Quat Analysis

© M.Parfenov 2007 Zur Quaternionenanalysis : Differenzierbarkeit

Michael Parfenov

Zur quaternionischen Differenzierbarkeitsdefinition Vorwort : Konzeptionen Eine eingehende Motivation der unten dargelegten Fragestellung und entwickelten Theorie findet sich im Prolog zur Website www.4-1dimwelt-mwparf.de. In der geht es eigentlich um eine prinzipielle Unzweckmäßigkeit, eine im Komplexen geltende Form der Differenzierbarkeitsdefinition weiter im Quaternionischen auszuschließen, da jeder Punkt des Raums im gleichen Grade und gleichzeitig ein Punkt einer Ebene auch ist. Für "ein und denselben Punkt" soll die Grundlage der Formulierung sowohl im Komplexen, als auch im Quaternionischen gleich sein, sonst wird die Objektivität verletzt. Aus diesem Grund werden die Ableitungen im quaternionischen Raum genauso wie in der komplexen Ebene durch Grenzwerte der Differenzenquotienten im weiteren definiert. Dies ist die erste Forderung des erweiterten Permanenzprinzips, das eine Ähnlichkeit der Darstellungsformen für Variablen, Differentialoperatoren und Gleichungen im komplexen und quaternionischen Analysis hauptsächlich auf Grund des "Verdopplungsformalismus" (Caylay-Dickson-Verfahren) festlegt. Dieses Prinzip fordert auch das Folgende: Resultiert aus dem mathematischen Apparat der komplexen Analysis eine adäquate Beschreibung physikalischer Felder in der Ebene, so sollte die Quaternionenanalysis auch eine adäquate Beschreibung der räumlichen Felder verwirklichen. In diesem Zusammenhang sei daran erinnert, dass in solch einem Bereich, wie Funktionentheorie, spielten anfänglich physikalische Fragestellungen eine wichtige Rolle. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen finden sich z. B. schon 1752 bei D'Alembert in seiner Strömungslehre ([8], S. 40 ) . Ohne Grenzwerte der Differenzenquotienten kann man nicht ein physikalisches Feld, z. B. ein elektrostatisches Feld, als lokale Raumdeformationen (ein gespannter Raum) darstellen. Das Feld im Raum kann nicht zwei Feldstärkevektoren, d.h. zwei durch Differenzenquotienten definierte Ableitungswerte in einem Punkt haben. Deswegen muss eine linksseitige Ableitung der entsprechenden rechtsseitigen im Quaternionischen gleich sein. Diese auf den ersten Blick extreme Forderung ist aber nicht eine freie Voraussetzung, sondern ein erzwungener Schritt und dabei ein produktiver Schritt. Er bewirkt (diese Erklärung folgt aus einer grundlegenden Konzeption des Buches [7 ], S. 98) eine Reduzierung der quaternionischen Dimension (den Übergang zu 4-1, d.h. 3 Dimensionen) und folglich ein weniger restriktives System der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und eine entsprechende Vielfalt holomorpher Funktionen im Vergleich zum maximal restriktiven System, das im "streng" 4-dimensionalen Quaternionischen existiert und das mehr als "enthaltsame" Mejlikhzhons Resultat zu Folge hat. Dieser Zugang verneint nicht das Mejlikhzhons Resultat, er entgeht gerechtfertigt seinem Geltungsbereich und führt auf eine reellere Verallgemeinerung der komplexen Differenzierbarkeitsdefinition auf Grund der Grenzwerte der Differenzenquotienten.

1. Grundlegende Rolle des erweiterten Permanenzprinzips Jeder, der die Theorie der stationären Felder, zum Beispiel, des elektrostatischen Feldes oder des Feldes der Flüssigkeitsströmung [ 6 ] erlernte, wunderte sich darüber, wie elegant und einfach mathematische Theorie der analytischen Funktionen (Funktionentheorie) einer komplexen Variablen eine physikalische Realität der zweidimensionalen Felder beschreibt. Es gibt, im Prinzip, keine ernsten Gründe , eine Möglichkeit der Existenz des gleichartigen mächtigen mathematischen Apparats für Felder in dreidimensionalem Raum auszuschliessen , weil ein Raum aus "Bestandteilen" - Ebenen besteht. Ziemlich augenscheinlich ist dabei, dass alle Prinzipien und Formeln solcher Funktionentheorie im Raum (Quaternionenanalysis) mit entsprechenden Prinzipien und Formeln der existierenden Funktionentheorie einer komplexen Variablen in der Ebene ähnlich (isomorph ) sein müssen, zumal solche Ähnlichkeit zwischen jeder Ebene und ihren

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Bestandteilen - Geraden schon existiert. So, zum Beispiel, ist bekannt ([ 5 ],S.353) , daß jede analytische Funktion einer komplexen Variablen z = x + iy ein entsprechendes zweidimensionales elektrostatisches Feld darstellt und man solche Funktion erzeugt, wenn man eine differenzierbare Funktion f(x) einer reellen Variablen x betrachtet und dann eine komplexe Variable z = x + iy statt x hineinführt. Beispielsweise sind Funktionen sin(x+iy), exp (x+iy), (x+iy), (x+iy)-1, (x+iy)2,(x+iy)3 analytisch in allen Punkten z, wo sie nicht gegen Unendlich gehen. Hingegen, gibt es, leider, in vorliegenden zahlreichen Arbeiten (siehe z.B. Übersichten in [ 4 , 7 ]), die Verallgemeinerungen der Funktionentheorie auf den Fall der Quaternionen ( Quaternionenanalysis ) darlegen, weder den ähnlichen einfachen Algorithmus und die der physikalischen Realität adäquate quaternionische Differenzierbarkeitsdefinition, noch in vollem Maße Ideen der "isomorphen" Verallgemeinerung der Funktionentheorie ("isomorpher" Quaternionenanalysis), die ein erweitertes Permanenzprinzip ([ 2 ],S.156) in diesem Falle ausdrücken. Nämlich im Sinne der Ähnlichkeit der Formeln für Variablen und Differentialoperatoren verstehen wir weiter den Begriff "erweitertes Permanenzprinzip". Eine grundlegende Rolle spielt dabei die Darstellung von Variablen und Differentialoperatoren in der sog. verdoppelten Form (Caylay-DicksonVerfahren). Zum Ziel hat diese Arbeit eine Beseitigung von angegebener Lücke. Da wir vor allem prinzipielle Fragen betrachten möchten, werden wir im Rahmen dieses Artikels einige Fälle nicht detaillieren. 2. Ausgangsbegriffe der Quaternionenanalysis Die erste Ausgangsposition besteht darin, dass die dreidimensionale Theorie ein stationäres Feld genau so wie die zweidimensionale nach dem erweiterten Permanenzprinzip beschreiben muss. Das stationäre Feld, im allgemeinen, kann man wie einen gespannten Zustand oder eine Deformation des Raumes vorstellen. Eine ähnliche Interpretation gilt in der komplexen Ebene. Den Grad dieser Deformation kann man als Verhältnis eines elementaren Abstands "dw" zweier naher Punkte im deformierten Raum zum entsprechenden Abstand "da" zweier derselben Punkte im Raum ohne Deformation beschreiben, d.h. als Quotient aus "dw da" . Daraus folgt, dass die für die Beschreibung der dreidimensionalen Felder passende, zu suchende Algebra eine normierte (mit euklidischem Längenmaß) und über eine algebraische Divisionsoperation verfügende Algebra sein muss. Nach dem Permanenzprinzprinz muss die zu suchende Algebra über ein Einselement verfügen, weil komplexe Zahlen über ein solches Einselement verfügen. Unter einem Einselement versteht man [ 1,2 ] ein Element 1 dieser Algebra, das die Bedingungen 1·a=a·1=a und a·a-1=a-1·a=1 erfüllt, wobei a ein beliebiges Element der Algebra ist und a-1 Inverses von a ( a 0 ) bezüglich der Multiplikation ist. Nach dem Satz von Hurwitz [ 1 ] ist jede normierte Algebra mit Einselement isomorph einer der vier Algebren: der reellen Zahlen (R), der komplexen Zahlen (C), der Quaternionen (H) oder der Oktaven (O). Diese Algebren sind Divisionsalgebren der Dimensionen 1,2,4, und 8 entsprechend. Daraus kann man sehen, dass zum unseren Zweck die Algebra der file:///C|/MP/FT_PDF/ft_gesamt.html (2 of 29)04.03.2008 20:44:05

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Dimension 4, d.h.die Algebra der Quaternionen H am besten passt, weil sie die nächste in dieser Folge zur Algebra komplexer Zahlen Algebra ist, die drei Dimensionen besitzt. Als eine andere Möglichkeit könnte Algebra der Oktaven betrachtet werden, aber wir wählen die einfachste aus. Hier muss betont werden, dass diese "vierdimensionale" Wahl notwendig ist, weil alle mögliche dreidimensionale Algebren keine eindeutige Divisionsoperation besitzen [ 1,2 ] und für sie diese Eindeutigkeit prinzipiell nicht erreichbar ist. Also, gehen wir jetzt zur kurzen Darlegung der einigen [ 1,2 ] Eigenschaften der Quaternionen über, die wir im folgenden benötigen. Quaternionen erhält man dadurch, dass zu den reellen Zahlen nicht nur eine (wie bei den komplexen Zahlen), sondern drei imaginäre Einheiten hinzugefügt werden, die man mit i, j, k bezeichnet. So wird jede Quaternion a in der Form (1)

a = x0 + x1i + x2j + x3k

dargestellt, wobei x0,x1,x2,x3 reelle Zahlen ( "räumliche Koordinaten" ) sind und für imaginäre Einheiten folgende Multiplikationsregeln (2)

i2 = j2 = k2 = ijk = - 1;

(3)

ij = - ji = k;

jk = - kj = i; ki = - ik = j

gelten. Die zu a konjugierte Quaternion den Ausdruck (4)

wird ähnlich den komplexen Zahlen (vgl. [ 6 ], S.2) durch

= x0 - x1i - x2j - x3k

definiert. In der komplexen Analyse gelten die entsprechenden Formeln : a = x0 + x1i und = x0 - x1i . Hier und im folgenden vergleichen wir quaternionische Formeln mit entsprechenden Formeln der komplexen Analyse , um die Gültigkeit des erweiterten Permanenzprinzips und folglich prinzipielle Möglichkeit der praktischen Anwendungen der vorgestellten Quaternionenanalysis zu betonen. Jede, von Null verschiedene Quaternion a hat eine inverse Quaternion a-1 , die der Bedingung a·a-1 = a-1·a =1 genügt mit (5)

a-1 =

( | a | )2 ,

wobei 1 das obige Einselement ist , der Absolutbetrag |a| der Quaternion a als

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(6)

|a|=

definiert wird und

hier und weiter eine Divisionsoperation bezeichnet.

Mit Ausnahme des Kommutativgesetzes der Multiplikation gelten für Quaternionen dieselben algebraischen Gesetze wie für komplexe Zahlen. In engem Zusammenhang mit dem erweiterten Permanenzprinzip steht, unserer Meinung nach, die Darstellung der Quaternionen in der sogenannten verdoppelten [ 1 ] Form, die wir weiter als Basis der isomorphen Verallgemeinerung der Differenzierbarkeitsdefinition benutzen. Es handelt sich darum, dass die Form (1) unter Benutzung i j = k, (siehe (3)), als eine folgende Form dargestellt werden kann : (7)

a = (x0 + x1 i) + (x2 + x3 i) j = z1 + z2 j ,

wobei z1= x0 + x1 i und z2 = x2 + x3 i als komplexe Zahlen betrachtet werden können. Anders gesagt, drückt die Formel (7) einen Verdopplungsprozess (sog. Caylay-DicksonVerfahren) der zweidimensionalen komplexen Zahlen aus, woraus sich die vierdimensionalen Quaternionen ergeben. Ebenso ergeben sich die komplexen Zahlen aus den reellen und Oktaven aus Quaternionen [ 1 ] , d.h. es gibt eine gemeinsame Formel der Darstellung der unabhängigen Variablen auf einer Gerade, in einer Ebene, in einem Raum, und zwar (8)

a = a1 + a 2 j ,

wobei a1, a2 reelle Zahlen sind, wenn a eine komplexe Zahl darstellt, und a1, a2 komplexe Zahlen sind, wenn a eine Quaternion darstellt usw. Ist b = b1 + b2j zweite, wie a beliebige, Quaternion, dann gelten folgende Regeln für Addition und Multiplikation : (9)

a + b = (a1 + a2 j) +( b1 + b2 j) = (a1 + b1) + (a2 + b2) j ,

(10) wobei

a·b = (a1 + a2 j)·(b1 + b2j) = (a1b1 - 2a2) + (b2a1 + a2 1) j , 1 und

2 entsprechend zu b1 und b2 konjugiert komplexe Zahlen [ 6 ] sind.

Diese Formeln ergeben sich nach der Addition und der Multiplikation von Quaternionen in der Form (1) unter Benutzung des Distributivgesetzes und der Multiplikationsregeln (2) und (3). Sie verwandeln sich auch in die üblichen Formeln für komplexe Zahlen, wenn komplexe Zahlen a1 , a2 , b1 ,b2 sich in reelle Zahlen verwandeln. Sind a,b Quaternionen, multiplizieren wir a1 , b1 , a2 , b2 miteinander in der Formel (10) nach den Multiplikationsregeln der file:///C|/MP/FT_PDF/ft_gesamt.html (4 of 29)04.03.2008 20:44:05

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komplexen Zahlen. Sind a,b komplexe Zahlen, dann erfüllen wir die Multiplikation dieser Grössen wie für reellen Zahlen. Unter anderen gelten für Quaternionen die folgenden wichtigen Identitäten: ·a = ( |a| )2

=

(11)

a·

(12)

|a·b| = |a|·|b|,

(13)

= ·

,

(14)

=

+

(15)

,

·j , für z

j·z =

C .

Ist c auch beliebige Quaternion, dann gilt für Quaternionen a,b,c das Assoziativgesetz der Multiplikation (16)

a (b c) = (a b) c.

Die Nicht-Kommutativität der Multiplikation für Quaternionen ergibt bei der Division, wenn eine beliebige Quaternion b H durch andere beliebige a H (a 0) geteilt wird, zwei voneinander verschidene Quotientenwerte XL und XR , die Lösungen der folgenden Gleichungen (17)

a·XL = b

(18)

XR·a = b .

sind und der linke (XL = XL1 + XL2 j ) und der rechte (XR = XR1 + XR2 j) Quotientenwert heissen. (Nabla) und Die verallgemeinerten Hamiltonschen Operatoren nach dem erweiterten Permanenzprinzip in der Form (1) als

(19)

= =

+ -

i+

j+

k;

i-

j-

k

definiert werden (vgl.[ 2 ],S.166). file:///C|/MP/FT_PDF/ft_gesamt.html (5 of 29)04.03.2008 20:44:05

(Nablaquer) können

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Wir betrachten nun, wie üblich in der Funktionentheorie , komplexe Differentialoperatoren in sogenannten (vgl. [ 6 ] , S.69) konjugiert komplexen Koordinaten (20)

z1 = x0 + x1 i ,

1 = x0 - x1 i

als

(21)

2

=(

-

i),

2

=(

+

i)

+

i)

und analog in konjugiert komplexen Koordinaten (22)

z2 = x2 + x3 i ,

2 = x2 - x3 i

als

(23)

2

=(

-

i),

2

=(

Mit den Formeln (21) und (23) können Hamiltonsche Operatoren (19) in der verdoppelten Form (8) als hyperkomplexe Differentialoperatoren

(24)

=2(

+

j),

=2(

-

j)

definiert werden. Als hyperkomplexe nennen wir hier und weiter alle Begriffe, die mit der Darstellungsform (8) in der quaterionalen Analyse verbunden sind . Im Rahmen unserer Aufgabe unterscheidet sich diese Definition des Hyperkomplexen von der üblichen . ( Vgl. [1] Die Formeln (24) sehen ähnlich den analogen Formeln aus der komplexen Analyse (vgl. [ 6 ] , S.69) aus, was die Gültigkeit des erweiterten Permanenzprinzips in obigem Sinne noch und bestätigt. Dieses und alle oben dargestellten mal, aber nun für Operatoren Beispiele der Ähnlichkeit drücken, unserer Meinung nach, eine Einheit der räumlichen Beziehungen der Umwelt aus. Wir erweitern diese Einsichten in die Ähnlichkeit im nächsten Abschnitt bezüglich abhängiger hyperkomplexer Variablen oder hyperkomplexer Funktionen. Im weiteren kann man sehen, dass unsere verallgemeinenden Definitionen ( mit Unterschied von quaternionischen Besonderheiten ) fast genau entsprechende Definitionen aus der komplexen Analyse fraseologisch wiederholen .

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3. Hyperkomplexe Differentiation und die Cauchy-Riemannschen Gleichungen in der Quaternionenanalysis 3.1 Hyperkomplexe Variablen und Funktionen. Entspricht jedem Wert, den die unabhängige hyperkomplexe Variable a = z1 + z2 j annehmen kann, einer oder mehrere Werte anderer hyperkomplexen Variablen w = u + vj , dann sagen wir, w ist eine hyperkomplexe Funktion (abhängige Variable) von a, und schreiben in der verdoppelten Form w = w (a) = u (z1, z2) + v (z1, z2) j ,

(25)

wobei u (z1,z2) und v (z1,z2) komplexwertige Funktionen von unabhängigen komplexen Variablen z1 und z2 sind. 3.2 Hyperkomplexe Differenzierbarkeitsdefinition Definition 1. Ist w (a) eine in einem Gebiet G des Raumes der Quaternionen eindeutige Funktion, so ist die quaternionische Ableitung von w (a) definiert als (26)

w' (a) = u' (a) + v' (a)·j = dw / da =

{[ w (a +

a) - w (a) ] /

a}

vorausgesetzt, dass der eindeutige Grenzwert in a G existiert und unabhängig von der Art ist, wie a gegen 0 geht (1) und wie der Zähler durch den Nenner geteilt wird, von links oder von rechts (2). In diesem Fall sagen wir, dass w (a) in a differenzierbar ist. Unter a versteht man , wie üblich, ein Inkrement für a. In dieser Definition benutzen wir in verdoppelter Form a = z1 + z2 j , w = w (a + a) - w (a) = u + v j und w' (a) = u' (a) + v' (a) j . Also, wir haben die nötigen Ausgangsbegriffe und die Differenzierbarkeitsdefinition (26) im Quaternionischen ( gleich wie im Komplexen ) in der verdoppelten Form dargestellt, wodurch die ersten Forderungen des erweiterten Permanenzprinzips erfüllt sind . Zum Unterschied von in der z-Ebene üblicher Differenzierbarkeitsdefinition ( nur Forderung (1) ) haben wir in der Definition (26) die zusätzliche Forderung ( (2) ) bezüglich der Divisionsart eingeführt, um die nächste Forderung des erweiterten Permanenzprinzips zu erfüllen, und zwar die Möglichkeit der zwei verschiedenen (in einem Punkt a) quaternionischen Ableitungswerte w 'L(a) und w 'R(a) zu beseitigen . Diese Werte könnten nach den Divisionsgleichungen (17) und (18) entstehen. Nach dem erweiterten Permanenzprinzip muss man die eindeutige quaternionische Ableitung im Raum definieren, wenn die eindeutigen Ableitungen in der komplexen Ebene und auf der

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Zahlengeraden definiert sind . Wäre dies nicht wahr, so würden wir einen Widerspruch zur physikalischen Realität bekommen, weil in irgendeinem Punkt des Raumes eindeutiges physikalisches statisches Feld hätten, wenn diesen Punkt als einen Bestandteil einer Ebene auffassen würden, und eine zweideutige Darstellung desselben Feldes in demselben Punkt hätten, wenn wir ihn als einen Bestandteil des Raumes auffassen würden. Hier ist die Hauptunterschied zum sog. [ 7 , S.99 ] "Mejlikhzhons Resultat", "das die quaternionische Differenzierbarkeitsdefinition (H-Holomorphie) mittels des Grenzwertes des Differenzenquotienten (26) ausschliesst ", weil "die Betrachtung der Differenzierbarkeit mittels des Differenzenquotienten tatsächlich nur zu trivialen Fällen führt". Wir zeigen im Abschnitt "Beispiele", wie man infolge des Mejlikhzhons Resultats einen Irrtum begeht und hingegen, wie die Hyperanalytizät aller Potenzen mit quaternionischer Basis in Wirklichkeit existiert . 3.3 Hyperanalytische Funktionen Definition 2. Existiert die quaternionische Ableitung w '(a) in allen Punkten a des Gebietes G, so heisst die Funktion w (a) hyperkomplex analytisch (regulär,holomorph) oder kurzum hyperanalytisch in G. Eine Funktion w (a) heisst hyperanalytisch im Punkt a0 , falls es irgendeine reelle Zahl d > 0 und eine Umgebung |a - a0| < d gibt, so dass in jedem Punkt dieser Umgebung w '(a) existiert. 3.4 Cauchy-Riemannsche Gleichungen in der Quaternionenanalysis Erhalten wir nun die notwendigen Bedingungen dafür, dass w (a) hyperanalytisch in G ist. a aus (26) bei Diese Bedingungen lassen sich detaillieren , wenn man das Verhältnis w a 0 unter Benutzung der Eindeutigkeitsbedingungen(1) und (2) analysiert . Für jedes a 0 ( während des Überganges a 0 ) ist w a eine bestimmte eindeutige Quaternion XL = XL1+ XL2·j (bei Division von links) oder XR= XR1+ XR2·j (bei Division von rechts), die durch (17) oder (18) entsprechend berechnet werden. Die Eindeutigkeit jedes Folgegliedes bei jeder ausgewählten Annäherungsart a 0 bedingt die Eindeutigkeit des entsprechenden Grenzwertes, wenn er existiert, d.h. die Eindeutigkeit der entsprechenden linksseitigen oder rechtsseitigen Ableitung. Dies wird angenommen und wir betrachten nun die beiden Divisionsarten. Bei jeder dieser Arten verfügt im Rahmen des "Verdopplungsformalismus" die Annäherungsart a = ( z1 + z2 j)

0 auch über zwei (genauso wie im Komplexen) Möglichkeiten : ( Fall 1 )

z1 0 bei z2 = 0 und ( Fall 2 ) Varianten , die zu analysieren sind. A) Die Division von links.

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a =

z2 · j

0 bei

a =

z1 = 0. Insgesamt gibt es vier

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Fall 1 : Sei

a =

z1

0 bei

z2 = 0.

In diesem Fall ( Variante LF1 ) unter Benutzung von (17) erhalten wir (27)

z1 ( XL1.F1 + XL2.F1 j ) =

u+

vj.

Hier zeigt der zuzätzliche Index ".F1" darauf, dass der Fall 1 betrachtet wird. Mit der Hilfe des Distributivgesetzes und der Aufteilung in Teile mit " j " und ohne " j " ergeben sich die folgenden Ausdrücke: (28)

XL1.F1 =

u

z1 ,

XL2.F1 =

v

z1 ,

wobei alle Grössen komplexwertige sind. Der Übergang zum Grenzwert bei (29)

z1

u'(a)LF1 = XL1.F1.lim = u

0 in den Ausdrücken (28) liefert schliesslich

z1,

v'(a)LF1 = XL2.F1.lim = v

z1,

wobei der zusätzliche Index ".lim" Grenzwerte für XL1.F1 und XL2.F1 bezeichnet und der Index "LF1" der in (26) angeführten quaternionischen Ableitung w'(a) = u'(a) + v'(a)j die Bezeichnung der Variante LF1 zuschreibt. In Analogie hierzu verfahren wir im weiteren mit . lim, LF2, RF1, RF2. Da alle Grössen in (28) und (29) komplexwertige sind und z2 während des Überganges

z1

0 konstant bleibt, haben wir mit (29) übliche partielle Ableitungen ( z.B. u z1 ) von Funktionen u (z1, z2) und v (z1,z2) bezüglich z1 im Komplexen erhalten. Analog ergeben sich weiter die anderen partiellen Ableitungen von diesen Funktionen. Lediglich verdient hier folgende Tatsache alle Beachtung . Die partiellen Ableitungen sind entsprechend (21) und (23), ohne Forderung monogen zu sein, durch reelle partielle Ableitungen ,

,

definiert, wenn die letzten existieren und eindeutig sind. Die für diese reellen

Ableitungen geltenden Rechenregeln sollen für die komplexen (21) und (23) auch gelten. Fall 2 : Sei

a =

z2 · j

0 bei

z1 = 0.

In diesem Fall ( Variante LF2 ) unter Benutzung von (17) erhalten wir (30)

,

z2 j ( XL1.F2 + XL2.F2 · j ) =

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u+

v·j.

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Mit der Hilfe von Distributivgesetz und Formeln (16), (15) und (2) verwandelt sich (30) in den Ausdruck (31)

-

z2 ·

L2.F2 +

z2 ·

L1.F2 · j =

u+

v·j.

Der Vergleich der Teile ohne " j " und mit " j " beiderseits ergibt die folgenden Ausdrücke : L1.F2 =

(32)

v

z2 ,

L2.F2 = -

u

z2 .

Wenn wir Ausdrücke (32) beiderseits komplex konjugieren ( unter Benutzung der z2 0 übergehen, so Eigenschaften der komplexen Zahlen ) und dann zum Grenzwert erhalten wir schliesslich (33)

u'(a)LF2 = XL1.F2.lim =

2;

v'(a)LF2 = XL2.F2.lim= -

Also, wir haben bei Division von links zwei von der Annäherungsart quaternionische Ableitungen: XL.F1.lim = XL1.F1.lim + XL2.F1.lim · j ;

a

2.

0 abhängige

XL.F2.lim = XL1.F2.lim + XL2.F2.lim · j .

Aber schon bei dieser Divisionsart ist w (a) nur dann (linksseitig) differenzierbar, wenn diese beiden quaternionischen Ableitungen (Grenzwerte) gleich sind . Daher sind das erste Paar der notwendigen Bedingungen dafür, dass w (a) hyperanalytisch ist : (34)

XL1.F1.lim = XL1.F2.lim = uL' ,

XL2.F1.lim = XL2.F2.lim = vL' ,

wobei uL' und vL' Bezeichnungen der Teile der sog. linksseitigen (vgl.[ 4 ] ) quaternionischen Ableitung wL'(a) sind, d.h. (35)

wL' (a) = uL' + vL' · j .

Die Formeln (34) unter Benutzung von (29) und (33) ergeben schliesslich das erste Paar der Gleichungen (36)

( uL' = )

u

z1 =

2,

( vL' = )

v

z1 = -

2,

die man als linksseitige Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen im Raum benennen kann. B) Die Division von rechts.

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Wir benutzen hierbei dieselbe wie bei Division von links die Annäherungsarten für und Umwandlungsregeln für die Formeln. Fall 1. Sei

a =

z1

0 bei

a

0

z2 = 0.

In diesem Fall ( Variante RF1 ) unter Benutzung von (18) erhalten wir ( XR1.F1 + XR2.F1 · j ) ·

z1 =

u+

v·j,

woraus sich schliesslich ergibt (37)

u'(a)RF1 = XR1.F1.lim = u Fall 2. Sei

a=

z2 · j

z1 ,

0 bei

v'(a)RF1 = XR2.F1.lim = v

1.

z1 = 0.

In diesem Fall ( Variante RF2 ) unter Benutzung von (18) erhalten wir ( XR1.F2 + XR2.F2 · j ) z2 · j =

u+

vj.

Daraus ergibt sich (38)

u'(a)RF2 = XR1.F2.lim = v

z2 ,

v'(a)RF2 = XR2.F2.lim = - u

Also, wir haben bei Division von rechts auch zwei von der Annäherungsart abhängige Grenzwerte XR.F1.lim = XR1.F1.lim + XR2.F1.lim · j ,

a

2.

0

XR.F2.lim = XR1.F2.lim + XR2.F2.lim · j ,

die nach der Differenzierbarkeitsdefinition (26) auch gleich sein müssen. Dies ergibt die folgenden schliesslichen Ausdrücke : (39)

( uR' = )

u

z1 = v

z2 ,

( vR' = )

v

1=-

u

2,

wobei uR' und vR' nun Teilbezeichnungen der rechtsseitigen quaternionischen Ableitung wR' (a) sind, und zwar (40)

wR' (a) = uR' + vR' · j.

Die Gleichungen (39) kann man als rechtsseitige Cauchy-Riemannsche

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Differentialgleichungen im Raum (siehe auch [4]) benennen. Alle Ableitungen in (36) und (39) sind, wie schon für (29) erwähnt, in der komplexen Analyse übliche, partielle Ableitungen, die als Ergebnisse der Anwendungen von Differentialoperatoren (21) und (23) auf Funktionen u (z1,z2) und v (z1,z2) betrachtet werden können. Wir setzen voraus, dass die existieren, weil dies für die Differenzierbarkeitsdefinition in hyperkomplexem Sinne notwendig ist. Nach der Definition (26) nehmen wir nun an, dass der Ableitungswert (26) unabhängig von der obigen Divisionsarten ist. Dies bedeutet, dass die linksseitige quaternionische Ableitung (35) gleich der rechtsseitigen quaternionischen Ableitung (40) sein muss, d.h. uL' = uR' und vL' = vR' . Der Vergleich der Ausdrücke (36) und (39) zeigt, dass die erste dieser Bedingungen ohne irgendwelche zusätzliche Forderungen erfüllt wird . Die zweite Bedingung nach (36) und (39) verwandelt sich in die folgende : (41)

vL' = v

z1 = -

2 = vR' =

v

1=-

u

2.

z1 = v Da v 1 erfüllt werden muss, gilt z1 = 1 , dass äquivalent z1= 1 ist. Dies bedeutet, dass die Koordinate x1 in (7), (20) und anderen Ausdrücken verschwindet und wir notwendigerweise zum dreidimensionalen Raum übergehen müssen. Hiernach x1 betrachtet werden, d.h. müssen Differentialoperatoren in (19), (21) und (24) ohne x1 = 0 weiter immer an, wenn z1= 1 angenommen wird.

wir nehmen

Also die Existenz der eindeutigen quaternionischen Ableitung w' (a) = u'(a) + v'(a) · j bei u'(a) = uL'= uR' und v'(a) = vL'= vR' nach der Differenzierbarkeitsdefinition (26) fordert darauf, dass das gesamte System der differentialen Gleichungen :

1)

u

z1 =

2,

(42)

2)

v

z1 = -

2,

( bei z1= 1 ) 3)

u

z1 = v

z2 ,

u'(a) = ^

4)

v

1=-

u

2,

v '(a) = ^

bei dem Setzen von z1= 1 in die partiellen Ableitungen, erfüllt werden muss. Die Zeichen u'(a) = ^ und v ' (a) = ^ zeigen hier darauf, dass jede partielle Ableitung aus Gleichungen 1) und 3) als u' (a) und jede Ableitung aus 2) und 4) als v '(a) für die Ableitungsberechnung, wenn w(a) hyperanalytisch ist, nach (26) benutzt werden kann. file:///C|/MP/FT_PDF/ft_gesamt.html (12 of 29)04.03.2008 20:44:05

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Die Bedingung (41) bewirkt den Übergang zum dreidimensionalen Raum nicht nur für unabhängige Variable a und Differentialoperatoren (21) , sondern auch für abhängige Variable w (a), was man aus folgendem sehen kann. Nach (41) gilt für hyperanalytische Funktionen bei z1= 1 auch die Beziehung

u

2=

2 , woraus direkt

u=

und dann u = folgen. Wir sehen, dass Punkte a des dreidimensionalen ( bei z1= 1 ) Raumes mittels der differenzierbaren in diesen Punkten Funktionen w (a) in die entsprechenden Punkte w = w (a) desselben dreidimensionalen Raumes abgebildet werden. Anders gesagt, beobachtet man eine Abgeschlossenheit des dreidimensionalen Raumes bezüglih der Transformationen mittels der hyperanalytischen Funktionen ähnlich der Abgeschlossenheit der komplexen Ebene bei Transformationen mittels der analytischen Funktionen. Das ist nichts Besonders, weil der Begriff Hyperanalytizität im Raum den Begriff Analytizität in der Ebene als einen besonderen Grenzfall enthält und die Gleichungen (42) sich nach dem erweiterten Permanenzprinzip in die übliche Cauchy-Riemannsche Gleihungen in der Ebene verwandeln, wenn wir weiter zum zweidimensionalen Raum, d.h. Ebene, übergehen. Um das zu zeigen, nehmen wir z2= 2 in Gleichungen (42) an, was zum Übergang zur komplexen Ebene a = z = x0 + x2 j führt. Wie man sehen kann, folgt aus (42) eine Identität 2 =

v z2. Daraus bei z2= 2 ergibt sich v = . Dies bedeutet, dass die Abgeschlossenheit des Raums in dem obigen Sinne während des Überganges zur Ebene erhalten bleibt, was dem erweiterten Permanenzprinzip entspricht. Unter Benutzung von in der komplexen Analyse geübten Bezeichnungen x0 = x , x2 = y und z = x + yj , sowie unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Grössen x,y,u,v hier reelle Zahlen sind, erhalten wir aus (42) bekannte Cauchy-Riemannsche Gleichungen in der Ebene: (43)

u

x= v

y

u

y=- v

x

Wenn wir jetzt G als ein beliebiges vierdimensionales Gebiet und G3 als entsprechendes 4

dreidimensionales Gebiet, das sich aus G4 bei z1= 1 ergibt, bezeichnen, dann können wir aus dem allen oben Dargestellten endlich die NOTWENDIGEN BEDINGUNGEN für die Existenz hyperanalytischer Funktionen formulieren : Die notwendigen Bedingungen dafür, dass eine hyperkomplexe Funktion w = w(z1, z2) = u (z1, z2) + v(z1, z2)j in G3 hyperanalytisch ist, sind, dass u und v in G4 die eindeutigen ersten partiellen Ableitungen bezüglich z1,z2 , 1, 2, besitzen (1) und diese Ableitungen bei z1= 1 die Gleichungen (42) erfüllen (2) . Die Gleichungen (42) werden wir als CAUCHY-RIEMANNSCHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN (CRD) IM RAUM auffassen. Wir betrachten diese Definition immer nur im Zusammenhang mit notwendiger Bedingung des Überganges z1= 1 , wenn file:///C|/MP/FT_PDF/ft_gesamt.html (13 of 29)04.03.2008 20:44:05

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partielle Ableitungen selbstverständlich von

1 abhängen .

Es sei extra betont, dass man hierbei die richtige Berechnungsfolge beachten soll, und zwar, zuerst berechnet man partielle Ableitungen in vierdimensionalem Raum und danach setzt man z1= 1 in denen und nur dann prüft, ob sie das System (42) erfüllen. Wie es scheint , könnte man alles vereinfachen und die vierte quaternionische Dimension schon am Anfang bei der ersten Festlegung von w (a) unter Einsetzten von z1= 1 aus der Betrachtung ausschliessen und dann partielle Ableitungen berechnen u.s.w. Anders gesagt, könnte man diese Dimension überhaupt nicht betrachten, weil sie im Endergebnis verschwindet. Doch, die vierte quaternionische Dimension muss am Anfang erhalten bleiben, denn es ist unmöglich, ohne sie die eindeutige Division in (26) zu bestimmen und die eindeutige quaternionische Ableitung und entsprechend die Beschreibung statischen Feldes zur Folge zu haben. In diesem Zusammenhang sei daran erinnert, dass in dreidimensionalem Raum keine eindeutige Divisionsoperation existiert. 4. Hyperanalytische Fortsetzung der analytischen Funktionen. Hier kann man schon einen allgemeinen Satz formulieren, der als Satz über hyperanalytische Fortsetzung der analytischen Funktionen auf den dreidimensionalen Raum zu bezeichnen ist. Satz 1. Jede, in irgendeinem Gebiet G2 der komplexen Ebene definierte, analytische Funktion w (z) kann mittels des Ersetzens ihr komplexes Argument z = x0 + x2 j G2 durch hyperkomplexes a = x0+ x1 i + (x2 + x3 i) j = z1+ z2 j G4 auf das Gebiet G3 des dreidimensionalen Raumes als hyperanalytische Funktion w (a) fortgesetzt werden, wobei G2 G3

G4, so dass G3 aus G4 bei z1= 1 und G2 aus G3 bei z2= 2 folgen.

Beweis . Wie sich oben bei der Betrachtung der Gleichungen (42) - (43) zeigt, ist eine, in irgendeinem Gebiet G4 gegebene, hyperkomplexe Funktion w(a)=u(a)+ v(a) j im Gebiet G3 hyperanalytisch (G3 aus G4 bei z1= 1 folgt), wenn u und v eindeutige erste partielle Ableitungen in G4 besitzen und diese bei z1= 1 , d.h. in G3 , die Gleichungen (42) erfüllen. Dies bedeutet, dass die Definition der hyperanalytischen Funktion aus hyperkomplexer stets mit dem Übergang z1= 1 , d. h. mit der Transformation des Funktionsarguments a = x0+ x1 i + (x2 + x3 i) j = z1+ z2 j G4 ins Argument a = x0+ (x2 + x3 i) j = x0+ z2 j G3 verbunden ist. Die weitere Transformation des Arguments a = x0+ (x2 + x3 i) j = x0+z2 j G3 ins Argument a = z = x0+ x2 j G2 während des Überganges z2= 2 , wie oben gezeigt, verwandelt diese hyperanalytische Funktion w (a) in die analytische Funktion w (z) . Auf diese Weise entspricht jeder hyperanalytischen Funktion w (a) eindeutig eine derartige analytische Funktion w (z), weil jede analytsche Funkton w (z) aus der entsprechenden hyperanalytischen Funktion w (a) folgt. Da dieser Vorgang der Transformation, anders gesagt, des Ersetzens der Argumente eineindeutig und umkehrbar ist und sich der Typ "w" der Funktion (Charakter der Abbildungsfunktion) während dieses Vorganges nicht ändert, ist

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diese Transformation der hyperanalytischen Funktionen in die analytischen auch eineindeutig, womit der Satz bewiesen ist. ¤ Bemerkungen. (1) Die mögliche Singularitäten von w (a) und w (z) innerhalb G4 , G3 und G2 wurden nicht betrachtet, vorausgesetzt, dass sie zu vermeiden sind. Aber Singularitätsprobleme brauchen eine nachfolgende Betrachtung. (2) Der Ausdruck z = x0+ x2j

G2 für Variable in der komplexen Ebene ist ganz äquivalent

dem üblichen Ausdruck z = x + iy, weil Einheiten i und j die gleichen Eigenschaften, z.B. i2 = j2 = -1, haben. Der Unterschied von Schreibweisen drückt hier lediglich die Zusammenhänge der räumlichen Dimensionen aus. (3) Aber man beachte , dass die komplexe Ebene z = x0+ x2 j allein im Unterschied zu Ebenen z1 = x0+ x1 i und z2 = x2 +x3 i die Analytizitätsbegriffe bzw. Cauchy-Riemannsche Gleichungen in der Ebene unbedingt verwirklichen soll. Deshalb gibt es hier keine u Forderungen 1= u 2= v 1= v 2 = 0 , die zugrunde dem üblichen Formalismus der Funktionentheorie mehrerer komplexen Variablen liegen (siehe z. B. [ 4 ] ). Wir benutzten für partielle Ableitungen nur diejenigen Berechnungsregeln, die aus der allgemeinen Differenzierbarkeitsdefinition als Limes des Differenzenquotienten folgen. Also, der bewiesene Satz ergibt einen einfachen Algorithmus, mit dem man alle hyperanalytischen Funktionen aus den analytischen durch direktes Ersetzen von unabhängiger komplexer Variabler im Ausdruck der analytischen Funktion durch analoge hyperkomplexe Variable (ähnlich dem Übergang zwischen Gerade und komplexen Ebene) erhalten kann. Solche hyperanalytischen Funktionen können ebensoviel stationäre physikalische Felder im Raum wie die analytischen Funktionen in der Ebene darstellen. Wir begrenzen uns hier auf diese für die Beschreibung der stationären Felder im Raum prinzipiellen Ergebnisse. 5. Beispiele (Dem Mejlikhzhons Resultat entgegen!) Betrachten wir nun einige Beispiele der hyperanalytischen Funktionen im Raum, vorausgesetzt, dass oben formulierte notwendige Bedingungen ( 42 ) unter Annahme von Stetigkeit der Funktionen w (a) und deren partiellen Ableitungen hinreichende für Hyperanalytizät auch sind. Anders wäre es widersprüchlich zum erweiterten Permanenzprinzip und hier untersuchen wir es nicht. Als Basis betrachten wir analytische Funktionen aus komplexer Analyse und ersetzen einfach z = x + iy durch a = z1+ z2 j in diesen. Beispiel 1. Zuerst betrachten wir eine quaternionische Konstante w(a) = const ( z1 , z2 ). Sie ist file:///C|/MP/FT_PDF/ft_gesamt.html (15 of 29)04.03.2008 20:44:05

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hyperanalytisch ( alle Ableitungen sind gleich 0 ) und Gleichungen( 42 ) werden dabei direkt erfüllt , ohne den Übergang z1= 1 zu benutzen. Betrachten wir nun die 1-te Potenz mit Basis a: w (a)= a1 = z1+ z2 j . Dann haben wir u = z1 , v = z2 und

= 1,

= 2 . Partielle Ableitungen nach üblichen

Regeln sind für Gleichungen (42 - 1) und (42 - 3) und für Gleichungen (42 - 2) und (42 - 4)

v

u

z1 = 0 , -

z1 = 1, v

z2 = 1 ,

2 = 0,

v

2=1 1 = 0, -

u

2 = 0. Man sieht, dass Gleichungen (42) für die 1-te Potenz auch direkt erfüllt werden,

ohne den Übergang z1= 1 zu benutzen . Also die Funktion w (a) = a1 = x0+ x2 j + x3 k, (siehe (1), (7) unter Benutzung von z1= 1 ) ist in dreidimensionalem Raum hyperanalytisch und ihre Ableitung ist w' (a) = = u'+ v'·j = u z1 + v z1 ·j = 1 + 0·j = 1, d.h. da /da = 1. Hierbei könnten, selbstveständlich, andere ausgerechnete Ableitungen, die u' und v' gleich sind (nach (42)), benutzt werden, z.B. w' (a) z2 = u'+ v'·j = v 2·j. Im folgenden werden wir statt Bezeichnungen (42 - 1), (42 - 2) u.s.w. einfach Bezeichnungen 1), 2) usw. benutzen. Wie sich zeigt, ist die konjugiert hyperkomplexe Funktion w (a) = analoge Funktion w (z) =

= 1 - z2j überall nicht-hyperanalytisch genau so wie die

in der komplexen Analyse.

Zum "Mejlikhzhons Resultat". Aus den ersten Potenzen und Konstanten ( "0-ten Potenzen" ) bestehen lineare Funktionen und sie sind nach dem sog. [ 7 ] "Mejlikhzhons Resultat" einzige holomorphe Funktionen, wenn die Holomorphie über die Existenz des Grenzwertes des Differenzenquotienten ( gerade wie bei uns ) definiert wird. Nach unserer Fassung sind aber diese Potenzen lediglich diejenige, die von z1 und 1 unabhängige Ableitungen besitzen, und dabei erfüllen ihre Ableitungen die Gleihungen (42) direkt, d.h. ohne Benutzung des "Eindeutigkeitsüberganges" z1= 1. Für höhere Potenzen, deren Ableitungen schon von z1 und 1 abhängig sind, muss aber dieser Übergang benutzt werden, als eine notwendige ( siehe (41), (42)) Bedingung dafür, dass die linksseitige Ableitung der rechtsseitigen im Definitionsbereich gleich ist. Damit wird eine vollwertige Eindeutigkeit der Ableitung erfüllt. Ohne Benutzung des Überganges z1= 1, d.h. ohne Verminderung der quaternionischen Dimension bis 3 (=4-1), kann man die

vollwertige Eindeutigkeit der Differenzierbarkeit auf Grund des Grenzwertes des Differenzenquotienten nur für Potenzen a0 und a1 erreichen. Hier liegt wahrscheinlich der Schlüssel zur Würdigung des Mejlikhzhons Resultats . Das Verfahren, das das Mejlikhzhons Resultat zu Folge hatte (siehe z.B. [7]), stellte eine redundant starke Forderung an die notwendigen Bedingungen der file:///C|/MP/FT_PDF/ft_gesamt.html (16 of 29)04.03.2008 20:44:05

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Differenzierbarkeitsdefinition. Es ist nicht unbedingt notwendig, die Identitäten für quaternionische Ableitungen nach den reellen Variablen x0, x1, x2, x3 zu bestimmen. Dem Verdopplungsformalismus gemäß kann man die notwendigen Identitäten für quaternionische Ableitungen nach den komplexen Variablen z1, z2 festlegen. Zudem war das Verfahren der vollwertigen Eindeutigkeitsdefinition nicht zu Ende geführt . Die Eindeutigkeit der Ableitung wurde einzeln durch linksseitige und einzeln durch rechtsseitige Cauchy-Riemannsche Gleichungen und ohne Benutzung des "Verdopplungsformalismus" (Permanenzprinzips), der für die adäquatere quaternionische Verallgemeinerung des Komplexen wichtig ist, bestimmt. Danach wurde das Verfahren der vollwertigen Differenzierbarkeitsdefinition abgebrochen, und zwar wurde die von der Nicht-Kommutativität der Quaternionen unabhängige Eindeutigkeit der Ableitungen im Raum nicht verwirklicht. Das vollendete Verfahren der vollwertigen Eindeutigkeitsdefinition im Rahmen des "Verdopplungsformalismus" ergibt sofort die ganze Palette der im Raum differenzierbaren Funktionen. Die physikalisch bedingten Forderungen adäquater Realitätsbeschreibung verursachen hier viel bessere schon vom Standpunkt der echten Mathematik aus Ergebnisse. Davon überzeugen uns nachfolgende Beispiele und bewiesener Satz 2, wonach alle Potenzfunktionen w = a N , n = 1,2,3,... eindeutig differenzierbar sind. Die beste Erklärung für die erreichte Vielfalt der holomorphen quaternionischen Funktionen im Vergleich zum Mejlikhzhons Resultat folgt aus einer grundlegenden Konzeption des Buches [ 7 ], S. 98. Sie besagt: "Die Erhöhung der Dimension bringt eine noch größere Freiheit des Arguments mit sich, so dass für die Existenz obiger Grenzwerte" (der Differenzenquotienten) "die Erfüllung eines weitaus restriktiverer Systems von Differentialgleichungen zu erwarten ist." Ebenso stellen die Gleichungen (*) auf S. 99 dieses Buches im 4-dimensionalen Quaternionischen ein maximal restriktives System dar, das das Mejlikhzhons Resultat zu Folge hat. Die Verminderung der quaternionischen Dimension bis 3 (=4-1) wegen der notwendigen Bedingung z1= 1 bringt ein weniger restriktives System der obigen Differentialgleichungen (42) mit sich, was schon die Vielfalt der analytischen Funktionen im 3-dimensionalen Quaternionischen im Vergleich zum Mejlikhzhons Resultat im 4-dimensionalen Quaternionischen ergibt. Dieser Zugang verneint nicht das Mejlikhzhons Resultat, er entgeht gerechtfertigt seinem Geltungsbereich und führt auf eine reellere Verallgemeinerung der komplexen Differenzierbarkeitsdefinition auf Grund der Grenzwerte der Differenzenquotienten. Es sei gesagt, dass die in dieser Arbeit angeführten Worte "Irrtum des Mejlikhzhons Resultats", "dem Mejlikhzhons Resultat entgegen" usw. nur zur Betonung der ungerechtfertigten Verwendung des Mejlikhzhons Resultats im 3-dimensionalen Quaternionischen dienen. Beispiel 2 Sei w (a) = a2 = (z1+ z2 j)2, dann haben wir unter Benutzung von (10) w(a) = (z12 - 2 z2 ) + (z2z1 + z2 1 )j , woraus folgt u = z12 - 2 z2 und v = z2z1 + z2 1 , sowie 2 und

=

2 1 - z2

= 1 2 + z1 2 . Durch direkte Differentiation ergeben sich partielle Ableitungen:

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für 1) und 3) u z1 = z2, -

z1 = 2z1 , v

z2 = z1 + 1,

2 = z2 ,

1 = z2 , -

v

u

2=

1 + z1 und für 2) und 4)

v

2 = z2 . Man sieht, dass Gleichungen

2) und 4) sofort erfüllt sind. Unter Benutzung von z1= 1 ergeben sich

u

z1 = v

z2 =

2 = 2z1 und Gleichungen 1) und 3) werden auch erfüllt. Daraus folgt, dass w (a) = a2 = (x0+ x2 j + x3 k)2 in dreidimensionalem Raum hyperanalytisch ist und seine

Ableitung w' (a) = u' + v'j =

u

z1 +

v

z1 ·j = 2z1 + z2j = 2x0 + x2j + x3k ist. Analog

kann man zeigen, dass w(a) = a3 auch überall hyperanalytisch ist und für w(a) = a3 auch u=

bei z1= 1 gilt.

Beispiel 3 Dieses Beispiel kann als Beweis des folgenden Satzes 2 betrachtet werden . Eigentlich braucht man diesen Satz nicht zu beweisen, weil die Gültigkeit des Satzes 2 aus dem allgemeinen Satz 1 folgt. Wir stellen diesen Beispiel als Satz dar, um nur das Irrtum des Mejlikhzhons Resultats direkt zu zeigen . Satz 2. Alle Potenzen mit quaternionischer Basis und natürlicher Hochzahl sind differenzierbar ( hyperanalytisch ). Beweis. Sei w (a) = aN = (z1 + z2 j) N , wobei N eine beliebige natürliche Zahl ist. Es ist zu zeigen , dass w (a) hyperanalytisch ist. Wir wissen, dass für N =0,1,2,3 diese Behauptung zutrifft. Nach der vollständigen Induktionsmethode setzen wir voraus, dass w (a) = aN = u+ vj den Gleichungen (42) genügt und zeigen daraus, dass b (a) = b1+ b2 j = aN·a = (u+ vj )·(z1+ z2 j ) die Gleichungen (42) auch erfüllt. Nach der Multiplikationsregel (10) ergibt sich b (a) = b1 + b2j = ( u z1 - 2v ) + ( z2 u + v 1 ) j, woraus b1= ( u z1 - 2v ) und b2 = ( z2 u + v 1 ) sowie konjugierte denen 1 = (

1 - z2

) und 2 = ( 2

Berechnung erhalten wir die Ableitungen : 2=

2

z1 ; -

+ 2· 1

2= -

2 + z1· 1·

b1 2;

2 + z2·

Daraus ist die Gleichung 1) für b (a) :

b1

z1 = z1· u b2

z1 = -

z1 ) folgen. Durch direkte z1 + u - 2· v

z1 = z2· u

z1 ;

z1 + 1· v

2.

z1 =

2 erfüllt, weil u =

2

Induktionsmethode) bei z1 = 1 und Gleichungen 1) : v

+

u

z1 =

(nach der

2 und 2) :

2 nach Ausgangsvoraussetzungen auch erfüllt werden. Aus

z1 = denselben Gründen ist die Gleichung 2) für b(a) : b2 1 2 auch erfüllt. Zum Beweis der Gültigkeit der Gleichungen 3) und 4) betrachten wir andererseits die gleichwertige Darstellungsform für a (N +1) = a·aN = (z1+ z2 j ) (u + v j ), die aus dem Assoziativgesetzt der Multiplikation (16) folgt. Für dieselben Funktionen b1 und b2 haben wir

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auch Ausdrücke b1 = ( u z1 z1 = z1· u ;

b2

z2 ) und b2 = ( z1 v + z2

z1 + u - z2 · 1 = z1·

v

z1;

b2

1 + z2·

) sowie für Ableitungen

z2 = z1· v 1;

-

b1

z2 + z2· 2 = - z1·

2 . Wenn Funktionen b1 und b2 die Gleichung 3) erfüllen, d. h.

z2 , so muss

z1· u

z1 + u - z2·

gelten. Das ist so, weil u =

,

u

z1 = z1· v z1 =

v

b1 z2 +

u

b1

2 + z2·

z1 =

z2 + z2·

b2

z2 +

z2 (Gl. 3)) und

z1 = -

z2 (nach der Konjugation von 4)) bei z1 = 1 nach der Ausgangsvoraussetzung für w = a N gelten. Hier zeigt sich, dass b (a) = a (N +1) die Gleichung 3) auch erfüllt. Wenn b1 und b2 die Gleichung 4) erfüllen, d.h. z2·

1 = - z1·

u

2 (Gl. 4)) und

u

b2

1 = -

2 + z2· 1 =

b1

2 , so muss z1·

2 gelten. Dies gilt, weil 2

v v

1 + 1 =-

(nach der Konjugation von 3)) bei z1 =

(N +1) wird auch 1 nach der Voraussetzung auch gelten. Die Gleichung 4) für b(a) = a erfüllt. Schliesslich kann man behaupten, dass die Hyperanalytizät der Funktion w(a) = a N ,

wobei N = 1,2,3,..., durch vollständige Induktion bewiesen ist. ¤ Wie oben gezeigt, bewirkt das Assoziativgesetzt (16) im gegebenen Falle die Identität b1 = u z1 - 2 v = u z1 u=

z2 und wir haben, folglich, 2v =

z2 sowie b1 = 1 bei z1 = 1 und

.

Beispiel 4 Sei w ( a ) = u + v j = exp ( a ) = exp ( z1 + z2 j ), wobei exp ( a ) eine Exponentialfunktion ist. Um die Hyperanalytizät dieser Funktion zu bestätigen, müssen wir u und v als Funktionen von Variablen z1 und z2 darstellen. Anfänglich benutzen wir die Darstellung ( 1 ), in der die Koordinaten reelle Zahlen sind, und zwar a = x0 + x1 i +x2 j + x3 k = x0 + xVekt ( x0 und xVekt sind sog. [ 7 ] Skalar- und Vektorteile von a ). Bekanntlich kann jede beliebige Quaternion a in der Form a = x0+ xe dargestellt werden [ 1,7 ], wobei x = | xVekt | = ( x12 + x22 + x32 )½ , e = x-1( x1 i + x2 j + x3 k ) und e2 = 1. Daraus ist ersichtlich, dass es für jede Quaternion a eine flache Darstellung gibt als ob a eine komplexe Zahl in der komplexen Ebene mit den reellen Koordinaten x0 und x und einer imaginären Einheit e ist. Dann gilt die Formel w ( a ) = exp ( x0 + x·e ) = exp ( x0 ) · exp ( x·e ) und wir benutzen folglich bekannte Eulersche Formel w (a) = exp ( x0 ) · ( cos x + e·sin x ). Nach Einsetzen vom Ausdruck für e und Umformen unter Benutzung von i·j = k (siehe (3)) erhalten wir den folgenden Ausdruck w ( a ) = u + v · j = exp ( x0 ) [ cos x + x1x-1 (sin x) i ] + [ x-1 exp ( x0 ) (sin x) (x2 + x3 i ) ] · j , woraus die Ausdrücke u = exp ( x0 )·[ cos x + x1x-1 · file:///C|/MP/FT_PDF/ft_gesamt.html (19 of 29)04.03.2008 20:44:05

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( sin x ) i ] und v = x-1 exp ( x0 ) ( sin x ) (x2 + x3 i ) folgen. Ersetzen wir nun in diesen reelle Variablen durch komplexe nach den Formeln x0 = 2-1( z1 + 1 ) , x1 = ( 2i )-1( z1 -1 1 ) , x 2 = 2 ( z2 +

-1 2 ) und x3 = ( 2i ) ( z2 -

2 ) , die aus (20) und (22) folgen. Dann bekommen wir schliesslich die folgenden gesuchten Ausdrücke u = 2b[cos x + ( 2x )-1 ( z1 -1 -2 1 ) sin x ] und v = 2b x z2 sin x , wobei x = [ z2 2 - 2 ( z1 -

exp [ 2-1 ( z1 +

1 ) ] reelle Grössen sind.

Daraus folgt

u=

2 1) ]

½

und b = 2-1

bei z1= 1 .

Direkte Differentiation von u und v ergibt nach mühsamer Arbeit die folgenden Ausdrücke für Ableitungen: u

z1 = b [ cos x + x-1( z1 - 1 ) sin x + x-1 sin x - 4-1x -3 ( z1 - 1 ) 2 ( x cos x - sin x ) ] ;

v

z2 = b [ 2x-1sin x + z2 2x-3( x cos x - sin x ) ] ;

v v - u

-1 -3 2 = b [ 2x sin x + 2z2 x ( xcos x - sin x ) ] ; z1 = z2b [ x-1sin x - ( z1 - 1 ) 2-1x-3 ( x cos x - sin x ) ] ; -1 -1 -2 -1 2 = z2b [ x sin x + ( z1 - 1 )2 x (cos x - x sin x ) ] ; -1 -1 -3 1 = z2b [ x (sin x) + ( z1 - 1 ) 2 x ( x cos x - sin x ) ] ; -1 -1 -2 -1 2 = z2b [ x sin x - ( z1 - 1 ) 2 x ( cos x - x sin x ) ] .

Daraus sieht man, dass die Funktion w (a) = exp (a) hyperanalytisch ist, weil sie bei z1= 1 = x0 die Gleichungen ( 42) erfüllt, d.h. -1 -1 z1 = 1) u 2 = 2 exp( z1)( cos |z2| + |z2| sin |z2| ) , -1 -1 z1 = 2) v 2 = 2 z2| z2| exp( z1) sin| z2| , 3) u z1 = v z2 = 2-1 exp ( z1) ( cos| z2| + | z2|-1 sin| z2| ) , -1 -1 4) v 1 =- u 2 = 2 z2 |z2| exp(z1) sin|z2| , wobei z2 2 = |z2|2 nach (11) sowie x = |z2| und b = 2-1exp(x0) bei z1=

1 benutzt wurden.

Also, die Funktion w (a) = exp (x0 + x2 j + x3 k) besitzt im dreidimensionalen Raum die Ableitung w'(a) = u' + v' j = u

z1 + v

z1 · j = 2-1·exp ( x0 ) · [ ( cos |z2| + |z2|-1 sin |

z2| ) + x2 |z2|-1 sin |z2| · j + x3 |z2|-1 sin |z2| · k ] , wobei |z2| = ( x22 + x32 )½ . Würde man zuerst z1= 1 in u und v einsetzen, so hätte man die Ausdrücke u = exp (z1) · cos |z2| und v = exp (z1)· z2|z2|-1 sin |z2| . Nach entsprechender Differentiation hätte man, zum Beispiel,

u

z1 = exp ( z1) cos |z2| und

v

z2 = 2-1 exp (z1) [ cos |z2| + |

z2|-1 sin |z2| ] , woraus ersichtlich würde, dass die Gleichung 1) nicht erfüllt wird. Dies file:///C|/MP/FT_PDF/ft_gesamt.html (20 of 29)04.03.2008 20:44:05

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illustriert die Notwendigkeit der richtigen Berechnungsfolge. Die im Beispiel 3. festgelegte Tatsache, dass alle Potenzfunktionen w = a N , N = 1,2,3,... hyperanalytisch sind, d. h. die notwendigen Gleichungen (42) erfüllen, liefert für nachfolgende Arbeiten einen guten Grund zur Definition der elementaren u.a. hyperanalytischen Funktionen mittels der Potenzreihen, wie es für analytische Funktionen, z. B. sin z, cos z u.a., gilt. Aus der weiteren Entwicklung ergeben sich andere (4-1D) - Begriffe und Definitionen und usw., das totale Differential dw(a, ), zwar Differentialoperatoren , , a, hyperkomplexe harmonische Funktionen und Laplaceoperator im Quaternionischen, eine Konzentrationseigenschaft (s. z.B. [5]) der Feldgleichungen in den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen im Raum, das hyperkomplexe dreidimensionale Potential des statischen Feldes usw. Die Darlegungsform dieses Abschnittes folgte der Darlegungsform der Lehrbücher [1,6], um die Einfachheit der entwickelten Vorstellungen zu zeigen. Zudem wird hier mehr Klarheit erreicht, weil diese Verallgemeinerung die vorliegenden Lücken und Fehler erklärt und beseitigt. So, zum Beispiel, wurde in [4] eine ähnliche Verallgemeinerung der Differenzierbarkeitsdefinition nur durch die rechtsseitige quaternionische Ableitung verwirklicht. Dabei wurde wahrscheinlch gemeint, dass die linksseitige Differenzierbarkeitsdefinition nur die linearen quaternionischen Funktionen als hyperanalytischen ergeben kann. Es ist aber fehlerhaft, weil nach dem obigen Beispiel 3 alle quaternionische Potenzfunktionen w = aN , N = 1,2,3,... im Rahmen vorgestellter Verallgemeinerung über vollwertige quaternionische Ableitungen verfügen und hyperanalytisch sind. 6. Differentialoperatoren, das totale Differential und Darstellung der statischen Felder im Raum 6.1 Differentialoperatoren und das totale Differential im Raum Das Vorherige legt Gründe zum Versuch, die Anwendung der Differentialoperatoren und den Begriff des totalen Differentials im quaternionischen Raum nun vom Standpunkt der dargestellten Ansichten aus zu detaillieren. Dabei ist zu zeigen, dass hyperanalytische (holomorphe) Funktionen und ihre Ableitungen im Raum (genauso wie in der Ebene [ 5] ) die Gesetze divA = rotA = 0 (A - Feldvektor) physikalischer statischer Felder in sich "konzentrieren", d.h. eine kompakte Schreibweise dieser Gesetzmäßigkeiten darstellen. Im weiteren wird eine kompaktere Schreibweise der partiellen Ableitungen und Differentialoperatoren, die den Definitionen von [ 7 ] entspricht, angewandt. So, z.B. wird statt z1 die Bezeichnung z u verwendet. der Bezeichnung u 1

Somit sind die quaternionischen Formeln (19), (21), (23), (24) wie folgt zu überschreiben: (44)

:= x

+ x

·i + x

·j + x

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·k ;

:= x

- x

·i - x

·j - x

·k ;

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0

1

2

3

(45)

2 z := ( x - x ·i ) ; 1 0 1

2

(46)

2 z := ( x - x ·i ) ; 2 2 3

2

0

1

1

:= ( x + x ·i ) . 0 1

2

:= ( x + x ·i ) 2 3

2

3

Unter Benutzung der in der komplexen Analysis gewohnten Differentialoperatoren (45) und (46) ergeben sich aus (44) quaternionische Differentialoperatoren [ 7 ] verdoppelten Form : (47) (48)

:= :=

:= 2 (

1

+

2

in der

·j ) ,

2

:= 2 ( z 1

und

·j ).

Lücken in (44) usw. zwischen z.B. " " und ":=", " x " und "+"oder "-", " x " und "·j" sind 0 2 Platzhalter, die durch entsprechende Funktionen bei der Anwendung des Differenzialoperators ( x usw. ) ersetzt werden. 0

Die CRD im Raum (42) haben mit den eingeführten Bezeichnungen das Aussehen :

1)

z1u =

2

,

2)

z1v = -

2

,

( bei z1= 1 )

(49) 3)

z1u =

z2v ,

4)

u'(a) = ^

v=-

1

u,

2

v '(a) = ^

Wie bekannt [ 6,7 ] ist, gelten zwischen den komplexen Funktionen w = w(z, ) , wobei z = x = x - y ·i und

+ yi, und Differentialoperatoren R folgende Beziehungen : (50) (50a)

1) zw = ½· w ,

2)

w = ½·

1) z = ½·( x - y ·i ) ,

2)

= x + y ·i mit z, ,w

C und x,y

w, = ½·( x + y ·i ) ,

wobei im Rahmen unserer verallgemeinerter Darstellung x = x0 und y = x2 sind. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in der Ebene (43) sind den Forderungen (51)

w = ½·

w=0

und file:///C|/MP/FT_PDF/ft_gesamt.html (22 of 29)04.03.2008 20:44:05

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(51a)

d w=(

w )d = 0 .

äquivalent. Somit läuft (s. z.B. S. 93 in [ 7 ] ) der lineare Ausdruck des totalen Differentials dw = ( zw )dz + (

(52)

w )d

auf die gewohnte Formel (53)

dw = ( zw)dz

im Komplexen hinaus. Wir können nun die Formeln (50), (51), (52) und (53) im Quaternionischen zu verallgemeinern versuchen. Unter Berücksichtigung der Nichtkommutativität der Quaternionen kann man das totale Differential dw = dw(a,

) im quaternionischen Raum (a,

H) anfänglich wie folgt darstellen: (54)

dw = ( a(re)w )·da + da·( a(li)w ) + (

(re)w )·d

+ d ·(

(li)w ) ,

wobei Indizes (li) oder (re) entsprechend linksseitige oder rechtsseitige partielle Ableitungen von quaternionenwertigen Funktionen w(a,

) nach den zueinander konjugierten

quaternionischen Variablen a = x0 + x1i + x2j + x3k = z1 + z2·j und

= x0 - x1i - x2j - x3k =

1 - z2·j kennzeichnen.

Die Formel (54) ist auch durch die Position der Differentialoperatoren links oder rechts von w wie folgt zu schreiben: (54a)

dw = ( w a )·da + da·( aw ) + ( w

)·d

+ d ·(

w).

Betrachten wir nun Resultate der linksseitigen und rechtsseitigen Anwendungen der und auf die Funktion w = w(a, ). Diese Anwendungen laufen Differentialoperatoren aufs "formale" Multiplizieren des jeweiligen Differentialoperators mit der Funktion w nach allgemeiner Formel (10) hinaus. Der Bequemlichkeit halber führen wir hier diese Formel nochmals an : (10)

a·b = (a1 + a2·j)·(b1 + b2·j) = (a1b1 - 2a2) + (b2a1 + a2 1)·j .

Abhängig z. B. von relativer Lage des Differentialoperators = 2( z ·j) in Formel 2 1 (10) (links oder rechts) werden a1 oder b1 durch z und entsprechend a2 oder b2 durch 1 beim Multiplizieren nach (10) ersetzt. 2

6.1.1 Differentialoperatoren

und

a

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Nehmen wir a1 = z , a2 = 1

2

, b1 = u, b2 = v in (10) an, dann

sieht die linksseitige Anwendung des Differentialoperators folgt aus : (55)

w = 2( z 1

·j )·( u + v·j ) = 2[ ( z u + 1

2

Ist die Funktion w = w(z1, z2) = w(a,

2

auf die Funktion w = u + vj wie

)+( z v1

)·j ] .

2

) mit Werten in H links - hyperanalytisch ( links-H-

holomorph [ 7 ] ) , dann genügt sie (meistens mit Forderung z1= 1 ) den linksseitigen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (CRD) ( 49-1 ) und (49-2). Daraus ergeben sich mögliche Vereinfachungen des Ausdrucks (55): (56)

w = 2( 2 z u + 2 z v·j ) = 4 a(li)w 1 1

,

bei z1= 1

oder (56a)

w = 2( 2

2

-2

·j ) = 4 a(li)w

2

,

bei z1= 1

oder andere zwei Kombinationen für aw = u'(a) + v'(a)·j mit linksseitigen partiellen Ableitungen u'(a) und v'(a) aus (49-1) und 49-2). Die angeführte Festlegung der linksseitigen Ableitung aw wurde oben geäußert. Ähnlich kann man das Resultat rechtsseitiger Anwendung des Differentialoperators Funktion w = u + vj wie folgt darstellen : (57)

w = ( u + v·j )·2( z 1

2

·j ) = 2[ ( z u + z v) + (1 2

u+

2

1

auf die

v )·j ]

Ist die Funktion w rechts - hyperanalytisch ( rechts-H-holomorph ) , dann genügt sie (meistens mit Forderung z1= 1 ) den rechtsseitigen CRD ( 49-3 ) und (49-4). Daraus ist die folgende Vereinfachung des Ausdrucks (57) zu betrachten: (58)

w = 2( 2 z u + 2 1

1

v·j ) = 4 a(re)w

,

bei z1= 1

Nach der obigen Definition der hyperanalytischen Funktion muss die linksseitige Ableitung a (li)w der rechtsseitigen a(re)w nach dem Übergang z1= 1 gleich sein, was wirklich stattfindet. Wie unschwer zu erkennen ist, ist die Ableitung v aus (58) bei z1= 1 gleich 1 der Ableitung z v aus (56), woraus man folgende Identitäten schreiben kann : 1

(59)

w

4 a(li)w

4 a(re)w

w

4( z u + z v·j ) 1 1

4 aw .

zeigt hier und im weiteren darauf, dass der links von Die eingeführte Bezeichnung diesem Zeichen liegende Teil des Ausdruckes dem jeweiligen rechten Teil des Ausdruckes gleich nach dem Setzen z1= 1 in denen ist. Dabei werden die verallgemeinerten Cauchyfile:///C|/MP/FT_PDF/ft_gesamt.html (24 of 29)04.03.2008 20:44:05

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Riemannschen Differentialgleichungen im Raum (49) berücksichtigt. Das bedeutet, dass die bezeichnete Gleichung wird nach dem Übergang zum mit dem Zeichen dreidimensionalen (4-1D) quaternionischen Raum erfüllt. Zum Unterschied von diesem Zeichen werden die Gleichungen mit dem gewohnten Zeichen " = " immer, d.h. ohne Bedingung z1= 1, erfüllt. Aus (59) ergibt sich im dreidimensionalen quaternionischen Raum eine von der NichtKommutativität der Quaternionen unabhängige weitere Definitionsformel für die Ableitungen der hyperanalytischen Funktionen nach der quaternionischen Variablen a : aw :

(60)

¼· w ,

die der Darstellung der Ableitungen im Komplexen, und zwar der Formel (50-1) ähnlich ist. Wir benutzen in (60) eine für die kommutativen Operationen gewohnte "linksseitige" Schreibung der Differentialoperatoren a und , weil bei z1= 1 die Gleichungen aw : a w gelten und der Unterschied zwischen den linksseitigen und a(li)w und w (re)w rechtsseitigen Ableitungen nicht mehr existiert. Aus diesem Grund ist der vom a abhängige Teil daw = ( a(re)w )·da + da·( a(li)w ) des totalen Differentials (54) soz. "linksseitig" wie im Komplexen darstellbar: daw

(61)

( aw)·da .

Der Differentialoperator a kann auf Grund der Formeln (48) und (60) weiter wie folgt dargestellt werden: (62)

¼· = ½·( z 1

a

2

·j )

½·( x 0

2

·j ) ,

) erst nach der Anwendung des wobei der Übergang z1= 1 ( entspricht dem Zeichen Differentialoperators auf die konkrete Funktion w = w(z1, z2) im Quaternionischen zu verwenden ist. Bei einer weiteren Forderung z2 = 2 geht (62) in die komplexe Form z = ½·( x - x ·j ) über und ist die Operationsfolge nicht wichtig. 0

2

6.1.2 Differentialoperatoren

und

Nach der Festlegung der Formel (61) und (62) bleibt es noch den von abhängigen restlichen Teil des totalen Differentials (54) zu detaillieren. Dazu ist es notwendig, den im Quaternionischen als eine Verallgemeinerung des partiellen Differentialoperator komplexen partiellen Differentialoperators = ½ ( x + y ·i ) zu bestimmen. Da und z konjugierte Differentialoperatoren im Komplexen sind, muss die gesuchte zum Differentialoperator a im Quternionischen auch konjugiert sein, Differentialoperator

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d.h. muss = a gelten. Diese Folgerung und (62) verursachen eine folgende Definition des partiellen Differentialoperators : := ¼

(63)

= ½·(

1

+

·j ).

2

Fordert man z1= 1 und weiter z2 = 2, so geht (63) in die komplexe Form = ½·( x + 0 ·j ) über, was dem erweiterten Permanenzprinzip entspricht und auch die Definition (63) x2 rechtfertigt. als eine Basis der Verallgemeinerung des in [ 7 ], S. 101 betrachtet wird.

Es sei gesagt, dass der Differentialoperator komplexen partiellen Differentialoperators

abhängige Teil des totalen Differentials (54), und zwar

Betrachten wir nun den vom (64)

d w=(

(re)w )·d

+ d ·(

(li)w )

Analog zum Fall des Differentialoperators

lässt sich auch im Falle des Differentialoperators

verfahren. Bei der linksseitigen oder rechtsseitigen Anwendung des Differentialoperators auf eine quaternionenwertige Funktion w = u + v·j ergeben sich aus (47) und (10) folgende Ausdrücke : w=2(

(65) (66)

w

1

+

2

= ( u + v·j ) 2 (

·j ) ( u + v·j ) = 2 [ ( +

1

2

·j ) = 2 [ (

u-

1

)+(

2

u - z v) + ( 2

1

v+

1

2

)·j ]

u + z v)·j ] . 1

2

Diese Formeln und (63) ergeben folgende Definitionen für die linksseitige und die :

rechtsseitige Ableitung von w nach (67)

(li)w := ¼

w = ½[ (

(68)

(re)w := ¼w

u-

1

= ½[ (

2

)+(

u - z v) + ( 2

1

v+

)·j ]

,

u + z v)·j ] 1

.

1

2

2

) hyperanalytisch ist, d.h. den Gleichungen (49) genügt, so gelten bei z1=

Wenn w = w(a,

1 und entsprechend bei

= , nach (49-2) 2 nach (49-4) z v = 1

z1 =

1

die folgenden Identitäten:

v= z v=1 v=u. 1

1

2

, nach (49-3)

nach (49-1)

u= z u 1 u = z u = z v und 1 1 2 1

2

Nach dem Einsetzen von diesen Identitäten in (67) und (68) ist ersichtlich, dass für hyperanalytische Funktionen w = w(a, ) folgende Forderungen, die den Forderungen (51) und (51a) im Komplexen ähnlich sind, gelten : (69)

w:

(li)w

(re)w

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0 ,

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(69a)

d w

(

w)·d

0 ,

wobei (69a) unter Benutzung von (69) aus (64) logisch folgt. Hiernach und auf Grund der Formeln (54), (54a), (61) ist das totale Differential (54) sowie (54a) hyperanalytischer Funktionen im 4-1D quaternionischen Raum in der der komplexen Formel (52) ähnlichen Form (70)

dw

( aw)·da + (

w)·d

darstellbar und läuft auf die der komplexen Formel (53) ähnliche Formel (71)

( aw)·da

dw

hinaus bei der Bedingung der Hyperanalytizität (H-Holomorphie) (72)

w

0 .

die der Bedingung (51) im Komplexen ganz ähnlich ist. Genauso wie im Komplexen (siehe (51), (43)) ist im Quaternionischen die Bedingung (72) den verallgemeinerten Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen im Raum (49) äquivalent. Es sei darauf hingewiesen, dass sich im Rahmen des hier dargestellten Zuganges zur Differenzierbarkeitsdefinition in der Quaternionenanalysis einfachere Lösungen ergeben können. Es scheint nicht unbedingt notwendig zu sein, andere (statt a) "hilfreiche" Variablen, z.B. Fueter-Variablen (siehe [ 7 ], S. 102) oder in H andere (statt (10)), z. B. kommutative Multiplikationsregeln (siehe [ 7 ], S. 107) zu verwenden, um die Gleichungen

x=0,

w=

0 und w = 0 zu erfüllen. Für hyperanalytische (H-holomorphe) Funktionen w = w(a, ), z. B. w = a (siehe Beispiel 1.), werden diese Gleichungen soz. "automatisch" nach (67), (68), (69) erfüllt. kann man auch sagen, dass die Nicht-Kommutativität Zur Verdeutlichung des Zeichens der Quaternionen als Zahlen durch soz. eine formale "Versetzung" der Nicht-Kommutativität in den Bereich der Differentialoperationen (die Operationsfolge ist wichtig) bei obiger Differenzierbarkeitsdefinition überwunden wird. Diese "Versetzung" gilt nur in Zusammenhang mit den Differentialoperatoren und ist wie folgt zu illustrieren. Führen wir einen nicht-differentialen Operator 1 ein, dessen Wirkung auf irgendeinen mathematischen Ausdruck darin besteht, dass in diesem Ausdruck z1= 1 angenommen wird und nach Möglichkeit die CRD (49) berücksichtigt werden , so gibt es die Regel: dieser Operator kann nur aufs Ergebnis der vorherigen Anwendung des Differentialoperators angewandt werden. So, zum Beispiel, sind bei der linksseitigen Anwendung der Operatoren die Operationsfolgen 1 , 1

und 1 a richtig und

1,

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1 und

a 1 falsch. Offensichtlich stellt dies eine

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eigenartige Nicht-Kommutativität dar. Bei der rechtsseitigen Anwendung der Operatoren gelten die analogen Operationsfolgen der obigen Regel gemäß in umgekehrter Richtung. So, zum Beispiel, hat die Gleichung (49-1) das Aussehen 1)

1 z1u = 1

2

, ohne die

Phrase "bei z1= 1" dabei zu schreiben. sind die Cauchy-Riemannschen Unter Verwendung von ähnlicher Bezeichnung Differentialgleichungen im quaternionischen Raum (49) endlich wie folgt umzuschreiben:

1)

z1u

3)

z1u

,

2)

z2v ,

4)

2

z1v

-

v

-

2

,

(73)

u'(a) = ^

1

2

u,

v '(a) = ^

Die Formeln (66), (65) und (73) erlauben, die auf der Seite 103 des Buches [ 7] angeführte Formulierung der rechts- bzw. links-H-Holomorphie der Funktion f(x) , und zwar die Formel =0

f wobei x, f(x)

bzw.

f=0 ,

H hier andere Bezeichnungen für a und w sind,

weiter als (74)

f

1=0= 1

f

oder als (75)

f

0

f

zu verallgemeinern und unabhängig von der Nicht-Kommutativität der Quaternionen darzustellen . Die Gleichungen (73), (74) und (75) sind gleichwertig, jede von denen nennen wir Verallgemeinerte Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen im Raum (in H). 6.2 Darstellung der statischen Felder im Raum /////////////////// In der Bearbeitung //////////////////////

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Literaturverzeichnis zur Quaternionenanalysis

Literaturverzeichnis

1. Kantor, L.L., Solodownikow, A. S.: Hvperkomplexe Zahlen. (Mathematische Schülerbücherei; 95) Leipzig: Teubner 1978 2. Koecher, M., Remmert, R.: Hamiltonsche Quatemionen. In: Ebbinghaus, H.-D. etal. (Hrsg.) Zahlen (Grundwissen Math.) Berlin Heidelberg New York: Springer 1992 3. Lamotke,K.: Einleitung. In: Ebbinghaus, H.-D. et al. (Hrsg.) Zahlen (Grundwissen Math.) Berlin Heidelberg New York: Springer 1992 4. Lugojan, S.: Quatemionic derivability. Semin, geom. si topol., Univ. Timisoara. 105, 1-22 (1992) 5. Morse, P. M., Feshbach, H.: Methods of theoretical physics. (International Student Edition, Bd. l) New York St. Louis etc.: McGraw-Hill Tokyo: Koegakusha 1953 6. Spiegel, M. R.: Komplexe Variablen. (Schaum's Überblicke, Aufgaben) London New York etc.: McGraw-Hill 1991 7. Gürlebeck, K., Habetha, K., Sprößig, W.: Funktionentheorie in der Ebene und im Raum. Basel Boston Berlin:Birkhäuser Verlag 2006 8. Remmert, R. Funktionentheorie 1. Springer Lehrbuch, Ser. Grundwissen Math.,4. Aufl. Springer: Berlin etc. 1991 9. Evangelium nach Johannes, Bibel: Herausgegeben von der Genfer Bibelgeselschaft, Genf fürThe Gideons International, Revidierter Text 1956 10. Bibel:Neue-Welt-Übersetzung der Heiligen Schrift 11. Bibel: Herausgegeben von der Genfer Bibelgeselschaft, Genf fürThe Gideons International, Revidierter Text 1956 12. Bartels H.- J., Bordemann M. und andere Lexikon der Mathematik, Bd. 4.: in sechs Bänden/[ Red.:Guido Walz ]. - Spektrum Akad. Verl.: Heidelberg,Berlin 2002

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