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Unidad Académica de Diseño. Ciencia y Tecnología

FISICA II PROFR: ARMANDO HERNANDEZ ALAMILLA

Nombre del profesor Email:

Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2013

INDICE

1 – SISTEMAS DE UNIDADES 1.1 – Mediciones 1.2 – Magnitudes y unidades fundamentales 1.3 – Sistema de unidades (S.I., C.G.S., F.P.S.) 1.4 – Introducción al análisis dimensional 1.5 – Comprobación de ecuaciones y tranformacion de unidades 2 – VECTORES 2.1 – Cantidades escalares y vectoriales

2.2 - Suma de vectores por los métodos paralelogramo, polígono, trián 2.3 – Multiplicación de vectores, producto punto y producto cruz 2.4 – Equilibrio de una partícula Bibliografia Creditos Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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1-SISTEMAS DE UNIDADES

Función • Todo lo que sea medible, requiere de alguna unidad con qué medirlo, ya que la gente necesita saber qué tan lejos, qué tan rápido, qué cantidad, cuánto pesa, etc., en términos que se entiendan, que sean reconocibles, y que se esté de acuerdo con ellos.

• Para cumplir el objetivo de tener algo con que identificar cantidades fue necesario crear unidades de medición, las cuales en la antigüedad eran muy rudimentarias e imprecisas

Magnitud Física • Una magnitud física es una propiedad o cualidad medible de un sistema físico, es decir, a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición. • Las magnitudes físicas se miden usando un patrón que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el objeto patrón. • Por ejemplo, el patrón principal de longitud es el metro en el Sistema Internacional de Unidades.

Magnitud Extensiva e Intensiva •

• •

•

Una magnitud extensiva es una magnitud que depende de la cantidad de sustancia que tiene el cuerpo o sistema y son aditivas, quiere decir que, si consideramos un sistema físico formado por dos partes o subsistemas, el valor total de una magnitud extensiva resulta ser la suma de sus valores en cada una de las dos partes. Ejemplos: la masa y el volumen de un cuerpo o sistema, la energía de un sistema termodinámico, etc. Una magnitud intensiva es aquella cuyo valor no depende de la cantidad de materia del sistema y tiene el mismo valor para un sistema que para cada una de sus partes consideradas como subsistemas. Ejemplos: la densidad, la temperatura y la presión de un sistema termodinámico en equilibrio.

Ejemplos de sistemas de unidades • Sistema Internacional de Unidades o SI: es el sistema más usado. Sus unidades básicas son: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, la candela y el mol. Las demás unidades son derivadas del Sistema Internacional. • Sistema métrico decimal: primer sistema unificado de medidas. • Sistema cegesimal o CGS: denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro, el gramo y el segundo. • Sistema Natural: en el cual las unidades se escogen de forma que ciertas constantes físicas valgan exactamente 1.

• Sistema técnico de unidades: derivado del sistema métrico con unidades del anterior. Este sistema está en desuso. • Sistema Métrico Legal Argentino:Sistema de Medidas,unidades y magnitudes que se utiliza en Argentina. • Sistema anglosajón de unidades: aún utilizado en algunos países anglosajones. Muchos de ellos lo están reemplazando por el Sistema Internacional de Unidades.

1.1 MEDICIONES • Definición 1. Una medición es un acto para determinar la magnitud de un objeto en cuanto a cantidad. • Definición 2. Una medición es comparar la cantidad desconocida que queremos determinar y una cantidad conocida de la misma magnitud, que elegimos como unidad. Al resultado de medir se le denomina medida. Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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La medición, en definitiva, consiste en determinar qué proporción existe entre una dimensión de algún objeto y una cierta unidad de medida. Para que esto sea posible, el tamaño de lo medido y la unidad escogida tienen que compartir una misma magnitud.

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La unidad de medida, por otra parte, es el patrón que se emplea para concretar la medición. Es imprescindible que cumpla con tres condiciones: Inalterabilidad: la unidad no debe modificarse con el tiempo ni de acuerdo al sujeto que lleva a cabo la medición Universalidad: tiene que poder usarse en cualquier país facilidad de reproducción. Cabe destacar que es muy difícil realizar una medición exacta, ya que los instrumentos usados pueden tener defectos o se pueden cometer errores durante la tarea. Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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PROCESOS DE MEDICION • Medición directa: Podemos decir que la medida o medición es directa cuando se obtiene con un instrumento de medida que compara la variable a medir con un patrón. • Medidas reproducibles: Aquellas que al efectuar una serie de comparaciones entre la misma variable y el aparato de medida empleado, se obtiene siempre el mismo resultado. Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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• Medición estadística: Son aquellas que al efectuar una serie de comparaciones entre la misma variable y el aparato de medida empleado, se obtienen distintos resultados cada vez. Aunque se obtienen resultados diferentes cada día, se puede obtener un valor medio mensual o anual.

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• Medición indirecta: Existen variables que no se pueden medir por comparación directa, es por lo tanto con patrones de la misma naturaleza, o porque el valor a medir es muy grande o muy pequeño y depende de obstáculos de otra naturaleza, etc. Medición indirecta es aquella en la que una magnitud buscada se estima midiendo una o más magnitudes diferentes, y se calcula la magnitud buscada mediante cálculo a partir de la magnitud o magnitudes directamente medidas. Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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1.2 MAGNITUDES Y UNIDADES FUNDAMENTALES • En el lenguaje de la medición, las magnitudes son aspectos cuantificables de la naturaleza, tales como tiempo, longitud, velocidad, masa, temperatura, energía, o peso, y las unidades se usan para describir sus mediciones. Muchas de esas magnitudes están relacionadas entre ellas por leyes físicas, y por ello las unidades de algunas magnitudes pueden ser expresadas como productos (o relación) de otras unidades Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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• Las magnitudes fundamentales son aquellas magnitudes físicas que, gracias a su combinación, dan origen a las magnitudes derivadas. Tres de las magnitudes fundamentales más importantes son la masa, la longitud y el tiempo, pero en ocasiones en la física también se agrega la temperatura, la intensidad luminosa, la cantidad de sustancia y la intensidad de corriente.

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• Las unidades básicas o unidades físicas fundamentales, son aquellas que se describen por una definición operacional y son independientes desde el punto de vista dimensional. Todas las demás unidades utilizadas para expresar magnitudes físicas se pueden derivar de estas unidades básicas y se conocen como unidades derivadas. La derivación se lleva a cabo por medio del análisis dimensional.

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Unidades del sistema internacional • Las unidades usadas en el SI para estas magnitudes fundamentales son las siguientes: • • • Para la masa se usa el kilogramo (kg) • Para la longitud se usa el metro (m) • Para el tiempo se usa el segundo (s) • Para la temperatura el Kelvin (K) Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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• Para la Intensidad de corriente eléctrica el amperio (A) • • • Para la cantidad de sustancia el mol (mol) • Para la Intensidad luminosa la candela (cd)

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• Unidad de Longitud: El metro (m) es la longitud recorrida por la luz en el vacío durante un período de tiempo de 1/299,792,458 s. • Unidad de Masa: El kilogramo (kg) es la masa del prototipo internacional de platino iridiado que se conserva en la Oficina de Pesas y Medidas de París.

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• Unidad de Tiempo: El segundo (s) es la duración de 9,192,631,770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles fundamentales del átomo Cesio 133. • Unidad de Temperatura Termodinámica: El Kelvin (K) es la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

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• Unidad de Corriente Eléctrica: El ampere (A) es la intensidad de corriente, la cual al mantenerse entre dos conductores paralelos, rectilíneos, longitud infinita, sección transversal circular despreciable y separados en el vacío por una distancia de un metro, producirá una fuerza entre estos dos conductores igual a 2 × 10 -7 N por cada metro de longitud.

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• Unidad de Temperatura Termodinámica: El Kelvin (K) es la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. • Unidad de Intensidad Luminosa: La candela (cd) es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540 × 10 12 hertz y que tiene una intensidad energética en esta dirección de 1/683 W por estereorradián (sr). Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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• Unidad de Cantidad de Sustancia: El mol es la cantidad de materia contenida en un sistema y que tiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0.012 kilogramos de carbono 12. Cuando es utilizado el mol, deben ser especificadas las entidades elementales y las mismas pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos de tales partículas

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Ejemplos

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Ejercicios

Resultado: 80 dias

Resultado: 90 alumnos

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1.3 Sistema de Unidades ( S.I, C.G.S, F.P.S • S.I Sistema Internacional de Unidades También denominado Sistema Internacional de Medidas, es el nombre que recibe el sistema de unidades que se usa en casi todos los países. Se instauró en 1960, en la XI Conferencia General de Pesos y Medidas, durante la cual inicialmente se reconocieron seis unidades físicas básicas. Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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Una de las características trascendentales, que constituye la gran ventaja del Sistema Internacional, es que sus unidades se basan en fenómenos físicos fundamentales. Esto permite lograr equivalencia de las medidas realizadas con instrumentos similares, utilizados y calibrados en lugares distantes y, por ende, asegurar el cumplimiento de las características de los productos que se transportan internacionalmente Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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Unidades Básicas Magnitud

Nombre

Longitud

metro

m

Masa

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

Intensidad de corriente eléctrica

ampere

A

Temperatura termodinámica

kelvin

K

Cantidad de sustancia

mol

Intensidad luminosa

candela

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Símbolo

mol cd

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Unidades Derivadas Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas y suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor numérico igual 1.

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Magnitud

Nombre

Símbolo

Superficie

metro cuadrado

m2

Volumen

metro cúbico

m3

Velocidad

metro por segundo

m/s

Aceleración

metro por segundo cuadrado

m/s2

Número de ondas

metro a la potencia menos uno

m-1

Masa en volumen

kilogramo por metro cúbico

kg/m3

Velocidad angular

radián por segundo

rad/s

Aceleración angular

radián por segundo cuadrado

rad/s2

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C.G.S Sistema Cegesimal de Unidades Sistema de unidades basado en el centímetro, el gramo y el segundo. Su nombre es el acrónimo de estas tres unidades. Fue propuesto por Gauss en 1832, e implantado por la British Association for the Advancement of Science.

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Magnitud

Nombre

Símbolo

Definición

Equivalencia

longitud

centímetro

cm

cm

0,01 m

masa

Gramo

g

g

0,001 kg

tiempo

Segundo

s

s

1s

aceleración

Gal

Gal

cm/s2

0,01 m/s2

fuerza

Dina

dyn

g.cm/s2

10-5 N

energía

Ergio

erg

dyn cm

10-7 J

potencia

ergio por segundo

erg s-1

10-7 W

presión

Baria

baria

dyn/cm2

0,1 Pa

viscosidad dinámica

Poise

P

g (cm s)-1

0,1 Pa s

viscosidad cinemática

Stokes

St

cm2s-1

10-4 m2s-1

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carga eléctrica

franklin o statcoulomb

Fr

dyn½cm

3,336 641 × 10-10 C

potencial eléctrico

Statvolt

campo eléctrico

statvolt por cm

flujo magnético

Maxwell

Mx

G cm2

10-8 Wb

densidad de flujo magnético

Gauss

Gs, G

Mx cm-2

10-4 T

intensidad del campo magnético

Oersted

Oe

intensidad de corriente

Statamperio

3.335 641 × 10-10 A

Resistencia

Statohmio

8.987 552 × 1011 Ω

Capacidad eléctrica

statfaradio o «centímetro»

Inductancia

Stathenrio

8,988 × 1011 H

número de onda

Kayser

1 cm-1

299,7925 V dyne Fr-1

«cm»

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(103/4π) A/m

1,113 × 10-12 F

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F.P.S «Sistema Ingles de Unidades» El sistema inglés de unidades o sistema imperial, es aún usado ampliamente en los Estados Unidos de América y, cada vez en menor medida, en algunos países con tradición británica. Este sistema se deriva de la evolución de las unidades locales a través de los siglos, y de los intentos de estandarización en Inglaterra Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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Unidades LONGITUD 1 milla = 1,609 m 1 yarda = 0.915 m 1 pie = 0.305 m 1 pulgada = 0.0254 m VOLUMEN Y CAPACIDAD 1 yarda 3 = 0.765 m^3 1 pie 3 = 0.0283 m^3 1 pulg 3 . = 0.0000164 m^3 1 galón = 3.785 l.

MASA 1 libra = 0.454 Kg. 1 onza = 0.0283 Kg. 1 ton. inglesa = 907 Kg. SUPERFICIE 1 pie 2 = 0.0929m^2 1 pulg 2 . = 0.000645m^2 1 yarda 2 = 0.836m^2

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1.4 - INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DIMENSIONAL • La mayoría de las cantidades físicas involucradas en un sistema físico están relacionadas entre sí a través de ecuaciones que comprenden las distintas leyes físicas. Si A, B, C, D son cantidades físicas de un sistema, entonces A puede estar relacionada con el resto de las cantidades, esto es, A= f(B,C,D)

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• Cualquier relación entre cantidades físicas debe de cumplir necesariamente con la propiedad de dimensionalidad homogénea que consiste en pedir que los miembros de una ecuación física tengan las mismas dimensiones. Esto es, que la ecuación sea dimensionalmente correcta.

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Función • Las fórmulas dimensionales nos permiten comprobar si una ecuación, candidata a representar una ley física, deducida teórica o experimentalmente es o no es correcta. Esta es una de las principales aplicaciones de las fórmulas dimensionales. • También es una herramienta poderosa para los experimentadores porque permite reducir el número de variables que intervienen en un problema. Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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• Un aspecto de la importancia de tal reducción se deduce considerando que una función de una sola variable independiente puede representarse gráficamente mediante una curva, una función de dos variables independientes puede representarse por una familia de curvas, una función de tres variables independientes mediante un conjunto de familias de curvas y así sucesivamente.

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• El teorema π de Buckingham dice que si una ecuación es dimensionalmente homogénea puede reducirse a una relación entre un conjunto completo de productos adimensionales.

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Otros tipos de análisis • Análisis cualitativo: el estudio de cualquier sistema físico mediante un análisis cualitativo se desarrola a través de mediciones cualitativas de las cantidas físicas involucradas en el sistema físico en el cual el observador lo diseña de tal forma que pueda controlar las variables (cantidades físicas).

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• Análisis cuantitativo: Las relaciones físicas se obtienen, en base a un experimento controlado y mediante mediciones cuantitativas. • Análisis gráfico: Al igual que en el análisis cuantitativo el análisis gráfico se basa en mediciones cuantitativas plasmadas en tablas de valores.

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1.5 COMPROBACIÓN DE ECUACIONES Y TRANFORMACION DE UNIDADES (ANÁLISIS DIMENSIONAL) • El análisis dimensional es una herramienta conceptual muy utilizada en la física, la química y la ingeniería para ganar comprensión de fenómenos que involucran una combinación de diferentes cantidades físicas Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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• Su resultado fundamental permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido. Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es el número mínimo necesario para estudiar cada sistema.

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De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se consigue: •Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio •Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.

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Aplicaciones del Análisis Dimensional • Detección de errores de cálculo. • Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables. • Creación y estudio de modelos reducidos. • Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, etc.

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Conversión de Unidades • La conversión de unidades es la transformación del valor numérico de una magnitud física, expresado en una cierta unidad de medida, en otro valor numérico equivalente y expresado en otra unidad de medida de la misma naturaleza. • Este proceso suele realizarse con el uso de los factores de conversión y las tablas de conversión de unidades.

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Frecuentemente basta multiplicar por una fracción (factor de una conversión) y el resultado es otra medida equivalente, en la que han cambiado las unidades. Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades se pueden utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que el resultado final será la medida equivalente en las unidades que buscamos

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Ejemplos de Conversión de Unidades

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a) a) 5.8 km a m. Vía de solución

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2-VECTORES

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• Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio.

Caracteristicas • Origen • O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. • Módulo • Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

• Dirección • Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. • Sentido • Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. • El sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. • El sistema de referencia, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Magnitudes Escalares • •

Magnitudes Escalares

• • • • •

Masa Temperatura Presión Densidad Magnitudes vectoriales

Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras:

Magnitudes Vectoriales • Magnitudes vectoriales •

Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.

•

Vectores iguales

•

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.

•

Vector libre

•

Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

• Suma de Vectores • La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente. • Propiedades • Conmutativa • a+b=b+a • Asociativa • (a + b) + c = a + (b + c) • Elemento neutro o vector 0 • a+0=0+a=a • Elemento simétrico u opuesto a' • a + a' = a' + a = 0 • a' = -a

2.1 - CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES • Cantidad escalar: es aquella que se especifica por su magnitud y una unidad o especie. Ejemplos: 10 Kg., 3m, 50 Km./h. Las cantidades escalares pueden sumarse o restarse normalmente con la condición de que sean de la misma especie

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• Cantidad vectorial o vector: Una cantidad vectorial o vector es aquella que tiene magnitud o tamaño, dirección u orientación y sentido positivo (+) o negativo (-) y punto de aplicación, pero una cantidad vectorial puede estar completamente especificada si sólo se da su magnitud y su dirección. Un vector se representa gráficamente por una flecha y se nombra con una letra mayúscula ej. A = 25 lb. a 120°. Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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Operación con vectores • Igualdad de los vectores: dos vectores pueden definirse como iguales si tienen la misma magnitud y apuntan a la misma dirección • Adición de los vectores: cuando dos o mas vectores se suman todos deben tener las misma unidades. Existen diferentes métodos para calcular la suma de vectores

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Sustracción • Opuesto (Negativo) de un vector: Es cuando se suman dos vectores con la misma magnitud pero con diferente sentido lo cual hace que el resultado sea 0 • Diferencia de vectores: Es la sustracción de vectores A-B=D se usa la definición del negativo de un vector

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2.2 SUMA DE VECTORES POR LOS METODOS PARALELOGRAMO, POLIGONO, TRIANGULO Y METODO ANALITICO • Suma de Vectores: Proceso de combinar dos o más vectores en un vector equivalente, representado por el símbolo +.

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• Dos vectores se suman colocando el origen del segundo vector en el extremo del primero. La suma de estos dos vectores se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del segundo.

• Al sumar más de dos vectores, coloca siempre el origen del siguiente vector en el extremo del vector actual. Después construye el vector resultante uniendo el origen del primer vector al extremo del último. 1 Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

• Para utilizar métodos gráficos en la suma de vectores, es necesario representar las cantidades en una escala de medición manipulable. Es decir, podemos representar un vector velocidad de 10 m/s hacia el norte con una flecha indicando hacia el eje y positivo que mida 10 cm, en la cual, cada cm representa una unidad de magnitud real para la cantidad (1 m/s).

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• El vector que resulta de operar dos o más vectores, es conocido como el vector resultante, o simplemente la resultante. • En los métodos Paralelogramo, triangulo y polígono, si medimos con una regla, a la escala dada, obtenemos el tamaño del vector. La medida de la dirección se toma con la ayuda de un transportador. Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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ley de paralelogramo Regla por la que la suma vectorial de dos únicas fuerzas concurrentes es equivalente a la diagonal de un paralelogramo cuyos lados adyacentes son los dos vectores cuya suma se está hallando. Es una alternativa al método del triángulo.

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• En este método, se desplazan los vectores para unir sus "colas". Luego se completa el paralelogramo y el vector resultante será la diagonal trazada desde las "colas" de los vectores a sumar. Este vector tendrá también la "cola" unida a las colas de los otros dos y su "cabeza" estará al final de la diagonal.

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• EJEMPLO: Una bicicleta parte desde un taller de reparación y se desplaza (4 m,30º) y luego (3 m, 0º). Encuentre el desplazamiento total de la bicicleta, indicando la dirección tomada desde el taller.

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SOLUCION: El desplazamiento total se da en dos tramos. Cada tramo desplazado se representa por los vectores d1 y d2. El desplazamiento total es D = d1 y d2. Los dos vectores son dibujados a la misma escala, y se colocan en el mismo origen. Luego se trazan las lineas paralelas.

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• A la escala dada, el tamaño del vector resultante debe dar aproximadamente 6.75 unidades de la escala; es decir, la magnitud del vector desplazamiento total es de 6.75 m. • La medida de la dirección debe dar aprox.e 17º desde el origen propuesto. El sentido del vector resultante es positivo, según el marco de referencia común (plano cartesiano, hacia x positivo y hacia y positivo). Entonces como resultado, la bicicleta se desplaza (6.75 m,17º). Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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Ley del polígono Gráfico empleado para averiguar la suma vectorial de un sistema de fuerza coplanar. Éste es el método más utilizado para realizar operaciones con vectores, debido a que se pueden sumar o restar dos o más vectores a la vez. El método consiste en colocar en secuencia los vectores manteniendo su magnitud, a escala, dirección y sentido; es decir, se coloca un vector a partir de la punta flecha del anterior. El vector resultante esta dado por el segmento de recta que une el origen o la cola del primer vector y la punta flecha del último vector. 1 Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

EJEMPLO: . Sean los vectores:

Encontrar:

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SOLUCION: Resolviendo por el método del polígono, la figura resultante es:

si se utilizan los instrumentos de medición prácticos (regla y transportador) se obtiene que y que θ es aproximadamente 80ª. Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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Ley del triángulo En este método, dos vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que también está libre (es decir se cierra un triángulo).

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EJEMPLO: Dados los siguientes vectores: A:30m, 35°; B:20m, -45°.Obtener el vector suma S=A+B, mediante el método del triangulo.

Solución:

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Método analítico • Suma de Componentes: La suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones. Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos direcciones perpendiculares entre sí. Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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VECTOR UNITARIO: Frecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en términos de unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven para especificar una dirección determinada. Se usan los símbolos i, j y k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente.

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Ahora V puede escribirse V = Ax i + Ay j Si necesitamos sumar el vector A = Ax i + Ay j con el vector B = Bx i + By j escribimos R = A + B = Ax i + Ay j + Bx i + By j = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j Las componentes de R (=A + B) son Rx = Ax + Bx y Ry = Ay + By 1 Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

EJEMPLO: Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al Oeste del Norte. Determine magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto. SOLUCION:

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Expresando los dos desplazamientos componentes como A y B, indicados en la figura, y usando vectores unitarios, tenemos: R = A + B. R es el vector resultante buscado, cuya magnitud se denota y cuya dirección puede determinarse calculando el ángulo . A = 20 km j, (apunta hacia el Norte). B debemos descomponerlo en componentes x e y (ó i yj) B = -(35 km)sen60ºi + (35 km)cos60ºj = -30.3 kmi + 17.5 kmj Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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Luego, R = 20 kmj - 30.3 kmi + 17.5 kmj = 37.5j 30.3i. La magnitud se obtiene de 2 = (37.5km)2 + (30.3km)2 = 48.2 km La dirección de R la determinaremos calculando el ángulo. En el triángulo formado por cateto opuesto 30.3 y cateto adyacente 37.5, tg = 30.3/37.5 = arctg(30.3/37.5) = 38.9º. Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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EJERCICIOS: SUMA DE VECTORES 1) Dos fuerzas de 500 N y 800 N actúan sobre el mismo cuerpo. Si el ángulo entre ellas es de 120°, calcular la magnitud de la resultante y su dirección con respecto a la fuerza de 500 N.

magnitud de la fuerza resultante R=700 N Dirección: 81° 40'.

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2) Hallar las componentes de los vectores A, B y C, utilizados en el ejercicio de suma por el método gráfico, y luego calcular los valores de las magnitudes de los vectores suma, resueltos gráficamente:

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Respuestas: Para el eje x:

Para el eje y:

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• Dados los vectores A igual a 10 m y forma un ángulo de 45° y el vector B igual a 24 m y forma un ángulo de 30°. Hallar la magnitud y dirección del vector suma resultante R = A +B.

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Ejemplo

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Ejercicios

R= 75.5º

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R= 50.2º

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R= 205.6º

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2.3 – MULTIPLICACION DE VECTORES:

Producto Punto •

El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

•

Es útil en aplicaciones físicas. Es también llamado producto interno. El producto interno de dos vectores es una cantidad escalar.

•

Sean V= y W= Definimos producto punto como la operación de un producto entre el vector V y el vector W, cual el resultado de dicho producto es un escalar.

•

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que se forma.

• •

Ejemplo Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1). (1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 =5

• • •

Expresión analítica del módulo de un vector Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas = (−3, 2, 5) en una base ortonormal.

• Norma • Para la definición de norma consideraremos el vector . • Se sigue del teorema de Pitágoras que la longitud del vector a es . La longitud del vector a se denota por . Es frecuente llamar a esta cantidad la norma de a. Como se sigue que .

Vectores Ortogonales • Vectores son ortogonales cuando su producto escalar es 0

Producto Cruz El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

• Área del paralelogramo •

•

Geométricamente, el módulo del producto cruz de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

• Área del Triángulo

Propiedades del Producto Cruz

2.4 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA • Equilibrio: Supongamos que tengo un cuerpo que pasan por un mismo punto (concurrentes).

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• Se dice que un cuerpo estará en equilibrio si la acción de estas fuerzas se compensa de manera tal que es como si no actuara ninguna fuerza sobre el cuerpo. Por ejemplo: Cuerpo en equilibrio. F2= 10N

F1= 10N

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• Vamos al caso de un cuerpo que NO está en equilibrio: F1= 10N F3= 10N F2= 10N Es decir, F1 y F2 se compensan entre sí, pero a F3 no la compensa nadie y el cuerpo se va a empezar a mover hacia la izquierda. Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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• Desde el punto de vista físico un cuerpo está en equilibrio si la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él vale cero. Otra manera de decir lo mismo es decir que si un sistema de fuerzas copuntuales está en equilibrio, su resultante tiene que ser cero.

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De manera matemática • ΣF=O condición de equilibrio para un sistema de fuerzas concurrentes. Esta fórmula se lee: la suma de todas las fuerzas que actúan tiene que ser cero. Esta es una ecuación vectorial. Cuando uno la usa para resolver los problemas tiene que ponerla en forma de 2 ecuaciones de proyección sobre cada uno de los ejes. Estas ecuaciones son:

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• Σfx= 0 Condición de equilibrio para el eje x. • Σfy= 0 Condición de equilibrio para el eje y.

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Ejemplos

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Ejercicios • 1) Un bloque de masa 4.000 kg, cuelga de dos cables AC y BC en la posición indicada en la figura. Calcular la tensión de cada cable, expresada en Newton. A B 45° 45°

P • Solución: T=27718.6N Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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• Determinar la tensión T en cada uno de los cables de las cuerdas de las figuras a y b.

Solución: a)T1=179,37N;T2=146,46N; b)T1=207,1N;T2=287,9N Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2008

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• En la figura, el bloque de masa M, se encuentra en equilibrio en el plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. Calcula la masa m del bloque que pende verticalmente de la polea. Siendo α=30º, M=10kg y µ =0,20.

Solución: m=3.27kg

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BIBLIOGRAFIA • • • • • • • • • • • • • •

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Créditos • • • • •

Castro Arreola Efren Espinoza Mares Jose Martin Ramirez Bobadilla Fernando Sanchez Garcia Viniza Santiago Martinez Edwin Antonio

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