Modelamiento De Un Puente Con Arco Parabólico.docx

Modelamiento de un puente con arco parabólico Introducción La importancia de los puentes en nuestro país es un tema de gran interés ya que sirve como conector entre ciudades, pueblos, etc. Debido a esto un ingeniero civil debe ser capaz de desarrollar y de proponer ideas frente a situaciones inesperadas, como factores externos que intervienen en la caída de puentes. En base a esto se deben proponer soluciones que puedan disminuir la frecuencia de estos factores. Objetivos Objetivo principal  Desarrollar una aplicación práctica de la derivada en un caso general de la ingeniería civil Objetivo especifico  Crear un modelo para entender la geometría de una obra de infraestructura civil a través del uso de expresiones matemáticas donde intervienen el uso de las derivadas.  Comprender el significado de la primera y la segunda derivada y la aplicación de cada una de ellas  Verificar el estado geométrico real de una estructura y comprobar con el diseño geométrico teórico. I. Problemática

Bases teóricas

Este trabajo de aplicación de derivadas pretende dar los alcances generales para el estudio de ciertas estructuras con formas algo complejas y conocer a detalles las verdaderas ubicaciones de los elementos pues de no ser así estaría sujeto a errores y dudas durante la construcción de la obra y durante la etapa de construcción y mantenimiento de la misma.

Marco teórico La derivada Una definición.-EI límite del cociente de la diferencia en define una función: una funci6n que se deriva de la función original y = f(x). Esta nueva función se denomina función derivada o simplemente la derivada de f y se denota por f’’. La derivada de una funci6n y = f(x) en x está dada por: 𝑑𝑦 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = lim 𝑑𝑥 ℎ→0 ℎ siempre que el límite exista.  Notación .-A continuaci6n se presenta una lista de la notación común usada en la literatura matemática para denotar la derivada de una función: f'(x), dx' y, Dy, DxY  Operadores diferenciación.- EI proceso de encontrar o calcular una derivada se denomina diferenciación. Así, la diferenciación es una operaci6n que se lleva a cabo sobre una función y =f(x). La operación de diferenciación de una función con respecto a la variable x se representa con los símbolos d/ dx y D". Estos símbolos se denominan operadores diferenciación.

 Funciones no derivables: 1. Si la gráfica de la función tiene un punto anguloso entonces la función no es derivable en ese punto. 2. si una función no es continua en un punto c entonces no es derivable en ese punto. 3. La recta tangente en el punto es vertical. II.

Planteamiento del problema

1. Justificación La justificación del presente trabajo es conocer la ubicación más alta del arco de un puente. Por ello trataremos de modelar el arco de dicho puente como si fuera una parábola y entrara parámetros importantes como la altura máxima haciendo uso de la derivada matemática. 2. Datos a considerar de un puente con arco parabólico (común) : La obra estará constituida por un puente de dos arcos, uno a cada lado teniendo una loza o superficie de rodamiento de 47 metros largo por 6 metros de ancho (doble carril), sobre este se encontraran dos arcos de 55 metros de longitud de altura de 10 metros y un peso de 50 toneladas. 3. Planteamiento matemático del problema Para el modelamiento de este problema consideremos a cada arco como si fuera una parábola definida por la ecuación: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Donde: a, b, c: son los coeficientes de la ecuación de la parábola

x: es la posición de la variable, con el valor de cero (0) en el extremo izquierdo y: altura del arco a una distancia “x” Consideremos el origen de coordenadas en el extremo inferior izquierdo del puente. Para las posiciones del borde tenemos: 𝑓(0) = 0

𝑓(47) = 0

𝑓𝑚á𝑥 = 10

4. Etapa de resolución del problema De las condiciones: 

𝑓(0) = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑓(0) = 𝑎(0)2 + 𝑏(0) + 𝑐 = 0 → 𝑐 = 0



𝑓(47) = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑎(47)2 + 𝑏(47) = 0 → 2209𝑎 + 47𝑏 = 0 → 𝑏 = −47𝑎 … … … (1)

Luego:

f ( x) 

df ( x) b  2ax  b; luego si f ( x1)  0  x1   dx 2a

f ( x1)  a(

b 2 b b2 b2 )  b(  )    10...(2) 2a 2a 4a 2a

Luego reemplazando (1) en (2):

(47a) 2  10 4a  a  0.018108  b  0.851076 

Luego la ecuación queda:

f ( x)  0.018108x 2  0.851076 x 

Verificando punto máximo: f ( x)  0.036216 x  0.851076  0

x  23.5

Intervalos de crecimiento: x  0

0, 23.5 Intervalos de decrecimiento:

,0  23.5,  Por la segunda derivada: f ( x)  0.036216

f (0)  0.036216 (es un intervalo de crecimiento) f (23.5)  0.036216 ( punto máximo)



Verificando concavidad:

df ( x)  0.036216 x  0.851076 dx d 2 f ( x) f ( x)   0.036216  0 dx 2 f ( x) 

Se observa que la función es “cóncava” hacia abajo. 

Ubicación de la altura máxima:

En dicho punto f ( x )  0; y x  

b  23.5m 2a

III.

Validación del ejercicio

1. Resultados 

La ecuación que define la geometría del puente modelado queda definida por la ecuación:

f ( x)  0.018108x 2  0.851076 x Que es la ecuación de una parábola cóncava hacia abajo, con el origen de coordenadas en el extremo inferior izquierdo de dicho arco. 2. Conclusión El uso de derivadas puede servir como apoyo para el estudio de gráficos geométricos que permitirán modelar ciertas estructuras con forman complicadas, en este caso concluimos que su aplicación para el modelamiento del arco del puente en construcción fue buena ya que nos permitió llegar a definir su respectiva ecuación.