Prueba Estadísticas

TÉCNICAS DE CONTEO Al estudiar estadística lo que interesa principalmente es la presentación e interpretación de resultados aleatorios que ocurren en estudios planificados o investigaciones científicas. Observación: Cualquier registro de información ya sea numérica o categórica ej.: 0, 1, 2, 3, etc., representan el número de accidentes ocurridos cada mes de enero a abril del año en la intersección de determinadas calles. N,D,N,N y D, representan los artículos defectuosos y no defectuosos que se encuentran al inspeccionar 5 de ellos. Experimento: Cualquier proceso que genere un conjunto de datos ej.: El lanzamiento de una moneda, solo existen dos resultados posibles cara o sello; el lanzamiento de un misil y la observación de su velocidad en tiempos especificados; las opiniones de personas que votan con respecto a un impuesto. Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico y se representa mediante el símbolo “S”. Cada uno de los elementos de un espacio muestral se denomina “elemento o miembro” del espacio muestral o “punto muestral”. Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos es posible listar esos miembros separados con comas y encerrados en llaves ej., El espacio muestral S de posibles resultados en el lanzamiento de una moneda podría expresarse: S: C, S Ejemplos: 1. Considere el experimento de lanzar un dado. Si nos interesa el número de veces que cae en la cara superior, el espacio muestral sería. S 1 : 1,2,3,4,5,6; Si lo que nos interesa es solo si el número es par o impar, el espacio muestral es simplemente S 2 : par, impar Este ejemplo ilustra el hecho de que es posible utilizar más de un espacio muestral para describir los resultados de un experimento.

2. 3.

Suponga que se eligen al azar 3 artículos de un proceso de manufactura, se inspeccionan cada uno de ellos y se clasifica como defectuoso D, o no defectuoso N., el espacio muestral es: S: DDD, DDN, DND, NDD, NNN, NND, NDN, DNN Espacio muestral del lanzamiento de una moneda: S 2 : C, S

La mejor manera de describir espacios muestrales con un número grande o infinito de puntos muestrales es a través de un planteamiento o regla. Ejemplo: Si los resultados posibles de un experimento son el conjunto de ciudades del mundo que tienen más de un millón de habitantes; el espacio muestral se plantea como: S: x / x es una ciudad de más´ de un millón de habitantes Se lee, “S es el conjunto de todas las X tales que X es una ciudad con más de un millón de habitantes. Evento o Suceso aleatorio: Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Ejemplo: Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular: 1. El espacio muestral.

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. A = {(b,b,b); (n, n,n)} 3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}. C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)} Sucesos independientes Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Al lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos dependientes Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes. Sucesos compatibles Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común. Sucesos incompatibles Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles. Conteo de Puntos Muestrales: Regla de La Multiplicación: Principio fundamental del conteo; que cubre K operaciones plantea: “Si una operación puede efectuarse en n

1

maneras y si para cada una de estas

es posible efectuar una segunda operación en n

2

maneras, y para cada una de las 2

primeras se puede efectuar una tercera operación en n

3

formas y así sucesivamente,

entonces la secuencia de K operaciones puede llevarse a cabo en: n formas.

1

*n

2

*n

3

,…, n

k

Ejemplos: 1. ¿Cuántos puntos muestrales hay en el espacio muestral cuando se lanza una vez un par de dados? Solución: El primer dado puede caer de cualquiera de n 1 = 6 maneras, por lo tanto el par de dados puede caer en n 1 * n 2 = 6*6= 36 maneras o puntos muestrales. 2. ¿Cuántos menús consistentes en una sopa, un emparedado, un postre y una bebida es posible formar si se puede elegir entre 4 sopas, 3 clases de emparedados, 5 postres y 4 bebidas? Solución: Dado que: n 1 = 4, n 2 = 3, n 3 =5, n 4 = 4; Entonces n 1 * n 2 * n 3 * n 4 = 4 * 3 * 5 *4 = 240 formas de elegir el menú. 3. ¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los números 1, 2, 5, 6 y 9 si solo es posible utilizar cada uno de estos una sola vez? Solución: n 1 = Puesto que El número debe ser par; sólo se tiene 2 alternativas (2 números pares; 2 y 6) n 2 = Como ya se utilizó un número, quedan 4 alternativas n 3 = Como ya se utilizó 2 números, quedan 3 alternativas Entonces: n 1 * n 2 * n 3 = 3 * 4 * 2 = 24 números pares de tres dígitos.

Permutación: Una permutación de un conjunto de elementos, es un ordenamiento específico de todos o algunos elementos del conjunto, facilita el recuento de las ordenaciones diferentes que pueden hacerse con los elementos del conjunto. Nota: En una permutación el orden en que se disponen los elementos del conjunto es importante. PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS Por el principio fundamental del conteo podemos enunciar que el número de permutaciones de n objetos distintos tomados de n en n, es:

n Pn = n! En donde n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n. n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n

Ejemplos: 1. Se quiere conocer el conjunto de todas las disposiciones posibles de tres personas colocadas en hilera para tomar una fotografía. 3P3 = 3! = 6 2. Cinco personas desean nombrar un Comité Directivo compuesto de un presidente, un vicepresidente, un secretario, un tesorero y un vocal. ¿Cuántas maneras hay de constituir el comité? 5P5 = 5! = 120 3. Hay seis banderas de distintos colores. ¿Cuántas señales diferentes se pueden enviar usando las seis banderas al mismo tiempo? 6P6 = 6! = 720 PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS EN DIFERENTES GRUPOS DE r ELEMENTOS. Podemos calcular el número de permutaciones nPr, de n elementos, tomados en grupos o subconjuntos de r elementos.

Ejemplos: 1. Si de un estante tomamos 2 de 3 libros ¿Cuántas permutaciones pueden realizarse?

2. ¿Cuántas ternas pueden formarse con las 26 letras del alfabeto, si cada letra sólo puede utilizarse una sola vez?

3. Cinco personas entran a una sala en la que hay 8 sillas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar las sillas?

PERMUTACIONES DONDE NO TODOS LOS ELEMENTOS SON DIFERENTES Si los elementos de un conjunto no son todos diferentes entre sí, es decir, algunos de los elementos son idénticos, la fórmula de las permutaciones presenta un nuevo aspecto. El número de permutaciones que se pueden formar en el caso de n elementos, cuando hay n1 elementos idénticos, n2 elementos de otro tipo idénticos, etcétera, es:

n! n Pn1, n2, ..., nk = n1!n 2 !...nk !

¿Cuántas palabras diferentes de cuatro letras pueden formarse con las letras LULU?

S = {LLUU, LULU, UULL, ULUL, LUUL, ULLU} ¿Cuántas palabras de once letras pueden formarse con la palabra Mississippi?

¿Cuántos mensajes pueden enviarse con diez banderas utilizándolas todas, si son cuatro negras, tres verdes y tres rojas?

PERMUTACIONES CIRCULARES: Cuando los elementos se encuentran dispuestos en forma circular tenemos:

n Pc = (n − 1)! ¿De cuántas maneras podemos ordenar 5 llaves en un llavero? 5 Pc = (5 − 1)!= 4!= 24

Combinación: Ya sabemos que en una permutación el orden de los elementos es importante, pero cuando el orden de colocación carece de importancia, a la disposición de dichos elementos se le denomina combinación. Por lo tanto, una combinación es un subconjunto o una disposición de todos los elementos de un conjunto, sin tener en cuenta el orden de ellos. El número de combinaciones o subconjuntos no ordenados, cada uno formado por r elementos, que pueden obtenerse de un conjunto de n elemento es:

1.

Ejemplos: Si de un estante tomamos 2 de 3 libros, ¿Cuántas combinaciones pueden realizarse?

Por lo tanto, el resultado se reduce a 3 posibles formas ya que en una combinación el orden de los elementos no es importante. 2. Se tienen cinco obreros para un trabajo especial que requiere de tres de ellos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar un equipo de tres?

3. De un club de 20 socios, se van a seleccionar 3 para formar la mesa directiva. ¿De cuántas formas puede constituirse?