Correcciones Hipérbola - Ga.docx

HIPÉRBOLA Y SUS PROPIEDADES 3.- ℋ es una hipérbola con centro 𝐹0 , eje focal 𝐿𝐸 = {(7,0) + 𝑡(1, 𝑚)}, 𝑚 < 0 asíntotas 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴1 = {(1,4) + 𝑡(18,1)}, 𝐿𝑇 = {𝑇 + 𝑡(22,7)} es una recta tangente a ℋ en T, 𝐿 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {𝐹0 + 𝑡(6, −1)} es una recta que contiene a T, 𝑐𝑜𝑚𝑝⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑇 > 0,𝐿𝑇 ∩ 𝐴1 = {𝑄}, |𝐹 0𝑄| = 𝐹1 𝐹2

10√13. Halle la ecuación vectorial de ℋ. RESOLUCIÓN: 

Del enunciado se tiene el siguiente gráfico:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  Sea 𝑢 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑄 un vector unitario con la misma dirección y sentido que 𝐹0 𝑄 . 18,1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑄 = |𝐹 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0 𝑄 |. 𝑢 𝐹0 𝑄 = 10√3. ( 5√3 ) = (36,2)……… 

𝐿 = {𝐹0 + 𝑡(6, −1)} contiene a T …(dato)

→ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑇 = 𝑡. (6, −1)

…… (1)



En el ∆𝐹0 𝑄𝑇: ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝑇 𝑄𝐹0 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑇 Reemplazando valores se tiene: ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−36, −2) + 𝑡(6, −1) 𝑄𝑇 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (6𝑡 − 36, −𝑡 − 2)……… 𝑄𝑇

...… (2)

 Sea 𝑚𝐿𝑇 la pendiente de la recta 𝐿𝑇 . −𝑡−2

𝑚𝐿𝑇 = 6𝑡−36 ……… 7

Pero: 𝑚𝐿𝑇 = 22……… 

...… (3) ...… (4)

De (3) y (4): −𝑡−2 6𝑡−36

7

= 22 → 𝑡 =

13 4

Reemplazando el valor de 𝑡 en (2): ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−33 , −21)……… 𝑄𝑇 2 4 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Como sabemos que 𝐹 0 𝑇 = 𝑡. (6, −1) → ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑇 =

13 (6, −1) 4

13 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐹 0 𝑇 | = 4 √37



Sea {𝐺} = 𝐿𝑇 ∩ 𝐴2



Por propiedad de la recta tangente a una hipérbola: ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝑇 𝑇𝐺



…… (5)

…… (6)

…… (7)

Reemplazando (5) en (7): −33 −21 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 𝑇𝐺 , ) 2 4



En el ∆𝐹0 𝑄𝐺: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑄 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑄 + 2𝑄𝑇

…… (8)

Reemplazando (1) y (5) en (8): −33 −21 −21 −17 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝐺 = (36,2) + 2 ( 2 , 4 ) = (36,2) + (−33, 2 ) = (3, 2 ) // (6, −17)



Sea: 𝑢 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝐺 + 𝑢 𝐹0 𝑄 = 𝑣 Donde 𝑢 ⃗ 𝐹0 𝐺 es un vector unitario en la dirección y sentido de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝐺 . (6,−17)

→𝑢 ⃗ 𝐹0 𝐺 = |(6,−17)| =

(6,−17) √325

(18,1)

,𝑢 ⃗ 𝐹0 𝑄 = |(18,1)| =

(18,1) √325

Reemplazando: (6,−17) √325



+

(18,1) √325

=𝑣→

(24,−16) √325

=𝑣

Por teoría se sabe que 𝑣 es un vector en la dirección y sentido de la bisectriz del ∠𝑄𝐹0 𝐺 y además por propiedad de hipérbola, en el grafico se cumple que la recta bisectriz de este ángulo también contiene a los focos de la hipérbola, por lo tanto: (24, −16) (3, −2) −2 𝑣= = → 𝑚𝐿𝐸 = 3 √13 √(24)2 + (16)2 Donde: 𝑚𝐿𝐸 es la pendiente de la recta del eje focal. Como (7,0) 𝜖 𝐿𝐸 y 𝑚𝐿𝐸 =

−2 3

se determina la ecuación de la recta del eje focal de ℋ:

𝐿𝐸 = {(7,0) + 𝑧(3, −2)} 

Por teoría 𝐴1 ∩ 𝐿𝐸 = {𝐹0 } → 𝐹0 = (7,0) + 𝑧(3, −2) = (1,4) + 𝑡(18,1) 7 + 3𝑧 = 1 + 18𝑡 0 − 2𝑧 = 4 + 𝑡

𝑧 = −2 𝑡=0

Luego: 𝐹0 = (1,4) 

Sea 𝜃 = 𝑚∠𝑄𝐹0 𝑉2, donde 𝑉2 es el vértice de ℋ más cerca a T. 1 −2 (18) − ( 3 ) 𝑚𝐴1 − 𝑚𝐿𝐸 → tan 𝜃 = = 1 + 𝑚𝐴1 . 𝑚𝐿𝐸 1 + ( 1 ) (−2) 18 3 tan 𝜃 =

3 4 𝑏

Pero por teoría en el grafico se cumple que tan 𝜃 = 𝑎, por lo tanto: 𝑏 = 3𝑘 ˄ 𝑎 = 4𝑘

….. (9)



Sea 𝛼 = 𝑚∠𝑇𝐹0 𝑉2 −1 −2 ( 6 )−( 3 ) 𝑚𝐹0 𝑇 − 𝑚𝐿𝐸 9 → tan 𝛼 = = = 1 + 𝑚𝐹0 𝑇 . 𝑚𝐿𝐸 1 + (−1) (−2) 20 6 3 Como ya se conoce el valor de tan 𝛼, podemos obtener cos 𝛼 y sen 𝛼: cos 𝛼 =

20

9

sen 𝛼 =  



..… (10)

√481

..… (11)

√481

Se traza ̅̅̅̅̅ 𝑇𝑀 ⊥ 𝐿𝐸 (𝑀 𝜖 𝐿𝐸 ). En el ⊿𝐹0 𝑇𝑀: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐹 0 𝑀| = |𝐹0 𝑇 | cos 𝛼

….. (12)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑇𝑀 0 𝑇 | sen 𝛼

..… (13)

Reemplazando (6) y (10) en (12) y además (6) y (11) en (13) se tiene: 13 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐹 0 𝑀 | = ( 4 √37) . (

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = (13 √37) . ( |𝑇𝑀 4

20

..… (14)

) = 5√13

√481 9

9

..… (15)

) = 4 √13

√481



Sea X ′ Y ′ un sistema con origen en 𝐹0 , se tiene: (𝑥 ′ )

2

(𝑦 ′ )

2

=1

….. (16)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Pero del gráfico T ′ = (|𝐹 0 𝑀 |, |𝑇𝑀|)

….. (17)

ℋ:

𝑎2

−

𝑏2

9



(14) y (15) en (17): T ′ = (5√13, 4 √13)



𝑇 𝜖 ℋ y además se sabe por (9) que: 𝑏 = 3𝑘 ˄ 𝑎 = 4𝑘, entonces en (16): 2 9 ( √13) (5√13) 4 − = 1 → 𝑘 = √13 (4𝑘)2 (3𝑘)2 → 𝑎 = 4√13 ˄ 𝑏 = 3√13 2



Luego la ecuación vectorial de ℋ es: 𝓗 = {(𝟏, 𝟒) + 𝒙′

(𝟑, −𝟐) √𝟏𝟑

+ 𝒚′

(𝟐, 𝟑) √𝟏𝟑

/

(𝒙′ )𝟐

(𝒚′ )𝟐 − =𝟏} 𝟐 𝟐 (𝟒√𝟏𝟑) (𝟑√𝟏𝟑)

HIPÉRBOLA Y SUS PROPIEDADES 3.- En una hipérbola ℋ de centro F0 en el tercer cuadrante, las asíntotas A1 y A2 contienen a los puntos 𝐵 = (−9,6) y 𝐶 = (26,0) respectivamente. Si el eje focal es 𝐿𝐸 = {𝑡(2,3)} y 35 −6

𝑃 = (4 ,

4

) es un punto de ℋ, halle la ecuación vectorial de ℋ.

RESOLUCIÓN: 

Del enunciado se obtiene el siguiente gráfico:



𝐿𝐸 = {𝑡(2,3)} (dato), entonces la recta LE contiene al origen de coordenadas de XY.



Por propiedad de hipérbola: En el grafico se cumple que LE es bisectriz del ángulo determinado por las asíntotas. →𝛼=𝛽 Además, el simétrico de B respecto a LE, al cual llamaremos B', debe ser un punto de A2.



Hallando B': ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑂𝐵 𝐵 ′ = 𝐵 − 2𝑃𝑟𝑜𝑦(2,3) ⊥ (−9,6)

𝐵 ′ = (−9,6) − 2𝑃𝑟𝑜𝑦(−3,2) 𝐵 ′ = (−9,6) − 2 (

(−9,6).(−3,2) |(−3,2)|2

) (−3,2) , resolviendo

𝐵 ′ = (9, −6)…………………………………………..……………… 

…(3)

Hallando A2: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ′ 𝐶 = 𝐶 − 𝐵 ′ = (26,0) − (9, −6) = (17,6) ∴ 𝐴2 = {(26,0) + 𝑘(17,6)} …………………………………………………………………………..….. (4)



𝐴2 ∩ 𝐿𝐸 = {𝐹0 }, entonces 𝐹0 = (26,0) + 𝑘(17,6) = 𝑡(2,3) 26 + 17𝑘 = 2𝑡 0 + 6𝑘 = 3𝑡 ∴ 𝑘 = −2, 𝑡 = −4 ∴ 𝐹0 = (−8, −12)………………………………………………… … ….. (5)



Sea X'Y' un nuevo sistema con origen en F0, vector rotación 𝑢 ⃗ =



Sea 𝛼 = 𝑚∠𝑂𝐹0 𝐶



𝐹0 : tan 𝛼 = 1+𝑚𝐸

(2,3) √13

𝑚𝐿 −𝑚𝐴2 𝐿𝐸 .𝑚𝐴2

3

Pero 𝑚𝐿𝐸 = 2 (pendiente de LE) 6

𝑚𝐴2 = 17 (pendiente de A2) Reemplazando se tiene: 3

tan 𝛼 = 4……………………………………………………………………...….. (6) 

𝑏

𝑏

3

Por propiedad de hipérbola: tan 𝛼 = 𝑎, entonces 𝑎 = 4 ∴ 𝑎 = 4𝑘, 𝑏 = 3𝑘 …………………………………………………



𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 …………………………………………………

…..… (7) … ….….. (8)



(7) en (8) 𝑐 = 5𝑘 35 −6

67 42



𝑃 − 𝐹0 = ( 4 ,



Sea 𝑃′ = (𝑥 ′ 𝑝 , 𝑦 ′ 𝑝 ) las coordenadas de 𝑃 = ( 4 ,

4

) − (−8, −12) = ( 4 , 4 ) 35 −6

67 42

𝑥 ′ 𝑝 = (𝑃 − 𝐹0 ). 𝑢 ⃗ = (4 , 4).

(2,3) √13

4

) en el sistema X'Y', entonces:

= 5√13 ……………………………..….. (9)

67 42 (−3,2) −9 𝑦′𝑝 = (𝑃 − 𝐹0 ). ⃗⃗⃗⃗ 𝑢⊥ = ( 4 , 4 ) . = 4 √13 …………………………..… (10) √13



La ecuación de 𝐻 en el sistema X'Y' es: 𝑥′

2

𝑎2



−

𝑦′

2

𝑏2

= 1 …………………………………………………… ………….. (11)

(7), (9) y (10) en (11) (5√13) (4𝑘)2

2

−

(

2 −9 √13) 4 (3𝑘)2

= 1, resolviendo se obtiene :

𝑘 = √13 𝑎 = 4√13 𝑏 = 3√13 𝑐 = 5√13 

Luego la ecuación vectorial de 𝐻: 𝑯 = {(−𝟖, −𝟏𝟐) + 𝒙′

(𝟐, 𝟑) √𝟏𝟑

+ 𝒚′

(−𝟑, 𝟐) √𝟏𝟑

𝒙′𝟐

⁄

(𝟒√𝟏𝟑)

− 𝟐

𝒚′𝟐 (𝟑√𝟏𝟑)

𝟐

= 𝟏}