja de papel? ¿Por qué las antenas de TV satelital tienen forma de un paraboloide? Son preguntas que pueden ayudar a reflexionar sobre la geometría como una parte de la Matemática que va más allá de operaciones de cálculo. CAPACIDAD

Resuelve problemas de construcción y medición de ángulos y segmentos. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES

T1

Grados sexagesimales Unidades de medidas de longitud Proporcionalidad geométrica Paralelismos Simetría

La ciclovía

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Segmentos Ángulos

La tarea presenta una pista de forma triangular para bicicletas. El triángulo es escaleno e isósceles. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran utilizar escalas y realizar mediciones en un plano, sean de segmentos o de ángulos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el plano es una representación de la realidad. El docente deberá explicar claramente lo que significa la escala y cómo se puede utilizar para responder las preguntas de la actividad. En este caso, se propone elaborar un diagrama analógico que representa una situación real, pero en forma esquemática, manteniendo las relaciones de la realidad. Los estudiantes pueden tener dificultades al definir la estrategia para responder la pregunta 8. Hay que hacerles recordar el teorema que afirma lo siguiente: al unir los puntos medios de dos lados de un triángulo, el segmento formado tiene la mitad de la longitud del tercer lado. Ver figura:

Tiempo Tiempodedenadar nadar

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas psruogpeureidsatass Posibles dificultades

La tarea presenta un esquema a escala que permite realizar una medición que, en la realidad, es inaccesible. Es importante señalar que para su solución se pueden emplear nociones de semejanza de triángulos, las que pueden trabajarse con los estudiantes de forma intuitiva y natural. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran establecer conexiones entre contenidos matemáticos, como la medición de segmentos, el uso de escalas y el cálculo con proporcionalidad geométrica. Este tipo de problemas integradores son los más interesantes porque logran tender puentes entre distintos contenidos del DCN. Al desarrollar la tarea, se debe enfatizar en el uso de la escala para realizar las mediciones y en la relación de semejanza que se logra descubrir. En este una figura analógica y plantear unauna ecuación. este caso, caso,se sepropone proponeconstruir construir una figura analógica y plantear ecuación. Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar los elementos que son homólogos en los dos triángulos. Un error típico es plantear equivocadamente la relación de proporcionalidad; por eso, este proceso se detalla en las preguntas del cuaderno.

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 124

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7/19/12 12:42 PM

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T3

Los estudiantes deberán recorrer nuevamente el proceso seguido para resolver el problema. Finalmente, se les pregunta acerca de otras posibles relaciones que los hubieran llevado a resolver el problema.

Las cámaras de vigilancia

Descripción de la actividad

Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

La tarea presenta la vista en planta de un recinto que debe ser vigilado por unas cámaras de seguridad. Las condiciones del problema exigen que dichas cámaras se coloquen en las esquinas del ambiente, evitando la entrada. Además, por motivos de costo, se pide que sea el mínimo número de ellas, las que deberán cubrir toda la región que ocupa el recinto. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran la utilización de instrumentos geométricos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que basta con una representación a escala de la región en planta para poder determinar el número de cámaras, ya que estas se encuentran en relación con los ángulos de giro y no con medidas específicas. En este caso, se propone utilizar un diagrama analógico, así como el ensayo y error para hallar la respuesta.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al tantear sistemáticamente el número de cámaras. El algoritmo de búsqueda debe organizarse desde las posiciones más críticas a las menos críticas. Un error típico es girar solamente en el espacio de la región visible más cercana a la cámara; por ello, es mejor que lo hagan utilizando el compás.

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y explorar diversas vías de solución. Ellos pueden encontrar el mínimo número de cámaras en otras disposiciones. Además, deberán identificarlas y, si es posible, colocarlas en cualquier esquina; así como determinar si existe una relación entre la cantidad mínima de cámaras y el número de lados del polígono.

T4

De botes y rebotes

Descripción de laIntención actividad pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

La tarea presenta el tablero de un billar muy particular. En él las bolas se mueven en líneas que hacen ángulos de 45° con los lados del tablero. Se desea investigar las distintas trayectorias que una bola puede tener. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran investigar una situación geométrica utilizando instrumentos de medición. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la forma en la que la bola rebota en los parantes. Debe quedar muy claro que el ángulo de incidencia o entrada de la bola es exactamente igual al ángulo de salida. Esto es intuitivo, pero se puede experimentar con una linterna y un espejo. En este caso, se propone realizar un experimento.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al realizar las mediciones de los caminos seguidos por la bola. También resulta difícil para ellos establecer las relaciones entre el viaje de la bola y el tamaño de la mesa.

Más allá del problema

Es posible investigar las trayectorias en otros tableros rectangulares. Se les puede proponer a los estudiantes tareas de investigación, como estudiar los rebotes de las bolas en tableros que no sean rectangulares o el método de los diamantes que utilizan los jugadores profesionales de billar.

MD

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125

Manual para el docente

7/19/12 12:42 PM

18 La ciclovía Celia está manejando bicicleta en su ciudad. La ciclovía tiene la forma que se muestra en el gráfico y la ciclista se encuentra en el punto C. Analiza el mapa para responder las preguntas:

Leyenda: C = Celia M = Mirador F = Fuente de la amistad Escala: 1 cm = 20 m

1) ¿Cuál crees que es el giro más difícil que debe hacer Celia en la ciclovía? ¿Por qué? El giro

MÁS

difícil es en el punto C, pues,

AL

ser el

ÁNGULO MÁS

pequeño, es

MÁS COMPLICADO HACER LA CURVA.

2) ¿Cuántos grados habrá girado la bicicleta de Celia al dar toda la vuelta a la ciclovía? HABRÁ

GIRADO

180º,

LA RAZÓN

es que

LA SUMA

de los

ÁNGULOS

internos de un trIÁNGULO es 180º.

3) ¿Cuántas veces mayor es el ángulo F que el ángulo C? MEDIDA del

ÁNGULO

F

MEDIDA del

ÁNGULO

C

65º

=

30º

=

2,17

4) ¿Qué tipo de triángulo es el MCF? ¿Por qué? Es un trIÁNGULO

ESCALENO

según sus

LADOS

y

ACUTÁNGULO

e isósceles según sus

ÁNGULOS.

5) ¿Cuántos metros debe recorrer Celia para llegar a la fuente? Usa proporciones para responder. LA

DISTANCIA

CF es 8 cm, esto

EQUIVALE A

160 m en

LA

rEALIDAD.

6) ¿Cuántos metros más recorrerá Celia si decide ir a la fuente de la amistad por la ruta más larga? LA rUTA MÁS LARGA es CM + MF y mide 11,5 cm. Esto EQUIVALE A 230 m. Entonces, recorrERÁ 230 -160 = 70 m MÁS.

7) Reflexiona y responde: ¿Qué conceptos matemáticos has empleado para resolver los problemas? He

EMPLEADO LA TEORÍA BÁSICA

PARA OBTENER LAS MEDIDAS

de trIÁNGULOS, medición de segmentos, medición de

rEALES del trIÁNGULO

A PAR tir

del dibujo

ÁNGULOS, ADEMÁS

de proporciones

A ESCALA.

8) Se quiere adornar el parque con piedras blancas que unan los puntos medios de la ciclovía. ¿Cuántos metros lineales de piedra necesitamos? Si se unen los puntos medios, obtengo un trIÁNGULO cuyo perímetro es NECESITAMOS

82

195 metros

Resolvamos 1

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LINEALES

de

LA MITAD

del trIÁNGULO orIGINAL. Por

TANTO,

PIEDRA.

MD

126

7/19/12 12:42 PM

Tiempo de nadar Hernán nada a una velocidad constante de 2 m/s. Él tiene curiosidad por saber cuánto tiempo demorará en cruzar un lago de un extremo a otro; pero no desea averiguarlo lanzándose al lago y midiendo el tiempo con un cronómetro; prefiere utilizar la matemática. Entonces, construye un diagrama como el mostrado.

300 m

C

R

180 m

¿Puede resolver su problema mediante este diagrama?

P 120 m

x

A

1) ¿Qué distancia deberá hallar Hernán? Debe

HALLAR LA DISTANCIA

1) ¿Es posible representar los elementos matemáticos en el gráfico mostrado? Sí, se pueden reprESENTAR.

AB.

2) ¿Qué datos presenta el gráfico? El

GRÁFICO MUESTRA:

2) ¿Cuál de las figuras geométricas tiene más datos?

RC = 300 m; PR = 180 m; AP= 120 m.

El trIÁNGULO PRC.

3) ¿Qué figuras reconoces en él? Dos trIÁNGULOS rECTÁNGULOS. 4) ¿Y qué elementos matemáticos reconoces? Dos

ÁNGULOS

y los

LADOS

opuestos por el vértice, dos

de

CADA

ÁNGULOS

rectos

trIÁNGULO.

5) ¿Qué desea realizar Hernán? DESEA

SABER

el tiempo que

DEMORARÁ en crUZAR el LAGO por su PARte MÁS ANCHA.

1) ¿Cuál es tu incógnita? LA DISTANCIA AB. x en el gráfico. Ver GRÁFICO.

Indícala con una

3) ¿Qué ángulos en el diagrama tienen el mismo valor? ¿Cuáles son? Los ÁNGULOS opuestos por el vértice y los ÁNGULOS

rectos.

4) Para averiguar el tiempo que se demorará, ¿qué debe conocer Hernán? Debe conocer LA VELOCIDAD de NADO y LA DISTANCIA A

recorrer.

4) Completa la siguiente proporción: 180

2) ¿Cómo están relacionados los triángulos PRC y PAB? Son

=

300

120

PROPORCIONALES.

3) Completa la siguiente tabla:

5) Resuelve esta proporción y encuentra la distancia y el tiempo que demorará en cruzar el lago.

Lado

Lado

Triángulo PRC

PR= 180 m

RC = 300 m

x = 600/3 m = 200 m

Triángulo PAB

AP= 120 m

AB = x m

El tiempo que

1) Describe la estrategia que se utilizó para resolver este problema. ENCONTRAR UNA SUBMETA, ASÍ como UNA rELACIÓN geométrICA

ADECUADA

en

DEMORA

en crUZAR el

LAGO

es 100 s.

3) ¿Puedes escribir otra proporción que permita resolver el problema? Exprésala.

LA FIGURA.

Sí es posible, por ejemplo:

2) Si los ángulos en R y en A no hubiesen sido rectos, ¿se hubiera podido resolver el problema?

180 300

No hubiese sido posible.

MD

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B

127

=

120 x

Manual para el docente

83

7/19/12 12:42 PM

Las cámaras de vigilancia

Entrada

Con el fin de cuidar los bienes informáticos de la IE Ciencia Nueva, el director quiere colocar cámaras de vigilancia en las esquinas del ambiente donde se encuentran dichos bienes. La condición de esas filmadoras es que puedan girar. ¿Cuántas cámaras se necesitarán como mínimo y en qué esquinas deberán ubicarse? En la entrada no puede colocarse ninguna cámara de vigilancia.

1) ¿Será necesario poner una cámara en cada esquina? Explica por qué sí o por qué no. No

SERÁ NECESARio,

porque

UNA CÁMARA

2) ¿Qué representa el gráfico? MUESTRA el

bien

UBICADA

DIAGRAMA

puede cubrir,

del

AMBIENTE

3) ¿Cómo representarías una cámara de vigilancia en el gráfico? 4) ¿Qué condiciones deben cumplir las cámaras?

Pueden

5) ¿Qué es lo que te piden averiguar? El número de

de

AL GIRAR, LA

un

ÁREA GRANDE

institución

del

AMBIENTE.

EDUCATIVA.

Con un pequeño rECTÁNGULO de diferente color.

GIRAR.

CÁMARAS A COLOCAR.

1) ¿Cuántas esquinas hay en el ambiente donde se encuentran los bienes informáticos? 10 ESQUINAS.

1) Coloca cámaras en distintas esquinas del ambiente. Para ayudarte, desarrolla la(s) estrategia(s) elegidas(s).

2) ¿Qué estrategias emplearías para desarrollar este problema? (Puedes marcar más de una alternativa). a) Hacer uso de una tabla de doble entrada de información. b) Hacer actividades de ensayo y error. c) Hacer un gráfico. d) Hacer diagramas de flujo.

3

2) ¿Cuántas cámaras como mínimo se necesitarán?

1) Describe el procedimiento que has empleado para dar solución al problema. Se HA ELABORADO un modelo físico y luego se

HA

procedido

A PROBAR MEDIANTE ENSAYO

y

ROTACIÓN PARA

error.

2) ¿Cuántas posibles respuestas hay? HAY nueve ESQUINAS posibles y,

PARA CADA

número,

HAY

Resolvamos 1

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deterMINAR el

ALCANCE

de

LAS CÁMARAS.

4) ¿Cómo se miden los ángulos de visión de las cámaras de vigilancia en el gráfico? PARA medir los

diferentes

disposiciones.

84

3) ¿Qué elementos matemáticos has reconocido en el desarrollo del problema? LAS fIGURAS geométrICAS y LA

ÁNGULOS

se

USA

el

TRANSPORTADOR.

¿Se pueden medir estos ángulos en el diagrama? MD

Sí.

128

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De botes y rebotes El diagrama de la derecha muestra una mesa de billar cuyas dimensiones son 4 por 3. Los cuatro agujeros están en A, B, C y D. Los lados de la mesa se llaman parantes. Cada vez que una bola de billar es lanzada hacia un lado, esta rebota con el mismo ángulo con el que llegó a ese lado. Jorge decide lanzar bolas de modo que siempre choquen con el parante, haciendo un ángulo de 45°. Con tus compañeros, investiguen la siguiente situación y ayuden a Jorge a lanzar adecuadamente las bolas: 1) Jorge ha lanzado una bola desde D. Completen el camino que sigue esta bola de billar. Ver

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

GRÁFICO.

2) ¿En qué hueco caerá? CAERÁ en el hueco A. 3) ¿Cuántos rebotes dio antes de entrar a un agujero?

5 rebotes.

4) ¿Cuántos centímetros ha recorrido la bola antes de ingresar al hoyo? Nota: El lado de cada cuadrito mide 30 cm y su diagonal, 30 √2 cm. LA DIAGONAL del CUADRito mide 30√2 cm y

HAY

12 DIAGONALES, entonces recorre 360√2 cm.

Este segundo diagrama es un tablero de billar de 3 x 5. Jorge lanza una bola desde D. 1) ¿En qué hoyo entrará la bola de billar? ENTRARÁ en el hoyo B. 2) ¿Cuántos rebotes dio antes de ingresar al hoyo? Dio 6 rebotes

ANTES

3) ¿Cuántos centímetros recorrió antes de entrar al hoyo? HAY 15

de ENTRAR.

DIAGONALES

de

30√2 cm, entonces recorrió 450√2 cm.

4) Si no hubiese hoyos, ¿cuál sería el trayecto de la bola? SERÍA repetitivo entre los puntos D y B.

Consideren otra mesa de billar con cuatro hoyos A, B, C y D. Una de las bolas es lanzada desde el punto D, configurando un ángulo de 45° con DC, y va directamente al hoyo B. ¿Cuáles serán las dimensiones de esta mesa? 3 x 3 ¿Puede darse esa situación en otras dimensiones? Sí, 2 x 2; 4 x 4; 5 x 5; etc. 1) Dibujen la mesa y el camino recorrido en la cuadrícula. 2) ¿Cómo se llama el segmento DB? El segmento DB se 3) ¿Esta es la única respuesta posible? No, condiciones

LLAMA DIAGONAL.

CUALQUIER MESA CUADRADA CUMPLE

con

LAS

EXPUESTAS.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con ángulos y segmentos. Ellos son útiles cuando realizamos manualidades, en la costura, al estudiar ángulos de visibilidad, en la agricultura, entre otras actividades.

Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?

He colaborado de forma significativa.

Realicé aportes muy relevantes.

MD

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129

Mi colaboración fue aceptable.

Debo mejorar.

Manual para el docente

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Actividad

19 Medidas en nuestras

vidas

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes lo útil que son las medidas estandarizadas. Explique que antiguamente este tipo de unidades eran corporales, lo que no permitía uniformizar las mediciones. Por ejemplo, una mesa de tres codos de largo podría tener diferentes longitudes, según la diversidad de distancias que, entre las personas, existe desde el codo hasta el final de la mano abierta. En algunas zonas de nuestra Amazonía, aún se siguen utilizando estas medidas. Luego indique que nuestro país se rige por el SLUMP (Sistema Legal de Unidades y Medidas del Perú); no obstante, subsisten medidas de origen inglés para ciertas cosas como: la pulgada en los tornillos, las millas en las distancias recorridas por los aviones, el galón en la gasolina, etc. CAPACIDAD

Resuelve problemas de conversión de unidades de longitud, masa y volumen en el sistema métrico decimal. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES

T1

Operaciones con decimales Proporcionalidad Volumen de prismas

Quesitos exquisitos

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Unidades de medida de masa, longitud, capacidad

La tarea presenta una situación comercial típica, en la que se dan los precios de productos referidos al peso. Cabe notar que no se brinda la información como tarifario, sino como exposición de los moldes de queso con diferentes pesos y precios. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de contextos de la vida real que involucren mediciones y conversiones de unidades de peso. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el indicador que permite comparar la calidad de los quesos: puede ser el precio por gramo o kilogramo. En este caso, se propone convertir a enteros las cantidades expresadas en decimales y fracciones. Los estudiantes pueden tener dificultades al realizar los cálculos con decimales o fracciones, por lo que es conveniente que el docente repase cómo hacer estos cálculos manualmente.

Diseños renovados

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

La tarea presenta una situación geométrica en la que hay que calcular la longitud de una línea bordada en un diseño con determinadas condiciones. Los diseños son formados por retazos rectangulares. Con esta tarea se contribuirá a que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolver problemas en contextos reales que involucren el cálculo de longitudes y la conversión de unidades de medida de longitud. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la identificación de las unidades que se están utilizando, en relación con su utilidad para determinados contextos. El caso que nos ocupa corresponde a una situación comercial, por lo que las unidades deben ser estándar y conocidas por la mayoría. En este caso, se propone el uso del pensamiento proporcional, así como la representación de la situación en un diagrama analógico, con el fin de identificar allí las incógnitas y los datos que permitan realizar los cálculos correspondientes. Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar la incógnita y las condiciones del problema, así como al organizarse para realizar los pasos que permitan resolver este problema. En la fase tres, las preguntas ordenan y orientan este proceso. Los estudiantes reflexionarán sobre la estrategia utilizada y formularán otras variantes del problema. Los más avanzados pueden proponer otros diseños de alfombra y redactar un problema similar.

Resolvamos 1

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T3

El cuidado de los peces

Descripción de la actividad Intención pedagógica

Los estudiantes deberán reflexionar acerca del uso de la estrategia utilizada en este problema para poder aplicarla en situaciones similares. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades de resolución de problemas que involucren conversión de medidas de capacidad.

¿A qué poner énfasis?

Al desarrollar la tarea, se debe destacar que, en el problema, las medidas están en diferentes unidades. Hay que señalar que, para poder abordar correctamente un problema, es preferible que todas las unidades referidas a una magnitud sean las mismas.

Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, se propone el uso de un diagrama analógico que represente la situación. Hay que dibujar tridimensionalmente la pecera, señalar el nivel de agua alcanzado y luego realizar el cálculo del volumen de agua necesario.

Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender lo que el problema plantea, al realizar los cálculos con decimales. Es importante que el docente realice el dibujo del prisma rectangular en la pizarra, a fin de poder discutir acerca de la capacidad de la pecera y del volumen de agua. La reflexión de lo actuado por parte de los estudiantes, que les permita abstraer la estructura del problema presentado, es importante para lograr que la estrategia utilizada sea fácilmente transferible a otras situaciones similares.

¡Tamales, casera!

Descripción de la actividad

Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades Más allá del problema

La tarea presenta una situación comercial que consiste en calcular la cantidad de ingredientes que se deben adquirir para la elaboración de una cantidad desconocida de tamales. Para ello se requiere de cálculos proyectivos a partir de datos históricos. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas de traducción compleja para tomar decisiones, partiendo de un análisis de datos numéricos y de predicciones con fundamento matemático. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que las decisiones a las que se arriben se extraerán luego de haber analizado matemáticamente la situación. En este caso, se propone descomponer el problema en situaciones de menor complejidad, formuladas como preguntas. Los estudiantes pueden tener dificultades al relacionar las diversas porciones de información presentadas y al seleccionar la información irrelevante. Por ello, deben leer y preguntarse si todos los datos brindados para explorar la situación son útiles. Esposible posiblecomplementar complementarlalaactividad actividadplanteando planteandoun untrabajo trabajoexterno externoaalos losestudiantes, estudiantes,pidiéndoles pidiéndoles Es que investiguen y busquen datos reales para resolver un problema de estructura similar. que investiguen y busquen datos reales para resolver un problema de estructura similar.

30 cm

40 cm

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Manual para el docente

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19 Quesitos exquisitos Santiago tiene un negocio rentable de lácteos. Acostumbra adornar su vitrina con una variedad de quesos. Los moldes y porciones tienen siempre letreros que, además del precio, indican el peso de cada producto puesto en exhibición. La mayoría de sus quesos son de la sierra y son muy agradables.Sin embargo, los moldes que se promocionan son las únicas existencias que se tienen en venta.

1) ¿Cuánto costarán 3 kg de queso paria? COSTARÁN 3(4 x 6) = S/.72.

2) ¿Cuánto costarán 2500 g de queso puneño? COSTARÁN (2500/1250)20 = S/.40.

3) ¿Cómo puedes saber el precio por kilo del queso ancashino? Solo explica cómo lo calcularías; no realices los cálculos. Primero se

ENCUENTRA

el precio de un

GRAMO,

luego se

MULTIPLICA

este precio por 1000 (1000 g = 1 kg).

Por kilo es S/.18/1,2 = S/.15. 4) ¿Cuál es el precio por kilo del queso de Cajamarca? ¿Y cuál es el precio por gramo? Por GRAMO es S/.0,0015.

5) Un turista acostumbrado a comprar por libras le pregunta a Santiago: ¿cuál es el precio por libra del queso Gouda? Si el valor de una libra es 453, 6 g, calcula ese precio. El precio de un

GRAMO

de GOUDA es S/.0,05, el de

UNA LIBRA

es S/.22,68.

6) Reflexiona y responde: ¿Qué característica de los datos debes tomar en cuenta? ¿Qué relaciones se establecen entre los datos?

Debemos verIFICAR LAS UNIDADES. LA rELACIÓN es A menor CANTIDAD de queso, MAYOR costo, es decir, que AMBAS MAGNITUDES son dirECTAMENTE PROPORCIONALES.

7) Para una receta se requieren 3 ¾ lb de queso de Cajamarca. ¿La tienda de Santiago puede cubrir actualmente este pedido? 1 2

HAY 1

86

kg de queso de CAJAMARCA, que EQUIVALEN A 3,3 LIBRAS, CANTIDAD suficiente PARA ATENDER el pedido.

Resolvamos 1

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Juliana está fabricando un nuevo diseño de alfombras -como te muestra la figura-. El diseño está formado por 4 retazos rectangulares, unidos por sus lados, cada uno de 60 cm de largo por 40 cm de ancho. La alfombra se adorna con una línea negra bordada que une los puntos que están en el centro de cada pieza. Juliana debe atender un pedido de 500 de estos diseños y, para su hoja de costos, necesita saber la longitud de la línea negra bordada. ¿Cuántos metros mide la longitud de esa línea negra?

1) ¿Con qué elementos se fabrican las alfombras?

1) Para resolver el problema, tienen que hallar las dimensiones de la línea bordada para cada pieza. ¿Qué estrategia puede servir para resolver este problema?

Con 4 rETAZOS rECTANGULARes.

a) Representar en un dibujo las características de la línea y O la pieza.

2) ¿Cuáles son las dimensiones de los retazos? LAS dimensiones son de 60 cm de LARgo por 40 cm de ANCHO.

b) Hacer una tabla y poner los valores consecutivamente.

3) ¿A qué puntos se refiere al decir: “puntos que están en el centro de cada pieza”? Indícalo en este dibujo.

c) Empezar en un orden inverso para reconocer las operaciones. 2) Conocido el valor de las líneas negras, ¿con qué otros datos lo relacionarías para solucionar el problema planteado?

4) ¿El dato de 500 te sirve para la solución del problema? Sí, sirve PARA LA solución del PROBLEMA de UNA luego se MULTIPLICARÁ por el DATO MENCIONADO.

Con el número de

ALFOMBRA,

PIEZAS.

5) ¿Qué otros datos te brinda el problema? El

GRÁFICO

que

MUESTRA CÓMO

es el diseño de

LA ALFOMBRA.

6) ¿Qué es lo que desea calcular Juliana? LA longitud de

LA LÍNEA BORDADA

del diseño.

1) Dibuja la alfombra. ¿Cuántas piezas tiene?

Tiene 4

PIEZAS.

Ubica los puntos medios de cada pieza. únelos. Coloca las medidas correspondientes sobre la línea negra.

20

30

30

2) ¿Cuánto mide la línea negra? LA

LÍNEA NEGRA

20

mide 20 + 60 + 40 + 60 + 20 = 200 cm.

3) ¿De cuántas alfombras es el pedido? El pedido es de 500

20

ALFOMBRAS.

30 30

20

4) ¿Cuántos metros de línea negra bordará Juliana para atender este pedido? BORDARÁ 1000 metros de

LÍNEA NEGRA.

1) ¿Por qué hacer un dibujo fue la estrategia más útil para resolver este problema? Permitió deterMINAR

LA ESTRATEGIA A

solución.

seguir

PARA LA

3) Juliana ha elaborado el siguiente diseño con las mismas dimensiones y medidas antes mencionadas, pero solo para 100 piezas de alfombra. ¿Cuántos metros bordará? 20

2) ¿Es posible resolver este problema de manera más corta? Explica. Sí. Por NEGRA.

Luego

CADA

rETAZO

BORDA

20 cm + 30 cm = 50 cm de

Como requiere 500 BORDARÁ

ALFOMBRAS, NECESITA

20

20 30 20

LÍNEA

2000 rETAZOS.

50 x 2000 = 100 000 cm o 1000 m.

30

30 20 20

30 20

30

30 20

BORDARÁ 400 cm x 100 = 40 000 cm.

MD

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30

30

133

Manual para el docente

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30 cm

80 cm

Ángel es un fanático de los peces. Tiene una colección de 25, todos de diferentes colores. Para brindarles mayor comodidad, ha comprado una pecera en forma de prisma recto -cuyas dimensiones se muestran-. Ángel llena su pecera con un balde cuya capacidad es 1200 cl. ¿Cuántos baldes repletos de agua necesita para llenarla, de modo que la superficie del agua diste 5 cm de la altura de la pecera?

1) ¿Qué forma tiene la pecera? Tiene forMA de prISMA recto. 2) ¿Qué relación hay entre la capacidad de la pecera y el volumen del agua que la llena? Son EQUIVALENTES en LAS MISMAS UNIDADES

de

MEDIDA.

3) ¿En qué unidades están las dimensiones? En centímetros. 4) ¿En qué unidades se ha medido la capacidad del balde? Se

HA

LLENA

5 cm menos que

LA ALTURA

de

1) ¿Cómo hacer el cálculo si se tienen unidades de medida distintas? Se debe convertir todo

A UNA MISMA UNIDAD.

2) ¿Qué tendrías que realizar primero para hacer los cálculos? Convertir los cl

Sí,

LA PECERA.

A CM3.

SERÍA

útil

HACER

el

GRÁFICO.

4) Completa donde corresponda: Hay que calcular cuántas veces el volumen del balde está

6) ¿Qué es lo que te solicita el problema?

SABER CUÁNTOS BALDES se requieren PARA LLENAR LA si el AGUA QUEDA A 5 cm de LA ALTURA de ESTA.

1 litro (l) = 100 centilitros (cl) = 1000 centímetros cúbicos (cm3)

3) Para poder ver las condiciones del problema, ¿tendrías que representar los datos en un gráfico?

medido en centilitros.

5) ¿Qué condición de llenado te plantean en el problema? Se

40 cm

PECERA

1) ¿Cuántos cm3 es 1 cl? 1 cl = 10 cm3 2) Marca, sobre el diagrama de la pecera, la altura hasta donde se debe verter el agua.

LA PECERA.

contenido en el volumen de

3) Calcula las nuevas dimensiones bajo la condición del problema. L = 80 cm; A = 30 cm; H = 35 cm.

4) Calcula este volumen de agua: V = 80 cm x 30 cm x 35 cm = 84 000 cm3.

5 cm

40 cm

5) ¿Cuál es el volumen de agua que puede llevar el balde en cm3? 12 000 cm3. 6) ¿Cuántas veces cabe este resultado en el volumen de agua necesario? 7 veces.

30 cm

7) Interpreta tu resultado y responde: ¿Cuántos baldes llenos de agua, como mínimo, necesitas para llenar la pecera en las condiciones dadas? Se NECESITAN 7 BALDES llenos.

80 cm

1) Describe las estrategias o procedimientos que te permitieron resolver el problema. Se empezó HACIENDO un reprESENTAR

LA SITUACIÓN,

donde se

COLOCARON DATOS

e

INCÓGNITAS

GRÁFICO PARA

que luego se rELACIONARON.

2) ¿En qué condiciones o características de los problemas te convendría aplicarlos? sobre fIGURAS o cuerpos geométricos y sus dimensiones.

En condiciones donde se den DATOS

3) Si la altura del agua solo debiera llegar a las tres quintas partes de la altura de la pecera, ¿cuántos baldes serían necesarios? Se requirIRÍA de 57 600 cm3, que

SERÍAN

4,8

BALDES.

Es decir, 5

BALDES.

3

4) Ángel quiere colocar dos rocas de adorno, la primera de 800 cm y la segunda de 700 cm3. ¿Cuántos baldes de 11 litros de capacidad serán necesarios ahora para llenar la pecera manteniendo la distancia libre de 5 cm? Se requerIRÁ de un volumen de 82 500 cm3, esto corresponde

88

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 134

MD

A

7,5

BALDES.

Es decir, 8

BALDES.

134

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¡Tamales, casera! Maricarmen ha sido invitada a participar en MISTURA 2012 porque prepara los mejores tamales de todo Supe. La receta secreta, que ha pasado de generación en generación, rinde cuatro tamales. Los organizadores han dado la siguiente información:

Receta (4 tamales) Ingredientes: 1 1 4 kg choclo desgranado 200 g cebolla 50 g culantro 2 ajíes verde 1 cucharadita de ajo molido 150 g de manteca Sal, pimienta

- El número de asistentes a las tres fechas pasadas de MISTURA que compraron tamales son: Mistura 2009

Mistura 2010

Mistura 2011

400

1600

6400

- Asistirán un total de 30 vendedores de tamales.

Maricarmen desea tomar una mejor decisión acerca de qué cantidad de ingredientes debe comprar para atender a los concurrentes de MISTURA 2012. Maricarmen ha solicitado tu apoyo y el de tus compañeros. Desarrollen las siguientes actividades y definan la cantidad de ingredientes necesarios: 1) Si quintuplican la receta, ¿para cuántos tamales alcanzará? 6) ¿Qué relación hay entre la cantidad de insumos de la receta y el número de tamales? ALCANZARÁ

PARA

20

TAMALES.

2) ¿Qué deben hacer para calcular los ingredientes necesarios? Si tengo LA CANTIDAD TOTAL de TAMALES requeridos, divido entre 4. El número rESULTANTE serVIRÁ PARA MULTIPLICARlo por LAS CANTIDADES de LA rECETA MOSTRADA.

LA CANTIDAD de insumos de LA rECETA PARte del número de TAMALES.

7) Completen la tabla como corresponda:

3) Reflexionen si los datos que se dan en el enunciado son suficientes para encontrar lo que se pide. Sí son suficientes. Con LAS CANTIDADES VENDIDAS en MISTURA, podemos PRONOSTICAR LAS VENTAS ACTUALES. Como conocemos el TOTAL de vendedores de TAMALES, dividimos entre 30 y obtenemos LA DEMANDA PARTICULAR. Luego HACEMOS el proceso MENCIONADO en LA prEGUNTA 2.

4) ¿Cuál sería una buena estimación del número de compradores de tamales en MISTURA 2012? 25 600 COMPRADORes.

5) Pónganse en el caso de que hay 30 vendedores de tamales. Decidan el número de estos productos que se deben preparar para atender a los posibles comensales. Expliquen por qué eligen ese número. Si se divide 25 600/30 = 853,33 TAMALES. Entonces, se puede AFIRMAR que si se prEPARAN 853 TAMALES, se puede ASEGURAR su VENTA TOTAL.

CORresponde A LA CUARta

1 receta

¼ receta

4 recetas

1 tamal

213,3 recetas 853 tamales

8) ¿La cantidad de insumos de cuántas recetas necesitas para preparar el número total de tamales requeridos? Se NECESITAN los insumos previstos PARA 213,3 rECETAS.

9) ¿Qué cantidad de ingredientes necesita Maricarmen para atender a los concurrentes de MISTURA 2012? 266,66 42,66 10,67 427 213,33 32 LAS

kilos de choclo DESGRANADO kilos de CEBOLLA kilos de CULANTRO AJÍES verdes CUCHARADITAS de AJO molido kilos de MANTECA

COMPRAS

se rEALIZARÁN rEDONDEANDO

AL

entero

MAYOR.

10) ¿Crees que la matemática ha ayudado a que Maricarmen tome una mejor decisión? DEFINITIVAMENTE, mejor decisión.

LA MATEMÁTICA LA HA AYUDADO A TOMAR UNA

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la conversión de unidades. En nuestra vida, necesitamos elegir las unidades para medir adecuadamente diversos objetos, así como para realizar comparaciones, estimaciones y aproximaciones.

Autoevaluación ¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?

Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.

Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.

MD

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En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.

Se debieron generar espacios de participación.

Manual para el docente

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Actividad

20 Decisiones bien medidas

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente a sus estudiantes que, en la cotidianidad, realizamos conversiones de medida para tomar decisiones eficientes y adecuadas al contexto; por ejemplo cuando queremos hacer cambios de monedas nacionales y extranjeras o decidir la cantidad de ingredientes respecto a un recetario de cocina expresado en tazas, cucharadas, gramos y onzas; también al reconocer las medidas de productos ferreteros expresados en pulgadas o pies, así como al realizar actividades en las que se establecen unidades no convencionales que requieren una posterior formalización. CAPACIDAD

Resuelve problemas de conversión de unidades de longitud, masa y volumen en el sistema métrico decimal. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Sistema legal de unidades y medidas del Perú Cálculo con decimales Ecuaciones lineales Fórmulas geométricas de longitud, masa y volumen

Una gira otoñal

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

Conversión de unidades de medida

La tarea presenta un plano que simula una red de carreteras entre varios pueblos. Las unidades de medida están en kilómetros (km). Lo que se quiere es que el estudiante explore este plano y calcule distancias entre diversos pueblos. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas aditivos que involucren distancias y conversión entre unidades de medida. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en cumplir con las condiciones para cada distancia pedida. A veces exige rutas de ida y vuelta; otras, solo de ida, o que pasen por un determinado número de pueblos, entre otras condiciones. En este caso, se propone desarrollar el ensayo y error. El tanteo sistemático no se realiza aleatoriamente. Después de cada tanteo, los estudiantes deben reflexionar sobre el próximo, dándose cuenta de cuán cerca de lo pedido estuvo su primer tanteo, si está cerca por exceso o si está cerca por defecto. Los estudiantes pueden tener dificultades al tantear de manera organizada. Es bueno, por ello, preguntar las razones de cada tanteo que realizan. Además, deben inferir que las técnicas de ensayo y error no son caóticas, sino que responden a un orden y a razonamientos de tipo matemático.

Envasando canchita

Descripción de la actividad

Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

La tarea presenta un problema sobre diseño de un recipiente para contener algún producto. Hay que decidir entre dos posibilidades de fabricación con el mismo material. Este tipo de situaciones se observa con bastante frecuencia en la industria, donde la matemática es utilizada para minimizar el material utilizado en los recipientes. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran tomar decisiones basadas en argumentos matemáticos. En este caso, el indicador elegido para decidir será la capacidad de un recipiente cilíndrico. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el proceso de la experimentación, evitando dejarse llevar simplemente por la intuición. Para esta actividad, se propone hacer un modelo físico y utilizar una fórmula.

Resolvamos 1

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MD

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Posibles dificultades

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T3

Los estudiantes deberán comprobar sus resultados, además de contrastarlos con su intuición inicial. A partir de esta actividad, se presentan otras preguntas para que el estudiante explore la situación.

Las estatuillas

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

Los estudiantes pueden tener dificultades al reconocer los elementos en cada uno de los recipientes, como el radio y la altura. Para evitar esto, es conveniente que tomen una hoja y realicen el experimento construyendo el envase pedido; así, su visualización espacial se enriquece. Un error típico es creer que el recipiente más alto es el que tiene mayor volumen; pero este no solo depende de la altura del cilindro, sino, principalmente, de su radio. La relación de proporcionalidad entre el volumen y el radio es cuadrática; mientras que la relación entre la altura y el volumen es lineal. Es decir, si se duplica el radio del recipiente, el volumen se cuadriplicará; pero si se duplica la altura, el volumen solo se duplicará.

La tarea presenta un problema de conversión de unidades no convencionales. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran establecer equivalencias entre unidades desconocidas. Aunque las presentadas aquí son ficticias, el proceso realizado para encontrar cada equivalencia es el mismo que cuando se realiza entre unidades de medición convencionales. Al desarrollar la tarea, se prioriza desde el inicio la identificación de una relación. Quiere decir que los estudiantes deben identificar, entre todas las equivalencias dadas, una que relacione directamente la unidad nueva con alguna conocida. Utilizando esta relación sistemáticamente pueden hallar las demás conversiones. En este caso, se propone la lectura analítica del problema, la organización de datos y el planteamiento de ecuaciones. Los estudiantes pueden tener dificultades al plantear la ecuación que les permita iniciar el trabajo. Por ello, las preguntas los guiarán hacia ese descubrimiento. Los estudiantes deberán reconocer la estructura de otros problemas en los que la estrategia puede ser útil. Además, se plantean otras variantes del sistema de relaciones.

Decisiones medidas

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades Más allá del problema

La tarea presenta 5 planos diferentes correspondientes al diseño de un jardín. El problema busca determinar en cuál de ellos el costo de construcción de un cerco será el mayor. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de contexto real que requieran el cálculo de perímetros. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el reconocimiento de figuras que tienen el mismo perímetro y su relación directa con el costo por construcción del cerco. En este caso, se propone la representación literal de algunas dimensiones desconocidas, sin que esto altere los resultados del cálculo del perímetro de las figuras, y luego el desarrollo de cada una de las pequeñas situaciones de forma sistemática. Los estudiantes pueden tener dificultades al asumir, si fuera necesario, algunas de las medidas que no son proporcionadas en las figuras. Es interesante reflexionar con los estudiantes sobre cómo esta ausencia de información puede ser resuelta con bastante facilidad al considerar datos literales. Es importante que los estudiantes reflexionen sobre lo actuado e identifiquen formas diferentes que tengan un mismo perímetro. Se les puede proponer, además, tareas en las que creen diversas figuras, cuyos perímetros midan lo mismo que el diseño original.

MD

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Manual para el docente

7/19/12 12:43 PM

20 Una gira otoñal La familia Rodríguez toca música folclórica desde hace 20 años. Este otoño, ellos desean realizar una gira desde Mapacá hasta Mapallá. Un guía turístico les dio este plano, en el cual se observan las distancias entre varias ciudades que podrían visitar. Carhui

Tumbo

Apata Mapallá

Wari

Mapacá

Cala

1) ¿Qué distancia hay de Apata a Wari?

Oruno

46 km

2) ¿Qué distancia hay de Apata a Cala pasando por Wari?

46 + 43 = 89 km

3) Si desean visitar tres pueblos y recorrer la distancia más próxima a 220 km en la ruta de ida, ¿por qué pueblos pasarán? SALIENDO de MAPACÁ

PASARÁN

por APATA, Tumbo, CALA y MAPALLÁ.

4) La familia se decidió por una ruta desde Mapacá a Mapallá de 194 km. ¿Por qué pueblos pasarán? PASARÁN por APATA, WARi y CALA.

5) ¿Cuántos kilómetros hay entre Mapacá y Mapallá si se viaja a través de Wari, Cala y Oruno?

144 km

6) Reflexiona y responde: ¿Para resolver los problemas anteriores, qué conceptos matemáticos has empleado? Se

HA EMPLEADO

el

ANÁLISIS

de

LA

rUTA próxIMA y exACTA,

MEDIANTE ENSAYO

y error.

7) ¿Cuál es la ruta de mayor distancia para ir a Mapallá: Apata, Tumbo, Carhui o Wari, Cala, Oruno? LA rUTA de

90

MAYOR DISTANCIA

Resolvamos 1

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es yendo por APATA - Tumbo - CARhui. LA

MD

DISTANCIA

es de 188 km.

138

7/19/12 12:43 PM

Envasando canchita Estela quiere hacer dos recipientes sencillos para colocar la canchita serrana que vende. Para ambos utiliza cartulina blanca y les da la forma de tubos. Las dimensiones de cada hoja de cartulina son 12 cm por 0,18 m. Estela pegó los tubos a las bases circulares de cartón con cinta adhesiva, como se observa en la figura. ¿Qué recipiente contendrá más canchita? Nota: π = 3,14

1) ¿Qué elabora Estela? ELABORA dos recipientes

PARA ENVASAR LA CANCHITA

que

VENDERÁ.

2) ¿Qué formas geométricas tendrán los recipientes? TENDRÁN forMAS cilíndrICAS. 3) Describe con qué material construirá estasformas. Con 4) ¿Qué es lo que te piden?

DeterMINAR

CUÁL

UNA HOJA

de

CARTULINA,

de 18 cm de

de los dos recipientes contiene

LARgo

por 12 cm de

ANCHO.

MÁS CANCHITA.

5) Adelanta una respuesta con una estimación. LAS rESPUESTAS pueden VARIAR.

1) ¿Qué fórmulas recuerdas acerca de estas formas geométricas? Volumen del cilindro = πr2h

Superficie del cilindro = 2πrh

ÁrEA

4) ¿Cuál es el radio del recipiente B? Redondea a décimas.

El recipiente A tiene 18 cm de circunferENCIA y 12 cm de

ALTURA.

RADIO B: 1,9 cm

5) ¿Qué fórmula usarías para encontrar el volumen de cada recipiente? ¿Por qué? USARÍA LA fórMULA:

2) ¿Cuál es la circunferencia y la altura del recipiente B? El recipiente B tiene 12 cm de circunferENCIA y 18 cm de

= 2πr (h+r)

LAS prIMERAS fórMULAS.

2) ¿Cuál de estas fórmulas crees que te servirá para responder la pregunta?

1) ¿Cuál es la circunferencia y la altura del recipiente A?

TOTAL

ALTURA.

3) Puedes encontrar el radio de cada recipiente mediante la fórmula r = lo , donde lo es la longitud de la circunferencia. 2π

Volumen = πr2h Porque

A MAYOR

volumen,

HABRÁ MÁS CAPACIDAD PARA LA

CANCHITA.

6) ¿Cuál de los recipientes contiene más canchita? Explica. Volumen A = 316,89 cm3

¿Cuál es el radio del recipiente A? Redondea a décimas.

Volumen B = 204,04 cm3

RADIO A: 2,9 cm

El recipiente A, porque tiene

1) ¿Tu estimación coincidió con la respuesta? LAS rESPUESTAS pueden

VARIAR.

PARTICULAR PARA

el

volumen.

4) Si la hoja hubiese sido cuadrada, ¿qué hubiese pasado con los recipientes?

2) Describe las estrategias que te sirvieron para resolver este problema. Construir un modelo físico y UTILIZAR LA fórMULA

MÁS

PROBLEMA.

3) Si un grano de canchita ocupa, aproximadamente, 1/8 cm3, ¿cuántos granos de canchita entrarán en el recipiente A y cuántos en el recipiente B?

HuBIERAN tenido

LA MISMA CAPACIDAD.

5) Crea un problema con las características del problema presentado. A resolver por el

ESTUDIANTE.

Recipiente A: 2535,2 GRANOS, rEDONDEANDO SERÍAN 2535 GRANOS. Recipiente B: 1632,32 GRANOS, rEDONDEANDO SERÍAN 1632 GRANOS.

91 MD Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 139

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Manual para el docente

7/19/12 12:43 PM

Mercedes y su papá fueron al Museo de Arqueología el último sábado. En un sector del museo, se encontraban cuatro estatuillas hechas de piedra de Huamanga. Cada estatua tenía símbolos grabados que mostraban su peso. En un costado, se encontraba un pergamino con algunas de las equivalencias de los pesos. Utiliza esta información para obtener el peso de cada estatua en gramos.

1 seto (S) pesa lo mismo que la suma de 1 huama y 1 wipi. 1 huama (H) pesa lo mismo que la suma de 1 wipi y 1 qui.

1 qui (Q) pesa 14 gramos.

1) ¿Qué encuentran en el museo Mercedes y su padre? CUATRO ESTATUILLAS HECHAS de PIEDRA GRABADOS

que

MOSTRABAN

CON

1) ¿Cómo puedes escribir en lenguaje matemático las equivalencias dadas en el pergamino?

símbolos

ASIGNANDO

su peso.

HUAMA

2) ¿Qué significan las palabras: huama, seto, wipi y qui? LAS

UNIDADES

de peso

1 seto = 1

UTILIZADAS.

3) ¿Qué te dicen acerca de estas unidades? ¿Están relacionadas? Son UNIDADES de peso y sus EQUIVALENCIAS ESTÁN en un perGAMINO

Sí

ESTÁN

que se ENCUENTRA en el museo.

rELACIONADAS.

4) ¿Qué es lo que quieres saber? El peso de CADA ESTATUA en

GRAMOS.

1) Escribe, en forma de ecuación, cada relación de peso. Utiliza la letra correspondiente para cada unidad. S=H+W

H=W+Q

Q = 2W

Q = 14

3) ¿Hay alguna ecuación con Q, W y otra letra más? Sí. Utilízala para hallar el valor de H en gramos. Entonces, H = 21 g.

2) La estrategia empleada se puede aplicar en otros problemas. ¿De qué tipo? Sí, en PROBLEMAS que requieren CAMBIAR VARIABLES.

1.A

ESTATUA:

5 wipis

3.A

ESTATUA:

16 wipis

2.A

ESTATUA:

9 wipis

4.A

ESTATUA:

12 wipis

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 140

1 qui = 2 wipis 1 qui = 14 g

2) ¿Hay alguna relación con una unidad de medida que conozcas? Sí, 1 qui = 14 g. 3) ¿Es posible combinar las equivalencias para descubrir cada una? Sí es posible.

28 g; en un

HAY

HUAMA,

21 g, y en un

wipi, 7 g.

5) Encuentra el peso de cada estatua en gramos. 1.A

ESTATUA

= 5 x 7 = 35 g

A

2.

ESTATUA

= 3 x 21 = 63 g

A

3.

ESTATUA

= 4 x 28 = 112 g

4) ¿Cuál será el peso en huamas? 1.A

ESTATUA:

1,67

2.

ESTATUA:

3 HUAMAS

A

MD

HUAMAS

3.A

ESTATUA:

5,33

4.

ESTATUA:

4 HUAMAS

A

HUAMAS

5) Si no te hubieran dado alguna de las equivalencias, ¿se habría podido resolver el problema? Explica. No,

3) ¿Cuál es el peso de las estatuas en wipis?

92

+ 1 wipi

HUAMA

= 1 wipi + 1 qui

4.a ESTATUA = 6 x 14 = 84 g

1) Describe la estrategia que te sirvió para resolver este problema. Se PLANTEARON ECUACIONES.

rELACIONES entre

HUAMA

En un seto

Q = 2W Luego, W = 7 g.

LAS

por ejemplo: 1 seto (S); 1

4) A partir de las ecuaciones, ¿cuántos gramos hay en un seto, un huama y un wipi?

2) ¿Hay una ecuación con Q y una letra más? Sí. Utilízala para hallar el valor de otra medida en gramos.

H=W+Q

1

VARIABLES A CADA UNIDAD;

(H); 1 wipi (W); 1 qui (Q)

HUBIERAN FALTADO DATOS PARA

completo. Como rELACIONES.

resolver el

HAY CUATRO LETRAS,

se

PROBLEMA

NECESITAN CUATRO

140

7/19/12 12:43 PM

Decisiones medidas Un arquitecto presenta a su cliente cinco planos diferentes para un proyecto de jardín en su terreno rectangular, que mide 12 m de largo por 8 de ancho, donde las líneas continuas representan la cerca que debe ser construida para proteger las flores. Las regiones claras son todas rectangulares y de las mismas dimensiones en cada plano. El tipo de cerca es el mismo en todos los casos. ¿En qué proyecto el costo de construcción de la cerca será mayor?

I

II

III

IV

V

Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades y resuelvan el problema: 1) ¿Interesa conocer el área o el perímetro de cada figura?

9) Si los rectángulos en blanco de la figura III tienen 3 m de base y 4 m de altura, ¿cuánto medirá la cerca?

El perímetro.

MEDIRÁ 40 + 3 + 3 + 3 + 3 = 52 m.

2) ¿Qué longitud tiene la cerca en I?

10) ¿Cuál de las cercas mide más de 40 metros?

2(12 + 8) = 40 m

3) En II faltan algunas medidas, ¿son necesarias para calcular la longitud de la cerca? No. A

PESAR

HALLAR LA

de desconocerse

longitud

ALGUNAS MEDIDAS,

se puede

TOTAL.

CASO

11) Reflexionen en equipo la razón por la cual la cerca III tiene más de 40 metros de longitud. A responder por el

ESTUDIANTE.

12) Completen esta tabla respecto a lo que miden las cercas para cada proyecto.

4) ¿Cuánto mide la cerca en el caso II? Mide lo mismo que el

LA CERCA III.

I, 40 m.

Proyecto

5) Para determinar la longitud de cerca en IV, representamos con a y b dos de las medidas. Completen las demás. a

Miden menos de 40 m

ninguno

Miden 40 m

I, II, IV y V

Miden más de 40 m

III

b 13) El costo de cada cerca depende, esencialmente, de la longitud de la cerca. ¿A cuál de los proyectos corresponde un costo mayor? ¿Por qué?

a 12-b

7) Utilicen la figura anterior y calculen la longitud de cerca en IV. L = A + 12 – b + 8 – A + b + A + 12 – b + 8 – A + b = 40

Al proyecto III porque tiene

LA MAYOR

longitud, mide

MÁS

de 40 m.

8) Utilicen un razonamiento parecido al de la pregunta 5 y determinen la longitud de la cerca IV. 40 metros.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con medidas que son importantes para calcular tiempo, masa, capacidad y longitud en sistemas convencionales (cinta métrica, regla, etc.) o no convencionales (pie, mano, etc.).

Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?

Muy interesantes.

Interesantes.

MD

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141

Poco interesantes.

Nada interesantes.

Manual para el docente

93

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Actividad

21

La geometría de los mínimos

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que cotidianamente estamos tratando de economizar recursos. En ese sentido, por ejemplo, buscamos disminuir el tiempo que empleamos en el transporte, identificar la ruta más corta si debemos hacer algún reparto, minimizar el material empleado en un diseño, etc. La matemática tiene una rama dedicada a la optimización de procesos y materiales. En esta actividad, trabajaremos con caminos mínimos, los que enfrentaremos desde un punto de vista geométrico. CAPACIDAD

Resuelve problemas de optimización de trayectos que involucran el desarrollo de sólidos geométricos. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Recorridos mínimos

Sistema de unidades de longitud Cuerpos geométricos Cálculo con decimales

El dilema de María

Estrategias heurísticas propuestas

La tarea presenta una situación en la que dos puntos, a un mismo lado de una recta, se unen mediante una ruta mínima, donde se condiciona para que el camino toque la recta. El problema se contextualiza en el viaje diario de una persona que debe ir de su casa a su tienda de trabajo, pero que debe llegar al río para abastecerse de agua. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas de optimización de trayectos en el plano. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la experimentación que se hace mediante el cálculo de varios posibles puntos. En este caso, se propone particularizar la situación mediante la experimentación con datos supuestos hasta lograr que los resultados cumplan con la condición del problema.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al realizar el modelo a escala en una hoja, por lo que se sugiere comparar los diseños de cada uno. El docente debe pedir, con antelación, instrumentos de trabajo gráfico.

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis?

T2

La hormiga golosa

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

La tarea presentada muestra una situación de ruta mínima que debe recorrer una hormiga en un cilindro para llegar a una gota de miel. Los puntos que se deben unir se encuentran en el anverso y reverso de la superficie del cilindro. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren el cálculo de rutas mínimas en figuras geométricas espaciales. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las diversas posibilidades que tiene la hormiga para ir al encuentro de la miel. En este caso, se propone desarrollar el cuerpo geométrico para reducir el problema a uno similar ya estudiado (“El dilema de María”), así como utilizar la reflexión en un punto. Considerar que la distancia mínima entre dos puntos es una recta. Los estudiantes pueden tener dificultades al entender cómo deben realizar la reflexión y también al comprender que el camino elegido es el mínimo posible. Para ello, puede decirles que experimenten con otros caminos y que calculen sus distancias. Los estudiantes deberán explorar diversas vías de solución. También se les pide que hagan un modelo físico para que visualicen mejor las estrategias utilizadas en la solución del problema.

Resolvamos 1

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T3

La araña y la mosca

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis?

La tarea presentada muestra una situación de trayecto mínimo que debe recorrer una araña para llegar hasta una mosca que se encuentra en el extremo opuesto de la diagonal de un prisma recto. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas de ruta mínima en figuras geométricas espaciales. Al desarrollar la tarea, se debe establecer que los problemas espaciales pueden trasladarse a problemas planos, mediante el desarrollo de los cuerpos.

Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, se propone desarrollar el prisma en un diagrama en el plano, de manera que el cálculo de tramo mínimo a ser recorrido se calcule en una figura geométrica plana. Desarrollar un sólido geométrico es representar en el plano la figura proporcional a partir de la cual se obtuvo el sólido.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al desarrollar el sólido geométrico en el plano. Las preguntas señaladas en la tercera fase los guiarán a superar esta dificultad.

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

Los estudiantes deberán reflexionar acerca de cómo se usó la estrategia. Además, tendrán que reconocer las similitudes entre este problema y el anterior para que puedan identificar la estructura de problemas similares, en los que se debe utilizar un desarrollo. Asimismo, se presentan variantes a la situación inicial.

La araña matemática

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

La tarea muestra un problema típico de distancias mínimas. En esta ocasión, se trata de determinar el mínimo recorrido que debe realizar una araña para encontrar a una mosca. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que involucren la representación gráfica de figuras en el espacio, a partir de la información planteada en el enunciado. Al desarrollar la tarea, el docente debe poner énfasis en la representación mental que logren los estudiantes del recorrido que debe hacer la araña sobre la superficie, así como en el uso de argumentos matemáticos para justificar sus conclusiones.

Estrategias heurísticas propuestas

En este caso, se propone la representación gráfica de la situación y el desarrollo de un modelo.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al diseñar el desarrollo del modelo con una escala apropiada. Las preguntas 4 y 5 pueden servir para guiar su trabajo.

Más allá del problema

Para aquellos estudiantes más avanzados, se pueden proponer tareas de investigación; por ejemplo, realizar recorridos mínimos en conos. Es posible buscar problemas de este tipo, propuestos para las Olimpiadas Argentinas de Ingenio, en la dirección: http://www.stateresa.edu.ar/colegio/index.php/olimpiadas-matematicas

MD

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Manual para el docente

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21 El dilema de María Todos los días, María tiene que atravesar parte del desierto de Ica para llegar a su tienda de trabajo. Una gran dificultad es cargar con el agua que requiere para su diaria labor de excavación. Felizmente, ha descubierto un río recto muy cerca de su centro de operaciones, donde puede aprovisionarse de agua. ¿En qué punto P del río debe aprovisionarse de agua para hacer el recorrido más corto hacia su tienda de trabajo?

1) En tu cuaderno, usando un transportador y una regla, haz un dibujo a escala de la situación. (Escala = 1 cm : 100 m). RESPUESTA libre.

2) Señala en tu dibujo diversas posiciones de P, tales que CP = 100 m, 200 m, 300 m, ... , 1200 m. Ver TABLA. 3) Usa tu dibujo a escala y una regla para estimar la distancia total que María debe recorrer cuando P es escogido exactamente en C. 1836 m 4) Registra tu estimación en cada fila de la tabla adjunta, donde CP = 0. En cada caso, mide la distancia AP + PB; además, usa el transportador para medir el ángulo 1 (ángulo con el que llega al río) y el ángulo 2 (ángulo con el que deja el río) y registra tus resultados en la tabla adjunta. CP

AP

PB

AP +PB

Ángulo de entrada

Ángulo de salida

0

0

1836

1836

90°

14°

100

608

1140

1748

80°

15°

200

632

1040

1672

71°

17°

300

670

948

1618

63°

18°

400

720

854

1574

56°

21°

500

780

761

1541

50°

23°

600

848

670

1518

45°

27°

700

921

583

1504

41°

31°

800

1000

500

1500

37°

37°

900

1080

424

1504

34°

45°

1000

1166

360

1526

31°

56°

1100

1250

316

1566

29°

72°

1200

1341

300

1642

27°

90°

5) De la tabla anterior, estima cómo debería elegirse P para hacer que AP + PB sea la distancia más corta posible. Debe elegirse de

TAL MANERA

que CP = 800 m.

6) Reflexiona y responde: ¿Cómo deberán ser los ángulos de entrada y de salida cuando AP + PB es el mínimo posible? Ángulo de

ENTRADA

= Ángulo de

SALIDA

= 37°

7) Compara tus conclusiones anteriores con las de tus demás compañeros. RESPUESTA libre.

94

Resolvamos 1

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MD

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La hormiga golosa Una hormiga se encuentra a 3 cm del borde de un recipiente cilíndrico, en su parte exterior. Al otro lado, en el punto diametralmente opuesto y dentro del recipiente, hay una gota de miel. La hormiga desea llegar a la miel recorriendo el menor trayecto posible. ¿Cómo puede hacerlo? ¿Cuánto mide ese trayecto? Nota: El cilindro tiene 20 cm de circunferencia y 30 cm de altura.

1) ¿Es posible hacer el cálculo en el espacio?

1) ¿Quién participa en esta historia? LA horMIGA que quiere

LLEGAR A LA GOTA

de miel.

2) ¿Dónde se encuentra la hormiga? Se ENCUENTRA A 3 cm del borde de un recipiente cilíndrico, en su PARte interior.

3) La miel se encuentra en un punto “diametralmente opuesto” al que ocupa la hormiga. ¿Qué significa esto? Que LA horMIGA y LA GOTA de miel se ENCUENTRAN en los extremos de LA rECTA

que PASA por el DIÁMETRO del círculo que forMA el cilindro.

4) ¿Qué dimensiones posee el recipiente? El cilindro tiene 20 cm de circunferENCIA y 30 cm de ALTURA.

No es posible.

2) Si cortas el cilindro como se muestra, ¿qué forma tiene la superficie obtenida? LA forMA de un rECTÁNGULO.

3) ¿Crees que es conveniente desarmar el cilindro y colocar los puntos en esta superficie plana? ¿Por qué? Sí es conveniente, pues permite

5) ¿Qué desea hacer la hormiga? DESEA

LLEGAR A LA

miel

USANDO

el menor

VISUALIZAR

TRAYECTO.

opciones.

6) El problema solicita que la hormiga llegue en “el menor trayecto”, ¿qué significa esto? Que recorRA el CAMINO MÁS

fÁCILMENTE

TODAS

LAS

corto posible.

Este es el desarrollo del cilindro. En tu cuaderno, traza el gráfico con las medidas señaladas, coloca las dimensiones y ubica: 1) El lugar donde se encuentra la hormiga.

Ver

GRÁFICO.

2) El lugar donde se encuentra la miel. Ver GRÁFICO.

3 cm

3) Desde el punto en el que está la hormiga, dibuja dos trayectos para llegar a la miel. Mide con una regla. A rEALIZAR por el ESTUDIANTE.

3 cm

4) Imagina que el borde superior es un espejo. Dibuja el punto en el que se refleja la hormiga. ¿Cuál es el menor camino entre el reflejo de la hormiga y la miel? Trázalo. Ver LA LÍNEA ROJA en el GRÁFico.

30 cm

5) ¿Cuánto mide este recorrido? Mídelo con una regla. Mide 11,66 cm. 6) ¿Crees que puede haber un recorrido menor? Explica. No, pues en el DESARrollo

se define

LA DISTANCIA MÁS

10 cm 20 cm

cor TA.

1) Para resolver el problema, has empleado un procedimiento inusual. ¿Cuál es? HACER el

DESARrollo

del cilindro.

2) ¿En qué situaciones utilizarías tal procedimiento? PARA

ENCONTRAR TRAYECTOS

mínimos sobre

LA

superficie

DESARROLLADA

de

CUALQUIER

sólido.

3) ¿Cuánto habría medido este recorrido si la altura del cilindro se hubiese reducido a la mitad y la circunferencia también; además, si la miel hubiese estado a 2 cm del borde? ¿Cómo cambiaría la respuesta? LA ALTURA no interviene, LA CIRCUNFERENCIA SERÍA

de 10 cm. LA

DISTANCIA MÍNIMA

es 6,4 cm.

4) Haz un modelo físico como si la hormiga se hubiera encontrado a 5 cm del borde en el problema anterior. Ubica los puntos y comprueba experimentalmente que tu respuesta es correcta. RESPUESTA libre. MD

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Manual para el docente

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La araña y la mosca En la esquina de la base de una caja de zapatos abierta (que mide 40 cm de largo, 30 cm de ancho y 20 cm de alto), se encuentra una mosca muerta. En la esquina opuesta superior, está una araña. ¿Cuál es el camino más corto que puede escoger la araña para llegar hasta la mosca?

20 cm 30 cm

1) ¿Por dónde caminará la araña? Puede ARISTAS

o por

de

LAS CARAS

CAMINAR

por

LAS

LA CAJA.

2) ¿Cuál es la distancia más corta entre los puntos donde se encuentran ambas? Explica. El CAMINO MÁS corto es recorrer LA DIAGONAL

prINCIPAL de LA CAJA.

LARgo,

30 cm de

LA MÍNIMA DISTANCIA.

ANCHO

ESTA MISMA

lección.

3) ¿Crees que se puede utilizar algún método eficaz para resolverlo? y 20 cm de

5) ¿Qué es lo que te piden en el problema? El CAMINO corto que puede rEALIZAR

No es Sí, en

VOLAR.

4) ¿Cuáles son las dimensiones de la caja? Son 40 cm de

LA longitud es de 90 cm.

2) ¿Has visto un problema parecido antes?

3) ¿Puede realizar la araña ese camino? ¿Por qué? No, porque no puede

1) ¿Cuál es la longitud de un camino que va por los bordes de las paredes de la caja?

ALTO.

Sí, se puede

HACER

el

DESARrollo

de

LA CAJA.

MÁS

LA ARAÑA PARA LLEGAR A LA MOSCA.

1) Dibuja la plantilla que dio origen a la caja de zapatos (desarrollo), reduciéndola a la quinta parte de su tamaño real, e intenta sobre ella varios caminos.

2) ¿Cuánto mide el camino más corto? (Recuerda que has reducido el tamaño del desarrollo de la caja). HAY dos

POSIBILIDADES:

√4100 m,

40 cm

20 cm

√4500 m, El

EQUIVALENTE A EQUIVALENTE A

CAMINO MÁS

CAMINO

de

64,03 m, y otro de 67,08 m.

corto es el primero.

30 cm

20 cm

un

1) Describe la estrategia que más te sirvió para resolver el problema. Se DESARrolló LA CAJA de ZAPATOS, es decir, un modelo físico.

2) ¿Qué otra estrategia empleaste? rUTAS

PARA

deterMINAR

LA MÁS

Se

ENSAYARON VARIAS

4) Hacer un modelo físico del problema es conveniente, a veces, para resolver problemas de recorridos mínimos. Construye un modelo físico. Hazlo a escala natural y traza el recorrido de la araña. RESPUESTA libre. 5) ¿Cuánto mediría el camino más corto si la araña solo hubiese podido caminar por las aristas de la caja?

cor TA.

3) ¿Puedes decir que este problema es análogo al de “La hormiga golosa”? ¿Por qué? Es ANÁLOGO, porque se

El

CAMINO MÁS

corto

MEDIRÍA

90 cm.

USARON LAS MISMAS ESTRATEGIAS.

96

Resolvamos 1

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La araña matemática En una pared vertical y a 5 dm del suelo hay una araña. En el suelo, pegada a la pared en la que se encuentra la araña y a 5 dm a la izquierda de la vertical de la araña, hay un borrador. Y a 7 dm de la pared y del borrador se encuentra, en el suelo, una mosca. ¿Cuál es la distancia mínima que tiene que recorrer la araña para comerse a la mosca?

Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades y resuelvan el problema: 1) Describan las ubicaciones de la araña y la mosca. LA

ARAÑA ESTÁ

LA

MOSCA,

en

LA PARed A

en el piso,

A

5 dm del suelo.

7 dm de

LA BASE

de

LA PARed.

2) Aparte de la araña y la mosca, ¿qué otro elemento importante se menciona en el enunciado del problema? Se

MENCIONA

y se

de un borRADOR,

DA LA UBICACIÓN

que se tome como referENCIA

PARA

AL HACER

los

CÁLCULOS.

3) ¿Qué distancia recorrerá la araña si baja verticalmente, se desliza sobre el piso hasta el borrador y de ahí a donde está la mosca? RecorrERÁ 5 + 5 + 7 = 17 dm.

4) ¿Qué deben hacer para que el camino calculado en la pregunta anterior tenga menor longitud? Debo

HACER

un

ESQUEMA

en el que

DESARrolle LA FIGURA

trIDIMENSIONAL en un

PLANO.

5) A continuación, se presentan dos gráficos. En el primero ubiquen a escala el punto A (araña) y el punto M (mosca). En el segundo, a partir de la ubicación realizada, tracen la distancia del recorrido de menor longitud. ¿Cuál es la distancia del punto A al punto M? A A 5 dm C 7 dm M

M

Sobre el dibujo hecho

A ESCALA,

medimos

LA TRAYECTORIA

5

AM y obtenemos 13 dm.

6) ¿Por qué el recorrido medido en el esquema anterior es el de menor longitud? Porque

LA

menor

DISTANCIA

entre dos puntos es

LA

rECTA.

7) ¿A qué punto de la intersección del suelo con la pared se debe dirigir la araña? Desde el punto sobre el piso, que AM y

LA

horIZONTAL. A

ESTÁ INMEDIATAMENTE DEBAJO

ESCALA, TAL MEDIDA

es

de

APROXIMADAMENTE

LA ARAÑA,

se mide

LA DISTANCIA AL

punto de intersección de

2 dm.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la optimización de trayectos sobre sólidos geométricos, que se utiliza tanto en el diseño como en la construcción de puentes, túneles y otros. Recordemos: al optimizar algo, estamos ahorrando tiempo y dinero.

Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?

Estuve sobresaliente.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 147

He participado de forma significativa.

147

Fue aceptable.

Debo mejorar.

Manual para el docente

97

7/21/12 10:45 AM

Actividad

22

Medir para decidir

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que en el mundo interactúan con muchas figuras geométricas. A modo de ejemplo, bastará con mirar a su alrededor en el aula, donde observarán paredes, ventanas, pizarras, armarios, etc. ¿Cómo creen los estudiantes que se construyeron los salones, los caminos? ¿Cómo supieron los trabajadores cuántas losetas necesitaban para el piso, cuánta pintura requerían para las paredes del aula, de qué tamaño debía ser la pizarra o cómo fabricar el armario? En todas estas actividades, las personas que las hicieron necesitaron medir áreas, perímetros, longitudes de segmentos, etc. Se puede contar la anécdota real de un carpintero que hizo un armario, pero que no pudo meterlo a su casa porque las dimensiones de la puerta no lo permitían. Por tanto, desde ahora, antes de decidir, se debe medir. CAPACIDADES

Calcula el perímetro y área de figuras poligonales. Estima o calcula exactamente el área de figuras planas utilizando diversos métodos. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

Propiedades de los polígonos Operaciones con decimales Sistema Legal de Unidades de Medida del Perú (SLUMP)

Los lotes cercados

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Áreas Perímetros

La tarea presenta un terreno rectangular que se encuentra dividido en sectores también rectangulares. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran el cálculo de perímetros. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que la palabra rectangular también incluye a los cuadrados. Precisamente, los lotes I y IV del terreno, que van a servir para iniciar la cadena de los descubrimientos de dimensiones, son cuadrados. En este caso, se propone utilizar un diagrama analógico, con el fin de encontrar la información requerida para resolver cada uno de los problemas planteados. Los estudiantes pueden tener dificultades al trasladar medidas dentro del diagrama. La clave está en que se den cuenta de que el lote I es un cuadrado y que, por lo tanto, sus cuatro lados son iguales. Lo mismo ocurre con el lote IV. Un típico error es olvidar que los cercos de lotes colindantes no se deben contar dos veces, sino una, en los casos en los que se quiere ahorrar cerca.

Vacas felices que no comen lombrices

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

La tarea presenta un problema dinámico que involucra un punto fijo y uno móvil. En este caso, la vaca, que es el punto móvil, tiene libertad para pastar, solo limitada por la longitud de la cuerda que la ata al punto fijo. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran el cálculo de áreas. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en cómo se puede mover la vaca. Se sugiere que los estudiantes traigan hilo y dibujen ellos mismos la región permitida, que, en la situación planteada, comprende las tres cuartas partes de un círculo. En este caso, se propone utilizar un modelo físico y una fórmula.

Resolvamos 1

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Posibles dificultades

Los al al organizar su su razonamiento para establecer el proceso de de Losestudiantes estudiantespueden puedentener tenerdificultades dificultades organizar razonamiento para establecer el proceso solución. El docente debe orientar a que reflexionen sobre las formas en que se pueden ordenar solución. El docente debe orientar a que reflexionen sobre las formas en que se pueden ordenar las las secuencias secuenciasposibles posibles para pararesolver resolver elel problema. problema. Es Es bueno bueno que que los los estudiantes estudiantes comparen comparen lala sucesión sucesión de de procedimientos procedimientos que que proponen proponen con con lala secuencia secuencia planteada planteada por por otros otros compañeros compañeros yy que que lleguen lleguen aa consensos sobre cuál es la mejor y más eficiente. A esta edad, los estudiantes utilizan el número consensos sobre cuál es la mejor y más eficiente. A esta edad, los estudiantes utilizan el númeropi picomo como racional; sin embargo, se debe precisar que, realmente, emplean una aproximación de dicho número racional; sin embargo, se debe precisar que, realmente, emplean una aproximación de dicho númeroyy no noelelvalor valorexacto. exacto.Para Parafines finesprácticos, prácticos,con coneso esobasta. basta.

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. También se pide que inventen problemas parecidos al trabajado. Esto les ayudará a fijar la comprensión del proceso seguido, a la vez que mejorarán sus habilidades de comunicación en matemática.

T3

Contar y medir para decidir

Descripción de la actividad

La tarea presenta un diseño de reja compuesto por 32 hexágonos armados con varillas. Se trata de determinar el costo de su construcción.

Intención pedagógica

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran el cálculo de perímetros de figuras planas usando patrones.

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el reconocimiento de las regularidades que presenta el diseño de los hexágonos. Por otro lado, los estudiantes deben ser conscientes también de que algunas varillas son comunes a dos hexágonos. En este caso, se propone buscar regularidades y usar una figura patrón. Asimismo, es importante reflexionar con los estudiantes sobre otras estrategias que se pueden usar. Los estudiantes pueden tener dificultades al visualizar los patrones en el interior del diseño de la figura y, luego, al momento de contar el número de varillas que participan. Las preguntas de la primera fase están diseñadas para ayudar a los estudiantes en la comprensión del problema y a guiar su razonamiento hacia una estrategia de solución. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y efectuar el conteo de una forma diferente a la planteada inicialmente. Asimismo, se analiza otra variante del problema.

Remodelación del piso

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles Más allá del dificultades problema

La tarea presenta un caso real, donde hay que calcular el menor costo para cubrir con losetas de cerámica la superficie de un piso. Para tal fin, se presentan losetas de diferentes medidas y precios. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran el cálculo de áreas, evaluando diferentes opciones en el proceso y escogiendo entre ellas la más económica. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el procedimiento para determinar los costos y en las comparaciones que se hagan. En este caso, se propone elaborar tablas y realizar cálculos directos. Las tablas se llenan teniendo en cuenta el costo unitario y el costo total. Los estudiantes pueden tener dificultades al exponer verbalmente los argumentos por los que tales o cuales razonamientos no son válidos. Hay que ayudarlos en la correcta expresión de su pensamiento. Es posible inventar situaciones parecidas, hacer el experimento con losetas de otras dimensiones y analizar luego los razonamientos que proponen los estudiantes para resolver el problema.

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Manual para el docente

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22 Los lotes cercados La familia de Rocío tiene un campo de cultivo. Con el fin de separar los sembríos, desean dividirlo en cuatro lotes rectangulares -como se muestra en la figura-. Para hacerlo, quieren colocar un cerco alrededor de cada lote. Rocío quiere ayudar a su papá calculando cuántos metros de cerca necesitarán construir. 100 m

II

120 m

I

50 m

50 m

III

IV

100 m NECESITAN 200 m.

1) ¿Cuántos metros de cerca necesitan para el lote I? 2) ¿Cuántos metros de cerca necesitan para el lote II?

NECESITAN 340 m.

3) Y para cercar el lote III, ¿cuántos metros requieren?

Requieren 340 m.

4) En cuanto al lote IV, ¿cuántos metros demandan?

NECESITAN 280 m.

5) ¿Cuál de los terrenos necesita más metros de cerca? Se

NECESITA MÁS

insumos

PARA CERCAR

los lotes II o III.

6) Si se deseara cercar de forma independiente cada lote, ¿cuántos metros se necesitarían en total? Se

NECESITARÍAN

1160 m en

TOTAL.

7) El tío Rubén dice que se podrían ahorrar metros de cerca si, en lugar de cercar cada lote rectangular, se aprovechara el cerco de aquellos lugares en los que colindan dos terrenos. Si se sigue el consejo del tío, ¿cuántos metros de cerca serán necesarios? SERÁN

NECESARios

870 m.

8) Reflexiona y responde. La mamá de Rocío quiere sembrar espárragos, para lo cual ha elegido el lote más grande. ¿En qué lote sembrará? ¿Qué área tiene? ELLA

SEMBRARÁ

en el lote III que tiene un

ÁREA

de 7000 m2.

9) Reflexiona y responde: ¿Qué es lo que importa cuando siembras algo: el contorno o la superficie de la región donde se sembrará? LA superficie de

LA

región

A SEMBRAR.

10) ¿Qué debería buscar la mamá de Rocío: mayor área o mayor perímetro? El terreno de

MAYOR ÁREA.

11) ¿El terreno elegido coincide con el terreno de mayor perímetro? Explica. perímetro, pero no

98

NECESARIAMENTE

Resolvamos 1

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ocurrIRÁ

IGUAL

en

Coincide con uno de los que tiene

MÁS

OTRAS SITUACIONES.

MD

150

7/19/12 12:43 PM

Una vaca está atada a la esquina de un granero con un pedazo de cuerda de 20 m de longitud -tal como se muestra en la figura-. El granero mide 20 m por 50 m. ¿Puedes calcular cuántos metros cuadrados de pasto tiene la vaca a su disposición para comer?

50 m

20 m

20 m

1) ¿Qué forma tiene el granero? Es un rECTÁNGULO. ¿Cuáles son sus dimensiones? LARgo: 50 m; ANCHO: 20 m.

1) Establece un orden secuencial de procedimientos que realizarás para resolver el problema. ( 4 ) Modificar la fórmula de acuerdo con las condiciones del problema.

2) Si no existiese el granero y si la vaca estuviera atada a un punto P con la misma cuerda, ¿qué forma geométrica tendría la región disponible para pastar?

( 5 ) Calcular el valor del área.

Un círculo completo.

( 2 ) Registrar los datos donde correspondan. ( 1 ) Hacer un gráfico que represente la situación.

3) Considerando el granero, ¿qué figura hace la vaca al pastar y mantener la cuerda tensa? HACE un ARCO CIRCULAR o TAMBIÉN

( 3 ) Identificar una fórmula de una figura conocida que ayude a resolver.

¾ de circunferENCIA.

4) ¿Qué figuras geométricas reconoces en el problema? Un rECTÁNGULO y un ARCO

5) ¿Qué te solicita averiguar el problema? LA CANTIDAD en metros disponible LA VACA.

2) ¿Conoces alguna fórmula que te dé el área de la región si no estuviera el granero? Sí, el ÁREA es IGUAL A πr2.

CIRCULAR.

CUADRADOS

de

PASTO

3) ¿Cómo modificarías esta fórmula para resolver el problema? Multiplico LA fórMULA por ¾.

que tiene

1) Representa gráficamente la situación problemática y ubica los datos del problema.

2) Calcula el área en el que puede pastar la vaca si no existiera el granero. Nota: π = 3,14

50 m

1256 m2

3) Prolonga las líneas de las paredes del granero sobre el pasto. ¿Qué figura se forma?

20 m

4) ¿Cuántos metros cuadrados tiene la vaca de pasto a su disposición para comer?

1) ¿Cuáles son las estrategias principales que te permitieron hallar la solución del problema? Se hizo un

GRÁFico ANÁLOGO A LA

rEALIDAD, se buscó

UNA

fórMULA

CONOCIDA

y se

ADAPTÓ.

2) Socializa con tus compañeros. ¿En qué situaciones podemos aplicar las estrategias empleadas? A rEALIZAR por los

ESTUDIANTES.

3) Crea un problema parecido con otras características geométricas que puedas reconocer en tu entorno. A resolver por los

ESTUDIANTES.

MD

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151

Manual para el docente

99

7/19/12 12:43 PM

Contar y medir para decidir Un carpintero metálico va a armar una reja con 32 hexágonos regulares de 0,5 m de lado, hechos con varillas. En el almacén hay un lote de varillas de 1,5 m de longitud. Si cada una de ellas cuesta S/. 6, establece el costo de la reja formada por los 32 hexágonos.

1) ¿Qué forma geométrica predomina en el problema? HexÁGONOS rEGULARes. 2) ¿Cuántos hexágonos regulares se van a armar? 32 ¿Cuáles son sus medidas? 0,5 m de

HEXÁGONOS.

CADA LADO.

3) ¿Cuánto mide cada varilla en el almacén y cuánto cuesta? CADA

1) ¿Bastará con multiplicar las 6 varillas de un hexágono por el número requerido de hexágonos para obtener el total de varillas? No es correcto, porque HAY VARILLAS que son comunes

A

dos hexÁGONOS.

2) ¿Es conveniente trabajar con todo el esquema o trabajar por partes? Es conveniente TRABAJAR por PAR tes, YA que no se puede

GRAFICAR

el

VARILLA

mide 1,5 cm y

CUESTA

S/.6.

3) ¿Qué estrategia eliges para resolver el problema? a) Ensayo y error b) Buscar regularidades c) Calcular directamente

ESQUEMA COMPLETO.

1) Comienza por lo más fácil, busca una figura patrón que se repita. ¿Cuántos lados tiene?

1) ¿Cuál es la estrategia que utilizaste para resolver el problema? BUSCAR rEGULARIDADES.

2) Comprueba los resultados hallados; haz un conteo diferente que confirme el total de varillas para formar los 32 hexágonos. HAY 11 ESTA es

LA fIGURA PATRÓN,

tiene 16

LADOS.

forMARlos se

2) ¿Cuántas veces se repite la figura patrón?, ¿es exacto este número? Se repite 10 veces. No es EXACTO, pues SOBRAN

dos

HEXÁGONOS.

3) ¿Cuál es el total exacto de varillas de 0,5 m? CADA repetición del FINAL,

8. El

TOTAL

PATRÓN

exige 11

VARILLAS MÁS

HEXÁGONOS

y

AL

es 16 + 9 x 11 + 8 = 123

superior,

PARA

6 + 5 x 10 = 56. Lo mismo VARILLAS,

es decir,

3) Repite la experiencia con 64 hexágonos de 1 m de lado. Si cada varilla de 1,5 m cuesta S/.6, determina el costo en varillas. Número de

VARILLAS

VARILLAS

El costo en

[(123)(0,5 m)/(1,5 m)] x S/.6 = S/.246

NECESITAN

LA FIGURA

en LA fILA inferior, unidos por 11 56 + 56 + 11 = 123.

Costo en

4) ¿Cuál es el costo de las varillas?

en

= 16 + 20 x 11 + 3 = 239

= 239 x 4 = 956

VARILLAS

es S/.956.

El costo es S/.246.

100

Resolvamos 1

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7/19/12 12:43 PM

Remodelación del piso Se debe remodelar un piso de 8 metros de largo por 5 de ancho con losetas de cerámica. En la tienda de estos productos hay disponibles losetas cuadradas de 10 centímetros de lado cada una, pero también hay losetas cuadradas de 20 y 25 centímetros de lado. En el orden indicado, los costos de este tipo de losetas son S/.1,20; S/.3 y S/.4,20, respectivamente.

S/.1,20

S/.3

S/.4,20

Según el tipo de losetas que se utilice, ¿cuál es el menor costo que puede tener la remodelación? Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema: 1) Hagan una lista de precios de los tipos de losetas. 9) Reflexionen: ¿es posible que al considerar el tercer tipo de losetas se obtenga un costo diferente a los ya calculados? Tipo lado Precio ¿Sería mayor o menor? ¿Por qué? unitario A

10 cm

S/.1,20

B

20 cm

S/. 3,00

C

25 cm

S/. 4,20

Sí,

ANCHO,

50. En

TOTAL

NECESITAN

80 x 50 = 4000

TAMAÑO

de

LOSETAS

AL

disminuye el costo.

Después el costo: 640 x 4,2 = S/.2688

3) Si utilizan las losetas de 10 cm, ¿cuántas necesitarán? que tiene 8 m, se

el

Primero, el número de LOSETAS : (8/0,25) (5/0,25) = 640

Es 8 x 5 = 40. Es decir, 40 m2. LARgo,

diferente y posiblemente menor, pues

10) Calculen el costo si se utilizan las losetas de 25 cm de lado.

2) ¿Cuál es el área del piso que se va a remodelar?

PARA el

SERÍA

AUMENTAR

80 y

PARA

LOSETAS.

el

11) Completen este cuadro con las cantidades de losetas necesarias de cada tamaño y los costos. Utilicen el cuadro y decidan qué tipo de loseta conviene y el costo correspondiente.

4) ¿Cuál es el costo total si utilizan losetas de 10 cm? Tipo

CT = 4000 x 1,2 = S/.4800

5) Si utilizan las losetas de 20 cm, ¿cuántas necesitarán? PARA el el

LARgo,

ANCHO,

que tiene 8 m, se

25. En

TOTAL

NECESITARÍA

40 x 25 = 1000

40 y

PARA

LOSETAS.

4000

1,2

4800

B

1000

3,0

3000

C

640

4,2

2688

de 25 cm de

LADO,

el costo

12) ¿Qué estrategia utilizaron para resolver el problema?

7) ¿Hay alguna diferencia entre los dos costos totales que han calculado?

CÁLCULO directo y CUADRADO

Costo del metro

Convienen LAS LOSETAS de 20 cm porque UTILIZANDO ESTAS se AHORRARÍA S/.1800 respecto AL otro TAMAÑO.

HACER UNA TABLA.

13) ¿Cuál es el precio del metro cuadrado de cada tipo de loseta? 1 metro

4800 – 3000 = S/.1800 de diferENCIA.

8) Si solo estuvieran disponibles las losetas de 10 cm y 20 cm por lado, ¿qué tamaño convendría escoger? ¿Por qué? LOSETAS

A

LA LOSETA CUADRADA

Costo total

es S/.2688.

CT = 1000 x 3 = S/.3000.

HAY

Costo unitario

Conviene

6) ¿Cuál es el costo total si utilizas losetas de 20 cm?

Sí,

N.º losetas

1 metro

1 metro

CUADRADO

CUADRADO

Costo del metro

forMADO por

LOSETAS

forMADO por

LOSETAS

forMADO por

LOSETAS

x 1,2 = 12

LOSETAS

x 3 = 75

de 20 cm es S/.75.

= 10 000 cm2/625 cm2 = 16

CUADRADO

LOSETAS

de 10 cm es S/.12.

= 10 000 cm2/400 cm2 = 25

CUADRADO

CUADRADO

Costo del metro

= 10 000 cm2/100 cm2 = 100

LOSETAS

x 4,5 = 72

de 25 cm es S/.72.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el perímetro y el área de los polígonos. Estos conceptos geométricos se aplican en producción industrial, diseño publicitario, arquitectura, topografía y otros.

Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?

He colaborado de forma significativa.

Realicé aportes muy relevantes.

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153

Mi colaboración fue aceptable.

Debo mejorar.

Manual para el docente

101

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Actividad

23

Medimos las regiones y sus contornos

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que en la cotidianeidad las mediciones geométricas son muy útiles para tomar decisiones. Por ejemplo: ¿cuál es el área de la casa en que vives?, ¿cuál es el perímetro del patio del colegio?, ¿cuál es la longitud de la cerca de un corral?, ¿cuánto material se requiere para techar un gallinero?, ¿cuánto cartón necesitas para hacer un cartel o una pancarta? Estas y otras preguntas se responden haciendo uso de conceptos geométricos que debemos conocer para administrar mejor el mundo en que vivimos. CAPACIDAD

Calcula el perímetro y área de figuras poligonales. Estima o calcula exactamente el área de figuras planas utilizando diversos métodos. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES

T1

Operaciones aritméticas Cálculo con decimales Cálculo de porcentajes

Figuras isoperimétricas

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Cálculo de áreas Cálculo de perímetros

La tarea presenta figuras geométricas. Hay que tener en cuenta que dichas figuras deben construirse uniendo los puntos del papel punteado, en forma vertical u horizontal. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran reconocer figuras geométricas con determinadas condiciones. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las instrucciones para resolver los problemas y en las formas geométricas que se pueden diagramar, según las condiciones planteadas. ¿Por qué no es posible dibujar un triángulo? ¿Por qué no, una circunferencia? Asimismo, deben estar claras las condiciones que se habrán de verificar en el objeto matemático buscado. En este caso, se ha utilizado la lectura analítica y la búsqueda sistemática de elementos. Los estudiantes pueden tener dificultades al hacer un plan de búsqueda. Por ejemplo, podrían ordenar las figuras por el número de lados: primero, contando todos los cuadriláteros posibles; luego, los pentágonos; los hexágonos; y así, sucesivamente.

El campo deportivo

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

La tarea presenta una situación geométrica en la que se muestra el plano de un terreno y se pide calcular su perímetro. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de contexto real que requieran el perímetro de figuras geométricas y el cálculo de áreas. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los estudiantes comprendan cómo se realiza el cálculo del perímetro. En general, se suele colocar las medidas de todos los segmentos del contorno de la figura para que los estudiantes resuelvan el problema; pero también pueden resolverlo por traslación de longitudes. En el caso presentado, esta segunda opción es la más útil. En este caso, se propone realizar un diagrama analógico y dividir el problema en partes.

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

Los estudiantes pueden tener dificultades al hacer las traslaciones de las medidas en el diagrama analógico. Las preguntas de las fases 2 y 3 guían y orientan el razonamiento de los estudiantes. Se trabaja con los elementos encontrados; a partir de allí, se generan nuevos problemas. Los estudiantes pueden proponer que elaboren otros planos con medidas faltantes y que averigüen cuándo es posible calcular el perímetro, el área o ambos.

Resolvamos 1

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T3

La plaza del pueblo

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

La tarea presenta el momento de toma de decisiones acerca de la construcción de la plaza de un pueblo. Esta actividad debe cumplir ciertas condiciones que, en este caso, se refieren a las áreas verdes. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieren calcular áreas de figuras complejas, mediante su descomposición en figuras elementales conocidas, y para tomar decisiones a partir de argumentos geométricos. Al realizar la tarea, el docente deberá orientar a los estudiantes en lo referido, especialmente, a los cálculos del área en cada uno de los casos presentados. En este caso, se propone elaborar un diagrama analógico y un procedimiento deductivo empleando las fórmulas de las áreas de círculos, rectángulos y triángulos. Los estudiantes pueden tener dificultades al calcular el área en la segunda propuesta, ya que muchos creen que necesitan saber dónde se encuentra el vértice del triángulo. A los estudiantes se les puede presentar tres posibles ubicaciones del vértice, después de que hagan la división correspondiente. Así, llegarán a la conclusión de que el área en cuestión siempre será la mitad del cuadrado, sin importar dónde se encuentre dicho vértice. Los estudiantes deberán poder elaborar otros diseños con las condiciones dadas, además de investigar acerca de las áreas sombreadas.

Las guirnaldas

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

La tarea presenta la fabricación de unas guirnaldas de papel, con las cuales se quiere adornar el patio y los salones de un colegio. La tarea es analizar, considerando el presupuesto del que se dispone, cuál es el costo para la elaboración de estos ornamentos. En la actividad, se dan dos opciones de guirnaldas, las que están constituidas por formas geométricas conocidas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran elaborar hojas de costo mediante el uso de argumentos matemáticos, en este caso, de tipo geométrico. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el cálculo de las áreas de cada tipo de guirnaldas. La forma de calcularlas puede ser por descomposición o por complementación. Los estudiantes deben comprender que, en la mayoría de las actividades cotidianas, no disponemos de una fórmula para hallar el área de una región, pero sí podemos dividir esta en subregiones de formas conocidas. En este caso, se propone elaborar un diagrama, utilizar una fórmula y dividir el problema en partes. Los estudiantes pueden tener dificultades al seleccionar cómo van a dividir la figura para calcular su área. Las preguntas guían el razonamiento de los estudiantes en esta dirección. Se puede proponer que inventen problemas similares a los planteados y que los den a los miembros de otro grupo para que los resuelvan.

Más allá del problema

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155

Manual para el docente

7/19/12 12:43 PM

23 Figuras isoperimétricas Se dice que dos figuras son isoperimétricas si tienen el mismo perímetro. Aquí te mostramos un papel con puntos, donde la distancia entre dos puntos adyacentes, horizontal o verticalmente, es 1 cm.

1) ¿Cuántas figuras reconoces?

5) Reflexiona: “Se dice que dos figuras son isopérimetricas si tienen el mismo perímetro“. ¿Reconoces estas figuras en el gráfico? ¿Cuáles son?

8 fIGURAS.

2) Llena la siguiente tabla, registrando las figuras en orden de menor a mayor perímetro. Figura

Perímetro de la figura

5

10 cm

1

12 cm

3

12 cm

6

12 cm

2

14 cm

7

14 cm

4

20 cm

8

24 cm

Sí. LAS fIGURAS 1, 3 y 6 y isoperimétrICAS.

LAS fIGURAS

2 y 7 son

6) Dibuja una figura con un perímetro mayor a 20 cm. Puedes unir puntos adyacentes solo horizontal o verticalmente.

3) ¿Cuánto mide la figura de mayor área? LA

FIGURA

que tiene 11 cm2 de

ÁREA.

4) ¿Cuánto miden las figuras de menor área? LA

102

FIGURAS

que tienen 4 cm2 de

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 156

ÁREA.

MD

156

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El campo deportivo 18 cm Zona Resevada 3 cm

ENTRADA

21 cm

El colegio ha comprado un terreno para utilizarlo como campo deportivo. La figura muestra una vista aérea de la superficie adquirida y las mediciones que se hicieron. El director desea cercar el área con malla de alambre, dejando libre la entrada. La malla tiene un ancho de 80 cm y el metro lineal de este material cuesta S/.8,50. ¿Cuántos metros lineales de malla serán necesarios para cercar el campo deportivo?

42 cm

1) ¿Qué desea hacer el director? DESEA

CERCAR

ENTRADA.

el

CAMPO

3) ¿Qué datos no son necesarios para responder?

deportivo

DEJANDO

libre

El costo del metro

LA

que TENDRÁ LA CERCA. ADEMÁS, es LA MEDIDA ADICIONAL que debemos CONSIDERAR AL CERCAR el perímetro del ESTACIONAMIENTO. LA ALTURA

1) ¿Qué formas geométricas elementales forman el terreno? El terreno lo forMAN

BÁSICAMENTE

rECTÁNGULOS.

3) ¿Qué necesitas para calcular el largo de la cerca? Se

no es

NECESARio.

4) ¿Qué condiciones existen?

2) ¿Qué significa el dato del ancho de la malla? SignifICA

LINEAL

NECESITA CALCULAR

el perímetro de de LA ENTRADA.

LA fIGURA

sin

CONSIDERAR LA MEDIDA

Solo

LA CONDICIÓN

que se refiere

A LA ENTRADA.

5) ¿Qué pasa con la entrada? Debe

QUEDAR

libre.

2) Como deseas cercar el terreno, ¿qué noción matemática utilizarías? a) Área del terreno b) Perímetro del terreno c) Volumen del terreno

1) ¿Cuál es el ancho de la zona reservada? Coloca esta medida en el gráfico. El ANCHO es 24 m.

3) Sin contar la entrada, suma las medidas que bordean el campo deportivo. Mide 123 m.

2) ¿Puede conocerse su largo? No se puede conocer el LARgo.

4) ¿Cuántos metros lineales de cerca necesitas para cercar el campo deportivo? Necesito 123 metros LINEALES de CERCA.

1) ¿Qué estrategias te sirvieron para resolver el problema?

5) En la siguiente figura, ¿es posible calcular el área del terreno sombreado? Explica.

ANALIZAR el modelo físico del

PROBLEMA.

2) ¿Cuánto costará cercar el terreno? COSTARÁ S/.1045,50.

3) ¿Fue necesario tener las medidas que no fueron señaladas en el plano para resolver el problema? Explica. No fue NECESARio, porque el perímetro es el mismo que el de un rECTÁNGULO con LAS dimensiones de 21m x 42m.

4) A partir del enunciado, ¿qué otras medidas puedes investigar? El

ANCHO

de

LA ZONA

reser VADA.

MD

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No es posible rECTÁNGULOS

CALCULAR

BLANCOS

el

ÁREA

sombrEADA, porque los

pueden tener

VARIAS

dimensiones.

6) ¿Cuál es el perímetro de la figura sombreada? El perímetro es 2(120+90) = 420 m.

157

Manual para el docente

103

7/19/12 12:43 PM

La plaza del pueblo

Propuesta 1

Se ha decidido la construcción de la nueva plaza del pueblo de Chimbote. El alcalde ha contratado un gran diseñador, quien ha presentado dos propuestas para el proyecto. Estas se han dado a conocer a la población para que los ciudadanos elijan una opción. La mayoría de la gente desea tener mayor cantidad de áreas verdes.

100 m

100 m

100 m

¿Cuál de las dos propuestas recomendarías que se hiciera y por qué?

1) ¿Acerca de qué hay que decidir? Sobre

LAS

dos

PARA LA PLAZA

DISEÑADOR

de Chimbote.

MAYOR CANTIDAD

de

ÁREAS

segmentos

LA

prIMERA

LA

PROPUESTA

son un

y

CUADRADO

CIRCULARes.

forMA

MOSTRADA,

sombrEADAS.

no existe

NINGUNA

ÁREA

del

CUADRADO,

del trIÁNGULO y

TRASLACIÓN

de fIGURAS.

2) ¿Conoces alguna fórmula para hallar el área de la región sombreada, en el caso de la primera propuesta? En

ÁREAS

CÁLCULO de

verdes.

1) ¿Qué figuras reconoces en la primera propuesta? LAS fIGURAS de

LAS

4) ¿Qué nociones matemáticas están relacionadas con este problema?

2) ¿Qué desean los pobladores? DESEAN

100 m

3) En los planos, ¿qué secciones son para áreas verdes?

prESENTADAS por el

PROPUESTAS

Propuesta 2

3) Si descompones el área y la recompones, ¿variará el área destinada a jardines? No

VARIARÁ

el

ÁREA DESTINADA A JARDINES.

4) ¿Qué figuras reconoces en la segunda propuesta? En

LA SEGUNDA PROPUESTA

tenemos CUADRADOS y

trIÁNGULOS.

fórMULA.

Propuesta 1

Propuesta 2

1) En la fig. 1, muestra cómo descompones la región sombreada.

1) ¿Conoces alguna fórmula para calcular el área de la región que no está sombreada? Calcula esta área.

2) En la fig. 2, recompón esta región en la figura de al lado.

Sí, El

LA

fórMULA del

VALOR CALCULADO

ÁREA

del trIÁNGULO (BASE x

es 5000 m .

ALTURA)/2.

2

2) ¿Cuál será el área de la región sombreada? El

ÁREA

TOTAL

sombrEADA se

menos el

ÁREA

CALCULA

por

LA

diferENCIA del

ÁREA

no sombrEADA.

10 000 m - 5000 m2 = 5000 m2 2

Fig.1

Fig. 2

3) ¿Cuál de las dos propuestas recomendarías que se llevara a cabo? Explica.

3) Calcula ahora el área de la región sombreada. El

ÁREA

región.

sombrEADA mide 100 x 100 = 5000 m2 de

LA

2

En los dos CASOS, LAS ÁREAS verdes miden IGUAL; por lo TANTO, LA gente del pueblo DEBERÁ USAR diferentes criterios

50 m

DIAGRAMA O

un modelo físico de

LA SITUACIÓN.

2) Observa el nuevo diseño que se presenta a continuación y calcula cuál será el área verde, a partir de tu experiencia.

104

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 158

MD

50 m

su elección.

El ÁREA VERDE 10 000 m2 .

SERÁ

50 m

HACER un

50 m

1) ¿Qué estrategias te fueron útiles para tomar la decisión?

PARA HACER

158

7/19/12 12:43 PM

Las guirnaldas

¿Dónde se usarán?

Tipo

Para la fiesta de aniversario del colegio, se quiere adornar con guirnaldas cada uno de los salones y patios. El grupo de primer grado de Secundaria se encargará de producir la cantidad necesaria. Para ello cuenta con un presupuesto de S/.200. El cuadro muestra el tipo de guirnalda que se utilizará para cada espacio.

Espacio entre Costo de papel figuras

Figura 5 cm

15 cm

5 cm 5 cm

Criolla

Salones

S/.2 por m2

2 cm

15 cm 5 cm 20 cm

10 cm Festivalera

Patio

5 cm 8 cm

1) ¿Qué concepto matemático está relacionado con el costo del material? a) número de lados b) área c) perímetro 2) ¿Conocen alguna fórmula para encontrar el área de la guirnalda criolla? UNA fórMULA dirECTA no, pero se puede fórMULAS del

ÁREA

USAR LAS

de un trIÁNGULO y de un rECTÁNGULO.

3) ¿Pueden descomponer la figura en cuatro rectángulos y dos triángulos? Sí. Demuestren cómo hacerlo. 5 cm

5 cm 15 cm 5 cm

4) ¿Es la única manera de calcular el área? No, existen VARIAS forMAS, por ejemplo: HALLANDO el ÁREA del rECTÁNGULO que se forMA COMPLETANDO LAS ESQUINAS y rESTÁNDOLE los 4 rECTÁNGULOS que se AGREGARON. El

ÁREA

El ÁREA es de 525 cm2 que EQUIVALE A 0,0525 m2, entonces el costo SERÁ IGUAL A 500 x 0,0525 x 2 = S/.52,50.

7) ¿Cuál será la longitud de una guirnalda que tenga 100 figuritas del tipo criolla? Como sus LADOS miden 25 cm, entonces LA longitud de LA guir NALDA SERÁ 100 x 25 = 2500 cm o 25 m. En 100 FIGURAS HAY 99 ESPACIOS de 2 cm, que vienen A ser 198 cm. Al SUMAR SALE en TOTAL 2698 cm o 26,98 m.

8) Realicen una investigación similar para averiguar cuál es el costo de hacer 350 figuritas del tipo festivalera.

15 cm 5 cm

¿Cuál es el área?

Se debe ASUMIR que LA BASE de 20 cm se divide en tres PAR tes IGUALES o que LA BASE MAYOR del TRAPECIO mide 20 cm y LA BASE menor, 8 cm. El ÁREA de LA FIGURA es (un TRAPECIO MÁS dos rECTÁNGULOS) 140 + 100 + 40 = 280 cm2 o 0,028 m2. El costo SERÁ 2,5 x 0,028 x 350 = S/. 24,50. 20 cm

10 cm

es 525 cm2 o 0,0525 m2.

5) ¿Cuánto material se necesitará para hacer 500 figuras del tipo criolla? Se

NECESITARÁ

HACER

500

500 x 0,0525 m2 = 26,25 m2

FIGURAS

S/.2,50 por m2

4 cm

5 cm

Con tus compañeros, investiguen el costo del material necesario para la elaboración de las guirnaldas.

5 cm 5 cm

PARA

8 cm

del tipo crIOLLA.

6) ¿Cuál será el costo si se desea elaborar 500 figuritas de la guirnalda de tipo criolla?

9) ¿Qué porcentaje del presupuesto fue utilizado en hacer 500 figuritas criollas y 350 figuritas festivaleras? Fue 38,5 %.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran áreas y perímetros. Estos conceptos geométricos nos permiten administrar mejor el espacio en el que vivimos. Se aplican en el cálculo de distancias, longitudes de cercas, mediciones de terrenos y otros.

Autoevaluación ¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?

Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.

Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.

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159

En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.

Se debieron generar espacios de participación.

Manual para el docente

105

7/19/12 12:43 PM

Actividad

24

Estadísticas que nos hacen pensar

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que la estadística nos permite estudiar grandes cantidades de datos en conjunto. Medidas de tendencia central, como el promedio, la mediana o la moda, son utilizadas por encuestadoras, diarios, investigadores de mercado, entre otras, con el fin de describir las características de determinados grupos de personas. Sin embargo, se debe analizar con cuidado esta información, pues algunas veces se produce publicidad engañosa o falacias periódicas que solo desinforman al receptor. CAPACIDAD

Resuelve problemas que involucran el cálculo de promedios aritmético, simple y ponderado; mediana y moda en datos numéricos no agrupados. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

Operaciones aritméticas Porcentajes

Buenos diseños, buenas ganancias

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Media aritmética Mediana Moda

La tarea presenta un caso del ámbito laboral, en el que se trata de describir a un grupo de personas mediante su salario, pero utilizando un solo indicador numérico para el grupo. Se presentan los salarios en una tabla. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de contexto que requieran interpretar medidas de tendencia central, como son el promedio, la mediana y la moda. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el significado de cada una de las medidas de tendencia central. Si es necesario, se deberá leer las definiciones de las medidas de un texto del área o hacer un pequeño repaso con los estudiantes. En este caso, se propone utilizar la lectura analítica, mediante la cual se analizarán partes del texto y se inferirán conclusiones. Los estudiantes pueden tener dificultades al interpretar y diferenciar cada una de las medidas de tendencia central, así como al realizar el cálculo de las desviaciones típicas y su interpretación.

El taller

Descripción de la actividad

La tarea presenta un caso laboral en el que se describe a un grupo de personas mediante el sueldo que ganan mensualmente. Hay que utilizar la misma información para crear argumentos distintos.

Intención pedagógica

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran distinguir lo que cada medida de tendencia central representa para un determinado grupo, así como comprender que algunas veces la información puede ser manipulada estadísticamente.

¿A qué poner énfasis?

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la perspectiva de cada uno de los participantes; en este caso, el dueño y los trabajadores. Los estudiantes deben reflexionar sobre cómo un conjunto de datos puede generar lecturas distintas, dependiendo del efecto que se desea lograr.

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

En este caso, se propone utilizar la lectura analítica, mediante la cual se analiza parte de la información y a partir de la cual se extraen conclusiones. Los estudiantes pueden tener dificultades al interpretar lo que desea cada uno de los grupos en conflicto: el dueño y trabajadores. Los estudiantes deberán resolver el problema haciendo algunas modificaciones. Esto les ayudará a comprender la estructura interna de la situación y las relaciones numéricas que se dan entre los miembros del grupo.

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 160

MD

160

7/19/12 12:43 PM

T3

El dilema de la maestra

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

La tarea muestra una situación académica típica, en la que una docente debe tomar decisiones a partir de un conjunto de datos que, en este caso, son las notas de dos grupos de estudiantes. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran extraer conclusiones a partir de conjuntos de datos no agrupados y tomar decisiones fundamentadas. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los argumentos y conclusiones que se logran, a partir de una situación compleja como la mostrada, deben estar correctamente fundamentados por elementos matemáticos; en este caso, la correcta interpretación de la mediana, la media y la moda. Aquí se propone utilizar la lectura analítica, mediante la cual se puede dividir un texto complejo en partes de información para extraer conclusiones de cada parte; asimismo, utilizar una tabla para organizar y visualizar mejor las relaciones que ocurren. Los estudiantes pueden tener dificultades al comparar los grupos; por ello, las preguntas de la fase 3 lo ayudarán a dirigir su razonamiento. El docente debe monitorear cuidadosamente este proceso y, si se requiere, trabajar en plenaria con preguntas adicionales. Los estudiantes deberán reflexionar sobre sus posibles bloqueos. Hacer un recorrido del desarrollo del problema ayuda no solo a conocerse mejor en sus capacidades matemáticas, sino también a proveer operaciones intelectuales para salir de bloqueos en otras situaciones similares.

Usuarios de correo y las redes sociales

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades Más allá del problema

La tarea presenta el caso de una empresa de marketing que recogió datos sobre 4 cuentas de correo web, considerando la pertenencia a redes sociales y el número de amigos de los usuarios. Los resultados se muestran a partir de diagramas de barras. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar datos estadísticos, a partir de representaciones tabulares. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la compresión de la información presentada en cada uno de los gráficos, ya que el proceso de traducir esa información a un plano numérico puede encarar dificultades. En este caso, se propone emplear la lectura analítica de los gráficos estadísticos presentados y argumentar para responder cada una de las interrogantes formuladas. Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender la información que se presenta en las tablas. Por eso, el docente debe ir detallando algunas de las entradas con todo el grupo para asegurar que se comprendan perfectamente. Para los estudiantes más avanzados, se puede proponer tareas de investigación como, por ejemplo, realizar una encuesta similar a la presentada, en un ámbito más pequeño, el colegio o el barrio donde viven.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 161

161

Manual para el docente

7/19/12 12:43 PM

24 Buenos diseños, buenas ganancias Antonia es dueña de una empresa de confección de chompas conformada por diez trabajadores. En el cuadro, se muestran los salarios de cada uno de ellos en este año.

Nombre

Salario (S/.)

Carlos Castillo

3400

Rubén Pinto

3100

Luis Condori

3000

Elmer Huaringa

3200

Carola Panta

2800

Wimer Sangama

3200

Benita Culqui

2900

Edgar López

3300

Luis Romero

3100

Jorge Castro

3200

1) Calcula la media, la mediana y la moda de estos salarios. LA

es S/.3120,

MEDIA

LA MEDIANA

es S/.3150 y

LA MODA

es S/.3200.

Cuáles de las medidas mencionadas da respuesta a las siguientes preguntas: 2) ¿Cual es el valor del salario que se ubica en medio de los sueldos mínimo y máximo de los trabajadores? ¿Cuál es la medida de tendencia central correspondiente? ESTÁ entre s/.3100 y s/.3200, o SEA, s/.3150; es decir, LA MEDIANA. 3) ¿Cuál es el salario y la medida más frecuente? s/.3200, que es

LA MODA.

Antonia no está contenta. Después de medio año, su empresa todavía no ha conseguido posicionarse en el mercado. Ello debido a la escasa creatividad en los diseños de las chompas. Para reforzar el equipo, convence a un famoso diseñador para que se integre a su empresa. Sin embargo, Antonia tiene que pagarle S/.15 000 mensualmente por la mitad restante del año. 4) Calcula la media, la mediana y la moda de los salarios por año del nuevo equipo de once trabajadores. LA

MEDIA, LA MEDIANA

y

LA MODA

de los

SALARios

por

AÑO

del nuevo

equipo son: S/.4200, S/.3200 y S/.3200, rESPECTIVAMENTE.

5) ¿Cómo han cambiado estas medidas? Comenta este cambio. LA

MEDIA

de los

SALARios

se incrementó

AUMENTÓ LIGERAMENTE, AHORA

S/.3200. LA

MODA

se

SIGNIFICATIVAMENTE.

el 50 % de los

MANTUVO IGUAL.

SALARios

LA

MEDIANA

son menores

A

6) Reflexiona y responde: ¿Qué conceptos estadísticos has empleado? ¿Para qué los has usado? Se

HAN UTILIZADO

conceptos de

LA MEDIA, LA MEDIANA

y

LA MODA.

deterMINAR el promedio, LA MODA PARA

MEDIDAS

Se

de

TENDENCIA CENTRAL,

Sueldo (S/.)

Carlos Castillo

3400

-800

Rubén Pinto

3100

-1100

Luis Condori

3000

-1200

Elmer Huaringa

3200

-1000

Carola Panta

2800

-1400

Wilmer Sangama

3200

-1000

Benita Culqui

2900

-1300

Edgar López

3300

-900

Luis Romero

3100

-1100

como

HA EMPLEADO LA MEDIA PARA

LA MEDIANA PARA ESTABLECER

identifICAR los sueldos que

MÁS

Desviación respecto al promedio

Nombre

el sueldo medio y

se repiten.

Jorge Castro

3200

-1000

Nino Taipe

15 000

10800

7) Antonia se da cuenta de que los salarios de sus antiguos trabajadores son demasiado bajos y ha decidido aumentarles. ¿Qué datos podría utilizar? UTILIZARÍA el promedio número de

106

ARitmético

TRABAJADORes

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 162

que

y

GANA

CALCULARÍA LAS

por

DEBAJO

diferENCIAS con los

del promedio.

MD

SALARios

de

CADA TRABAJADOR PARA CUANTIFICAR

el

162

7/19/12 12:43 PM

Mario es dueño de un taller de reparación de mototaxis. En su taller trabajan nueve personas: 4 mecánicos, 3 técnicos calificados, 1 supervisor y 1 ingeniero (el dueño). Sus sueldos mensuales, sin contar el de Mario, son los siguientes: Cargo

Mecánicos

Técnicos calificados

Supervisor

Sueldo (S/.)

900

1020

1200

Halla la media, la mediana y la moda. Explica cuál de estas tres medidas podrías utilizar, en los siguientes casos: a) El dueño quiere demostrar que se paga bien en su taller. b) Los trabajadores quieren organizar un sindicato para demandar el aumento de sus salarios al dueño.

1) ¿Cómo se dividen las nueve personas que trabajan en el taller?

3) ¿El sueldo depende de la calificación? Explica.

Se dividen en 1 ingeniero, que es el dueño; 4

MECÁNICOS;

3 técnicos

CALIFICADOS,

El

y 1 supervisor.

2) ¿Qué diferencia hay entre un mecánico y un técnico calificado?

depende de

LA CALIFICACIÓN,

rESPONSABILIDAD en

porque

LAS OPERACIONES

IMPLICA

del

TALLER.

4) ¿Por qué se pide calcular la media, la mediana y la moda? Son MEDIDAS reprESENTATIVAS de los SALARios de los

El nivel de CALIFICACIÓN de un técnico es MAYOR que el de un

SALARio

MAYOR

TRABAJADORes

MECÁNICO.

del TALLER.

1) La media, la mediana y la moda son medidas que no dan la misma información sobre el grupo. Explica por qué. LAS tres son BASA

en

reprESENTATIVAS, pero

MEDIDAS

AQUELLA MEDIDA

repite.

que es

MAYOR

o menor

2) ¿Qué medida conviene usar en cada caso? LA

se rEALIZA

LA MEDIA AL

50 % de los

MEDIDA

MEDIA, LA MEDIANA

900, rESPECTIVAMENTE.

y

LA MODA

miden 982,5; 960 y

UTILIZAR LA MEDIA

PAGA

bien en el

TALLER.

MEDIA, LA MEDIANA

porque

y

MUESTRA

un

MAYOR VALOR.

LA MODA SERÁN:

S/.1762,20,

S/.1020 y S/.900.

2) Estas medidas, ¿reflejan ahora a la población? ¿Por qué? En este CASO, LA MEDIANA rEFLEJA mejor A LA POBLACIÓN; LA MEDIA ARitmétiCA

no

LA

CASO

es el

DATO

que

MÁS

se

se

específico.

son

BAJOs,

por lo que requieren un

UTILIZAR LA MODA.

GENERAL,

conviene

EMBARgo, PARA

fin de

BUSCAR

el

un

UTILIZAR LA MEDIANA O LA MEDIA;

ANÁLISIS

conviene

VALOR CENTRAL

sin

USAR LA MEDIANA, A

entre

LAS

dos

POSTURAS.

3) ¿Qué población consideras que es más homogénea? Población 1: Los mecánicos, técnicos y supervisores. Población 2: Los mecánicos, técnicos, supervisores y el dueño. LA

POBLACIÓN

MEDIDAS

1 es

MÁS HOMOGÉNEA,

reprESENTATIVAS tienen

pues

LAS

tres

VALORes MÁS CERCANOS.

reprESENTA.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 163

SALARios

AUMENTO.

En

1) Si el dueño introduce su sueldo de S/.8000, ¿cómo se alteran las medidas? LA

LA MODA

SALARios, LA MEDIANA

7) ¿Qué opinas tú? ¿Cuál de las tres medidas representa mejor a la población del taller?

4) ¿Cuál de las medidas debe utilizar? Debe

Que los

Les conviene

3) ¿Qué quiere demostrar el dueño? que se

y

DATOS ORDENADOS

de los

6) ¿Cuál medida deben utilizar?

MODA < MEDIANA < MEDIA

DEMOSTRAR

LA SUMA TOTAL

5) ¿Qué quieren demostrar los trabajadores?

2) Ordénalas de menor a mayor.

Quiere

de

que conviene depende del

1) Calcula la media, la mediana y la moda. LA

A PAR tir

163

Manual para el docente

107

7/19/12 12:43 PM

La maestra de Matemática del primero “C” dice: “Este año mis alumnas han tenido una mediana menor que la del año pasado y mis alumnos no tuvieron un mejor desempeño respecto al año pasado. Pero, tal vez, no sea necesario preocuparme, porque la mediana de la clase entera es más elevada que la del año anterior”. ¿Es verdad lo que ella dice? ¿Cuál es la explicación? ¿Debería ella preocuparse? Las calificaciones sobre cien puntos fueron: 2011

2012

Mujeres

95, 90, 85, 80, 80, 70, 70, 65

100, 90, 85, 85, 80, 65

Varones

85, 80, 70, 65, 55

85, 80, 75, 75, 75, 75, 70, 70, 60

1) ¿Qué entiendes por mediana? Es el

VALOR

medio de un

conjunto de DATOS ORDENADOS en forMA CReciente o

Con

decreciente. COMPARANDO LAS MEDIANAS

2011, de sus

ESTUDIANTES

de 2010 respecto

mujeres y

CALIFICACIÓN

menor que el

AÑO PASADO.

5) ¿Qué deseamos conocer?

2) ¿Qué está comparando la maestra? ESTÁ

4) Según la maestra, ¿cómo han salido los varones?

PROBAR

A

es

VARONES.

LA AFIRMACIÓN

MÁS ELEVADA

que

que

LA

del

LA MEDIANA

de

LA CLASE ENTERA

AÑO ANTERior.

3) Según la maestra, ¿cómo han salido las mujeres? Con

CALIFICACIÓN

menor que el

AÑO PASADO.

1) En lo expuesto por la maestra, intervienen conceptos matemáticos como la mediana. Debemos CADA tipo de POBLACIÓN y luego COMPARAR los rESULTADOS PARA decidir.

1) Calcula las medianas en las cuatro poblaciones. Organízalas en la tabla: Mediana 2011

Mediana 2012

Mujeres

80

85

Varones

70

75

MEDIANA

de

TODA LA CLASE

en el 2010 fue 80.

MEDIANA

de

TODA LA CLASE

en el 2011 fue 75.

AFirMACIONES

de

CÁLCULOS

y

COMPARÁNDOLOS

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 164

(…) la mediana de la clase entera es más elevada que la del año anterior”.

X

LA MEDIANA

MEDIANA

no es

reprESENTAR los con

LA fRASE

de

de

TODA LA CLASE

MD

NECESARIAMENTE LA

DATOS.

4) ¿Cuándo cumple con esta función? CUANDO los CONTRARio,

108 Resolvamos 1

X

LA

LA MAESTRA.

LA MAESTRA.

(…) mis alumnos no tuvieron un mejor desempeño respecto al año pasado. (…)

disminuyó.

3) ¿La mediana es una buena representante de la población?

2) ¿Cómo saliste de este bloqueo? REALIZANDO los

X

Sí, porque

1) ¿Qué te confundió al inicio del problema? LAS

F

“Este año mis alumnas han tenido una mediana menor que la del año pasado (…)

5) ¿Se debe preocupar la maestra? Explica.

3) ¿Cuál fue la mediana de toda la clase en el 2011? LA

de

4) A continuación, se ha dividido la frase de la maestra en partes; ahora analiza su veracidad: V

2) ¿Cuál fue la mediana de toda la clase en el 2010? LA

CALCULAR LAS MEDIANAS

DATOS MUESTRAN MUCHA

es mejor

mejor

MEDIDA PARA

dispersión; en

CASO

LA MEDIA ARitmétiCA.

164 7/19/12 12:43 PM

35 % 32 %

MEDIA DE AMIGOS POR USUARIO

USUARIOS CON PERFIL DE RED SOCIAL

Una empresa de marketing recogió datos de cuentas de correo web de usuarios con direcciones @axl.com, @mailexpress.com, @freemail.com y @cashmail.com. La muestra contiene a 2000 usuarios por cada cuenta de correo, totalizando 8000 cuentas evaluadas. Luego examinó la pertenencia a redes sociales de los usuarios y también consideró el número de amigos.

29 %

30 %

Homebook 25 % 22 %

21 %

20 %

MyPlace

15 %

Friends

10 %

CienciaLink

5% 0% Axl

Mailexpress

Freemail

47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36

Cashmail

46 % 44 % 42 % 40 %

Axl

Mailexpress

Freemail

Cashmail

Esta información se ha representado en los gráficos, que emplearemos para precisar algunos resultados cuantitativos de interés. Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema: 1) ¿Cuál es la red social preferida por los usuarios de las cuatro 6) Alguien afirma que del primer gráfico se deduce que por cada 4 cuentas de correo? ¿Qué gráfico utilizaron? usuarios de freemail que tienen homebook, uno posee friends. ¿Tiene razón? ¿Por qué? Es homebook. USAMOS el primer GRÁFICO. Sí, porque

2) ¿Qué red social es la segunda más preferida?

APROXIMADAMENTE,

Es MyPLACE.

3) Para saber cuántos de los usuarios de mailexpress se encuentran en homebook, ¿qué gráfico hay que utilizar? El primer

GRÁFICO.

entre los

de 4

A

PORCENTAJES

1.

es,

7) ¿De qué cuenta de correo son los usuarios que tienen más amigos? ¿Qué gráfico utilizaron? Son de

MAILEXPRess.

USAMOS el segundo

GRÁFico.

8) Si tienen amigos en todos los correos mostrados y quieren enviar un mensaje para que se divulgue a la mayor cantidad de personas, ¿qué cuentas elegirían?

4) ¿Cuántos usuarios de mailexpress tienen homebook? 29% (2000) = 580

5) Del total de usuarios encuestados, aproximadamente, ¿cuántos tienen cuenta en homebook? APROXIMADAMENTE, (32 % + 29 % + 22 % + 21 %) de 2000 = 2080

LA RAZÓN

USUARios.

ELEGIRÍAMOS

MAILEXPRess

y frEEMAIL.

9) En promedio, ¿cuántos amigos tiene un usuario de las cuentas de correo examinadas? (42 + 46 + 44 + 40) / 4 = 43

10) Si todos los amigos de los que tienen freemail y friends fuesen distintas personas, ¿cuántos amigos formarían la subred de usuarios de freemail con friends? APROXIMADAMENTE, 5 % de 2000 por 44 = 4400 AMIGOS.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con promedio aritmético simple y ponderado, mediana y moda. Ellos, bien utilizados, constituyen un indicador útil para conocer las características estudiadas en los grupos conformados por poblaciones, consumidores, televidentes, cibernautas, etc.

Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?

Muy interesantes.

Interesantes.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 165

165

Poco interesantes.

Nada interesantes.

Manual para el docente

109

7/19/12 12:43 PM

Actividad

25

Los promedios de por medio

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que, en la vida cotidiana, deben haber usado la noción de promedio para calcular sus notas, la altura de un grupo de personas, sus propinas semanales o ingresos mensuales, entre otros casos. Los promedios son muy útiles para representar, mediante un número, a un grupo de elementos. Así, cuando decimos que la altura promedio de un cusqueño es 1,50 metros, se entiende que ese número se puede utilizar para representar la estatura de un habitante de Cusco, lo que no quita que existan personas más altas o más bajas. CAPACIDAD

Resuelve problemas que involucran el cálculo de promedios aritméticos (simple y ponderado), mediana y moda en datos numéricos no agrupados. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

Operaciones con fracciones Operaciones con decimales

El docente del año

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Promedios

La tarea presenta una situación típica de evaluación por criterio. Se desea elegir al docente del año, pero se quiere evaluar solo algunos aspectos de su desempeño, a cada uno de los cuales se asigna un peso, de acuerdo con la importancia que para los estudiantes puede tener ese criterio. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren elaborar una matriz de evaluación, la cual implique el uso de promedios ponderados. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que cada criterio tiene un peso distinto, por lo que el cálculo no debe hacerse con un promedio aritmético simple, sino con los pesos indicados. También se debe señalar que el promedio final nos da un indicador para decidir sobre la persona que mejor representa el perfil ideal del docente. En este caso, se propone descomponer la situación en problemas menores, mediante preguntas y el uso de la fórmula del promedio ponderado. Los estudiantes pueden tener dificultades al no entender cómo los pesos afectan la evaluación; por eso, es posible hacer el trabajo con menos criterios para que logren darse cuenta de que un gran peso en uno de ellos altera el resultado. Un error típico es hacer el cálculo final como un promedio aritmético simple, es decir, sumar los puntajes y dividir entre el número de elementos.

Llegar temprano

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

La tarea presenta un claro ejemplo de una situación de toma de decisiones, a partir de una medida estadística. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren elegir el mejor indicador de medida de tendencia central en un grupo de datos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que la decisión no garantiza que llegue siempre a tiempo; pero que tal decisión se toma basándose en lo que parece ocurrir mayormente. También se debe indicar que la medida requerida se encuentra en el intervalo que va del menor al mayor valor. En este caso, se propone la elección de una notación adecuada que permita emplear una fórmula y razonar lógicamente para tomar una decisión. Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar la medida de tendencia central que mejor representa al grupo y al explicar por qué ella es la mejor. Las preguntas de las fases 2 y 3 los ayudarán a clarificar el concepto. Los estudiantes deberán reflexionar sobre los cálculos realizados y analizar las medidas encontradas a la luz del contexto donde las necesita.

Resolvamos 1

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MD

166

7/19/12 12:44 PM

T3

Promedios inmobiliarios

Descripción de la actividad

Estrategias heurísticas propuestas

La tarea presenta una situación típica de cálculo del promedio de un grupo, cuando se tiene los promedios de varios subgrupos que lo conforman. Con esta tarea, se espera que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas de contexto real que implican la noción de promedio. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el promedio que se requiere para representar a las casas del distrito de Collo, el cual tiene dos barrios. En este caso, se propone elegir una notación adecuada que permita emplear una fórmula y razonar lógicamente para tomar una decisión.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al calcular el promedio del distrito, si consideran a cada barrio como un elemento y toman la media aritmética entre los dos grupos. Para evitar eso, el docente debe preguntar sobre el tamaño de cada barrio. ¿Este dato influirá en el resultado final? Si el de Villa Mar es muy

Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis?

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

pequeño y el de Buenavista, muy grande, ¿cuál de los barrios tendrá mayor influencia en el promedio? Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. Aquí también se presentan otras situaciones de estructura similar. Los estudiantes deben discutir acerca de la forma en que están organizados estos problemas. Para los más avanzados, se puede proponer que redacten nuevas situaciones problemáticas con la misma estructura. ¿Qué cantidades pueden variar en el problema sin que cambie la estrategia de solución? En el caso inicial, se puede variar el número de casas por barrio o el número de barrios.

Conversando sobre notas

La tarea presenta una situación del contexto real que involucra el cálculo de promedios. Un grupo de estudiantes conversan sobre cómo determinar su promedio de notas del trimestre. Se plantea el caso de Descripción de dos estudiantes que, conociendo sus notas anteriores y su promedio respectivo, desean determinar el la actividad promedio actual con la incorporación de una nueva nota; también el caso de otro estudiante que solamente recuerda el promedio de sus cuatro notas y desea conocer el promedio contemplando una quinta nota. Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

Más allá del problema

Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren el cálculo de promedios en situaciones variadas. Al desarrollar la tarea, en el caso del estudiante que no recuerda sus notas anteriores, se debe poner énfasis en la determinación del promedio trimestral. Es importante tener en cuenta que se pueden asumir las notas, pero que lo importante es que correspondan al promedio señalado, de esa manera se puede calcular el nuevo promedio. En este caso, se propone suponer el problema resuelto y, a partir del supuesto promedio de las 4 primeras notas, efectuar el promedio de las 5 notas. Los estudiantes pueden tener dificultades al tener que suponer, en el caso del estudiante que no recuerda sus notas, las notas de las 4 primeras evaluaciones, de manera tal que concuerden con el promedio ya conocido para determinar el nuevo promedio. Para aquellos estudiantes más avanzados, se puede proponer tareas de investigación, como, por ejemplo, modificar los datos del enunciado mencionado el promedio de dos grupos de notas (promedio de 2 notas y el promedio de 3 notas) y solicitando determinar el promedio de ambos (5 notas). Asimismo, se les puede pedir que creen alguna otra situación.

MD

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167

Manual para el docente

7/19/12 12:44 PM

25 El docente del año Los estudiantes de primer grado de la IE El Pionero quieren otorgar el título de “Docente del año” a uno de sus profesores o profesoras. Para dicha elección, han considerado cuatro criterios: Metodología de enseñanza, Buen trato, Manejo de información actualizada y Promoción de la participación de los estudiantes. Cada uno de los criterios se calificará de 1 a 20. Además, les han asignado un peso de acuerdo con su importancia. La tabla muestra la calificación de cada uno de los cuatro profesores finalistas. ¿Cuál de ellos será elegido “Docente del año”? Criterios

Metodología de enseñanza

Buen trato

Manejo de información actualizada

Promoción de la participación

Diana

12

16

14

11

Mariano

15

13

15

16

Lorena

17

12

16

15

Lucas

16

11

13

14

Docentes

Los pesos que los estudiantes han asignado a cada criterio son: Criterios

Peso

Metodología de enseñanza

5

Buen trato

2

Manejo de información actualizada

3

Promoción de la participación

4

1) ¿Qué significa que a Metodología de enseñanza se le asigne 5 y a Buen trato, 2? SignifICA que, PARA LA elección referIDA, A LA METODOLOGÍA de ENSEÑANZA se le DA MÁS impor TANCIA que AL Buen TRATO.

2) ¿Cuál es el promedio aritmético simple de Diana, Mariano, Lorena y Lucas? De DIANA es 13,25; de MARIANO es 14,75; de LorENA es 15, y de LUCAS es 13,5.

3) ¿Quién obtiene mayor promedio? ¿Se ajusta al perfil que desean los estudiantes? El

promedio lo tiene LorENA; sin EMBARgo, no se AJUSTA AL perfil que los ESTUDIANTES.

MAYOR

NECESARIAMENTE LA PROFESORA DESEAN

6) ¿Quién obtiene mayor promedio ponderado? ¿Se ajusta al perfil que desean los estudiantes? LorENA TAMBIÉN tiene el MAYOR promedio PONDERADO. En este CASO, sí podemos decir que se AJUSTA AL perfil DESEADO por los ESTUDIANTES.

7) Reflexiona y responde: ¿Qué medida te da más información para decidir: el promedio simple o el promedio ponderado? El promedio PONDERADO me DA MÁS inforMACIÓN, porque los fACTORes

tienen diferente impor TANCIA

exprESADA en diferentes pesos

ASIGNADOS.

8) Algunos estudiantes propusieron que se debía considerar el Trabajo en equipo docente con un peso 4. Para este nuevo criterio los estudiantes asignaron las siguientes notas a sus profesores:

4) ¿Por qué los estudiantes no deberían utilizar el promedio aritmético simple para decidir? Porque los diferentes fACTORes CONSIDERADOS tienen DISTINTA impor TANCIA PARA los ESTUDIANTES.

EVALUADOS

Diana

Mariano

Lorena

Lucas

12

15

16

11

¿Qué profesor obtuvo el mayor promedio ponderado?

5) ¿Cuál es el promedio ponderado de Diana, Mariano, Lorena y Lucas?

LorENA.

El promedio PONDERADO de DIANA es 12,7; el de MARIANO es 15; el de LorENA es 15,5, y el de LUCAS es 14,1.

110

Resolvamos 1

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168

7/19/12 12:44 PM

Gonzalo va todas las mañanas a su colegio en un medio de transporte que pasa cerca de su casa, por lo que llega rápidamente al paradero. Este medio lo lleva al colegio en un tiempo de 25 a 40 minutos, dependiendo del tráfico. Gonzalo desea saber a qué hora debe salir de su casa para llegar temprano a su escuela. Para ello, ha tomado nota, durante dos semanas, del tiempo que demora en llegar al colegio dicho medio. Las clases comienzan a las 9:00 a. m. Semana

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Primera

30 min

35 min

29 min

30 min

40 min

Segunda

29 min

28 min

28 min

25 min

30 min

¿A qué hora debe salir Gonzalo de su casa para llegar temprano?

1) ¿Qué quiere lograr Gonzalo? DESEA

SABER A

qué

HORA

LLEGAR TEMPRANO A

su

debe

SALIR

ESCUELA.

de su

3) El primer viernes demoró 40 minutos. ¿Crees que debe salir 40 minutos antes? ¿Por qué?

CASA PARA

2) ¿Por qué crees que Gonzalo tomó los tiempos por más de un día? Porque

deterMINAR un promedio mejor decisión.

NECESITA

TOMAR UNA

PARA

ENCONTRAR UNA MEDIDA

de

poder

No, porque en este ALTAMENTE PROBABLE

LAS

dos

TENDENCIA CENTRAL.

Un

APROXIMADAMENTE,

VALOR MÁXIMO

y es

DEMASIADO TEMPRANO.

CASO

es el

que llegue

VALOR

mínimo y es

TARDE.

INDICADOR MATEMÁtico ADECUADO

ARitmético.

es el promedio

3) ¿Cómo debe interpretar Gonzalo este resultado? GONZALO debe

SEMANAS.

PARA LLEGAR A

SALIR, en promedio, 30 minutos tiempo A LA ESCUELA.

ANTES

4) ¿A qué hora debe salir Gonzalo de su casa para llegar temprano?

2) ¿Cuánto tiempo emplea por día? EMPLEA,

es el

2) ¿Qué indicador matemático conoces que pueda representar a un conjunto de datos?

1) ¿Cuánto tiempo emplea Gonzalo en transportarse en esas dos semanas? EMPLEA 304 minutos en

CASO

que llegue

4) El segundo jueves demoró 25 minutos. ¿Crees que debe salir 25 minutos antes? ¿Por qué?

1) Para que Gonzalo sepa a qué hora debe salir para llegar temprano a la escuela, ¿qué información necesita? Quiere

No, porque en este ALTAMENTE PROBABLE

30 minutos.

Debe

SALIR A LAS

8 y 30 minutos

PARA LLEGAR TEMPRANO.

1) ¿Qué tiempo se repite más en las dos semanas? ¿Consideras que este número puede ser un buen indicador? El tiempo que

MÁS

se repite es 30 minutos. Esto quiere decir que

LA MODA

mide 30 minutos y es un buen

INDICADOR.

2) Si ordenas los tiempos del mayor al menor y tomas el promedio de los centrales, ¿qué significado tiene este resultado? Este rESULTADO es LA MEDIANA, y signifICA que el 50 % de los MEDIANA en este CASO es 29,5 min.

DATOS ESTÁN

por

DEBAJO

y por

ENCIMA

de dicho

VALOR.

3) Imagina que Gonzalo demora en llegar al paradero 4 minutos y que el transporte llega con un retraso de 4 a 7 minutos. ¿Cómo afectan estas condiciones a la respuesta del problema? Entonces el tiempo de LA MAÑANA.

VARÍA

entre 38 y 41 minutos. En ese

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 169

CASO,

GONZALO debe

169

SALIR

entre

LAS

8:19 minutos y

LAS

LA

8:22

Manual para el docente

111

7/19/12 12:44 PM

Promedios inmobiliarios El distrito de Collo tiene dos barrios: Villa Mar, de 100 casas, que tiene un promedio de 5 habitantes por vivienda; y Buenavista, de 300 casas, que tiene un promedio de 1 habitante por casa. ¿Cuál es el promedio de habitantes por casa en este distrito?

1) ¿Qué información te da el texto?

Me DA el número de CASAS y el promedio de HABITANTES por CASA que HAY en los dos BARrios del distrito de Collo: VILLA MAR y BUENAVISTA.

2) ¿Los barrios tienen la misma cantidad de casas? 3) ¿Qué te solicita el problema?

No.

El promedio de HABITANTES por CASA en el distrito de Collo.

No. 1) ¿Puedes decir que el número promedio de habitantes por casa en el distrito de Collo es (1 + 5)/2 = 3? 2) ¿Qué tipo de promedio usarás para calcular el promedio conjunto? Se USARÁ el promedio PONDERADO.

1) Completa la siguiente tabla para organizar la información:

3) ¿Cuántos habitantes tiene en promedio Buenavista? BUENAVISTA tiene 300

Barrio

N.° de casas

Habitantes /casa

Villa Mar

100

5

Buenavista

300

1

HAY en

TOTAL

HAY en

TOTAL

2) ¿Qué barrio puedes decir que es el más denso? El BARrio MÁS denso es VILLA MAR.

3) Utiliza los métodos aprendidos para resolver las siguientes situaciones: En un grupo de 18 varones y 12 mujeres, el promedio de edades de los varones es 16 y de las mujeres es 14. ¿Cuál es el promedio de todo el grupo?

CASAS.

por

CASA.

Varones

18

16

288

Mujeres

12

14

168

Total

30

456 15,2

Promedio:

El promedio de 20 cantidades es 40. Si agregamos 5 cantidades, cuyo promedio es 20, ¿cuál es el promedio final de la referida cantidad? Cantidad

Promedio

Números

20

40

800

Números

5

20

100

Promedio:

MD

HABITANTES

Cantidad Promedio de edad

Total

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 170

400

HAY 800/400 = 2

He USADO UNA TABLA PARA ORGANIZAR LA inforMACIÓN.

Resolvamos 1

HABITANTES.

6) ¿Cuántos habitantes por casa en promedio hay en el distrito?

HABITANTES.

1) Describe la estrategia que te permitió resolver el problema.

112

800

5) ¿Cuántas casas hay en total en el distrito?

2) ¿Cuántos habitantes en promedio tiene Villa Mar? VILLA MAR tiene 500

HABITANTES.

4) ¿Cuántos habitantes hay en total en el distrito?

25

900 36

170

7/19/12 12:44 PM

Conversando sobre notas En un momento de descanso, Nicolás y Julieta están charlando sobre las notas que tenían y sobre cómo cambiar su promedio del trimestre con la última prueba. Julieta:

Yo tenía 10, 14, 02 y 18. Con el 16 que saqué subí el 11 a 12. ¡Apruebo el trimestre! Yo tenía 08, 07, 02 y 16. No nos tendríamos que haber copiado en la tercera prueba y no tendríamos el 02. Ahora también saqué 16, pero, igual, no llego a aprobar. De 08 subo a 9,8 y seguro que lo redondea a 10.

Nicolás:

Se acercan Rocío y Juan Pablo que solo escucharon lo último que dijo Julieta: Juan Pablo: Rocío:

Yo también tenía 4 notas, pero no me acuerdo cuáles eran y el promedio me daba 10. Ahora me saqué un 18. ¿Tendré 12 de promedio? Me parece que te sale 14 porque 10 y 18 son 28 y dividido por 2 da 14.

Todos se quedan callados pensando. Al ratito Juan Pablo dice: Juan Pablo: Me parece que va a dar menos, porque el 10 era de cuatro notas y ahora saqué solo un 18.

Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades y ayuden a los estudiantes a calcular su promedio: 1) Julieta primero mencionó cuatro notas, ¿cómo hizo para calcular su promedio? Sumó sus CUATRO promedio.

NOTAS

y dividió entre 4, obtuvo 11 de

SUMA

incluyendo su 16, pero dividió obtuvo 12.

NUEVAMENTE

entre 5,

ASÍ

08, 12, 06, 14 y 18, promedio 12… o … 10, 12, 08, 10 y 18, promedio 12.

2) Julieta dijo que con el 16 subió a 12. ¿Cómo calculó esto? Sumó

5) Agreguen un 18 a cada uno de los grupos anteriores y calculen el nuevo promedio.

LA

6) Reflexionen y calculen el promedio trimestral de Juan Pablo, a pesar de no recordar sus primeras cuatro notas. Expliquen el proceso. Al INVENTARle 4 NOTAS CUALESQUIERA, cuyo promedio SEA

3) ¿Cómo hizo Nicolás para calcular su promedio? Sumó sus CUATRO NOTAS y dividió entre 4, obtuvo 8,25, que rEDONDEADO es 8. Sumó NUEVAMENTE, incluyendo su 16, pero dividió LA SUMA entre 5; ASÍ obtuvo 9,8 de promedio, que rEDONDEANDO es 10.

4) Juan Pablo no recuerda sus cuatro notas, pero sí su promedio. Inventen dos grupos diferentes de 4 notas de modo que ambos den 10 de promedio.

10, es posible CALCULAR el promedio trIMESTRAL de JUAN PABLO. SUCEDERÍA lo que YA se hizo en LA prEGUNTA ANTERior

y, en CUALQUIER CASO, AL AGREGAR su NUEVA NOTA,

un 18, rESULTA 11,6 de promedio, que rEDONDEANDO es 12.

7) En general, si como le pasó a Juan Pablo solo recuerdan su promedio anterior y cuántas notas tenían, ¿es posible calcular siempre el promedio nuevo? Expliquen. Sí, se

que CUADRen con el promedio y se SUMA LA NUEVA NOTA; ASÍ, el nuevo promedio YA se puede CALCULAR.

08, 12, 06 y 14 … o … 10, 12, 08 y 10.

INVENTAN NOTAS

YA CONOCIDO

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el cálculo de promedios aritméticos (simple y ponderado), mediana y moda. Estas medidas se aplican para reconocer perfiles de grupos conformados por lectores, consumidores, amas de casa, entre otros.

Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?

Estuve sobresaliente.

He participado de forma significativa.

Fue aceptable.

Debo mejorar.

113 MD Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 171

171

Manual para el docente

7/19/12 12:44 PM

Actividad

26

La matemática sí cuenta

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que en varias actividades es importante saber el número de casos posibles. Por ejemplo, cuando generen una clave para su correo electrónico, el número posible de claves es un elemento de seguridad; si el número de caracteres es bajo, la clave será menos segura. Los detectives también utilizan estas formas de conteo, como cuando tienen información sobre una placa de un auto sospechoso o sobre un número telefónico probable. En estos casos, es importante buscar todas las posibilidades para, luego, con la información adquirida, descartar las que no son útiles. CAPACIDAD

Resuelve problemas que involucran la aplicación del principio aditivo y el principio multiplicativo para realizar conteos. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES

T1

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Cuatro operaciones Potenciació Patrones

Esto sí combina

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas sugeridas Posibles dificultades

T2

Principio aditivo de conteo Principio multiplicativo de conteo

Se presenta una situación de conteo típico. Las primeras preguntas están referidas al principio aditivo; las siguientes, al multiplicativo. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran identificar situaciones en las que se debe utilizar uno de estos dos principios de conteo. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las diferencias existentes entre las situaciones, ya que unas requieren para su resolución el principio aditivo y otras, el multiplicativo. Es importante escribir en la pizarra cada uno de estos principios. En este caso, se propone utilizar la lectura analítica para responder a cada uno de los problemas presentados. Los estudiantes pueden tener dificultades al reconocer qué situaciones pueden resolver, con qué principio o si deben hacer una combinación de los dos.

La red vial

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

La tarea muestra una red vial en la que pueden elegirse diversos caminos. Por la estructura del plano, es una buena oportunidad para seleccionar una combinación de los dos principios de conteo para responder a la interrogante. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran combinar óptimamente los dos principios de conteo. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las diferencias existentes entre los dos principios. Cuando alguien se detiene a elegir un camino, se utiliza el principio aditivo; pero cuando luego de elegir uno, elige otro a continuación, se emplea el principio multiplicativo. En este caso, se propone dividir el problema en sus partes más simples, para luego combinarlas y resolver el problema más complejo. Los estudiantes pueden tener dificultades al identificar qué principio deben utilizar en cada parte del plano de la red vial. Para fijar el conocimiento, puede ser útil que enumeren los posibles caminos que tienen en una sección de la red vial. Los estudiantes deberán explorar algunas modificaciones al problema, pueden inventar nuevos planos y plantearse preguntas acerca de rutas con determinadas condiciones.

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 172

MD

172

7/19/12 12:44 PM

T3

Enrique el travieso

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

La tarea muestra una situación en la que se requiere utilizar un diagrama de árbol para lograr una mejor comprensión. Enrique debe subir una escalera por un método curioso: puede hacerlo de escalón en escalón, de dos en dos escalones o combinar estas formas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de conteo que requieran la elaboración de gráficos. Al desarrollar la tarea, el docente deberá orientar a los estudiantes para que se percaten de que el tipo de conteo no es convencional y que realizar experimentos con un problema similar pero más simple, puede ser la mejor forma de comprenderlo. Es decir, contar con escaleras de menor número de escalones. En este caso, se propone utilizar la estrategia de particularizar y buscar un problema similar, pero más simple, e identificar un patrón. Los estudiantes pueden tener dificultades al tratar de utilizar directamente algún principio de conteo. Es importante presentar situaciones donde la aplicación directa de dichos principios no sea posible. Asimismo, pueden tener dificultad para encontrar el patrón. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada que, en este caso, fue el empleo de un problema más simple para identificar un patrón. La secuencia que da solución al problema: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… es conocida en matemática como Secuencia de Fibonacci, que aparece en muchas actividades de las finanzas, la ingeniería y la biología.

Un menú combinado

Descripción de la actividad

Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

La tarea muestra una situación compleja de conteo. Se trata de una lista de posibles menús de un restaurante. Es interesante reflexionar sobre la cantidad de combinaciones que se pueden obtener con pocos platos por cada rubro. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran combinar adecuadamente los principios de conteo, así como seleccionar y adaptar estrategias, con el fin de verificar cada una de las condiciones que se imponen en las preguntas formuladas. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la comprensión de cada una de las preguntas y en las diferencias entre una y otra interrogante. Es bueno reflexionar sobre ello, porque ayuda a mejorar la estructura multiplicativa que se ha construido hasta ese momento en la mente del estudiante. En este caso, se propone utilizar la lectura analítica y la división del problema en partes más pequeñas. Los estudiantes pueden tener dificultades para comprender lo que quieren decir cada una de las condiciones y cómo traducirlas en términos matemáticos. El docente debe ayudar con estas preguntas, parafraseándolas o haciéndole experimentar con situaciones más simples. Los estudiantes pueden recoger información sobre estructuras similares a las de las cartas de menú y traerlas al aula para discutir sobre sus posibilidades.

Más allá del problema

MD

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173

Manual para el docente

7/19/12 12:44 PM

26 Esto sí combina Noelia tiene en su guardarropa lo siguiente: 2 blusas rojas, 3 blusas negras, 2 faldas cortas, 2 faldas largas y 3 chompas, que combinan muy bien. Ella está pensando cómo va a ir a la fiesta de cumpleaños de su amiga Karen.

8) Completa este diagrama con las formas que tiene Noelia para vestirse con 1 blusa negra y 1 falda corta.

1) Organiza el guardarropa de Noelia en la tabla siguiente: Tipo de ropa

Cantidad

Blusas

2 ROJAS y 3 NEGRAS

Faldas

2 cor TAS y 2 LARGAS

Chompas

3

F1

Primera blusa y primera falda

F2

PrIMERA BLUSA y SEGUNDA FALDA

F1

SEGUNDA BLUSA y prIMERA FALDA

F2

SEGUNDA BLUSA y SEGUNDA FALDA

F1

TERCERA BLUSA y prIMERA FALDA

F2

TerECERA BLUSA y SEGUNDA FALDA

B1

B2 2) ¿De cuántas maneras puede seleccionar una blusa roja? Represéntalas. De 2 MANERAS: br1 o br2. 3) ¿De cuántas maneras puede seleccionar una blusa negra? Represéntalas. De 3 MANERAS: bn1, bn2 y bn3.

B3

4) ¿De cuántas maneras puede seleccionar una blusa? Represéntalas. De 2 + 3 = 5

MANERAS:

9) Reflexiona, ¿crees que hubiese salido el mismo número si se empezaba eligiendo las faldas? Explica.

br1, br2, bn1, bn2 y bn3.

5) ¿De cuántas maneras puede seleccionar una falda? Represéntalas. De 2 + 2 = 4 MANERAS: fc1, fc2, fl1 y fl2. 6) Noelia dice que, como tiene 3 blusas negras y 2 faldas cortas, hay 3 + 2 = 5 formas distintas de vestir con esta ropa. ¿Estás de acuerdo con ella? ¿Qué le dirías? No estoy de

ACUERDO,

prENDAS,

COMBINAR A LA VEZ LAS

rEGLA de

pues, en este

CASO,

PARA

lo

se deben

CUAL

se

APLICA LA

7) ¿De cuántas formas puede seleccionar 1 blusa negra y 1 falda corta?

114

SELECCIONAR

de 3 x 2 = 6

Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 174

SALIDO

FUNDAMENTAR se

el mismo rESULTADO,

en

LA MULTIPLICACIÓN ,

YA

que,

tiene

AL

LA PROPIEDAD

CONMUTATIVA.

10) ¿De cuántas formas puede vestirse Noelia con blusa, falda y chompa? Completa:

LA MULTIPLICACIÓN .

Se puede

Sí, hubiese

MANERAS.

Formas de seleccionar 1 blusa

Formas de seleccionar 1 falda

Formas de seleccionar 1 chompa

Total de formas

5

4

3

60

En

MD

TOTAL:

5 x 4 x 3 = 60 forMAS.

174

7/19/12 12:44 PM

La red vial En la figura, se presenta la red vial de un servicio metropolitano en Humanópolis. Las líneas muestran las vías de los trenes, que van de ida y vuelta. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir desde A hasta B, sin retroceder en algún momento?

1) ¿Qué muestra el plano?

3) ¿El número de cambios viales es importante? Explica.

L A red VIAL de un servicio METROPOLITANO en HUMANÓPOLIS.

2) Saliendo de A, ¿cuántos posibles caminos se te presentan? Se prESENTAN 3

CAMINOS

posibles.

Sí es impor TANTE PARA PROGRAMAR LAS rUTAS de diferentes servicios, de TAL MANERA que no EXISTAN

cruces en

LAS VÍAS.

4) ¿Qué tienes que averiguar? El número de retroceder.

1) ¿Crees que es bueno listar todas las formas posibles de ir desde A hasta B? Sí es bueno

HACER LA LISTA

de forMAS posibles.

2) Si utilizas la primera vía, ¿de cuántas maneras puedes ir desde A hasta B? HAY seis

MANERAS

de ir desde A

HASTA

MANERAS PARA

ir de A

A

B sin

3) ¿Qué principios de conteo utilizarás para resolver este problema? a) Principio de la suma b) Principio de la multiplicación c) Ambos principios

B.

1) Separa la red vial en tres y coloca el número de cambios viales que hay en cuanto aparezcan. Luego calcula el total de caminos para cada una de estas partes. Vías

Tramos 1

Tramos 2

3

2

N.° de formas para ir de A a B

3

6

2

2

4

CADA CAMBIO VIAL

LÍNEA ADYACENTE, CONSIDERANDO

permite

ACCEDER A LA

que puede seguir

Se puede ir de 6 + 6 + 4 = 16

ESTUDIANTE.

2) ¿Cómo hiciste para superar la dificultad? Depende del

que

LA

2) ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir desde A hasta B, sin retroceder en algún momento?

1) ¿En qué parte de la solución del problema has tenido dificultad? Depende del

ASUME

MISMA LÍNEA.

6

2

Se

4) Si por la vía central solo se puede ir en viaje de ida y los trenes no pueden retroceder, ¿de cuántas maneras diferentes se puede ir desde A hasta B y regresar a A, si el tren usa la primera vía en el tramo de ida? De A

ESTUDIANTE.

MANERAS.

10

A

B se puede ir de 6

MANERAS.

Entonces, en

MANERAS;

TOTAL,

de B

de 60

A

A, solo de

MANERAS.

3) ¿Cuál es la estrategia que te permitió resolver el problema? UTILIZAR un DIAGRAMA y dividir el PROBLEMA en SUBPROBLEMAS.

115 MD Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 175

175

Manual para el docente

7/19/12 12:44 PM

Enrique, el travieso Enrique está jugando en la escalera de su casa. El juego consiste en subir la escalera de diferentes maneras. Cada vez sube 1 o 2 escalones, como se le antoja. De un total de 12 escalones, el primero y último miden 10 cm y los otros miden 15 cm. ¿De cuántas maneras distintas puede subir la escalera de su casa?

1) ¿Cuáles son las condiciones de esta actividad? LAS

2) ¿Qué datos son irrelevantes?

De

3) ¿Qué solicita el problema?

MEDIDAS

Sube

de los

CUÁNTAS MANERAS

LA ESCALERA

UNA TABLA

y deterMINANDO un

ESCALONES A LA VEZ.

ESCALONES.

puede subir Enrique

1) ¿Cómo crees que se pueden contar todas las formas? HACIENDO

de 1 o 2

LA ESCALERA

de su

CASA.

4) En una escalera de 4 escalones, dibuja dos formas de subir por el método de Enrique.

PATRÓN.

2) Contar para 12 escalones es muy largo, ¿qué tal si buscamos un problema más sencillo? Sí, nos perMITIRÁ

HALLAR

el

PATRÓN.

3) Si la escalera pudiera tener menos escalones, ¿cuántos elegirías? ELIGIRÍA 1, 2, 3

ESCALONES

porque son

CASOS

sencillos.

1) Para subir una escalera de 1 escalón, Enrique puede hacerlo de una forma. Para una escalera de 2 escalones, puede hacerlo de dos formas: de uno en uno o de dos en dos. Para una escalera de 3 escalones, puede hacerlo de tres formas. 2) Haz un diagrama de árbol para hallar de cuántas maneras puede Enrique subir una escalera de 4 escalones.

4) Organiza estos datos en la tabla adjunta. ¿Logras ver algún patrón en los números de la segunda columna? Sí, los números AUMENTAN.

5) ¿Hay alguna relación entre dos o tres de esos números? Sí, un número es IGUAL A LA SUMA de los dos ANTERiores.

Puede

HACERlo

de cinco forMAS.

3) En tu cuaderno haz otro diagrama de árbol para hallar de cuántas maneras puede hacerlo Enrique con 5 escalones. A

DESARROLLAR

por el

6) ¿De cuántas maneras diferentes puede Enrique subir la escalera de su casa? De 233 forMAS

ESTUDIANTE.

DISTINTAS.

N.° escalones

N.° formas

1

1

2

2

3

3

4

5

5

8

6

13

7

21

8

34

9

55

10

89

11

144

12

233

1) ¿Qué estrategia te sirvió para resolver el problema? HACER el PROBLEMA MÁS simple, con menos ESCALONES, y luego BUSCAR

un

PATRÓN.

2) El siguiente problema, ¿es similar al de Enrique? Explica. Julio tiene que pegar estampillas en un sobre por valor de S/.12. Solo dispone de estampillas de S/.1 y S/.2. ¿De cuántas formas distintas puede colocarlas en una hilera? Sí, es un PROBLEMA SIMILAR, YA que es como ENCONTRAR LAS forMAS de subir UNA ESCALERA de 12 ESCALONES subiendo 1 o 2 ESCALONES CADA VEZ.

3) Redacta un problema similar al de Enrique. A rEALIZAR por los

ESTUDIANTES.

116 Resolvamos 1

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 176

MD

176 7/19/12 12:44 PM

Sofía deseaba competir con los restaurantes vecinos que ofrecían menús diarios. Un amigo le comunicó que ella podría vender cientos de menús diferentes ofreciendo la posibilidad de combinar los platos. El sistema era sencillo: se ofrecería una variedad de entradas, segundos, postres y bebidas; el cliente podría formar su menú, eligiendo una opción de cada una de las categorías. La cartilla muestra los diversos platos que Sofía ofrece en una semana típica a sus comensales.

LUNES

MARTES

MIÉRCOLES

JUEVES

VIERNES

Entrada

Papa rellena Ensalada mixta Cebiche

Ocopa Humita Salpicón de pollo

Tiradito Huevo a la rusa Ensalada César

Ocopa Atún Causa

Tamalito verde Ensalada rancho Choros a la chalaca

Segundo

Lomo saltado Carapulcra

Bistec c/arroz Cau cau

Tacu tacu Ají de gallina

Lechón al horno Jalea Arroz c/pollo

Patita c/maní Tallarines rojos Seco de res Suprema c/papas

Postre

Gelatina Flan Helado Budín

Piña en almíbar Cocada

Suspiro limeño Pie de chirimoya Leche asada Chifón de naranja

Duraznos Manzana al horno

Arroz c/leche Arroz zambito

Bebidas

Chicha morada Limonada Té Café

Chicha morada Limonada Té Café

Chicha morada Limonada Té Café

Chicha morada Limonada Té Café

Chicha morada

Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades y resuelvan la situación planteada: 1) Un estudiante señala que el número de menús diferentes que 5) Utilicen el método anterior para saber cuántos menús Sofía puede ofrecer el día lunes es: 3 + 2 + 4 + 4 = 13. ¿Es esto diferentes se pueden ofrecer el día martes. correcto? Expliquen. No es correcto; el menú CONSTA de ENTRADA, segundo, postre y BEBIDA que se sirven A LA VEZ.

2) Imaginen que el día lunes el restaurante solo ofrece: * Entrada: papa rellena, ensalada mixta, cebiche. * Segundos: lomo saltado, carapulcra. Hagan una lista que muestre todos los posibles menús que Sofía puede ofrecer ese día. PAPA rELLENA - lomo ENSALADA MIXTA CARAPULCRA;

SALTADO; PAPA

- lomo

rELLENA -

SALTADO; ENSALADA

cebiche - lomo

SALTADO;

CARAPULCRA;

mixTA -

cebiche -

CARAPULCRA.

3) Elaboren un gráfico que muestre cómo contar este número de posibles menús del día lunes. Lomo

SALTADO

Menú

ENSALADA

MIXTA

CONSIDERACIÓN

rEGLA de SERÁN:

de los

SALTADO

LA MULTIPLICACIÓN .

Se debe

HA

OFRecido

144 menús diferentes.

7) Realicen una explicación de los métodos que han utilizado, tanto gráficos como numéricos. Traten de expresar estos métodos en un párrafo. El DIAGRAMA de ÁRbol se UTILIZA PARA CASOS pequeños donde solo HAY dos o tres tipos de CATEGORÍAS PARA COMBINAR. El método numérico se APLICA A diferentes tipos de PROBLEMAS y se BASA en MULTIPLICAR el número de elementos de CADA CATEGORÍA del CASO.

En

CARAPULCRA

ESTUDIANTES.

6) Entre el lunes y el martes, ¿cuántos menús diferentes ha ofrecido el restaurante de Sofía?

MARtes:

48; miércoles: 3 x 2 x 4 x 4 = 96;

jueves: 3 x 3 x 2 x 4 = 72; viernes: 3 x 4 x 2 x 1 = 24.

4) Ahora, consideren el menú con sus cuatro categorías. ¿Cuántos menús diferentes pueden contar? A

diferentes.

se pueden ofrecer 3 x 2 x 2 x 4 = 48 menús

Lunes: 96;

SALTADO

CARAPULCRA Lomo

Cebiche

MAR tes

8) Apliquen los métodos explicados y respondan: ¿Cuántos diferentes menús ofrece el restaurante de Sofía en la semana?

CARAPULCRA Lomo

El

APLICAR LA

PARA un lunes o miércoles

3 x 2 x 4 x 4 = 96 menús diferentes.

TOTAL,

336 menús diferentes.

9) En la situación inicial, si el restaurante de Sofía ofreciera el día jueves las opciones siguientes: * Entrada: ocopa, humita, atún. * Segundo: bistec c/arroz, cau cau. * Postre: piña en almíbar, cocada. * Bebidas: chicha morada, limonada, naranjada. ¿Cuántos menús diferentes podría ofrecer a la semana? Primero debo CALCULAR LA CANTIDAD de menús de este DÍA jueves: 3 x 2 x 2 x 3 = 36. Luego, rEEMPLAZAR este DATO por el del jueves de LA SITUACIÓN INICIAL: 96+48+96+36+24=300 menús diferentes

A LA SEMANA.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los principios aditivo y multiplicativo. Estos son útiles, pues ayudan a contar casos posibles sin necesidad de enumerarlos todos.

Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?

He colaborado de forma significativa.

Realicé aportes muy relevantes.

MD

Z_Modulo de Matemática Manual 1.indd 177

177

Mi colaboración fue aceptable.

Debo mejorar.

Manual para el docente

117

7/19/12 12:44 PM

Actividad

27

Un mundo de incertidumbres

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que vivimos en un mundo influido por el azar. Muchas decisiones de hoy se toman, no con base en certezas, sino en riesgos calculados. Un importador trae productos que espera vender, aunque no tiene la certeza de ello; un equipo de futbol no sabe si su próximo partido lo ganará, empatará o perderá; las empresas mineras adquieren terrenos en los que esperan encontrar mineral, pero muchas veces la inversión se pierde pues no se halla el preciado producto. En general, los sucesos de hoy tienen más de incertidumbre que de certeza y debemos acostumbrarnos a tomar decisiones a partir de solo cierto nivel de seguridad. CAPACIDAD

Resuelve problemas que involucran el cálculo experimentalmente de la probabilidad. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

Cálculo con fracciones Sistema de coordenadas Proporcionalidad directa

El lenguaje del azar

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Probabilidad de Laplace

La tarea presenta una noticia donde aparecen diversos vocablos relacionados con el azar. La tarea es identificar estos términos y utilizarlos luego en la construcción de oraciones válidas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran redactar expresiones que denoten la idea de la probabilidad de un evento. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en los diversos significados que cada uno de los términos descubiertos puede tener. Es importante reconocer lo que significa un evento seguro o un evento imposible; asimismo, comprender cuándo se dice que un evento es poco probable y cómo se traduce esto en una expresión numérica. Es interesante señalar que se trabajan las probabilidades como un modelo matemático de la realidad. Por ejemplo: al lanzar una moneda, se considera que es igualmente probable que salga cara o que salga sello. La posibilidad real de que la moneda caiga de canto, en el modelo matemático, no se considera. A este evento se le asigna probabilidad cero porque, desde el punto de vista matemático, es imposible. En este caso, se propone utilizar la lectura analítica. Los estudiantes pueden tener dificultades al completar las expresiones dadas y reconocerlas dentro de una gama amplia de probabilidades, desde los eventos imposibles (probabilidad cero) hasta los eventos seguros (probabilidad 1).

Probabilidad a ciegas

Descripción de la actividad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

La tarea presenta un problema que explora la comprensión del significado de la probabilidad de Laplace, a partir de una situación cercana al estudiante: unas bolitas de colores en el interior de una bolsa. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran utilizar la noción de probabilidad laplaciana. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en lo que significa la probabilidad de un evento. En general, se puede ver en la comparación por cociente entre los casos favorables y los casos posibles. Es decir, se calcula cuánto de favorable tiene el evento que medimos. En este caso, se propone realizar la lectura analítica y dividir un problema en subproblemas. Los estudiantes pueden tener dificultades al modelar linealmente la situación, sobre todo por el uso de fracciones. Asimismo, se debe estar seguro de que comprenda que la barra total representa a la unidad o al 100 %.

Resolvamos 1

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MD

178

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En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T3

Azarosa arquitectura

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y reflexionar sobre cómo se ha hallado la solución. También se presentan algunas variantes de datos para que los estudiantes se apropien de la estructura de este tipo de problemas. Para los más avanzados, se puede proponer tareas de investigación, como redactar problemas similares al estudiado y resolverlos de dos maneras distintas.

La tarea presenta el plano de un centro comercial que tiene niveles de bifurcación. La tarea es encontrar cuántas personas habrá en cada una de las puertas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas sobre sucesos probables, por medio de una simulación. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el plano tiene bifurcaciones y que estas hacen que una persona tenga la misma posibilidad de ir a un lado o a otro. Esto es posible observar mediante la simulación con una moneda. Al llegar a una bifurcación, se lanza la moneda: si sale cara, irá a la izquierda, y si sale sello, irá a la derecha. Se entiende que las oportunidades de ir a un lado o al otro son, en ambos casos, del 50 %. En este caso, se propone utilizar la simulación para inferir un resultado. Los estudiantes pueden tener dificultades al organizar el experimento de simulación. Es recomendable que las parejas intercambien la información que consigan. De acuerdo con la ley de los grandes números, si ese tiene una mayor cantidad de casos posibles, la simulación se acercará mucho más a la realidad. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. En este caso, ha sido el diseño y la simulación de un experimento, con el fin de tener una idea de lo que ocurrirá en la realidad. Se debe recordar que se está trabajando con el azar y no con eventos determinados. No siempre en un grupo de cien personas que se encuentren ante una bifurcación, cincuenta irán a la derecha y las otras a la izquierda; se espera que esto suceda, pero no es certero. Para explorar este tipo de actividad, es posible diseñar otras entradas que tengan diversas combinaciones de bifurcación.

La carrera enredada

La tarea presenta un juego de tablero que involucra el azar. En él se cuenta con dos dados y participan dos jugadores. Cada uno de ellos, al llegar su turno, lanzará uno de los dados. Después de ver el resultado, Descripción de deberá decidir si avanza las casillas que indica el dado lanzado o si tira el otro. Si decide esto último, deberá la actividad lanzar el segundo dado y si el valor de este es mayor que el anterior, avanzará la suma de los dos; pero si no, deberá retroceder lo marcado en el último lanzamiento. Gana el primero que llegue a la meta. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas Intención pedagógica que requieran analizar un juego de azar, a partir del cálculo de la probabilidad de ganar en dicho juego. ¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas

Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las opciones que tiene el jugador de elegir un segundo lanzamiento. Si bien el juego tiene el dado como elemento aleatorio, el hecho de poder decidirse por un segundo lanzamiento lo convierte también en un juego de estrategia, ya que depende de la primera salida para que el jugador desee hacer la segunda. En este caso, se propone realizar la lectura analítica y la enumeración de casos posibles.

Posibles dificultades

Los estudiantes pueden tener dificultades al decidir sobre un indicador que le permita objetivamente tomar una decisión de si va a jugar otra vez o si se va a detener. Si en el primer lanzamiento sale un número muy grande, no le conviene seguir; si en el primer tiro le sale un número pequeño, es mejor arriesgar.

Más allá del problema

Para los estudiantes más avanzados, se proponen tareas de investigación, como modificar las reglas del juego, pero manteniendo su estructura. Es posible cambiar el número de dados (lo que se hace tanto en el primer como en el segundo lanzamiento), la forma del tablero, el número de casillas, etc.

MD

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179

Manual para el docente

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27 El lenguaje del azar Lee el siguiente texto y subraya en él algunos términos relacionados con el azar.

Completa las siguientes oraciones con los términos: seguro 1) Que mañana llueva es

muy probable poco

probable

PROBABLE.

imposible muy

4) Que apruebe Matemática es

seguro.

2) Que pasado mañana tenga 24 horas es

poco probable

3) Que tus padres te den S/.100 de propina es poco

imposible.

5) Que tenga 250 hermanas es

PROBABLE.

PROBABLE.

6) Que cuando sea grande mida 1,70 m es

PROBABLE.

7) Escribe una noticia escolar en la que se empleen los términos probable, poco probable e imposible.

Por ejemplo: El DÍA de MAÑANA es PROBABLE que no HAYA CLASES debido A LAS ACTIVIDADES depor TIVAS A rEALIZARse y rESULTA imposible, TANTO PARA docentes como PARA ESTUDIANTES, poder ABSTRAERse de ELLAS. Asimismo, les inforMAMOS que es poco PROBABLE LA prESENCIA de nuestro director, quien se ENCUENTRA DELICADO de SALUD, RAZÓN por LA CUAL él HA exprESADO desde YA sus mejores deseos PARA los depor TISTAS de nuestro colegio.

8) Busca ejemplos de sucesos aleatorios que puedas calificar con los siguientes términos: seguro

muy probable

Enero tiene 31 DÍAS (seguro). En VERANO los DÍAS son CALUROSOS (muy LLEGARÉ TEMPRANO AL TRABAJO yendo en LLEGARÉ

118

TEMPRANO AL TRABAJO VIAJANDO

Resolvamos 1

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probable

poco probable

imposible

PROBABLE).

TAXI (PROBABLE).

por

UNA AVENIDA CONGESTIONADA

MD

(poco

PROBABLE).

180

7/19/12 12:44 PM

Raisa tiene una bolsa que contiene al menos 20 bolitas, que son rojas, blancas o azules. La probabilidad de seleccionar una bola roja de la bolsa es de 2/3. La probabilidad de seleccionar una bola blanca de la bolsa es de 5/18. Raisa sabe que hay exactamente 4 bolas azules en la bolsa. ¿Cuántas bolas rojas hay en ella?

1) ¿Cuántas bolas hay en la bolsa? HAY, AL menos, 20 BOLITAS.

LA

2) ¿Qué probabilidades te dan como dato? Me DAN LA (2/3) y LA (5/18).

PROBABILIDAD PROBABILIDAD

de SELECCIONAR de SELECCIONAR

3) ¿Qué probabilidad te falta?

UNA BOLA ROJA UNA BOLA BLANCA

1) Sabes que al menos hay veinte bolas. Parece un problema de fracciones. ¿Qué representación utilizarías para responder?

PROBABILIDAD

SELECCIONAR UNA BOLA AZUL.

4) ¿Qué te solicita el problema? El número de

BOLAS ROJAS

que

HAY

en

LA BOLSA.

2) ¿Cuánto deben sumar las probabilidades de todos los casos? ESTA

a) Diagrama lineal

de

SUMA

debe ser 1.

b) Hacer una tabla c) Diagrama de árbol

5) ¿Pueden haber en la bolsa 24 bolas? No. ¿Por qué?

1) ¿Qué parte o fracción de bolas son rojas o blancas?

Porque los

Son 2/3 + 5/18 = 17/18. LAS

BOLAS AZULES

son 1 - 17/18 = 1/18 del

TOTAL.

5/18

Azul:

4) ¿Que fracción de bolas son verdes? LA

FRACCIÓN

de

LAS

fRACCIONES no son

6) ¿Qué condición debe cumplir el número de bolas?

3) Haz un diagrama lineal que reúna las dos respuestas anteriores. Roja: 2/3 = 12/18 Blanca:

DENOMINADORes

múltiplos de 24.

2) ¿Qué parte o fracción de bolas son azules?

1/18

Debe cumplir

de que

SEAN

múltiplos de 18.

7) ¿Cuántas bolas hay en la bolsa? 4

es 0.

LA CONDICIÓN

BOLAS AZULES EQUIVALEN A

HAY

4/(1/18) = 72

1/18 del

TOTAL.

Entonces,

BOLAS.

8) ¿Cuantas bolas rojas hay en la bolsa? HAY 42

1) ¿Qué fue lo que te dio la pista?

SABER que el número de BOLAS AZULES es 4, que es justo LA PROBABILIDAD que fALTA y que es CALCULADA SABIENDO que LA SUMA de LAS tres PROBABILIDADES referIDAS A CADA tipo de color es IGUAL A 1.

2) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola y que esta sea roja, blanca o azul? LA PROBABILIDAD es 1. 3) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola verde? LA

PROBABILIDAD

es 0.

4) ¿Por qué las fracciones referidas a la probabilidad deben sumar 1? MD

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BOLAS.

Porque los tres eventos constituyen ESPACIO MUESTRAL.

LA TOTALIDAD

del

5) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja o blanca? LA PROBABILIDAD de SACAR UNA BOLA ROJA O BLANCA es de 17/18.

6) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola que no sea roja? LA

PROBABILIDAD

de que no

SEA ROJA

es 6/18 = 1/3.

7) Si sacas una bola al azar y es azul, ¿cuál es ahora la probabilidad de sacar una bola roja? Es 48/71, pues el TOTAL de BOLAS ROJAS sigue siendo 2/3(72) = 48 y el TAMAÑO del ESPACIO MUESTRAL se modificó A 71.

181

Manual para el docente

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Las rutas de salida hacia las puertas del centro comercial Inka Plaza se han diseñado como muestra el diagrama. En cada bifurcación, una persona tiene la oportunidad de ir a la derecha o a la izquierda. Si al interior del centro comercial se encuentran 800 personas que van a salir al mismo tiempo, ¿cómo crees que será la distribución en cada una de las puertas A, B y C?

1) ¿Qué muestra el diagrama? MUESTRA el diseño de SALIDA

LAS

del INKA PLAZA.

3) ¿Qué supuesto tienes que hacer?

rUTAS

HACIA LAS

puer TAS de

CONSIDERAR A LA

2) Si entran 100 personas, aproximadamente, ¿cuántas se van por la izquierda? SERÁN,

APROXIMADAMENTE,

VISUALIZAR

mejor el

PROBLEMA.

PARA

un

USAR

DADO (PAR

o

IMPAR)

o

UNA MONEDA

veces.

Se rECOMIENDA

AL

LAS

LAS

800 perSONAS que

SALDRÁN

puer TAS A, B y C.

del

3) Completa donde corresponda: El experimento aleatorio lo puedes diseñar con un dado de CARAS.

Si sale

1) Realiza el experimento varias veces. ¿Cuántas veces consideras que es suficiente? ESTUDIANTE.

o

Toma el DADO , cada vez que llegues a una bifurcación, lanza el dado. Si sale par, tomas el camino de la IZQUIERDA.

decidir entre dos opciones.

A criterio del

A LA IZQUIERDA

derECHA.

LA distribución de

seis

2) ¿Cómo puedes diseñar el experimento, qué materiales necesitarás? Se puede

elección de ir

4) ¿Qué tienes que averiguar? INKA PLAZA por

50 perSONAS.

1) ¿Crees que diseñar un experimento te ayudará a entender? ¿Por qué? Sí, porque permite

EQUIPROBABLE LA

IMPAR

, el camino de la derecha.

3) Registra tus resultados en el organizador elegido. 800

menos 50

400

2) ¿Cómo registrarás los resultados? En

UNA TABLA O

en un

DIAGRAMA

de

ÁR bol.

1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver el problema. Se diseñó un experimento y se hizo un DIAGRAMA que reprESENTABA

LA SITUACIÓN.

4) Si se desea ser justo y se quiere que el número de personas que llegan a cada puerta de acceso sea, aproximadamente, el mismo, ¿cuál de las tres disposiciones elegirías? Explica.

2) ¿Cómo cambiarían tus respuestas si el plano fuera como el de la figura 1? Por

LAS

4 puer TAS

SALEN

200 per SONAS.

3) ¿Cómo cambiarían tus respuestas si el plano fuera como el de la figura 2? Por LA puer TA UBICADA A perSONAS y por LAS OTRAS

120

Resolvamos 1

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400 UNA.

NUESTRA IZQUIERDA SALEN SALEN

200 por

CADA

MD

ELEGIRÍA LA perSONAS.

FIGURA

1, porque por

TODAS LAS

puer TAS

SALEN

200

182

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La carrera enredada Carlos compró un juego en la librería. Al abrirlo, encontró las instrucciones.

LA CARRERA ENREDADA N.° de jugadores: 2 Materiales: 1 tablero, 2 dados, 1 ficha verde y 1 ficha azul. Instrucciones: Cada jugador, al llegar su turno, lanzará uno de los dados. Después de ver el resultado, deberá decidir si avanza las casillas que indica el dado lanzado o si tira el otro. Si decide esto último, deberá lanzar el segundo dado, y si el valor de este es mayor que el anterior, avanzará la suma de los dos; pero si no, entonces deberá retroceder lo marcado en el último lanzamiento. Gana el primero que llegue a la meta.

Con tus compañeros, investiguen este juego resolviendo las siguientes incógnitas: 1) Si al lanzar el primer dado les toca 1, ¿elegirán lanzar el segundo? Expliquen. Sí, porque es muy PROBABLE obtener un número que 1 en el segundo tiro y poder AVANZAR MÁS.

MAYOR

2) Si al lanzar el primer dado les toca 6, ¿elegirán lanzar el segundo? Expliquen. No, porque es imposible

SACAR

un número

MAYOR

que 6.

3) Si al lanzar el primer dado les toca 3, ¿elegirán lanzar el segundo? Expliquen.

6) Si se cambian las instrucciones, de modo que cada jugador pueda elegir lanzar una o dos veces, pero siempre los dos dados, ¿para qué números del primer lanzamiento conviene lanzar la segunda vez? Es

SIMILAR,

en este CASO, debo LANZAR de TODAS MANERAS LA SEGUNDA VEZ; sin EMBARgo, LAS PROBABILIDADES no CAMBIAN y conviene si en el primer tiro obtengo 1 o 2.

7) Hagan una lista de todos los posibles resultados. Organícenlos en este esquema. Dado 1

En este CASO, se tiene LA MISMA PROBABILIDAD de obtener un número MAYOR o lo CONTRARio, por lo que LA decisión debe ser ALEATORia.

1

Dado 2

1

4) ¿Cuándo es mejor lanzar el segundo dado? Explica. CUANDO en el primer LANZAMIENTO obtengo 1 o 2, pues es muy PROBABLE obtener un número MAYOR en el próximo LANZAMIENTO.

3

4

5

6

(1;3)

(1;4)

(1;5)

(1;6)

(2;3)

(2;4)

(2;5)

(2;6)

(3;4)

(3;5)

(3;6)

(4;5)

(4;6)

2 3 4

(5;6)

5 6

5) ¿Hay algún método para ganar con mayor facilidad? Si CONSIDERAMOS lo ANALIZADO en LAS ANTERiores

2 (1;2)

8) ¿Cuál es la probabilidad de lanzar el dado dos veces y avanzar en el tablero?

prEGUNTAS, LA PROBABILIDAD de GANAR SERÁ MAYOR.

Es 15/36 = 5/12.

¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el cálculo de probabilidades. Este concepto es muy útil para tomar decisiones basadas en riesgos calculados, entender juegos de azar y estudiar situaciones inciertas, entre otros.

Autoevaluación ¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?

Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.

Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.

MD

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183

En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.

Se debieron generar espacios de participación.

Manual para el docente

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Actividad

28

Jugando con el azar

ANTES DE INICIAR EL TALLER

Comente con sus estudiantes que, en la vida diaria, tenemos muchas veces que tomar decisiones sobre situaciones inciertas, sobre hechos de los que no estamos completamente seguros. Así, no podemos afirmar con certeza si el día de mañana lloverá, qué número será el ganador de una rifa o qué persona ganará en un juego de ludo. Todos estos casos se encuentran regidos por el azar; todos son sucesos llamados aleatorios. Sin embargo, los matemáticos se embarcaron a dominar el azar y lo lograron. En esta lección, estudiaremos cómo poder predecir, con cierta certeza, situaciones aleatorias. CAPACIDAD

Resuelve problemas que involucran el cálculo experimental de la probabilidad. CONOCIMIENTO PRINCIPAL

T1

Cálculo con fracciones Cálculo con decimales

Primos pero no parientes

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

T2

CONOCIMIENTOS RELACIONADOS

Probabilidad de Laplace

La tarea presenta una situación en el estudio de un juego de azar. En este caso, es un juego con dos dados de seis caras cada uno. Se trata de construir el mapa muestral de dicho juego. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que involucren elaborar mapas muestrales para el estudio de juegos de azar. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la diversidad de probabilidades que allí se plantean. Los estudiantes deben comprender cómo están diseñados los dados y el modo en que se obtiene el puntaje para el juego. Asimismo, se debe reflexionar acerca del tipo de matriz elegida para la construcción sistemática de un mapa muestral. En este caso, se propone particularizar la situación, elaborar una lista sistemática y calcular casos posibles. Los estudiantes pueden tener dificultades al calcular las probabilidades de los resultados que expresan condiciones numéricas, como mayor o igual o el múltiplo de. Hay que pedirles, primero, que hagan una lista de los posibles casos favorables para cada una de las preguntas formuladas.

La tómbola

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas Posibles propuestas dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

La tarea presenta el juego típico de una tómbola. Este tiene la variante de que para ganar debe pasar algo específico, tanto en la primera como en la segunda oportunidad que tiene el jugador. Debido a ello, las probabilidades que se calculen corresponden a eventos compuestos. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren analizar un juego de azar con probabilidades compuestas. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el cálculo del espacio muestral. Es conveniente experimentar lo que se quiere decir en la instrucción de las reglas. •Si en alguno de los dos tiros, o en los dos, el dardo cae en el color azul, pierdes. •Si en los tiros consecutivos el dardo cae en el color amarillo, ganas S/.2. •Si el dardo no se clava o cae sobre la línea, el tiro se repite. ¿Qué significa “alguno de los dos tiros o en los dos”?, ¿qué quiere decir “tiros consecutivos”? En este caso, se propone elaborar una tabla y realizar una lista de casos posibles. Los estudiantes pueden tener dificultades al calcular las probabilidades de dos eventos que se realizan uno a continuación del otro. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada y realizar las variantes del juego propuestas. Para aquellos estudiantes más avanzados, se puede proponer investigar, en la realidad, juegos de azar de estructura similar a la estudiada.

Resolvamos 1

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T3

Los talleres de fin de semana

Descripción de la actividad Intención pedagógica

¿A qué poner énfasis?

Estrategias heurísticas propuestas

Posibles dificultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia

T4

La tarea muestra la distribución de un grupo de estudiantes en tres talleres extracurriculares. Los estudiantes pueden estar en más de un taller. La información se presenta en forma de un diagrama de Venn. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren calcular probabilidades compuestas. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el caso de que alguien asista a dos talleres. Debe quedar claro que esto implica que el individuo puede asistir a los tres talleres. Los estudiantes deben notar la diferencia entre la probabilidad pedida y la probabilidad de asistir solamente a dos talleres. En el segundo caso, no se contabilizan los estudiantes que asisten a tres talleres. Se propone descomponer el problema en partes y usar el diagrama de Venn para interpretar las condiciones de la situación planteada. Los estudiantes pueden tener dificultades al comprender lo que les piden. Como ya se dijo, deben notar que en la probabilidad solicitada se debe contar también a aquellos que asisten a más de dos talleres. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia utilizada. Luego, emplear el diagrama para hacer otros cálculos de probabilidades. Es interesante reflexionar acerca de las ventajas de tener la información presentada como un diagrama de Venn y no como una tabla.

El azar y las cifras

Descripción de la actividad

Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heurísticas propuestas Posibles dificultades

La tarea presenta un ejemplo típico de un experimento aleatorio. De una urna con bolas numeradas del 0 al 99, se trata de extraer al azar una bola y leer el número que en ella aparece. Dos amigos realizan la experiencia: Juan desea que el número que resulte no incluya la cifra 3 y María desea que no contenga la cifra 9. Se desea determinar quién tiene mayor probabilidad de lograr su objetivo. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren el cálculo de probabilidades en el contexto de un experimento aleatorio típico. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la determinación de todos los posibles casos que incluyan realmente a la cifra 3 y, de forma similar, a la cifra 9. Por otro lado, también se debe analizar cuidadosamente cuando se quiera extrapolar a otras cifras. En este caso, se propone elaborar una lista sistemática de las posibilidades que se presentan para cada cifra. Los estudiantes pueden tener dificultades en la consideración de todas las posibilidades que contempla cada uno de estos casos. La experiencia de esta actividad les ayudará a clarificar estos conceptos. Para aquellos estudiantes más avanzados, se puede proponer que usen esta misma actividad con un número mayor de bolas numeradas.

Más allá del problema

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Manual para el docente

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28 Primos pero no parientes Jaime y Claudia se han hecho unos dados especiales con dos cubitos de madera de 10 cm de arista. Ellos numeran cada dado con los 6 primeros números primos. El juego consiste en lanzar los dados por turno y sumar los puntos. Quien obtenga mayor puntaje ganará. Ambos están creando el mapa muestral para poder investigar el juego. Completa el tablero adjunto para ayudarlos.

1) ¿Qué es un mapa muestral?

LA

es de 1/36.

SALGA

PROBABILIDAD

4

5

7

9

13

15

3

5

6

8

10

13

16

5

7

8

10

12

16

18

7

8

10

12

14

18

20

11

13

14

16

28

22

24

13

15

16

18

20

24

26

PROBABILIDAD

de que

SALGA

un múltiplo de 9 es 1/6.

11) ¿De que salga un múltiplo de 5?

11 es

LA PROBABILIDAD de que 2/9.

NULA.

LA SUMA SEA

múltiplo de 5 es

12) ¿De que la suma sea menor o igual a 7?

6) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar? LA

2

LA PROBABILIDAD de que LA SUMA SEA MAYOR A 22 es 1/12.

es de 4/36 = 1/9. que

13

10) ¿De que la suma sea mayor a 22?

5) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma salga 11? PROBABILIDAD

11

9) ¿De que salga un múltiplo de 9?

4) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma salga 16?

LA

7

LA PROBABILIDAD de que SALGA un múltiplo de 10 es 5/36.

3) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma salga 6?

PROBABILIDAD

5

8) ¿De que salga un múltiplo de 10?

Los seis primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11,13.

LA

3

LA PROBABILIDAD que SALGA un número CUADRADO es 7/36.

2) ¿Cuáles son los seis primeros números primos?

PROBABILIDAD

2

7) ¿Y de que salga un número cuadrado?

Un MAPA MUESTRAL es un ESQUEMA donde podemos obser VAR todos los posibles eventos de un suceso.

LA

+

LA PROBABILIDAD de que es 1/6.

es de 10/36 = 5/18.

LA SUMA SEA

menor o

IGUAL A

7

13) Tacha cada respuesta en esta cuadrícula. Con las letras que queden, puedes formar el nombre de un famoso matemático que hizo grandes aportes a la teoría de la probabilidad.

5/18 P 7/36 L 11/16 O

1/2 A 2/3 A 5/36 A

7/18 M 7/9 I

1/3 B

1/7 R

5/12 D 1/36 P

1/12 A 6/9 V

31/36 A

0 L

19/36 H

2/9 R

4/9 E

1/9 D

1/6 R

17/36 R

7/12 M 5/6 E

ABRAHAM de Moivre 14) (1667-1754) nació en Francia y vivió la mayor parte de su vida en Londres. Su libro Doctrina de las casualidades es considerado un clásico en el campo de la probabilidad.

15) ¿Qué números tienen mayores probabilidades de salir? Los números que tienen

122

Resolvamos 1

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MAYORes PROBABILIDADES

de

SALIR

son 16 y 18.

MD

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La tómbola En las ferias siempre hay juegos novedosos e interesantes. Sin embargo, debes tener cuidado y ver si el juego que te ofrecen es justo o no. Uno de ellos consiste en lanzar dardos a un disco como el que se muestra, el cual da vueltas a gran velocidad. El boleto cuesta S/.1 y te da derecho a tirar dos dardos, uno después del otro. Las reglas del juego son las siguientes: • Si en alguno de los dos tiros o en los dos el dardo cae en el color azul, pierdes. • Si en los tiros consecutivos el dardo cae en el color amarillo, ganas S/.2. • Si el dardo no se clava o cae sobre la línea, el tiro se repite. ¿Te conviene jugar?

1) Explica, con tus propias palabras, cómo se juega. PARAFraseo del

ESTUDIANTE.

un disco que

GIRA A GRAN VELOCIDAD.

4) ¿Cuándo pierdes? CUANDO en ALGUNO o en los dos tiros el

DARDO CAE

en el color

AZUL.

5) ¿Cuándo ganas? CUANDO en los dos tiros el DARDO CAE en

Con un

o no.

LA

es ¼.

2) ¿Con qué resultados ganas? CUANDO los dos tiros

CAEN

en

CONSIDERA

AMARillo.

3) ¿Con qué resultados pierdes?

Se pierde CUANDO por lo menos 1 tiro rESULTADOS posibles).

CAE

MAPA MUESTRAL.

4) ¿Cuál es la probabilidad de que ganes?

1) ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de esos resultados? PROBABILIDAD

se

6) ¿Cómo enumeras todos los casos de este juego?

Completa el cuadro siguiente (mapa muestral): LA

AZUL; LA POSIBILIDAD de CAER en UNA muy poco PROBABLE.

AZUL, AMARillo; AZUL, AZUL. RAYA

JUGAR

AZUL.

5) ¿Y en los dos tiros? AMARillo, AMARillo; AMARillo,

el color AMARillo.

¿Cuánto ganas? GANO S/.2. 6) ¿Qué es lo que se debe decidir?

ALEATORio.

3) A partir de las superficies pintadas, ¿puedes decir qué probabilidad hay de que el dardo caiga sobre el color amarillo? Sí, LA PROBABILIDAD es 2/4 = 0,5 ¿Y sobre el azul? Es LA MISMA PROBABILIDAD de 0,5. 4) ¿Qué resultados son posibles en un tiro que cae en el disco? AMARillo y

¿Cuánto pierdes? Se pierde S/.1

Si es conveniente

Amarillo

Sí, es un experimento

S/.1.

3) ¿Qué haces para jugar? DARDOS A

Azul

2) ¿Se trata de un experimento aleatorio?

PARA JUGAR CUESTA

LANZAR dos

Azul

1) ¿Puedes saber, de antemano, en qué sector va a caer tu dardo? No se puede SABER.

2) ¿Cuánto cuesta jugar? El boleto

Amarillo

en el

AZUL

(3

PROBABILIDAD

de

GANAR

1.er tiro

2.o tiro

Amarillo

Azul

Amarillo

Amarillo

Azul

Amarillo

Azul

Azul

es ¼. Ganas

Pierdes

5) ¿Es justo el juego? No, LA PROBABILIDAD de GANAR es LA TERCERA PARte

que

LA

de perder.

1) Describe la estrategia que te sirvió para resolver el problema. Construir UNA TABLA CON todos los rESULTADOS posibles. 2) Si el disco hubiese estado dividido mediante un diámetro en dos sectores: uno amarillo y otro azul, ¿se modificarían tus respuestas? LAS PROBABILIDADES son LAS MISMAS, pues LA POSIBILIDAD de GANAR el juego depende de LAS rEGLAS del juego. 3) ¿Cómo redactarías las reglas para que el juego sea justo? Si en el primer tiro obtienes AZUL y en el segundo obtienes AMARillo, GANAS

color,

GANAS

el juego; y si es

S/.2. Si el

DARDO

A LA

no se

inverSA, pierdes el juego. Si en los tiros consecutivos el

CLAVA O CAE

sobre

LA LÍNEA,

MD

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el tiro se repite.

187

DARDO CAE

en el mismo

Manual para el docente

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Los talleres de fin de semana

U A

El diagrama de Venn que presentamos muestra la distribución de todos los estudiantes del colegio San Jacinto en tres talleres de fin de semana, que son:

B 54

31

48

25 38

Taller A: Ajedrez Taller B: Atletismo Taller C: Danzas típicas

37 20 32

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante asista solamente a dos talleres?

1) ¿Cuántos talleres hay? Existen 3

TALLERes.

1) ¿Cuándo la probabilidad de un evento es cero? CUANDO no existe ocurRA.

2) ¿Qué representa el diagrama? LA distribución de los ESTUDIANTES del colegio SAN JACINTO en tres TALLERes de fin de SEMANA. ESTUDIANTES

que

ASISTEN A

los tres

TALLERes.

4) ¿Qué representa el 32 fuera de los círculos? El número de

ESTUDIANTES

que no

ASISTEN A

los

TALLERes.

5) ¿Qué es lo que te piden averiguar? LA

PROBABILIDAD

TALLERes.

de que un

ESTUDIANTE ASISTA A

NINGUNA OPCIÓN

de que el evento

2) ¿Cuándo la probabilidad de un evento es 1?

3) ¿Qué representa el número 25 al centro? El número de

C

CUANDO el evento ocurrIRÁ

CON TODA

segurIDAD.

3) ¿Qué quiere decir que la probabilidad de un evento es 4/5? ¿Qué tan probable es este evento? Quiere decir que de 5 CASOS PARA un evento, 4 de ellos son FAVORABLES. Entonces, este evento es muy PROBABLE.

4) ¿Cómo se define la probabilidad de un evento?

dos

LA PROBABILIDAD de un evento se define como LA RAZÓN entre el número de CASOS fAVORABLES y el número de CASOS posibles.

5) Completa la siguiente fórmula: P(A) = ( N.° casos

Completa, según corresponda: 1) Hay que contar los casos fAVORABLES y los casos posibles, y luego aplicar la fórmula de PROBABILIDAD. 2) ¿Cuántos estudiantes van al colegio? 285

ESTUDIANTES VAN AL

106

ESTUDIANTES VAN A

LA

fue interprETAR el fórMULA.

ESTRATEGIA

APLICAR UNA

DIAGRAMA

de Venn y

LA PROBABILIDAD de que un dos TALLERes es 106/285.

ESTUDIANTE ASISTA SOLAMENTE A

3) ¿Cuál es la probabilidad de que asista solamente al taller de ajedrez?

PROBABILIDAD

124

Resolvamos 1

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dos

de que un

TALLERes

MD

ESTUDIANTE

que

es 131/285 = 0,46.

PROBABILIDAD

VA AL

colegio

es de 85/285.

5) ¿Cuál es la probabilidad de que no asista a los talleres de danza y atletismo? LA

PROBABILIDAD

es de 86/285.

6) ¿Qué es más probable: que un estudiante asista a ajedrez o que asista a danza? Es

MÁS PROBABLE

que un

(148/285) = 0,52, que

Es 54/285.

TALLERes.

4) ¿Cuál es la probabilidad de que asista al taller de ajedrez, pero no al de danzas? LA

2) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante asista solamente a dos talleres?

dos

4) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que va al colegio asista a dos talleres? ASISTA A

1) Describe la estrategia que te sirvió para resolver el problema.

) / ( N.° casos posibles )

3) ¿Cuántos estudiantes van a dos talleres?

LA

colegio.

FAVORABLES

ESTUDIANTE ASISTA A AJEDRez A DANZA

(120/285) = 0,42.

188

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El azar y las cifras En una urna hay bolas numeradas del 0 al 99; es decir: 0, 1, 2,… hasta 99. Juan y María realizan la experiencia de extraer al azar una bola y leer el número que en ella aparece. Juan desea que el número que resulte no incluya la cifra 3, mientras que María desea que el número que resulte no incluya la cifra 9. ¿Cuál de ellos tiene mayor probabilidad de lograr su objetivo?

Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema: 1) ¿Cuántas bolas hay en la urna? HAY 100

BOLAS

(99

8) Comparen sus respuestas a las preguntas 6 y 7, ¿quién tiene la mayor probabilidad?

BOLAS MÁS LA BOLA CERO).

En

2) ¿Cuál es la acción que depende del azar? LA

EXTRACCIÓN

de

UNA BOLA.

PROBABILIDAD

3) Determinen el espacio muestral y cuenten sus elementos. El

ESPACIO MUESTRAL

es { 0, 1, 2, 3, 4, … ,99 }

4) Escriban los números que incluyen la cifra 3 y cuéntenlos. 3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 43, 53, 63, 73, 83, 93 ... Son 19 números.

incluyen

LA CIFRA

100 3.

BOLAS,

LOGRAR

LA

prEGUNTA 7, P

Ambos tienen

IGUAL

su objetivo.

P(MARÍA) = 81/100

No, porque no

DESEABA

AMBOS DESCARTABAN

el 3 y MARÍA no

cifRAS

QUERÍA

DISTINTAS.

el 9.

JUAN

10) Se aproxima Pedro, un amigo de Juan y María, y opta por escoger una cifra distinta. Su objetivo es que no aparezca dicha cifra, ¿tendrá mejor suerte que Juan o María? Expliquen.

5) ¿Cuántas bolas de la urna no incluyen la cifra 3? HAY

de

IGUALES.

9) Reflexionen sobre su respuesta a la pregunta 8. ¿Era previsible dicho resultado?

Tiene 100 elementos.

Puesto que

prEGUNTA 6, P = 81/100 y en

LA

= 81/100. LAS dos son

100 – 19 = 81 no

No,

PARA CUALQUIER OTRA CIFRA,

SALVO

que Pedro

90/100

6) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan logre su objetivo?

MAYOR

ELIJA

que

el cero,

rESULTARÁ lo mismo; CUYA PROBABILIDAD

LAS OTRAS.

es de

P(JUAN) = 81/100

7) De modo similar, calculen la probabilidad de que María logre su objetivo. LA

CIFRA

9

APARece

en los números 9, 19, 29, 39, 49,

59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98 y 99, es decir, en 19 números y no APARece en los DEMÁS,

o

SEA,

en 81.

P(MARÍA) = 81/100 ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el cálculo de probabilidades. Este concepto se aplica para estudiar situaciones de incertidumbre. Ayuda a tomar decisiones razonadas y a planificar de manera objetiva.

Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?

Muy interesantes.

Interesantes.

MD

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189

Poco interesantes.

Nada interesantes.

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Bibliografía comentada Burton, L.; Mason J.; Stacey K. (1984). Pensar matemáticamente. Barcelona: Editorial Labor. Libro lleno de ejemplos de problemas y formas de resolverlos utilizando procesos de pensamiento plausible. Cooney T. Davis E., Henderson K. (1975). Dinámica de la enseñanza de la matemática en secundaria. Illinois: Hougthon Mifflin Company. Buenos tips y estrategias metodológicas para las fases de resolución de problemas presentadas aquí. De Guzmán M. (1988). Para pensar mejor. Barcelona: Editorial Labor. único libro sobre heurística del gran matemático y educador español; contiene numerosos ejemplos de protocolos heurísticos. Gardner, M. (1988). Matemática para divertirse. Barcelona: Ediciones Granica. El más grande divulgador de las matemáticas en el siglo XX; reúne, en este interesante texto, diversos casos de aritmética, geometría, lógica y juegos de estrategia, que desarrollarán las habilidades de detectives matemáticos de los estudiantes. Johnson D. y Johnson R. (1999). El aprendizaje cooperativo en el aula. Buenos Aires: Paidos. Libro fundamental para empezar a trabajar adecuadamente el aprendizaje cooperativo en el aula. Paenza, A. (2003). Matemática… ¿Estás ahí? Buenos Aires: Editorial Siglo XXI. Un maravilloso libro sobre el arte de resolver problemas, con aplicaciones a la ciencia y notas históricas. Altamente recomendable. Perelman Y. (1968). Matemática Recreativa. Barcelona: Editorial Martínez Roca. Este libro presenta diversos problemas, juegos yenigmas que divertirán a los estudiantes y en los que podrán poner en práctica los métodos aprendidos en el Cuaderno de trabajo. Perelman, Y. (1956). Álgebra Recreativa. Moscú: Editorial MIR. Aquí encontrará varios enigmas y aplicaciones del álgebra a situaciones cotidianas y otras, que despertará la curiosidad de los estudiantes por investigar el mundo de las ecuaciones. Polya, G. (1956). Cómo plantear y resolver problemas. México: Editorial Trillas. Libro fundamental para entender la heurística y desarrollar una didáctica de la matemática acorde a ella. Polya,G.(1966). Matemáticas y razonamiento plausible. Madrid: Editorial Tecnos. Exploración guiada acerca de los razonamientos y heurísticas utilizadas por matemáticos para resolver problemas diversos. Santos Trigo, M. (1996). Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Marco teórico de la didáctica y de la evaluación para incorporar la actividad de resolución de problemas en el aula. Smullyann, R. (1988). ¿Cómo se llama este libro? Madrid: Ediciones Cátedra. Este pequeño libro contiene muchos interesantes acertijos de lógica, presentados como si fueran cuentos. Realmente, muy entretenido. Resolvamos 1

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Enlaces web Eveilleau, T. (2009). Matemáticas mágicas. Recuperado el 15 de noviembre de 2011, http://descartes.cnice.mec.es/matemagicas/index.htm Hernández Nebra, A. (2009). Matemagia – Gran Alexander. Recuperado el 15 de noviembre de 2011, http://www.unizar.es/ttm/2009-10/Matemagia09.pdf Instituto Nacional de Evaluación y Calidad del Sistema Educativo (INECSE). (2005). PISA 2003. Pruebas de Matemáticas y Solución de Problemas. Recuperado el 15 de noviembre de 2011, http://www.educacion.gob.es/dctm/ievaluacion/internacional/ pisa2003liberados.pdf?documentId=0901e72b801106c6 Este sitio presenta preguntas relacionadas con el día a día, que ayudarán a los estudiantes a razonar con números en situaciones cotidianas, la mayoría de las cuales presentan soluciones. Matemáticas para todos. 20 en mate. Recuperado el 15 de noviembre de 2011, http://www.20enmate.com/ La única página peruana diseñada para aprender matemática; consta de animaciones para comprender los conceptos, así como problemas incompletos y juegos interactivos de cálculo. Cuenta también con un banco de evaluaciones cuya resolución permitirá acceder a más puertas de esta página. Muñoz Santonja, J. (2004). Una matemática motivadora: la matemagia. Recuperado el 15 de noviembre de 2011, http://thales.cica.es/~estalmat/Actividades-ejemplos/ MatemagiaEstalmat.pdf Estas páginas introducen a la exploración del misterioso mundo de la magia matemática. National Council of Teachers of Mathematics. Recuperado el 20 de mayo de 2012, www.nctm.org Este sitio ofrece numeroso material didáctico, animaciones, applets, laboratorios y los estándares curriculares y de evaluación. Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Examen Canguro Matemático Mexicano. Recuperado el 15 de noviembre de 2011, http://canguro.deltagauge.info/ Aquí se encuentran las evaluaciones de las famosas “Olimpiadas Canguro”, también están sus solucionarios. Hay problemas muy interesantes de todas las áreas de la Matemática. The Cooperative Learning Institute. Recuperado el 20 de mayo de 2012, www. co-operation.org Este sitio provee teoría y práctica acerca de las técnicas y principios del aprendizaje cooperativo.

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