Bir Yayın Yaptığı Iş

İŞ-ENERJİ Dengelenmemiş net kuvvetin parçacığın yörüngesi boyunca kattettiği eğrisel yola göre integrasyonu işi verir.

t Fn r r ∑ Fi =F

Ft

m

yörünge

A′

A n

s

r r m kütleli parçacığın üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin bileşkesi ∑ Fi =F olsun. Bu etki altında parçacığın r yörünge üzerinde A’ dan A′ ye kadar giderek gerçekleştirdiği diferansiyel d r yer değiştirmesi sırasında yapılan iş r r dU = F ⋅ d r

(1)

olarak tanımlanır.

r r dU = F d r cos α

r r F cos α = Ft

dU = Ft ds

dU = F cos αds

(2)

r Buradan anlaşılmaktadır ki F’ nin teğetsel bileşeni Ft iş yapar Fn ise iş yapmaz; çünkü Fn ile d r arasındaki r açı 90°’ dir. Buradan işin skaler bir büyüklük olduğu görülmektedir. Ft bileşeni, d r yerdeğiştirmesi ile aynı yönde ise iş pozitif, ters yönlüyse iş negatif olur. Birimi [U]=N.m=joule’ dür.

Parçacığın yörünge boyunca s1’ den s2’ ye kadar sonlu yerdeğiştirmesi sırasında yapılan toplam iş, s

r r 2 U = ∫ F ⋅ d r = ∫ Ft ⋅ ds

(3)

s1

formülüyle verilir. Eğer kuvvetin teğetsel bileşeni ile s yolu arasındaki bağıntı matematiksel olarak belirliyse iş, (3) formülüyle hesaplanır. Böyle bir bağıntı deney verileriyle yaklaşık olarak elde edilmişse iş, nümerik veya grafik integrasyon yöntemleriyle Ft−s eğrisi altındaki kapalı alanın hesaplanmasıyla bulunur.

Parçacık, üzerine etkiyen F1, F2, ..., Fm kuvvetler sisteminin etkisinde dr diferansiyel deplasmanını gerçekleştiriyorsa bu esnada yapılan toplam iş tek tek her bir kuvvetin yaptığı işlerin toplamına eşittir. r r r r r r r r dU = F1d r + F2 d r + F3 d r + ... + Fm d r

(

)

r r r r r dU = F1 + F2 + F3 + ... + Fm ⋅ d r m r r dU = ∑ Fi ⋅ d r

Ft

m

r

∑F

i =1

i =1

i

r r r r = F = Fx i + Fy j + Fz k

dU = Ft ds

r r r r d r = x i + y j + zk

(

)(

r r r r r r dU = Fx i + Fy j + Fz k ⋅ dx i + dy j + dzk dU = Fx dx + Fy dy + Fz dz

s1

)

s2

ds

(4) BİR YAYIN İŞİ

Bir cismin üzerine uygulanan değişken kuvvetin yaptığı işe örnek olarak hareket edebilen bloğa bağlı doğrusal bir yayın etkisi gösterilebilir.

F

F

F=kx

F=kx

x1

x x

F=kx

Gerilmemiş konum

Gerilmiş konum

(a)

x2

x1

P

x

x

F=kx

P

Sıkıştırılmamış konum

x2

Sıkıştırılmış konum

(b)

Bloğun P kuvvetiyle çekilip yayın x kadar uzaması (a) veya yine P ile sıkıştırılıp x kadar kısalması (b) halinde yayın cisme uyguladığı kuvvet cismin yerdeğiştirmesi ile ters yönlü olduğu için yayın yaptığı iş negatif (−) olur.

(

x1

1 U1− 2 = − ∫ F ⋅ dx = − ∫ kxdx = − k x 22 − x12 2 x

)

(5)

1

Buna karşılık önceden gerilmiş veya basılmış bir yayın serbest hale geçmesi esnasında kendisine bağlı olan cisme uyguladığı kuvvet yer değiştirme ile aynı yönde olduğu için yayın yaptığı iş pozitif (+) olur. F=kx bağıntısı statik bir bağıntıdır. Yayın dinamik davranışını hassas bir biçimde incelemek için yay kütlesini de hesaba katmak gerekir. Bu karmaşık bir problemdir. Ancak yayın kütlesi ona bağlı olarak incelenen diğer kütle veya kütleler yanında küçük ise statik bağıntının kullanılmasında sakınca yoktur.

İŞ-KİNETİK ENERJİ BAĞINTISI

t

(2)

r dr

r r r F = ∑ Fi =ma

Fn

(1)

α s2

a

m

Ft

s1

Parçacığın kinetik enerjisi;

T=

1 mv 2 2

(6) olarak tanımlanır.

Diğer bir deyişle m kütleli parçacığın duruştan v hızına getirilmesi için yapılan toplam iştir. Birimi yine joule’ dur ve kinetik enerji daima pozitiftir.

n

Parçacığın (1) konumundan (2) konumuna gelene kadar yapılan işi yazacak olursak,

r r r r U1− 2 = ∫ Fd r = mad r r r r r a ⋅ d r = a d r cos α = a ds cos α = (a cos α )ds = a t ds 1 424 3

a t ds = vdv

at

s2

v2

1

1

r r 1 1 U1− 2 = ∫ mad r = ∫ ma t ds = ∫ mvdv = mv 22 − mv12 = T2 − T1 2 2 s v

U1 − 2 =

1 1 mv 22 − mv12 = T2 − T1 2 2

(7′)

U1−2=ΔT

(7)

(7) bağıntısından (1) konumundan (2) konumuna gelene kadar parçacığa etkiyen tüm kuvvetlerin yaptığı işin toplamı bu iki nokta arasındaki kinetik enerji değişim miktarına eşit olduğunu görürüz. T pozitiftir ama ΔT pozitif, sıfır veya negatif olabilir.

İş, kinetik enerjideki değişme miktarına eşittir. Formülün önemi veya uygunluğu ise yapılan işle parçacığın ilk ve son hızları arasında bağıntı kurmasıdır (ivmeyi atlayarak) ve formül yalnızca iş yapan kuvvetleri gözönüne alır.

GÜÇ (POWER) Bir makinanın kapasitesi, iş görme hızı veya enerji iletme hızı ile ölçülür. Sadece toplam iş veya enerji çıktısı kapasite ölçüsü için yeterli değildir. Çünkü, örneğin bir motor küçük de olsa yeterince uzun süre çalıştırılırsa büyük miktarda enerji üretebilir. Bu nedenle güç kısaca iş yapma hızı olarak adlandırılır. Eğer U, F' in yaptığı işi simgelerse, bu kuvvet tarafından geliştirilen güç, & = P=U

dU r r& r r = F⋅ r = F⋅ v dt

r r P = F⋅v

(8)

olarak tanımlanır. Güç de iş gibi skaler bir niceliktir ve birimi işin birimi bölü zamandır: SI’ da [P ] =

[U] = [t ]

joule = watt s

103 watt=1 kW 106 watt=1 MW 109 watt=1 GW 75 kgf−m/s=(75×9.81) Nm/s=736 W=1 BG Formüldeki v, F kuvvetinin uygulama noktasının hızıdır. Benzer biçimde ω açısal hızına sahip bir cisim üzerine etkiyen M momenti (kuplu) tarafından geliştirilen güç: r r & = M⋅ω P=U

(8′) VERİM (EFFICIENCY)

Birim zamanda makinanın yaptığı işin (ürettiği enerjinin) makina üzerine yapılan işe (makinanın harcadığı enerji) oranıdır. Bu tanım makina içinde enerji üreten veya enerji yutan başka bir kaynak olmadığı sürece geçerlidir. Verim daima 1’ den küçüktür, çünkü her makina bir miktar enerji kaybıyla çalışır. Makinanın hareketli parçaları tarafından oluşturulan kinetik sürtünme kuvvetlerinin neden olduğu negatif iş daima enerji kaybına yol açar. Bu negatif işin bir kısmı ısıya dönüşerek çevreye dağılır. Herhangi bir anda “mekanik verim” şöyle belirlenir: em =

Pç ıktı

P = out Pgirdi Pin

(9)

Mekanik sürtünmeler nedeniyle kaybolan enerji yanında bir sistemde termik ve elektriksel enerji kayıpları da söz konusu olabilir. Bu durumda, et ee

: termik verim : elektriksel verim

Toplam verim :

e=em× et × ee

(10)

POTANSİYEL ENERJİ

(7) ve (7′) bağıntıları verilen iş-kinetik enerji ilişkileri yardımıyla problem çözülürken parçacığın SCD’ si çizilip ona dışarıdan etkiyen gravitasyon kuvvetlerinin, yay kuvvetlerinin ve diğer tüm kuvvetlerin yaptığı iş ayrı ayrı hesaplanır. Oysa gravitasyon ve yay kuvvetlerinin işleri potansiyel enerji kavramıyla açıklanıp ifade edilir ve hesaplanırsa birçok problemin çözümü çok kolaylaşır. GRAVİTASYON (YER ÇEKİMİ) POTANSİYEL ENERJİSİ

Yeryüzüne yakın yükseklik içinde (düşük irtifalarda) g ve dolayısıyla mg sabit alır. Bu bölgede m kütleli parçacığının hareketini inceleyelim. Parçacığı bulunduğu başlangıç konumundan h kadar yükseğe çıkarmak için yerin çekim alanına karşı yapılan ve mgh’ a eşit olan iş onun gravitasyon potansiyel enerjisidir. Bu bağıntıda keyfi olarak başlangıç noktasında parçacığın potansiyel enerjisi sıfır kabul edilmiştir. Vg=mgh

h mg

ve

Vg=mgh

Vg=0 mg

h1 yüksekliğinden daha yukarıdaki h2 yüksekliğine çıkışta gravitasyon potansiyel enerjisindeki değişim; ΔVg=mg(h2−h1)=mgΔh olur. Bu esnada yer çekim kuvvetinin parçacık üzerine yaptığı iş − mgΔh’ tr. Diğer bir deyişle yer çekim kuvvetinin yaptığı iş, potansiyel enerjideki değişiminin negatif değerine eşittir.

YÜKSEK İRTİFALARDA YERÇEKİM KUVVETİNDE ve POTANSİYEL ENERJİDEKİ DEĞİŞİM m

Yerin çekim alanı içinde yerden yükseklikte (irtifada) büyük değişiklikler olduğu takdirde yer çekim kuvveti olan

G=

mm e 2

= mg

R2 2

m r′

artık yukarıdaki gibi “mg” sabit

r r kalmaz, r ile değişir (yerin merkezinden olan mesafeye bağlı olarak).

r me R

Parçacığın konumunun r’ den r′ ‘ye kadar değiştirmek için bu yer çekim kuvvetine karşı yapılan iş gravitasyon potansiyel enerjisindeki değişime eşit olacağı için söz konusu değişim r′ R2 ⎛1 1 ⎞ ′ Vg − Vg = ∫ mg dr = mgR 2 ⎜ − ⎟ 2 ⎝ r r′ ⎠ r r

R yerin ortalama yarıçapı

şeklinde verilir.

Genel yaklaşım r′→∞ için V′g=0 , böylece

Vg = −mg

enerji)

R2 olur. (r konumundaki gravitasyon potansiyel r m m

r1’ den r2’ ye gidildiğinde gravitasyon potansiyel enerjideki değişim,

r2

r1

⎛1 1⎞ ΔVg = mgR 2 ⎜⎜ − ⎟⎟ olur ki bu da yine yer çekim ⎝ r1 r2 ⎠ kuvvetinin yaptığı işin negatifine (−) eşittir. Yer çekim kuvvetinin yaptığı işi yazarken kuvvetle dr ters yönlü olduğu için r2

⎛ R 2 ⎞⎟ R2 ⎜ ∫ − ⎜ mg r 2 dr ⎟ = mg r ⎠ r1 ⎝

⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ olur. ⎝ r2 r1 ⎠

Bir parçacığın potansiyel enerjisi sadece konuma bağlı olup o konuma varmak için izlediği yörüngeden bağımsızdır.

mg

R2 r2

r

me R

ELASTİK POTANSİYEL ENERJİ

Elastik bir cismin şekil değiştirmesi sırasında potansiyel enerji kavramı yine ortaya çıkar. Örneğin bir yayın şeklini değiştirmek için onun üzerine yapılan iş, yayda elastik potansiyel enerji olarak depolanır. Depolanan bu enerji yayın deformasyonu sıfırlanırken geri kazanılır. Yayın Elastik Potansiyel Enerjisi

Doğrusal bir yayı serbest boyundan x kadar deforme etmek için üzerine uygulanan (yapılan) iş onun elastik potansiyel enerjisine eşittir. x 1 Ve = ∫ kxdx = kx 2 2 0

Yayın deformasyonu ister çekme ister basma olsun, sonucunda uzayarak veya kısalarak x1’ den x2’ ye kadar artarsa potansiyel enerjideki değişim=son konumdaki değer−ilk konumdaki değer olarak tanımlanır ve pozitiftir.

(

)

1 Tersin olarak hareket esnasında yayın deformasyonu azalırsa elastik potansiyel k x 22 − x12 2 enerjisindeki değişim negatif olur. ΔVe =

Yeryüzünde yapılan iş, ona bağlı blok (veya cisim) üzerine yaptığı işin negatifidir. Çünkü kuvvetlerin yönleri terstir. Eğer bir sisteme yay katılmış ise iş-enerji bağıntısından yayın cisme yaptığı iş terimi yerine yayın elastik potansiyel enerjisindeki değişimin negatifi (−ΔVe) olarak yazabiliriz. U′1-2 , incelenen problemdeki yer çekimi kuvvetleri ve yay kuvvetleri dışında kalan tüm dış kuvvetlerin yaptığı iş-enerji bağıntısı;

U′1-2 +(−ΔVg)+(−ΔVe)=ΔT

U′1-2=ΔT+ΔVg+ΔVe

veya

T1+Vg1+Ve1+ U′1-2= T2+Vg2+Ve2

(Å)

hallerini alır. Bu bağıntılar yer çekimi ve yay kuvvetlerinin yaptığı işi hesaplarken sadece parçacığın ilk ve son konumu ile yayın ilk ve son uzunluğunu gözönüne aldığı için çok yararlı ve uygundur. (Å) bağıntısını,

U′1-2=Δ(T+Vg+Ve)

şeklinde yazarsak

E= T+Vg+Ve (Toplam mekanik enerji)

Bir sistem üzerine yay ve gravitasyon kuvvetleri iş, sistemin toplam mekanik enerjisindeki değişime eşittir.

U′1-2=ΔE dışındaki tüm kuvvetlerin yaptığı

Bir problemde iş yapan kuvvetler sadece yay ve gravitasyon kuvvetlerinden ibaret olup bunların dışındaki kuvvetler iş yapmayan bağ kuvvetleri ise bu durumda

U′1-2=0

olur

ve

ΔE=0

toplam mekanik enerjideki değişim sıfırdır. E=SABİT

Böyle durumlarda sistemdeki kinetik ve potansiyel enerjiler arasında enerji transferi söz konusu olmasına rağmen toplam mekanik enerji değişmez ve bu durum

T+Vg+Ve=sabit

veya

T1+Vg1+Ve1= T2+Vg2+Ve2

bağıntılarıyla ifade edilir. KORUNUMLU KUVVET ALANLAR (CONSERVATIVE FORCE FIELDS) 2

y

Gravitasyon ve yay kuvvetlerine karşı yapılan işlerin sadece konumdaki net değişikliğe bağlı olduğunu ve bir konumdan diğerine ulaşırken izlenen yoldan bağımsız olduğunu gördük. Bu nitelikteki kuvvetler korunumlu alanlardan doğar. Bu alanların ise önemli bir matematiksel özelliği r vardır. F kuvvetinin, konum koordinatlarının fonksiyonu r olduğunu düşünelim. Uygulama noktasının d r diferansiyel r yerdeğiştirmesi süresince F kuvvetinin yaptığı iş r r dU = F ⋅ d r olur. (1)’ den (2)’ ye kadar yörünge boyunca yapılan toplam iş ise,

F

r dr

r r 1

x z

2r r 2 r r r r r r U1− 2 = ∫ Fd r = ∫ Fx i + Fy j + Fz k ⋅ dx i + dy j + dzk

(

1

1

)(

)

2

(

U1− 2 = ∫ Fx dx + Fy dy + Fz dz

)

1

r v Genel iş tanımını veren ∫ F ⋅ d r integrali esas itibariyle bir eğrisel integral olup (1) ve (2) noktaları arasında r v izlenen yola bağlıdır. Fakat F ⋅ d r koordinatların V gibi skaler bir potansiyel fonksiyonun negatif tam diferansiyeline eşitse o zaman yapılan iş, V2

U1− 2 = ∫ − dV = −(V2 − V1 ) bağıntısıyla tanımlanır ve yörüngeden bağımız hale gelerek sadece başlangıç V1

ve bitiş noktalarına bağlı bir hal alır. Negatif işaretin yerin çekim alanında potansiyel enerjideki değişimin benimsenen işaretiyle uyum sağlamak için konulmuştur. Eğer yukarıda tanımlanan V gibi bir skaler potansiyel fonksiyondaki diferansiyel değişim:

dV = Bu durumda, Fx = −

∂V ∂x

∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂y ∂z ∂x

şeklinde ifade edilir.

r v − dV = F ⋅ d r = Fx dx + Fy dy + Fz dz Fy = −

∂V ∂y

Fz = −

Ayrıca F kuvveti de vektör formda

∂V bulunur. ∂z r r F = −∇ V

r ∂ r ∂ r ∂ r ∇= i+ j+ k ∂z ∂x ∂y

r r F = −∇V bağıntısı F kuvvetinin, V potansiyel fonksiyonunun gradyanına eşit olduğunu belirtir. Sonuç r olarak eğer F kuvvetinin bileşenleri bir potansiyel fonksiyondan yukarda tanımlandığı gibi türetilebiliyorsa bu kuvvete korunumlu (conservative) denir ve böyle bir kuvvet tarafından herhangi iki nokta arasında yapılan iş izlenen yoldan bağımsız olur.