Repaso De Matematicas

Relaciones matem´aticas usadas con frecuencia en la asignatura Fundamentos de Qu´ımica Cu´antica

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1. Relaciones matem´aticas usadas con frecuencia en la asignatura Fundamentos de Qu´ımica Cu´antica 1.1.

Relaciones trigonom´etricas:

En esta secci´on veremos algunas de las relaciones trigonom´etricas m´as utilizadas. As´ı, empezaremos con el seno y el coseno de la suma y diferencia. Para ello consideraremos dos vectores inscritos en el circulo unidad, tal y como se muestra en la figura. As´ı, ambos vectores se pueden expresar en t´erminos de los vectores unitarios ~a ~b

= cos α ~ux + sen α ~uy = cos β ~ux + sen β ~uy

As´ı, el producto escalar de ambos vectores es: (1)

~a · ~b = |~a| |~b| cos (α − β) = cos α cos β + sen α sen β

y donde los dos u´ ltimos t´erminos nos relacionan el coseno de la diferencia con la funciones trigonom e´ tricas habituales (teniendo en cuenta que el mo´ dulo de los vectores es 1). →

M

a

→

b

α

β

α

α+π/2

α

UA

-α

Para obtener la relaci´on correspondiente para el coseno de la suma, solamente tenemos que cambiar α por −α, y tener en cuenta que, de acuerdo con la figura 2, sen (−α) = − sen α y cos (−α) = cos α. As´ı cos (α + β) = cos α cos β − sen α sen β

(2)

Para el caso del seno, tenemos que sustituir α por α + π/2. As´ı, teniendo en cuenta que sen (α + π/2) = cos α y que cos (α + π/2) = − sen α, obtenemos sen (α + β) = sen (α − β) =

sen α cos β + cos α sen β sen α cos β − cos α sen β

(3) (4)

A partir de estas relaciones podemos obtener las expresiones para el seno y el coseno del a´ ngulo doble. Si consideramos α = β, tenemos: sen 2α cos 2α

= =

(5) (6)

2 sen α cos α cos2 α − sen2 α

Otra relaci´on interesante se obtiene si hacemos α = β en la ecuaci o´ n 1. Como cos 0 = 1 (7)

1 = cos2 α + sen2 α.

1.2.

Integrales

Estas relaciones trigonom´etricas se pueden utilizar para realizar integrales de funciones trigonom e´ tricas: As´ı, a partir de las relaciones anteriores podemos obtener

Restando 13 de febrero de 2007

sen2 α − sen2 α 2 sen2 α

+ cos2 α + cos2 α

= = =

1 cos 2α 1 − cos 2α

Departamento de Qu´ımica F´ısica Aplicada. A. Aguado y J. San Fabi´an. UAM.

(8)

1.3 Integraci´on por partes

2

Expresi´on que utilizaremos para calcular la siguiente integral:   Z Z 1 1 1 2 sen x dx = (1 − cos 2x) dx = x − sen 2x + C 2 2 2

(9)

Donde C es una constante de integracio´ n. Otra relaci´on trigonom´etrica que usaremos es: sen 2x = 2 sen x cos x

(10)

nos permitir´a calcular la integral Z

sen x cos x dx =

1 2

Z

1 sen 2x dx = − cos 2x + C 4

Ejercicio: Algunas integrales que necesitamos evaluar son del tipo Z a nπx mπx sen sen dx con n y m enteros, n 6= m a a 0

(11)

(12)

Si restamos la ecuaci´on (2) de la (1), tenemos

M

2 sen α sen β = cos (α − β) − cos (α + β)

Sustituyendo en la integral Z a mπx nπx sen dx = sen a a 0

 Z  (n − m)πx 1 a (n + m)πx cos − cos dx 2 0 a a  a (n − m)πx a (n + m)πx a 1 sen − sen 2 (n − m)π a (n + m)π a 0 a a [sen(n − m)π − sen 0] − [sen(n + m)π − sen 0] 2(n − m)π 2(n + m)π 0

UA

=

=

=

1.3.

(13)

Integraci´on por partes

Para la integraci´on por partes necesitamos obtener la diferencial del producto de dos funciones d(u · v) = v du + u dv. Despejando u dv e integrando se obtiene Z Z u dv = u · v −

v du

(14)

La integraci´on por partes se puede utilizar para integrales de polinomios multiplicados por funciones trigonom e´ tricas o por funciones exponenciales. Por ejemplo, Z Z Z 1 x2 1 x sen2 x dx = x (1 − cos 2x) dx = x cos 2x dx (15) − 2 4 2 si u = x =⇒ du = dx y dv = cos 2x dx =⇒ v = =

1 x2 − x sen 2x + 4 4

Ejercicio: Calcula la integral definida

Z

1 2

sen 2x

x2 1 1 1 sen 2x dx = − x sen 2x − cos 2x + C 4 4 4 8

(16)

Z

(17)

a

x sen2

0

 nπx  a

dx

Tambi´en podemos obtener integrales del tipo In =

13 de febrero de 2007

Z

xn e−αx dx

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(18)

1.4 N´umeros Complejos

3

Utilizaremos la integracio´ n por partes, con u = xn , dv = e−αx dx. De aqu´ı se obtiene du = nxn−1 , v = − α1 e−αx Z xn n In = − e−αx + xn−1 e−αx dx α α xn n = − e−αx + In−1 α α R Relaci´on de recurrencia que se puede utilizar para obtener I n a partir de I0 = e−αx dx = − α1 e−αx + C As´ı, por ejemplo

x 1 x1 −αx 1 e + I0 = − e−αx − 2 e−αx + C α α α α

(19)

x2 −αx 2 2 x2 2x e + I1 = − e−αx − 2 e−αx − 3 e−αx + C α α α α α

(20)

I1 = − I2 = −

Ejercicio: Calcular la integral definida

Z

Soluci´on:

Como I0 =

R∞ 0

∞

n −αx

x e

0



xn dx = − e−αx α

∞

+

0

∞  e−αx dx = − α1 e−αx 0 = In =

es decir,

n α

Z

∞

xn−1 e−αx dx =

0

n α

Z

∞

xn−1 e−αx dx =

0

n In−1 α

(22)

1 α

n! nn−1 nn−1 1 n! n In−1 = In−2 = ... I0 = n I0 = n+1 α α α α α α α α Z

∞

xn e−αx dx =

UA 1.4.

(21)

xn e−αx dx

0

M

In =

Z

∞

0

n!

αn+1

(23)

(24)

´ Numeros Complejos

√ Sea z = a + bi un n´umero complejo, donde i = −1 y a y b son n´umeros reales que representan la parte real, a = Re(z), e imaginaria, b = Im(z). En la siguiente figura mostramos la representaci o´ n vectorial del n´umero complejo (r representa el m´odulo o valor absoluto |z| y θ el argumento o fase del n u´ mero complejo, normalmente definido entre 0 y 2π) z

b

r

θ

a a

-θ r -b

z*

que nos permite representarlo en la forma polar: z = r cos θ + ir sen θ = reiθ

(25)

para la cual se ha utilizado la relacio´ n de Euler eiθ = cos θ + i sen θ

(26)

Para obtener el m´odulo del complejo es interesante introducir el complejo conjugado z ∗ , que se obtiene de z cambiando i por −i (o lo que es lo mismo, θ por −θ en la forma polar) z ∗ = a − bi = r cos θ − ir sen θ = re−iθ

13 de febrero de 2007

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(27)

1.4 N´umeros Complejos

4

As´ı, el m´odulo de z se puede obtener multiplicando z por su complejo conjugado z ∗ , teniendo en cuenta que i2 = −1 zz ∗ = (a + bi)(a − bi) = a2 + abi − abi − b2 i2 = a2 + b2

(28)

zz ∗ = (reiθ ) (re−iθ ) = r 2 eiθ−iθ = r2

(29)

o en la forma polar de donde |z| = r =

√

a2 + b 2 .

El complejo conjugado se utiliza en muchas de las operaciones entre complejos. As´ı, por ejemplo, para obtener la inversa de z 1 z∗ z∗ a − bi e−iθ 1 = = 2 = 2 = (30) ∗ 2 z zz |z| a +b r Ejercicio: Obtener las ra´ıces n-esimas de la unidad. Teniendo en cuenta que las potencias de un n u´ mero complejo z = rei(θ+2kπ) se pueden obtener como z n = rn ein(θ+2kπ) , entonces las ra´ıces se obtienen como √ θ+2kπ 1 1 n z = z n = r n ei n ,

k = 0, 1, 2, ..., n − 1,

donde se utiliza el√hecho de que la fase puede variar en m u´ ltiplos de 2π. As´ı, por ejemplo, para el caso de la unidad, z = 1 = ei2kπ , y n 1 = ei2kπ/n , con k = 0, 1, 2, ..., n − 1.

2π/3

UA

4π/3

M

En la siguiente figura representamos las ra´ıces c´ubicas de 1, que corresponden con e0 = 1, ei2π/3 y ei4π/3 .

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