Problemas Variados

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Problemas Con ecuaciones o con tus propias estrategias. Cuatro problemas, sencillos, resueltos: 1) Dos hermanos deciden ahorrar juntos las propinas que reciben de su padre durante un año. Al final de este período lograron reunir $192. Si el hermano mayor ahorró el triple de lo que ahorró el menor, ¿cuánto ahorró cada uno? PRIMERA SOLUCION: Trato de estimar las cantidades pedidas. Sospecho que el menor debe haber ahorrado aproximadamente $40. Como el mayor ahorró el triple, esta cantidad es de $120. Luego sumo ambas cantidades para ver si mi estimación responde a los datos del problema: $40+$120 = $160. ¡Me quedé corto! Pruebo con $50 para el menor. Entonces al mayor le corresponden $150. Sumo: $50+$150 = $200. ¡Me pasé, pero no mucho! Sigo tanteando. Supongo ahora que el menor ahorró $48. Entonces el mayor ahorró el triple de $48 , o sea $144. Sumo ambas cantidades: $48+$144 = $192. ¡SI!, encontré la solución de mi problema. Respuesta: el hermano menor ahorró $48 y el hermano mayor $144. Habrás notado que esto de "probar" o "tantear" no nos resultó cómodo en esta oportunidad, ¡pero es totalmente válido!. Pero puede ocurrir que nos cansemos antes de llegar a la solución, o que el problema no tenga solución y no podamos convencernos de ello. Veamos, entonces, otra alternativa para resolver nuestro problema: OTRA POSIBLE SOLUCION: Identifiquemos qué es lo que se pide y cuáles son los datos del problema. Llamemos x al dinero que ahorró el menor. Luego, el hermano mayor ahorró 3.x Ya que juntos ahorraron $192 debe ser: x+3x = $192. Resuelvo esta ecuación y encuentro que x=$48 . Es decir, el hermano menor ahorró $48. Como el hermano mayor ahorró 3.x, resulta: 3.$48 = $144. Respuesta: el hermano menor ahorró $48 y el mayor $144. Prof. Guillermo Coronado

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2) En el corral de una granja - escuela hay sólo corderos y gallinas. Patricio y Ana deben informar a su maestra cuántos animales hay allí. Cada uno cuenta a su manera. Cuando regresan Patricio dice que contó 192 patas y Ana, que contó las cabezas, llegó a 60. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el corral? PRIMERA SOLUCION: Teniendo en cuenta que las cabezas deben sumar 60, probemos: Supongamos 50 corderos y 10 gallinas. Calculemos la cantidad de patas que tendría que haber: Corderos: sabiendo que cada uno tiene 4 patas, el total de patas de corderos se obtiene multiplicando por 4 la cantidad supuesta de corderos, es decir, 4.50 = 200. Gallinas: sabiendo que cada una tiene 2 patas, el total de patas de gallinas se obtiene multiplicando por 2 la cantidad supuesta de gallinas, es decir, 2.10 = 20. El total de patas sería 200+20 = 220. ¡Nos pasamos! Vamos a suponer ahora que hay 20 corderos y 40 gallinas. En este caso, procediendo como lo hicimos anteriormente, resulta que el total de patas sería de 160. ¡Nos quedamos cortos! Seguimos probando hasta encontrar que, si consideramos que hay 36 corderos y 24 gallinas, se verifican las condiciones del problema Respuesta:. En el corral hay 36 corderos y 24 gallinas.

SEGUNDA SOLUCION: Podríamos suponer que las gallinas se paran en una pata y los corderos en las patas traseras; ahora tendríamos 60 cabezas y 96 patas. Como las gallinas tienen una sola pata en la tierra, las patas que quedan (96-60) corresponden cada una a un cordero; hay entonces 36 corderos y 24 gallinas.

TERCERA SOLUCION: Si llamamos "c" a la cantidad de corderos y "g" a la cantidad de gallinas, tenemos: 4.c + 2.g = 192 patas c + g = 60 cabezas De la segunda relación resulta g = 60 - c que reemplazada en la primera nos dice 4.c + 2.(60-c) = 192, es decir, 4.c + 120 – 2c =192, o sea, 2.c = 72, de donde c = 36 Para conocer g volvemos unos renglones atrás y nos encontramos con que g = 60 – c, es decir, g = 60 - 36 = 24 Respuesta: en el corral hay 36 corderos y 24 gallinas.

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Es muy probable que si el maestro se limita a dar el enunciado del problema y deja a los alumnos un tiempo saludable para la resolución (sin tratar de inducir la solución que él cree correcta) aparecerán estas soluciones u otras más. Para un aprovechamiento total del trabajo conviene que cada alumno, en un breve párrafo, relate cómo llegó a la solución expuesta incluyendo los intentos previos, aunque éstos hayan sido infructuosos.

3) Un número de dos cifras es tal que: la suma de las cifras es 11 y la cifra de las unidades es igual al duplo de la de las decenas disminuido en 1. ¿Cuál es dicho número? Los datos están dados en función de las cifras del número que tengo que encontrar, entonces nuestras incógnitas serán dichas cifras; por ejemplo: si el número que estamos buscando es 35, nuestras incógnitas serán el 3 y el 5. ¿Cómo hacemos para escribir al 35 recordando que se trata de un número en base 10 (sistema posicional)? Así: 35 = 3.10 + 5. Y esto lo podemos hacer con cualquier número de dos cifras; en general: si ab es un número donde a representa la cantidad de decenas y b la cantidad de unidades (no interpretar como producto), resulta ab = a.10 + b. Entonces volvamos a los datos de nuestro problema: "...la suma de las cifras es 11..." , es decir, a + b = 11, "...la cifra de las unidades es igual al duplo de la de las decenas disminuido en 1...", es decir , b = 2.a - 1 Bastará reemplazar en la primera ecuación el valor de b, en función de a, que nos brinda la segunda ecuación, es decir: a + (2.a – 1) = 11 lo que equivale a: 3.a – 1 = 11 o sea, 3.a = 12 de donde sale que a = 4 Para hallar el valor de b se reemplaza en la segunda ecuación el valor de a encontrado: b = 2.4 – 1 = 7. Entonces, a = 4

y

b=7.

Respuesta: el número buscado es 47.

4) Ricardo compró dos libros y un cuaderno por $80. Si un libro cuesta la mitad del otro y el cuaderno $40 menos que el libro más caro, ¿cuánto pagó por cada artículo? Llamemos x al libro más caro. Entonces el libro más barato cuesta x/2. Y el cuaderno cuesta x-40. La suma de los precios de los tres artículos es $80. Luego: x + x/2 + x – 40 = 80 Prof. Guillermo Coronado

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Esta ecuación es equivalente a

es decir, 5x – 80 = 160 por lo tanto

Si x = 48 entonces x/2 = 24 y x – 40 = 8 Respuesta: Ricardo pagó $48 y $24 por los libros y $8 por el cuaderno.

Diez problemas sencillos propuestos. (Con respuestas). 1) Juan y Pedro son mellizos. Julián tiene 3 años más que ellos y las edades de los tres sumadas es 42. ¿Qué edad tiene Julián? Rta: 16 años. 2) Un maratonista está compitiendo en una carrera de 8.500 metros. Sufre una lesión y se retira cuando ha recorrido la cuarta parte de lo que le faltaba por recorrer. ¿Cuántos metros corrió realmente? Rta: 1.700 metros. 3) Siendo 68 metros el perímetro de un rectángulo y 12,5 metros uno de sus lados, ¿cuál es la longitud del otro? Rta: 21,5 metros. 4) La suma de tres números pares consecutivos es 72. ¿Cuáles son esos números? Rta: 22, 24 y 26. 5) Tengo $66 en billetes de $2 y de $5. Si en total tengo 18 billetes, ¿cuántos billetes de cada valor tengo? Rta: 8 billetes de $2 y 10 de $5. 6) Dos toneles contienen en conjunto 108 litros de vino. Si pasáramos 4 litros de un tonel al otro, éste contendría el doble de vino que el primero. ¿Cuántos litros de vino contiene cada tonel? Rta: 40 y 68 litros. 7) José nació 2 años después que Pablo y 3 años antes que César. ¿Cuántos años tiene cada uno si la suma de sus edades es 17? Rta: José 6 años, Pablo 8 años y César 3 años. 8) Tres personas reúnen un capital de $9.500 para establecer un comercio minorista. Si la primera persona aporta 3/5 de lo que aporta la segunda, y la tercera ½ de lo que aporta la primera, ¿a cuánto asciende la contribución de cada uno de ellos? Rta: $3000, $5000 y $1500. 9) Un comerciante quiere preparar 10 kilogramos de té para venderlo a $15 el kilogramo. Va a utilizar un té de $22 el kg. y otro de $12 el kg. Calculá cuántos kilogramos de cada clase de té debe colocar. Rta: 3kg. del de $22 y 7 kg. del de $12. 10) Encuentra un número de dos cifras que al sumarle 9 se convierte en otro número con las mismas dos cifras en orden invertido. ¿Puedes encontrar otro? ¿Hay más? ¿Cuántos? Rta: todos los números que cumplen esa condición son: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78 y 89.

Dieciséis problemas propuestos. (Con respuestas). 1. En un triángulo rectángulo, el cateto menor es igual a 3/5 de la hipotenusa. Ésta supera por 3 cm al cateto mayor. ¿Cuál es la medida de cada lado? Rta. 9, 12 y 15 cm. 2. Hallar dos números reales tales que sean 56 unidades menores que su propio cuadrado. Rta. –7 y 8.

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3. Un tren, obligado por una nevada, debió marchar a 5 km por hora más lentamente que su velocidad promedio habitual. Llegó a destino con un atraso de 1 hora en su recorrido, de 280 km ¿Cuál fue su velocidad durante la emergencia? Rta. 35 km/h. 4.- He pensado un número natural menor que cien; tiene la suma de sus cifras igual a 10. Si se invierten las cifras y al número así formado se le suma 3, resulta otro número 57 unidades mayor que el pensado. ¿Cuál es el número que pensé? Rta. 28. 5.- Los alumnos de un curso alquilaron un micro para una excursión en $1.200. Finalmente tres chicos desistieron del viaje y cada uno de sus compañeros debió pagar $20 más de lo previsto inicialmente. ¿Cuál era el número original de alumnos? Rta. 15. 6.- En un rectángulo cuya base es menor que la altura, el perímetro es 17cm y el área es 15 cm2. ¿Cuál es la longitud de la base? Rta. 2,5 cm. 7.- ¿Cuál es el número natural tal que la mitad del producto por su consecutivo es 105? Rta. 14. 8.- Viajando en su automóvil, Pablo se desplazó de una ciudad a otra a una velocidad media de 40 km/h. El trayecto de regreso lo realizó a 60 km/h de promedio. ¿Cuál fue la velocidad promedio del viaje completo? Rta. 48 km/h. 9.- Las ametralladoras de un avión de combate disponen de cargadores de 300 proyectiles cada uno. Se las ha mejorado de modo que ahora son capaces de disparar dos proyectiles más por segundo, agotando un cargador en 5 segundos menos que el modelo anterior. ¿Cuántos proyectiles por segundo puede disparar la ametralladora inicial? Rta. 10. 10.- Un problema de origen hindú se presentaba en esta forma: Regocíjanse los monos Divididos en dos bandos. Su octava parte al cuadrado En el bosque se solaza. Con alegres gritos, doce Atronando el campo están. ¿Sabes cuántos monos hay en la manada, en total? Rta. Existen dos soluciones:16 y 48. 11.- Dos ciclistas corren en un velódromo manteniendo constantes sus velocidades. Uno de ellos alcanza al otro cada 170 segundos. Si corriesen en sentidos opuestos, se encontrarían cada 10 segundos. ¿A qué velocidad se desplaza cada ciclista si la longitud de la pista es de 170 metros? Rta. 8 y 9 m/s. 12.- Daniel y Roberto disfrutaban de un viaje en sus motocicletas cuando, a 100 km de arribar a una ciudad, la moto de Daniel sufrió una ligera avería. Por esta causa debió reducir su velocidad de los 100 km/h que promediaban a 50 km/h. Decidieron que Roberto continuaría su marcha a la velocidad inicial prevista, yendo a la ciudad a comprar el repuesto necesario y retornando hacia el encuentro con Daniel. Suponiendo que no demoró en comprar el repuesto, ¿Cuánto tiempo demoraron en encontrarse? Rta. 1hora 20minutos 13.- En una reunión, todos los asistentes se saludaron con un apretón de manos. ¿Cuántas personas asistieron si los apretones fueron 120? Rta. 16. 14.- Stendhal recuerda en su Autobiografía un hecho que le produjo una fuerte impresión, en sus épocas de estudiante. Escribe que llegando un día a la casa de su maestro Euler "…lo encontré resolviendo su problema acerca de los huevos que la campesina llevaba al mercado… Esto fue para mi un descubrimiento. Comprendí lo que significaba valerse de un arma como el álgebra pero, Demonios!, nadie me lo había explicado antes…" Este es el problema en cuestión. Dos campesinas llevaron 100 huevos al mercado, entre ambas. Una de ellas llevó más cantidad que la otra pero ambas obtuvieron la misma cantidad de dinero. La primera dijo "Si yo hubiera traído la misma cantidad que tu, habría recibido 15 cruceros". La segunda respondió "Y si yo hubiera vendido los huevos que tu tenías, habría sacado de ellos 6 2/3 cruceros". ¿Cuántos huevos llevó cada una? Rta. 40 y 60. 15.- Guillermo fue a comprar las gaseosas para un cumpleaños. Disponía para esto de $18. Se encontró con que cada una costaba 30 centavos más de lo esperado y por eso el dinero le alcanzó para 3 botellas menos de las planeadas. ¿Cuántas compró? Rta. 12. Prof. Guillermo Coronado

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16.- José María suma las notas obtenidas en la última prueba de matemática, historia y geografía obteniendo 25. La nota de historia es 2 unidades menor que la de matemática y 1 unidad mayor que la de geografía. ¿Cuál es la nota de cada evaluación? Rta. 10 en matemática, 8 en historia y 7 en geografía.

Ocho problemas de ingenio, sencillos resueltos. 1. El vaso de agua y el vaso de vino. Tenemos un vaso con agua y un vaso con vino. Tomamos una cucharadita de agua del primer vaso, la echamos en el segundo y removemos, con lo que tendremos una mezcla homogénea de vino con un poco de agua. A continuación, con la misma cuchara, tomamos una cucharadita de esta mezcla y la echamos en el vaso de agua. ¿Habrá más vino en el vaso de agua que agua en el vaso de vino, o viceversa? Respuesta: La apariencia engañosa es la siguiente: al vino le echamos una cucharada de agua pura, mientras que al agua le echamos una cucharada de vino aguado, luego habrá más agua en el vino que vino en el agua. Pero este razonamiento es falso, porque al vaso de agua, cuando le echamos la cucharada de vino aguado, le falta la cucharada de agua que hemos quitado previamente. Razonando de la forma debida, resulta evidente que habrá la misma cantidad de agua en el vino que de vino en el agua: a cada vaso le hemos quitado una cucharada de líquido y luego se la hemos añadido, es decir, cada vaso contiene al final de la operación la misma cantidad de líquido que al principio, luego lo que al vaso de vino le falte de vino lo tendrá de agua, y viceversa.

2. ¿Cuántos años tiene? A un aficionado a los rompecabezas le preguntaron cuántos años tenía. La contestación fue compleja: •

Tomad tres veces los años que tendré dentro de tres años, restadles tres veces los años que tenía hace tres años y resultará exactamente los años que tengo ahora. ¿Cuántos años tiene ahora?

Respuesta: La solución aritmética es bastante complicada, pero el problema se resuelve con facilidad si recurrimos al álgebra y planteamos una ecuación. Designaremos con la letra x el número de años buscado. La edad 3 años después se expresará por x+3, y la edad de 3 años antes por x-3. Tenemos la ecuación:

Despejando la incógnita, resulta . El aficionado a los rompecabezas tiene ahora 18 años. Comprobémoslo: Dentro de 3 años tendrá 21; hace 3 años tenía sólo 15. La diferencia , es decir, igual a la edad actual del aficionado a los rompecabezas.

3. Las atribuciones de Robinson Si le abandonaran en una isla desierta y le dieran a elegir entre un martillo y una caja de clavos ¿que escogería? Imagínese, además, que la isla está llena de árboles, y un buen día se declara un incendio en la punta norte. Para colmo de males, sopla un persistente viento del norte, por lo que el fuego amenaza con barrer toda la superficie de la isla en pocos minutos. La vegetación es tan tupida que no hay un solo rincón en tierra en que un hombre pueda resguardarse de las llamas. Podría tirarse al mar mientras durara el incendio, pero no se lo vamos a poner tan fácil: el agua está infestada de tiburones. Prof. Guillermo Coronado

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¿Qué haría? Respuesta: Mucha gente elige el martillo, sin pensar que un martillo es fácil de suplir con una piedra, mientras que una caja de clavos tendría una gran utilidad y es difícil suplir por otros métodos de ensamble. En cuanto al incendio, la solución sería provocar un nuevo fuego hacia la mitad de la isla y mantenerse entre ambos frentes de llamas. Cuando el primero llegara a la mitad, el segundo ya habría consumido el resto de la vegetación y el fuego se apagaría por falta de combustible.

4. Calcetines y guantes En una misma caja hay 10 pares de calcetines de color café y 10 pares negros, y en otra caja hay 10 pares de guantes de color café y otros tantos pares negros. ¿Cuántos calcetines y guantes es necesario sacar de cada caja, para conseguir un par de calcetines y un par de guantes de un mismo color (cualquiera)? Respuesta: Bastan 3 calcetines, porque 2 serán siempre del mismo color. La cosa no es tan fácil con los guantes, que se distinguen no sólo por el color, sino porque la mitad de los guantes son de la mano derecha y la otra mitad de la izquierda. En este caso hará falta sacar 21 guantes. Si se sacan menos, por ejemplo 20, puede suceder que los 20 sean de una mano (por ejemplo, 10 de color café de la mano izquierda y 10 negros de la mano izquierda).

5. Los misioneros y los caníbales Tres misioneros y tres caníbales han de cruzar un río en una barca en la que sólo caben dos personas. Los tres misioneros saben remar, pero solo uno de los caníbales sabe hacerlo. Por otra parte, han de efectuar el traslado de forma que en ningún momento los caníbales superen en número a los misioneros, pues en tal caso se los comerían. ¿Cuál es el mínimo número de viajes que habrán de efectuar para cruzar todos al otro lado sin que los caníbales se coman ningún misionero, ni lleguen siquiera a mordisquearlo? Respuesta: Designando con una m a cada uno de los misioneros, con una c a los caníbales que no reman y con ç al caníbal que rema, tendrán que cruzar de la siguiente forma (evidentemente, los números impares son viajes de ida y los pares de vuelta):

1. cç

2. ç

3. cç

4. ç

5. mm

6. mc

7. mç

8. mc

9. mm

10. ç

11. cç

12. ç

13. cç

6. Un guardarropas surtido Todas mis camisas son blancas menos dos, todas son azules menos dos y todas son rosa menos dos. ¿Cuántas camisas tengo de cada color? Respuesta: Si todas son blancas menos dos, entre azules y rosas sólo hay dos, es decir una de cada una. Repitiendo el mismo razonamiento para las rosas o azules, se ve que sólo hay una camisa blanca, una azul y una rosa. Esta es la solución obvia pero cabe otra más sofisticada: tengo dos camisas, y ninguna de las dos es ni blanca ni azul ni rosa (por ejemplo: una amarilla y otra verde). Todas menos dos, es decir cero son blancas, cero son azules y cero son rosas.

7. El abuelo y el nieto Lo que voy a contar sucedió en 1932. Tenía yo entonces tantos años como expresan las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento de mi abuelo esta coincidencia, me dejó pasmado al contestarme que con su edad ocurría lo mismo. Me pareció imposible. - Claro que es imposible -añadió una voz-.

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Pues es completamente posible. Mi abuelo me lo demostró. ¿Cuántos años teníamos cada uno de nosotros? Respuesta: A primera vista puede creerse, efectivamente, que el problema está mal planteado; parece como si el nieto y el abuelo fueran de la misma edad. Sin embargo, las condiciones exigidas por el problema se cumplen fácilmente, como vamos a verlo ahora mismo. El nieto, evidentemente, ha nacido en el siglo XX. Las dos primeras cifras del año de su nacimiento, por consiguiente, son 19; ése es el número de centenas. El número expresado por las cifras restantes, sumado con él mismo, debe dar como resultado 32. Es decir, que este número es 16: el año de nacimiento del nieto es 1916, y en 1932 tenía 16 años. El abuelo nació, claro está, en el siglo XIX; las dos primeras cifras del año de su nacimiento son 18. El número duplicado, expresado por las restantes cifras, debe sumar 132. Es decir, que su valor es igual a la mitad de este número, o sea a 66. El abuelo nació en 1866, y en 1932 tenía 66 años. De este modo, el nieto y el abuelo tenían, en 1932, tantos años como expresan las dos últimas cifras de los años de su nacimiento.

8. La cadena A un herrero le trajeron 5 trozos de cadena, de tres eslabones cada uno, y le encargaron que los uniera formando una cadena continua. Antes de poner manos a la obra, el herrero comenzó a meditar sobre el número de anillos que tendría necesidad de abrir y forjar uno nuevo. Decidió que le haría falta abrir y cerrar cuatro anillos. ¿No es posible efectuar este trabajo abriendo y forjando un número menor de anillos? Respuesta: Puede cumplirse el trabajo encargado, abriendo sólo tres eslabones. Para ello es preciso soltar los tres eslabones de uno de los trozos y unir con ellos los extremos de los cuatro trozos restantes.

Cinco problemas de ingenio, sencillos , con respuestas. 1. Las etiquetas cambiadas Un pastelero recibe tres paquetes con 100 caramelos cada uno. Uno de los paquetes contiene caramelos de naranja, otro de limón y el tercero mitad y mitad: 50 de naranja y 50 de limón. Pero el fabricante le advierte que, a causa de un error de envasado, las tres etiquetas de los paquetes- naranja, limón y surtidos- están cambiadas. ¿Cuántos caramelos tendrá que sacar como mínimo el pastelero para averiguar el contenido de cada paquete? Respuesta: Basta con sacar un solo caramelo del paquete con la etiqueta "surtido".

2. El tocón traicionero Dicen que este problema lo planteó en cierta ocasión un matemático rural. Es un cuento bastante divertido. Un campesino encontró en el bosque un anciano desconocido. Se pusieron a charlar. El viejo miró al campesino con atención y le dijo: •

En este bosque yo sé que hay un toconcito maravilloso. En caso de necesidad ayuda mucho.

•

¡Cómo que ayuda! ¿Acaso cura algo?

•

Curar no cura, pero duplica el dinero. Ponés debajo de él el portamonedas con dinero , cuentas hasta cien, y listo: el dinero que había en el portamonedas se ha duplicado. Esta es la propiedad que tiene. ¡Magnífico tocón!

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•

¡Si pudiera probar! – exclamó soñador el campesino.

•

Es posible. ¡Cómo no! Pero hay que pagar.

•

¿Pagar? ¿A quién? ¿Mucho?

•

Hay que pagar al que indique el camino. Es decir, a mí en este caso. Si va a ser mucho o poco es otra cuestión.

Empezaron a regatear. Al saber que el campesino llevaba consigo poco dinero, el viejo se conformó con recibir un peso y 20 centavos después de cada operación en que se duplicara el dinero. En eso quedaron. El viejo condujo al campesino a lo más profundo del bosque, lo llevó de un lado para otro y, por fin, encontró entre unas malezas un viejo tocón de abeto cubierto de musgo. Tomando de manos del campesino el portamonedas, lo escondió entre las raíces del tocón. Contaron hasta cien. El viejo empezó a escudriñar y hurgar al pié del tronco y, al fin, sacó el portamonedas, entregándoselo al campesino. Este miró el interior del portamonedas y…, en efecto el dinero se había duplicado. Contó y dio al anciano el peso y los veinte centavos prometidos y le rogó que metiera por segunda vez el portamonedas bajo el tocón maravilloso. Contaron de nuevo hasta cien; el viejo se puso otra vez a hurgar en la maleza junto al tocón y de nuevo se realizó el milagro: el dinero del portamonedas se había duplicado. El viejo recibió del bolsillo el peso y los 20 centavos convenidos. Escondieron por tercera vez el portamonedas bajo el tocón. El dinero también se duplicó esta vez. Pero cuando el campesino hubo pagado al viejo la remuneración prometida, en el portamonedas no quedó ni un solo centavo. El pobre había perdido en la combinación todo su dinero. No había ya nada que duplicar y el campesino, abatido, se retiró del bosque. El secreto de la duplicación maravillosa del dinero, naturalmente, está claro para ustedes: no en balde el viejo, rebuscando el portamonedas, hurgaba en la maleza junto al tocón. Pero, ¿pueden ustedes indicar cuánto dinero tenía el campesino antes de los desdichados experimentos con el traicionero tocón? Respuesta: Antes de la primera duplicación el campesino tenía 1 peso y 5 centavos

3. Las dos fichas En un tablero del juego de damas hay que colocar dos fichas, una blanca y otra negra. ¿De cuántos modos diferentes pueden disponerse dichas fichas? Respuesta: Las dos fichas se pueden disponer de 4032 modos diferentes.

4. El tabernero astuto Un señor entra en la taberna y pide cuatro litros de vino. ¿No le daría o mismo cinco, o tres? -pregunta el tabernero-. Sólo tengo un barril de ocho litros y dos cazos vacíos para medir, uno de tres y otro de cinco. Pero el cliente insiste en que quiere cuatro litros, ni uno más ni uno menos, y el tabernero se las ingenia para medir cuatro litros exactos utilizando sus cazos. ¿Cómo lo hace? Ayuda: Tener en cuenta que se puede trasvasar de un cazo al otro.

5. El impermeable, el sombrero y los chanclos

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Cierta persona compró un impermeable, un sombrero y unos chanclos y pagó por todo 200 dólares. El impermeable le costó 9 dólares más que el sombrero; el sombrero y el impermeable juntos costaron 16 dólares más que los chanclos. ¿Cuál era el precio de cada prenda? El problema hay que resolverlo mentalmente, sin emplear ecuaciones. Respuesta: Los chanclos, 20 dólares, el sombrero, 45 dólares y el impermeable 135 dólares

Tres problemas de ingenio, más complejos, resueltos. 1. Los huevos de gallina y de pato Las cestas contienen huevos; en unas cestas hay huevos de gallina, en las otras de pato. Su número está indicado en cada cesta: 5, 6, 12, 14, 23 y 29. "Si vendo esta cesta -meditaba el vendedor- me quedará el doble de huevos de gallina que de pato". ¿A qué se refiere el vendedor? Respuesta: El vendedor se refería a la cesta con 29 huevos. En las cestas con números 23, 12 y 5 había huevos de gallina; los de pato se hallaban en las cestas designadas con el 14 y el 6. Hagamos la comprobación. Total de huevos de gallina que quedaron:

De pato:

De gallina había el doble que de pato, lo que satisface a las condiciones del problema.

2. El recital Un día, un famoso grupo musical, hizo un concierto tan malo que tuvo que salir corriendo del escenario. Para poder escapar, disponían de un túnel que estaba muy oscuro, por el que podían pasar como máximo dos personas al mismo tiempo. Sólo tenían una linterna para poder cruzar el túnel. Los cuatro componentes del grupo, no eran igualmente rápidos. Habían realizado simulacros y uno tardaba 10 minutos en recorrer el túnel, otro tardaba 5 minutos, otro tardaba 2 minutos y el último tardaba 1 minuto. Cuando van de dos en dos, siempre tardan en recorrer el túnel el tiempo que tarda el más lento. Lógicamente si dos de ellos han pasado el túnel con la linterna, uno de los dos tiene que volver para que puedan pasar el túnel los que falten. La pregunta es la siguiente: ¿es posible que el grupo pueda escapar en 17 minutos? La respuesta es la siguiente: 1) el problema tiene solución. 2) nombraré a las personas por el tiempo que tardan: - van el 1 y el 2.........................2 minutos. - vuelve el 1..............................3 minutos. - van el 10 y el 5......................13 minutos. - vuelve el 2.............................15 minutos. - van el 1 y el 2........................17 minutos. Hay otra posible solución si el primero que vuelve es el 2.

3. Besos y abrazos Prof. Guillermo Coronado

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Los Gómez y los López se encuentran por la calle, y rápidamente se produce un efusivo intercambio de besos y abrazos. Cada uno de los López saluda a cada uno de los Gómez. Al saludarse dos varones se dan un abrazo, mientras que al saludarse dos mujeres, o un hombre y una mujer, se dan un beso. Al final de la efusiva salutación se han producido 35 abrazos y 42 besos. ¿Cuántas mujeres y cuantos varones hay en cada familia? Respuesta: Cada uno de los Gómez saluda a cada uno de los López, o sea que el total de saludos (independientemente de que sean besos o abrazos) será igual al producto del número de miembros de una familia por el de la otra. El número total de saludos será la suma de abrazos y besos, o sea 42 +35 = 77. Ahora bien, 77 sólo puede descomponerse en dos factores de las formas 7 x 11 y 77 x 1; pero la segunda posibilidad no sirve, ya que si el miembro solitario fuera mujer, los abrazos serían 0 y los besos 77, y si fuera un hombre, los besos serían 0. Análogamente, los 35 abrazos equivalen al producto del número de varones de una familia por el de la otra, y como 35 sólo puede descomponerse en dos factores de las formas 5 x 7 y 35 x 1, y la segunda posibilidad queda eliminada por incompatible, tenemos que hay 5 varones en un familia y 7 en la otra, y que las familias constan de 7 y 11 miembros respectivamente. Así que en una familia hay 5 varones y 2 mujeres, y en la otra 7 varones y 4 mujeres.

Con ecuaciones o con tus propias estrategias Seis problemas, algo más complejos, resueltos. 1.- Juliana recorre a velocidad constante una distancia de 300 km invirtiendo un determinado tiempo. Si la velocidad se incrementara en 25 km por hora, el tiempo requerido sería 2 horas menor que el anterior. ¿Cuál es el tiempo que invirtió Juliana?

La velocidad desarrollada por Juliana puede escribirse

, si llamamos t al tiempo que empleó.

Ahora bien, si el tiempo empleado fuese 2 horas menos, es decir .

, la nueva velocidad podría escribirse

Pero ésta es 25 km/h mayor que la de Juliana, de modo que podemos poner Velocidad de Juliana = Nueva velocidad – 25 km/h, o sea

Sigue que

y

Multiplicando De donde Y

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Dividiendo por 25 queda

.

Con la resolvente, se obtiene

, de donde

y

.

Dado que un tiempo negativo no puede ser solución de nuestro problema, respondemos que Rta. Juliana empleó 6 horas en su recorrido. 2.- Este problema, de origen árabe, data del siglo XI. A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, una frente a la otra. Sus alturas son de 20 y 30 pies, y la distancia entre sus troncos (que suponemos verticales) es de 50 pies. En la copa de cada palmera hay un pájaro. Ambos descubren simultáneamente un pez en la superficie del río justo entre las palmeras. Los pájaros se lanzan a la vez y volando directamente hacia el pez, lo alcanzan al mismo tiempo. Si los pájaros vuelan a la misma velocidad ¿A qué distancia de la palmera más alta apareció el pez? Hagamos un esquema que nos ayude:  Hemos designado con X lo que debemos calcular. A y B son las posiciones de los pájaros y P la del desdichado pez… cado . Dado que los triángulos de la figura son rectángulos, podemos utilizar el Teorema de Pitágoras para escribir y

.

Pero sabemos que ambos pájaros alcanzan simultáneamente al pez, volando a igual velocidad, de donde podemos decir que AP=BP. Esto supone que

y entonces resulta

Desarrollando el cuadrado y sumando entonces

sigue que

y

.

Rta. El pez apareció a 20 pies de la palmera más alta. 3.- La suma de tres números es 176. El primero es la cuarta parte del tercero y este supera al segundo en 40 unidades. ¿Cuáles son esos números? Si denominamos a, b y c a los números buscados podemos escribir

Despejando en la (3) queda

Reemplazando en la (1) Resulta que

y

resolviendo

de donde

.

.

Rta. Los números son 24, 56 y 96.

4.- Jorge reparte 35 revistas entre sus amigos, dándole a cada uno tantas revistas como amigos son, más dos revistas. ¿Cuántos amigos tiene Jorge? Rta. 5. Prof. Guillermo Coronado

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Problemas

Si simbolizamos con x a la cantidad de amigos de Jorge, la cantidad de revistas que reparte a cada uno es x+2. Como el total de revistas es 35, podemos poner

que equivale a . Sigue que

de donde

o . La solución negativa carece de sentido así que Rta. Los amigos de Jorge son 5. 5.- En un campeonato internacional de ajedrez, cada maestro debió jugar exactamente una vez con cada uno de sus adversarios. Si en total se jugaron 45 partidas y la cantidad de maestros es un número par, ¿Cuál fue el número de maestros que participó del campeonato? El modelado de este problema no es fácil. Sólo aparece un dato numérico explicitado y no resultan obvias las vinculaciones entre el mismo, los demás datos y la pregunta. Pero observaremos cómo todo esto se vuelve más claro en cuanto alguno de los alumnos (o bien el docente) plantea el isomorfismo entre esta situación problemática y el campeonato de Primera División "A" que organiza semestralmente la Asociación del Fútbol Argentino. La mayoría de los alumnos conoce que en este campeonato intervienen 20 equipos y que se juegan 19 fechas. Los pares isomorfos, llamando x a la cantidad de maestros, serán: 1.

(CANTIDAD DE EQUIPOS DE PRIMERA A, CANTIDAD DE MAESTROS) = (20, X)

2) (CANTIDAD DE PARTIDOS QUE SE JUEGAN EN UNA FECHA,

CANTIDAD MÁXIMA DE PARTIDAS QUE PUEDEN JUGARSE SIMULTÁNEAMENTE)

Pero el par anterior también puede pensarse 2’) (mitad de los equipos, mitad de los maestros) = (10, x/2) Otro de los pares isoformos es: 3) (CANTIDAD DE FECHAS DE UNO DE ESTOS CAMPEONATOS DE A.F.A.,

CANTIDAD DE VECES EN QUE SE REÚNEN TODOS LOS MAESTROS A JUGAR)

Que también puede pensarse: (cantidad de equipos menos uno, cantidad de maestros menos uno) = (20 – 1, x – 1) Por último puede colocarse el dato numérico del problema: 1.

(CANTIDAD TOTAL DE PARTIDOS, CANTIDAD TOTAL DE PARTIDAS) = (190, 45)

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Problemas

Pero si ahora nos preguntamos ¿Cómo se obtuvo el número 190?, la respuesta será: multiplicando el número de fechas por la cantidad de partidos por fecha, o sea 19 por 10. Dicho de otro modo: multiplicado la cantidad de equipos menos uno por la mitad de los equipos participantes. Si recordamos que x es el número de maestros (incógnita del problema) el producto isomorfo con 19 . 10 = 190 será:

que es una ecuación de segundo grado cuya única solución positiva es x = 10. Que será la respuesta al problema. Nota: el dato que aparece en el problema, aclarando que el número de maestros es par, fue necesario por el modo de razonamiento elegido, de lo contrario no resulta relevante, como se verá en el próximo modo de resolución. No descartamos la posibilidad de que el alumno resuelva tanteando, por ejemplo mediante un diagrama de árbol, la cantidad finita de posibilidades, que aquí es poca, en cuyo caso el docente, de ningún modo debe rechazar esta forma de trabajo. Si se desea que el alumno tenga la necesidad del planteo de la ecuación simplemente se deberá buscar un número bastante mayor, por ejemplo 5.356 en lugar de 45 para el cual, el tanteo resultará bastante engorroso. Acerca de este mismo problema podemos pensar una modelización bien diferente que nos resulta interesante, justamente por lo distinta de la anterior: Se necesitan dos maestros (representados por los puntos A y B) para jugar una partida. Gráficamente podemos visualizarlo mediante un segmento: Dos maestros juegan una partida, representada gráficamente por el segmento de extremos A y B. Si los maestros fuesen tres, el número de partidas está dado por la cantidad de segmentos que se pueden formar con tres puntos no alineados:

Si los maestros fueran cuatro:  Observemos que el número de partidas está dado por el número de lados más el número de diagonales del cuadrilátero.

x

d

n

x+n

3

0

0

3

4

1

2

6

Si ahora llamamos:

5

2

5

10

x: al número de lados, lo que además equivale al número de vértices (x>2).

6

3

9

15

.

.

.

.

Con cinco maestros:

d: al número de diagonales desde un vértice. n: al número total de diagonales podemos "armar" el siguiente cuadro:

x x–3 luego debe ser:

= 45.

Claro está, es ésta una ecuación de segundo grado cuya única solución positiva es x = 10. Prof. Guillermo Coronado

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Problemas

En este caso estamos en presencia de un caso especial del problema de calcular el número n de diagonales de un polígono de x lados En caso de conocerse el tema: "Combinatoria", sólo a un nivel elemental, este problema podría resolverse con el planteo de la ecuación: C(x, 2) = 45 lo que equivale a decir

que es la misma que quedó planteada.

Nuestra intención fue, mediante este ejemplo, mostrar cómo un problema que aparece en muchos libros de gran difusión, puede aprovecharse de distintos modos, según la temática en que se quiera insistir, o bien según la formación de nuestros alumnos. 6.- Se tiene un caño de forma cilíndrica de 12 m de largo, su sección es una circunferencia de 4 m de longitud. Una soga rodea al cilindro dando 4 vueltas exactas al mismo. Calcular el largo de la soga.

Si pensamos que se hace un corte longitudinal sobre el segmento que determinan los extremos de la soga en la superficie cilíndrica y luego se aplana se tiene un rectángulo:

Considerando cuatro rectángulos de 3m por 4 m, y calculando la longitud de la diagonal

Luego la longitud de la soga será de 20 m. Muy frecuentemente nos encontramos con problemas que son casos particulares de otros o bien de propiedades conocidas, cuestión que tanto el docente como el alumno utilizan muy seguido.

Diez problemas sencillos propuestos. (Con respuestas). 1) Calcular el área total de un tanque cilíndrico de 2 metros de altura y de 50 centímetros de radio de la base. Calcular también cuántos litros de agua aproximadamente se necesitarán para llenarlo. Rta: 2, 7 π cm2 de área y aproximadamente 1570,8 litros de capacidad. Comentario: En cuanto al cálculo del área del cilindro, es importante que se descubra que todo se reduce a sumar las áreas de dos círculos y de un rectángulo. Pero sobre todo que se observe que a la longitud de la base del rectángulo puede encontrarse sin mayores dificultades. 2) Calcular el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide rectangular que tiene por base un cuadrado de 10 cm. de lado y una altura de 12 cm.Rta: el área lateral es de 260 cm2 y el área total de 360 cm2. 3) Un oficinista, un día cansado de su trabajo, resolvió dar la vuelta al mundo a pie caminando por el Ecuador, pero antes de salir pensó en calcular cuanto más recorrería su nariz que sus pies, sabiendo que la misma está 1,80 metros del suelo. Obtuvo como respuesta: aproximadamente 11,31 metros. ¿Fue correcto su cálculo? Rta: Sí. 4) ¿Existe un triángulo que tenga por lados segmentos de 3, 5 y 9 centímetros? ¿Por qué? Rta: No, pues la suma de tres más cinco resulta menor que 9. 5) ¿Cuál es valor de un ángulo central de un hexágono regular?, ¿y de un octógono regular?, ¿y de un eneágono regular? Rta: 60, 45 y 40 grados respectivamente. 6) ¿Cuál es valor de un ángulo interior de un hexágono regular?, ¿y de un octógono regular?, ¿y de un eneágono regular? Rta: 120, 135 y 140 grados respectivamente. Prof. Guillermo Coronado

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Problemas

7) ¿Cuál es valor de un ángulo exterior de un hexágono regular?, ¿y de un octógono regular?, ¿y de un eneágono regular? Rta: 60, 45 y 40 grados respectivamente. 8) En un triángulo isósceles, un ángulo es igual a los 4/5 de la suma de los tres ángulos del triángulo. Calcular todos los ángulos interiores de ese triángulo. Rta: 144, 18 y 18 grados. 9) Si en un paralelogramo uno de sus ángulos exteriores mide 102 grados 39 minutos, calcular la medida de todos sus ángulos interiores. Rta: Dos de 47 grados 21 minutos y los otros dos de 132 grados 39 minutos. 10) Determinar los valores de x, z y w, sabiendo que cada uno de los tres polígonos tiene área 648 centímetros cuadrados. El primero es un rectángulo divido en cuatro rectángulos iguales. El segundo es un paralelogramo, donde los dos segmentos consecutivos a z tienen la misma longitud que él y los segmentos verticales son las alturas. En el tercero, los cuatro rectángulos pequeños son iguales. (6 significa 6 cm.)

Rta: x=27 cm. z=36 cm. w=21,6 cm.

Cuatro problemas, algo complejos, resueltos. 1) La recta AB es tangente a la circunferencia de centro O en el punto A. Dicha circunferencia tiene 9 centímetros de diámetro. C pertenece a la circunferencia y el segmento CB mide las dos terceras partes del radio de la circunferencia. Determinar si el área sombreada es mayor, igual o menor que la de la cuarta parte del círculo.

de donde:

Luego (aplicando el teorema de Pitágoras por ser el triángulo OBA rectángulo, dado que la tangente resulta perpendicular al radio en el punto de tangencia) es

de donde el área sombreada será Calcularemos ahora el área del círculo luego el área de un cuarto del círculo es

y como

La respuesta es que el área sombreada es menor que el área de la cuarta parte del círculo.

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Problemas

2) Calcular el área exacta de la figura sombreada, sabiendo que ABCDEF es un hexágono regular, inscripto en la circunferencia de centro O, que la longitud de la misma es de 24 pi cm y que el ángulo ASE es recto.

El radio de la circunferencia es de 12 cm pues hexágono es

. La apotema del

. o sea

El trapecio isósceles BEDC tiene por área 3 veces la del triángulo equilátero EOD o sea :

El triángulo rectángulo ABS tiene por área : El área sombreada resulta entonces: 3 . Calcular el área exacta de la zona sombreada si : la curva interior es arco de la circunferencia de centro O ; la curva exterior es arco de la circunferencia de centro O’ ; las rectas BO y AO son perpendiculares y el segmento OA mide 4 metros.

o sea que

El semicírculo de centro O’ tiene área de

El cuarto de círculo de centro O tiene área

o sea 4π m2 .

.

La diferencia entre este cuarto de círculo y el triángulo AOB es la zona no sombreada :

.

La diferencia entre el semicírculo y la zona no sombreada es la "media luna" : 8m2. La suma entre las áreas de la "media luna" y el triángulo AOB es el área pedida : 16 m2. 4. Una correa continua corre, en torno de dos ruedas, de manera que éstas giran en sentidos opuestos. Las ruedas tienen 3 cm y 9 cm de radio y la distancia entre sus centros es de 24 cm. Determinar con error menor que 0,01 cm la longitud de la correa.

Los triángulos OAP y PDO’ son semejantes. Si llamamos x al segmento OP resulta :

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Problemas

de donde x = 18 cm. Si llamamos y1 al segmento AP, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OAP resulta y1 = aplicamos al triángulo O’BP, llamando y2 al segmento PB resulta y2 = Como el segmento AB = y2 + y1 será la medida del segmento AB de

cm; y si lo

cm. cm.

Además, la tangente del ángulo convexo AOP (cateto opuesto sobre cateto adyacente) es igual a y1 / OA. Por lo tanto dicha tangente vale

, o sea ese ángulo mide 60 grados. Luego el ángulo cóncavo AOC mide 240°.

de donde resulta que la medida del segmento AC es de 12π cm. Análogamente la medida del segmento BD = 4π cm. Luego será: AC + BC + 2AB = Con

cm.

la respuesta es : 91,83 cm.

Trece problemas, algo complejos, propuestos. (Con respuestas) 1) Sabiendo que AOPQ es un cuadrado de 16 centímetros de perímetro, que ABCD es un rectángulo de 25 centímetros cuadrados de área y que Q es el centro de la circunferencia que pasa por D y por O, hallar las dimensiones del rectángulo ABCD.

Rta: Dibujar en escala, con los datos y con los resultados obtenidos, la figura que describe al anterior problema. Compararla con la presentada y luego discutir la siguiente afirmación: La geometría (elemental) es el arte de razonar sobre figuras mal hechas (Henri Poincaré).

2) a) Si el área sombreada fuese de centímetros cuadrados y el ángulo A, las dos terceras partes del ángulo B, calcular la medida del radio. b) Si la relación entre los ángulos fuese la misma que en a) y el radio midiese 10 centímetros ¿cuántos centímetros cuadrados mediría el área sombreada? Rta: 5 cm.

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Problemas

3) ABCD es un cuadrado de 5 cm. de lado. La longitud del segmento BS es de 10 cm. Calcular el área de la zona sombreada.

Rta: 25

cm2 .

4) Una pelota hueca tiene 20 centímetros de diámetro, incluyendo su cubierta de 4 centímetros de espesor. ¿Cuántos metros cúbicos de material se requieren para la fabricación de 9000 unidades? (Recordar que el volumen de la esfera es

)

Rta: 9,408 π m3 . 5) Se tiene una pileta de lona de base rectangular, de 2 metros de largo y 3 metros de ancho que fue llenada hasta los 40 centímetros de alto. Se desea colocar cloro para conservar el agua en buenas condiciones por más tiempo. Las instrucciones del cloro dicen que se deben colocar 100 mililitros por cada 1000 litros de agua. Si se posee un recipiente medidor en centímetros cúbicos, ¿cuántos centímetros cúbicos de cloro deberán incorporarse? Rta: 240 mililitros (algo menos de un cuarto de litro).

6) La figura representa una mesa, y las curvas son semicírculos. ¿Cuántas personas se podrán ubicar si cada una necesita 54 centímetros del borde de la mesa para ubicarse? (Aproximar el número a 3,14 y tomar como resultado el número entero más próximo al resultado obtenido. Las dimensiones que aparecen en el dibujo deben ser consideradas en metros). Rta: 9 personas.

7) MNPQ es un cuadrado inscripto en la circunferencia. El área sombreada es de nueve centímetros cuadrados. Calcular el área del círculo. Rta: 18π cm2 .

8) RSTP es un cuadrado de 4 centímetros cuadrados de área, MNPQ es un rectángulo de 8 centímetros cuadrados de área y la curva que aparece es la de la circunferencia de centro T que pasa por Q y por S. Hallar las dimensiones exactas del rectángulo antes mencionado. Rta:

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Problemas

9) El polígono de la siguiente figura es regular y está inscripto en el círculo. Calcular el área y el perímetro de la zona sombreada, en forma exacta, si se sabe que el área de ese círculo es 16 veces el número pi centímetros cuadrados. Rta: El área es de

El perímetro es de

10) R, S y T son centros de la semicircunferencias que aparecen en la figura. ABCDEF es un hexágono regular. Calcular el valor del área de la figura sombreada. Rta:

11) Calcular el área de la zona sombreada, sabiendo que C es el centro de la circunferencia de radio CO, que C’ es el centro de la circunferencia de radio C’O y que la longitud de esta última es de centímetros. Rta: 24π cm2 12) Inscribir un cuadrado en una circunferencia de longitud de cada uno de los segmentos circulares que quedan determinados. Rta: (π / 2 - 1) cm2.

Calcular el valor del área

13) En la figura, la longitud del segmento AB es de 2 cm y la de los segmentos iguales BC y CD es de 1 cm. Las curvas son todas semicircunferencias. Calcular el área de la zona sombreada.

Rta:

¿Y si contamos? Con diagramas de Venn-Euler. Cuatro problemas resueltos. CUANDO DECIMOS, POR EJEMPLO "¿CUÁNTAS PERSONAS NO TOMABAN NI TÉ NI CAFÉ?" DEBE INTERPRETARSE EL LENGUAJE CORRIENTE EN QUE HABLAMOS LOS ARGENTINOS Y NO UNA DOBLE NEGACIÓN LÓGICA.

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Problemas

1) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas, etc. En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas: ¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 6 personas. 1.

¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 9 personas.

2.

¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas.

3.

¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1 persona.

4.

¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 6 personas.

5.

¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 3 personas.

6.

¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas? Rta. 11 personas.

7.

¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas? Rta. 7 personas.

8.

¿Cuántas personas tomaban sólo café? Rta. 5 personas.

9.

¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rta. 11 personas.

2) Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo A o del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 días del mes ha fabricado A, y 20 días ha fabricado B, a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos? b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo A? c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo B? El dato de los 4 domingos puede volcarse directamente en el diagrama. Obviamente existieron días en que se fabricaron ambos productos, pues de lo contrario abril tendría 39 días. Luego, dado que abril sólo tiene 30 días debieron haber 9 días en que se fabricaron ambos productos. Por diferencia de este número con 15 y con 20 se obtuvieron 6 y 11 respectivamente. Rtas. a) 9 días; b) 6 días; c) 11 días. 3) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té, café o chocolate. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: las tres bebidas, sólo té, té y chocolate pero no café, etc. En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas: 1.

¿Cuántas personas fueron encuestadas? Rta. 30 personas.

2.

¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas tres bebidas? Rta. 28 personas.

3.

¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 13 personas.

4.

¿Cuántas personas tomaban sólo dos de esas tres bebidas bebidas? Rta. 9 personas.

5.

¿Cuántas personas tomaban exactamente dos de esas tres bebidas? Rta. 9 personas.

6.

¿Cuántas personas tomaban menos de dos de esas tres bebidas? Rta. 20 personas.

7.

¿Cuántas personas tomaban exactamente una de esas dos bebidas? Rta. 18 personas.

8.

¿Cuántas personas tomaban sólo chocolate? Rta. 7 personas.

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Página Nº 21

Problemas

9.

¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 12 personas.

10. ¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 17 personas. 11. ¿Cuántas personas tomaban las tres bebidas? Rta. 1 persona. 12. ¿Cuántas personas no tomaban las tres bebidas? Rta. 29 personas. 13. ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de esas tres bebidas? Rta. 2 personas. 14. ¿Cuántas personas no tomaban ni té ni café? Rta. 9 personas. 15. ¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 18 personas. 16. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas. ¿Cuántas personas tomaban té y café pero no chocolate? Rta. 3 personas. 17. ¿Cuántas personas tomaban chocolate y café? Rta. 3 personas. 18. ¿Cuántas personas tomaban chocolate y café pero no té? Rta. 2 personas. 4) Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes: 1.

¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?

2.

¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?

3.

¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente?

4.

¿A cuántos le gustaban las tres cosas?

5.

¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

I) Motocicleta solamente: 5 II) Motocicleta: 38 III) No gustan del automóvil: 9 IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3 V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20 VI) No gustan de la bicicleta: 72 VII) Ninguna de las tres cosas: 1 VIII)No gustan de la motocicleta: 61

Tratemos de volcar los datos en un diagrama de Venn para tres conjuntos. Nos encontraremos con que sólo cuatro de ellos (los números I), IV), V) y VII) se pueden volcar directamente:

Ahora con el dato II) se puede completar la única zona que falta en el conjunto MOTO, haciendo la diferencia 38 - (20+5+3) = 10: 

Luego utilizaremos el dato VI), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto BICI, deberán sumar 72, luego 72 (20+5+1) = 46:

 Después de ello, podremos usar el dato III), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto AUTO, deberán sumar 9, luego 9 - (5+3+1) =0

 Por último utilizaremos el dato VIII) pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto MOTO, deberán sumar 61, luego 61 - (46+0+1) = 14 Prof. Guillermo Coronado

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Problemas

Con lo que estamos en condiciones de responder a todas las preguntas: a.

A 99 personas.

b.

A ninguna.

c.

A 46 personas.

d.

A 10 personas.

e.

a 14 personas.

Con diagramas de Venn-Euler. Diez problemas propuestos. (Con respuestas). 1) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 410 personas consumían por lo menos uno de los dos productos. 294 personas consumían A. 78 personas consumían A pero no B. 138 personas consumían A pero no B. 206 personas consumían A y B. 44 personas no consumían ni A ni B. a.

¿Cuántas personas consumían A? Rta: 344 personas.

b.

¿Cuántas personas consumían B? Rta: 318 personas.

c.

¿Cuántas personas consumían B pero no A? Rta: 112 personas.

d.

¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos? Rta: 456 personas.

2) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 410 personas consumían por lo menos uno de los dos productos. 294 personas consumían A. 78 personas consumían A pero no B. a.

¿Qué porcentaje de personas consumía B? Rta. El 66,2%

b.

¿Qué porcentaje de personas consumía sólo B? Rta. El 23,2%

c.

c) ¿Qué porcentaje de personas consumía los dos productos? Rta. El 43%

d.

d) ¿Qué porcentaje de personas no consumía ninguno de los dos productos? Rta. El 18%

3) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 310 personas consumían por lo menos uno de los dos productos. 270 personas consumían A. 205 personas consumían B pero no A. Demostrar que los resultados de la encuesta no son atendibles. Rta: Cuando se trata de volcar los datos se ve que donde dice que debe haber 270, sólo cabrían solamente 105. 4) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 5 personas consumían sólo A 25 personas consumían sólo B. 10 personas consumían sólo C 15 personas consumían A y B, pero no C. 80 personas consumían B y C, pero no A. 8 personas consumían C y A, pero no B. 17 personas no consumían ninguno de los tres productos. a.

¿Cuántas personas consumían A? Rta. 68 personas.

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Problemas

b.

¿Cuántas personas consumían B? Rta. 160 personas.

c.

¿Cuántas personas consumían C? Rta. 138 personas.

d.

¿Cuántas personas consumían A, B y C? Rta. 40 personas.

e.

¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos? Rta. 183personas.

f.

¿Cuántas personas consumían A o B? Rta. 173 personas.

g.

¿Cuántas personas no consumían C ? Rta. 62 personas.

h.

¿Cuántas personas no consumían ni C ni A? Rta. 22 personas.

5) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 30 personas consumían A. 85 personas consumían B. 103 personas consumían C. 10 personas consumían A y C, pero no B. 13 personas consumían A y C. 18 personas consumían B y C. 5 personas consumían A y B, pero no C a.

¿Cuántas personas no consumían ninguno de los tres productos? Rta. 19 personas.

b.

¿Cuántas personas consumían los tres productos? Rta. 3 personas.

c.

¿Cuántas personas consumían A pero no B ni C? Rta. 11 personas.

d.

¿Cuántas personas no consumían A? Rta. 170 personas.

e.

¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos? Rta. 181 personas.

6) Sobre un grupo de 45 alumnos se sabe que: 16 alumnos leen novelas. 18 alumnos leen ciencia ficción. 17 alumnos leen cuentos. 3 alumnos leen novelas, ciencia ficción y cuentos. 1 alumno lee sólo cuentos y ciencia ficción. 8 alumnos leen sólo cuentos. 4 alumnos leen sólo novelas y ciencia ficción. ¿Cuántos alumnos leen sólo ciencia ficción? Rta. 10 alumnos. ¿Cuántos alumnos no leen ni novelas, ni cuentos ni ciencia ficción? Rta. 10 alumnos. 7) Una encuesta sobre 500 niños internados en un hogar reveló los siguientes datos: 308 eran menores de diez años. 5 eran huérfanos de padre y madre. 22 eran huérfanos de padre 174 no eran menores de 10 años, ni eran huérfanos de madre o padre. 3 eran menores de diez años, huérfanos de madre y padre. 9 eran menores de diez años, huérfanos sólo de padre. 13 eran huérfanos sólo de madre. a.

¿Cuántos niños eran huérfanos de madre? Rta. 20 niños.

b.

¿Cuántos niños menores de diez años eran huérfanos de madre? Rta. 8 niños.

8) Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos: 126 personas consumían C. 124 personas no consumían A. 36 personas no consumían ni A ni B. Prof. Guillermo Coronado

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Problemas

170 personas consumían por lo menos uno de los tres productos. 60 personas consumían A y C. 40 personas consumían los tres productos. 56 personas no consumían B. a.

¿Cuántas personas consumían solamente B? Rta. 28 personas

b.

¿Cuántas personas consumían A y B? Rta. 56 personas.

c.

¿Cuántas personas consumían solamente A? Rta. Ninguna persona.

9) En una fábrica de 3.000 empleados, hay: 1.880 varones. 1.600 personas casadas. 380 técnico (varones o mujeres) 150 técnico casados 120 técnicos varones casados. 1.260 varones casados. 260 técnicos varones. a.

¿Cuántas mujeres no casadas trabajan en la fábrica? Rta. 780 mujeres.

b.

¿Cuántas mujeres técnicas trabajan en la fábrica? Rta. 120 mujeres.

c.

¿Cuántas mujeres técnicas casadas trabajan en la fábrica? Rta. 30 mujeres.

d.

¿Cuántas mujeres trabajan en la fábrica? Rta. 1.120 mujeres.

9) Una encuesta sobre un grupo de personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos: 59% usan A. 73% usan B. 85% usan C. 41% usan A y B. 33% usan A y C. 47% usan B y C. 15% usan los tres productos. ¿Son atendibles los datos de la encuesta? ¿Por qué? Rta. No son atendibles porque el total de la gente encuestada sería del 111% y no del 100%. Nota: La mayor parte de estos problemas (que suelen llamarse de conteo) están extraidos de un trabajo realizado por el Dr. Alfredo Novelli en la década del 70.

Combinatoria Problemas resueltos Permutación 1a 2a 3a A

1) Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de biología(B) y otro de cálculo(C), y se quiere ver de cuántas maneras se pueden ordenar en un estante.

B

En principio se puede elegir cualquiera de los 3 para colocar en primer lugar:

C

Una vez elegido uno de ellos, para ocupar el primer lugar, quedan 2 posibles para ubicar

Se ve entonces que hasta ahora hay 3 por 2 maneras distintas de ordenar los libros. Pero una vez dispuestos las 2 primeros queda unívocamente determinado cuál debe ser el tercero. Prof. Guillermo Coronado

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Problemas

O sea que el número total de maneras posibles de ordenar los 3 libros se puede calcular como: 3.2.1 = 6 Variación 2) Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno. En un principio se puede elegir cualquiera de los 7 libros para ubicarlo en Primer lugar Después quedan 6 libros posibles para colocar en el segundo lugar y por último solo 5 libros para el tercer lugar. Por lo tanto las distintas maneras en que se pueden llenar los 3 huecos de la biblioteca es: 7.6.5 = 210 Si se tienen n libros y tres lugares es: n.(n - 1).(n - 2) En general para n libros y k lugares resulta: n. (n-1). (n-2). ..... .[n- (k-1)] Con la fórmula: Vn,k = n!/(n-k)!

V7,3=7!/(7-3)!=7.6.5.4!/4!=7.6.5

Permutaciones con Repetición 3) ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de palabra BONDAD? Hay 5!/2! Si se escribe en lugar de BONDAD: BONDAD’ Todas las letras son distintas, luego hay 5! permutaciones, pero cada par de permutaciones: - - - D - D’ - - - D’- D Coinciden, por lo tanto se tiene que dividir por 2 el número total de permutaciones 4) ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra AMASAS? Si a la letras que se repiten se les coloca un subíndice se tiene A 1M A 2 S 1 A 3 S2 y el número de permutaciones posibles es P6 = 6! Que ocurre si sólo se cambian de posición las letras A? A 1M A 2 S 1 A 3 S2 A 2M A 3 S 1 A 2 S2 A 1M A 3 S 1 A 2 S2 A 3M A 1S 1 A 2 S2 A 2M A 1 S 1 A 3 S2 A 3M A 2 S 1 A 1 S2 Se obtienen tantas maneras distintas de ordenar como permutaciones de 3 elementos (las 3 "A"), cuyo número es P3 = 3! De manera similar si sólo se modifica la posición de la letra "S" se obtienenP2 = 2! maneras de ordenar diferentes. Pero en cualquiera de los dos casos, siempre se sigue leyendo la misma palabra, es decir, que si se borran los subíndices, no se distingue diferencia alguna.

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Se puede encontrar el número de permutaciones –P6 distinguibles o no – haciendo el producto de las distinguibles – que se indican 6 P 2,3 – por las no distinguibles P2 y P3 . P6 = 6 P2,3 . P2. P3 De esta manera se puede encontrar el número de permutaciones distinguibles:

Combinación 5) Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar guardias. ¿Cuántas ternas se podrán formar? Se trata de formar todas las ternas posibles, sin repetir elementos en cada una, y sin importar el orden de los elementos. Si quisiéramos formar todas las ternas posibles, sin repetición de elementos en cada una, para elegir el primer elemento hay 21 posibilidades, para el segundo quedan 20 posibilidades, y para el tercero 19 posibilidades, por lo tanto el número de ternas posibles está dado por: 21* 20*19 = 7980 Pero en este caso cada terna aparece repetida en distinto orden, por ejemplo tendremos: ABC, ACB, BAC, CAB y CBA. Son seis ternas con los mismos elementos, que está dado por el factorial de 3. Por lo tanto el total de ternas obtenido 7980, hay que dividirlo por 6 7980/6 = 1330 Se pueden organizar las guardias de 1330 maneras diferentes Este es un problema de combinación. Si llamamos m al número de elementos del conjunto y n al número que integrará cada uno de los conjuntos que debemos formar, de modo que ls elementos de cada uno sean diferentes y no importa el orden, se tiene la fórmula: Cm,n = m!/ (n!. (m-n)!)

Combinaciones con Repetición 6)¿De cuántas maneras pueden entrar cuatro alumnos en tres aulas, si no se hace distinción de personas? Si tomamos, por ejemplo que entran dos personas en el aula 1, una en el aula 2 y otra en el aula 3

Que escribimos: 1123 Pero también se puede dar la siguiente situación

Es decir 3121

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Problemas

Otra situación

O sea 3211 Al no haber distinción estas distribuciones de cuatro alumnos en tres aulas son la misma. Otra distribución distinta es, por ejemplo 1113, que significa: tres alumnos entraron en el aula 1 y el cuarto en el aula 3. De modo que las distribuciones posibles de 4 personas en tres aulas, son C’3,4 = C3+4-1,4 = C6,4 = 6 . 5. 4. 3/(4. 3. 2. 1) = 15

7. Una comida gratis Diez jóvenes decidieron celebrar la terminación de sus estudios en la escuela secundaria con un almuerzo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabló entre ellos una discusión sobre el orden en que habían de sentarse a la mesa. Unos propusieron que la colocación fuera por orden alfabético; otros, con arreglo a la edad; otros, por los resultados de los exámenes; otros, por la estatura, etc. La discusión se prolongaba, la sopa se enfrió y nadie se sentaba a la mesa. Los reconcilió el camarero, dirigiéndoles las siguientes palabras: Jóvenes amigos, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en cualquier orden y escúchenme Todos se sentaron sin seguir un orden determinado. El camarero continuó: Que uno cualquiera anote el orden en que están sentados ahora. Mañana vienen a comer y se sientan en otro orden. Pasado mañana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y así sucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el día en que ustedes tengan que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente, que en lo sucesivo les convidaré a comer gratis diariamente, sirviéndoles los platos más exquisitos y escogidos.

La proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada día en aquel restaurante y probar todos los modos distintos, posibles, de colocación alrededor de la mesa, con objeto de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas. Sin embargo no lograron llegar hasta ese día. Y no porque el camarero no cumpliera su palabra sino porque el número total de combinaciones diferentes alrededor de la mesa es extraordinariamente grande. Estas son exactamente 3.628.800. Es fácil calcular, que este número de días son casi 10.000 años. Posiblemente a ustedes les parecerá increíble que 10 personas puedan colocarse en un número tan elevado de posiciones diferentes. Comprobemos el cálculo. Ante todo, hay que aprender a determinar el número de combinaciones distintas, posibles. Para mayor sencillez empecemos calculando un número pequeño de objetos, por ejemplo, tres. Llamémosles A, B y C. Deseamos saber de cuantos modos diferentes pueden disponerse, cambiando mutuamente su posición. Hagamos el siguiente razonamiento. Si se separa de momento el objeto C, los dos restantes, A y B, pueden colocarse solamente en dos formas. Ahora agreguemos el objeto C a cada una de las parejas obtenidas. Podemos realizar esta operación tres veces: colocar C detrás de la pareja, colocar C delante de la pareja, Prof. Guillermo Coronado

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colocar C entre los dos objetos de la pareja. Es evidente que no son posibles otras posiciones distintas para el objeto C, a excepción de las tres mencionadas. Como tenemos dos parejas, AB y BA, el número total de formas posibles de colocación de los tres objetos será: 2 x 3 = 6. Hagamos el cálculo para cuatro objetos. Tenemos cuatro objetos A, B, C y D, y separemos de momento uno de ellos, por ejemplo, el objeto D. Efectuemos con los otros tres todos los cambios posibles de posición. Ya sabemos que para tres, el número de cambios posibles es 6. ¿En cuántas formas diferentes podemos disponer el cuarto objeto en cada una de las 6 posiciones que resultan con tres objetos? Evidentemente, serán cuatro. Podemos: colocar D detrás del trío, colocar D delante del trío, colocar D entre el 1º y de 2º objetos, colocar D entre el 2º y 3º. Obtenemos en total: 6 x 4 = 24 posiciones, pero teniendo en cuenta que 6 = 2 x 3 y que 2 = 1 x 2, entonces podemos calcular el número de cambios posibles de posición haciendo la siguiente multiplicación: 1 x 2 x 3 x 4 = 24. Razonando de idéntica manera, cuando haya 5 objetos, hallaremos que el número de formas distintas de colocación será igual a: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120. Para 6 objetos será: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 y así sucesivamente. Volvamos de nuevo al caso antes citado de los 10 comensales. Sabremos el número de posiciones que pueden adoptar las 10 personas alrededor de la mesa, si nos tomamos el trabajo de calcular el producto siguiente: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10. Resultará el número indicado anteriormente: 3.628.800. El cálculo sería más complicado, si de los 10 comensales, 5 fueran muchachas y desearan sentarse a la mesa alternando con los muchachos. A pesar de que el número posible de combinaciones se reduciría en este caso considerablemente, el cálculo sería más complejo. Supongamos que se sienta a la mesa, indiferentemente del sitio que elija, uno de los jóvenes. Los otros cuatro pueden sentarse, dejando vacías para las muchachas las sillas intermedias, adoptando 1 x 2 x 3 x 4 = 24 formas diferentes. Como en total hay 10 sillas, el primer joven puede ocupar 10 sitios distintos. Esto significa que el número total de combinaciones posibles para los muchachos es de 10 x 24 = 240. ¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse en las sillas vacías, situadas entre los jóvenes las 5 muchachas? Evidentemente serán 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120. Combinando cada una de las 240 posiciones de los muchachos, con cada una de las 120 que pueden adoptar las muchachas, obtendremos el número total de combinaciones posibles, o sea, 240 x 120 = 28.800 Este número, como vemos, es muchas veces inferior al que hemos citado antes y se necesitaría un total de 79 años. Los jóvenes clientes del restaurante, que vivieran hasta la edad de cien años, podrían asistir a una comida, servida gratis, si no por el propio camarero, al menos por uno de sus descendientes. Sabiendo calcular el número de permutaciones posibles, podemos determinar el número de combinaciones realizables con las cifras del "juego del 15". Con otras palabras, podemos calcular el número total de ejercicios que es posible efectuar con ese juego. Se comprende fácilmente, que el cálculo se reduce a hallar el número de combinaciones posibles a base de 15 objetos. Sabemos, según hemos visto, que para ello es preciso multiplicar sucesivamente: 1 x 2 x 3 x 4 x … x 14 x 15. Como resultado se obtiene: 1.307.674.365.000, o sea, más de un billón. La mitad de ese enorme número de ejercicios son insolubles, o sea que en este juego, más de 600.000 millones de combinaciones no tienen solución. Por ello se comprende, en parte, la fiebre de apasionamiento por el "juego del 15", que embargó a las gentes, que no sospechaban la existencia de ese inmenso número de casos insolubles. Prof. Guillermo Coronado

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Problemas

Si fuera posible colocar cada segundo las cifras en una nueva posición, para realizar todas las combinaciones posibles, habría que trabajar incesantemente día y noche más de 40.000 años. Como fin de nuestra charla sobre el número de combinaciones posibles, resolvamos el siguiente problema relacionado con la vida escolar. Hay en clase 25 alumnos. ¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse en los pupitres? Para los que han asimilado lo expuesto anteriormente, la solución es muy sencilla: basta multiplicar sucesivamente los 25 números siguientes: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x … x 23 x 24 x 25. En matemáticas existen diversos métodos de simplificación de los cálculos, pero para facilitar operaciones como la que acabamos de mencionar, no los hay. El único procedimiento para efectuar exactamente esta operación consiste en multiplicar con paciencia todos esos números. Sólo puede deducirse algo de tiempo requerido para efectuar esa multiplicación, eligiendo una agrupación acertada de los mismos. El resultado que se obtiene es un número enorme compuesto de 26 cifras, cuya magnitud es incapaz de representársela nuestra imaginación. He aquí el número: 15.511.210.043.330.985.984.000.000

Combinatoria. Problemas propuestos con respuesta 1.- Si en un colectivo hay 10 asientos vacíos. ¿De cuántas formas pueden sentarse 7 personas?Rta: 604.800 2.- ¿Cuál es el número total de permutaciones que pueden formarse con las letras de la palabra MATEMATICA. Rta: 151.200 3.- ¿Cuántos números de 5 dígitos y capicúas pueden formarse con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8? Rta: 512 4.-Un estudiante para aprobar un examen que consta de 10 preguntas, debe contestar 7 de ellas. ¿De cuántas maneras puede hacer la selección para aprobar el examen?Rta: 120 5.-¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas en una fila?Rta: 120 6.-¿De cuántas maneras se pueden ordenar en hilera todas las fichas blancas de ajedrez, si no son distinguibles entre sí las del mismo tipo? (Por ejemplo los 8 peones). Rta: 64.864.800 7.-¿Cuántos triángulos quedan determinados por 6 puntos, tales que no haya 3 alineados? Rta: 20 8.-Tres personas suben en la planta baja al ascensor de un edificio que tiene 5 pisos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ir saliendo del ascensor si en ningún piso baja más de una persona? Rta: 60 9.-¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar con los dígitos del 1 al 9? Rta: 3.024 10.-¿De cuántas maneras se pueden ordenar 6 discos en un estante? Rta: 720 11.-En un edificio en el que viven 25 personas adultas hay que formar una comisión interna de 3 personas. ¿Cuántas comisiones se pueden formar? Rta: 2.300 12.-Un marino tiene 4 banderas distintas para hacer señales. ¿Cuántas señales diferentes puede hacer si coloca 3 banderas en un mástil una sobre otra? Rta: 24 13.-¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse, tengan o no sentido, usando las letras de la palabra CUADERNO Rta: 6.720 14.-¿Cuántos equipos de fútbol se pueden formar con los 20 alumnos de un curso? Rta: 125.970 15.-¿De cuántas maneras se pueden ordenar las 24 letras del alfabeto griego? Rta: 24! 16.-¿De cuántas maneras se pueden bajar de un ascensor 4 personas, en un edificio que tiene 7 pisos? Rta: 2.401 17.- Con 3 mujeres y 5 varones: Prof. Guillermo Coronado

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Problemas

¿Cuántos triunviratos que tengan 2 personas del mismo sexo se pueden formar? ¿Cuántas hileras de 8 personas se pueden formar si las mujeres no pueden ocupar ni el primer ni el último lugar? ¿Cuántas hileras de 7 personas se pueden formar si personas del mismo sexo no pueden ocupar lugares consecutivos? Rta: a) 45

b)14.400

c) 720

18.- ¿De cuántas maneras pueden alinearse 10 personas, si 3 de ellas deben estar juntas? Rta: 241 19.- ¿Cuántos caracteres se pueden formar con los puntos y rayas del alfabeto Morse, si en cada uno entran hasta 4 de tales elementos? Rta: 30 20.- ¿De cuántas maneras se pueden colocar 10 libros en un estante, si 4 deben ocupar los mismos lugares, aún cuando estos 4 puedan intercambiarse entre sí? Rta: 17.280 21.- ¿De cuántas maneras se pueden colocar en fila 6 hombres, no pudiendo uno determinado estar nunca a la cabeza? Rta: 600 22.- ¿Cuántos paralelogramos quedan determinados cuando un grupo de 8 rectas paralelas son intersecadas por otro grupo de 6 rectas paralelas? Rta: 420 23.- En un grupo de 18 alumnos hay que formar un grupo de 6. ¿De cuántas maneras puede hacerse? ¿De cuántas maneras puede hacerse sabiendo que un alumno en particular, Juan, debe integrar el grupo? ¿De cuántas maneras puede hacerse excluyendo a Juan Rta: a) C 18,6, b) C 17,5 c)C 17,6 24.- En una ciudad A los números telefónicos se forman con 4 números (0 a 9) no pudiendo ser cero el primero de ellos, y en otra ciudad B con 5 números con las mismas condiciones ¿cuántas comunicaciones pueden mantenerse entre los abonados de ambas ciudades?. Rta: 810.000.000

Progresiones aritméticas y geométricas Cuatro problemas resueltos 1.Consideremos la siguiente situación: 2 ciclistas se preparan para una competencia: Pablo comienza con 1000 metros, y todos los días agrega 1000 metros más, en tanto que Emilio empieza con 200 metros y cada día duplica lo hecho el día anterior. Cuántos metros recorre cada uno el décimo día? Solución: Pablo aumenta el recorrido según una progresión aritmética, por lo tanto an= 1000 + (10 - 1). 1000 = 10000 En cambio Emilio aumenta su recorrido según una progresión geométrica, por lo tanto an= 200. 210 - 1 = 102 400 Se puede ver en una tabla

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Pablo

Emilio

1er día

1000

200

2do día

2000

400

3er día

3000

800

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Problemas

4to día

4000

1600

5to día

5000

3200

6to día

6000

6400

7mo día

7000

12800

8vo día

8000

25600

9no día

9000

51200

10mo día

10000

102400

Respuesta: El décimo día Pablo recorre 10000 metros y Emilio 102400 metros 2.1

2

3

4

*** *** *** *** *** *** * *** *** * *** * 7 asteriscos 10 asteriscos 13 asteriscos La progresión 7, 10, 13, ... es aritmética; la diferencia entre los términos consecutivos es 3; el primer término es 7. ¿Cuántos asteriscos habrá en el séptimo diagrama?; esto significa: ¿cuál es el séptimo término de la sucesión? an = a1 +(n - 1). r a7 = 7 + 6. 3 = 25 3.-Hallar el término 11º y el término enésimo de la progresión aritmética 4, 7, 10, ... En esta sucesión, a1 = 4 y r = 3, luego: a11 = 4 + (11-1).3 = 4 + 10.3 = 34 El enésimo término será: an = 4 + 3(n-1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1

4.-Leyenda sobre el tablero del ajedrez El ajedrez es un juego antiquísimo. Cuenta muchos siglos de existencia y por eso no es de extrañar que estén ligadas a él diferentes leyendas, cuya veracidad es difícil comprobar debido a su antigüedad. Precisamente quiero contar una de estas leyendas. Para comprenderla no hace falta saber jugar al ajedrez; basta Prof. Guillermo Coronado

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Problemas

simplemente saber que el tablero donde se juega está dividido en 64 escaques (casillas negras y blancas, dispuestas alternativamente). El juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hindú Sheram lo conoció, quedó maravillado de lo ingenioso que era y de la variedad de posiciones que en él son posibles. Al enterarse de que el inventor era uno de sus súbditos, el rey lo mandó llamar con objeto de recompensarle personalmente por su acertado invento. El inventor, llamado Seta, se presentó ante el soberano. Era un sabio vestido con modestia, que vivía gracias a los medios que le proporcionaban sus discípulos. – Seta, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado –dijo el rey. El sabio contestó con una inclinación. – Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado –continuó diciendo el rey–. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás. Seta continuó callado. – No seas tímido –le animó el rey-. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo. – Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición. Cuando al día siguiente Seta se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia. – Soberano –dijo Seta–, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez. – ¿Un simple grano de trigo? –contestó admirado el rey. – Sí, soberano. Por la segunda casilla ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32… – Basta –le interrumpió irritado el rey–. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo; por cada casilla doble cantidad que por la precedente. Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que necesitas. Seta sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio. Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió para que se enteraran de si habían entregado ya al reflexivo Seta su mezquina recompensa. – Soberano, tu orden se está cumpliendo –fue la respuesta–. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponde. El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes. Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Seta había abandonado el palacio con su saco de trigo. – Soberano –le contestaron–, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer. – ¿Por qué va tan despacio este asunto? –gritó iracundo el rey–. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden. Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante. El rey mandó que le hicieran entrar. – Antes de comenzar tu informe –le dijo Sheram–, quiero saber si se ha entregado por fin a Seta la mísera recompensa que ha solicitado. Prof. Guillermo Coronado

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– Precisamente para eso me he atrevido a presentarme tan temprano –contestó el anciano–. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Seta. Resulta una cifra tan enorme… – Sea cual fuere su magnitud –le interrumpió con altivez el rey– mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa y, por lo tanto, hay que entregársela. – Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Seta. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y toda la cosecha obtenida en estos campos ordena que sea entregada a Seta. Sólo entonces recibirá su recompensa. El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio. – Dime, cuál es esa cifra tan monstruosa –dijo reflexionando–. – ¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince. Verifica si el resultado es correcto

Respuesta: Para poder convencernos, hagamos el cálculo. Si se comienza por la unidad, hay que sumar las siguientes cifras: 1, 2, 4, 8, etc. El resultado obtenido tras 63 duplicaciones sucesivas nos mostrará la cantidad correspondiente a la casilla 64, que deberá recibir el inventor. Podemos hallar fácilmente la suma total de granos, si duplicamos el último número, obtenido para la casilla 64, y le restamos una unidad. Es decir, el cálculo se reduce simplemente a multiplicar 64 veces seguidas la cifra dos: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, y así sucesivamente 64 veces. Con objeto de simplificar el cálculo, podemos dividir estos 64 factores en seis grupos de 10 factores 2 y uno de 4 factores 2. La multiplicación sucesiva de 10 factores 2, como es fácil comprobar, es igual a 1024 y la de 4 factores 2 es de 16. Por lo tanto, el resultado que buscamos es equivalente a: 1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 16 Multiplicando 1024 x 1024 obtenemos 1.048.576 Ahora nos queda por hallar: 1.048.576 x 1.048.576 x 1.048.576 x 16 Restando del resultado una unidad, obtendremos el número de granos buscado: 18.446.744.073.709.551.615 Para hacernos una idea de la inmensidad de esta cifra gigante, calculemos aproximadamente la magnitud que debería tener el granero capaz de almacenar semejante cantidad de trigo. Es sabido que un metro cúbico de trigo contiene cerca de 15 millones de granos. En ese caso, la recompensa del inventor del ajedrez debería ocupar un volumen aproximado de 12.000.000.000.000 m3, o lo que es lo mismo, 12.000 km3. Si el granero tuviera 4 m de alto y 10 m de ancho, su longitud debería de ser de 300.000.000 km, o sea, el doble de la distancia que separa la Tierra del Sol. 150.000.000 km

El rey hindú, naturalmente, no podía entregar semejante recompensa. Sin embargo, de haber estado fuerte en matemática, hubiera podido librarse de esta deuda tan gravosa. Para ello le habría bastado simplemente proponer a Seta que él mismo contara, grano a grano, el trigo que le correspondía. ¿Cuánto tiempo crees que hubiera tardado, en hacerlo?

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Problemas

Si Seta, puesto a contar, hubiera trabajado noche y día, contando un grano por segundo, en el primer día habría contado 86.400 granos. Para contar un millón de granos habría necesitado, como mínimo, 10 días de continuo trabajo. Un metro cúbico de trigo lo habría contado aproximadamente en medio año, lo que supondría un total de 5 cuartos. Haciendo esto sin interrupción durante 10 años, habría contado 100 cuartos como máximo. Por consiguiente, aunque Seta hubiera consagrado el resto de su vida a contar los granos de trigo que le correspondían, habría recibido sólo una parte ínfima de la recompensa exigida.

Progresiones aritméticas y geométricas Diez problemas propuestos con respuestas. 1.- En una PA el 5to término es 11/3, el 7mo es 7. Si tiene 13 términos calcular: a) el primero; b) el último c) la suma de los trece. Rta: a) -3 b) 17 c) 91 2.- En una PG el 8vo término es ¼ y el 9no 0,125. Si tiene 20 términos calcular: a) el primero; b) el último c) la suma de los veinte. Rta: a) 32 b) 1/214 c) 26 - 2-14 3.-Un joven ahorra cada mes $5 más que el mes anterior. En 5 años sus ahorros sumarán $ 9330. Determinar a) lo que ahorró el primer mes. b) lo que ahorró el último mes. Rta: a) $8 b) $303 4.-Un padre proyecta colocar en un baúl $ 1 el día que su hijo cumpla un año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en todos los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl luego? Rta: a) $131072 b) $262143 5.-Una máquina costó $ 9000. Se calcula que al final de cada año sufre una depreciación igual al 15 % del valor que tiene al principio de ese año. ¿Cuál será su valor al cabo de 5 años? Rta: $3993,35 6.- El número de bacterias de un cultivo está aumentando un 25 % cada hora. Si al principio había 300000 ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 5 horas? Rta: 915527,34 7.-El valor de un auto se deprecia 18 % cada año. Su precio original fue $ 19000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 9 años? Rta: $3184,77 8.-Una ciudad tiene 600000 habitantes. La tasa de crecimiento de esa población es 8 % anual. ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de tres años? Rta: 755827,2 9.-El valor de una mercadería se deprecia 4 % cada año. Su precio original fue de $ 19000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 4 años? Rta $16137,58 10.-La población de una ciudad aumenta en 35 % cada 10 años. Si su población en 1940 era de 40000 habitantes, ¿cuál será su población en el año 2000? Rta: 242137,8

Problemas Problema 1: Pedrito y el terreno Prof. Guillermo Coronado

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Problemas

Pedrito midió el largo del terreno de su tío con pasos de 54 cm. Después lo midió el tío con pasos de 72 cm. Quedaron marcadas en total 61 pisadas, pero a veces la misma marca correspondía a dos pisadas, una de Pedrito y otra del tío. ¿Cuál es el largo del terreno?

Problema 2: El rollo Si mido un rollo de cuerda de dos en dos metros me sobra uno. si lo mido de tres en tres , me sobran dos, si lo mido de cuatro en cuatro me sobran tres, si lo hago de cinco en cinco me sobran cuatro y si de seis en seis me sobran cinco. Sabiendo que tiene menos de 100 metros , ¿podrias decir su longitud?

Problema 3: El baile de la fiesta A una fiesta acuden 22 personas. María baila con 7 chicos, Silvia con 8, Amaya con 9, y así sucesivamente hasta llegar a Carmen que baila con todos. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la fiesta?

Problema 4: Páginas del libro Para numerar las páginas de un libro grande, hacen falta 3.005 dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

Problema 5: Los armarios En las escuelas superiores de EEUU, los estudiantes guardan sus pertenencias en armarios particulares durante el tiempo de clase. En una determinada escuela había 1.000 estudiantes y 1.000 armarios. Cada año el primer día de clase, los estudiantes se alinean por orden alfabético y realizan el extraño ritual que sigue: El primer estudiante abre todos los armarios. El segundo cierra los armarios pares comenzando por el dos. El tercero cambia la situación de cada tercer armario (abre los cerrados y cierra los abiertos). el cuarto cambia la situación de cada cuatro armarios; el quinto cambia cada quinto, etc. ¿Qué armarios se quedan abiertos cuando todos los estudiantes han terminado?

Problema 6: El reloj digital I Un reloj digital marca la hora y la fecha con diez dígitos de la siguiente manera: 1 hora

5

4 min.

3

2 dia

6

0

7

mes

8

9

año

Esta hora y fecha es la última del año 1989 en que se utilizan los diez dígitos cada uno una sola vez ¿Cuál es la siguiente fecha en que ocurre esa misma circunstancia?

Problema 7: Tostado rápido Hay que tostar en una parrilla tres rebanadas de pan. En la parrilla caben dos rebanadas a la vez, pero sólo se pueden tostar por un lado. Se tarda 30 segundos en tostar una cara de una pieza de pan, 5 segundos en colocar una rebanada, o en sacarla, y tres segundos en darle la vuelta. ¿Cuál es el mínimo de tiempo que se necesita para tostar las tres rebanadas?

Problema 8: Solteros En una ciudad, 2/3 de los hombres están casados con los 3/5 de las mujeres. Si nunca se casan con forasteros, ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad?

Problema 9: El reloj digital II Un reloj digital marca la hora y la fecha con diez dígitos de la siguiente manera:

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Problemas

1 hora

5

4 min.

3

2

6

dia

0

7

mes

8

9

año

Esta hora y fecha es la última del año 1989 en que se utilizan los diez dígitos cada uno una sola vez ¿Cuál será la primera fecha del siglo XXI en que ocurra esa misma circunstancia?

Problema 10: Apretones de manos En una reunión hay 20 personas y todas se saludan dándose un apretón de manos. ¿Cuántos apretones se habrán dado cuando todas las personas se hayan saludado?

Problema 11: El cuadrado antropófago Un cuadrado tiene su vértice en el centro de otro cuadrado del mismo lado que el anterior. ¿Qué área hay encerrada en la intersección de ambos? Planteate el problema en el caso de que los lados de los dos cuadrados no sean iguales

Problema 12: Tueste del café El café pierde 1/5 de su peso al tostarlo. Comprando café verde a 1.200 pts/Kg, ¿a cómo deberá venderse el kg de café tostado para ganar 1/10 del precio de compra?

Problema 13: Rumor En un pueblo de 2.550 habitantes, 3 personas se enteran de una noticia a las 8 h. de la mañana. Cada persona comunica este hecho a tres nuevas al cabo de media hora. ¿A qué hora conocerá el rumor la totalidad del pueblo?

Problema 14: Parque Jurásico En el mundo de los animales extintos se encuentran el Pegaso y el Dinosaurio. El Pegaso miente los lunes, martes y miércoles, y el Dinosaurio miente los jueves, viernes y sábados. En todas las demás ocasiones ambos animales dicen la verdad. Un día ambos animales extintos mantuvieron la siguiente conversación: - Ayer me tocó mentir - dijo el Pegaso - Tambié a mí me toco mentir - contestó el Dinosaurio ¿En qué día de la semana estaban?

Problema 15: Velázquez El pasado año se celebró el cuarto centenario del nacimiento de Velázquez. El año en que murió es un número múltiplo de 5, cuya cifra de las decenas no es número primo. Si todas las cifras de dicho número suman 13, ¿cuántos años vivió el genial pintor? ¡ No vale mirarlo en una enciclopedia !

Problema 16: Apuestas En un juego se lanzan tres dados cúbicos y se calcula la suma del resultado. ¿A qué número apostarías?

Problema 17: Veneno Dos jugadores colocan diez fichas sobre una mesa. Cada jugador por turno puede coger una o dos fichas. El que coge la última ficha es "veneno" y pierde. ¿Se te ocurre alguna manera de ganar todas las veces? ¿Tiene algo que ver si empiezas tú o empieza el otro?

Problema 18: Estación espacial Prof. Guillermo Coronado

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Problemas

Se quiere construir una estación espacial en el planeta "Beta Draconia IV". La átmosfera del planeta es tóxica. La estación espacial está compuesta por siete habitáculos en forma de cubo de 3 m de lado. ¿Cómo se han de colocar los habitáculos para tener una superficie mínima expuesta a la átmosfera?

Problema 19: ¡ Vaya toamate ! En un supermercado tienen tres marcas de tomate de bote. Los botes de la marca "AZUL" cuestan un 50% más que los de la marca "VERDE", pero contienen un 10% menos de tomate que los de la marca "ROJO". Los botes de la marca "ROJO" pesan un 50% más que los de la marca "VERDE" y cuestan un 25% más que los de la marca "AZUL". ¿Qué botes están marcados con el precio más alto y má bajo? ¿Qué marca resulta más económica?

Problema 20: La matrícula del coche La matrícula de un automóvil estaba formada por cinco cifras, todas diferentes. Al instalarla, el mecánico se equivocó, poniéndola "cabeza abajo". Posteriormente al recoger el vehículo el dueño se dio cuenta de que el número obtenido era mayor que el original en 78633. ¿Cuál era el número de matrícula? (Nota: el número uno se escribía así: l y no así 1)

Problema 21: Criptograma Cada letra corresponde a un número distinto entre 0 y 9 : ZOO2=TOPAZ ¿Sabrías calcular el valor de cada letra?

Problema 22: Hermanas con hermanos Tres amigas, Irene, Sandra y Erika, tienen un hermano cada una, Con el tiempo, cada chica acaba saliendo con el hermano de una de sus amigas. Un día Irene se encuentra con el hermano de Sandra y le dice:"¡Mira!, ahí veo entrar al cine a alguien con tu pareja". ¿Puedes decir cómo están formadas las parejas?

Problema 23: El cuadrilátero Tenemos un cuadrilátero con los cuatro lados diferentes, pero las diagonales son perpendiculares y miden 8 y 5 metros respectivamente ¿Cuánto valdrá su área?

Problema 24: Dados Lanzamos dos dados y con los números que salgan formamos una fracción menor o igual que 1. Juan dice que, en la próxima tirada, la fracción resultará reducible y Pepe que será irreducible ¿Quién de los dos crees que tiene más posibilidades de acertar?

Problema 25: Ella...no baila sola Isa invitó a diecisiete amigos a su fiesta de cumpleaños. Asignó a cada invitado un número del 2 al 18, reservandose el 1 para ella misma. Cuando todo el mundo estaba bailando, se dio cuenta de que la suma de los números de cada pareja era un cuadrado perfecto. ¿Adivinas el número de la pareja de Isa?

Problema 26: Figura Prof. Guillermo Coronado

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Problemas

Averigua el perimetro y el área de la región sombreada de esta figura:

Problema 27: Ir al cole Si fuera andando a 4 km/h llegaría cinco minutos tarde al colegio. Pero como iré a 5 km/h llegaré antes de la hora de entrada. ¿A qué distancia está el colegio de mi casa?

Problema 28: Sellos Un coleccionista gasta 100 pesetas en comprar sellos de 1, 4 y 12 pesetas. ¿Cuántos sellos serán de cada clase si en total ha comprado 40?

Problema 29: El pin La Comisió Organizadora de la Olimpiada regala un "pin" a quién sepa calcular el número de participantes en una prueba, sabiendo que son menos de setenta y, que si los colocamos en filas de tres alumnos, nos sobra 1; si los ponemos en filas de cuatro nos sobran 2 y si lo hacemos en filas de cinco, nos sobran 3

Problema 30: El pasto de la oveja Una oveja manchega está atada a la esquina de una casa de labor rodeada de pasto. La casa mide 10 m de larga y 5 m de ancha y la longitud de la cuerda es de 4 m. ¿Cuál es la superficie máxima que tiene para pastar? ¿Y si la cuerda fuese de 12 metros?.¿Y si fuese de 20 metros?

Mis 12 clásicos Elegir una docena de los problemas que más me han gustado - los que en su día me hicieron disfrutar durante minutos y algunos durante horas - no ha sido fácil por los descartes que había que hacer - el secuestro del sabio, el pájaro y los trenes, el caracol trepador, las tenacillas del peluquero,... - y por no salirme de aquellos que se resuelven con un razonamiento lógico, sin necesidad de unos conocimientos específicos. No incluyo problemas del tipo de: "Encontrar un nombre de varón que no tenga ninguna de las letras que tiene el nombre Carlos" , que me hizo disfrutar cuando hallé la solución en uno de mis largos paseos por la ciudad; no lo incluyo porque creo que no tiene nada de razonamiento lógico; mientras vas preocupado de no dar un mal paso que te tuerza un tobillo, la mente se dedica a buscar el dichoso nombre, éste no, éste no,...,éste, éste, sí, sí, éste sí, has ganado la batalla..., contra la amnesia. A los jóvenes estos problemillas les podrán parecer divertidos pero, cuando llegas a una edad, estos ejercicios se te presentan a diario. El primer libro, con este tipo de problemas, que cayó en mis manos y que conservo como una joya es "Pasatiempos y entretenimientos" de Roberto Remartínez y Alfredo Florensa, Editorial Paraninfo. Después he visto los mismos ejercicios con otra redacción, pero por agradecimiento a los buenos ratos que me hizo pasar su obra, en la mayoría de los casos pongo aquí sus textos. No sé si se enfadarán. Bueno aquí está mi selección:

El cruce del río Un pastor que ha cazado y lleva vivo un cachorro de lobo, conduce también una oveja y un cesto de coles. Para volver a su cabaña tiene que atravesar un río y no dispone para ello más que de una barca pequeña que sólo admite un pequeño peso además del suyo. como no puede dejar solos la oveja con el lobo, ni a aquélla con las coles y en cada viaje sólo puede transportar una de las 3 cosas, ¿cómo se las arreglará para pasar a la orilla opuesta del río al lobo, la oveja y las coles sin riesgo para cada cosa?

Los pellejos de vino Prof. Guillermo Coronado

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Problemas

Dos vinateros llevan en un carro un gran pellejo de vino, totalmente lleno, siendo su cabida de 8 arrobas. Llevan también dos pellejos más, ambos vacíos, uno de 5 y otro de 3 arrobas de capacidad. En el camino riñen y deciden repartirse las 8 arrobas de vino que llevan, pero sólo tienen los pellejos vacíos y un embudo para realizar el trasiego. ¿Cómo lograrán separar las 4 arrobas de vino para cada uno?

El libro y la carcoma En un estante hay colocado un ejemplar del Quijote, en dos tomos, situados normalmente uno junto al otro y por su orden. Las tapas de la encuadernación miden 0´5 cm cada una y el texto de cada tomo tiene el grosor de 3 cm. Una carcoma consigue atravesar, perpendicularmente a la superficie de los libros, desde donde dice PROLOGO hasta el INDICE.¿Cuántos centímetros atravesó? (Se recuerda que el prólogo está al comienzo del texto del primer tomo, y el índice está al final de la obra).

Los corderos de la herencia Un padre lega a sus tres hijos 17 corderos, disponiendo que la mitad de ellos sean para el hijo mayor, la tercera parte para el mediano y la novena parte para el más pequeño. Como parece imposible -sin partir ningún cordero- hacer el reparto en la forma indicada, consultan al Cura Párroco del lugar, estimado por todos como hombre justo y de clara inteligencia, y el buen padre encuentra una curiosa solución para cumplir los términos del testamento. ¿Cómo lo hizo?

El vigilante despedido El director de una importante Empresa tiene necesidad de salir de viaje un miércoles, y la víspera, antes de sacar los billetes del avión en que pensaba marchar, reunió a sus empleados notificándoles su ausencia de unos días. Al oír esto, uno de los empleados, vigilante nocturno de la Empresa, y que apreciaba mucho al Director, le dice: - No se marché, usted en avión, Señor; he soñado anoche que había una catástrofe en esa línea y perecían todos los pasajeros del aparato..., y ha ocurrido en alguna otra ocasión que mis sueños se han confirmado. El Director, tal vez impresionado o acaso un tanto supersticioso, toma en cuenta el aviso y se marcha por tren. Y ..., efectivamente, el avión en que debiera haber salido el viajero sufre un accidente pereciendo todos los tripulantes, quedando el Director a salvo por haber renunciado a dicho viaje aéreo. A su regreso, el Director llama al vigilante y le dice: - Gracias a su aviso salvé mi vida y por ello aquí tiene usted 50.000 euros de gratificación..., pero a partir de este momento considérese usted despedido de la Empresa. ¿Por qué fue despedido dicho empleado?

La verdad y la mentira En cierta región salvaje existían dos tribus, que llamaremos la tribu A y la tribu B. Era fama que los que pertenecían a la primera decían siempre la verdad y los de la segunda decían siempre mentira. Un explorador precisaba contratar los servicios de un guía y - naturalmente - quería que fuera de la tribu A para no ser engañado. Se le presentaron dos indígenas aspirantes y de ellos sabía solamente que cada uno pertenecía a una tribu distinta, pero sin que nadie le pudiera informar de la tribu a que pertenecía cada uno. Y, como era lógico, no podía averiguarlo preguntándoles directamente, ya que jamás sabría cuál de los dos decía la verdad y cuál mentía. Para salir de dudas se le ocurrió una idea. Al ver un pastor allí cerca, dijo a los dos presuntos guías: - Id a preguntar a aquel pastor a qué tribu pertenece... Lo hicieron y así cuando trajeron la respuesta, el explorador supo inmediatamente cuál de los dos aspirantes era de la tribu de la verdad. ¿Por qué lo supo?

Los árabes y el peregrino Dos árabes, llamados Abdul el uno y Ahmed el otro, viajan por el desierto y se detienen para descansar y tomar algún alimento. Ven entonces llegar a un pobre peregrino que va extraviado, hambriento, medio muerto de sed y, compadecidos, reparten con él sus modestas provisiones. Abdul lleva 5 panes y 1 litro de agua, y Ahmed 3 panes y otro litro del precioso líquido. Tanto la pobre comida como el agua fueron exactamente repartidos entre los 3, sin privilegio de ninguno de ellos. Al marchar el peregrino, agradecido a los dos árabes, les entrega 8 ducados, rogándoles que los repartan entre ambos también equitativamente. ¿Cómo harán este reparto Abdul y Ahmed teniendo en cuenta que el peregrino valoró por igual el pan y el agua?

Prof. Guillermo Coronado

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Problemas

El reloj de pared Había una vez un hombre que no tenía reloj ni de pulsera ni de bolsillo, pero tenía un reloj de pared muy exacto que sólo se paraba cuando se olvidaba de darle cuerda. Cuando esto ocurría, iba a casa de un amigo suyo, pasaba la tarde con él y al volver a casa ponía el reloj en hora. ¿Cómo es posible esto sin saber de antemano el tiempo que tardaba en el camino?

Los buenos matemáticos Dos matemáticos amigos se encuentran después de unos años. Cuando se han saludado, uno de ellos pregunta al otro por las edades de sus tres hijas. La respuesta de un "buen matemático" fue: - El producto de sus edades es 36. - ¿No crees que este dato es insuficiente para saberlo con exactitud? Dime, por ejemplo, cuál es la suma de sus edades. - La suma de sus edades resulta ser, precisamente, el número del portal que tenemos enfrente. Después de unos rápidos cálculos, el amigo le dijo: - Todavía tengo una duda, necesitaría saber algún dato más. - Te puedo decir que la mayor toca el piano. - Entonces, ya sé las edades de tus hijas. ¿Cuáles son esas edades?

En un salón de baile Los concurrentes a un baile, que tiene lugar en un local bastante espacioso, se hallan en ciertos momentos todos sentados, y otras veces están todos bailando (cada cual con su pareja, por supuesto). En el salón hay exactamente 42 sillas, en una de las cuales se halla colocado un tocadiscos. En el grupo de los asistentes se cuentan dos mujeres por cada hombre, lo que hace que, cuando bailan todos, algunas de las mujeres tengan que bailar entre sí por no haber varones suficientes. Son más las personas morenas que las rubias, pues entre las damas hay justamente el doble de morenas que de rubias. Solamente una persona tiene el cabello de color castaño y es precisamente la más joven de las muchachas. Hay también un chico rubio, que baila muy bien por ser profesor de bailes modernos. Otro asistente -moreno- canta con mucho gusto, y, finalmente, hay un cojo que es rubio y bailó solamente una vez y con dificultad. ¿Cuántas personas hay en el salón de baile?

Tres condenados y un indulto En un penal se hallan tres condenados a muerte, y tras varias gestiones de indulto se recibe uno solo e impersonal, conmutando para el que sea agraciado la pena capital por la de reclusión perpetua. No existiendo apelación posible, el Director de la cárcel se enfrenta con un caso de conciencia, porque naturalmente no puede ni debe designar por capricho ni al azar cuál de los 3 reos ha de salvar su vida, en tanto son ajusticiados los otros dos. En tal situación , decide que si ha de salvarse uno solo de los tres, se salve el más inteligente, y para saber esto idea la siguiente prueba: Reunidos los 3 condenados, el Director de la Penitenciaría les muestra cinco pequeñas tarjetas, dos de ellas rojas y las otras tres blancas. Les advierte que de esas cinco tarjetas va a destruir secretamente dos, sin que nadie sepa si ambas son de un color o de color diferente. Las tarjetas restantes serán prendidas una a cada uno de los condenados en su espalda, de modo que cada preso pueda ver la tarjeta de sus dos compañeros, pero no la que lleva el mismo en su propia espalda. . Hecho lo indicado, los 3 reclusos pueden pasear libremente (aunque vigilados para evitar todo intento de comunicación entre ellos) por uno de los patios del penal, donde no hay espejos ni nada que pueda reflejar su imagen permitiéndoles atisbar el color de la etiqueta que llevan detrás. Los condenados son advertidos, finalmente, de que esta prueba a la que son sometidos tiene por motivo averiguar cuál de ellos es el más inteligente, porque el que tal resulte será indultado de la pena de muerte. Para salvarse, pues, es necesario que sea el primero en decir de que color es la tarjeta que lleva en su espalda, pero además y sobre todo habrá de decir el razonamiento lógico en que ha basado su deducción. Y...empieza la prueba. Sueltos los 3 reos en un espacioso patio de la prisión, pasean largo rato mirándose uno a otro sin decidirse a hablar. Pero al final uno de los tres condenados se dirije al Director y le dice emocionado: - ¡ Ya lo sé, señor Director!... El color de mi tarjeta es el blanco y tiene que ser blanco porque... ¿Cuál es el razonamiento lógico en que se basó el reo y le valió para salvar su vida?

Las doce monedas Hay doce monedas aparentemente iguales, pero una de ellas tiene un peso ligeramente distinto. Usando una balanza de platillos, y con sólo tres pesadas, encontrar la moneda que pesa diferente. Prof. Guillermo Coronado

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