Phi

Gabino Bolívar Subirats – 1-A Batxillerat Tècniques experimentals, 17-5-2004

Índex: -La inducció -Números de Lucas i successió de Fibonacci -Número d’or (Obtenció a partir de la successió de Fibonacci i altres processos) -Obtenció de la successió de Fibonacci a partir del número d’or -Influèncias del número d’or:

-El rectangle d’or. Obtenció d’espirals. -Bibliografia

-Generals -Naturalesa -Música

La inducció: La inducció, en el camp filosòfic (concretament lògica), és un procés en el qual es raona des d’un cas particular fins a un més general, al contrari que la deducció. La seva base és la suposició de que si quelcom és veritat en algunes situacions, també ho és en situacions semblants encara que no s’hagin observat. La probabilitat d’encertar depèn del número de fenòmens observats. Una de les formes més simples d’inducció apareix a l’interpretar les enquestes d’opinió, en les quals, les respostes donades per una petitat part de la població total es projecten per a tot un país. El raonament inductiu va ser desenvolupat per molts filòsofs, des de Francis Bacon fins David Hume, John Stuart Mill i Charles Sanders Peirce.

Números de Lucas i successió de Fibonacci: Els números de Lucas són una successió de nombres que responen a la següent fórmula:

F (n

−

1)

+ F (n) = F (n

+

1)

Com es pot veure, cada número és la suma dels dos anteriors. El problema és que no s’especifica quins són els números per on hem de començar. Així, tendríem infinites possibilitats. Per poder fer la successió de Fibonacci, empram la mateixa fórmula, però especificant els dos valors inicials, que en aquest cas són iguals:

F 1 = F 2 =1 Així, combinant la fórmula dels números de Lucas i donant com a valors inicials el mateix, 1, aconseguim la successió del renaixentista Fibonacci. Aquests serien els primers números:

− 8,5,−3,2,−1,1,0,1,1,2,3,5,8,13, 21,34,55,89,144 ,233

Fibonacci, a la fotografia de la dreta, va ser un dels matemàtics més importants de l’Edat mitjana a Europa. El seu nom era Leonardo de Pisa, però era conegut com a Fibonacci, “fill de Bonacci” (filius Bonacci). Va néixer a Pisa, Itàlia, cap a 1170/80, ciutat important, centre comercial i econòmic. Va estudiar matemàtiques, ensenyat per musulmans, a Bougie (Argèlia), al 1192. El seu pare tenia una factoria comercial. Fins al 1200 no tornà a Pisa, però viatjà per Provença, Sicília, Grècia, Berberia, Síria i Egipte, on estudià les diverses maneres de calcular, amb ajuda de l’àbac i el nou sistema d’Al-Jwarizmi, amb numeració

aràbiga: nou xifres i el zero. Destaca la seva obra “Liber abaci”. Va estar sempre pròxim a la Cort, de l’Emperador Federic II i del filòsof Joan de Palerm. Va rebre nombroses condecoracions i morí a Pisa cap a 1250.

Número d’or:

Així, si agafam alguns casos de la successió de Fibonacci donant valors a N, podem trobar quan valen F(n) i F(n-1), i fer el quocient:

q=

N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

F(n-1) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229

F(n) 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040

Fn Fn − 1

q=F(n)/F(n-1) 1 2 1,5 1,666666667 1,6 1,625 1,615384615 1,619047619 1,617647059 1,618181818 1,617977528 1,618055556 1,618025751 1,618037135 1,618032787 1,618034448 1,618033813 1,618034056 1,618033963 1,618033999 1,618033985 1,61803399 1,618033988 1,618033989 1,618033989 1,618033989 1,618033989 1,618033989 1,618033989

Elaborant aquesta taula, veim que el quocient arriba a estabilitzar-se al valor aproximat de 1.618033989. Podem veure aquesta estabilització fent les gràfiques

emprant com a dades el quocient i el diferent cas. Poden observar-se a la pàgina següent:

q=F(n)/F(n-1) 2 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3

Valor de "q"

1,2 1,1 1

Serie1

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1

8

15

22

29

Cas

La gràfica va oscil· lant fins estabilitzar-se a un valor, però si ens atracam amb un zoom a la zona on mostra una recta, la gràfica seguiria oscil· lant. Així, quan el valor tendeix a infinit és quant tenim el número aproximat al màxim.

Podem calcular el valor exacte d’aquest número, que anomenarem “phi”: Φ

F ( n + 1) = F (n ) + F ( n − 1) 1  F (n + 1)  = 1 +  F (n)   F (n)     F (n − 1)    Φ =1 +

1 Φ

F ( n + 1) F ( n − 1) =1+ F ( n) F ( n) F ( n + 1) =1+ n →∞ F (n ) lim

Φ 2 − Φ −1 = 0

1 F (n ) lim F ( n − 1)

1 ± 12 + 4 1 ± 5 Φ= = 2 2 D’aquesta fórmula treim dues solucions:

Φ=

ϕ=

1+ 5 = 1.618033989... 2

1− 5 = −0 .618033989 ... 2

La primera és el pròpiament dit número d’or, representat per la lletra grega “phi” majúscula. La segona és la “phi” minúscula. I encara podem treure el número d’or de dues maneres diferents. La primera és el desenvolupament continu, segons la fórmula d’abans:

Φ = 1 + Φ = 1 + 1 + Φ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... Si feim l’operació, moltes vegades, ens aproximam també al número. La darrere manera d’aconseguir-lo és fent la fracció contínua, també amb una de les anteriors fórmules:

Φ =1 +

1 =1 + Φ

1 1+

1 Φ

1

=1+ 1+

1 1+

1 1+

1 1...

L’arquitecte grec Phidias va emprar molt aquest número en les seves construccios (El partenó d’Atenes, etc.), i per això el van anomenar “Phi”, concretament va ser el matemàtic americà Mark Barr, qui elegí la lletra grega. Emprant una calculadora científica especial, podem aproximar el número a unes 5000 xifres decimales, que tenim recollides en la següent pàgina. S’ha de tenir en compte que aquesta pàgina plena de xifres és només una aproximació, ja que el número té infinites xifres decimals:

1.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890244970 7207204189391137484754088075386891752126633862223536931793180060766726354433389086595 9395829056383226613199282902678806752087668925017116962070322210432162695486262963136 1443814975870122034080588795445474924618569536486444924104432077134494704956584678850 9874339442212544877066478091588460749988712400765217057517978834166256249407589069704 0002812104276217711177780531531714101170466659914669798731761356006708748071013179523 6894275219484353056783002287856997829778347845878228911097625003026961561700250464338 2437764861028383126833037242926752631165339247316711121158818638513316203840052221657 9128667529465490681131715993432359734949850904094762132229810172610705961164562990981 6290555208524790352406020172799747175342777592778625619432082750513121815628551222480 9394712341451702237358057727861600868838295230459264787801788992199027077690389532196 8198615143780314997411069260886742962267575605231727775203536139362107673893764556060 6059216589466759551900400555908950229530942312482355212212415444006470340565734797663 9723949499465845788730396230903750339938562102423690251386804145779956981224457471780 3417312645322041639723213404444948730231541767689375210306873788034417009395440962795 5898678723209512426893557309704509595684401755519881921802064052905518934947592600734 8522821010881946445442223188913192946896220023014437702699230078030852611807545192887 7050210968424936271359251876077788466583615023891349333312231053392321362431926372891 0670503399282265263556209029798642472759772565508615487543574826471814145127000602389 0162077732244994353088999095016803281121943204819643876758633147985719113978153978074 7615077221175082694586393204565209896985556781410696837288405874610337810544439094368 3583581381131168993855576975484149144534150912954070050194775486163075422641729394680 3673198058618339183285991303960720144559504497792120761247856459161608370594987860069 7018940988640076443617093341727091914336501371576601148038143062623805143211734815100 5590134561011800790506381421527093085880928757034505078081454588199063361298279814117 4533927312080928972792221329806429468782427487401745055406778757083237310975915117762 9784432847479081765180977872684161176325038612112914368343767023503711163307258698832 5871033632223810980901211019899176841491751233134015273384383723450093478604979294599 1582201258104598230925528721241370436149102054718554961180876426576511060545881475604 4317847985845397312863016254487611485202170644041116607669505977578325703951108782308 2710647893902111569103927683845386333321565829659773103436032322545743637204124406408 8826737584339536795931232213437320995749889469956564736007295999839128810319742631251 7971414320123112795518947781726914158911779919564812558001845506563295285985910009086 2180297756378925999164994642819302229355234667475932695165421402109136301819472270789 0122087287361707348649998156255472811373479871656952748900814438405327483781378246691 7444229634914708157007352545707089772675469343822619546861533120953357923801460927351 0210119190218360675097308957528957746814229543394385493155339630380729169175846101460 9950550648036793041472365720398600735507609023173125016132048435836481770484818109916 0244252327167219018933459637860878752870173935930301335901123710239171265904702634940 2830766876743638651327106280323174069317334482343564531850581353108549733350759966778 7124490583636754132890862406324563953572125242611702780286560432349428373017255744058 3727826799603173936401328762770124367983114464369476705312724924104716700138247831286 5650649343418039004101780533950587724586655755229391582397084177298337282311525692609 2995942240000560626678674357923972454084817651973436265268944888552720274778747335983 5367277614075917120513269344837529916499809360246178442675727767900191919070380522046 1232482391326104327191684512306023627893545432461769975753689041763650254785138246314 6583363833760235778992672988632161858395903639981838458276449124598093704305555961379 7343261348304949496868108953569634828178128862536460842033946538194419457142666823718 3949183237090857485026656803989744066210536030640026081711266599541993687316094572288 8109207788227720363668448153256172841176909792666655223846883113718529919216319052015 6863122282071559987646842355205928537175780765605036773130975191223973887224682580571 5974457404842987807352215984266766257807706201943040054255015831250301753409411719101 9298903844725033298802450143679684416947959545304591031381162187045679978663661746059 5700034459701135251813460065655352034788811741499412748264152135567763940390710387088 1823380680335003804680017480822059109684420264464021877053401003180288166441530913939 4815640319282278548241451050318882518997007486228794215589574282021665706218809057808 8050324676991297287210387073697406435667458920258656573978560859566534107035997832044 6336346485489497663885351045527298242290699848853696828046459745762651434359050938321 243743333870516657149005907105670248879858043718151261004403814880407252440616429........

Obtenció de la successió de Fibonacci a partir del número d’or

Peró amb aquest nombre, emprant les seves equacions, podem extreure els nombres de Fibonacci de nou:

Fn = F (n−1) + F (n − 2)

Φ2 = Φ + 1

A partir d’aquestes dues equacions, treim el valor de “phi” quan està elevat a 0, 1... fins a 10:

Φ0 =1

Φ2 = Φ +1

Φ1 = Φ

Φ 3 = Φ ⋅ Φ 2 = Φ (Φ + 1) = Φ 2 + Φ = Φ + 1 + Φ = 2Φ + 1 Φ 4 = (2Φ + 1) ⋅ Φ = 2Φ 2 + Φ = 2 ⋅ (Φ + 1) + Φ = 2Φ + 2 + Φ = 3Φ + 2 Φ 5 = (3Φ + 2) ⋅ Φ = 3Φ 2 + 2Φ = 3 ⋅ (Φ + 1) + 2Φ = 3Φ + 3 + 2Φ = 5Φ + Φ 6 = Φ 5 ⋅ Φ = (5Φ + 3) ⋅ Φ = 5Φ 2 + 3Φ = 5 ⋅ (Φ + 1) + 3Φ = 5Φ + 5 + 3Φ = 8Φ + 5 Φ 7 = Φ 6 ⋅ Φ = (8Φ + 5) ⋅ Φ = 8Φ 2 + 5Φ = 8 ⋅ (Φ + 1) + 5Φ = 8Φ + 8 + 5Φ = 13Φ + 8 Φ 8 = Φ 7 ⋅ Φ = (13Φ + 8) ⋅ Φ = 13Φ 2 + 8Φ = 13 ⋅ (Φ + 1) + 8Φ = 13Φ + 13 + 8Φ = 21Φ + 13 Φ 9 = Φ 8 ⋅ Φ = (21Φ + 13) ⋅ Φ = 21Φ 2 + 13Φ = 21⋅ (Φ + 1) + 13Φ = 21Φ + 21+ 13Φ = 34Φ + 21 Φ10 =Φ5 ⋅ Φ5 = (5Φ+ 3) ⋅ (5Φ+ 3) = 25Φ2 +9 + 30Φ= 25⋅ (Φ+1) + 9 +30Φ = 25Φ+ 25+9 +30Φ= 55Φ+ 34 Podem veure clarament que el resultat de cada potència de “phi” ens dóna un parell de nombres de Fibonacci, un és factor de “phi” i l’altre és l’anterior a aquest. A partir de tots aquests exemples, podem treure dues fórmules generals:

Φ n = Fn ⋅ Φ + F ( n−1)

Φ n = Φ n −1 + Φ n −2

La segona fórmula és molt semblant a aquesta, ja vista:

Fn = F (n−1) + F (n −2 ) Però podem trobar una relació entre aquestes dues darreres fórmules. Si dividim “phi” elevat a “n”, entre el número de Fibonacci “n”, ens donarà un valor que s’atraca a la rel de 5, com ho demostra la següent taula:

N -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Φn = 5 Fn

F(n) -6765 4181 -2584 1597 -987 610 -377 233 -144 89 -55 34 -21 13 -8 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

Φn 0,0000661069618 0,0001069633111 0,0001730702729 0,0002800335838 0,0004531038565 0,0007331374399 0,0011862412958 0,0019193787348 0,0031056200290 0,0050249987611 0,0081306187859 0,0131556175403 0,0212862363154 0,0344418538380 0,0557280901248 0,0901699439167 0,1458980339667 0,2360679777624 0,3819660115334 0,6180339889791 1,0000000000000 1,6180339881499 2,6180339868082 4,2360679727873 6,8541019560830 11,0901699231870 17,9442718700742 29,0344417783821 46,9787136243813 76,0131553638093 122,9918689251620 199,0050241869880 321,9968929471370 521,0019168671290 842,9988093822590 1364,0007255503800 2206,9995338016300 3571,0002575220000 5777,9997883626100 9349,0000410935800 15126,9998217041000

Fn =

Φn 5

−

Φ n/F(n) -9,77191E-09 2,55832E-08 -6,69777E-08 1,7535E-07 -4,59072E-07 1,20186E-06 -3,14653E-06 8,23768E-06 -2,15668E-05 5,64607E-05 -0,000147829 0,00038693 -0,00101363 0,002649373 -0,006966011 0,018033989 -0,048632678 0,118033989 -0,381966012 0,618033989 #¡DIV/0! 1,618033988 2,618033987 2,118033986 2,284700652 2,218033985 2,243033984 2,233418598 2,237081601 2,23568104 2,236215799 2,236011508 2,236089534 2,236059729 2,236071112 2,236066763 2,236068423 2,236067788 2,23606803 2,236067936 2,236067971

(− Φ )− n 5

=

Φ n − (− Φ ) 5

−n

Φ n = Φ n −1 + Φ n − 2

Φ ⋅ Fn + Fn − 1 = Φ Fn − 1 + Fn − 2 + Φ Fn − 2 + Fn − 3

Φ Fn = Φ Fn − 1 + ΦFn − 2 + [Fn − 2 + Fn − 3 + Fn − 1]

Així, com el darrer membre dels tres de dins del claudàtor pot substituir-se per la fórmula ja vista, i si simplificam tot per “phi”, queda:

Fn = Fn − 1 + Fn − 2

0 = F n − 2 + F n − 3 − Fn − 1

0=0

La divisió, que s’atraca a la rel de 5, ens pot donar un pentàgon d’or. Si doblegam un paper i feim una espècie de nus, tallant els extrems sobrants, ens donarà aquest pentàgon estrellat:

Observam a la figura els diferents trams de diagonals, etc, que estan en funció dels números de Fibonacci. Si cada costat del pentàgon mesura una unitat, qualsevol, les distàncies A-C, A-D, BD, B-E i C-E han de val “phi”.

Influències generals del número d’or: El número d’or, o bé els números de Fibonacci, han tingut una gran influència en l’art i la nostra cultura. Es troba també en la naturalesa, però aquest tema, juntament amb la música, seran tractats més detingudament als següents apartats. El model més conegut i important és l’home de “vitrubio”, de Leonardo da Vinci, a la dreta.

El número d’or pot trobar-se sobretot en arquitectura. Arquitectes com Gaudí, Le Corbusier (amb el seu “Modulor”, Phidias, etc, l’han emprat en les seves construccions. També està en la Alhambra, el Escorial, etc. Podem destacar les següents obres:

La piràmide de Keops, construida en el 2600 abans de Crist.

El partenó d’Atenes, dissenyat Phidias. També el Panteó de Roma.

per

l’arquitecte

La catedral de Nôtre Dame de París, també te la divina proporció, tal com mostra l’esquema.

La catedral francesa d’Estrasburg.

En qüestions literàries, hi ha menys exemples, però cal destacar molts poemes de la Índia, on el número de síl· labes de cada vers va creixent segons la successió de Fibonacci. En el cinema, la pel· lícula soviètica “The Battleship Potemkin”, de Sergie Eisenstein, de l’any 1925, està dividida en escenes de tal manera que la duració d’una escena és la duració de l’anterior per “phi”. Dura uns 75 minuts.

També trobam la successió de Fibonacci en escultura (Venus de Boticelli) i en pintura, cal destacar l’obra de Pietro della Francesca, Durero, Rafael, Miguel Àngel, Leonardo da Vinci (Gioconda, Anunciació, etc.), Dalí, Boticelli, etc. Cal destacar “La creació”, on Adam i Déu és toquen amb el dit, just on es forma un rectangle d’or. A continuació algunes mostres:

També podem citar les tesseles de “penrose”, formades per una sèrie de dibuixos que formen un encaix, i un dibuix quemai es repeteix:

Trobam la proporció aurea en les targetes de crèdit, el carnet d’identitat, les capses de tabac, etc. També en possibilitats. Ho podem veure amb un exemple: Tenint en compte l’ordre, calcular totes les maneres possibles de pagar 0, 1... fins a 6 euros, emprant monedes d’1 i de 2.

0 euros

1 euro

2 euros

3 euros

4 euros

5 euros

6 euros

x

1

1+1

1+1+1

1+1+1+1

1+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1

2

2+1

1+1+2

2+1+1+1

1+1+1+1+2

1+2

2+2

1+2+1+1

1+1+1+2+1

1+2+1

1+1+2+1

1+1+2+1+1

2+1+1

1+1+1+2

1+2+1+1+1

2+2+1

2+1+1+1+1

2+1+2

1+1+2+2

1+2+2

1+2+1+2 2+1+2+1 2+2+1+1 1+2+2+1 2+1+1+2 2+2+2

1

Sorprenentment, Fibonacci.

1

el

2

número

3

de

possibilitas

5

va

augmentant

8

segons

13

la

successió

de

Per acabar aquest apartat, podem dir que la famosa successió és emprada avui dia per realitzar anàlisis tècnics dels mercats financers. Cada dia s’obren i tanquen milions d’operacions bursàtils, seguint els nivells de Fibonacci marcats als gràfics. Una equivocació a l’interpetar els números i un pot arruinar-se. Així, Fibonacci està marcant l’economia capitalista, fent referència a la Borsa mundial.

Influències del número d’or en la naturalesa: Sorprenentment, la natura ens ofereix moltíssimes mostres de la pressència del número d’or o la successió de Fibonacci. Podem veure alguns exemples concrets.

Trobam Φ en la configuració de l’ou de gallina. La seva geometria està definida pel número d’or, i en la seva estranya forma hi ha un segment característic d’una paràbola. No es sap com es formen els característics arcs parabòlic i apuntat, però sí és un procés bastant ràpid per tenir aquesta forma tan perfecta. La forma sí serveix perquè quan la gallina posa l’ou en una superfícia plana, no s’en vagi rodant, ja que al tenir un extrem més “pesat”, l’ou dóna voltes sobre ell mateix.

La successió de Fibonacci apareix en unproblema que el matemàtic ja es plantejà: “Una parella de conills tarda un mes en arribar a l’edat fèrtil, a partir d’aquest moment cada vegada engendra una parella de conills, que a la

vegada, quan siguin fèrtils, engendraran cada mes una parella de conills. Quants conills hi haurà després d’un número determinat de mesos?” Com mostra el gràfic de l’esquerra, les parelles de conills van seguint perfectament la successió de Fibonacci. Més distribueixen d’elles. Per l’anterior. La es produeix números.

curiositats. Les rames i les fulles de les plantes es cercant sempre rebre el màxim de llum per cada una aquest motiu, cap fulla neix just en la vertical de distribució de les fulles alrededor del tall de les plantes seguint les seqüències basades exclusivament en aquests

El número d’espirals en nombroses flors i fruits també s’ajusta a parelles consecutives de termes d’aquesta successió: els girasols tenen 55 espirals en un sentit i 89 en l’altre, o bé 89 i 144. Igual passa amb quasevol varietat de pinya, 8 i 13 o 5 i 8. Les margarites presenten llavors en forma de 21 i 34 espirals. Sembla així que alguns éssers vius tenen el número d’or en el codi genètic. A més, la distància entre el nostre braç en repòs amb relació al terra i el genoll també és “phi”, així com de les espatlles amb relació a l’extrem de la mà i el nas. A continuació veim més casos: la proporció d’un braç i els ossos, una formiga, un pardal, una flor, una rosa, la cara d’un tigre, el dibuix de la cua d’un gall d’indi, una papallona i l’espiral del caragol nautilus. També, en teoria, si dividim la llargària nostra del terra fins al melic i ho dividim per l’alçada del melic fins dalt del cap, ens dóna el número d’or.

Influències del número d’or en la música: La música és considerada com una de les arts més matematitzades. Les seves lleis bàsiques, les primeres que es coneixen, van ser elaborades pel famós matemàtic grec Pitàgores. Va observar que una corda tensada, si vibra per complet, produeix una nota. El punt fixe de la corda s’anomena nodo, i si l’anam traslladant dividint en parts més petites la corda, s’obtenen altres notes (més agudes) que estan en harmonia amb la nota original. Aquest punts són números exactes. Però si situam el nodo en altres punts, innexactes, produïm una disonància. Pitàgores deduí que la vida divina està en harmonia amb la música de l’Univers. Així, la ciència matemàtica s’ha centrat en la recerca de l’harmonia humana. Així, Pitàgores va notar que dividint de forma successiva la longitud d’una corda d’una lira per la meitat, es podien produïr les notes de l’escala musical. Va destacar que les vibracions creadores de la música es produïen en qualsevol objecte i que l’Univers ballava al ritme de la música creada per la pròpia dança. En la construcció de violins, el famós luthier Stradivarius emprava aquesta proporció, concretament en les distàncies que s’aprecien en la foto:

Així, fent que la llargària de la caixa de ressonància dividida per la resta del màstil fos Φ , Stradivarius aconseguia que els violins tinguessin una millor sonoritat. Sembla que aquesta proporció no és fruit de la casualitat, el luthier feia els instruments amb la màxima precissió possible, el que donava una gran cualitat i prestigi. Avui dia, els seus instruments es conserven en museus o són considerats obres d’art valoredes en milions d’euros.També parla d’aquest tema el “Mètode de construcció de violins”, de Baginsky. Més endavant veurem com es formen les espirals a partir de rectangles d’or, característiques del caragol “Nautilus”. Però si ens hi fixam bé, la clau de “Fa”,

emprada en música, tendeix de forma intencionada o casual a la forma d’aquesta espiral, com obsvam a continuació:

També podem trobar la successió en el piano. Si agafam una octava quasevol, tenim 5 tecles negres i 8 de blanques, que sumades fan un total de 13. Aquests números van seguits en la successió de Fibonacci. S’ha de comentar, però, que sons diferents només n’hi ha 12, el 13 és la repetició del primer, pero forma l’octava.

Si entram en compositors concrets, molts han utilitzat aquesta proporció, de forma pensada i altres vegades per casualitat, el que ens fa pensar que les persones “tenim” el número en els gens. Una dels primers en utilitzar-lo va ser el compositor barroc alemany J.S. Bach, concretament a les seves dues cantates italianes i també a la primera fuga de “L’art de la fuga”. Mozart ha emprat nombroses vegades la proporció a quasi totes les seves sonates per a piano, com la “Sonata Nº1 per piano en Do major”, que divideix en dues parts, proporcionades pel número d’or. Aquestes parts són la introducció i el desenvolupament del tema. No sembla que conegués aquestes raons matemàtiques. Beethoven, a la seva famosa “Quinta simfonia”, en el moviment inicial “motto”, també emprà la divina proporció. El tema més conegut, el del destí cridant a la seva porta, apareix en els primers compasos, al final (compàs 601, abans de la coda), però també al compàs 372, exactament en el punt que forma el número 0.618. Casualitat? Schubert, també al piano, emprà la proporció en molts dels seus estudis. Podem destacar la seva darrera “Sonata en La major per piano”, D.959. També podem citar als francesos Debussy i Satie, que també empraren la proporció d’or en les seves obres per piano. Però el compositor que més ha emprat la proporció és l’húngar Béla Bartók, concretament en la “Concert per cordes, percussió i celesta”. Aquí, en la fuga, la segona part, després del clímax, és en extensió a la primera com aquesta al total de l’obra, i la proporció és el número d’or. El compostior solia fer coincidir els clímax de les seves obres amb la secció aurea. També l’han emprada menys coneguts, com Hindemith, Stockhausen y Ferneyhough. Avui dia podem destacar el canon de Nørgård, aquest sí ja fet absolutament de manera conscient amb la proporció d’or. Podem veure l’esquema que va seguir seguidament: 1 10 101

10110 10110101 1011010110110 101101011011010110101 ... El grup “Perfect Fifth” de Londres, amb una peça anomenada “Fibonacci”, també ha emprat la proporció. Però ara ens centrarem en un compositor i una obra més concret. Es tracta del “Il· lidi de Sigfrid”, de 1870, del comositor-poeta alemany Richard Wagner (18131883). Aquesta obra també és anomenada “de l’escala”, perquè és on s’interpretà per primera vegada, a l’escala de casa seva, dedicant-la a la seva dona Còsima, després de tenir el seu primer fill, Sigfrid. Va ser un regal. El tema principal de l’obra, el “blickmotiv” o “motiu de la mirada”, que apareix a l’obra “Sigfrid”, segona jornada de “L’anell del Nibelung”. L’obra té una durada d’uns 18 minuts, 405 compasos. Aquests compasos es troben relacionats formant una doble secció aurea, és a dir, es produeix un canvi entre els compasos 147 i 148 passant d’un compàs quaternari a un de ternari, marcant un punt d’inflexió i reflexió, que ofereix un porcentatge en número de compasos idèntic al que es produex entre els compasos 258 i 259, quan torna el compàs quaternari, mostrant-nos una nova secció aurea des del final:

Així, la primera part i la tercera són quaternàries, i la segona part, entre els commpasos 147 i 258, és ternària. Al compàs 91, on l’oboe agafa la inversió del tema de l’idil· li, s’aconsegueix una obra cíclica, íntegra. Aquest tema principal està format per 5 sons transportats a la tonalitat de Mi major:

Al compàs 259, comença la tercera part del “Idil· li”, corresponent a la secció aurea que es forma des del final de l’obra. Ha tornat el ritme quaternari, amb pressència de la trompa, i a partir del compàs 275, la música entra en una ambigüetat tonal que desembocarà de nou en el tema principal, al compàs 286, fins acabar l’obra. L’instrumentació és per a 13 instruments, on el violí ens recorda a Isolda i el violoncel a Tristany, de l’òpera “Tristany i Isolda”, també de Wagner. Aquesta peça, composta fa

134 anys, empra la secció aurea i aconsegueix arribar a l’intemporalitat, i ens indica el que arribarà a ser el dodecafonisme, al segle XX.

El rectangle d’or. Obtenció d’espirals Podem obtenir aquest rectangle dibuixant un quadrat. Després marcam el punt mitjà d’un dels seus costats. L’unim amb un dels vértex del costat oposat i duim aquesta distància sobre el costat inicial, amb un compàs. Així obtenim el costat major del rectangle. Si el costat val 2 unitats, el costat major ha de valer un més rel de 5, i així, la proporció entre els dos costats és Φ. La proporció és el quocient dels dos costats, el més llarg entre el més curt. També es pot formar començant amb un quadrat, fent-ne un igual davall, a l’esquerra posar-ne un que tengui de costat la suma dels dos anteriors, a dalt posar-ne un de costat igual al que suma aquest tercer amb el primer, etc. Així, un rectangle d’or sempre es pot dividir en un quadrat i un altre rectangle, també d’or. Podem agafar un rectangle d’or i dir que el quadrat que el forma val 1. Així, la proporció és:

P1 =

x +1 1

Si feim el mateix amb el rectangle més petit, la proporció és:

P2 =

1 x

Podem igualar les proporcions, que són la mateixa:

x +1 1 1 −1± 5 = ⇒ x +1= ⇒ x2 + x −1= 0 ⇒ x = ⇒ x + 1 = 1.618... 1 x x 2 Aquestes proporcions, emprant la rel de 2, és la que es fa servir pel paper DIN, dissenyant per un grup d’enginyeers que volien que tothom emprés el mateix tipus de paper, per així no tenir tants de problemes. El tamany fol és DIN-A-4, si augmentam el número, el paper es va reduint a la meitat, i si el reduïm, es va duplicant.

Per acabar, si amb un compàs unim els dos vértex de cada quadrat, emprant de centre el vértex més pròxim al punt on hem començat el rectangle, obtenim una espiral, que cada vegada s’obra més. És l’espiral d’un tipus de caragol, el “nautilus”, com hem vist abans. A la pàgina següent veim el gràfic, amb el rectangle i les mides, empran la successió de Fibonacci. També hi ha la bibliografia emprada per realitzar aquest treball.

Bibliografia: -Enciclopèdia Larousse 2000 -Enciclopèdia Encarta 2004 en CD-ROOM -www.archivowagner.net -www.epsilones.com -plus.maths.org -www.math.washington.edu