Fundamentos Físicos De La Ingeniería Mgt.ing. Felix Miranda Gastañaga

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA MGT.ING. FELIX MIRANDA GASTAÑAGA.

PROBLEMAS DE TERMODINÁMICA PROCESOS POLITRÓPICOS DE UN GAS IDEAL

1

PROBLEMA 1 Un gas ideal de coeficiente adiabático  = 1.4 con un volumen específico inicial de 0.008 m3/mol se somete a un calentamiento UCLM isocórico que hace variar su presión entre 2.65 bar y 4.20 bar. Seguidamente el gas se expande adiabáticamente hasta un volumen adecuado, y por último se somete a una compresión isoterma hasta que recupera su volumen específico inicial. Se pide: A) Dibuje esquemáticamente en forma cualitativa los procesos sufridos por este gas en un diagrama p – v. B) Determine presión, volumen y temperatura del punto común del proceso adiabático y del proceso isotermo sufrido por el gas. C) Determine el rendimiento del ciclo termodinámico que ha descrito el gas.

Apartado B) (Determinación coordenadas punto 3)

Apartado A)

P

3

v0  v1  v2  0.008 m /mol 2

P2

Las temperaturas de los puntos notables se determinan inmediatamente a partir de la ecuación de estado del gas:

P1  2.65 bar P2  4.20 bar

pV  nRT

P1

Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)

p

V  RT n

pv  RT

Las temperaturas T3 y T1 son iguales, están sobre la misma isoterma T3  T1  255 K

1 ADIABÁTICA

Para obtener el volumen del punto 3:   Ecuación de la adiabática: p2V2  p3V3

ISOTERMA

Ecuación de la isoterma:

3

P3 v0

v3

El gas describe un ciclo de potencia (sentido horario) cuyos puntos notables son 1, 2 y 3.

v

Dividiendo miembro a miembro:

En términos de volúmenes molares: p2 n v2  p3n v3

p1V1  p3V3

p2 n v2  n v3 1 p1v1

Presión del punto 3:

p1v1  255 K R pv T2  2 2  404 K R T1 

p3 

p1v1  p3v3 1 /   1

 p v  v3   2 2   p1v1 

 0.025 m3/mol

RT3  83799 Pa  0.838 bar v3

2

PROBLEMA 1 (Continuación) Un gas ideal de coeficiente adiabático  = 1.4 con un volumen específico inicial de 0.008 m3/mol se somete a un calentamiento UCLM isocórico que hace variar su presión entre 2.65 bar y 4.20 bar. Seguidamente el gas se expande adiabáticamente hasta un volumen adecuado, y por último se somete a una compresión isoterma hasta que recupera su volumen específico inicial. Se pide: A) Dibuje esquemáticamente en forma cualitativa los procesos sufridos por este gas en un diagrama p – v. B) Determine presión, volumen y temperatura del punto común del proceso adiabático y del proceso isotermo sufrido por el gas. C) Determine el rendimiento del ciclo termodinámico que ha descrito el gas. Apartado C) P

Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)

Veamos cualitativamente trabajo y calor en cada etapa del ciclo ADIABÁTICA

Wad 

p2V2  p3V3  1

V1

V1

wV  0 2 qV  0 Wisot 

ISOTERMA

V3

qad  0

1



pdV 



V3

wisot  0



qisot  wisot  0

cP cV

cP  cV  R

3

qV 

v (m3/mol)

T (K)

1

265000

0,008

255

2

420000

0,008

404

3

83799

0,025

255

p2v2  p3v3  3100 J/mol  1

qV  cV 

QV  cV  T2  T1  n

R    1

R  T  T   3100 J/mol  1 2 1 Pregunta: ¿Es casual que el resultado numérico para qV coincida con wad?

v p (Pa)

wad 

wneto wad  wisot  qV qV

v nRT V dV  nRT1 ln 1  RT1 ln 1  2441 J/mol v3 V V3

QV  ncV T  ncV  T2  T1 

wad  0



Rendimiento:



wneto wad  wisot 3100  2441    0.21 qV qV 3100

(21%)

3

PROBLEMA 2

A) B) C)

Un ciclo de Carnot reversible empleado como ciclo de potencia, que usa un gas ideal de coeficiente adiabático 1.4 como UCLM fluido de trabajo, opera entre las temperaturas 300 K y 500 K. La presión máxima del ciclo es 2.50 bar, y en la etapa de expansión isoterma el gas aumenta su volumen específico hasta alcanzar 0.040 m3/mol. Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol). Determine las coordenadas volumen específico, presión y temperatura de todos los puntos notables del ciclo. Si el ciclo se repite dos veces por segundo, determine la potencia desarrollada. Demuestre que para cualquier ciclo de Carnot el trabajo asociado con la etapa de compresión adiabática es el mismo en valor absoluto y de signo opuesto al trabajo desarrollado en la expansión adiabática, y que el trabajo neto producido es la suma algebraica del trabajo de la expansión isoterma y de la compresión isoterma.

Apartado A)

12 Expansión isoterma T1 = T2 = 500 K p1 = 2.5 bar

v2 = 0.040 m3/mol

23 Expansíón adiabática. 34 Compresión isoterma T3 = T4 = 300 K

1

41 Compresión adiabática.

v1 

Coordenadas de los puntos 1 y 2:

RT1 p1

p2 

RT2 v2

2

Para calcular el volumen específico del gas en el punto 3 usamos la relación adiabática entre los puntos 2 y 3 en función de volumen específico y temperatura.

Ta = 500 K

Tb = 300 K 4

3

p2v2  p3v3

RT2  RT3  v2  v3 v2 v3 1 /   1

T2v2 1

 T3v3 1

T  v3  v2  2   T3 

4

PROBLEMA 2 (Continuación) UCLM

Apartado A)

Una vez calculado el volumen específico del punto 3, se obtiene su presión usando la ecuación de estado p3  El punto 4 es donde concurren la isoterma 34 y la adiabática 41, por lo que debe cumplirse p4v4  p1v1

p4v4  p3v3

v4 1

1 /   1

 p v  v4   1 1   p3v3 

p v  11 p3v3

Usando otra vez la ecuación de estado

p4 

RT4 v4

P (bar) 1

2

Ta = 500 K

Tb = 300 K 4

3

v (m3/mol)

5

RT3 v3

PROBLEMA 2 (Continuación) Apartado B)

Hay que calcular el trabajo producido por el ciclo. Esto puede hacerse de dos formas.

UCLM

B1. Cálculo directo del trabajo de cada etapa isoterma (en el apartado C demostraremos que las adiabáticas no intervienen en el neto) v2

wisot12 



v2

pdv 

v1

 v1

v4

RT1 v dv  RT1 ln 2  3649 J/mol v v1

wisot 34 



v4

pdv 

v3

 v3

RT3 v dv  RT3 ln 4  2189 J/mol v v3

wneto  wisot12  wisot 34  3649  2189  1460 J/mol

El tiempo que tarda esta máquina térmica en describir un ciclo es t = 0.5 s, por tanto la potencia específica es w  

wneto 1460   2920 watt/mol t 0.5 T

300

3 B2. Cálculo del trabajo a partir del rendimiento del ciclo reversible. Para este ciclo el rendimiento es:   1  T  1  500  0.40 1

La energía que debe suministrarse para el funcionamiento del mismo es el calor de la etapa isoterma de alta temperatura, que es igual al trabajo de la expansión isoterma 12, ya que la energía interna del gas ideal sólo depende de su temperatura y por lo tanto no sufre variación en dicha etapa: Δu12  qisot12  wisot12  0 w

El trabajo específico neto es:   q neto

isot12

wneto    qisot12  0.40  3649  1460 J/mol

Trabajo de un proceso adiabático entre las condiciones (vi,pi) y (vf,pf).

Apartado C)

p

qisot12  wisot12  3649 J/mol

w

 vi , pi 

vf

vi

vi

 pdv  

v

wneto 1460   2920 watt/mol t 0.5

Aplicando la ecuación de estado del gas ideal:

v

 v1  f   v1  2 p f v f  pi vi pi vi  p f v f C R dv  T  T f    C    pv    1   1   v 1   1  1 i  v1   vi 

En el ciclo de Carnot hay dos adiabáticas: el proceso 23 y el proceso 41 (véase apartado A).

ADIABÁTICA w

vf

w  

v f , p f  v

Puesto que en el proceso 23 Ti = T2 y Tf = T3, mientras que en el proceso 41 las temperaturas son Ti = T3 (= T4) y Tf = T2 (= T1), se deduce que wadiab 23   wadiab 41 Por lo tanto, el trabajo neto del ciclo corresponde a la suma (algebraica) de los trabajos de las etapas isotermas 12 y 34.

6

PROBLEMA 3

A) B) C)

Un ciclo de Stirling de refrigeración que consta de dos isotermas y dos isocóricas utiliza como fluido de trabajo 0.50 molesUCLM de un gas ideal y opera entre las temperaturas 253 K y 300 K. Los volúmenes máximo y mínimo del ciclo son 40 litros y 20 litros respectivamente. Suponga que todas las etapas de este ciclo son reversibles. Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol). Determine las coordenadas volumen específico, presión y temperatura de todos los puntos notables del ciclo. Sabiendo que el coeficiente adiabático del gas es 1.4, calcule el calor y el trabajo asociado a cada etapa del ciclo y determine su eficiencia. Calcule el índice politrópico de un proceso termodinámico que una directamente el punto de mayor presión con el punto de menor presión de este ciclo.

Apartado A) Volúmenes específicos máximo y mínimo vmax 

Vmax 40 103 m3   0.08 m3 /mol n 0.50 mol

vmin 

Vmin 20 103 m3   0.04 m3/mol n 0.50 mol

P (bar)

vmin 3

4

Isocórica 12

v1  v2  vmax  0.08 m3 /mol

T1  253 K

T2  300 K

Isocórica 34

v3  v4  vmin  0.04 m3 /mol

T3  300 K

T4  253 K

Las presiones se calculan aplicando a cada punto la ecuación de estado

300 K

vmax 253 K

pi 

RTi vi

2 1 v (m3 /mol)

v (m3/mol)

T (K)

P (Pa)

P (bar)

1

0,08

253

26293

0,26

2

0,08

300

31178

0,31

3

0,04

300

62355

0,62

4

0,04

253

52586

0,53

7

PROBLEMA 3 (Continuación) B) Sabiendo que el coeficiente adiabático del gas es 1.4, calcule el calor y el trabajo asociado a cada etapa del ciclo y determine su eficiencia. c  P R cV cV  Ciclo de refrigeración (sentido antihorario) Determinación de calores específicos:    1 cP  cV  R

P (bar)

qV 34  0

UCLM

3

qisot 23  0

qV 12  cV  T2  T1  

Proceso isotermo 23

wisot 23  qisot 23  RT2 ln

Proceso isocórico 34

qV 34  cV  T4  T3  

Proceso isotermo 41

wisot 41  qisot 41  RT4 ln

4

wisot 23  0 qisot 41  0

2

wisot 41  0

qV 12  0

1

v (m3 /mol)

v (m3/mol)

T (K)

P (Pa)

P (bar)

1

0,08

253

26293

0,26

2

0,08

300

31178

0,31

3

0,04

300

62355

0,62

4

0,04

253

52586

0,53

R  T  T   977 J/mol    1 2 1

Proceso isocórico 12

v3  1729 J/mol v2

R  T  T   977 J/mol    1 4 3 v1  1458 J/mol v4

El trabajo de las etapas isocóricas es nulo, al no haber variación de v. La eficiencia del ciclo es igual al calor extraído del foco dividido por el valor absoluto del trabajo necesario para hacerlo. En nuestro caso: 

qisot 41 1458   5.38 qisot 23  qisot 41  1729  1458

Forma alternativa: como se trata de un ciclo reversible,  

T1  5.38 T2  T1

Comentario: la eficiencia representa el calor extraído del foco frío por cada unidad de trabajo invertido en el funcionamiento del ciclo.

8

PROBLEMA 3 (Continuación) C) Calcule el índice politrópico de un proceso termodinámico que una directamente el punto de mayor presión con el punto de menor presión de este ciclo. Se pide calcular el exponente k de la ecuación del proceso politrópico 31

P (bar)

3

p3v3k  p1v1k

ln p3  k ln v3  ln p1  k ln v1

pv1.246  1130.5

k  ln v3  ln v1   ln p1  ln p3

4

k

ln p1 / p3   1.246 ln  v3 / v1 

2

Teniendo en cuenta los valores numéricos 1 v (m3 /mol)

v3  0.04 m3 /mol

p3  63255 bar

la ecuación de esta politrópica es

pv k  63255  0.041.246  1130 .5

9

UCLM

PROBLEMA 4 UCLM Un gas perfecto de volumen específico 0.008 m3/mol a una presión de 4.00 bar se calienta isocóricamente hasta que su 3 presión alcanza 8.00 bar. Después se expande adiabáticamente hasta alcanzar 0.014 m /mol, luego se enfría isocóricamente y finalmente se comprime adiabáticamente hasa restituir las condiciones iniciales. Todas las transformaciones son reversibles (ciclo ideal de Otto). Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol). Determine las coordenadas volumen específico, presión y temperatura de todos los puntos notables del ciclo. Si se sabe que el coeficiente adiabático del gas es 1.4, calcule el calor y el trabajo asociado a cada etapa del ciclo y determine su rendimiento.

A) B)

Coordenadas de los puntos extremos de la isocórica 1 (4 bar)  2 (8 bar)

Apartado A)

pv T2  2 2  770 K R

pv T1  1 1  385 K R

p1  4.00 bar

v2  0.008 m3/mol

p2  8.00 bar

Ecuación de la adiabática que pasa por 1:

p1v1  463.86

pv  463.86

Ecuación de la adiabática que pasa por 2:

p2v2  927.72

pv  927.72

p3  p2

3

v3  v4  0.014 m /mol

10 9 8

v1  0.008 m3/mol

2

T3 

7

v2  365457 Pa v3

p3v3  615 K R

p4  p1

T4 

v1  182729 Pa v4

p4v4  308 K R

P (bar)

6

v (m3/mol)

P (Pa)

P (bar)

T (K)

1

0,008

400000

4,00

385

2

0,008

800000

8,00

770

3

0,014

365457

3,65

615

4

0,014

182729

1,83

308

5 4

3

1

3 2

4

1 0 0,007

0,008

0,009

0,010

0,011

0,012

0,013

0,014

pv  927.72 pv  463.86 0,015

3

v (m /mol)

10

PROBLEMA 4 (Continuación) UCLM

Apartado B) Si se sabe que el coeficiente adiabático del gas es 1.4, calcule el calor y el trabajo asociado a cada etapa del ciclo y determine su rendimiento R c cP  cV  R cV   20.875 J/K  mol  P    1 cV

wadiab 23 

p2v2  p3v3  1

wadiab 41 

v (m3/mol)

P (Pa)

P (bar)

T (K)

1

0,008

400000

4,00

385

2

0,008

800000

8,00

770

3

0,014

365457

3,65

615

4

0,014

182729

1,83

308

p4v4  p1v1  1

qV 12  cV  T2  T1 

qV 34  cV  T4  T3 



w23  w41  0.201 q12

11

PROBLEMA 5 Un gas ideal a 273 K tiene una densidad de 50 moles/m3. Su coeficiente adiabático es  = 1.4. Este gas se somete a una compresión UCLM adiabática reversible hasta que su presión se duplica y luego a una expansión isoterma reversible hasta restituir el volumen original. a) Determine la temperatura final

T2 = T3 = 332.8 K

b) Determine el trabajo neto de los dos procesos. Wneto  6350 J c) Calcule la variación de entropía sufrida por el gas.

Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)

S  205 .8 J/K

Tomamos como base de cálculo 50 moles de gas, que en las condiciones iniciales ocupan V1 = 1 m3. La presión inicial se obtiene aplicando la n ecuación del gas ideal P  RT

P1  50

mol J 8.314 273 K  113486 Pa 3 K  mol m

1/1.4

1 V2    2

 0.6095 m3

V

P1V1  113486  11.4  113486

Proceso adiabático: Proceso isotermo:

T2 

P1V1  P2V2  113486

P2V2 2 113486  0.6095   332.8 K  T3 nR 50  8,314

2

220000

p1V1  p2V2 nR T1  T2  50  8.314 273  332.8    62147 J  1  1 1.4  1 V3 1  50  8.314  332.8 ln  68497 J V2 0.6095

Wneto  Wadiabático  Wisotermo  62147  68497  6350 J

200000

P (Pa)

Wisotermo  nRT2 ln

113486 113486 1   P2 2 P1 2

240000

Trabajo asociado con los procesos: Wadiabático 

V2 

ISOTERMA

180000

T2 = T3 = 332.8 K 160000

P2 = 2P1

140000

ADIABÁTICA

120000

Cambios de entropía. En la etapa adiabática reversible no hay intercambio de calor, por tanto la variación de entropía es nula.

3

Etapa isoterma. U isotermo  Qisotermo  Wisotermo  0 Qisotermo  Wisotermo S 

Qisotermo 68497   205.8 J/K T2 332.8

1 100000 0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

V (m3)

La energía interna de un gas ideal es sólo función de la temperatura

12

PROBLEMA 6 Un gas ideal de coeficiente adiabático  sufre una transformación politrópica de índice k entre las condiciones (V1, P1) y (V2, P2). Determine el calor cedido o ganado por el gas en dicho proceso. I. Trabajo asociado con el proceso politrópico: V2

V2

W



pdV 



V1

V1

1 k

V2

pV k  C

P

W politrópico 

23 Isobara

31 Isocora

III. Cálculo de trabajo y calor en la etapa isobara 23 V3

W



Q  nc p  T3  T2  

pdV  p2 V3  V2 

V1  V3

cp R

Gas ideal: T

pV nR

3

P2  P3

2

 p3V3  p2V2 

V2

IV. Cálculo de calor en la etapa isocora 31 (el trabajo es nulo) Q  ncV  T1  T3  

1

p1V1  p2V2 k 1

II. Consideremos el proceso politrópico como parte de un ciclo: 12 Politrópica

Politrópica

V2

 V   kV  C p V  p1V1 p1V1  p2V2 dV  C  2 2     pV  k V 1 k  V 1 k k 1  1  k  V1  1 1 k

UCLM

Sea n el número de moles de gas y cp y cV los calores específicos molares a presión y volumen constante.

cV  p1V1  p3V3  R

V. La variación de energía interna U  Q  W para cualquier ciclo completo ha de ser nula. U  U12  U 23  U 31  0 U12 Q politrópic o 

U 23

U 31

p1V1  p2V2 c p c   p3V3  p2V2   p2 V3  V2   V  p1V1  p3V3   0 k 1 R R

Q politrópico 

p1V1  p2V2 c p c   p3V3  p2V2   p2 V3  V2   V  p1V1  p3V3  k 1 R R

13

V

PROBLEMA 6 (Continuación) Un gas ideal de coeficiente adiabático  sufre una transformación politrópica de índice k entre las condiciones (V1, P1) y (V2, P2). Determine el calor cedido o ganado por el gas en dicho proceso. Q politrópico 

p1V1  p2V2 c p c   p3V3  p2V2   p2  V3  V2   V  p1V1  p3V3  k 1 R R

Relación de Mayer: cP  cV  R VI. Tengamos en cuenta las siguientes consideraciones: V1  V3

P2  P3

Coeficiente adiabático:  

cP cV

cV   1  R cV 1  R    1

cP   R    1

Q politrópico 

p1V1  p2V2   p3V3  p2V2   p2  V3  V2   1  p1V1  p3V3   k 1  1  1

(Sustituyendo calores específicos en función de )

Q politrópic o 

p1V1  p2V2    p2V1  p2V2   p2 V1  V2   1  p1V1  p2V1  k 1  1  1

(Sustituyendo V3, P3 por V1 y P2 respectivamente)

Q politrópico 

p1V1  p2V2  p2V1  p2V2 pV p V    p2V1  p2V2  1 1  2 1 k 1  1  1  1  1

Q politrópico 

p1V1  p2V2  p2V2 p V p V  p2V1   p2V2  1 1  2 1   p2V1 k 1  1  1  1  1

Q politrópic o  Q politrópico 

p1V1  p2V2  p2V2    1 p2V2 p1V1  1         1 p2V1 k 1  1  1   1   1   1 

(Reordenando términos) (Sacando factor común)

p1V1  p2V2  p2V2  p2V2 p2V2 p1V1  1    1        p2V1 k 1  1   1   1   1    1   1   1 Q politrópico 

p1V1  p2V2 p2V2  p1V1  k 1  1

0

Cuestión adicional: Compruebe que en función de las temperaturas el calor absorbido o cedido por el gas ideal en el proceso politrópico es

Caso especial: cuando el proceso es adiabático k =  y entonces Qadiabático  0 Esta deducción es válida para  ≠ 1 (cuando  = 1 la transformación es isoterma).

 k   Q politrópico  nR T2  T1      k  1   1 

14

UCLM

PROBLEMA 7 UCLM

Considere un transformación politrópica reversible de un gas ideal entre las condiciones iniciales (v1, p1) y finales (v2, p2), donde v está dado en m3/mol y p en Pa. El gas ideal tiene un coeficiente adiabático  y el proceso politrópico un índice de politropía k. Sabiendo que el calor intercambiado por el gas en dicho proceso está dado por q politrópico 

p1v1  p2v2 p2v2  p1v1  k 1  1

deduzca el calor intercambiado por dicho gas cuando: A) Sufre una transformación isobárica reversible. B) Sufre una transformación isocórica reversible. A) Transformación isobárica reversible. Escribimos el calor intercambiado en función de la temperatura empleando la ecuación del gas ideal q politrópico 

pv  RT

1   1      1  k  1  k   p1v1  p2v2 p2v2  p1v1 RT1  RT2 RT2  RT1  R T2  T1     R  T2  T1    R  T2  T1         k 1  1 k 1  1  k  1   1   k  1   1    k  1   1 

En una transformación isobárica k = 0, por lo tanto

    T  T  R qisobárico  R  T2  T1       1 2 1      1 

Según la relación de Mayer y la definición de coeficiente adiabático como función de los calores específicos cV   1  R

cV 

R    1

B) Transformación isocórica reversible.

cP 

R    1

qisobárico  cP  T2  T1 

cP  cV  R



cP cV

En una transformación isocórica k   , por lo tanto

 k   1  1  / k  qisocórico  R T2  T1  lim  T  T  R  R T2  T1  lim   k    k  1   1  k   1  1 / k    1     1 2 1 

qisocórico  cV  T2  T1 

15

PROBLEMA 8 Calcule la variación de entropía de un gas ideal de índice adiabático  = 1.4 asociada a un proceso politrópico reversible de índice k = 3 entre las condiciones iniciales v1 = 0.023 m3/mol, p1 = 1.80 bar y un volumen específico final v2 = 0.025 m3/mol. Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)

Cálculo de la variación de entropía en el proceso 12 a lo largo de una politrópica reversible P

Trazamos una adiabática reversible que pase por 2.

3

Politrópica índice k

Después trazamos una isoterma reversible que pase por 1. La adiabática y la isoterma se cortan en 3. Al tratarse de un ciclo tenemos: sciclo  s12  s23  s31  0

1

Isoterma

donde cada s representa le entropía específica molar (kJ/Kmol) de la etapa. Adiabática La variación de entropía específica molar en una etapa infinitesimal de un proceso termodinámico está dada por

q ds  T

(El calor asociado a un proceso isotermo es igual al trabajo del mismo)

Proceso 23: Se trata de una adiabática reversible, por tanto qad =0 en todos los puntos de la trayectoria y en consecuencia s23  0 Proceso 31: Es una isoterma, por lo tanto

ds 

qisot T1

Variación de entropía en el proceso politrópico 12:

s31 



2

v

qisot 1 1 v v  qisot  RT1 ln 1  R ln 1 T1 T1 T1 v3 v3

s12  s31   R ln



v1 v3

Por tanto, el cálculo de la variación de entropía del proceso politrópico reversible se reduce en realidad a calcular las coordenadas del punto 3, donde se cortan la adiabática y la isoterma.

16

UCLM

PROBLEMA 8 (Continuación) UCLM

Calcule la variación de entropía de un gas ideal de índice adiabático  = 1.4 asociada a un proceso politrópico reversible de índice k = 3 entre las condiciones iniciales v1 = 0.023 m3/mol, p1 = 1.80 bar y un volumen específico final v2 = 0.025 m3/mol. Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol) Además del volumen especifico necesario, calcularemos todas las coordenadas desconocidas del ciclo de tres etapas. Punto inicial (1). Conocemos volumen específico y presión, calculamos temperatura pv p1v1  RT1 T1  1 1 R

P 3

Politrópica índice k

Punto final (2). Ecuación politrópica p1v1k



p2v2k

v  p2  p1  1   v2 

Ecuación de estado: T2 

k

p2v2 R

1

Punto (3)

Isoterma

Adiabática p3v3  p2v2 Isoterma 1 /   1

 p v  v3   2 2   p1v1 

v3 1 

p3v3  p1v1

p2v2

Adiabática

p1v1

2

T3 = T1 (isoterma) p3 

RT3 v3

v

Entropía específica del proceso politrópico 12 s12   R ln Datos iniciales coloreados

0.0230 v1  8.314 ln  2.77 J/K  mol 0.0165 v3

17

PROBLEMA 9 Un gas ideal de coeficiente adiabático  =1.4 describe un ciclo termodinámico formado por las siguientes etapas reversibles:

UCLM

1. Etapa isobara a 1.8 bar, desde una temperatura de 300 K hasta que su volumen específico molar es 0.08 m /mol. 3

2. Expansión politrópica de índice k = 3.5, hasta que su temperatura es 300 K. 3. Compresión isotérmica hasta restablecer las condiciones iniciales. Determine: A) Las coordenadas p, v, T de cada punto notable del ciclo. B) Trabajo y calor en cada etapa y rendimiento del ciclo. C) La variación de entropía del gas en cada etapa del ciclo.

Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol) P

A) Coordenadas P, v, T

Ecuación de estado: v1 

1

Isobara

RT1  0.014 m3/mol p1

T2 

2

Ciclo de potencia

p2v2  866 K R

Politrópica k = 3.5

Cálculo del punto 3 k k Politrópica: p2V2  p3V3

Isoterma:

p1V1  p3V3

p2 n k v2k  p3n k v3k p1nv1  p3nv3

p2 n k 1v2k  n k 1v3k 1 p1v1

Isoterma 300 K

3

1 /  k 1

 p vk  v3   2 2   p1v1 

p3 

 0.061 m3/mol v

RT3  40805 Pa v3

18

PROBLEMA 9 (Continuación) UCLM

wisobaro  0

P (bar)

B) Trabajo y calor en cada etapa y rendimiento del ciclo.

qisobaro  0

2

1

pa va  pb vb k 1

w politrópico  q politrópico

q politropic o  0

a inicial, b final w politrópico  0

p v  pbvb pbvb  pa va  k    a a   R T f  Ti    k 1  1  k  1    1    vb

wisotermo 



vb

pdv 

va



va

qisotermo  0

wisobárico  p2v2  p1v1

Etapa 12, isobárica k = 0

Cálculos (calor y trabajo)

 T  T  qisobárico  R    1 2 1

Etapa 23, politrópica k = 3.5 w politrópico 

p2v2  p3v3 k 1

 k   q politrópico  R T3  T2      k  1   1 

q (J/mol)

w (J/mol)

12

16470

4706

isobarico

23

-9882

1882

politropico

31

-3702

-3702

isoterma

Rendimiento:

Etapa 31, isoterma 300 K v1

wisotermo 



v3

v1

pdv 

 v3

RT1 v dv  RT1 ln 1  qisotermo v v3

3

wisotermo  0

RT v dv  RT ln b v va



wisobarico  w politrópico  wisotermo qisobarico



v (m3/mol)

Trabajo neto Calor aportado

4706  1882  3702  0.175 16470

19

PROBLEMA 9 (Continuación) UCLM

C) Variación de entropía del gas en cada etapa del ciclo.

Calculamos para una politrópica en función de temperaturas y volúmenes. Punto final  b

Punto inicial  a

p

c a

1 /   1

Método 1. Usando el resultado del problema 8

 p v  vc   b b   pa va 

(Recuerde que c es un punto que no está en la politrópica)

     p 1 /   1  v  /   1  va  p1a/   1 va v1a/   1  va   sab  R ln   R ln   R ln  1 /   1  /   1    R ln  a   a     1 /   1  vc p v p    b b   b    vb    pbvb     pa va  

b

Ecuación de estado:

 RT / v 1 /   1  v  /   1   T 1 /   1  v 1 /   1  v  /   1   T 1 /   1  v   a  sab   R ln  a a   b   a     R ln  a     R ln  a   a  RT / v v T v v  b b    b    b  a  b  Tb   vb 

v

p  RT / v

1 /   1

 T  sab  R ln  b   Ta 

 vb     va 

Método 2. Integrando el intercambio de energía en forma de calor en un proceso politrópico elemental. q politrópico

 k    R  dT   k  1   1 

Tb

q politrópico  k    pb vb   k   dT  k    Tb   sab   R  R ln    R   ln    T   k  1   1   pa va    k  1   1  T   k  1   1   Ta 





Ta

k 1 k  v  k /   1  v   /   1   k     va   k    va    k    va  vb  a  a   sab  R    R  ln     R     1  ln v   R ln  v   ln      b  b     k  1   1   vb     k  1   1   vb  va   vb 

pb  va    pa  vb 

k

Expresamos este cociente en una forma más adecuada pbvbk



pa vak

RTb k RTa k vb  va vb va

Tb vbk 1

 Ta vak 1

Tb  va    Ta  vb 

k 1

 T 1 /   1  v  1   T v 1 /   1  v   /   1  b a a  a      sab  R ln    R ln  b  T T v v     vb   a  b   a b  

Tb  va    Ta  vb 

k

 va     vb 

1

k

 va  Tb va     vb  Ta vb

 T 1 /   1 v  b sab  R ln  b   T v  a  a 

20

PROBLEMA 9 (Continuación) UCLM

C) Variación de entropía del gas en cada etapa del ciclo (continuación).  T 1 /   1 v  b sab  R ln  b   va   Ta  

R = 8,314 J/(Kmol)

P (bar) 1

Isobara

2

Politrópica

 T 1 /   1 v   866 1 /  1.41 0.040  2 s12  R ln  2    8.314 ln     30.8 J/K v1  300 0 . 014    T1       T 1 /   1 v   300 1 /  1.41 0.061 3 s23  R ln  3    8.314 ln     18.5 J/K 0.040  T v2   866   2  

Isoterma 3

v (m3/mol)

 T 1 /   1 v   300 1 /  1.41 0.014  1 s31  R ln  1    8.314 ln     12.3 J/K 300 0 . 061 v3     T3     

21

PROBLEMA 10 Un ciclo frigorífico reversible de Carnot se emplea para mantener a -18º C el congelador de un frigorífico instalado en un local donde la temperatura es 20º C. Como fluido de trabajo de este ciclo termodinámico se emplean 0.2 moles de un gas ideal de coeficiente adiabático  = 1.40. Los vólúmenes máximo y mínimo del gas durante el ciclo son 2 litros y 5 litros. Se pide: A) Calcule la presión al comienzo e la expansión isoterma y el volumen al final de la compresión adiabática.

UCLM

B) Calcule el trabajo necesario para extraer 1 kJ del foco frío. C) Calcule el trabajo que debe aportarse por ciclo para mantener el frigorífico en funcionamiento. D) La variación de entropía del gas en la etapa isoterma a baja temperatura. Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol) P (bar) Compresión adiabática 1  2 Compresión isoterma 2  3 El fluido de trabajo cede calor al foco caliente

3 I AD

Expansión adiabática 3  4

ÁT AB

Expansión isoterma 4  1

El fluido de trabajo toma calor del foco frío

ICA

Datos: tenemos los siguientes datos de temperatura y volumen:

Tbaja  255 K

T1  273  18  255 K

T3  273  20  293 K

T2  273  20  293 K

T4  273  18  255 K

V1  5  10 Ciclo de refrigeración

3

m

3

2

Cálculo de las presiones (conocidos los volúmenes)

4

AD I

Talta  293 K AB ÁT

IC A

V3  2  103 m 3

PV  nRT V (litros)

nRT V

Cálculo de los volúmenes V2 y V4:

Pa Va  Pb Vb 1

P

nRTa  nRTb  Va  Vb Va Vb

 1 Ta Va 1  Tb Vb22

PROBLEMA 10 (Continuación) UCLM

A) Calcule la presión al comienzo e la expansión isoterma y el volumen al final de la compresión adiabática. P (bar) Compresión adiabática 1  2 Compresión isoterma 2  3 El fluido de trabajo cede calor al foco caliente

3 I AD

Expansión adiabática 3  4

ÁT AB

Expansión isoterma 4  1

El fluido de trabajo toma calor del foco frío

ICA

Tbaja  255 K

Ciclo de refrigeración

1 2 3 4

2 4

AD IA BÁ T

ºC -18 20 20 -18

K 255 293 293 255

V (m3) 5,00E-03 3,53E-03 2,00E-03 2,83E-03

P (Pa) P (bar) 1,06E+05 1,06 1,72E+05 1,72 3,05E+05 3,05 1,87E+05 1,87

Talta  293 K IC A

1

V (litros) Apartado A)

P4  1.87 bar

La presión al comienzo de la expansión isoterma es:

Expansión isoterma: 41

El volumen al final de la compresión adiabática es:

Compresión adiabática: 12 V2  3.53 litros

23

PROBLEMA 10 (Continuación) B) Calcule el trabajo necesario para extraer 1 kJ del foco frío.

UCLM

C) Calcule el trabajo que debe aportarse por ciclo para mantener el frigorífico en funcionamiento. D) La variación de entropía del gas en la etapa isoterma a baja temperatura.

Q41  0

3

Eficiencia  

I AD ÁT AB

Presión (bar)

Balance de energía en un ciclo: Q41  Q23  W  0

Q41 Q41  W Q23  Q41

Q23  0 W 0





Tbaja Talta  Tbaja

255  6.7 293  255

ICA

Significado:  representa la energía extraída del foco frío por cada unidad de trabajo aportada al ciclo. Por tanto el trabajo necesario para extraer 1 kJ del foco frío es:

1/   1 / 6.7  0.15 kJ

Tbaja  255 K

Ciclo de refrigeración

Eficiencia reversible

Trabajo en las etapas isotermas 2

Talta  293 K AB ÁT

IC A

W41  nRTbaja ln V1 / V4   301.6 J

Trabajo neto (en un ciclo)

4

AD I

W23  nRTalta ln V3 / V2   346.5 J

1

W  W23  W41  44.9 J

Comentario: los trabajos asociados a las etapas adiabáticas no cuentan, por ser iguales y de signos opuestos W12 

1  P1V1  P2V2   1

P1V1  P4V4  nRTbaja

W34 

1  P3V3  P4V4   1

P2V2  P3V3  nRTalta

Volumen (litros) Para calcular la variación de entropía de la etapa isoterma 41 es necesario determinar el calor intercambiado en ella. Como en cualquier proceso a temperatura constante la variación de energía interna de un gas ideal es nula, se verifica que Q41  W41  301.6 J

S41 

Q41 301.6 J   1.18 J/K Tbaja 255 K

U 41  Q41  W41  0

24