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Curso Básico de comunicaciones (2) Glen D. Rodríguez R. CTIC

De Serie de Fourier a Integral • Serie de una señal no periódica (a)? – Alternativa: si la señal es de duración finita, repetir la señal Æ Tiene Serie. – Pero si T0 tiende a infinito? Æ (b) se parece a (a)

De Serie de Fourier a Integral • Serie de (b), donde ω0=2π/T0

De Serie de Fourier a Integral • Si definimos +∞

G (ω ) = ∫ g (t )e − jωt dt −∞

• Y llevamos T0 a infinito, obtenemos 1 g (t ) = 2π

∫

+∞

−∞

G (ω )e jωt dω

• Transformadas de Fourier! Que es como la serie cuando la frecuencia fundamental tiende a cero

Repaso de propiedades • Simetría de la conjugada si g(t) es real

• Linearidad

Interpretación física • Dada g(t) real, G(ω) en cierta frecuencia W se puede interpretar así: – Si tomamos una banda de frecuencia desde W- ΔW/2 hasta W+ ΔW/2, tenemos que la contribución de esas frecuencias a la señal es aprox. 1/2π G(W). ΔW. Si ΔW tiende a cero, la aproximación tiende al valor verdadero. – O sea, G(W) sería la “densidad espectral” por unidad de ancho de banda (Hertz)

Gate pulse y su transformada

• • • •

La función rect(t/τ) tiene como transformada a G(ω)= τ sinc (ωτ /2) Donde sinc= (sen(x)) / x “Ancho de banda efectivo”= ancho del primer lóbulo= 2π/ τ . Mientras crece τ el ancho de banda disminuye

Impulso unitario y su transformada

Impulso unitario y su transformada • Y la transformada inversa de δ(ω) es: g(t)=1/2π • De allí se puede deducir que la transformada de g(t)=1 sería 2πδ(ω) • Y la transformada de un impulso centrado en ω=ω0 sería: (1/2π) ejω0t

Ejercicios propuestos • Transformadas del sen(ω0t), cos(ω0t), de la función signo y del escalón unitario. • Transformada de e-atu(t) • Demostrar la ecuación de la derivada inversa. Tip: g(t) debería ser el limite de gT0(t) con T0 que tiende a infinito y con Δω=2π/T0 que tiende a cero.

Simetría de transformada directa e inversa Æ dualidad tiempo frecuencia • Se nota que las fórmulas de la transformada directa e inversa son muy parecidas, salvo un factor y el signo de la exponencial. Eso genera cierta relación simétrica entre ambas. • Por ejemplo, la transformada de g(t-t0) es G(ω)e-jωt0, y la de g(t)ejω0t es G(ω-ω0)

Simetría de transformada directa e inversa Æ dualidad tiempo frecuencia • En general si: – La transformada de g(t) es G(ω) – Entonces la de G(t) es 2πg(-ω)

Simetría de transformada directa e inversa Æ dualidad tiempo frecuencia • Ejemplo de uso: – Si se que la transformada de rect(t/τ) es G(ω)= τ sinc (ωτ /2) – Entonces:

Ejercicios propuestos • Usando las respuestas del ejercicio anterior (transf. del sen, cos, etc.), aplicar la propiedad de simetría y hallar la transformada de las “respuestas”. • Hallar la transformada de e-a|t|

Propiedad de escala • Si la transformada de g(t) es G(ω), entonces, para cualquier constante real a diferente de cero: • La transformada de g(at) es (1/ |a|)G(ω/a)

Propiedad de escala • Si una función se expande en el tiempo, entonces se comprime en la frecuencia (con menos aporte de potencia por Hz) , y viceversa, si se comprime en el tiempo se expande en la frecuencia (con mayor aporte de potencia por Hz) • Lo inverso es válido (simetría). Ej: si comprimo la frecuencia, la señal en el tiempo se expande.

Propiedad de desplazamiento en el tiempo • Si la transformada de g(t) es G(ω), entonces, para cualquier constante t0: • La transf. de g(t-t0) es G(ω)-jωt0

Propiedad de desplazamiento en el tiempo • Es decir, el atraso o adelanto de una señal en el tiempo no cambia la amplitud de su espectro, sólo la fase, por –ωt0. (linear phase shift) • Explicación física: la señal con retraso t0 puede ser regenerada por sus componentes de Fourier retrasados todos t0. Pero eso cambia la fase de cada sinusoidal, y no por igual. Ej: • cos ω(t-t0)= cos(ωt - ωt0). El cambio de fase -ωt0 es función lineal de ω.

Ejercicios • Hallar la transformada de e-a|t-t0| • Si la transformada de g(t) es G(ω), hallar la transformada de g(t+T) +g(t+T)

Propiedad de desplazamiento en la frecuencia • Si la transformada de g(t) es G(ω), entonces: • La transformada de g(t)ejω0t es G(ω- ω0) • Prueba: ℑ( g (t )e

jω 0 t

+∞

) = ∫ g (t )e −∞

+∞

•

jω 0 t

e

− jωt

dt =

g (t )e dt = G (ω − ω ∫ O sea, multiplicar g por una ese −∞

− jt (ω −ω0 )

0

exponencial desplaza el espectro en ω0

)

Propiedad de desplazamiento en la frecuencia • De la misma forma: • La transf.de g(t)e-jω0t es G(ω+ ω0) • Como esos exponeciales son complejos en la práctica se multiplica a g por un seno o coseno.

Propiedad de desplazamiento en la frecuencia • La ecuación anterior es la base de la amplitud modulada • El coseno serie la portadora y g la señal a modular. El producto es la señal modulada. • Si usa cos(ω0t+θ0),entonces la fase de cada componente espectral sería desplazada por una cantidad θ0

Espectro de la señal modulada • Note que si el espectro de g(t) era de lowapss de ancho B Hz, el de g(t)cos() y de g(t)sen() es de ancho 2B y bandpass. • Se demostrará en otra clase que cualquier señal gbp bandpass de ancho de banda 2B (no necesariamente simétrica) puede expresarse como:

Ejercicios • Hallar una expresión para la transformada de una función de periodo T0, en función de sumatoria de impulsos unitarios. • Hallar la transformada de la serie infinita: …+ δ(t-3T0) + δ(t-2T0)+ δ(t-T0)+ δ(t)+ δ(t+T0)+ δ(t+2T0)+ δ(t+3T0)+…

Convolución • La convolución de 2 funciones g y w se define: +∞

g (t ) ∗ w(t ) = ∫ g (τ ) w(t − τ )dτ −∞

Convolución

Convolución • De acuerdo a las fórmulas anteriores, si tengo 2 señales g1 y g2, con ancho de banda B1 y B2 respectivamente, entonces el ancho de banda de g1g2 debe ser B1+B2 (†) • Entonces, si el ancho de banda de g es B, el ancho de g2 es 2B, de gn es nB.

Derivar e Integrar en el tiempo • Si la transformada de g(t) es G(ω), entonces: • La transf. de dg(t)/dt es jωG(ω) • La transf. de la integral es:

Ejercicios • Demostrar (†) • Demostrar las propiedades de la página anterior. • Hallar la transformada de dng(t)/dtn • Hallar la transformada de:

Transmisión de las señales en un Sistema LTI • LTI: linear time invariant • En este tipo de sistemas, existe una función h tal que, si g(t) es el input , y(t) es el output, se cumple que: • y(t)=g(t)*h(t) (ojo: convolución) • De lo que se deduce que: • Y(ω)=G(ω)H(ω) • A h se le llama el “unit impulse response” y a H se le llama la función de transferencia del sistema o respuesta espectral del sistema

Transmisión de las señales en un Sistema LTI • La transmisión de la señal a través del sistema cambia la señal g en la señal y. • Veamos a las transformadas en forma polar:

• Para cada componente de frecuencia ω, la amplitud |G(ω)| cambia a |G(ω)|.|H(ω)|, y su fase se suma a la fase de H(ω), o sea, θh(ω).

Transmisión de las señales en un Sistema LTI • Durante la transmisión, si H(ω) no es un número real constante, los componentes de g varían no uniformemente. Algunos pueden amplificarse mientras otros atenuarse. • Las fases también pueden variar. • H y h se pueden hallar con modelos matemáticos, computacionales o por mediciones.

Canal ideal y transmisión si distorsión • • • • • • •

Ya se vió que: y(t)= kg(t-td), donde k, td=constante. Sacando la transformada: Y(ω)=kG(ω)e-jωtd Por lo tanto H sería H(ω)= ke-jωtd |H(ω)|= k θh(ω) = - ωtd

Interpretación • Si la señal original se descompone, para que el output y(t) no tenga distorsión debo hacer que cada componente de multiplique por k y se retrase td. Por lo tanto la atenuación de cada componente es k y en el seno o coseno el tiempo ωt se convierte en (ω(t-td))= (ωt- ωtd)=(ωt+θ) • O sea, no basta que |H|=constante.

Percepción • El oído humano es bueno detectando la amplitud pero no el cambio de fase a menos que la variación de la pendiente de θh sea grande (acumule). Como las silabas duran pocas décimas de seg., no se nota. • El ojo, en cambio, nota más los cambios de fase (imagen borrosa). • El cambio incorrecto de fase también es malo para comunicaciones digitales por que causa dispersión de los pulsos rectangulares

Ejercicio • Cual es la H del circuito

• Si se considera “sin distorsión” si la diferencia o error en amplitud no pasa del 2% y la variación del td de 5% ¿Qué ancho de banda se consideraría sin distorsión?

Distorsión lineal La fase es ideal, pero la Magnitud de H no lo es

Distorsión lineal

Distorsión no lineal • En este caso, el canal no es LTI. Esto es más realista, especialmente si la señal transmitida es fuerte. • Supongamos que y(t)=f(g(t)) • Por series de McLaurin: • y(t)=a0+a1g(t)+a2g2(t)+…+akgk(t)+… • Recordar de convolución: si el ancho de banda de g es B, el de y (sumatoria hasta gk) sería kBÆ el espectro invade otras señales en multiplexación por frecuencia.

Distorsión de múltiples caminos (multipath) • Causada por irregularidades de impedancia, o en un canal urbano

Estación base

Potencia de la señal

original

Tiempo Delay spread

Distorsión de múltiples caminos (multipath) • Se puede representar como varios canales en paralelo, cada uno con diferente atenuación y delay. Ejemplo con dos caminos:

Distorsión de múltiples caminos (multipath) • Si la atenuación de ambos camino son parecidas (α≈1), entonces la señal y su eco se podrían casi cancelar en ciertas frecuencias, si ω≈ nπ/Δt (n impar). Para n par, la señal y el eco se refuerza. • Eso se llama fading selectivo de frecuencia y se puede arreglar con ecualizadores con delays ponderados.

Canales con fading • Que pasa si las características del canal (ej: H si el canal es LTI) no son constantes en el tiempo si no varían? Ej: el receptor se mueve (ver carrito del gráfico de multipath), o el canal cambia (reflejar radio en la ionosfera, o usar atmósfera con el clima cambiante). • Eso causa atenuación y desfase “aleatoria”, o fading. Uno de los peores fading es el selectivo de frecuencia (el cambio en el tiempo es diferente por frecuencia).

Transformada y Teorema de Parseval

Densidad espectral de la energía (ESD)

• La ecuación anterior se puede interpretar como la “suma” de las energías contribuidad por cada componente espectral de g(t), que sería proporcional a |G(ω)|2. Pero recordar que G(ω) no aporta nada para un punto ω, sino para un intervalo, así que es mejor hablar de densidad de energía espectral Ψ: Ψg (ω ) = G (ω ) 1 Eg = 2π

2

+∞

+∞

−∞

−∞

∫

Ψg (ω )dω = ∫ Ψg (ω )df

Ancho de banda esencial de una señal • El espectro de la mayoría de señales se extiende al infinito. Pero debe tender a cero para altas frecuencias por que si no la energía sería infinita. ¿En que ancho de banda B esta limitada la mayor parte de la energía de la señal? SI lo supiéramos, filtramos el resto y la señal se afectaría en poca medida. • B sería el ancho de banda esencial y se define como el ancho de banda donde está concentrado un X% de la energía (X% arbitrario, puede ser 95% o más)

Ancho de banda esencial de una señal • Ej.: estimar el ancho de banda esencial B=W de la señal e-atu(t) • G(ω)=1/(jω +a) • |G(ω)|2=1/(ω2 +a2), Eg=1/(2a)

Ejercicios • Verificar el teorema de Parseval para la señal e-atu(t) . Es decir hallar la energia integrando en el dominio del tiempo y luego en el de la frecuencia según Parseval y ver que coincidan los resultados • Hallar el ancho de banda esencial de rect(t/T) para X%=90% y para X%=95%. Tip: no se resuelve solo con análisis, necesita cómputo numérico (MATLAB u otro)

ESD de las señales moduladas

ESD de las señales moduladas • Nótese que Eφ= ½ Eg, debido a que el coseno en muchas partes disminuye la señal de g a menos del 100% (pues el valor absoluto del coseno varía de 0 a 1)

ESD del input y el output de un Sistema LTI • • • • •

Y(ω)=H(ω)G(ω) Por lo tanto: |Y(ω)|2=|H(ω)|2|G(ω)|2 Reemplazando por ESD: Ψy(ω)=|H(ω)|2 Ψg(ω)

Densidad espectral de la potencia PSD+T / 2 1 Pg = lim T →∞ ∫ g 2 (t )dt T −T / 2 • Definimos un gT(t)=g(t) definido sólo entre -T/2 y T/2, con su respectiva transformada GT

Densidad espectral de la potencia PSD

Interpretación de la PSD • La PSD de g(t) es el promedio en el tiempo del ESD de g(t) (ojo ≠ al promedio estadísitico) • Representa la potencia por unidad de ancho de banda en Hz alrededor de ω • La potencia contribuída por los componentes entre ω1 y ω2 es:

Autocorrelación como herramienta • Para una señal g(t), el ESD se puede hallar tomando la transformada de su autocorrelación. • Pero este método no se usa por que no se puede hallar la transformada de una señal con ruido (estocástico) pues la duración del ruido es infinita. En cambio si se puede hallar así:

• Y de allí deducir características de la “transformada” de la señal.

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

PSD de input y output de un Sistema LTI • • • •

Y(ω)=H(ω)G(ω) Por lo tanto: |Y(ω)|2=|H(ω)|2|G(ω)|2 Entre T y llevar al límite:

• limTÆ∞ (1/T)|Y(ω)|2 = limTÆ∞ |H(ω)|2 (1/T)|G(ω)|2

• Reemplazando: • Sy(ω)= |H(ω)|2 Sg(ω)

PSD de señales moduladas