Mathematics προσέγγιση του Lnx παραγοντικό

Προσέγγιση του lnx!

v

E1  1. ln v 

 ln x.dx  ln v  ( x. ln x  x) |

v v 1

v 1

ln v  (v. ln v  v  (v  1). ln(v  1)  v  1)  ln v  v. ln v  v ln(v  1)  ln(v  1)  1 

 v 1  1  v 

 (v  1) ln(v  1)  (v  1) ln v  1  (v  1) ln v



k 2



v

  k 1   1  k  

Θέτω  1   Ei    (k  1) ln i 2

  1  2  ln        2   3  1

2

3

 3  v 3   ...   4  v2

v 3

 v2    v 1 

v2

 v 1    v 



v 1

  (v  1)  

 2.3....(v  3)(v  2)(v  1)    (v  1)  ln(v  1)!(v  1) ln v  v  1  ln v!v ln v  v  1 v v 1 

ln 

Επίσης E1  E2  1. ln v  ln(v  1)   1    2 v

v

k 2

k 2



k     2  ln v   1  k 1

  1   E 2   ln E1  E3 

1  v  ln  2  v 1





 ln

v    v 1 

v

όπου  2   ( E2 ) i i 2

    E1     E3    ln v

i 2

v

i

i 2

v

i

k 2

k  1    1   0  ln v  k  1 2  

v

όπου  0    E3  i i2

 ln v!v ln v  v  1 

ln v ln v   0  ln v! v ln v  v  1  0 2 2

(1)

Γιατί το  0 είναι πολύ μικρό από το συνολικό εμβαδόν του lnv! , μπορούμε να γράψουμε κατά προσέγγιση: ln v! v ln v  v  1 

ln v 2

(2)

Αν κάνουμε τη γραφική παράσταση D=f(v) για πλήθος τιμών v=32,000 όπου

D  ln v!(v ln v  v  1 

ln v ) 2

παρατηρούμε ότι  0  [0.03,0.081]

Επίσης παρατηρούμε ότι για v>8 ,  0  [0.07,0.081] έτσι μπορούμε να γράψουμε τον ημιεμπειρικό τύπο ln v! v ln v  v  1 

ln v  0,08 2

(3)

Θα μπορούσαμε επίσης να παίρναμε και την μέση τιμή του πλήθους