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TRABAJO PRÁCTICO TP4 Mecánica de Fluidos – Grupo CIV 5-1 – MC7 Integrantes: Bueno Banda, Alejandra Huaycani Laqui, Harold Cesar Medina Huaco, Luis Manuel Sandoval Salas, Bernnie Dan ENUNCIADO 1 Un campo de velocidades, variable en el tiempo, está descrito por la expresión: (i; v; w) = (cos(t); -3t; senh(t)) .................................................... Équation 1 t: tiempo 1.1 (4 puntos). Determinar la trayectoria del fluido en función en los planos: x,y; y,z. Graficar la trayectoria para los tiempos: t= 1, 2, 3 y 4 1.2 (3 puntos). Determinar las líneas de corriente (x,y; x;z; y,z) a partir del campo de velocidades de la ecuación 1 PARTE 1.1 Se tiene la ecuación de las velocidades tridimensional y tridireccional.

( u , v , w )=(cos (t ) ,−3 t , senh ( t ))

( u , v , w )=

( dxdt , dydt , dzdt )=(cos ( t ) ,−3 t , senh ( t ) )

( x , y , z ) =∫ ( cos ( t ) ,−3 t , senh ( t ) ) dt 3 ( x , y , z ) = sen ( t )+ c 1 ,− t 2 +c 2 , cosh ( t ) +c 3 2

(

)

Ahora para un tiempo inicial se considera la posición inicial de cada una de las partículas.

3 2 ( x 0 , y 0 , z 0 )= sen ( 0 ) +c 1 ,− 2 0 +c 2 , cosh ( 0 )+ c3

(

)

( x 0 , y 0 , z 0 )=( 0+ c 1 , 0+ c2 , 1+ c 3 ) ( x 0 , y 0 , z 0−1 )= ( c 1 , c 2 , c3 ) Entonces la ecuación es:

3 ( x , y , z ) = sen ( t )+ x0 ,− t 2 + y 0 , cosh ( t ) + z 0−1 2

(

)

Ahora para el plano xy se tiene la trayectoria descrita por:

3 (x , y )= sen ( t ) + x 0 ,− t 2+ y 0 2

(

)

Considerando que todas las trayectorias comienzan en la línea:

(x , y )=( x 0 , 0 ) Entonces las trayectorias son:

3 ( x , y )= sen ( t ) + x 0 ,− t 2 2

(

)

Se toma la posición para los tiempos 1, 2, 3, 4 segundos para líneas de corriente separadas 4 unidades en el eje x.

Tabla 1: Posiciones para los tiempos en líneas de corrientes separadas.

Tiempo 1 seg 2 seg 3 seg 4 seg

X1 0.8414 0.9093 0.1412 -0.7568

Y1 -1.5 -8.0 -13.5 -24.0

X2 4.8414 4.9093 4.1412 3.2431

Y2 -1.5 -8.0 -13.5 -24.0

X3 8.8414 8.9093 8.1412 7.7568

Y3 -1.5 -8.0 -13.5 -24.0

Grafica 1: Trayectorias para tiempo 1, 2, 3, 4 segundos

Ahora para el plano yz se tiene la trayectoria descrita por:

( y , z )=

(−32 t + y , cosh ( t ) + z −1) 2

0

0

X4 12.8414 12.9093 12.1412 11.7568

Y4 -1.5 -8.0 -13.5 -24.0

Considerando que todas las trayectorias comienzan en la línea:

( y , z )=( 0, z 0 ) Entonces las trayectorias son:

( y , z )=

(−32 t , cosh ( t )+ z −1) 2

0

Se toma la posición para los tiempos 1, 2, 3, 4 segundos para líneas de corriente separadas 4 unidades en el eje Z. Tabla 2: Posiciones para los tiempos en líneas de corrientes separadas en el eje z.

Tiempo 1 seg 2 seg

Y1 -1.5 -8.0

3 seg

-13.5

4 seg

-24.0

Z1 1.5431 3.7622

Y2 -1.5 -8.0

Z2 5.5431 7.7622

Y3 -1.5 -8.0

Z3 Y4 9.5431 -1.5 11.762 -8.0 2 10.067 -13.5 14.0677 -13.5 18.067 -13.5 7 7 27.308 -24.0 31.3082 -24.0 35.308 -24.0 2 2 Grafica 2: Trayectorias en plano yz para cuatro tiempos (De derecha a izquierda tiempos 1, 2, 3, 4 segundos).

Z4 13.5431 15.7622 22.0677 39.3082

PARTE 1.2 Para determinar las líneas de corriente se reemplaza las expresiones encontradas para la posición en función del tiempo respecto a otra variable de posición. Plano xy: −1

t=sin ( x−x 0 )

y=

−3 2 t + y0 2

Entonces:

y=

2 −3 −1 sin ( x−x 0) ) + y 0 ( 2

Plano xz:

z=cosh ( t ) + z 0−1 z=cosh ( sin −1 (x−x 0 ) ) + z 0−1

Plano yz:

z=cosh

(√

)

−2( y− y 0 ) + z 0−1 3

Grafica 3: Trayectoria plano xy.

Grafica 4: Trayectoria para yz

Grafica 5: Trayectoria para xz.

En general la trayectoria en tres dimensiones queda graficada de la siguiente manera.

Enunciado 2 La figure 1 muestra un flujo líquido en un canal parcialmente ocupado por cilindros. Las líneas observadas han sido obtenidas inyectado un trazador con colorante.

No, coinciden. En la zona B las trayectorias coinciden con las líneas de corriente, una primera propiedad de las líneas de corriente es que no pueden entrecruzarse ya que ellas representan la solución de un sistema de ecuaciones de movimiento de tipo autónomo, por ello el patrón de flujo descrito por ellos se da por líneas que no se entrecruzan, esto se da en fluidos en los cuales las fuerzas viscosas prevalecen sobre las fuerzas inerciales. Además, se considera que dentro de la línea de corriente las partículas no experimentan fuerzas de impacto con otras partículas del fluido, en la zona B en cambio se presenta una separación del flujo debido a los efectos de la viscosidad del fluido sobre el cilindro que crea una capa límite en la cual se genera un gradiente de presión positivo que termina por frenar las partículas del flujo las cuales comienzan a colisionar con las partículas precedentes, generando la separación del flujo.