Cálculo 50%.docx

FACULTAD DE INGENIERÍA “DETERMINACIÓN DEL VALOR MÁXIMO Y MÍNIMO EN LA PRODUCCIÓN MENSUAL DE PALTAS A PARTIR DEL 2012 2016 EN LA EMPRESA CALIFORNIA CARGO S.A.C.”

INTEGRANTES:     

Asencio Jara, Ingrid Brigitthe Ávila Eustaquio, María Gambini López, Brayan Ambrocio Medina Siccha, Nicole Mahomy Paredes Villanueva, Nataly Saira

CURSO: Cálculo I DOCENTE: Ponte Bejarano, Juan Carlos

Trujillo – Perú 2017

Proyecto T3

Proyecto T3

Contenido I.

RESUMEN ...................................................................................................................... 3

II. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 5 III.

REALIDAD PROBLEMÁTICA ................................................................................. 6

IV.

HIPÓTESIS ................................................................................................................. 6

V. OBJETIVOS.................................................................................................................... 7 5.1.

OBJETIVO GENERAL ........................................................................................... 7

5.2.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................................................................. 7

Proyecto T3 “DETERMINACIÓN DEL VALOR MÁXIMO Y MÍNIMO EN LA PRODUCCIÓN MENSUAL DE PALTAS A PARTIR DE 2012- 2016 EN LA EMPRESA CALIFORNIA CARGO S.A.C.” I.

RESUMEN El siguiente proyecto, está siendo desarrollado en la empresa CALIFORNIA CARGO S.A.C., identificada con el RUC: 20482458620, ubicada en la MZA. 14 LOTE. 13 INT. 103 URB. LOS JARDINES DEL GOLF LA LIBERTAD-TRUJILLO-VICTOR LARCO HERRERA. Dicha empresa es una acopiadora que viene a ser la industria que incentiva el cultivo de productos orgánicos (paltas), y que instala centros de recepción donde se recibe la materia prima, se controla la calidad, el peso para finalmente transportarla en conjunto a la planta. Se tiene en el problema donde la empresa desea conocer su producción máxima y mínima de acuerdo a los datos recogidos desde el año 2012 al 2016. Es por ello que teniendo en cuenta los conocimientos previos de los temas ya tratados, junto a el modelo de optimización aplicado a la ingeniería, lo mencionado nos ayudará a obtener los resultados y conclusiones de dichas interrogantes, donde nuestros objetivos, tanto general como específicos será determinar los niveles de producción máximos y mínimos en la empresa CALIFORNIA CARGO S.A.C. pudiendo así obtener mejoras y beneficios en un determinado periodo.

Proyecto T3

Proyecto T3

II.

INTRODUCCIÓN Desde el 6 de junio de 2011 CALIFORNIA CARGO S.A.C, viene desarrollando de manera sostenible la distribución de cultivos orgánicos (paltas) en todo el norte del Perú. Ahora y luego de la experiencia adquirida en estos 5 años, se ha trasladado parte de sus negocios a las ciudades de Lima, Pucallpa, Iquitos, Huancayo, Junín, Ica, Arequipa, Moquegua, Tacna, Cuzco, Puno y Madre de Dios. CALIFORNIA CARGO S.A.C, a lo largo de su historia, se ha caracterizado por la comercialización de productos de primera calidad con precios al alcance de todos, razones que le han permitido ganar la preferencia de los clientes. La organización de este servicio juega un papel fundamental en el área comercial, ya que es quien se encarga de las ventas y por ende de la distribución de la mercancía. La logística entonces se convierte en uno de los factores más importantes de la competitividad, ya que de ella depende el éxito o fracaso de la comercialización.

Proyecto T3

III.

REALIDAD PROBLEMÁTICA CALIFORNIA CARGOS S.A.C. Es una empresa acopiadora que está ubicada en la ciudad de Trujillo y se encarga de distribuir la producción de paltas. En este caso, vamos a evaluar la producción anual de paltas que reportan los productores, para ello hemos realizado un análisis respecto a la producción ejecutada en los últimos 5 años, teniendo en cuenta que en el 2012, la empresa llamada entonces CALIFORNIA PERUVIAN FRESH FOOD S.A.C fue dada baja debido al incorrecto manejo administrativo, producto de deudas que ocasionaron la decadencia de la producción. A partir de ello planteamos obtener los valores máximos y mínimos para que no se repita una situación similar en un futuro Teniendo en que esta empresa está interesada en saber cuál es su punto óptimo de producción respecto a cada mes durante los últimos 5 años. Problema ¿Cuáles son los valores máximos y mínimos de la producción de paltas de la Empresa CALIFORNIA S.A.C. que se obtuvieron durante el periodo Enero – Diciembre del 2012- 2016?

IV.

HIPÓTESIS Mediante el CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA se determinará el valor máximo y mínimo del promedio de la producción

Proyecto T3 mensual de paltas en la Empresa CALIFORNIA S.A.C. durante los últimos cinco años. V.

OBJETIVOS 5.1.

OBJETIVO GENERAL

Determinar el valor máximo y mínimo del promedio de la producción mensual de paltas de la Empresa CALIFORNIA CARGOS S.A.C. en los últimos cinco años. 5.2.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Determinar la función matemática del promedio de la producción de paltas en los últimos 5 años.  Aplicar el criterio de la primera y segunda derivada para máximos y mínimos.  Determinar e interpretar la gráfica de la función matemática de la producción de paltas.

VI.

MARCO TEÓRICO La derivada de una función f en x, se denota como f’(x), es:

f’(x) = Lim X

C

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

Suponiendo que el límite existe.

Proyecto T3 Reglas de derivación

Si c es una constante y F(x)= c entonces: Regla de la constante F’(x)= 0 ó Dx[c]= 0 Si n es un entero positivo y F(x)= x n, entonces: Regla de la potencia entera F’(x)= n xn-1 ó Dx [xn]= n xn-1 Si F(x)= c f(x), entonces: Regla del múltiple constante F’(x)= c f ´ ( x ) ó Dx [ c f(x)]= c Dxf(x) Si F(x)= f(x) + g(x), entonces: Regla de la suma

F’(x)= f ’(x) + g ’(x), ó Dx [f ’(x) + g’(x)]= Dx f(x) + Dx g(x) Si F(x)= f(x) - g(x) entonces:

Regla de la resta

F(x)= f ’(x) – g’(x) ó Dx [f ’(x) g’(x)]= Dx f(x) - Dx g(x) Si F(x)= f(x) • g(x) entonces,

Regla del producto

F’(x)= f ’(x)•g(x) + f(x)•g’(x), ó Dx [f(x)•g(x)]= [Dx f(x)]•g(x) + f(x)•[Dx g(x)] Si F( x ) 

Regla del cociente

f( x ) entonces, g( x )

Dx [f(x) •g(x)] = [Dx f(x)]•g(x) - f(x)•[Dx(g(x)] g2(x)

Proyecto T3 Función Polinomial Es una función cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia más alta que aparece de x. Si una función 𝑓 está definida por:

𝑭(𝒙) = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 +𝒂𝒏−𝟐 𝒙𝒏 − 𝟐 +∙∙∙ +𝒂𝟏 + 𝒂𝟎 Donde 𝒂𝟎 , 𝒂𝟏 ,…,𝒂𝒏 son números reales (𝑎𝑛 ≠ 0) y “ 𝑛” es un número no negativo. Entonces, F se llama una función de grado 𝒏

Grado

Nombre

Expresión

Representación

𝑦 =𝑎

Rectas horizontales o paralelas al eje x

0

Función constante

1

Función lineal

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 es un binomio del primer grado

Rectas oblicuas

2

Función cuadrática

𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 es un trinomio del segundo plano

Parábolas

3

Función cúbica

𝑦 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 es un cuatrinomio de tercer grado

Curvas cúbicas

Proyecto T3 Criterios de la derivada 1. Primera derivada  Sea 𝑥𝑜 sea un punto crítico a) Si a la izquierda de 𝑥𝑜, 𝑓 ′ (𝑥) > 0, y si a la derecha 𝑓 ′ (𝑥) < 0, entonces en 𝑥𝑜la función alcanza su valor máximo. El valor máximo: 𝑦 = 𝐹(𝑥𝑜) b) Si a la izquierda de 𝑥𝑜,𝑓(𝑥) < 0, y si a la derecha 𝑓 ′ (𝑥) > 0, entonces en 𝑥𝑜 alcanza el valor mínimo. El valor mínimo: 𝑦 = 𝐹(𝑥𝑜)

2. Segunda derivada a) 𝑓 ′′ (𝑥𝑜) > 0

𝑥𝑜 es un punto de mínimo El valor mínimo es 𝑦 = 𝑓´(𝑥𝑜)

b) 𝑓 ′′ (𝑥𝑜) < 0

𝑥𝑜 es un punto de máximo El valor mínimo es 𝑦 = 𝑓´(𝑥𝑜)

c) 𝑓 ′′ (𝑥𝑜) = 0

Punto de inflexión

Proyecto T3 VII.

Toma de datos Tabla N°1: Tabla de distribución mensual de la producción de paltas del 2012 al 2016 2012 2013 2014 2015 2016 MES / AÑO Enero 1789 1680 1685 1895 1980 Febrero 1795 1719 1898 1987 2089 Marzo 1849 1783 1963 1956 2058 Abril 1885 1518 1885 1880 2281 Mayo 1847 1161 1643 2194 2265 Junio 1895 1045 1538 2247 1937 Julio 1293 1210 1728 1288 2654 Agosto 1638 1039 1583 1673 1797 Septiembre 1848 1049 1258 1418 1838 Octubre 1394 1340 1406 1513 1634 Noviembre 1395 1248 1423 1484 1894 Diciembre 1835 1249 1624 1965 1276 Elaboración: Autores Fuente: base datos

TABLA N°2: Tabla de distribución mensual del promedio de paltas respecto a los años 2012 al 2016 2012-2016 MES /AÑO 1806 Enero 1898 Febrero 1922 Marzo 1890 Abril 1822 Mayo 1732 Junio 1635 Julio 1546 Agosto 1482 Septiembre 1457 Octubre 1489 Noviembre 1590 Diciembre Elaboración: Autores Fuente: base datos

Proyecto T3

VIII.

Desarrollo del problema

1) Formula de producción Mensual

𝒂𝑥 3 + 𝒃𝑥 2 + 𝒄𝑥 + 𝒅 = 𝒚  𝒙=𝟒

2)

64𝑎 + 16𝑏 + 4𝑐

+ 𝑑 = 1890

 𝒙=𝟕

343𝑎 + 49 𝑏 + 7𝑐 + 𝑑 = 1635

 𝒙 = 𝟏𝟏

1331𝑎 + 121𝑏 + 11𝑐 + 𝑑 = 1489

 𝒙 = 𝟏𝟐

1728𝑎 + 144𝑏 + 12𝑐 + 𝑑 = 1590

Método de Gauss 64 16 49 ( 343 1331 121 1728 144 1 ( 343 1331 1728

0.25 49 121 144

4 7 11 12

0.0625 0.015625 7 1 11 1 12 1

1 0.25 (0 −36.75 0 −211.75 0 −288

0.0625 −14.4375 − 72.1875 −96

1 1 1 1

1 0.25 1890 49 1635) 𝐹1: 𝐹1 ( 343 1489 −64 1331 121 1590 1728 144

0.0625 0.015625 7 1 11 1 12 1

0.25 29.53125 𝐹1: (𝐹2 ∗ −343) + 𝐹1 1 1635 ) 𝐹3: (𝐹1 ∗ −1331) + 𝐹3 (0 −36.75 1489 0 −211.75 𝐹4: (𝐹1 ∗ −1728) + 𝐹4 1590 0 −288

0.015625 − 4.359375 −19.796875 −26

0.0625 −14.4375 − 72.1875 −96

1 0.25 29.53125 0 1 − 8494.21875 ) 𝐹2: 𝐹2 − 37817.09375 −3675 0 −211.75 −49440 −288 (0

29.53125 1635 ) 1489 1590 0.015625 − 4.359375 −19.796875 −26

0.0625 11 28 − 72.1875 −96

1 1

0.25

0

1

0 −211.75 −288 (0

1

0.0625 11 28 − 72.1875 −96

0

0 −18 0 0 (

0 0

0.015625 93 784 −19.796875 −26

1 11 − 28 784 11 93 28 784 149 11 28 120 400 7 49

−

0.015625 93 784 −19.796875 −26

0

29.53125 𝐹1: (𝐹2 ∗ 0.25) + 𝐹1 0 −18 90605 (𝐹2 ∗ 211.75) + 𝐹3 𝐹3: 392 − 37817.09375 𝐹4: (𝐹2 ∗ 288) + 𝐹4 0 0 −49440 ) 0 0 (

11075 1 392 90605 F3 0 392 F3: 155761 11 0 14 839220 0 ) ( 49

−

0 1 0 0

1 11 − 28 784 11 93 28 784 149 1 308 120 400 7 49

−

11075 392 90605 392 155761 154 839220 ) 49

−

29.53125 − 8494.21875 ) − 37817.09375 −49440 29.53125 90605 392 − 37817.09375 −49440 )

1 11 − 28 784 11 93 28 784 149 11 28 120 400 7 49

−

11075 392 90605 392 155761 14 839220 ) 49

−

Proyecto T3 1

1

0

1

0 0 (

0 0

1 11 − 28 784 11 93 28 784 149 1 308 120 400 7 49

11075 1 1 392 𝐹1: (𝐹3 ∗ ) + 𝐹1 90605 28 0 11 392 𝐹2: (𝐹3 ∗ + 𝐹2 155761 28 120 0 154 (𝐹3 ∗ ) + 𝐹4 839220 𝐹4: 0 7 ( ) 49

−

1 1

0

0 1

0

0 0 0 0 (

1 0

1 1

0

0 1

0

0 0 (0 0

1 0

1 308 1 − 14 149 308 −10 77

606 1 77 2327 − 77 0 14 𝐹4: 𝐹4 ∗ − 155761 10 0 154 16320 (0 ) 77

1 308 1 − 14 149 308 1

606 1 1 ) + 𝐹1 𝐹1: (𝐹4 ∗ 77 308 2327 1 0 − 𝐹2: (𝐹4 ∗ ) + 𝐹2 14 14 155761 149 0 ) + 𝐹3 𝐹3: (𝐹4 ∗ 154 308 (0 1632 )

1

1

0

1

0

0 0

1 0

0

1

0

0 0

1 0

1 308 1 − 14 149 308 −10 77

1 308 1 − 14 149 308 1

606 77 2327 − 14 155761 154 16320 ) 77

606 77 2327 − 14 155761 154 1632 )

1

0

1

0

0

0 0

1 0

0 1

0

𝒅 = 𝟏𝟔𝟑𝟐

𝒄 = 𝟐𝟐𝟏. 𝟗𝟑

𝒃 = −𝟒𝟗. 𝟔𝟒

𝒂 = 𝟐. 𝟓𝟕 Formula de producción mensual de 2013-2016: 𝟐. 𝟓𝟕𝒙𝟑 − 𝟒𝟗. 𝟔𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟐𝟏. 𝟗𝟑𝒙 + 𝟏𝟔𝟑𝟐 = 𝒚

18 7 695 − 14 3107 14 1632 )

Proyecto T3  Puntos Críticos Primera derivada: 𝑦′ = 0 7.71𝑥 2 − 99.28𝑥 + 221.93 = 0 𝑎 = 7.71 𝑏 = −99.28 𝑐 = 221.93 ∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 ∆= (−99.28)2 − 4(7.71)(221.93) ∆= 3012.1972 > 0

𝒙=

𝑥=

−𝒃 ± √∆ 𝟐𝒂

− (−99.28) + √3012.1972 2(7.71)

𝑥 = 10 (Octubre)

𝑥=

− (−99.28) − √3012.1972 2(7.71)

𝑥 = 2.88 (Marzo)

Producción promedio de enero durante 2012-2016:

Proyecto T3 𝑥=3 2.57(3)3 − 49.64(3)2 + 221.93(3) + 1632 = 1922 Producción promedio de noviembre durante 2012-2016: 𝑥 = 10 2.57(10)3 − 49.64(10)2 + 221.93(10) + 1632 = 1457