Aplicación_de_la_mecánica_de_sólidos_en Ingeniería_de_pavimentos.pdf

Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales Facultad de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Ingeniería Civil Pavimentos. Profesor: Luis Ricardo Vásquez Varela, M.Sc.

Aplicación de la mecánica de sólidos en Ingeniería de Pavimentos. Referencias: • • • •

Continuum Mechanics: Fundamentals (S. Valliappan, 1981). Design of Functional Pavements (Yang, 1972). Mecánica de medios continuos para ingenieros (Oliver & de Saracíbar, 2002). Pavement Analysis and Design (Huang, 2004).

14/05/2015

LUIS RICARDO VÁSQUEZ VARELA, M.Sc.

1

Introducción. • Los modelos matemáticos son las herramientas para la solución de problemas de ingeniería. • Las bases de una solución matemática para un problema de Ingeniería requieren: – Considerar los requerimientos físicos de la estructura para soportar las cargas externas y los esfuerzos y deformaciones en los elementos. – Estudiar el comportamiento mecánico de los materiales de acuerdo con las leyes básicas de la mecánica que gobiernan el movimiento y las fuerzas.

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2

Cronología breve del método de análisis para pavimentos. •

1880:

Boussinesq presenta la solución para el cálculo de esfuerzos, deformaciones y desplazamientos debidos a una carga superficial en un medio semi-infinito, homogéneo y elástico lineal.

•

1884:

Hertz propone un método matemático para analizar una losa elástica soportada por un líquido.

•

1926:

Westergaard simplifica la manipulación matemática para la aplicación práctica en problemas de diseño de pavimentos de concreto.

– Losa elástica soportada por una fundación tipo Winkler (líquido denso). – Soluciones para el cálculo de esfuerzos y desplazamientos de la losa debidos a cargas aplicadas en el centro, el borde o la esquina de la misma.

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3

• 1943:

Burmister analiza el equilibrio de sistemas de varias capas homogéneas, elásticas lineales sobre una fundación tipo Boussinesq y presenta ábacos para casos de interés en pavimentos de dos capas.

• 1951:

Pickett y Ray presentan soluciones gráficas para pavimentos de concreto sobre fundación sólida elástica lineal.

• 1962:

Jones publica extensos ábacos y gráficos para la solución de sistemas de tres capas a partir del modelo de Burmister.

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Conceptos de esfuerzo, deformación y desplazamiento.

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO. 14/05/2015

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5

Conceptos básicos sobre el medio continuo. •

La mecánica del medio continuo es la base teórica que permite estimar la resistencia y la deformación de cualquier estructura, o material estructural, bajo la acción de cargas estáticas o dinámicas.

•

El concepto de continuo considera la materia como infinitamente divisible.

•

En problemas de Ingeniería puede ser conveniente ignorar la naturaleza molecular de la materia y, por ende, omitir la existencia de vacíos y discontinuidades en la misma.

•

La mecánica del medio continuo permite estudiar el comportamiento de la materia (sólida, líquida o gaseosa) en movimiento o en equilibrio bajo la acción de cargas externas.

14/05/2015

•

El objetivo de la mecánica del medio continuo es analizar la deformación y el flujo de los materiales (sólidos o líquidos) de acuerdo con su situación espacial tridimensional y su comportamiento no lineal.

http://media-2.web.britannica.com/eb-media/01/2501-004-36E343DA.jpg

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6

Esfuerzos en un punto. Fuerzas.

Concepto de esfuerzo.

•

Bajo la acción de fuerzas externas un cuerpo se deforma y se presentan cambios en la posición y distancia relativa entre sus moléculas.

•

•

Si un cuerpo está en equilibrio, las fuerzas externas e internas son iguales en magnitud pero actúan en direcciones opuestas.

•

El esfuerzo en un punto es la resultante de las fuerzas internas aplicadas sobre un diferencial de área en un plano definido por un vector normal n.

𝜎𝑛 =

En la mecánica del continuo las fuerzas internas se consideran de dos tipos: –

Fuerzas de cuerpo (pb): Actúan en todas las partículas del cuerpo y se expresan por unidad de masa o de volumen (fuerzas gravitacionales, magnéticas o de flujo).

–

Fuerzas superficiales (ps): Actúan en la superficie, se transmiten al interior del cuerpo a través de las partículas y se expresan por unidad de área (presión de un fluido, carga distribuida, fuerzas de viento).

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𝑑𝐹 ∆𝐹 = lim 𝑑𝐴 ∆𝐴→0 ∆𝐴

•

La definición del esfuerzo siempre está referida a un plano en particular, pero se puede descomponer en tres componentes: una normal y dos tangenciales al plano.

•

“El vector de esfuerzo que actúa en el interior de un elemento es igual en magnitud y opuesto en dirección al vector de esfuerzo que actúa en el exterior del elemento” (Cauchy).

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7

Componentes de esfuerzo. •

•

•

El estado de esfuerzo en un punto se describe mediante las componentes actuantes sobre tres planos mutuamente ortogonales que pasan por el mismo.

•

Convención de signos: –

Los esfuerzos que actúan en la misma dirección de un eje coordenado y sobre un plano cuya normal exterior tiene la misma dirección de un eje coordinado se consideran positivos.

–

Los esfuerzos normales se consideran positivos cuando son de tracción y negativos cuando son de compresión.

Los planos mutuamente ortogonales requieren la definición de un sistema de coordenadas (cartesiano, cilíndrico, esférico). La designación de los esfuerzos normales a los planos se hace con la notación σi y la de los esfuerzos cortantes con la notación τij. –

El subíndice de los esfuerzos normales denota la dirección en la que estos actúan.

–

El primer subíndice de los esfuerzos cortantes denota la dirección de la normal al plano sobre el cual actúa el esfuerzo y el segundo subíndice indica la dirección del esfuerzo como tal.

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•

El estado de esfuerzos en un punto se define mediante nueve (9) componentes, las cuales se reducen a seis (6) por el carácter complementario de los esfuerzos cortantes en caras adyacentes.

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8

Esfuerzos en coordenadas cartesianas.

Esfuerzos en coordenadas cilíndricas.

z

z σz

σz

τzr

τzy τzθ

τyz

τzx

τθz σy

τxz

σx

τxy

τyx

y

σθ

x

x

 x  xy  xz       y yz   yx  zx  zy  z   

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τrz

θ

 r  r   r    zr  z

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τθr τrθ

σr y

r

 rz   z   z 

9

Ecuaciones de equilibrio de esfuerzos. •

La intensidad del esfuerzo varía de punto a punto dentro del continuo.

•

El equilibrio de fuerzas se expresa en términos de esfuerzos y fuerzas de cuerpo al considerar el tamaño infinitesimal de las caras del elemento.

•

Se debe establecer como varían las condiciones de esfuerzo dentro del continuo.

•

•

Los esfuerzos son funciones continuas de las coordenadas.

El equilibrio de momentos alrededor del centroide del paralelepípedo permite demostrar el carácter complementario de los esfuerzos cortantes (τij = τji) para evitar la rotación del elemento.

•

De tal forma, solo se requieren seis (6) componentes independientes de esfuerzo de las nueve (9) indicadas anteriormente para definir el estado de esfuerzos en un punto.

•

Las seis (6) componentes de esfuerzo se relacionan mediante tres (3) ecuaciones diferenciales de equilibrio, es decir, es un problema estáticamente indeterminado.

•

•

El esfuerzo varía en magnitudes infinitesimales si se considera una variación muy pequeña en la posición de la sección de análisis. Considerando un paralelepípedo en el sistema de coordenadas cartesianas, es posible plantear el equilibrio de fuerzas en tres dimensiones.

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Ecuaciones de equilibrio en coordenadas cartesianas.

Ecuaciones de equilibrio coordenadas cilíndricas.

•

•

Sumatoria de fuerzas en la dirección x:  x   F     x  x x dx dydz   x dydz   xy      xy y dy  dxdz   xy dxdz     xz      xz z dz  dxdy   xz dxdy  X dxdydz  0

•

Ecuaciones de equilibrio en x, y & z:  x  xy  xz   X 0 x y z  yx  y  yz   Y  0 x y z  zx  zy  z   Z 0 x y z

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en

Ecuaciones de equilibrio en r, θ y z:  r 1  r  rz  r        Pr  0 r r  z r

 r 1    z 2 r     P  0 r r  z r  zr 1  z  z  zr     Pz  0 r r  z r

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Transformación de esfuerzos.

Invariantes del esfuerzo normal.

•

•

Si el estado de esfuerzos en un punto se especifica con seis componentes referidas a un sistema de coordenadas particular, es posible obtener las componentes de esfuerzo en el mismo punto referidas a otro sistema de coordenadas mediante la rotación de los ejes y los cosenos directores.

  x '  x ' y '  x ' z '   l1     y ' x '  y '  y ' z '   m1  z ' x '  z ' y '  z '   n1  

•

l2 m2 n2

l3   x  xy  xz   l1   m3   yx  y  yz  l2 n3   zx  zy  z  l3

m1 m2 m3

n1  n2  n3 

Existe una orientación específica en la cual se obtienen los máximos esfuerzos normales y se anulan los esfuerzos cortantes. Los esfuerzos normales en esta configuración se denominan “esfuerzos principales”.  1 0 0  0  0  2   0 0  3 

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La existencia de planos principales, donde solo actúa el esfuerzo normal σ, implica que el determinante de la matriz de los coeficientes de los cosenos directores es cero (0):

 x     yx  zx •



 xy y

 

 zy

 xz  yz

 z   

0

La raíces de esta ecuación son los esfuerzos principales σ1, σ2 & σ3: 𝜎 3 − 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 𝜎 2 + 2 2 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 + 𝜎𝑦 𝜎𝑧 + 𝜎𝑧 𝜎𝑥 − 𝜏𝑥𝑦 − 𝜏𝑦𝑧 − 𝜏𝑧𝑥 𝜎− 2 2 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 − 𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑧 − 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑥 − 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦 + 2𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 = 0 𝜎 3 − 𝐼1 𝜎 2 + 𝐼2 𝜎 − 𝐼3 = 0

•

Las invariantes de esfuerzo normal son: 𝐼1 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 2 2 2 𝐼2 = 𝜎𝑥 𝜎𝑦 + 𝜎𝑦 𝜎𝑧 + 𝜎𝑧 𝜎𝑥 − 𝜏𝑥𝑦 − 𝜏𝑦𝑧 − 𝜏𝑧𝑥 2 2 2 𝐼3 = 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 − 𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑧 − 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑥 − 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦 + 2𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥

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Esfuerzo desviador.

Esfuerzo cortante máximo y esfuerzos octaédricos.

•

•

En ciertos casos, especialmente en la teoría de la plasticidad, es conveniente separar el estado de esfuerzos en dos componentes: –

Componente hidrostática o volumétrica.

m  –

 x  y  z 3



1   2   3 3



I1 3

Los esfuerzos cortantes tienen valores máximos que pueden expresarse en términos de los esfuerzos normales principales: 𝜏𝑚á𝑥.12 = ±

𝜎1 − 𝜎2 2

𝜏𝑚á𝑥.23 = ±

𝜎2 − 𝜎3 2

𝜏𝑚á𝑥.31 = ±

𝜎1 − 𝜎3 2

Componente desviadora o distorsional.

 '   m

•  x'   x   m   y'   y   m     z  m  ' z

2 x   y   z 3 2 y   x   z

En la teoría de la plasticidad son de interés los esfuerzos que actúan sobre planos con igual inclinación con respecto a los ejes coordenados. Estos planos forman un octaedro en cuyas caras actúan esfuerzos normales (σoct) y cortantes (τoct).

3 2 z   x   y

𝜎𝑜𝑐𝑡 =

3 2

•

Los esfuerzos cortantes no cambian: τ’ij = τij.

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𝜏𝑜𝑐𝑡 =

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 3

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

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2

+ 𝜎𝑦 − 𝜎𝑧

2

+ 𝜎𝑧 − 𝜎𝑥

2

2 2 2 + 6 𝜏𝑥𝑦 + 𝜏𝑦𝑧 + 𝜏𝑧𝑥

3

13

Deformación en un punto. Deformaciones.

Concepto de deformación unitaria.

•

La posición de un continuo con respecto a un sistema específico de coordenadas se denomina “configuración del continuo” en un tiempo específico t.

•

Si la forma y el tamaño del cuerpo permanecen inalterados se dice que presenta “movimiento de cuerpo rígido”.

•

La aplicación de cargas externas causa cambios en la configuración del continuo.

•

Si la forma y el tamaño del cuerpo cambian se ha producido un “estado de deformación”.

•

En cambio de la forma del continuo entre sus configuración inicial y aquellas posteriores se denomina “deformación”.

•

•

Cuando el continuo pasa de una configuración a otra, la materia en las vecindades de cada punto se traslada y rota, es decir, se deforma.

La posición y el desplazamiento de cualquier punto del continuo se deben especificar con respecto a un sistema de coordenadas.

•

La deformación no es homogénea en todo el continuo, sin embargo, para el análisis se presume que esta puede describirse como una función continua de las coordenadas x, y & z o cualquier otro sistema.

•

En un sistema cartesiano, el vector de desplazamiento [u] se define por tres componentes: ux, uy & uz.

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Componentes de deformación. •

•

El estado de deformación de un punto se define en términos del movimiento relativo entre puntos adyacentes ubicados sobre tres ejes ortogonales en un punto. Considere un paralelepípedo infinitesimalmente pequeño. –

Si bajo cierta condición de carga sólo se generan esfuerzos normales, el elemento conserva su forma aunque se presenten traslación y rotación del mismo como cuerpo rígido.

–

Las deformaciones normales se denotan εx, εy & εz.

–

Si el elemento solo es sometido a esfuerzos cortantes se dice que, además de la traslación y rotación de cuerpo rígido, presenta un cambio en la orientación de los lados del paralelepípedo inicial sin cambio en el volumen.

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–

•

Las deformaciones cortantes o de ingeniería se denotan γxy, γyz, γzx, γyx, γzy & γxz.

Se requieren nueve deformaciones (tres normales y seis cortantes) para describir el movimiento relativo de puntos adyacentes a lo largo de tres ejes ortogonales. –

Coordenadas cartesianas:

x   yx  zx  –

 xy  xz    y  yz   zy  z 

Coordenadas cilíndricas:

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r   r  zr

 r   z

 rz   z   z 

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Interpretación geométrica. z

E

G dz

H

F

http://en.wikipedia.org/wiki/File:2D_geometric_strain.png

A

C

D

B

u x   u  dx  dx  u x x   dx u ab  AB  x x    x AB dx x

dx

dy

y

x

𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑦 𝑑𝑥 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑥 tan 𝛼 = = 𝜕𝑥 = 𝜕𝑥 = ≈𝛼 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑥 ≈ 1 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 1 + 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑥 𝑑𝑦 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 tan 𝛽 = = = = ≈𝛽 𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑦 ≈ 1 𝜕𝑦 𝑑𝑦 + 𝑑𝑦 1 + 𝜕𝑦 𝜕𝑦

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𝛾𝑥𝑦 = 𝛼 + 𝛽

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•

Deformaciones normales en coordenadas cartesianas y cilíndricas.

x 

y 

z 

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u x x

u y y

u z z

•

Deformaciones cortantes en coordenadas cartesianas y cilíndricas.

r 

ur r

 xy     

 

ur u  r r

 yz 

u z z

 zx 

z 

u y

u x y

 r 

ur u u   r r r

u z y

 rz 

ur u z  z r

u z u x  x z

 z 

u u z  z r

u y z

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

x



17

Ecuaciones de deformaciones.

compatibilidad

de

•

Si las componentes de desplazamiento (ux, uy & uz) son conocidas, es posible obtener de forma unívoca las seis componentes de deformación (εx … γzx).

•

Sin embargo, la situación opuesta no es tan simple, pues a partir de un campo de deformaciones definido por seis ecuaciones (εx … γzx) se trataría de determinar de forma unívoca tres incógnitas (ux, uy & uz).

•

•

Si los valores de las componentes de desplazamiento son únicos y sus funciones son continuas (ux, uy & uz), es claro que entre las componentes de deformación (εx … γzx) debe existir cierta interrelación. Dicha interrelación se define mediante las “ecuaciones de compatibilidad de deformaciones”.

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•

Considere la existencia de datos experimentales para un estado de deformación plana, los cuales definen tres funciones f, g & h.

𝜀𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 –

𝜀𝑦 = 𝑔 𝑥, 𝑦

𝛾𝑥𝑦 = ℎ 𝑥, 𝑦

Examine la consistencia de esta información y como se podría emplear para obtener los desplazamientos a partir de las deformaciones:

𝜀𝑥 =

𝜕𝑢𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝜕𝑥

𝛾𝑥𝑦 =

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𝜀𝑦 =

𝜕𝑢𝑦 = 𝑔 𝑥, 𝑦 𝜕𝑦

𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑦 + = ℎ 𝑥, 𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥

18

–

Analizando las derivadas parciales de segundo orden de las funciones f, g & h se pueden proponer algunas relaciones entre ellas:

𝜕2𝑓 𝜕 3 𝑢𝑥 = 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥𝜕𝑦 2

𝜕 3 𝑢𝑦 𝜕2𝑔 = 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦𝜕𝑥 2

𝜕 3 𝑢𝑦 𝜕2ℎ 𝜕 3 𝑢𝑥 = + 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 2 𝜕𝑦𝜕𝑥 2 –

Por lo tanto, la información experimental debería satisfacer la siguiente ecuación:

Este tipo de ecuación se denomina “ecuación de compatibilidad de deformaciones”.

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Para una situación tridimensional, coordenadas cartesianas, se tendría:

en

2 2  2 x   y   xy  2  y 2 x xy

 2 y

2  2 z   yz  2  z 2 y yz

 2 z  2 x  2 zx  2  x 2 z xz

𝜕2ℎ 𝜕2𝑓 𝜕2𝑔 = + 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 2 •

•

 2 x    yz  zx  xy     2 x  x y z  yz  2 y    yz  zx  xy    2 y  x y z  zx    yz  zx  xy   2 z    2 z  x y z  xy

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Transformación de deformaciones.

Deformaciones principales e invariantes de deformación.

•

•

Se procede de forma similar a la transformación de esfuerzos.

1   x' 2  x' y' 1  y'  2  y 'x'  12  z ' x ' 12  z ' y '   l1 m1 n1  l m n  2 2 2 l3 m3 n3 

 x ' z '   l1 l2 l3    x    1 m2 m3   12  yx 2  y ' z '    m1  z '   n1 n2 n3   12  zx 1 2

 xy y 1 2  zy

1 2

 xz   1 2  yz   z  1 2

Al igual que en los esfuerzos en un punto, existen tres planos ortogonales entre sí sobre los cuales solo se presentan deformaciones normales. Estos planos se denominan planos principales. 𝜀 3 − 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 𝜀 2 + 2 2 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 + 𝜀𝑦 𝜀𝑧 + 𝜀𝑧 𝜀𝑥 − 14𝛾𝑥𝑦 − 14𝛾𝑦𝑧 − 14𝛾𝑧𝑥 𝜀− 1 1 1 1 2 2 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 − 4𝜀𝑥 𝛾𝑦𝑧 − 4𝜀𝑦 𝛾𝑧𝑥 − 4𝜀𝑧 𝛾𝑥𝑦 + 4𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑦𝑧 𝛾𝑧𝑥 = 0 𝜀 3 − 𝐼1 𝜀 2 + 𝐼2 𝜀 − 𝐼3 = 0 𝐼1 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 2 2 2 𝐼2 = 𝜀𝑥 𝜀𝑦 + 𝜀𝑦 𝜀𝑧 + 𝜀𝑧 𝜀𝑥 − 14𝛾𝑥𝑦 − 14𝛾𝑦𝑧 − 14𝛾𝑧𝑥 2 2 2 𝐼3 = 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 − 14𝜀𝑥 𝛾𝑦𝑧 − 14𝜀𝑦 𝛾𝑧𝑥 − 14𝜀𝑧 𝛾𝑥𝑦 + 14𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑦𝑧 𝛾𝑧𝑥

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Deformaciones esférica y desviadora.

Deformación cortante deformación octaédrica.

•

•

El estado de deformaciones puede separarse en dos partes: –

𝜀𝑚 = –

=

– 1 𝜀 +𝜀 +𝜀 3 1 2 3

Deformación cortante máxima: 𝛾𝑚á𝑥.12 = ± 𝜀1 − 𝜀2 𝛾𝑚á𝑥.23 = ± 𝜀2 − 𝜀3

Deformación desviadora:

𝜀 ′ = 𝜀 − 𝜀𝑚

𝛾𝑚á𝑥.31 = ± 𝜀3 − 𝜀1

𝜀𝑥′ = 13 2𝜀𝑥 − 𝜀𝑦 − 𝜀𝑧 𝜀𝑦′

=

1 3

–

2𝜀𝑦 − 𝜀𝑥 − 𝜀𝑧

Las deformaciones cortantes no cambian: γ’ij = γij.

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Deformaciones octaédricas:

𝜀𝑜𝑐𝑡 =

𝜀𝑧′ = 13 2𝜀𝑧 − 𝜀𝑥 − 𝜀𝑦

•

y

De forma similar a lo planteado para el estado de esfuerzos, se puede proponer:

Deformación esférica: 1 𝜀 +𝜀 +𝜀 3 𝑥 𝑦 𝑧

máxima

𝛾𝑜𝑐𝑡 = 23

2

𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 3

𝜀𝑥 − 𝜀𝑦

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2

+ 𝜀𝑦 − 𝜀𝑧

2

+ 𝜀𝑧 − 𝜀𝑥

2

2 2 2 + 6 𝛾𝑥𝑦 + 𝛾𝑦𝑧 + 𝛾𝑧𝑥

21

Relaciones esfuerzo – deformación. •

–

–

•

–

El estado de esfuerzos en un punto se define mediante seis (6) componentes de esfuerzo. Se proponen tres (3) ecuaciones de equilibrio que relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas aplicadas. Este análisis es independiente de las deformaciones o del comportamiento del medio y, por lo tanto, se puede aplicar a cualquier tipo de material.

El estado de deformación en un punto se define mediante seis (6) componentes de deformación. –

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Se proponen seis (6) ecuaciones de compatibilidad de deformaciones que relacionan de forma unívoca las deformaciones y los desplazamientos en un punto.

•

Este análisis es independiente de los esfuerzos o del comportamiento del medio y, por lo tanto, se puede aplicar a cualquier tipo de material.

En la situación general tridimensional se tienen 15 incógnitas: seis esfuerzos, seis deformaciones y tres desplazamientos. –

Hasta ahora se han derivado nueve ecuaciones: tres de equilibrio de esfuerzos y seis de compatibilidad de deformaciones.

–

Se requieren seis ecuaciones adicionales que relacionen los esfuerzos y las deformaciones.

–

Estas seis ecuaciones se denominan “ecuaciones constitutivas” y están basadas en el comportamiento macroscópico del material.

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22

•

Las relaciones esfuerzo deformación de los materiales reales son muy complejas y están afectadas por múltiples factores: – Las condiciones de carga (estática, dinámica, etc.). – El tiempo de aplicación de la carga. – La temperatura y otras condiciones ambientales.

•

No es posible proponer una ley constitutiva única para todos los materiales en todas las condiciones.

•

Se proponen idealizaciones del comportamiento agrupadas en dos grupos: – Comportamiento independiente del tiempo, como la elasticidad y la plasticidad. – Comportamiento dependiente del tiempo, como la visco elasticidad y la visco plasticidad.

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23

•

Relaciones esfuerzo – deformación.

σ

Elástico lineal

σ

ε

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Anelástico: Disipación de energía

Elástico no lineal

σ

ε

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ε

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•

Relaciones idealizadas esfuerzo – deformación independientes del tiempo. Elástico – plástico con endurecimiento por deformación

Elástico perfectamente plástico

Elástico lineal

σ

σ

σ

E ε

ε P

P

ε

fricción

P

fricción

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25

•

Relaciones idealizadas esfuerzo – deformación dependientes del tiempo. Modelo de Maxwell

Amortiguador viscoso σ (material newtoniano)

ε

Modelo de Kelvin – Voigt

σ

Creep: σ = σ0

σ

σ η

σ E0

σ0/η0

η0

σ

η: coeficiente de viscosidad

σ0/E0

σ

ε'

η1

E1

σ t

ε

σ Relajación: ε = ε0 en t = 0

ε0/E0

t

14/05/2015

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26

Elasticidad lineal – Ley de Hooke generalizada. •

La elasticidad lineal se basa en varias presunciones: –

Existe una relación unívoca entre esfuerzos y deformaciones, definida por la ley de Hooke e independiente del tiempo y el historial de carga.

–

El cambio en las deformaciones debido al cambio en los esfuerzos es instantáneo.

–

El sistema es completamente reversible y toda la energía que ingresó al mismo se recupera con la descarga.

14/05/2015

•

En condiciones unidimensionales: 𝜀𝑥 = –

•

𝜎𝑥 𝐸

E es conocido elasticidad”.

como

el

“módulo

de

Para el caso general se tiene (Cauchy): 𝜎 = 𝐷 𝜀 –

[D]: Matriz de elasticidad.

–

{σ}: Seis componentes de esfuerzo.

–

{ε}: Seis componentes de deformación.

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27

•

Para el caso general, la matriz [D] puede escribirse como: 𝐷11 𝐷21 𝐷 𝐷 = 31 𝐷41 𝐷51 𝐷61

•

•

•

𝐷12 𝐷22 𝐷32 𝐷42 𝐷52 𝐷62

𝐷13 𝐷23 𝐷33 𝐷43 𝐷53 𝐷63

𝐷14 𝐷24 𝐷34 𝐷44 𝐷54 𝐷64

𝐷15 𝐷25 𝐷35 𝐷45 𝐷55 𝐷65

𝐷16 𝐷26 𝐷36 𝐷46 𝐷56 𝐷66

Se requieren 36 constantes elásticas para relacionar las seis componentes de esfuerzo con las seis componentes de deformación. Para un material con anisotropía general, las 36 constantes son independientes entre sí y son funciones de los ejes de coordenadas. Las propiedades de muchos materiales son independientes de una dirección en particular, lo cual permite reducir el número de constantes.

14/05/2015

•

Por ejemplo: por simetría, Dij = Dji, y el número de constantes se reduce a 21.

•

Si se asume simetría elástica alrededor de los planos xy, yz & zx se tiene un material ortótropo y el número de constantes se reduce a 12: D11, D12, D13, D21, D22, D23, D31, D32, D33, D44, D55 y D66.

•

Si cada plano y cada eje son de simetría elástica y las propiedades del material en un punto son las mismas en todas las direcciones, el material se denomina isótropo y el número de constantes elásticas se reduce a tres: D11, D12 y D44.

•

Estas tres constantes se pueden representar por dos parámetros: –

El módulo de elasticidad, E, y la relación de Poisson, ν.

–

Las constantes de Lamè, λ y μ.

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28

Relaciones esfuerzo – deformación en material isótropo. •

•

La experimentación ha demostrado que un esfuerzo normal aplicado en una dirección produce deformaciones en las direcciones ortogonales.

•

 x    2       y   z       xy   0  yz   0     zx   0

Asimismo, por la definición de isotropía se considera que los esfuerzos normales no producen deformaciones cortantes.





 xy 





 yz 





 zx 

1  x   x   y   z  E 1  y   y   x   z  E 1  z   z   x   y  E

14/05/2015

 xy

•

G

 yz

Los esfuerzos se pueden expresar en términos de las deformaciones:



G

: G

0 0 0

0 0 0



  2    2 0 0 0

0 0

0 0 0 0

 0

0   x  0    y  0   z    0   xy  0   yz       zx 

Donde λ & μ se denominan parámetros de Lamè (D11 = λ+2μ, D12 = λ & D44 = μ):

G

 zx

 

E 21  

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E



1  1  2 



E G 21  

29

Ecuaciones básicas de elasticidad para sólidos. Introducción.

Condiciones de frontera.

•

•

En un problema de elasticidad se busca establecer los esfuerzos, deformaciones y desplazamientos de un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas. – –

Las incógnitas son 15: 6 esfuerzos, 6 deformaciones y 3 desplazamientos. Las ecuaciones disponibles son 15: 3 de equilibrio de esfuerzos, 6 de deformaciones con criterios de compatibilidad y 6 de relaciones esfuerzo – deformación.

•

La forma y tamaño del cuerpo son conocidas.

•

Las constantes elásticas del material son conocidas.

14/05/2015

Los cuerpos pueden estar sometidos a fuerzas de cuerpo y condiciones de valor de frontera específicas. –

Clase 1: Aplicación simultánea de fuerzas de cuerpo y esfuerzos superficiales.

–

Clase 2: Aplicación de fuerzas de cuerpo y desplazamientos prescritos.

–

Clase 3: Aplicación de fuerzas de cuerpo, esfuerzos superficiales en una parte de la frontera y desplazamientos en la parte remanente.

•

Las condiciones de frontera definen las constantes de integración de las ecuaciones diferenciales de la elasticidad.

•

En ningún punto de la frontera se pueden prescribir simultáneamente una carga y un desplazamiento.

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30

Esfuerzos en desplazamientos. •

términos

de

Combinando las seis ecuaciones de esfuerzo – deformación con las seis relaciones desplazamiento – deformación se eliminan las componentes de deformación..









•

Los seis esfuerzos en términos de los desplazamientos son:

u x 1   x   y   z  x E u y 1   y   x   z  y E u z 1   z   x   y  z E u x u y  xy   y x  u y u z  yz   z y  u z u x  zx   x z 



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 u

u

u 

u

 u

u

u 

u

 u

u

u 

u

 u

u 

 u

u 

 x    x  y  z   2 x y z  x  x  y    x  y  z   2 y y z  y  x  z    x  y  z   2 z y z  z  x



 xy    x  y  x   y

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E

 yz    y  z  y   z



1  1  2 

 u u   zx    z  x  z   x



E 21  

31

Ecuaciones de equilibrio en términos de desplazamientos.

Ecuaciones de compatibilidad términos de esfuerzos.

•

•

A partir de las ecuaciones esfuerzo – desplazamiento se pueden reescribir las ecuaciones de equilibrio de esfuerzos.

1 1  2 1  2u y  1  2  2u x 

 2u z 

 X  0 x G  Y  0 y G

1  Z  0 1  2 z G  u

u

•

 Y Z  1       1  yz  z y  1  2  Z X   2 zx     1  zx  x z 

u 

Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de Navier y se resuelven a partir de los desplazamientos prescritos en la superficie (frontera Clase 2).

14/05/2015

Las ecuaciones de la elasticidad se pueden expresar en términos de esfuerzos para resolver problemas con valores de frontera de la Clase 1. 1  2  X 2  x   *  2 2 1  x 1  x 2 1    Y  2 y   *  2 2 1  y 1  y 2 2 2 2     1  2  Z x 2 y 2 z 2 *  2 z      2 1  z 2 1  z    x  y  z 2  X Y  1    2 xy      1  xy  y x     2 yz 

   x  y  z   x y z y z   x

•

en

2

X Y Z *       x y z 

Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de compatibilidad de esfuerzos de Beltrami – Michell y se resuelven a partir de las condiciones de esfuerzo de la frontera (X, Y & Z son fuerzas de cuerpo).

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32

Principio de superposición.

Principio de San Venant.

•

Las ecuaciones de la elasticidad se aplican para deformaciones pequeñas y, por lo tanto, son ecuaciones lineales.

•

•

Cualquier combinación lineal de funciones que satisfagan las ecuaciones de la elasticidad también satisfará dichas ecuaciones. Esto se conoce como principio de superposición.

Si una cierta distribución de fuerzas actuantes sobre una porción de la superficie de un cuerpo se reproduce mediante una distribución de fuerzas diferente, actuando en la misma porción del cuerpo, entonces los efectos de las dos distribuciones en lugares apartados del cuerpo son esencialmente los mismos si las fuerzas son estáticamente equivalentes.

•

Por ejemplo, la suma de dos grupos de ecuaciones de equilibrio, para sendos estados de carga, produce un nuevo grupo de ecuaciones de equilibrio para el estado combinado de esfuerzos.

•

Este principio ha sido propuesto en términos cualitativos y no define claramente los límites de la región en la cual se aplicarían las diferentes distribuciones de fuerzas.

•

Un ejemplo en Pavimentos lo constituye el análisis de las deflexiones a distancias superiores a 10 veces el radio del área cargada, en donde se puede reemplazar el área cargada con una presión uniforme (q) por una fuerza puntual equivalente (P).

•

Se puede aplicar el mismo principio para las ecuaciones de compatibilidad.

•

El principio de superposición no funciona bien para grandes deformaciones.

14/05/2015

LUIS RICARDO VÁSQUEZ VARELA, M.Sc.

33

Métodos de análisis para soluciones elásticas.

Soluciones elásticas por funciones de desplazamiento y esfuerzo.

•

•

•

La solución elástica busca obtener esfuerzos, deformaciones y desplazamientos en las tres dimensiones.

Las ecuaciones diferenciales para problemas elásticos pueden reducirse a: –

Tres ecuaciones de Navier, en términos de desplazamientos.

–

Seis ecuaciones de Beltrami – Michell para esfuerzos en términos de las ecuaciones de compatibilidad.

Solución de estas ecuaciones diferenciales: –

Método inverso. Se “adivina” y evalúa una solución que satisfaga todos los requerimientos.

–

Método semi-inverso. Se asume la distribución de esfuerzos y/o desplazamientos dejando libertad para aplicar las constitutivas y las condiciones de frontera.

–

Método de los potenciales. Se examinan potenciales que resuelvan las ecuaciones de Navier o las de esfuerzo.

–

14/05/2015

Métodos variacionales. Se encuentra una solución minimizando la expresión de la energía. Evita resolver las ecuaciones diferenciales.

•

Para resolver problemas formulados con las ecuaciones de Navier se suelen seleccionar ecuaciones de Laplace o biarmónicas como funciones de desplazamiento.

•

Para problemas en términos de esfuerzos (Beltrami – Michell), se selecciona una función de esfuerzo que satisfaga los requerimientos establecidos como, por ejemplo, la función de esfuerzo de Airy.

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34

Función de esfuerzo de Airy (2D). •

𝜀𝑥 =

Considere una situación de esfuerzo plano en x & y (σz = 0, τxz = 0, τyz = 0).

– Sustituya las relaciones esfuerzo – deformación en la ecuación de compatibilidad:

– Relaciones esfuerzo – deformación:

𝜕 2 𝜏𝑥𝑦 𝜕2 𝜕2 𝜎 − 𝜈𝜎𝑦 + 2 𝜎𝑦 − 𝜈𝜎𝑥 = 2 1 + 𝜈 𝜕𝑦 2 𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦

1 𝜎 − 𝜈𝜎𝑦 𝐸 𝑥

𝜀𝑦 =

1 𝜎 − 𝜈𝜎𝑥 𝐸 𝑦

𝛾𝑥𝑦 =

𝜏𝑥𝑦 𝐺

– Ecuaciones de equilibrio de esfuerzos (X & Y son fuerzas de cuerpo): 𝜕𝜎𝑥 𝜕𝜏𝑥𝑦 + +𝑋=0 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝜕𝜎𝑦 𝜕𝜏𝑥𝑦 + +𝑌=0 𝜕𝑦 𝜕𝑥

– Relaciones deformación desplazamiento: 𝜀𝑥 =

𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑥

𝜀𝑦 =

𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑦

𝛾𝑥𝑦 =

𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑦 + 𝜕𝑦 𝜕𝑥

– Condiciones de compatibilidad: 𝜕 2 𝜀𝑥 𝜕 2 𝜀𝑦 𝜕 2 𝛾𝑥𝑦 + = 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥𝜕𝑦

14/05/2015

–

– Derive las ecuaciones de equilibrio con respecto a sus respectivas direcciones, súmelas y despeje las fuerzas de cuerpo: 𝜕 2 𝜏𝑥𝑦 𝜕 2 𝜎𝑥 𝜕 2 𝜎𝑦 𝜕𝑋 𝜕𝑌 + + 2 = − + 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

– Combine las dos últimas ecuaciones: 𝜕2 𝜕2 + 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 = − 1 + 𝜈

𝜕𝑋 𝜕𝑌 + 𝜕𝑥 𝜕𝑦

– Esta ecuación y las dos ecuaciones de equilibrio permiten resolver las componentes de esfuerzo a partir de las condiciones de frontera.

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35

– Las fuerzas de cuerpo se pueden especificar en términos de la función potencial ψ, de forma que: 𝑋=−

𝜕𝜓 𝜕𝑥

𝑌=−

𝜕𝜓 𝜕𝑦

– Sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio de esfuerzos se obtiene: 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕 𝜎𝑥 − 𝜓 + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕 𝜎𝑦 − 𝜓 + =0 𝜕𝑦 𝜕𝑥

– Substituyendo en la ecuación que combina equilibrio y compatibilidad se obtiene:

– Dicha función debe satisfacer ambas ecuaciones de equilibrio, de forma que las componentes de esfuerzo se definen como: 𝜕2𝜙 𝜎𝑥 = +𝜓 𝜕𝑦 2

𝜕2𝜙 𝜎𝑦 = +𝜓 𝜕𝑥 2

𝜏𝑥𝑦

𝜕2𝜙 =− 𝜕𝑥𝜕𝑦

– La ecuación de compatibilidad en términos de la función de esfuerzo φ es: 𝛻

𝜕2𝜙 𝜕2𝜙 + + 2𝜓 = 1 + 𝜈 𝛻 2 𝜓 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 2

2

𝛻 2 𝛻 2𝜙 = − 1 − 𝜈 𝛻2𝜓 𝛻 2 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 = 1 + 𝜈 𝛻 2 𝜓 𝛻2 =

𝜕2 𝜕2 + 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2

– Las tres ecuaciones anteriores pueden reducirse a una sola ecuación con una variable φ (x, y) conocida como función de esfuerzo de Airy.

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𝛻 4𝜙 + 1 − 𝜈 𝛻 2𝜓 = 0 4 – Donde 𝛻 es el operador biarmónico:

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𝜕4 𝜕4 𝜕4 𝛻 = 2+2 2 2+ 4 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 4

36

Funciones de esfuerzo en coordenadas cilíndricas.   2  2  2    2   r  dr  r

  1      r r 

Funciones de desplazamiento coordenadas cilíndricas. 1  ur  E

  2 2    2  r   r

 2 1  2 1   2    1         2 2     z  r  r r  r   r r 

1  u  E

 1  2    2 r  r  z

   2  2  z  2     2  z  z 

uz 

r 

 r

1  2       2  2       2 r z  r r   r 2 z 2

1   z  r 

 rz 

  2   2 2 1     z 2   r 2  

   2  1  2 2   1       r  z 2  r  z

14/05/2015

1  E

  

en

Criterio de solución.

  

 4  0  4  0

  2  2   2 1       z 2  

  

En todas las ecuaciones:.

2 

2 1  1 2 2    r 2 r r r 2  2 z 2

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37

Método de análisis para pavimentos flexibles.

TEORÍA DE CAPAS ELÁSTICAS DE BURMISTER. 14/05/2015

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38

Teoría de capas elásticas. •

http://www.columbia.edu/cu/civileng

La primera solución para un sistema generalizado multicapa elástico fue presentada por Donald M. Burmister en la Universidad de Columbia (1943). – Sistemas elásticos de N capas.

/ling/burmister/burmister.html

a q

r

Capa superior

ν1, E1, h1

– Soluciones específicas para sistemas de dos y tres capas. – Cargas uniformes, aplicadas de forma normal sobre un área circular.

•

Cada capa se compone de materiales que son isótropos, homogéneos, elásticos lineales y carentes de peso propio.

ν2, E2, h2 Capas intermedias

νi, Ei, hi νn-1, En-1, hn-1

Capa inferior

νn, En, hn = ∞ z

14/05/2015

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39

•

El sistema de capas elásticas es compuesto, es decir, puede existir continuidad de los esfuerzos o deformaciones a través de las interfases entre capas.

•

La mayor parte de las soluciones para pavimentos asumen que los materiales son elásticos lineales.

•

Esto no es un problema si se estima adecuadamente el módulo elástico de cada material para el nivel de esfuerzo (subrasante y capas granulares) o para la temperatura y frecuencia de carga (capas asfálticas).

14/05/2015

•

Schiffman extendió los trabajos de Burmister para formas generalizadas de carga asimétrica, incluyendo esfuerzos cortantes en la superficie.

•

Para la aplicación práctica del sistema de capas elásticas se han tabulado coeficientes y se han elaborado ábacos por autores como Jones, Peattie, Huang y el mismo Burmister.

•

En la actualidad las soluciones tabulares o gráficas han sido sustituidas por software.

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40

• Solución de un sólido de revolución con deformación axialmente simétrica alrededor de z. X

– Ecuaciones de equilibrio de esfuerzos:  r  rz  r      0 r z r

z

Y

θ dθ dz

 zr  z  zr   0 r z r

σz

– Ecuaciones de deformación:

ur u   r r r u u  rz  r  z z r

r 

14/05/2015

z 

σθ u z z

σr τrz

Z

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41

• Para cada una de las capas se asume la existencia de una función de esfuerzo, φ, que satisface la ecuación diferencial que rige el sistema con fuerzas de cuerpo nulas:

 4  0 • Para un sistema con distribución de esfuerzos con simetría axial se tiene:  2 1  2   2 1  2     2   2    2   2  r r z   r r r z   r 4

• Donde r y z son las coordenadas cilíndricas de las direcciones radial y vertical, respectivamente.

14/05/2015

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42

Esfuerzos

   2  2  z  2     2  z  z   2  2   r     2  z  r 

 

  2 1       z  r r 

Desplazamientos

• Luego de encontrar la función de esfuerzo, φ, los esfuerzos y desplazamientos se pueden determinar como:

1  ur   E 1  uz  E

  2     r  z  

  2 1   2 1  2    r 2  r r   

   2  2  rz  1     2  r  z 

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43

•

Dado que la ecuación diferencial es de cuarto orden, los esfuerzos y desplazamientos tendrán cuatro constantes de integración que se obtendrán de las condiciones de frontera y de continuidad en las interfases.

•

Se propone como función de esfuerzo, φi, para cada capa:



H 3 J 0 (m )  m i     m  i1   m i      i1  i  A e  B e  C m  e  D m  e i i i i m2 •



Donde: – ρ = r / H y λ = z / H. Los valores r y z son las coordenadas del punto de interés en la capa i, y H es la distancia desde la superficie hasta la capa inferior del pavimento. – J0 es una función de Bessel de primera clase y orden cero (0). – A, B, C y D son constantes de integración.

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44

• A partir de la función de esfuerzo se pueden encontrar los esfuerzos y desplazamientos del sistema: – Esfuerzo normal en la dirección z (σz):



( z *)i  mJ 0 (m ) Ai  Ci 1  2 i  m e  m ( i  )  Bi  Di 1  2 i  m e  m (  i1 )



– Esfuerzo normal en la dirección r (σr):



 J (m )  Ai  Ci 1  m e m(i  )  Bi  Di 1  m e m( i1 )  2 i mJ 0 (m ) Ci e m(i  )  Di e m( i1 ) ( r *)i  mJ 0 (m )  1    





– Esfuerzo normal en la dirección θ (σθ): (  *)i 

J1 (m )

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

A  C 1  m e i

i

 m ( i   )





 Bi  Di 1  m e  m (  i1 )  2 i mJ 0 (m ) Ci e  m ( i  )  Di e  m (  i1 )

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45





– Esfuerzo cortante en dirección r sobre el plano z (τrz):



( rz *)i  mJ1 (m ) Ai  Ci 2 i  m e  m ( i  )  Bi  Di 2 i  m e  m (  i1 )



– Desplazamiento en la dirección z (uz): (u z *)i  

1  i J 0 (m ) Ai  Ci 2  4 i  m e  m ( i  )  Bi  Di 2  4 i  m e  m (  i1 ) Ei





– Desplazamiento en la dirección r (ur): (ur *)i 

1  i J1 (m ) Ai  Ci 1  m e  m ( i  )  Bi  Di 1  m e  m (  i1 ) Ei





• En las ecuaciones anteriores, J1 es una función de Bessel de primera clase y orden uno (1).

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• En las funciones anteriores, los esfuerzos y desplazamientos son respuestas, R, del sistema. ( R*)i  ... – El subíndice i por fuera del paréntesis representa la i–ésima capa del sistema. – El superíndice * indica que estas respuestas (esfuerzos y desplazamientos) no son las reales debidas a una carga uniforme q distribuida en un área circular de radio a, si no aquellas debidas a una carga vertical de magnitud [–m J0(mρ)].

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• Para hallar los esfuerzos y desplazamientos debidos a una carga constante q, distribuida sobre un área circular de radio a, se emplea el método de la transformada de Hankel. • Para dicha carga, la transformada es igual a: 

f (m)   qJ 0 (m )d  0

q J 1 (m ) m

• Donde α = a / H. Así, la inversión de Hankel de f(m) es: 



0

0

q (  )   f (m)mJ 0 (m )dm  q  J 0 (m ) J1 (m )dm

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•

Sea R* cualquiera de los esfuerzos o desplazamientos debidos a la carga vertical [–mJ0(mρ)] y R la respuesta estructural que se obtendría debido a la carga q y considerando las tracciones como negativas, se tiene: 

R  q  0

•

R* J 1 (m )dm m

Y el análisis del sistema de capas se resume en los siguientes pasos: – Asigne valores a m, de cero a un número entero positivo muy grande, hasta que el valor de R en la ecuación anterior converja. – Para cada valor de m determine las constantes de integración Ai, Bi, Ci y Di de acuerdo con las condiciones de frontera y continuidad del sistema. – Sustituya dichas constantes en las ecuaciones de cada respuesta R* y calcule R mediante integración numérica.

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•

En la integración numérica se determinan los ceros de J0(mρ) y de J1(mα) y la integral entre estos valores se evalúa mediante una fórmula gaussiana de cuatro puntos.

•

El primer ciclo de integración debe dividirse muy finamente, especialmente cuando ρ es muy grande, de la siguiente forma: – El intervalo entre cero (0) y el primer cero de J0 (2.40483) se divide en seis intervalos. – El intervalo entre el primer cero de J0 (2.40483) y el primer cero de J1 (3.83171) se divide en dos intervalos.

•

La integral para cada uno de estos sub-intervalos también se evalúa con la fórmula gaussiana de cuatro puntos.

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Condiciones de frontera: •

Cada ecuación de respuesta estructural, R, tiene cuatro constantes (A, B, C y D) que dependen de las condiciones de frontera.

•

En la superficie: i =1 y λ = 0 (z = 0: superficie del pavimento).

( z *)1  mJ 0 (m ) ( rz *)1  0

e  m1   m1 e •

1   A1   (1  2 i )e  m1 1  2 1  C1  1          2 1   D1  0  1  B1   2 i e  m1

En la última capa: i = n y λ → infinito (z = ∞: subrasante).

An  Cn  0

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Frontera al pasar de una capa i a una capa i+1 (λ = λi) con continuidad. ( z *)i  ( z *)i 1 ( rz *)i  ( rz *)i 1 (u z *)i  (u z *)i 1 (ur *)i  (ur *)i 1 1 Fi 1  F i  1 Fi  1  Fi

 (1  2 i  mi ) (1  2 i  mi ) Fi   Ai   Fi 1 2 i  mi (2 i  mi ) Fi   Bi   Fi 1   1  mi  (1  mi ) Fi  Ci   Ri Fi 1    (2  4 i  mi )  (2  4 i  mi ) Fi   Di   Ri Fi 1

Fi  e  m ( i i 1 )

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Ri 

1 1 Ri  Ri

 (1  2 i 1  mi ) Fi 1 (2 i 1  mi ) Fi 1 (1  mi ) Fi 1  (2  4 i 1  mi ) Ri Fi 1

1  2 i 1  mi   Ai 1   B  2 i 1  mi i   i 1   Ci 1   (1  mi ) Ri   (2  4 i 1  mi ) Ri   Di 1 

Ei 1  i 1 Ei 1 1  i

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• Para un sistema con n capas, existen 4n constantes de integración. • Conocidas An = Cn = 0, las 4n – 2 constantes remanentes se obtienen con: – Las dos (2) ecuaciones para las constantes en la superficie A1, B1, C1 y D1. – Las 4(n-1) ecuaciones de las interfases de acuerdo con las condiciones de continuidad definidas.

• Existe un procedimiento alternativo para condiciones sin continuidad del esfuerzo cortante en la interfase, aunque esta condición es poco frecuente en el análisis de pavimentos reales.

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• Software disponible. – La solución del sistema anterior se conoce como Análisis de Capas Elásticas o LEA (Layered Elastic Analysis). – Se ha publicado un número importante de programas para computadora que emplean este sistema para el análisis y diseño de pavimentos flexibles. – No tiene sentido emplear un software sin una mínima noción del análisis de capas elásticas.

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Variable

Limitado (DOS)

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Comercial

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F. J. Van Cauwelaert

Laboratoire Central des Ponts et Chaussés (Francia) Mincad Systems (Australia)

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