Eléments De Correction Td1.pdf

Eléments de correction DS1 sujet 2 (mars 2016) Dimensionnement d’un coupe-circuit 1. Densité de source R I2 µL I 2 µI 2 s = elc2 = 2 2 = πr L πr πr L πr 2 2 2. Equation de la chaleur En régime transitoire ∂ 2T ∂T λ 2 + s = ρc ∂x ∂t En régime stationnaire ∂ 2T λ 2 +s=0 ∂x 3. Distribution de la température ∂ 2T s =− L’équation à intégrer se met sous la forme : 2 λ ∂x ∂T s La première intégration donne : =− x+ A λ ∂x s La seconde intégration donne : T ( x) = − x 2 + Ax + B λ Les conditions aux limites s’écrivent : T (0) = B = T0 s et T ( L) = TL = − L2 + AL + T0 λ T − T0 s On en déduit la constante A : A = L + L L λ La distribution de la température le long du fusible s’exprimera par la relation : s T − T0 T ( x) = ( L − x) x + L x + T0 λ L La section qui fond en premier est solution de l’équation : dT s T − T0 = ( L − 2 x) + L =0 L dx λ cette section se trouve à l’abscisse : L λ T − T0 xm = + . L 2 s 2L 4. Section du fusible destinée à un courant de 20A s Avec T0=TL la distribution de la température devient : T ( x) = ( L − x) x + T0 λ L La section qui fond en premier est située au milieu du fusible : xm = 2 La température de fusion est atteinte en premier lieu à cette section ce qui permet d’écrire: s µI 2 L2 s L2 T f − T0 = ( L − xm ) xm = = 2 λ λ 4 πr 2 4λ

( )

( )

µI 2 L2 s L2 = La section est obtenue par la relation : T f − T0 = ( L − xm ) xm = 2 λ 4 λ πr 2 4λ s

( )

µI 2 L2 πr = T f − T0 4λ 2

A.N : S=0.1116 mm2, r=0.1885mm Etude thermique d’un combustible nucléaire 1. Equation de la chaleur En régime transitoire

λ∆T + s = ρc

∂T ∂t

En régime stationnaire

λ∆T + s = 0 λ, ρ et c sont respectivement la conductivité thermique, la masse volumique et la chaleur massique du combustible. s est la densité volumique de production de la chaleur 2. Distribution de la température Les symétries du problème laissent admettre que la température n’est fonction que de r. L’équation à intégrer se met alors sous la forme : 1 ∂  2 ∂T  ∂ 2T 2 ∂T s + = 2 r =− 2 r ∂r λ ∂r r ∂r  ∂r  ∂T s A La première intégration donne : =− r+ 2 ∂r r 3λ s 2 A La seconde intégration donne : T (r ) = − r − +B 6λ r Pour que la température à r=0 ne puisse pas être infinie, la constante A devra être nulle (A=0). Par ailleurs, la condition imposée à la température au centre( r=0) , permet d’écrire: T (0) = B = T0 s 2 La distribution admet pour expression finale : T (r ) = − r + T0 6λ 3. Différence de la température En considérant la température T1=T(R1) la différence T0-T1 aura pour expression : s 2 T0 − T1 = R1 6λ A.N : T0-T1 =4.34 K 4. Flux thermique traversant la surface sphérique de rayon R1 La puissance thermique générée par le combustible est le produit de s par le volume du combustible : 4 φ = πR13 s = 0.32727W 3 5. Flux en fonction de T1-T2 On doit résoudre l’équation :

∆T =

1 ∂  2 ∂T  r =0 r 2 ∂r  ∂r 

∂T = A ∂r A La seconde équation donne : T (r ) = − + B r Avec les conditions aux limites T1=T(R1) et T2=T(R2) on a : A T1 = − + B R1 A T2 = − +B R2 1 1 R − R2 T1 − T2 = A( − ) = A 1 R1R2 R2 R1 2 La première intégration donne : r

On détermine la constante RR A = (T1 − T2 ) 1 2 R1 − R2 Le flux thermique traversant la surface sphérique de rayon r ( R1
Rayons (mm)

λ (W.m-1.K-1)

Carbure d’uranium (UC) Carbone poreux

r< R1 et R1=250 .10-3

12

R1
0.5

Carbone pyrolytique dense (PyC)

R2
4

Carbure de Zirconium (ZrC)

R3
20

Carbone pyrolytique dense (PyC)

R4
4

Expression de Rth

R2 − R1 4πλR1 R 2 R − R2 = 3 4πλR3 R 2 R − R3 = 4 4πλR3 R 4 R − R4 = 5 4πλR5 R 4

Rth1 = Rth 2 Rth 3 Rth 4

7. Températures aux interfaces La relation reliant le flux aux résistances thermiques s’écrit : T4 − T5 = Rth 4φ On en déduit : T4 = T5 + Rth 4φ La formule s’applique de la même manière à toutes les coques : Pour i=2, 3, 4 et 5 on doit vérifier

Valeur Numérique (KW-1)

175.30

5.99

0.86

4.12

Ti −1 − Ti = Rthi −1φ A.N : T4=1301.34 K, T3=1301.62 K, T2=1303.58K, T1=1360.94K, T0=1365.34K

Éléments de réponse 1. Relation conductance résistance thermique T − Tj Le flux a pour expression : φij = Cij (Ti − T j ) = i Rij

1 Rij 2. Schéma électrique équivalent de la paroi séparant le local (1) du local (2)

La relation conductance résistance thermique s’écrit : Cij =

R01 T1

T2

R02 R03

R01, R02 et R03 sont respectivement les résistances thermiques du bloc creux, du vitrage et de la porte (bois). 3. Conductance C12 Blocs creux : R01 = Rb1 = 0.2°CW −1

 2 ev  1  2 0.003  −1  +  =  +  = 0.1141°CW 1.4   h1 λ v  3  5.88 1  2 eb  1  2 0.05  −1  +  =  + Bloc creux : R03 =  = 0.4201°CW Sb  h1 λ b  2  5.88 0.1 

Vitrage : R02 =

1 Sv

Blocs creux : C01 = 1 / Rb1 = 1 / 0.2 = 5W °C −1 Vitrage : C02 = 1 / R02 = 1 / 0.1141 = 8.765W °C −1 Bloc creux : C03 = 1 / R03 = 1 / 0.4201 = 2.38W °C −1 La conductance équivalente est la somme des conductances : C12 = C01 + C02 + C03 = 5 + 8.765 + 2.38 = 16.145W °C −1 4. Schéma électrique équivalent du bâtiment Le transfert s’effectue entre le local (2) et l’extérieur, directement et à travers les locaux (1) et (3). Il y a également un transfert entre le local (1) et le locl (3). Les flèches indiquent le sens de propagation de la chaleur. Entre le local (1) et le local (3) le sens est pris de façon arbitraire. T1 C21, R21

T2

C1e, R1e

C13, R13 C23, R23

T3 C2e, R2e

C3e, R3e

Te

5. Equations permettant le calcul de T1 et T2 C12 (T2 − T1 ) = C1e (T1 − Te ) + C13 (T1 − T3 )

C23 (T2 − T3 ) + C13 (T1 − T3 ) = C3e (T3 − Te ) le développement des calculs donne deux équations : (C12 + C1e + C13 )T1 − C13T3 = C12T2 + C1eTe − C13T1 + (C 23 + C13 + C3e )T3 = C23T2 + C3eTe le système est formé de 2 équations avec deux inconnus 6. Températures des locaux − C13 C12T2 + C1eTe C23T2 + C3eTe C23 + C13 + C3e T1 = − C13 C12 + C1e + C13 − C13 C23 + C13 + C3e C12T2 + C1eTe C12 + C1e + C13 C T + C3eTe − C13 T3 = − 23 2 C12 + C1e + C13 − C13 C23 + C13 + C3e − C13 Application numérique − C13 C12T2 + C1eTe − 9.48 − 16.14 C23T2 + C3eTe C23 + C13 + C3e 80 176.14 = = −0.1°C T1 = 62.28 − 16.14 − C13 C12 + C1e + C13 80 − 16.14 − C13 C23 + C13 + C3e C12T2 + C1eTe C12 + C1e + C13 − 9.48 62.28 − C13 C T + C3eTe 80 − 16.14 =− = 1.02°C T3 = − 23 2 62.28 − 16.14 − C13 C12 + C1e + C13 80 − 16.14 − C13 C23 + C13 + C3e 7. Puissance de chauffe φ = φ21 + φ23 + φ2e = C12 (T2 − T1 ) + C23 (T2 − T3 ) + C2e (T2 − Te ) Application numérique φ = 2711W 8. Ventilation de l’air conditionné a.

Quantité de chaleur amenée par un volume dV

b.

Flux de chaleur en fonction du débit volumique

dQ = ρC p (Ti − Te )dV

dQ dV = ρC p (Ti − Te ) = ρC p q(Ti − Te ) dt dt 9. Nouvelles valeurs des températures et de la puissance de chauffe

φa =

a.

L’air conditionné est admis dans le local (2), et il est rejeté à l’extérieur

Le schéma des échanges n’est pas modifié car la température du local (2) reste maintenue à 18°C. Par suite T1 et T3 gardent les mêmes valeurs que précédemment.

La puissance de chauffe s’obtient par la formule : Pch = ρC p q(Ti − Te ) Application numérique : Pch = ρC p q(Ti − Te ) = 1200 × 1000 × (18 + 10) / 3600 = 9333W Il y a beaucoup de gaspillage énergétique, dans l’air chaud rejeté à l’extérieur. Ce gaspillage est évalué par la différence : Pperdu = Pch − φ = 9333 − 2711 = 6622W L’air b.

Cas ou l’air conditionné traverse le local (2) et il est injecté dans le local (1),

Pour le Local 1 Le flux entrant est composé du transfert par la paroi qui le sépare du local (2) et du transféré par l’air conditionné provenant du même local : φent1 = C12 (T2 − T1 ) + ρC p q(T2 − T1 ) Le flux sortant du local (1) est composé du flux transféré - vers le local (3) à travers la paroi - vers l’extérieur à travers la paroi - par l’écoulement de l’air conditionné vers l’extérieur

φsort1 = C13 (T1 − T3 ) + C1e (T1 − Te ) + ρC p q(T1 − Te ) L’équation du bilan s’écrit : (C12 + ρC p q)(T2 − T1 ) = C13 (T1 − T3 ) + (C1e + ρC p q)(T1 − Te ) Pour le local( 3) Le flux entrant est composé - du transfert par la paroi qui le sépare du local (2) - du transfert par l’air conditionné provenant du même local (1): - du transfert par la paroi qui le sépare du local (1) φent 3 = C23 (T2 − T3 ) + (C13 + ρC p q)(T1 − T3 ) Le flux sortant du local (3) est composé du flux transféré - vers l’extérieur à travers la paroi - par l’écoulement de l’air conditionné vers l’extérieur

φsort 3 = (C3e + ρC p q)(T3 − Te ) L’équation du bilan s’écrit : C23 (T2 − T3 ) + (C13 + ρC p q)(T1 − T3 ) = (C3e + ρC p q)(T3 − Te ) Les deux bilans thermiques constituent un système à deux équations avec T1 et T3 comme inconnus

Régime transitoire 10. Refroidissement du bâtiment a. Equation différentielle

dT dt Flux sortant dans le bâtiment : φs = C g (T − Te )

Flux stocké dans le bâtiment : φs t = Mcb

Le bilan thermique est ainsi : φs + φst = C g (T − Te ) + Mcb b.

dT =0 dt

Loi d’évolution de la température du bâtiment

L’équation différentielle se met sous la forme :

C dT = − g dt T − Te Mcb

On montre : T − Te = (T0 − Te ) exp(− c.

Cg Mcb

t)

Constante de temps

τ = d.

Mcb Cg

Température à 6 heure du matin

On utilise la loi d’évolution de T : T6 = Te + (T0 − Te ) exp(− Application numérique: T6 = T0 exp(−

Cg

t6 ) = 18 × exp(−

Cg Mcb

t6 )

180 × 12 × 3600 ) = 13.5°C 27000000

Mcb 11. Puissance de chauffage du bâtiment Les flux mis en jeu pendant la mise en marche de l’installation de chauffage sont : dT - Flux stocké dans le bâtiment : φs t = Mcb dt - Flux sortant du bâtiment : φs = C g (T − Te ) -

Flux entrant dans le bâtiment (puissance de chauffage): Pcha

Le bilan thermique donne l’équation différentielle: Pch = φs + φst = C g (T − Te ) + Mcb

C Pch (1 − exp(− g t )) Cg Mcb Mcb La puissance nécessaire pour atteindre 18°C à 8 heure du matin est obtenue par la relation C C P T0 − Te − (T6 − Te ) exp(− g t ) = ch (1 − exp(− g t )) Mcb Cg Mcb

Tout calcul fait on montre : T − Te = (T6 − Te ) exp(−

Tout calcul fait, on montre : Pch = C g

Cg

dT dt

t) +

T0 − Te − (T6 − Te ) exp(− 1 − exp(−

Cg Mcb

Cg Mcb

t)

t)

Application numérique : C 180 T0 − T6 exp(− g t ) 18 − 13.5 exp(− × 2 × 3600) Mcb 27000000 Pch = C g = 19.713kW = 180 Cg 180 1 − exp(− × 2 × 3600) t) 1 − exp(− 27000000 Mcb