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第1章

集合与 R n 中的点集

集合论是德国数学家 Cantor (1845-1918)于 19 世纪后期所创立, 已经成为一 门独立的数学分支. 集合论是现代数学的基础, 其概念与方法已经广泛地渗透到 现代数学的各个分支. 在实变函数论中经常出现各种各样的集合与集合的运算. 本章介绍今后要用到的集合论的一些基本知识, 包括集合与集合的运算, 可列集 和基数等. 本章还要介绍具有某些运算封闭性的集类如代数和  -代数等, 以及 R n 中的一些常见的点集.

§ 1.1 本节要点

集合与集合的运算

集合论是本课程的基础.本节将引入集的概念与集

的运算. De Morgan 公式是以后常用的公式.证明两个集的相等是经常 要遇到论证,本节的两个例子说明了证明两个集相等基本方法.集列 的极限是一种新型的极限,单调递增和单调递减的集列的极限是常 见的情形. 集合的基本概念

1.1.1

集合是数学的基本概念之一. 它不能用其它更基本的数学概念严格定义之, 只能给予一种描述性的说明. 以某种方式给定的一些事物的全体称为一个集合 (简称为集). 集中的成员称为这个集的元素. 一般用大写字母如 A, B, C 等表示集 , 用小写字母如 a, b, c 等表示集的元素 . 若 a 是集 A 的元素 , 则用记号 a  A ( 读作 a 属于 A ) 表示 . 若 a 不是集 A 的元素 , 则用记号 a  A (读作 a 不属于 A )表示. 不含任何元素的集称为空集, 用符号  表示. 本书约定分别用 R1 , Q, N 和

Z 表示实数集, 有理数集, 自然数集和整数集. 表示一个集的方法一般有两种. 第一种方法是列举法, 即列出给定集的全部 元素. 例如

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}. B = {1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, , cos nx, sin nx,  }. 另一种方法是描述法. 当集 A 是由具有某种性质 P 的元素的全体所构成时, 用下 面的方式表示集 A : A = {x : x 具有性质 P}. 例如

A = {x Î R1 : x sin x ³ 0}. 设 A 和 B 是两个集. 如果 A 和 B 具有完全相同的元素, 则称 A 与 B 相等, 记 为 A = B. 如果 A 的元素都是 B 的元素, 则称 A 为 B 的子集, 记为 A  B (读作 A 包含于 B ), 或 B  A ( 读作 B 包含 A ). 若 A  B 并且 A  B, 则称 A 为 B 的真子 集. 按照这个定义, 空集  是任何集的子集. 由定义知道 A = B 当且仅当 A  B 并且 B  A. 例如

{x Î R1 : x = k , k Î Z} = {x Î R1 : sin x = 0}. {x Î R1 : x = 2k , k Î Z} Ì {x Î R1 : sin x = 0}. 设 X 是一个给定的集 . 由 X 的所有子集构成的集称为 X 的幂集 , 记为 P ( X ). 例如, 设 X = {a, b, c} 是由 3 个元素构成的集, 则

P ( X ) = {Æ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X }. 一般地, 若 X 是由 n 个元素构成的集, 则 X 有 2n 个不同的子集.

1.1.2 集合的运算 设 A 和 B 是两个集. 由 A 和 B 的所有元素所构成的集称为 A 与 B 的并集, 简 称为并, 记为 A È B. 即

A È B = {x : x Î A 或者 x Î B}. 由同时属于 A 和 B 的元素所构成的集称为 A 与 B 的交集, 简称为交, 记为 A Ç B. 即 A Ç B = {x : x Î A 并且 x Î B}

(如图 1.1). 若 A Ç B = Æ, 则称 A 与 B 不相交. 此时称 A È B 为 A 与 B 的不相交并. B

B

AÈ B

AÇ B

A

A 图 1.1

一族集的并与交 设 I 是一非空集 ( I 可以是有限集或无限集 ). 若对每个

 Î I 都对应一个集 A , 则称 { A } ÎI 为集族, 称 I 为指标集. 特别地, 若指标集 是自然数集 N, 则称 { An }nÎN 为集列, { An }nÎN 一般简写为 { An }. 设 { A } ÎI 是一个集族. 这一族集的并集和交集分别定义为

 A ={x : 存在  Î I , 使得 x Î A },

 ÎI

 A ={x : 对每个  Î I , x Î A }.

 ÎI

¥

¥

n=1

n=1

特别地, 若 { An } 是一个集列, 则  An 和  An 可以分别记成  An 和  An , 分别 nÎN

nÎN

称为 { An } 的可列并和可列交. 容易证明并与交运算具有如下性质:

(1) 交换律: A È B = B È A,

A Ç B = B Ç A.

(2) 结合律: ( A È B) È C = A È ( B È C ), ( A Ç B) Ç C = A Ç ( B Ç C ). (3) 分配律: A Ç ( B È C ) = ( A Ç B) È ( A Ç C ),

A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ). 分配律可以推广到一族集的并与交的情形, 即 æ ö A Ç çç  B ÷÷÷ =  ( A Ç B ), çè ÎI ø  ÎI

æ ö A  çç  B ÷÷÷ =  ( A  B ). çè ÎI ø  ÎI

设 A 和 B 是两个集. 由 A 中的那些不属于 B 的元素所构成的集称为 A 与 B 的差集, 记为 A  B 或 A \ B . 即 A - B = {x : x Î A 并且 x Ï B}.

通常我们所讨论的集都是某一固定集 X 的子集, X 称为全集(或全空间). 称 全集 X 与其子集 A 的差集 X  A 为 A 的余集, 记为 AC (如图 1.2).

B AC

A- B

A

A 图 1.2

设 A, B Ì X , 称 AB = ( A - B) È ( B - A) 为 A 与 B 的对称差集 . 对称差集

AB 的大小反映了 A 与 B 差别的大小. 以下设所讨论的集都是某一固定集 X 的子集. 关于差运算和余运算成立以 下性质

(4) ( AC )C = A. (5) A È AC = X ,

A Ç AC = Æ.

(6) X C = Æ, ÆC = X . (7) A - B = A Ç B C . (8) ( A È B)C = AC Ç B C , ( A Ç B)C = AC È B C .

上述最后一个性质称为 De Morgan 公式. De Morgan 公式对一族集的并与 交也成立. 这个公式今后要经常用到, 我们将其叙述为如下的定理. 定理 1.1 (De Morgan 公式) 设 { A } ÎI 是一族集. 则

(1)

( A ) = A C

 ÎI

(2)

 ÎI

C



 ÎI

(1). 设 x Î

(并的余集等于余集的交).

C



( A ) =  A  ÎI

证明



(交的余集等于余集的并).

C



( A )

C



 ÎI

, 则 x Ï  A . 于是对任意  Î I , x Ï A . 即对任  ÎI

意  Î I , x Î A . 因此 x Î  A . 这表明 C

C

 ÎI

( A ) Ì  A . C

 ÎI

C



 ÎI



上述推理可以反过来, 即从 x Î  AC 可以推出 x Î  ÎI

 A Ì(  A ) 

C

C

ÎI

( A )

C



 ÎI

. 这表明

.

ÎI

因此 (1) 成立. 类似地可以证明 (2). ■ 定理 1.1 的证明过程是证明两个集相等的典型方法. 下面再举两个例子. 例 1 设 { f n } 是 R1 上的一列实值函数, 满足

f1 ( x) £ f 2 ( x) £  £ f n ( x) £ f n+1 ( x) £ , x  R1 . 并且 lim f n ( x) = f ( x) ( x Î R1 ). 则对任意实数 c 成立 n¥

¥

{x : f ( x) > c} = {x : f n ( x) > c}.

(1.1)

n=1

证明

若 x Î {x : f ( x) > c}, 则 f ( x) > c. 由于 lim f n ( x) = f ( x), 当 n0 充分大 n¥

时, f n0 ( x) > c. 因此 x Î {x : f n0 ( x) > c}. 这表明 ¥

{x : f ( x) > c} Ì  {x : f n ( x) > c}. n=1

另一方面 , 由于 f ( x) ³ f n ( x) ( x Î R1 ), 对任意自然数 n, 若 f n ( x) > c, 则 f ( x) > c. 因此 {x : f n ( x) > c} Ì {x : f ( x) > c}. 从而 ¥

 {x : f

n

( x) > c} Ì {x : f ( x) > c}.

n=1

这就证明了(1.1)式成立. 在给出下面的例子之前, 先解释一下多重可列并与可列交的意义. 设对每个 ¥ ¥ ¥ æ¥ ö 自然数 n 和 k 对应有一个集 An , k . 则  An , k 表示  çç An , k ÷÷. 换言之 , 若令 çè ø÷ n=1 k =1

¥

Bn =  An , k , 则 k =1

n=1 k =1

¥ æ¥ ö ¥ çç A ÷÷ =  B . =  n, k n, k n ç ø÷ n=1 n=1 è k =1

¥ ¥

 A n=1 k =1

对于更多重的可列并和可列交运算, 可以作类似的理解. 例

设 { fn} 是 定 义 在 R n 上 的 一 列 实 值 函 数 .

2

令

A = {x Î R n : lim f n ( x) = 0}. 则 n¥

¥ ¥ ¥ 1 A =    {x Î R n : f n ( x) < }. k k =1 m=1 n= m

证明

(1.2)

由于 lim f n ( x)  0 的充要条件是 , 对任意正整数 k  1, 存在正整数 n

1 k

m  1, 使得对任意正整数 n  m 成立 f n ( x) < . 因此 1 k

x Î A  "k ³ 1, $m ³ 1, 使得 "n ³ m, x Î {x : f n ( x ) < } ¥

1 k

 "k ³ 1, $m ³ 1, 使得 x Î  {x : f n ( x ) < } n =m

¥

¥

1 k

 "k ³ 1, x Î   {x : f n ( x ) < } ¥

¥

m=1 n=m ¥

1 k

 x Î    {x : f n ( x ) < }. k =1 m=1 n=m

因此(1.2)成立. ■ 在例 2 中 , 集 A 的表达式 (1.2) 看起来较复杂 , 但它是通过比较简单的集 1 k

{x : f n ( x) < } 的运算得到的, 以后我们会看到集的这种表示方法是很有用的. 设 A1 , , An 是 n 个集. 由有序 n 元组的全体所成的集

{( x1 , , xn ) : x1 Î A1 ,  , xn Î An } 称为 A1 , , An 的直积集(简称为直积), 记为 A1 ´´ An . 例如 , 平面 R 2 可以看作是 R1 与 R1 的直积 , 即 R 2 = R1 ´ R1 . 而 Q ´Q 是平 面上以有理数为坐标的点所成的集, Q ´Q 中的点称为有理点. 又例如, [a, b]´[c, d ] = {( x, y ) : a £ x £ b, c £ y £ d }

就是平面上的长方形.

1.1.3 集列的极限 设 { An } 是一个集列. 称集

{x : x 属于无限多个 An (n ³ 1)} . 为集列 { An } 的上极限, 记为 lim An . 称集 n

{x : x 至多不属于有限个 An (n ³ 1)}

为集列 { An } 的下极限, 记为 lim An . n

显然 lim An  lim An . 若 lim An  lim An , 则称集列 { An } 存在极限, 并称 n

n 

n 

n

A  lim An  lim An n

n

为集列 { An } 的极限, 记为 lim An . n

定理 1.2

设 { An } 是一个集列. 则 ¥

¥

lim An =   Ak ,

n¥

(1.3)

n=1 k = n ¥

¥

lim An =   Ak .

n¥

证明

(1.4)

n=1 k = n

我们有

x Î lim An  x 属于无限多个 An (n ³ 1) . n¥

 对任意 n ³ 1, 存在 k ³ n, 使得 x Î Ak ¥

 对任意 n ³ 1, x Î  Ak k =n

¥

¥

 x Î   Ak . n=1 k = n

因此(1.3)式成立. 类似地可证明(1.4)式. ■ 设 { An } 是一个集列 . 若对每个 n ³1, 均有 An  An 1 , 则称 { An } 是单调递增 的 , 记为 An  . 若对每个 n ³1, 均有 An É An+1 , 则称 { An } 是单调递减的 , 记为

An  . 单调递增和单调递减的集列统称为单调集列. 定理 1.3 单调集列必存在极限. 并且 ¥

(1) 若 { An } 是单调递增的, 则 lim An =  An . n¥

n=1 ¥

(2) 若 { An } 是单调递减的, 则 lim An =  An . n¥

证明

n=1

(1). 因为 { An } 是单调递增的, 因此对任意 n  1, 有 ¥

A

k

= An ,

k =n

¥

¥

 A =A . k

k =n

k

k =1

于是利用定理 1.2 得到 ¥

¥

¥

lim An =   Ak =  An .

n¥

n=1 k = n

¥

¥

n=1

¥ ¥

¥

n=1 k =1

k =1

lim An =   Ak =  Ak =  Ak .

n¥

n=1 k = n



¥

所以 lim An  lim An   An . 因此 lim An 存在, 并且 lim An =  An . 类似可证明 n

n 

n

n 1

n¥

n=1

结论 (2). ■ 例 3

设 An = (0, 1- 1 ], Bn = (0, 1+ n1 ]. 由于 { An } 是单调递增的 , {Bn } 称单 n

调递减的. 根据定理 1.3, 

lim An   An  (0, 1), n

例 4

n 1



lim Bn   Bn  (0, 1]. n

n 1

设 { f n } 和 f 如例 1. 令 An = {x : f n ( x) > c} (n ³ 1). 则 { An } 是单调递增

的. 根据定理 1.3 并且利用(1.1)式, 我们有 ¥

lim An =  An = {x : f ( x) > c}.

n¥

习 题

n=1

习题 1, 第 1 题的(2), (4), (5)小题, 第 2,3,4 题.

§ 1.2

映射 可列集与基数

本节要点 本节除介绍映射的基本概念外,重点介绍基数,可数 集与不可数集的基础知识. 一一对应的思想与方法贯穿本节的核心.基数的概念,可数集 的讨论,都要用的一一对应的思想.要证明一个集是可数集或者证明 两个集的基数相等,有时需要一定的技巧,因而具有一定的难度.本 节举了较多的例子说明这种方法和技巧.Bernstein 定理是在证明两 个集的基数相等时常用的定理.

1.2.1

映 射

在学习数学分析时我们对函数已经很熟悉. 在那里函数的定义域通常是 R n 的子集, 值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 就 得到映射的概念. 定义 1.1

设 X , Y 是两个非空集. 若 f 是某一法则，使得对每个 x Î X 有唯一

的 y  Y 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记为

f : X  Y. 当 y 与 x 对应时, 称 y 为 x 在映射 f 下的像, 记为 y  f ( x). 称 x 为 y 的一个原像. 称 X 为 f 的定义域. 在上述定义中, 若 Y 是实数集或复数集, 习惯上仍称 f 为函数. 在数学分析中我们熟知的函数当然是一种映射. 除此之外, 我们还经常会遇 到许多其它的映射. 由于习惯的原因, 这些映射在不同的场合有不同的名称. 例1

设 A = (ai j ) 是一个 n ´ n 阶矩阵. 作映射 T : R n  R n 使得 T ( x1 ,, xn ) = ( y1 ,, yn ), n

其中 yi = å ai j x j (i = 1, , n). 用矩阵表示即 j =1

æ y1 ÷ö æ a11  a1n ÷öæ x1 ÷ö çç ÷ çç ÷÷çç ÷÷ çç  ÷÷ = çç  ç   ÷÷÷çç  ÷÷÷ . çç ÷÷÷ çç çè yn ÷ø çèan1  ann ÷÷øèçç xn ÷÷ø

在线性代数中, 称T 为由矩阵 A 确定的线性变换. 例 2

设 C [a, b] 是区间 [a, b] 上实值连续函数的全体, x0 Î [a, b]. 则

 : C[a, b]  R , f  f ( x0 ), b

 : C[a, b]  R, f  ò f ( x )dx a

都是 C [a, b] 到 R1 的映射. 在泛函分析中, 这两个映射都称为泛函. 例 3

设 C (1) [a, b] 是区间 [a, b] 上具有一阶连续导数的函数的全体. 则 D : C (1) [a, b]  C [a, b], f ( x)  f ¢( x)

是 C (1) [a, b] 到 C [a, b] 的映射. 在泛函分析中, 这个映射称为算子. 例 4

设 {xn } 是一实数列. 令 f (n) = xn (n Î N ), 则 f 是 N 到 R1 的映射. 因此

数列实际上是定义在自然数集 N 上的函数. 设 A 是 X 的子集. 称Y 的子集

{ f ( x) : x Î A} 为 A 在映射 f 下的像, 记为 f ( A ). 特别地, 称 f ( X ) 为 f 的值域. 设 B 是 Y 的子 集. 称 X 的子集

{x Î X : f ( x) Î B} 为集 B 在映射 f 下的原像, 记为 f -1 ( B ). 由像和原像的定义可以直接验证以下事实: 设 f 是 X 到Y 的映射, 则 f

(  A )=  f ( A )

( A Ì X ).

(  A )Ì  f ( A )

( A Ì X ).

 ÎI

f

 ÎI

f -1





 ÎI





(  B )=  f

-1

( B ) ( B Ì Y ).

(  B )=  f

-1

( B ) ( B Ì Y ).

 ÎI

f -1

 ÎI

 ÎI





 ÎI

 ÎI

f -1 ( B C ) = ( f -1 ( B))

C

定义 1.2

( B Ì Y ).

设 f : X  Y 是 X 到 Y 的映射. 如果当 x1  x 2 时， f ( x1 )  f ( x 2 ),

则称 f 是一对一的 (或单射). 如果 f ( X )  Y , 则称 f 为映上的(或满射). 如果映 射 f : X  Y 是一对一映上的, 则称 f 是 X 到Y 的一一对应(或双射). 定义 1.3

设 f : X  Y 是一一对应的映射. 定义映射

g :Y  X , y  x, 其中 x  X 并且满足 f ( x)  y (由于 f 是一对一映上的, 这样的 x 存在并且唯一). 称 g 为 f 的逆映射, 记为 f 1 . 逆映射是反函数概念的推广. 由逆映射的定义知道成立以下等式:

f -1 ( f ( x)) = x ( x Î X ), 定义 1.4

f ( f -1 ( y )) = y ( y Î Y ).

设 f : X  Y 和 g : Y  Z 是两个映射. 令

h( x) = g ( f ( x)), x Î X . 则 h 是 X 到 Z 的映射. 称 h 为 f 与 g 的复合映射, 记为 g  f .

设 f : X  Y 和 g : Y  Z 是两个映射, C Ì Z . 则

( g  f )-1 (C ) = f -1 ( g -1 (C )). ~ 设 A 是 X 的子集, f 和 f 分别是 A 到 Y 的和 X 到 Y 的映射. 若对每个 x  A ~ ~ ~ 成立 f ( x)  f ( x), 则称 f 是 f 在 X 上的延拓 . 称 f 是 f 在 A 上的限制 , 记为 ~ f  f A. 设 A 是 X 的子集. 令

ì ï 1, ï ï î 0,

 A ( x) = ïí

x Î A, x Ï A.

则  A ( x) 是定义在 X 上的函数, 称之为 A 的特征函数. 以后会经常用到这个函数. 关于特征函数成立以下简单性质:

(1) A Ì B   A ( x ) £  B ( x ) . (2)  AÈ B ( x ) =  A ( x ) +  B ( x ) -  AÇ B ( x ) .

(3)  AÇ B ( x ) =  A ( x ) ⋅  B ( x ) . (4)  A-B ( x ) =  A ( x )( 1-  B ( x )),

 A ( x ) = 1-  A ( x ) . C

(5)  A´B ( x, y ) =  A ( x ) ⋅  B ( y ) ( A Ì X , B Ì Y ). ¥

¥

n=1

n=1

(6)  A ( x ) = å  An ( x ) ( A =  An , Am Ç An = Æ(m ¹ n ) ). 利用特征函数为函数的表示带来方便. 例如, 设 A1 , , An 是 X 的互不相交的 n

子集 , X =  Ai . 若 fi ( x) (i = 1, , n) 是定义在 Ai 上的函数 , 则定义在 X 上的函 i =1

数 ì f1 ( x), x Î A1 , ï ï ï f ( x) = ïí  ï ï f ( x), x Î An , ï ï î n

可以表示为 n

f ( x) = å fi ( x)  Ai ( x). i =1

1.2.2

可列集 定义 1.5

设 A, B 是两个非空集. 若存在一个从 A 到 B 的一一对应的映射,

则称 A 与 B 是对等的, 记为 A  B . 此外规定  ~ . 例如, 数集 A= { 1, 1 , 1 ,  } 与自然数集 N 是对等的. 又如圆周去掉一点后 2 3

与全直线对等. 两个半径不同的圆作为平面上的点集是对等的(图 1.3).

Y x 

P O

x O

x 

 x

X 图 1.3

显然, 集的对等关系具有如下性质:

(1) A  A (反身性). (2) 若 A  B, 则 B  A (对称性).

(3) 若 A  B, B  C , 则 A  C (传递性). 利用对等的概念, 可以给出有限集和无限集的严格定义. 设 A 是一非空集 . 若存在一个自然数 n, 使得 A 与集 {1, 2, , n } 对等, 则称 A 为有限集. 规定空集是 有限集. 若 A 不是有限集, 则称 A 为无限集. 自然数集 N 是无限集. 自然数集有一个重要的特点, 就是它的元素可以编号 排序成为一个无穷序列(稍后我们将会举例说明, 并非每个无限集都可以做到这 一点). 具有这种性质的集就是我们下面要讨论的可列集. 定义 1.6

与自然数集 N 对等的集称为可列集.

有限集和可列集统称为可数集. 注意, 有的作者将我们这里的可列集称为可 数集. 此时可数集不包括有限集. 由对等关系的传递性知道, 若 A 是可列集, B 与 A 对等, 则 B 也是可列集. 定理 1.4

集 A 是可列集的充要条件是 A 的元素可以编号排序成为一个无穷

序列

A = {a1 , a2 ,  , an , }. 证明

(1.5)

设 A 是可列集 ,  : A  N 是一一对应的映射 . 对任意 a Î A, 若

 (a) = n, 则将 a 记为 an . 这样, A 的元素就编号排序成为如(1.5)式的无穷序列: 反过来, 若 A 的元素可以编号排序成为如(1.4)的无穷序列, 令 f (an ) = n , 则 f 是

A 到 N 的一一对应的映射. 因此 A 是可列集. ■ 注意, 编号排序必须既无遗漏, 也无重复. 例 5

自然数集当然是可列集. 以下几个集都可以编号排序, 因此都是可列

集: 奇自然数集:

{1, 3, 5,  , 2n -1, }.

整数集 Z :

{0, 1, -1, 2, - 2,  , n, - n, }.

三角函数系:

{1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, , cos nx, sin nx, }

在上面的例子中, 奇自然数集是自然数集的真子集 , 但却与自然数集对等. 这表明无限集可以与其真子集对等. 这与有限集的情形是不同的. 下面给出一个不可数集的例子. 定理 1.5

区间 (0, 1) 不是可数集

首先注意到, 区间 (0, 1) 中的实数可以表示为十进制无限小数:

证明

x  0. a1 a 2 a3  , 其 中 ai 是 0, 1,  , 9 中 的 数 字 , 并 且 有 无 限 多 个 ai 不 为 零 . 例 如 0.5 表 示 为

0.499 , 不表示为 0.500  . 这样, (0, 1) 中每个实数的表示是唯一的(本节后面 讨论的 p 进制小数表示法, 将把这种表示法一般化). 我们证明 (0, 1) 不是可列集. 用反证法. 若 (0, 1) 是可列集 则 (0, 1) 中的实数 可以编号排序成为一个无穷序列:

(0, 1)  {x1 , x 2 , x3 ,},

(1.6)

x1  0. a1(1) a 2(1) a3(1) , x 2  0. a1( 2 ) a 2( 2 ) a3( 2 ) , x3  0. a1(3) a 2( 3) a3( 3)  , . 现在考虑小数

x0  0. a1 a 2 a3  , 其中 ìï 1 ai = ïí ïï 2, î

ai(i ) ¹ 1, ai(i ) = 1.

则 x0  (0, 1) . 但是 x0  xi ( i = 1, 2, 3, ) (因为 x0 与 xi 的第 i 位数字不同). 这样 x0 就不在(1.6)式的序列中, 这与假设矛盾! 因此 (0, 1) 不是可列集. ■ 例 6 若 A 是可列集, B 是有限集, 则 A È B 是可列集. 设 A  {a 1 , a 2 ,}, B = { b1 , , bn }. 若 A Ç B = Æ, 则 A È B 的元素可以

证明 编号排序为

A È B = { b1 ,, bn , a1 , a2 ,}. 此时 A È B 是可列集. 若 A Ç B ¹ Æ, 注意到

A È B = A È ( B - A), 这表明 A È B 可以表示为可列集与有限集的不相交并, 此时 A È B 也是可列集. ■ 定理 1.6 可列集的任何无限子集还是可列集. 换言之, 可列集的子集是可数 集. 证明

设 A 是一可列集, 则 A 的元素可以编号排序成为一个无穷序列

a1 , a 2 ,  , a n , .

设 B 是 A 的一个无限子集. 则 B 中的元素是上述序列的一个子列

a n1 , a n2 ,  , a nk , . 因此 B 是可列集. ■ 结合定理 1.5 和定理 1.6 知道, 实数集 R1 是不可列集. 定理 1.7 证明

任何无限集必包含一个可列子集.

设 A 是无限集. 在 A 中任取一个元, 记为 a1 . 假定 a1 , , a n 1 已经取定.

由于 A 是无限集 , 故 A  {a1 , , a n 1 } 不空 . 在 A  {a1 , , a n 1 } 中任取一个元 , 记 为 a n . 这样一直作下去 , 就得到 A 中的一个无穷序列 {a n }. 令 A1 = {a1 , a2 ,}, 则 A1 是 A 的一个可列子集. ■ 定理 1.8 证明

n

¥

i=1

i =1

若 { Ai } 是一列可列集, 则  Ai 和  Ai 都是可列集.

设 { Ai } 是一列可列集. 则每个 Ai 的元素可以编号排序. 设

Ai = {ai1 , ai 2, , ai j ,}, i = 1, 2, . ¥

先考虑可列并的情形.

A

i

的元素可按如下方式编号排序:

i=1

A1 :

a11

a12

a13

a14 

A2 :

a 21 a 22

a 23

a 24 

A3 :

a 31 a 32

a 33 



















A4 : a 41 a 42   ¥

在编号排序时, 若碰到前面已编号的重复元素, 则跳过去不再编号. 于是  Ai i =1

¥

的全部元素可以按上述方式编号排序成为一无穷序列 . 所以  Ai 都是可列集 . i=1

n

 A 也可以用同样的方法编号排序, i

i =1

n

因此  Ai 也是可列集. ■ i =1

¥

定理 1.9 若 { Ai } 是一列有限集, 则  Ai 是有限集或可列集. i =1

¥

证明

记 A =  Ai . 我们只需证明, 当 A 不是有限集时, A 是可列集. 事实 i =1

上, 可以先排 A1 的元素, 排完 A1 的元素后再排 A2 的元素, 这样一直排下去, 若碰 到重复元素则跳过去不排. 这样, A 的元素可以编号排序成为一无穷序列. 因此

A 是可列集. ■ 定理 1.8 和定理 1.9 可以合并叙述为: 可数个可数集的并还是可数集. 定理 1.10 若 A1 ,  , An 是可列集, 则它们的直积 A1 ´´ An 是可列集. 证明

为简明计不放只证 n  2 的情形 . 一般情况可以用数学归纳法证明 .

设

A1 = {a1 , a2 , }, A2 = { b1 , b2 , }. 对每个正整数 k  1, 令

Ek = A1 ´{ bk } = {(ai , bk ) : ai Î A1}. ¥

则 A1 ´ A2 =  Ek . 将 (ai , bk ) 与 ai 对应即知 E k 与 A1 对等. 因此每个 E k 是可列集. k =1

根据定理 1.8 知道 A1 ´ A2 是可列集. ■ 推论 1.1 设 I1 , , I n 是 n 个可列集. 则

A = {ai1 ,, in : i1 Î I1 ,  , in Î I n } 是可列集. 证明

将 ai1 ,, in 与 ( i1 , , in ) 对 应 即 知 A 与 I 1    I n 对 等 . 由 定 理 1.10,

I 1    I n 是可列集. 因此 A 也是可列集. ■ 例如, 集 A = {a i j : i, j Î N} 是可列集. 例 7 有理数集 Q 是可列集. 证明

对每个 n  1, 2, 3, , 令 An = {

1 2 3 , , ,  }. n n n ¥

则每个 An 是可列集. 由于正有理数集 Q+ =  An 由定理 1.8 知道 Q+ 是可列集. n=1

由于负有理数集 Q 与 Q 对等, Q 也是可列集. 从而 Q = Q+ È Q- È {0} 是可列 集. ■ -

+

-

有理数集是可列集, 这个事实非常重要, 以后会经常用到. 例 8

设 Qn = Q ´´Q 是 R n 中的有理点(即座标全为有理数的点)的全体所  n

成的集. 由例 7 和定理 1.10 知道 Q n 是可列集. 例 9 整系数多项式的全体是可列集. ¥

证明 设 Pn ( n = 0, 1, 2, 3,  )是 n 次整系数多项式的全体. 则  Pn 就是整系数 n= 0

多项式的全体. 由对应关系

a0 + a1 x + + an x n « (a0 , a1 ,  , an ) 即知 Pn ~ Z 0 ´´ Z n-1 ´ Z n (其中 Z 0 ,, Z n-1 = Z 是整数集， Z n = Z - {0} ). 由于

Z 0 ,, Z n 都是可列集, 根据定理 1.10, Z 0 ´´ Z n-1 ´ Z n 是可列集, 因此每个 Pn ¥

都是可列集. 再由定理 1.8 知道  Pn 是可列集. ■ n= 0

实数 x 称为是一个代数数, 若 x 是某个整系数多项式的零点. 显然每个有理 数是代数数 . 由于 2 是方程 x 2 - 2 = 0 的根 , 因此 2 是代数数 . 这表明有些无

理数也是代数数. 例 10 代数数集是可列集. 证明

根据例 9 的结论, 可设整系数多项式的全体为 { p1 , p 2 , }. 又设 A = {x : x 是代数数 } ,

An = {x : x 是 pn 的实零点 } , n  1, 2, . ¥

则每个 An 是有限集, 并且 A =  An . 显然 A 是无限集, 根据定理 1.9 知道, 代数 n=1

数集是可列集. ■ 例 11

若 A = {I  } 是直线上一族互不相交的开区间所成的集(注意 A 中的元

是开区间), 则 A 是可数集. 对 每 个 I Î A, 在 其 中 任 意 选 取 一 个 有 理 数 记 为 r . 作 映 射

证明

f : A  Q 使得 f ( I  ) = r . 由于当 I  1 ¹ I  2 时 I  1 Ç I  2 =Æ, 因此 r 1 ¹ r 2 . 这说明 f 是单射. 令 B = f ( A), 则 f 是 A 到 B 的一一对应的映射, 从而 A  B. 由于 Q 是 可列集, B Ì Q , 由定理 1.6 知道 B 是可数集. 因此 A 亦如此. ■ 例 12 定义在区间上的单调函数的间断点的全体是可数集. 证明

设 f ( x) 是定义在区间 I 上的单调函数, 不妨设 f ( x) 单调增加. 对任

意 x Î I , f ( x) 在 x 的 左 右 单 侧 极 限 f ( x - 0) 和 f ( x + 0) 都 存 在 , 并 且

f ( x - 0) £ f ( x + 0). 若 x 是 f ( x) 的间断点 , 则 f ( x - 0) < f ( x + 0). 这样 f ( x) 的 每 个 间 断 点 x 就 就 对 应 一 个 开 区 间 ( f ( x - 0), f ( x + 0)). 由 于 当 x1 < x2 时

f ( x1 + 0) £ f ( x2 - 0), 因此不同的间断点对应的开区间不相交 . 这样 f ( x) 的间 断点的全体就对应于直线上的一族互不相交的开区间. 由例 11 的结果即知 f ( x) 的间断点是可数集. ■

1.2.3 基 数 两个有限集可以比较它们的元素的多与少. 对于两个无限集, 可以通过元素 对应的方法, 在某种意义下也可以比较它们的元素的多与少. 定义 1.7

设 A 和 B 是两个集, 如果 A  B, 则称 A 和 B 具有相同的基数(或

势). 集 A 的基数记为 A . 根据基数的定义, 所有相互对等的集具有同样的基数. 因此, 集的基数是所 有相互对等的集的一种共同属性, 是有限集元素个数这个属性的推广. 规定集 {1, 2, , n } 的基数用 n 表示 , 空集  的基数用 0 表示. 即有限集的基 数等于该集中元素的个数. 自然数集 N 的基数用符号 À0 (读作“阿列夫零”)表示. 实数集 R1 的基数用 c 表示, 称之为连续基数. 基数的比较 设 A, B 是两个集. 若 A 与 B 的一个子集对等, 则称 A 的基数小

于或等于 B 的基数, 记为 A  B . 若 A £ B , 但 A ¹ B , 则称 A 的基数小于 B 的基 数, 记为 A < B 或 B > A. 例 13 若 A 是无限集, 则 À0 £ A. 换言之, 可列集的基数是无限集基数中的 最小的一个. 事实上, 根据定理 1.7, A 包含一个可列集. 设这个可列集为 A1. 则 自然数集 N 与 A 的子集 A1 对等. 因此 À 0 = N £ A. 此外, 由于 N 与 R1 不对等, 因此 À0 = N ¹ R1. 从而 À0 < c. 定理 1.11 若 A 是无限集, B 是有限集或可列集, 则 A È B = A . 证明

不妨设 A  B  , 否则用 B  A 代替 B. 又不妨只考虑 B 是可列集

的情形. 设 B = { b1 , b2 , }. 因为 A 为无限集, 由定理 1.7 知道 A 包含一个可列子 集 A1. 设 A1 = {a1 , a2 , }. 作映射 f : A È B  A, 使得 当 an Î A1 (n = 1, 2, ) 时, f (an ) = a2 n-1 , 当 bn Î B (n = 1, 2, ) 时, f (bn ) = a2 n , 当 x Î A - A1 时, f ( x) = x. 显然 f 是 A È B 到 A 的一一对应. 因此 A È B  A, 于是 A È B = A. ■ 例 14 无理数集的基数是 c. 证明 我们有

记无理数集为 A, 有理数集为 Q. 显然 A 是无限集. 根据定理 1.11,

A = A È Q = R1 = c. 因此无理数集的基数是 c. ■ 例 14 表明在实数集中, 无理数比有理数多得多. 设 x 是一个实数. 若 x 不是代数数, 则称 x 为超越数. 类似于例 14 容易证明, 超越数的全体具有基数 c. 而代数数集的基数是 À0 . 这表明超越数是存在的, 而 且要比代数数多得多. 例 15 区间 (0, 1) 和区间 [0, 1] 的基数都是 c. 证明

作函数 f : (0, 1)  R1 ,

f ( x) = tan(x - 12 )π. 则 f 是一一对应的映射 .

故 (0, 1) 与 R1 对等 . 因此 ( 0,1) 的基数是 c. 由于 [0, 1] = (0, 1) È {0, 1}, 根据定理

1.11, [0, 1] = (0, 1) = c. 仿例 15 的证明, 可以证明直线上任何区间的基数都是 c. 在上面在证明 [0, 1] = (0, 1) 时, 我们利用了定理 1.11. 实际上也可以直接作出 一个 [0, 1] 到 (0, 1) 的一一对应. 例如, 作映射  :[0, 1]  (0, 1) 使得

1

1

æ1ö

1

 (0) = 2 ,  (1) = 3 ,  ççç n ÷÷÷ = n + 2 , n = 2, 3,. è ø  ( x ) = x,

1 1 x ¹ 0, 1, , , . 2 3

则  是 [0, 1] 到 (0, 1) 的一一对应. 因此 [0, 1] ~ (0, 1) . 为了下面的需要, 现在介绍 p 进制小数. 设 p ³ 2 是一自然数 , {a n } 是一个 数列, 其中 a n 只取 0, 1,  , p -1 为值. 则级数 a a1 a 2  2    nn   1 p p p

(1.7)

收敛, 并且其和 x Î [0, 1]. 把级数(1.7)的和记为

x  0.a1 a 2  a n .

(1.8)

称上式的右边为 p 进制小数. 在 p 进制小数(1.8)中, 若有无限多个 an ¹ 0, 则称 之为 p 进制无限小数, 否则称之为 p 进制有限小数. 这样, 一个 p 进制无限小数 表示区间 (0, 1] 中的一个实数. 定理 1.12

p 进制无限小数与区间 (0, 1] 中的实数一一对应.

证明 以 p  2 为例 . 一般情形是类似的. 上面我们已经知道, 一个二进制 无限小数表示区间 (0, 1] 中的一个实数. 反过来, 设 x Î (0, 1]. 将区间 (0, 1] 分割为 两个等长的区间 (0, 1 ùû 和 ( 1 , 1ùû . 若 x 落入在第一个区间, 则令 a1 = 0. 若 x 落入 2

2

在第二个区间, 则令 a1 = 1. 设 a1 已经确定,则 x Î (

a1 a1 1 a a , + ùû . 将区间 ( 1 , 1 +1 ùû 2 2 2 2 2 2

分割为两个等长的区间

æ a1 1 a1 1 ù çç + 2 , + ú . 2 2 úû èç 2 2 若 x 落入在第一个区间, 则令 a2 = 0. 若 x 落入在第二个区间, 则令 a2 = 1. 这样 æ a1 a1 1 ù çç , + 2 ú , èç 2 2 2 úû

一直作下去, 得到一个数列 {a n }, 其中 an = 0 或 1, 并且有无限多个 a n  1. 由这 样的数列 {a n } 构成的级数(1.7)的部分和 s n 满足

1 , n  1. 2n 令 n   得到 x  lim s n . 这表明 x 是级数(1.7)的和. 于是 x 可以唯一地表示成二 0  x  sn 

n 

进制无限小数

x  0.a1 a 2  a n .

■

设 a = (a1 , a2 ,) 是一数列. 若每个 a n 只取 0 或 1 两个可能的值, 则称 {a n } 为 二元数列. 定理 1.13

(1) 二元数列的全体所成的集具有基数 c.

(2) 若 X 是一可列集, 则 P ( X ) 具有基数 c. 证明

(1). 将二元数列的全体所成的集记为 A, 二进制无限小数的全体记

为 E. 由定理 1.12, E = (0, 1] = c. 令

B = {a Î A : a = (a1 , , an , 0,), n = 1, 2,} . 即 B 是从某一项开始恒为零的二元数列的全体. 对每个 n = 1, 2,, 令

Bn = {a Î A : a = (a1 ,, an , 0, )}. ¥

则 B =  Bn . 由于每个 Bn 只有 2n 个元 , 故 B 是可列集 . 作映射 f : A - B  E 使 n=1

得 f ((a1 , a2 ,)) = 0. a1a2 .

则 f 是 A - B 到 E 的一一对应, 因此 A - B  E , 从而 A  B  E  c. 由定理 1.11 知道

A = ( A - B ) È B = A - B = c. (2). 设 X  {x1 , x 2 , , x n ,}. 作映射  : P ( X )  A, 使得

 (C )  (a1 , a 2 , ), C  P ( X ). 其中 ìï 1, an = ïí ïïî 0,

xn Î C , xn Ï C.

则  是一一对应的映射, 因此 P ( X ) ~ A , 从而 P ( X )  A  c. ■ 特别地, 自然数集 N 的子集的全体所成的集具有基数 c. 定理 1.14* (F. Bernstein 定理)

设 A, B 是两个集. 若 A 与 B 的一个子集对等,

并且 B 与 A 的一个子集对等 , 则 A 与 B 对等 . 用基数表示就是 , 若 A £ B 并且

B £ A, 则 A = B. 证明

略(见教材). ■

Bernstein 定理是证明两个集对等的一个有力工具. 下面举两个个例子说明 Bernstein 定理的应用. 例 17 证明 面 ,

R n = c. 由于 R1 与 R n 的子集 {( x, 0, , 0) : x Î R1} 对等, 因此 R1 £ R n . 另一方

R n 与 R ¥ 的 子 集 {( x1 , , xn , 0, ) : ( x1 , , xn ) Î R n } 对 等 , 因 此

R n £ R ¥ = R1. 再由 Bernstein 定理即知 R n = R1 = c. ■ 例 18 设 C[a, b] 是 [a, b] 上的连续函数的全体. 则 C[a, b] = c. 证明

对任意 a Î R1 , 作常数函数 f ( x) = a ( x Î [a, b]), 则 f Î C[a, b]. 因此

R1 与 C[a, b] 的一个子集对等, 从而 R1 £ C[a, b].

(1.11)

另一方面, 设 {r1 , r2 , } 是 [a, b] 中的有理数的全体. 作映射  : C[a, b]  R ¥ 使得

 ( f ) = ( f (r1 ), f (r2 ),  ) , f Î C[a, b]. 则  是 单 射 . 事 实 上 , 若 f , g Î C[a, b] 使 得  ( f ) =  ( g ),

则 f (ri ) = g (ri )

( i = 1, 2, ). 对任意 x Î [a, b], 存在 {rn } 的一个子列 {rnk } 使得 rnk  x (k  ¥). 由于 f 和 g 的连续性得到

f ( x) = lim f (rnk ) = lim g (rnk ) = g ( x). k ¥

k ¥

所以 f = g. 这表明  是单射, 因此 C[a, b] 与 R ¥ 的一个子集对等. 于是 C[ a , b ] £ R ¥ = R1 .

(1.12)

综合(1.11)和(1.12), 利用 Bernstein 定理即知 C[a, b] = R1 = c. ■ 注 1 根据定理 1.13 (2) 的结论, 若 X 的基数是 À0 , 则 P ( X ) 的基数是 c. 在 例 13 中的已经知道 À0 < c. 因此若 X 是一可列集, 则 X < P ( X ). 一般地可以证 明对任何一个非空集 A , 必有 A < P ( A). 这说明不存在一个具有最大基数的集. 注 2

关于连续统假设. 集合论的创立者 Cantor 猜想不存在一个集 A 使得

À0 < A < c. Cantor 用了很大精力试图证明这个结论, 但没有成功. 但他相信这 个结论是正确的. 这就是著名的“连续统假设”. 在 1900 年的国际数学家大会上, 著名的数学家希尔伯特(D. Hilbert, 1862-1943)提出了在新世纪数学家应当关注的

23 个数学问题, 其中第一个就是连续统假设. 连续统假设的真与假只能在给定的 集合论的公理系统下才能作出结论. 在 Z-F 集合论公理系统的框架下, 这个问题 在 1938 年获得部分解决, 直到 1963 年获得最终解决. 结论是, 在 Z-F 集合论公 理系统的框架下, 连续统假设既不能被证明, 也不能被推翻. 连续统假设与集合 论的其他公理是彼此独立的. 习 题

习题 1, 第 5 题-第 13 题.

§ 1.3

集

类

本节介绍了代数和  -代数这两种重要的集类. 特

本节要点

别是  -代数是在测度论中常用的集类. 由一个给定的集类生成的  -代数是本节的另一个重要的概念. 本节最后一部分介绍了在测度论中常用的一种证明方法,即“  -代 数方法”.利用这种方法常常可以简化一些定理的证明. 设 X 是一固定的非空集. 以 X 的一些子集为元素的集称为 X 上的集类. 一 般用花体字母如 A , B ,C 等表示集类. 例如, 直线上开区间的全体就是 R1 上的一 个集类. 由 X 的所有子集构成的幂集 P ( X ) 就是 X 上的一个集类. 本节若无特别 申明, 均设所考虑的集类都是 X 上的集类. 设 A 是一非空集类. 若对任意 A, B Î A , 均有A È B Î A , 则称 A 对并运算封 闭. 显然若 A 对并运算封闭, 则 A 对有限个集的并运算也封闭. 若对 A 中的任 ¥

意一列集 { An } 总有  An Î A , 则称 A 对可列并运算封闭. 类似可定义集类对其 n=1

它运算的封闭性. 例如, 考虑 R1 上的集类 n ìï ü ï C = ïí A Ì R1 : A =  (ai , bi ), n = 1, 2, , 或 A =Æïý. ïïî ï i =1 ï þ 易知C 对并运算和交运算封闭, 但对差运算和可列并运算不封闭. 代数与  -代数

1.3.1

在测度论中经常要遇到具有某些运算封闭性的集类 . 对集类要求不同的运 算封闭性就得到不同的集类. 本节主要介绍代数和  -代数两种集类. 定义 1.8

设 A 是一个非空集类. 若 A 对并运算和余运算封闭, 则称 A 为代

数. 例1

设 X 是一无限集. 则 A = { A Ì X : A 或 AC 是有限集} 是代数.

事实上 , 由于 Æ Î A , 故 A 非空 . 显然 A 对余运算封闭. 设 A, B Î A . 若 A 和 B 都是有限集, 则 A È B 是有限集, 因而 A È B Î A . 若 A 和 B 中至少有一个是 无限集, 不妨设 A 是无限集. 则 AC 是有限集. 由于

( A È B )C = AC Ç B C Ì AC , 故 ( A È B)C 是有限集 , 此时也有 A È B Î A . 因此 A 对并运算封闭 . 这就证明了

A 是代数. ■ 定理 1.15

设 A 是一个非空集类. 则

(1) 若 A 对交运算和余运算封闭, 则 A 是代数. (2) 若 A 是一个代数, 则 Æ, X Î A , 并且 A 对交运算和差运算封闭 证明

(1). 设 A, B  A . 由于 A 对余运算封闭, 故 AC , B C Î A . 利用 A 对交

运算的封闭性得到 AC Ç B C Î A . 再根据 De Morgan 公式和 A 对余运算的封闭性, 得到

A È B = ( AC Ç B C ) C Î A . 因此 A 对并运算封闭, 从而 A 是代数.

(2). 设 A 是一个代数. 任取 A Î A , 由于 A 对余运算封闭, 故 AC Î A . 于是 X = A È AC Î A , Æ = X C Î A . 由等式 A Ç B = ( AC È B C )C 即知 A 对交运算封闭. 再利用等式 A - B = A Ç B C 即知 A 对差运算封闭. ■ 结合代数的定义和定理 1.15 知道, 若 A 是一个代数, 则 A 对有限并、有限 交、差运算和余运算封闭. 定义 1.9

设 F 是一个非空集类. 若 F 对可列并和余运算封闭, 则称 F 为

 -代数. 例 2

显然 P ( X ) 是  -代数, 这是 X 上的最大的  -代数. 由 Æ 和 X 两个集

构成的集类 {Æ, X } 也是一个  -代数. 利用下面的定理 1.16 的结论 (2) 知道, 若 F 是 X 上的一个  -代数, 则必有 {Æ, X } Ì F. 因此 {Æ, X } 是 X 上的最小  -代数. 例 3

设 X 是一个无限集. 例 1 中的 A 对可列并运算不封闭. 事实上, 由于

X 是无限集, 根据定理 1.7, X 包含一个可列子集. 设 A  {a1 , a 2 ,  , a n , } 是 X 的可列子集. 令 An = {a2 n } (n = 1, 2,). 则 An Î A (n ³ 1). 但 ¥

A n=1

n

= {a2 , a4 , } Ï A .

这表明 A 对可列并运算不封闭, 因此 A 不是  -代数. 若令

F = { A Ì X : A 或 AC 是可数集 }. 则 F 是 X 上的一个  -代数. 这个结论的证明留作习题. 定理 1.16

设 F 是一个  -代数. 则

(1) F 是代数.

(2) Æ, X Î F , 并且 F 对并运算, 交运算, 差运算和可列交运算封闭. 证明

由于

A1 È È A n = A1 È È A n È A n  , 即有限并可以表示成可列并, 因此 F 对有限并运算封闭, 从而 F 是代数. 由定 理 1.15 知道 X ,   F 并且 F 对有限交运算和差运算封闭. 根据 De Morgan 公式, 有

C

æ ¥ C ÷ö çç A ÷ . = A  n çè n=1 n ÷ø n=1 ¥

由此知道 F 对可列交运算封闭. ■ 结合  -代数的定义和定理 1.16 知道, 若 F 是一个  -代数, 则 F 对有限并 和可列并、有限交和可列交、差运算和余运算都封闭. 因此  -代数具有很好的运 算封闭性. 设C 是一个非空集类, 则 P (X ) 是一个包含C 的  -代数. 这表明至少存在一 个包含C 的  -代数. 令

F =  { F ¢ : F ¢ 是包含C 的  -代数 }. 容易证明 F 满足以下两条性质:

(1) F 是包含C 的  -代数; (2) 若 F ¢ 是一个包含C 的  -代数, 则 F Ì F .¢ 换言之, F 是包含C 的最小  -代数. 这个  -代数称为是由C 生成的  -代数, 记 为  (C ). 例 4

设C 是由 X 的单点子集的全体所成的集类. 则

 (C ) = { A Ì X : A 或 AC 是可数集}.

(1.13)

将(1.13)式右边所定义的集类记为 F . 显然 F ÉC . 不难验证 F 是一 个  -代数. 另一方面, 设 F  是任意一个包含C 的  -代数. 我们证明 F Ì F .¢ 设 证明

A Î F . 若 A 是可数集, 则 n

¥

i =1

i =1

A = {ai }, 或 A = {ai }, 其中 ai Î A. 由于每个单点集 {ai } ÎC Ì F ¢, 并且 F  对有限并和可列并运算封闭, 因 此 A Î F ¢. 若 A C 是 可 数 集 , 则 A C  F ¢. 由 于 F  对 余 运 算 封 闭 , 于 是

A  ( A C ) C  F . 这说明, 当 A Î F 时, 在两种情况下均有 A Î F ¢. 因此 F Ì F .¢ 综上所证, F 是包含C 的最小的  -代数. 即  (C )  F . ■ 例 5

证明  (C ) =  (C1 ), 其中

C = { A Ì X : A 是有限集 } ,

C1 = { A Ì X : A 或 AC 是 有限集 }. 证明

由于C  C1   (C1 ) , 并且  (C ) 是包含C 的最小  -代数, 因此

 (C )   (C1 ) . 往证相反的包含关系 . 设 A Î C1 . 则 A 或者 A C 是有限集 . 若 A 是有限集 , 则 A Î C   (C ). 若 A C 是有限集, 则 A C  C   (C ). 于是 A = ( AC )C Î  (C ). 这

表明C1   (C ). 于是 这就证明了  (C ) =  (C1 ). ■

 (C1 )   (C ).

例 6

设 C = {(a, b]: -¥ < a < b < +¥} 是 直 线 上 左 开 右 闭 区 间 的 全 体 ,

x0 Î R1. 则对任意 A Î σ (C ) , 有 x0 + A Î σ (C ). 其中 x0 + A = {x0 + x : x Î A}. 证明 令 F 是具有所述性质的子集的全体, 即

F = { A Ì R1 : x0 + A Î (C ) }. 先证明C Ì F . 若 (a, b] Î C , 则

x0 + (a, b] = ( x0 + a, x0 + b] ÎC Ì  (C ). 因此 (a, b] Î F. 这表明C Ì F . 再证明 F 是  -代数 容易证明以下等式

x0 + AC = ( x0 + A)C . ¥

¥

n=1

n=1

x0 +  An =  ( x0 + An )

(1.14) (1.15)

若 A Î F , 则 x0 + A Î  (C ). 由  (C ) 对余运算的封闭性知道 ( x0 + A)C Î  (C ). 再 利用 (1.14) 式知道 x0 + AC Î  (C ), 从而 AC Î F . 因此 F 对余运算封闭. 类似地, 利用(1.15) 容易知道 F 对可列并运算封闭. 从而 F 是  -代数. 既 然 F 是 包 含 C 的  - 代 数 . 而  (C ) 是 包 含 C 的 最 小  - 代 数 , 因 此

 (C )  F . 这说明若 A   (C ), 则 x0  A   (C ). ■ 例 6 的证明方法是测度论中常用的一种证明方法. 一般地说, 设C 是一个非 空集类. 如果要证明  (C ) 中所有的集都具有某种性质 P. 令

F = { A Ì X : A 具有性质 P } . 然 后 证明 : (1) . C  F ; (2). F 是一个  - 代数 . 于是由  (C ) 的最小性知道

 (C )  F . 即  (C ) 中所有的集都具有性质 P . 习 题

习题 1, 第 14-16 题.

§ 1.4

本节要点

R n 中的点集

由于欧氏空间 R n 上有距离结构, R n 中具有丰富多

样的点集.本节介绍 R n 上的一些具有特殊性质的集,例如开集,闭 集,Borel 集等.本节介绍了一个重要的集—Cantor 集. Cantor 集有一 些很特别的性质,在举例时常常用到. 通过本节的学习,熟悉 R n 上的各种各样的集,为本课程后面的 学习打下基础.利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容. 由于欧氏空间 R n 具有丰富的结构, 因此在 R n 中具有丰富多样的点集. 本节 将介绍 R n 中的一些常见的点集. 本节在一般的 n 维空间上讨论, 但读者不妨以 直线上或平面上的情形为特例, 将有助于对这些内容的理解. 1.4.1

R n 上的距离

设 n 是正整数. 由有序 n 元实数组的全体所成的集合 R n 称为 n 维欧氏空间, 即 R n = {x = ( x1 , , xn ) : x1 , , xn Î R1}. 其中 R1 , R 2 和 R 3 分别就是直线, 平面和三维空间. 熟知 R n 按照如下的加法和数 乘运算成为一个 n 维线性空间:

( x1 ,, xn ) + ( y1 ,, yn ) = ( x1 + y1 ,, xn + yn ), λ( x1 ,, xn ) = ( λx1 ,, λxn ). x = ( x1 , , xn ) 称为是 R n 中的点或向量 , 称 xi (i = 1, , n) 为 x 的第 i 个坐标 . 对

R n 中的任意两点 x = ( x1 , , xn ) 和 y = ( y1 , , yn ), 定义这两点之间的距离为 1

d ( x, y ) = (( x1 - y1 ) 2 +  + ( xn - yn ) 2 )2 .

(1.16)

由(1.15)式定义的 R n 上的距离具有以下性质:

(1) 非负性: d ( x, y ) ³ 0, d ( x, y )  0 当且仅当 x  y. (2) 对称性: d ( x, y ) = d ( y, x). (3) 三角不等式: d ( x, y ) £ d ( x, z ) + d ( z , y ). 利用 R n 上的距离可以定义 R n 中的点列的极限. 定义 1.11 设 {x k } 是 R n 中的一个点列, x  R n . 若

lim d ( x k , x)  0, k 

则称 {x k } 收敛于 x, 称 x 为 {x k } 的极限, 记为 lim x k  x, 或 xk  x (k  ¥). k 

在 R n 中点列的收敛等价于按坐标收敛. 即如果

x ( k ) = ( x1( k ) , , xn( k ) ), x = ( x1 , , xn ), 则 lim x ( k ) = x 的充要条件是对每个 i = 1, , n 有 lim xi( k ) = xi . 这是因为由距离的 k ¥

k ¥

定义容易知道,对 R n 中任意两点 x = ( x1 , , xn ) 和 y = ( y1 , , yn ) 有

max xi - yi £ d ( x, y ) £ x1 - y1 +  + xn - yn . 1£i£n

利用 R n 上的距离可以定义集与集的距离. 设 A 和 B 是 R n 的非空子集. 定义

A 与 B 的距离为 d ( A, B) = inf { d ( x, y ) : x Î A, y Î B}.

特别地, 若 x Î R , 称 d ( x, A) = inf { d ( x, y ) : y Î A} 为 x 与 A 的距离. n

设 A 是 R n 的非空子集. 若存在 M > 0 , 使得对任意 x Î A 有 d ( x, 0) £ M , 则 称 A 是有界集.

1.4.2 开集与闭集 定义 1.12 设 x0  R n ,   0. 称集

U ( x0 ,  )  { x Î R n : d ( x, x0 ) < ε } 为点 x0 的  -邻域 利用点的邻域可以定义 R n 中的各种点集. 先介绍开集. 定义 1.13 设 A Ì R n .

(1) 若 x0  A , 并且存在 x0 的一个邻域 U ( x0 ,  )  A, 则称 x0 为 A 的内点. (2) 若 A 中的每个点都是 A 的内点, 则称 A 为开集. (3) 由 A 的内点的全体所成的集称为 A 的内部, 记为 A . 由开集的定义知道 A 是开集当且仅当 A = A. 容易证明 A 是包含在 A 中的 最大的开集. 其证明留作习题. 例 如 , 每 个 开 区 间 (a, b), (-¥, a ), (a, ¥) 都 是 直 线 R1 上 的 开 集 . 若

x0  R n , r > 0 , 则 x0 的 r -邻域 U ( x0 , r ) 是 R n 中的开集. 因此 U ( x0 , r ) 又称为以 x0 为中心, 以 r 为半径的开球. 例 1

设 f ( x ) 是 定 义 在 R n 上 的 连 续 函 数 . 则 对 任 意 实 数 a,

{x Î R n : f ( x) > a} 和 {x Î R n : f ( x) < a} 都是开集. 证明

记 E = {x Î R n : f ( x) > a}. 设 x0 Î E , 则 f ( x0 ) > a. 由于 f ( x) 在 x0 连

续 , 存在  > 0, 使得当 x Î U ( x0 ,  ) 时 f ( x) > a. 换言之 U ( x0 ,  ) Ì E. 故 x0 是 E 的内点. 这就证明了 E 是开集. 类似地可以证明 {x Î R n : f ( x) < a} 是开集. ■ 例 1 中结论的逆也是成立的. 其证明留作习题. 定理 1.18 (开集的基本性质)

开集具有如下的性质:

(1) 空集  和全空间 R n 是开集. (2) 任意个开集的并集是开集.

(3) 有限个开集的交集是开集. (1). 显然. (2). 设 { A ,  Î I } 是 R n 中的一族开集. 若 x Î  A , 则存在

证明

 ÎI

 Î I 使得 x Î A . 因为 A 是开集, 存在 x 的一个邻域 U ( x,  ) 使得 U ( x,  ) Ì A . 于是更加有 U ( x,  ) Ì  A . 因此 x 是  A 的内点. 这表明  A 是开集.  ÎI

 ÎI

 ÎI

k

(3). 设 A1 ,, Ak 是开集. 设 x   Ai , 则 x Î Ai ( i = 1, , k ). 因为每个 Ai 是开 i =1

集 , 存 在  i  0,

使 得 U ( x,  i ) Ì Ai .

令  = min{1 , ,  k }.

k

k

k

i =1

i =1

i=1

则  0 并且

U ( x,  ) Ì  Ai . 因此 x 是  Ai 的内点. 这就证明了  Ai 是开集. ■ 注意 , 任意个开集的交集不一定是开集 . 例如对每个自然数 n, 开区间 ¥

(- 1n , 1n ) 是直线上的开集. 但是  (- 1n , 1n ) = {0} 不是开集. n=1

定义 1.14 设 A 是 R n 的子集.

(1) 设 x0  R n . 若对任意   0 , U ( x 0 ,  ) 中包含有 A 中的无限多个点, 则称 x0 为 A 的聚点(或极限点). (2) 由 A 的聚点的全体所成的集称为 A 的导集, 记为 A. (3) 若 A  A, 则称 A 为闭集. (4) 集 A È A¢ 称为 A 的闭包, 记为 A. 由闭集的定义知道 A 是闭集当且仅当 A = A. 容易证明 A 是包含 A 的最小的 闭集. 其证明留作习题. 例 如 , 每 个 闭 区 间 [a, b], (-¥, a ], [a, ¥) 都 是 直 线 R1 上 的 闭 集 . 若 x0 Î R n , r > 0, 记 S ( x0 , r ) = {x : d ( x, x0 ) £ r}. 则 S ( x0 , r ) 是 R n 中的闭集. 称 S ( x0 , r ) 为以 x0 为中心, 以 r 为半径的闭球. 又显然 有理数集 Q 的导集 Q ¢ = R1 , Q 的闭包 Q = R1 . 例 2 R n 中的有限集都是闭集. 这是因为若 A 是有限集, 则 A 没有聚点, 因 而 A¢ = Æ Ì A. 定理 1.19 (开集与闭集的对偶性) 设 A Ì R n . 则 A 是闭集的充要条件是 A C 是开集. 证明

必要性. 设 A 是闭集, 则对任意 x Î AC , x 不是 A 的聚点. 因此存在

x 的一个邻域 U ( x,  0 ) , 使得 U ( x,  0 ) 中至多只包含 A 中有限个点 . 设这些点为

x1 , , xk . 因为 x Ï A, 故 xi ¹ x ( i = 1,, k ). 令

 = min{d ( xi , x), i = 1, , k}. 则   0 并且 U ( x,  ) Ç A = Æ, 这就是说 U ( x,  )  A C . 因此 x 是 A C 的内点. 所以

A C 是开集. 充 分 性 . 设 A C 是 开 集 . 则 对 任 意 x Î AC , 存 在 x 的 一 个 邻 域 U ( x,  ), 使得

U ( x,  ) Ì AC . 即 U ( x,  ) 中没有 A 中的点 , 因此 x 不是 A 的聚点 . 这表明 A 的聚 点全部在 A 中, 即 A  A. 因此 A 是闭集. ■ 由于 A 与 AC 互为余集, 将定理 1.19 的结论用到 AC 上即知, A 是开集的充要 条件是 A C 是闭集. 例 3

设 f ( x) 是定义在 R n 上的连续函数 . 由例 1 知道 , 对任意实数 a,

{x Î R n : f ( x) < a} 是 开 集 , 因 此 其 余 集 {x Î R n : f ( x) ³ a} 是 闭 集 . 同 理 {x Î R n : f ( x) £ a} 也是闭集. ■ 由定理 1.18 和定理 1.9 并利用 De Morgan 公式, 立即可以得到闭集的基本性 质如下. 定理 1.20

闭集具有如下性质:

(1) 空集  和全空间 R n 是闭集.

(2) 有限个闭集的并集是闭集. (3) 任意个闭集的交集是闭集. 注意 , 任意个闭集的并不一定是闭集 . 例如 , 对每个自然数 n, 闭区间 ¥

[0, 1- n1 ] 是直线上的闭集. 但是  [0, 1- n1 ] = [0, 1) 不是闭集. n=1

n

定理 1.21 设 A Ì R . 则以下三项是等价的: (1) x Î A¢.

(2) 对任意  > 0, U ( x,  ) -{x} 中包含 A 中的点. (3) 存在 A 中的点列 {x k }, 使得 xk ¹ x (k ³ 1) 并且 x k  x. 证明

(1)  (2). 显然.

(2)  (3). 设 (2) 成立 . 则对每个自然数 k , U ( x, 1 k ) -{x} 中包含 A 中的点 . 在 这 些 点 中 任 取 一 点 记 为 xk , 则 {xk } 是 A 中 的 点 列 并 且 xk ¹ x (k ³ 1). 由 于

d ( xk , x) < 1 k , 因此 x k  x.

(3)  (1). 设 ( iii) 成立. 若 x Ï A¢, 则存在  0 > 0, 使得 U ( x,  0 ) 中只包含 A 中 的有限个点. 与定理 1.19 的证明类似, 此时必存在 0 <  <  0 , 使得 U ( x,  ) -{x} 中不包含 A 中的点. 这与 xk ¹ x (k ³ 1), xk  x 矛盾. 故必有 x  A. ■ 定理 1.22 设 A Ì R n . 则以下三项是等价的:

(1) x Î A.

(2) 对任意  > 0, U ( x,  ) 中包含 A 中的点.

(3) 存在 A 中的点列 {xk } 使得 x k  x. 证明

(1)  (2). 显然.

(2)  (3). 设 (2) 成立. 则对每个自然数 k , U ( x, 1 k ) 中包含 A 中的点. 在这 些点中任取一点记为 xk , 则 {xk } 是 A 中的点列, 并且 x k  x.

(3)  (1). 设 (3) 成立. 若 xk ¹ x (k ³ 1). 则由定理 1.21 知道 x  A. 若存在 k0 使得 xk0 = x, 则 x Î A . 在两种情况下, 均有 x  A. ■ 定理 1.23 设 A Ì R n . 则 A 是闭集的充要条件是 A 中任意收敛点列的极限属 于 A. 证明

必要性 . 设 A 是闭集 . 若 {x k } 是 A 中的点列并且 x k  x, 则由定理

1.22 知道 x  A. 由于 A 是闭集, A = A . 因此 x  A . 充分性. 设 x  A. 由定理 1.21, 存在 A 中的点列 {xk } 使得 x k  x. 由假定条 件, 此时 x  A . 这表明 A  A. 因此 A 是闭集. ■ 定理 1.23 反映了闭集的本质特征, 以后会经常用到. 例如, 读者可以尝试利 用定理 1.23 重新证明例 3 中的 {x Î R n : f ( x) ³ a} 是闭集. 下面再给出一个例子. 例 4 设 f ( x) 是定义在区间 [a, b] 上的连续函数. 则曲线 y = f ( x) 即

A = {( x, y ) Î R 2 : a £ x £ b, y = f ( x)} 是 R 2 中的闭集. 证明 设 {( xk , yk )} 是 A 中的点列 , ( xk , yk )  ( x, y ). 则 xk  x, yk  y. 由 于 ( xk , yk ) Î A, 对每个 k 有 a £ xk £ b 并且 yk = f ( xk ). 于是 a £ x £ b. 利用 f ( x) 的连续性得到

y = lim yk = lim f ( xk ) = f ( x). k ¥

k ¥

因此 ( x, y ) Î A. 根据定理 1.23, A 是闭集. ■ 定义 1.15 设 A Ì R n .

(1) 设 E Ì R n . 若 A É E , 则称 A 在 E 中稠密. 特别地, 若 A  R n , 则称 A 是 R n 的稠密子集.

(2) 若 ( A ) = Æ, 则称 A 为疏朗集. 例如, 由于 Q = R1 , 因此有理数集是 R1 的稠密子集. 又 [0, 1] 中的有理数的 全体在 [0, 1] 中稠密. 由于 (Z) = Æ, 因此整数集 Z 是疏朗集. 定理 1.24 设 A, E Ì R n . 则以下几项等价:

(1) A 在 E 中稠密. (2) 对任意 x  E 和   0, U ( x,  ) 中包含 A 中的点. (3) 对任意 x  E , 存在 A 中的点列 {x k } 使得 x k  x. 证明

根据定义 , A 在 E 中稠密就是说 E 中的每个点都属于 A. 利用定理

1.22 即知 (1), (2) 和 (3) 是等价的. ■ 注 1 若 A 是疏朗集 , 则 A 无内点 . 因此对任意 x Î R n 和  > 0, 不成立

A É U ( x,  ), 即 A 在 U ( x,  ) 中不是稠密的. 因此疏朗集又称为无处稠密集.

R n 上的连续函数

1.4.3

在数学分析中, 常见的连续函数是定义在直线上的区间或 R n 中的区域上的. 在实变函数中经常要讨论定义在 R n 的任意子集 E 上的连续函数. 设 E Ì Rn ,

定义 1.16

f ( x) 是定义在 E 上的实值函数. 又设 x0  E . 若对

于任意给定的   0 , 存在相应的   0 , 使得当 x  E 并且 d ( x, x 0 )   时, 有 f ( x)  f ( x0 )   ,

则称 f ( x) 在 x0 处连续. 若 f 在 E 上的每一点处都连续, 则称 f 在 E 上连续. E 上 的连续函数的全体记为 C ( E ). 容易证明, f 在 E 上连续的充要条件是, 对 E 中的任意点列 {xk }, 若 xk  x 并且 x  E , 则 lim f ( xk ) = f ( x). k ¥

与例 1 对照, 对于定义在 E 上的连续函数, 有如下结果. 例 5

设 E  R n , f (x) 是 E 上的连续函数. 则对任意实数 a, 存在 R n 中的开

集 G 使得

{x Î E : f ( x) > a} = E Ç G. 证明

(1.18)

设 a 是实数 . 记 Ea = {x Î E : f ( x) > a}. 若 x Î Ea , 则 f ( x) > a. 由于

f 在 点 x 处连续 , 存在 x 的邻域 U ( x,  x ) , 使得当 y  U ( x,  x ) 并且 y  E 时 , f ( y ) > a. 这说明当 x Î Ea 时 E Ç U ( x,  x ) Ì Ea . 令G=

 U ( x, 

x

(1.19)

), 则 G 是一族开集的并, 因而是开集. 由(1.19)式知道

x Î Ea

E ÇG =

 ( E Ç U ( x, 

x

)) Ì Ea .

xÎ E a

另 一 方 面 , 对 每 个 x Î Ea 有 x Î U ( x,  x ) Ì G, 从 而 Ea Ì G. 又 Ea Ì E , 因 此

Ea Ì E Ç G . 这就证明了(1.18)式成立. ■ 设 {x k } 是 R n 中的一个点列. 若存一个有界集 A 使得 xk Î A (k ³ 1), 则称 {x k } 是有界点列. 为考察有界闭集上的连续函数的性质, 我们要利用数学分析中的熟 知的如下定理. 定理 1.25 (Bolzano-Weierstrass)

R n 中的每个有界点列存在收敛子列.

利用定理 1.25, 仿照数学分析课程中关于闭区间上连续函数性质的证明, 可 以证明如下事实:

设 K 是 R n 中的有界闭集, f ( x) 是 K 上的连续函数. 则

(1)

f (x) 在 K 上是有界的.

(2) f (x) 在 K 上取得最大值和最小值.

(3) f ( x) 在 K 上是一致连续的. 即对于任意给定的  > 0, 存在相应的   0, 使得对任意 x ¢, x ¢¢ Î K , 当 d ( x , x )   时, 有 f ( x )  f ( x )   . 设 E Ì R n , f ( x), f k ( x) (k ³ 1) 是定义在 E 上的函数 . 若对任意   0 , 存在 N > 0 使得当 k > N 时 , 对一切 x  E 成立 f k ( x) - f ( x) <  , 则称 { f k ( x)} 在 E

上一致收敛于 f ( x). 与在区间 [a, b] 上的情形一样的可以证明, 若 { f k ( x)} 是 E 上 的一列连续函数, 并且在 E 上一致收敛于 f ( x), 则 f ( x) 是 E 上的连续函数.

1.4.4 开集的构造 R n 中的开集可以用更简单的集表示出来. 先看直线 R1 上的情形. 设 A 是直线上的开集, ( a, b) 是一个有界或无界开区间. 若 ( a, b) Ì A , 并且 区 间 的 端 点 a 和 b 不 属 于 A , 则 称 ( a, b ) 为 A 的 一 个 构 成 区 间 . 例 如 , 若

A = (0, 2) È (3, 4), 则 (0, 2) 和 (3, 4) 都是 A 的构成区间, 但 (0, 1) 不是. 定理 1.26 (直线上开集的构造)

直线上的每个非空开集都可以表示成可数

个互不相交的开区间的并(这里也包括像 (-¥, b), (a, + ¥) 和 (-¥, + ¥) 这样的 无界开区间). 证明

设 A 是直线上的开集. 分几个步骤.

(1). 证明 A 中的每一点, 必属于 A 的一个构成区间. 事实上, 任意 x  A, 由 于 A 是开集, 故存在开区间 ( ,  ) 使得 x  ( ,  )  A . 令 a = inf { : ( , x) Ì A} , b = sup { β : ( x, β ) Ì A}.

(这里 a 可以是 -¥, b 可以是 +¥ ), 显然 x Î ( a, b). 现在证明 ( a, b) 是 A 的构成 区间. 设 x ¢ Î ( a, b ), 不妨设 a  x   x. 由 a 的定义, 存在  使得 a    x , 并且

( , x) Ì A. 于是 x ¢ Î ( , x) Ì A . 这表明 ( a, b) Ì A . 再证 a, b  A . 事实上 , 若 a  A , 因为 A 是开集 , 必存在   0 使得 ( a -  , a +  ) Ì A . 于是 (a -  , x) Ì A.

这与 a 的定义矛盾. 所以 a  A . 类似可证 b  A .

(2). 证明 A 的构成区间只有可数个. 事实上, 设 ( a1 , b1 ) 和 ( a2 , b2 ) 是两个不 同的构成区间. 若 ( a1 , b1 ) 和 ( a2 , b2 ) 相交, 则必有一个区间的端点包含在另一个 区间中. 不妨设 a2 Î (a1 , b1 ), 则 a2 Î A. 这与 ( a2 , b2 ) 是 A 的构成区间矛盾. 所以

( a1 , b1 ) 和 ( a2 , b2 ) 不相交. 由 § 1.2 例 11 知道, A 的构成区间只有可数个. 于是 A 的构成区间的全体可以编号为 (ai , bi ) ( i  1, , k 或 i = 1, 2,  ).

( 3). 证明 A =  (ai , bi ). 事实上 , 由于每个 ( ai , bi ) Ì A, 因此  ( ai , bi ) Ì A. i

i

另一方面 , 由结论 (i), 对每个 x  A , 存在一个构成区间 (ai , bi ) 使得 x  ( ai , bi ). 于是 x   ( ai , bi ), 从而 A Ì  ( ai , bi ). 这就证明了 A =  (ai , bi ). ■ i

i

i

现在看 R n (n ³ 2) 上的情形. 设 (a1 , b1 ], , (an , bn ] 是 n 个左开右闭区间, 称这 n 个区间的直积 (a1 , b1 ]´´ (an , bn ] 为 R n 中的半开方体.

定理 1.27

R n 中的每个非空开集都可以表示为可列个互不相交的半开方体

的并 证明

略(见教材). ■

1.4.5 Borel 集 上面已经给出了 R n 中有界半开方体的定义. 现在定义 R n 中一般的方体. 设

I 1 ,, I n 是直线上的(有界或无界的)区间. 称 R n 的子集 I1 ´´ I n = {( x1 , , xn ) : x1 Î I1 ,  , xn Î I n }

为 R n 中的方体. 若每个 I i 都是开区间, 则称 I1 ´´ I n 为 R n 中的开方体. 若每个

I i 都是闭区间, 则称 I1 ´´ I n 为 R n 中的闭方体. 容易证明开方体是开集, 闭方 体是闭集. 显然直线, 平面和三维空间中的方体分别就是区间, 矩形和长方体. 不过这 里的方体比通常意义下的矩形 , 长方体更广泛一些 . 例如在 R 2 中也包括像

(0, 1)´ (-¥, ¥) 和 [0, ¥)´[0, ¥) 这样的无界矩形. 定义 1.17

设 C 是 R n 中开集的全体所成的集类 . 称 σ (C ) 为 R n 中的 Borel

 -代数, 记为 B (R n ). 称 B (R n ) 中的集为Borel集. 简单地说, Borel 集可以看成是开集经过有限或可列并, 交, 差和余运算得到 的集. 定理 1.28 证明

R n 中的开集, 闭集, 可数集, 各种类型的方体都是 Borel 集.

由定义知道开集是 Borel 集. 由于 B (R n ) 对余运算封闭, 而闭集是开

集的余集, 故闭集是 Borel 集. 因为单点集是闭集, 所以单点集是 Borel 集. 由于 可数集可以表示成单点集的有限并或可列并, 而 B (R n ) 对有限并和

可列并运

算封闭, 所以可数集是 Borel 集. 由于开方体是开集, 闭方体是闭集, 因此开方体 和闭方体是 Borel 集. 对于其他类型的方体, 不妨以 R 2 中的方体 (a, b]´(c, d ) 为 例. 由于 ¥

(a, b]´(c, d ) =  (a, b + 1 )´(c, d ) , n n=1 上式右边是一列开方体的交, 它们都是 Borel 集, 从而形如 (a, b]´(c, d ) 方体是

Borel 集. 类似可证明其它类型的方体都是 Borel 集. ■

特别地, 由于有理数集是可列集, 而无理数集是有理数集的余集, 因此有理 数集和无理数集都是 Borel 集. 设 A  R n . 若 A 可以表示为一列闭集的并, 则称 A 为 F 型集. 若 A 可表示 为一列开集的交, 则称 A 为 G 型集. 显然 Fσ 型集和 Gδ 型集都是 Borel 集. 定理 1.28 和上面的例子表明, R n 中一些常见的集都是 Borel 集. 但在 R n 中 确实存在不是 Borel 集的子集, 但这样的例子不是容易给出的. 我们将在 § 3.1 中 给出一个例子.

1.4.6 Cantor 集 下面要介绍的 Cantor(三分)集是用精巧的方法构造出来的一个很特别的集.

Cantor 集有一些重要特性. 在构造一些重要反例时会用到这个集. 例 6 (Cantor 集)

æ1 2 ö 将区间 [ 0, 1] 三等分, 去掉中间的一个开区间 çç , ÷÷÷. 将 çè 3 3 ø

é 1ù é 2 ù 剩下的部分 ê 0, ú È ê , 1ú 记为 F1 . 将 F1 中的两个闭区间都三等分, 去掉中间的开 êë 3 úû êë 3 úû æ1 2ö æ7 8ö 区间 çç , ÷÷÷ 和 çç , ÷÷÷ , 将剩下的部分记为 F2 , 即 çè 9 9 ø çè 9 9 ø é 1 ù é 2 3ù é 6 7 ù é 8 ù F2 = ê 0, ú È ê , ú È ê , ú È ê , 1ú . êë 9 úû êë 9 9 úû êë 9 9 úû êë 9 úû |

(

)

(

)

(

)

|

0

1 9

2 9

1 3

2 3

7 9

8 9

1

图 1.5

依次进行, 一般地在作出 Fn-1 后, 将将 Fn-1 中的每个闭区间都三等分, 去掉 中间的开区间, 将剩下的部分记为 Fn . 这样一直做下去得到一列集 {Fn }. 其中 Fn 是 2 n 个互不相交的闭区间的并, 每个闭区间的长为

¥ 1 . 最后令 K = Fn . 这样  3n n=1

作出的集 K 称为 Cantor 集(如图 1.5 ). 在构造 Cantor 集时从 [ 0, 1] 中去掉的那些 开区间称为 Cantor 集的邻接开区间. 将这些开区间的并记为 G, 则 K = [0, 1] - G.

Cantor 集 K 具有如下的性质: (1). Cantor 集是闭集. 由于每个 Fn 中的每个闭区间的端点始终是不会去掉 的 , 这些点属于 K , 因此 K ¹ Æ. 由于每个 Fn 都是闭集 , 而 K 是一列闭集的交 , 故 K 是闭集.

(2) Cantor 集无内点. 设 x  K . 对任意   0, 存在 n 使得

1 < 2 . 由于 Fn 3n

1 的闭区间的并, 故 ( x -  , x +  ) 不能完全被包含在 3n Fn 中. 于是 ( x -  , x +  ) 更加不能完全被包含在 K 中. 因此 x 不是 K 的内点. 这

是 2n 个互不相交的长度为 表明 K  = Æ.

(3). K = K ¢ ( 一 般 地 , 若 A¢ = A , 则 称 A 是 完 全 集 ). 由 于 K 是 闭 集 , 故

K ¢ Ì K . 另一方面 , 设 x Î K , 则 x Î Fn (n = 1, 2,). 对任意  > 0, 存在 n 使得 1 1 <  . 由 于 x Î Fn , 故 x 属 于 Fn 中 的 某 个 长 n 为 的 闭 区 间 , 记 其 为 I , 则 n 3 3

I Ì ( x -  , x +  ). 由于 I 的两个端点属于 K , 其中至少有一个不是 x. 这表明 x 的任何去心邻域中都包含有 K 中的点. 因此 x Î K ¢. 从而 K Ì K ¢. 所以 K = K ¢.

(4). Cantor 集的邻接开区间的长度之和为 1. 事实上, 在第 n 次步骤得到 Fn 1 时, 去掉了 2 n 1 个长度为 n 的开区间. 因此去掉的那些开区间的长度之和为 3 n-1 ¥ 2 n-1 1 ¥ æç 2 ö÷ = å ç ÷÷ = 1. å n 3 n=1 çè 3 ø n=1 3 (5). Cantor 集具有连续基数 c. 设 K 0 是所有 Fn 的左端点的全体, 则 K 0 是可 列集. 由 Cantor 集的构造知道, x Î K - K 0 当且仅当 x 可以表示为三进制无限小 数

x=

a a1 a2 + 2 + + nn + , 1 3 3 3

其中 ai = 0 或 2. 设 A 是二进制无限小数的全体, 则 A = (0, 1] = c. 作映射

 : K - K 0  A, ¥

x=å i =1

ai

3i

¥

 x¢ = å i =1

ai 1 , 2 2i

则  是 K - K 0 到 A 的一一对应的映射. 故 K - K 0 = A = c. 根据定理 1.11 得到

K = ( K - K 0 ) È K 0 = K - K 0 = c. 习 题

习题 1, 第 17 题-第 29 题.

■

第2章

Lebesgue 测度

为了建立一种新的积分理论, 我们必须对直线, 平面或空间上的相当广泛的 一类集, 给出一种类似于长度, 面积面积或体积的度量. 这种新的度量应该满足 什么条件呢? 以一维情形为例. 我们希望对任意 A Ì R1 , 给予 A 一种度量, 我们 称之为测度, 记为 m( A). 既然 m( A) 是长度的推广, 它应满足如下的性质:

(1) 非负性: m( A) ³ 0 . (2) 有限可加性: 若 A1 ,  , Ak 是互不相交的集, 则 æk ö k m çç Ai ÷÷ = å m( Ai ). çè i=1 ÷ø i=1

(3) 可列可加性: 若 { Ak } 是 R1 中的一列互不相交的集, 则 æ¥ ö ¥ m çç Ak ÷÷÷ = å m( Ak ). èç k =1 ø k =1

(2.1)

(4) m([a, b]) = b - a. 在上述的性质中, 性质 (3) 是最重要的. 测度的可列可加性 Lebesgue 积分理论成 功的关键. 注

(2.1)式的两端的值允许为 +¥ . (2.1)式表示当等式的一端取有限值时,

另一端也有取有限值, 并且两端相等. 当一端取值为 +¥ 时, 另一端也为 +¥ . 以后遇到类似的等式, 都应这样理解. 我们当然希望能够对 R n 的所有子集都能定义测度 , 并且满足上述的性质

(1) ~ (4). 但已经证明这是不可能的. 我们只能对 R n 中的一部分集即所谓“ 可测 集”定义测度. 这种可测集是相当广泛的一类集, 包含了所有常见的集, 例如有 限集或可列集, 各种方体, 开集和闭集等, 以及这些集经过有限或可列并, 交和 余运算所得的集. 因此在应用上是足够了.

§ 2.1 本节要点

外测度

本节给出了外测度的定义,讨论出外测度的基本性

质,并且计算了可数集和方体的测度. 外测度具有次可列可加性,平移不变性,方体的外测度等于方体 的体积,这些说明外测度具有一些与长度,面积和体积等类似的性 质.外测度是建立可测集和测度理论的第一步. 定义外测度的想法来源于面积的计算 . 在计算平面上一个曲边梯形的面积 的时候, 我们用该曲边梯形的外接阶梯形或内接阶梯形的面积逼近曲边梯形的

面积. 实际上就是用很多小的矩形的面积之和逼近曲边梯形的面积. 自然地我们 应该将这种方法用于直线, 平面或一般 n 维空间 R n 中的任意点集. 设 I 是直线上的一个有界区间, I  (a, b) (或 [a, b] (a, b], [a, b) ), 规定 I 的长 度为 I = b - a. 若 I 是无界区间, 则规定 I = +¥. 设 I1 , I 2 ,  , I n 是直线上的 n 个区间(有界或无界), I = I1 ´ I 2 ´´ I n 是 R n 中 的方体. 称 I = I1 I 2  I n

为 I 的体积. 为方便起见, 规定空集  也算作是方体并且   0. 按照这个规定, 无界方体的体积为 +¥. 例如,

(a, b)´ (c, d ) = (b - a )(d - c), [0, 1]´[0, ¥) = +¥. 由于方体的体积和下面将要定义的外测度允许取 +¥ 为值, 因此在体积和 外测度相加时, 可能会出现某些项为 +¥ 的情形. 我们作以下规定: a + (+¥) = +¥ + a = +¥ ( a 为实数),

(+¥) + (+¥) = +¥ . 此外, 数列的极限允许为 +¥. 级数的和也允许为 +¥. 按照这个规定, 单调增 ¥

加数列 {an } 的极限 lim an 和正项级数的和 å an 总是存在的(可能是有限值, 也可 n¥

n =1

能是 +¥ ). 在不会引起混淆的情况下, +¥ 通常可以简记为 ¥ . 设 A Ì R n . 若 {I k } 是 R n 上的有限个或一列开方体, 使得 k0

¥

k =1

k =1

A Ì  Ik , 或 A Ì  Ik , 则称 {I k } 是 A 的一个开方体覆盖. 由于有限并总可以写成可列并(只要令 I k = Æ k0

¥

¥

k =1

k =1

k =1

( "k > k0 ), 则  I k =  I k ). 因此不妨只考虑 A Ì  I k 的情形 . 换言之 , 以后在 说到可列覆盖的时候, 也包括了有限覆盖的情形. 定义 2.1 对每个 A Ì R n , 令 ¥

m ( A) = inf { å I k : {I k } 是 A 的开方体覆盖 }. *

(2.2)

k =1

称 m* ( A) 为 A 的 Lebesgue 外测度, 简称为外测度. 由外测度的定义知道 , 对任意 A Ì R n , m* ( A) ³ 0. 若对 A 的任意开方体覆 ¥

盖 {I k }, 总有 å I k = ¥, 则 m* ( A) = ¥ . 因此一般地, 0 £ m* ( A) £ ¥. k =1

外测度是通过下确界定义的. 由下确界的意义, 直接得到以下两点经常用到 的事实:

¥

(1) 对 A 的任意一个开方体覆盖 {I k } 有 m ( A) £ å I k . *

k =1

¥

å

(2) 对任意  > 0, 存在 A 的一个开方体覆盖 {I k } 使得

k =1

I k < m* ( A) +  .

*

n

例 1 若 A 是 R 中的可数集, 则 m ( A) = 0. 证明 为叙述简单计, 只证 R1 中的情形, R n 中的情形可类似证明 不妨只 证 A 是可列集的情形. 设 A = {a1 , a2 ,} 是可列集. 对任意    , 开区间列

( a - 2 k

k +1

, ak +

 2 k +1

)

( k = 1, 2,  )

是 A 的一个开区间覆盖. 因此 ¥

(

m * ( A) £ å ak k =1

 2

, ak + k +1

 2

)

k +1

¥

=å k =1

 2k

=.

由   0 的任意性得到 m* ( A) = 0. ■ 由例 1 知道, 若 Q 是有理数集, 则 m* (Q) = 0. 定理 2.1

外测度具有如下性质:

(1) m* (Æ) = 0. (2) 单调性: 若 A Ì B, 则 m* ( A) £ m* ( B). (3) 次可列可加性: 对 R n 中的任意一列集{ Ak } 有 m*

¥

¥

(  A ) £ å m ( A ). k

k =1

证明

*

k

(2.3)

k =1

(1). 由于  也算作是方体, 并且 Æ = 0, 因此 {Æ} 是空集  的一个开

方体覆盖, 并且 m* (Æ) £ Æ = 0. 从而 m* (Æ) = 0.

(2). 设 A Ì B. ¥

å k =1

存 在 B 的 一 个 开 方 体 覆 盖 {I k },

对 任 意 ε > 0,

使得

I k < m* ( B) +  . 既然 A Ì B, {I k } 也是 A 的开方体覆盖. 因此 ¥

m* ( A) £ å I k < m* ( B) +  . k =1

*

*

由 ε 的任意性得到 m ( A) £ m ( B).

(3). 不妨设 m* ( Ak ) < ¥ ( k ³ 1) ( 否则 (2.3) 显然成立 ). 对任意  > 0 和每个 k ³ 1, 存在 Ak 的一个开方体覆盖 {I k , i }i³1 , 使得 ¥

åI i =1

k, i

£ m * ( Ak ) +

 2k

.

¥

由于 { I k , i , k , i ³ 1} 是  Ak 的一个开方体覆盖, 由(2.4)式得到 k =1

¥ æ ö ¥ ¥ æ ö ¥ m * çç Ak ÷÷÷ £ åå I k , i £ å ççm * ( Ak ) + k ÷÷÷ = å m* ( Ak ) +  . ç 2 ø k =1 èç k =1 ø k =1 i=1 k =1 è ¥

由于  是任意的, 因此得到(2.3). ■

(2.4)

注

外测度也具有次有限可加性 . 事实上 , 利用外测度的次可列可加性和

*

m (Æ) = 0, 我们有 m* ( A1 È  È Ak ) = m* ( A1 È  È Ak ÈÆ È ) £ m* ( A1 ) +  + m* ( Ak ) + m* (Æ) +  = m* ( A1 ) +  + m* ( Ak ). 定理 2.2

若 I 是 R n 中的方体, 则 m* ( I ) = I .

证明 为叙述简单计, 只证 R1 中的的情形. 在 R n 中的情形其证明思想是一 样的 . 设 I  [a, b] 为一有界闭区间 . 对任意   0 , 开区间 (a   , b   ) 是 I 的一 个开区间覆盖. 因此 m* ( I ) £ (a - ε , b + ε ) = b - a + 2ε.

由 ε 的任意性得到 m* ( I ) £ b - a = I . 现在证明反向不等式. 对任意  > 0, 存在 ¥

I 的一个开区间覆盖 {I k } 使得 å I k < m* ( I ) +  . 根据有限覆盖定理, 存在 {I k } k =1

k0

的一个有限子列, 不妨设其为 {I1 ,  , I k 0 }, 使得 I Ì  I k . 于是 k =1

k0

¥

k =1

k =1

I £ å I k £ å I k < m* ( I ) +  .

由 ε 的任意性得到 I £ m ( I ). 因此当 I  [a, b] 时, m* ( I ) = I . 现在设 I 为任一 *

有 界 区 间 . 则 存 在 有 界 闭 区 间 I1 和 I 2 使 得 I 1  I  I 2 ,

并 且

I - I1 < ε , I 2 - I < ε. 由外测度的单调性和对有界闭区间证明的结果得到 I - ε £ I1 = m* ( I1 ) £ m* ( I ) £ m* ( I 2 ) = I 2 < I + ε.

由   0 的 任 意 性 即 得 m* ( I ) = I . 现 在 设 I = [a, ¥) 为 一 无 界 区 间 . 对 任 意

k  0, 由于 [a, a + k ] Ì [a, ¥), 因此 k = m* [a, a + k ] £ m* [a, ¥). 由 k 可以任意大, 这表明 m* [a, ¥) = ¥. 类似可证其它类型的无界区间的外测度 为 ¥. 总之, 任何区间的外测度等于该区间的长度. ■ 例 2 (外测度的平移不变性) 设 E Ì R n . 则对任意 x0  R n 有

m* ( x0 + E ) = m* ( E ), 其中 x0 + E = {x0 + x : x Î E}. 证明

若 {I k } 是 E 的开方体覆盖, 则 {x0 + I k } 是 x0 + E 的开方体覆盖. 由于

方体的体积是平移不变的, 故 ¥

¥

m* ( x0 + E ) £ å x0 + I k = å I k . k =1

k =1

*

对 E 的所有开方体覆盖取下确界得到 m ( x0 + E ) £ m* ( E ). 由于 E 可以看成是

x0 + E 经过 -x0 的平移得到, 因此又有 m* ( E ) £ m* ( x0 + E ), 从而

m* ( E ) = m* ( x0 + E ).

■

对一个集作数乘变换有类似的结果. 例 3 设 E Ì R n . 则对任意实数  有 n

m* ( E ) =  m* ( E ),

(2.5)

其中  E = { x : x Î E}. 当  = 0 时(2.5) 显然成立. 现在设  ¹ 0. 显然若 I 是 R n 中的方体 , 则

证明

I = 

n

n

I . 与例 2 类似可以证明 m* ( E ) £  m* ( E ). 另一方面, n

m* ( E ) = m* ( -1 E ) £  -1 m* ( E ) =  n

故  m* ( E ) £ m* ( E ). 因此(2.5)式成立. ■ 习 题

习题 2, 第 1 题-第 4 题.

-n

m* ( E ).

§ 2.2

本节要点

可测集与测度

外测度不具有可加性.为避免外测度的缺陷导出了

可测集的概念.测度是外测度在可测集上的限制.然后讨论了可测集 和测度的性质. 可测集具有很好的运算封闭性.测度具有与长度,面积和体积类 似的性质,而且测度对 R n 上的相当广泛的一类集即可测集给出了度 量.因此测度是长度,面积和体积概念的推广.测度理论为 Lebesgue 积分理论打下关键的基础.

可测集的定义

2.2.1

在§2.1 中引入的外测度 m* 虽然具有一些与长度, 面积和体积类似的性质. 但外测度不具有有限可加性, 即存在 A, B Ì R n , 使得 A Ç B = Æ, 但是 m* ( A È B) ¹ m* ( A) + m* ( B ) 思路: 希望把外测度限制在满足某种条件的所谓“好”的集上, 使其具有可加 性. 所谓“好”的集的应满足的条件. (1). 这些“好”的集的全体 M 是一个  -代数. (2) 包含一些常见的集, 例如所有方体. 在这种条件下, 我们看看 M 中的集应该满足什么样的条件. 设 E Î M . 对任意 方体 I , 由于 I Î M , 因此 I Ç E , I Ç E C Î M . 显然 I 是 I Ç E 和 I Ç E C 的不相交 并, 即

( I Ç E ) Ç( I Ç E C ) =Æ, ( I Ç E ) È( I Ç E C ) = I . 既然 m* 在 M 上具有可加性, 此时应有

m* ( I ) = m* ( I Ç E ) + m* ( I Ç E C ).

(2.6)

以上分析表明 , E Î M 的必要条件是对任意方体 I , (2.6) 式成立 . 我们证明条件

(2.6)实际上等价于一个更强的条件. 引理 2.1

设 E Ì R n . 则(2.6)式对任意开方体 I 都成立的充要条件是对任意

A Ì Rn 有 m* ( A) = m* ( A Ç E ) + m* ( A Ç E C ).

(2.7)

(参见图 2.1). 证明 只需证明必要性. 设(2.6)式成立. 对任意    存在 A 的一个开方体 ¥

覆盖 {I k } , 使得 å I k < m* ( A) +  . 由于 k =1

E A  EC

A E

A 图 2.1 ¥ æ¥ ö A Ç E Ì çç I k ÷÷÷ Ç E =  ( I k Ç E ), èç k =1 ø k =1 ¥ æ ¥ ÷ö C ç A Ç E Ì ç I k ÷ Ç E =  ( I k Ç E C ), çè k =1 ÷ø k =1 C

由外测度的次可列可加性, 得到 ¥

¥

m* ( A Ç E ) £ å m* ( I k Ç E ),

m* ( A Ç E C ) £ å m* ( I k Ç E C ) .

k =1

k =1

利用以上两式和(2.6)式得到 ¥

¥

k =1

k =1

m * ( A Ç E ) + m* ( A Ç E C ) £ å m* ( I k Ç E ) + å m* ( I k Ç E C ) ¥

= å éëê m* ( I k Ç E ) + m* ( I k Ç E C )ùûú k =1 ¥

¥

k =1

k =1

= å m* ( I k ) = å I k < m* ( A) +  . 由  的任意性得到

m* ( A Ç E ) + m* ( A Ç E C ) £ m* ( A).

（2.8）

另一方面, 由于 A = ( A Ç E ) È ( A Ç E C ) ， 由于外测度的次有限可加性得到

m* ( A) £ m* ( A Ç E ) + m* ( A Ç E C ).

（2.9）

综合(2.8), (2.9)两式得到(2.7). ■ 从以上讨论知道, 若要求 m* 限制在 M 上具有可加性, 则 M 中的集要满足 的必要条件是(2.6). 条件(2.7)与(2.6)等价但在形式上更具有一般性, 因此我们宁 愿采用 (2.7)式. 我们将看到 (2.7)式这个条件也是充分的. 下面我们就根据 (2.7) 式这个条件给出可测集的定义. 定义 2.2

设 E Ì R n . 若对任意 A Ì R n , (2.7)式成立, 则称 E 是 Lebesgue 可

测集. 若 E 是 Lebesgue 可测集, 则称 m* ( E ) 为 E 的 Lebesgue 测度, 记为 m( E ) .

Lebesgue 可测集和 Lebesgue 测度可以分别简称为可测集和测度. R n 中的可 测集的全体所成的集类记为 M (R n ) . 等式(2.7)称为 Caratheodory 条件(简称为卡氏条件). 由于不等式(2.9)总是成 立的，因此卡氏条件等价于对任意 A Ì R n 有

m* ( A) ³ m* ( A Ç E ) + m* ( A Ç E C ).

显然空集  和全空间 R n 满足卡氏条件, 它们都是可测集. 以下是可测集的 一些例子. 例 1 A Ì Rn ,

若 m* ( E ) = 0, 则 E 是可测集 . 事实上 , 由于 m* 的单调性 , 对任意

m* ( A) = m* ( E ) + m* ( A) ³ m* ( A Ç E ) + m* ( A Ç E C ). 即 E 满足卡氏条件. 因此 E 是可测集. 由于 m( E ) = 0, 称 E 是零测度集. 例 2 A

零测度集的子集也是可测的. 事实上, 若 E 是零测度集, E1 Ì E , 则

m* ( E1 ) = 0. 由例 1 知道 E1 也是可测集. 例 3

有限集或可列集是可测集, 并且测度为零. 这是因为根据§ 2.1 例 1,

有限集或可列集的外测度为零，再由例 1 即知. 特别地, 有理数集 Q 是可测集， 并且 m(Q) = 0.

R n 中的每个方体 I 都是可测集, 并且 m( I ) = I .

定理 2.3

证明 设 J Ì R n 为任一方体. 则 J Ç I 仍是方体, 而 J Ç I C 可以表示为有限个 k

方体的 不相交并(图 2.2 是 R 上的情形). 设 J Ç I =  I i , 其中 I1， ，I k 是互不 2

C

i =1

相交的方体. J

J

I1

I1 I2

I4

J ÇI

J ÇI

I2

I I3

I 图 2.2

于是 k

J = ( J Ç I ) È ( J Ç I C ) = ( J Ç I ) È  Ii .

（2.10）

i =1

由外测度的次可加性有 k æk ö m* ( J Ç I C ) = m* çç I i ÷÷÷ £ å m* (I i ). çè i=1 ø i=1

（2.11）

由于体积是有限可加的, 利用(2.10), (2.11)两式得到 k

m* ( J ) = J = J Ç I + å I i i =1

k

= m* ( J Ç I ) + å m* (I i ) ³ m* ( J Ç I ) + m* ( J Ç I C ). i =1

*

*

*

另一方面, m ( J ) £ m ( J Ç I ) + m ( J Ç I C ), 因此

m* ( J ) = m* ( J Ç I ) + m* ( J Ç I C ).

（2.12）

根据引理 2.1, (2.12)式表明 I 满足卡氏条件. 因此 I 是可测的. 最后根据定理 2.2, m* ( I ) = I , 也就是 m( I ) = I . ■

这里顺便指出证明区间 [0, 1] 不是可列集的另一方法. 由例 3 知道可列集的 测度为零. 但根据定理 2.3, m([0, 1]) = 1, 因此 [0, 1] 不是可列集.

2.2.2 可测集与测度的性质 k

(1) 若 E1 , , Ek 是可测集, 则  Ei 是可测集.

定理 2.4

i =1

(2)

若 E1 , , Ek 是互不相交的可测集, Ai Ì Ei ( i = 1,, k ). 则 k æk ö m* çç Ai ÷÷÷ = å m* ( Ai ). çè i=1 ø i=1

(2.13)

k æk ö m çç Ei ÷÷÷ = å m( Ei ). çè i=1 ø i=1

(2.14)

特别地,

即测度是有限可加的. 证明

(1). 先 证 明 当 k = 2 时 结 论 成 立 . 令 E = E1 È E2 . 注 意 到

E = E1 È ( E1C Ç E2 ), 利用 E1 和 E 2 的可测性, 对任意 A Ì R n , 我们有 m* ( A Ç E ) + m * ( A Ç E C ) £ éêë m* ( A Ç E1 ) + m* ( A Ç E1C Ç E2 )ùúû + m* ( A Ç E1C Ç E2C ) = m* ( A Ç E1 ) + éê m* (( A Ç E1C ) Ç E2 ) + m* (( A Ç E1C ) Ç E2C )ùú ë û * * C * = m ( A Ç E1 ) + m ( A Ç E1 ) = m ( A). 上式表明 E 满足卡氏条件 , 因此 E = E1 È E2 是可测集 . 重复利用这个结论知道 k

E i =1

i

是可测的.

(2). 先 证 明 当 k = 2 时 结 论 成 立 . 因 为 E1 和 E2 是 互 不 相 交 的 , 并 且 A1 Ì E1 , A2 Ì E2 , 所以 ( A1 È A2 ) Ç E2 = A2 , ( A1 È A2 ) Ç E2C = A1.

由于 E2 是可测的, 利用卡氏条件有 m* ( A1 È A2 ) = m* (( A1 È A2 ) Ç E2 ) + m* (( A1 È A2 ) Ç E2C ) = m* ( A2 ) + m* ( A1 ) k

重复利用这个结论知道(2.13)式对任意 k 成立. 由于结论 (1),

E i =1

是由(2.13)式得到(2.14)式. ■ 定理 2.5

(1) . 可测集的全体 M (R n ) 是一个  -代数.

(2) 每个 Borel 集都是可测集. 即 B (R n )  M (R n ).

i

是可测的, 于

证明

(1). 由可测集的定义可以看出 , 若 E 是可测的 , 则 E C 也是可测的 ,

因此 M (R n ) 对余运算封闭 . 由定理 2.4 (1) 知道 M (R n ) 对并运算封闭 . 因此

M (R n ) 是一个代数. 根据教材习题 1 第 24 题(即本教案习题 1 第 14 题)的结果, 为证 M (R n ) 是一 个  - 代 数 , 只 需 再 证 明 M (R n ) 对 不 相 交 可 列 并 运 算 封 闭 即 可 . 设 {Ek } 是 

M (R ) 中的一列互不相交的集 . 令 E   Ek . 我们证明 E  M (R n ). 对任意 n

k 1

A Ì R , 由于 A Ç Ek Ì Ek ( k ³ 1), 利用定理 2.4 (2) 得到 n

k æk ö m* çç ( A Ç Ei )÷÷ = å m* ( A Ç Ei ), k = 1, 2,. çè i=1 ø÷ i=1

(2.15)

k

E

由定理 2.4 (1) , 对任意 k ³ 1,

i =1

i

是可测集. 利用卡氏条件和(2.15)式我们有

C æ k æ ö÷ æ k ö÷ ö÷ *ç ç ç ç m ( A) = m ç A Ç  Ei ÷÷ + m ç A Ç ç Ei ÷÷ ÷÷÷ èç ø èç i=1 ø ø÷ çè i =1 æk ö ³ m* çç ( A Ç Ei )÷÷ + m* ( A Ç E C ) çè ÷ø *

*

(2.16)

i =1

k

= å m* ( A Ç Ei ) +m* ( A Ç E C ). i =1

在(2.16)式中令 k  ¥, 并利用外测度的次可列可加性得到 ¥

m* ( A) ³ å m* ( A Ç Ei ) +m* ( A Ç E C ) i=1

æ¥ ö ³ m* çç ( A Ç Ei )÷÷÷ + m* ( A Ç E C ) çè i=1 ø

(2.17)

= m* ( A Ç E ) + m* ( A Ç E C ). ¥

(2.17) 式表明 E 满足卡氏条件 . 因此 E =  Ek Î M (R n ). 这就证明了 M (R n ) 是 k =1

一个  -代数.

(2). 根据定理 1.27, 每个开集可以表示为一列半开方体的并. 根据定理 2.3, 半开方体是可测集, 利用结论 (1) 知道开集是可测集. 若将 R n 中的开集的全体记 为C , 则C Ì M (R n ). 根据结论 (1), M (R n ) 是一个  -代数. 由此得到

B (R n ) =  (C ) Ì M (R n ). 定理证毕. ■ 根据定理 2.5 知道

(1) 可测集具有很好的运算封闭性. (2) 可测集足够多. 有例子表明

(1) 存在不可测集(例子将在§2.3 给出).

(2) M (R n ) 严格包含 B (R n ) (例子见教材§3.1) 由于可测集的测度就是这个集的外测度, 因此外测度的性质也是测度的性 质. 综合定理 2.1 和定理 2.4 知道, 测度具有单调性, 次可列可加性, 次有限可加 性和有限可加性. 实际上, 测度还具有可列可加性. 这是测度最重要的性质. 下 面的定理给出了测度的可列可加性, 以及其他几个重要的性质. 定理 2.6 测度具有如下性质:

(1) 可列可加性: 若 { Ak } 是一列互不相交的可测集，则 ¥

m

¥

(  A ) = å m( A ). k

（2.18）

k

k =1

k =1

(2) 可减性: 若 A, B 是可测集, A  B 并且 m( A) < ¥, 则 m( B - A) = m( B) - m( A). (3) 下连续性: 若 { Ak } 是一列单调递增的可测集, 则 ¥

m

(  A ) = lim m( A ). k

k

k ¥

k =1

(4) 上连续性. 若 { Ak } 是一列单调递减的可测集, 并且 m( A1 ) < ¥, 则 ¥

m

(  A ) = lim m( A ). k

k

k ¥

k =1

(1). 由于测度是有限可加的, 对任意 k ³ 1 有

证明

k

å m( Ai ) = m i =1

在(2.19)式中令 k  ¥, 得到

(

k

)

 Ai £ m i =1

¥

¥

(  A ).

(2.19)

i

i =1

¥

å m( A ) £ m (  A ) . i

另一方面, 由测度的次可列

i

i =1

i =1

æ¥ ö ¥ 可加性, m çç Ai ÷÷÷ £ å m( Ai ). 因此(2.18)式成立. çè i=1 ÷ø i=1 (2). 由于 A Ì B, 因此 B = A È ( B - A), A Ç ( B - A) = Æ. 由测度的有限可加性得到 m( B) = m( A) + m( B - A).

(2.20)

由于 0 £ m( A) < ¥ , 由(2.20)式即得 m( B - A) = m( B) - m( A).

(3). 令 B1 = A1 , Bk = Ak - Ak -1 (k ³ 2). 由于 { Ak } 是单调递增的, 容易知道有 Bi Ç B j = Æ ( i ¹ j ), 并且 k

Ak =  Bi , i=1

¥

¥

i =1

i =1

 Ai =  Bi .

由测度的可列可加性, 得到

m

(

¥

)

¥

k

 Ai = å m( Bi ) = lim å m( Bi ) = lim m i =1

i =1

k ¥

i=1

k ¥

k

(  B ) = lim m( A ). i =1

i

(4). 令 Bk = A1 - Ak (k ³ 1). 则 {Bk } 是单调递增的并且

k ¥

k

¥

B

¥

¥

k =1

k =1

=  ( A1 - Ak ) = A1 -  Ak .

k

k =1

¥

注意到 m

(  A ) £ m( A ) £ m( A ) < ¥, k

1

k

利用测度的可减性和下连续性, 我们有

k =1

m( A1 ) - m

(

¥

)

 Ak = m k =1

¥

(  B ) = lim m( B ) k

k =1

k

k ¥

= lim(m( A1 ) - m( Ak )) = m( A1 ) - lim m( Ak ). k ¥

k ¥

¥

因而 m

(  A ) = lim m( A ). k

k =1

k

k ¥

■

注 1 在定理 2.6 (2) 中, 若 m( A) = ¥, 则也有 m( B) = ¥. 此时 m( B) - m( A) 无意义. 因此在测度的可减性中要求 m( A) < ¥. 此外, 在定理 2.6 (4) 中, 若去掉 条 件 m( A1 ) < ¥,

则 不 能 保 证 (4) 中 的 结 论 成 立 . 例 如 , 设 Ak = [k , ¥) ¥

( k = 1, 2, ), 则 { Ak } 是单调递减的并且  Ak =Æ. 于是 m k =1

¥

(  A ) = 0. k

另一方面,

k =1

由于 m( Ak ) = ¥ ( k ³ 1), 因此 lim m( Ak ) = ¥. 这表明此时 k ¥

¥

m

(  A ) ¹ lim m( A ) . k

k =1

k

k ¥

根据上面的讨论, 测度是有限可加的和可列可加的. 这表明可测集的测度具 有与长度, 面积和体积类似的性质. 而且由于方体的测度就是方体的体积,

因

此 Lebesgue 测度确实是长度, 面积和体积概念的推广. 例 4 设 K 是 Cantor 集. 将 Cantor 集的邻接开区间记为 {I k }. 在§1.4 例 6 中 ¥

¥

已经知道 {I k } 是互不相交的并且 å I k = 1. 由于 K = [0, 1] -  I k , 因此 k =1

k =1

æ ö m( K ) = m([0,1]) - m çç I k ÷÷÷ = 1- å I k = 0. çè k =1 ø k =1 ¥

¥

我们知道 K 是不可列集, 这个例子表明, 不可列集的测度也可能为零. 例 5 设 A 是 R1 中的零测度集 . 我们证明 A´[a, b] 是 R 2 中的可测集并且 m ( A´[a, b] ) = 0. 事实上, 由于 m( A) = 0, 因此对任意  > 0, 存在 A 的一个开区 ¥

¥

k =1

k =1

间 覆 盖 {I k } 使 得 å I k <  . 于 是 A´[a, b] Ì  ( I k ´[a, b]). 由 于 I k ´[a, b] = (b - a ) I k , 因此 ¥

¥

k =1

k =1

m * ( A´[a, b]) £ å m* ( I k ´[a, b]) = (b - a)å I k < (b - a) . 由  > 0 的 任 意 性 得 到 m * ( A´[a, b]) = 0. 因 此 A´[a, b] 是 R 2 中 的 可 测 集 并 且 m( A´[a, b] ) = 0.

习 题

习题 2, 第 5 题-第 15 题.

§ 2.3

本节要点

可测集与测度(续)

本节继续讨论可测集与测度的性质,包括可测集的

逼近性质,可测集的平移不变性.本节的最后给出了一个不可测集的 例子. 可测集可以用比较简单的集如开集和闭集等来逼近,这在有些 问题中是很有用的.每个可测集与一个 Borel 集仅仅相差一个零测度 集.不可测集是存在的,这说明区别可测集和不可测集是必要的.

2.3.1

可测集的逼近性质 可测集可以用较熟悉的集例如开集, 闭集等来逼近. 定理 2.7

设 E 为 R n 中的可测集. 则

(1) 对任意   0, 存在开集 G É E , 使得 m(G - E ) <  . (2) 对任意   0, 存在闭集 F Ì E , 使得 m( E - F ) <  .

(3) 存在 G 型集 G É E , 使得 m(G - E ) = 0. (4) 存在 F 型集 F Ì E , 使得 m( E - F ) = 0. 证明

(1). 先 设 m( E ) < ¥. 对 任 意   0, 存 在 一 列 开 方 体 {I k } 使 得

¥

¥

k =1

k =1

¥

E Ì  I k 并且 å I k < m( E ) +  . 令 G =  I k , 则 G 为开集, G É E 并且 k =1

¥

¥

k =1

k =1

m(G ) £ å m( I k ) = å I k < m( E ) +  .

(2.21)

注意到 m( E ) < ¥, 由测度的可减性得到

m(G - E ) = m(G ) - m( E ) <  . 现 在 设 m( E ) = ¥.

显 然 存 在 R n 中 的 一 列 互 不 相 交 的 可 测 集 { Ai }, 使 得 ¥

¥

m( Ai ) < ¥ 并且 R n =  Ai . 令 Ei = E Ç Ai ( i ³ 1). 则 m( Ei ) < ¥ 并且 E =  Ei . i =1

i =1

由 上 面 所 证 的 结 果 , 对 每 个 i , 存 在 开 集 Gi É Ei 使 得 m(Gi - Ei ) < ¥

G =  Gi . 则 G 是开集并且 G É E . 由于 i =1

¥

¥

¥

i =1

i =1

i =1

G - E =  Gi -  Ei Ì  (Gi - Ei ), 因此

 2i

. 令

¥ æ¥ ö ¥  m(G - E ) £ m çç (Gi - Ei )÷÷ £ å m(Gi - Ei ) < å i =  . çè i=1 ÷ø i=1 i =1 2

(2).

由 于 E C 也 是 可 测 集 , 根 据 结 论 (1) , 存 在 开 集 G É E C , 使 得

m(G - E C ) <  . 令 F  G C , 则 F 是闭集并且 F Ì E. 由于 E - F = E Ç F C = ( E C )C Ç G = G - E C . 于是得 m( E - F ) = m(G - E C ) <  . 1 (3). 由于 (1) 的结果, 对每个自然数 k , 存在开集 Gk É E 使得 m(Gk - E ) < . k

¥

令 G =  Gk . 则 G 为 G 型集 , G É E 并且 k =1

1 m(G - E ) £ m(Gk - E ) < , k  1. k 令 k  ¥, 即得 m(G - E ) = 0 .

(4). 由 (2) 的结果, 对每个自然数 k , 存在闭集 Fk Ì E 使得 m( E - Fk ) < 1 . 令 k

¥

F =  Fk , 则 F 是 F 型集, F Ì E 并且 k =1

1 m( E - F ) £ m( E - Fk ) < , k  1. k 令 k  ¥, 即得 m( E - F ) = 0 . ■

注 设 E 为 R n 中的可测集 . 根据定理 2.7, 存在一个 F 型集 F Ì E , 使得

m( E - F ) = 0. 令 A = E - F , 则 m( A) = 0, 并且 E = F È A. 这表明每个可测集与一个 Borel 集仅相差一个零测度集. 例 1

设 E 是直线上的可测集并且 m( E ) < ¥ . 则对任意   0, 存在有限个

开区间的并集 U , 使得 m ( EU ) <  .

证明



由定理 2.7, 对任意   0, 存在开集 G É E 使得 m(G - E ) < . 由直线 2 k

上开集的构造定理 , G 是有限或一列互不相交的开区间的并 . 若 G =  (ai , bi ), i =1

令 U = G. 则 m ( EΔU ) = m(U - E ) = m(G - E ) <  . ¥

现在设 G =  (ai , bi ). 由 m( E ) < ¥ 知道 m(G ) < ¥. 于是 i =1

¥

å (b - a ) = m(G) < ¥. i

i =1

i



¥

因此可以取 k 足够大使得



k

(ai , bi ), 则 m(G -U ) < . å (bi - ai ) < 2 . 令 U =  2 i =1 i = k +1

我们有 m (( E - U ) È (U - E )) = m( E - U ) + m(U - E )





£ m (G - U ) + m (G - E ) < + =  . 2 2

结论得证. ■ 定理 2.9 (Lebesgue 测度的平移不变性)

设 E 是 R n 中的可测集, x0  R n ,

则 x0 + E 是可测集并且

m( x0 + E ) = m( E ). 证明

根据§2.1 例 2, 外测度是平移不变的. 对任意 A Ì R n . 容易证明有

x0 + A Ç E = ( x0 + A) Ç ( x0 + E ). x0 + E C = ( x0 + E )C .

(2.22) (2.23)

若 E 是可测集. 利用外测度的平移不变性和(2.22), (2.23)两式得到 m* ( x0 + A) = m* ( A) = m* ( A Ç E ) + m * ( A Ç E C ) = m* ( x0 + A Ç E ) + m* ( x0 + A Ç E C ) = m* (( x0 + A) Ç ( x0 + E )) + m* (( x0 + A) Ç ( x0 + E C )) = m* (( x0 + A) Ç ( x0 + E )) + m* (( x0 + A) Ç ( x0 + E )C ).

将上式中的 A 换成 -x0 + A 得到

m* ( A) = m* ( A Ç ( x0 + E )) + m* ( A Ç ( x0 + E )C ). 这表明 x0 + E 满足卡氏条件, 因此 x0 + E 是可测集. 利用外测度的平移不变性得 到 m( x0 + E ) = m( E ). ■ 利用§ 2.1 例 3 的结果, 仿照定理 2.9, 可以证明若 E 是 R n 中的可测集, 则对 任意实数  ,  E 是可测集并且 m( E ) =  m( E ). 其证明留作习题. n

2.3.3* 不可测集的例 本节的最后我们给出一个不可测集的例子. 由于 R n 中的常见的集, 例如有 限集或可列集, 各种方体, 开集, 闭集, 以及这些集经过有限或可列并, 交和余 运算后得到的集都是可测集. 因此要作出一个不可测集是不容易的. 下面我们要 构造出一个不可测集, 这其中要用到 Zermelo 选取公理.

Zermelo 选取公理

若 { A } ÎI 是一族互不相交的非空的集 . 则存在一个集

E Ì  A , 使得对每个  Î I , E Ç Aa 是单点集. 换言之, 存在一个集 E , 使得 E  ÎI

是由每个 A 中选取一个元构成.

例 3 不可测集的例. 设 x, y Î [0, 1]. 若 x  y 是有理数, 则称 x 与 y 等价, 记 为 x  y. 对任意 x Î [0, 1], 令

x = { y Î [0, 1] : y  x }. x 是 [0, 1] 的一个子集, 称之为由 x 确定的等价类. 容易验证:

(1) 若 x1  x2 , 则 x1 = x2 . (2) 若 x1 / x2 , 则 x1 Ç x2 = Æ. 因此区间 [0, 1] 被分割为一些互不相交的等价类. 根据 Zermelo 选取公理, 存在

[0, 1] 的一个子集 E , 它是由每个等价类中选取一个元构成. 我们证明 E 不是可 测的. 设 { rn } 是 [-1, 1] 中的有理数的全体 . 对每个自然数 n, 令 E n  rn  E. 则集 列 {En } 具有如下性质:

(1). 当 m  n 时 , E m  E n  .

x  rn  E.

若 不 然 , 设 x  Em  En ,

由于 x  rm  ( x  rn )  rn  rm 是有理数,

则 x  rm  E ,

故 x - rm  x - rn , 因此 x - rm

和 x  rn 属于同一等价类. 但 x  rm  x  rn . 这样 E 就包含了某一等价类中的两 个不同的元. 这与 E 的性质矛盾! 因此 E m  E n  .

(2). 成立如下包含关系: ¥

[0, 1] Ì  En Ì [-1, 2]. n=1

事实上 , 设 x Î [0, 1]. 由 E 的性质 , E 应包含 x 中的某一元 y. 由于 x  y, 故

r  x  y 是 [-1, 1] 中 的 有 理 数 . 设 r = rn 0 , 则 x = rn 0 + y Î En 0 . 这 就 证 明 了 ¥

¥

n=1

n=1

[0, 1] Ì  En . 至于包含关系  En Ì [-1, 2] 是显然的. 现在用反证法. 假定 E 是可测的. 根据 Lebesgue 测度的平移不变性, 每个

E n 是可测的, 并且 m( E n )  m( E ). 由测度的可列可加性, 我们有 ¥ æ ¥ ö÷ çç E ÷ £ m([-1, 2]) = 3. = = m ( E ) m ( E ) m å å n n èç n=1 ø÷ n=1 n=1 ¥

¥ æ¥ ö 故必须 m( E )  0. 于是 m çç En ÷÷ = 0. 但是另一方面由于 [0, 1] Ì  En , 应有 çèn=1 ø÷ n=1 æ¥ ö m çç En ÷÷÷ ³1. çè n=1 ø

这样就导致矛盾. 因此 E 不是可测集. ■ 习 题

习题 2, 第 16 题-第 18 题, 第 20 题,第 21 题.

第三章

可测函数

设 f 是定义在可测集 E 上的函数. 由这个函数可以自然地产生出各种各样 的集, 例如

{x Î E : f ( x) > a}, {x Î E : a < f ( x) £ b} 等等. 为用测度论的方法研究这个函数, 自然要求这些集是可测的. 但这些集未 必总是可测的. 例如, 设 A 是 [0, 1] 中的不可测集,  A ( x) 是 A 的特征函数, 则

{x Î [0,1] :  A ( x) > 0} = A 就不是可测集. 为了避免出现这样的情况, 就要求所讨论的函数是可测的.

§ 3.1 本节要点

可测函数的性质

本节给出了可测函数的定义及其等价条件,讨论可

测函数的运算封闭性,介绍了简单函数及其可测函数用简单函数逼 近的性质. 可测函数具有很好的运算封闭性.简单函数是一类特别简单的 可测函数.可测函数可以用简单函数来逼近,这在讨论可测函数和积 分理论中有重要意义.

涉及 ¥ 的运算的一些规定

在积分理论中为了方便(例如可以使一些定

理的叙述更简洁), 允许函数取“   ”和“   ”为值(它们别读作正无穷和负无穷). 在§2.1 中我们曾经对涉及 +¥ 的运算作了规定. 为完整起见, 这里对涉及 ¥ 的运算一并作出规定. 以下设 a 是实数.

(1) 序关系:    a   . (2) 加法:

a  ()  ()  a  ()  ()   .

(3) 乘法:

ìï¥ , ïï a ⋅ (¥) = (¥) ⋅ a = í 0, ïï ïïî ¥,

(4) 除法:

a > 0, a = 0, a < 0.

a = 0. ¥

(5) 绝对值:     . ¥ 等未定义的运算是无意义的, 在运算中要注意避免这种情 ¥ 况出现. 例如只有当 b   时候, 才能从 a  b  c 推出 a  c  b .

象 ()  () 和

以后若无特别申明, “函数”一词总是指可以取 ¥ 为值的广义实值函数. 取

值于 R1 (即不取 ¥ 为值)的函数仍称为实值函数. 可测函数的定义与例

3.1.1

定义 3.1 设 E 是 R n 中的可测集. f 是定义在 E 上的函数. 若对任意实数 a,

{x Î E : f ( x) > a} 是可测集, 则称 f 为 E 上的 Lebesgue 可测函数(简称为可测函数), 或称 f 在 E 上 可测. 以下总是设 E 是 R n 中的一给定的可测集 例 1

若 f ( x)  c 是 E 上的常数函数. 则 f 在 E 上可测. 这是因为对任意实

数 a, 有 ïì E , ïïîÆ,

{x Î E : f ( x) > a} = ïí

a < c, a ³ c.

故对任意实数 a, {x Î E : f ( x) > a} 是可测集, 因此 f 是可测的. 例2

设 A Ì R n ,  A 是 A 的特征函数. 则对任意实数 a, 有

ìïR n , a < 0, ïï {x Î R n :  A ( x) > a} = ïí A, 0 £ a < 1, ïï a ³ 1. ïïîÆ, 由上式知道  A 在 R n 上可测当且仅当 A 为可测集 . 特别地 , 设 D( x) 是 R1 上的

Dirichlet 函数: ìï 1, x Î Q, D( x) = ïí ïïî 0, x Î R 1 - Q.

其中 Q 是有理数集. 由于 Q 是可测集, 而 D ( x) =  Q ( x), 故 D( x) 是 R1 上的可测 函数. 例 3 设 f 是 E 上的连续函数. 则 f 在 E 上可测. 这是因为, 根据§1.4 例 3, 对任意实数 a, 存在 R n 中的开集 G , 使得

{x Î E : f ( x) > a} = E Ç G. 而开集是可测集, 因而 f 是可测的. 例 4

设 f 是定义在区间 [a, b] 上的单调函数 . 则 f 是 [a, b] 上的可测函数 .

事实上, 对任意实数 c, 由于 f 是单调的, 容易知道集 {x Î [a, b]: f ( x) > c} 是区间, 单点集或者空集. 总之,

{x Î [a, b] : f ( x) > c} 是可测集集. 因此 f 是可测的. 例 5

若 f 在 E 上可测, E1 是 E 的可测子集, 则 f 在 E1 上可测. 事实上, 由

于对任意实数 a, 有

{x Î E1 : f ( x) > a} = {x Î E : f ( x) > a} Ç E1 上式右边是可测集, 因此 f 在 E1 上可测. 为 简 单 计 , 以 后 我 们 将 集 {x Î E : f ( x) > a } 简 记 为 E ( f > a),

将

{x Î E : f ( x) £ g ( x)} 简记为 E ( f £ g ) 等等. 定理 3.1 设 f 是定义在 E 上的函数. 则以下(1)—(4)是等价的:

(1) f 是 E 上的可测函数; (2) 对任意实数 a, E ( f ³ a ) 是可测集; (3) 对任意实数 a, E ( f < a ) 是可测集; (4) 对任意实数 a, E ( f £ a ) 是可测集. 此外, 上面的(1)—(4)都蕴涵

(5) 对任意 A Î B (R1 ) , f -1 ( A) 是可测集. 若 f 是实值函数, 则(1)—(5)是等价的. 证明 (1)  (2). 对任意实数 a, 有 ¥

E ( f ³ a) =  E ( f > a - 1 ). k k =1 由于 f 在 E 上可测, 对任意 k , E ( f > a - 1 ) 是可测集, 因而 E ( f ³ a) 是可测集. k

(2)  (3). 由等式 E ( f < a) = E - E ( f ³ a) 即知. ¥

(3)  (4) . 由等式 E ( f £ a ) =  E ( f < a + 1 ) 即知. k =1

k

(4)  (1) . 由等式 E ( f > a) = E - E ( f £ a) 即知. 因此, (1)—(4)是等价的.

(4)  (5). 令 F = { A Ì R1 : f -1 ( A) 是可测集 }. 由逆像的性质 æ ¥ ö÷ ¥ -1 -1 ç f ç An ÷ =  f ( An ), f -1 ( AC ) = ( f -1 ( A))C çè ø÷ n=1

n=1

容易证明 F 是  -代数. 令C 是直线上半开区间的全体. 由于

f -1 ( (a, b]) = E (a < f £ b) = E ( f £ b) - E ( f £ a ) 是可测集, 因此C Ì F , 从而  (C ) Ì F . 由教材习题 1, A 类第 39 题(即本教案习 题 1 第 29)的结果,  (C ) = B (R1 ), .因此 B (R1 ) Ì F . 这表明对任意 A Î B (R1 ) ,

f -1 ( A) 是可测集. 若 f 是实值函数, 我们还有

(5)  (1). 若 f 是实值函数 , 则 E ( f > a ) = f -1 ((a, ¥)) 由于 (a, ¥) 是 Borel 集, 由假设条件知道 E ( f > a) 是可测集. ■ 注 1 若 f 是可以取 ¥ 为值的广义实值函数, 则 E ( f > a ) = E (a < f £ ¥) = f -1 ((a, ¥]).

由于 (a, ¥] Ï B (R1 ), 此时定理 3.1 中(5)不能推出(1). 例 6 设 f 是 E 上的可测函数. 由于单点集 {a} ( a 是实数)是 Borel 集, 由定 理 3.1 知道 E ( f = a) = f -1 ({a}) 是可测集. 同理, 以下几个集也是可测的:

E (a < f < b), E (a £ f £ b),

E (a < f £ b), E (a £ f < b). 此外, 由于 ¥

¥

n=1

n=1

E ( f = +¥) =  E ( f > n), E ( f = -¥) =  E ( f < -n), 故 E ( f = +¥) 和 E ( f = -¥) 都是可测集.

3.1.2 可测函数的运算封闭性 设 f 和 g 是定义在 E 上的函数. 若 f ( x) 和 g ( x) 在某一点 x 处取异号的  为 值, 则 f ( x) + g ( x) 无意义. 此时规定 f ( x) + g ( x) = 0. 定理 3.2 设 f 和 g 在 E 上可测. 则函数 cf ( c 是实数), f  g , fg 和 f 都在

E 上可测. 证明

(1). 若 c  0, 则 cf  0. 由例1知道此时 cf 是可测的. 当 c  0 时,对任

意实数 a, 有

ìï E ( f > a ), c > 0, ïï c E ( cf > a ) = ïí ïï a ïïî E ( f < c ), c < 0. 上式右边的集都是可测集. 因此 cf 可测.

(2). 先设 f 和 g 不取异号 ¥ 为值 . 设 {rn } 是有理数的全体 . 对任意固定的 x Î E , f ( x) + g ( x) > a 当且仅当存在 rn 使得 f ( x) > rn 并且 g ( x) > a - rn . 因此 ¥

E ( f + g > a) =  ( E ( f > rn ) Ç E ( g > a - rn )). n=1

由上式知道 E ( f + g > a) 是可测集. 因此 f  g 可测. 再考虑一般情形. 令 A = ( E ( f = +¥) Ç E ( g = -¥)) È ( E ( f = -¥) Ç E ( g = +¥)).

由例 6 知道 A 是可测集. 我们有

{x Î E : f ( x) + g ( x) > a} = {x Î E - A : f ( x) + g ( x) > a} È {x Î A : f ( x) + g ( x) > a}. 由例 5 知道 f 和 g 是 E - A 上的可测函数, 由于在 E - A 上 f 和不取异号的  为 值 , 由上面所证的结果知道 {x Î E - A : f ( x) + g ( x) > a} 是可测集 . 由于当 x Î A 时 f ( x) + g ( x) = 0, 故

ì ï A, a < 0, ï ï î Æ, a ³ 0.

{x Î A : f ( x ) + g ( x ) > a} = ïí

这表明 {x Î A : f ( x) + g ( x) > a} 是可测集. 因此 E ( f + g > a) 是可测集. 这就证明 了 f  g 可测.

(3). 先证 f 2 可测. 由于 a < 0, ïì E , E ( f 2 > a ) = ïí ïï E ( f > a ) È E ( f < - a ), a ³ 0. î 由上式知 E ( f 2 > a) 是可测集, 故 f 2 可测. 再由等式

1 f g = éêë( f + g ) 2 - ( f - g ) 2 ùúû 4 即知 f g 可测.

(4). 由于

a < 0, ì ï E, E( f > a) = ï í ï ï î E ( f > a ) È E ( f < - a ), a ³ 0. 由此知道 f 在 E 上可测. ■ 设 f 是定义在 E 上的函数. 令 f + ( x) =

f ( x) + f ( x) , 2

f - ( x) =

f ( x) - f ( x) , 2

分别称 f  和 f  为 f 的正部和负部 . f  和 f  都是非负值函数 , 并且对任意 xÎE有 f ( x) = f + ( x) - f - ( x),

若 f 在 E 上可测, 则 f  和 f  都在 E 上可测.

定理 3.3 证明

f ( x) = f + ( x) + f - ( x).

由 f + , f - 的定义和定理 3.2 直接得到. ■

定理 3.4

设 { f n } 是 E 上的可测函数列 . 则函数 sup f n , inf f n , lim f n 和 n 1

n 1

n

lim f n 都在 E 上可测. 特别地, 若对每个 x Î E , 极限 lim f n ( x) 存在(有限或   ), n 

n 

则 lim f n 在 E 上可测 n 

证明

对任意固定的 x Î E 和实数 a, 由于 sup f n ( x) > a 当且仅当存在 n , 使 n³1

得 f n ( x) > a, 而 inf f n ( x ) < a 当且仅当存在 n, 使得 f n ( x ) < a, 因此 n³1

(

)

¥

¥

E sup f n > a =  E ( f n > a), E (inf f n < a ) =  E ( f n < a ). n³1

n³1

n=1

n=1

由此知道 sup f n 和 inf f n 都在 E 上可测. 由于 n 1

n 1

lim f n ( x) = inf sup f k ( x), lim f n ( x) = sup inf f k ( x),

n¥

n³1 k ³n

由此知道 lim f n 和 lim f n 都在 E 上可测. ■ n

n 

n¥

n³1 k ³n

3.1.3 可测函数用简单函数逼近 下面讨论一类特别简单的可测函数 —简单函数. 可测集的特征函数是最简 单的可测函数, 而简单函数就是可测集的特征函数的线性组合. 简单函数在可测 函数中具有特殊的作用. 设 E 是 R n 中 的 可 测 集 . 若 A1 , , Ak 是 E 的 互 不 相 交 的 可 测 子 集 , 并 且 k

E =  Ai , 则称 { A1 , , Ak } 是 E 的一个可测分割. i =1

设 f 是定义在 E 上函数. 若存在 E 的一个可测分割 { A1 , , Ak } 和

定义 3.2

实数 a1 , , ak , 使得当 x Î Ai 时 , f ( x) = ai ( i = 1,, k ), 则称 f 为 E 上的简单函 数. 换言之,

f 为简单函数当且仅当 f 可以表示为 k

f ( x) = å ai  A i( x), x Î E.

(3.1)

i =1

由于可测集的特征函数是可测函数, 因此简单函数是可测函数. k

设 I1 , , I k 为 [a, b] 上 的 互 不 相 交 的 子 区 间 , 并 且 [a, b] =  I i . 称 形 如 i =1

k

f ( x) = å ai  I i ( x) 的函数为为 [a, b] 上的阶梯函数 . 显然简单函数是阶梯函数的 i =1

推广. 定理 3.5 设 f 和 g 都是简单函数. 则

(1) cf ( c 是实数), f  g 是简单函数. (2) 若  是 R1 上的实值函数, 则  ( f ( x)) 是简单函数. 证明 (1). 显然 cf 是简单函数. 设 q

p

f ( x) = å ai  Ai ( x), g ( x) = å b j  B j ( x). i =1

j =1

q

p

j =1

i =1

由于  Ai ( x) = å  Ai Ç B j ( x),  B j ( x) = å  Ai Ç B j ( x), 因此 f 和 g 可以分别表示为 p

q

q

p

f ( x) = åå ai  Ai Ç B j ( x), g ( x) = åå b j  Ai Ç B j ( x). i =1 j =1

j =1 i =1

注意到 { Ai Ç B j :1 £ i £ p, 1 £ j £ q} 是 E 的一个可测分割 , 将其重新编号记为

{E1 ,, Ek }. 故不妨设 k

k

i =1

i =1

f ( x ) = å ai¢ Ei ( x ), g ( x ) = å bi¢ Ei ( x ). k

于是 f ( x ) + g ( x ) = å ( ai¢ + bi¢)  E ( x ). 这表明 f + g 是简单函数. i =1

i

( ii). 设 f 的表达式为(3.1). 则

(3.2)

k

 ( f ( x)) = å  (ai )  A ( x), x Î E. i =1

i

因此  ( f ( x)) 是简单函数. ■ 设 { f n } 是一列定义在 E 上的函数. 若对每个 x Î E , 总有

f1 ( x) £ f 2 ( x) £  £ f n ( x) £ f n+1 ( x) £ , 则称函数列 { f n } 是单调增加的 , 记为 f n  . 若 { f n } 是单调增加的函数列 , 并且

lim f n ( x) = f ( x) ( x Î E ). 则记为 f n  f (n  ¥).

n¥

定理 3.6 设 f 是 E 上的非负可测函数. 则存在 E 上的非负简单函数列 { f n } , 使得 { f n } 是单调增加的, 并且

lim f n ( x) = f ( x), x Î E.

(3.3)

n¥

若 f 在 E 上还是有界的, 则 { f n } 收敛于 f 是一致的. 证明

对每个自然数 n ³ 1, 将区间 [0, n] 分割成 n ⋅ 2n 个长度为

1 的小区间. 2n

令 æ i -1 i ö x Î E çç n £ f < n ÷÷÷ , i = 1,  , n ⋅ 2 n , è2 2 ø

ì i -1 ïï n , ï f n ( x) = í 2 ïï ïî n,

x Î E ( f ³ n ).

由于 f 是可测函数, 故 æ i -1 i ö £ f < ÷÷÷ ( i = 1, , n ⋅ 2n ) E çç çè 2 n 2 n ÷ø 和 E ( f ³ n) 都是可测集, 因而 f n 是非负简单函数. 容易知道 { f n } 是单调增加的.

设 x Î E. 若 f ( x) < +¥ , 则当 n > f ( x) 时 , 必存在正整数 i (1 £ i £ n ⋅ 2n ), 使得 æ i -1 i ö x Î E çç n £ f < n ÷÷÷. 此时 è2 2 ø

i -1 i i -1 £ f ( x) < n , f n ( x) = n . n 2 2 2

因此

1 (3.4) . 2n 故此时 lim f n ( x) = f ( x). 若 f ( x) = +¥, 则对任意 n ³ 1 , x Î E ( f ³ n), 因此 0 £ f ( x) - f n ( x) <

n¥

f n ( x) = n (n ³ 1). 此时也有 lim f n ( x) = f ( x). 因此(3.3)式成立. n¥

现在设 f 在 E 上还是有界的, 0 £ f ( x) £ M ( x Î E ). 则当 n > M 时 , 对任意 x Î E 有 n > f ( x), 此时(3.4)式成立. 这表明 { f n } 在 E 上一致收敛于 f . ■

推论 3.1 设 f 是 E 上的可测函数. 则存在 E 上的简单函数列 { f n }, 使得

lim f n ( x) = f ( x) ( x Î E ),

n¥

并且 f n £ f ( n ³ 1). 若 f 在 E 上还是有界的, 则上述收敛是一致的. 证明

由于 f 可测, 故 f + 和 f - 都是非负可测函数. 由定理 3.6 , 存在非负

简单函数列 {g n } 和 {hn }, 使得 g n  f + , hn  f - . 令 f n = g n - hn ( n ³ 1). 则 { f n } 是 简单函数列, 并且对任意 x Î E 有 lim f n ( x) = lim ( g n ( x) - hn ( x)) = f + ( x) - f - ( x) = f ( x),

n¥

n¥

f n ( x) £ g n ( x) + hn ( x) £ f + ( x) + f - ( x) = f ( x) .

若 f 是有界的 , 则 f + 和 f - 都是有界的 . 则 {g n } 和 {h n } 在 E 上分别一致收敛于

f + 和 f - . 因此 { f n } 在 E 上一致收敛于 f . ■ 显然简单函数列的极限函数是可测函数. 结合推论 3.1 知道, f 可测的充要 条件是存在简单函数列 { f n } 处处收敛于 f . 这是可测函数的一个构造性特征. 利用推论 3.1, 容易得到关于复合函数可测性的如下定理. 定理 3.7

设 f 是 E 上的实值可测函数, g 是 R1 上的连续函数. 则复合函数

h( x)  g ( f ( x)) 在 E 上可测. 证明 由于 f 在 E 上可测, 根据推论 3.1, 存在简单函数列 { f n } 处处收敛于 f . 根据定理 3.5, {g ( f n ( x))} 是简单函数列. 由于 g 在 R1 上连续, 故

lim g ( f n ( x)) = g ( f ( x)), x Î E.

n¥

即 g ( f ( x)) 是一列可测函数的极限, 因此 g ( f ( x)) 在 E 上可测. 例 7 设 f 是 E 上 的 实 值 可 测 函 数 . 由 定 理 3.7 知 道 , ln(1 + f ( x) 2 ) 和 p

f ( x) ( p > 0) 都是 E 上的可测函数. 以上讨论表明, 可测函数类具有较好的运算封闭性, 特别是对极限运算封闭. 这与连续函数形成对照. 习 题

习题 3, 第 1 题-第 8 题. 第 10 题, 第 11 题.

§ 3.2 本节要点

可测函数列的收敛

本节首先介绍了几乎处处成立的性质,然后定义了

可测函数列的几种收敛,讨论了这几种收敛性之间的关系. Egoroff 定理和 Reisz 定理是关于可测函数不同收敛性之间关系 的重要定理.利用 Reisz 定理常常可以把依测度收敛的问题转化为几 乎处处收敛的问题.初学者常常把可测函数的几乎处处有限与本性 有界混淆,应该特别小心. 本节将定义可测函数列的几种收敛性, 并讨论它们之间的关系. 本节以下 总是设 E 是 R n 中一给定的可测集 几乎处处成立的性质

3.2.1

先介绍几乎处处成立的性质的概念. 设 P(x) 是一个与 E 中的点 x 有关的命 题. 若存在一个零测度集 E0 Ì E , 使得当 x  E  E 0 时 P(x) 成立, 换言之, m { x Î E : P ( x ) 不成立 } = 0,

则称 P( x) 在 E 上几乎处处成立, 记为 P( x) a.e.于 E. 在不会引起混淆的情况下也 可以简记为 P( x) a.e.( a.e.是英文 almost everywhere 的缩写) . 例 1

设 f 和 g 是定义在 E 上的函数. 若存在一个零测度集 E0 Ì E , 使得当

x Î E - E0 时 f ( x)  g ( x), 换言之, mE ( f ¹ g ) = 0, 则称 f 和 g 在 E 上几乎处处 相等, 记为 f = g a.e.于 E. 例如, 设 D( x) 是 R 1 上的 Dirichlet 函数(见例 2). 由于 m(Q) = 0, 并且在 R1 - Q 上 D( x) = 0, 因此在 R1 上 D( x) = 0 a.e. 例 2

设 f 是定义在 E 上的函数 . 若存在一个零测度集 E0 Ì E 使得当

x Î E - E0 时 f ( x) 是实数, 换言之, mE ( f = ¥ ) = 0, 则称 f 在 E 上是几乎处处 有限的 , 记为 f < ¥ a.e.于 E. 例如 , 设 f ( x) =

1 x

( 0 < x £ 1), f (0) = +¥. 则

f 在 [0, 1] 上是几乎处处有限的. 注意 , f 在 E 上几乎处处有限与在下述意义下本性有界的区别 : 称 f 在 E 上 是 本 性 有 界 的 , 若 存 在 零 测 度 集 E0 Ì E 和 M > 0, 使 得 当 x Î E - E0 时 , f ( x) £ M . 本性有界的可测函数是几乎处处有限的, 但反过来则不一定. 例如,

例 2 中的 f 在 [0, 1] 上是几乎处处有限的, 但 f 在 [0, 1] 上不是本性有界的. 例 3

设 f 是 E 上的可测函数, g = f a.e. 于 E , 则 g 在 E 上可测. 事实上,

由于 g = f a.e. 于 E , 存在零测度集 E0 Ì E , 使得当 x Î E - E0 时 , f ( x) = g ( x).

因此, 对任意实数 a,

E ( g > a ) = {x Î E - E0 : g ( x) > a} È {x Î E0 : g ( x) > a} = {x Î E - E0 : f ( x) > a} È {x Î E0 : g ( x) > a}.

由于 f 在 E - E0 上也是可测的, 因而上式右边的第一个集是可测集. 第二个集是 零测度集 E0 的子集, 因而也是可测的. 因此 E ( g > a ) 是可测集. 这表明 g 在 E 上 可测. ■

3.2.2 可测函数列几种收敛的定义与例 在数学分析中, 我们已经熟悉函数列的处处收敛和一致收敛. 下面定义的几 乎处处收敛和几乎一致收敛分别与这两种收敛类似, 但更弱一些. 而依测度收敛 则是一种全新的收敛, 在后面讨论积分的极限定理时, 将会用到. 以下设所出现的可测函数都是几乎处处有限的. 定义 3.4 设 { f n } 是 E 上的可测函数列, f 是 E 上的可测函数.

(1) 若存在一个零测度集 E0 Ì E , 使得当 x  E  E 0 时, f n ( x)  f ( x), 则称

{ f n } 在 E 上几乎处处收敛于 f , 记为 f n  f a.e.于 E . (2) 若对任给的   0 , 总有 lim m{x Î E : f n ( x) - f ( x) ³  } = 0,

n¥

m 则称 { f n } 在 E 上依测度收敛于 f , 记为在 E 上 f n ¾¾  f.

(3) 若对任给的   0 , 存在可测集 E Ì E , m( E - E ) <  , 使得 { f n } 在 E 上一致收敛于 f , 则称 { f n } 在 E 上几乎一致收敛于 f , 记为 f n  f a.un. 于

E (a.un.是英文 almost uniformly 的缩写). 例 4 (几乎处处收敛不能推出依测度收敛)对每个自然数 n, 令 ìï 1, x Î [0, n ], f n ( x ) = ïí ïïî 0, x Î ( n, ¥). 则 { f n } 在 [0, ¥) 上处处收敛于 1. 但是当 n  ¥ 时,

1 /  0. mE ( f n -1 ³ ) = m(n, ¥) = ¥ ¾¾ 2 因此 f n ( x) 不依测度收敛于 1.

例 5

设 E = [0, 1], f n ( x) = x n (n = 1, 2, ). 对任意  > 0, 令 Eδ = [0, 1- δ ], 则

m( E - Eδ ) £ δ , 并且 f n ( x) 在 Eδ 上一致收敛于 0 . 因此 f n ( x) 在 [ 0, 1] 上几乎一致 收敛于 0. 例 6

( 依测度收敛不能推出几乎处处收敛 ) 对每个自然数 n, 将区间 [ 0, 1]

分为 n 个等长的小区间. 记

é i -1 i ù Ani = ê n , n ú , i = 1, , n. êë úû

A13

1  3

2 A32 A33   3  

0  1  1 2 A22 A12

x

图 3.1

(参见图 3.1). 将 { Ani } 按照下面所示的顺序 A11 , A21 , A22 , A31 , A32 , A33 , 

重新编号记为 {En }. 显然 m( En )  0(n  ¥). 对每个自然数 n, 令 f n ( x) =  En ( x), x Î [0, 1]. 对任意   0 , 由于当 n  ¥ 时 m{x Î [0,1] : f n ( x) ³  } £ m( En )  0. 因此在 [0, 1] 上 { f n } 依测度收敛于 0. 但 { f n } 在 [0, 1] 上处处不收敛. 事实上, 对任 意 x0  [0, 1] , 必有无限多个 E n 包含 x0 , 也有无限多个 E n 不包含 x0 . 因此有无限 多个 n 使得 f n ( x0 )  1, 又有无限多个 n 使得 f n ( x0 )  0. 这说明 f n ( x0 ) 不收敛. 这 个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛. ■ 从例 6 可以看出几乎处处收敛与依测度收敛的不同意义. 依测度收敛是从整 体的角度反映当 n  ¥ 时 { f n } 的变化性态的一种收敛.

3.2.3 几种收敛的相互关系 现在讨论上面定义的几种收敛性的相互关系. 先证明一个引理. 引理 3.1

设 m( E ) < ¥ . 若 f n  f a.e. 于 E , 则对任意   0 æ¥ ö lim m çç E ( f i - f ³  )÷÷ = 0. çèi=n ÷ø n¥

证明 设 x Î E. 若对任意 n ³ 1, 存在 i ³ n, 使得 f i ( x) - f ( x) ³  , 则 fi ( x) 不收敛于 f ( x) . 这表明 ¥ ¥

 E (

/  f ( x )}. f i - f ³  ) Ì{x Î E : f i ( x) ¾¾

n=1 i = n

由于 f n  f a.e. 于 E , 上式右边的集是零测度集. 故 æ¥ ¥ ö m çç E ( f i - f ³  )÷÷ = 0. çè ÷ø n=1 i =n

注意到 m( E ) < ¥ , 由测度的上连续性, 我们有 æ¥ ö æ¥ ¥ ö lim m çç E ( f i - f ³  )÷÷÷ = m çç E ( f i - f ³  )÷÷÷ = 0. çèi=n çè n=1 i=n n¥ ø ø

引理证毕. ■

容易证明, f n  f a.un. 蕴涵 f n  f a.e. (其证明留作习题). 下面的定理表明 当 m( E ) < ¥ 时, 其逆也成立. 定理 3.9 (Egoroff, 叶戈洛夫) 设 m( E ) < ¥ . 若 f n  f a.e., 则 f n  f a.un. 证明 由引理 3.1 , 对任意自然数 k  1 , æ¥ 1 ö lim m çç E ( f i - f ³ )÷÷÷ = 0. çèi=n n¥ k ø 于是对任意  > 0, 存在自然数的序列 {nk } 使得 æ¥ 1 ö  m çç  E ( f i - f ³ )÷÷÷ < k (k = 1. 2,). k ø÷ 2 çèi=n k ¥

¥

1 E =   E ( f i - f < ). k k =1 i =n

令

k

由 De Morgan 公式得到 ¥

¥

1 E - E =   E ( f i - f ³ ). k k =1 i = n k

由测度的次可列可加性得到 ¥ ¥ æ¥  1 ö m( E - E ) £ å m çç  E ( f i - f ³ )÷÷÷ < å k =  . k ÷ø k =1 2 çèi=nk k =1

由 Eδ 的定义知道, 若 x Î E , 则对每个 k ³ 1, 当 i ³ nk 时有

1 fi ( x) - f ( x) < . k 这表明 { f n } 在 E 上一致收敛于 f. 这就证明了 f n  f a.un. 于 E . ■ 例7

在 Egoroff 定理中, 条件 m( E ) < ¥ 不能去掉(详见教材).

m 定理 3.10 设 m( E ) < ¥. 若在 E 上 f n  f a.e., 则 f n ¾¾  f.

证明 由引理3.1 , 对任意   0 有 æ¥ ö lim m çç E ( f i - f ³  )÷÷ = 0. çèi=n n¥ ø÷ 由测度的单调性立即得到 æ¥ ö lim mE ( f n - f ³  ) £ lim m çç E ( f i - f ³  )÷÷ = 0. çèi=n n¥ n¥ ø÷ m 此即 f n ¾¾  f. ■

本节例 4 表明, 在定理 3.10 中, 条件 m( E ) < ¥ 不能去掉. 在例 6 中我们已经看到, 依测度收敛不能推出几乎处处收敛. 但是仍然可以 得到较弱的结论. 定理 3.11(F. Riesz)

f nk  f a.e.

m 若在 E 上 f n ¾¾  f , 则存在 { f n } 的子列 { f nk }, 使得

m 证明 设 f n ¾¾  f . 则对任意   0 和   0 , 存在 N  1 ,使得当 n  N 时, 有

mE ( f n - f ³  ) <  .

于是对任意自然数 k  1 , 存在自然数 nk 使得 æ 1ö 1 mE ççè f nk - f ³ ÷÷ø < k . k 2

(3.5)

可以适当选取 nk 使得 nk < nk +1 (k = 1, 2,  ). 我们证明 f nk  f a.e. 令 ¥ ¥ æ 1ö E0 =  E ççè f nk - f ³ ÷÷ø. k i=1 k = i

对每个 i = 1, 2,, 利用(3.5)式得到 æ¥ 1 ö m( E0 ) £ m çç  E ( f nk - f ³ )÷÷÷ k ÷ø çè k = i ¥ ¥ 1 1 £ å mE ( f nk - f ³ 1 ) < å k = i-1 . k 2 k=i k=i 2

令 i  ¥ 即知 m( E0 ) = 0. 由 De Morgan 公式得到 ¥ ¥

1 E - E0 =  E ( f nk - f < ). k i =1 k = i 因此若 x Î E - E0 , 则存在 i ³ 1, 使得当 k ³ i 时,

f nk ( x )  f ( x ) 

1 . k

这表明 f nk ( x)  f ( x). 因此在 E - E0 上 f nk  f . 这就证明了在 E 上 f nk  f a. e.

■ 定理 3.12

m 设 m( E ) < ¥ . 则在 E 上 f n ¾¾  f 的充要条件是对 { f n } 的任一

子列 { f nk }, 都存在其子列 { f nk¢ } 使得 f nk¢  f a.e. m 证明 必要性 ( 此时不需设 m( E ) < ¥ ). 设 f n ¾¾  f . 显然 { f n } 的任一子列

{ f nk } 也 依 测 度 收 敛 于 f . 由 Riesz 定 理 , 存 在 { f nk } 的 子 列 { f nk  } , 使 得 f nk ¢  f a.e. (k ¢  ¥). 充 分 性 . 若 { fn} 不 依 测 度 收 敛 于 f ,

则 存 在 ε > 0,

使 得

/  0. 于是存在 δ > 0 和 { f } 的一个子列 { f }, 使得 mE ( f n - f ³  ) ¾¾ n nk

mE

(

)

f nk - f ³  ³  , k =1, 2,.

(3.6)

另 一 方 面 , 由 假 设 条 件 , 存 在 { f nk } 的 子 列 { f nk¢ }, 使 得 f nk¢  f a.e. 由 于 m m( E ) < ¥ , 根据定理 3.10, 此时应有 f nk ¢ ¾¾  f . 但这与(3.6)式矛盾. 因此必有 m f n ¾¾  f. ■

几种收敛之间的关系总结如图 3.2.

几乎处处收敛

m( E ) <¥ (Egoroff 定理)

存在子列 f n k (Riese 定理) m( E ) <¥

几乎一致收敛

依测度收敛

图 3.2 定理 3.11 和定理 3.12 给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系. 利用这种 联系, 常常可以把依测度收敛的问题转化为几乎处处的问题. 而几乎处处收敛是 比较容易处理的. 例 8

设 m( E ) < ¥ , { f n } 是 E 上的实值可测函数列, f 是 E 上的实值可测

m 函数,  是 R1 上的连续函数. 若在 E 上 f n ¾¾  f , 则在 E 上

m  ( f n ) ¾¾   ( f ). m 证明 设  ( f nk ) 是  ( f n ) 的任一子列. 由于 f n ¾¾  f , 根据定理 3.12, 存在

{ f nk } 的 子 列 { f nk  } 使 得 f nk ¢  f a.e. (k ¢  ¥).

既然  是连续的, 因此有

 ( f n )   ( f ) a.e. 这表明对  ( f n ) 的任一子列  ( f n ), 都存在其子列  ( f n ) 使得 k¢

k¢

k

 ( f n )   ( f ) a.e. 再次应用定理 3.12 知道  ( f n ) ¾¾   ( f ). ■ m

k¢

习 题

习题 3, 第 12 题-第 20 题.

§ 3.3

本节要点

可测函数与连续函数的关系

本节将证明一个重要的定理—Lusin 定理.利用

Tietze 扩张定理给出 Lusin 定理的另一形式. Lusin 定理表明可测函数可以用连续函数在某种意义下逼近.由 于连续函数具有较好的性质,比较容易处理,因此这个结果在有些情 况下是很有用的. R n 上的可测函数与我们熟悉的连续函数有密切的联系. 一方面, 可测集上 的连续函数是可测的. 另一方面, 本节将证明的 Lusin 定理表明, 可测函数可以 用连续函数在某种意义下逼近. 由于连续函数具有较好的性质, 比较容易处理, 因此这个结果在有些情况下是很有用的. 先看一个例子. 设 D( x) 是区间 [0, 1] 上的Dirichlet函数:

例 1

ì ï 1, x 是有理数, D ( x ) = ïí ï ï î 0, x 是无理数. 则 D(x) 在 [0, 1] 上是可测的, 但 D(x) 在 [0, 1] 上处处不连续. 设 [0, 1] 中的有理数

的全体为 { r1 , r2 , }. 对任意   0, 令 ¥

F = [0, 1] -  ( ri i =1

 2

i +1

, ri -

 2i+1

).

则 F 是 [0, 1] 的闭集, 并且 æ¥   ö m([0, 1]- F ) £ m çç ( ri - i+1 , ri - i+1 )÷÷÷ çè i=1 2 2 ø



¥

£ å m( ri i =1 ¥

=å i =1

 2i

2

i +1

, ri -

 2i+1

)

= .

由于 F 中不含有理数, 因此 D(x) 在 F 恒为零. 所以 D(x) 在 F 上的限制所得到 的函数 D F 在 F 连续. 

下面将要证明的Lusin定理表明, 例 2 中出现的情况具不是偶然的. 先证明一 个引理 k

引理 3.2

设 F1 ,  , Fk 是 R n 中的 k 个互不相交的闭集, F =  Fi . 则简单函 i =1

k

数 f ( x) = å ai  F ( x) 是 F 上的连续函数. i =1

i

证 明 设 x0  F , 则 存 在 i0 使 得 x0  F i 0 . 由 于 F1 ,  , Fk 互 不 相 交 , 故

(

x0 Ï  Fi . 由于  Fi 是闭集, 因此 δ = d x0 , i ¹i0

i ¹i0

 F ) > 0. i

对任意   0, 当 x  F

i ¹i0

并且 d ( x, x 0 )   时, 必有 x  Fi0 . 于是

f ( x) - f ( x0 ) = ai0 - ai0 = 0   . 故 f (x) 在 x0 处连续. 因而 f (x) 在 F 上连续. ■ 定理 3.13 (Lusin 鲁津)

设 E 是 R n 中的可测集, f 是 E 上 a.e.有限的可测函

数. 则对任意   0, 存在 E 的闭子集 F , 使得 m( E - F ) <  , 并且 f 是 F 上的 连续函数(即 f

F

在 F 上连续),

证明 分两步证明.

(1). 先设 f 是简单函数, 即 k

f ( x) = å ai  Ei ( x), i =1

其中 E1 , , E k 是 E 的一个可测分割 . 由定理 2.7, 对任意给定的   0, 对每个

i  1, , k , 存在 Ei 的闭子集 Fi 使得 m( Ei  Fi ) 

 k

, i  1, , k .

k

令 F =  Fi , 则 F 是E的闭子集, 并且 i =1

k æ k ö m ( E - F ) = m çç  ( Ei - Fi )÷÷ = å m ( Ei - Fi ) <  . ÷ø i=1 çè i=1 k

由于将 f 限制在 F 上时, f 的表达式为 f ( x) = å ai  F ( x), 由引理 3.2 知道 f 是 i =1

i

F 上的连续函数.

(2). 一般情形. 设 f 是 E 上的 a.e. 有限的可测函数. 不妨设 f 是处处有限的. 若令 g ( x) =

f ( x) 1 + f ( x)

( 逆变换为 f ( x) =

g ( x) ), 1- g ( x )

则 g 是有界可测函数, 并且若 g 在某个闭集 F 上连续, 则 f 也在 F 上连续. 故不 妨设 f 有界. 由推论 3.1, 存在简单函数列 { f k } 在 E 上一致收敛于 f . 对任给的

  0, 由情形 ( i) 的结论 , 对每个 f k 存在 E 的闭子集 Fk , 使得 f k 在 Fk 上连续 , 并且 m( E - Fk ) <

δ 2

¥

. 令 F =  Fk , 则 F 是 E 的闭子集, 并且 k k =1

æ¥ ö ¥ m( E - F ) = m çç ( E - Fk )÷÷÷£ å m( E - Fk ) <  . èç k =1 ø k =1

由于每个 f k 都在 F 上连续, 并且 { f k } 在 F 上一致收敛于 f , 因此 f 在 F 上连续. ■

下面将给出鲁津定理另一种形式. 引理 3.3

设 A, B Ì R n 是两个闭集并且 A Ç B = Æ. 又设 a 和 b 是实数并且

a < b. 则存在 R n 上的一个连续函数 f , 使得 f

A

 a,

f

B

 b 并且 a £ f ( x ) £ b

( x Î R n ). 证明

容易证明, d ( x, A) 作为 x 的函数在 R n 上连续, 并且若 A 是闭集 , 则

d ( x, A)  0 当且仅当 x  A . 因此, 若令 f ( x) =

ad ( x, B) + bd ( x, A) , d ( x, B) + d ( x, A)

则 f 满足所要求的性质. ■ 定理 3.14(Tietze扩张定理)

设 F 是 R n 中的闭集, f 是定义在 F 上的连续

函数. 则存在 R n 上的连续函数 g , 使得当 x Î F 时 g ( x) = f ( x), 并且 sup g ( x)  sup f ( x) . xF

xR n

证明

(3.7)

略(见教材). ■

定理 3.15(Lusin 鲁津)

设 E 是 R n 上的可测集, f 是 E 上 a.e. 有限的可测函

数. 则对任意   0, 存在 R n 上的连续函数 g , 使得

m{x  E : f ( x)  g ( x)}   .

(3.10)

sup g ( x) £ sup f ( x) .

(3.11)

并且 x ÎR n

证明

xÎ E

由定理 3.13, 对任意   0, 存在 E 的闭子集 F , 使得 f 在 F 上连续

并且 m( E  F )   . 由Tietze扩张定理, 存在 R n 上的连续函数 g , 使得当 x  F 时

g ( x) = f ( x), 并且 sup g ( x) = sup f ( x) £ sup f ( x) . x ÎR n

xÎ F

xÎ E

由于 {x  E : f ( x)  g ( x)}  E  F . 因此

m{x  E : f ( x)  g ( x)}  m( E  F )   . 习 题

习题 3, 第 21 题-第 23 题.

■

第四章

Lebesgue 积分

在前面各章作了必要的准备后,本章开始介绍新的积分. 在 Lebesgue 测度 理论的基础上建立的 Lebesgue 积分,其被积函数和积分域更一般,可以对有界函 数和无界函数统一处理. 正是由于 Lebesgue 积分的这些特点,使得 Lebesgue 积 分比 Riemann 积分具有在更一般条件下的极限定理和累次积分交换积分顺序的 定理,这使得 Lebesgue 积分不仅在理论上更完善,而且在计算上更灵活有效.

§ 4.1 本节要点

积分的定义

本节给出了新的积分—Lebesgue 积分的定义,并且

讨论了可积性条件. 定义积分的过程分三个步骤,逐步定义非负简单函数,非负可测 函数和一般可测函数的积分.其中第一,二个步骤要验证定义的合理 性. Lebesgue 积分与 Riemann 积分比较,其被积函数和积分域更一 般,可以对有界函数和无界函数统一处理.

我们将分三个步骤定义可测函数的积分. 首先定义非负简单函数的积分. 以下设 E 是 R n 中的可测集. 4.1.1

非负简单函数的积分 k

设 f ( x) = å ai  A ( x) 是 E 上的非负简单函数, 其中 { A1 , , Ak } 是

定义 4.1

i

i =1

E 的一个可测分割, a1 , , ak 是非负实数. 定义 f 在 E 上的积分为

ò

k

f dx = å ai m( Ai ).

E

i =1

一般情况下 0 £ ò f dx £ ¥. 若 ò f dx < ¥ , 则称 f 在 E 上可积. E

在定义 4.1 中,

ò

E

f dx 的值是确定的, 即不依赖于 f 的表达式的选取. 事实上, E

l

设 f ( x) = å b j  B ( x) 是 f 的另一表达式, 则 j =1

j

l

m( Ai ) = å m( Ai Ç B j ), i = 1,, k , j =1 k

m( B j ) = å m( Ai Ç B j ), i =1

由于当 Ai Ç B j ¹ Æ 时必有 ai  b j , 因此

j = 1,, l.

k

k

l

l

k

l

å ai m( Ai ) = åå ai m( Ai Ç B j ) = åå b j m( Ai Ç B j ) = å b j m( B j ). i =1

i =1 j =1

j =1 i =1

j =1

这表明的 ò f dx 值不依赖于 f 的表达式的选取. E

k

现在大致看一下非负简单函数的积分几何意义 . 若 f ( x) = å ai  Ii ( x) 是 i =1

[a, b] 上的非负阶梯函数, 则

ò

[ a, b]

k

k

i =1

i =1

f dx = å ai m( I i ) = å ai I i

恰好是函数 y = f ( x) 的下方图形 {( x, y ) : a £ x £ b, 0 £ y £ f ( x)} 的面积(如图 4-1).

y

f (x )

a5 a3 a2 a1 a4

a I1

O

I3

I2

I4

I5

b

x

图 4-1 k

若 f ( x) = å ai  A ( x) 是 [a, b] 上一般的非负简单函数 , 其中 A1 , , Ak 是 [a, b] 上互 i

i =1

不相交的可测集, 则 ò

[a, b]

f dx 也可以想象为 y = f ( x) 的下方图形的面积.

设 A 是 E 的可测子集, 则 A 的特征函数  A 是非负简单函数, 并且

例1

ò

E

 Adx = 1⋅ m( A) = m( A).

特别地, ò 1dx = ò  E dx = m( E ). 这个简单事实以后会经常用到. E

E

为进一步定义可测函数的积分 , 需要先证明非负简单函数积分的几个简单 性质. 定理 4.1 设 f , g 是 E 上的非负简单函数. 则

(1)

(2)

ò

E

ò

cf dx = c ò f dx ( c  0 是实数);

E

E

( f + g )dx = ò f dx + ò g dx E

E

(3) 若 f £ g a.e., 则 ò f dx £ ò g dx . E

证明

E

(1). 是显然的. (2). 不妨设(参见§3.1 中的(4.2)式) k

k

i =1

i =1

f ( x) = å ai  Ei ( x), g ( x) = å bi  Ei ( x).

(4.1)

k

于是 f ( x) + g ( x) = å (ai + bi )  Ei ( x). 因此 i =1

ò

k

E

( f + g )dx = å (ai + bi )m( Ei ) i =1 k

k

i =1

i =1

= å ai m( Ei ) + å bi m( Ei ) = ò f dx + ò g dx. E

E

(3). 仍不妨设 f , g 的表达式为(4.2)式. 由于 f £ g a.e., 对任意 i = 1, , k , 当 m( E i ) > 0 时 ai £ bi . 于是

ò 4.1.2

k

k

i =1

i =1

f dx = å ai m( E i ) £ å bi m( E i ) = ò g dx.

E

■

E

非负可测函数的积分 为定义非负可测函数的积分, 需要先证明一个引理 引理 4.1

设 { f n } 是 E 上单调递增的非负简单函数列.

(1) 若 g 是 E 上的非负简单函数, 并且 lim f n ( x) ³ g ( x) ( x Î E ), 则 n¥

lim ò f n dx ³ ò gdx.

n¥

E

(4.2)

E

(2) 若 lim f n ( x) = f ( x) ( x Î E ), 则 n¥

lim ò f n dx = sup

n¥

E

{ò

}

g dx : g Î S + ( E ), 并且 g £ f . E

(4.3)

(其中 S + ( E ) 表示 E 上的非负简单函数的全体). 证明 (1). 由于 { f n } 是单调递增的, 由定理 4.1 (3) 知道数列

{ò

E

}

f n dx 是单调递

增的, 故 lim ò f n dx 存在. 设  是任意给定的, 满足 0    1 . 令 n¥

E

E n = {x Î E : f n ( x) ³  g ( x)}, n = 1, 2, . ¥

则 {En } 是单调递增的可测集列. 由于 lim f n ( x) ³ g ( x) ( x Î E ), 因此 E =  E n . 若 n¥

n=1

k

g ( x) = å ai  A i ( x), 则 i =1

k

( g ⋅  En )( x) = å ai  Ai Ç En ( x), n = 1, 2, . i =1

¥

对每个 i = 1,, k , 集列 { Ai Ç En }n³1 是单调递增的, 并且 Ai =  ( Ai Ç En ), 利用积 n=1

分的定义和测度的下连续性, 我们有 k

k

i =1

i =1

lim ò g ⋅  E n dx = lim å ai m( Ai Ç En ) = å ai m( Ai ) = ò gdx.

n¥

E

n¥

(4.4)

E

由 En 的定义知道当 x Î E 时 f n ( x)  En ( x) ³  g ( x)  En ( x). 利用定理 4.1, 我们有

ò

E

f n dx ³ ò f n  En dx ³ ò  g  En dx =  ò g  En dx. E

E

(4.5)

E

在(4.5)式中取极限, 利用(4.4)式得到 lim ò f n dx ³ lim  ò g  En dx =  ò gdx.

n¥

n¥

E

E

E

令   1 得到(4.2)式.

(2). 将(4.3)式的右边的上确界记为 a. 由于每个 f n £ f , 因此 lim ò f n dx £ a. n¥

E

+

反过来, 对任意 g Î S ( E ), g £ f , 由于

lim f n ( x ) = f ( x ) ³ g ( x ) ( x Î E ),

n¥

由结论 (1) 知道

lim ò f n dx ³ ò gdx.

n¥

E

E

因此 lim ò f n dx ³ a. 从而 lim ò f n dx = a. 故(4.4)式得证. ■ n¥

n¥

E

定义 4.2

E

设 f 是 E 上的非负可测函数. 定义 f 在 E 上的积分为

ò

E

f dx = lim ò f n dx. n¥

E

其中 { f n } 是 E 上的非负简单函数列并且 f n  f . 一般情况下 0 £ ò f dx £ ¥. 若 ò f dx < ¥ , 则称 f 在 E 上可积. E

E

由定理 3.6, 上述的 { f n } 是存在的. 由引理 4.1 (2) 知道 ò f dx 的值不依赖于 E

{ f n } 的选取. 因此 ò f dx 的定义是确定的. E

也可以用(4.3)式的右边作为 ò f dx 的定义. 这两种定义是等价的.

注2

E

定理 4.2

(1) (2)

ò

E

ò

设 f 和 g 是 E 上的非负可测函数. 则

cf dx = c ò f dx ( c  0 是实数);

E

E

( f + g )dx = ò f dx + ò g dx ; E

E

(3) 若在 E 上 f £ g a.e., 则 ò f dx £ ò g dx. E

E

证明 (1). 显然. (2). 设 { f n } 和 {g n } 是非负简单函数列使得 f n  f , g n  g . 则

{ f n + g n } 也是非负简单函数列并且 f n + g n  f + g. 利用定理 4.1 (2), 得到

ò

E

( f + g )dx = lim ò ( f n + g n )dx n¥

E

= lim ò f n dx + lim ò g n dx n¥

n¥

E

E

= ò f dx + ò g dx. E

E

(3). 设在 E 上 f £ g a.e. 我们可适当选取上述的 { f n } 和 {g n } 使得 f n £ g n a.e.

(n ³ 1). 利用定理 4.1 (3), 我们有

ò

E

f dx = lim ò f n dx £ lim ò g n dx = ò g dx. n¥

n¥

E

E

■

E

4.1.3 一般可测函数的积分 定义 4.3

设 f 是 E 上的可测函数, 若 ò f + dx 和 ò f -dx 至少有一个是有 E

E

限值, 则称 f 在 E 上的积分存在, 并且定义 f 在 E 上的积分为

ò

E

f dx = ò f + dx - ò f - dx. E

E

当 ò f dx 和 ò f dx 都是有限值时, 称 f 在 E 上是可积的. +

E

-

E

以上定义的积分称为 Lebesgue 积分. E 上 Lebesgue 可积函数的全体记为 b

L( E ). 区间 [a, b] 上的 Lebesgue 积分记为 ò f dx. a

注意 f 的积分存在与 f 可积之间的区别. 当 f 的积分存在的时候, 其积分值 可能是有限的, 也可能为  . 只有当 f 可积的时候, 其积分值才是有限的. 另 外非负可测函数的积分总是存在的, 但积分值可能为  . 之所以允许积分值为  , 是因为这样处理有时会带来一些方便. 例如可以使得某些定理叙述得更简 明一些. 一个自然的问题是, Lebesgue 积分与我们熟悉的 Riemann 积分有什么联系 和区别? 在§ 4.4 中我们将详细讨论 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系. 这里 只看一个简单的例子. 设 D(x) 是区间 [0, 1] 上的 Dirichlet 函数. 即 D( x) =  Q 0 ( x), 其中 Q 0 表示 [0, 1] 中的有理数的全体 . 根据非负简单函数积分的定义 , D( x) 在

[0, 1] 上的 Lebesgue 积分

ò

1

0

1

D( x)dx = ò  Q 0 ( x)dx = m(Q 0 ) = 0. 0

即 D(x) 在 [0, 1] 上是 Lebesgue 可积的并且积分值为零 . 但 D(x) 在 [0, 1] 上不是

Riemann 可积的. 4.1.4 可积性 关于积分的性质, 在后面几节将系统讨论. 下面只给出关于函数可积性的几 个结果. 定理 4.3

设 f 和 g 是 E 上的可测函数.

(1) 若 g Î L( E ) , 并且在 E 上 f £ g a.e. 或者 f ³ g a.e., 则 f 在 E 上的积分 存在.

(2) 若 g Î L( E ) , 并且在 E 上 f £ g a.e., 则 f Î L( E ). (3) f Î L( E ) 当且仅当 f Î L( E ).

(4) 若 m( E ) < ¥, f 是 E 上的有界可测函数, 则 f Î L( E ). 证明

ò

(1). 设 在 E 上 f £ g a.e., 则 f + £ g + a.e.

由 于 g Î L( E ),

因此

g + dx < ¥. 利用定理 4.2 得到 E

ò

E

f +dx £ ò g +dx < ¥. E

因此 f 在 E 上的积分存在. 类似可以证明若 f ³ g a.e., 则 f 在 E 上的积分存在.

(2). 若在 E 上 f £ g a.e., 则 f + £ g a.e., f

ò

E

f + dx £ ò gdx < ¥, E

ò

E

-

£ g a.e. 由于 g Î L( E ), 因此

f -dx £ ò gdx < ¥. E

因此 f Î L( E ).

(3). 由于 f = f + + f - , 因此

ò

E

f dx = ò f +dx + ò f -dx. E

E

由此知道 ò f dx 是有限值当且仅当 ò f dx 和 ò f -dx 都是有限值的 . 从而 +

E

E

E

f Î L( E ) 当且仅当 f Î L( E ) .

(4). 设 m( E ) < ¥, g ( x) = M 为 E 上的常数函数, 则

ò

E

gdx = ò M dx = M ⋅ m( E ) E

是有限值的, 因此 g Î L( E ). 若 f ( x) £ M ( x Î E ), 由结论 (2) 即知 f Î L( E ). ■ 定理 4.3 (3) 的结论与 Riemann 积分的性质形成对照. 我们知道对于 Riemann 积分, f 可积与 f 的可积不是等价的. 设 f 是 E 上的可测函数, A 是 E 的可测子集, 则 f 也是 A 上的可测函数. 因 此同样可以定义 f 在 A 上的积分. 定理 4.4 存在, 并且

设 f 在 E 上的积分存在, A 是 E 的可测子集, 则 f 在 A 上的积分

ò

A

f dx = ò f  Adx.

(4.6)

E

同样地, 当 f 在 E 上可积时, f 在 A 上可积, 并且(4.6)式成立. k

证明

先设 f ( x) = å ai  Ai ( x) 是非负简单函数. 将 f 限制为 A 上的函数时, i =1

其表达式为 k

f ( x) = å ai  AÇ Ai ( x), x Î A.

(4.7)

i =1

另一方面, 作为 E 上的函数, k

k

i =1

i =1

f ( x)  A ( x) = å ai  Ai ( x)  A ( x) = å ai  A Ç Ai ( x), x Î E. 利用(4.7), (4.8)两式, 由积分的定义得到

(4.8)

ò

k

A

f dx = å ai m( A Ç Ai ) = ò f  Adx.

(4.9)

E

i =1

这表明当 f 是非负简单函数时, 结论成立. 当 f 是非负可测函数时, 存在一列非 负简单函数 { f n } 使得 f n  f . 显然 { f n  A } 也是非负简单函数列, 并且 f n  A  f  A . 利用(4.9)式和积分的定义得到

ò

A

f dx = lim ò f n dx = lim ò f n  Adx = ò f  Adx. n¥

n¥

A

E

(4.10)

E

因此当 f 是非负可测函数时, 结论成立. 一般情形, 当 f 在 E 上的积分存在时, 不 妨设 ò f +dx < ¥. 利用(4.10)式, 我们有 E

ò

A

f + dx = ò f +  Adx £ ò f + dx < ¥, E

E

因此 f 在 A 上的积分存在, 并且

ò

A

f dx = ò f + dx - ò f - dx = ò f +  Adx - ò f -  Adx = ò f  Adx. A

A

E

E

E

同样地可以证明, 当 f 在 E 上可积时, f 在 A 上可积, 并且(4.6)式成立. ■ 定理 4.4 的证明方法是证明积分性质时常用的方法. 例 2 设 f ( x) Î L(R n ), h Î R n . 则 f ( x + h) Î L(R n ), 并且

ò

Rn

f ( x + h)dx = ò

证明 由于 f ( x) Î L(R n ),

Rn

(4.11)

f ( x)dx.

f ( x) 当然在 R n 上是可测的 . 对任意实数 a, 我们

有

{x Î R n : f ( x + h) > a} = {x Î R n : f ( x) > a} - h. 根据定理 2.9, 可测集经过平移后仍是可测集. 由上式知道 f ( x + h) 是可测的. 下 k

面证明 f ( x + h) 是可积的. 先设 f ( x) = å ai  Ai ( x) 是非负简单函数. 则 i =1

k

k

i =1

i =1

f ( x + h) = å ai  Ai ( x + h) = å ai  Ai -h ( x). 由测度的平移不变性, 得到

ò

Rn

k

k

i =1

i =1

f ( x + h )dx = å ai m( Ai - h ) = å ai m( Ai ) = ò

Rn

f ( x )dx.

因此当 f 是非负简单函数时, (4.11)式成立. 然后类似于定理 4.4 的证明, 由此推 出当 f 是非负可测函数时 , (4.11) 式成立 . 然后推出当 f 可积时 , f ( x + h) 可积 , 并且(4.11)式成立. 建议读者自己完成这个过程的详细证明. ■ 习 题

习题 4, 第 1 题-第 4 题.

积分的初等性质

§ 4.2 本节要点

本节介绍积分的一些基本性质,包括积分的线性性

质,积分的不等式性质和积分的绝对连续性等.这些性质都没有涉及 到积分号下取极限的问题,积分取极限的性质讲在下一节介绍. Lebesgue 积分除了具有一些与 Riemann 积分类似的性质外,还 具有一些新的性质.应注意比较.学习本节的内容, 除了应了解积分 的基本性质外,还应注意掌握一些基本的证明技巧. 本节将讨论积分的一些初等性质. 这些性质都没有涉及到积分号下取极限, 有关这方面的性质将在下节讨论. 本节的末尾还要简单介绍一下复值可测函数 与复值可测函数的积分的概念. 4.2.1

积分的初等性质

以下设 E 是 R n 中的可测集 若 f , g Î L( E ), c 是常数, 则 cf , f + g Î L( E ), 并

定理 4.5 (积分的线性性) 且

ò ò 证明

E

E

cf dx = c ò f dx,

(4.12)

E

( f + g )dx = ò f dx + ò g dx E

(4.13)

E

(1). 当 c ³ 0 时, 利用定理 4.2 知道

ò

E

ò

E

( cf )+ dx = ò cf + dx = c ò f + dx < ¥, E

E

( cf )- dx = ò cf - dx = c ò f - dx < ¥, E

E

因此 cf 可积, 并且

ò

E

cf dx = ò (cf )+ dx - ò (cf )- dx = c ò f + dx - c ò f - dx = c ò f dx E

E

E

E

E

当 c  0 时, (cf )+ = -cf - , (cf )- = -cf + . 同样可证此时 cf 可积. 并且(4.12)式成 立. 再证明 f + g Î L( E ), 并且(4.12)式成立. 由于

( f  g)  f   g  , ( f  g)  f   g  . 由定理 4.2 得到

ò

E

ò

( f + g )+ dx £ ò f +dx + ò g +dx < ¥, E

E

E

( f + g ) dx £ ò f dx + ò g -dx < ¥. -

由以上两式知道 f + g Î L( E ). 由于

-

E

E

( f  g)  ( f  g)  f  g  f   f   g   g  . 因此

( f  g)  f   g   f   g   ( f  g) . 上式两边积分并利用定理 4.2 得到

ò

E

( f + g )+ dx + ò f -dx + ò g -dx = ò f +dx + ò g +dx + ò ( f + g )- dx. E

E

E

E

E

从上式得到

ò

E

( f + g )dx = ò ( f + g )+ dx - ò ( f + g )- dx E

E

= ò f +dx - ò f -dx + ò g +dx - ò g -dx E

E

E

E

= ò f dx + ò g dx. E

E

因此(2)式成立. ■ 设 f Î L( E ), { A1 , A2 } 是 E 的一个可测

推论 4.2 (积分对积分域的可加性) 分割, 则

ò

f dx = ò f dx + ò

E

A1

A2

f dx.

(4.14)

证明 设 f 在 E 上可积. 由定理 4.4 知道 f 在 A1 和 A2 上都可积, 并且

ò

A1

f dx + ò f dx = ò ( f  A1 + f  A2 )dx = ò fdx. A2

E

E

故(3)成立. ■ 定理 4.6 设 f , g 在 E 上的积分存在, 则

(1) 若 f £ g a.e., 则 ò f dx £ ò g dx (积分的单调性). E

E

(2) 若 f = g a.e., 则 ò f dx = ò g dx. E

E

(3) 若 f ³ 0 a.e., A 和 B 是 E 的可测子集, 并且 A Ì B, 则

ò

A

f dx £ ò f dx. B

证明 (1). 若在 E 上, f £ g a.e., 则

f + £ g + a.e.,

f - ³ g - a.e.

利用定理 4.2 得到

ò

f + dx £ ò g + d x ,

E

E

ò

E

f -dx ³ ò g -dx. E

于是

ò

E

f dx = ò f +dx - ò f -dx £ ò g +dx - ò g -dx = ò g dx. E

E

E

E

E

(2). 由结论 (1) 立即得到. (3). 设在 E 上 f ³ 0 a.e. 若 A Ì B. 则 f  A £ f  B a.e. 由结论 (1) 得到

ò

A

f dx = ò f  Adx £ ò f  B dx = ò f dx. E

E

B

■

由定理 4.6 (2) 知道, 在一个零测度集上改变一个函数的函数值, 不改变该函 数的可积性和积分值. 因此, 在讨论可测函数积分的性质的时候, 可测函数所要 满足的条件通常只需要几乎处处成立就可以了. 推论 4.2

(1) 若在 E 上 f = 0 a.e., 则 ò f dx = 0. E

(2) 若 m( E ) = 0, 则对 E 上的任意可测函数 f , 证明

ò

E

f dx = 0.

由定理 4.6 (2) 直接得到结论 (1). 若 m( E ) = 0, 则对 E 上的任意可测函

数 f , 有 f = 0 a.e. 利用结论 (1) 得到 ò f dx = 0. ■ E

推论 4.3 证明

若 f Î L( E ), 则

ò

E

f dx £ ò f dx. E

由于 - f £ f £ f , 由定理 4.6 得到 -ò f dx £ ò f dx £ ò f dx E

这表明

ò

E

例 1

E

E

f dx £ ò f dx. ■ E

设 m( E ) < ¥, f 是 E 上的有界可测函数, c £ f ( x) < d ( x Î E ). 对每个

自然数 n, 设

c = y0 < y1 < y2 <  < yn = d 是区间 [c, d ] 的一个分割. 令 λ = max( yi - yi-1 ). 则 1£ i£n

ò 证明

n

E

f dx = lim å yi-1 ⋅ mE ( yi-1 £ f < yi ).  0

(4.15)

i =1

由于 f 是有限测度集上的有界可测函数. 根据定理 4.3, f 在 E 上可

积. 令

Ei = E ( yi-1 £ f < yi ), i = 1, 2,, n. n

则 E1 ,, En 互不相交, 并且 E =  Ei . 利用积分的单调性和对积分域的可加性得 i =1

到 n

n

i =1

i =1

n

å yi-1m( Ei ) = å ò yi-1dx £ å ò f dx = ò f dx Ei

i =1

Ei

E

n

类似可以得到 ò f dx £ å yi m( Ei ). 既然 m( E ) < ¥, 当   0 时, 有 E

i =1

n

n

n

i =1

i =1

i =1

0 £ ò f dx - å yi-1m( Ei ) £ å yi m( Ei ) - å yi-1m( Ei ) E

n

= å ( yi - yi-1 )m( Ei ) £  m( E )  0. i =1

这就证明了(4.4)成立. ■ 例 1 的结果可以与 Riemann 积分的定义作比较.

在继续讨论积分的性质之前, 先证明一个有用的不等式. 引理 4.2 (Chebyshev 不等式) 设 f 是 E 上的可测函数. 则对任意  > 0 有 mE ( f ³  ) £

证明

当 x Î E ( f ³  ) 时,

mE ( f ³  ) = ò

1

 òE

f dx.

f ( x) ³ λ. 由定理 4.6 得到

E ( f ³ )

1dx £

1

ò

E ( f ³ )

f dx £

1

 òE

f dx.

引理证毕. ■ 定理 4.7 若 f Î L( E ), 则 f 在 E 上几乎处处有限. 证明

若 f Î L( E ) , 则 f Î L( E ). 令 A = E ( f = ¥ ), Ak = E ( f ³ k ), k = 1, 2, . ¥

则 Ak  并且 A =  Ak . 利用由 Chebyshev 不等式得到 k =1

0 £ m( Ak ) £

1 f dx, k = 1, 2, . k òE

(4.16)

特别地, m( A1 ) £ ò f dx < ¥, 由测度的上连续性和(4.16)式得到 E

m( A) = lim m( Ak ) = 0. k ¥

这表明 f 在 E 上几乎处处有限. ■ 定理 4.8 若在 E 上 f ³ 0 a.e. , 并且 ò f dx = 0, 则 f = 0 a.e. E

证明

由于在 E 上 f ³ 0 a.e., 故 mE ( f < 0) = 0. 令 1 A = E ( f > 0 ), Ak = E ( f ³ ) , k = 1, 2, . k

¥

则 A =  Ak . 由引理 4.2 得到 k =1

0 £ m( Ak ) £ k ò f dx = 0. E

因此 m( Ak ) = 0 (k ³ 1). 由测度的次可列可加性得到 m( A) = 0. 这表明 f = 0 a.e.

■ 设 f Î L( E ), 则对任意   0, 存在相应的

定理 4.9 (积分的绝对连续性)

  0, 使得当 A Ì E 并且 m( A) <  时,

ò 证明

A

f dx <  .

设 f Î L( E ), 则 f Î L( E ). 设 {g k } 是非负简单函数列使得 g k  f .

由积分的定义, lim ò g k dx = ò f dx < ¥.

k ¥

E

于是对任意   0, 存在自然数 k0 使得

E

0£ ò

E

(



f - g k 0 ) dx = ò f d x - ò g k 0 d x < . E E 2

令 M = sup g k0 ( x), 则 0 £ M < ¥ . 不妨设 M  0. 再令  = xÎ E

 2M

, 则对任意可测

集 A Ì E , 当 m( A) <  时,

ò 4.2.2



A



f dx = ò ( f - g k0 ) dx + ò g k0 dx < 2 + ò M dx = 2 + Mm( A) <  . A

A

A

■

复值可测函数的积分

下面简要介绍一下关于复值可测函数与复值可测函数的积分. 设 E 是 R n 中 的可测集, f ( x) 是 E 上的复值函数, 则 f ( x) 可以分解为

f ( x) = f1 ( x) + i f 2 ( x), x Î E . 其中 f1 和 f 2 是实值函数 , 分别称之为 f 的实部和虚部 . 若 f 1 和 f 2 都是可测的 , 则称 f 是可测的. 设 f 是复值可测函数. 若 f 1 和 f 2 都是可积的, 则称 f 是可积的, 并定义 f 在 E 上的积分为

ò

E

f dx = ò f1dx + i ò f 2 dx. E

E

E 上的复值可积函数的全体记为 L( E ). 本节关于实值可测函数积分的性质, 除去那些对复值可测函数的积分没有 意义的以外, 对复值可测函数的积分也是成立的. §4.3 中的控制收敛定理对复 值可测函数的积分也是成立的. 其证明的方法是对 f 的实部 f1 和虚部 f 2 应用实 值可测函数积分相应的的性质. 习 题

习题 4, 第 5 题-第 11 题.

§ 4.3 本节要点

积分的极限定理

本节将要证明三个重要的定理,即单调收敛定理,

Fatou 引理,控制收敛定理以及一些推论.它们是 Lebesgue 积分理论 的基本定理. 积分的极限定理的条件较少而且较容易验证,在积分的计算和 理论推导时常常用到.三个极限定理分别适用于不同的情况,应注意 各个定理的条件和结论差异之处. 本节将要证明三个重要的定理, 即单调收敛定理, Fatou引理和控制收敛定 理以及一些推论. 它们是Lebesgue积分理论的基本定理. 在现代分析数学中经常 用到. 以下设 E 是 R n 中的可测集 定理 4.11 (Levi单调收敛定理)

设 { f n } 是 E 上单调递增的非负可测函数列,

并且在 E 上 f n  f a.e. 则 lim ò f n dx = ò f dx.

n¥

E

(4.17)

E

证明 不妨设 f n ( x)  f ( x) 处处成立. 显然 f 是可测的. 由积分的单调性得 到

ò

E

f n dx £ ò f n+1dx £ ò f dx, n ³ 1. E

E

因此 lim ò f n dx 存在并且 n ¥

E

lim ò f n dx £ ò f dx.

n¥

E

(4.18)

E

反过来, 设 {g k } 是非负简单函数列, 并且 g k  f . 对每个 k ³ 1, 由于

lim f n ( x) = f ( x) ³ g k ( x), x Î E ,

n¥

与引理 4.1(1)的证明一样(只要将那里的 { f n } 改为非负可测函数列), 可以证明 lim ò f n dx ³ ò g k dx.

n¥

E

E

在上式中令 k  ¥ 得到 lim ò f n dx ³ lim ò g k dx = ò f dx.

n¥

k ¥

E

E

E

结合(4.18)和(4.19)两式得到(4.17). ■ 设 { f n } 是 E 上的非负可测函数列. 则

推论 4.4 (逐项积分定理)

¥

òå E

n=1

¥

f n dx = å ò f n dx. n=1

E

(4.19)

n

¥

i =1

i =1

令 g n ( x) = å fi ( x) ( n ³ 1), f ( x) = å fi ( x). 则 {g n } 是 E 上的非负可

证明

测函数列, 并且 g n  f . 因此 f 是可测的. 应用定理 4.11 得到 ¥

òå E

n=1

¥

n

f n dx = lim ò g n dx = lim å ò f i dx =å ò fi dx. n¥

n¥

E

i =1

E

E

i =1

■

设 f 在 E 上的积分存在, {En } 是 E

推论 4.5(积分对积分域的可列可加性) ¥

的一列互不相交的可测子集, E =  En . 则 n=1

ò

¥

E

f dx = å ò f dx.

(4.20)

En

n=1

由推论 4.4, 我们有

证明

ò

E

f +dx = ò

¥

E

å n=1

¥

¥

f +  En dx = å ò f +  En dx = å ò f +dx. E

n=1

n=1

En

(4.21)

类似地成立

ò

¥

E

f -dx = å ò f - dx.

(4.22)

En

n=1

由于 f 的积分存在 , 因此 ò f + dx 和 ò f - dx 至少有一个是有限的 . 将 (4.21) 和 E

E

(4.22)的两端相减即得(4.20)式. ■ 设 { f n } 是 E 上的非负可测函数列. 则

定理 4.12(Fatou 引理)

ò 证明

lim f n dx £ lim ò f n dx.

E n¥

n¥

E

对每个 n ³ 1, 令 g n ( x) = inf f k ( x) ( x Î E ). 则 {g n } 是单调递增的并且 k ³n

0 £ g n £ f n , lim g n = lim f n . 由单调收敛定理得到 n¥

n¥

ò

lim f n dx = lim ò g n dx £ lim ò f n dx.

E n¥

n¥

E

n¥

■

E

下面的例子说明 Fatou 引理中的不等号是可能成立的. 例 1

对每个自然数 n , 令 f n ( x) = n ⋅  (0, 1 n ) ( x). 则 { f n } 是 R1 上的非负可测

函数列, 并且 lim f n ( x) = 0 ( x Î R1 ). 直接计算得到 n¥

ò 例 2

lim f n dx = 0 < 1 = lim ò 1 f n dx.

R1 n¥

n¥

R

设 { f n } 是 E 上的可测函数列, f n  f a.e. 于 E. 若 sup ò f n dx < ¥, 则 n³1

E

f Î L( E ). 证明

利用 Fatou 引理得到

ò

E

故 f Î L( E ). ■

f dx = ò lim f n dx £ lim ò f n dx £ sup ò f n dx < ¥. E n¥

n¥

E

n³1

E

定理 4.13(控制收敛定理)

设 { f n } 是 E 上的可测函数列, 并且存在 g Î L( E ) ,

使得 f n £ g a.e. (n ³ 1). m 若在 E 上 f n  f a.e. 或 f n ¾¾  f , 则 f n , f Î L( E ), 并且

lim ò f n dx = ò f dx.

n¥

E

(4.23)

E

证明 由于在 E 上 f n £ g a.e.(n ³ 1), 故 f £ g a.e. 由于 g Î L( E ), 根据定理

4.3 知道 f n , f Î L( E ). 因为

ò

E

f n dx - ò f dx =

ò

E

E

( f n - f )dx £ ò f n - f dx, E

为证(4.23)式, 只需证一个更强的结果

lim ò f n - f dx = 0.

n¥

E

(4.24)

先考虑 f n  f a.e. 的情形 . 令 hn = 2 g - f n - f , 则 hn ³ 0 a.e.(n ³ 1). 对函数列

{hn } 应用 Fatou 引理, 我们有

ò

E

2 g dx = ò lim (2 g - f n - f ) dx E n¥

£ lim ò (2 g - f n - f ) dx n¥

E

= ò 2 g dx - lim ò f n - f dx. n¥

E

E

m 因此 lim ò f n - f dx = 0. 这表明 (4.24) 成立 . 再考虑 f n ¾¾  f 的情形 . 若 (4.24) n ¥

E

不成立, 则存在  > 0 和 { f n } 的一个子列 { f nk } 使得

ò

E

f nk - f dx ³  , k ³ 1.

(4.25)

由 Riesz 定理, 存在 { f nk } 的一个子列 { f nk ¢ } 使得 f nk ¢  f a.e. ( k ¢  ¥) . 由上面所证的结 果此时应有 lim

k ¢¥

ò

E

f nk¢ - f dx = 0. 但这与(4.25)式矛盾. 这表明(4.24)成立. ■

注 1 在定理 4.13 的条件下, 我们实际上证明了更强的结果(4.24)式. 当(4.24) 式成立时, 称 { f n } 在 L1 中收敛于 f (或称平均收敛于 f ). 推论 4.6(有界收敛定理)

设 m( E ) < ¥, { f n } 是 E 上的可测函数列, 并且存

m 在常数 M > 0, 使得在 E 上 f n £ M a.e.(n ³ 1). 若 f n  f a.e. 或 f n ¾¾  f, 则

f n , f Î L( E ) , 并且 lim ò f n dx = ò f dx.

n¥

证明

E

E

当 m( E ) < ¥ 时 , 常数函数是可积的 . 取 g º M , 由控制收敛定理即

知推论成立. ■ 推论 4.7

设对每个固定的 t  [a, b], f ( x, t ) 是 E 上的可测函数, 又设 f (x) 是

E 上的可测函数, 使得在 E 上

lim f ( x, t ) = f ( x) a.e. t t 0

(4.26)

若存在 g Î L( E ), 使得对每个 t Î [a, b] , f ( x, t ) £ g ( x) a.e.,

(4.27)

则 f ( x, t ), f ( x) Î L( E ) , 并且

lim ò f ( x, t )dx = ò f ( x)dx. t t 0

证明

E

E

由(4.26), (4.27)两式知道 f ( x) £ g ( x) a.e. 因此 f ( x, t ),

(4.28) f ( x ) Î L( E ).

设 {tn } 是 [a, b] 中的数列使得 t n  t 0 , t n  t 0 . 则 f ( x, tn ) £ g ( x) a.e. (n ³ 1). 由

(4.26)式得到 lim f ( x, tn ) = f ( x) a.e.

n¥

对函数列 { f ( x, tn )} 应用控制收敛定理知道得到 lim ò f ( x, tn )dx = ò f ( x)dx.

n¥

E

E

这表明 lim ò f ( x, t ) dx 存在并且(4.28)式成立. ■ t  t0

E

设 f ( x, y ) 是定义在 D = [a, b]´[c, d ] 上的实值函数, 使得对每个 y  [c, d ], f ( x, y ) Î L [a, b], 对每个 ( x, y ) Î D, f y¢( x, y ) 存在, 并且存在 例 3 (积分号下求导)

g Î L [a, b] 使得 f y¢( x, y ) £ g ( x), ( x, y ) Î D.

(4.29)

b

则函数 I ( y ) = ò f ( x, y )dx 在 [c, d ] 上可导, 并且 a

b d b = f x y x ( , )d òa f y¢( x, y)dx. dy òa

证明

对任意 ( x, y ) Î D, 令

f ( x, y + t ) - f ( x , y ) . t 其中 t  0 并且 t 充分小, 使得 y  t  [c, d ] . 则对任意 x  [a, b],

 ( x, t ) =

lim  ( x, t ) = f y¢( x, y ). t 0

由微分中值定理和(4.29)式, 当 x  [a, b] 时,

 ( x, t ) =

f ( x, y + t ) - f ( x, y ) = f y¢( x, y + t ) £ g ( x), t

(其中 0 < θ < 1 ). 因此由推论 4.7 得到 b b d b = = f x y x  x t x ( , )d lim ( , )d òa f y¢( x, y)dx. t  0 òa dy òa b

因此函数 I ( y ) = ò f ( x, y )dx 在 [c, d ] 上可导, 并且(30)式成立. ■ a

习 题

习题 4, 第 12 题-第 19 题.

(4.30)

§ 4.4 本节要点

Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系 本节的结果之一是用函数连续性方面的性态给出了

函数 Riemann 可积的一个简明的充要条件,这是测度理论最成功的 应用之一. 本节的主要结果表明 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广.特 别地, Riemann 正常积分和绝对收敛的广义 Riemann 积分可以视为 Lebesgue 积分.因此利用 Lebesgue 积分的性质,可以解决一些 Riemann 积分的问题. 本节讨论 Lebesgue 积分与 Riemann 积分之间的关系. 这两种积分分别简称为 R 积分和 L 积分. 我们将证明 L 积分是 R 积分的推广. 同时用测度论的方法给出 一个判别函数是否 R 可积的充要条件. b

为区别 f 在 [a, b] 上的 R 积分和 L 积分, 以下将它们分别暂记为 (R) ò f dx 和 a

b

(L) ò f dx. a

设 [a, b] 是一个有界闭区间. 一个有限序列 P = {x0 , x1 ,, xn } 称为是 [a, b] 的 一个分割, 若 a = x0 < x1 <  < xn = b. 若 {Pn } 是 [a, b] 的一列分割, 使得 Pn Ì Pn+1 (n ³ 1), 则称 {Pn } 是单调加细的. 设 f 是定义在 [a, b] 上的有界实值函数 , P = {xi }in=0 是 [a, b] 的一个分割. 对 每个 i = 1,, n, 记 Δx i = x i - x i-1 , m i = inf { f ( x ) : x Î [ xi-1 , x i ]},

(4.31)

M i = sup{ f ( x ) : x Î [ xi-1 , x i ]},

i = M i - mi . y

f ( x)

U ( x) u ( x)

O

a

x1

x2

x i 1

图 4.1

xi

x n 1

b

x

又关于分割 P, 令

 = max( x i - xi-1 ), 1£i£n

u (a ) = m1 , u ( x) = m i , x Î ( xi-1 , xi ], U (a ) = M 1 , U ( x) = M i , x Î ( xi-1 , xi ].

(4.32)

称  为分割 P 的细度. u ( x) 和 U ( x) 都是阶梯函数(如图 4.1).在数学分析中熟知以 下结论:

(1) f 在 [a, b] 上 R 可积的必要条件是 f 在 [a, b] 上有界. (2) 设 f 在 [a, b] 上有界 .. 则 f 在 [a, b] 上 R 可积的充要条件是 , 对任意

 > 0, 存在 [a, b] 的一个分割 P 使得 n

å  Δx <  . i

(4.33)

i

i =1

n

( å  i Δxi 是图 4.1 中阴影部分的面积). i=1

设 f 是 [a, b] 上的有界实值函数 , Pn = {x1( n ) ,  , xk(nn ) } ( n ³ 1) 是 [a, b] 的一列 单调加细的分割. 对每个自然数 n, 设 Δxi( n ) , mi( n ) , M i( n ) ,  i( n ) 和  n , un ( x) , U n ( x) 分 别是关于分割 Pn 按照(4.31)式和(4.32)式所定义. 则 {un } 和 {U n } 都是简单函数列, 并且 {un } 单调递增, {U n } 单调递减. 令 M 和 m 分别是 f 在 [a, b] 上的上界和下界, 则

m £ un £ f £ U n £ M (n ³ 1). 再令 u = lim un , U = lim U n . 则 u 和 U 是有界可测函数, 并且 n¥

n¥

u( x ) £ f ( x ) £ U ( x ), x Î [a, b].

(4.34)

以下的引理 4.3 和定理 4.14 均采用上述记号. 引理 4.3

设 f 是 [a, b] 上的有界实值函数, {Pn } 是 [a, b] 的一列单调加细的

分割 , 并且  n  0. 若 x0 Î [a, b] 并且 x0 不是任何 Pn 的分点 , 则 u( x0 ) = U ( x0 ) 的 充要条件是 f 在 x0 处连续. 证 明 充 分 性 . 设 f 在 x0 处 连 续 . 则 对 任 意  > 0, 存 在  > 0 使 得 当

x Î ( x0 -  , x0 +  ) 时, f ( x) - f ( x0 ) <  .

取 定 正 整 数 n0 , 使 得 当 n > n0 时  n <  . 当 n > n0 时 , 设 x0 Î ( xi(-n1) , xi( n ) ), 则

( xi(-n1) , xi( n ) ) Ì ( x0 -  , x0 +  ). 因此 0 £ f ( x0 ) - un ( x0 ) = f ( x0 ) - m(i n ) £  .

这 表 明 lim un ( x0 ) = f ( x0 ). 即 u( x0 ) = f ( x0 ). n¥

u( x0 ) = U ( x0 ).

类 似 地 有 U ( x0 ) = f ( x0 ).

从而

必要性. 设 u( x0 ) = U ( x0 ). 对任意 n, 设 x0 Î ( xi(-n1) , xi( n ) ), 则

lim  (in ) = lim (U n ( x0 ) - un ( x0 )) = U ( x0 ) - u ( x0 ) = 0.

n¥

n¥

(n 0 )

因此对任意  > 0, 存在 n0 使得  i

< . 令 (n 0 )

(n0 )

 = min{x0 - xi-1 , xi (n )

(n 0 )

则当 x Î ( x0 -  , x0 +  ) 时, x Î ( xi-10 , xi

- x0 }.

), 因而 (n 0 )

f ( x) - f ( x0 ) £  i

< .

因此 f 在 x0 处连续. ■ 定理 4.14 设 f 是 [a, b] 上的有界实值函数. 则

(1) f 在 [a, b] 上 R 可积的充要条件是 f 在 [a, b] 上几乎处处连续(即 f 的间 断点的全体是零测度集).

(2) 若 f 是 R 可积的, 则 f 是 L 可积的, 并且 b

b

(R) ò f dx = (L) ò f dx. a

证明

a

结论(1)的必要性. 设 f 在 [a, b] 上是 R 可积的. 由 R 可积的充要条件

(4.33)式知道, 存在 [a, b] 的一列分割 Pn = {x1( n ) ,  , xk(nn ) }, 使得 n

lim å  (i n )Δxi( n ) = 0.

n¥

(4.35)

i =1

由于当分割愈细时 , (4.35) 式左边的和式愈小 , 故不妨设 Pn 1 是 Pn 的加细 , 并且

 n  0. 由有界收敛定理和 un 与 U n 的定义, 我们有 b

n

b

(L) ò Udx = lim(L) ò U ndx = lim å M i( n ) xi( n ) . n¥

a

n¥

a

b

n

b

(L) ò udx = lim(L) ò undx = lim å mi( n ) xi( n ) . n¥

a

(4.36)

i =1

n¥

a

(4.37)

i =1

两式相减, 并且利用(4.35)式得到 n

b

(L) ò (U - u )dx = lim å  i( n ) xi( n ) = 0. n¥

a

(4.38)

i =1

由于 U - u ³ 0, 由上式得到 U = u a.e. 令 A = {x Î [a , b] : u ( x ) ¹ U ( x )},

B = {x Î [a, b] : x 是某个 Pn 的分点 }. 则 m( A) = 0, B 是可列集. 因此 m( A È B ) = 0. 根据引理 4.3, 当 x0 Î [a, b]- A È B,

f 在 x0 连续. 因此 f 在 [a, b] 上几乎处处连续. (2). 上面已证 U = u a.e., 结合(4)知道 f = u a.e. 根据§3.2 例 3 知道 f 是可 测的. 又 f 在 [a, b] 上是有界的, 因此 f Î L[a, b]. 并且根据(4.37)式, 有 b

b

b

(L) ò f dx = (L) ò udx = lim (L) ò un dx. a

a

n¥

a

(4.39)

另一方面, 利用(4.35)式, 当 n   时, b

n

b

0 £ (R) ò ( f - un )dx £ (R) ò (U n - un )dx = å i( n ) xi( n )  0. a

a

i =1

因此 b

b

lim(R) ò un dx = (R) ò f dx.

n ¥

a

b

(4.40)

a

b

直接计算知道 (R) ò un dx = (L) ò un dx (如图 4.1, 它们都等于曲线 y = f ( x) 下方的 a

a

阶梯图形的面积). 结合(4.39), (4.40)两式得到 b

b

(R) ò f dx = (L) ò f dx. a

a

结论(1)的充分性. 设 f 在 [a, b] 上几乎处处连续. 又设 {Qn } 是 [a, b] 的一列单 调加细的分割, 并且其细度  n  0. 令

E0 = {x Î [a, b] : x 是 f 的间断点, 或 x 是某个 Qn 的分点 }, 则 m( E0 ) = 0. 根据引理 4.3, 当 x0 Î [a, b] - E0 时 , 关于 {Qn } 成立 u( x0 ) = U ( x0 ). 因此 u = U a.e. 对于分割序列 {Qn }, (4.36) 式和(4.37) 式仍成立. 将 (4.36), (4.37) 两式相减得到 n

b

lim å i( n ) xi( n ) = (L) ò (U - u )dx = 0.

n¥

a

i =1

再由 R 可积的的充要条件(1)知道, f 在 [a, b] 上是 R 可积的. ■ 定理 4.14(1)给出了有界函数在 [a, b] 上 R 可积的一个简单明了的判别条件, 彻底搞清楚了函数的可积性与函数的连续性的关系. 定理 4.14(2)表明 L 积分是 R 积分的推广, 并且 L 积分的可积函数类包含 R 积分的可积函数类. 例 1

设 f 是区间 [a, b] 上有界的单调函数. 根据§1.2 例 12 的结果, f 的间

断点的全体是可数集. 因此 f 在 [a, b] 上是几乎处处连续的. 又由于 f 在 [a, b] 上 是有界的. 根据定理 4.14, f 在 [a, b] 上是 R 可积的, 因而也是 L 可积的. 下面以无穷区间 [a, ¥) 的广义 R 积分为例, 讨论广义 R 积分与 L 积分的关系. 对无界函数的广义 R 积分, 也有类似的结果. 定理 4.15

设 f 是 [a, ¥) 上的实值函数, 并且在每个有限区间 [a, b] 上是 R

可积的. 则

(1) 若 f ³ 0, 则成立 (R) ò

¥ a

f dx = (L) ò

¥

(4.41)

f dx.

a

(上式两端的值允许为 ¥ ). (2) f Î L [a, ¥) 的充要条件是 (R) ò

a

(4.41)式成立

¥

f dx 收敛. 并且当 (R) ò

a

¥

f dx 收敛时,

(1). 由假设条件 , f 在每个有限区间 [a, b] 上是 R 可积的 . 由定理

证明

4.14 知道, f 在每个有限区间 [a, b] 上 L 可积的. 由此也知道 f 在每个 [a, b] 上可 测, 从而在 [a, ¥) 上是可测的. 对每个 n  a, 令 f n ( x) = f ( x) [ a , n ] ( x) ( x Î E ). 由 于 f 是非负可测函数, 故 { f n } 是单调递增的可测函数列, 并且 f n  f 处处成立. 利用单调收敛定理和定理 4.14 得到 (L) ò

¥

f dx = lim(L) ò n¥

a

¥

n

f n dx = lim(L) ò f dx n¥

a n

= lim(R) ò f dx = (R) ò n¥

a

(4.42)

a

¥

f dx.

a

(2). (此时不需要条件 f ³ 0 )由(1)的结果得到 (R) ò

¥ a

f dx = (L) ò

¥

f dx.

a

当上式的一端有限时, 另一端也有限, 因此 f Î L [a, ¥) 当且仅当 (R) ò

¥

f dx 收

a

敛 . 当 (R) ò

¥

a

f dx 收敛时 , f Î L [a, ¥). 由于 f n  f 并且 f n  f 处处成立 ,

此时(4.42)式仍然成立, 只是此时第一个等式利用控制收敛定理, 而不是利用单 调收敛定理. ■ 根据定理 4.14 和定理 4.15, 当 f 在某区间上 R 正常可积, 或广义 R 积分绝对 收敛时, f 在该区间上也是 L 可积的, 并且这两种积分值相等. 因此 Lebesgue 积 分的性质(例如, 积分的极限定理等), 可以应用到 Riemann 正常积分和绝对收敛 的广义 Riemann 积分. 此外, f 在区间上的积分, 不需要区别 R 积分和 L 积分, ¥

b

以下都用 ò f dx 和 ò a

f dx 等表示.

a

sin x 设 f ( x) = x . 在数学分析中熟知, f 在 [0, ¥) 上的广义 R 积分是收 敛的, 但不是绝对收敛的. 根据定理 4.15, f 在 [0, ¥) 上不是 L 可积的.

例 2

计算 lim ò

例 3 解

n¥

令 f n ( x) =

0

¥

e-nx cos nx dx. x

e-nx cos nx ( n ³ 1). 则对每个 n, x ïìï 1 , 0 < x £1, ï f n ( x) £ g ( x) = í x ïï ïïîe- x , x >1. ¥

由于广义 R 积分 ò gdx 是收敛的 , 由此 g Î L [0, ¥). 当 n  ¥ 时 , f n ( x)  0 0

( x Î (0, ¥)). 利用控制收敛定理得到 lim ò

n¥

0

¥

¥ e-nx cos nx dx = ò 0dx = 0. 0 x

■

ò

1

¥ 1 1 1 ln dx = å 2 . x 1- x n=1 n

例 4

证明

证明

由 ln(1  x) 的幂级数展开式得到

0

¥ 1 1 x n-1 ln , 0 < x <1. =å x 1- x n=1 n

上式在 [0, 1] 上几乎处处成立(仅在 x  0 和 x  1 处不成立). 注意到在 [0, 1] 上

1 1 x n 1  0. f ( x) = ln ³ 0 a.e., f n ( x)  n x 1- x 利用逐项积分定理, 得到

ò

0

习 题

1

¥ ¥ 1 ¥ x n-1 1 x n-1 1 1 1 ln dx = ò å dx = å ò dx = å 2 . x 1- x n n 0 0 n=1 n=1 n=1 n

习题 4, 第 20 题-第 27 题.

■

§ 4.5 可积函数的逼近性质

本节要点

本节将要证明可积函数可以分别用简单函数,连续

函数和阶梯函数在积分意义下逼近. Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数 逼近.由于连续函数具有较好的性质,因此可积函数的逼近性质在处 理有些问题时是很有用的. 设 E Ì R n 是可测集, C 是 L( E ) 的一个子集. 若对任意 f Î L( E ) 和   0, 存 在一个 g  C , 使得 ò f - g dx <  . 则称可积函数可以用C 中的函数在 L( E ) 中 E

逼近. 这等价于对任意 f Î L( E ), 存在C 中的序列 {g k } 使得 lim ò f - g k dx = 0.

k ¥

E

我们将看到可积函数可以用比较简单的函数, 特别是用连续函数在 L( E ) 中逼近. 可积函数的逼近性质在处理有些问题时是很有用的. 定理 4.16

设 E Ì R n 是可测集, f Î L( E ). 则对任意   0, 存在简单函数

g , 使得

ò 证明

E

f - g dx <  .

(4.44)

由推论 3.1, 存在一个简单函数列 { f k } 使得 { f k } 在 E 上处处收敛于

f , 并且 f k £ f (k ³ 1). 于是 f - fk £ f + fk £ 2 f .

对函数列 { f - f k } 应用控制收敛定理得到 lim ò f - f k dx = 0.

k ¥

E

取 k0 足够大使得 ò f - f k0 dx <  . 令 g = f k 0 , 则 (4.44)式成立. ■ E

定义在 R n 上的实值函数 f 称为是具有紧支集的, 若存在一个有界集 A, 使 得当 x  A C 时, f ( x)  0. 定理 4.17

设 E Ì R n 是可测集, f Î L( E ). 则对任意   0, 存在 R n 上具有

紧支集的连续函数 g , 使得

ò 证明

f - g dx <  .

E

(4.45)

设  > 0. 根据定理 4.16, 存在 L( E ) 中的简单函数  , 使得

ò



E

f -  dx < . 3

(4.46)

记 M = sup  ( x) . 根据 Lusin 定理, 存在 R n 上的连续函数 h, 使得 xÎ E

m { x Î E : h( x) ¹  ( x)} <

 6M

.

并且 sup h( x) £ M . 我们有 xÎR n

ò

E

 - h dx = ò

E ( h¹ )

  - h dx £ 2MmE (h ¹  ) < .

(4.47)

3

上式表明 h - Î L( E ), 于是 h = (h - ) +  Î L( E ). 利用引理 3.3, 容易知道对每 个正整数 k , 存在 R n 上的连续函数 hk ( x), 使得 hk

S (0, k )

= h, hk

U (0, k +1)C

= 0, 其中

S (0, k ) 是以 0 为中心, 以 k 为半径的闭球. 则 hk £ h (k ³ 1) , 并且 hk ( x )  h( x ) ( x Î E ). 利用控制收敛定理得到 , lim ò h - hk dx = 0. 因此对充分大的 k 0 , 有 k ¥

ò

E



E

h - hk 0 dx < . 令 g = hk 0 , 则 g 是具有紧支集的连续函数. 并且 3

ò



E

h - g dx < . 3

(4.48)

利用(4.46)-(4.8)式得到

ò



E





f - g dx £ ò f - dx + ò  - h dx + ò h - g dx < + + =  . 3 3 3 E E E

■

可积函数也可以用具有紧支集的阶梯函数逼近. 称形如 n

f ( x) = å ai  I ( x) i

i =1

的函数为 R1 上的阶梯函数, 其中 I1 ,, I n 为 R1 上的互不相交的区间. 定理 4.18

设 E Ì R1 是可测集, f Î L( E ). 则对任意   0, 存在 R1 上具有

紧支集的阶梯函数 g , 使得

ò 证明

E

f - g dx <  .

(4.49)

根据定理 4.17, 对任意   0, 存在 R1 上具有紧支集的连续函数  ,

使得

ò



E

f -  dx < . 2

(4.50)

不妨设当 x Î [a, b]C 时  ( x) = 0. 由于  在 [a, b] 上一致连续, 故存在  > 0 , 使得 当 x ¢, x ¢¢ Î [a, b] 并且 x ¢ - x ¢¢ <  时,

 ( x ¢) -  ( x ¢¢) <

 2(b - a )

.

设 a = x0 < x1 <  < xk = b 是 [a, b] 的一个分割, 使得 max xi - xi-1 <  . 令 1£i£k

k

g ( x) = å  ( xi )  ( xi-1 , xi ] ( x). i =1

则 g 是 R1 上具有紧支集的阶梯函数, 并且

 ( x) - g ( x) <

 2(b - a)

, x Î [a, b].

于是

ò



b

R1

 - g dx = ò  - g dx < (b - a) ⋅ a

2(b - a )



= . 2

(4.51)

结合(4.50), (4.51)两式得到

ò



E



f - g dx £ ò f -  dx + ò  - g dx < + =  . E E 2 2

■

上述结果可以更一般化. 设 E Ì R n 是可测集, p > 0. 若 f 是 E 上的可测函 数并且 ò f

p

dx < ¥ , 则称 f 在 E 上是 p 方可积的 . E 上的 p 方可积函数的全

E

体记为 L p ( E ). 显然 L( E ) 就是 L p ( E ) 当 p = 1 的情形 . 将上述的几个定理的证明 作明显的修改, 可以证明对 f Î Lp ( E ) 的情形成立相应的结果. 我们叙述如下: 定理 4.19

设 E Ì R n 是可测集 , p > 0. 若 f Î L p ( E ), 则对任意   0, 分

别存在 L p ( E ) 中的如下类型的函数 g ,

(I) 简单函数; (II) R n 上具有紧支集的连续函数; (III) (当 E Ì R1 时) R1 上具有紧支集的阶梯函数, 使得

ò

f - g dx <  . p

E

■

在某些关于积分的问题中, 利用可积函数的逼近性质, 可以用较简单的函数 代替一般的可积函数, 使问题变得较容易处理. 例 1 (平均连续性)

设 f Î L(R n ). 则 lim ò t 0

证明

Rn

f ( x + t ) - f ( x) dx = 0.

(4.52)

先设 f 是具有紧支集的连续函数 . 此时存在闭球 S (0, r ), 使得当

x Î S (0, r )C 时 f ( x) = 0. 容易知道对任意   0, 存在  > 0 ( 不妨设  < 1 ), 使得 当 x ¢, x ¢¢ Î R n , d ( x , x )   时, 有 f ( x )  f ( x )   . 于是当 d (0, t )   时,有

ò

Rn

f ( x + t ) - f ( x) dx = ò

S (0, r +1)

f ( x + t ) - f ( x) dx <  m( S (0, r + 1)).

这表明当 f 是具有紧支集的连续函数时, (4.52)式成立. 一般情形, 根据定理 4.17, 存在 R n 上的具有紧支集的连续函数 g , 使得

ò

Rn

f ( x ) - g ( x ) dx <  .

(4.53)

既然 g 是有紧支集的连续函数, 由上面所证, 存在   0, 使得当 d (0, t )   时,

ò

Rn

g ( x + t ) - g ( x ) dx <  .

(4.54)

由(4.53)式和§ 4.1 例 2, 有

ò

Rn

f ( x + t ) - g ( x + t ) dx = ò

Rn

f ( x ) - g ( x ) dx <  .

(4.55)

结合(4.53)-( 4.55), 当 d (0, t )   时,

ò

f ( x + t ) - f ( x) dx £ ò

Rn

f ( x + t ) - g ( x + t ) dx + ò

Rn

g ( x + t ) - g ( x) dx

Rn

+ò

Rn

g ( x) - f ( x) dx < 3 .

因此(4.52)式成立. ■ 例 2 (Riemann-Lebesgue 引理) 设 f Î L [a, b]. 则 b

lim ò f ( x) cos nxdx = 0.

n¥

(4.56)

a

b

lim ò f ( x) sin nxdx = 0.

n¥

(4.57)

a

先设 f =  ( ,  ) , 其中 ( ,  )  [a, b]. 则当 n  ¥ 时

证明

ò

b a



f ( x) cos nxdx = ò cos nxdx = 

sin n - sin n  0. n

于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数 f , (4.56)式成立. 现在设 f Î L [a, b]. 对任意   0, 由定理 4.18, 存在一个阶梯函数 g , 使得 ò

b a

证明的结果, 存在 N  0, 使得当 n  N 时,

ò

b a



f - g dx < . 由上面 2



g ( x ) cos nxdx < . 2

于是当 n  N 时有

ò

b a

b

b

f ( x ) cos nxdx £ ò ( f ( x ) - g ( x )) cos nxdx + ò g ( x ) cos nxdx a

£ò

b a

a







f - g dx + < + =  . 2 2 2

因此(4.46)式成立. 类似地可以证明(4.57)式成立. ■ 习 题

习题 4, 第 28 题, 第 29 题.

§ 4.6 本节要点

Fubini 定理

本节的主要内容是 Fubini 定理.另外还要给出

Lebesgue 积分的几何意义 Fubini 定理表明,在很一般的条件下重积分与不同顺序的两个 累次积分是相等的.这使得我们在积分的计算和理论推导时可以方 便地交换积分秩序. 4.6.1 Fubini 定理 在 Riemann 积分理论中, 关于重积分与累次积分, 不同顺序的累次积分的关 系, 有如下结果, 如果 f ( x, y ) 在矩形 D = [a, b]´[c, d ] 上连续, 则

òò

b

d

d

b

f ( x, y )dxdy = ò dx ò f ( x, y )dy = ò dy ò f ( x, y )dx.

D

a

c

c

a

这节我们对 Lebesgue 积分考虑同样的问题. 设 p, q 是正整数, 定义在 R p+q 上的 函数记为 f ( x, y ) , 其中 x Î R p , y Î R q . 设对几乎处处固定的 x Î R p ,

f ( x, y ) 作

为 y 的函数在 R 上的积分存在. 记 q

g ( x) = ò

Rq

f ( x, y )dy.

(可能对于一个零测度集中的 x, 上式右边的积分不存在. 此时 g (x) 在这个零测 度集上没有定义, 在这个零测度集上令 g ( x) = 0 ). 若 g (x) 是 R p 上的可测函数并 且在 R p 上的积分存在, 则称 ò g ( x)dx 为 f 的累次积分, 记为 R

ò (ò Rp

Rq

p

)

f ( x, y )dy dx, 或

ò

Rp

类似可以定义另一个顺序的累次积分 ò dy ò R

q

R

p

dx ò

Rq

f ( x, y )dy.

f ( x, y )dx. 称 f ( x, y ) 在 R p+q 上的

积分为重积分, 记为

ò

R p ´R q

f ( x, y )dxdy.

下面将要证明的 Fubini 定理表明, 在很一般的条件下, 重积分和两个不同顺序的 累次积分是相等的. 为此, 需要作一些准备. 我们知道 R p+q 可以看成是 R p 与 R q 直积. 设 A Ì R p , B Ì R q . 称

A´ B = {( x, y ) : x Î A, y Î B} 为R

p+q

中的矩形( 补充定义 A    ,   B   ). 若 A 和 B 都是可测集, 则称

A´ B 是可测矩形. 当 A 和 B 是直线上的有界区间时, A  B 就是平面上的通常意 义下的矩形. 设 E Ì R p ´ R q . 对于 x Î R p , 称集

Ex = { y Î R q : ( x, y ) Î E} 为 E 在 x 处的截口. 对于 y Î R q , 称集 E y = {x Î R p : ( x, y ) Î E}

为 E 在 y 处的截口. 注意 E x 和 E y 分别是 R q 和 R p 的子集(图 4.2). 容易验证关于 x 的截口成立如下性质: ¥ ¥ æ ¥ ö÷ æ¥ ö çç E ÷ =  ( E ) , çç E ÷÷ =  ( E ) , n x n x çèn=1 n ø÷ çè n=1 n ø÷ n=1 n=1 x

x

( A - B )x = Ax - Bx . 同样, 关于 y 的截口也成立类似的性质.

y ìï y ïï ïï ï E x ïí ïï ïï ïï ïî

E

x   Ey

O

x

图 4.2

在叙述下面的定理之前先看一个事实. 设平面 R 2 上的图形 E 是由连续曲线

y = y1 ( x), y = y2 ( x) ( y1 ( x) £ y2 ( x) ) 和直线 x = a , x = b (a < b) 所围成 . 在数学分 析中熟知 E 的面积 b

b

S = ò ( y2 ( x) - y1 ( x))dx = ò Ex dx. a

a

其中 Ex 表示截口线段 Ex 的长度. 下面的定理表明, 高维空间可测集的测度与其 在低维空间截口的测度, 有类似的关系. 定理 4.20 设 E 是 R p ´ R q 中的可测集. 则

(1) 对几乎处处的 x Î R p , Ex 是 R q 中的可测集. (2) m( Ex ) 是 R p 上的可测函数. 并且成立等式 m( E ) = ò p m( Ex )dx.

(4.59)

R

证明 分几个步骤证明. 1 证明满足定理的结论(1)和(2)的集类对不相交可列并运算封闭. 设 {En } 是 ¥

R p ´ R q 中 的 一 列 互 不 相 交 的 集 , 每 个 En 满 足 (1) 和 (2). 令 E =  En , n =1

则

¥

Ex =  ( En )x . 由此知道, 对几乎处处的 x Î R p , Ex 是可测集. 由于 {( En ) x } 互不 n =1

相交, 因此 ¥

m( Ex ) = å m(( En ) x ). n=1

由上式知道 m( Ex ) 是可测的. 利用逐项积分定理, 我们有 ¥

¥

n=1

n=1

m( E ) = å m( En ) = å ò p m(( En ) x )dx =ò

R

¥

Rp

å m(( E ) )dx = ò n x

n=1

Rp

m( E x )dx.

这表明 E 满足(1)和(2).

2 设 E = I1 ´ I 2 是 R p ´ R q 中的方体. 则 ìï I 2 , x Î I1 , Ex = ïí ïïîÆ, x Ï I1.

ïì I 2 , m( Ex ) = ïí ïï 0, î

x Î I1 , x Ï I1.

因此 Ex 是可测集, m( Ex ) 是可测函数. 并且

m( E ) = I1 ´ I 2 = I1 ⋅ I 2 = ò I 2 dx= ò p m( Ex )dx. R

I1

3 设 E 是开集 . 根据定理 1.27, 存在一列互不相交的半开方体 {I n } 使得 ¥

E =  I n . 根据情形(2), 每个 I n 满足(1)和(2). 再利用情形 1 的结论即知 E 满足 n =1

(1)和(2). ¥

4 设 E =  Gn 是有界 G 型集 , 其中每个 Gn 是开集 . 不妨设 Gn  ( 否则令 n =1

G1 = G1 , G n = G1 Ç  Ç Gn ( n ³ 2 ), 用 {G n } 代替 {Gn } ). 既然 E 有界, 不妨设 G1 有 ¥

界. 根据情形 3 , 每个 (Gn ) x 是可测集. 于是 Ex =  (Gn ) x 是可测集. 利用测度的 n=1

上连续性, 对每个 x Î R , p

æ¥ ö m( E x ) = m çç (Gn ) x ÷÷÷ = lim m((Gn ) x ). çè n=1 ø n¥

(4.60)

根据情形 3 的结论 , 每个 m(Gn ) x 是可测函数 . 由 (4.60) 知道 m( Ex ) 是可测函数 . 再次利用情形 3 的结论, 有

ò

Rp

m((G1 ) x )dx = m(G1 ) < ¥.

故 m((G1 ) x ) Î L(R p ). 又 m((Gn ) x ) £ m((G1 ) x ) (n ³ 1), 利用控制收敛定理和(4.60) 式 得到 m( E ) = lim m(Gn ) = lim ò p m((Gn ) x )dx = ò p m( Ex )dx. n¥

n¥

R

R

5 设 E 是零测度集. 此时 E 可以表示为一列有界零测度集的不相交并, 利

用情形 1 的结论, 不妨设 E 是有界零测度集. 根据定理 2.7, 存在有界 G 型集 G ,

使得 G É E 并且 m(G - E ) = 0. 于是 m(G ) = 0. 由情形 4 的结论,

ò

Rp

m(Gx )dx = m(G ) = 0.

故 m(Gx ) = 0 a.e. 由于 Ex Ì Gx , 因此对几乎处处的 x Î R p , Ex 是可测集 , 并且

m( Ex ) = 0 a.e. 于是 m( Ex ) 是可测函数, 并且 m( E ) = ò m( Ex )dx. R

p

6 一般情形, 设 E 是 R p ´ R q 中的可测集. 与情形 5 类似, 不妨设 E 有界.

根据定理 2.7, 存在有界 G 型集 G , 使得 G É E 并且 m(G - E ) = 0. 令 A = G - E , 则 A 是零测度集 , 并且 E = G - A. 由于 Ex = Gx - Ax , 根据情形 4 和 5 的结论 知道, 对几乎处处的 x Î R p , Ex 是可测集. 由于

m( Ex ) = m(Gx ) - m( Ax ) = m(Gx ) a.e., 因此 m( Ex ) 是可测函数. 最后 m( E ) = m(G ) = ò p m(Gx )dx =ò p m( Ex )dx. R

R

至此, 定理得证. ■ 由于对称性, 对于截口 E y ( y Î R q ) 成立类似于定理 4.20 的结论. 定理 4.21 (Fubini) 处 处 的 x ÎRp ,

(1). 若 f ( x, y ) 是 R p ´ R q 上的非负可测函数, 则对几乎

f ( x, y ) 作 为 y 的 函 数 是 R q 上 的 非 负 可 测 函 数 ,

g ( x) = ò f ( x, y )dy 是 R p 上的非负可测函数. 并且 R

q

ò

R p ´R q

f ( x, y )dxdy = ò

Rp

(ò

Rq

)

f ( x, y )dy dx .

(4.61)

(2). 若 f ( x, y ) 是 R p ´ R q 上的可积函数 , 则对几乎处处的 x Î R p ,

f ( x, y )

作为 y 的函数是 R q 上的可积函数, 并且 g ( x) = ò f ( x, y )dy 是 R p 上的可积函数. R

q

而且(4.61)式成立. 证明:

(1). 先设 f ( x, y ) =  E ( x, y ) 是可测集的特征函数, 其中 E 是 R p ´ R q

中的可测集. 对每个固定的 x Î R p ,

f ( x, y ) =  E ( x, y ) =  Ex ( y ). 根据定理 4.20, 对几乎处处的 x Î R p , Ex 是 R q 中的可测集. 因此对几乎处处的

x Î R p , f ( x, y ) 是 R q 上的可测函数. 利用(1)式得到

ò

R p´R q

 E ( x, y )dxdy = m( E ) = ò m( E x )dx =ò

Rp

(ò

Rp

Rq

)

 E ( y )dy dx = ò x

Rp

(ò

Rq

)

 E ( x, y )dy dx.

这表明当 f 是可测集的特征函数时, 结论成立. 由积分的线性性知道, 当 f 是非 负简单函数时, 结论成立. 一般情形, 设 f 是非负可测函数. 则存在单调增加的 非负简单函数列 { f n } 使得 f ( x, y ) = lim f n ( x, y ). 于是对对几乎处处的 x Î R p , n¥

f ( x, y ) 是 R q 上的可测函数. 令 g n ( x) = ò f n ( x, y )dy, n ³ 1. R

q

则 {g n } 是单调递增的非负可测函数列, 并且由单调收敛定理得到 lim g n ( x) = lim ò

n¥

因此 g ( x) = ò

Rq

n¥

f n ( x, y )dy =ò

Rq

Rq

f ( x, y )dy.

f ( x, y )dy 是非负可测函数 . 再对函数列 {g n } 应用单调收敛定理,

得到

ò

R p´R q

f ( x, y )dxdy = lim ò n¥

= lim ò n¥

f n ( x, y )dxdy

R p´R q

Rp

(ò

Rq

)

f n ( x, y )dy dx = ò

Rp

(ò

Rq

)

f ( x, y )dy dx.

即(4.61)式成立. 因此结论 (1) 得证.

(2). 设 f ( x, y ) Î L(R p ´ R q ). 对 f + ( x, y ) 利用 (1) 的结论, 我们有

ò (ò R

因此 ò

Rq

p

R

)

f + ( x, y )dy dx = ò

q

R ´R p

q

f + ( x, y )dxdy < ¥.

f + ( x, y )dy < ¥ a.e. 这表明对几乎处处的 x Î R p ,

似地 , f - ( x, y ) Î L(R q ). 从而对几乎处处的 x Î R p ,

f + ( x, y ) Î L(R q ). 类

f ( x, y ) Î L(R q ). 对 f  和

f  分别利用(4.61)式并且相减得到

ò =ò

R p ´R q

=ò

Rp

=ò

R

p

=ò

Rp

R p ´R q

f ( x, y )dxdy f + ( x, y )dxdy - ò

(ò é ê( ò ë (ò

R p ´R q

) (ò f ( x, y)dy) dx ù f ( x, y )dy ) - ( ò f ( x, y )dy)ú dx û f ( x, y )dy ) dx.

f + ( x, y )dy dx - ò

Rq

-

Rp

+

R

Rq

q

f - ( x, y )dxdy Rq

-

R

q

这表明 g ( x) = ò f ( x, y )dy 是 R p 上的可积函数, 并且(4.61)式成立. ■ R

q

由于对称性, 在定理 4.21 中, 交换 x 与 y 的位置, 所得结论仍然成立. 因此, 在定理 4.21 的条件下, 成立

ò

R p ´R q

f ( x, y )dxdy = ò p dx ò R

Rq

f ( x, y )dy = ò q dy ò R

Rp

f ( x, y )dx.

(4.62)

推论 4.8 设 I 和 J 分别是 R p 和 R q 中的方体. 若 f ( x, y ) 是 I ´ J 上的非负可 测函数或可积函数, 则

ò 证明

I ´J

f ( x, y )dxdy = ò dx ò f ( x, y )dy = ò dy ò f ( x, y )dx. I

J

J

(4.63)

I

在推论的条件下 , f ( x, y )  I´J ( x, y ) 是非负可测函数或可积函数. 在

(4.62) 式中将 f ( x, y ) 换为 f ( x, y )  I´J ( x, y ) , 并且注意到  I´J ( x, y ) =  I ( x)  J ( y ), 就得到(4.63). ■ 在 Fubini 定理中, f ( x, y ) 在乘积空间上可积这个条件往往不易验证. 下面的 推论中的条件容易验证, 因而常常用到. 推论 4.9 设 I 和 J 分别是 R p 和 R q 中的方体, f ( x, y ) 是 I ´ J 上的可测函数. 若以下两式中至少有一个成立

ò dx ò I

ò

f ( x, y ) dy < ¥ , J

dy ò f ( x, y ) dx <¥ ,

J

I

则(4.63)式成立. 不妨设 ò dx ò f ( x, y ) dy < ¥ . 由推论 4.8, 我们有

证明

I

ò

J

f ( x, y ) dxdy = ò dx ò f ( x, y ) dy < ¥.

I ´J

I

J

这表明 f ( x, y ) 在 I ´ J 上可积. 再次应用推论 4.8 即知(4.63)成立. ■ 例 1 计算 I = ò 解

¥ 0

sin x -ax -bx x (e - e )dx (0 < a < b).

由计算知道

ò

¥ 0

¥ b sin x -ax -bx - xy (e e )d d x = x ò0 òa e sin xdy. x

由于

ò

b a

b ¥ b 1 b e- xy sin x dx £ ò dy ò e- xy dx = ò y dy = ln a <¥, 0 a a

¥

dy ò

0

由 Fubini 定理(推论 4.9), 得到 ¥

b

¥

b

I = ò dx ò e- xy sin xdy = ò dy ò e- xy sin xdx 0

=ò

a

b a

0

a

1 dy = arctan b - arctan a. 1+ y 2 ¥

例 2 利用 Fubini 定理计算 ò e- x dx. 2

0

解

由 于 f ( x, y ) = ye-(1+ x

2

)y

2

是 [0, ¥)´[0, ¥) 上 的 非 负 可 测 函 数 , 利 用

Fubini 定理得到

ò

¥ 0

dx ò

¥

ye-(1+ x

0

2

) y2

¥

dy = ò dy ò 0

¥ 0

ye-(1+ x

2

) y2

dx.

经直接计算, 我们有

ò

¥ 0

dx ò

¥ 0

ye-(1+ x

2

) y2

dy =

1 ¥ 1  dx = . 2 ò 2 0 1+ x 4

另一方面,

ò

¥ 0

dy ò

¥ 0

ye-(1+ x

2

) y2

¥ ¥ 2 æ 2 2 ö dx = ò e- y çç ò ye- x y dx ÷÷dy è 0 ø 0

¥

=ò e

- x2

0

¥



2

因此 ò e- x dx =

2

0

¥

dx ⋅ ò e

- y2

0

2

æ ¥ 2 ö dy = çç ò e- x dx ÷÷ . è 0 ø

.

例 3 设 f , g Î L(R n ). 令

( f * g )( x) = ò

Rn

f ( y ) g ( x - y )dy, x Î R n .

(4.64)

称 函 数 f * g 为 f 与 g 的 卷 积 . 下 面 我 们 证 明 ( f * g )( x) 几 乎 处 处 有 定 义 ,

f * g Î L(R n ), 并且成立

ò

Rn

( f * g )( x)dx £ ò

f ( y ) dy ò

Rn

Rn

(4.65)

g ( x) dx.

事实上, 利用 Fubini 定理和§4.1 例 2, 我们有

ò

Rn

dx ò

Rn

f ( y ) g ( x - y ) dy = ò n d y ò R

因此对几乎处处的 x Î R n ,

ò

R

n

Rn

f ( y ) g ( x - y ) dx

=ò

Rn

f ( y ) dy ò

Rn

=ò

Rn

f ( y ) dy ò

Rn

g ( x - y ) dx

(4.66)

g ( x ) dx <¥.

f ( y ) g ( x - y ) dy < ¥. 这表明对几乎处处的 x Î R n ,

(4.64)式右边的积分是可积的. 因而 ( f * g )( x) 几乎处处有定义并且有限. 而且利 用(4.66)式, 我们有

ò

Rn

( f * g )( x)dx = ò £ò

Rn

ò

Rn

(ò

=ò

Rn

Rn

Rn

f ( y ) g ( x - y )dy dx

)

f ( y ) g ( x - y ) dy dx

f ( y ) dy ò

Rn

g ( x) dx < ¥.

这表明 f * g Î L(R n ), 并且成立(4.66)式成立. ■ 若 I 和 J 分别是 R p 和 R q 中的方体, 则 I ´ J = I ⋅ J . 下面的定理表明将 I 和 J 分别换为 R p 和 R q 中一般的可测集, 成立类似的结果. 定理 4.22

若 A 和 B 分别是 R p 和 R q 中的可测集, 则 A´ B 是 R p ´ R q 中的

可测集, 并且成立

m( A´ B) = m( A) ⋅ m( B).

(4.67) ¥

证 明 先 证 可 测 性 . 根 据 定 理 2.7, 存 在 F 型 集 F =  Fn Ì A,

使得

n =1

m( A - F ) = 0. 故 A 可以表示为 æ¥ ö A = çç Fn ÷÷÷ È E , çèn=1 ø

其中每个 Fn 是闭集, E = A - F 是零测度集. 由于每个闭集可以表示为一列有界 ¥

闭集的并, 故不妨设 A =  Ai , 其中 Ai 是有界闭集或零测度集. 同样, B 也可以 i =1

¥

类似地表示为 B =  B j . 于是 j =1

¥

A´ B =

 (A ´B ) . i

j

i , j =1

因此只需考虑以下两种情况:

(1). A 和 B 都是闭集, 此时 A´ B 是 R p ´ R q 中的闭集(见习题 1 第 29 题, 即 本教案习题 1 第 23 题), 因而是可测集.

(2). A 和 B 中有一个是零测度集, 一个是有界闭集. 不妨设 m( A) = 0. 则对 任意  > 0, 存在 R p 中的开方体列 {I k } 和 R q 中的开方体列 {J i } , 使得 ¥

A Ì  Ik , k =1 ¥

¥

åI

k

¥

åJ

B Ì  Ji , i =1

<,

k =1

i

< m( B) +  < ¥.

i =1

则 {I k ´ J i } 是 A´ B 的一个开方体覆盖. 于是 ¥

¥

¥

¥

m* ( A´ B ) £ åå I k ´ J i = åå I k ⋅ J i k =1 i =1

k =1 i =1

¥

¥

¥

k =1

i =1

i =1

= å Ik ⋅ å Ji <  ⋅ å Ji . 由  的任意性得到 m ( A´ B) = 0. 因此此时 A´ B 也是 R p ´ R q 中的可测集. *

综上所证, A´ B 是 R p ´ R q 中的可测集. 利用 Fubini 定理得到

m( A´ B) = ò

R p ´R q

 A´B ( x, y )dxdy

= ò p  A ( x)dx ⋅ ò q  B ( y )dy R

R

= m( A) ⋅ m( B ). 故(4.67)成立. ■ 下面的推论 4.10 给出了 Fubini 定理更一般的形式. 推论 4.10 设 A 和 B 分别是 R p 和 R q 中的可测集. 若 f ( x, y ) 是 A´ B 上的非 负可测函数或可积函数, 则

ò 证明

A´B

f ( x, y )dxdy = ò dx ò f ( x, y )dy = ò dy ò f ( x, y )dx. A

B

B

(4.68)

A

根据定理 4.22, A´ B 是 R p ´ R q 中的可测集 对 f ( x, y )  A´B ( x, y ) 应用

(4.62)式即得(4.68)式. ■

4.6.2 积分的几何意义 b

我们知道, 若 f ( x) 是 [a, b] 上非负的 Riemann 可积函数, 则 ò f ( x)dx 的几何 a

意义是 f ( x) 的下方图形

G ( f ) = {( x, y ) Î R 2 : a £ x £ b, 0 £ y £ f ( x)}

的面积. 现在我们对 Lebesgue 积分给出类似的几何意义. 设 E Ì Rn ,

f ( x) 是定义在 E 上的非负实值函数 令 G ( f ) = {( x, y ) Î R n+1 : x Î E , y = f ( x)} , G ( f ) = {( x, y ) Î R n+1 : x Î E , 0 £ y £ f ( x)} .

分别称 G ( f ) 和 G ( f ) 为 y = f ( x) 的图形和下方图形. 注意 G ( f ) 和 G ( f ) 都是 R n+1 中的集. 此外, 若 A Ì E , 记

GA ( f ) = {( x, y ) Î R n+1 : x Î A, y = f ( x)} . 定理 4.23

设 E 是 R n 中的可测集, f ( x) 是定义在 E 上的非负实值的可测函

数 则 m(G ( f )) = 0. 证明

不妨设 m( E ) < ¥ . 设  是任意给定的正数. 令

Ek = E (k £ f < (k + 1) ), k = 0, 1, 2, . ¥

则 {Ek } 是一列互不相交的可测集, 并且 E =  Ek . 显然有 k =0

¥

G ( f ) =  GEk ( f ). k =1

注意到 GEk ( f ) Ì Ek ´[k , (k +1) ), 于是 ¥

¥

k =0

k =0

m* (G ( f )) £ å m* (GEk ( f )) £ å  ⋅ m( Ek ) =  ⋅ m( E ). 由于  > 0 是任意的, 因此 m(G ( f )) = 0. ■ 定理 4.24 (积分的几何意义)

设 E 是 R n 中的可测集, f ( x) 是定义在 E 上

的非负实值的可测函数. 则 G ( f ) 是 R n+1 中的可测集, 并且 m(G ( f )) = ò f ( x)dx.

(4.69)

E

k

证明

先证明 G ( f ) 的可测性. 若 f ( x) = å ai  Ai ( x) 是非负简单函数, 则 i =1

k

G ( f ) =  Ai ´[0, ai ]. i =1

根据定理 4.22, 每个 Ai ´[0, ai ] 是可测的, 因而 G ( f ) 是可测的. 并且 k

k

i =1

i =1

m(G ( f )) = å m( Ai ´[0, ai ]) = å ai m( Ai ) = ò f ( x)dx. E

一 般 情 形 , 存 在 一 列 非 负 简 单 函 数 { f k } 使 得 f k  f (k  ¥). 容 易 知 道

G ( f k ) Ì G ( f k +1 ) (k ³ 1), 并且 ¥

G ( f ) = G ( f ) È  G ( f k ). k =1

其中每个 G ( f k ) 是可测的. 又由定理 4.23 知道 G ( f ) 是可测的并且 m(G ( f )) = 0.

因此 G ( f ) 是可测的. 并且 æ¥ ö m(G ( f )) = m çç G ( f k )÷÷ = lim m(G ( f k )) çè k =1 ÷ø k ¥ = lim ò f k ( x)dx = ò f ( x)dx. k ¥

E

E

(4.69)式得证. ■ 例 4 设 E 是 R n 中的可测集, f 是 E 上的非负可测函数, 1 £ p < ¥. 则

ò 证明

¥

E

f ( x) p dx = p ò t p-1m({x Î E : f ( x) > t })dt. 0

令 A = {( x, t ): x Î E , 0 £ t < f ( x) }, 则 A = G ( f ) - G ( f ). 因此 A 是 R n+1

中 的 可 测 集 . 从 而  A ( x, t ) 是 R n+1 上 的 可 测 函 数 . 注 意 到 对 固 定 的 t ³ 0,

 A ( x, t ) = { xÎE: f ( x )>t} ( x ), 由 Fubini 定理得到

ò

E

0

E

= ò dx ò =ò

¥

pt

0

=ò

0

¥

pt p-1dt

pt p-1  A ( x, t )dt

0

E

习 题

f ( x)

f ( x) p dx = ò dx ò

dt ò { xÎE: f ( x )>t } ( x)dx

p-1

E

¥

pt p-1m({x Î E : f ( x) > t })dt.

习题 4, 第 30 题-第 33 题.

■

第五章

微分与不定积分

在数学分析中我们知道, 微分与积分具有密切的联系. 一方面, 若 f (x) 在

[a, b] 上连续, 则对任意 x  [a, b] 成立

(ò

x a

)¢

f ( t )dt = f ( x ).

另一方面, 若 f (x) 在 [a, b] 上可微, 并且 f (x) 在 [a, b] 上是 Riemann 可积的, 则成 立 Newton-Leibniz 公式

ò

b a

f ¢( x )dx = f (b) - f ( a ).

本章将把上述结果推广到 Lebesgue 积分的情形.. 本章所讨论的函数都是定义在 区间上的实值函数(不取   为值).

§ 5.1 本节要点

单调函数的可微性

本节将证明 Vitali 覆盖定理和单调函数的可微性定

理.

Vitali 覆盖定理不仅是证明单调函数的可微性定理的基础, 它 本身也是一个重要的结果.单调函数是几乎处处可微的,但类似于

Newton-Leibniz 公式的等式一般不成立. 本节的两个例子表明这个 结果一般是不能改进的. 先回顾单调函数的定义 . 设 f 是定义在区间 I 上的实值函数 . 若对任意 x1 , x 2  I , 当 x1  x 2 时总有 f ( x1 )  f ( x 2 ), (相应地, f ( x1 )  f ( x 2 ) ),

则称 f 在 I 上是单调递增的(相应地, 单调递减的). 单调递增和单调递减的函数 统称为单调函数. 定义 5.1

设 E 是 R1 的子集, Γ = {I } 是一族区间( I  可以是开的, 闭的或

半开半闭的, 但不能退化为单点集). 若对任意   0 和 x  E , 存在 I Î Γ , 使得

x Î I  并且 I <  , 则称 Γ 为 E 的一个 Vitali 覆盖. 例 如 , I m, n = (rn -

设 E = [a, b],

{rn } 是 [a, b] 中 的 有 理 数 的 全 体 .

令

1 1 , r + ). 则区间族 Γ = {I m, n : m, n Î N} 就是 E 的一个 Vitali 覆盖. m n m

定理 5.1(Vitali 覆盖定理)

设 E  R1 , 其外测度 m* ( E ) < ¥, Γ = {I } 是 E

的一个 Vitali 覆盖. 则对任意   0, 存在有限个互不相交的区间 I1 ,, I n Î Γ , 使 得

(

n

)

m* E - I i <  . 证明

i =1

(5.1)

略(见教材). ■

下面考虑单调函数的可微性. 我们知道, 定义在区间上的实值函数 f ( x) 在 某一点处可微的必要条件是 f ( x) 在该点处连续. 但 f ( x) 在某一点处连续不保证

f ( x) 在该点处可微. 尽管如此, 在很长时间大多数数学家还是相信, 在一个区间 上的连续函数 f ( x) 除了在“少数”例外点外, 在其余大多数点 f ( x) 是可微的. 然 而使数学界深感意外的是, 1872 年德国数学家 Weierstrass 作出了一个反例打破了 这种观念.

Weierstrass 给出的反例说明, 一个处处连续的函数可以是处处不可

微的! 这个反例也说明直觉是不可靠的. 但是, 对于单调函数而言上述的情况不会发生. 我们将证明单调函数是几乎 处处可微的. 定理 5.2(Lebesgue)

设 f ( x) 是定义在 [a, b] 上的单调递增的实值函数 . 则

f ( x) 在 [a, b] 上几乎处处可导. 其导数 f ¢( x) 在 [a, b] 上 L 可积, 并且

ò 证明

b a

f ¢( x )dx £ f (b) - f (a ).

(5.6)

先证明在 (a, b) 上几乎处处成立

D  f ( x)  D f ( x)  D  f ( x)  D f ( x).

(5.7)

令 E1  {x  (a, b) : D  f ( x)  D f ( x)}. 则

E1 =

 { x Î ( a, b ) : D

+

f ( x) > r > s > D- f ( x)}.

r , s ÎQ

其中 Q 为有理数集. 我们要证明 m  ( E1 )  0, 为此只需证明对任意 r , s Î Q,

m* ({x Î (a, b) : D + f ( x) > r > s > D- f ( x)}) = 0. 记

A = { x Î (a, b) : D + f ( x) > r > s > D- f ( x)} . 对 任 意   0, 存 在 开 集 G  A 使 得 m(G )  m  ( A)   . 对 任 意 x  A, 由 于 D f ( x)  s, 故存在 h  0 使得 [ x - h, x] Ì G 并且

f ( x)  f ( x  h)  sh.

(5.8)

所有这样的区间 [ x - h, x] 构成了 A 的一个 Vatali 覆盖. 根据 Vitali 覆盖定理, 存在

(

n

)

有限个互不相交的这样的区间 I i  [ xi  hi , xi ]( i  1,  , n), 使得 m* A -  I i <  . i =1

n

令 B = A Ç  I i . 则 i =1

n n æ ö æ ö m* ( A) £ m* çç A Ç  I i ÷÷÷ + m* çç A -  I i ÷÷÷ < m* ( B) +  . èç ø èç ø i =1 i =1

由(5.8)式我们有

(5.9)

n

n

i =1

i =1

å ( f ( xi ) - f ( xi - hi )) < så hi < sm(G) < s (m* ( A) +  ).

(5.10)

对每个 y  B, 由于 D  f ( y )  r , 存在 k  0 使得区间 [ y, y + k ] 包含在某个区间 I i 内并且

f ( y  k )  f ( y )  rk .

(5.11)

所有这样的区间 [ y, y + k ] 构成了 B 的一个 Vatali 覆盖. 再次应用 Vatali 覆盖定理, 存 在 有 限 个 互 不 相 交 的 这 样 的 区 间 J i = [ yi , yi + ki ]( i = 1,  , p), 使得

(

p

)

m* B -  J i <  . 利用(5.9)我们有 i =1

p p æ ö æ ö m* ( A) < m* ( B ) +  £ m* çç B Ç  J i ÷÷÷ + m* çç B -  J i ÷÷÷ +  çè çè ÷ø ÷ø i =1 i =1 p æp ö £ m çç J i ÷÷÷ + 2 = å ki + 2 . èç i=1 ø÷ i =1 p

因此 å ki > m* ( A) - 2 . 并且由于(5.11)我们有 i =1

p

p

i =1

i =1

å ( f ( yi + ki ) - f ( yi )) > r å ki > r (m* ( A) - 2 ).

(5.12)

由于 f 是单调递增的, 并且每个 J i 包含在某个 I j 中, 因此 p

n

å ( f ( x ) - f ( x - h )) ³ å ( f ( y + k ) - f ( y )). i

i

i

i =1

i

i

i

(5.13)

i =1

结合(5.10), (5.12)和(5.13)得到 r  m ( A)  2   s  m ( A)    . 由于   0 的任意性得到 rm  ( A)  sm  ( A). 由于 r  s, 故必有 m  ( A)  0. 由此得 到 m  ( E1 )  0. 类似地, 若令

E2 = { x Î (a, b): D - f ( x) > D+ f ( x)} , 则可以证明 m  ( E 2 )  0. 令 E = E1 È E2 , 则 m  ( E )  0. 在 (a, b) - E 上, 我们有

D f ( x)  D  f ( x)  D f ( x)  D  f ( x)  D f ( x). 因此在 (a, b) - E 上(5.7)式成立. 这表明极限

f ( x  h)  f ( x ) h 0 h 几乎处处存在(有限或   ). 当 g ( x) 有限时, f 在 x 点可导. 现在令 g ( x)  lim

1 g n ( x) = n[ f ( x + n ) - f ( x)] (n ³1).

( 其中定义当 x  b 时 f ( x)  f (b) ). 则 g n  g a.e. 因此 g 是可测的 . 由于 f 是单 调递增的, 故 g n  0.

ò

我们有 b a

b 1 g n dx = n ò [ f ( x + ) - f ( x )]dx n a

æ b+ n1 b ÷ö = n ççç ò 1 f ( x )dx - ò f ( x )dx ÷÷ ÷ø a çè a+ n 1 æ b+ n1 ö a+ n = n ççç ò f ( x )dx - ò f ( x )dx ÷÷÷ ÷ø a çè b

= f (b) - n ò

1 a+ n

a

f ( x )dx.

因此, 由 Fatou 引理我们有

ò

b a

1 æ ö b a+ n gdx £ lim ò g n dx = lim ççç f (b) - n ò f dx ÷÷÷ £ f (b) - f ( a ). ÷ø a n¥ a n¥ ç è

(5.14)

这表明 g 是可积的. 因此 g 是几乎处处有限的. 于是 f 几乎处处可导. 由于

f   g a.e. 因此(5.14)表明(5.6)成立. ■ 若 f 是定义在 [a, b] 上的单调递减的实值函数, 对  f 应用定理 5. 2 的结论知 道, 单调递减的实值函数也是几乎处处可微的. 下面的例子说明在定理 5.2 中, 单调函数是几乎处处可导的这一结论, 一般 说来是不能改进的. 设 E 是 (a, b) 中的零测度集. 对每个自然数 n, 令 Gn 是包含 E 的开集 1 并且 m(Gn ) < n . 对每个 n  1, 2, , 令 2 f n ( x) = m ([a, x] Ç Gn ) , x Î [a, b]. 例 1

显然, f n 是单调递增的非负函数并且 f n £

1 . 对任意 x  [a, b], 我们有 2n

f n ( x  h)  f n ( x)  h , 当 x  h  [a, b]. ¥

因此 f n 是 [a, b] 上的连续函数. 再令 f = å f n . 则 f 是单调递增的非负的连续函 n=1

数. 现在设 x  E. 对任意 n ³1, 当 h 充分小时,

[ x, x  h]  Gi  (a, b), i  1, , n. 由 f n 的定义, 此时有

f i ( x  h)  f i ( x )  1, i  1, , n. h 于是有 n f ( x + h) - f i ( x ) f ( x + h) - f ( x ) ³å i = n. h h i =1

因此 f ( x)  . 这表明 f 在 E 上处处不可导. ■ 下面是关于单调函数的逐项求导定理. 定 理 5.3(Fubini) 设 { f n } 是 [a, b] 上的一列单调递增的函数 , 并 且 级 数 ¥

åf n=1

n

( x) 在 [a, b] 上处处收敛 f ( x), 则成立

¥

f ¢( x) = å f n¢( x) a.e. 证明

(5.15)

n=1 ¥

每个正整数 n , 记 rn ( x) =

å

fi ( x) , 则

i = n+1 n

f ( x) = å f i ( x) + rn ( x), x Î [a, b]. i =1

由于 f ( x), f n ( x), rn ( x) (n ³1) 都是单调递增的函数, 因此 f ¢( x ), f n¢( x ), rn¢( x )( n ³ 1) 几乎处处存在, 并且 n

f ¢( x) = å f i ¢( x) + rn¢( x) a.e. i =1

为证(5.14), 只需证明 lim rn¢( x) = 0 a.e. 由于 f n¢( x) ³ 0 a.e., 因此 n¥

rn¢( x) = f n¢+1 ( x) + rn¢+1 ( x) ³ rn¢+1 ( x) a.e. 因而 lim rn¢( x) 几乎处处存在, 并且 lim rn¢( x) ³ 0 a.e. 利用(5.6)式, 我们有 n¥

n¥

ò

b

b

lim rn¢( x )dx = lim ò rn¢( x )dx £ lim ( rn (b) - rn (a )) = 0.

a n¥

n¥

n¥

a

这说明 lim rn¢( x) = 0 a.e. ■ n¥

下面我们利用定理 5.3, 我们作出一个在 [0, 1] 上严格单调递增的函数 f ( x), 使得 f ¢( x) = 0 a.e. 从而说明在一般情形下不等式(5.6)不能成为等式. 例 2 设 {rn } 是 [0, 1] 中的有理数的全体. 对每个自然数 n, 令

ì 0, ï ï f n ( x) = ïí 1 ï ï ï 2n î

0 £ x < rn , rn £ x £ 1,

x Î [0, 1].

则 f n ( x) 在 [0, 1] 上是单调递增的. 显然 f n¢( x) = 0 a.e. 再令 ¥

f ( x) = å f n ( x), 0 £ x £ 1. n=1

注意到 f ( x) = å r n £x

1 2n

(0 £ x £1), 利用这个表达式容易看出 f (x) 在 [0, 1] 上是严格 ¥

单调递增的. 由定理 5.3 得到 f ¢( x) = å f n¢( x) = 0 a.e. 于是

ò

1 0

n=1

f ¢( x )dx = 0 < f (1) - f (0).

说明在一般情形下不等式(5.6)不能成为等式. ■ 习 题

习题 5, 第 1 题-第 3 题.

§ 5.2 本节要点

有界变差函数

本节介绍有界变差函数的概念及其基本性质.

有界变差函数与单调函数有密切联系.有界变差函数可以表为 两个单调递增的函数之差.与单调函数一样,有界变差函数几乎处处 可导.有界变差函数对线性运算是封闭的,它们构成一线性空间. 有界变差函数是与单调函数有密切联系的一类函数. 有界变差函数可以表 为两个单调递增的函数之差. 与单调函数一样, 有界变差函数几乎处处可导. 与 单调函数不同, 有界变差函数类对线性运算是封闭的, 它们构成一线性空间. 设 f (x) 是定义在区间 [a, b] 上的实值函数. 若存在 M ³ 0, 使得对

定义 5.2

[a, b] 的任一分割  : a  x 0  x1    x n  b, 总有 n

å

f ( xi ) - f ( xi-1 ) £ M ,

i =1

则 称 f (x) 是 [a, b] 上 的 有 界 变 差 函 数 . [a, b] 上 的 有 界 变 差 函 数 的 全 体 记 为

BV [a, b]. 对任意定义在 [a, b] 上的实值函数 f ( x), 令 n

b

Va ( f ) = sup å f ( xi ) - f ( xi-1 ) , 

i =1

b

其中  取遍 [a, b] 的所有分割 . 称 Va ( f ) 为 f (x) 在 [a, b] 上的全变差 . 由定义知道 b

f Î BV [a, b] 当且仅当 Va ( f ) < ¥. 例 1

区间 [a, b] 上的单调函数是有界变差函数 . 事实上 , 不妨设 f (x) 在

[a, b] 上是单调递增. 则对 [a, b] 的任一分割 {xi }in0 , 我们有 n

å i =1

n

f ( xi ) - f ( xi-1 ) = å ( f ( xi ) - f ( xi-1 )) = f (b) - f (a). i =1

b

因此 f  BV [a, b], 并且 Va ( f ) = f (b) - f (a ). ■ 例 2

若 f (x) 在 [a, b] 上满足 Lipschitz 条件: f ( x1 ) - f ( x2 ) £ M x1 - x2 , x1 , x2 Î [a, b].

其中 M ³ 0 为一常数. 则 f (x) 是 [a, b] 上的有界变差函数. 证明

对 [a, b] 的任一分割 {xi }in0 , 我们有 n

å i =1

n

n

i =1

i =1

f ( xi ) - f ( xi-1 ) £ å M xi - xi-1 = å M ( xi - xi-1 ) = M (b - a ).

b

因此 f  BV [a, b], 并且 Va ( f ) £ M (b - a ). ■ 下面的例子表明连续函数不一定是有界变差函数.  例 3 设 f ( x) = x sin (0 < x £ 1), f (0) = 0. 则 f (x) 是 [0, 1] 上的连续函数 . x

但 f (x) 在 [0, 1] 上不是有界变差函数 . 事实上 , 对任意 n  1, 作 [0, 1] 的分割

{xi }in0 使得 0<

2 2 2 2 < < < < <1. 2n -1 2n - 3 5 3

我们有 n

å

f ( xi ) - f ( xi-1 ) =

i =1

æ 2 æ 2 2ö 2 2 2 ÷ö + çç + + + çç + ÷÷÷ + ÷ ÷ çè 5 3 ø 3 2n -1 èç 2n -1 2n - 3 ø n

= 2å i=2

n 2 1 ³ 2å . i 2i -1 i=2

当 n   时, 上式的右边可以任意大, 因此 f Ï BV [0, 1] . ■ 定理 5.4

有界变差函数具有如下性质:

(1) 有界变差函数是有界函数. (2) 若 f Î BV [a, b],  Î R1 , 则  f Î BV [a, b] 并且 b

b

Va ( f ) =  Va ( f ).

(5.16)

(3) 若 f , g Î BV [a, b], 则 f + g Î BV [a, b] 并且 b

b

b

Va ( f + g ) £ Va ( f ) + Va ( g ).

(5.17)

(4) 若 f , g Î BV [a, b], 则 f g Î BV [a, b] . (5) 若 f Î BV [a, b], 则对任意 c (a < c < b) 有 f Î BV [a, c], 并且 b

c

b

Va ( f ) = Va ( f ) + Vc ( f ).

(5.18)

证明 我们只证明(3)和(4), (1), (2)和(4)的证明留作习题. 对 [a, b] 的任一分 割 {xi }in0 , 我们有 n

å

f ( xi ) + g ( xi ) - f ( xi-1 ) - g ( xi-1 )

i =1

n

n

i =1

i =1

b

b

£ å f ( xi ) - f ( xi-1 ) +å g ( xi ) - g ( xi-1 ) £ Va ( f ) + Va ( g ). 因此 f  g  BV [a, b], 并且(5.17)式成立. 结论(3)得证. 现在证明 (5). 对 [a, c] 的任一分割 {xi }in0 和 [c, b] 的任一分割 {xi}im0 , 将它们 合并后得到 [a, b] 的一个分割 a  x 0    x n  c  x0    x m  b. 我们有 n

å i =1

m

b

f ( xi ) - f ( xi-1 ) +å f ( xi¢) - f ( xi¢-1 ) £ Va ( f ). i=1

分别对 [a, c] 的分割和 [c, b] 的分割取上确界得到 c

b

b

Va ( f ) + Vc ( f ) £ Va ( f ).

(5.19)

这表明 f Î BV [a, c]. 另一方面, 对任意  > 0 存在 [a, b] 的一个分割 {xi }in=0 使得 n

å i =1

b

f ( xi ) - f ( xi-1 ) > Va ( f ) -  .

设 x k 1  c  x k . 则 {x 0 , x1 ,  , x k 1 , c} 和 {c, x k ,  , x n } 分别是 [a, c] 和 [c, b] 的分割 . 显然在 {xi }in0 中递增一个分点 c 后, f (x) 关于新的分割的变差不会减小. 因此 n

b

Va ( f ) -  < å f ( xi ) - f ( xi-1 ) i =1 k -1

£ å f ( xi ) - f ( xi-1 ) + f ( c) - f ( xk-1 ) i =1

+ f ( xk ) - f ( c ) +

n

å

f ( xi ) - f ( xi-1 )

i =k +1 c

b

£ Va ( f ) + Vc ( f ).

由   0 的任意性得到 b

c

b

Va ( f ) £ Va ( f ) + Vc ( f ).

(5.20)

综合(5.19), (5.20)两式得到(5.18)式. 因此结论(5)得证. ■ 设 f (x) 是 [a, b] 上的有界变差函数 . 则对任意 x Î [a, b], 由定理 5.4(5) 知道 x

f (x) 也是 [a, x] 上的有界变差函数 . 因此 Va ( f ) 是 [a, b] 上的实值函数 , 称之为 f (x) 的变差函数. 当 x1 < x2 时, 由定理 5.4(5)得到 x2

x1

x1

x2

Va ( f ) = Va ( f ) + Vx ( f ) ³ Va ( f ). 1

x

因此 Va ( f ) 是单调递增的. 定理 5.5(Jordan 分解定理)

f Î BV [a, b] 的充要条件是 f (x) 可以表示为 f (x)  g ( x)  h( x),

其中 g ( x) 和 h( x) 是 [a, b] 上的单调递增的实值函数. 证明

由 例 1 和 定 理 5.4, 充 分 性 是 显 然 的 . 现 在 证 明 必 要 性 . 设

f Î BV [a, b]. 令 ö ö 1æ x 1æ x g ( x) = ççVa ( f ) + f ( x)÷÷÷ , h( x) = ççVa ( f ) - f ( x)÷÷÷. 2è ø ø 2è 则 f (x)  g ( x)  h( x). 当 x1 < x2 时, 利用定理 5.4(5), 我们有 x2

x2

x1

f ( x1 ) - f ( x2 ) £ Vx ( f ) = Va ( f ) -Va ( f ). 1

因此

x1

x2

x1

x2

Va ( f ) + f ( x1 ) £ Va ( f ) + f ( x2 ), Va ( f ) - f ( x1 ) £ Va ( f ) - f ( x2 ). 这表明 g ( x1 ) £ g ( x2 ), h( x1 ) £ h( x2 ). ■ 推论 5.1 设 f Î BV [a, b]. 则

(1)

f (x) 的不连续点的全体是可数集.

(2)

f (x) 在 [a, b] 上是 Riemann 可积的.

(3) f (x) 在 [a, b] 上几乎处处可导并且 f ( x) 是 Lebesgue 可积的. 证明

根据§1.2 例 12, 单调函数的不连续点是可数集. 结合定理 5.2 和定理

5.5 即知结论成立. ■ 习 题

习题 5, 第 4 题-第 14 题.

§ 5.3 本节要点

绝对连续函数与不定积分

本节介绍绝对连续函数概念及性质,证明联系微分

与积分的牛顿-莱布尼兹公式. 绝对连续函数是比连续函数和有界变差函数性质更强的函数. 利用绝对连续函数,微积分基本定理成功地推广到 Lebesgue 积分. 这使得 Lebesgue 积分理论更加完善. 设 f ( x ) 是 定 义 在 [ a , b] 上 的 实 值 函 数 . 本 节 讨 论 在 什 么 情 况 下 , f ¢( x) Î L [a, b] 并且成立 Newton-Leibniz 公式 x

f ( x ) - f ( a ) = ò f ¢(t )dt , x Î [a, b].

(5.23)

a

根据推论 5.1, 当 f Î BV [a, b] 时, f ( x) 在 [a, b] 上几乎处处可导并且 f ( x) 是 L 可 积的. 由§5.1 例 2 知道即使 f ( x) 是单调函数时, (5.23)式也不一定成立. 看来

f ( x) 必须满足更强的条件, 才能使(5.23)式成立. 为此, 我们需要考虑一类特殊 的有界变差函数—绝对连续函数. 定义 5.3

设 f (x) 是定义在 [a, b] 上的实值函数. 若对任意   0, 存在   0, n

使得对 [a, b] 上的任意有限个互不相交的开区间 {(ai , bi )}in=1 , 当 å (bi - ai ) <  时, i =1

n

å

f (bi ) - f (ai ) <  ,

i =1

则 称 f (x) 是 [a, b] 上 的 绝 对 连 续 函 数 . [a, b] 上 的 绝 对 连 续 函 数 的 全 体 记 为

AC[a, b]. 关于绝对连续函数显然成立如下事实:

(1) 绝对连续函数是连续函数. (2) 若 f , g Î AC[a, b],  Î R1 , 则  f , f + g Î AC[a, b]. 定理 5.7

设 f ( x) 是 [a, b] 上的 L 可积函数. 则 f ( x) 的不定积分 x

F ( x ) = ò f (t )dt + C a

(其中 C 是任意常数)是 [a, b] 上的绝对连续函数. 证明

由积分的绝对连续性, 对任意   0, 存在   0, 使得对 [a, b] 中的任

意可测集 A , 当 m( A)   时,

ò

f (t ) dt <  于是对 [a, b] 上的任意有限个互不相 A

n

n

交的开区间 {(ai , bi )}in=1 , 当 å (bi - ai ) <  时, 令 A =  (ai , bi ), 则 i =1

i =1

n

m( A) = å (bi - ai ) <  . i =1

于是 n

å i =1

n

F (bi ) - F ( ai ) = å

ò

i =1

n

bi

f (t )dt £ å ò

ai

i =1

bi ai

f (t ) dt = ò f (t ) dt <  . A

因此 F Î AC[a, b]. ■ 定义了绝对连续函数后 , 再来考察 (5.23) 式 . 若 (5.23) 式成立 , 则 f ( x) 是 f ¢( x) 的不定积分. 根据定理 5.7 知道, (5.23)式成立的必要条件是 f ( x) 是 [a, b] 上

的绝对连续函数. 例 1

若 f 在 [a, b] 上满足 Lipschitz 条件, 则 f Î AC[a, b]. n

证明 若 {(ai , bi )}in=1 , [a, b] 上的互不相交的开区, 使得 å (bi - ai ) <  , 则 i =1

n

å i =1

n

f (bi ) - f (ai ) £ M å (bi - ai ) < M  . i =1

其中 M 是 Lipschitz 常数. 因此对任意   0, 只要  £ n

å

 M

, 就有

f (bi ) - f (ai ) <  .

i =1

因此 f Î AC[a, b]. ■ 定理 5.8 证明

绝对连续函数是有界变差函数.

设 f Î AC[a, b]. 对   1, 设  > 0 是绝对连续函数定义中与  相应的

正数. 取自然数 k 使得

b-a <  . 设 a = x0 <  < xk = b 是 [a, b] 的一个分割, 它将 k

区间 [a, b] 分成 k 等分. 对 [ xi-1 , xi ] 任一分割 xi 1  t 0    t m  xi , 由于 m

å (t -t

i-1

i

) = xi - xi-1 <  ,

i =1

m

xi

i =1

x i 1

因此 å f ( ti ) - f ( ti-1 ) £ 1. 于是 V ( f )  1( i  1, , k ). 利用定理 5.4(5), 得到 xi

k

b

( f ) £ k. Va ( f ) = å V x i =1

i-1

因此 f ( x) 是 [a, b] 上的有界变差函数. ■ 推论 5.2

设 f Î AC[a, b]. 则 f ( x) 在 [a, b] 上几乎处处可导, 并且 f ( x) 是 L

可积的. 证明

利用推论 5.1 即知推论成立. ■

由§5.2 例 3 知道连续函数不一定是有界变差的. 再结合定理 5.8 知道, 连续 函数不一定是绝对连续的. 定理 5.9

设 f ( x) 是 [a, b] 上的 L 可积函数. 则 f ( x) 的不定积分 x

F ( x ) = ò f ( t )dt + C a

在 [a, b] 上几乎处处可导并且 F ¢( x) = f ( x) a.e.

由定理 5.7 知道 F Î AC[a, b] . 由推论 5. 2 知道 F (x) 在 [a, b] 上几乎处 处可导. 下面证明 F ¢( x) = f ( x) a.e. 先证明若  是 [a, b] 上的 L 可积函数, 则 证明

ò

b æ x ö çç ò  (t )dt ÷÷¢ dx £ ò  ( x ) dx. è a ø a

b a

x

(5.24)

x

事实上, 由于 ò  + (t )dt 和 ò  - (t )dt 都是单调递增的函数, 根据定理 5.2 我们有 a

a

æ

b

ò ççè ò a

ò

b a

x a

ö¢ ø

b

 + (t )dt ÷÷ dx £ ò  + ( x )dx. a

b æ x ö¢ çç ò  (t )dt ÷÷ dx £ ò  - ( x )dx. è a ø a

因此

ò

b a

bæ x bæ x æ x ö ö¢ ö¢ çç ò  (t )dt ÷÷¢ dx £ ò çç ò  + (t )dt ÷÷ dx + ò çç ò  - (t )dt ÷÷ dx è a ø ø ø a è a a è a b

b

£ ò  + ( x )dx + ò  - ( x )dx a

a

b

= ò  ( x ) dx. a

即(5.24)成立. 由定理 4.17, 对任意   0, 存在 [a, b] 上的一个连续函数 g ( x) , 使 得ò

b

f (t ) - g (t ) dt <  . 由数学分析中熟知的定理知道

a

(ò

x

g (t )dt a

)¢ = g ( x).

对

函数 f  g 应用(5.24)式我们有 b

æ

ò çèç ò a

x a

b æ x ö ö f (t )dt ÷÷¢- f ( x ) dx = ò çç ò ( f (t ) - g (t )) dt ÷÷¢+ g ( x ) - f ( x ) dx ø ø a è a b æ x b ö £ ò çç ò ( f (t ) - g (t )) dt ÷÷¢ dx + ò g ( x ) - f ( x ) dx ø a è a a

£ 2ò

b

f ( x ) - g ( x ) dx < 2 .

a

由   0 的任意性我们得到 b

æ

ò ççè ò a

(ò

因此

x

x a

ö f (t )dt ÷÷¢- f ( x ) dx = 0. ø

)

f (t )dt ¢ - f ( x ) = 0 a.e., 此即 F ¢( x) = f ( x) a.e. ■

a

我们知道若 f ( x) 在 [a, b] 上处处可导并且 f ¢( x) = 0 ( x Î [a, b]), 则 f ( x) 在

[a, b] 上为常数 . §5.1 中的例 3 表明一般情况下 , 若在 [a, b] 上 f ¢( x) = 0 a.e. , f ( x) 在 [a, b] 上不一定为常数. 但是下面的定理表明当 f Î AC[a, b] 时, 情况就不 同了. 定理 5.10

设 f Î AC[a, b], 并且在 [a, b] 上 f ¢( x) = 0 a.e. 则 f ( x) 在 [a, b] 上

为常数. 证明

对任意  > 0 , 设  > 0 是绝对连续函数定义中与  相应的正数. 令

E = {x Î (a, b) : f ¢( x) = 0}.

由于 f ¢( x) = 0 a.e., 故 m  (a, b)  E   0. 对任意 x Î E , 存在 h > 0 使得 f ( x + h) - f ( x) <  h.

因此区间族  = {[ x, x + h] Ì (a, b) : x Î E , h > 0, f ( x + h) - f ( x) <  h}

构成了集 E 的一个 Vitali 覆盖. 根据 Vitali 覆盖定理, 可以从  中选出有限个互不 相交的区间 [ x1 , y1 ],  , [ xk , yk ], 使得 k k æ ö æ ö m çç(a, b) -  [ xi , yi ]÷÷÷ = m çç E -  [ xi , yi ]÷÷÷ <  . èç ø èç ø i =1 i =1

(5.25)

不妨设这些区间的端点可以排列为

a = y0 < x1 < y1 < x2 <  < xk < yk < xk +1 = b. 由于下列区间

( y0 , x1 ), ( y1 , x2 ), ( y2 , x3 ),  , ( yk , xk +1 ) k

包含在 (a, b) -  [ xi , yi ] 中 , 由 (5.25) 式知道这些区间的长度之和小于  . 由于 i =1

f ( x) 是绝对连续的, 因此 k

å

f ( xi+1 ) - f ( yi ) <  .

(5.26)

i =0

另一方面, 由  中的区间的性质, 我们有 k

å i =1

k

f ( yi ) - f ( xi ) <  å ( yi - xi ) <  (b - a ).

(5.27)

i =1

综合(5.26)和(5.27)得到 k

k

i =0

i =1

f (b) - f (a ) £ å f ( xi+1 ) - f ( yi ) + å f ( yi ) - f ( xi )

<  +  (b - a ). 由  的任意性得到 f (b) = f (a ). 在上面的证明中, 若将 b 换成任意 c Î [a, b] , 同 样得到 f (c) = f (a ). 因此 f ( x) 在 [a, b] 上为常数. ■ 定理 5.11

设 f Î AC[a, b] . 则成立 Newton-Leibniz 公式 x

f ( x ) - f ( a ) = ò f ¢(t )dt.

(5.28)

a

证明

根据推论 5.2, f ( x) 在 [a, b] 上几乎处处可导, 并且 f ( x) 是 L 可积的.

令 x

 ( x ) = f ( x ) - f ( a ) - ò f ¢(t )dt ( x Î [a, b]) . a

则  Î AC[a, b]. 由定理 5.9 , 在 [a, b] 上 æ è

x

ö¢ ø

 ¢( x ) = f ¢( x ) - çç ò f ¢(t )dt ÷÷ = 0 a.e. a

根据定理 5.10,  ( x) 在 [a, b] 上为常数. 但  (a) = 0 , 故  ( x) º 0 . 这表明(5.28)成 立. ■ 推论 5.3 (分部积分公式)

ò 证明

b a

设 f , g Î AC[a, b], 则成立 b

f ( x ) g ¢( x )dx = f ( x ) g ( x ) a - ò g ( x ) f ¢( x )dx. b

(5.29)

a

容易证明 f g Î AC[a, b]. 利用定理 5.11 我们有 b

b

b

f (b) g (b) - f ( a ) g ( a ) = ò ( fg )¢dx = ò fg ¢dx + ò g f ¢dx. a

a

a

由此即得(5.29). ■ 结合定理 5.7 和定理 5.11, 可以将本节的主要结果总结如下: 设 f ( x) 是定义 在 [a, b] 上的实值函数. 则存在可积函数 g ( x) 使得 x

f ( x ) - f ( a ) = ò gdt ( a £ x £ b) a

的充要条件是 f Î AC[a, b]. 并且当(5.30)成立时, f ¢( x) = g ( x) a.e. 习 题

习题 5, 第 15 题-第 19 题.

(5.30)