Proyecto Met11.docx

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS APLICADAS

MÉTODOS NUMÉRICOS

SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES RK2, R3 Y R4

DOCENTE: ALEJANDRO SANDOVAL RAMOS

AUTORES: ● CERVANTES DE MARCOS DIANA ● LABRA MEJIA ORIZEL ● SALGADO TRUJILLO ITZABELY

MÉXICO, CIUDAD DE MÉXICO A

2018

INDICE

* Introducción, incluyendo planteamiento del problema * Objetivo * Marco teórico * Desarrollo y solución del problema de calidad * Diagrama o algoritmo del programa a elaborar * Código del programa * Capturas de pantalla del programa funcionando * Conclusiones * Referencias

INTRODUCCIÓN

El proyecto que se presenta a continuación se basa en el método de resolución del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias Runge-Kutta segundo (RK-2), tercer (RK-3) y cuarto (RK-4)

orden;

recordando

que

una

ecuación

diferencial

es

de

tipo

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 " , . . . , 𝑦(𝑛) ) = 0 la cual se asocia una variable independiente 𝑥 y una función 𝑦 = 𝑦(𝑥) junto con una o más de sus derivadas; de manera que se define como una serie de métodos numéricos iterativos explícitos e implícitos, cuya principal característica es resolver este sistema de ecuaciones sin necesidad de realizar integrales esto en conjunto de esta herramienta computacional como lo es Matlab . La elaboración de este proyecto fue para desarrollar de manera eficaz la solución de problemas matemáticos de la ciencia y la ingeniería, como es el caso del ejemplo Para realizarlo es necesario mencionar que está en relación con el algoritmo de Taylor que evalúan 𝑓(𝑥, 𝑦) en más de un punto en la proximidad de (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) en lugar de evaluar derivadas de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) , las cuales se requerirían para el uso directo del algoritmo por series de Taylor.

Se define el problema de valor inicial como:

Donde:

La derivación de estos métodos se sigue de la suposición de un algoritmo particular con ciertos eficientes indeterminados; los valores de los términos constantes están igualados con la fórmula de Runge-Kutta de orden 𝑝 al algoritmo de Taylor de orden. El siguiente valor (𝑦𝑛 + 1) se determina con la sumatoria del valor (𝑦𝑛) más el producto del tamaño del intervalo (ℎ) por la pendiente considerada. Tomando en cuenta que la pendiente es el promedio ponderado de pendiente, donde 𝑘1 es la pendiente al inicio del intervalo,𝑘2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, esto utilizando 𝑘1 para ℎ

obtener el valor de (𝑦) en el punto 𝑥𝑛 + 2 utilizando el método de Euler. 𝑘3 es la pendiente del punto medio del intervalo ahora usando 𝑘2 para obtener a (𝑦) , 𝑘4 es la pendiente al final del intervalo con el valor de (𝑦) determinado por 𝑘3 . Realizando el promedio de las cuatro pendientes, se le asigna mayor valor a las pendientes en el punto medio:

Para encontrar a 𝑦(𝑖+𝑖) con: ℎ 𝑦(𝑖+𝑖) = 𝑦𝑖 + [𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 ] 6 El método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de 𝑂(ℎ5 ), mientras que el error total acumulado tiene el orden 𝑂(ℎ4 ).

OBJETIVO GENERAL Aprender a resolver Ecuaciones Diferenciales lineales de primer orden a través del método Runge-Kutta.

DESARROLLO Y SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE CALIDAD Aplicando el método de Runge-Kutta resolver un problema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con aplicación de ingenierías. Un tanque que contiene una mezcla de soluciones salinas de 50lts de agua con 75 gr de sal disueltos. En un determinado instante comienza a entrar agua salada a razón de 2 lts/min, con una concentración de 3 gr/lts de sal, mientras que el agua, perfectamente mezclada, sale del depósito a razón de 2 lts/min. En la imagen se plantea el problema.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

● 𝑆(𝑡) es la cantidad de sal en el depósito en un tiempo t. ● El volumen de agua en el depósito es siempre de 50 litros, ya que en cada entran 2 lts/min y sale la misma cantidad. ● La concentración de sal en cada instante será de

𝑆(𝑡) 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 50𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠

.

● La velocidad de variación de la concentración de sal está dada por 𝑠′(𝑡) . expresada en gr/min. ● La alimentación de sal por minuto al depósito es de:

𝑙𝑡𝑠

𝑔𝑟

𝑔𝑟

(2 𝑚𝑖𝑛) (3 𝑙𝑡𝑠) = 6 𝑚𝑖𝑛 ● La pérdida de sal : (2

𝑆(𝑡)𝑔𝑟 𝑙𝑡𝑠 𝑆(𝑡)𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 )( )= 𝑚𝑖𝑛 50 𝑙𝑡𝑠 25 𝑚𝑖𝑛

● La variación total de la concentración de sal está definida por la diferencia entre la alimentación y la pérdida de sal; obteniendo la siguiente ecuación diferencial: 𝑠′(𝑡) = 𝐴𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖ò𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙 − 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙

● Sabemos que 𝑆(0) = 75𝑔𝑟 en tiempo inicial a 𝑡 = 0 𝑠𝑒𝑔 , 𝑦 = 75𝑔𝑟 entonces determinaremos la cantidad de sal disuelta en el tanque cuando el 𝑡 = 60𝑚𝑖𝑛 aumentando desde el tiempo inicial con un intervalo de ℎ = 5𝑚𝑖𝑛 ● Continuaremos hallando 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, 𝑘4 sin unidades.

DESARROLLO

Obtenemos la pendiente del inicio del intervalo k1: 𝑔𝑟

75𝑔𝑟

𝑔𝑟

𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) 𝑘1 = 6 𝑚𝑖𝑛 − 25𝑚𝑖𝑛 = 3 𝑚𝑖𝑛

Obteniendo la pendiente en el punto medio k2: 1

1

➢ 𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑖 + 2 ℎ, 𝑦𝑖 + 2 𝑘1 ℎ) 𝑔𝑟 1 {75𝑔𝑟 + (2 ∗ 3 𝑚𝑖𝑛 ∗ 5𝑚𝑖𝑛)} 𝑔𝑟 𝑘2 = 6 − = 2.94 𝑚𝑖𝑛 25𝑚𝑖𝑛

Obteniendo ahora k3 que es la pendiente en el punto medio pero utilizando 𝑘2 para determinar el valor de (yi):

1

1

➢ 𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑖 + 2 ℎ, 𝑦𝑖 + 2 𝑘2 ℎ) 𝑔𝑟 1 {75𝑔𝑟 + (2 ∗ 2.94 𝑚𝑖𝑛 ∗ 5𝑚𝑖𝑛)} 𝑔𝑟 𝑘3 = 6 − = 2.9412 𝑚𝑖𝑛 25𝑚𝑖𝑛 Donde: 1

1

➢ 𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑖 + 2 ℎ, 𝑦𝑖 + 2 𝑘3 ℎ) Obtenemos la pendiente final del intervalo k4 con el valor de (yi) determinado por k3: ➢ 𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑘3 ℎ) 𝑔𝑟 1 {75𝑔𝑟 + (2 ∗ 2.9412 𝑚𝑖𝑛 ∗ 5𝑚𝑖𝑛)} 𝑔𝑟 𝑘4 = 6 − = 2.9412 𝑚𝑖𝑛 25𝑚𝑖𝑛

Resolviendo 𝑠(𝑡+ℎ) : 5 𝑠(0+5) = 75 + [3 + 2(2,94) + 2(2,9412) + 2,941176] 6 𝑠(5) = 88,8225

1. MARCO TEORICO Para resolver el problema de valores iniciales dado ,tendríamos que haber estudiado un método para ecuaciones diferenciales de tercer grado. Tenga en cuenta que incluso si f (x) se supone diferenciable en todas partes (un tipo estándar de hipótesis para ED), no hay ninguna razón para este tipo de ecuación que tiene las soluciones de valor real en absoluto. Lo que no puede esperar a obtener es "fórmulas explícitas" de estas soluciones en cuanto a la entrada de datos f(x)

.

Esto no es sólo una expectativa razonable sobre ecuaciones diferenciales, en general. La "fórmula" fenómeno es más o menos exclusiva de ecuaciones lineales y ecuaciones que se puede reducir de alguna manera (por ejemplo, un cambio de variable o algún otro truco) de las ecuaciones lineales. Incluso para las

ecuaciones

lineales

de

la

historia,

se

complica.

Para las ecuaciones de orden n lineales con coeficientes constantes, escribir las soluciones "explícitas" que necesita fórmulas para las raíces de dicho polinomio. No es tarea fácil, en realidad, incluso para las computadoras, si el grado del polinomio es alto

.

Para los coeficientes no constantes que es molesto, incluso en el caso de primer orden. Los libros de texto dan fórmulas generales para la solución

a + y 'P

(x) y = Q (x) en términos de integrales de funciones que implican P (x) y Q (x) (por ejemplo, a través del método de utilizar un "factor de integración" ), pero incluso si las funciones P y Q son "buenos" (por ejemplo, se utilizan fórmulas simples para ellos) no hay garantía de que las integrales que necesita para tomar será (fuera de los problemas de los libros de texto, de todos modos). Para las ecuaciones lineales de segundo orden, por ejemplo, y''+ P (x) y '+ Q (x) = R (x), libros de texto generalmente no incluyen en general . Los libros de texto por lo general tratan de la existencia y unicidad de soluciones a estas ecuaciones a través de los resultados generales que no se basan en fórmulas en absoluto, sino más bien tratar el tema de la existencia abstracta. (*Podemos escribir una fórmula para el wronskiano de dos soluciones de una ecuación, en términos de integrales y P, Q, R, de las mismas soluciones)

.

La falta de una solución general en términos de una f dada (x) no impide que una de resolución de casos particulares. Por ejemplo (y ') ^ 2 + y ^ 2 = 0 tiene solamente la solución y = 0. (La razón: si (y ') ^ 2 + y ^ 2 = 0 para todos los valores de x, entonces (y') ^ 2 =-y ^ 2 para todos los valores de x. En cuanto a la parte derecha aparece este valor común es <= 0, y mirando a la izquierda se ve este valor común es> = 0. Por lo tanto, de hecho, (y) ^ 2 =-y ^ 2 = 0 para todo x, y,

por

tanto

y

=

0

para

todo

x)

por ejemplo (y ') ^ 2 + y ^ 2 = 1 se puede tratar como y' = sqrt (1 - y ^ 2) o y '=sqrt (1-y ^ 2) y estas son las ecuaciones separables para que una norma

procedimiento de solución se aplica. Que se obtiene como soluciones de las funciones y = sen (x - c) con c arbitrario (tenga en cuenta que cos x es una de ellas como cos x = sen (x - 3pi / 2)).