Proba

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MATHÉMATIQUES BTS-DUT STATISTIQUES ET PROBABILITÉS Edisciences, Coll. Sciences Sup G. CHAUVAT, A. CHOLLET, Y. BOUTEILLER

Ch.4 : VARIABLES ALÉATOIRES (Compléments) EE 4.4 (D’après Banque d’épreuves BTS-DUT 2002, Q9) Une usine de composants électroniques fabrique des résistances. En mesurant un grand échantillon de ces composants on constate que la résistance nominale en Ohms de chaque composant tiré au hasard est une variable aléatoire X qui suit la loi normale (ou encore loi de Gauss) d’espérance 1 000 et d’écart type 10 . On rappelle que si la variable aléatoire U suit la loi normale centrée-réduite : la probabilité que 1; 96 < U < 1; 96 est de 95%, la probabilité que 1; 64 < U < 1; 64 est de 90%, la probabilité que U < 1 est de 84%. (Les valeurs de ces seuils sont arrondies à 10 2 près.) (A) La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre 1 020 est supérieure à 95% (B) La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre 1 009 est supérieure à 90%

980 et 991 et

(C) La probabilité que la résistance du composant tiré soit supérieure à 983; 6 est supérieure à 97% (D) La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre 1 010 est de 84%

990 et

(E) La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre 983; 6 et 1 019; 6 est de 92,5%

Solution X

suit N (1 000 ;

10) donc = U

X

1 000 10 suit N (0 ; 1) loi normale centrée réduite.

Sans calculatrice, ni table, il faut se ramener, pour les calculs demandés, aux probabilités rappelées dans le texte en utilisant, entre autres, la propriété de stricte croissance de la fonction de répartition  et la parité de la densité de probabilités de la loi normale centrée réduite.

2

La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre 980 et 1 020 est donnée par : P

(980

< X <

1 020) = =

( 980 101 000 < 101000 < 1 020101 000 ) ( 2 2) ( 1 96 1 96) 95% X

P

P

>

< U <

P

>

;

< U <

;

Donc (A) est vraie. La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre 991 et 1 009 est donnée par : P

(991

< X <

1 009) = =

( 991 101 000 < 101000 < 1 009101 000 ) ( 09 0 9) ( 1 64 1 64) 90% X

P

P

<

;

P

<

< U <

;

;

< U <

;

Donc (B) est fausse. La probabilité que la résistance du composant tiré soit supérieure à 983; 6 par :

(

P X >

Sans table, on trouve effet :

(

P U

983 6) = = = ;

P

( ( (

X

1000 10

P U > P U <

> 983 610 1000 ) ;

1 64) 1 64) ;

;

1 64) grâce au rappel ( 1 64

<

est donnée

;

P

;

< U <

1 64) = 0 90 ;

;

:

En

( 1 64 1 64) = ( 1 64) ( 1 64) = ( 1 64) (1 ( 1 64)) = 2  ( 1 64) 1 Donc ( 1 64)  1 290 = 0 95. On sait donc que ( 983 6) 97% P

;

P U <

< U <

;

;

P U <

P U <

P U < ;

;

;

P U <

;

;

P U <

;

:

P X >

;

;

<

:

Donc (C) est fausse. La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre 990 et 1 010 est donnée par : P

(990

< X <

P

(990

1 010) = = = = < X <

P P

( 990 101 000 < 101000 < 1 010101 000 ) ( 1 1) ( 1) ( 1) ( 1) (1 ( 1)) X

< U <

P X <

P X <

P X <

P X <

1 010) = 2  ( 1) 1  2  0 84 1  0 68 P X < ;

;

Donc (D) est fausse.

3

La probabilité que la résistance du composant tiré soit entre donnée par : P

(983 6 ;

< X <

983 6 et 1 019 6 est ;

;

1 019 6) = ( 983 6101 000 < 101000 < 1 019 610 1 000 ) = ( 1 64 1 96) = ( 1 96) ( 1 64) = ( 1 96) (1 ( 1 64)) = ( 1 96) + ( 1 64) 1  0 975 + 0 95 1  0 925 ;

P

P

;

;

< U <

P U <

;

P U <

;

P U <

;

;

P U <

;

P U <

P U <

; ;

;

X

;

;

;

:

Donc (E) est vraie. Sans la table de la loi normale centrée réduite, on peut retrouver P (U < 1; 96) grâce au rappel P ( 1; 96 < U < 1; 96)  0; 95 par un calcul identique à celui fait pour (C). On

obtient : 2  P (U

<

1 96) 1  0 95 ;

;

;

donc P (U

<

Résumé : A V

B F

C F

D F

1 96)  1 295  0 975. ;

E V

;

;