Proporcionalidad

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

DEFINICIÓN • Dos variables x e y son directamente proporcionales si su razón y/x es constante. En este caso se dice que las variables x e y son directamente proporcionales. • Dicho de otra manera si una de las variables aumenta (x), la otra también aumenta (y); y si una de las variables disminuye (x), la otra también disminuye (y).

EJEMPLOS Si un automóvil recorre 100 kilómetros en 3 horas ¿Cuántos kilómetros recorre en 10 horas? Solución:

100 Km 3Hr 100 Km ⋅10 Hr = ⇒x= ⇒ x = 333.33Km xKm 10 Hr 3Hr

Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10; por lo tanto, necesitas 3500 pesos. Con estos datos tenemos siguiente tabla: Cantidad de latas (X)

Costo en dinero (Y)

1

350

2

700

3

1050

4

1400

5

1750

6

2100

7

2450

8

2800

9

3150

10

3500

Como se aprecia, tenemos dos variables la cantidad de latas y el costo en dinero, en ambas los valores aumentan y a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en la otra.

El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente:

GRAFICO

Con la tabla anterior divide cada par de valores (x e y) Cantidad de latas (x)

Costo en dinero (y)

Cuociente y/x=c

Constante de proporcionalidad (c)

1

350

350/1

350

2

700

700/2

350

3

1050

1050/3

350

4

1400

1400/4

350

5

1750

1750/5

350

6

2100

2100/6

350

7

2450

2450/7

350

8

2800

2800/8

350

9

3150

3150/9

350

10

3500

3500/10

350

ALGUNOS EJERCICIOS PARA PRACTICAR •

Tres metros de género valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo género?

•

Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 52 segundos, si mantiene su rapidez constante?

•

Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones? Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar $ 27.000?

PROPORCIONALIDAD INVERSA

DEFINICIÓN • Dos variables x e y son inversamente proporcionales si su producto x por y es constante. En este caso se dice que las variables x e y son inversamente proporcionales. • Dicho de otra manera si una de las variables aumenta (x), la otra disminuye (y); y si una de las variables disminuye (x), la otra variable aumenta (y).

EJEMPLOS Para excavar se ocuparon tres máquinas iguales trabajando 160 horas cada una. ¿Cuánto tiempo se hubieran tardado 10 máquinas? Solución:

3Máq. 160 Hr 3Máq. ⋅160 Hr = ⇒x= ⇒ x = 48 Hr. 10Máq. XHr 10Máq.

Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para compartir con el festejado. A la fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir la torta (si se hace en partes iguales) le corresponde una (1) parte de diez a cada uno, es decir, una décima parte de la torta o también el 10 % del total. Con estos datos tenemos siguiente tabla: Invitados (personas)

Trozos de torta (%)

1

100,00

2

50,00

3

33,33

4

25,00

5

20,00

6

16,66

7

14,28

8

12,50

9

11,11

10

10,00

11

9,09

12

8,33

Como se aprecia, tenemos dos variables invitados ( personas) y Trozos de torta (%), en una los valores aumentan y en la otra los valores disminuyen. y a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en la otra.

El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente:

GRAFICO

Con la tabla anterior multiplica cada par de valores (x e y) Invitados (x)

Porción de Torta (y)

Producto x por y = c

Constante de proporcionalidad (c)

1

100,00

1 por 100,00

100

2

50,00

2 por 50,00

100

3

33,33

3 por 33,33

100

4

25,00

4 por 25,00

100

5

20,00

5 por 20,00

100

6

16,66

6 por 16,66

100

7

14,28

7 por 14,28

100

8

12,50

8 por 12,50

100

9

11,11

9 por 11,11

100

10

10,00

10 por 10

100

ALGUNOS EJERCICIOS PARA PRACTICAR • •

8 albañiles tardan en hacer una obra 15 días y medio, ¿cuánto tardarían 11 albañiles? Una persona tiene 30 vacas y alimento almacenado para darles de comer durante 16 días. Vende 18 de ellas, ¿Cuántos días puede alimentar a las que sobran con el alimento que tiene?

•

•

Un ciclista que corre a una velocidad de 16 Km./h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar al próximo pueblo. ¿Cuánto tardaría si llevase una velocidad de 22 Km./h? Se desea repartir una bolsa de 100 caramelos entre 3 hermanos de manera inversamente proporcional a sus edades, que son de 8, 9 y 13 años respectivamente. ¿A cuánto toca cada uno?