Probabi Lida

PARTE 1 PROBLEMAS PROPUESTOS FACTORIAL 2. 31 Calcular: i. ii. iii.

9!, (9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 362880 10! (10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 3628800 11! (11)(10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 39916800

2. 32 Calcular. i. ii. iii. iv.

16! 14! 14! 11! 8! 10! 10! 13!

, , ,

16 15 (14)! = (16) (15) =240 14 ! 14 13 12 (11)! = 14 13 12 = 2184 11 ! 8 )! = 10 9 =90 10 9 8 ! (10)! = 13 12 11 =1716 13 12 11 (10)!

2.33 Simplificar. i. ii. iii. iv.

𝑛+1 ! 𝑛 +1 𝑛 𝑛−1 𝑛−2 …1 𝑛+1 𝑛 ! = = =n+ 𝑛! 𝑛 𝑛−1 𝑛−2 …1 𝑛! 𝑛! 𝑛 𝑛− 𝑛−2 ! = = n (n-1) = n2-n 𝑛−2 ! 𝑛−2 ! 𝑛−1 ! 𝑛−1 ! 1 = = 𝑛+2 ! 𝑛+2 𝑛+1 𝑛 𝑛−1 ! 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 𝑛−𝑟+1 ! 𝑛−𝑟+1 𝑛−𝑟 𝑛−𝑟−1 ! = = (n-r) (n-r+1) 𝑛−𝑟−1 ! 𝑛−𝑟−1 !

1

PERMUTACIONES 2.34 i.

¿Cuántas placas para automóvil pueden hacerse si cada placa consta de letras diferentes seguidas de 3 dígitos diferentes? R =26x25x10xx9x8= 468000 Resolver el problema si el primer dígito no puede ser cero. R = 26x25x9x8x7= 327600

ii. 2.35

De A a B hay 6 caminos y de B a C 4. i. ¿De cuantas maneras se puede ir de A a C pasando por B? R = 6x4= 24 ii. ¿De cuantas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C pasando por B? r = 4x24=576 iii. ¿De cuantas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C sin usar el mismo camino más de una vez? R = 24x3x5=360

2.36 Hallar el número de maneras en que 6 personas pueden conducir un tobogán (especie trineo) si uno de tres debe manejar. 1 persona. 5x4x3x2x1=120 1 persona. 5x4x3x2x1=120 1 persona. 5x4x3x2x1=120 R = 3x5x4x3x2x1=360. 2.37 i.

Hallar el numero de maneras en que cinco personas pueden sentarse en una fila.

5!=5x4x3x2x1=120 formas de sentarse. ii.

¿Cuántas maneras hay si dos de las personas insisten en sentarse una al lado de otra? 2!x3! = 48 maneras

2.40 ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 8 banderas colocadas en línea vertical, si 4 son rojas, 2 azules y 2 verdes? 8!

R = 4!2!2! =

8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4! 4!𝑥2!𝑥2!

=

8𝑥7𝑥6𝑥5 2!2!

=

8𝑥7𝑥6𝑥5 4

= 420

2.42 i.

ii.

iii.

Hallar el número de maneras en que 4 niños y 4 niñas se pueden sentar en una fila si los hombres y las mujeres deben quedar alternados. H = niños y M= niñas 4Hx4Mx3Hx3Mx2Hx2Mx1Hx1M = 576 4Mx4Hx3Mx3Hx2Mx2Hx1Mx1H = 576 576 + 576 = 1152 Hallar el número de maneras si se sientan alternadamente y uno de los niños se sientan siempre junto a una niña determinada. 7C1 =7 1H 7Hx3Mx3Hx2MX2HX1MX1H = 252 1M 7Mx3Hx3Mx2Hx2Mx1Hx1M = 252 252 + 252 = 504 Hallar el número de maneras si se sientan alternadamente pero los dos niños mencionados no quedan en sillas adyacentes. R = 1152-504 = 648

2.44 Una urna contiene diez bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas. i.

De tamaño tres con sustituciones

10X10X10=1000 Formas de tomar tres pelotas ii.

De tamaño tres sin sustituciones

10x9x8=720. iii.

De tamaño cuatro con sustitución

10X10X10X10=10000 Formas de tomar una pelota. iv.

De tamaño cinco sin sustitución

10x9x8x7x6=30240 formas de tomar cinco pelotas. 2.45 hallar el numero de maneras como se puede colocar en un estante 5 libros grandes, 4 medianos y 3 pequeño de modo que los libros de igual tamaño estén juntos. 5!x4!x3!x3!=103,680 formas de colocar los libros.

2.55 Una clase consta de 9 niños y 3 niñas. i.

¿de cantas maneras el profesor puede escoger un comité de 4?

12C4=495 formas de escoger un comité. ii.

¿Cuántos comités contaran con una niña por lo menos?

12C4=495 9C4=126 12C4-9C4=495-126=369. iii.

¿Cuántos tendrán una niña exactamente?

3x9C3=252. 2.56 Una señora tiene 11 amigos de confianza. i.

¿de cuantas maneras puede invitar a 5 de ellos a comer?

11C5=462 maneras. ii.

¿de cuantas maneras si dos son casados y no asiste uno sin el otro?

9C3+9C5=210 formas. iii.

¿de cuantas maneras si dos de ellos no la van bien y no asisten juntos?

9C5+2x9C4=378 formas. 2.57 hay 10 puntos A,B… en un plano, en una misma línea no hay 3: i.

¿Cuántas líneas forman los puntos?

10C2=45 formas. ii.

¿Cuántas líneas no pasan por A o B?

8C2=28 formas. iii.

¿Cuántos triángulos determinan los puntos?

10C3=120 formas. iv.

¿Cuántos triángulos de estos se forman con el punto A?

9C2=36 formas. v.

¿Cuántos triángulos contiene el lado AB? R=8

i. ii. iii. iv.

v.

2.58 Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen. ¿Cuántas maneras de escoger tiene? 13C10=286 ¿Cuántas, si las dos primeras son obligatorias? 11C8=165 maneras. ¿Cuántas, si una de las dos primeras es obligatoria? 2x11C9=110 formas. ¿Cuántas, si tiene que contestar exactamente 3 de las 5 primeras? 5C3=10 8C7=8 5C3x8C7=80 formas. ¿Cuántas, si tiene que contestar por lo menos tres de las 5 primeras? 5C3x8C7+5C4x8C6+5C5X8C5=276 formas.

2.59 A una persona se le reparte una mano de “póker” (5 cartas) de una baraja corriente. ¿De cuantas maneras puede recibir. i. ii. iii. iv. v.

Una escalera flor? 4x10=40 formas. Un “póker”? 13x43=559 formas. Una escalera? 10x 45-40=10200 formas Un par de ases? 4C2x12C3x43=84480 formas. Un par cualquiera (dos cartas iguales)? 13x4C2x12C3x43=1098240

2.60 El alfabeto inglés tiene 26 letras de las cuales 5 son vocales. i. ii. iii. iv. v. vi.

¿Cuántas palabras de 5 letras, 3 consonantes y 2 vocales diferentes, se pueden formar? 21C3x5C2x5!=1596000 ¿Cuántas de estas contienen la letra b? 20C2x5C2x5!=228000 formas. ¿Cuántas contienen la b y contienen c? 19C1x5C2x5!=22800 formas. ¿Cuántas empiezan por b y contienen c? 19C1x5C2x4!=4560 formas. ¿Cuántas empiezan por b y terminan por c? 19x5C2x3!=1140 formas. ¿Cuántas contienen las letras a y b? 4C1x20C2x5!=91200 formas.

PARTICIONES ORDENADAS Y DESORDENADAS 2.61 ¿De cuántas maneras se pueden repartir 9 juguetes por igual entre 3 niños? 9! =1680 3!3!3!

2.62 ¿De cuántas maneras pueden dividirse por igual 9 estudiantes en tres equipos? 1680/3!=280. 2.63 ¿De cuántas maneras se puede dividir 10 estudiantes en tres equipos? 10C4x5C2=2100. 2.64 ¿Hay 12 bolas en una urna. ¿De cuántas maneras se pueden sacar 3 bolas de la urna, cuatro veces sucesivamente, todas sin sustitución? 12! = 3!3!3!3!

369600.

2.65 ¿De cuántas maneras se pueden repartir un club de 12 miembros en tres comités de5, 4 y 3 miembros respectivamente? 12! =27720. 5!4!3!

2.66 ¿De Cuántas maneras se pueden repartir n estudiantes en dos equipos que contengan un estudiante por lo menos? 2n-1-1 2.67 ¿De cuántas maneras se pueden repartir 14 hombres en 6 comités en los que dos sean de 3 hombres y los otros de 2? 14! 1 x =3153150. 3!3!2!2!2!2! 2!4!

DIAGRAMAS DE ARBOL 2.68 Construir el diagrama de árbol para el número de permutaciones de |a, b, c, d|.

2.70 Los equipos A y B juegan en un torneo de baloncesto. El primer equipo que gane dos juegos seguidos o un total de cuatro juegos gana el torneo. Hallar el número de maneras como puede suceder el juego. 4P2= 12+(juegos ganados seguidos)=14 formas.

2.71 U n hombre está en el origen del eje x y anda un paso unidad a la izquierda o a la derecha. Se tiene después de 5 pasos si avanza 3 o se corre -2. Construir el diagrama de árbol para descubrir todas las trayectorias posibles que puede seguir. Existen 20 maneras de cómo puede suceder el juego, como se muestra en el diagrama.

PARTE 2

ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS 3.25Sean A y B eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que:

A

B

i. Suceda A o no B (A u BC)

ii. Ni A ni B sucedan (A u B)C 3.26 Sean A, B y C eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que:

A

B

C

i. Sucede exactamente uno de los tres eventos A n (B u C) C ii. Suceden por lo menos dos de los eventos (A u B) u C iii. Ninguno de los eventos sucede (A u B u C)C

iv. Sucede A o B pero no C (A u B) u CC 3.27 Sea el caso de lanzar una moneda de centavo, una de 10 y un dado. i. Escribir el espacio muestral apropiado S={AA1,AA2,AA3,AA4,AA5,AA6,AS1,AS2,AS3,AS4,AS5,AS6,SA1,SA2,SA3, SA4, SA5, SA6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6,} ii. Expresar explícitamente los eventos siguientes: A= {que aparezcan dos caras y un numero primo}. B= {que aparezca un dos}, C= {que aparezca exactamente una cara o un numero primo}. a) Primos: 1, 2, 3,5 A= {SS1, SS2, SS3, SS5} b) B= {AA2, AS2, SA2, SS2} c) C= {AS1, AS2, AS3, AS5, SA1, SA2, SA3, SA5}

iii. Exprese explícitamente el evento en que (a) A y B sucedan, (b) suceda solamente B, (c) suceda B o C. a) A n B= {SS2} b) B-(A U C)= {AA2} c) B u C= {SS2, AA2, AS2, SA2, AS1, AS3, AS5, SA1, SA3, SA5}

ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD 3.28 ¿Cuáles funsiones definen un espacio de probabilidad de S= {a1, a2, a3}? i. ii. iii. iv.

P(a1)=1/4, P(a2)=1/3, P(a3)=1/2 NO VALIDO P(a1)=2/3, P(a2)=-1/3, P(a3)=2/3 NO VALIDO P(a1)=1/6, P(a2)=1/8, P(a3)=1/2 SI VALIDO P(a1)=0, P(a2)=1/8, P(a3)=2/8 SI VALIDO

3.29 Sea P una función de probabilidad de S= {a1, a2, a3}. Hallar P (a1) si i. ii. iii. iv.

P(a2)=1/3 y P(a3)=1/4 P(a1)=2 P(a2) y P(a3)=1/4 P({a2,a3})=2 P(a1) P(a3) =2 P(a2) y P(a2)=3 P(a1)

P(a1)=5/12 P(a1)=1/2 P(a1)=1/8 P(a1)=1/10

3.30 Se carga una moneda de manera que la posición de salir cara sea tres veces la de salir sello. Hallar P (H) y P (T). P (H)= 3/4 P (T)=1/4 3.31 Tres estudiantes A, B y C intervienen en una prueba de natación. A y B tienen la misma probabilidad de ganar y el doble de la de C. hallar la probabilidad de que gane B o C. P(A u B)= 3/5 3.34 En una carrera de natación la ventaja de que gane A es dos a tres y la ventaja de que B gane es de uno a cuatro. Hallar la probabilidad p y la ventaja de que A o B ganen la carrera. P(A u B)= 3/5 La ventaja es 3 a 2 ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE 3.37 De las 10 niñas de una clase. 3 tienen ojos azules, si se escogen dos niñas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que: S=10C2=45 i. Las dos tengan ojos azules? 3C2= 3 parejas P(Ñ=2)=3C2/10C2=1/15=6.66%

ii. Ninguna tenga ojos azules? 7C2=21 P(A=0)= 7C2 / 10C2 = 7/15 = 46.6%

iii. Una por lo menos tenga los ojos azules? P(A>=1)= 7/15+1/15 = 8/15

3.40 Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge al azar un comité de tres, hallar la probabilidad de: i. Seleccionar tres niños. 10C3=120 P(O=3)10C3/16C3=120/560=6/28=3/14

ii. Seleccionar exactamente dos niños 10C2*6C1=270 (PO=2)=10C2*6C1/16C3=270/560=27/56

iii. Seleccionar por lo menos un niño P(O>=1)=27/56+3/14+15/56=27/28

iv. Seleccionar exactamente 2 niñas 6C2*10C1=150 P(A=2)=6C2*10C1/16C3=150/560=15/56

3.42 De 120 estudiantes, 60 estudian francés, 50 estudian español, y 20 estudian francés y español. Si se escoge un estudiante al azar, hallar la probabilidad de que el estudiante:

i. Estudie francés y español

F n E = {20}

p (F n E) = 20/120 = 10/60 = 5/30 = 1/6

ii. No estudie francés ni español (F u E)C = {30}

P (F u E) C = 1-P 8 (F u E) = 1-3/4=1/4

3.43 3 niños y 3 niñas se sientan en una fila. Hallar la probabilidad de que i. Las tres niñas se sienten juntas 1/5 ii. Los niños y las niñas se sienten alternados

1/10

PARTE 3 ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS 3.36 sean a y b eventos. Encuentre una expresión y dibuje el diagrama de ven para el evento donde: a) Ocurra a o no b. (AUB)C b) Ni a ni b sucedan. (AUB)C 3.37 sean a, b y c eventos. Encuentre una expresión y dibuje el diagrama de ven para el evento: a) Ocurra a o c, pero no ocurra b. (A u B) u CC b) Ocurra exactamente uno de los tres eventos. A ∩ (B u C) C c) Ninguno de los eventos ocurra. (A u B u C) C d) Al menos dos de los eventos ocurran. (A u B) u C

3.38. Se lanza una moneda de un centavo, una de diez y un dado. Describa el espacio muestral S apropiado y encuentre n(s). S {AA1, AA2, AA3, AA4, AA5, AA6, AS1, AS2, AS3, AS4, AS5, AS6, SA1, SA2, SA3, SA4, SA5, SA6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6}. n(S)=24. 3.39 para el espacio S en el problema 3.38 exprese explícitamente los eventos siguientes. A. {aparecen dos caras y un número par}. B. A= {AA2, AA4, AA6}. ] C. {que aparezca un numero dos}. B = {AA2, AS2, SA2, SS2}. D. {exactamente una cara y un número impar}. C = {AS1, AS3, AS5, SA1, SA3, SA5}. 3.40 para los eventos a, b, c en el problema 3.39exprese explícitamente el evento: a) A y B. (A ∩ B) = {SS2}. b) Solamente B B - (A ∩ C) = {AA2}. c) B y C. (B ∩ C)= AS2, SA2}. d) A pero no B. (A u BC) = {AA4, AA6}. Espacios equiprobables finitos. 3.41 determine la probabilidad de cada evento: a) Que al lanzar un dado equilibrado aparezca un número impar. A=

3 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 6 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠

b) Que al lanzar cuatro monedas equilibradas aparezcan 1 cara o mas. 4 * 4= 16

15 16

formas

c) Que al lanzar 2 dados equilibrados ambos números excedan de cuatro. 6*6=36

4 36

formas

d) Que aparezca exactamente un 6 al lanzar 2 dados equilibrados. 𝟏𝟎

= 𝟑𝟔 formas

e) Que aparezca una carta roja o una figura cuando una carta se selecciona aleatoriamente de un naipe de 52 cartas. 𝟑𝟐 𝟓𝟐

3.44 hay tres tornillos y tres tuercas en una caja. Se escogen dos partes al azar. Encuentre la probabilidad de que uno sea tornillo y la otra tuerca. 𝟑 𝟓

Formas, porque ambos tienen la misma probabilidad, ya que son la misma cantidad de 3, en la

caja y suman 6, pero se descuenta 1, debido a que es el que se puede sacar al azar. 3.45 una caja contiene dos medias blancas, dos medias azules, y dos medias rojas. Se sacan 2 medias al azar. Encuentre la probabilidad de que sean pareja (del mismo color). 2+2+2= 6 6C2=15 𝟑 𝟏𝟓

𝟏

=𝟓

3.46 de 120 estudiantes, 60 están estudiando francés, 50 están estudiando español y 20 están estudiando francés y español. Se elige un estudiante al azar. Encuentre la probabilidad de que el estudiante este estudiando: a) Francés y español. F ∩ E= {20} 20 10 1 P (F ∩ E)= 120 = 60 =6 b) Francés o español. F u E = {90} c) Ni francés ni español. 1 4

(F u E) c = {30}=

1

P (F u E)’=1 – P (F u E) = 1- =4 d) Solamente español. 1 3

F – (F ∩ E)= F- E= {40}=

e) Exactamente uno de los dos idiomas. 3.47 de diez niñas de una clase, 3 tienen ojos azules. Dos de las niñas se escogen al azar. Encuentre la probabilidad de que: a) Ambas tengan ojos azules. 3C2 =3 pareas. b) Ninguna tenga ojos azules. 7C2= 21 parejas. 7𝐶2

21

7

P (A=0)=10𝐶2 =45 = 15 = 0.466 = 46.6%.

c) Al menos una tenga ojos azules. 7

1 8

P (P ≥ 1)= 15 =5=15 = = 0.533 = 53.3 % d) Exactamente una tenga ojos azules. 3C2 * 7= 21 pareas. P (A=1)=

3𝐶2 7𝐶2 21 7 = = = 10𝐶2 47 15

0.466=46.6%

3.48 hay 10 estudiantes en una clase. Selecciona un comité de tres de la clase. Encuentre la probabilidad de que: a) A pertenezca al comité. 𝟑 𝟏𝟎

b) B pertenezca al comité. 𝟑 𝟏𝟎

c) A y b pertenezca al comité. A+B= 2 d) A o B pertenezca al comité. 𝟖 𝟏𝟓

ESPACIOS DE PROBABILIDAD FINITOS 3.49 ¿Bajo cuál de las siguientes funciones se convierte S = {a1, a2, a3} en un espacio de probabilidad? (a) P (a1) =0.3 P (a2) = 0.4, P (a3) = 0.5 (b) P (a1) = 0.7 P (a2) = -0.2, P (a3) = 0.5 (c) P (a1) = 0.3 P (a2) = 0.2 P (a3) = 0.5 (d) P (a1) = 0.3, P (a2) = 0, P (a3) = 0.7 3.50 Se ha alterado el peso de una moneda de manera que la probabilidad de que salga cara es tres veces mayor que la probabilidad de que salga sello. Encuentre P (H) y P (T). 𝟒 𝟒 3

P (H)=4 3.51 Suponga que A y B son eventos con P (A) = 0.7 P (B) = 0.5, y P (A n B) = 0.4. Encuentre la probabilidad de que: (a) no ocurra A. P (A)’ = 1 – P (A) = 1-0.7= 0.3.

(b) ocurra A o B. P (A u B)= P (A)+ P (B)- P (A∩B). = 0.7+ 0.5 - 0.4. = 0.8 (C) ocurra A pero no ocurra B. P (A) – P (A∩B)= 0.7- 0.4 = 0.3. (d) no ocurra A ni B. P (A u B)’= 1- P (A u B) =1- 0.8 = 0.2

3.52 Considere la siguiente distribución de probabilidad: 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝟏 𝑷𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝟎. 𝟏

𝟐 𝟎. 𝟑

𝟑 𝟎. 𝟏

𝟒 𝟎. 𝟐

𝟓 𝟎. 𝟐

𝟔 𝟎. 𝟏

Considere los siguientes eventos: A = {número par, B = {2, 3, 4, 5} C = {1, 2} Encuentre: (a) P (A),

(b) P (B),

(c) P (C),

(d) P (Ø),

(e) P (B n C c)

3.54 Para los eventos A, B, C en el problema 3.52, halle: (a) P (A n B),

(b) P (A u C),

(c) P (B n C),

(d) P (Ac),

(e) P (B n Cc).

3.54 Hay tres estudiantes A, B, C en una competencia de natación, A y B tienen la misma probabilidad de ganar y cada uno tiene el doble de probabilidad de ganar que C. Encuentre la probabilidad de que (a) B gane 𝟐 𝟓

(b) C gane 𝟏 𝟓

(c) B o C gane 𝟑 𝟓

3.55 Sea P una función de probabilidad en S = {a1, a2, a3}. Encuentre P (a1) si (a) P (a1) = 0.3, P (a3) = 0.5; (b) P (a1) = 2 P (a2) y P (a3) = 0.7; (c) P ({a2, a3}) = 2P (a1); (d) P (a3) = 2P (a2) = 3P (a1)

MIGUEL ANGEL RUIZ RAMIREZ 2° A ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES