Problemas Aplicados Al Movimiento Circular

PROBLEMAS APLICADOS AL MOVIMIENTO CIRCULAR El movimiento circular es el que se basa en un eje de giro y radio constante: la trayectoria será una circunferencia. Si, además, la velocidad de giro es constante, se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante.

En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos específicos para este tipo de movimiento: •

• • •

Eje de giro: es la línea alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo, pero para cada instante de tiempo, es el eje de la rotación. Arco (geometría): partiendo de un eje de giro, es el ángulo o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián. Velocidad angular: es la variación de desplazamiento angular por unidad de tiempo Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo

En dinámica del movimiento giratorio se tienen en cuenta además: • •

Momento de inercia: es una cualidad de los cuerpos que resulta de multiplicar una porción de masa por la distancia que la separa al eje de giro. Momento de fuerza: o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro.

Paralelismo movimiento lineal angular

Movimiento lineal

angular

Posición

Arco

Velocidad

Velocidad angular

Aceleración

Aceleración angular

Masa

Momento de inercia

Fuerza

Momento de fuerza

Momento lineal

Momento angular

A pesar de las diferencias, hay ciertas similitudes entre el movimiento lineal y circular, que son dignos de destacar, y que deja a las luces las similitudes en la estructura y un paralelismo en las magnitudes. Dado un eje de giro y la posición de una partícula en movimiento giratorio, para un instante t, dado, se tiene:

Arco Arco angular: o posición de ángulo es el arco de circunferencia, medido en radianes, que realiza un movimiento, lo señalaremos con la letra: . Si llamamos e al desplazamiento lineal, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que: .

Velocidad angular Velocidad angular: llamaremos velocidad angular a la variación del arco respecto al tiempo, la señalaremos con la letra , y definiéndose como:

Velocidad tangencial Es definida como la velocidad real del objeto que efectúa el movimiento circular, Si llamamos VT a la velocidad tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que: .

Aceleración angular Se define la aceleración angular como la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y la representaremos con la letra: y se calcula:

Si llamamos a a la aceleración lineal, a lo largo de la circunferencia de radio r, tenemos que: .

Periodo y frecuencia El periodo indica el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Su fórmula principal es:

La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un móvil por unidad de tiempo, usualmente segundos. Se mide en hercios o s − 1

Aceleración centrípeta La aceleración centrípeta afecta a un móvil siempre que éste realiza un movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. La fórmula para hallarla es:

Fuerza centrípeta Dada la masa del móvil, y basándose en la segunda ley de Newton (F=ma) se puede calcular la fuerza centrípeta a la que está sometido el móvil mediante la siguiente fórmula:

Desplazamiento angular y velocidad angular El desplazamiento angular es la longitud del arco de circunferencia por unidad de radio

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene 2π radianes. La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo fisico cinemático.

Un carro de juguete que se mueve con rapidez constante completa una vuelta alrededor de una pista circular (una distancia de 200 metros) en 25 seg. a) Cual es la rapidez promedio? b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. Cual es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un circulo? a) Cual es la rapidez promedio?

b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. Cual es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un circulo? L = 200 metros = 2 π r

Despejamos el radio

PROBLEMA APLICADO AL MOVIMIENTO PARABOLICO Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme. También es posible demostrar que puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos, un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical. El movimiento de media parábola o semiparabólico (lanzamiento horizontal) se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre. El movimiento parabólico completo se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad. En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que: 1. Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo. 2. La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos. 3. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólica mente completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.

Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico: 1. 2. donde: es el módulo de la velocidad inicial. es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.

es la aceleración de la gravedad. La velocidad inicial se compone de dos partes: que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial. En lo sucesivo que se denomina componente vertical de la velocidad inicial. En lo sucesivo Se puede expresar la velocidad inicial de este modo: : [ecu. 1] Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicial.

Ecuación de la aceleración La única aceleración que interviene en este movimiento es la de la gravedad, que corresponde a la ecuación:

que es vertical y hacia abajo.

Ecuación de la velocidad

La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parabólica se puede obtener integrando la siguiente ecuación:

La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la componente horizontal no varía, mientras que la componente vertical sí depende del tiempo y de la aceleración de la gravedad.

Ecuación de la posición

Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con relación al tiempo y de la definición de velocidad, la posición pude ser encontrada integrando la siguiente ecuación diferencial:

La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es: