Peluang Ti Dita M, Stantia Sari)

I. Peluang Kejadian Dengan Dan Tanpa Pengembalian Masih ingatkah anda mengenai peluang? Peluang bisa disebut juga dengan kesempatan. Pada saat sekolah menengah pertama, kita telah mempelajari apa itu peluang, sampel, ruang sampel, dan peluang kejadian. Pada pembahasan kali ini akan dibahas mengenai Peluang Kejadian Dengan dan Tanpa Pengembalian. Dimana peluang ini digunakan pada kejadian tunggal dan tanpa memperhatikan unsur warna pada objek. Masih menggunakan rumus umum peluang yaitu P ( A) =

n( A) n( S )

Ket : P(A) = Peluang kejadian A n(A) = Banyaknyakejadian A n(S) = Banyaknyakejadian yang mungkin. (Banyaknya anggota ruang sampel) Contoh : Ada sebuah kotak berisi 12 bola warna warni. Arya ingin mengambil 2 bola sekaligus tanpa memperhatikan warna. Berapakah peluang terambilnya 2 bola tersebut? Penyelesain1 : Diketahui n(A) = 2 ; n(S)= 12 Ditanya P(A) ? Maka P( A) =

n( A) 2 1 = = n( S ) 12 6

Jadi peluang Arya mengambil 2 bola dalam kotak tersebut adalah

1 . 6

Setelah mengambil 2 bola, Arya mengembalikan bola yang dia ambil ke dalam kotak. Kemudian Shayna akan mengambil 5 bola sekaligus tanpa memperhatikan warna pada kotak tersebut. Berapakah peluang terambilnya 5 bola? Penyelesain2 : Diketahui n(A) = 5 ; n(S)= 12 Ditanya P(A) ?

1

Maka P ( A) =

n( A) 5 = n( S ) 12

Jadi peluang Shayna mengambil 5 bola dalam kotak tersebut adalah

5 . 12

Kejadian seperti ini disebut Peluang Kejadian Dengan Pengembalian. Setelah mengambil 5 bola tersebut, Shayna tidak mengembalikan bola ke dalam kotak. Kemudian Adik akan mengambil sebuah bola pada kotak tersebut. Berapakah peluang adik mengambil sebuah bola pada kotak tersebut? Penyelesain3 : Diketahui n(A) = 1 ; n(S)= 12 – 5=7 (karena dari 12 bola telah diambil 5 bola) Ditanya P(A) ? Maka P( A) =

n( A ) 1 = n( S ) 7

Jadi peluang Adik mengambil sebuah bola dalam kotak tersebut adalah

1 . 7

Kejadian seperti ini disebut Peluang Kejadian Tanpa Pengembalian. Berdasarkan dari ketiga contoh soal diatas, maka dapat dilihat perbedaan yang signifikan antara Peluang Kejadian dan Tanpa pengembalian terletak pada n(S).Rumus untuk peluang Dengan pengembalian adalah sama dengan rumus umum peluang. Sedangkan untuk rumus Peluang kejadian Tanpa Pengembalian adalah : P( A) =

n ( A) n( S ) − n(x )

Dimana n(x) adalah banyaknya objek yang telah diambil sebelumnya. Latihan : Adik dan teman-temannya akan bermain kelereng. Adik menyimpan koleksi kelerengnya disebuah kotak dimana didalamnya terdapat 30 buah kelereng. Adik mengambil 3 buah kelereng dari kotak. Ditanya : a. Berapakah peluang terambilnya 3 kelereng tersebut? b. Jika setelah mengmbil 3 kelereng, adik mengembalikan ke kotak berapakah peluang terambilnya 11 kelereng tersebut?

2

c. Kemudian tanpa dikembalikan 11 kelereng yang telah diambil, berapakah peluang terambilnya 6 buah kelereng dalam kotak tersebut?

II. Peluang Kejadian Majemuk Kejadian

majemuk

dapat

terbentuk

dengan

cara

mengkombinasikan dua atau lebih kejadian .pengkombinasian tersebut dapat dilakukan dengan gabungan atau irisan. A. Peluang kejadian saling lepas Dua kejadian saling lepas apabila dua kejadian tersebut tidak dapat terjadi pada saat bersamaan .dua kejadian yang saling lepas tidak memiliki titik sempel persekutuan sama.dengan

atau

tidak

notasi

memiliki

himpunan

titik

dapat

sempel ditulis

yang bahwa

kejadian A saling lepas dengan kejadian B apabila A ∩B = φ .Jika kedua kejadian memiliki titik sempel persekutuan maka kedua kejadian tersebut disebut kejadian yang tidak saling lepas.kejadian A dan B tidak saling lepas apabila A ∩B ≠φ .

Jika kejadian A dan B saling lepas maka : Peluang kejadian Aatau B adalah : P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) Jika kejadian A dan B tidak saling lepas maka: Peluang kejadian Aatau B adalah: P( A ∪ B) = P( A) + P( B ) − P( A ∩ B) Contoh: Dari pelemparan dua dadu bermata enam satu kali.hitunglah peluang muncul dadu bermata sama atau berjumlah 9 Jawab : Diketahui: n( s ) = 6 × 6 = 36 Misal, A= Kejadian muncul kedua mata dadu sama B = Kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 9 A = {(1,1), ( 2,2), (3,3), ( 4,4), (5,5), (6,6)} ⇒ n( A) = 6 B = { (3,6), (6,3), (4,5), (5,4)} ⇒ n( B ) = 4 Terlihat bahwa A ∩B = φ ,berarti kejadian Adan B merupakan kejadian saling lepas.

3

n( A) 6 ⇒ P ( A) = n( S ) 36 n( B ) 4 P( B) = ⇒ P( B) = n( S ) 36 P ( A) =

Peluang muncul dadu bermata sama atau berjumlah 9 adalah P ( A ∪ B ) = P( A) + P( B) =

6 4 10 5 + = = 36 36 36 18

B. Peluang dua kejadian saling lepas Dua kejadian A dan B disebut kejadian –kejadian yang saling bebas jika terjadinya kejadian a tidak mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Bila kejadian A dan B adalah kejadian –kejadian yang saling bebas,maka P ( A ∩ B ) = P ( A) × P ( B ) . Contoh : satu dadu dan satu mata uang di tos sekali secara bersamaan. Berapa peluang muncul mata dadu 5 dan angka pada mata uang? Jawab : 1 dadu,maka n( s ) = 6 1 mata uang, maka n( S ) = 2 Misalkan, A = kejadian munculnya mata dadu 5 ⇒ n( A) = 1 B = Kejadian munculnya angka pada mata uang ⇒ n( B ) = 1 Hal ini berarti P( A) =

1 1 dan P ( B ) = 6 2

Jadi, P( A ∩ B) = P( A) × P( B) =

1 1 1 × = 6 2 12

C. Peluang kejadian bersyarat Pada kejadian acak A dan B, Peluang terjadinya kejadian B pada waktu Kejadian A telah terjadi di sebut kejadian bersyarat terjadi B pada waktu A terjadi, dan dinotasikan dengan : P ( B / A). Penentuan formula untuk peluang kejadian bersyarat dapat dilihat sebagai berikut: 

Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadiaan B telah muncul P( A / B) =



P( A ∩ B) , P( B ) ≠ 0 P( B)

Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul

4

P ( B / A) =

P( A ∩ B) , P ( A) ≠ 0 P ( A)

Contoh: Sebuah dadu bermata enam dilempar sekali.berapa peluang muncul angka prima kalau telah muncul angka ganjil? Jawab: S = {1,2,3,4,5,6} ⇒ n( S ) = 6

Misal , A = Kejadian muncul angka ganjil ⇒ A = {1,3,5} B = Kejadian muncul angka prima ⇒ B = { 2,3,5} A ∩ B = { 3,5} 3 1 = 6 2 3 1 P( B) = = 6 2 2 1 P( A ∩ B) = = 6 3 P ( A) =

1 P( A ∩ B) 3 2 = = Jadi, P ( B / A) = 1 3 P ( A) 2

Soal latihan 1. pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa peluang mendapatkan kartu As atau king? Jawab : misal A kejadian mendapatkan As, dan B kejadian mendapatkan king, maka A ∩B = φ ,Jadi P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) =

4 4 8 2 + = = 52 52 52 13

2. Tiga lempeng mata uang ditos . hitunglah peluang muncul ketiganya angka apabila telah muncul paling sedikit satu angka. Jawab: S=

{ (G, G, G ), (GGA ), (GAG ), (GAA ), ( AGG ), ( AGA ), ( AAG ), ( AAA )} ⇒ n( S ) = 8 Misal : A = Kejadian muncul paling sedikit satu angka, maka A=

{ (GGA ), (GAG ), ( AGG ), (GAA ), ( AGA ), ( AAG ), ( AAA )} ⇒ n( A) = 7

5

B = Kejadian muncul tiga angka, maka B = { AAA} ⇒ n( B) = 1 A ∩ B = { ( AAA)} ⇒ n( A ∩ B) = 1 P ( A) =

7 1 , P ( B) = , dan 8 8

P( A ∩ B) =

1 8

1 P ( A ∩ B) 8 1 P( B / A) = = = 7 7 P ( A) 8

3. Pada pelemparan dua dadu setimbang secara bersamaan, tentukan peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5 Jawab Misal A adalah kejadian muncul mata dadu pertama maka P ( A) = B adalah kejadian muncul mata dadu 5 maka P( B) = 1 6

Maka P ( A ∩ B ) = P ( A) × P( B) = ×

1 6

1 6

1 1 = 6 36

III.Permutasi dan Kombinasi A. Permutasi Permutasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek-objek berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada objek yang diulang dari objek-objek tersebut. Misalkan H himpunan dengan n objek. Misalnya k ≤ n, permutasi k objek dari himpunan H adalah objek-objek berbeda dalam urutan tertentu yang terdiri darik objek dengan H. dalam hal ini permutasi terbagi menjadi beberapa pemdahasan atas n objek dengan beberapa jenis k, yaitu : 1. Permutasi n objek dari n objek yang berbeda Situasi

: ada n objek yang satu sama lain berbeda.

Masalah : menentukan banyaknya susunan terurut terdiri dari n objek yang ada. Notasi

:

n

Pn , P ( n, n) atau Pnn

Masalah di atas dapat dianalogikan sebagai masalah menempatkan n objek dalam n kotak yang berbeda. … Kotak ke -

1

2

n–1

n

6

Dalam pengisian kotak dapat dilakukan dalam beberapa tahap yaitu : 1. Tahap pertama mengisi kotak ke-1 2. Tahap kedua mengisi kotak ke-2, dan seterusnya sampai kotak ke-n Tahap

Pengisian kotak ke-

1 2 . . . n-1

1 2 . . . n-1

Banyaknya cara n n-1 . . . 2

n n 1 Menurut kaidah perkalian, banyaknya cara mengisi kotak tersebut adalah n( n −1)... 2 ⋅1 = n! n

Pn = n! Contoh :

Dari empat calon pengurus OSIS berapa kemungkinan susunan yang dapat terjadi untuk menentukan sekaligus ketua, wakil ketua, bendahara, dan sekretaris ? Jawab : Dari soal di atas adalahpermutasi 4 objek dari 4 objek ∴4 P4 = 4!= 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 24 kemungkinan

2. Permutasi k objek dari n objek yang berbeda, k ≤n Situasi

: ada n objek yang satu sama lain berbeda.

Masalah : menentukan banyaknya susunan terurut terdiri dari k objek dari n objek yang ada, k ≤n. Notasi

:

n

Pk , P ( n, k ) atau Pkn

Masalah di atas dapat dianalogikan sebagai masalah memilih k objek dari n objek yang ada untuk ditempatkan pada k kotak. … Kotak ke -

1

2

k

k-1

Dalam pengisian kotak dapat dilakukan dalam beberapa tahap yaitu : 1. Tahap pertama mengisi kotak ke-1 2. Tahap kedua mengisi kotak ke-2, dan seterusnya sampai kotak ke-k Tahap

Pengisian kotak ke-

Banyaknya cara

7

1 2 . . . k-1

1 2 . . . k-1

n n -1 . . . n–(k– 2)=n–k+2

k k n–(k– 1)=n–k+1 Menurut kaidah perkalian, banyaknya cara mengisi kotak tersebut adalah n( n −1)...( n −k +1) =

n! ( n −k )! n

Pk =

Contoh :

n! ( n − k )!

Tentukan banyaknya kemungkinan dalam pemilihan presiden dan wakil presiden 2009 jika ada 3 orang calon ! Jawab : Dari masalah di atas adalah masalah permutasi 2 objek dari 3 objek ∴3 P2 =

3! 3! = = 3 ×2 = 6 (3 − 2)! 1!

3. Permutasi n objek dari n objek dengan beberapa objek sama Situasi

: ada n objek yang beberapa di antaranya sama. Misalnya ada sejumlah n1 objek q1 , sejumlah n 2 objek q 2 , …, sejumlah n k objek q k , dengan n1 + n2 + ... + nk = n.

Masalah : menentukan banyaknya susunan terurut terdiri dari n objek. Notasi : n P( n , n ,... n ) 1

2

n

k

P( n1 , n2 ,... nk ) =

n! n1!n2 !... nk !

Contoh : Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “GANGGANG” ? Jawab : Terdapat 9 huruf pada kata INDONESIA ; terdiri dari 4 huruf G, 2 huruf A, 2 huruf N.

8

Banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah : 8

P( 4, 2, 2 ) =

8! 8 ⋅7 ⋅6 ⋅5 = = 420 huruf 4!2!2! 2⋅2

4. Permutasi siklis Pada permutasi siklis, kita akan menghitung berapa banyak susunan terurut yang mungkin dari sejumlah n objek yang berbeda yang ditempatkan secara melingkar. Pada permutasi siklis tidak diperhitungkan tempat kedudukan benda di lingkaran, yang diperhitungkan adalah posisi satu objek terhadap objek lainnya. Contoh : A

B

A C

B

D

C

A

C

D

Gambar I

Gambar II

Permutasi siklis pada gambar I dan gambar II dianggap sama karena kedudukan setiap objek terhadap objek yang lain adalah tetap, walaupun posisi lingkaran Situasipada : ada n objekberubah. yang satu sama lain berbeda. Masalah : menentukan banyaknya cara n objek berbeda disusun terurut melingkar. Notasi

:

n

P( siklis

)

Karena permutasi siklis hanya memperhitungkan kedudukan suatu objek terhadap objek lain dan tak memperhitungkan tempatnya di lingkaran,

9

maka kita bisa mulai dengan menempatkan objek A sembarang pada lingkaran. Selanjutnya kita tandai posisi di kiri objek a sebagai posisi 1, dikiri posisi 1 sebagai posisi 2, dan seterusnya sampai posisi terakhir, yaitu di sebelah kanan objek A, sebagai posisi n–1. Ada n–1 cara menempatkan sebuah objek pada posisi 1 Ada n–2 cara menempatkan sebuah objek pada posisi 2 Menurut kaidah perkalian, total banyaknya cara menempatkan n objek secara melingkar adalah (n −1)( n − 2)... 2 ⋅1 = (n −1)! n

P( siklis

)

= ( n −1)!

Contoh : Santi, Eka, Wulan, Tari, Bayu, dan Angga akan mengadakan sebuah rapat tertutup di suatu meja yang berbentuk lingkaran. Ada berapa cara berbeda sehingga kedudukan seorang peserta rapat terhadap peserta lainnya berbeda ? Jawab : Masalah di atas adalah masalah permutasi siklis dengan n = 6, maka 6

Psiklis = (6 −1)! = 5!=120 cara

B. Kombinasi Kombinasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek-objek tanpa memperhatikan urutan objek-objek tersebut. Missal susunan bola bewarna merah ke kuning sama saja dengan susunan bola kuning ke merah. Kombinasi terdiri dari, yaitu : 1. Permutasi n objek dari n objek yang berbeda Situasi : ada n objek yang satu sama lain berbeda. Masalah : menentukan banyaknya susunan tak terurut dari objek yang ada. Notasi

n : n C n , C ( n, n) atau C n

Misalkan objek-objek tersebut adalah n1 , n 2 ,... dan n n . Karena susunan tidak memperhatikan urutan, maka susunan ( n1 , n2 ,... n n ) dianggap sama dengan ( n 2 , n1 ,... n n ) = ( n3 , n5 ,... n n ) , dan seterusnya. C nn = 1

10

Contoh : Pelatih tim bola volli “Pelita” hanya mempunyai 6 pemain untuk berhadapan dengan tim “Karya”. Berapa banyak susunan pemain terdiri atas 6 orang yang dapat dipertimbangkan pelatih tim “Pelita” untuk bertanding ? Jawab : Masalah di atas adalah masalah kombinasi 6 objek dari 6 objek karena 6 urutan pemain tidak dipermasalahkan, maka didapat C6 =1 . Jadi pelatih

hanya dapat mempertimbangkan1 susunan 2. Kombinasi k objek dari n objek yang berbeda, k ≤ n Situasi

: ada n objek yang satu sama lain berbeda.

Masalah : menentukan banyaknya susunan tak terurut terdiri atas

k

objek dari n objek yang ada, k ≤ n. Notasi

n : n C k , C ( n, k ) atau C k

Perhatikan diagram kotak berikut Kotak ke … k

k1

n–1

1

2

…

n

Misalkan kita taruh k objek tesebut pada k kotak yang pertama. Jika urutan diperhatikan, maka k objek tersebut dapat dipermutasikan pada kotak satu sampai kotak k sebanyak k! kali, tetapi karera urutan tak diperhitungkan, maka permutasi k objek pada pada k kotak dianggap 1. sebenarya jika urutan tak diperhitungkan banyaknya cara menyusun k objek di n kotak tersebut adalah

n

Pk , dan pada permutasi tersebut setiap

k kotak yang terpilih dari n kotak akan dipermutasikan sebanyak k! kali. Karena urutan tak di perhitungkan, maka permutasi pada setiap kotak yang dipilih dianggap 1. n

Ck =

1 1 n! n! ⋅n Pk = ⋅ = k! k! (n − k )! k!(n − k )!

Contoh :

11

Dalam sebuah kotak terdapat 10 bola dan akan diambil 3 bola. Banyaknya kemungkinan bola yang terambil adalah ? Jawab : 10

C3 =

10! =120 kemungkinan 3!(10 − 3)!

DAFTAR PUSTAKA Normandiri, matematika untuk kelas XI jilid 2A, Jakarta: Erlangga. 2004

12

Sulistiyono,matematika SMU kelas XI program IPA,Jakarta : Gelora Aksara pratama.2006 Sukino, matematika untuk SMA kelas XI, Jakarta: Erlangga.2004

13