Matemática 5

MATEMÁTICA

45

MATEMÁTICA

PROBABILIDADE

46

MATEMÁTICA

47

MATEMÁTICA

48

MATEMÁTICA

49

MATEMÁTICA

NOÇÕES ESTATÍSTICA

3.2.2 - Variáveis Contínuas: são aquelas variáveis que podem assumir quaisquer valores num intervalo de observação. Ex.: idade, peso, estatura, rendimentos, notas, etc.

VARIÁVEIS E ATRIBUTOS NÍVEIS DE MEDIDA DE UMA VARIÁVEL.

4. Pesquisa Estatística: A pesquisa estatística de uma População pode ser feita através de dois processos: censo e amostragem.

1. Estatística: é a ciência que se preocupa com a coleta, análise, interpretação e apresentação dos dados e tem como objetivo fundamental, o estudo de Populações para fins de decisão, cabendo-lhe planejar experiência, visando obter, com a máxima rapidez e mínimo de custos, resultados capazes de permitir realizar conclusões com grande grau de precisão. Possui duas grandes divisões: Descritiva e Indutiva.

4.1 - Censo: É a coleta exaustiva das informações das "N" unidades da População. 4.2 - Amostragem: É a coleta de informações de parte da População, de tamanho "n", mediante métodos adequados de seleção destas unidades. Amostra: Amostra, em Estatística, é uma parte da População convenientemente selecionada de acordo com uma regra ou plano. Estimação: Consiste em calcular, a partir dos dados da amostra, os correspondentes valores da respectiva População. Parâmetros: São medidas calculadas a partir das variáveis de uma População. (médias, variâncias, desvio padrão, etc.) Estimadores ou estatísticas: São medidas calculadas a partir de uma amostra. (médias, variâncias, desvio padrão, etc.)

1.1 - Estatística Descritiva: é aquela que se preocupa com a coleta, elaboração, análise, interpretação e apresentação dos dados relativos a uma determinada População. 1.2 - Estatística Indutiva (inferência estatística): é aquela que, a partir dos dados de uma amostra, pretende fundamentar a tomada de decisão sobre a população de origem. 2. População: população ou Universo é todo o conjunto, finito ou infinito, que possui ao menos uma característica em comum entre todos os seus elementos componentes. Ex.: Alunos da Universidade "X".

Parâmetros µ - média s2 - Variância s - desvio padrão δ - coeficiente de variabilidade de Pearson.

2.1 - População Finita: é aquela em que é possível enumerar todos os seus elementos componentes. Ex.: produção mensal de parafusos de uma Empresa "X". 2.2 - População Infinita: é aquela em que não é possível enumerar todos os seus elementos componentes. Ex.: Os astros existentes no Universo. Observação: uma População finita pode, mediante processos operacionais, ser transformada em população infinita. Ex.: Retirar as fichas de uma urna e, depois de cada extração, repô-las.

x - Média S2 - Variância s - Desvio Padrão δ - Coeficiente de Variabilidade de Pearson

3. Características de uma População - Dividem-se em Atributos e Variáveis.

4.3 - Experimento Aleatório

3.1 - Atributos: são aquelas características da População que não podem ser medidas. Ex.: Religião, cor, estado civil, nacionalidade, etc.

Estatística - Ciência e Método São várias as definições propostas à Estatística como ciência, dentre elas, a que apresentamos no item 1 Estatística Descritiva. Pelo enfoque de ciência e método, a Estatística é vista como um conjunto de conhecimentos exatos e racionais, relativos às causas das realizações e deduzidas pela demonstração.

3.2 - Variáveis: são aquelas características da População que podem ser medidas. Dividem-se em Discretas e Contínuas. 3.2.1 - Variáveis Discretas: são aquelas variáveis que podem assumir somente valores particulares (inteiros) num intervalo de observação. Ex.: número de filhos, número de gols numa partida de futebol, número de automóveis, etc.

Método é a ordem ou conjunto de processos que devem ser estabelecidos para, através da investigação, atingir determinado objetivo.

50

MATEMÁTICA 1973 1974 Fonte: Dados hipotéticos

Se, no estudo de um acontecimento, não se podem obter os resultados através da experiência, o método científico tem por objetivo simplificar os dados colhidos sobre complexidade de causas e fatores de difícil, se não impossível, controle, que afetam de maneira sensível o fenômeno tomando o nome de método estatístico ou EXPERIMENTO ALEATÓRIO.

6.1.2 - Série estatística Geográfica: é aquela série em que se verifica a variação do fenômeno em relação ao espaço geográfico ou à região. Ex.: Produção da utilidade “k”

Os métodos experimental ou aleatório e estatístico, tanto podem ser empregados juntos como separadamente, no estudo de um fenômeno, bastando para isso sua exigência.

Rio Grande do Sul 1974 REGIÃO TONELADAS A 200 B 50 C 120 D 400 E 300 Fonte: Dados Hipotéticos

A partir dessas considerações, pode-se definir a estatística com outro enfoque: "Estatística é o método de estudo representativo e analítico dos elementos dos fenômenos que se apresentam em grande número, para sua subseqüente interpretação". II - DISTRIBUIÇÃO DE Representações tabulares e práticas

FREQÜÊNCIA

5. ORGANIZAÇÃO ESTATÍSTICOS

DOS

160 230

6.1.3 - Série estatística especificativa: é aquela série em que se verifica a variação do fenômeno em relação a espécie ou à qualidade.

-

Ex.: Produção da utilidade “k” Rio Grande do Sul 1974 CEREAL TONELADAS A 200 B 210 C 150 D 160 Fonte: Dados Hipotéticos

DADOS

5.1 - Tabular: é a apresentação dos dados estatísticos através das tabelas. 5.2 - Gráfica: é a apresentação dos dados sob a forma de gráficos.

6.1.4 - Série estatística mista: é aquela série que resulta da combinação das séries estatísticas temporal, geográfica e especificativa. Recebe a denominação conforme as variações do fenômeno que ocorre.

6. Série Estatística: é toda e qualquer coleção de dados estatísticos, referidos a uma mesma ordem de classificação. Dividem-se em: Série de dados não grupados e Série de dados grupados.

Ex.: série geográfica - Temporal Produção de Utilidade “k” Brasil 1973/74

6.1 - Série de dados não grupados - É a série estatística onde as variações do fenômeno são apresentadas de acordo com a época a que se referem, ao espaço onde se observa ou a qualidade ou a espécie do fenômeno.

Ano

Norte

Toneladas Sul

Região Sul Norte Sudeste Fonte: Dados hipotéticos

6.2 - Série de dados grupados - É a série estatística onde o tempo, o espaço geográfico, a espécie ou a qualidade permanecem constantes e o fenômeno é agrupado em subintervalos do intervalo total observado. Existem dois tipos de Distribuição de freqüências: por intervalos e por pontos. As séries de dados não grupados podem ser: Temporal, Cronológica, Histórica, Geográfica, Territorial, Especificativa ou qualitativa e mista. 6.1.1 - Série estatística temporal: é aquela série em que se verifica a variação do fenômeno em relação ao tempo.

30 60 50

40 70 30

Ex.: série especificativa - Geográfica Produção de Cereais Rio Grande do Sul 1974

Ex.: Produção da utilidade “k”

Ano

Norte

Toneladas Sul

Região

Rio Grande do Sul 1970/4 ANO TONELDAS 1970 200 1971 210 1972 250

A B C D

51

18 20 30 40

50 60 40 20

MATEMÁTICA Fonte: Dados hipotéticos

6. Limite superior de classe - É o valor até o qual são contadas as observações dentro da classe. Símbolo: 1s Ex: 1s3 = 7 U.M. (limite superior da 3ª classe é 7 U.M.)

6.2 - SÉRIES ESTATÍSTICAS DE DADOS AGRUPADOS São as séries estatísticas em que o tempo, espaço, qualidade ou a espécie permanecem constantes e as variações do fenômeno são agrupadas em subintervalos ou pontos do intervalo total observado. As séries agrupadas podem ser de dois tipos:

7. Amplitude de classe - É a diferença existente entre o 1s e o 1i. Ex: h = 1i - 1i = 2 U.M. (a amplitude é a mesma para todas as classes)

6.2.1 - Distribuição de freqüências por intervalos: As variações do fenômeno são agrupados por intervalos. (Somente para variáveis contínuas)

8. Freqüência simples ou absoluta de classe - É o número de observações da variável contada dentro da classe. Símbolo: fi Ex: f3 = 45 empregados (freqüência simples da 3ª classe é 45 empregados).

Exemplo: Rendimentos mensais dos empregados da Empresa “x” em unidades monetárias (1 UM = R$ 1.000,00) POA-JULHO/94 UNIDADES NÚMERO DE Fi fri xi fixi

9. Freqüência acumulada ou absoluta da classe - É o número de observação da variável contado a partir da primeira classe até uma classe qualquer. Símbolo: Fi Ex: Fi = f1 + f2 + f3 _ ... + fn

MONETÁRIAS EMPREGADO S

1 |----- 3 17 17 0,085 2 34 3 |----- 5 30 47 0,150 4 120 5 |----- 7 45 92 0,225 6 270 7 |----- 9 52 144 0,260 8 416 9 |----- 11 36 180 0,180 10 360 11 |-----| 13 20 200 0,100 12 240 200 1,000 1440 ∑ Fonte: Dados hipotéticos Em relação à série estatística anterior, temos: Elementos característicos de uma Distribuição de freqüências por intervalos:

10. Freqüência relativa de classe - É a relação existente entre a freqüência simples de classe e a soma das freqüências simples. Símbolo: fri fri = fi : ∑fi ou fri = fi / ∑ fi Ex: fr3 = 0,225 ou 22,5% (freqüência relativa da 3ª classe é de 22,5%).

1. Limite Inferior da D.F. - É o valor a partir do qual são contadas as observações da distribuição. Símbolo: Li Exemplo: Li = 1 U.M.

11. Ponto médio de classe - É a média aritmética calculada entre o limite inferior de classe e o seu limite superior. Símbolo: x xi = 1i + 1s 2 Ex: x3 = 6 U.M.

2. Limite superior da D.F. - É o valor até o qual são contadas as observações da distribuição. Símbolo: LS Exemplo: LS = 13 U.M.

6.2.2 - Distribuição de freqüências por pontos: é uma série de dados agrupados na qual o número de observações da variável está relacionado com um ponto real.

3. Amplitude da D.F. - É a diferença existente entre Ls e Li, ou seja H = LS - Li Símbolo: H Ex: H = 13 - 1 = 12 U.M.

Ex: número de Dependentes por empregados da Empresa "X"

4. Classes da D.F. - São os subintervalos nos quais são contadas as observações da variável. Símbolo do nº de classes: m Ex: 6 classes (tabela acima)

Rio Grande do Sul Março/1975 Nº DE Nº DE DEPENDENTES EMPREGADOS 0 40 1 50 2 30 3 20 4 10 150 ∑ Fonte: Dados hipotéticos

Observação: para se determinar o número de classes de uma distribuição podemos utilizar a relação de Sturges: m = 1+3,322 . log N (N: nº de informações). 5. Limite inferior de classe - É o valor a partir do qual são contadas as observações dentro da classe. Símbolo: 1i Ex: li3 = 5 U.M. (limite inferior da 3ª classe é 5 U.M.)

52

MATEMÁTICA Observação: as distribuições de freqüências por pontos são características das variáveis discretas.

que foi observado. Como exemplo, tem-se a parte superior da tabela onde está indicado:

6.2.3 - Representação gráfica (a) Para as distribuições de freqüências por intervalos, utilizamos, principalmente, o gráfico do tipo histograma (Gráfico 1). (b) Para as distribuições de freqüências por pontos, utilizamos, principalmente, o gráfico de linhas (Gráfico 2).

PRODUÇÃO BRASILEIRA DE ALGUNS PRODUTOS - 1957/1958 b) Linha - É a parte da tabela que contém uma série horizontal de informações. Como exemplo, na tabela temse:

GRÁFICO 1 Rendimentos mensais dos empregados da Empresa “x” em unidades monetárias (1U.M. = R$ 1.000,00) Porto Alegre Julho/94

Mamona

31.780

24.946

c) Coluna - É a parte da tabela que contém uma série vertical de informações. Como exemplo, na tabela tem-se: 1957 42 3906 31 780 14 897 d) Casa ou Célula - É a parte da tabela formada pelo cruzamento de uma linha com uma coluna. Na tabela temse: 31.780 e) Corpo - É a parte da tabela composta de linhas e colunas; f) Cabeçalho - É a parte da tabela na qual é designada a natureza do conteúdo de cada linha, a saber, é o conjunto de casas ou células que formam a parte superior do corpo da tabela. Na tabela tem-se:

GRÁFICO 2 Número de dependentes por empregados da Empresa “x” s/a Rio Grande do Sul - Março/1975

PRODUTOS

QUANTIDADES TONELADAS 1957

1968

g) Coluna Indicadora - É a coluna que contém as discriminações correspondentes aos valores distribuídos pelas colunas numéricas. No exemplo, tabela é a coluna que contém os produtos: PRODUTOS Açúcar-de-cana........... Mamona..................... Manteiga de cacau...... h) Rodapé - É o espaço aproveitado em seguida ao fecho da tabela onde são colocadas as notas de natureza informativa (Fonte, Notas e Chamadas). No exemplo, tabela, é a parte:

7. NORMAS PARA APRESENTAÇÃO TABULAR DE DADOS Tabela - De modo geral tem-se a destacar em uma tabela ou quadro:

Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

a) Título - É a parte superior da tabela, na qual se indicam a natureza do fato estudado, o local e a época em

53

MATEMÁTICA i) Fonte - É a informação colocada no rodapé da tabela referindo-se à entidade que organizou ou forneceu os dados expostos. No exemplo: Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

Propriedades da Média Aritmética Simples: 1º - A média aritmética simples é um valor contido entre o menor valor observado e o maior.

j) Notas e Chamadas - São as informações, em linguagem concisa, colocadas no rodapé da tabela. em seguida à indicação da fonte, quando a matéria contida na tabela exige esclarecimentos. A nota é usada para conceituação ou esclarecimento geral e a chamada para esclarecer certas minúcias em relação a casas, linhas e colunas. Quando houver mais de uma nota, elas devem ser numeradas em algarismos romanos e as chamadas em algarismos arábicos, elevados e entre parênteses. Entre os textos das notas, e também os textos das chamadas, devem-se colocar ponto e traço com exceção da última nota e da última chamada que são seguidos de ponto final.

(min < µ < máx) 2º - A soma dos desvios, contados em relação à média aritmética simples, é igual a zero. ∑di = zero Obs.: desvios: di = (Xi - µ ) - dados não agrupados di = fi (xi - µ ) - dados agrupados Ex.: 1) Dados não agrupados Notas do aluno “X” abril/setembro de 1975 meses Xi abril 10 maio 8 junho 7 julho 4 agosto 6 setembro 7 42 ∑ Fonte: Dados hipotéticos

Normas do I.B.G.E. para representação tabular (Da publicação do I.B.G.E. Conselho Nacional de Estatística 1959). A XVII Assembléia Geral do Conselho Nacional de Estatística baixou, a 21 de junho de 1957, a Resolução nº 707, dando consolidação, em caráter experimental, às disposições normativas para a apresentação tabular da estatística brasileira. A matéria, por força da mesma Resolução, foi submetida à apreciação dos órgãos técnicos interessados no assunto. Posteriormente, foi elaborado um parecer sobre as sugestões apresentadas, aprovado pela Junta Executiva Central e a seguir encaminhado aos órgãos integrantes do sistema estatístico brasileiro, para exame prévio. Finalmente, foi aprovada, pela XVIII Assembléia Geral, a 10 de julho de 1958, a Resolução nº 731, que deu vigência definitiva às citadas normas, ora reproduzidas, com as alterações que lhes foram introduzidas.

Xi - µ = di 10 - 7 = 3 8-7=1 7-7=4 - 7 = -3 6 - 7 = -1 7-7=ZERO

Ex.: 2) Dados Grupados Salários dos Empregados da Empresa ABC S.A. UNIDADES fi MONETÁRIAS

Xi

2 |------ 6 30 4 6 |----- 10 35 8 10 |----- 14 40 12 14 |----- 18 60 16 18 |----- 22 120 20 22 |----- 26 190 24 26 |-----| 30 25 28 500 ∑ Fonte: Dados hipotéticos

III - MEDIDAS DE POSIÇÃO (TENDÊNCIA CENTRAL) (Média, moda, mediana, quartis, decis e percentis) 7.1 Medidas de Tendência Central - (Promédios de 1ª ordem) - São aquelas medidas estatísticas que sintetizam em si os valores das variáveis de um conjunto observado.

fiXi

Xi - µ

120 280 480 960 2.400 4.560 700 9.500

4 - 19 = -15 8 - 19 = -11 12 - 19 = -7 16 - 19 = -3 20 - 10 = 1 24 - 19 = 5 28 - 19 = 9 -

fi(Xi µ ) -450 -385 -280 -180 120 950 225 zero

7.1.2 - Moda - A moda (também conhecida como norma ou tipo dominante) é a informação que se verifica com maior freqüência.

7.1.1 - Média Aritmética Simples - É uma medida estatística que representa os valores das variáveis de um conjunto observado. O seu valor se obtém da seguinte maneira: soma-se os valores da variável e divide-se pelo número de elementos considerado nesta soma. Símbolo: µ ou x

Embora a idéia de valor mais freqüente date de época anterior, não se empregou em Estatística, senão a partir de 1894, quando K. Pearson generalizou seu conceito.

Dados não agrupados: (Cálculo Simplificado da média)

(a) A moda para dados não agrupados Sem dificuldade nenhuma podemos identificar a moda, que anotamos por -Mo-, em um conjunto de dados não agrupados, bastando para isso verificar o valor que aparece o maior número de vezes.

µ = ∑ Xi = 42 = nota 7 (Ex 1) N 6 Dados grupados:

Exemplo: seja X = {1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7}

µ = ∑ fi Xi = 9.500 = 19 U.M. (Ex 2) N 500

54

-

MATEMÁTICA Neste conjunto, o elemento 4, aparece 3 vezes, enquanto os demais aparecem com menor freqüência, portanto, ele, o elemento 4 é a moda do conjunto.

médio da classe modal, no caso 85 Km/h, é conhecida como moda bruta. Para o cálculo da moda ajustada para esta distribuição, pelas relações anteriormente expostas, temos:

É fácil deduzir-se que um conjunto de informações, pode possuir mais de uma moda ou mesmo não possuí-la. No caso de que um conjunto possua apenas uma moda, ele é dito unimodal: se possuir duas modas, será bimodal e assim por diante, embora possa generalizar-se o termo multimodal. Quando nenhum elemento de um conjunto, aparecer com freqüência maior que os demais, não existirá moda, e o conjunto será chamado de antimodal.

li = 90; H = 10; fi = 22 fi+1 = 16, logo pela relação de Czuber, temos: Mo = 80 + 10

Exemplos: (a) Se X = {1, 2, 3, 4, 5}, não existe moda; conjunto antimodal; (b) Se X = {1, 2, 2, 2, 3, 4, 5}, Mo = 2, conjunto unimodal; (c) Se X = {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5}, existem 2 modas, M o = 2 e Mo = 4, logo conjunto será conhecido como bimodal.

fi - fi - i . 2fi - (fi - 1 + fi + 1)

= 80 + 10

[ ] 11 . 17

Em outras palavras, a mediana é a medida correspondente a posição central de um conjunto de informações. Evidentemente, este conjunto deverá ser ordenado (de forma crescente ou decrescente), a fim de que se possa ler ou calcular o seu valor mediano. (a) A mediana para dados não agrupados (a1) Quando o número de dados for ímpar (N #2n), é suficiente ordená-los e ler o valor central para se identificar a mediana. Exemplo: se X = {1, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} a mediana será: Me = 6. (a2) Quando o número de informações for par (N = 2n), a mediana será a medida correspondente a média aritmética dos valores centrais. Exemplo: se X = {1, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, a mediana será a medida correspondente a média aritmética dos valores centrais.

]

Exemplo: se X = {1, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, a mediana será: Me = 5 + 6 = 5,5 2

Para exemplificar, vamos considerar a tabela abaixo que registra a velocidade de 70 motocicletas: Velocidade (Km/h) 50 |----- 60 60 |----- 70 70 |----- 80 80 |----- 90 90 |----- 100 100 |----- 110 110 |----- 120 å

]

7.1.3 Mediana - A mediana, anotada por Me, pode ser definida como aquele valor que supere até o máximo de 50% das informações e, simultaneamente seja superado, no máximo, pelos outros 50%.

(b) A moda para dados agrupados Nas distribuições de freqüência, a moda não é percebida tão facilmente como no caso dos dados não agrupados. As relações mais usuais para o cálculo da moda para dados agrupados, são atribuídas a Czuber e a King. (estudaremos somente a 1ª). Para expô-la, é necessário que se identifique os seguintes elementos: Mo = moda li = limite inferior da classe modal h = intervalo de classe fi = freqüência absoluta máxima fi - l = freqüência anterior à máxima. fi + l = freqüência posterior à máxima. Isto posto, poderemos calcular a moda, pela relação:

[

22 - 11 . 2.22-(11+16)

= 80 + 6,47 Km/H Mo = 86,47 Km/h Podemos interpretar o resultado de 86,47 Km/h, como sendo a velocidade verificada em maior número de vezes na experiência.

OBSERVAÇÃO: o conceito de moda deixa a desejar quando o número de informações é pequeno, por tal razão, os exemplos acima, devem ser encarados sob o aspecto puramente didático.

Mo = li + h

[

(b) A mediana para dados agrupados Em se tratando de dados agrupados (distribuições de freqüências) a mediana será definida por:

Nº de motos (fi) 6 9 11 22 16 4 2 70

Me = li + h

Me = li + h

[ ] [ ] N - Fi-1 2 . fi

Se N for par e;

N+1 - Fi-1 2 . fi

N = número de informações h = intervalo de classe

Olhando para a tabela acima verificamos, de imediato, que a distribuição possui apenas uma moda, e que ela está contida na 4ª classe, chamada classe modal. O ponto

55

Se N for ímpar, onde;

MATEMÁTICA fi = freqüência absoluta simples da classe que contém a mediana Fi-1 = freqüência absoluta acumulada da classe que é imediatamente anterior à classe da mediana.

OBSERVAÇÕES: 1. Além do já citado verifica-se a importância, utilidade, vantagens e desvantagens de utilização entre a mediana e a moda:

Retomando nosso exemplo das velocidades das motocicletas, temos:

Velocidades (Km/h) 50 |----- 60 60 |----- 70 70 |----- 80 80 |----- 90 90 |----- 100 100 |----- 110 110 |-----| 120 å

fi 6 9 11 22 16 4 2 70

(a) MEDIANA: Me 1. É a medida separatriz 2. É uma medida definida e exata. 3. É de fácil compreensão. 4. Apresenta facilidade em seus cálculos. 5. Não depende de cada valor da série, a não ser em casos cuja alteração de valor, o torne maior ou menor do que o da mediana (quartil) já calculada. 6. Não se apresenta com valores aproximados em várias amostras representativas de um fenômeno. 7. Em certos casos servem para cálculos posteriores. 8. Serve para análise comparativa.

Fi 6 15 26 48 64 68 70 -

(b) MODA: Mo 1. É medida de posição. 2. É de fácil compreensão. 3. Pode não existir em uma série ou apresentar-se mais do que uma vez em outras. 4. Não é rigorosamente definida e exata. 5. Não é devidamente influenciada por todos os valores de uma série. 6. Não serve para cálculos posteriores. 7. É uma das medidas de Tendência Central de maior importância.

Como N = 70, aplica-se N/2=35. Como a informação situada no 35º lugar está localizada na 4º classe, esta será a classe da mediana. Para obtenção da mediana, verificase que: Me = li + h

80 + 10

[

N - Fi-1 2 . fi

]

= 80 + 10

[

35 - 26 22

]

=

9. 22

[ ]

2. Comparações entre a média aritmética: X, mediana: Me a moda: Mo.

Me = 80 + 4,90 = 84,09 Km/h Me = 84,09 Km/h

A comparação entre os valores destas três medidas pode ser feita através da forma de apresentação dos valores de uma série. A distribuição destes pode ser simétrica ou assimétrica.

Diz-se, então, que 50% das motos desenvolveram velocidades inferiores a 84,09 Km/h, e, conseqüentemente 50% delas desenvolvem velocidades superiores a 84,09 Km/h. Observações sobre a média, a moda e a mediana: 1) Como a média pode ser influenciada por valores extremos, nem sempre pode ela representar corretamente um conjunto de informações. Quando isso ocorre, a medida mais representativa do conjunto é a mediana.

É simétrica quando os valores dos termos de uma série se distribuem igualmente em torno do valor central. Caso contrário, a distribuição destas pode ser simétrica ou assimétrica. Uma série simétrica apresenta igualdade entre os valores da média aritmética e da mediana, pode ser igual ao valor da moda se o valor da freqüência central for maior da série:

Para exemplificar, admitamos o conjunto: X = {0, 5, 5, 6, 7, 8} onde se observa que o limite inferior da distribuição, está relativamente distante do elemento que lhe é mais próximo. Neste conjunto µ = 5,16 e Me = 5,5 e, é evidente que a medida 5,5, é mais representativa do mesmo conjunto.

X = Me = Mo ou X = Me ≠ Mo Uma série assimétrica apresenta desigualdade entre os valores de X, M e Mo, podendo existir alguns casos onde há igualdade de valores das duas primeiras: X ≠ M ≠ Mo ou X = µ ≠ Mo. Se os valores são concentrados acima do ponto central, tem-se: X > Me > Mo Se concentrados abaixo, então: X < Me < Mo

2) Para distribuição de freqüência perfeitamente simétricas, a relação: X - Mo = 3 (X - Me) satisfaz inteiramente, pois, nestes casos, a média, a moda e mediana coincidem. É válida, entretanto, a aplicação dessa relação como verificação, e mesmo assim, somente quando as distribuições possuírem uma leve assimetria.

3. Relação empírica entre a média, a mediana e a moda:

56

MATEMÁTICA Como já registramos, para as curvas de freqüência unimodal moderadamente inclinadas (assimétricas) vigora a relação empírica: X - Mo = 3 (X - Me) Nas figuras 1 e 2, a seguir, aparecem as posições relativas da média, da mediana e da moda para as curvas de freqüência inclinadas para a direita e para a esquerda, respectivamente. Para curvas simétricas, como já assinalamos, a moda e a mediana são todas coincidentes.

Fig 1

Observação: O primeiro quartis (Q1) abrange 25% dos termos da série, o segundo quartil (Q2) 50% = M e o terceiro quartil (Q3) 75%. (b) Cálculo para dados agrupados O processo a ser empregado é o mesmo que para o cálculo da mediana, bastando apenas no cálculo das posições (P) considerar os denominadores, 4, 10 e 100, respectivamente, para os quartis, decis e percentis.

Fig 2

Mo Me X

X Me Mo

7.1.4 - Quartis, Decis e Percentis São valores que ocupam determinados lugares de uma série. Seus empregos são para análise, assim como a mediana, sendo que esta divide a distribuição em duas partes iguais, os quartis em 4, os decis em 10 e os percentis em 100 partes iguais. Pode-se então dizer, de modo geral, que são valores de posição de uma distribuição e que servem para o auxílio de comparação. Os processos de cálculo de seus valores são idênticos aos da mediana. (a) Cálculo para dados não agrupados: QUARTIS Q1 = n + 1 4 Q2 = 2(n + 1) = Me 4

DECIS D1 = n + 1 10

PERCETIS C1 = n + 1 100

D2 = 2(n + 1) 10

C2 = 2(n + 1) 100

D5 = 5(n + 1) = Me 10

C50 = 50(n+1) = Me 100

Exemplo: Calcular os quartis na seguinte série: MERCADORIAS NÚMERO DE TIPOS PEDIDOS A 18 B 21 C 25 D 26 E 28 F 29 G 30 N=7 177 Q1 = n + 1 = 7 + 1 = 2 4 4

Q1 = 21

Q2 = 2(n + 1) = n + 1 = 7 + 1 = 4 4 2 2

Q2 = 26

Q3 = 3(n + 1) = 3(7 + 1) = 6 4 4

Q3 = 29

Exemplo: Calcular os quartis na seguinte série estatística: PREÇO UNITÁRIO (REAIS) 18 |----- 20 20 |----- 22 22 |----- 24 24 |----- 26 26 |----- 28 28 |-----| 30

= Me

57

QUANTIDADE fi

Fi

120 150 180 200 190 160

120 270 450 650 840 1.000

MATEMÁTICA ∑

1.000

triviais, haja vista que as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão afetam na mesma proporção (operação) a média aritmética.

-

3ª) A soma dos desvios (afastamentos) dos valores observados em relação à média aritmética é igual a zero. Em símbolos: ∑di = 0 Cálculo dos desvios: (a) dados não agrupados: di = Xi - µ = ∑di = 0 Xi: valor da variável (b) dados agrupados: di = fi (xi - µ ) = ∑di = 0 Xi: ponto médio de classe A aplicação destas propriedades estão consagradas nos testes comentados 31 a 33. 7.1.5 - Média Geométrica : Mg A média geométrica de um conjunto de N números X1, X2, X3 ..., XN é a raiz de ordem N (N-ésima) do produto desses números. Em símbolos: Mg = N

X1.X2.X3.... XN

Exemplos: 1) A média geométrica dos números 2,4 e 8 é: Mg = 3

2.4.8

= Mg

3

64

= Mg = 4

2) A média geométrica dos números 3, 6, 7 e 9 é: Mg = 4

3.6.7.8= Mg

4

1008

= Mg = 5,63

7.1.6 - Média Harmônica: Mh Média harmônica Mh de um conjunto de N números X1, X2, X3, ..., XN é a recíproca da média aritmética dos recíprocos dos números. Mh = N . ∑(1) X

PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA

Exemplo: A média harmônica dos números 2, 4 e 8 é:

1ª) Somando-se ou subtraindo-se uma constante "k" a todos os valores de uma série estatística "x", a nova média aritmética (y) ficará somada ou subtraída dessa mesma constante.

Mh =

3 = Mh 1+1+1 2 4 8 (veja teste nº 38)

Em símbolos: Y = X + K => µ y = µ x + K

3 = Mh = 3,43 7 8

7.2 - Medidas de Dispersão

2ª) Multiplicando-se ou dividindo-se por uma constante "k" todos os valores de uma série estatística "x", a nova média aritmética (y) ficará multiplicada ou dividida por essa constante. Em símbolos: Y = X : K => µ y = µ x : K

São aquelas medidas estatísticas que medem o afastamento dos valores observados em relação a uma medida de tendência central (normalmente em relação a média aritmética).

Observação: Estas duas propriedades da média aritmética são, também, chamadas de propriedades

7.2.1 - Variância absoluta: é a média da soma dos quadrados dos desvios, contados em relação à média

58

MATEMÁTICA aritmética. É um valor abstrato e o seu valor não é dado em unidades de medida utilizada. Símbolo: σ 2

Fórmula σ :

Fórmulas:

Ex.: Dados não Agrupados

Dados não agrupados:

meses abril maio junho julho agosto setembro ∑

(a) Processo longo: σ 2 = ∑ (Xi - µ )2 N (b) Processo abreviado: σ 2 = ∑ Xi2 - µ N

2

Dados agrupados:

2

(Xi - µ ) = di (Xi - µ )2 = d2 i 10 - 7 =3 9 8-7=1 1 7-7=4 - 7 = -3 9 6 - 7 = -1 1 7-7=9 zero 20

Xi 10 8 7 4 6 7 42

Cálculo da Média: µ = ∑ Xi = 42 N 6

(a) Processo longo: σ 2 = ∑ fi(Xi - µ )2 ∑fi (b) Processo abreviado: σ 2 = ∑ fi Xi2 - µ N

σ

2

Xi2 100 64 49 16 36 49 314

µ = nota 7

Cálculo da Variância Absoluta: σ 2 = ∑ (Xi - µ )2 - σ 2 20 = 3,33 N 6

7.2.2 - Desvio Padrão: É o valor positivo da raiz quadrada da variância absoluta. É uma medida estatística que representa, em média, os afastamentos, em valores absolutos, dos elementos observados em relação a respectiva média aritmética. É uma medida estatística que é dada na unidade da medida utilizada: Símbolo: σ

σ 2 = 3,33

Cálculo do Desvio Padrão: σ = notas

σ

=> σ

2

σ = 1,82

3,33

Ex.: Dados Grupados Salários dos Empregados da Empresa ABC S.A. junho/1975 U. MONETÁRIAS 2 |----- 6 6 |----- 10 10 |----- 14 14 |----- 18 18 |----- 22 22 |----- 26 26 |----- 30

fi 30 35 40 60 120 190 25 500 Fonte: Dados hipotéticos

xi 4 8 12 16 20 24 28 -

fri 120 280 480 960 2.400 4.560 700 9.500

fixi2 (Xi - µ ) (Xi - µ )2 fi(Xi - µ )2 4 - 10 = 15 225 6.760 480 8 - 19 = -11 121 4.235 2.240 12 - 19 = -7 49 1.960 5.760 16 - 19 = -3 9 540 15.360 20 - 19 = 1 1 120 48.000 24 - 19 = 5 25 4.750 109.440 27 - 18 = 9 81 2.025 19.600 20.380 200.980

Cálculo da Média: Cálculo do Desvio Padrão: µ = ∑fixi µ = 9.500 N 500 (a) Processo Longo: σ

µ = 19 U.M. 2

σ = σ 6,38 U.M.

= ∑fi(Xi - µ )2 σ 2 = 20.380 N 500

(b) Processo Abreviado: σ 192

2

= ∑fixi2 - . µ N

2

2

σ =

40,76

σ

=

7.2.3 - Coeficiente da variabilidade de Pearson:

= 200.880 -

É o quociente entre o desvio padrão e a média aritmética. Símbolo: δ (Gama) em outras palavras, é o desvio padrão dado em unidades da média aritmética. Expressa, em valores relativos, o afastamento dos valores em torno da respectiva média aritmética. É uma medida estatística que serve para comparar a homogeneidade de séries que têm diferentes unidades de medidas.

500

σ 2 = 40,76

59

MATEMÁTICA

60

RENDAS CERTAS

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO MÉTODOS DE DEPRECIAÇÃO

PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMO E FINANCIAMENTOS CÁLCULO FINANCEIRO: CUSTO REAL EFETIVO DE OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO, EMPRÉSTIMO E INVESTIMENTO

Sistema Francês com prazo de carência e pagamento dos juros

TABELA PRICE

- Taxas de Retorno

- Taxas de Retorno

- Taxas de Retorno

- Taxas de Retorno

Prazo de estocagem da mercadoria

TESTES DE MATEMÁTICA 1 - Certa fortuna foi dividida em partes iguais entre 2 irmãos. Atualmente, a parte do 1º esta aumentada 2/7 e a do 2º diminuída de 3/5 do valor primitivo. Sabendo-se que o 1º tem R$ 119,04 mais do que o 29, calcular a fortuna de cada um, atualmente: a) R$ 49,20 e R$ 25,40 b) R$ 37,80 e R$ 92,40 c) R$ 35,20 e R$ 21,40 d) R$ 53,76 e R$ 172,80 e) R$ 17,00 e R$ 12,73 2 - Paulo e Antônio tem juntos R$ 123,00 Paulo gastou 2/5 e Antônio 3/7 do que possuíam, ficando com quantias iguais. Quanto possuía cada um? a) Paulo R$ 60,00 e Antônio R$ 63,00 b) Paulo R$ 23,00 e Antônio R$ 100,00 c) Paulo R$ 43,00 e Antônio R$ 80,00 d) Paulo R$ 32,00 e Antônio R$ 96,00 e) Paulo R$ 32,00 e Antônio R$ 81,00 3 - Certa quantia foi distribuída entre duas pessoas em partes proporcionais a 3 e 4; a segunda recebeu R$ 2,00 a mais que a primeira. Qual a quantia distribuída? Qual a parte de cada pessoa? a) R$ 14,00 R$ 18,00 R$ 6,00 b) R$ 14,00 R$ 6,00 R$ 8,00 c) R$ 2,00 R$ 8,00 R$ 16,00

d) R$ 2,00 R$ 8,00 R$ 1,20 e) R$ 14,00 R$ 5,00 R$ 9,00 4 - Dividindo-se uma quantia em partes proporcionais a 6, 9, 12 e sabendo-se que o quíntuplo da 1ª parte mais o quádruplo da 2ª e mais o triplo da 3ª parte vale R$ 306,00 determine as partes: a) R$ 104,00 R$ 102,00 R$ 100,00 b) R$ 106,00 R$ 100,00 R$ 100,00 c) R$ 18,00 R$ 27,00 R$ 36,00 d) R$ 25,00 R$ 20,00 R$ 36,00 e) R$ 25,00 R$ 27,00 R$ 29,00 5 - Um capital C foi distribuído em partes diretamente proporcionais a 5, 4 e 7, sendo a terceira parte igual a R$ 22,40. O valor de C, em R$, é: a) R$12,80; b) R$16,00; c) R$22,40; d) R$51,20; d) R$73,60 6 - Qual a razão entre os números 1,2 e 2 1/5? a) 6 /2 b) 2/6 c) 5/5 d) 6/11 e) 6/6 7 - Um ônibus, com a velocidade média de 60 km por hora, parte as 6 horas e chega ao seu destino as 16 horas e 30 minutos do mesmo dia. Se sua velocidade média fosse 90 km por hora, a que horas teria chegado ao mesmo destino? a) 13 h b) 19 h c) 15 h d) 16 h e) 14 h 8 - O lucro de R$ 180,00 de uma empresa deve ser repartido proporcionalmente entre seus três sócios. O capital com que entrou o 2º sócio é o dobro do capital do 1º e o 3º sócio entrou com 3/4 do capital do 2º sócio. Nestas condições, o sócio que entrou com o menor capital recebeu: a) R$ 60,00 b) R$ 40,00 c) R$ 35,00 d) R$ 20,00 e) R$ 15,00

9 - Duas pessoas fundaram uma firma entrando com os capitais em partes iguais. o 1º sócio trabalhou das 8h as 12h e o 2º sócio das 14h às 7h e 30min. No fim do mês, houve um lucro de ...... R$ 225,00. Nestas condições: a) O 1º sócio devera receber R$ 6,00 a mais que o 2º b) O 1º sócio deverá receber R$ 12,00 a mais que o 2º c) O 1º sócio devera receber R$ 15,00 a mais que o 2º d) O 1º sócio deverá receber R$ 12,50 a mais que o 2º e) os dois sócios deverão receber quantias iguais 10 - O valor de x na proporção: x - 2 = 5 é um número x-4 a) inteiro negativo b) inteiro positivo c) positivo menor que 1. d) negativo é maior que -1. e) nulo. 11 - Dois sócios, ao constituírem uma sociedade, entraram respectivamente com os capitais de R$ 56,40 e R$ 43,501. Na divisão do lucro, o primeiro recebeu mais R$ 516.00 do que o segundo o lucro de cada sócio foi de: a) R$ 2.147,00 e R$ 1.631,00 b) R$ 2.538,00 e R$ 2.022,00 c) R$ 2.236,00 e R$ 1.740,00 d) R$ 2.452,00 e R$ 1.936,00 e) R$ 2.604,00 e R$ 2.088,00 12 - Márcia comprou um automóvel por R$ 360,00. Revendeu-o com um lucro de 20%. Quanto ganhou? a) R$ 70,00 b) R$ 72,00 c) R$ 74,00 d) R$ 82,00 13 - Antônio vendeu sua maquina fotográfica com um prejuízo de 17%. Quanto perdeu se a maquina foi comprada por R$ 11,00? a) R$ 1,87 b) R$ 1,78 c) R$ 1,58 d) R$ 1,95 14 - Alcides faz um trabalho em 8 dias e Teodoro faz o mesmo trabalho em 4 dias. Trabalhando juntos, em quantos dias farão esse serviço? a) 2 2/3 dias b) 3 dias

c) 2 3/2 dias d) 5 dias 15 - Quanto é 18% de 400? a) 82 b) 72 c) 76 d) 94 16 - 150% de 350: a) 520 b) 530 c) 540 d) 525 17 - Um vendedor pretende ganhar 14% sobre um artigo, que lhe custou R$ 3.000,00. Por quanto deve vende-lo? a) R$ 4.320,00 b) R$ 3.420,00 c) R$ 3.240,00 d) R$ 4.600,00 18 - Um batalhão de 120 soldados perdeu 30 em combate nas ilhas Malvinas. Quantos % perdeu? a) 20% b) 30% c) 22% d) 25% 19 - A mandioca da 5% de seu peso em álcool. Quantos kg de álcool podemos extrair de 350 kg de mandioca? a) 17 kg b) 18 kg c) 17,5 kg d) 18,5 kg 20 - 200 dólares, a R$ 15,70 por dólar, eqüivalem a: a) R$ 3.140,00 b) R$ 1.570,00 c) R$ 314.000,00 d) R$ 414,00

21 - Calcular os juros de R$ 25,00 a 80% a.a., em um ano. a) R$ 20,00

b) R$ 80,00 c) R$ 25,00 d)R$ 15,00 22 - Calcular os juros de R$ 6,00 a 24% a.a. em 2 anos e 4 meses. a) R$ 3,36 b) R$ 3,34 c) R$ 3,63 d) R$ 4,76 23 - Recebi um financiamento de R$ 50,00 a 12% a.a., durante 4 meses e 20 dias. Quanto pagarei de juros? a) R$ 2,80 b) R$ 3,00 c) R$ 2,70 d) R$ 4,00

GABARITO 1. D 2. A 3. B 4. C 5. D 6. D 7. A 8. B 9. C 10. C 11. C 12. B 13. A 14. A 15. B 16. D 17. B 18. D 19. C 20. A 21. A 22. A 23. A