Dinámica De La Partícula.docx

Samuel Aramis González Godínez UdeO2018sp0367

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA En este capítulo vamos a estudiar la relación entre el movimiento de un cuerpo y las causas que lo producen. De nuestra experiencia diaria sabemos que el movimiento es el resultado de la interacción entre partículas. Las interacciones se expresan cuantitativamente en términos de fuerzas. En este primer capítulo de la Dinámica discutiremos los principios de la Mecánica Clásica, las leyes enunciadas por Isaac Newton.

Esta es otra lección conocida por los estudiantes, pero como en el caso de la Cinemática, no han adquirido un método sistemático de plantear los problemas de Dinámica en las más variadas situaciones, a esto hay que añadir ciertas preconcepciones acerca de la relación entre fuerza y el movimiento investigadas por numerosos autores, algunos de los cuales se citan más adelante.

Las preconcepciones que tienen los estudiantes cuando inician el estudio de la Dinámica persisten largo tiempo después, las dificultades están enraizadas y tienen su lógica interna, que se denomina punto de vista aristotélico.

Para remediarlo, es necesario proporcionarles gran cantidad de experiencias en forma de problemas, para que puedan confrontar sus propias ideas, encontrar contradicciones y descartar sus preconcepciones. Este proceso requiere tiempo y volver a revisar los conceptos en otros contextos. La fuerza de rozamiento (o fuerza de fricción) Es la fuerza que aparece por el contacto entre dos cuerpos. Normalmente parece que el fenómeno del rozamiento produzca efectos negativos. Pero no siempre es así, ni mucho menos.

Sin el rozamiento no podríamos frenar los automóviles con las pastillas de freno, los discos de embrague no permitirían transmitir el movimiento a las ruedas, los trenes no podrían moverse sobre las vías, no podríamos andar y, entre muchísimas acciones cotidianas más, no podríamos encender una cerilla (o cerillo).

Rozamiento (o fricción) Aquí se ve una aplicación práctica de las Leyes de Newton, en concreto, de la Segunda Ley de Newton, según la cual, la resultante de las fuerzas que actúan sobre una masa producen una aceleración proporcional a dicha resultante.

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Cuando dos cuerpos están en contacto, existen, normalmente a nivel microscópico, unas alteraciones, unas rugosidades que se oponen a que un cuerpo se deslice sobre el otro.

Dibujo de la fuerza normal en la fuerza de rozamiento Veamos la siguiente figura, donde un cuerpo de un cierto material de masa m descansa sobre una superficie horizontal, también de determinado material. Según la Tercera Ley de Newton, a la fuerza que ejerce m sobre la superficie se le opone otra igual y de sentido contrario, a la que llamaremos fuerza normal, es decir FN = –mg.

Puede ocurrir que se aplique a m una determinada fuerza en la dirección del plano F, o bien que inclinemos la superficie de apoyo un cierto ángulo α y, en los dos casos, el cuerpo no se mueva, que siga en reposo. Esto es debido a que hay una fuerza de rozamiento estático ocasionada por las características del contacto entre los dos materiales a las que se han aludido antes (a la que llamaremos Fre) que impide el movimiento.

Ecuaciones del movimiento

Todos los cálculos relacionados con las magnitudes que describen los movimientos rectilíneos podemos hacerlos con estas dos ecuaciones:

e=e0+v0⋅t+12⋅a⋅t2e=e0+v0⋅t+12⋅a⋅t2 vf=v0+a⋅tvf=v0+a⋅t Variable Significado e es el desplazamiento del móvil eo

es la posición inicial

t

es el intervalo de tiempo que estamos considerando

vo

es la velocidad inicial (al principio de nuestro intervalo de tiempo)

vf

es la velocidad final (al final de nuestro intervalo de tiempo)

a

es la aceleración

Estas ecuaciones se pueden adaptar según las características concretas del movimiento que estemos estudiando: Si el móvil parte del origen de coordenadas

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Significa que la posición inicial eo del cuerpo es cero. En este caso la ecuación del desplazamiento podemos escribirla así:

e=v0⋅t+12⋅a⋅t2e=v0⋅t+12⋅a⋅t2 Si el móvil parte del reposo Esto quiere decir que la velocidad inicial es cero. Al sustituir este valor en las ecuaciones anteriores, queda:

e=12⋅a⋅t2e=12⋅a⋅t2 vf=a⋅tvf=a⋅t Si el movimiento es uniforme Es el movimiento de velocidad constante, es decir el movimiento con aceleración cero. Al dar valor 0 a la aceleración, las ecuaciones del principio quedan así:

e=v0⋅te=v0⋅t vf=v0vf=v0 Ya habrás notado que no se trata de ecuaciones diferentes sino de las mismas ecuaciones adaptadas a dos casos concretos, por tanto no es necesario que aprendas de memoria todas las ecuaciones: con las dos primeras y un análisis de la situación tienes suficiente. f) Fuerzas dependientes del tiempo: Este tipo de fuerzas comúnmente proviene de campos variables en el tiempo. Son de gran interés en electromagnetismo y generalmente tienen dependencia múltiple. En este curso sólo presentaremos la forma de enfrentar, mediante un ejemplo, la situación problemática que ocurre cuando la fuerza depende únicamente del tiempo. MECÁNICA - TRABAJO Y ENERGÍA Trabajo

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El trabajo realizado por una fuerza es el producto entre la fuerza y el desplazamiento realizado en la dirección de ésta. Como fuerza y desplazamiento son vectores y el trabajo un escalar (no tiene dirección ni sentido) definimos el diferencial de trabajo como el producto escalar dW=F.dr . El trabjo total realizado por una fuerza que puede variar punto a punto al lo largo de la trayectoria que recorre será entonces la integral de linea de la fuerza F a lo largo de la trayectoria que une la posición inicial y final de la partícula sobre la que actua la fuerza. Energía cinética Si realizamos un trabajo W sobre una partícula aislada, ésta varia su velocidad a lo largo de la trayectoria de modo que podemos relacionar el trabajo W con la variación de la energía cinética de la particula mediante la expresión:

Fuerzas conservativas: Una fuerza es conservativa si el trabajo total que realiza a lo largo de una trayectoria cerrada, es decir regresando a la misma posición de la que parte, es cero. Esta afirmación es equivalente al hecho de que si el trabajo necesario para llevar a una particula de una posición a otra del espacio es independiente de la trayectoria que une los dos puntos la fuerza que realiza este trabajo es conservativa. Trabajo y energía en sistemas de partículas. Energía potencial La energía potencial de un sistema es la energía asociada a la configuración espacial del mismo. Por definición la energía potencial es el trabajo de las fuerzas conservativas cambiado de signo es decir : W = -DU El trabajo realizado por una fuerza conservativa esta relacionado entonces con el cambio de energía potencial. Carece de sentido hablar de energia potencial como una variable absoluta. Energía potencial y equilibrio en una dimensión A partir de la definición de potencial es facil demostrar que toda fuerza conservativa puede hallarse a partir de un potencia mediante el negativo del operador gradiente. Así, una particula estara en equilibrio estable cuando se encuentre en una posición del espacio donde el potencial sea un mínimo; estará en equilibrio inestable si el potencial es un máximo e indiferente si el potencial es constante. Conservación de la energía Si sobre un cuerpo sólo se realizan fuerzas conservativas la suma de las energias potencial más cinética siempre permanece constante. Esta es la ley de consevación de la energía. Si además sobre este cuerpo actuan fuerzas disipativas, el trabajo total realizado sobre la particula sera igual al cambio de la energía del sistema. Este es el teorema generalizado de trabajo-energía. Potencia La potencia es la energía transferida por unidad de tiempo. Si una fuerza F actúa sobre una partícula que se mueve con una velocidad v la potencia puede calcularse como P=F.v Algunas cosas que debes saber: Saber definir los conceptos de trabajo energía cinética, energía potencial.

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Saber distinguir entre los conceptos de fuerzas conservativas y no conservativas (o disipativas). Saber utilizar la conservación de la energía en problemas donde su resolución por métodos dinámicos sea dificultosa Saber el teorema generalizado de trabajo y energía para tener en cuenta las fuerzas no conservativas en los problemas donde estas aparezcan.

Trabajo de una fuerza constante Cuando una fuerza constante se aplica sobre un cuerpo que realiza un desplazamiento Δx en la dirección de la fuerza aplicada, se dice que la fuerza realiza un trabajo

Vemos que las unidades en las que se mide el trabajo son las de una fuerza por una distancia, siendo la unidad SI 1 julio = 1 newton·m. El trabajo es positivo si la fuerza se aplica en el mismo sentido que se realiza el desplazamiento y negativo si se opone a él. El trabajo es nulo si no hay desplazamiento. Una persona puede ejercer toda la fuerza que quiera contra una pared, hasta agotarse. Si la pared no se mueve, no ha realizado trabajo alguno. Si la fuerza, como vector que es, posee una dirección diferente al desplazamiento, solo su componente en la dirección de este realiza trabajo

Esta cantidad de expresa de manera más sencilla con ayuda del producto escalar

Vemos que 

El trabajo es una cantidad escalar, con signo.



No se realiza trabajo si se ejerce una fuerza pero no se produce desplazamiento.



Una fuerza perpendicular al desplazamiento no realiza trabajo alguno.

Trabajo de una fuerza variable

Si tenemos una partícula que realiza una trayectoria arbitraria, sometida a una fuerza variable con la posición o el tiempo, podemos hallar el trabajo dividiendo el camino en diferenciales casi rectilíneos, calculando el trabajo (diferencial) en cada uno, y sumando (integrando) el resultado. El trabajo diferencial es igual a

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A partir de aquí obtenemos el trabajo realizado sobre una partícula que se mueve desde un punto A a un punto B recorriendo una curva C como la suma de los trabajos elementales a lo largo de dicha curva

Respecto a la notación, el hecho de que el trabajo diferencial (que no diferencial de trabajo) se represente como δW en lugar de dW se debe justamente al hecho de que es una cantidad que depende del camino, como se estudia en más detalle en Termodinámica. 1.3 Trabajo de la superposición de varias fuerzas Si sobre una partícula actúan varias fuerzas simultáneamente, por el principio de superposición, el trabajo total será igual a la suma de los trabajos individuales

1.4 Potencia A partir del trabajo, se define la potencia desarrollada por la fuerza como el trabajo que realiza durante un tiempo dt, dividido por dicho intervalo

De esta definición resulta que la potencia tiene dimensiones de trabajo partido por tiempo (o fuerza multiplicada por velocidad), siendo su unidad el vatio (W), igual a un 1 J/s.

1.5.1 Caso de una fuerza constante En el caso de una partícula sometida a una fuerza neta constante, el resultado es un movimiento con aceleración constante. En este tipo de movimiento se cumple que la velocidad media en un intervalo es igual a la media de la velocidad inicial y final

y el incremento de la velocidad lo da la aceleración constante

Multiplicando la primera ecuación por la segunda y por la masa de la partícula queda

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que podemos abreviar como

siendo K una cantidad que llamamos energía cinética de la partícula

1.5.2 Caso de una fuerza variable Si tenemos una trayectoria arbitraria que va del punto A al punto B y la partícula está sometida a una fuerza neta variable, simplemente dividimos el camino en pequeñas porciones en cada una de las cuales puede suponerse la fuerza prácticamente constante. Para cada uno de estos diferenciales de camino se cumplirá

y sumando para todas las porciones obtenemos la relación

Energía Cinética Y Energía Potencial La energía es una magnitud física que se muestra en múltiples manifestaciones. Definida como la capacidad de realizar trabajo y relacionada con el calor (transferencia de energía), se percibe fundamentalmente en forma de energía cinética, asociada al movimiento, y potencial, que depende sólo de la posición o el estado del sistema involucrado. Energía cinética El trabajo realizado por fuerzas que ejercen su acción sobre un cuerpo o sistema en movimiento se expresa como la variación de una cantidad llamada energía cinética, cuya fórmula viene dada por:

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El producto de la masa m de una partícula por el cuadrado de la velocidad v se denomina también fuerza viva, por lo que la expresión anterior se conoce como teorema de la energía cinética o de las Fuerzas Vivas.

Energía potencial gravitatoria Todo cuerpo sometido a la acción de un campo gravitatorio posee una energía potencial gravitatoria, que depende sólo de la posición del cuerpo y que puede transformarse fácilmente en energía cinética. Un ejemplo clásico de energía potencial gravitatoria es un cuerpo situado a una cierta altura h sobre la superficie terrestre. El valor de la energía potencial gravitatoria vendría entonces dado por:

siendo m la masa del cuerpo y g la aceleración de la gravedad. Si se deja caer el cuerpo, adquiere velocidad y, con ello, energía cinética, al tiempo que va perdiendo altura y su energía potencial gravitatoria disminuye. Energía potencial elástica Otra forma común de energía potencial es la que posee un muelle cuando se comprime. Esta energía potencial elástica tiene un valor igual a:

donde x es la posición del extremo del muelle y k una constante de proporcionalidad. Al soltar el muelle, se libera energía potencial elástica, al tiempo que el extremo del muelle adquiere velocidad (y, también, energía cinética).

Al comprimir un muelle, se realiza un trabajo que se acumula como una energía potencial elástica.